Таблица истинности показывает, как выход логической схемы реагирует на различные комбинации входов, используя логическую 1 для истинного и логический 0 для ложного. Все перестановки входов перечислены слева, а выход схемы указан справа. Желаемый результат может быть достигнут комбинацией логических вентилей. Показана таблица истинности для двух входов, но ее можно расширить до любого количества входов. Входные столбцы обычно строятся в порядке двоичного счета с количеством битов, равным количеству входов.

Концепции электроники

Цифровые схемы

3.2: Таблицы истинности — Союз (и), Дизъюнкция (или), Отрицание (не)

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Дэвид Липпман
• Колледж Пирса через OpenTextBookStore

Поскольку сложно представить сложные операторы, мы можем создать таблица истинности , чтобы отслеживать, какие значения истинности для простых утверждений делают сложное утверждение истинным, а какое ложным.

Таблица истинности

Таблица, показывающая результирующее значение истинности сложного утверждения для всех возможных значений истинности для простых утверждений.

Пример 1

Предположим, вы выбираете новый диван, и ваша вторая половинка говорит: «Купите секционный или что-нибудь с шезлонгом».

Это сложное утверждение, состоящее из двух более простых условий: «является секционным» и «имеет фаэтон». Для простоты давайте использовать p для обозначения «является секционным», а q для обозначения «имеет шезлонг».

Таблица истинности для этой ситуации будет выглядеть так:

\(\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & p \text { or } q \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\ \hline
\end{массив}\)

В таблице , T используется для true, а F для false. В первой строке, если p истинно и q также истинно, то сложное утверждение «p или q » верно. Это будет секционная, в которой также есть шезлонг, что соответствует нашему желанию. (Помните, что или в логике не являются исключающими; если диван имеет обе функции, он соответствует условию.)

В предыдущем примере с кушеткой таблица истинности просто обобщала то, что мы уже знаем о том, как работают операторы или . Ниже показаны таблицы истинности для основных утверждений и , или и , а не .

Базовые таблицы истинности

Отрицание — Выражает «не», что означает противоположное истинностное значение.

\(\begin{array}{|c|c|}
\hline p & \sim p \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline
\end{array}\)

Союз — Выражает «и», что означает, что и p, и q должны быть истинными.

\(\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & p \wedge q \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T }\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{ F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline
\end{массив}\)

Дизъюнкция — Выражает «или», что означает, что либо p, либо q могут быть истинными, либо оба.

\(\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & p \vee q \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T } \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline
\end {массив}\)

Таблицы истинности становятся действительно полезными, когда мы анализируем более сложные утверждения.

Пример 2

Создайте таблицу истинности для утверждения \(p \vee \sim q\)

Решение

Когда мы создаем таблицу истинности, нам нужно перечислить все возможные комбинации значений истинности для \(p \) и \(q\). Обратите внимание, что первый столбец содержит 2 T, за которыми следуют \(2 ~\mathrm{Fs}\), а второй столбец чередует \(\mathrm{T}, \mathrm{F}, \mathrm{T}\), F , Этот шаблон гарантирует, что будут учтены все 4 комбинации.

\(\begin{array}{|c|c|}
\hline p & q \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{T} & \ mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline
\end{массив}\)

После создания столбцов с этими начальными значениями мы создаем третий столбец для выражения \(\sim q\). Теперь мы временно проигнорируем столбец для \(p\) и запишем истинные значения для \(\sim q\)

\(\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & \sim q \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \ mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline
\end{array}\)

Далее мы можем найти истинные значения \(p \vee \sim q,\), используя первый и третий столбцы.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline p & q & \sim q & p \vee \sim q \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} & \ mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \ mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline
\end{array}\)

Таблица истинности показывает, что \(p \vee \sim q\) верно в трех случаях и ложно в одном случае . Если вам интересно, в чем смысл этого, предположим, что это последний день бейсбольного сезона, и две команды, которые не играют друг с другом, соревнуются за финальное место в плей-офф. Анахайм выйдет в плей-офф, если выиграет свою игру или , если Бостон не выиграет свою игру. (Анахайм владеет тай-брейком; если обе команды выигрывают или если обе команды проигрывают, то Анахайм получает место в плей-офф.) Если \(p=\) Анахайм выигрывает свою игру и \(q=\) Бостон выигрывает свою игру, тогда \(p \vee\) \(\sim q\) представляет ситуацию «Анахайм выигрывает свою игру или Бостон не выигрывает свою игру». Таблица истинности показывает нам различные сценарии, связанные с выходом Анахайма в плей-офф. В первом ряду Анахайм выигрывает свою игру, а Бостон выигрывает свою игру, так что это правда, что Анахайм выходит в плей-офф. Во втором ряду выигрывает Анахайм, а не Бостон, так что это правда, что Анахайм выходит в плей-офф. В третьем ряду Анахайм не выигрывает свою игру, а Бостон выигрывает свою игру, так что это 9.0488 false что Анахайм выходит в плей-офф. В четвертом ряду Анахайм не побеждает, а Бостон не побеждает, так что это правда, что Анахайм выходит в плей-офф.

Попробуйте сейчас 1

Создайте таблицу истинности для этого утверждения: \(\sim p \wedge q\)

Ответ

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline p & q & \sim p & \sim p \wedge q \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{ T} и \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \ mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline
\end{массив}\)

Пример 3

Создайте таблицу истинности для утверждения \(p \wedge \sim(q \vee r)\)

Решение

Это помогает работать изнутри наружу при создании таблицы истинности, и создавать столбцы в таблице для промежуточных операций. Начнем с перечисления всех возможных комбинаций значений истинности для \(p, q,\) и \(r .\). Обратите внимание, что первый столбец содержит 4 T, за которыми следуют \(4 \mathrm{Fs}\), второй столбец содержит \(2 \mathrm{Ts}, 2 \mathrm{Fs}\), затем повторяется, и последний столбец чередуется \(\mathrm{T}, \mathrm{F}, \mathrm{T}, \mathrm{ F} \ldots\) Этот шаблон гарантирует, что будут учтены все 8 комбинаций. После создания столбцов с этими начальными значениями мы создаем четвертый столбец для самого внутреннего выражения, \(q \vee r .\). Теперь мы временно проигнорируем столбец для \(p\) и сосредоточимся на \(q\) и \ (r\), записывая значения истинности для \(q \vee r\)

\(\begin{array}{|c|c|c|}
\hline p & q & r \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{ T} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{ T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{ Ф}\
\hline
\end{массив}\)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline p & q & r & q \vee r \\
\hline \ mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{T} & \ mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline
\end{массив}\)

Далее мы можем найдите отрицание \(q \vee r\), работая с столбцом \(q \vee r\), который мы только что создали. (Игнорируйте первые три столбца и просто инвертируйте значения в столбце \(q \vee r\).)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & r & q \vee r & \sim(q \vee r) \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{ F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \ mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline
\end{array}\)

Наконец, мы находим значения \(p\) и \(\sim(q \vee r)\). (Второй, третий и четвертый столбцы игнорируйте.)

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & r & q \vee r & \sim (q \vee r) & p \wedge \sim (q \vee r \text { ) } \\
\hline \text { T } & \text { T } & \text { T } & \text { T } & \text { F } & \text { F } \\
\hline \text { T } & \ текст { T } & \text { F } & \text { T } & \text { F } & \text { F } \\
\hline \text { T } & \text { F } & \text { T } & \text { T } & \text { F } & \text { F } \\
\hline \text { T } & \text { F } & \text { F } & \text { F } & \text { T } & \text { T } \\
\hline \text { F } & \text { T } & \text { T } & \text { T } & \text { F } & \text { F } \\
\hline \text { F } & \text { T } & \text { F } & \text { T } & \text { F } & \text { F } \\
\hline \text { F } & \ текст { F } & \text { T } & \text { T } & \text { F } & \text { F } \\
\hline \text { F } & \text { F } & \text { F } & \text { F } & \text { T } & \text { F } \\
\hline
\end{array}\)

Оказывается, это сложное выражение верно только в одном случае: когда \( p\) истинно, \(q\) ложно, а \(r\) ложно. Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, предположим, что Анахайм выйдет в плей-офф, если: (1) Анахайм выиграет и (2) ни Бостон, ни Кливленд не выиграют. TFF — единственный сценарий, при котором «Анахайм» выйдет в плей-офф.

Попробуйте сейчас 2

Создайте таблицу истинности для этого утверждения: \((\sim p \wedge q) \vee \sim q\)

Ответ

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline p & q & \sim p & \sim p \wedge q & \sim q & (\sim p \ клин q) \vee \sim q \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} \\
\hline \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} \\
\hline \mathrm{F} & \ mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{F} & \mathrm{T} & \mathrm{T} \\
\hline
\end{массив}\)

Вы, наверное, заметили, что разные таблицы истинности имеют разное количество строк в зависимости от того, сколько у нас переменных (или простых выражений). Когда есть только одно простое утверждение (например, наша таблица истинности для отрицания), у нас есть две строки, одна для истинности, а другая для ложности. Когда у нас есть два простых утверждения, \(p\) и \(q\), в таблице истинности есть четыре строки. В примере 3 у нас было три простых утверждения \(p\), \(q\) и \(r\) с восемью строками в таблице истинности. Таким образом, для каждого нового простого оператора количество строк удваивается. Этот шаблон продолжается, поэтому мы можем обобщить его следующим образом. 9к\) строк.

Логически эквивалентны

Два утверждения являются логически эквивалентными , если они имеют одинаковые простые утверждения и при вычислении их таблиц истинности конечные столбцы в таблицах идентичны.

Законы Де Моргана

Отрицание конъюнкции логически эквивалентно дизъюнкции отрицания утверждений, составляющих конъюнкцию. Чтобы отрицать оператор «и», отрицайте каждую часть и замените «и» на «или».

\(\sim(p \wedge q)\) логически эквивалентно \(\sim p \vee \sim q\)

Отрицание дизъюнкции логически эквивалентно конъюнкции отрицания утверждений, составляющих дизъюнкция. Чтобы отрицать оператор «или», отрицайте каждую часть и замените «или» на «и».

\(\sim(p \vee q)\) логически эквивалентен \(\sim p \wedge \sim q\)

Пример 4

На День святого Валентина вы не получили любимые цветы или конфеты: Какое из следующих утверждений логически эквивалентно?

1. Вы не подарили им цветы или конфеты.
2. Ты не дарил им цветы и не дарил им конфет.
3. Ты подарил им цветы или конфеты.

Решение

1. Это утверждение недостаточно далеко; это оставляет открытой возможность того, что вы получили одну из двух вещей.
2. Это утверждение эквивалентно исходному; \(\sim (f \vee c)\) эквивалентно \(\sim f \wedge \sim c\)
3. Это утверждение говорит о том, что вы что-то им принесли, но мы знаем, что это не так.

Попробуйте сейчас 3

Чтобы стать президентом США, человек должен родиться в США, быть не моложе 35 лет и прожить в США не менее 14 лет.

alexxlab