Site Loader

Рассмотрим несколько задач, которые решаются построением таблиц истинности сложных высказываний.

Задача 1.

Составить таблицу истинности высказывания

Решение.

Данное высказывание состоит из двух операндов A и B. Для его вычисления необходимо сначала вычислить отрицание A, то есть Ā , затем , далее выполнить логическое умножение , затем сложение и, наконец, отрицание . Таким образом, в таблице истинности будет 7 столбцов и 5 строк.

A B Ā
             
             
 
           
             

Заполняем ячейки, соответствующие значению всем возможным сочетаниям значений высказываний A и B.

A B Ā
0
0
         
0 1          
1 0          
1 1          

Далее заполняем третий и четвертый столбцы таблицы, соответственно, отрицая высказывания A и B.

A B Ā
0 0 1 1      
0 1 1 0      
1 0 0 1  
 
 
1 1 0 0      

При заполнении пятого столбца таблицы будьте внимательны. Операндами высказывания являются A и , значит, при заполнении пятого столбца смотреть нужно на первый и четвертый столбцы таблицы. Помните, что результат логического умножения имеет значение истина только в том случае, когда истинны оба операнда (единица будет только в четвертой строке пятого столбца).

A
B Ā
0 0 1 1 0    
0 1 1 0 0    
1 0 0 1 1    
1 1 0 0 0
 
 

При заполнении шестого столбца таблицы, следует обратить внимание на значения, стоящие в третьем и пятом столбцах, и выполнить операцию логического сложения.

A B Ā
0 0 1 1 0 1  
0 1 1 0 0 1  
1 0 0 1 1 1  
1 1 0 0 0 0  

Для получения результата осталось заполнить последний столбец, где отрицается высказывание, полученное в шестом столбце.

A B Ā
0 0 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 1 0
1 1 0 0 0 0
1

Ответ: Таблица истинности сложного высказывания следующая.

A B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Задача 2.

Установить эквивалентность двух высказываний:

&nbsp&nbsp 1) A V B Λ C;

&nbsp&nbsp 2) (А V В) Λ (А V С).

Решение.

Для установления эквивалентности двух высказываний достаточно сравнить их таблицы истинности. Если таблицы совпадают, то высказывания эквивалентны.

Построим таблицу истинности первого высказывания. В выражении участвуют три высказывания. Для того чтобы рассмотреть все возможные сочетания их значений, будем использовать следующий прием: первые три столбца таблицы заполним двоичным представлением чисел 0, 1, 2, 3,…, 23-1, дополняя слева нужное количество нулей. Выражение не содержит скобок, следовательно, воспользуемся тем, что конъюнкция выполняется раньше, чем дизъюнкция. Получим следующую таблицу.

A B C B Λ C A V B Λ C
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1

Аналогичным образом составим таблицу истинности второго высказывания.

A B C A V B A V C (А V В) Λ (А V С)
0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1

Поскольку таблицы истинности совпадают, то высказывания 1 и 2 эквивалентны.

Ответ: высказывания эквивалентны

 

Задача 3.

Докажите тавтологию (X Λ Y) -› (X VY)

Решение.

Для доказательства тавтологии построим следующую таблицу истинности.
X Y X Λ Y X V Y (X Λ Y) -› (X VY)
0 0 0 0 1
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
Ответ: тавтология доказана.

Содержание

Задание 4. — Удивительный мир логики


 предыдущем задании мы рассмотрели алгебру логики. А сейчас выполним задания с логическими операциями — конъюнкция,  дизъюнкция, отрицание и их таблицы истинности.

Конъюнкцией называют «логическое умножение» или  «логическое И» , а часто просто «И» .

В естественном языке конъюнкцию заменяют союзом И.

Для обозначения конъюнкции применяют различные символы. Это может быть знак &, AND. Но чаще всего для обозначения конъюнкции используют символ  /\ .

Рассмотрим пример.

Пусть есть два высказывания: 

A = «Москва — столица России» и B = «Сегодня солнечно». 

Тогда конъюнкция этих высказываний будет выглядеть так «Москва — столица России И сегодня солнечно», а обозначаться так:

A /\ B

Так как на клавиатуре нет символа конъюнкции, его можно набрать из слэша ( / ) и бэкслэша ( \ ) —  получится /\ — похоже на обозначение конъюнкции.

Таблица истинности для конъюнкции выглядит так:

Запомнить довольно просто — конъюнкция истинна только в одном случае — когда оба исходных высказывания истинны.  

Следующая логическая операция, которую мы рассмотрим после конъюнкции — дизъюнкция.

Дизъюнкция логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражений ложны. 

Обозначение: A\/ B

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит так:

Часто можно встретить другие названия этой операции — логическое сложение, логическое ИЛИ или просто ИЛИ.

В естественном языке дизъюнкция заменяется союзом ИЛИ.

Логическое отрицание или Инверсия — это сложное логическое выражение, в котором если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоброт, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. 

Другими словами, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО…

                                                                                    Таблица истинности для инверсии выглядит так:


Рекомендуется к просмотру:

Видео YouTube

[/ youtube]

У этого есть имя, которое вы также должны знать:

(п. > г) / q // п.
т Т Т Т Т
т F F F Т
F Т Т Т F
F Т F F F

Недействительность здесь также показана в третьей строке, где обе посылки — T, а заключение — F.Первая строка, в которой и посылки, и заключение являются T, не указывает ничего, что могло бы противодействовать тому, что показывает третья строка, а именно, что эта форма допускает возможность T посылок и F вывода.

Это Подтверждение Следующего .

Вот еще что нужно учитывать:

~ (G М) / М v ~ G // ~ G
Факс Т Т Т Т т F F
т Т F F F Факс F F
т F F Т Т т Т Т
т F F F F т Т Т

В помещении сказано: «Не одновременно G и M.Либо M, либо G — ложь ». Вывод: «Не Г.».

Это может быть

Неверно, что и Гарфилд, и Мармадьюк — собаки. Либо Мармадьюк собака, либо не Гарфилд. Следовательно, Гарфилд не один.

Что показывает таблица? Это показывает, что всякий раз, когда вывод — F, по крайней мере, одна посылка тоже F. В первой и второй строках вывод — F. Но в первой строке первая посылка — это F (смотрите под знаком ~), а во второй строке вторая посылка — F (смотрите под v).Это показывает, что он не недействителен, а значит, действителен.

В следующих двух строках показаны все посылки T и заключение T. Но даже если мы не будем внимательно смотреть на них, мы можем сказать, что оно верное, потому что единственный шанс на то, что он недействителен, — это когда вывод F, и мы уже видел все возможности этого.

8 Таблицы истинности аргументов

Вот несколько упражнений, над которыми вы можете практиковаться:

1. P ≡ ~ N // N v P

2.K ≡ ~ L / ~ (L ∙ ~ K) // K> L

3. Z // E> (Z> E)

4. C ≡ D / E v ~ D // E> C

5. A> (B v C) / ~ C v B // A> B

6. J> (K> L) / K> (J> L) // (J v K)> L

7. Если Сартр экзистенциалист, то Витгенштейн написал Трактат, следовательно, если Витгенштейн написал Трактат, Сартр экзистенциалист.

8. Херли — президент, так что либо он президент, либо Аккерманн — декан.

9.Если «время летит» — это метафора, это не совсем так. Если это не совсем так, тогда время не летит, поэтому если «время летит» является метафорой, то время не летит.

10. Если аргумент, исходящий от дизайна, слаб, это слабая аналогия. Чтобы быть слабой аналогией, оно должно проводить неоправданное сравнение, поэтому аргумент от дизайна дает неоправданное сравнение.

11. Зима холодная, а лето жаркое, поэтому либо лето жаркое, либо луна сделана из зеленого сыра.

12.Рассел был либо реалистом, либо эмпириком. Если первое, то он не был идеалистом, значит, он не был эмпириком.

13. Если он любит ее, он женится на ней. Поэтому, если он не любит ее, он не женится на ней.

14. Если люди смогут поселиться на Луне, они смогут поселиться на Марсе. Если они смогут поселиться на Марсе, они смогут поселиться на Юпитере. Итак, если Луна может быть заселена, то и Юпитер может.

15. Этот аргумент недействителен тогда и только тогда, когда он может иметь истинные посылки и ложный вывод.Следовательно, он недействителен, поскольку имеет ложное заключение.

16. Тот факт, что животные менее умны, чем мы, не означает, что мы можем пренебрегать их благополучием. Если мы пренебрегаем их благополучием, то мы бесчеловечны и ничем не лучше самих животных. Таким образом, если мы пренебрегаем их благополучием, будет ошибкой считать, что они менее умны, чем мы.

17. Если Швеция находится в Северной Африке, то либо египтяне голубоглазые, либо шведы смуглые и красивые. Швеция находится не в Северной Африке, поэтому египтяне не голубоглазые.

18.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *