Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

1. Сложение векторов. Векторы складываются геометрически по правилу параллелограмма или многоугольника.
Правило параллелограмма. Суммой двух векторов и называют такой третий вектор , выходящий из их общего начала, который служит диагональю параллелограмма, сторонами которого являются сами векторы (рис.1) и обозначают так: .

Рис.1

Правило многоугольника. Чтобы построить сумму любого конечного числа векторов, нужно в конце первого слагаемого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, представляет собой искомую сумму. Начало его совпадает с началом первого слагаемого вектора, а конец — с концом последнего.

Рис.2

Например, сумма векторов , , и d получается так (рис.2). Строим векторы

Тогда вектор суммы

Два вектора и , имеющие равные длины, но противоположные направления, называются противоположными векторами (рис.3).

Рис.3

Если вектор , противоположен вектору , то можно записать:

.
Сумма противоположных векторов равна нуль-вектору:

Сумма векторов удостоверяет:
а) закону переместительности:

б) закону сочетательности:

2. Вычитание векторов. Вычитание двух векторов определяется как действие, обратное сложению.
Разностью двух векторов и называется такой третий вектор , который нужно сложить с вектором , чтобы получить вектор , т. е. , если .
Чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отнести их к общему началу и провести вектор из конечной точки вектора-вычитаемого конечную точку вектора-уменьшаемого (рис.4).

Рис.4

То же действие вычитания двух векторов можно произвести иначе.
Чтобы вычесть из вектора вектор , надо прибавить к вектору равный и противоположно направленный вектору вектор (- ).
Построим вектор , длина которого равна длине вектора , а направление его противоположно направлению вектора .
Кроме того, дополним треугольник ABC до параллелограмма АСВВ₁.
Очевидно равно . Следовательно, (рис.4).
Искомая разность

Мы получим следующее равенство:

3. Умножение вектора на скаляр. При умножении вектора на скаляр n получим вектор , коллинеарный с вектором и имеющий длину в n раз больше, чем . Этот новый вектор
имеет одинаковое направление с вектором , если n>0, и противоположное с ним направление, если n

Рис.5

Если обозначить одноименной буквой с нуликом вверху вектор длины, равной 1, и того же направления, что и вектор , то из определения умножения вектора на скаляр следует

Единичный вектор направления вектора называется его ортом.

Презентация на тему: сложение векторов умножение вектора на число вычитание векторов скалярное

1

Первый слайд презентации

сложение векторов умножение вектора на число вычитание векторов скалярное умножение векторов вектор число

Изображение слайда

2

Слайд 2

сложение векторов умножение вектора на число вычитание векторов скалярное умножение векторов Скалярное произведение равно, если хотя бы один из векторов сомножителей является нулевым.

Изображение слайда

3

Слайд 3

сложение векторов умножение вектора на число вычитание векторов скалярное умножение векторов ,

Изображение слайда

4

Слайд 4

сложение векторов умножение вектора на число вычитание векторов скалярное умножение векторов скалярное произведение в координатах

Изображение слайда

5

Слайд 5

Скалярное произведение в координатах

Изображение слайда

6

Слайд 6

Теорема. В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и вы ражается формулой: Доказательство.

Изображение слайда

7

Слайд 7

Теорема. В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и вы ражается формулой: Доказательство. ,

Изображение слайда

8

Слайд 8

Теорема. В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и вы ражается формулой: Доказательство. ,

Изображение слайда

9

Слайд 9

Теорема. В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и вы ражается формулой: Доказательство. , Что и требовалось доказать.

Изображение слайда

10

Слайд 10

Задача. Найти скалярное произведение векторов,,, если,,. Решение.

Изображение слайда

11

Слайд 11

Следствие 1. Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда. Какие из данных векторов являются перпендикулярным и для вектора ?

Изображение слайда

12

Слайд 12

Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулой :.

Изображение слайда

13

Слайд 13

Свойства скалярного произведения векторов

Изображение слайда

14

Слайд 14

Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов в координатах ,

Изображение слайда

15

Слайд 15

Свойства скалярного произведения векторов 1.

Изображение слайда

16

Слайд 16

Свойства скалярного произведения векторов 1. 2. переместительный закон Что и требовалось доказать.

Изображение слайда

17

Слайд 17

Свойства скалярного произведения векторов 1. 2. переместительный закон 3. распределительный закон ,, Что и требовалось доказать.

Изображение слайда

18

Слайд 18

Свойства скалярного произведения векторов 1. 2. переместительный закон 3. распределительный закон 4. сочетательный закон , Что и требовалось доказать.

Изображение слайда

19

Слайд 19

Свойства скалярного произведения векторов 1. 2. переместительный закон 3. распределительный закон 4. сочетательный закон

Изображение слайда

20

Слайд 20

Задача. Найти, если,. ,,,. Решение. Применение скалярного произведения к решению задач

Изображение слайда

21

Слайд 21

Задача. Найти величину в, если,,. Решение. Ответ:.

Изображение слайда

22

Слайд 22

Задача. Определить, при каких значениях переменной. , , , , Решение.

Изображение слайда

23

Последний слайд презентации: сложение векторов умножение вектора на число вычитание векторов скалярное

Задача. Доказать, что треугольник с вершинами, и тупоугольный и найти косинус тупого угла. Решение. острый острый тупой Что и требовалось доказать. Ответ:.

Изображение слайда

8.3 Сложение и умножение векторов

Сложение векторов обладает коммутативностью и ассоциативностью [11]:

Для сложения (вычитания) векторов нужно сложить (вычесть) их соответствующие компоненты. Например:

= 24,6 + 7,2 – 1,4 ;

= 11,4 – 11,0 + 7,1 ;

= 36,0 – 3,8 + 5,7

Произведение вектора на скаляр k есть вектор ,модуль которого в раз отличается от модуля , а направление совпадает с при k > 0 и противоположно ему при k < 0:

Умножение на скаляр подчиняется правилам:

Скалярным произведением 2 векторов и _· называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

_{Скалярное произведение коммутативно и дистрибутивно:}

_{В координатной форме скалярное произведение равно:}

_{Т.о. результатом скалярного произведения двух векторов является не вектор, а скаляр.}

_{Векторным произведением двух векторов является третий вектор}

, перпендикулярный к плоскости векторов–сомножителей и направленный в ту сторону, откуда поворот от 1-го сомножителя ко 2-му на меньший угол виден против хода часовой стрелки и равен по величине площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 8.3):

Рисунок 8.3 − Векторное умножение

Результатом векторного произведения двух векторов является аксиальный вектор . Аксиальными называются векторы, направление которых устанавливается соглашением и которые поэтому изменяют свое направление при замене правой системы координат на левую. Векторы, направление которых определяется только физическим смыслом отображаемого параметра (сила, скорость) и которые вследствие этого не изменяют своего направления при изменении системы координат, называются полярными. Векторное произведение дис-трибутивно, но антикоммутативно:

В координатной форме:

8.4 Тензоры 2-го ранга

Тензор (2-го ранга) – это переменная величина, определямая в любой системе координат n² компонентами:

(8.3)

которые при изменении системы координат преобразуются в компоненты A_i’k′ по соотношению:

A_i’k′ = а_i’j а_k’m А _jm , где i, k,j, m = 1, 2, … , n (8.4)

Здесь, как и везде в дальнейшем, имеется ввиду прямоугольная декартова система координат [11].

Тензоры 2-го ранга изображаются в виде матрицы их компонент

(8.3) или в сокращенной записи, а_ij , Т_кm и т.д., где подразумевается изменение индексов от 1 до 3 (из-за 3-мерности физического пространства).

Количество компонент тензора k зависит от его ранга p:

k = n^P ,

где n – размерность пространства.

У скаляра p= 0. Поэтому n^о = 1. Это тензор 0-го ранга.

У вектора p = 1. Поэтому n¹ = n . Это тензор 1-го ранга.

Тензоры 2-го и более высоких рангов необходимы для описания более сложных, чем векторные, физических величин. Например, для описания деформации изотропного упругого тела в точке необходимо 3²=9 чисел, а упругих свойств анизотропного – 3⁴=81 число.

Тензор можно определить и как совокупность n векторов. Например, для 3-мерного пространства:

где совокупность трех векторов преобразуется при повороте системы координат по соотношению:

Конспект занятия «Сложение векторов. Умножение вектора на число» (для студентов 1 курса СПО)

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА урока № 197-198

по учебной дисциплине ОДП.01 Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия

методическая разработка преподавателя гапоу рс(Я) «мртк» филиала «уДАЧНИНСКИЙ» Кыдрашевой Ч.М.

Формируемые компетенции:

ОК/личностные результаты для общеобразовательных дисциплин

ПК/предметные результаты, межпредметные результаты для общеобразовательных дисциплин

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

Предметные: Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;

Сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

Владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях, в реальном мире; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием.

Метапредметные: Умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно решать конфликты;

владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками решения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

Готовность и способность с самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников

Целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;

Личностные: Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;

Развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критического мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования

овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно- научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

Готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;

Цель занятия

Рассмотреть выполнение действий над векторами при решении задач.

Задачи

Образовательные: обеспечить закрепление знаний и способов деятельности обучающихся

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к учебной дисциплине, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Развивающие: Создать условия для развития логического и пространственного мышления.

Методы

обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, частично-поисковый.

преподавания: объяснительно-побуждающий

учения: ознакомительный, репродуктивный.

Тип урока

Урок закрепления знаний.

Вид урока

Практическое занятие.

Оборудование

Карточки, макеты векторов, параллелепипеда, магнитики, учебники, дополнительная литература, проектор, экран, компьютер

Понятийный аппарат

Стереометрия, вектор, коллинеарность. компланарность.

Учебники/раздаточный материал/пособия/метод-кие указания

1. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни, Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. — М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2012

Организационная структура урока.

Организационный момент.

Цели для преподавателя: создать условия для возникновения у студентов внутренней потребности включения в учебную деятельность; — организовать совместное целеполагание урока (преподаватель-студент)

Цели для обучающихся: включиться в учебную деятельность; подготовиться к выполнению задания

Цели этапа занятия достигаются посредством: — формулирование темы занятия и постановки общих целей с вовлечением студентов в данный процесс

5 мин

Приветствие, проверка готовности к занятию (рабочих тетрадей, письменных принадлежностей). Вводная беседа для определения общих целей и задач занятия:

Рассмотрим следующую задачу: В начальный момент времени материальное тело находилось в точке А.. Определите конечное положение материального тела через некоторый промежуток времени, если оно переместилось на 5 км.

-Для того, чтобы ответить на этот вопрос, нужно указать направление движения тела.

-О какой физической величине идет речь?

-Что такое перемещение?

-Какие еще векторные величины вы знаете?

-Какое понятие будем сегодня рассматривать?

-Исключите лишнее слово.

-Давайте уточним цель сегодняшнего занятия.

-Вы сегодня будете работать по группам. Всего я предлагаю выполнить 10 заданий. Каждое задание будет оцениваться по следующим критериям:

1б- если выполнено верно.

0.5б –частично выполнено,

0 баллов – не выполнено.

В конце занятия подсчитаем общее количество баллов. Определив тем самым победителя.

Настраиваются на урок, проверяют готовность своего рабочего места.

Предполагаемые ответы:

-Невозможно определить, так как неизвестно направление движение тела.

-О перемещении.

-Это вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки

Предполагемые ответы:

-Сила, скорость, давление., импульс, вес, плотность тока и тд.

-Сегодня рассмотрим векторы и действия над ними.

Формулируют и записывают тему урока в тетрадь.

Включаются в учебную деятельность; подготавливаются к выполнению заданий.

Актуализация/проверка домашнего задания.

Цели для преподавателя: — установить уровень усвоения знаний; -стимулировать активность и инициативу студентов

Цели для обучающихся: -закрепить знания по теме — активизировать знания, необходимые для восприятия нового материала;

Цели этапа занятия достигаются посредством: — организации фронтального опроса по пройденному учебному материалу; — организации проверки выполненной домашней работы;

25мин

-Дома вы должны были изучить тему компланарные векторы. Эти знания сегодня вам пригодятся при выполнении заданий. В конце занятия проверим, насколько вы хорошо усвоили материал.

-Итак, первое задание: «Заполни таблицу» время выполнения каждого задания – 5 минут

-Переходим ко второму заданию: «Пропущенные слова»

Отвечают письменно, в тетради. Двое желающих с каждой команды выходят к доске. Озвучивают свои ответы

Заполняют таблицу. Выставляют балл за первое задание

Записывают в тетради пропущенные слова

Проверяют, ставят баллы

Проявляют готовность к проверке д/з;

-проявляют активность при проведении фронтального опроса.

Закрепление материала

Цели для преподавателя:

— получить достоверную информацию о достижении всеми обучающимися запланированных результатов обучения;

— посредством самостоятельной работы привить навыки трудолюбия;

— формировать у обучающихся самооценку качества своей учебной деятельности.

Цели этапа урока достигаются посредством:

-анализа результатов коллективной работы;

— оценки индивидуальной работы обучающихся.

55 мин

-Переходим к третьему заданию. На доске вы видите векторы. Нужно сложить эти векторы. Начертить мелом суммарный вектор.

— Четвертое задание: «Физика и геометрия»

А) Определить вид движения

Б) Найти суммарный вектор

-Пятое задание «Геометрические фигуры»

-Шестое задание: «Математический диктант»

-Седьмое задание. Работа по учебнику. №385

-Восьмое задание: Перед вами макет прямоугольного параллелелепипеда. Выполняем задания на слайде.

Девятое задание – проверка д/з

Работают у доски, обе команды одновременно

Проверяют, ставят баллы

Выполняют задание, подводят итоги.

Выполняют пятое задание. Оценивают свою работу

Выполняют восьмое задание.

Подводят итоги конкурсов

Осознание значимости работы в коллективе, определение самооценки собственной учебной деятельности, оценки коллективной работы в группе

1. Итоги урока. Рефлексия.

Цели для преподавателя:

— провести анализ и оценку успешности достижения цели урока, перспектив последующей работы;

— мобилизовать обучающихся на рефлексию результатов учебной деятельности.

Цели для обучающихся:

— иметь собственную оценку результатов урока в целом и своей учебной деятельности в частности.

Цели этапа урока достигаются посредством:

— выставления и обоснования отметок обучающимся;

— достижения открытости обучающихся в осмыслении своих действий и самооценки.

5мин

Рефлексия «Синквейн»

По ответам студентов подвести итоги, выяснив при этом, достигнуты ли были цели урока.

Запишите д/з. Сделать развертку звездчатого многогранника, решить № 329

Обобщают полученные знания.

(Выступление обучающихся).

Студенты подводят итоги.

Оценивают свою работу с помощью листа самооценивания. По желанию отвечают, что было понятно/не совсем понятно/непонятно

Сдают листы самооценивания

осмысливают свои действия на уроке и

имеют собственную оценку результатов урока;

— делают выводы по изученному материалу

Задание

Оценка

1

«Величины»

2

«Пропущенные слова»

3

«Сложение векторов»

4

«Физика и геометрия»

5

«Геометрические фигуры»

6

«Математический диктант»

7

«Работа по учебнику»

8

«Прямоугольный параллелепипед»

9

«Проверка домашнего задания»

10

«Синквейн»

Задание

Оценка

1

«Величины»

2

«Пропущенные слова»

3

«Сложение векторов»

4

«Физика и геометрия»

5

«Геометрические фигуры»

6

«Математический диктант»

7

«Работа по учебнику»

8

«Прямоугольный параллелепипед»

9

«Проверка домашнего задания»

10

«Синквейн»

Сложение векторов и умножение на числа

    I. Комплексным векторным пространством Я называют бесконечную совокупность комплексных величин А, В, С,. .., для которых определены линейные операции сложения и умножения на комплексные числа. Сами величины Л, В,. .. называются векторами пространства Я. [c.675]

    Сложение векторов и умножение на числа [c.40]

    Начнем с того, что не только числа можно складывать и умножать на другие числа. Аналогичным свойством обладают векторы, полиномы от одной или нескольких переменных, поля скоростей движущейся жидкости, электромагнитные поля, волновые функции в квантовой механике и множество других совокупностей физических и математических объектов. При этом сумма двух векторов является вектором, а сумма двух электромагнитных полей, конечно, опять представляет собой электромагнитное поле. То же относится и к остальным перечисленным видам величин. Существенно, что какие бы однотипные величины мы ни взяли, их сложение и умножение на число приводят к величине того же типа. Эти два действия подчиняются коммутативному, двум ассоциативным и двум дистрибутивным законам  [c.101]

    Пример 3. Множество всех векторов Х в обычном трехмерном пространстве есть линейное пространство 91д, поскольку определены операции сложения векторов и их умножения на число, удовлетворяющие, как легко проверить, аксиомам 1°—8°. Нулевым элементом служит вектор нулевой длины, противоположным элемен- [c.48]

    Сложение векторов тогда сводится к поэлементному сложению вектор-столбцов, умножение на число а — к умножению на а каждого элемента вектор-столбца. [c.48]

    Пример 4. Множества вектор-столбцов (матриц размера тХ1), либо вектор-строк (матриц размера 1хп), определенных, например, над полем вещественных чисел, также образуют векторные пространства. Элементы этих пространств мы будем просто называть векторами, особенно в тех случаях, когда ясно, о каких именно вектор-строках или столбцах идет речь. Операции сложения и умножения на число для векторов — те же, что и для матриц. Например, пусть  [c.48]

    Векторные пространства при сравнении их с привычным трехмерным пространством, которое будем обозначать через обнаруживают много общих черт как в 31з, так и в iR определены операции сложения векторов и их умножения на число существуют базисные системы векторов, по которым может быть разложен любой вектор пространства определены различные преобразования векторов, представляемые таблицами коэффициентов таких преобразований, т. е. матрицами. Однако существуют и отличия в обычном пространстве 91з мы можем говорить о длине векторов, об углах между ними, сравнивать изменения векторов по длине и по направлению при различных преобразованиях и т. п. В векторном пространстве такие понятия, как длина вектора, пока не определены. Аналогия же с обычным трехмерным пространством 31з подсказывает, что если их определить, то у пространства появится множество новых интересных сторон. Каждый объект, будь то вектор или матрица преобразования, станет характеризоваться полнее и разностороннее, чем в исходном пространстве [c.61]

    Линейное пространство — это одно из основных абстрактных понятий в современной математике. В силу того что критерием изоморфизма линейных пространств является их размерность, а хорошую модель этого понятия дает множество векторов с операцией сложения векторов и умножения вектора на число, линейное пространство часто называют векторным. [c.315]

    Примеры. 1. Множество векторов К = х, с операцией сложения двух векторов и операцией умножения вектора на число образует линейное (векторное) пространство. [c.316]

    Плоские движения особенно просты для математического описания потому, что плоские векторы допускают хорошую алгебраизацию. Дело в том, что действия над векторами делятся на две группы. Первую группу составляют действия сложения и умножения на число, которые определяются покоординатно и не зависят от размерности векторов. Так, суммой двух п-мерных векторов а = (xi, Хп) и у (уи , Уп) называется вектор [c.50]

    Это относится и к числу Хориути (или, как называл его сам Хориути, стехиометрическому числу), о котором мы говорили ранее. Числа Хориути — это числа, выбранные таким образом, что после умножения химических уравнений каждой стадии на соответствующее число Хориути и последующего сложения все промежуточные вещества сокращаются. Получаемое при этом уравнение является брутто-уравнепием (итоговым). Каждый набор стехиометрических чисел, приводящий к исключению промежуточных веществ, называется маршрутом реакции. В общем случае числа Хориути образуют матрицу, а ее вектор-столбцы являются маршрутами. [c.76]

    Трансляции (переносы) на векторы решетки а = Я] + -Ь ПгЗг-Ь зЕз пи Пг, щ — целые числа) образуют группу, если в качестве закона группового умножения взято геометрическое сложение векторов решетки единичный элемент группы есгь трансляция на нулевой вектор о, обратным к элементу t яв-ляется элемент т. е. трансляция на вектор —а. При транс- [c.25]

    Рассмотрим взаимодействие оптически активного вещества с поляризованным светом. Как указывалось ранее, плоскополяри-зованную волну можно представить как сумму волн с Ь- и Н-кру-говой поляризацией. Таким образом, это взаимодействие проще представить в терминах компонентов как взаимодействие веществ с Ь- и К-компонентами света. Если вещество одинаково замедляет Ь- и К-волны (т. е. если показатели преломления пь и пк одинаковы для поляризованных по кругу Ь- и К-волн света), то после прохождения вещества Ь- и Н-волны снова соединятся, давая плоскополяризованный свет, ггричем плоскость поляризации прошедшего луча будет такой же, как плоскость падающего. Однако, если пт, и пп не равны, каждый из прошедших компонентов света, Ь и К, замедляется по-разному, так что при выходе из вещества две синусоидальные волны отличаются по фазе (рис. 16-5). С этого времени в любой точке пространства при сложении векторов Е волн Ь и К образуется волна, плоскость поляризации которой направлена под углом относительно плоскости поляризации падающей волны следовательно, плоскость поляризации результирующей волны будет вращаться. Для любого вещества, которое взаимодействует со светом таким путем, величина вращения образца данного объема зависит от числа хромофоров, с которыми взаимодействует волна, т. е, от концентрации молекул, умноженной на длину оптического пути с1, а также от длины волны света X, потому что п всегда зависит от X. [c.454]

---

Тест на тему: «Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение векторов на число»

Восточный техническо-гуманитарный колледж

Составитель: преподаватель математики

Серикпаева А.Д.

Предмет: Алгебра и начала анализа

Для студентов 1 курса

Тест на тему: «Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов.

Умножение векторов на число».

Бланк ответов:

№ п/п вариант	А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	А9	В1
1	2	1	3	3	3	3	2	2	3
2	1	2	1	1	3	1	2	1	2

тест по теме: «Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число»

Вариант №1

Уровень А

1. Какое утверждение неверное?

1) Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны.

2) Любые два коллинеарных вектора сонаправлены.

3) Любые два равных вектора коллинеарны.

2. Даны точки А, В, С, D, K. Известно, что

Тогда неверно, что…

1) все точки лежат в одной плоскости;

2) прямые ВС и DK параллельны;

3) точки А, С и D не лежат на одной прямой.

3. Какое утверждение неверное?

1) Длины противоположных векторов не могут быть неравны.

2) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны.

3) Если длины векторов равны, то и векторы равны.

4.  причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. Прямые АС и BD не могут быть…

1) параллельными;

2) пересекающимися;

3) скрещивающимися.

5. ABCA₁B₁C₁ – правильная призма. A₁F = FB₁, B₁K = KC₁.

Какое утверждение неверное?

1)

2)

3 )

6. ABCA₁B₁C₁ – правильная призма. CE = EC₁, BF = FB₁, FM = MB₁, AD : DC = 3 : 1.

Какое утверждение верное?

1)

2)

3 )

7. ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед. …

1)

2)

3)

8. Векторы и являются…

1 ) равными;

2) противоположными;

3) сонаправленными.

9. DABC – тетраэдр.

Тогда …

1)

2)

3)

Уровень В

1. ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед.

Тогда …

тест по теме: «Векторы в пространстве. Сложение и вычитание векторов.
Умножение вектора на число»

Вариант №2

Уровень А

1. Какое утверждение верное?

1) Любые два сонаправленных вектора коллинеарны.

2) Любые два коллинеарных вектора противоположно направлены.

3) Любые два коллинеарных вектора равны.

2. Какое утверждение верное?

1) Если то

2) Если то

3) Существуют векторы и такие, что и не коллинеарны, и не коллинеарны, а и коллинеарны.

3. Какое утверждение неверное?

1) Если длины векторов равны, то и векторы равны.

2) Если векторы равны, то их длины равны.

3) Длины противоположных векторов равны.

4 .  причём точки А, В и С не лежат на одной прямой. Прямые АС и BD являются параллельными, если…

1) k = 1;

2) k = –1;

3) k = 3.

5. ABCA₁B₁C₁ – правильная призма. A₁F = FB₁, B₁E = EC₁. Какое утверждение неверное?

1)

2)

3 )

6. FABCD – правильная пирамида. FE = EC, EN = NC, OP = PD. Какое утверждение верное?

1)

2)

3 )

7. ABCA₁B₁C₁ – призма. …

1)

2)

3)

8. Векторы – и являются…

1 ) противоположными;

2) равными;

3) сонаправленными.

9. DABC – тетраэдр.

…

1)

2)

3)

Уровень В

1. ABCDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед.

Тогда

сложение, вычитание, умножение вектора на число. Схематические изображения

Вектор – это направленный отрезок.

Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.

Длина вектора называется его модулем и обозначается

Если

Если

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.

Если начало и конец вектора совпадают , то такой вектор называется нулевым и обозначается Длина нулевого вектора равна нулю: , а направление – неопределенно.

Сложение векторов

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , отложенного из конца вектора (правило треугольника).

Суммой векторов и называется такой третий вектор , что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы и служат сторонами параллелограмма, а вектор – его диагональю (называется сложением по правилу параллелограмма).

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

При сложении векторов выполняется переместительныйзакон, т.е. + = +

и сочетательныйзакон, т.е. ( + )+ = +( + )

Вычитание векторов

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что (см. рис. 5).

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|⋅| |, причем векторы сонаправлены, если k>0, и противоположно направлены, если k<0.

Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор.

Обозначение

Вектора и коллинеарны для любого k. Если два вектора и коллинеарны – то существует такое число k, что =k .
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Для любых векторов и и чисел k и l справедливы следующие законы:

Сочетательный: (kl)a→=k(l )

Первый распределительный: k( + )=k +k

Второй распределительный: (k+l) =k +l

Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы. Длины векторов. Примеры.

Единичные векторы выходящие из начала координат в положительных направлениях осей OX, OYи OZназываются ортами этих осей.

Любой вектор можно разложить по ортам осей координат: , или

(на плоскости).

Пример:

Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение.

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Направляющие косинусы вектора определяются соотношениями:

, ясно что

Пример: а = (3; -6; 2).

Длина вектора называется его модулем и обозначается

Если

Если

Пример: а = (3; -6; 2).

17. Ортогональные, коллинеарные и компланарные векторы: определения и примеры. Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности.

Два вектора называются ортогональными, если в пересечении они образуют прямой угол, т.е. угол в 90^о.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

Три вектора называются компланарными , если они лежат в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Условие ортогональности векторов. Два вектора и ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю. · = 0

Условия коллинеарности

Ø Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b

Ø Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

Ø Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

Условия компланарности векторов

Ø Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Ø Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Ø Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

(НУЖНЫ ПРИМЕРЫ)

Как выполнить сложение векторов и скалярное умножение векторов в форме Ai + Bj | Тригонометрия

Как выполнить сложение векторов и скалярное умножение векторов в форме Ai + Bj

Векторов {eq} v = a_1i + b_1j {/ eq} и {eq} w = a_2i + b_2j даны {/ eq}. Мы хотим найти вектор {eq} z = k_1v + k_2w {/ eq}, следуйте инструкциям ниже.

Шаг 1: Умножьте горизонтальную и вертикальную компоненты вектора {eq} v {/ eq}, автор: {eq} k_1 {/ экв}. $$ k_1v = (k_1a_1) i + (k_1b_1) j $$.

Шаг 2: Умножьте горизонтальную и вертикальную компоненты вектора {eq} w {/ eq}, автор: {eq} k_2 {/eq}.$$k_2w = (k_2a_2) i + (k_2b_2) j $$.

Шаг 3: Добавьте горизонтальные компоненты {eq} k_1v {/ eq} и {eq} k_2w {/ экв}. $$ (k_1a_1) + (k_2a_2) $$ Это горизонтальный компонент вектора {eq} z {/ экв}.

Шаг 4: Добавьте вертикальные компоненты {eq} k_1v {/ eq} и {eq} k_2w {/ экв}. $$ (k_1b_1) + (k_2b_2) $$ Это вертикальный компонент вектора {eq} z {/ экв}.

Шаг 5: Запишите результирующий вектор в {eq} Ai + Bj {/ eq} от.

$$ z = k_1v + k_2w = (k_1a_1 + k_2a_2) i + (k_1b_1 + k_2b_2) j $$

Как выполнять сложение векторов и скалярное умножение векторов в словарном запасе форм Ai + Bj

Единичные векторы: Вектор {eq} i {/ eq} — это единичный вектор, направление которого вдоль положительного {eq} x {/ eq} -ось, величина 1. Вектор {eq} j {/ eq} — единичный вектор, направление которого вдоль положительного {eq} y {/ eq} и величина 1.

Вектор в {eq} ai + bj {/ eq} form: Vector {eq} v {/ eq}, начальная точка которого находится в (0, 0), а конечная точка находится в (a, b), может быть выражено как:

$$ v = ai + bj $$, где a — горизонтальная составляющая {eq} v {/ eq}, а b — вертикальный компонент {eq} v {/ экв}.

Скалярное умножение: Скалярное умножение вектора {eq} v = ai + bj {/ eq}, а скаляр k равен: $$ kv = (ka) i + (kb) j $$

Сложение векторов: Для векторов {eq} v = a_1i + b_1j {/ eq} и {eq} w = a_2i + b_2j {/ eq}, сложение двух векторов дает: $$ v + w = ​​(a_1 + a_2) i + (b_1 + b_2) j $$

Попрактикуемся в сложении векторов и скалярном умножении векторов в {eq} Ai + Bj. {/ eq} со следующими двумя примерами.

Как выполнить сложение векторов и скалярное умножение векторов в форме Ai + Bj: Пример 1

Пусть {eq} v = 3i-2j {/ eq} и {eq} w = -2i + 5j {/ экв}. Найдите {eq} ai + bj {/ eq} форма вектора {eq} z = 3v + 2w {/ экв}.

Шаг 1: Умножьте горизонтальную и вертикальную компоненты вектора {eq} v {/ eq} на 3. $$ \ begin {align} 3v & = (3 \ cdot3) я + (3 \ cdot (-2)) j \\\\ & = 9i -6j \\\\ \ end {align} $$.

Шаг 2: Умножьте горизонтальную и вертикальную компоненты вектора {eq} w {/ eq} на 2.$$ \ begin {align} 2w & = (2 \ cdot (-2)) i + (2 \ cdot5) j \\\\ & = -4i + 10j \\\\ \ end {align} $$.

Шаг 3: Добавьте горизонтальные компоненты {eq} 3v. {/ eq} и {eq} 2 нед. {/ экв}. $$ 9 + (-4) = 5 $$ Это горизонтальный компонент вектора {eq} z {/ экв}.

Шаг 4: Добавьте вертикальные компоненты {eq} 3v. {/ eq} и {eq} 2 нед. {/ экв}. $$ — 6 + 10 = 4 $$ Это вертикальный компонент вектора {eq} z {/ экв}.

Шаг 5: Запишите результирующий вектор в {eq} Ai + Bj {/ eq} от.

$$ z = 5i + 4j $$ Вектор {eq} z = 5i + 4j {/ eq}

Как выполнить сложение векторов и скалярное умножение векторов в форме Ai + Bj: Пример 2

Пусть {eq} v = 5i-4j {/ eq} и {eq} w = 7i + 9j {/ экв}. Найдите {eq} ai + bj {/ eq} форма вектора {eq} z = 4v-2w {/ экв}.

Шаг 1: Умножьте горизонтальную и вертикальную компоненты вектора {eq} v {/ eq} на 4. $$ \ begin {align} 4v & = (4 \ cdot5) я + (4 \ cdot (-4)) j \\\\ & = 20i -16j \\\\ \ end {align} $$.

Шаг 2: Умножьте горизонтальную и вертикальную компоненты вектора {eq} w {/ eq} на -2. $$ \ begin {align} -2w & = ((-2) \ cdot7) i + ((-2) \ cdot9) j \\\\ & = -14i — 18j \\\\ \ end {align} $$.

Шаг 3: Добавьте горизонтальные компоненты {eq} 4v. {/ eq} и {eq} -2 нед. {/ экв}. $$ 20 + (-14) = 6 $$ Это горизонтальный компонент вектора {eq} z {/ экв}.

Шаг 4: Добавьте вертикальные компоненты {eq} 4v. {/ eq} и {eq} -2 нед. {/ экв}.$$ — 16 — 18 = -34 $$ Это вертикальный компонент вектора {eq} z {/ экв}.

Шаг 5: Запишите результирующий вектор в {eq} Ai + Bj {/ eq} от.

$$ z = 6i — 34j $$ Вектор {eq} z = 6i = 34j {/ eq}

Получите доступ к тысячам практических вопросов и объяснений!

Стандартное справочное руководство

Арифметические и матричные операции над выражениями

Для целочисленных и вещественных выражений Stan поддерживает базовую бинарные арифметические операции сложения ( + ), вычитания ( - ), умножение ( * ) и деление (/) в обычные способы.

Для целочисленных выражений Stan поддерживает двоичный модуль (% ). арифметическая операция. Стэн также поддерживает унарную операцию отрицание для целочисленных и вещественных выражений. Например, предполагая, что n и m являются целочисленными переменными, а x и y вещественных переменных, следующие выражения допустимы.

  3,0 + 0,14
-15
2 * 3 + 1
(х - у) / 2,0
(п * (п + 1)) / 2
х / п
м% п  

Операции отрицания, сложения, вычитания и умножения: расширен до матриц, векторов и векторов-строк.Транспонирование также поддерживается операция, написанная с использованием апострофа ( ') для векторов, векторов-строк и матриц. Типы возврата для матрицы операции — это наименьшие типы, которые могут быть статически гарантированы содержат результат. Полный набор допустимых типов ввода и соответствующие возвращаемые типы подробно описаны в списке функций.

Например, если y и mu являются переменными типа вектор и Sigma — это переменная типа matrix , тогда (y - mu) '* Sigma * (y - mu) — это правильно сформированное выражение типа real .Тип полное выражение выводится наружу из подвыражения. Подвыражения y - mu относятся к типу vector потому что переменные y и mu относятся к типу vector . В транспонируя это выражение, подвыражение (y - mu) ' имеет тип вектор_стр . Умножение остается ассоциативным, а транспонирование имеет более высокий приоритет, чем умножение, поэтому приведенное выше выражение эквивалентно следующей полностью определенной форме (((y - mu) ') * Sigma) * (y - mu) .

Тип подвыражения (y - mu) '* Sigma считается row_vector , являющийся результатом умножения вектора-строки на матрица. Таким образом, тип всего выражения является типом вектора-строки умноженный на вектор (столбец), который дает действительное значение .

Stan обеспечивает поэлементное матричное умножение (например, a. * B ) и деление (например, a ./ b ) операций. Они сокращают Заменить циклы, но они по сути не более эффективны, чем версия программируется с поэлементными вычислениями и заданиями в цикле.4) .

Приоритет операторов и ассоциативность

Приоритет и ассоциативность операторов, а также встроенные синтаксис, такой как индексация массива и применение функции, приведен в табличная форма в таблице приоритета операторов.

Таблица приоритета операторов. Унарная, двоичная и троичная система Стэна операторы, с их приоритетами, ассоциативностями, помещаются в выражение и описание. Последние две строки указывают приоритет применения функции и индексации массивов, матриц и векторов.В операторы перечислены в порядке приоритета, начиная с наименьшего привязка к наиболее плотной привязке. Полный набор юридических аргументов и соответствующие типы результатов представлены в документации по функциям для операторов (т.е. operator * (int, int): int указывает применение оператора умножения к двум целым числам, которые возвращает целое число). Круглые скобки могут использоваться для группировки выражений явно, а не полагаться на приоритет и ассоциативность.

Модуль упругости Акция Префикс Применение функции Префикс Массив

? ~:	10	правый	тройной инфиксный	условно
||	9	слева	двоичный инфикс	логических или
&&	8	слева	двоичный инфикс	логических и
==	7	слева	двоичный инфикс	равенство
! =	7	слева	двоичный инфикс	неравенство
<	6	слева	двоичный инфикс	менее
<=	6	слева	двоичный инфикс	меньше или равно
>	6	слева	двоичный инфикс	больше
> =	6	слева	двоичный инфикс	больше или равно
+	5	слева	двоичный инфикс	дополнение
-	5	слева	двоичный инфикс	вычитание
*	4	слева	двоичный инфикс	умножение
/	4	слева	двоичный инфикс	(правый) отдел
%	4	слева	двоичный инфикс
\	3	слева	двоичный инфикс	левый отдел
.*	2	слева	двоичный инфикс	поэлементное умножение
./	2	слева	двоичный инфикс	поэлементное деление
!	1	н / д	одинарный префикс	логическое отрицание
-	1	н / д	одинарный префикс	отрицание
+	1	н / д	одинарный префикс	(по умолчанию запрещена)
^	0.5	правый	двоичный инфикс	возведение в степень
'	0	н / д	одинарный постфикс	транспозиция
()	0	н / д	, обертка
[]	0	слева	, обертка	, матричная индексация

Другие операции по формированию выражений, такие как применение функций и индексы связываются более жестко, чем любые арифметические операции.

Приоритет и ассоциативность определяют, как выражения интерпретируется. Поскольку сложение является левоассоциативным, выражение a + b + c интерпретируется как (a + b) + c . Сходным образом, a / b * c интерпретируется как (a / b) * c .

Поскольку умножение имеет более высокий приоритет, чем сложение, выражение a * b + c интерпретируется как (a * b) + c и Выражение a + b * c интерпретируется как a + (b * c) .3) .

Векторная алгебра: умножение векторов

чему вы научитесь ...

Обзор

Умножение векторов

»Два произведения из-за ортогональности компонент векторов
→ скалярное произведение определено для параллельных компонентов → p⋅ → qp → ⋅q → = → p⋅ → a = p → ⋅a →
→ перекрестное произведение определено для компонентов в перпендикуляре → p × → qp → × q → = → p × → b = p → × b →
план урока

две формы умножения

Основными математическими операциями являются сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение - это объединение двух величин и измерение объединенного количества.

Вычитание - это операция, обратная сложению.

Есть две формы умножения. Мы объясним это.

Деление - это величина, обратная умножению.

Человек берет 22 яблока и кладет их в свою корзину. Всего он повторяет это 33 раза. Фактически, у человека 2 + 2 + 2 = 2 × 32 + 2 + 2 = 2 × 3 яблока. При этом скалярная величина 22 многократно добавляется 33 раза, чтобы получить результат 66.

Скалярная величина может добавляться многократно.
Повторное сложение - это форма умножения.

---

Человек берет 33 апельсина по 1010 монет каждый. Человек должен заплатить 3 × 10 = 303 × 10 = 30 монет за фрукты. Скалярная величина 33 умножается на другую скалярную величину 1010.

Две разные скалярные величины могут быть умножены.

Примечание. В этом примере количество апельсинов составляет сумму, эквивалентную умножению стоимости.Вместо этого представьте, что сила равна массе, умноженной на ускорение. В этом умножаются масса и ускорение. Ни один из них не отображается для подсчета эквивалентов.

Мы изучили сложение векторов и умножение векторов скаляром.

Есть ли что-то вроде умножения одного вектора на другой вектор?
Это предмет изучения на этих страницах. Давайте рассмотрим некоторые основы, чтобы понять умножение векторов.

Обратите внимание на → pp → и → qq →, показанные на рисунке.→ qq → разбивается на → aa → и → bb →, так что
→ q = → a + → bq → = a → + b → и
→ aa → параллельно → pp →
→ bb → перпендикулярно to → pp →

Векторы → pp → и → qq → взаимодействуют, образуя продукт. В этом умножении участвует любой из → aa → и → bb →. Помните об ортогональности направлений. Когда векторы взаимодействуют с образованием продуктов, взаимодействие происходит либо с параллельным компонентом, либо с компонентом перпендикулярно.

Когда две векторные величины взаимодействуют с образованием продукта, в умножении участвует либо (1) параллельный компонент, либо (2) компонент, перпендикулярный перпендикуляру.В практических сценариях, когда один компонент взаимодействует, другой компонент не взаимодействует и теряется в продукте.

сводка

Как направление влияет на векторные величины при умножении?

На абстрактном уровне возможны два продукта. Даны множимое → pp → и множитель → qq →. → qq → разбивается на → aa → и → bb →, так что
→ q = → a + → bq → = a → + b → и
→ aa → параллельно → pp →
→ bb → перпендикулярно to → pp →

для каждой из этих двух составляющих определены две формы умножения.

• один с компонентом, параллельным другому, называемый векторным скалярным произведением. → p⋅ → q = → p⋅ → ap → ⋅q → = p → ⋅a →

• другой с компонентой, перпендикулярной вектору, называется векторным кросс-произведением. → p × → q = → p × → bp → × q → = p → × b →
следующий

линейная алгебра - логарифмическое преобразование превращает скалярное умножение в сложение. Есть ли аналогичное преобразование для умножения матрицы на вектор?

Метод логарифмов Нэпьера и соответствующие таблицы логарифмов предоставили важный инструмент для упрощения ручных вычислений путем преобразования умножения и деления в эквивалентные задачи сложения и вычитания.

Предположим, у меня есть линейное уравнение для $ x $:

$$ a x = b $$

Хотя это было бы излишним, если бы я хотел избежать деления на $ a $, я мог бы записать преобразование обеих сторон и использовать удобное свойство для преобразования продуктов в суммы

$$ \ log (a) + \ log (x) = \ log (b) $$

, затем вычтите $ \ log (a) $ и выразите решение как

$$ x = \ exp (\ log (b) - \ log (a)). $$

Рассмотрим матричное уравнение

$$ A X = B $$

где $ A, X, B $ - квадратные матрицы.При определенных условиях мы можем вычислять логарифмы квадратных матриц; удобное свойство произведения сумм выполняется только для матриц, которые коммутируют, но если A коммутирует с X, то мы имеем

$$ \ журнал (A) + журнал (X) = \ журнал (B) $$

$$ X = \ exp (\ log (B) - \ log (A)) $$

А что если $ x $ - вектор? Есть ли аналогичный метод решения системы $$ A \ vec {x} = \ vec {b} \ \ \? $$

Я не верю, что можно возвести вектор в степень, не говоря уже о том, чтобы взять его логарифм.{-1} $. Я ищу преобразование предварительной обработки (которое само по себе может быть очень сложным!), Чтобы преобразовать уравнение в нечто тривиально простое для решения (скажем, для компьютера черного ящика, который знает только сложение и вычитание), после чего я могу применить обратное преобразование для решения исходного уравнения.

3.2 Сложение и вычитание векторов: графические методы

Сложение векторов: метод "голова к хвосту"

Метод «голова к хвосту» - это графический способ добавления векторов, показанный на рисунке 3.11 ниже и в следующих шагах. Хвост вектора - это начальная точка вектора, а голова (или вершина) вектора - это последний заостренный конец стрелки.

Рис. 3.11 Метод «голова к хвосту»: Метод «голова к хвосту» графического сложения векторов проиллюстрирован для двух перемещений человека, идущего по городу, рассмотренного на рисунке 3.9. (а) Нарисуйте вектор, представляющий смещение на восток. (b) Нарисуйте вектор, представляющий смещение на север.Хвост этого вектора должен исходить из головы первого вектора, направленного на восток. (c) Проведите линию от хвоста вектора, указывающего на восток, до начала вектора, указывающего на север, чтобы сформировать сумму или результирующий вектор, размер DD 12 {A} {}. Длина стрелки D, D, размер 12 {A} {} пропорциональна величине вектора и составляет 10,3 единицы. Его направление, описываемое как угол по отношению к востоку (или горизонтальной оси) θθ размером 12 {θ} {}, измеряется транспортиром и составляет 29.1 ° 29,1 ° размер 12 {"29" "." 1 °} {}.

Шаг 1. Нарисуйте стрелку, представляющую первый вектор (девять блоков на восток), используя линейку и транспортир .

Шаг 2. Теперь нарисуйте стрелку, представляющую второй вектор (пять блоков к северу). Поместите хвост второго вектора в начало первого вектора .

Шаг 3. Если имеется более двух векторов, продолжить этот процесс для каждого добавляемого вектора. Обратите внимание, что в нашем примере у нас есть только два вектора, поэтому мы закончили размещать стрелки кончик к хвосту.

Шаг 4. Нарисуйте стрелку от хвоста первого вектора к началу последнего вектора . Это результат или сумма D других векторов.

Шаг 5. Чтобы получить величину результата, измерьте его длину линейкой. Обратите внимание, что в большинстве вычислений мы будем использовать теорему Пифагора для определения этой длины.

Шаг 6. Чтобы получить направление результирующего, измеряет угол, который он образует с опорной системой, с помощью транспортира. Обратите внимание, что в большинстве расчетов мы будем использовать тригонометрические отношения для определения этого угла.

Графическое сложение векторов ограничено по точности только точностью, с которой могут быть сделаны чертежи, и точностью измерительных инструментов. Это справедливо для любого количества векторов.

Пример 3.1 Добавление векторов графическим методом "голова к хвосту": женщина на прогулке

Используйте графическую технику для добавления векторов, чтобы найти полное смещение человека, который идет следующими тремя путями (смещениями) на плоском поле. Сначала она проходит 25,0 м в направлении 49,0 ° 49,0 ° размер 12 {"49" "". "0 °"} {} к северу от востока. Затем она проходит 23,0 м курсом 15,0 ° 15,0 ° размером 12 {"15" "". "°°"} {} к северу от востока. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0 ° к югу от востока.

Стратегия

Изобразите каждый вектор смещения графически стрелкой, обозначив первый размер AA 12 {A} {}, второй BB размер 12 {B} {} и третий размер CC 12 {C} {}, делая длины пропорциональными расстояние и направления, указанные относительно линии восток-запад. Описанный выше метод "голова к хвосту" дает возможность определить величину и направление результирующего смещения, обозначенного размером RR 12 {R} {}.

Решение

(1) Нарисуйте три вектора смещения.

(2) Поместите векторы голова к хвосту, сохраняя их начальную величину и направление.

(3) Нарисуйте результирующий вектор, размер RR 12 {R} {}.

(4) Используйте линейку, чтобы измерить величину RR размера 12 {R} {}, и транспортир, чтобы измерить направление RR размера 12 {R} {}. Хотя направление вектора можно указать разными способами, самый простой способ - измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью.Поскольку результирующий вектор находится к югу от оси, направленной на восток, мы переворачиваем транспортир вверх ногами и измеряем угол между осью, направленной на восток, и вектором.

В этом случае видно, что полное смещение RR размером 12 {R} {} имеет величину 50,0 м и лежит в направлении 7,0 ° 7,0 ° размером 12 {7 "". 0 °} {} к югу от востока. Используя его величину и направление, этот вектор можно выразить как R = 50.0 mR = 50.0 m size 12 {R "= 50" "". "0 м"} {} и θ = 7,0 ° θ = 7,0 ° размер 12 {θ = 7 "." "0 °"} {} к югу от востока.

Обсуждение

Графический метод сложения векторов "голова к хвосту" работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результат не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем складывать векторы в любом порядке, как показано на рисунке 3.19, и мы все равно получим то же самое решение.

Здесь мы видим, что когда одни и те же векторы добавляются в другом порядке, результат тот же. Эта характеристика верна во всех случаях и является важной характеристикой векторов.Сложение векторов коммутативно. Векторы можно добавлять в любом порядке.

3,1 А + В = В + А. А + В = В + А. размер 12 {"A + B = B + A"} {}

Это верно и для сложения обычных чисел - вы получите тот же результат, если сложите 2 + 32 + 3 размер 12 {"2 + 3"} {} или 3 + 23 + 2 размер 12 {"3 + 2"} {}, например.

Просмотреть вопрос - Сложение и умножение векторов?

Спасибо, Алан. Да, я хорошо разбираюсь в векторах, но я не совсем понимал разницу между перекрестным умножением и скалярным произведением / сложением сил.Спросить здесь было намного проще, чем смотреть на Кана. 🙂

На этой неделе мы узнали, что трехмерные векторы также решаются с помощью матрицы, и информация из последней 1/2 вашего поста. Ваш ответ распечатан и станет хорошим напоминанием на этой неделе, по крайней мере, пока я жду прибытия учебника. Однако скриншоты, которые я разместил, были из конспектов лекций на прошлой неделе, прежде чем мы рассмотрели это более подробно. Я предполагаю, что из-за того, что я пропустил лекцию, я просто почувствовал, что, возможно, я не знал эту информацию, хотя мне нужно было знать ее, чтобы использовать в вопросах учебника.Я думаю, что большинству студентов на этой неделе показалось, что работа была сложной, учитывая то, что мы знали.

Кроме того, я обнаружил, что на этой неделе, пытаясь решить трехмерные векторные уравнения, я пытался получить единственный ответ в N, а не в форме i, j, k и оставил его в i, j, k. К счастью, теперь это стало более ясным. Это была разница, которую мне нужно было понять, и которую я в конечном итоге искал где-то в своих поисках ответов, лол. Применение перекрестного умножения решает для.. Имея в виду, что лежит в основе этого, что именно он делает? r - это длины значений i j и x справа, тогда почему мы используем их для определения величины? Кроме того, если у вас нет всех переменных для матрицы, будет ли она обычно сводиться к квадратичному или аналогичному уравнению, которое решается с помощью матрицы?

На этой неделе мы закончили учебник, посвященный разбиению аналогичного уравнения на квадратичное и использованию квадратной формулы. Итак, мы догоняем записи прошлой недели, когда погружаемся немного глубже.Спасибо еще раз. Это не сбивало с толку. Просто приложение сбивает с толку, так как при необходимости вспоминает всю информацию, которую я узнал недавно или с начала курса. Это становится проще, но отдельное спасибо форуму здесь и вам самому.

3. ВЕКТОРЫ

3. ВЕКТОРЫ

---

Движение частицы в одном измерении просто. Его скорость либо положительный или отрицательный: положительная скорость соответствует движению вправо в то время как отрицательная скорость соответствует движению влево.Чтобы описать движение объекта в 3-х измерениях, нам нужно указать не только величину его скорости, но также и его направления: скорость - это вектор . А величина, не связанная с направлением, - это скаляр . Примеры скаляры - это температура, давление и время. В этой главе мы обсудим различные векторные операции, которые будут использоваться в этом курсе.

Одна из важных векторных операций, с которыми мы часто сталкиваемся, - это векторные добавление.Существует два метода сложения векторов: графический метод и аналитический метод. Мы начнем обсуждение сложения векторов, используя графический метод.

3.1.1. Графический метод

Предположим два вектора а также определены. Если добавлен к , третий вектор создается (см. рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. Коммутативный закон сложения векторов.

Однако есть два способа объединения векторов а также (см. рисунок 3.1). Проверка полученного вектора показывает, что сложение векторов удовлетворяет коммутативному закон (порядок добавления не влияет на конечный результат):

Сложение векторов также удовлетворяет ассоциативному соотношению . закон (результат сложения векторов не зависит от порядка в которые складываются, см. рисунок 3.2):

Рисунок 3.2. Ассоциативный закон сложения векторов.

Рисунок 3.3. Вектор а также -

напротив вектора вектор с той же величиной, что и но указывая в противоположном направлении (см. рисунок 3.3):

+ (- ) = 0

Вычитание из то же самое, что и добавление противоположности к (см. рисунок 3.4):

знак равно - знак равно + (- )

Рисунок 3.4. Вычитание вектора.

Рисунок 3.4 также показывает, что + знак равно .

В реальных расчетах графический метод нецелесообразен, и вектор алгебра выполняется на ее компонентах (это аналитический метод).

3.1.2. Аналитический метод

Чтобы продемонстрировать использование аналитического метода сложения векторов, мы ограничимся двумя измерениями. Определите систему координат с осью x и Ось y (см. рисунок 3.5). Мы всегда можем найти 2 вектора, и , сумма векторов которого равна . Эти два вектора, и , называются компонентами из , и по определению удовлетворяют следующему соотношению:

Предположим, что [theta] - это угол между вектором и ось абсцисс. 2 компонента определены таким образом, чтобы их направление было вдоль оси x и оси y.В длина каждого из компонентов теперь может быть легко рассчитана:

и вектор можно записать как:

Рисунок 3.5. Разложение вектора .

Примечание : в отличие от Халлидея, Резника и Уокера мы используем и для обозначения единичных векторов по осям x и y соответственно (Halliday, Резник и Уокер используют i , j и k , что труднее записывать).Разложение вектора на 2 составляющие не однозначно. Это зависит от выбора систему координат (см. рисунок 3.6).

Хотя разложение вектора зависит от системы координат выбраны, отношения между векторами не зависят от выбора система координат (например, если два вектора перпендикулярны в одной системы координат, они перпендикулярны во всех системах координат).В физика (и соотношение между физическими величинами) также не зависит от выбор системы координат, и обычно мы выбираем координату таким образом, чтобы наши проблемы можно было решить наиболее легко. Это уже было продемонстрировано в главе 2, где начало системы координат было обычно определяется как положение объекта в момент времени t = 0. Через два или три размеров, мы обычно можем выбрать такую ​​систему координат, чтобы одна из векторов совпадает с одной из координатных осей.Например, если система координат определяется таким образом, чтобы направление вдоль оси абсцисс компоненты следующие:

a _x = a

a _y = 0

a _z = 0

Рисунок 3.6. Разложение вектора в разных системах координат.

Векторная алгебра с использованием аналитического метода основана на следующем: правило:

" Два вектора равны друг другу, если их соответствующие компоненты равны "

Применение этого правила к сложению векторов:

Сравнивая уравнения для а также , мы можем сделать вывод, что поскольку равно , их компоненты связаны следующим образом:

Эти соотношения описывают сложение векторов с использованием аналитического метода (и аналогичные соотношения выполняются для сложения векторов в трех измерениях).

Мы только что описали, как найти компоненты вектора, если его указаны величина и направление. Если компоненты вектора при условии, мы также можем вычислить его направление и величину. Предположим, что компоненты вектора по оси x и оси y - _x и _y соответственно. Длина вектора легко рассчитывается:

Угол [theta] между вектором а положительная ось абсцисс может быть получена из следующего соотношения (см. также Рисунок 3.5):

Примечание : следует проявлять большую осторожность при использовании предыдущего соотношение для [тета]. Атан ( _y / _x ) имеет 2 решения; любой калькулятор вернет решение от - [пи] / 2 до [пи] / 2. Правильный решение будет зависеть от знака _x :

, если _x > 0: - [pi] / 2 <[theta] <[pi] / 2

, если _x <0: [pi] ] / 2 <[theta] <3 [pi] / 2

Рисунок 3.7. Пример неоднозначности угла.

Пример : Два вектора, показанные на рисунке 3.7, можно записать как:

Понятно, что для обоих векторов: atan ([theta]) = 1. Для вектора , решение [theta] = 45deg., а для вектора , решение: [theta] = 135deg. Обратите внимание, что _x = 1> 0, и b _x = -1 <0,

Произведение вектора а скаляр s - это новый вектор, направление которого совпадает с направлением если s положительно или противоположно этому направлению, если s отрицательно (см. рисунок 3.8). Величина нового вектора - это величина умноженное на абсолютное значение s. Эту процедуру можно резюмировать как следует:

Рисунок 3.8. Умножение вектора на скаляр.

Поскольку два вектора равны, только если их соответствующие компоненты равны, получаем следующее соотношение между компонентами и компоненты :

Следующие отношения резюмируют отношения между величина и направление векторов а также :

Два вектора а также показаны на рисунке 3.9. Угол между этими двумя векторами равен [фи]. В скалярное произведение а также (представлена ^. ) определяется как:

В системе координат, в которой оси x, y и z взаимны перпендикулярно, для скалярного произведения между различные единичные векторы:

Предположим, что векторы а также определяются следующим образом:

Рисунок 3.9. Скалярное произведение векторов а также .

Скалярное произведение а также теперь можно переписать в терминах скалярного произведения единичных векторов по осям x, y и z:

Обратите внимание, что при выводе этого уравнения мы применили следующее правило:

Альтернативный вывод выражения скалярного произведения в члены компонентов двух векторов могут быть легко получены следующим образом (см. рисунок 3.10). Компоненты а также выдаются по:

Рисунок 3.10. Альтернативный вывод скалярного произведения.

a _x = a cos (a)

a _y = a sin (a)

b _x = b cos ([beta])

b _y = b sin ([beta ])

Скалярное произведение теперь может быть получено следующим образом:

Что такого полезного в скалярном произведении? Если два вектора перпендикулярно, их относительный угол равен 90 град., а также ^. = 0. Таким образом, скалярное произведение обеспечивает простой тест, чтобы определить, два вектора перпендикулярны. Предполагать а также определяются следующим образом:

Эти два вектора перпендикулярны, так как:

Аналогичным образом мы можем легко определить, есть ли угол между два вектора меньше 90 градусов.