3 Сложение векторов

Определение 3.1. Суммой двух векторов  и  называется вектор  , где  ,  ,  — произвольная точка,  — точки, полученные после откладывания векторов 

 и  .

Покажем, что сумма векторов не зависит от выбора точки . Действительно, пусть  — любая точка, отличная от точки . Строим векторы . Докажем, что . Так как 

 и , то по лемме 2.1.  и , то есть . Следовательно, по той же лемме . Замечание 3.1. Для нахождения суммы неколлинеарных векторов приходится строить треугольник  . Поэтому правило сложения векторов называется правилом треугольника. Из этого правила следует, что для любых трех точек  справедливо равенство

В частности, это правило справедливо и для коллинеарных точек.

Свойства сложения векторов.

ТЕОРЕМА 3.1. Для произвольных векторов 

 справедливы следующие равенства: 1.  — коммутативность сложения векторов. 2.  — ассоциативность сложения векторов. 3. . 4. . Доказательство. 1. Пусть  и   — произвольные векторы. От какой-нибудь точки  отложим векторы , а затем от точки  отложим вектор . Согласно построению , поэтому по лемме 2.1. получаем , т.е.  . По правилу треугольника  и , следовательно, . Отсюда получаем, что . 2. Пусть  и  — произвольные векторы. Возьмем какую-нибудь точку 

 и отложим последовательно векторы .  По правилу треугольника , поэтому . С другой стороны , поэтому . Отсюда получаем требуемое. 3. Применим правило   к точкам  получим . Значит, . 4. Применим правило  к точкам  получим  . Значит,  . Замечание 3.2. 1. Суммой векторов  и  будем считать вектор . На основании доказанной теоремы , поэтому при записи суммы трех векторов можно опустить скобки и писать просто . Более того, можно доказать, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых. В самом деле, докажем, например, что : . 2. Аналогично можно определить сумму  векторов, где . Пусть  — произвольные векторы. Их суммой называется вектор  , и обозначается так: .  Из второго свойства можно получить правило многоугольника для нахождения суммы любого конечного числа векторов. Оно таково: Суммой конечного числа векторов называется вектор, идущий из начала первого в конец последнего, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего. Нетрудно убедиться в том, что сумма  векторов не зависит от порядка слагаемых. 3. Для неколлинеарных векторов при их сложении можно пользоваться правилом параллелограмма: Суммой двух неколлинеарных векторов является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, при условии, что начало искомого вектора совпадает с началом данных векторов.

4 Разность векторов.

Определение 4.1. Разностью векторов  и , взятых в данном порядке, называется такой вектор , который в сумме со вторым вектором дает первый вектор. Докажем существование и единственность разности. Существование. Отложим векторы 

 и  от одной и той же точки : Применяя равенство  для точек  получаем Полагая , будем иметь . Этим доказано существование разности. Единственность. Пусть существует еще вектор  такой, что . Тогда . Прибавим к обеим частям этого равенства вектор . Получим Таким образом, доказано существование и единственность разности любых двух векторов, при этом эта разность обозначается . Замечание 4.1. Из доказательства существования разности векторов можно сформулировать правило нахождения разности двух векторов: Разностью двух данных векторов, отложенных из одной точки является вектор, идущий из конца второго в конец первого.

Отметим еще равенство  В самом деле,

Глава 1. Векторная алгебра

§ 1. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора

Основные теоретические сведения

Линейные операции над векторами

Сложение векторов. Суммой векторов называется вектор (рис.1.1), представляющий замыкающую многоугольника, построенного на слагаемых векторах (правило многоугольника). Из этого правила для суммы двух векторов получается правило параллелограмма (рис. 1.2).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Свойства суммы векторов:

1. .

2.

Вычитание векторов: Разностью называется вектор, такой что. Для построения вектораприводим к общему началу

векторы и, затем по правилу многоугольника находим

так, чтобы (рис. 1.3)

Рис. 1.3

Замечания

1. Вектор направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора.

2. Векторы исовпадают с диагоналями параллелограмма, построенного на векторахи(рис. 1.2, рис. 1.3)

Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора на числоназывается новый вектортакой, чтоипри(вектора сонаправлены),при(вектора противоположно направлены).

В частном случае при векторназывается противоположным векторуи обозначается.

Свойства умножения вектора на скаляр:

1.

2.

Имеет место утверждение: , где– число.

Линейная зависимость векторов. Сумма называется линейной комбинацией векторов; числаназываются коэффициентами линейной комбинации.

Векторы называютсялинейно зависимыми, если существуют числа такие, чтои.

Векторы называютсялинейно независимыми, если только при.

Два вектора зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Три вектора зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Четыре вектора всегда линейно зависимы.

Разложение вектора на составляющие. Если инезависимы (неколлинеарны), то любой третий вектор, лежащий в плоскостии, единственным образом раскладывается на составляющие по направлениями:. Еслинезависимы (некомпланарны), то любой четвертый векторединственным образом раскладывается по направлениям векторов:.

Векторный базис и координаты вектора. Упорядоченная система любых трех линейно независимых векторов называется базисом трехмерного пространства. Предположим, что в качестве базиса выбраны 3 некомпланарных вектора , тогда любой векторможно представить в виде:.

Числа называются координатами векторав выбранном базисе. Наряду с записьюбудем пользоваться символической записью:.

Аналогично, упорядоченная пара линейно независимых векторов называется базисом двухмерного пространства.

Базис называется ортонормированным, если базисные векторы являются взаимно перпендикулярными ортами. В этом случае базисные векторы обозначаются буквами и наряду с записьюпользуются символической записью:В ортонормированном базисе координаты вектора совпадают с проекциями этого вектора на направления базисных векторов:.

В любом базисе при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Прямоугольная система координат и радиус-вектор.

Если в пространстве выбрана прямоугольная система координат, (рис. 1.4), то координатами точки называются координаты радиус-вектора этой точки.

z M 0 y x Рис. 1.4

Если вектор имеет координатыx, y, z, то координатами точки М будут числа x, y, z, что записывается в виде М(x,y,z). Если даны две точки , тои

2. Простейшие операции над векторами

К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.

1) Сложение векторов.

Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов и, необходимо конец векторасовместить с началом. Вектор, соединяющий точкии, будет их суммой.

Обозначается сума следующим образом: . Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторовисовмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.

Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством

.

Если слагаемых больше, например, три: , поступают следующим образом. Строят вначале сумму, а затем, прибавляя, получают вектор.

Из рисунка видно, что тот же результат будет, если сложить вначале , а затем прибавить, то есть сумма векторов обладает сочетательным свойством:

.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего совпадает с началом первого, то сумма равна ноль вектору . Очевидно,.

2) Разность векторов.

Определение 2. Разностью двух векторов иназывается такой вектор, сумма которого с вычитаемымдает вектор.

Значит, если , то.

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы и. Векторсоединяет концы векторовии направлен от вычитаемого к уменьшаемому.

Видно, что если на векторах ипостроить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая — разности.

3) Умножение вектора на число.

Определение 3. Произведением вектора на числоназывается вектор, определенный следующими условиями:

1) ;

2) вектор коллинеарен вектору;

3) векторы инаправлены одинаково, если, и противоположно, если.

Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения векторана. Отсюда,.

Из определения 3 следует, что если , то векторыиколлинеарны. Отсюда вытекает определение коллинеарности векторов.

Определение 4. Любые два вектора иколлинеарны, если связаны соотношением, где— некоторое число.

Величину можно определить из отношения. Оно положительно, если векторы направлены в одну сторону, и наоборот отрицательно, если направление векторов противоположно.

Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:

;

и сочетательным свойством

.

Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Обозначаются единичные векторы символами или.

Используя понятие единичного вектора, любой вектор можно представить следующим образом: .

Числовые матрицы.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами. Обычно матрицы представляются двумерными (прямоугольными) таблицами. Иногда рассматривают многомерные матрицы или матрицы непрямоугольной формы. Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита и выделяют круглыми скобками «(…)» (встречается также выделение квадратными скобками «[…]» или двойными прямыми линиями «||…||»). Числа, составляющие матрицу (элементы матрицы), часто обозначают той же буквой, что и саму матрицу, но строчной (к примеру a₁₁ является элементом матрицы А). У каждого элемента матрицы есть 2 нижних индекса (a_ij) — первый «i» обозначает номер строки, в которой находится элемент, а второй «j» — номер столбца. Говорят «матрица размера », подразумевая, что в матрице m строк и n столбцов. В одной матрице всегда ,

История

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрасссу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Операции над матрицами

Пусть a_ij — элементы матрицы A, а b_ij — элементы матрицы B.

Линейные операции:

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

b_ij = λa_ij

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

c_ij = a_ij + b_ij

Вычитание матриц A − B определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C, элементы которой

c_ij = a_ij — b_ij

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Нелинейные операции:

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: A^T) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

Если A — матрица размера , то A^T — матрица размера

Свойства операций над матрицами

Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

Коммутативность сложения: A + B = B + A.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(B + C)A = BA + CA.

Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T)^T = A

(AB)^T = B^TA^T

(A ^{− 1})^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A ^{— 1} существует.

Квадратная матрица и смежные определения

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Для квадратных матриц существует единичная матрица E (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно

EA = AE = A

У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица A ^{— 1} такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица:

AA ^{− 1} = E

Общее определение абстрактного векторного пространства.

V ≠ ;a, b, c є V; P-числовое поле.

Пусть: 1. Задана операция ∆, которая каждому a є V и каждому λ є P ставит в соответствие элемент λ∆a є V.

2. ∀ a,b є V задана операция □, которая каждой упорядоченной паре a,b є V ставит в соответствие единственный элемент a□b є V.

При этом выполняются 8 свойств (аксиом).

1.  a□(b□c)=(a□b)□c

2. Ǝ z є V | ∀ a є V |a□z=z□a=a

3. ∀ a Ǝ n | n□a=a□n=z

4. a□b=b□a

5. (α+β)∆a=(α∆a)□(β∆a)

6. α∆(a□b)= (α∆a)□(α∆ b)

7. α∆(β∆a)= (αβ)∆a

8.1∆a=a

∀ a, b є V; α,β є P; 1 є P

Тогда множество V называется векторным пространством над полем Р, операция □=+, ∆=умножение вектора на число, z-единичный элемент=0, а его элементы-векторы.

Перестановки и подстановки из n символов.

Перестановкой чисел 1, 2,…, n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12…n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ  обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1  2, 2  1, 4  3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

                                    .                                                 

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

                        ,                                                   

где индексы q₁,q₂,…,q_n составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,…, n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения равен (- 1)^q, где q — число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Свойства линейных операций над векторами.

1. Сложение векторов коммутативно, т.е. для любых векторов и выполнено .

2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векторов , и выполнено.

3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору, не меняет последнего:.

4. Для любого вектора векторявляется противоположным, т.е..

5. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. для любых чисел ии любого вектора, выполнено.

6. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел: .

7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов: .

8. Умножение вектора на единицу не меняет вектора: .

3. Понятие линейной зависимости векторов.

Определение 9. Пусть дана система векторов ₁, ₂, …,_n и совокупность вещественных чисел . Тогда выражение виданазываетсялинейной комбинацией векторов, а числа называются коэффициентами линейной комбинации. Если некоторый вектор представлен как линейная комбинация векторов, т.е. в виде:, то говорят, что векторразложен по этим векторам.

Определение 10. Векторы ,, …,называютсялинейно зависимыми, если существует набор коэффициентов , одновременно не равных нулюи таких, что

.

Определение 11. Векторы называютсялинейно независимыми, если равенство нулю линейной комбинации этих векторов возможно лишь при всех коэффициентах одновременно равных нулю.

Определение 12. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Определение 13. Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Определение 14. Базисом в пространстве называются три линейно независимые вектора в этом пространстве, взятые в определенном порядке.

Теорема 1 (о разложении вектора по базису в пространстве R³)

Пусть даны три некомпланарные вектора: . Любой векторраскладывается по ним. Такое разложение единственно. Существует набор чиселтакой, что:

_.

Свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов:

1. Если хотя бы один из векторов есть нуль вектор, то всевекторов линейно зависимы.

2. Если среди векторов какие-либовекторов линейно зависимы, то всевекторов линейно зависимы.

3. Для того чтобы два ненулевых вектора были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

4. Пусть — два неколлинеарных вектора плоскости. Любой компланарный с ними векторраскладывается по ним:. Такое разложение единственно.

5. Три компланарных вектора линейно зависимы. Три некомпланарных вектора пространства линейно независимы.

6. Любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

7. Система векторов ₁, ₂, …,_n линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них раскладывается в линейную комбинацию остальных.

4. Понятие о проекциях.

Пусть дан вектори ось,— угол между вектороми положительным направлением оси.и — основания перпендикуляров, опущенных из точек исоответственно (см. рис. 6).

Определение 15. Проекцией вектора на ось называется длина отрезка оси , взятая со знаком плюс, если векторобразует острый угол с направлением оси, и со знаком минус в противоположном случае.

Теорема 2. Проекция вектора на осьравна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: .

Следствие. При умножении вектора на некоторое числоего проекция умножается на это же число:.

Теорема 3 (о проекции суммы). Проекция суммы некоторого числа векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов:,.

Действия над векторами и свойства векторов — справочник для студентов и школьников

В этом разделе мы обобщим раздел векторов, опишем все действия, которые можно выполнять над векторами, и какие у них свойства.

Действия по векторам

Определение

Вектор — это направленный сегмент \(\ \overline{A B} \), где точка \(\ A \) — это начало, а точка \(\ B \) — конец вектора.

Сумма \(\ \overline{a}+\overline{b} \) векторов \(\ \overline{a} {и} \overline{b} \) называется таким третьим вектором \(\ \overline{c} \), начало которого совпадает с началом \(\ \overline{a} \) , а конец с концом \(\ \overline{b} \), при условии, что конец вектора \(\ \overline{a} \) и начало вектора \(\ \overline{b} \) совпадают.

Свойства операции сложения:

1. – \(\ \overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a} \)коммутативность

2. – \(\ (\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c}) \) ассоциативность

3. \(\ \overline{a}+\overline{0}=\overline{a} \)

4. \(\ \overline{a}+(-\overline{a})=\overline{0} \)

Определение

Разница \(\ \overline{a}-\overline{b} \) векторов \(\ \overline{a} и \overline{b} \) называется вектором \(\ \overline{c} \) таким, что условие: \(\ \overline{b}+\overline{c}=\overline{a} \)

Произведение \(\ \alpha \overline{a} \) вектора \(\ \overline{a} \) на число \(\ \alpha \) представляет собой вектор \(\ \overline{b} \) , удовлетворяющий условиям:

1. \(\ \overline{b}\|\overline{a} \)

2. \(\ |\overline{b}|=|\alpha||\overline{a}| \)

3.\(\ \overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}, \operatorname{если} \alpha>0, \overline{a} \uparrow \rfloor \overline{b}, \operatorname{если} \alphaСвойства умножения вектора на число:

1. \(\ (\alpha \pm \beta) \overline{a}=\alpha \overline{a} \pm \beta \overline{a} \)

2. \(\ \alpha(\overline{a} \pm \overline{b})=\alpha \overline{a} \pm \alpha \overline{b} \)

3. \(\ \alpha(\beta \overline{a})=(\alpha \beta) \overline{a}=\beta(\alpha \overline{a}) \)

4. \(\ 1 \cdot \overline{a}=\overline{a} \)

5.\(\ -1 \cdot \overline{a}=-\overline{a} \)

6. \(\ 0 \cdot \overline{a}=\overline{0} \)

Определение

Скалярное произведение двух ненулевых векторов \(\ \overline{a} {и} \overline{b} \) представляет собой число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними: \(\ \overline{a} \overline{b}=\overline{a} \cdot \overline{b}=(\overline{a}, \overline{b})=|\overline{a}||\overline{b}| \cos (\overline{a}, \overline{b}) \)

Свойства точечного продукта:

1. \(\ (\overline{a}, \overline{b})=(\overline{b}, \overline{a}) \) — симметрия.

2 \(\ (\overline{a}, \overline{a})=|\overline{a}|^{2} \) Обозначается \(\ (\overline{a}, \overline{a})=\overline{a}^{2} \) и называется скалярным квадратом.

3. Если \(\ \overline{a} \neq \overline{0} \), то \(\ (\overline{a}, \overline{b})=|\overline{a}| \cdot \Pi p_{\overline{a}} \overline{b} \)

4. Если \(\ \overline{a} \neq \overline{0} \quad{и}\quad \overline{b} \neq \overline{0} \quad{и}\quad(\overline{a}, \overline{b})=0 \) Обратное также верно.

5. \(\ (\overline{a}+\overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{c})+(\overline{b}, \overline{c}) \)

6. \(\ (\lambda \overline{a}, \overline{b})=\lambda(\overline{a}, \overline{b}) \)

7. \(\ (\alpha \overline{a}+\beta \overline{b}, \gamma \overline{c}+\delta \overline{d})=\alpha \gamma(\overline{a}, \overline{c})+\alpha \delta(\overline{a}, \overline{d})+\beta \gamma(\overline{b}, \overline{c})+\beta \delta(\overline{b}, \overline{d}) \)

Определение

Векторное произведение ненулевых векторов \(\ \overline{a} и \overline{b} \) представляет собой вектор \(\ \overline{c} \), обозначаемый символом \(\ [\overline{a}, \overline{b}] \) или \(\ \overline{a} \times \overline{b} \), длина которого равна \(\ |\overline{c}|=|\overline{a}||\overline{b}| \sin (\overline{a}, \overline{b}) \)

Свойства векторного произведения:

1. \(\ [\overline{a}, \overline{b}]=\overline{0} \) если и только если \(\ \overline{a}\|\overline{b} \)

2. \(\ [\overline{a}, \overline{b}]=-[\overline{b}, \overline{a}] \)

3. Модуль векторного произведения \(\ |[\tilde{a}, \overline{b}]| \) равен площади параллелограмма, построенного на указанных векторах \(\ \overline{a} {и} \overline{b} \) (рис. 2), т.е.

\(\ S=|[\overline{a}, \overline{b}]|=|\overline{a}||\overline{b}| \sin (\overline{a}, \overline{b}) \)

4. \(\ [\lambda \overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \lambda \overline{b}]=\lambda[\overline{a}, \overline{b}] \)

5. \(\ \left[\tilde{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}\right]=\left[\overline{a}_{1}, \overline{b}\right]+\left[\overline{a}_{2}, \overline{b}\right] ;\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}\right]=\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}\right]+\left[\overline{a}, \overline{b}_{2}\right] \)

Определение

Смешанное произведение трех векторов \(\ \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \) , это число, равное скалярному произведению вектора \(\ \overline{a} \times \overline{b} \) на вектор \(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c}) \):

Свойства смешанного продукта:

1. \(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}]) \)

2. \(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{b}, \overline{c}, \overline{a})=(\overline{c}, \overline{a}, \overline{b})=-(\overline{b}, \overline{a}, \overline{c})=-(\overline{c}, \overline{b}, \overline{a})=-(\overline{a}, \overline{c}, \overline{b}) \)

3. Три вектора копланарны тогда и только тогда, когда \(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=0 \)

4. Три вектора правильны тогда и только тогда, когда \(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})>0 \). Если \(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})5. \(\ (\lambda \overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \lambda \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b}, \lambda \vec{c})=\lambda(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) \)

6. \(\ \left(\overline{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}, \overline{c}\right)=\left(\overline{a}_{1}, \overline{b}, \overline{c}\right)+\left(\overline{a}_{2}, \overline{b}, \overline{c}\right) \)

7. \(\ \left(\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}, \overline{c}\right)=\left(\overline{a}, \overline{b}_{1}, \overline{c}\right)+\left(\overline{a}, \overline{b}_{2}, \overline{c}\right) \)

8. \(\ \left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{1}+\overline{c}_{2}\right)=\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{1}\right)+\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{2}\right) \)

9. \(\ ([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c})=\overline{b}(\overline{a}, \overline{c})-\overline{a}(\overline{b}, \overline{c}) ;(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])=\overline{b}(\overline{a}, \overline{c})-\overline{c}(\overline{a}, \overline{b}) \)

10. Личность Якоби: \(\ (\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])+(\overline{b},[\overline{c}, \overline{a}])+(\overline{c},[\overline{a}, \overline{b}])=0 \)