|
Аналитическая геометрия Время проведения:осенний семестр, 2020-2021 Расписание понедельник — 11:00-12:35, аудитория 02 Аудитория курса: 1-ый курс, 3-ий поток Программа Cкачть программу курса » Программа курса
|
Конспект урока геометрии в 9 классе «Сложение векторов»
Урок №2 Дата ___________
Тема: Равенство векторов. Сложение векторов и его свойства, вычитание векторов.
Цель:
1) усвоить понятие суммы и разности двух векторов, рассмотреть законы сложения векторов, на их основе ввести понятие суммы трех и более векторов; формировать умение строить сумму двух данных векторов, используя правила треугольника и параллелограмма, сумму нескольких векторов, используя правило многоугольника, строить разность двух данных векторов двумя способами;
2) развитие абстрактного мышления, умения сравнивать, анализировать, обобщать, выделять главное, планировать свою деятельность;
3) воспитание коммуникативных качеств личности, самостоятельности, навыков взаимоконтроля.
Ход урока.
I Организационный момент.
II Проверка домашнего задания.
III Актуализация знаний.
Устный опрос учащихся:
1. Понятие вектора. Обозначение векторов
2. Коллинеарные векторы
3. Сонаправленные, противоположно направленные векторы
4. Равные векторы. Их свойства
5. Как построить вектор ?
6. Какие арифметические действия можно производить над векторами?
Постановка целей урока.
IV Изучение нового материала.
1. Сложение векторов. Определение.
1) Правило треугольника (используется для сложения коллинеарных и неколлинеарных векторов) алгоритм построения суммы векторов.
2) Правило параллелограмма.
Алгоритм построения суммы векторов.
3) Свойства сложения векторов.
2. Вычитание векторов. Определение.
А
V Закрепление изученного материала
Задача 1
– трапеция. Чему равна сумма , , ?
Чему равна разность этих пар векторов?
Задача 2
Дан параллелограмм . Через векторы выразите векторы .
Задача 3
Упростите выражение (без чертежа)
а) ; б)
VI Контроль знаний
Работа в парах
1. Начертите попарно неколлинеарные векторы . Постройте векторы:
, , , , , . Какие из построенных векторов равны?
2. Найдите вектор из условия: а) ; б) .
3. Упростите выражение .
4. Найдите вектор из условия: .
Взаимопроверка работы пар.
VII Домашнее задание:
VIII Подведение итогов урока. Рефлексия.
Вакантные места для приема (перевода)
Количество вакантных мест для приёма (перевода) в ГБОУ ЦО №162 за счёт бюджетных ассигнований федерального бюджетаобразовательная программа основного общего образования (8-9 класс)_2021-2022 — ОП ООО
образовательная программа среднего общего образования ФГОС (12 класс)_2021-2022 — ОП СОО ФКГОС
образовательная программа среднего общего образования ФГОС (10-11класс)_2021-2022 — ОП СОО ФГОС
| Параллель | Образовательная программа | Форма получения образования | Количество классов | Количество вакантных мест |
|
8 |
ОП ООО |
Очная |
1 |
Вакантных мест нет |
| ОП ООО |
Заочная |
1 | 3 | |
|
9 |
ОП ООО |
Очная |
4 |
Вакантных мест нет |
| ОП ООО |
Заочная |
4 |
Вакантных мест нет |
|
|
10 |
ОП СОО |
Очная |
4 |
30 |
| ОП СОО |
Очно/заочная |
2 |
10 |
|
| ОП СОО |
Заочная |
1 |
20 |
|
|
11 |
ОП СОО |
Очная |
3 |
Вакантных мест нет |
| ОП СОО |
Очно-Заочная |
2 |
Вакантных мест нет |
|
|
ОП СОО |
Заочная | 2 | Вакантных мест нет | |
|
12 |
ОП СОО ФКГОС |
Заочная |
2 |
Вакантных мест нет |
За счёт средств физических и (или) юридических лиц приём (перевод) в ГБОУ ЦО №162 НЕ осуществляется
За счёт бюджетных ассигнований бюджета субъектов РФ, местных бюджетов приём НЕ осуществляется
ГБОУ ЦО №162 НЕ ВЕДЁТ набор в начальные классы (1-4 классы), а также в классы основного общего образования с 5 по 7.
Векторы и простейшие действия над ними
Векторы и аналитическая геометрия на плоскости
Под векторомна плоскости понимают направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке B, который обозначается (или ). Модулем, или длиной, такого вектора называется длина отрезка .
Если нет необходимости указывать начало и конец вектора, то его обозначают или , ….
Различают векторы связанные(закрепленные), то есть с фиксированным началом, и свободные. Под свободным вектором понимают класс эквивалентных направленных отрезков, т. е. таких отрезков, которые совмещаются при параллельном переносе.
Векторы и называются коллинеарными (обозначение: ), если они лежат на параллельных прямых. Кроме того, если они имеют одинаковое направление, их называют сонаправленными(обозначение: ), а если противоположное – противоположно направленными(обозначение: ).
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и являются сонаправленными. Записывается это с помощью обычного знака равенства: . При этом запись понимают также в смысле, что начало свободного вектора приложено к точке А.
Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается . Направление такого вектора считается неопределенным. У нулевого вектора начальная и конечная точки совпадают.
Пусть заданы два ненулевых вектора . Отложим их от некоторой точки О таким образом, чтобы . Под углом между векторами и понимают наименьший угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его направление совпало с направлением вектора . Этот угол не зависит от выбора точки О и изменяется от 0 до p.
Для векторов определены следующие линейные операции: умножение вектора на действительное число и сложение векторов .
Произведением вектора на действительное число λ называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) |λ | = |λ| | |;
2) λ ↑↑ , если λ > 0,
λ ↑↓ , если λ < 0,
λ = , если λ = 0 или = .
Для того чтобы сложить векторы и геометрически, используют правило треугольника: начало вектора совмещается с концом вектора , их суммой является вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 1). Для обозначения этого действия используется обычный знак суммы: .
Рис. 1
Сложение двух векторов можно производить также по правилу параллелограмма: векторы и приводятся к общему началу, некоторой точке О, и на них строится параллелограмм. Тогда суммой этих векторов является вектор , который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из точки О (рис. 2).
Рис. 2
Сумма трех и более векторов может быть найдена по правилу ломаной (замыкающей). Это вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 3).
Рис. 3
Свойства линейных операций над векторами:
1) коммутативность сложения векторов, т. е.
;
2) ассоциативность сложения векторов, т. е.
;
3) дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на действительное число λ, т. е.
;
дистрибутивность сложения действительных чисел относительно умножения на вектор, т. е.
;
4) ;
5) ;
6) коммутативность и ассоциативность операции умножения вектора на число, т. е.
.
Вектор называется противоположным вектору .
Разностью векторов и называется вектор
.
Для того чтобы найти разность , необходимо: привести векторы и к общему началу. Тогда разностью является вектор, у которого начало совпадает с концом вектора , а конец — сначалом вектора (рис. 4).
Рис. 4
Таким образом, геометрически векторы и изображаются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , которые приведены к общему началу (рис. 5): ,
Рис. 5
Вектор называется ортом (единичным вектором) вектора , если и . Для его нахождения может быть использована формула
.
Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют числа такие, что
, .
Говорят, что точка C делит вектор в отношении λ (λ > 0), если =λ .
Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное произведение.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число
.
Скалярное произведение обозначается также .
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то .
Скалярным квадратом вектора называется величина
.
Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор , то есть
.
Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой
.
Свойства скалярного произведения:
1) – коммутативность;
2) –дистрибутивность;
3) ;
4) тогда и только тогда, когда ;
5) тогда и только тогда, когда ,
тогда и только тогда, когда
6)
7) .
Пример 1.По заданным трем векторам (рис. 6(а)) изобразить их линейную комбинацию .
Рис. 6 (а)
Решение. Зафиксируем на плоскости произвольную точку О и отложим от нее вектор (рис. 6(б)). Затем от конца вектора отложим вектор и, наконец, вектор , исходящий из концевой точки вектора . Искомая линейная комбинация изображается вектором, замыкающим полученную ломаную с началом в точке О.
Рис. 6 (б)
Пример 2. Найти вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми векторами и .
Решение. 1-й способ. Пусть для определенности . Тогда . Рассмотрим векторы и с общим началом в некоторой точке. По определению суммы векторов, вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Поскольку , то вектор совпадает с диагональю ромба, а значит, с направлением биссектрисы угла между этими векторами и векторами и . Используя введенные обозначения, заключаем, что искомое направление биссектрисы может быть задано вектором .
Аналогично можно показать, что вектором, задающим направление этой же биссектрисы, является также и
2-й способ. Отложим от фиксированной точки плоскости единичные векторы и построим на них ромб, диагональ которого совпадает с направлением биссектрисы угла между векторами а значит, между и .
Пример 3.В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно λ. Полагая выразить через и векторы
Решение.Проведем диагоналиAC и BD (рис. 7). Пусть О – точка их пересечения.
Рис. 7
Тогда из подобия треугольников AOD и COB и условия следует, что Имеем
Аналогично
Тогда
Пример 4. Найти угол, образованный единичными векторами и , если , причем
Решение. Найдем скалярное произведение
Из условия следует , т. е.
Учитывая, что имеем
Значит,
.
Из последнего соотношения получаем
Пример 5. Найти диагонали параллелограмма, построенного на векторах и угол между которыми 600, причем
Решение. По определению линейных операций над векторами, диагонали параллелограмма, построенного на векторах , равны соответственно Так как то имеем следующее:
Узнать еще:
Добавление векторов: определение, методы, примеры, свойства
Добавление векторов: Векторы могут использоваться для выполнения широкого спектра математических операций. Сложение векторов — одна из таких операций. Результат может быть определен путем сложения двух векторов вместе (или результирующих). Эта процедура сложения двух или более векторов более сложна, чем скалярное сложение. Рассмотрим случай, когда автомобиль едет на \ (10 \) миль к северу и на \ (10 \) миль к югу, чтобы лучше понять это.
В данном случае общее пройденное расстояние составляет \ (20 \) миль. Однако смещения нет. Каждое из смещений на север и юг является векторной величиной, а противоположные направления вызывают индивидуальные смещения. Давайте подробно рассмотрим сложение векторов и их свойства на решенных примерах.
Изучите концепции умножения векторов
Что такое сложение векторов?
Векторы обозначены алфавитом и стрелкой над ними и представлены как комбинация направления и величины.
Операция сложения двух или более векторов вместе для формирования векторной суммы известна как сложение векторов. Сложение векторов выполняется двумя способами: либо по закону треугольника, либо по закону параллелограмма.
Если два вектора имеют одинаковое направление, сумма их величин в одном направлении равна сумме их направлений.
Если два вектора находятся в противоположных направлениях, результирующая величина векторов представляет собой разность величин между двумя векторами и находится в направлении большего вектора.Используя сложение векторов, два вектора, \ (\ overrightarrow x \) и \ (\ overrightarrow y, \) могут быть сложены вместе, и результирующий вектор может быть выражен как \ (\ overrightarrow R = \ overrightarrow x + \ overrightarrow y. \)
Прежде чем мы сможем узнать о свойствах сложения векторов в математике, мы должны сначала понять требования, которые должны выполняться при добавлении векторов.
Следующие требования:
1. Только векторы одного типа могут быть объединены вместе.Например, к ускорению следует добавлять только ускорение, а не перемещение.
2. Нельзя складывать векторы никакими скалярами. т.е. мы не можем сложить \ (2 \) с вектором \ (\ overrightarrow a. \)
Рассмотрим два вектора \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \), где \ (\ overrightarrow a = {a_1} i + {a_2} j + {a_3} k \) и \ (\ overrightarrow b = {b_1} i + {b_2} j + {b_3} k. \) Тогда результирующий вектор \ (\ overrightarrow R = \ overrightarrow a + \ overrightarrow b = \ left ({{a_1} + {b_1}} \ right) i + \ left ({{a_2} + {b_2}} \ right) j + \ left ({{a_3} + {b_3}} \ right) k.\)
Свойства сложения векторов
Сложение векторов отличается от сложения алгебраических чисел. Вот некоторые из наиболее важных свойств, о которых следует подумать при добавлении векторов:
1. Сложение векторов коммутативно: это означает, что порядок векторов не влияет на результат сложения. Если два вектора \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) складываются вместе, тогда \ (\ overrightarrow a + \ overrightarrow b = \ overrightarrow b + \ overrightarrow a \)
2.Сложение векторов является ассоциативным: взаимная группировка векторов не влияет на результат при сложении трех или более векторов вместе.
\ (\ left ({\ overrightarrow a + \ overrightarrow b} \ right) + \ overrightarrow c = \ overrightarrow a + \ left ({\ overrightarrow b + \ overrightarrow c} \ right) \)
3. Сложение векторов является распределительным: оно указывает, что сумма скалярных времен, умноженных на сумму двух векторов, равна сумме скалярных времен двух векторов по отдельности.
\ (m \ left ({\ overrightarrow a + \ overrightarrow b} \ right) = m \ overrightarrow a + m \ overrightarrow b \)
4.Существование идентичности: для любого вектора \ (\ overrightarrow a, \, \ overrightarrow a + \ overrightarrow 0 = \ overrightarrow a \)
Здесь \ (\ overrightarrow 0 \) — аддитивная идентичность.
5. Существование обратного: для любого вектора \ (\ overrightarrow a, \, \ overrightarrow a + \ left ({- \ overrightarrow a} \ right) = \ overrightarrow 0 \)
Итак, аддитивный обратный существует для каждого вектора . 2} + 2 \, ab \, \ cos \, \ theta} \)
2.Параллелограммный закон сложения векторов : Параллелограммный закон сложения векторов гласит, что если два вектора действуют вдоль двух смежных сторон параллелограмма (с величиной, равной длине сторон), причем оба они направлены от общей вершины, результат представлен как диагональ параллелограмма, проходящая через одну и ту же общую вершину.
Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) представляют собой соседние стороны параллелограмма \ (ABCD \), как показано на рисунке, то результатом будет диагональ \ (AC \) параллелограмма \ (ABCD \), который проходит через одну и ту же общую вершину.
Следовательно, мы можем сделать вывод, что законы сложения векторов треугольника и законы сложения векторов параллелограмма эквивалентны.
Решенные примеры — сложение векторов
Давайте разберемся с концепцией сложения примеров векторов решениями.
Q.1. Если векторы положения точек \ (A \ left ({3, \, 4} \ right), \, B \ left ({5, \, — 6} \ right) \) и \ (C \ left ( {4, \, — 1} \ right) \) равны \ (\ overrightarrow a, \, \ overrightarrow b, \, \ overrightarrow c \) соответственно, вычислить \ (\ overrightarrow a + 2 \ overrightarrow b — 3 \ overrightarrow c.\)
Ans: Пусть \ (\ overrightarrow a, \, \ overrightarrow b, \, \ overrightarrow c \) — векторы положения точек \ (A \ left ({3, \, 4} \ right) , \, B \ left ({5, \, — 6} \ right) \) и \ (C \ left ({4, \, — 1} \ right). \)
Тогда \ (\ overrightarrow a = 3 \ widehat i + 4 \ widehat j, \, \ overrightarrow b = 5 \ widehat i — 6 \ widehat j \) и \ (\ overrightarrow c = 4 \ widehat i — \ widehat j \)
Следовательно, \ (\ overrightarrow a + 2 \ overrightarrow b — 3 \ overrightarrow c = 3 \ widehat i + 4 \ widehat j + 2 \ left ({5 \ widehat i — 6 \ widehat j} \ right) — 3 \ left ({4 \ widehat i — \ widehat j} \ right) \)
\ (= 3 \ widehat i + 4 \ widehat j + 10 \ widehat i — 12 \ widehat j — 12 \ widehat i + 3 \ widehat j \)
\ (= \ widehat i — 5 \ widehat j \)
Q.{\ rm {o}}} \)
\ (= \ sqrt {225 + 625 + \ frac {{750}} {2}} \)
\ (= \ sqrt {850 + 375} \)
\ (= \ sqrt {1225} \)
\ (= 35. \)
Q.3. Если \ (D \) — середина стороны \ (BC \) треугольника \ (ABC \) такая, что \ (\ overrightarrow {AB} + \ overrightarrow {AC} = \ overrightarrow {\ lambda AD}, \) запишите значение \ (\ lambda. \)
Ans: Дано \ (D \) — это середина стороны \ (BC \) треугольника \ (ABC \) такая, что \ (\ overrightarrow { AB} + \ overrightarrow {AC} = \ overrightarrow {\ lambda AD}.\)
Пусть \ (\ overrightarrow a, \, \ overrightarrow b, \, \ overrightarrow c \) — векторы положения \ (AB, BC \) и \ (CA. \)
Теперь вектор положения \ (D \) равно \ (\ frac {{\ overrightarrow b + \ overrightarrow c}} {2}. \)
Тогда \ (\ overrightarrow {AB} = \ overrightarrow b — \ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow {AC} = \ overrightarrow c — \ overrightarrow a \)
\ (\ overrightarrow {AD} = \ frac {{\ overrightarrow b + \ overrightarrow c}} {2} \, — \ overrightarrow a \)
Теперь, у нас есть
\ (\ overrightarrow {AB} + \ overrightarrow {AC} = \ overrightarrow {\ lambda AD}, \)
\ (\ Rightarrow \ overrightarrow b — \ overrightarrow a + \ overrightarrow c — \ overrightarrow a = \ лямбда \ left ({\ frac {{\ overrightarrow b + \ overrightarrow c}} {2} — \ overrightarrow a} \ right) \)
\ (\ Rightarrow \ overrightarrow b + \ overrightarrow c — 2 \ overrightarrow a = \ лямбда \ left ({\ frac {{\ overrightarrow b + \ overrightarrow c — 2 \ overrightarrow a}} {2}} \ right) \)
\ ( \ Rightarrow \ lambda = 2 \)
Q.4. Если \ (\ overrightarrow a, \, \ overrightarrow b, \, \ overrightarrow c \) — векторы положения вершин \ (A, B \) и \ (C \) соответственно треугольника \ (ABC, \) запишите значение \ (\ overrightarrow {AB} + \ overrightarrow {BC} + \ overrightarrow {CA.} \)
Ans: Учитывая \ (\ overrightarrow a, \ overrightarrow b, \ overrightarrow c \) позиционные векторы \ (A, B \) и \ (C \) соответственно.
Затем \ (\ overrightarrow {AB} = \ overrightarrow b — \ overrightarrow a \)
\ (\ overrightarrow {BC} = \ overrightarrow c — \ overrightarrow b \)
\ (\ overrightarrow {CA} = \ overrightarrow a — \ overrightarrow c \)
Рассмотрим, \ (\ overrightarrow {AB} + \ overrightarrow {BC} + \ overrightarrow {CA} = \ overrightarrow b — \ overrightarrow a + \ overrightarrow c — \ overrightarrow b + \ overrightarrow a — \ overrightarrow c \)
\ (= \ overrightarrow 0 \)
Q.5. Покажите, что сумма трех векторов, определяемых медианами треугольника, направленного из вершин, равна нулю.
Ответ: Пусть \ (\ overrightarrow a, \, \ overrightarrow b, \, \ overrightarrow c \) — векторы положения вершин \ (A, B \) и \ (C \) соответственно.
Тогда мы знаем, что вектор положения центроида \ (O \) треугольника равен \ (\ frac {{\ overrightarrow a + \ overrightarrow b + \ overrightarrow c}} {3}. \)
Следовательно, сумма три вектора \ (\ overrightarrow {OA} + \ overrightarrow {OB} + \ overrightarrow {OC} = \ overrightarrow a — \ left ({\ frac {{\ overrightarrow a + \ overrightarrow b + \ overrightarrow c}} {3 }} \ right) + \ overrightarrow b — \ left ({\ frac {{\ overrightarrow a + \ overrightarrow b + \ overrightarrow c}} {3}} \ right) + \ overrightarrow c — \ left ({\ frac { {\ overrightarrow a + \ overrightarrow b + \ overrightarrow c}} {3}} \ right) \)
\ (= \ left ({\ overrightarrow a + \ overrightarrow b + \ overrightarrow c} \ right) — 3 \ left ({\ frac {{\ overrightarrow a + \ overrightarrow b + \ overrightarrow c}} {3}} \ right) = \ overrightarrow 0 \)
Следовательно, сумма трех векторов, определяемых медианами треугольника, направленного из вершины равны нулю.
Сводка
В этой статье мы узнали о сложении векторов, их свойствах и примерах. Процедура сложения двух или более векторов отличается от скалярного сложения. Можно комбинировать только векторы одного типа. Мы не можем складывать векторы со скалярами. Есть два способа сложения векторов: закон треугольника и закон параллелограмма сложения векторов, который эквивалентен.
Выучить концепцию суммы векторов
Часто задаваемые вопросы (FAQ) — Добавление векторов Q.1. Объясните сложение векторов.
Ответ: Операция сложения двух или более векторов вместе для формирования векторной суммы известна как сложение векторов. Сложение векторов выполняется этими двумя способами: либо по закону треугольника, либо по закону параллелограмма. Когда два вектора помещаются голова к хвосту, векторная сумма определяется путем рисования вектора от свободного хвоста к свободной голове.
Q.2. Как реализовать сложение векторов?
Ответ: Если два вектора имеют одинаковое направление, сумма их величин в одном направлении равна сумме их направлений.Если два вектора находятся в противоположных направлениях, результирующая величина векторов представляет собой разность величин между двумя векторами и находится в направлении большего вектора. Во всех остальных случаях мы используем понятие закона треугольника или закона параллелограмма для сложения векторов.
Q.3. Какие есть примеры сложения векторов?
Ответ: Рассмотрим два вектора \ ({\ overrightarrow a} \) и \ ({\ overrightarrow b} \), где \ (\ overrightarrow a = {a_1} \ widehat i + {a_2} \ widehat j + { a_3} \ widehat k \) и \ (\ overrightarrow b = {b_1} \ widehat i + {b_2} \ widehat j + {b_3} \ widehat k.\) Тогда результирующий вектор \ (\ overrightarrow R = \ overrightarrow a + \ overrightarrow b = \ left ({{a_1} + {b_1}} \ right) \ widehat i + \ left ({{a_2} + {b_2} } \ right) \ widehat j + \ left ({{a_3} + {b_3}} \ right) \ widehat k. \)
Например:
1. if \ (\ overrightarrow a = \ widehat i + 2 \ widehat j + 3 \ widehat k \) и \ (\ overrightarrow b = 4 \ widehat i + 5 \ widehat j + 6 \ widehat k. \) Тогда результирующий вектор \ (\ overrightarrow R = \ overrightarrow a + \ overrightarrow b = 5 \ widehat i + 7 \ widehat j + 9 \ widehat k.\)
2. Если \ (\ overrightarrow a + \ overrightarrow b + \ overrightarrow c \) — векторы положения точек \ (A \ left ({3, \, 4} \ right) \, B \ left ( {5, \, — 6} \ right) \) и \ (C \ left ({4, \, — 1} \ right), \) соответственно. Теперь предположим, что нам нужно найти \ (\ overrightarrow a + 2 \ overrightarrow b — 3 \ overrightarrow c \)
Тогда \ (\ overrightarrow a = 3 \ widehat i + 4 \ widehat j, \, \ overrightarrow b = 5 \ widehat i — 6 \ widehat j \) и \ (\ overrightarrow c = 4 \ widehat i — \ widehat j \)
Следовательно, \ (\ overrightarrow a + 2 \ overrightarrow b — 3 \ overrightarrow c = 3 \ widehat i + 4 \ widehat j + 2 \ left ({5 \ widehat i — 6 \ widehat j} \ right) — 3 \ left ({4 \ widehat i — \ widehat j} \ right) \)
\ (= 3 \ widehat i + 4 \ widehat j + 10 \ widehat i — 12 \ widehat j — 12 \ widehat i + 3 \ widehat j \)
\ (= \ widehat i — 5 \ widehat j \)
В.4. Каковы применения сложения векторов?
Ответ: Сложение векторов играет важную роль в инженерии, которая включает силы, электрические поля, магнитные поля, импульс, угловой момент, положение, траектории, поляризацию, плотность тока, намагниченность, скорости, крутящий момент и т. Д. Суммирование любых двух векторов может быть выполнено геометрически, построив две стороны треугольника с заданными векторами, с результирующим вектором на третьей стороне.Поскольку это фундаментальные математические законы, они верны для всех векторов, включая векторы из физики, и поэтому часто используются в инженерии.
Q.5. Может ли сумма двух векторов иметь ноль?
Ответ: Сумма двух векторов может быть только \ (0 \), если они направлены в противоположном направлении и имеют одинаковую величину. В остальном сумма любых двух векторов не может быть равна нулю.
Мы надеемся, что эта подробная статья о сложении векторов помогла вам в учебе.Если у вас есть какие-либо сомнения или вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать нас в разделе комментариев. Удачного обучения!
794 Просмотры
Законы сложения векторов | Примечания, видео, контроль качества и тесты | 11 класс> Физика> Скаляры и векторы
Законы сложения векторов
Добавление или композиция векторов
Векторы добавляются геометрически, поскольку они не подчиняются обычным законам алгебры из-за направления, которым они обладают.Нам нужно найти результирующую вектора, добавив два или более вектора. Результирующая вектора называется композицией вектора. Есть два закона сложения векторов для сложения двух векторов. Это:
- Закон сложения векторов треугольника
- Закон сложения векторов параллелограмма
Закон сложения векторов треугольника
Утверждение: Если две стороны треугольника полностью представляют два вектора как по величине, так и по направлению, взятые в одном и том же порядка, тогда третья сторона, взятая в противоположном порядке, представляет собой равнодействующую двух векторов как по величине, так и по направлению.
Пусть есть два вектора и, действующие на частицу, одновременно представленные как по величине, так и по направлению сторонами OP и PQ треугольника OPQ. Позвольте быть угол между двумя векторами и. По закону векторов сторона OQ представляет их равнодействующую, составляющую угол с одним из векторов. Итак, результирующий вектор \ (\ vec R \)
Опустите перпендикулярную линию CD к удлиненной ЛИНИИ OP. Итак, образовался прямоугольный треугольник OQN.{-1} \ frac {B \ sin \ theta} {A + B \ cos \ theta}} $$
Закон сложения векторов параллелограмма
Если два вектора, действующих одновременно в точке, представлены как по величине, так и направления двумя смежными сторонами параллелограмма, проведенного из точки, тогда диагональ параллелограмма, проходящая через эту точку, представляет собой результат как по величине, так и по направлению.
Как показано на рисунке, вектор n на рисунке вектор \ (\ vec A и \ vec B \) представлен сторонами параллелограмма OPQS, а диагональ представлена диагональю OQ, такой что \ (\ vec R = \ vec A + \ vec B \) Величина: Чтобы вычислить величину результирующего вектора, давайте опустим перпендикуляр в точке N от Q при создании ОС.{-1} (\ frac {B} {A})} $$
Законы векторов многоугольника
Если несколько векторов представлены как по величине, так и по направлению сторонами многоугольника, взятыми в одном порядке, тогда результирующий полностью представлен по величине и направлению закрывающей стороной многоугольника, взятой в обратном порядке.
Предположим, что векторы \ (\ vec A, \ vec B, \ vec C и \ vec D \) представлены четырьмя сторонами OP, PQ, QS и ST многоугольника, взятыми в порядке, показанном на рис.Тогда закрывающая сторона OT, взятая в обратном порядке, представляет собой результат \ (\ vec R \)
$$ \ vec R = \ vec A + \ vec B + \ vec C + \ vec D $$
Свойства сложения векторов
- Сложение векторов подчиняется коммутативному закону. Если, — три вектора, то
$$ \ vec A + \ vec B + \ vec C = \ vec C + \ vec A + \ vec B = \ vec B + \ vec C + \ vec A $$
- Вектор сложение следует распределительному закону.
$$ \ alpha (\ vec A + \ vec B + \ vec C) = \ alpha \ vec A + \ alpha \ vec B + \ alpha \ vec C $$
Где — скаляр
- Далее следует сложение векторов ассоциативный закон.{n} Rn, или что называется: реальное координатное пространство n-мерного . Для этого есть несколько основных терминов, которые вы должны хотя бы усвоить, например: переменные , размерность и координатное пространство . Давайте сначала проясним эти термины в следующих параграфах.
Мы использовали слово «переменная» уже на многих уроках, в этом курсе или вне его, концепция переменной используется во всей математике. Что касается линейной алгебры, когда мы говорим о векторах, мы знаем, что переменная определяет направление одного из компонентов вектора в соответствии с геометрическими координатными плоскостями.. Причина в том, что мы придаем этим переменным графическое значение, они представляют собой декартовы плоскости координат, возможные в трех измерениях, что означает, что мы можем изобразить этот вектор аналогично:
Рисунок 1: Вектор с компонентами в трех измеренияхТаким образом, мы говорим, что вектор v‾ \ overline {v} v имеет три компонента: одну по x, одну по y и одну по z..Величины, соответствующие компоненту в каждом направлении, определяются коэффициентами c1, c2, c3c_ {1}, c_ {2}, c_ {3} c1, c2, c3.
Это подводит нас ко второй концепции — размерам. В ходе этого курса мы использовали слово «размеры», чтобы говорить о размере матрицы (количестве строк и столбцов, которые она содержит), и, хотя они связаны определенным образом (что можно объяснить в других уроках), размерность слова — это здесь используется иначе.
Когда мы говорим о измерениях вектора, мы действительно говорим о размерах, необходимых для описания этого конкретного вектора, другими словами, координатных плоскостях (таких как x, y и z), необходимых для описания каждого отдельного компонента, содержащегося в вектор.В то же время они переводятся графически как пространственные измерения, которые вы можете представить себе как: длина, ширина и глубина, три измерения пространства, в котором мы живем; или даже географические измерения: север-юг, восток-запад, верх-низ.
Например, если мы используем вектор для описания перемещения автомобиля, когда он движется из одного города в другой, мы должны использовать вектор с тремя измерениями, потому что наш мир (и известная вселенная, если на то пошло) имеет три размеры помещения: длина, ширина и глубина / высота.Таким образом, если мы хотим полностью описать перемещение автомобиля, движущегося из одного города в другой, с помощью вектора, такой вектор ДОЛЖЕН содержать три компонента, которые в географических координатах будут следующими: сколько север или юг он проехал, сколько восток или запад он путешествовал, и насколько изменилась высота местности (поднялась ли она в горы? Или потеряла высоту, уйдя в долину? и т. д.). Посмотрите на этот пример, как мы можем легко создать вектор, описывающий перемещение автомобиля из Стэнли-парка в Ванкувере (который находится на уровне моря) к соседней горе Гроуз (на высоте 1231 метр):
Рисунок 2: Вектор смещения от парка Стэнли до горы ГроузНа рисунке 2 мы могли бы легко представить ось восток-запад как ось x, ось север-юг как ось y, а ось высоты как положительную ось z и, таким образом, обозначить это синий вектор смещения с компонентами в x ^, y ^, z ^ \ hat {x}, \ hat {y}, \ hat {z} x ^, y ^, z ^ (которые будут переменными), где их коэффициенты c1, c2, c3c_ {1}, c_ {2}, c_ {3} c1, c2, c3 — это количество метров в каждом направлении, необходимое для прибытия из Стэнли-парка в Гроус-Маунтин.Итак, у нас есть вектор в трехмерном пространстве: сколько он ушел на восток, сколько он ушел на север и сколько поднялся по высоте.
Итак, координатное пространство — это то «пространство» само по себе, эта «сцена», если хотите, где что-то происходит. Координатное пространство будет пространством, которое вы используете в качестве системы отсчета для задачи, которую вы изучаете или решаете. Например, на рисунке 2 для векторного перемещения автомобиля от Стэнли-парка до Грауз-Маунтин нам нужно было координатное пространство с тремя измерениями, чтобы полностью описать заданное смещение, если бы мы смотрели на перемещение карандаша в лист бумаги, когда вы рисуете линию, нужны только две оси координат, чтобы описать это движение только в двух измерениях, и поэтому наше координатное пространство будет иметь два измерения; следовательно, в зависимости от рассматриваемого случая, это будет необходимое координатное пространство.{n} Rn важен, потому что он позволяет нам иметь обозначение для представления случаев, в которых размерности больше трех. Если подумать, мы можем только графически представлять векторы с тремя измерениями, то есть потому, что у нас действительно нет способа узнать, как будет выглядеть 4-е измерение, поскольку в нашей собственной вселенной мы не можем видеть четвертое измерение. (физики называют это временем, но можно ли нарисовать время?). Если вы пойдете дальше четырех измерений, мы не сможем даже описать вселенную с такой структурой, это невозможно в нашей концепции вселенной, в которой мы живем (существует множество теорий, поддерживаемых математическими концепциями, но мы всегда добираемся до проблему мы не можем представить графически, поскольку она могла бы существовать, потому что, если она действительно существует, она полностью невидима не только для наших глаз, но и для любых органов чувств и способностей).Но опять же, говоря математически, существует бесконечное количество измерений, которые можно отнести к вектору, и мы можем вычислить их.
В этот момент вы можете спросить: зачем нам работать с векторами, представляющими более 3 различных переменных компонентов, которые мы связываем с 3 различными измерениями, которые мы не можем ощутить? Поскольку в физических задачах мы можем думать о них не как о размерах в векторе, а как о простых разных переменных (математика та же), и поэтому вектор, имеющий несколько разных переменных, не всегда означает, что каждая переменная имеет разное измерение, они могут разделять способ смещения, чтобы представить различные физические свойства сценария.{n} Rn определяется как:
Уравнение 2: подпространство Rn Глядя на определение того, что является подпространством векторного пространства, приходит в голову кое-что интересное: если мы думаем о векторных пространствах и подпространствах, векторное пространство также является подпространством самого себя. Итак, сравнивая векторное пространство с подпространством, мы понимаем, что основное различие между векторным пространством и подпространством состоит только в том, что векторное пространство имеет более высокие размерности. Следовательно, подпространства векторных пространств — это выбранные части векторных пространств с определенными условиями, прикрепленными к ним, в зависимости от контекста.{2} R2? Уравнение 3: Набор и его условия - Есть нулевой вектор?
Да, нулевой вектор существует на этой двумерной плоскости, ограниченной x2≤0x_ {2} \ leq 0x2 ≤0. Это потому, что нулевой вектор является началом координат, в двух измерениях это означает, что: Уравнение 4: нулевой вектор в двух измерениях Следовательно, в этой двумерной плоскости, где x1x_ {1} x1 может иметь любое значение (и, таким образом, возможно нулевое значение) и x2≤0x_ {2} \ leq 0x2 ≤0 (где нулевое значение также возможно) выполняется это первое условие свойства. - Комплект закрыт на добавление?
Чтобы проверить это свойство, мы определяем два вектора как: Уравнение 5: векторы u и v Если компоненты для x1 (aandc) x_ {1} (a и c) x1 (aandc) могут быть любыми, и оба компонента x2x_ {2} x2 удовлетворяют условию, установленному в задаче, поскольку оба b≤0b \ leq 0b≤0 и d≤0d \ leq 0d≤0. Следовательно, если мы сложим эти два общих вектора, мы получим: Уравнение 6: сложение векторов u и v Где b + d≤0b + d \ leq 0b + d≤0 и поэтому это множество замкнуто при сложении. - Замкнуто ли множество относительно скалярного умножения?
Проверка свойства близости при скалярном умножении означает проверку того, что каждый отдельный вектор в пространстве может быть умножен на любой скаляр (любое действительное число) и по-прежнему дает результат внутри векторного пространства. В этом случае, если бы у нас был любой вектор внутри предоставленного пространства, умноженный на отрицательный скаляр, это произвело бы новый вектор с отрицательными компонентами по обеим осям. В случае компонента x1x_ {1} x1 это не будет проблемой, поскольку вы можете иметь любое значение там, но для компонента в x2x_ {2} x2 у вас не может быть отрицательных значений, и поэтому этот набор векторов не замкнут относительно скалярного умножения.{2} Выполняется R2:- Есть нулевой вектор?
Да, начало координат находится внутри заштрихованной области на графике, поэтому векторное пространство содержит нулевой вектор. - Комплект закрыт на добавление?
Да, этот набор векторов закрывается при добавлении, потому что, когда любые два вектора в наборе добавляются друг к другу, они создают другой вектор, который также будет расположен внутри векторного пространства. - Замкнуто ли множество относительно скалярного умножения?
Набор не закрывается при скалярном умножении, потому что, когда любой из векторов в наборе умножается на отрицательный скаляр, это умножение изменяет направление вектора на противоположное, и все они находятся вне векторного пространства. {2} R2.{2} Выполняется R2:- Есть нулевой вектор?
Да, начало координат находится внутри заштрихованной области на графике, поэтому векторное пространство содержит нулевой вектор. - Комплект закрыт на добавление?
Нет, при сложении друг с другом не все векторы в наборе создают вектор, все еще находящийся внутри векторного пространства, поэтому это свойство не выполняется. - Замкнуто ли множество относительно скалярного умножения?
Больше нет необходимости проверять это свойство, поскольку второе не было выполнено.{2} R2, потому что он не удовлетворяет свойству клонности при добавлении.
Мы надеемся, что вам понравился наш сегодняшний урок, обязательно посмотрите все видео, включенные здесь, поскольку этот урок является основой для следующих двух, посвященных пространству столбцов и пустому пространству матриц. - Есть нулевой вектор?
- Есть нулевой вектор?
Чтобы узнать, принадлежит ли набор подпространству, мы сначала строим график подпространства в соответствии с условиями, указанными в уравнении 3:
Рисунок 3: подпространство R2Теперь проверим, выполняются ли три свойства подпространства этого R2:
