Соленоидальное векторное поле / Теория поля / 3dstroyproekt.ru

Определение соленоидального поля

Векторное поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ называется соленоидальным в области $\mathbf { \textit { V } } $, если во всех точках этой области $div\bar { a } (M)=0$.

Согласно этому определению, поле не может иметь в области $\mathbf { \textit { V } } $ источников и стоков, таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: $div\,rot\bar { a } (M)=\nabla \cdot \left[ { \nabla \times \bar { a } }\right]=0$.

Самостоятельно доказать это свойство в координатной форме.

Свойства соленоидального поля

1. Поток соленоидального векторного поля через поверхность $\sigma $, ограничивающую область $V_\sigma \in V$, равен нулю. Это прямое следствие формулы Остроградского.
2. Верно и обратное утверждение: равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность $\sigma $ достаточно для соленоидальности поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$. Действительно, в разделе Инвариантное определение дивергенции мы доказали, что $div\bar { a } (M)=\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \Pi } { V } =\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \mathop { { \iint } } \limits_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } } { V } \mathbf { , } $ и, так как $\mathop { { \iint } } \limits_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } =0$, то $div\bar { a } (M)=0$.
3. Пусть в $\mathbf { \textit { V } } $ имеется изолированный источник { или сток } поля. Если поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность $\sigma $, содержащую этот источник имеет одно и то же значение. Фраза «в $\mathbf { \textit { V } } $ имеется изолированный источник { или сток } поля» означает, что область $\mathbf { \textit { V } } $, в которой поле соленоидально, неодносвязна из $\mathbf { \textit { V } } $ выколота точка, в которой находится источник.3 } \bar { r } $, соленоидально всюду, кроме точки $r=0$, в которой расположен источник.
4. Поток соленоидального векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки один и тот же. Это следует из того, что поток через боковую поверхность трубки равен нулю.

СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ — это… Что такое СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ?

СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ

трубчатое поле,- векторное поле, не имеющее ни источников, ни стоков, т. е. дивергенция к-рого равна нулю во всех его точках. Поток С. п. через любую замкнутую кусочно гладкую ориентированную границу любой области равен нулю. С. и. характеризуется т. н. векторным потенциалом — функцией (М)такой, что а== rоtA(М). Примеры С. п.: поле скоростей несжимаемой жидкости, магнитное поле внутри бесконечного соленоида.
А. Б. Иванов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

• СОЛВМНОГООБРАЗИЕ
• СОЛИТОН

Смотреть что такое «СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ» в других словарях:

• СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ — векторное поле, не имеющее источников. Это означает, что дивергенция вектора а С. п. равна нулю: diva=0. Примером С. п. служит магн. поле, divB=0, где В вектор магнитной индукции. С. п. можно всегда представить в виде a=rot b; вектор b наз.… …   Физическая энциклопедия

• соленоидальное поле — solenoidinis laukas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. solenoidal field; source free field vok. quellenfreies Feld, n; solenoidales Feld, n rus. соленоидальное поле, n pranc. champ solénoïdal, m …   Fizikos terminų žodynas

• Соленоидальное поле —         векторное поле, не имеющее источников. Это означает, что Дивергенция вектора а С. п. равна нулю: div а = 0. Примером С. п. служит Магнитное поле, div В = 0, где В вектор магнитной индукции (См. Магнитная индукция). С. п. можно всегда… …   Большая советская энциклопедия

• Соленоидальное поле — …   Википедия

• соленоидальное магнитное поле — solenoidinis magnetinis laukas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. solenoidal magnetic field vok. solenoidales magnetisches Feld, n rus. соленоидальное магнитное поле, n pranc. champ magnétique solénoïdal, m …   Radioelektronikos terminų žodynas

• Соленоидальное векторное поле — Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Этимология 4 См. также …   Википедия

• Векторное поле — Векторное поле  это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан… …   Википедия

• Потенциальное векторное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике  векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном… …   Википедия

• Градиентное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике  векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве …   Википедия

• Потенциальное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике  векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве …   Википедия

Лекция Основные классы векторных полей. Соленоидальное поле. Потенциальное поле. Гармоническое поле

Основные классы векторных полей

1.Соленоидальное поле

Определение: Поле называется соленоидальным, если во всех его точках дивергенция равна 0, т.е. нет источников и стоков, поскольку по формуле Остроградского: Т.е. в соленоидальном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

2. Потенциальное поле

Сила равна градиенту функции U.

Определение: Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если во всех точках поля его ротор равен нулю .

Свойства потенциального поля:

а) Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

б) В потенциальном поле криволинейный интеграл по дуге зависит только от положения точек и , и не зависит от формы кривой .

Это свойство следует из свойства а)

;

в) Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции , если , то существует такая функция , что .

Таким образом, потенциальное поле можно задавать не тремя функциями а одной функцией — потенциалом.

Потенциал находится с точностью до константы по формуле:

(9)

Пример: Установить потенциальность поля и найти его потенциал.

1) покажем, что поле потенциально

.

поле потенциально

2) найдем потенциал по формуле (9)

Гармоническое поле

Определение: Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. и . Примером гармонического поля является поле скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Получим условие для потенциала.

Т.к. , то существует такое, что .

Тогда из условия , следует что

, т.е. потенциал является решением уравнения Лапласа (гармонической фукцией).

Проверить, является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. Пример решения задачи онлайн

Краткая теория

---

Векторное поле   называется потенциальным векторным полем если оно является градиентом некоторого скалярного поля . Это скалярное поле  называется соответственно потенциалом векторного поля . Векторное поле называется вихревым или соленоидальным векторным полем, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю.

Пример решения задачи

---

Задача

Проверить, является ли векторное поле  потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля  найти его потенциал.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Проверка на потенциальность

Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы

Таким образом, поле является потенциальным.

Проверка на соленоидальность

Для соленоидальности поля:

Таким образом, поле не является соленоидальным.

Вычисление потенциала

Потенциал можно вычислить по формуле:

Выберем в качестве точки  точку

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.

Проверить, является ли векторное поле F соленоидальным и потенциальным

Задачи по исследованию векторного поля, что включают нахождение циркуляции, потока рассмотрены на предыдущих уроках. Здесь мы покажем, как быстро проверить, а если и нужно то и доказать, что поле является потенциальным и соленоидальным. Условия за которых это выполняется детально расписанны в объяснениях к вычислениям.
Детальный анализ каждого из примеров позволяет самостоятельно освоить данную тему каждому студенту.

ЗАДАНИЕ 10.4 Проверить, является ли векторное поле F=(5x+4yz) *i+(5y+4xz)*j+(5z+4xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Для того, чтобы заданое поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы ротор векторного поля был равен нулю rot(F)=0.
За условием выписываем функции, которые необходимы для дальнейших расчетов
P=P(x;y;z)=5x+4yz, Q=Q(x;y;z)=5y+4zx, R=R(x;y;z)=5z+4xy.
Отсюда ротор векторного поля через частичные производные находим по формуле
Из вычислений видим что векторное поле является потенциальным.
Найдем потенциал u=u(x;y;z) заданного векторного поля .
Согласно теории, векторное поле равно градиенту потенциала:
Выпишем компоненты градиента из начального условия F= (5x+4yz) *i+ (5y+4xz) *j+ (5z+4xy) *k
 потенциальным и соленоидным. Если полетпотенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Для того, чтобы задано поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы ротор векторного поля был равен нулю rot (F) =0.
За условием выписываем функции, которые необходимы для дальнейших расчетов
P=P (x;y;z) =5x+4yz, Q=Q (x;y;z) =5y+4zx, R=R (x;y;z) =5z+4xy.
Отсюда ротор векторного поля через частичные производные находим за формулой
Из вычислений видим, что векторное поле является потенциальным.
Найдем потенциал u=u (x;y;z) заданного векторного поля .
Согласно теории векторное поле равно градиенту потенциала :
Выпишем компоненты градиенту из начального условия F=(5x+4yz)*i+(5y+4xz)*j+(5z+4xy)*k

Дальше интегрированием возобновляем потенциал, сначала интегрируем производную по x, потом найденный потенциал дифференцируем по y и приравниваем ко 2 частичной производной, и так далее
Здесь не ставили знак интегрирования, поскольку имеем дело с простыми табличными интегралами, а такая запись экономит время, храня при этом суть операций.
Окончательно записываем потенциал u векторного поля :
u(x;y;z)=2,5(x²+y²+z²)+4xyz+C, где C — произвольная константа.
Чтобы векторное поле было соленоидным, необходимо и достаточно, чтобы его дивергенция была равна нулю
Проверяем это условие:
Она не выполняется, следовательно рассмотреное векторное поле не является соленоидным.

 

ЗАДАНИЕ 10.5 Проверить будет ли векторное поле F=(x+2yz) *i+(y+2xz)*j+(z+2xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Необходимым и достаточным условием, что векторное поле — потенциальное является равенство нулю ротора
Из начального условия записываем P=P(x;y;z)=x+2yz, Q=Q(x;y;z)=y+2xz, R=R(x;y;z)=z+2xy.
По формуле находим ротор векторного поля
Делаем вывод о том, что полет является потенциальным.
Найдем потенциал u(x, y, z).
Градиент равен:
Выписываем частичные производные

а дальше интегрированием возобновляем функцию

Потенциал векторного поля принимает значение
u (x;y;z)=0,5(x²+y²+z²) +2xyz+C,
где C — произвольная константа.
Условие что векторное поле соленоидальное равносильная равенству нулю его дивергенции

Выполняем необходимые расчеты

Из записи видим, что условие не выполняется, следовательно  векторное поле не является соленоидным.

 

ЗАДАНИЕ 10.6 Проверить, является ли векторное поле F=(4x-7yz)*i+(4y-7xz)*j+(4z-7xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если полет потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Полет F является потенциальным, если его ротор равен нулю
За условием выписываем составляющие P=P(x;y;z)=4x-7yz, Q=Q(x;y;z)=4y+7xz, R=R(x;y;z)=4z-7xy
и подставляем в формулу ротора
Получили в результате нуль, можем сделать вывод, что векторное поле является потенциальным.
Потенциал u=u(x;y;z) векторного поля находим через формулу градиента :
Частичные производные, согласно начальному условию, имеют следующие значение

Повторно интегрируя их определяем функцию u(x;y;z)
Внимательно пересмотрите и разберите, в чем суть вышеприведенных формул.
Интегрированием за переменной ‘х’ мы получаем потенциал + функцию от двух других координат phi(y,z).
Найдя частичную производную потенциала за переменной ‘y’ и, приравняв к частичной производной из векторного поля, доопределяем функцию phi(y,z), остается одна неизвестная psi(z).
Для ее определения находим частичную производную потенциала по ‘z’ приравниванием к третьей компоненте векторного поля, получаем ее частичную производную.
Далее через интеграл ее доопределяем. Напоследок остается подставить все найденные функции в начальную запись.
Таким образом, потенциал поля равен 
u(x;y;z)=2(x²+y²+z²)-7xyz+C, где C — произвольная константа.
Проверка  поля F на соленоидальность равносильня нахождению дивергенции и проверке  равна ли она нулю.
Сами вычисления не сложны, стоит лишь знать или иметь под рукой формулу дивергенции

Видим, что поле не является соленоидным.

 

ЗАДАНИЕ 10.7 Проверить, или будет векторное поле F=(12x+yz)*i+(12y+xz)*j+(12z+xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Проверяем равен ли ротор векторного поля  нулю
Имеем функции P=P(x;y;z)=12x+yz, Q=Q(x;y;z)=12y+xz, R=R(x;y;z)=12z+xy
которые подставляем в формулу
Условие равенства нулю ротора выполняется, следовательно векторное поле является потенциальным.
Отыщем потенциал u(x;y;z).
Для этого применяем форму записи векторного поля через градиент потенциала:
Таким образом получим частичные производные

Методика нахождения потенциала векторного поля детально расписана в предыдущих задачах.
Следует отметить, что за первое приближение можно брать любую из трех частичных производных.
Выбирать порядок Вам, конечный интеграл от этого не изменится.
Формула потенциала векторного поля примет вид:
u(x;y;z)=6(x²+y²+z²)+xyz+C, где C — произвольная сталая.
Проверим, является ли векторное поле   соленоидным.
Для этого должно выполняться условие div(F)=0:
Из расчетов видим, что дивергенция не равна нуля, следовательно делаем вывод что поле не является соленоидным.

 

ЗАДАНИЕ 10.10 Проверить, является ли векторное поле F=(6x+7yz)*i+(6y+7xz)*j+(6z+7xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Из предыдущих примеров Вы уже возможно запомнили что сначала нужно найти ротор векторного поля.
Выписываем функции
P=P(x;y;z)=6x+7yz, Q=Q(x;y;z)=6y+7xz, R=R(x;y;z)=6z+7xy
и по формуле находим ротор
Он равен нулю, а это значит, что исследуемое векторное поле является потенциальным.

Для возобновления потенциала u(x;y;z) воспользуемся схемой, которая детально повторяется из примера в пример.
Выписываем уравнение градиента потенциала:
из него имеем частичные производные

какие используем при интегрировании и доопределении u(x;y;z)
После всех расчетов потенциал векторного поля будет равен:
u(x;y;z)=3(x²+y²+z²)+7xyz+C, где C — произвольная константа.
Осталось проверить, является ли поле F соленоидным.
Для этого имеем условие :

Вычисления показали, что условие равенства нулю дивергенции не выполняется.
Следовательно, векторное поле не является соленоидным.

 

ЗАДАНИЕ 10.12 Проверить, будет ли векторное поле F=(3x+yz)*i+(3y+xz)*j+(3z+xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Вы уже должны были бы знать, чтобы  векторное поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы ротор rot(F) был равен нулю.
Выписываем функции P=P(x;y;z)=3x+yz, Q=Q(x;y;z)=3y+xz, R=R(x;y;z)=3z+xy.
и за нижеприведенной формулой находим ротор
Он равен нулю, поєтому  векторное поле F является потенциальным.
Найдем потенциал u(x;y;z).
Формула градиента потенциала имеет вид:
Из нее выписываем частные производные

а дальше через неопределенные интегралы находим потенциал
Как уже отмечалось выше, в приведенных формулах для уменьшения громоздкости опущены знаки интегрирования.
В вычислениях это допустимо, однако, если преподаватели от Вас требуют детального расписания всех промежуточных объяснений, не забывайте, что здесь мы имеем в виду неопределенные интегралы.
Окончательно записываем явный вид потенциала поля
u (x;y;z)=1,5(x²+y²+z²)+xyz+C, здесь C — любая константа.
И последняя проверка на условия, что векторное поле  является соленоидным (div (F) =0)
Видим что поле F не является соленоидным (дивергенция отличается от нуля).

 

ЗАДАНИЕ 10.21 Доказать, что векторное поле F=yz*i+xz*j+xy*k
является потенциальным и соленоидным.
Решение: Условие соответствия векторного поля F потенциальному имеет вид

Выписываем функции P=P(x;y;z)=yz, Q=Q(x;y;z)=xz, R=R(x;y;z)=xy
и ичитываем в уравнении ротора

Имеем равенство нулю ротора, таким образом проверили и доказали, что векторное поле F является потенциальным.
Чтобы найти потенциал u(x;y;z) векторного поля используем градиент:
Из входных данных задания выписываем частичные производные u(x;y;z)

Дальше интегрированиям постепенно возобновляем u(x;y;z)

Формула потенциала векторного поля приобретет вид:
u (x;y;z)=xyz+C, где C — любая сталая.
Осталось доказать, что векторное поле является соленоидным.
Для этого находим дивергенцию
и убеждаемся, что она равна нулю.
Это значит, что векторное поле является соленоидным, что и следовало досказать.

 

ЗАДАНИЕ 10.23 Проверить, является ли векторное поле F=(x²+yz)*i+(y²+xz)*j+(z²+4xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Проверка условия равенства нулю ротора векторного поля однозначно позволяет выяснить, является ли векторное поле потенциальным, или нет.
Из начального условия выписываем
P=P(x;y;z)=x²+yz, Q=Q(x;y;z)=y²+xz, R=R(x;y;z)=z²+xy
и применяем формулу ротора

Условие выполняется, поэтому делаем вывод что векторное поле является потенциальным.
Как найти потенциал  (x;y;z) детально описано в методике и объяснениях к расчетам.
Но снова и снова проходимся по пунктам, поскольку, как показывает практика студенты живут по правилу «выучил — сдал — забыл».

Нам нужно записать градиент поля через частные производные:
Дальше их выписываем

Потом поочередно интегрируя их и дифференцируя найденные потенциалы, находим явный вид uВ результате получим следующее уравнение потенциала
u(x;y;z)=1/3*(x³+y³+z³)+xyz+C
Проверка поля на выполнение условия div(F)=0 позволяет установить, является ли векторное поле соленоидным.
Выполняем вычисления:
Делаем вывод, что задано векторное поле F не является соленоидным.

Из рассмотренных примеров Вы могли заметить, что не каждое потенциальное поле является соленоидным.
Формул для проверки условий не так много и они детально расписаны. Считаем, что приведенный материал в полной мере позволяет Вам выполнить самостоятельно расчеты аналогичных примеров.

Соленоидальное поле. div An An An An An 16 16 An An 17 17 dv div dv div dv dv

Лекция 5

1.3.4. Соленоидальное поле.

Векторное поле, дивергенция которого тождественно равна нулю, называется

соленоидальным или трубчатым. Примером соленоидального поля может служить, как мы

рассматривали ранее, поле скоростей несжимаемой жидкости при отсутствии стоков и

источников, т.е. при условии, что ни в одной точке жидкость не исчезает и не возникает.

Для соленоидальных полей имеет место так называемый

закон сохранения интенсивности векторной трубки, состоящий в

следующем. Пусть А — соленоидальное поле. Рассмотрим

некоторую векторную трубку и возьмем ее отрезок,

заключенный между двумя ее сечениями 1 и 2 (рис. 7). Эти сечения вместе с боковой

поверхностью 3 трубки образуют замкнутую поверхность . Так как поле соленоидально,

т. е. div А  0, то, в силу формулы Остроградского,

     



2 31



dAdAdAdA nnnn

, (16)

причем в каждом из слагаемых имеется в виду внешняя сторона поверхности. Третье

из стоящих справа слагаемых равно нулю, так как по определению векторной трубки на

поверхности 3 направление векторного поля А перпендикулярно направлению нормали к

этой поверхности, т. е. на 3

Аn  0.

Если мы теперь на сечении 1 направление нормали изменим на противоположное,

то равенство (16) перепишется в виде

 

 



1 2



dAdA nn

, (17)

т. е. поток вектора А через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же

значение. Если поле вектора А представлять себе как поле скоростей несжимаемой

жидкости при отсутствии источников и стоков, то равенство (17) означает: количество

жидкости, протекающей за единицу времени через сечение векторной трубки, одно и то же

для всех сечений этой трубки.

1.3.5. Уравнение неразрывности.

В качестве применения изложенных ранее понятий дадим вывод одного из основных

уравнений движения жидкости, так называемого уравнения неразрывности. Пусть А —

поле скоростей движущейся жидкости. Мы будем предполагать, что в рассматриваемой

области жидкость не исчезает и не возникает. Однако в отличие от наших предыдущих

рассмотрений мы будем предполагать эту жидкость сжимаемой, т. е. считать плотность 

некоторой функцией координат х, у, z и времени t. Выясним, как связана скорость

движения такой жидкости с изменением ее плотности. Для этой цели рассмотрим

некоторый замкнутый объем  и подсчитаем двумя способами изменение Q количества

жидкости внутри этого объема за время t. Пусть  (х, у, z) — плотность жидкости в момент

t в точке х, у, z. Тогда, очевидно,







 dv

t

tQ ρ

.

с другой стороны, изменение количества жидкости внутри объема  равно

умноженному на t потоку жидкости через поверхность , ограничивающую этот объем,

т.е. равно

Свойства потенциальных полей. Соленоидальное векторное поле

          Свойства потенциальных полей.

1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала

                                               (2.3)

2) циркуляция (1.9) вектора  по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю:

                                                            .                                         (2.4)

3) потенциал  находится по формуле (2.3):

                                                       ,                                       (2.5)

где (AM) – произвольная кривая, стягивающая точки A и M. Если путь (AM) взять в виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат (количество таких ломаных равно шести), то для нахождения потенциала может быть применена одна из формул, выражающая потенциал  через определенные интегралы ; ):

                    .              (2.6)

          Пример. Проверить, что поле вектора  является потенциальным и найти его потенциал.

          Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2):

— поле потенциально. Найдем потенциал  по формуле (2.6): за начальную точку удобно взять точку A(0,0,0):  .

15.2.2. Соленоидальное векторное поле

Определение. Векторное поле  называется соленоидальным (трубчатым) полем, если дивергенция его равна нулю:

                                                                                      (2.7)

(то есть это поле без источников и стоков). Из теоремы (1.11) следует, что в соленоидальном поле поток

                                                                                                    (2.8)

через любую замкнутую поверхность, лежащую в этом поле.

          Пример. Какие из нижеследующих полей являются соленоидальными (в  естественной области определения):

1) ;

2) ?

          Решение. 1) вычислим критерий (2.7): — — поле вектора   соленоидально; 2)  — поле не соленоидально.

15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.

Лапласово (гармоническое) векторное поле

          Дифференциальные операции второго порядка – это повторно примененные операции grad, div и rot к скалярным и векторным полям, полученным в результате применения этих же операций к скалярным  и векторным  полям. Возможны лишь следующие повторные операции:  ;  ,
где  -лапласиан; ; ;  .

Операции первого и второго порядков удобно записывать (и вычислять, доказывать) с помощью специального символического оператора  (читается “набла”):

                                                    .                                         (2.9)

Для дифференциальных операций первого порядка имеем

                                     ;     .                       (2.10)

Операции второго порядка:

;

;

;

;

.

При применении оператора “набла” руководствуются следующим правилом: при применении оператора  к произведениям скалярных  , ) и векторных ,  полей:  можно поступать так: применить оператор  к каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным (их обозначаем ), и результаты сложить; затем каждоеслагаемое преобразовать по правилам векторной алгебра так, чтобы оператор  стоял на предпоследнем месте перед переменным множителем.

Пример. Показать, что .

          Решение. В символической форме записи . Учитывая сначала дифференциальный характер , мы должны написать . Рассматривая выражение  мы можем постоянный множитель  вынести за знак “набла” и, как скаляр, за знак скалярного
произведения, что дает  (на последнем шаге мы опустили индекс “c”).

          В выражении  оператор  действует только на скалярную функцию u; поэтому мы можем написать, что . В результате получаем формулу  или .

электромагнетизм — Покажите, что соленоидное поле всегда является завитком векторного поля

электромагнетизм — Покажите, что соленоидное поле всегда является завитком векторного поля — Physics Stack Exchange

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Physics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для активных исследователей, ученых и студентов-физиков.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 6 лет, 3 мес. Назад

Просмотрено 492 раза

$ \ begingroup $ Закрыто. Этот вопрос не по теме. В настоящее время он не принимает ответы.

---

Хотите улучшить этот вопрос? Обновите вопрос, чтобы он соответствовал теме Physics Stack Exchange.

Закрыт 6 лет назад.

Может кто-нибудь доказать, что:

$$ \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ implies \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} ~? $$

Я знаю, что тождественно $$ \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0 $$.

Но можно ли доказать, что если $ \ mathbf {B} \ neq \ nabla \ times \ mathbf {A} $ для любого $ \ mathbf {A} $, то $ \ nabla \ cdot \ mathbf {B} \ neq 0? $

Qmechanic ♦

1k2828 золотых знаков

Создан 17 апр.

гаутам1168гаутам1168

61333 серебряных знака 77 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

Это называется теоремой Гельмгольца, которая утверждает, что для любого векторного поля $ \ vec {F} $, дважды непрерывно дифференцируемого в ограниченной области, мы можем выполнить разложение $$ \ vec {F} = — \ vec {\ nabla} \ Phi + \ vec {\ nabla} \ times \ vec {A} $$ См. Http: // en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition для производной

Создан 17 апр.

Али МохАли Мох

4,8321313 серебряных знаков1515 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ Physics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Гравитация

ньютонов — есть ли у этого векторного поля особое название?

ньютоновская гравитация — есть ли у этого векторного поля особое название? — Обмен физическими стеками

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Physics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для активных исследователей, ученых и студентов-физиков.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 4 месяца назад

Просмотрено 67 раз

$ \ begingroup $

Можно показать, что гравитационное поле точечной массы соленоидально (т.е.е. его расходимость равна нулю) во всех точках, кроме того места, где на самом деле находится точечная масса. Это означает, что существует векторное поле $ \ vec {F} $, ротор которого равен гравитационному полю точечной массы. Я знаю, что в магнитостатике из-за закона Гаусса для магнетизма (т.е. $ \ vec {\ nabla} \ cdot \ vec {B} = 0) $ существует (не обязательно уникальное) векторное поле $ \ vec {A} $, называемое магнитный векторный потенциал такой, что $ \ vec {\ nabla} \ times {\ vec {A}} = \ vec {B} $. Мой вопрос: существует ли подобное имя для этого векторного поля $ \ vec {F} $, такое что $ \ vec {\ nabla} \ times {\ vec {F}} = \ vec {g} $, где $ \ vec {g} $ — это гравитационное поле? И почему я не думаю, что когда-нибудь действительно увижу, как это векторное поле используется? Я имею в виду, поскольку гравитационное поле точечной массы также является безвихревым везде (кроме того места, где находится точечная масса), довольно часто используется скалярное поле $ \ Phi $, называемое гравитационным потенциалом, такое, что $ — \ vec {\ набла} \ Phi = \ vec {g} $.

Qmechanic ♦

1k2828 золотых знаков

задан 18 мар в 21:34

$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

Гравитационное поле — это , а не соленоидальное поле.См. Определение. Разница между магнитным полем и гравитационным полем состоит в том, что магнитное поле не имеет источника везде , в то время как гравитационное поле (точно так же, как электрическое поле) не имеет источника только почти везде . Хотя это может показаться незначительным различием, на самом деле оно имеет топологическое значение: силовые линии магнитного поля замкнуты (они не заканчиваются у источника), в то время как силовые линии гравитационного и электрического поля начинаются и заканчиваются у источников.

Конечно, вы можете представить гравитационное поле (точно так же, как электрическое) локально (т.е.е. в компактной односвязной области, не содержащей источников) ротором, даже если это не соленоидальное поле. Но с какой целью? Возможно, это причина, по которой вы его не видите: потому что для него нет варианта использования.

ответ дан 18 мар в 22:09

оливероливер

4,15344 серебряных знака1414 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $

Чтобы описать любое векторное поле, вам необходимо знать его дивергенцию и локон, чтобы однозначно определить его.3} $$ Можно обнаружить, что его дивергенция равна $$ \ nabla · \ vec {g} = — 4 \ pi G \ rho_m $$ Это расхождение составляет $ 4 \ pi G \ rho_m $ в массовых источниках и $ 0 $ в остальных местах. Вы можете проверить это, вычислив расхождение в сферических координатах и ​​интегрировав его по сфере постоянного радиуса.

Его локон, однако, в точности равен нулю (проверьте это!), И именно по этой причине мы можем записать поле как градиент потенциальной функции $$ \ nabla \ times \ vec {g} = 0 \ to \ vec {g} = — \ nabla \ phi $$ Такие поля называют консервативными или безвихревыми.Таким образом, мы имеем поле, полностью определяемое его дивергенцией и ротором.

ответ дан 18 мар в 22:12

$ \ endgroup $ 2 Physics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. {3} $ не имеющие источников и стоков, т.е.е. его расхождение исчезает во всех его точках. Течение соленоидального поля через любую замкнутую кусочно-гладкую ориентированную границу любой области равно нулю. Соленоидальные поля характеризуются своим так называемым векторным потенциалом, то есть векторным полем $ A $ такое, что $ \ mathbf a = \ mathop {\ rm curl} A $. Примерами соленоидных полей являются поле скоростей несжимаемой жидкости и магнитное поле внутри бесконечного соленоида.

Соленоид — это длинная спиральная катушка из проволоки, обычно цилиндрической формы, через которую можно пропустить ток для создания магнитного поля.{3} $) с $ \ mathop {\ rm div} (\ mathbf a) = 0 $. Рассмотрим поверхность, состоящую из цилиндра вдоль векторных линий вместе с поверхностями, нормальными к линиям на обоих концах. Такая трубка называется соленоидом.

Список литературы

[a1]	E.A. Хиллерас, «Математическая и теоретическая физика», 1 , Wiley (Interscience) (1970), стр. 70ff
[a2]	B.G. Левич, «Теоретическая физика», 1.Теория электромагнитного поля , Северная Голландия (1970), стр. 6; 364; 366
[a3]	G.K. Бэтчелор, «Введение в гидродинамику», Cambridge Univ. Press (1974), с. 75; 167
[a4]	K. Rektorys (ed.), Применимая математика , Илифф (1969) стр. 272 ​​

Как цитировать эту запись:
Соленоидное поле. Математическая энциклопедия. URL: http: // энциклопедия математики.org / index.php? title = Solenoidal_field & oldid = 48746

Эта статья была адаптирована из оригинальной статьи А. Иванова (составитель), которая появилась в энциклопедии математики — ISBN 1402006098. См. Исходную статью

Трехмерное векторное поле A ( r ) задается тремя компоненты, которые по отдельности являются функциями позиции. это достаточно сложно построить одну скалярную функцию в трех измерениях; сюжет из трех еще сложнее и, следовательно, менее полезен для в целях визуализации.Линии поля — это один из способов изобразить поле распределение.

Линия поля через конкретную точку r строится в следующим образом: В точке r векторное поле имеет особую направление. Продолжайте движение от точки r по направлению вектора A ( r ) дифференциальное расстояние d r . В новой точке r + d r , вектор имеет новое направление A ( r + d r ) .Выполните дифференциальное расстояние d r ^‘ вдоль это новое (совершенно иное) направление к новой точке, и так вперед, как показано на рис. 2.7.1. Благодаря этому процессу полевая линия становится прослежен. Касательная к силовой линии в любой из ее точек дает направление векторного поля A ( r ) в этой точке.

Рисунок 2.7.1. Строительство промплощадки.

Величина A ( r ) также может быть обозначена несколько грубо. способом с помощью силовых линий.Используется соглашение, что количество линий поля, проведенных через элемент площади, перпендикулярный силовая линия в точке r пропорциональна величине А ( r ) в таком случае. Поле может быть представлено в трех измерениях с помощью провода.

Если у него нет расходимости, поле называется соленоидальным . Если это не имеет завитка, безвихревой . Особенно важно концептуализировать соленоидальные и безвихревые поля.Мы обсудим природа безвихревых полей в следующих примерах, но становится особенно в соответствии с их распределениями в гл. 4. Рассмотрим сейчас «проволочная модель» соленоидального поля.

Выделите поверхность со сторонами, образованными континуумом смежных силовые линии, «шланг» линий, как показано на рис. 2.7.2, с торцы, проходящие через концы шланга. Тогда, поскольку соленоидное поле не может иметь чистый поток из этой трубки, количество силовые линии, входящие в шланг через один торец, должны быть равны количество линий, выходящих из шланга через другой конец.Потому что шланг подобран произвольно, заключаем, что соленоидальное поле представлен непрерывными линиями; они не появляются или исчезают в области соленоидальности.

Рисунок 2.7.2. Соленоидальные силовые линии образуют шланги внутри которого строки не начинаются и не заканчиваются.

Следующие ниже примеры помогают понять для атрибутов силовых линий, связанных с расхождением и локон.

Пример 2.7.1. Поля с расхождением, но без завитков (Безвихревой, но не соленоидальный)

Сферическая область r поддерживает плотность заряда = _o р / р .Внешний регион бесплатный. В примере 1.3.1 радиально симметричная напряженность электрического поля находится из интегральных законов к быть

В сферических координатах оператор дивергенции (от Таблица I)

Таким образом, оценка дифференциального закона Гаусса (2.3.1) дает

что, конечно, согласуется с распределением заряда, используемым в исходное происхождение. Это упражнение служит для того, чтобы подчеркнуть, что дифференциальные законы применяются по пунктам по всему региону.

Силовые линии можно изобразить, как на рис. 2.7.3. Величина плотности заряда представлена ​​плотностью + (или — ) символы.

Рисунок 2.7.3. Сферически-симметричное поле, которое безвихревой. Объемные элементы V _a и V _c используются с Gauss ‘ теорема, чтобы показать, почему поле соленоидально вне сферы, но имеет расхождение внутри. Элементы поверхности C _b и C _d используются с Теорема Стокса, показывающая, почему поля везде безвихревые.

Где на этом графике есть расхождение поля? Поскольку плотность заряда уже была изображена, мы уже знаем ответ на этот вопрос. Поле имеет расхождение только там, где есть плотность заряда. Таким образом, несмотря на то, что силовые линии истончаются, с увеличением радиуса во внешней области, в любой заданной точке в в этой области поле не имеет дивергенции. Ситуация в этом регионе Типичным примером является поток E через «шланг», определяемый объемом В, _, , .Поле действительно уменьшается с увеличением радиуса, но площадь поперечного сечения шланга увеличивается, чтобы точно компенсировать и поддерживать постоянный чистый поток.

Во внутренней области объемный элемент, имеющий форму также можно рассматривать трубку со сторонами, параллельными радиальному полю, объем V _c . То, что поле не соленоидально, очевидно из того факта, что чтобы его интенсивность была наименьшей по поперечному сечению трубки, имеющей наименьшая площадь. То, что должен быть чистый внешний поток, свидетельствует о том, что чистая плата прилагается.Линии поля берут начало внутри объема на прилагаемые обвинения. Являются ли силовые линии на рис. 2.7.3 безвихревыми? В сферической координаты, curl — это

и из подстановки (1) следует, что ротора нет, либо внутри, либо снаружи. Этот результат подтверждается оценкой тираж E для контуров, охватывающих области и , имеющие нормали в любом из координатных направлений. [Помните значение локон , (2.4.2).] Примерами являются контуры, охватывающие поверхности S _b и S _d на рис. 2.7.3. Взносы в C ^« и C ^{» ‘} сегменты исчезают, потому что они перпендикулярны E , а (поскольку E не зависит от и ) вклад одного сегмента C ^‘ отменяет вклад другого сегмента.

Пример 2.7.2. Поля с загибом, но без расхождения (соленоидальные, но Не безвихревой)

Проволока с радиусом R несет осевую плотность тока, которая линейно увеличивается с радиусом. Интегральный закон Ампера использовался в Пример 1.4.1, показывающий, что соответствующая напряженность магнитного поля равна

Где у этого поля curl? Ответ следует из утверждения Ампера. закон (2.6.2) без учета тока смещения. Завиток плотность тока и, следовательно, ограничена областью r , где она имеет тенденцию концентрироваться на периферии.Оценка завитка в цилиндрические координаты дают результат, согласующийся с этим ожидание.

Плотность тока и напряженность магнитного поля показаны на рисунке. Рис. 2.7.4. В соответствии с «проволочным» представлением расстояние линий поля указывает на их интенсивность. Аналогичное соглашение относится к плотности тока. Если смотреть «в конец», плотность тока заголовок страницы обозначен номером \ odot , а \ otimes указывает, что вектор направлен в бумагу.Предложение вектор, изображенный в виде стрелки, с символами, представляющими ее наконечник и перья соответственно.

Рисунок 2.7.4. Цилиндрически симметричное поле, которое соленоидный. Объемные элементы V _a и V _c используются с Gauss ‘ Теорема, чтобы показать, почему поле нигде не имеет расходимости. Поверхность элементы S _b и S _d используются с теоремой Стокса, чтобы показать, что поле вне цилиндра является безвихревым, но имеет изгиб внутри.

Может ли азимутально направленное поле меняться на r (направление перпендикулярно к ) и по-прежнему не имеет завитков во внешней области? В интеграция H по контуру C _b на рис. 2.7.4 показывает, почему это может. Контуры C _b ^‘ расположены так, чтобы составлять d s перпендикулярно к H , так что H d s = 0 там.Интеграции на сегментах C _b ^«‘ и C _b ^« отменить, потому что разница в длине сегментов просто компенсирует уменьшение поля с радиусом.

Во внутренней области подобная интеграция, несомненно, дает конечный результат. По контуру C _d поле больше снаружи ногу там, где длина контура больше, поэтому видно, что локон должно быть конечным.Конечно, эта форма поля просто отражает наличие плотности тока.

Поле везде соленоидальное. Это можно проверить принимая расхождение (5) в каждой из областей. В цилиндрической координаты, Таблица I дает

Флюсовые трубки определены как инкрементные объемы V _a и V _c дюйм Рис. 2.7.4, во внешней и внутренней областях, соответственно, явно не пропускают чистый поток через их поверхности.Это поле линии циркулируют в трубках, не возникая и не исчезая в определенные области являются отличительной чертой соленоидального поля.

Важно различать поля «в целом» (в терминах интегральных законов, записанных для объемов, поверхностей и контуров конечных размеров) и «в малом» (в терминах дифференциальной законы). С этой целью рассмотрите некоторые вопросы, которые могут возникнуть.

Возможно ли поле, в каждой точке которого нет расхождения? на замкнутой поверхности S , чтобы через эту поверхность проходил чистый поток? Пример 2.7.1 показывает, что ответ положительный. В каждой точке поверхность S , которая охватывает заряженную внутреннюю область, расхождение _o E равно нулю. Тем не менее, интеграция _o E d a более такая поверхность действительно дает конечное значение заключенного чистого заряда.

Рисунок 2.7.5. Объемный элемент со сторонами, касательными к линии поля используются для интерпретации отклонения от координаты поля система.

Дивергенцию можно рассматривать как взвешенную производную вдоль направление поля, или по полю «шланг». С определяется как площадь поперечного сечения такой трубки, имеющей стороны, параллельные поле _o E , как показано на рис. 2.7.5, из (2.1.2) следует, что расхождение

Знак минус во втором члене означает, что d a и a сот. негативы на левой поверхности.Написано в таком виде расхождение является производной от e _o E a относительно a координировать в направление E . Примерами таких трубок являются объемы , V, _, , и V _c на рис. 2.7.3. То, что расхождение во внешности равно нулю. регион этого пример эквивалентен радиальной производной от поток смещения _o E a , который равен нулю.

Дальнейшее наблюдение возвращается к различию между полями. как они описываются «в целом» с помощью интегральных законов и поскольку они представлены «в малом» дифференциальными законами. Является возможно поле иметь циркуляцию по некоторому контуру C и еще быть безвихревым в каждой точке на C ? Пример 2.7.2 показывает, что ответ снова да. Внешнее магнитное поле окружает центр токоведущий регион. Следовательно, он имеет тираж на любом контур, охватывающий центральную область.Но во всех внешних точках, curl из H равен нулю.

Произведение двух векторов перпендикулярно обоим векторы. Обязательно ли завиток вектора перпендикулярно этому вектор? Пример 2.7.2, казалось бы, говорит «да». Там текущий плотность — это завиток H и находится в направлении z , а H находится в азимутальном направлении. Однако на этот раз ответ отрицательный.По определению мы можем добавить к H любое безвихревое поле без изменение локона. Если это безвихревое поле имеет компонент в направление завитка, то завиток совмещенных полей не перпендикулярно комбинированным полям.

Иллюстрация. Векторное поле не перпендикулярно его изгибу

Внутри проводника, показанного на рис. 2.7.4, напряженность магнитного поля и его ротор

Предположим, что мы добавляем к этому H однородное поле и z направлен.

Тогда новое поле имеет компонент в направлении z и все же имеет тот же z -направленный локон, как указано в (9). Обратите внимание, что новые линии поля имеют ли спирали все более узкие шаги по мере увеличения радиуса выросла.

Завиток также можно рассматривать с точки зрения полевого шланга. В определение (2.4.2) применяется к любому из трех контуров и связанные поверхности показаны на рис. 2.7.6. Контуры C и C перпендикулярны и поперек шланга, а (C ) — вокруг шланга.Первые проиллюстрированы контурами C _b и C _d на рис. 2.7.4.

Рисунок 2.7.6. Три поверхности, имеющие ортогональные нормальные векторы имеют геометрию, определяемую полевым шлангом. Таким образом, ротор поля интерпретируется в терминах координаты поля система.

Компонент изгиба в направлении является пределом в площадь 2 r l уходит в ноль тиража вокруг контура C , разделенного на эту область.Вклад в это линейное интегрирование из сегментов, перпендикулярных Ось по определению равна нулю. Таким образом, для этого компонента локон , поперечный полю, (2.4.2) принимает вид

Поперечные компоненты curl можно рассматривать как производные относительно поперечных направлений векторного поля, взвешенного инкрементальные линейные элементы л .

В его центре поверхность, ограниченная контуром C , имеет свою нормально по направлению поля.Казалось бы, локон в поэтому направление должно быть равно нулю. Тем не менее предыдущее обсуждение и иллюстрация предупреждают, что контур интеграл около C не обязательно равен нулю.

Хотя с нулевым порядком диаметра шланга поле перпендикулярна контуру, в более высоком порядке может иметь компоненты параллельны контуру. Это означает, что если контур C были фактически перпендикулярны полю в каждой точке, он не замкнулся бы сам по себе.Эквивалентный контур, показанный вставка к рис. 2.7.6, начинается и заканчивается на центральной силовой линии. За исключением сегмента в направлении , используемого для закрытия этого контура каждый сегмент теперь по определению перпендикулярен . Вклад в циркуляцию по контуру теперь исходит от -направленный сегмент. Помните, что длина этого сегмента определяется формой силовых линий. Таким образом, пропорционально на (r) ² , следовательно, и тираж.В предел установлен согласно (2.1.2) может привести к конечному значению в направлении . В «перекрестное произведение» оператора с вектором имеет свойства, которые не совпадает с перекрестным произведением двух векторов.

Соленоидальное поле

Соленоидальное поле

---

---

Соленоидальное векторное поле удовлетворяет

(1)

для каждого вектора, где это Дивергенция. Если это условие выполнено, существует вектор, известный как Векторный потенциал, такой что

(2)

куда это завиток.Это следует из векторного тождества

(3)

Если — безвихревое поле, то

(4)

соленоидный. Если и являются безвихревыми, то

(5)

соленоидный. Количество

(6)

где — Градиент, всегда соленоидальный.Для функции удовлетворяющий уравнению Лапласа

(7)

отсюда следует, что он соленоидальный (а также безвихревый). См. Также Поле Бельтрами, завиток, дивергенция, бездивергентное поле, градиент, безвихревое поле, Уравнение Лапласа, векторное поле

Список литературы

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, рядов и произведений, 5-е изд. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, стр.1084, 1980.

---

© 1996-9 Эрик В. Вайсштейн
1999-05-26

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера на прием файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно.Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу.Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта.Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Гигагауссовое соленоидное магнитное поле внутри пузырьков, возбужденных в недостаточно плотной плазме

Пузырьковый соленоид

Теперь фокус смещается на случай, когда коллапсирующие электроны могут покинуть притягивающее поле пузырька и не нарушить генерируемое магнитное поле.Здесь будет исследована зависимость магнитного поля от плотности плазмы, шага спирали лазерного импульса, интенсивности и длины волны. Все эти параметры определяют электронные токи, окружающие пузырь, которые управляют магнитным полем уровня GG (гигагаусса). Моделирование проводилось с целью проверки зависимости от шага спирали с результатами, представленными на рис. 3. Во всех случаях длина импульса равна шагу спирали импульса, что означает поворот профиля интенсивности на 180 градусов, но из-за к гауссову продольному профилю эффективное вращение составляет примерно 90 градусов (рис.1). Хорошо видно, что профиль магнитного поля становится более соленоидальным в плоскости xz , когда длительность импульса становится сопоставимой с размером пузырька. Пиковое осевое магнитное поле более локализовано в случае короткого λ _sp , но более вытянутое в случае большего λ _sp . Нормированное распределение электронной плотности показано на левых панелях рис. 3, и видно, что плотности заряда в плоскостях xy и xz различаются в результате «ассимметричного» лазерного импульса.Более высокое сжатие видно для меньшего шага спирали, что приводит к наблюдаемому более высокому пику магнитного поля, Рис. 4.

Рис. 3

Поперечные сечения электронной плотности, нормированные на исходную плотность в двух ортогональных поперечных плоскостях и соответствующих магнитных полях. в тех же плоскостях для рядов: ( a ) λ _sp = 0,9 μ м; ( b ) 1,8 μ м; и ( c ) 3.6 мкм м. Во всех случаях n ₀ = 0,62 × 10 ⁻³ n _cr .

Рисунок 4

( a ) Продольное магнитное поле вдоль оси распространения для различных спиральных шагов лазерного импульса, представленных на рис. 3 (b, c), показывают общую азимутальную скорость (∑ vφ / c ) распределение в поперечной плоскости в задней части пузыря для λ _sp = 0.9 мкм м и λ _sp = 3,6 мкм м соответственно. Отрицательная скорость (синие цвета) указывает на вращение по часовой стрелке, а небольшая положительная или близкая к нулю скорости (красные цвета) указывает на вращение против часовой стрелки.

Форма распределения магнитного поля и фактическое пиковое значение зависят от деталей сложных траекторий электронов и от уровня сжатия в хвосте пузыря. Однако самоиндуцированные силы отталкивания могут привести к разрушению токов и, таким образом, ограничить амплитуду генерируемого магнитного поля.Согласно рис.3 поперечный размер пузырька не зависит от шага спирали, поэтому плотность сжатых электронов масштабируется как n _e = ( λ _p / λ _сп ) н ₀ . Во-вторых, следует отметить, что магнитное поле создается конечными токовыми слоями толщиной примерно λ _sp /2. Применяя закон Ампера к этой геометрии, мы получаем, что магнитное поле составляет B = μ ₀ j ₀ λ _sp , где j _{0 5 = en en e v φ и v φ — азимутальная скорость.Использование этого выражения для сжатой электронной плотности приводит к B = pμ 0 en 0 λ p v φ /2, где p 1 указывает процент электронов, которые вносят вклад в поперечный ток. Использование λ p ≈ 8 μ м дает расчетное значение B ≈ p ⋅ 16 кТл для B-поля.Это близко к измеренным значениям (см. Рис. 4), если предположить, что только четверть электронов вносит вклад в поперечный ток.}

Рисунок 4a показывает, что пиковое магнитное поле слабо зависит от шага спирали (или длительности импульса в этой установке), но с помощью выражения пондеромоторной силы можно показать, что

, где l = λ _sp / λ _L . С другой стороны, длина пузырька (или половина длины волны плазмы) пропорциональна, таким образом,

. Это масштабирование предполагает, что осевое магнитное поле, показанное на рис.4а должен быть в два раза ниже, чтобы шаг спирали в 4 раза больше. Однако пиковые значения очень близки друг к другу, что можно отнести к большему азимутальному импульсу, полученному с большим λ _sp . Сравнение распределения азимутальной скорости на задней части пузыря показано на рис. 4b, c для λ _sp = 0,9 μ м и λ _sp = 3,6 μ м. , соответственно. Число вращающихся электронов одинаково в обоих случаях, но более длинный шаг спирали приводит к увеличению азимутальной скорости в два раза, что компенсирует пониженный гамма-фактор.

Генерация магнитного поля с помощью винтовых импульсов отличается от IFE, где B-поле создается внутри лазерного импульса без образования пузырьков или кильватерного поля. IFE зависит от поляризации поля, а не от формы импульса. Кроме того, полученное масштабирование IFE предсказывает гораздо более слабую напряженность поля ²³ :, где r ₀ ≫ λ _p — радиус плазменного канала.

Нетрудно ожидать более сильного магнитного поля внутри больших объемов за счет увеличения интенсивности лазера (энергии, доступной для возбуждения тока) и плотности плазмы (тока, доступного для генерации поля).Далее будет доказано, что магнитные поля, близкие к уровню GG, могут быть экспериментально созданы в лабораторных условиях с использованием лазерной интенсивности, получаемой с помощью существующей (или предполагаемой) технологии. В таблице 1 показаны параметры, используемые в следующих моделированиях. Первый набор параметров (Sim1) использовался в моделированиях, представленных выше. Размер пузырька определяется размером лазерного пятна ( W _L = 2 σ ₁ ), интенсивностью лазера и плотностью плазмы, и для того, чтобы иметь аналогичную структуру пузырька, как и раньше, размер лазерного пятна находится между одна треть и половина длины пузыря.

Таблица 1 Параметры моделирования.

Осевые магнитные поля, измеренные для первых четырех наборов параметров, показаны на рис. 5a, b. Полученное ранее выражение предсказывает масштабирование B ~ ( γn ₀ ) ^1/2 в строго релятивистском случае, то есть v _φ ≈ c . Это близко к наблюдаемому масштабированию. В случае большего шага спирали (рис. 5б) третье моделирование не дало ожидаемого результата, поскольку импульс был длиннее пузыря и генерация магнитного поля переходит в другой режим — это будет обсуждаться позже.В случае Sim4 плотность плазмы близка к плотности твердого тела, которая образует очень маленький пузырь и требует уменьшения длины волны лазера и размера импульса. Хотя результирующее магнитное поле достигает уровня МП, требуемые параметры лазера в настоящее время недоступны с помощью доступной лазерной технологии. Однако можно масштабировать параметры так, чтобы результирующее B-поле оставалось неизменным. Для этого должно выполняться следующее условие:

Рисунок 5

Продольное магнитное поле вдоль оси распространения для параметров, указанных в: ( a ) Таблица 1 и ( b ) для в два раза большего шага спирали.Красная, зеленая, синяя и черная линии соответствуют моделям 1, 2, 3, 4 соответственно. Цветовой код на обеих картинках одинаковый.

, где k = n ₀ / n _cr . Для такой же формы пузырьков требуется следующее ограничение:

К сожалению, при увеличении длины волны лазера до 0,8 мкм м плазма становится чрезмерно плотной, что приводит к быстрому истощению из-за поглощения или даже отражения лазерного импульса, а не осевого B-поле генерируется.На этом этапе можно предположить, что проблема может быть решена, если электронный пучок с угловым моментом используется для управления токами, способными генерировать магнитные поля МП.

Из представленных ранее выражений следует, что форма пузырька или амплитуда магнитного поля изменяются путем изменения параметров лазера или плазмы. В приведенном выше моделировании безразмерная длина импульса составляла l = 9, и если она останется неизменной, длину волны и интенсивность лазера можно настроить в четко определенных пределах для получения той же напряженности магнитного поля.На рис.6 показаны изометрические кривые max ( B _x ) и λ _p / λ _sp , которые указывают масштабирование плоскости параметров для постоянной длины импульса. л . Моделирование, обсуждаемое и представленное в таблице 1, показано на этих плоскостях параметров. Синяя область указывает пространство параметров, в котором можно наблюдать пузырьковый режим. Зеленая область показывает режим сильного захвата электронов, который не подходит для генерации сильных магнитных полей, желтая область соответствует режиму стационарного соленоида (представленного в следующем разделе), а красная область — области, где плотность плазмы равна большой, и истощение энергии импульса уже нельзя игнорировать.Желтые и зеленые пунктирные линии не являются точными кривыми, и переходы от зеленого к синему и от красного к желтому всегда ожидаются из-за истощения энергии. Хорошо видно, что длина волны лазера сильно влияет на результаты и смещает синюю область к областям с более низкой интенсивностью и плотностью, что, в свою очередь, означает более слабую генерацию магнитного поля. Высокая интенсивность и короткая длина волны необходимы для генерации сильного B-поля в соленоиде со статическим пузырьком.

Рисунок 6

Карта параметров генерации пузырькового соленоида, где также указаны области различных режимов, для двух длин волн лазера: ( a ) λ _L = 800 нм и ( b ) λ _L = 100 нм.Синяя и красная линии (уравнения (3 и 4)) показывают параметры, необходимые для создания одинаковой амплитуды магнитного поля и такого же распределения поля, соответственно. Синяя область показывает интервал параметров, обсуждаемый в этом разделе: режим пузырькового соленоида. Красная пунктирная линия соответствует k = n ₀ / n _cr = 0,1, за которым истощение лазерного импульса влияет на генерацию магнитного поля, и модель должна быть пересмотрена.

Чтобы доказать правильность масштабирования, сечения магнитного поля и электронной плотности из моделирования 5, 6, 7 показаны на рис. 7, где длина волны лазера в 8 раз больше, чем в Sim1. Сравнивая рис. 7a ( k = 0,04) с рис. 3a ( k = 0,62 × 10 ⁻³ ), можно увидеть, что амплитуда поля увеличивается в раз, а относительный размер пузырька — λ . _p / λ _sp , уменьшается во столько же раз, ≈2.8. Большое количество захваченных электронов снижает электростатический потенциал внутри пузыря, что приводит к его расширению. Интенсивность лазера и плотность плазмы можно изменять так, чтобы получить примерно такое же магнитное поле (Sim6) и большее соотношение λ _p / λ _sp (рис. 7b). Аналогичные формы пузырьков можно также получить, увеличивая интенсивность лазера и уменьшая плотность плазмы (Sim7 на рис. 7c).

Рисунок 7

Продольный магнит, генерируемый в верхнем ряду, и нормализованная электронная плотность в нижнем ряду, наблюдаемый для наборов параметров, показанных в таблице 1: ( a ) Sim5, ( b ) Sim6 и ( c ) Sim7.

Плазменные волны, возникающие в недостаточно плотной плазме, способны ускорять электроны до энергии ГэВ. В случае лазерного импульса винтовой формы продольное ускоряющее поле сочетается с сильным продольным магнитным полем, направленным в том же направлении. Это дает набор новых функций для этой схемы ускорения. B-поле, создаваемое в хвосте пузыря, приводит к тому, что в ускоренном пучке накапливается очень большое количество электронов с резко улучшенным эмиттансом.На рис. 8 энергия электронов достигла 500 МэВ всего за 60 мкм м распространения. Такая высокая энергия обусловлена ​​высокой плотностью плазмы и интенсивностью лазера, использованных при моделировании. Энергетический спектр и угловое распределение электронов показаны на рис. 8d – f. Два электронных сгустка наблюдаются в распределении плотности (8a), которые появляются также в распределении по импульсам. Даже в этих предварительных исследованиях видны эффективное ускорение и множественная группировка пучков. Угловой разброс электронов уменьшается по мере увеличения их энергии, и они, вероятно, будут объединены в один плотный и энергичный электронный сгусток, если ускорение будет достаточно длительным.Энергетический разброс электронов относительно велик, но угловой разброс отдельных сгустков составляет менее 1 мрад. Большой разброс по энергии можно объяснить истощением энергии импульса и большой плотностью заряда электронного пучка, который изменяет поля пузырьков (рис. 8b, c), снижая эффективность группирования и ускорения.

Рисунок 8

( a ) Снимок электронной плотности, ( b ) продольного электрического поля и ( c ) аксиального магнитного поля в случае Sim2 при t = 110 фс. (г), Распределение энергии электронов и (д, е), импульсов для разных моментов времени.

Эти электроны сжимаются из-за сильного магнитного поля и вращаются вдоль оси распространения (рис. 8д, е). Такая динамика электронного пучка может быть очень интересна для генерации синхротронного излучения (СИ) высокой интенсивности на шкале длин волн <нм, преимущественно в прямом направлении. Пространственное разрешение этого метода моделирования недостаточно высоко, чтобы разрешить эти длины волн (и спиральное движение электронов), и это излучение не может быть исследовано на данном этапе численного моделирования.Это будет изучено в будущем с использованием расширенных кодов PIC ³² . Ожидается, что из-за спирального движения электронов в магнитном поле произойдет сильная потеря энергии из-за поперечного движения из-за интенсивного СИ. Потери СИ на единицу длины равны ³³ :

, где r _e — классический радиус электрона, а R — радиус кривизны движения электрона, определяемый магнитной жесткостью, Bρ [Tm ] ≈ 3.33 p [ГэВ / c], и азимутальный угол движения электрона θ .

Описание спирального движения релятивистских частиц с поперечным углом θ в этом соленоидальном поле, B _x , as где ρ = Bρ / B _{x дает радиус кривизны этого движения как 1/ R = d ² r / ds ² , что дает оценку R = Bρ / ( B x x θ ).Длина охлаждения, L cool , может быть определена как равная расстоянию, на котором электрон потеряет всю свою поперечную энергию, оценивается как γm e c ² θ ² , из-за SR. Следовательно, его поперечный эмиттанс будет уменьшаться в раза e = 2,718 по сравнению с L cool :}

Для простой оценки энергия электрона 1 ГэВ, что означает γ = 2000 и B _x = 10 ^{5 Можно предположить магнитное поле} T, что приведет к L _cool ≈ 60 μ м, что намного короче, чем длина истощения импульса ³⁴ : мм в случае Sim2 .Этот тип эффективного охлаждения должен улучшить общий эмиттанс пучка, поскольку пучок будет продолжать ускоряться, как показано на рис. 8 (e, f). Охлаждение может быть менее эффективным, когда начинают преобладать квантовые эффекты, то есть энергия испускаемых фотонов становится сопоставимой с энергией электронов. В приведенном выше примере отношение E _фотон / E _el = γ ² r _e B ρ / () .05, где α ≈ 1/137, намного меньше единицы, но при увеличении напряженности поля или энергии пучка на один порядок будет получено излучение, близкое к смещению квантового режима, и оценки необходимо будет соответствующим образом скорректировать. Продольное магнитное поле будет действовать не только для направления электронного пучка (эффективный коллиматор пучка), но и как эффективный хладагент, одновременно обеспечивая преобразование поперечной энергии пучка в высокочастотное синхротронное излучение.

Устойчивый соленоид

До сих пор рассматривался только пузырьковый режим, при котором размер лазерного пятна W _L < λ _p и шаг спирали λ _sp λ _p были относительно небольшими.В этом случае магнитное поле движется со скоростью света и постоянно появляется и исчезает в плазме. В некоторых случаях это может быть выгодно, но это поле трудно обнаружить прямыми методами. Если длина импульса приближается к длине пузырька или превышает его, можно наблюдать более однородное магнитное поле (рис. 5b и 7a). В этом режиме можно резонансно управлять азимутальным током, если длина волны плазмы соответствует шагу спирали лазерного импульса. Однако в этом случае пузырь не может быть сформирован, и в результате спиральные токи не ограничиваются короткими интервалами оболочки пузырька, таким образом сохраняясь на более длинном расстоянии после лазерного импульса.

На рисунке 9 показан один пример, где параметры аналогичны Sim5, но используется более низкая интенсивность. Этот режим наблюдается уже на рис. 7a, потому что набор параметров Sim5 близок к красной области на рис. 6, что означает быстрое истощение (уменьшение интенсивности) и переход к желтой области. Распределение энергии лазерного импульса также показано на рис. 9b, что указывает на истощение энергии и сильные модуляции во время развития импульса. Понятно, что все взаимодействия заканчиваются переходом от пузырькового к стационарному соленоиду из-за истощения энергии.Положительные и отрицательные магнитные поля параллельны и разделены в канале за лазерным импульсом, как и ожидается в любых соленоидных структурах. Эта структура тормозит в пределах W _L ≫ λ _p из-за образования магнитных нитей в плазме, если ток шире, чем локальная длина Дебая.

Рисунок 9

Продольное магнитное поле (a) и амплитуда векторного потенциала в импульсе (b) сечения показаны в трех временных точках для параметров Sim5 с I ₀ = 0.8 × 10 ²¹ Вт / см ² .

Срок службы магнитных полей, создаваемых таким образом, зависит от частоты столкновений между электронами и ионами и времени магнитной диффузии, определяемого как t _d = μ ₀ R ² / η ³⁵ , где R — поперечный масштаб электронного пучка, а η — удельное сопротивление.