До сих пор мы видели таблицы истинности, используемые для определения операторов. У них есть и другое применение: они позволяют классифицировать и сравнивать утверждения, оценивать их логические свойства, проверять аргументы на достоверность и определять правила вывода и замены. Таблица истинности показывает все значения истинности, которые может иметь данное утверждение или набор утверждений. Но давайте немного отступим.

В предыдущем разделе мы ввели функциональные определения операторов. С этой информацией (представленной на таблицах истинности, которые показывают все возможные значения, которые могут иметь «p» и «q»), у нас есть достаточно информации, чтобы мы могли «вычислить» или определить истинностное значение составных утверждений, пока мы знаем истинностные значения составляющих их простых утверждений.

Например, поскольку мы знаем, что

«Бананы — это фрукты» верно

и «Яблоки — это фрукты» верно

и «Груши — это фрукты» верно,

мы можем выяснить, что это утверждение:

B ⊃ (A ∙ ~P)

ложно.

Как? Перечислите значения истинности под буквами, а затем объедините значения в соответствии с определениями пяти операторов, начиная с наименьшей единицы и заканчивая наибольшей.

В этой таблице показаны значения этих трех утверждений. Каждый из них верен, поэтому у нас есть буква «Т» под каждым утверждением; и поскольку происходит отрицание «Груши — это фрукты» («Груши — это не фрукты»), у нас есть «Ф» под тильдой.

Самый простой или наименьший уровень, на котором могут быть выполнены любые «расчеты», — это отрицание простого утверждения. Следующий уровень находится в соединении отрицания с утверждением «Яблоки — это фрукты». Утверждение, что «яблоки — это фрукты, а груши — нет», неверно, поэтому буква «F» ставится под точкой.

Это точечное утверждение является следствием условного предложения, а антецедент условного предложения истинен, поэтому само условие ложно; буква «F» идет под подковой. Я покрасил его в красный цвет, чтобы сделать его более заметным.

Теперь, в этом однострочном формате, единственный способ выровнять эти символы — это представить их в таблице. Но таблица, показывающая нам, что B ⊃ (A ∙ ~P) ложна, — это , а не , что мы назовем «таблицей истинности». Таблица истинности показывает все возможные значения истинности, которые могут иметь простые утверждения в составе или наборе соединений, и показывает результат этих значений; это всегда не менее двух строк. Пример, который мы здесь рассматриваем, просто вычисляет значение одного составного оператора, не демонстрируя всех возможностей, которые предоставляет форма этого оператора.

Таблицы, которые мы использовали для определения операторов, повторенные ниже, являются таблицами истинности. Для этих утверждений нет комбинаций значений истинности, которые не были бы показаны.

Отрицание

Соединение

Разъединение

Материал Условный

Биусловный

Таблицы истинности обеспечивают функциональное определение пяти операторов. С помощью этих определений мы можем вычислить истинностное значение составных утверждений, как только узнаем истинностные значения простых, из которых они состоят. Вот несколько примеров и несколько упражнений, в которых вы можете попрактиковаться.

Джеймс Фармер преподавал Историю движения за гражданские права в Мэри Вашингтон.

Мартин Лютер Кинг преподавал теологию в Мэри Вашингтон.

Так как первое из них истинно, а второе ложно, то союз, составленный из них (F . K), ложен.

Если Кинг преподавал теологию или Фармер преподавал Гражданские права в Мэри Вашингтон, то крупная фигура Движения за гражданские права была членом факультета UMW.

У этого условного предложения есть дизъюнкция для предшествующего:

(K v F) ⊃ M

K = Кинг преподавал в UMW

F = Фермер преподавал в UMW

M = крупный деятель CRM был на факультете.

(К в Ф) ⊃ М

Я отметил истинные значения: первое, которое мы можем ввести, выделено жирным шрифтом, потому что K v F — наименьшая единица; второй — наклонный, который объединяет значение из K v F со значением M. Кстати, не делайте вывод из этого примера, что первое значение, которое вы можете вычислить, всегда будет самым левым. Последнее значение, которое вы можете указать, — это то, что называется основным оператором: этот оператор является условным, его основной оператор — подкова.

Вот еще несколько вариантов, на которых вы можете попрактиковаться:

1. Обама и Клинтон — демократы, если Кристи — республиканец.

2. Либо Клинтон будет баллотироваться, либо Кристи — демократ.

3. Если Клинтон баллотируется, то ей не менее 35 лет.

4. Обама является главнокомандующим тогда и только тогда, когда он президент.

5. Родиться в Америке — необходимое условие для того, чтобы стать президентом.

6. Если родиться здесь — необходимое условие для бега, то Шварценеггер не может бегать.

7. Быть здоровым является достаточным условием для того, чтобы быть действительным, а быть действительным является необходимым условием для того, чтобы быть здоровым; кроме того, дедуктивность является необходимым условием правильности и достоверности.

8. Если либо Юм не изобретал таблицы истинности, либо Витгенштейн не написал «Трактат», то парадокс Рассела был плохой новостью для Фреге; но Кант отрицал, что «существование» было предикатом только в том случае, если аристотелевская логика господствовала в течение двух тысяч лет.

9. Либо Юм не изобретал таблицы истинности, либо Витгенштейн написал «Трактат», и парадокс Рассела был плохой новостью для Фреге, только если Кант отрицал, что «существование» было предикатом, учитывая, что аристотелевская логика господствовала в течение двух тысяч лет.

10. Если неверно и то, что Юм изобрел таблицы истинности, и то, что Кант отрицал, что «существование» является предикатом, то, учитывая господство аристотелевской логики в течение двух тысяч лет, написание «Трактата» Витгенштейном подразумевает, что парадокс Рассела был плохой новостью для Фреге.

Ответы:

1. Обама и Клинтон — демократы, если Кристи — республиканец. C > (O.C)

2. Либо Клинтон будет баллотироваться, либо Кристи — демократ. C v D

3. Если Клинтон баллотируется, то ей не менее 35 лет. С > Т

4. Обама является главнокомандующим тогда и только тогда, когда он президент. O ≡ C

5. Родиться в Америке – необходимое условие для того, чтобы стать президентом. P > A

6. Если рождение здесь является необходимым условием для бега, то Шварценеггер не может бегать. (P > R) > ~S

7. Быть здоровым — это достаточное условие для того, чтобы быть действительным, а быть действительным — это необходимое условие для того, чтобы быть здоровым; кроме того, дедуктивность является необходимым условием правильности и достоверности. [(S > V) . (S > V)] . [(S v V) > D]

8. Если либо Юм не изобретал таблицы истинности, либо Витгенштейн не написал «Трактат», то парадокс Рассела был плохой новостью для Фреге; но Кант отрицал, что «существование» было предикатом только в том случае, если аристотелевская логика господствовала в течение двух тысяч лет.

[(~H v W) > R] . (K > A)

H = f ; Вт = т; Р = т; К= т; A= t

9. Либо Юм не изобретал таблицы истинности, либо Витгенштейн написал «Трактат», и парадокс Рассела был плохой новостью для Фреге, только если Кант отрицал, что «существование» было предикатом, учитывая, что аристотелевская логика господствовала в течение двух тысяч лет. .

A > [(~H v W) . (R > K)]

10. Если неверно и то, что Юм изобрел таблицы истинности, и то, что Кант отрицал, что «существование» было предикатом, то, учитывая, что аристотелевская логика доминировала в течение двух тысяч лет, написание Витгенштейном «Трактата» подразумевает, что парадокс Рассела было плохой новостью для Фреге.

~(H . K) > [A > (W > R)]

Канонические функции | CircuitVerse

Оглавление

1. Введение
2. Формирование таблицы истинности
3. Формирование таблицы истинности
4. Сумма выражений произведений (СОП)
5. Произведение суммы выражений (POS)
6. Канонические выражения
   1. Minterms
   2. Макстермс
7. Преобразование канонических форм
8. Преобразование минимальной формы в каноническую
   1. Минимальная POS в каноническую POS
   2. От минимальной СОП до канонической СОП
9. Пример алгебраического упрощения
10. Неопределенный ввод и безразличие
11. Попробуйте интерактивный генератор таблиц истинности
12. Методы упрощения булевой функции

Введение

Логические функции состоят из двух компонентов: переменных и логических операций (И, ИЛИ, НЕ. .. и т. д.). Любое уравнение со смесью этих двух компонентов образует булеву функцию. Значение переменных может быть или не быть заранее определенным. Сокращенное обозначение булевой функции состоит в том, что она представлена ​​заглавной буквой F, за которой следует скобка, состоящая из всех переменных этого уравнения, разделенных запятой (‘,’). Вы можете представить любое логическое выражение в виде таблицы истинности. Подпишитесь, чтобы узнать Как? Рассмотрим следующий пример:

 Пример:
Сокращенная запись, представляющая логическое выражение
/
F(A,B) = A + B //Это логическая функция, состоящая из переменных A и B
F (А, В, С) = А (В + С (А + В))
\
Логическое выражение
 

Формирование таблицы истинности

Таблица истинности формируется путем оценки логического выражения для каждого значения истинности переменной. Теперь значения истинности переменной либо «истина», либо «ложь». Суть в том, чтобы оценить значение логического выражения для каждой комбинации истинностных значений присутствуют переменные. (количество переменных) комбинаций. Следуйте приведенным ниже примерам, чтобы узнать, как сопоставить эти значения.

 Пример:
F (А, В) = А + В
 

Таблица истинности::

 Здесь у вас есть 4 комбинации для 2 переменных, попробуйте понять следующий пример, где переменные 3, которые
предполагает 8 комбинаций. Запишите, как истинные значения переменной записываются в каждом столбце для
каждая переменная.
Пример:
F(A,B,C) = A + B.C
 

Формирование таблицы истинности

Таблица истинности показывает таблицу, содержащую все комбинации входных данных и соответствующие им результаты.

Уравнение переключения также можно преобразовать в таблицу истинности. Например, рассмотрим уравнение переключения: F(A,B,C) = A + BC.

Сумма выражений продукта (SOP)

Давайте рассмотрим более сложное выражение F(A, B, C, D) = AB'C + BD + CD + D . Сгенерируем таблицу истинности:

В этом примере интересное наблюдение заключается в том, что вы выполняете оценку суммы продуктов, то есть AB'C + BD + CD + D — это сумма продуктов. Значение суммы произведения заключается в том, что когда вы выполняете + , вы фактически вызываете оператор ИЛИ .

Более того, оператор ИЛИ возвращает true , пока любой из его аргументов возвращает верно . Следовательно, если любых слагаемых в выражениях суммы произведений (SOP) равно true , то вы точно знаете, что конечное выражение true .

Продукт выражений суммы (POS)

Давайте посмотрим на другое выражение F(A, B, C, D) = (A + B + C + D')(A + B' + C' + D)(A' + B' + C + Д') . Сгенерируем таблицу истинности:

Судя по алгебраическому выражению, видно, что выражение является произведением сумм . Такое выражение называется выражением Product of Sum или сокращенно POS .

Здесь условия суммы определяются с помощью операции ИЛИ , а условия произведения определяются с использованием операции И . Когда два или более членов суммы умножаются на логическое значение ИЛИ результирующее выходное выражение будет иметь форму произведения сумм или форму POS .

Форма произведения сумм также называется конъюнктивной нормальной формой , так как сумма членов составляет И вместе, а операция конъюнкции является логическим И. Форма произведения сумм также называется стандартной POS.

Канонические выражения

Прежде чем разбираться в канонических выражениях, давайте разберемся с Minterms и Maxterms первый.

Минтермс

Минтерм определяется как произведение n переменных, в котором каждая из n переменных встречается один раз либо в дополненной, либо в недополненной форме. Минимальный член обозначается как mi, где i находится в диапазоне 0 ≤ i < 2 ⁿ .

Для булевой функции с двумя переменными (x и y) возможные minterms:

x’y’, x’y, xy’ и xy .

Для булевой функции с 3 переменными (x, y и z) возможные minterms:

x’y’z’, x’y’z, x’yz’, x’yz, xy’z’, xy’z, xyz’ и xyz.

1 – Minterms = minterms, для которых функция F = 1. 0 – Minterms = minterms, для которых функция F = 0. Любая булева функция может быть выражена в виде суммы (ИЛИ) ее 1-минутных членов. Представление уравнения будет

F(список переменных) = Σ(список индексов 1-минутного члена)

Пример: F(x, y, z) = Σ(3, 5, 6, 7)

Обратная функция может быть выражена как сумма (ИЛИ) ее нулевых членов. Представление уравнения будет

F(список переменных) = Σ(список нулевых индексов) Пример: F’(x, y, z) = Σ(0, 1, 2, 4)

Примеры канонической формы выражения суммы произведений (каноническая форма минимального члена):

1. Z = XY + XZ'

2. F = XYZ' + X'YZ + X'YZ' + XY'Z + XYZ

В стандартной форме СОП максимально возможные термины произведения для n переменных задаются как 2 ⁿ . Таким образом, для уравнений с двумя переменными условия произведения равны 2 ² = 4. Аналогично, для уравнений с 3 переменными условия произведения равны 2 ³ = 8.

Макстермс

Максимальный термин определяется как произведение n переменных в диапазоне 0 ≤ i < 2 ⁿ . Максимальный член обозначается как Mi. В максимальном термине каждая переменная является дополненной , если ее значение присвоено 1, и каждая переменная не дополнена , если ее значение присвоено 0.

Для логической функции с 2 переменными (x и y) , возможные максимальные члены:

 х + у, х + у’, х’ + у и х’ + у’
 

Для булевой функции с тремя переменными (x, y и z) возможные maxterms:

 x + y + z, x + y + z', x + y' + z, x + y' + z ', x' + y + z, x' + y + z', x' + y' + z и x' + y' + z'
 

1 – Максимальное число членов = максимальное число членов, для которых функция F = 1.

0 – Максимальное число членов = максимальное число членов, для которых функция F = 0.

Любая логическая функция может быть выражена произведением (И) ее 0 – максимальные сроки. Представление уравнения будет

F(список переменных) = Π (список 0-максимальных индексов терминов)

Пример: F(x, y, z) = Π(0, 1, 2, 4)

Обратное функции может быть выражена как произведение (И) ее 1 — максимальное количество членов. Представление уравнения будет следующим:

F(список переменных) = Π(список индексов 1-max)

Пример: F'(x, y, z) = Π(3, 5, 6 , 7)

Примеры канонической формы произведения выражений сумм (каноническая форма максимального члена):

 1. Z = (X + Y).(X + Y′)
2. F = (X′ + Y + Z′).(X′ + Y + Z).(X′ + Y′ + Z′)
 

В стандартной форме POS максимально возможные члены суммы для n переменных задаются как 2 ⁿ . Итак, для уравнений с 2 ​​переменными сумма членов равна 2 ² = 4. Аналогично, для уравнений с 3 переменными сумма членов равна 2 ³ = 8.

. положение для понимания канонических форм.

Любая булева функция, которая выражается как сумма minterms или как произведение maxterms, находится в своем каноническая форма .

Когда форма SOP логического выражения находится в канонической форме, каждый из его терминов продукта называется minterm . Таким образом, каноническая форма функции суммы произведений также известна как minterm, каноническая форма , или Sum-of-minterms, или стандартная каноническая форма SOP.

Аналогично, когда POS-форма логического выражения находится в канонической форме, каждый из его суммируемых членов называется maxterm . Итак, каноническая форма произведения сумм известна также как maxterm каноническая форма или произведение суммы или стандартная каноническая форма POS.

Преобразование канонических форм

Вы можете представить одно каноническое сформированное уравнение в другой канонической форме, т. е. вы можете представить форму уравнения SOP в форме POS и уравнение формы POS в форме SOP. Чтобы преобразовать канонические уравнения, вы поменяете местами символы Σ и Π после перечисления порядковых номеров уравнений, которые исключены из исходной формы уравнения.

Важно помнить о логических функциях: формы SOP и POS дублируют друг друга . Чтобы преобразовать каноническую форму уравнений, необходимо выполнить 2 шага. Они:-

1. Замена рабочих символов Σ и Π в уравнении.

2. Используйте принцип двойственности Де Моргана для индексов булевой функции или записывайте индексы членов, которые не представлены в данной форме уравнения.

Например:-

Функция SOP F(A, B, C) = ∑(0, 2, 3, 5, 7) = A'B'C' + AB'C' + AB'C + ABC' + ABC записывается в форме POS

1. изменение рабочего знака на Π

2. записывая недостающие индексы терминов 001, 100 и 110. Теперь напишите форму суммы для этих отмеченных терминов.

001 = (A + B + C'), 100 = (A' + B + C), 110 = (A' + B' + C)

Запишите новое уравнение в виде формы POS ,

F(A, B, C) = Π(1, 4, 6) = (A + B + C') * (A' + B + C) * (A' + B' + C')

Функция POS F(A, B, C) = Π(2, 3, 5) = (A + B' + C)(A + B' + C')(A' + B + C') написан в форме СОП

1. изменение рабочего знака на Σ

2. напишите недостающие индексы терминов 000, 001, 100, 110 и 111. Теперь напишите форму произведения для этих отмеченных терминов.

000 = A’B’C’, 001 = A’B’C, 100 = AB’C’, 110 = ABC’, 111 = ABC

Запись нового уравнения в форме СОП,

F(A, B, C) = Σ(0, 1, 4, 6, 7) = (A'B'C') + (A 'В'С) + (АВ'С') + (АВС') + (АВС)

Преобразование из минимальных форм в канонические

От минимального POS до канонического POS