Свойства векторов

Предварительные сведения

Перед тем как вводить свойства векторов, введем, непосредственно, понятие вектора, а также понятия их сложения, умножения на число и их равенства.

Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ — (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Чтобы ввести определение равенства двух векторов, сначала нужно разобраться с такими понятиями, как коллинеарность, сонаправленность, противоположная направленность двух векторов, а также длину вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}↑↑\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↑↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

1. Они сонаправлены;
2. Их длины равны (рис. 5).

Осталось ввести понятие сложения векторов, а также их умножения на число.

Определение 8

Суммой векторов $\overline{a+b}$ будем называть вектор $\overline{c}=\overline{AC}$, который построен следующим образом: От произвольной точки A отложем $\overline{AB}=\overline{a}$, далее от точки $B$ отложем $\overline{BC}=\overline{b}$ и соединим точку $A$ c точкой $C$ (рис. 6).

Определение 9

Произведением вектора $\overline{a}$ на $k∈R$ будем называть вектор $\overline{b}$ который будет удовлетворять условиям:

1. $|\overline{b}|=|k||\overline{a}|$;
2. $\overline{a}↑↑\overline{b}$ при $k≥0$ и, $\overline{a}↑↓\overline{b}$ при $k

Свойства сложения векторов

Введем свойства сложения для трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$:

1. Коммутативность сложения векторов:

   $\overline{α}+\overline{β}=\overline{β}+\overline{α}$

2. Ассоциативность трех векторов по сложению:

   $(\overline{α}+\overline{β})+\overline{γ}=\overline{α}+(\overline{β}+\overline{γ})$

3. Сложение с нулевым вектором:

   $\overline{α}+\overline{0}=\overline{α}$

4. Сложение противоположных векторов

   $\overline{α}+(\overline{-α})=\overline{0}$

Все эти свойства можно легко проверить с помощью построений таких векторов с помощью определения 8. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, а в третьем и четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Свойства умножения вектора на число

Введем свойства умножения для двух векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и чисел $a$ и $b$.

1. $a(\overline{α}+\overline{β})=a\overline{α}+a\overline{β}$
2. $\overline{α}(a+b)=\overline{α}a+\overline{α}b$
3. $(ab)\overline{α}=a(b\overline{α})=b(a\overline{α})$
4. $1\cdot \overline{α}=\overline{α}$

Все эти свойства можно легко проверить с использованием определений 8 и 9. В двух первых сравнением построенных векторов с правой и левой частей равенства, в третьем сравнением всех векторов, входящих в равенство, и в четвертом с помощью построения вектора с левой стороны.

Пример задачи

Пример 1

Провести сложение векторов

$2\overline{AB}+(2\overline{BC}+3\overline{AC})$

Решение.

Используя свойство сложения 2, получим:

$2\overline{AB}+(2\overline{BC}+3\overline{AC})=(2\overline{AB}+2\overline{BC})+3\overline{AC}$

Используя свойство умножения на число 1, получим:

$(2\overline{AB}+2\overline{BC})+3\overline{AC}=2(\overline{AB}+\overline{BC})+3\overline{AC}=2\overline{BC}+3\overline{AC}=5\overline{AC}$

Ответ: $5\overline{AC}$.

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

        Определение 10.6   Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c — его диагональю (рис. 10.2).         

Рис.10.2.Сложение векторов

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Рис.10.3.Правило треугольника        Определение 10.7   Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и .          Вектор, противоположный вектору a, обозначается , то есть .         Определение 10.8   Разностью векторов a и b называется сумма .          Разность обозначается , то есть .
Произведение вектора a на число обозначается (рис 1.4).

Рис.10.4.Умножение вектора на число         Замечание 10.1   Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами. Таким образом,  определение 10.9 задает умножение вектора на скаляр.          Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.         Доказательство.     Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 10.2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 10.5.

Рис.10.5.Ассоциативность сложения

Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы и коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа и одного знака, и направление, противоположное вектору a, если и разного знака. Следовательно, .

Свойство 6 очевидно, если . Если и векторы a и b

неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 10.6.

Рис.10.6.Свойство дистрибутивности

Случаи, когда или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы и коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что (в противном случае поменяем местами и в доказываемом равенстве).

Пусть и одного знака. Тогда , .

Пусть и имеют разные знаки. Тогда , . Получили, что в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при и противоположно при . Следовательно, . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из  определения 10.9 произведения вектора на число.     

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 10.7.

Рис.10.7.Сумма нескольких слагаемых

Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:
9) равенство верно тогда и только тогда, когда или , или ;
10) вектор, противоположный вектору a, равен , то есть ;
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что .

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

свойства векторов и линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение)

Скалярные и векторные величины

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена реферата

Векторные величины – величины, для характеристики которых указывается как числовое значение, так и направление в пространстве. Например, сила, скорость, ускорение, напряженность поля (магнитного, электромагнитного) и т. п.

Скалярные величины – это величины, для характеристики которых достаточно только числовое значение в соответствующих единицах измерения. Например, масса, температура, длина, площадь, объём, количества тепла и т. д.

Рис. 1

Вектор – это геометрическое изображение векторной величины в заданном масштабе.

На рис. 1 А – начальная точка вектора, В – конец вектора. Вектор обычно обозначается стрелочками, которые ставят вверху букв, но многие люди для удобства ставят обычные чёрточки.  Иногда вектор обозначают одной буквой: . Расстояние от точки к точке называют длиной или модулем вектора, а обозначается так:  или

Если начало и конец вектора совпадают, тогда такой вектор называется нулевым и обозначается Направление нулевого вектора может быть произвольным.

 

ОпределениеДва ненулевых вектора, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными, а обозначаются

Нулевой вектор считается коллинеарным производного вектора.

 

Определение

Векторы, которые параллельны одной и той же плоскости, или те, которые лежат в одной плоскости, называются компланарными.

 

Определение

Равными называются векторы, если они удовлетворяют такие условия:

1) они коллинеарны;

2) их модули равны;

3) они направлены в одну сторону, то есть:

= = ,

 Например, на рис. 2, где ABCD – параллелограмм,

Рис. 2

где векторы = , = .

Если = , , тогда векторы и – противоположные.

Вектор противоположный вектору обозначают . Вектор  противоположен вектору  и записывается  = 

 

Определение

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить в пространстве параллельно самому себе, такие векторы называются свободными.

Вектор, модуль которого равен единице называется единичным, или ортом, и обозначается :

= ,

Линейные операции над векторами: сложение векторов, вычитание и умножение

Линейные операции над векторами или ещё говорят действия над векторами – это сложение векторов, вычитание и умножение вектора на число (скаляр).

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора и . Отложим с некоторой точки вектор = , а тогда из точки отложим вектор = и рассмотрим вектор = .

Рис. 3

Определение

Согласно рис. 3 вектор = и замыкает ломаную MNP, направление вектора берётся в конец последнего слагаемого .

По принципу замыкания находится сумма большего числа слагаемых.

Рис. 4

Вычитание векторов

Рис. 5

Посмотрите на рис. 5. Мы поместили начало векторов и в одну точку , и построили замыкающий вектор .

ОпределениеРазница двух векторов – это , которые выходят  с одной точки, называются замыкающим вектором (обозначается ), направление которого выбирается в сторону уменьшаемого.

Умножение вектора на число

Определение

Направление вектора совпадает с направлением вектора , если , и противоположному направлению вектора , если .

При , или считается, что  – нулевой вектор.

Рис. 6

Свойства векторов

Мы рассмотрели линейные операции над векторами и теперь можно рассмотреть свойства векторов, без которых невозможно решить многие задачи.

1).

Рис. 7

Свойство 1 называется переставным или коммутативным, понятно с рис. 7, что разрешается прибавлять векторы по правилу параллелограмма.

2). – ассоциативное  или соединительное свойство (см. рис. 8).

Рис. 8

3). .

4). .

5). x .

6). = .

7). x .

8). .

Свойства 3 – 8 вы уже сможете проверить самостоятельно.

Примеры

Пример 1

За данными вектора и построить векторы:

а) ,

б) .

Решение покажем на рисунке:

Первый рисунок решения a:

Второй рисунок решения б:

Пример 2

Презентация на тему: §2. Действия над векторами

Векторы можно:

1. Складывать;

2.Вычитать;

3.Умножать на ненулевое число;

4.Умножать вектор на вектор (скалярно, векторно, смешанно)

П.1. Сложение векторов

Пусть даны векторы а(а1,а2 ,а3 ) и b(b1,b2 ,b3 )

Тогда суммой данных векторов будет вектор

с a b , координаты которого найдем так:

c(a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )

Сложение векторов можно произвести по правилу

треугольника или по правилу параллелограмма.

Правило треугольника сложения векторов

с

a

b

b

а

с

Правило параллелограмма сложения векторов

с a b

П.2. Вычитание векторов

Пусть даны векторы а(а1,а2 ,а3 ) и b(b1,b2 ,b3 )

Тогда разностью данных векторов будет

координаты которого найдем так:

c(a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )

П.4. Умножение векторов

А) Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называют число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Пусть даны векторы а(а1,а2 ,а3 ) и b(b1,b2 ,b3 ) Тогда их скалярное произведение равно:

a,b a b cos

Свойства скалярного произведения

1. a, b b, a .

2. a, b c a, b a, c .

3.k a , b a, k b k a, b .

4.a, a a 2 .

5.i, i j, j k, k 1.

6.i, j j, k k, i 0.

Технологическая карта урока по геометрии «Сложение векторов» 9 класс

Технологическая карта урока по геометрии, 9 класс

Учебная тема: «Векторы»

Тема урока: «Сложение векторов»

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока:

Предметные: формировать умение применять правила треугольника и параллелограмма при сложении неколлинеарных и коллинеарных векторов; свойства сложения; правило сложения векторов, заданных координатами.

Личностные: формировать ответственное отношение к восприятию нового материала, к самообразованию;

Метапредметные: формировать умение строить логические рассуждения, анализировать, делать выводы.

Целеполагание,

знакомство учащихся с ходом урока

Обсуждение целей урока

Участие в беседе

Устные ответы

Проверка домашнего задания

Проверить №453,455,460

3-4

Решение заданий, аналогичных №453,455,460 устно и письменно

(«Геометрия-9», А.Г.Мерзляк и др)

Формулирует задачи

Предлагают способы решения

Проверка по готовым решениям

Этап всесторонней проверки знаний

Организовать и целенаправить познавательную деятельность

3-4

Отработка понятий: вектора, противоположно и сонаправленных, равных, коллинеарных векторов, координат, правил суммы векторов, заданных координатами.

1. Что называется вектором?

2. Какие бывают векторы?

3. Какие векторы называются коллинеарными?

4. Как найти координаты суммы двух векторов по известным координатам?

Задаёт вопросы учащимся

Отвечают на вопросы

Фронтальный опрос

Этап подготовки к активному усвоению нового материала

Задача-проблема

2

Необходимость сложить векторы.

Задача. На плане три пункта А,В и С. Путникам надо попасть из пункта А в пункт С, совершив перемещение . Но на пути болото. Какие перемещения надо осуществить путникам, чтобы

оказаться в пункте С?

Активизирует учащихся для реш-я проблемы

Анализируют, делают вывод

Этап усвоения новых знаний

Изучить правила сложения неколлинеарных и коллинеарных векторов, свойства сложения, правила суммы и разности векторов, заданных координатами

15-17

1.Сложение неколлинеарных векторов по правилу треугольника, алгоритм;

2.Сложение неколлинеарных векторов по правилу параллелограмма, алгоритм;

3.Сложение коллинеарных векторов по, алгоритм сложения;

4.Сложение векторов, заданных координатами по правилу, алгоритм;

5.Правило треугольника, свойства

Правила:

Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника надо:

1)выбрать точку;

2)отложить от этой точки первый вектор

3)от конца первого вектора отложить второй вектор;

4)вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго и есть вектор суммы.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма надо:

1)выбрать точку;

2)отложить от этой точки оба вектора;

3)достроить фигуру до параллелограмма

4)вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, а конец с противоположной точкой параллелограмма и есть вектор суммы.

Теорема о координатах вектора суммы по учебнику.

Упрощённое правило: координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.

Объясняет материал, выполняет построение

Воспринимают материал, выполняют построение в тетрадях,

Заполнение таблицы

Этап закрепления новых знаний

Закрепить умение складывать векторы

15

Решение задач у доски с объяснением:

1).№466(а,в,д). По заданным векторам в учебнике построить сумму векторов двумя способами

2).№470. Дан параллелограмм АВСД, построить векторы +;++;+;+

3).№474. Отметить четыре точки MNPQ

и построить вектор++

Следит за правильностью выполнения

Комментируют решения

Правильное решение в тетради

Этап информации учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Обратить внимание на трудности при выполнении домашнего задания

2

П14,№467,471,519

Инструктаж о выполнении домашнего задания

Записывают домашнее задание в дневники

Педагогическое наблюдение

8. Рефлексия

Выработать умение выполнять самоанализ

2

Выбрать утверждения, которые характеризуют результат вашей деятельности на уроке:

1.Мне понятно правило сложения векторов по правилу треугольника

2.Мне понятно правило сложения векторов по правилу параллелограмма

3.Мне не совсем понятно правило сложения векторов по правилу треугольника и требуется помощь консультанта.

4.Мне не понятно правило сложения векторов по правилу треугольника и требуется помощь учителя.

5. Мне не совсем понятно правило сложения векторов по правилу параллелограмма и требуется помощь консультанта.

6.Мне не понятно правило сложения векторов по правилу параллелограмма и требуется помощь учителя.

Организует учащихся на ответы по вопросам рефлексии

Отвечают на вопросы

Анализ ответов

Учитель: Фомина Р.М., МБОУ «Гатчинская СОШ №8 «Центр образования»

свойства и примеры с решением

Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть и — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (см. рис. 2).

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис. 3).

На рисунке 4 показано сложение трех векторов , и .

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что (см. рис. 5).

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая — разностью (см. рис. 6).

Можно вычитать векторы по правилу: , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .

Произведением вектора а на скаляр (число) называется вектор (или ), который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если . Например, если дан вектор , то векторы и будут иметь вид и .

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если , то . Наоборот, если , , то при некотором верно равенство ;

2) всегда , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

04.03. Действия над векторами — Контрольные работы по математике и другим предметам!

Действия над векторами

В действиях над векторами можно выделить две группы операций: одни из них похожи на некоторые арифметические действия – другие имеют специфические особенности. Первую группу называют линейными операциями. Она включает в себя сложение и вычитание векторов, а также умножение вектора на скаляр. Вторая группа охватывает действия, характерные лишь для векторных величин – скалярное произведение, векторное произведение и различные виды смешанных произведений.

Введение действий над векторами – важный этап в формировании векторной алгебры как научной теории. Дело в том, что эти действия обязаны удовлетворять по меньшей мере двум критериям:

1. Было бы желательно, чтобы они имели как можно больше общих свойств с алгебраическими действиями над числами.

2. В них необходимо наиболее полно отразить свойства объектов окружающего мира.

Легко ли эти требования выполнить? Попробуем ввести, например, сложение векторов, руководствуясь, казалось бы, вполне разумными соображениями. Будем считать вектор суммой векторов и , если угол между и делится этим вектором пополам, а его модуль равен (рис. 3.5, а). Проверим, будут ли выполняться свойства действия сложения, имеющие место для действительных чисел.

А) б)

Рис. 3.5. Возможный вариант выполнения действия
сложения векторов.

Переместительный закон, очевидно, окажется справедлив:

.

Проверим, выполняется ли равенство:

 – сочетательный закон сложения.

Пусть даны три вектора приведенные к общему началу 0 (рис. 3.5, б). Обозначим известные углы:

Тогда

Рис. 3.6. Сложение сил по правилу параллелограмма.

Это означает, что, если , то сочетательный закон выполняться не будет. Еще более существенным возражением против такого введения действия сложения векторов является то, что в механике, например, суммой сил и , действующих в точке О, является вектор  – диагональ параллелограмма, выходящая из точки О (рис. 3.6).

Следовательно, по указанному выше правилу вводить сложение векторов нецелесообразно.

 

< Предыдущая		Следующая >

Введение в векторы — Math Insight

Определение вектора

Вектор — это объект, который имеет как величину, так и направление. Геометрически мы можем изобразить вектор как направленный отрезок прямой, длина которого равна величине вектора, со стрелкой, указывающей направление. Направление вектора — от хвоста к голове.

Два вектора одинаковы, если они имеют одинаковую величину и направление. Это означает, что если мы возьмем вектор и переведем его в новую позицию (не поворачивая его), то вектор, который мы получим в конце этого процесса, будет тем же вектором, что и в начале.

Два примера векторов — это те, которые представляют силу и скорость. И сила, и скорость движутся в определенном направлении. Величина вектор будет указывать силу силы или скорость, связанную со скоростью.

Мы обозначаем векторы жирным шрифтом, как в $ \ vc {a} $ или $ \ vc {b} $. Особенно при написании от руки, когда писать не так просто. жирным шрифтом, люди иногда обозначают векторы стрелками, как в $ \ vec {a} $ или $ \ vec {b} $, либо используют другую маркировку.Здесь нам не нужно использовать стрелки. Обозначим величину вектора $ \ vc {a} $ через $ \ | \ vc {a} \ | $. Когда мы хотим сослаться на число и подчеркнуть, что это не вектор, мы можем назвать это число скаляром. Обозначим скаляры курсивом, как в $ a $ или $ b $.

Вы можете изучить концепцию величины и направления вектора, используя приведенный ниже апплет. Обратите внимание, что перемещение вектора не меняет вектор, так как положение вектора не влияет на величину или направление.Но если вы растянете или поверните вектор, перемещая только его голову или хвост, величина или направление изменится. (Этот апплет также показывает координаты вектора, о которых вы можете прочитать на другой странице.)

Величина и направление вектора. Синяя стрелка представляет вектор $ \ vc {a} $. Два определяющих свойства вектора, величина и направление, показаны красной полосой и зеленой стрелкой соответственно. Длина красной полосы — это величина $ \ | \ vc {a} \ | $ вектора $ \ vc {a} $.Зеленая стрелка всегда имеет длину один, но ее направление совпадает с направлением вектора $ \ vc {a} $. Единственное исключение — когда $ \ vc {a} $ — нулевой вектор (единственный вектор с нулевой величиной), для которого направление не определено. Вы можете изменить любой конец $ \ vc {a} $, перетащив его мышью. Вы также можете переместить $ \ vc {a} $, перетащив середину вектора; однако изменение положения $ \ vc {a} $ таким образом не меняет вектор, поскольку его величина и направление остаются неизменными.

Подробнее об апплете.

Есть одно важное исключение для векторов, имеющих направление. Ноль вектор, обозначенный жирным шрифтом $ \ vc {0} $, является вектором нулевой длины. Поскольку у него нет длины, он не указывает в каком-либо конкретном направлении. Имеется только один вектор нулевой длины, поэтому мы можем говорить о как о нулевом векторе .

Операции над векторами

Мы можем определить ряд операций над векторами геометрически без ссылка на любую систему координат.Здесь мы определяем сложение, вычитание и умножение на скаляр. На отдельных страницах мы обсуждаем два разных способа умножения двух векторов: скалярное произведение и перекрестное произведение.

Сложение векторов

Для двух векторов $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ мы формируем их сумму $ \ vc {a} + \ vc {b} $ следующим образом. Сдвигаем вектор $ \ vc {b} $ до тех пор, пока его хвост не совпадет с головой $ \ vc {a} $. (Напомним, такой перевод не меняет вектор.) Тогда направленный отрезок от хвоста $ \ vc {a} $ до головы $ \ vc {b} $ — это вектор $ \ vc {a} + \ vc {b} $.

Сложение векторов — это способ объединения сил и скоростей. Например, если машина едет на север со скоростью 20 миль в час и ребенок сзади сиденье позади водителя бросает объект со скоростью 20 миль в час в его брат, который сидит к востоку от него, то скорость объекта (относительно земли!) будет в северо-восточном направлении. Векторы скорости образуют прямоугольный треугольник, где полная скорость равна гипотенуза.2} = 20 \ sqrt {2} $ миль в час относительно земли.

Сложение векторов удовлетворяет двум важным свойствам.

1. Коммутативный закон, устанавливающий порядок сложения, не имеет значения: $$ \ vc {a} + \ vc {b} = \ vc {b} + \ vc {a}. $$ Этот закон также называется законом параллелограмма, как показано ниже. изображение. Два ребра параллелограмма определяют $ \ vc {a} + \ vc {b} $, а другая пара ребер определяет $ \ vc {b} + \ vc {a} $. Но обе суммы равной такой же диагонали параллелограмма.

2. Ассоциативный закон, который гласит, что сумма трех векторов не зависит от того, какая пара векторов добавляется первой: $$ (\ vc {a} + \ vc {b}) + \ vc {c} = \ vc {a} + (\ vc {b} + \ vc {c}). $$

Вы можете изучить свойства сложения векторов с помощью следующего апплета. (Этот апплет также показывает координаты векторов, о которых вы можете прочитать на другой странице.)

Сумма двух векторов. Сумма $ \ vc {a} + \ vc {b} $ вектора $ \ vc {a} $ (синяя стрелка) и вектора $ \ vc {b} $ (красная стрелка) показана зеленой стрелкой. . Поскольку векторы не зависят от их начальной позиции, обе синие стрелки представляют один и тот же вектор $ \ vc {a} $, а обе красные стрелки представляют один и тот же вектор $ \ vc {b} $. Сумму $ \ vc {a} + \ vc {b} $ можно получить, поместив хвост вектора $ \ vc {b} $ в начало вектора $ \ vc {a} $. Точно так же его можно сформировать, поместив хвост вектора $ \ vc {a} $ в начало вектора $ \ vc {b} $.Обе конструкции вместе образуют параллелограмм, причем сумма $ \ vc {a} + \ vc {b} $ является диагональю. (По этой причине коммутативный закон $ \ vc {a} + \ vc {b} = \ vc {b} + \ vc {a} $ иногда называют законом параллелограмма.) Вы можете изменить $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $, перетаскивая желтые точки.

Подробнее об апплете.

Вычитание вектора

Прежде чем мы определим вычитание, мы определим вектор $ — \ vc {a} $, который противоположно $ \ vc {a} $. Вектор $ — \ vc {a} $ — это вектор с той же величиной, что и $ \ vc {a} $, но направлен в противоположном направлении.

Мы определяем вычитание как сложение с противоположностью вектора: $$ \ vc {b} — \ vc {a} = \ vc {b} + (- \ vc {a}). $$ Это эквивалентно повороту вектора $ \ vc {a} $ при применении выше правила для сложения. Вы видите, как вектор $ \ vc {x} $ в рисунок ниже равен $ \ vc {b} — \ vc {a} $? Обратите внимание, как это то же самое как указание, что $ \ vc {a} + \ vc {x} = \ vc {b} $, как и при вычитании скалярные числа.

Скалярное умножение

Учитывая вектор $ \ vc {a} $ и действительное число (скаляр) $ \ lambda $, мы можем сформировать вектор $ \ lambda \ vc {a} $ следующим образом.Если $ \ lambda $ положительно, то $ \ lambda \ vc {a} $ — это вектор, направление которого совпадает с направлением $ \ vc {a} $, а длина которого равна $ \ lambda $, умноженному на длину $ \ vc {a} $. В этом случае умножение на $ \ lambda $ просто растягивается (если $ \ lambda> 1 $) или компрессы (если $ 0

Если, с другой стороны, $ \ lambda $ отрицательно, то мы должны взять напротив $ \ vc {a} $ перед растяжением или сжатием. Другими словами, вектор $ \ lambda \ vc {a} $ указывает в направлении, противоположном $ \ vc {a} $, а длина $ \ lambda \ vc {a} $ равна $ | \ lambda | $, умноженному на длину $ \ vc {a} $.Независимо от знака $ \ lambda $, мы видим, что величина $ \ lambda \ vc {a} $ равна $ | \ lambda | $, умноженным на величину $ \ vc {a} $: $ \ | \ lambda \ vc {a} \ | = | \ лямбда | \ | \ vc {a} \ | $.

Скалярное умножение удовлетворяет многим из тех же свойств, что и обычное умножение.

1. $ s (\ vc {a} + \ vc {b}) = s \ vc {a} + s \ vc {b} $ (закон распределения, форма 1)
2. $ (s + t) \ vc {a} = s \ vc {a} + t \ vc {a} $ (закон распределения, форма 2)
3. $ 1 \ vc {a} = \ vc {a}
$
4. $ (- 1) \ vc {a} = — \ vc {a} $
5. $ 0 \ vc {a} = \ vc {0}
$

В последней формуле ноль слева — это число 0, а ноль справа — это вектор $ \ vc {0} $, который является единственным вектором, длина которого равна нулю.

Если $ \ vc {a} = \ lambda \ vc {b} $ для некоторого скаляра $ \ lambda $, то мы говорим что векторы $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ параллельны. Если $ \ lambda $ отрицательно, некоторые люди говорят, что $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ антипараллельны, но мы не использовать этот язык.

Мы смогли описать векторы, сложение векторов, вычитание векторов и скалярное умножение без привязки к какой-либо системе координат. Преимущество такого чисто геометрического рассуждения заключается в том, что наши результаты в целом справедливы, независимо от какой-либо системы координат, в которой живут векторы.Однако иногда бывает полезно выразить векторы через координаты, как описано на странице о векторах в стандартных декартовых системах координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

CBSE NCERT Notes Класс 12 Математическая векторная алгебра

Свойства векторного сложения

Коммутативное свойство : — Для любых двух векторов a ⃗ и b ⃗, если мы добавим

(a ⃗ + b ⃗) или (b ⃗ + a ⃗); результат будет таким же i.е.

( a ⃗ + b ⃗ ) = (b ⃗ + a ⃗ ) .

Ассоциативное свойство : —

Для любых трех векторов a ⃗, b ⃗ и c ⃗ тогда: —

(a ⃗ + b ⃗) + c ⃗ = a ⃗ + (b ⃗ + c ⃗)

Если мы сначала сложим a ⃗ и b ⃗, а затем добавим результат к c ⃗, то будет то же самое, если мы сначала сложим (b ⃗ и c ⃗), а затем добавим результат к вектору a ⃗.

Аддитивная идентичность: — Предположим, если добавить 0 ⃗ к любому вектору a ⃗, то мы получим вектор a ⃗

(а ⃗ + 0 ⃗) = (0 ⃗ + а ⃗) = а.

Следовательно, 0 — это аддитивный идентификатор для сложения вектора.

Умножение вектора на скаляр: —

Пусть a ⃗ — произвольный вектор, а λ — скаляр.

Умножение вектора a ⃗ на скаляр λ обозначается как: —

(λ a).

(λ a) также является вектором, который имеет направление, такое же или противоположное направлению вектора a ⃗.

Величина вектора (λ a ⃗) определяется как: —

| λ a ⃗ | = | λ || a ⃗ |

Геометрически можно представить как: —

Обратная добавка: —

Если мы сложим вектор a ⃗ с самим собой, но в противоположном направлении, то результат будет 0 ⃗ .

Если λ (скаляр) = -1, то (λ a ⃗) = — a ⃗, величина отрицательного вектора такая же, как, но направление противоположно.= (1/ | a ⃗ |) a ⃗ .

свойств векторного | сложения векторов и скалярного умножения

Ниже приведены некоторые свойства векторного сложения и умножения.
Пусть u и v и w будут векторами, а c и d — скалярами.
Свойство 1: Коммутативное свойство: v + u = u + v
Пример: u = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $ и v = $ \ left \ langle 4 , 2 \ right \ rangle $
u + v = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle + \ left \ langle 4,2 \ right \ rangle $ = $ \ left \ langle 3,4 \ right \ rangle $
v + u = $ \ left \ langle 4,2 \ right \ rangle + \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $ = $ \ left \ langle 3,4 \ right \ rangle $
∴ u + v = v + u

Свойство 2: Ассоциативное свойство (u + v) + w = ​​u + (v + w)
Пример: u = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $, v = $ \ left \ langle 4,2 \ right \ rangle $ и w = $ \ left \ langle 3, -1 \ right \ rangle $
(u + v) + w = ​​( $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $ + $ \ left \ langle 4,2 \ right \ rangle $) + $ \ left \ langle 3, -1 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle 3,4 \ right \ rangle $ + $ \ left \ langle 3, -1 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle 6,3 \ right \ rangle $
u + (v + w) = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $ + ($ \ left \ langle 4,2 \ right \ rangle $) + $ \ left \ langle 3, -1 \ right \ rangle $)
= $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $ + $ \ left \ langle 7,1 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle 6,3 \ right \ rangle $
∴ (u + v) + w = ​​u + (v + w)

Свойство 3: u + 0 = u
Пример: u = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $
u + 0 = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle + \ left \ langle 0,0 \ right \ rangle $ = $ \ left \ langle — 1,2 \ right \ rangle $
∴ u + 0 = 0

Свойство 4: u + (-u) = 0
Пример: u = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $
u + (-u) = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle + — \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle -1 , 2 \ right \ rangle $ + $ \ left \ langle 1, -2 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle 0,0 \ right \ rangle $
∴ u + (-u) = 0

Свойство 5: c (du) = (cd) (u)
Пример: u = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $, c = 2 и d = -1
c (du) = 2 ($ \ left \ langle -1 (-1,2) \ right \ rangle $
= 2 $ \ left \ langle 1, -2 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle 2, -4 \ right \ rangle $
(cd) u = (2 X -1) ($ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $
= -2 $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle 2, -4 \ right \ rangle $
∴ c (du) = (cd) (u)

Свойства вектора

Свойство 6: (c + d) u = cu + du
Пример: u = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $, c = 2 и d = 3
(c + d) u = (2 + 3) ($ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $) BR> = 5 $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $ = $ \ left \ langle -5,10 \ right \ rangle $
cu + du = 2 $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $ + 3 $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle -2,4 \ right \ rangle $ + $ \ left \ langle -3,6 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle -5,10 \ right \ rangle $
∴ (c + d) u = cu + du

Свойство 7: c (u + v) = cu + cv
Пример: u = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $ v = $ \ left \ langle 4,2 \ right \ rangle $ и c = 2
c (u + v) = 2 ($ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $ + $ \ left \ langle 4,2 \ right \ rangle $)
= 2 ($ \ left \ langle 3,4 \ right \ rangle $)
= $ \ left \ langle 6,8 \ right \ rangle $
cu + cv = 2 ($ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $) + 2 ($ \ left \ langle 4,2 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle -2,4 \ right \ rangle $ + $ \ left \ langle 8,4 \ right \ rangle $
= $ \ left \ langle 6,8 \ right \ rangle $
∴ c (u + v) = cu + cv

Свойство 8: 90 024 1 (u) = u
Пример: u = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $
1 (u) = 1 ($ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $) = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $
∴ 1 (u) = u

Свойство 9: 0 (u) = 0
Пример: u = $ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $
0 (u) = 0 ($ \ left \ langle -1,2 \ right \ rangle $) = $ \ left \ langle 0,0 \ right \ rangle $ = 0
∴ 0 (u) = 0

Свойство 10: $ \ left \ | cv \ right \ | = | с |.\ left \ | v \ right \ | $

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Математика в 11 классе

Дом

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Свойства сложения векторов — MyRank

Свойства вектора Дополнение

1.Коммунальная собственность

\ (\ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b} = \ overrightarrow {b} + \ overrightarrow {a} \).

2. Ассоциативное свойство

\ (\ left (\ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b}) \ right) + \ overrightarrow {c} = \ overrightarrow {a} + \ left ( \ overrightarrow {b} + \ overrightarrow {c} \ right) \).

3. Идентификатор добавки

\ (\ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {0} = \ overrightarrow {a} \).

4.Добавка обратная

\ (\ overrightarrow {a} + \ left (- \ overrightarrow {a}) \ right) = \ overrightarrow {0} \).

5. \ (\ left | \ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b} \ right | \ le \ left | \ overrightarrow {a} \ right | + \ left | \ overrightarrow {b} \ right | \) и \ (\ left | \ overrightarrow {a} — \ overrightarrow {b} \ right | \ ge \ left | \ overrightarrow {a} \ right | — \ left | \ overrightarrow {b} \ right | \).

Примеры 1: Если вектор \ (\ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b} \) делит пополам угол между \ (\ overrightarrow {a} \) и \ (\ overrightarrow {b} \), затем докажите, что \ (\ left | \ overrightarrow {a} \ right | = \ left | \ overrightarrow {b} \ right | \).

Решение: Мы знаем, что вектор \ (\ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b} \) идет диагональ параллелограмма, соседними сторонами которой являются векторы \ (\ overrightarrow {a} \) и \ (\ overrightarrow {b} \).

Теперь, если \ (\ overrightarrow {a} + \ overrightarrow {b} \) делит пополам угол между вектором \ (\ overrightarrow {a} \) и \ (\ overrightarrow {b} \), затем параллелограмм должен быть ромб

Следовательно, \ (\ left | \ overrightarrow {a} \ right | = \ left | \ overrightarrow {b} \ право | \).

Пример 2: \ (\ overrightarrow {AO} + \ overrightarrow {OB} = \ overrightarrow {BO} + \ overrightarrow {OC} \), затем докажите, что B — середина AC.

Решение: Учитывая, что \ (\ overrightarrow {AO} + \ overrightarrow {OB} = \ overrightarrow {BO} + \ overrightarrow {OC} \),

\ (\ overrightarrow {AB} = \ overrightarrow {BC} \),

Таким образом, векторы \ (\ overrightarrow {AB} \) и \ (\ overrightarrow {BC} \) коллинеарны

Точка А, Б, C коллинеарны

\ (\ overrightarrow {AB} = \ overrightarrow {BC} \),

B — это середина переменного тока.

Пример 3: ABCDE — пятиугольник, доказывающий, что равнодействующая сил \ (\ overrightarrow {AB}, \ \ overrightarrow {AE}, \ \ overrightarrow {BC}, \ \ overrightarrow {DC}, \ \ overrightarrow {ED} \) и \ (\ overrightarrow {AC} \) равно \ (3 \ overrightarrow {AC} \).

Решение: Учитывая, что \ (\ overrightarrow {AB}, \ \ overrightarrow {AE}, \ \ overrightarrow {BC}, \ \ overrightarrow {DC}, \ \ overrightarrow {ED} \),

\ (R = \ overrightarrow {AB} + \ \ overrightarrow {AE} + \ overrightarrow {BC} + \ \ overrightarrow {DC} + \ \ overrightarrow {ED} + \ overrightarrow {AC} \),

\ (= \ left (\ overrightarrow {AB} + \ overrightarrow {BC}) \ right) + \ left (\ overrightarrow {AE} + \ overrightarrow {BD} + \ overrightarrow {DC} \ right) + \ left (\ overrightarrow {AC} \ right) \),

\ (\ overrightarrow {AC} + \ overrightarrow {AC} + \ overrightarrow {AC} = 3 \ overrightarrow {AC} \).

Объяснитель урока: Свойства операций над векторами

В этом объяснении мы узнаем, как использовать свойства сложения и умножения над векторами.

Начнем с того, что вспомним, что вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление. Вектор может быть представлен в подходящем пространстве направленным линейным сегментом определенной длины. Это означает, что мы можем думать о векторах как об определяющих движениях, движущихся в заданном направлении на заданное расстояние.

Эта идея позволяет нам сложить два вектора вместе; если оба вектора можно рассматривать как движение в заданном направлении на заданное расстояние, их сумму можно рассматривать как комбинацию обоих движений вместе.

В двух измерениях мы можем выбрать пространство, в котором мы можем представить величину и направление в терминах горизонтального и вертикального изменения. В этом пространстве вектор (𝑎, 𝑏) имеет горизонтальную составляющую 𝑎 и вертикальную составляющую 𝑏. Мы можем думать об этом как о смещении единиц по горизонтали и смещении единиц по вертикали.

Это означает, что мы можем сложить два вектора, учитывая их компоненты. Графически сумма двух векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣 представляет собой комбинированное смещение. Следовательно, мы можем нарисовать конечную точку первого вектора как начальную точку второго вектора. Затем сумма векторов имеет начальную точку первого вектора и конечную точку второго вектора, как показано на следующей диаграмме.

Поскольку вектор ⃑𝑢 + ⃑𝑣 представляет смещение как ⃑𝑢, так и ⃑𝑣, он будет иметь горизонтальную составляющую, равную сумме горизонтальных составляющих ⃑𝑢 и ⃑𝑣, и вертикальную составляющую, равную сумме вертикальных составляющих ⃑𝑢 и ⃑𝑣. .Это дает нам следующее.

Теорема: сложение векторов в двух измерениях

Для любых двух векторов в двух измерениях ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢)  и ⃑𝑣 = (𝑣, 𝑣) , ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) .

Поскольку сумма любых двух векторов в двух измерениях также является двумерным вектором, мы можем сказать, что сложение векторов в двух измерениях замкнуто. Иногда это называют свойством замыкания векторного сложения.

Эта идея распространяется на более высокие измерения; однако в этом пояснении мы будем работать только в двух измерениях.

Мы также можем определить скалярное умножение вектора как скалярное умножение его компонентов. Графически скалярное умножение вектора на скаляр — это расширение вектора на коэффициент.

Теорема: скалярное умножение векторов в двух измерениях

Для любых векторов ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢)  и скалярных 𝑘, 𝑘⃑𝑢 = (𝑘𝑢, 𝑘𝑢) .

Давайте посмотрим, как использовать эти определения, чтобы ответить на вопрос, связанный со свойством сложения векторов.

Пример 1: Коммутативность сложения векторов

Выполните следующее: (1,9) + (5,2) = (5,2) + (,).

Ответ

Начнем с упрощения левой части уравнения. Чтобы найти сумму пары векторов, напомним, что ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢)  и ⃑𝑣 = (𝑣, 𝑣) .

Тогда, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) .

В нашем случае ⃑𝑢 = (1,9) и ⃑𝑣 = (5,2); следовательно, (1,9) + (5,2) = (1 + 5,9 + 2) = (6,11).

Это равно правой части данного уравнения, поэтому мы будем называть отсутствующий вектор ⃑𝑤 = (𝑤, 𝑤) .

Затем мы можем упростить правую часть данного уравнения: (5,2) + (𝑤, 𝑤) = (5 + 𝑤, 2 + 𝑤).

Если принять это значение в правой части уравнения, получим (6,11) = (5 + 𝑤, 2 + 𝑤) .

Чтобы два вектора были равны, их соответствующие компоненты должны быть равны. Уравнивание соответствующих компонентов дает нам два уравнения: 6 = 5 + 𝑤, 11 = 2 + .

Мы можем решить их, чтобы увидеть 𝑤 = 1 и 𝑤 = 9, поэтому отсутствующий вектор равен ⃑𝑤 = (1,9).

Есть второй способ показать это. Начнем с добавления векторов в левой части уравнения: (1,9) + (5,2) = (1 + 5,9 + 2).

Затем воспользуемся коммутативным свойством сложения: (1 + 5,9 + 2) = (5 + 1,2 + 9).

Наконец, мы можем использовать векторное сложение: (5 + 1,2 + 9) = (5,2) + (1,9).

Следовательно, отсутствующий вектор равен (1,9).

Второй метод в вопросе выше можно обобщить на любые два вектора: (𝑢, 𝑢) + (𝑣, 𝑣) = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) = (𝑣 + 𝑢, 𝑣 + 𝑢) = (𝑣, 𝑣) + (𝑢, 𝑢) . 

Другими словами, для любых векторов в двух измерениях ⃑𝑢 и ⃑𝑣, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑣 + ⃑𝑢.

Это известно как коммутативность сложения векторов.Графическая интерпретация этого свойства показана на следующей диаграмме.

Если ⃑𝑢 и ⃑𝑣 отличны от нуля, мы можем изобразить эти векторы как стороны параллелограмма. Тогда вектор диагонали этого параллелограмма можно представить как ⃑𝑢 + ⃑𝑣, так и ⃑𝑣 + ⃑𝑢, поэтому эти выражения должны быть равны.

Нам действительно нужно иметь дело со случаем, когда один или оба этих вектора являются нулевыми векторами. Если ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) , то можно показать, что (𝑢, 𝑢) + ⃑0 = (𝑢, 𝑢) + (0,0) = (𝑢 + 0, 𝑢 + 0) = (𝑢, 𝑢).

Следовательно, ⃑𝑢 + ⃑0 = ⃑𝑢.

Это называется аддитивным свойством идентичности, поскольку добавление нулевого вектора не меняет вектор.

Мы также можем продемонстрировать свойства, связанные со скалярным умножением. Например, для любого вектора ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) , 1⃑𝑢 = 1 (𝑢, 𝑢) = (1𝑢, 1𝑢) = (𝑢, 𝑢) = ⃑𝑢.

Следовательно, 1⃑𝑢 = ⃑𝑢.

Это называется свойством мультипликативной идентичности, поскольку умножение вектора на скаляр 1 не влияет на его величину или направление.

Существует множество свойств сложения векторов и скалярного умножения в двух измерениях.Мы не будем все это доказывать; однако все они могут быть получены путем рассмотрения компонентов векторов.

Теорема: свойства сложения векторов и скалярного умножения в двух измерениях

Для любых векторов ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) , ⃑𝑣 = (𝑣, 𝑣)  и ⃑𝑤 = (𝑤, 𝑤)  и скаляры 𝑛 и, рассмотрим следующее.

• Свойства сложения векторов: ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑣 + ⃑𝑢⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤⃑𝑢 + ⃑0 = ⃑𝑢⃑𝑢 +  − ⃑𝑢 = ⃑0⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑢 + ⃑𝑤, ⃑𝑣 = ⃑𝑤. (Коммутативное свойство) (ассоциативное свойство ) (аддитивное свойство идентичности) (аддитивно обратное свойство) Ifthen (свойство исключения)
• Свойства скалярного умножения векторов: 𝑛⃑𝑢 + ⃑𝑣 = 𝑛⃑𝑢 + 𝑛⃑𝑣 (𝑛 + 𝑚) ⃑𝑢 = 𝑛⃑𝑢 + 𝑚⃑𝑢1⃑𝑢 = ⃑𝑢 (𝑛𝑚) ⃑𝑢 = 𝑛𝑚⃑𝑢𝑛⃑𝑢 = 𝑛⃑𝑣, ⃑𝑢 = ⃑𝑣.(distributiveproperty) (distributiveproperty) (multiplicativeidentityproperty) (ассоциативное свойство) Ifthen (eliminationproperty)

Все эти свойства верны для векторов с размерностями выше двух и доказуемы алгебраически. Давайте теперь посмотрим, как мы можем использовать эти свойства для оценки выражения, включающего векторы.

Пример 2: Упрощение векторного выражения с использованием свойств векторных операций

Учитывая, что ⃑𝑎 = (1,5) и ⃑𝑏 = (6,2), найти ⃑𝑎 + ⃑𝑏 +  − ⃑𝑎.

Ответ

Ответить на этот вопрос можно напрямую, используя свойства сложения векторов. Во-первых, мы воспользуемся коммутативным свойством сложения векторов, чтобы изменить порядок выражение. Это говорит о том, что для любых векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑣 + ⃑𝑢.

Применяя это к нашему выражению, получаем ⃑𝑎 + ⃑𝑏 +  − ⃑𝑎 = ⃑𝑎 +  − ⃑𝑎 + ⃑𝑏.

Далее мы воспользуемся аддитивным обратным свойством сложения векторов, чтобы упростить выражение. Это говорит нам, что для любого вектора ⃑𝑢, ⃑𝑢 +  − ⃑𝑢 = ⃑0.

Применяя это к нашему выражению вместе с ассоциативным свойством сложения векторов, получаем ⃑𝑎 +  − ⃑𝑎 + ⃑𝑏 = ⃑0 + ⃑𝑏.

Наконец, мы будем использовать свойство аддитивной идентичности, которое говорит, что для любого вектора ⃑𝑢, ⃑𝑢 + ⃑0 = ⃑𝑢.

Следовательно, ⃑0 + ⃑𝑏 = ⃑𝑏 = (6,2).

Второй метод — работа с компонентами ⃑𝑎 и ⃑𝑏: ⃑𝑎 + ⃑𝑏 +  − ⃑𝑎 = (1,5) + (6,2) + (- (1,5)).

Распределим негатив по вектору, умножив все его компоненты на −1: (1,5) + (6,2) + (- (1,5)) = (1,5) + (6,2) + (- 1, −5).

Теперь мы находим сумму векторов, складывая их соответствующие компоненты вместе: (1,5) + (6,2) + (- 1, −5) = (1 + 6−1,5 + 2−5) = (6,2).

В нашем следующем примере мы увидим демонстрацию того, как применить свойство ассоциативности сложения векторов. Метод сложения этих векторов вместе путем нахождения суммы их соответствующих компонентов можно обобщить, чтобы показать, что свойство ассоциативности верно для произвольных векторов.

Пример 3: Проверка ассоциативности сложения векторов в двух измерениях

Учтите, что ⃑𝑎 = (1,6), ⃑𝑏 = (3,7) и ⃑𝑐 = (6,3).

1. Найдите ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐.
2. Найдите ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐.
3. Соответствует ли ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐 ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐?

Ответ

Часть 1

Чтобы найти сумму этих векторов, складываем соответствующие компоненты: ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐 = (1,6) + ((3,7) + (6,3)).

Вычисление выражения в круглых скобках дает (1,6) + ((3,7) + (6,3)) = (1,6) + (3 + 6,7 + 3) = (1,6) + (9,10).

Добавление соответствующих компонентов этих векторов дает (1,6) + (9,10) = (1 + 9,6 + 10) = (10,16).

Часть 2

Для начала, ⃑𝑎 + ⃑𝑏 + ⃑𝑐 = ((1,6) + (3,7)) + (6,3).

Вычисление выражения в круглых скобках дает ((1,6) + (3,7)) + (6,3) = (1 + 3,6 + 7) + (6,3) = (4,13) + (6,3).

Добавление соответствующих компонентов этих векторов дает (4,13) + (6,3) = (4 + 6,13 + 3) = (10,16).

Часть 3

Мы показали, что оба этих выражения упрощаются и дают один и тот же вектор: (10,16). Это пример ассоциативного свойства векторного сложения.Мы можем использовать этот пример для обобщения этого свойства.

Пусть ⃑𝑢 = (𝑢, 𝑢) , ⃑𝑣 = (𝑣, 𝑣) , и ⃑𝑤 = (𝑤, 𝑤) .

Тогда, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ((𝑢, 𝑢) + (𝑣, 𝑣)) + (𝑤, 𝑤) = (𝑢 + 𝑣, 𝑢 + 𝑣) + (𝑤, 𝑤) = ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤, (𝑢 + 𝑣) + 𝑤) .

Затем мы можем использовать ассоциативное свойство сложения, чтобы переписать этот вектор: ((𝑢 + 𝑣) + 𝑤, (𝑢 + 𝑣) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑣 + 𝑤), 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)) = ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤. 

Следовательно, для любых векторов в двух измерениях ⃑𝑢, ⃑𝑣 и ⃑𝑤, ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤.

В нашем следующем примере мы опишем свойство скалярного умножения и докажем, что это свойство выполняется для произвольных векторов и произвольного скаляра.

Пример 4: Описание свойства скалярного умножения

Какое свойство показывает, что 𝑐⃑𝑎 + ⃑𝑏 = 𝑐⃑𝑎 + 𝑐⃑𝑏?

Ответ

Это свойство называется распределительным свойством скалярного умножения над векторным сложением. В нем говорится, что для любых векторов ⃑𝑎 = (𝑎, 𝑎)  и ⃑𝑏 = (𝑏, 𝑏)  и скаляр 𝑐, 𝑐⃑𝑎 + ⃑𝑏 = 𝑐⃑𝑎 + 𝑐⃑𝑏.

Мы можем доказать это, рассматривая компоненты ⃑𝑎 и ⃑𝑏: 𝑐⃑𝑎 + ⃑𝑏 = 𝑐 ((𝑎, 𝑎) + (𝑏, 𝑏)) = 𝑐 (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏).

Затем, чтобы умножить вектор на скаляр 𝑐, мы умножаем каждый компонент на 𝑐, получая 𝑐 (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏) = (𝑐 (𝑎 + 𝑏), 𝑐 (𝑎 + 𝑏)).

Далее мы знаем, что умножение распределительно по сравнению с сложением: (𝑐 (𝑎 + 𝑏), 𝑐 (𝑎 + 𝑏)) = (𝑐𝑎 + 𝑐𝑏, 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏) .

Наконец, мы можем переписать это как (𝑐𝑎 + 𝑐𝑏, 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏) = (𝑐𝑎, 𝑐𝑎) + (𝑐𝑏, 𝑐𝑏) = 𝑐 (𝑎, 𝑎) + 𝑐 (𝑏, 𝑏) = 𝑐⃑𝑎 + 𝑐⃑𝑏. 

Это свойство известно как свойство распределения скалярного умножения над скалярным сложением.

В следующем примере мы будем использовать свойства векторов, чтобы помочь нам определить отсутствующий вектор из векторного уравнения.

Пример 5: Проверка распределительного свойства скалярного умножения по сложению векторов

Выполните следующее: 2 ((2,5) + (5,1)) = (,) + (10,2).

Ответ

Начнем с упрощения левой части уравнения. Во-первых, мы используем тот факт, что скалярное умножение дистрибутивно по сравнению с векторным сложением: 2 ((2,5) + (5,1)) = 2 (2,5) +2 (5,1).

Затем мы можем вычислить скалярное умножение: 2 (2,5) +2 (5,1) = (2 × 2,2 × 5) + (2 × 5,2 × 1) = (4,10) + (10,2).

Приравнивая это к левой части уравнения, получаем (4,10) + (10,2) = (,) + (10,2).

Затем мы можем упростить это уравнение, используя свойство исключения сложения векторов, которое говорит нам, что если ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑢 + ⃑𝑤, то ⃑𝑣 = ⃑𝑤.

Чтобы прояснить это, мы воспользуемся коммутативным свойством сложения векторов, чтобы переписать наше уравнение в виде (10,2) + (4,10) = (10,2) + (,).

Затем мы исключаем вектор (10,2), давая нам (4,10) = (,).

Следовательно, отсутствующий вектор равен (4,10).

В нашем последнем примере мы докажем аддитивное свойство, обратное векторному сложению.

Пример 6: Описание свойства аддитивных инверсий для сложения векторов

Какое свойство сложения показывает, что ⃑𝑎 +  − ⃑𝑎 = ⃑0?

Ответ

Это свойство называется аддитивным обратным свойством сложения векторов.Это свойство можно доказать, рассматривая компоненты вектора ⃑𝑎. Сначала пусть ⃑𝑎 = (𝑎, 𝑎) .

Тогда, −⃑𝑎 = (- 1) (𝑎, 𝑎) = (- 𝑎, −𝑎) .

Затем мы можем подставить это в наше выражение и вычислить: ⃑𝑎 +  − ⃑𝑎 = (𝑎, 𝑎) + (- 𝑎, −𝑎) = (𝑎 − 𝑎, 𝑎 − 𝑎) = (0,0) = ⃑0.

Это аддитивное обратное свойство состояний сложения векторов для любого вектора ⃑𝑎 = (𝑎, 𝑎) , ⃑𝑎 +  − ⃑𝑎 = ⃑0.

Давайте закончим повторением некоторых важных моментов этого объяснения.

Ключевые моменты

• Мы можем использовать свойства сложения векторов и скалярного умножения, чтобы упростить выражения, включающие векторы.
• Свойства векторного сложения: ⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑣 + ⃑𝑢⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ⃑𝑢 + ⃑𝑣 + ⃑𝑤⃑𝑢 + ⃑0 = ⃑𝑢⃑𝑢 +  − ⃑𝑢 = ⃑0⃑𝑢 + ⃑𝑣 = ⃑𝑢 + ⃑𝑤, ⃑𝑣 = ⃑𝑤. (Коммутативное свойство) (ассоциативное свойство ) (аддитивное свойство идентичности) (аддитивно обратное свойство) Ifthen (свойство исключения)
• Свойства скалярного умножения векторов: 𝑛⃑𝑢 + ⃑𝑣 = 𝑛⃑𝑢 + 𝑛⃑𝑣 (𝑛 + 𝑚) ⃑𝑢 = 𝑛⃑𝑢 + 𝑚⃑𝑢1⃑𝑢 = ⃑𝑢 (𝑛𝑚) ⃑𝑢 = 𝑛𝑚⃑𝑢𝑛⃑𝑢 = 𝑛⃑𝑣, ⃑𝑢 = ⃑𝑣. (распределительное свойство) (распределительное свойство) (мультипликативное тождественное свойство) (ассоциативное свойство ) Ifthen (свойство исключения)
• Мы можем доказать, что эти свойства выполняются, рассматривая компоненты векторов.
• Хотя мы рассмотрели эти свойства только для векторов в двух измерениях, все эти свойства распространяются на векторы в более высоких измерениях.

Как решить коммутативную собственность? — Mvorganizing.org

Как найти коммутативное свойство?

Слово «коммутативный» происходит от «коммутировать» или «перемещаться», поэтому свойство коммутативности — это то, что относится к перемещению вещей. Для сложения правило: «a + b = b + a»; в цифрах это означает 2 + 3 = 3 + 2.Для умножения действует правило «ab = ba»; в цифрах это означает 2 × 3 = 3 × 2.

Что означает коммутативность?

Коммутативное свойство — это математическое правило, которое гласит, что порядок, в котором мы умножаем числа, не меняет произведение.

Что такое коммутативное среднее?

или относящиеся к замене, обмену, замене или обмену. Математика. (бинарной операции), обладающей тем свойством, что один член, действующий на второй, равен второму, действующему на первый, как a × b = b × a.имеющий ссылку на это свойство: коммутативный закон для умножения.

Что такое коммутативное свойство числа 43?

43 + 2 = 2 + 43 — пример коммутативности.

Какие 4 свойства вычитания?

Свойства вычитания:

• Вычитание числа из самого себя.
• Вычитание 0 из числа.
• Заказать недвижимость.
• Вычитание 1.

Как выглядит ассоциативное свойство?

Ассоциативное свойство всегда включает 3 или более чисел.Числа, сгруппированные в круглых скобках, представляют собой термины в выражении, которые рассматриваются как одна единица. Есть еще ассоциативное свойство сложения. Однако вычитание и деление не ассоциативны.

В чем разница между коммутативным и ассоциативным свойством?

Коммутативность касается порядка некоторых математических операций. Операция коммутативна, потому что порядок элементов не влияет на результат операции. С другой стороны, ассоциативное свойство касается группировки элементов в операции….

Каковы 4 свойства математики?

Существует четыре основных свойства чисел: коммутативное, ассоциативное, распределительное и тождественное.

Что такое ассоциативное и коммутативное свойство?

В математике ассоциативные и коммутативные свойства — это всегда существующие законы сложения и умножения. Ассоциативное свойство утверждает, что вы можете перегруппировать числа, и вы получите тот же ответ, а коммутативное свойство заявляет, что вы можете перемещать числа и при этом получать тот же ответ….

Почему важно свойство коммутативности?

Коммутативная собственность. Коммутативность — это простейшее из свойств умножения. Он имеет легко понятное обоснование и впечатляющее немедленное применение: он сокращает количество независимых основных фактов умножения, которые необходимо запомнить.

Какие 5 математических свойств?

Коммутативное свойство, ассоциативное свойство, распределительное свойство, тождественное свойство умножения и тождественное свойство сложения.

Что такое коммутативный закон?

Коммутативный закон в математике, любой из двух законов, относящихся к числовым операциям сложения и умножения, выраженных символически: a + b = b + a и ab = ba. Из этих законов следует, что любая конечная сумма или произведение не изменяется путем переупорядочивания его членов или факторов.

Каковы три закона арифметики?

Есть три закона арифметики: ассоциативный закон, коммутативный закон и распределительный закон….

Что такое коммутативный закон и ассоциативный закон?

Ассоциативный закон позволяет перемещать скобки, пока числа не перемещаются.Как и в случае с коммутативным законом, это будет работать только для сложения и умножения. Ассоциативный закон подобен тому, что кто-то движется среди группы людей, объединяющихся с двумя разными людьми одновременно.

В чем разница между законом коммутативности и законом распределения?

1 Ответ эксперта Здесь применяется свойство распределения. Вы не можете комбинировать a или b с чем-либо еще, пока не вынесете их за скобки. Это пример коммутативности.Вы можете изменить («поехать») порядок, в котором вы складываете вещи….

Каковы законы арифметики?

Поскольку буквы заменяют числа, арифметические операции выполняются точно так же, как и с числами … Распределительные законы.

Коммутативный закон	а + Ь = Ь + а	а × Ь = Ь × а
Ассоциативный закон	(a + b) + c = a + (b + c)	(a × b) × c = a × (b × c)
Распределительное право	a × (b + c) = a × b + a × c	(a + b) × c = a × c + b × c

Что такое коммутативный закон сложения векторов?

Сложение векторов коммутативно, как и сложение действительных чисел.Коммутативное свойство: a + b = b + a. Если вы начнете с точки P, вы окажетесь в одной и той же точке, независимо от того, какое смещение (a или b) вы сделаете первым. Правило «голова к хвосту» дает вектор c как для a + b, так и для b + a.

Каков закон векторной алгебры?

Сложение векторов подчиняется двум важным законам: Коммутативный закон: P + Q = Q + P. Ассоциативный закон: P + (Q + R) = (P + Q) + R.

Какое обязательное условие сложения двух векторов?

Обязательным условием сложения двух векторов является то, что они должны находиться в одном векторном пространстве.Это означает, что оба должны иметь равное количество компонентов и должны быть представлены в i cap и j cap….

Можем ли мы сложить два любых вектора?

Чтобы сложить или вычесть два вектора, добавьте или вычтите соответствующие компоненты. Пусть → u = ⟨u1, u2⟩ и → v = ⟨v1, v2⟩ — два вектора. Сумма двух или более векторов называется результирующей. Результат двух векторов может быть найден с помощью метода параллелограмма или метода треугольника.

На какое максимальное количество компонентов можно разрешить вектор?

Вектор можно разбить на бесконечные компоненты (но только на 3 ортогональные)

Можно ли сложить любые два вектора?

Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результат).

Какова сумма двух максимальных и минимальных векторов?

Пошаговое объяснение: R максимально, когда cos (A, B) = +1; т.е. угол между векторами A и B равен 0 °. R минимально, когда cos (A, B) = -1; т.е. угол между векторами A и B равен 180 °….

Как сложить векторы?

Чтобы добавить векторы, положите первый на набор осей так, чтобы его хвост находился в начале координат. Поместите следующий вектор хвостом в голову предыдущего вектора. Когда векторов больше нет, проведите прямую линию от начала до конца последнего вектора.Эта линия представляет собой сумму векторов.

Как добавить примеры векторов?

1. Пример: складываем векторы a = (8, 13) и b = (26, 7) c = a + b. с = (8, 13) + (26, 7) = (8 + 26, 13 + 7) = (34, 20)
2. Пример: вычесть k = (4, 5) из v = (12, 2) a = v + −k. а = (12, 2) + — (4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12−4, 2−5) = (8, −3)
3. Пример: складываем векторы a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11) c = a + b.

Какова формула параллелограммного закона сложения векторов?

Ответ: Согласно закону сложения векторов параллелограмма, если два вектора a и b представляют две стороны параллелограмма по величине и направлению, то их сумма a + b = диагональ параллелограмма, проходящая через их общую точку по величине и направлению.

Как сложить векторы алгебраически?

Урок 2.3 — Алгебраическое сложение векторов

1. Найдите компоненты x и y каждого вектора.
2. Добавьте компоненты x и y каждого вектора.
3. Нарисуйте результирующий вектор.
4. Определите величину результирующей с помощью теоремы Пифагора.
5. Рассчитайте угол смещения с помощью функции обратной касательной.

Сложение векторов | Суперпроф

Вы можете выполнять различные математические операции с векторами, включая их сложение.Да! Вы можете добавить два или более вектора. В этом уроке вы узнаете, как добавлять векторы.

В принципе, вы не можете сложить два вектора, просто добавляете компоненты векторов по отношению к их положению. Когда вы складываете два вектора, всегда получается один вектор, который может иметь и не может иметь одинаковое направление, то же самое касается и величины. Проще говоря, добавление двух векторов в большинстве случаев приведет к новому вектору. Когда вы добавляете векторы, есть две части, одна — это величина, которую вы будете делать математически.Это означает, что с помощью математики вы найдете новые компоненты вектора. Вторая часть — это направление. Есть два метода определения направления вектора, это метод параллелограмма и метод «голова к хвосту», но это уже другая история, давайте пока просто добавим компоненты.

Добавление величины векторов

Чтобы добавить два вектора, добавьте их координаты или компоненты. Например, у вас есть два вектора, которые вы хотите добавить.

При добавлении вектора

необходимо добавить компоненты относительно их положения. Например, вы должны добавить, но не можете добавить или.

Дано

, и найдите вектор.

Учитывая векторы

и, определите величину вектора.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Свойства сложения векторов

Свойство No.1: Ассоциативный

Неважно, каким образом вы группируете, результат всегда будет одним и тем же. Проще говоря, способ, которым сгруппированы векторы, не меняет результата.

Свойство № 2: Коммутативный

Расположение векторов (при добавлении) не влияет на общий результат. Фактически, они всегда приводят к одному и тому же результату.

Свойство № 3: Аддитивная идентификация

Если вы добавите нулевой вектор к любому вектору, результат всегда останется прежним.

Свойство № 4: Аддитив, обратный или противоположный

Если вектор добавляется к вектору с той же величиной, но в противоположном направлении, общий результат всегда будет равен нулю.

Скалярное умножение

Скалярное умножение означает умножение вектора на скалярное число. Направление вектора останется прежним, но длина вектора может измениться, когда вы умножаете любой вектор на скалярное число.Например, у нас есть вектор

, теперь, если мы умножим вектор на значение (которое является скалярным числом), мы получим. Это означает, что величина вектора увеличилась в три раза по сравнению с предыдущим вектором.

По сути, есть два условия для скалярного умножения. Во-первых, число, умноженное на вектор , должно быть скалярной величиной . Второе условие: направление вектора никогда не изменится на , если вы выполняете скалярное умножение.Скалярное умножение не всегда приводит к увеличению величины, иногда оно может уменьшить значение исходного вектора, например, если вы умножите вектор на

, величина вектора уменьшится, что в конечном итоге уменьшит длину вектора.

Свойства скалярного умножения

Свойство № 1: Ассоциативное

Неважно, каким способом вы группируете, результат всегда будет одинаковым. Проще говоря, способ, которым сгруппированы векторы, не меняет результата.

Свойство № 2: Правая распределенность

Свойство № 3: Левая распределенность

Свойство № 4: Мультипликативная идентичность

Это свойство указывает, что если вы умножите любой вектор с единицей всегда будет один и тот же вектор.