Складывание векторов: Сложение и вычитание векторов – Линейная алгебра для разработчиков игр / Habr — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Вектор. Правило сложение векторов | Подготовка к ЕГЭ по математике

Здесь рассматриваем вектора на плоскости.

Основные определения

Вектором называется направленный отрезок $\vec{AB}$ , где точка – начало, точка – конец вектора.

Нулевым вектором $\vec{o}$ называется вектор, у которого начало совпадает с концом.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены.

Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы $\vec{AB}$

и $\vec{CD}$ называются противоположно направленными.

Два вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора $\vec{a}$ обозначают $\vec{a}$ .

Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору $\veac{a}$ , обозначается как $-\vec{a}$ .

Сложение векторов

Сложение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника

Суммой $\vec{a}+\vec{b}$ двух векторов $\vec{a}$

и $\vec{b}$ называют такой третий вектор $\vec{c}$ , начало которого совпадает с началом $\vec{a}$ , а конец – с концом $\vec{b}$

при условии, что конец вектора $\vec{a}$ и начало вектора $\vec{b}$ совпадают.

Сложение векторов $\vec{a}$

и $\vec{b}$ по правилу параллелограмма

Если два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$

привести к общему началу, то вектор $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Причем начало вектора $\vec{c}$ совпадает с началом заданных векторов.

Разностью $\vec{a}-\vec{b}$ векторов и называется вектор $\vec{c}$ такой, что выполняется условие: $\vec{b}+\vec{c}=\vec{a}$

Смотрите также «Вектора. Часть 2».

Сложение и вычитание векторов

Определение

Сложение векторов и

осуществляется поправилу треугольника.

Суммой двух векторов иназывают такой третий вектор, начало которого совпадает с началом, а конец — с концом

при условии, что конец вектора

и начало вектора

совпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма — если два неколлинеарных вектора ипривести к общему началу, то векторсовпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторахи(рис. 2). Причем начало векторасовпадает с началом заданных векторов.

Определение

Вектор называетсяпротивоположным вектором к вектору , если онколлинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

— коммутативность
— ассоциативность

Определение

Разностью векторов иназывается вектортакой, что выполняется условие:(рис. 3).

Умножение вектора на число

Определение

Произведением вектора на число называется вектор, удовлетворяющий условиям:

, если ,, если.

Свойства умножения вектора на число:

Здесь и— произвольные векторы,,— произвольные числа.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённымскалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

-мерное евклидово пространство обозначается также часто используется обозначение(если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция обладающая следующими тремя свойствами:

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством^[1].

Пример евклидова пространства — координатное пространство состоящее из всевозможныхn-ок вещественных чисел скалярное произведение в котором определяется формулой

Базис и координаты вектора

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

Базис Га́меля, в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).
Базис Ша́удера, в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды. Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства,

В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где — координаты вектора.

Скалярное произведение.

операция над двумя векторами, результатом которой является число [когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами], не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

Векторное произведение

это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве. Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным) и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

где

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов —скалярное произведение вектора навекторное произведение векторов и:

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

Плоскость в пространстве

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

Некоторые характеристические свойства плоскости

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.
Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Аналогично отрезку и интервалу, плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.

где и— постоянные, причёмиодновременно не равны нулю; ввекторной форме:

где — радиус-вектор точки, векторперпендикулярен к плоскости (нормальный вектор).Направляющие косинусы вектора :

где ,,— отрезки, отсекаемые плоскостью на осяхи.

в векторной форме:

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,не лежащие на одной прямой:

Нормированное уравнение плоскости

нормальное уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координатOxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости .

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей — и, то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения (11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Уравнение окружности

Уравнение окружности радиуса с центром вначале координат:

Эллипс. Каноническое уравнение. Эксцентриситет, фокальный радиус.

Э́ллипс — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и(называемыхфокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причем

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Сложение и вычитание векторов [wiki.eduVdom.com]

Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два вектора (рис.1, а).

Сложение двух векторов
Рис.1
Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (правило треугольника).
Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {правило параллелограмма). Из рисунка 1, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$
Действительно, каждый из векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \,и\, = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$ равен одному и тому же вектору $\overrightarrow{OB}$ .
Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow{|АВ|} + \overrightarrow{|ВС|};\,\,\ б)\,\ |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}|$ .
Решение
а) Имеем: $|\overrightarrow{АВ}| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow{ВС}| = ВС$ и, значит, $|\overrightarrow{АВ}| + |\overrightarrow{BC}| = 7$ .
б) Так как $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{АС} \,\,,\,\, то\,\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = |\overrightarrow{АС}| = АС$ .
Теперь, применяя теорему Пифагора, находим $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5. $$
Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.
Пусть, например, даны три вектора $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).

Сложение трех векторов
Рис.2
Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$, получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 $$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,; \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,; \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} \\ и \\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} $$ Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим, если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом, $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,,\,\overrightarrow{b}\,,\,\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
Разностью двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом, если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\,,\, то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .
Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).

Вычитание векторов
Рис.3
Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ . Действительно, по правилу сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ .
Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}|$ .
Решение а) Так как $\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}| = а$ .
б) Так как $\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}| = а$ .
Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$, и то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$, если $\lambda > 0$ , и направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$, если $\lambda < 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

Умножение вектора на число
Рис.4
В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .
Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С — произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .
Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ — противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .
Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.
Таким образом, получаем следующую теорему.
Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.
Видео-решение.
Правила сложения векторов. Метод треугольника, параллелограмма. Вычитание
Часть математических и физических задач содержит необходимость математических действий с векторами (сложение и вычитание).
Проиллюстрируем сложение. Пусть даны вектора
и , попытаемся найти вектор .
Способ 1. Метод сложения треугольником
Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим конец первого вектора (
) и начало второго () (рис. 1)
Рис. 1. Сложение векторов (правило треугольника)
Тогда вектор, соединяющий начальную точку первого вектора (
) и конец второго (), является вектором ().
Способ 2. Метод сложения параллелограммом
Возьмём необходимые вектора и параллельным переносом совместим начало первого вектора (
) и начало второго () (рис. 2). Параллельным переносом совместим конец каждого вектора с началом другого.
Рис. 2. Сложение векторов (правило параллелограмма)
Тогда вектор, соединяющий общую начальную точку первого (
) и второго () векторов и общий конец данных векторов, является вектором суммы ().
Вывод: в ряде задач, где присутствуют несколько однородных векторных физических величин, часто необходимо найти общий вектор (общую скорость, равнодействующую силу, полный вектор магнитной индукции или электрической напряжённости поля). Тогда необходимо сначала сложить вектора, а потом найти модуль получившегося вектора.Чаще всего первый метод используется в кинематике (сложение скоростей). Второй метод часто используют в динамике.
Поделиться ссылкой:
Понравилось это:
Нравится Загрузка…
Сложение векторов. Он-лайн калькулятор. — таблицы Tehtab.ru
Сложение векторов. Он-лайн калькулятор.
Сложение векторов. Он-лайн калькулятор.
В механике существуют два типа величин:
скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.

векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.
Покоординатное сложение векторов.
Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):
Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:
В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.
Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .
При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:
правило параллелограмма

правило треугольника

тригонометрический способ

Правило параллелограмма.
Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:
нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление

от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление

дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны

результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника
Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:
нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении

от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление

результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ
Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

F_рез. = [ F₁² + F₂² -2 F₁ F₂ cos(180^о-α) ]^1/2         (1)

где

F = числовое значение вектора

α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

β = arcsin[ F₂*sin(180^o-α) / F_R]         (2)

где

α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.
Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80^o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.
Результирующая сила вычисляется следующим образом:

F_рез = [ (5 кН)² + (8 кН)² — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180^o — (80^o)) ]^1/2

    = 10,14кН

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

β= arcsin[ (8кН) sin(180^o — (80^o)) / (10,14кН)_]

    = 51^o

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180^o — (80^o)) / (10,2 кН)_]

    = 29^o

Он-лайн калькулятор сложения векторов.
Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.
Сложение векторов, Сумма векторов | Формулы и расчеты онлайн
Правило треугольника

Сложение векторов, Сумма векторов, Правило треугольника
Сумма векторов a и b это третий вектор с, получаемый следующим построением: из произвольного начала О строим вектор OL, равный а; из точки L, как из начала строим вектор LM, равный b. Вектор с = ОМ есть сумма векторов a и b («правило треугольника»).
При сложении векторов справедливы неравенства
\[ |\vect{a} + \vect{b}| ≤ |\vect{a}| + |\vect{b}| \]
\[ |\vect{a} + \vect{b}| ≥ | |\vect{a}| — |\vect{b}| | \]
Эти неравенства показывают, что сторона OM треугольника OML меньше суммы и больше разности двух других сторон.

Неравенства при сложении векторов
В формуле (1) знак равенства имеет место только для равнонаправленных векторов, в формуле (2) – только для противоположного направленных векторов.
Сумма противоположных векторов
Из определения следует, что сумма противоположных векторов равна нуль-вектору.
\[ \vect{а} + (-\vect{а}) = 0 \]
Свойство переместительности
От перестановки слагаемых сумма не изменяется.
\[ \vect{а} + \vect{b} = \vect{b} + \vect{а} \]
Правило параллелограмма

Сумма векторов — Правило параллелограмма
Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму a + b можно найти следующим построением:
из любого начала О строим векторы ОА = а и ОВ = b; на отрезках ОА, ОВ строим параллелограмм ОАСВ. Вектор диагонали ОС = с есть сумма векторов a и b (так как АС = OB = b и ОС = ОА + АС).
В помощь студенту
Сложение векторов, Сумма векторов
стр. 171
длина суммы векторов и теорема косинусов
Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».
Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:
.
Перейдём к примерам.
Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.
Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .
Решение.
Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:
Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.
Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:
Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.
Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .
Решение.
Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:
Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :
Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:
Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.
Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:
1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,
2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,
3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?
Решение.
Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:
То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.
Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:
Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).
Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:
Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.
Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Поделиться с друзьями
Начало темы «Векторы»
Продолжение темы «Векторы»