Урок 2. скалярное произведение векторов — Геометрия — 11 класс

Геометрия, 11 класс

Урок № 2. Скалярное произведение векторов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах;

— показать применение скалярного произведения векторов при решение задач.

— рассмотреть основные свойства скалярного произведения;

— сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами;

— показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Глоссарий по теме:

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Формула вычисления скалярного произведения векторов по определению:

Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты:

Основная литература:

Гусева В.А., Куланин Е.Д. Геометрия. Профильный уровень. 10 класс — М.: Бином, 2010 — с. 130-148

Погорелов А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждение — 13-е изд-е. — М.: Просвещение, 2014. — с. 51-52

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 кл. 20-е изд-е. — М.: Просвещение, 2010. — с. 259-270.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Угол между векторами

Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.

Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярное произведение векторов:

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

Доказательство утверждений:

Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение2. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату его длины. 

Формула скалярного произведения двух векторов  и 

Через их координаты 

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

 

Угол между векторами.

Косинус угла между векторами пространства  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой: 

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов  и любого числа k справедливы равенства:

1)  причем  при 

2)   (переместительный закон).

3)   (распределительный закон).

4)  (сочетательный закон).

Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Дано:  прямоугольный параллелепипед, где . Найти  и .

Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.

Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой BD  направляющим может является вектор BD , а для прямой 

 CD- CD вектор (рис. 15)

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка B совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер AB и BC за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка BB равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек B, D, C и D₁.

Точка B(0;0;0). Точка D(1;1;0). Точка C(0;1;0) . А точка D(1;1;2).

Теперь не трудно найти координаты векторовBD и CD как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор BD {1-0;1-0;0-0}. А вектор

CD{1-0;1-1;2-0}.

Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.

Рис. 15

Ответ:

Пример 2.

Дано: DABC – пирамида; DA ⊥ DB ⊥ DC; DA = DB = DC = а.

Найдите: косинус угла между прямыми DC и CM (СМ – высота треугольника АВС), поставьте ему в соответствие верный вариант ответа из предложенных ниже:

Решение:

Треугольник АВС правильный, поэтому тоска М является серединой стороны АВ.

Введем систему координат как показано на рисунке.

Найдем координаты векторов

Применив формулу косинуса угла между векторами, получим .{2}$ и называется скалярный квадрат.

3  Если $\overline{a} \neq \overline{0}$, то

4  Если $\overline{a} \neq \overline{0}$ и $\overline{b} \neq \overline{0}$ и $(\overline{a}, \overline{b})=0$, то $\overline{a} \perp \overline{b}$. Верно и обратное утверждение.

5  $(\overline{a}+\overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{c})+(\overline{b}, \overline{c})$

6  $(\lambda \overline{a}, \overline{b})=\lambda(\overline{a}, \overline{b})$

7  $(\alpha \overline{a}+\beta \overline{b}, \gamma \overline{c}+\delta \overline{d})=\alpha \gamma(\overline{a}, \overline{c})+\alpha \delta(\overline{a}, \overline{d})+\beta \gamma(\overline{b}, \overline{c})+\beta \delta(\overline{b}, \overline{d})$

Если векторы $\overline{a}$ и $\overline{b}$ заданы своими координатами: $\overline{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)$, $\overline{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)$ , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

1

$(\overline{a}, \overline{b})=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$

Определение

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат.{\circ}$$

Читать дальше: векторное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов. Формулы и определение

 

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

 

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=<∠(→a; →b)=<180° либо 0°=<∠(→a; →b)=<π.

Значок угла ∠ можно опустить и писать просто: (→a;→b).

Пусть даны два вектора →a, →b.

Отложим их от некоторой точки О пространства: →OA = →a; →OB = →b. Тогда угол между векторами — это угол ∠AOB = (→a, →b).

Угол между векторами может быть прямым, тупым или острым. Рассмотрим каждый случай:

 

1. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°.

 

Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

 

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

 

Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

 

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Так как косинус угла в 180° равен -1, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

 

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Важно!

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение векторов, которые образуют тупой угол, является тоже отрицательным.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

1. Геометрическая интерпретация.

   Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

   →a * →b = →|a| * →|b| * cosα

   
   


2. Алгебраическая интерпретация.

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0.
• Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0 так как , то есть cosα = 0.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

Докажем это определение:

1. Сначала докажем равенства
   

   для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

   Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

   Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)



2. Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:
   

   Так как:

   
   

   то последнее равенство можно переписать так:

   
   

   а по первому определению скалярного произведения имеем

   
   

   откуда

   
   


3. Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
   


4. Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.


5. Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В плоской задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

Формула скалярного произведения n-мерных векторов

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = {a1; a2; … ; an} и b = {b1; b2; … ; bn} можно найти по формуле:

a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + … + an * bn

Свойства скалярного произведения

Свойства скалярного произведения векторов:

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

   →а * →а > 0

   →0 * →0 = 0



2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

   →a * →a = →∣∣a∣∣2



3. Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

   →a * →b = →b * →a



4. Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

   (→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c



5. Сочетательный закон для скалярного произведения:

   (k * →a) * →b = k * (→a * →b)



6. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

   a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 <=> a ┴ b

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,

и,

откуда следует:

 

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Как решаем:

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

Как решаем:

Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

В данном случае:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

Ответ: →a * →b = 5√3.

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Как решаем:

По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Ответ: (→a,→b) = 411.

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Как решаем:

1. Введем систему координат.
   

   Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

   
   


2. Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).


3. Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:
   


4. Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:
   


5. Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:
   


6. Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:
   

Ответ: 1/4.

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

Как решаем:

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)

Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

• В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
• В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

Как решаем:

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

Найдем векторы:

Вычислим скалярное произведение:

Вычислим длины векторов:

Найдем косинус угла:

Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Скалярное произведение векторов

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; … ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; … ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + … + a_n · b_n

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =

= 5 |a|² + 12 a · b — 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45.

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов (a + 2i)·(b — 2j),если a = {1; 2} и b = {4; -8}.

Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j:

a = i + 2j
b = 4i — 8j

Тогда используя свойства ортов (i² = 1, j² = 1, i·j = 0)

(a + 2i)·(b — 2j) = (i + 2j + 2i)·(4i — 8j — 2j) = (3i + 2j)·(4i — 10j) = 12i² — 30i·j + 12j·i — 20j² = 12 — 0 + 0 — 20 = -8

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример 6. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.

Скалярное произведение векторов: теория и решения задач

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Почему скалярное произведение векторов называется именно скалярным и что представляет собой? Чем оно отличается от результатов других операций над векторами? Что такое скаляр? Скаляр — это число. И скалярное произведение векторов — это тоже число. Этим оно и отличается от уже рассмотренной суммы векторов, и от векторного произведения векторов, которое ещё предстоит рассмотреть. В отличие от скалярного произведения, сумма векторов — это вектор, и векторное произведение — тоже вектор.

Определение 1. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1:    (1)

Можно встретить и другое название этой операции: внутреннее произведение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

На этом уроке будем решать распространённые задачи не только на непосредственное вычисление скалярного произведения, но и на выяснение ортогональности (перпендикулярности) векторов, вида угла (тупой, острый, прямой) между векторами, вычисление скалярного произведения векторов, которые даны в координатах, вычисление длин диагоналей параллелограма, построенного на вектора. Но все по порядку. Перед каждым видом задач будем обращать внимание на то, что на этот счёт гласит теория. По ходу урока вам пригодится онлайн-калькулятор для проверки решения задач на скалярное произведение векторов.

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены «на блюдечке с голубой каёмочкой», то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Решение:

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

   (2)

или

   (3)

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.

Определение 3. Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

и

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом — после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Геометрические свойства

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла — φ1 и φ2. Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π, то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ1.

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами — прямой (90 градусов или π/2), если скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое — меньше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое — больше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Пример 3. В координатах даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

.

Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

---

Пример 4. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

.

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Ответ: мы получили значение λ = 1,8, при котором векторы ортогональны.

---

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй — в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц:

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов — произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 7. Найти скалярные произведения пар векторов

и

,

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй — в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару и находим:

Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 2.

Вывод формулы косинуса угла между двумя векторами очень красив и краток.

Чтобы выразить скалярное произведение векторов

                              (1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины. Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

 

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

---

Пример 8. Даны три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла получаем:

Следовательно, .

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

---

Пример 9. Даны два вектора

и

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

Решение.

1.Сумма

2.Разность

3.Длина

4.Скалярное произведение

5.Угол между и :

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

---

Пример 13. Среди векторов

Найти а) коллинеарные; б) ортогональные.

Решение.

а) проверим пропорциональность соответствующих координат векторов — условие коллинеарности (повторение материала предыдущей части темы «Векторы»).

Для векторов и :

 

Равенство не выполняется.

Для векторов и :

Равенство выполняется.

Для векторов и :

Равенство не выполняется.

Наше исследование показало, что коллинеарны векторы и .

б) найдём скалярные произведения векторов.

Наше исследование показало, что ортогональны векторы и и и .

Расчёт работы постоянной силы

Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из начала координат в конец вектора B под действием постоянной силы F = A, образующей угол с перемещением S = A. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы F = B на вектор перемещения S = A.

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов — фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?

Экономический смысл скалярного произведения векторов

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p
на вектор объёма проданных товаров x . Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p . Например, если объём всех товаров, проданных предприятием, выражается вектором x = (400; 750; 200; 300), элементы которого означают соответственно количество товаров различных групп, а цены в одних и тех же денежных единицах заданы в соответствующем порядке вектором p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), то скалярное произведение

выражает суммарную стоимость всех товаров x.b)

или

a·b =|a|·|b|·cos(φ)

a·b>0 — угол острый между векторами;
a·b<0 — угол тупой между векторами;
a·b=0 — угол прямой между векторами.

Примечание
Скалярное умножение не распространяется на случай трёх сомножителей.

---

Физический смысл скалярного произведения заключается в том, что работа А равна произведению производимой постоянной силой F при перемещении тела на вектор a и составляющий с направлением силы F угол φ. Эта связь выражается формулой:

  A = |F|·|a|=|F|·|a|·cosφ

A — работа, скалярная величина;
a — вектор перемещения (смещения) материальной точки;
F — вектор силы действующий на эту точку;
φ — угол силы F действующий к смещению a

---

Пример 1 
Длины векторов a и b соответственно равны 3 м и 2 м, а угол между ними 120⁰.b)=3·2·cos(120⁰)=−3 м² 

---

Пример 2 
Длины вектор силы F имеет модуль 4 кг, длина вектора смещения а равна 2 м. Пусть сила F действует под углом φ=60⁰ к смещению a.

Найти работу силы.

  Решение 
F·a=|F|·|a|·cosφ=4·2·cos(60⁰)=4·2·0.5=4 м²

Скалярное и векторное произведения. Проекция вектора на вектор

В данной статье будут изложены основные инструкции, относительно векторов. С их помощью Вы будете знать что с ними можно делать, а что нет. Поэтому переходим к изучению операций над векторами.

І. Суммой двух -мерных векторов

и называют-мерный вектор , координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов — слагаемых:

Например, если ,

то

Из этого правила следует, что разностью двух векторов будет вектор, координаты которого является разницей соответствующих координат векторов

ІІ. Произведением числа (скаляра) на -мерный вектор называется -мерный вектор , координаты которого равны произведению числа на соответствующие координаты вектора

Например

Операции сложения векторов и умножения числа на вектор ( — некоторые числа) обладают свойствами:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) Для произвольного вектора существует противоположный вектор такой, что

ІІІ. Скалярным произведением двух -мерных векторов и называют число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов:

Например,

если, то

Согласно другому определению, скалярное произведение двух векторов это число, равное произведению длин векторов (их модулей) на косинус угла между ними

Из приведенного выше определения можно получить формулу для вычисления угла между векторами

или в координатной форме

Также есть формулировка согласно которой скалярное произведение двух векторов равен модулю одного из них умноженному на проекцию второй вектор на направление первого

Из последнего определения вытекают формулы для нахождения проекции вектора на вектор

или в координатной форме

Примеры нахождения скалярного произведения, угла между векторами и проекции одного вектора на другой будут рассмотрены ниже.

Алгебраические свойства скалярного произведения векторов:

1)

2)

3)

4)Равенство имеет место при условии

Геометрические свойства скалярного произведения

1)векторы перпендикулярны между собой, если

2) угол между векторами острый в случаях, когда

3) угол между векторами тупой в случаях, когда

ІV. Векторным произведением или двух векторов называется вектор , который отвечает следующим условиям:

1) модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними

2) вектор нормальный к плоскости, построенной на векторах и ;

3) вектор направлен так, что с его конца кратчайший поворот от вектора к происходит против часовой стрелки. Иными словами, векторы образуют правую тройку.

Векторное произведение имеет следующие геометрические свойства:

Его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах и

Поэтому площадь треугольника построенного на векторах и равна модулю половины векторного произведения этих векторов

Алгебраические свойства векторного произведения

1) векторное произведение равно нулю в случае коллинеарности векторов или когда один из них нулевой;

2) от перестановки векторов векторное произведение меняет знак на противоположный

3)

4)

На практике важно иметь под рукой формулу для вычисления векторного произведения в координатной форме, поэтому запишем и ее

Рассмотрим конкретные примеры для усвоения пройденного материала.

———————————————

Задача 1.

Заданы векторы и

Найти следующие величины

1) сумму векторов

2) скалярное произведение векторов

3) ) векторное произведение площадь треугольника построенного на векторах

4) угол между векторами

5) проекцию каждого из векторов на другой

Решение

1) Проведем вычисления

2) Скалярное произведение будет равно

3) Векторное произведение вычисляем по формуле

Площадь треугольника будет равна

4) Найдем угол между векторами по формуле

В ней скалярное произведение уже найдено поэтому находим длины векторов

Подставляем нужные значения в формулу

Находим значение угла

5) Найдем проекции векторов

Проекции векторов можно искать через косинус угла между векторами, результат от этого не изменится

На этом урок окончен. Изучайте правила и свойства операций над векторами, они станут Вам полезны при обучении.

——————————————————

Посмотреть материалы:

Точечный продукт

Вектор имеет величину , (длина) и направление :

Вот два вектора:

Их можно умножить на , используя « скалярное произведение » (см. Также перекрестное произведение).

Расчет

Точечное произведение написано с использованием центральной точки:

a · b
Это означает скалярное произведение a и b

Мы можем вычислить скалярное произведение двух векторов следующим образом:

a · b = | a | × | b | × cos (θ)

Где:
| a | величина (длина) вектора a
| b | — величина (длина) вектора b
θ — угол между a и b

Итак, мы умножаем длину a на длину b , а затем умножаем на косинус угла между a и b

ИЛИ мы можем рассчитать это так:

a · b = a _x × b _x + a _y × b _y

Итак, мы умножаем x, умножаем y, затем складываем.

Оба метода работают!

В результате получается число (называется «скаляр», поэтому мы знаем, что это не вектор).

Пример: вычислить скалярное произведение векторов

a и b :

a · b = | a | × | b | × cos (θ)

а · б = 10 × 13 × cos (59,5 °)

а · б = 10 × 13 × 0,5075 …

а · б = 65.98 … = 66 (округлено)

ИЛИ мы можем рассчитать это так:

a · b = a _x × b _x + a _y × b _y

а · б = -6 × 5 + 8 × 12

а · б = -30 + 96

а · б = 66

Оба метода дали одинаковый результат (после округления)

Также обратите внимание, что мы использовали минус 6 для _x (это направление в отрицательном направлении x)

Примечание: вы можете использовать векторный калькулятор чтобы помочь вам.

Почему cos (θ)?

Хорошо, для умножения двух векторов имеет смысл умножить их длины вместе , но только если они указывают в одном направлении .

Итак, мы делаем одну «точку в том же направлении», что и другая, умножая на cos (θ):

Возьмем компонент a , лежащий рядом с b		Как светить светом, чтобы увидеть , где лежит тень

ЗАТЕМ умножаем!

Это работает точно так же, если мы «спроецируем» b вместе с a , а затем умножим: Потому что не имеет значения, в каком порядке мы производим умножение: | a | × | b | × cos (θ) = | a | × cos (θ) × | b |

Прямой угол

Когда два вектора расположены под прямым углом друг к другу, скалярное произведение равно ноль .

Пример: вычислить скалярное произведение для:

a · b = | a | × | b | × cos (θ)

a · b = | a | × | b | × cos (90 °)

a · b = | a | × | b | × 0

а · б = 0

или можно рассчитать так:

a · b = a _x × b _x + a _y × b _y

а · б = -12 × 12 + 16 × 9

а · б = -144 + 144

а · б = 0

Это может быть удобный способ узнать, находятся ли два вектора под прямым углом.

Три или более размеров

Все это прекрасно работает и в трех (или более) измерениях.

И действительно может быть очень полезным!

Пример: Сэм измерил концы двух полюсов и хочет узнать

угол между ними :

У нас есть 3 измерения, поэтому не забудьте про z-компоненты:

a · b = a _x × b _x + a _y × b _y + a _z × b _z

а · б = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10

а · б = 36 + 16 + 70

а · б = 122

А теперь другая формула:

a · b = | a | × | b | × cos (θ)

Но что есть | a | ? Это величина или длина вектора a .Мы можем использовать Pythagoras:

• | a | = √ (4 ² + 8 ² + 10 ² )
• | a | = √ (16 + 64 + 100)
• | a | = √180

Аналогично для | b |:

• | b | = √ (9 ² + 2 ² + 7 ² )
• | b | = √ (81 + 4 + 49)
• | b | = √134

Из приведенного выше расчета мы знаем, что a · b = 122, поэтому:

a · b = | a | × | b | × cos (θ)

122 = √180 × √134 × cos (θ)

cos (θ) = 122 / (√180 × √134)

cos (θ) = 0.7855 …

θ = cos ^-1 (0,7855 …) = 38,2 … °

Готово!

Однажды я попробовал такой расчет, но работал со всеми углами и расстояниями … это было очень сложно, требовало большого количества тригонометрии, и у меня болел мозг. Приведенный выше метод намного проще.

Перекрестное произведение

Точечное произведение дает ответ скаляр (обычное число), и иногда его называют скалярным произведением .

Но есть также перекрестное произведение, которое дает в качестве ответа вектор , который иногда называют векторным произведением .

Точечное произведение двух векторов

Линейная алгебра — Векторы: (урок 2 из 3)

Точечный продукт

Определение:

Скалярное произведение (также называемое внутренним произведением или скалярным произведением) двух векторов определяется как:

Где | A | и | B | представляет величины векторов A и B, — угол между векторами A и Б.

Расчет точечного произведения

Точечное или скалярное произведение векторов и может быть записано как:

Пример (расчет в двух измерениях):

Векторы A и B задаются и . Найдите точечный продукт двух векторов.

Решение:

Пример (расчет в трех измерениях):

Векторы A и B задаются и .Найдите точечный продукт двух векторов.

Решение:

Расчет длины вектора

Длина вектора равна:

Пример:

Вектор выдается по. Найдите | A | .

Решение:

Угол между двумя векторами

Угол между двумя ненулевыми векторами A и B равен

Пример: (угол между векторами в двух измерениях):

Определите угол между и .

Решение:

Нам понадобятся величины каждого вектора, а также скалярное произведение.

Угол,

Пример: (угол между векторами в трех измерениях):

Определите угол между и .

Решение:

Опять же, нам нужны величины, а также скалярное произведение.

Угол,

Ортогональные векторы

Если два вектора ортогональны , то: .

Пример:

Определите, являются ли следующие векторы ортогональными :

Решение:

Скалярное произведение —

Итак, два вектора ортогональны.

2.4 Произведения векторов — Университетская физика, том 1

Частица в магнитном поле

При движении в магнитном поле некоторые частицы могут испытывать магнитную силу. Не вдаваясь в подробности — подробное изучение магнитных явлений будет в следующих главах — давайте признаем, что магнитное поле B → B → является вектором, магнитная сила F → F → является вектором, а скорость u → u → частица — это вектор.. В каждом случае найдите величину F магнитной силы и угол θθ, который вектор силы F → F → образует с заданным вектором магнитного поля B → B →.

Стратегия

Сначала мы хотим найти векторное произведение u → × B → u → × B →, потому что тогда мы можем определить магнитную силу, используя F → = ζu → × B → F → = ζu → × B →. Звездная величина F может быть найдена либо с помощью компонентов F = Fx2 + Fy2 + Fz2F = Fx2 + Fy2 + Fz2, либо путем вычисления звездной величины | u → × B → || u → × B → | непосредственно используя уравнение 2.35. В последнем подходе нам нужно было бы найти угол между векторами u → u → и B → B →.Когда у нас F → F →, общий метод определения угла направления θθ включает вычисление скалярного произведения F → · B → F → · B → и подстановку в уравнение 2.34. Для вычисления векторного произведения мы можем либо использовать уравнение 2.40, либо вычислить произведение напрямую, в зависимости от того, что будет проще.

Решение

Компоненты вектора скорости равны ux = −5.0ux = −5.0, uy = −2.0uy = −2.0 и uz = 3.5uz = 3.5.

(a) Компоненты вектора магнитного поля равны Bx = 7.2Bx = 7.2, By = −1.0By = −1.0 и Bz = −2.) и его величина

F = Fx2 + Fy2 + Fz2 = ζ (8.3) 2+ (13.2) 2+ (19.4) 2 = 24.9ζ.F = Fx2 + Fy2 + Fz2 = ζ (8.3) 2+ (13.2) 2+ (19.4) 2 = 24,9 ζ.

Чтобы вычислить угол θθ, нам может потребоваться найти величину вектора магнитного поля,

B = Bx2 + By2 + Bz2 = (7.2) 2 + (- 1.0) 2 + (- 2.4) 2 = 7.6, B = Bx2 + By2 + Bz2 = (7.2) 2 + (- 1.0) 2 + (- 2.4) 2 = 7,6,

и скалярное произведение F → · B → F → · B →:

F → · B → = FxBx + FyBy + FzBz = (8.3ζ) (7.2) + (13.2ζ) (- 1.0) + (19.4ζ) (- 2.4) = 0. F → · B → = FxBx + FyBy + FzBz = (8.3ζ) (7.2) + (13.2ζ) (- 1.0) + (19.4ζ) (- 2.4) = 0.

Теперь подставляем в уравнение 2.).

Величина магнитной силы

F = Fx2 + Fy2 + Fz2 = ζ (−9,0) 2+ (22,5) 2+ (0,0) 2 = 24,2ζ. F = Fx2 + Fy2 + Fz2 = ζ (−9,0) 2+ (22,5) 2+ (0,0 ) 2 = 24,2ζ.

Поскольку скалярное произведение равно

F → · B → = FxBx + FyBy + FzBz = (- 9.0ζ) (0) + (22.5ζ) (0) + (0) (4.5) = 0, F → · B → = FxBx + FyBy + FzBz = (−9.0ζ) (0) + (22.5ζ) (0) + (0) (4.5) = 0,

вектор магнитной силы F → F → перпендикулярен вектору магнитного поля B → B →.

Значение

Даже без фактического вычисления скалярного произведения мы можем предсказать, что вектор магнитной силы всегда должен быть перпендикулярен вектору магнитного поля из-за способа построения этого вектора.А именно, вектор магнитной силы — это векторное произведение F → = ζu → × B → F → = ζu → × B → и, по определению векторного произведения (см. Рисунок 2.29), вектор F → F → должен быть перпендикулярен оба вектора u → u → и B → B →.

точечное произведение и кросс-произведение: свойства и примеры

Точечное произведение и кросс-произведение — это два типа векторного произведения. Основное различие между скалярным произведением и скалярным произведением состоит в том, что скалярное произведение всегда дает скалярное количество, а перекрестное произведение всегда определяет количество векторов.Скалярное произведение всегда используется для вычисления угла между двумя векторами.

Что такое скалярное произведение двух векторов?

Когда два вектора умножаются друг на друга и ответ является скалярной величиной, такое произведение называется скалярным произведением или скалярным произведением векторов.
Точка (.) Ставится между векторами, которые умножаются друг на друга, поэтому ее также называют «скалярным произведением».

Скаляр = вектор. Вектор

Примеры скалярного произведения векторов

• Произведение силы F и смещения S и есть работа «W».

то есть W = F . S

• Произведение силы F и скорости V — это мощность «P».

т.е. P = F . В

• Произведение электрической напряженности E и вектора площади A — это электрический поток Φ.

т.е. Φ = E. A

Формула скалярного произведения

Произведение абсолютных величин векторов на косинус угла между ними.Рассмотрим два вектора A и B, образующих угол θ друг с другом.

А. B = AB Cos θ

Где «B Cos θ» — это составляющая B вдоль вектора A и 0 ≤ θ ≤ π.

Свойства скалярного произведения

• Если вектор A параллелен B , то их скалярное произведение является максимальным.

т.е. А. B = AB Cos 0º = AB (1) = AB

• Скалярное произведение тех же векторов равно квадрату их величины.

А. A = AA Cos 0º = A² (1) = A²

• Если два вектора противоположны друг другу, их скалярное произведение будет отрицательным.

т.е. А. B = AB Cos 180º = AB (-1) = -AB

• Если вектор A перпендикулярен B, то их скалярное произведение минимально.

т.е. А. B = AB Cos 90º = AB (0) = 0

• Для единичных векторов i, j и k скалярное произведение одних и тех же единичных векторов равно 1, а для разных единичных векторов равно нулю.

т.е. i. я = Дж. j = к. k = 1
и
i. j = j. к = к. я = 0

Что такое векторное произведение двух векторов?

«Когда два вектора умножаются друг на друга, и ответ также является векторной величиной, тогда такое произведение называется векторным кросс-произведением или векторным произведением».
Крестик (×) ставится между векторами, которые умножаются друг на друга, поэтому его также называют «перекрестным произведением».т.е.
Вектор = Вектор × Вектор

примеров векторного произведения

• Произведение вектора положения « r » и силы « F » — это крутящий момент, который представлен как « τ ».

т.е. τ = r × F

• Произведение угловой скорости ω и радиус-вектора « r » и есть тангенциальная скорость.

т.е. В t = ω × r

Формула перекрестного произведения

Перекрестное произведение определяется соотношением
C = A × B = AB Sinθ u
Где u — единичный вектор, перпендикулярный как A, так и B.

Точечное произведение и векторное произведение двух векторов (видео)

Связанные темы на нашем сайте:

Как вычислить скалярное произведение двух векторов в Python?

В математике скалярное произведение , или также известное как скалярное произведение , представляет собой алгебраическую операцию, которая берет две последовательности чисел одинаковой длины и возвращает одно число. Даны два вектора A, и B, , и мы должны найти скалярное произведение двух векторов.

Учитывая, что,

и,

Где,

i: единичный вектор вдоль направления x

j: единичный вектор вдоль направления y

k: единичный вектор вдоль направления z

Тогда скалярное произведение вычисляется как:

Пример:

Даны два вектора A и B как,

Точечное произведение двух векторов в Python

Python предоставляет очень эффективный метод для вычисления скалярного произведения двух векторов.Это можно сделать с помощью метода numpy.dot () , который доступен в модуле NumPy.

Синтаксис:

numpy.dot (vector_a, vector_b, out = None)

Параметры:

vector_a: [array_like] если a является сложным, для вычисления комплексного сопряжения используется скалярного произведения.

vector_b: [array_like], если b является комплексным, его комплексное сопряжение используется для вычисления скалярного произведения.

out: [массив, необязательный] выходной аргумент должен быть C-смежным, а его dtype должен быть dtype, который будет возвращен для точки (a, b).

Возврат:

Точечное произведение векторов a и b. если vector_a и vector_b являются 1D, то возвращается скаляр

Пример 1:

Python

import numpy as a np 02 5 b = 7 печать (нп.точка (a, b))

Выход:

 35 

Пример 2:

Python

импорт num905 как импорт a = 3 + 1j b = 7 + 6j 02 точка (a, b))

Выход:

 (15 + 25j) 

Пример 3:

Python

02 n import as n a = [[ 2 , 1 ], [ 0 , 3 ] b [[ 1 , 1 ], [ 3 , 2 ]] печать (нп.точка (a, b))

Выход:

 [[5 4]
 [9 6]] 

Пример 4:

Python

import numpy as np a = 906 9090 [2 6906 1 ], [ 0 , 3 ]] b = [[ 1 , 9090] , 9090 , 2 ]] печать (нп.точка (b, a))

Выход:

 [[2 4]
 [6 9]] 

Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.

Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . И чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к курсу Машинное обучение - базовый уровень

Как рассчитать точечное произведение в R (с примерами)

---

Дан вектор a = [a ₁ , a ₂ , a ₃ ] и вектор b = [b ₁ , b ₂ , b ₃ ], точка произведение вектора a и вектора b, обозначенного как a · b , определяется как:

a · b = a ₁ * b ₁ + a ₂ * b ₂ + a ₃ * b ₃

Например, если a = [2, 5, 6] и b = [4, 3, 2], то скалярное произведение a и b будет равно:

a · b = 2 * 4 + 5 * 3 + 6 * 2

a · b = 8 + 15 + 12

а · б = 35

По сути, скалярное произведение - это сумма произведений соответствующих записей в двух векторах.

Как рассчитать скалярное произведение в R

Есть два способа быстро вычислить скалярное произведение двух векторов в R:

Метод 1: Использовать% *%

В следующем коде показано, как использовать функцию % *% для вычисления скалярного произведения между двумя векторами в R:

  #define vectors
а <- с (2, 5, 6)
Ь <- с (4, 3, 2)

# вычислить точечный продукт между векторами
а% *% б

     [, 1]
[1,] 35  

Скалярное произведение получается 35 .

Обратите внимание, что эта функция также работает для столбцов фрейма данных:

  #define data
df <- data.frame (a = c (2, 5, 6),
                 б = с (4, 3, 2))

# вычислить скалярное произведение между столбцами 'a' и 'b' фрейма данных
df $ a% *% df $ b

     [, 1]
[1,] 35  

Метод 2. Использование функции dot ()

Мы также можем вычислить скалярное произведение между двумя векторами, используя функцию dot () из библиотеки pracma :

  библиотека (pracma)

#define vectors
а <- с (2, 5, 6)
Ь <- с (4, 3, 2)

# вычислить точечный продукт между векторами
точка (а, б)

[1] 35  

И снова скалярное произведение между двумя векторами оказывается 35 .

Дополнительные ресурсы

Как вычислить скалярное произведение в Excel
Как вычислить скалярное произведение в Google Таблицах
Как вычислить скалярное произведение на калькуляторе TI-84

Как написать скалярное произведение (a • b) в LaTeX? | символ точки

Математически вы видите много умножений, в которых вместо крестиков используются точечные символы. Некоторые из этих умножений известны как векторные скалярные произведения. Векторные произведения всегда представлены точечными символами между двумя или более векторами.

Итак, чтобы представить этот скалярный продукт с помощью латекса, вам нужно воспользоваться командой \ cdot. И эта команда \ cdot всегда будет возвращать символ точки.

  \ documentclass {article}
\ begin {document}
  $$ \ vec {p} \ cdot \ vec {q} $$
\ end {document}  

Выход:

Обратите внимание на вывод выше. Здесь для знака стрелки вектора используется команда \ vec {}.

Вы могли бы выделить вектор полужирным шрифтом без стрелки.

  \ documentclass {article}
\ begin {document}
  $$ \ textbf {p} \ cdot \ textbf {q} $$
\ конец {документ}
  

Выход:

Итак, чтобы выделить конкретный текст жирным шрифтом, вам нужно вызвать команду \ textbf {}.

Латексный скалярный продукт в виде Cosθ.

Результат скалярного произведения выражается в виде тета-косинуса, который является скаляром. Для этого символа cos theta необходимо одновременно использовать команды cos и theta.И вам не нужно передавать аргументы между двумя командами.

  \ documentclass {article}
\ begin {document}
  $$ \ vec {p} \ cdot \ vec {q} = \ left | \ vec {p} \ right | \ left | \ vec {q} \ right | \ cos \ theta $$
\ end {document}  

Выход:

Однако, чтобы получить абсолютное значение вектора, вектор должен быть передан через \ left | и \ право | команда.

Результат скалярного произведения в виде вектора положения

Если вы знаете положение двух векторов, вы можете легко определить скалярное произведение между ними.И в этом случае нужно знать, как определять векторы положения с помощью латекса.

  \ documentclass {article}
\ begin {document}
  $$ \ vec {p} = (x_ {1} \ hat {i} + y_ {1} \ hat {i} + z_ {1} \ hat {i}) $$
  $$ \ vec {q} = (x_ {2} \ hat {i} + y_ {2} \ hat {i} + z_ {2} \ hat {i}) $$
  $$ \ vec {p} \ cdot \ vec {q} = x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2} $$
\ end {document}  

Выход:

Итак, посмотрите на эту программу выше. Здесь единичный вектор обозначается заглавной буквой.И для этого вы должны использовать команду \ hat и передать букву (i, j, k), на которой вы хотите видеть символ шляпы (Â) в качестве аргумента.

Результат скалярного произведения в виде матричного продукта

Вы заметите много научных книг или исследовательских работ, в которых скалярные произведения записываются как произведение матрицы строк и столбцов.

Итак, если мы возьмем два вектора, один должен быть записан в виде матрицы-строки, а другой - в виде матрицы-столбца. Поэтому, если вы умножите матрицу между ними, вернется результат скалярного произведения.

  \ documentclass {article}
\ usepackage {amsmath}
\ begin {document}
  $$ \ vec {p} \ cdot \ vec {q} =
   \ begin {pmatrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \ end {pmatrix}
   \ begin {pmatrix} x_ {2} \\ y_ {2} \\ z_ {2} \ end {pmatrix} $$
\ конец {документ}
  

Выход:

Вектор тройной Изделие из латекса

Тройное произведение - это комбинация скалярного произведения и перекрестного произведения.

  \ documentclass {article}
\ begin {document}
  $ \ vec {a} \ cdot (\ vec {b} \ times \ vec {c} \,) $
\ end {document}  

Выход:

Для меток крестиков можно использовать команду \ times.И команда s создаст светлое пространство между p-вектором и закрывающей скобкой

.