Site Loader

Содержание

Соленоидальное векторное поле / Теория поля / 3dstroyproekt.ru

Определение соленоидального поля

Векторное поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ называется соленоидальным в области $\mathbf { \textit { V } } $, если во всех точках этой области $div\bar { a } (M)=0$.

Согласно этому определению, поле не может иметь в области $\mathbf { \textit { V } } $ источников и стоков, таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: $div\,rot\bar { a } (M)=\nabla \cdot \left[ { \nabla \times \bar { a } }\right]=0$.

Самостоятельно доказать это свойство в координатной форме.

Свойства соленоидального поля

  1. Поток соленоидального векторного поля через поверхность $\sigma $, ограничивающую область $V_\sigma \in V$, равен нулю. Это прямое следствие формулы Остроградского.
  2. Верно и обратное утверждение: равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность $\sigma $ достаточно для соленоидальности поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$. Действительно, в разделе Инвариантное определение дивергенции мы доказали, что $div\bar { a } (M)=\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \Pi } { V } =\mathop { \lim } \limits_ { \sigma \to M } \frac { \mathop { { \iint } } \limits_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } } { V } \mathbf { , } $ и, так как $\mathop { { \iint } } \limits_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } =0$, то $div\bar { a } (M)=0$.
  3. Пусть в $\mathbf { \textit { V } } $ имеется изолированный источник { или сток } поля. Если поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность $\sigma $, содержащую этот источник имеет одно и то же значение. Фраза «в $\mathbf { \textit { V } } $ имеется изолированный источник { или сток } поля» означает, что область $\mathbf { \textit { V } } $, в которой поле соленоидально, неодносвязна из $\mathbf { \textit { V } } $ выколота точка, в которой находится источник.3 } \bar { r } $, соленоидально всюду, кроме точки $r=0$, в которой расположен источник.
  4. Поток соленоидального векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки один и тот же. Это следует из того, что поток через боковую поверхность трубки равен нулю.

СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ — это… Что такое СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ?

СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ

трубчатое поле,- векторное поле, не имеющее ни источников, ни стоков, т. е. дивергенция к-рого равна нулю во всех его точках. Поток С. п. через любую замкнутую кусочно гладкую ориентированную границу любой области равен нулю. С. и. характеризуется т. н. векторным потенциалом — функцией (М)такой, что а== rоtA(М). Примеры С. п.: поле скоростей несжимаемой жидкости, магнитное поле внутри бесконечного соленоида.
А. Б. Иванов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

  • СОЛВМНОГООБРАЗИЕ
  • СОЛИТОН

Смотреть что такое «СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ» в других словарях:

  • СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ — векторное поле, не имеющее источников. Это означает, что дивергенция вектора а С. п. равна нулю: diva=0. Примером С. п. служит магн. поле, divB=0, где В вектор магнитной индукции. С. п. можно всегда представить в виде a=rot b; вектор b наз.… …   Физическая энциклопедия

  • соленоидальное поле — solenoidinis laukas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. solenoidal field; source free field vok. quellenfreies Feld, n; solenoidales Feld, n rus. соленоидальное поле, n pranc. champ solénoïdal, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Соленоидальное поле —         векторное поле, не имеющее источников. Это означает, что Дивергенция вектора а С. п. равна нулю: div а = 0. Примером С. п. служит Магнитное поле, div В = 0, где В вектор магнитной индукции (См. Магнитная индукция). С. п. можно всегда… …   Большая советская энциклопедия

  • Соленоидальное поле — …   Википедия

  • соленоидальное магнитное поле — solenoidinis magnetinis laukas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. solenoidal magnetic field vok. solenoidales magnetisches Feld, n rus. соленоидальное магнитное поле, n pranc. champ magnétique solénoïdal, m …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • Соленоидальное векторное поле — Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Этимология 4 См. также …   Википедия

  • Векторное поле — Векторное поле  это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан… …   Википедия

  • Потенциальное векторное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике  векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном… …   Википедия

  • Градиентное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике  векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве …   Википедия

  • Потенциальное поле — Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике  векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве …   Википедия

Лекция Основные классы векторных полей. Соленоидальное поле. Потенциальное поле. Гармоническое поле

Основные классы векторных полей

1.Соленоидальное поле

Определение: Поле называется соленоидальным, если во всех его точках дивергенция равна 0, т.е. нет источников и стоков, поскольку по формуле Остроградского: Т.е. в соленоидальном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

2. Потенциальное поле

Сила равна градиенту функции U.

Определение: Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если во всех точках поля его ротор равен нулю .

Свойства потенциального поля:

а) Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

б) В потенциальном поле криволинейный интеграл по дуге зависит только от положения точек и , и не зависит от формы кривой .

Это свойство следует из свойства а)

;

в) Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции , если , то существует такая функция , что .

Таким образом, потенциальное поле можно задавать не тремя функциями а одной функцией — потенциалом.

Потенциал находится с точностью до константы по формуле:

(9)

Пример: Установить потенциальность поля и найти его потенциал.

1) покажем, что поле потенциально

.

поле потенциально

2) найдем потенциал по формуле (9)

Гармоническое поле

Определение: Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. и . Примером гармонического поля является поле скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Получим условие для потенциала.

Т.к. , то существует такое, что .

Тогда из условия , следует что

, т.е. потенциал является решением уравнения Лапласа (гармонической фукцией).

Проверить, является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. Пример решения задачи онлайн

Краткая теория


Векторное поле   называется потенциальным векторным полем если оно является градиентом некоторого скалярного поля . Это скалярное поле  называется соответственно потенциалом векторного поля . Векторное поле называется вихревым или соленоидальным векторным полем, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю.

Пример решения задачи


Задача

Проверить, является ли векторное поле  потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля  найти его потенциал.

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Проверка на потенциальность

Для потенциальности поля необходимо и достаточно, чтобы

Таким образом, поле является потенциальным.

Проверка на соленоидальность

Для соленоидальности поля:

Таким образом, поле не является соленоидальным.

Вычисление потенциала

Потенциал можно вычислить по формуле:

Выберем в качестве точки  точку

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.

Проверить, является ли векторное поле F соленоидальным и потенциальным

Задачи по исследованию векторного поля, что включают нахождение циркуляции, потока рассмотрены на предыдущих уроках. Здесь мы покажем, как быстро проверить, а если и нужно то и доказать, что поле является потенциальным и соленоидальным. Условия за которых это выполняется детально расписанны в объяснениях к вычислениям.
Детальный анализ каждого из примеров позволяет самостоятельно освоить данную тему каждому студенту.

ЗАДАНИЕ 10.4 Проверить, является ли векторное поле F=(5x+4yz) *i+(5y+4xz)*j+(5z+4xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Для того, чтобы заданое поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы ротор векторного поля был равен нулю rot(F)=0.
За условием выписываем функции, которые необходимы для дальнейших расчетов
P=P(x;y;z)=5x+4yz, Q=Q(x;y;z)=5y+4zx, R=R(x;y;z)=5z+4xy.
Отсюда ротор векторного поля через частичные производные находим по формуле
Из вычислений видим что векторное поле является потенциальным.
Найдем потенциал u=u(x;y;z) заданного векторного поля .
Согласно теории, векторное поле равно градиенту потенциала:
Выпишем компоненты градиента из начального условия F= (5x+4yz) *i+ (5y+4xz) *j+ (5z+4xy) *k
 потенциальным и соленоидным. Если полетпотенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Для того, чтобы задано поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы ротор векторного поля был равен нулю rot (F) =0.
За условием выписываем функции, которые необходимы для дальнейших расчетов
P=P (x;y;z) =5x+4yz, Q=Q (x;y;z) =5y+4zx, R=R (x;y;z) =5z+4xy.
Отсюда ротор векторного поля через частичные производные находим за формулой
Из вычислений видим, что векторное поле является потенциальным.
Найдем потенциал u=u (x;y;z) заданного векторного поля .
Согласно теории векторное поле равно градиенту потенциала :
Выпишем компоненты градиенту из начального условия F=(5x+4yz)*i+(5y+4xz)*j+(5z+4xy)*k

Дальше интегрированием возобновляем потенциал, сначала интегрируем производную по x, потом найденный потенциал дифференцируем по y и приравниваем ко 2 частичной производной, и так далее
Здесь не ставили знак интегрирования, поскольку имеем дело с простыми табличными интегралами, а такая запись экономит время, храня при этом суть операций.
Окончательно записываем потенциал u векторного поля :
u(x;y;z)=2,5(x2+y2+z2)+4xyz+C, где C — произвольная константа.
Чтобы векторное поле было соленоидным, необходимо и достаточно, чтобы его дивергенция была равна нулю
Проверяем это условие:
Она не выполняется, следовательно рассмотреное векторное поле не является соленоидным.

 

ЗАДАНИЕ 10.5 Проверить будет ли векторное поле F=(x+2yz) *i+(y+2xz)*j+(z+2xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Необходимым и достаточным условием, что векторное поле — потенциальное является равенство нулю ротора
Из начального условия записываем P=P(x;y;z)=x+2yz, Q=Q(x;y;z)=y+2xz, R=R(x;y;z)=z+2xy.
По формуле находим ротор векторного поля
Делаем вывод о том, что полет является потенциальным.
Найдем потенциал u(x, y, z).
Градиент равен:
Выписываем частичные производные

а дальше интегрированием возобновляем функцию

Потенциал векторного поля принимает значение
u (x;y;z)=0,5(x2+y2+z2) +2xyz+C,
где C — произвольная константа.
Условие что векторное поле соленоидальное равносильная равенству нулю его дивергенции

Выполняем необходимые расчеты

Из записи видим, что условие не выполняется, следовательно  векторное поле не является соленоидным.

 

ЗАДАНИЕ 10.6 Проверить, является ли векторное поле F=(4x-7yz)*i+(4y-7xz)*j+(4z-7xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если полет потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Полет F является потенциальным, если его ротор равен нулю
За условием выписываем составляющие P=P(x;y;z)=4x-7yz, Q=Q(x;y;z)=4y+7xz, R=R(x;y;z)=4z-7xy
и подставляем в формулу ротора
Получили в результате нуль, можем сделать вывод, что векторное поле является потенциальным.
Потенциал u=u(x;y;z) векторного поля находим через формулу градиента :
Частичные производные, согласно начальному условию, имеют следующие значение

Повторно интегрируя их определяем функцию u(x;y;z)
Внимательно пересмотрите и разберите, в чем суть вышеприведенных формул.
Интегрированием за переменной ‘х’ мы получаем потенциал + функцию от двух других координат phi(y,z).
Найдя частичную производную потенциала за переменной ‘y’ и, приравняв к частичной производной из векторного поля, доопределяем функцию phi(y,z), остается одна неизвестная psi(z).
Для ее определения находим частичную производную потенциала по ‘z’ приравниванием к третьей компоненте векторного поля, получаем ее частичную производную.
Далее через интеграл ее доопределяем. Напоследок остается подставить все найденные функции в начальную запись.
Таким образом, потенциал поля равен 
u(x;y;z)=2(x2+y2+z2)-7xyz+C, где C — произвольная константа.
Проверка  поля F на соленоидальность равносильня нахождению дивергенции и проверке  равна ли она нулю.
Сами вычисления не сложны, стоит лишь знать или иметь под рукой формулу дивергенции

Видим, что поле не является соленоидным.

 

ЗАДАНИЕ 10.7 Проверить, или будет векторное поле F=(12x+yz)*i+(12y+xz)*j+(12z+xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Проверяем равен ли ротор векторного поля  нулю
Имеем функции P=P(x;y;z)=12x+yz, Q=Q(x;y;z)=12y+xz, R=R(x;y;z)=12z+xy
которые подставляем в формулу
Условие равенства нулю ротора выполняется, следовательно векторное поле является потенциальным.
Отыщем потенциал u(x;y;z).
Для этого применяем форму записи векторного поля через градиент потенциала:
Таким образом получим частичные производные

Методика нахождения потенциала векторного поля детально расписана в предыдущих задачах.
Следует отметить, что за первое приближение можно брать любую из трех частичных производных.
Выбирать порядок Вам, конечный интеграл от этого не изменится.
Формула потенциала векторного поля примет вид:
u(x;y;z)=6(x2+y2+z2)+xyz+C, где C — произвольная сталая.
Проверим, является ли векторное поле   соленоидным.
Для этого должно выполняться условие div(F)=0:
Из расчетов видим, что дивергенция не равна нуля, следовательно делаем вывод что поле не является соленоидным.

 


ЗАДАНИЕ 10.10 Проверить, является ли векторное поле F=(6x+7yz)*i+(6y+7xz)*j+(6z+7xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Из предыдущих примеров Вы уже возможно запомнили что сначала нужно найти ротор векторного поля.
Выписываем функции
P=P(x;y;z)=6x+7yz, Q=Q(x;y;z)=6y+7xz, R=R(x;y;z)=6z+7xy
и по формуле находим ротор
Он равен нулю, а это значит, что исследуемое векторное поле является потенциальным.

Для возобновления потенциала u(x;y;z) воспользуемся схемой, которая детально повторяется из примера в пример.
Выписываем уравнение градиента потенциала:
из него имеем частичные производные

какие используем при интегрировании и доопределении u(x;y;z)
После всех расчетов потенциал векторного поля будет равен:
u(x;y;z)=3(x2+y2+z2)+7xyz+C, где C — произвольная константа.
Осталось проверить, является ли поле F соленоидным.
Для этого имеем условие :

Вычисления показали, что условие равенства нулю дивергенции не выполняется.
Следовательно, векторное поле не является соленоидным.

 

ЗАДАНИЕ 10.12 Проверить, будет ли векторное поле F=(3x+yz)*i+(3y+xz)*j+(3z+xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Вы уже должны были бы знать, чтобы  векторное поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы ротор rot(F) был равен нулю.
Выписываем функции P=P(x;y;z)=3x+yz, Q=Q(x;y;z)=3y+xz, R=R(x;y;z)=3z+xy.
и за нижеприведенной формулой находим ротор
Он равен нулю, поєтому  векторное поле F является потенциальным.
Найдем потенциал u(x;y;z).
Формула градиента потенциала имеет вид:
Из нее выписываем частные производные

а дальше через неопределенные интегралы находим потенциал
Как уже отмечалось выше, в приведенных формулах для уменьшения громоздкости опущены знаки интегрирования.
В вычислениях это допустимо, однако, если преподаватели от Вас требуют детального расписания всех промежуточных объяснений, не забывайте, что здесь мы имеем в виду неопределенные интегралы.
Окончательно записываем явный вид потенциала поля
u (x;y;z)=1,5(x2+y2+z2)+xyz+C, здесь C — любая константа.
И последняя проверка на условия, что векторное поле  является соленоидным (div (F) =0)
Видим что поле F не является соленоидным (дивергенция отличается от нуля).

 

ЗАДАНИЕ 10.21 Доказать, что векторное поле F=yz*i+xz*j+xy*k
является потенциальным и соленоидным.
Решение: Условие соответствия векторного поля F потенциальному имеет вид

Выписываем функции P=P(x;y;z)=yz, Q=Q(x;y;z)=xz, R=R(x;y;z)=xy
и ичитываем в уравнении ротора

Имеем равенство нулю ротора, таким образом проверили и доказали, что векторное поле F является потенциальным.
Чтобы найти потенциал u(x;y;z) векторного поля используем градиент:
Из входных данных задания выписываем частичные производные u(x;y;z)

Дальше интегрированиям постепенно возобновляем u(x;y;z)

Формула потенциала векторного поля приобретет вид:
u (x;y;z)=xyz+C, где C — любая сталая.
Осталось доказать, что векторное поле является соленоидным.
Для этого находим дивергенцию
и убеждаемся, что она равна нулю.
Это значит, что векторное поле является соленоидным, что и следовало досказать.

 

ЗАДАНИЕ 10.23 Проверить, является ли векторное поле F=(x2+yz)*i+(y2+xz)*j+(z2+4xy)*k
потенциальным и соленоидным.
Если поле  потенциальное, то найти его потенциал.
Решение: Проверка условия равенства нулю ротора векторного поля однозначно позволяет выяснить, является ли векторное поле потенциальным, или нет.
Из начального условия выписываем
P=P(x;y;z)=x2+yz, Q=Q(x;y;z)=y2+xz, R=R(x;y;z)=z2+xy
и применяем формулу ротора

Условие выполняется, поэтому делаем вывод что векторное поле является потенциальным.
Как найти потенциал  (x;y;z) детально описано в методике и объяснениях к расчетам.
Но снова и снова проходимся по пунктам, поскольку, как показывает практика студенты живут по правилу «выучил — сдал — забыл».

Нам нужно записать градиент поля через частные производные:
Дальше их выписываем

Потом поочередно интегрируя их и дифференцируя найденные потенциалы, находим явный вид uВ результате получим следующее уравнение потенциала
u(x;y;z)=1/3*(x3+y3+z3)+xyz+C
Проверка поля на выполнение условия div(F)=0 позволяет установить, является ли векторное поле соленоидным.
Выполняем вычисления:
Делаем вывод, что задано векторное поле F не является соленоидным.

Из рассмотренных примеров Вы могли заметить, что не каждое потенциальное поле является соленоидным.
Формул для проверки условий не так много и они детально расписаны. Считаем, что приведенный материал в полной мере позволяет Вам выполнить самостоятельно расчеты аналогичных примеров.

Соленоидальное поле. div An An An An An 16 16 An An 17 17 dv div dv div dv dv

Лекция 5

1.3.4. Соленоидальное поле.

Векторное поле, дивергенция которого тождественно равна нулю, называется

соленоидальным или трубчатым. Примером соленоидального поля может служить, как мы

рассматривали ранее, поле скоростей несжимаемой жидкости при отсутствии стоков и

источников, т.е. при условии, что ни в одной точке жидкость не исчезает и не возникает.

Для соленоидальных полей имеет место так называемый

закон сохранения интенсивности векторной трубки, состоящий в

следующем. Пусть А — соленоидальное поле. Рассмотрим

некоторую векторную трубку и возьмем ее отрезок,

заключенный между двумя ее сечениями 1 и 2 (рис. 7). Эти сечения вместе с боковой

поверхностью 3 трубки образуют замкнутую поверхность . Так как поле соленоидально,

т. е. div А  0, то, в силу формулы Остроградского,

     



2 31



dAdAdAdA nnnn

, (16)

причем в каждом из слагаемых имеется в виду внешняя сторона поверхности. Третье

из стоящих справа слагаемых равно нулю, так как по определению векторной трубки на

поверхности 3 направление векторного поля А перпендикулярно направлению нормали к

этой поверхности, т. е. на 3

Аn  0.

Если мы теперь на сечении 1 направление нормали изменим на противоположное,

то равенство (16) перепишется в виде

 

 

1 2



dAdA nn

, (17)

т. е. поток вектора А через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же

значение. Если поле вектора А представлять себе как поле скоростей несжимаемой

жидкости при отсутствии источников и стоков, то равенство (17) означает: количество

жидкости, протекающей за единицу времени через сечение векторной трубки, одно и то же

для всех сечений этой трубки.

1.3.5. Уравнение неразрывности.

В качестве применения изложенных ранее понятий дадим вывод одного из основных

уравнений движения жидкости, так называемого уравнения неразрывности. Пусть А —

поле скоростей движущейся жидкости. Мы будем предполагать, что в рассматриваемой

области жидкость не исчезает и не возникает. Однако в отличие от наших предыдущих

рассмотрений мы будем предполагать эту жидкость сжимаемой, т. е. считать плотность 

некоторой функцией координат х, у, z и времени t. Выясним, как связана скорость

движения такой жидкости с изменением ее плотности. Для этой цели рассмотрим

некоторый замкнутый объем  и подсчитаем двумя способами изменение Q количества

жидкости внутри этого объема за время t. Пусть  (х, у, z) — плотность жидкости в момент

t в точке х, у, z. Тогда, очевидно,





 dv

t

tQ ρ

.

с другой стороны, изменение количества жидкости внутри объема  равно

умноженному на t потоку жидкости через поверхность , ограничивающую этот объем,

т.е. равно

Свойства потенциальных полей. Соленоидальное векторное поле

          Свойства потенциальных полей.

1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала

                                               (2.3)

2) циркуляция (1.9) вектора  по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю:

                                                            .                                         (2.4)

3) потенциал  находится по формуле (2.3):

                                                       ,                                       (2.5)

где (AM) – произвольная кривая, стягивающая точки A и M. Если путь (AM) взять в виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат (количество таких ломаных равно шести), то для нахождения потенциала может быть применена одна из формул, выражающая потенциал  через определенные интегралы ; ):

                    .              (2.6)

          Пример. Проверить, что поле вектора  является потенциальным и найти его потенциал.

          Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2):

— поле потенциально. Найдем потенциал  по формуле (2.6): за начальную точку удобно взять точку A(0,0,0):  .

15.2.2. Соленоидальное векторное поле

Определение. Векторное поле  называется соленоидальным (трубчатым) полем, если дивергенция его равна нулю:

                                                                                      (2.7)

(то есть это поле без источников и стоков). Из теоремы (1.11) следует, что в соленоидальном поле поток

                                                                                                    (2.8)

через любую замкнутую поверхность, лежащую в этом поле.

          Пример. Какие из нижеследующих полей являются соленоидальными (в  естественной области определения):

1) ;

2) ?

          Решение. 1) вычислим критерий (2.7): — — поле вектора   соленоидально; 2)  — поле не соленоидально.

15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.

Лапласово (гармоническое) векторное поле

          Дифференциальные операции второго порядка – это повторно примененные операции grad, div и rot к скалярным и векторным полям, полученным в результате применения этих же операций к скалярным  и векторным  полям. Возможны лишь следующие повторные операции:  ;  ,
где  -лапласиан; ; ;  .

Операции первого и второго порядков удобно записывать (и вычислять, доказывать) с помощью специального символического оператора  (читается “набла”):

                                                    .                                         (2.9)

Для дифференциальных операций первого порядка имеем

                                     ;     .                       (2.10)

Операции второго порядка:

;

;

;

;

.

При применении оператора “набла” руководствуются следующим правилом: при применении оператора  к произведениям скалярных  , ) и векторных ,  полей:  можно поступать так: применить оператор  к каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным (их обозначаем ), и результаты сложить; затем каждоеслагаемое преобразовать по правилам векторной алгебра так, чтобы оператор  стоял на предпоследнем месте перед переменным множителем.

Пример. Показать, что .

          Решение. В символической форме записи . Учитывая сначала дифференциальный характер , мы должны написать . Рассматривая выражение  мы можем постоянный множитель  вынести за знак “набла” и, как скаляр, за знак скалярного
произведения, что дает  (на последнем шаге мы опустили индекс “c”).

          В выражении  оператор  действует только на скалярную функцию u; поэтому мы можем написать, что . В результате получаем формулу  или .

электромагнетизм — Покажите, что соленоидное поле всегда является завитком векторного поля

электромагнетизм — Покажите, что соленоидное поле всегда является завитком векторного поля — Physics Stack Exchange
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Зарегистрироваться

Physics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для активных исследователей, ученых и студентов-физиков.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 492 раза

$ \ begingroup $ Закрыто. Этот вопрос не по теме. В настоящее время он не принимает ответы.

Хотите улучшить этот вопрос? Обновите вопрос, чтобы он соответствовал теме Physics Stack Exchange.

Закрыт 6 лет назад.

Может кто-нибудь доказать, что:

$$ \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ implies \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} ~? $$

Я знаю, что тождественно $$ \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = 0 $$.

Но можно ли доказать, что если $ \ mathbf {B} \ neq \ nabla \ times \ mathbf {A} $ для любого $ \ mathbf {A} $, то $ \ nabla \ cdot \ mathbf {B} \ neq 0? $

Qmechanic ♦

1k2828 золотых знаков

Создан 17 апр.

гаутам1168гаутам1168

61333 серебряных знака 77 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

Это называется теоремой Гельмгольца, которая утверждает, что для любого векторного поля $ \ vec {F} $, дважды непрерывно дифференцируемого в ограниченной области, мы можем выполнить разложение $$ \ vec {F} = — \ vec {\ nabla} \ Phi + \ vec {\ nabla} \ times \ vec {A} $$ См. Http: // en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition для производной

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.