§21.Момент инерции.

Определение: Моментом инерции материальной точки относительно неподвижной оси называется скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности этой точки при вращательном движении и, равная произведению её массы на квадрат расстояния до оси, т.е. , а также, где- угловая скорость тела относительно данной оси.

Определение: Моментом инерции системы материальных точек относительно неподвижной оси называется скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности этой системы при вращательном движении и, равная алгебраической сумме произведений масс всех материальных точек системы на квадрат их расстояний до оси, т.е. .

Момент инерции определен только относительно оси.

В случае непрерывного распределения масс с плотностью сумма за­менится на интеграл по всему объему тела: (Интегрирование производится по всему объёму; пределы интегрирования устанавливаются исходя из конфигурации тела и его размеров).

Если тело однородно, то его плотность во всех точках постоянна и можно вынести из-под знака интеграла.

Найдем моменты инерции для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему, т.е. .

1. Момент инерции обручаотносительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через его центр.

Обруч считается бесконечно тонким, т.е. толщиной обода можно пре­небречь по сравнению с радиусом R.. Поскольку в этой системе все массы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, R²можно вынести из-под знака интеграла:, где

m— полная масса обруча.

2. Момент инерции дискаотносительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр. Диск считается бесконечно тонким, т.е. его толщина много меньше ра­диуса R.Момент инерции, согласно определению, величина аддитивная: момент инерции целого тела равен сумме моментов инерции его частей. Разобьем диск на бесконечно тонкие обручи радиусомsи толщинойds (См.рис.).

Момент инерции диска относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр.

Площадь поверхности обруча равна произведению его длины на толщину: 2  s ds.Поскольку массатдиска распределена равномерна, масса обручаdmпропорциональна площади его поверхности:

.

Момент инерции обруча мы уже знаем: . Осталось просуммировать моменты инерции всех таких обручей:.

Такой же результат получится и для момента инерции цилиндра конеч­ной длины относительно его продольной оси.

3. Момент инерции шараотносительно его диаметра. Поступим аналогичным образом: «нарежем» шар на бесконечно тон­кие диски толщинойdz.находящиеся на расстоянии

zот центра (См.рис.).

Момент инерции шара относительно диаметра.

Радиус такого диска равен . Объем дискаdV_z равен произведению его площади на толщину:

. Массу дискаdmнаходим, разде­лив массу шаратна его объем, умножив на объем диска:

.

Момент инерции диска был найден выше. В применении к данному слу­чаю, он равен:

.

Момент инерции шара находится интегрированием по всем таким дискам:

4.Момент инерции тонкого стержня

относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню.

Пусть стержень имеет длину ℓ.Направим осьxвдоль стержня. Начало координат по условию находится в центре стрежня. Возьмем эле­мент стержня длинойdx.находящийся на расстоянииxот оси враще­ния. Его масса равна

dm = (m/ℓ) dx,а момент инерцииdJ=(m/ℓ) x²  dx. Отсюда находим момент инерции стрежня:

(*).

Момент инерции величина аддитивная, т.е. суммарный момент инерции системы тел относительно какой-либо оси, равен сумме моментов инерции каждого из тел данной системы относительно той же оси:

Физический смысл момента инерции:Инерционные свойства при поступательном движении характеризуются только массой тела, т.е. зависит только от массы. Инерционные свойства при вращательном движении характеризуются моментом инерции, т.е. зависят от его массы, расстояния до оси вращения и расположению теда по отношению к этой оси. Последнее означает, что относительно двух разных осей инерционные свойства вращательного движения одного и того же движения тела будут разными. Пример.

момент инерции | это… Что такое момент инерции?

ТолкованиеПеревод

момент инерции

3.24 момент инерции (moment of inertia): Интегральная сумма произведений массы отдельных частей тела на квадраты расстояний (радиусов) их центров тяжести от заданной оси.

Источник: ГОСТ Р 52776-2007: Машины электрические вращающиеся. Номинальные данные и характеристики оригинал документа

2.25. Момент инерции — момент инерции (динамический) тела относительно оси, представляющий собой сумму (интегральную) произведений масс его отдельных частей на квадраты их расстояний от оси.

Примечание. Эта величина обозначается буквенным символом I и выражается в кг · м².

Источник: ГОСТ 28173-89: Машины электрические вращающиеся. Номинальные данные и рабочие характеристики оригинал документа

Смотри также родственные термины:

3.18 момент инерции (динамический момент инерции) ротора: Сумма произведений масс всех частиц ротора на квадраты расстояний от оси его вращения.

Определения термина из разных документов: момент инерции (динамический момент инерции) ротора

Источник: СТО 17330282.27.140.019-2008: Гидрогенераторы. Условия поставки. Нормы и требования

27. Момент инерции лопасти несущего винта относительно горизонтального и вертикального шарниров

Момент инерции лопасти

 

Момент инерции массы лопасти несущего винта и других агрегатов, совершающих вместе с лопастью маховое движение:

Определения термина из разных документов: Момент инерции лопасти несущего винта относительно горизонтального и вертикального шарниров

Источник: ГОСТ 22499-77: Аппараты винтокрылые. Механика полета в атмосфере. Термины, определения и буквенные обозначения оригинал документа

3.8 момент инерции механизма : Приведенный к валу электродвигателя момент инерции сочлененного с ним механизма.

Определения термина из разных документов: момент инерции механизма

Источник: СТО 70238424.29.160.30.002-2009: Электродвигатели. Организация эксплуатации и технического обслуживания. Нормы и требования

28. Момент инерции несущего винта

J_ω

Суммарный момент инерции массы лопастей и всех кинематически связанных с ним агрегатов, приведенный к оси вращения несущего винта.

Примечание. Кинематически связанные с несущим винтом агрегаты определяются в каждом конкретном случае

Определения термина из разных документов: Момент инерции несущего винта

Источник: ГОСТ 22499-77: Аппараты винтокрылые. Механика полета в атмосфере. Термины, определения и буквенные обозначения оригинал документа

Момент инерции поперечного сечения распорного кольца, мм⁴ (см⁴)

I_к

Определения термина из разных документов: Момент инерции поперечного сечения распорного кольца, мм⁴ (см⁴)

Источник: ГОСТ 25859-83: Сосуды и аппараты стальные. Нормы и методы расчета на прочность при малоцикловых нагрузках оригинал документа

74 момент инерции электропривода: Сумма моментов инерции всех движущихся масс электропривода при приведении их к скорости элемента приведения электропривода

Определения термина из разных документов: момент инерции электропривода

Источник: ГОСТ Р 50369-92: Электроприводы. Термины и определения оригинал документа

Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации. academic.ru. 2015.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

• момент затяжки М
• момент инерции (динамический момент инерции) ротора

Полезное

Теорема о параллельных осях

Теорема о параллельных осях

Момент инерции относительно конца Сплошной цилиндр массой m= кг и радиус R = см будет иметь момент инерции относительно своей центральной оси: I центральная ось = кг м 2 Для цилиндра длиной L = м, показаны моменты инерции цилиндра относительно других осей. 900 16 Моменты инерции для предельных геометрий с этой массой равны: I центральный диаметр = кг м 2 I торцевой диаметр = кг м 2 I диаметр тонкого диска = кг м 2 I тонкий наконечник стержня = кг м 2 Показать развитие выражений Полый корпус цилиндра

Индекс Момент инерции понятия

90 016 Гиперфизика***** Механика R Ступица Назад Выражение для момента инерции сплошного цилиндра можно построить из момента инерции тонких цилиндрических оболочек. Используя общее определение момента инерции: Элемент массы может быть выражен через бесконечно малую радиальную толщину dr по Подстановка дает полиномиальную форму интеграла: Показать форму интеграла Индекс Понятия момента инерции   Гиперфизика***** Механика R Ступица Назад Выражение для момента инерции полого цилиндра или кольца конечной толщины получается тем же способом, что и для сплошного цилиндра. Процесс включает сложение моментов бесконечно малых цилиндрических оболочек. Единственное отличие от сплошного цилиндра состоит в том, что интегрирование происходит от внутреннего радиуса a к внешнему радиусу b: Показать разработку интегральной тонкой оболочки Индекс Момент инерции понятия   90 016 Гиперфизика***** Механика R Ступица Назад При построении выражения для момента инерции цилиндра относительно диаметра на его конце (ось x на диаграмме) используются как теорема о параллельной оси, так и теорема о перпендикулярной оси. Подход включает в себя нахождение выражения для тонкого диска на расстоянии z от оси и суммирование по всем таким дискам. Получение момента инерции полного цилиндра около диаметра на его конце включает суммирование по бесконечному числу тонких дисков на различных расстояниях от этой оси. Это включает интеграл от z=0 до z=L. Для любого заданного диска на расстоянии z от оси x использование теоремы о параллельной оси дает момент инерции относительно оси x. Теперь, выражая элемент массы dm через z, мы можем проинтегрировать по длине цилиндра. Эта форма может показаться правдоподобной, если вы заметите, что она представляет собой сумму выражений для тонкого диска около диаметра плюс выражение для тонкого стержня на его конце. Если вы возьмете предельный случай R = 0, вы получите выражение тонкого стержня, а если вы возьмете случай, когда L = 0, вы получите выражение тонкого диска. На последних шагах используются полиномиальные формы интегралов. Моменты инерции тонкого диска Индекс Момент инерции понятия   90 016 Гиперфизика***** Механика R Ступица Вернуться назад OpenStax College Physics, глава 10, задача 11 (задачи и упражнения) Вопрос Рассчитайте момент инерции конькобежца, используя следующую информацию. (a) Фигурист весом 60,0 кг аппроксимирован как цилиндр с радиусом 0,110 м. (b) Фигурист с вытянутыми руками примерно представляет собой цилиндр массой 52,5 кг, радиусом 0,110 м и двумя диаметрами 0,9 м.22,34 кг⋅м2 Видеорешение Чтобы посмотреть это решение, вам необходимо иметь подписку. Начать бесплатную пробную версиюВойти голосов с рейтингом 1″>голоса со средним рейтингом . Пред. Выберите проблему Следующий Калькулятор Скриншоты Стенограмма видео Это ответы по физике в колледже с Шоном Дычко. Момент инерции фигуристки, когда ее руки находятся рядом с ней, моделируется в виде цилиндра, и формула для этого равна произведению общей массы на квадрат радиуса цилиндра, деленному на два. Мы должны были найти эту формулу в таблице, которую нам дали в цифре десять точка двенадцать. Таким образом, 60 кг массы умножить на 0,11 метра в квадрате радиуса, деленное на два, что равно 0,363 килограмма в квадрате на метр. Затем во второй части нам говорят, что она вытягивает руки в стороны, и вот новая картинка, где по-прежнему ее цилиндрическое тело посередине, но теперь оно имеет массу всего 52,5 килограмма вместо 60. Остальное масса находится в ее вытянутых руках 0,9метров от центра ее тела. Суммарный момент инерции будет равен моменту инерции цилиндра плюс момент инерции двух вытянутых рук. Мы можем сложить их вместе, потому что помните, что момент инерции является вращательным аналогом массы, когда мы говорим о линейных ситуациях. Точно так же, как если бы у вас были два блока, поставленные друг на друга, вы могли бы сложить их массу, точно так же, когда вы говорите о вращательной ситуации, вы можете таким же образом сложить моменты инерции, потому что они аналогичны друг другу масса и момент инерции. Хорошо. Итак, цилиндрическая часть, ее тело посередине, эта часть прямая, это та же формула, что и раньше, масса ее тела, умноженная на квадрат радиуса, деленная на два. Теперь, что касается рук, вопрос предлагает смоделировать каждую руку как стержень, который вращается вокруг оси на конце. Но ради интереса я решил сделать немного по другому и сказать, что давайте предположим, что это один очень длинный стержень с осью вращения в центре. Формула для этого представляет собой общую массу стержня, умноженную на его длину в квадрате, деленную на 12. В любом случае это дает один и тот же ответ. Итак, имеем 52 с половиной килограмма умножить на 0,11 метра в квадрате разделить на два — это момент инерции тела плюс общая масса обеих рук, два раза по три и три четверти килограмма, умножить на общую длину, которая равна 1,8 метра, и вы возводите это в квадрат, делите на 12, потому что так говорит формула, и вы получаете 2,34 килограмма на метр в квадрате — это момент инерции. Таким образом, вы можете видеть, что момент инерции фигуристки резко меняется, когда она просто вытягивает руки. alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника