Векторы и скаляры | Кинематика | Физика

В этой статье мы поговорим о разнице между скалярными и векторными величинами.

Сразу к делу: скаляр – это величина, которая характеризуется каким-то числовым значением; вектор – это величина, которая, помимо числового значения, имеет еще и какое-то направление. И векторные, и скалярные величины используются при описании того или иного движения. С самого начала очень важно научиться их различать.

Рассмотрим следующий пример.

Представьте футбольный мяч, лежащий на траве. Кто-то слегка бьет по нему, в результате чего он перемещается вправо на некоторое расстояние, которое затем измеряется при помощи рулетки. Допустим, что мяч переместился всего лишь на четыре метра.

Физическая величина, которая показывает пройденное телом расстояние, называется путем. В нашем случае путь равен четырем метрам.

Является ли путь векторной величиной? Нет. Путь – это скалярная величина, ведь он характеризуется только числовым значением и ничего не говорит о направлении движения. Если бы нам сказали, что мяч переместился на четыре метра, оставалось бы только гадать, куда именно он переместился: вправо? влево? вверх? В рамках нашего обсуждения мы будем обозначать путь буквой d (от английского слова «distance» – расстояние).

Если бы нам сказали направление движения, если бы нам сказали, что мяч переместился на четыре метра вправо, мы бы узнали, какое перемещение совершило тело. Перемещение – это векторная величина, показывающая изменение положения объекта. Чаще всего оно обозначается при помощи буквы s (от итальянского слова «spostamento» – сдвиг, смещение).

Как уже было сказано, перемещение – это вектор: у него есть и направление, и числовое значение. На письме это подчеркивается при помощи стрелочки – \vec{s}. Если же отбросить направление, мы получим модуль перемещения – \lvert\vec{s}\rvert (это стандартное обозначение, в дальнейшем мы часто будем использовать упрощенную запись –  s).

В нашем случае модуль перемещения равен пройденному пути:

\lvert\vec{s}\rvert=d=4\thickspaceметра

Но так происходит далеко не всегда. Мы поговорим с вами об этом подробнее, когда придет время.

А теперь представим, что у наблюдателя, помимо рулетки, был еще и секундомер, с помощью которого он измерил время движения мяча. Допустим, это время равно двум секундам. С какой тогда скоростью двигался мяч? Ответить несложно: надо взять пройденное расстояние и разделить на время, в течение которого тело двигалось. В нашем случае скорость равна:

\dfrac{4\thickspaceм}{2\thickspaceс}=2\thickspaceм/с

При этом скорость бывает разной. Например, та скорость, которую мы только что получили, ничего не говорит нам о направлении движения. Ее мы будем называть путевой скоростью. Эта скорость зависит от пройденного пути и является скалярной величиной. Мы будем обозначать эту скорость при помощи буквы v (от английского слова «velocity» – скорость) и индекса «пут». В общем, v_{пут}.

Если бы мы разделили перемещение (четыре метра вправо) на время движения (две секунды), мы бы получили скорость перемещения – два метра в секунду вправо. Эта скорость является векторной величиной, и ее мы будем обозначать следующим образом: \vec{v}. Модуль скорости перемещения можно записать так: \lvert\vec{v}\rvert. В дальнейшем мы часто будем обозначать его обычной буквой v:

\lvert\vec{v}\rvert=v

Модуль скорости перемещения и путевая скорость – это не одно и то же. Впрочем, мы подробно рассмотрим этот вопрос чуть позже.

Подведем итоги.

И у векторной, и у скалярной величины есть числовое значение, но у вектора также имеется какое-то направление. И это, по сути, все, что вам нужно запомнить. В будущем, используя эту простую идею, мы с вами получше разберемся в различиях между путем и перемещением, а также в различиях между путевой скоростью и скоростью перемещения.

Введение в скаляры и векторы

Физика > Введение в скаляры и векторы

Вектор – любая величина, обладающая размером и направлением, а скаляр может похвастаться лишь величиной.

Задача обучения

• Отличать скаляры от векторов.

Основные пункты

• Вектор – любое количество с величиной и направлением.
• Скаляр – любое количество с величиной, но лишенное направления.
• Смещение и скорость – векторы, а расстояние и скорость – скаляры.

Термины

• Вектор – количество, обладающее величиной и направлением (между двумя точками).
• Скаляр – количество с величиной, но без направления.

Пример

Скорость человека способна оставаться стабильной при повороте за угол или смене направления. Учитывая этот факт, с чем же мы столкнулись: вектор или скаляр? Скорость – скалярная величина, так как не меняется из-за направления.

В чем отличие между расстоянием и смещением? Первая характеризуется только величиной, в то время как смещение – величиной и направлением. Смещение – пример векторной величины, а расстояние – скалярной.

Вектор отображает геометрический объект, обладающий величиной и направлением. В соответствии с векторной алгеброй, его можно добавить к другим векторам. Направление задается знаками + или -. Вектор отображается отрезком линии с конкретным направлением или стрелой, объединяющей точки А и В — направление вектора.

Вектор часто изображают в виде линейного отрезка с определенным направлением или же как стрелу, соединяющую А и В

Некоторые физические величины, вроде дистанции, не обладают направлением. Здесь и появляется скаляр, который остается стабильным при смене системы координат. Может выражаться числом и обладает величиной, но лишен направления. Например, 45°C, 150 калорий, дистанция в 3 метра – все это скаляры. Если располагаем температурой в -23°C, то отрицательный знак указывает не на направление, а на точку в шкале. Скаляры никогда не отображаются стрелками.

К скалярным величинам относятся длина, площадь, время, температура и т. д.

К векторным величинам относятся: Сила, ускорение, импульс, скорость, индукция, напряжённость…

---

физика для детей: скаляры и векторы

Скаляры и векторы

В физике используется множество различных математических величин. Примеры из них включают ускорение, скорость, скорость, силу, работу и мощность. Эти различные величины часто называют «скалярными» или «векторными» величинами. Ниже мы обсудим, что означают эти слова, а также познакомимся с основами векторной математики.

Что такое скаляр?

Скаляр — это величина, которая полностью описывается только величиной. Он описывается одним числом. Некоторые примеры скалярных величин включают скорость, объем, массу, температуру, мощность, энергию и время.

Что такое вектор?

Вектор — это величина, которая имеет как величину, так и направление. Векторные величины важны при изучении движения. Некоторые примеры векторных величин включают силу, скорость, ускорение, смещение и импульс.

В чем разница между скаляром и вектором?

Векторная величина имеет направление и величину, а скаляр — только величину. Вы можете определить, является ли величина вектором, по тому, имеет ли она связанное с ней направление.

Пример:

Скорость — это скалярная величина, но скорость — это вектор, который определяет как направление, так и величину. Скорость — это величина скорости. Автомобиль развивает скорость 40 миль в час на восток. Он имеет скорость 40 миль в час.

Как нарисовать вектор

Вектор рисуется в виде стрелки с головой и хвостом. Величина вектора часто описывается длиной стрелки. Стрелка указывает в направлении вектора. См. Картинку выше.

Как написать вектор

Векторы обычно пишутся жирным шрифтом. Их также можно написать стрелкой над буквой.

Примеры вопросов: скаляр или вектор?

1) Футболист бежал со скоростью 10 миль в час в сторону зачетной зоны.

Это вектор, потому что он представляет величину (10 миль в час) и направление (к конечной зоне). Этот вектор представляет собой скорость футболиста.

2) Объем этого ящика на западной стороне здания составляет 14 кубических футов.

Это скаляр. Это может быть немного сложно, так как он дает местоположение коробки на западной стороне здания, но это не имеет ничего общего с направлением объема, который имеет величину 14 кубических футов.

3) Температура в комнате была 15 градусов по Цельсию.

Это скаляр, направления нет.

4) Автомобиль ускоряется на север со скоростью 4 метра в секунду в квадрате.

Это вектор, так как он имеет как направление, так и величину. Мы также знаем, что ускорение — это векторная величина.

Интересные факты о скалярах и векторах

• Единичные векторы — это векторы с величиной 1. Они используются для определения направления.
• Кредит на изобретение векторов обычно отдается ирландскому физику Уильяму Роуэну Гамильтону.
• Векторы и скаляры важны во многих областях математики и естествознания.
• Векторы могут быть определены в двухмерном или трехмерном пространстве.
• Векторная графика иногда используется в компьютерах, потому что ее можно масштабировать до большего размера без потери качества изображения.

Векторы и скаляры

Величины, с которыми приходится встречаться в физике, механике и других прикладных дисциплинах, бывают двоякого рода: скалярные и векторные.
Скалярными величинами, или скалярами, называются величины, которые определяются только числовым значением.
Например: время, масса, плотность, длина отрезка, площадь, объем и т. д
Векторными величинами, или векторами, называются величины, которые определяются не только численным значением, но направлением и точкой приложения.
Например: сила, скорость, ускорение и т. д.
Векторные величины геометрически изображаются в виде отрезков, снабженных стрелками. Стрелка указывает направление, а длина отрезка изображает численные значения вектора и называется длиною, или модулем, или абсолютной величиной вектора.

Рис.1

Векторы обычно обозначаются либо буквой и черточкой над ней а, либо двумя буквами и черточкой над ними АВ, причем в этом случае первая буква указывает начало вектора, а вторая — его конец (рис.1).
Длина, или модуль, вектора обозначается символом , либо символом .
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой, и направлены в одну сторону. Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно помещать в любой точке пространства. Выбрав некоторое начало — точку О, — удобно считать все векторы исходящими из этой точки. В таком случае мы будем говорить, что векторы приведены к общему началу О.
Если начало вектора совпадает с его концом, то вектор называется нулевым. Направление нулевого вектора неопределенно. Все нулевые векторы считаются равными друг другу.
Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными.
Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

Почему скаляры могут иметь знак?

Я прочитал все ответы здесь и считаю, что еще есть что сказать, что может быть полезным. Я увлеченно это в последнее время, потому что я в настоящее время пишет книгу по физике. Концепция расстояния, скалярная концепция (в отличие от смещения, векторная концепция), не знает направления и часто ошибочно упоминается как подписанная величина. OP правильно указывает на то, что подписанная количество может означать направление.

Объект движется по любой траектории и накапливает расстояние в виде положительной величины. Расстояние не может быть значимо отрицательным. Попробуйте бросить мяч вертикально вверх в воздух. Проходит определенное расстояние час час вверх и затем снова падает на то же расстояние, пройдя общее расстояние 2 ч 2 час ,

Если вы попытались сделать отрицательное возвращаемое расстояние, чтобы каким-то образом определить, что оно возвращается туда, откуда оно началось, вам придется объяснить, как это работает для объекта, движущегося по круговой траектории окружности. 2 ч 2 час , Получается ли это на полпути вокруг круга на расстоянии час час затем путешествовать на другую половину расстояния — ч — час ? Это не разумная идея хотя бы потому, что она искусственно вводит одномерное направление, а затем вынуждает его решать двумерную задачу.

Таким образом, понятие расстояния, правильно понял, может быть только положительным и расстояния не могут быть использованы для уравновешивают друг друга. График правильно построенного расстояния может иметь только нулевой или положительный градиент. Таким образом, расстояние нельзя использовать для моделирования равномерно ускоренного движения в одном измерении — для этого требуется смещение.

Поскольку расстояние всегда увеличивается, изменение расстояния также всегда положительно, поэтому мгновенная скорость всегда положительна. Изменение расстояния все еще не является векторным понятием и не может использоваться для определения скорости, которое является векторным понятием. Мгновенная скорость, в свою очередь, может быть использована для определения замедленной формы ускорения, которая является величиной со знаком, поскольку скорость может уменьшаться, в отличие от расстояния. Но скорость все равно не может быть отрицательной, иначе неявное одномерное направление снова проникло бы. В приведенном выше примере с бросанным мячом это замедленное ускорение будет отрицательной постоянной, идущей вверх, чтобы замедлить шар, и на вершине подъема мяча мгновенно и прерывисто изменится на положительную постоянную, чтобы ускорить движение мяча вверх.

Так что пример скалярной концепции с очень ограниченным применением. Теперь рассмотрим пример векторного пространства, скажем, р 2 р 2 над р р где скаляры имеют очень мощное и, конечно, не ограниченное применение. Здесь скаляры действительные числа и поэтому может быть отрицательным, а также положительный. Если вы умножаете ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) от 2 2 это становится (2, 2) ( 2 , 2 ) то есть становится больше, но не меняет направление. Но если вы умножаете ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) от — 2 — 2 это становится (- 2, — 2) ( — 2 , — 2 ) , Он становится больше и меняет направление. Таким образом, скалярное умножение может изменить направление вектора, а также его размер и может быть использовано для определения обратных векторов. Сами скалярные действительные числа не имеют осмысленного направления как такового, как у векторов.

Набор р р сам по себе может быть пространство над вектором р р , С одной стороны, играя роль векторов, а с другой — роль скаляров. Поэтому неудивительно, что действительные числа могут использоваться для моделирования одномерных смещений и, следовательно, могут использоваться для моделирования равномерно ускоренного движения по прямой линии.

Таким образом, использование слова скаляр варьируется. В некоторых случаях они должны быть строго положительными, а в некоторых случаях существенное значение имеет подпись, а в некоторых случаях один набор может играть роль векторов и скаляров. Надеемся, что это обсуждение еще раз подчеркнуло разницу между скалярной величиной и векторной величиной.

РАЗНИЦА МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ И СКАЛЯРАМИ | СРАВНИТЕ РАЗНИЦУ МЕЖДУ ПОХОЖИМИ ТЕРМИНАМИ — НАУКА

Векторы против скаляров  В науке количества, которые относятся к физическим свойствам явления или вещества и могут быть определены количественно, называются физическими величинами. Например, скорость

Векторы против скаляров
 

В науке количества, которые относятся к физическим свойствам явления или вещества и могут быть определены количественно, называются физическими величинами. Например, скорость движущегося транспортного средства, длина куска дерева и светимость звезды — все это физические величины. Такие физические величины можно разделить на две основные категории: а именно, векторы и скаляры.

Что такое вектор?

Вектор — это физическая величина, имеющая как величину, так и направление. Например, сила, действующая на тело, является вектором. Смещение объекта также является вектором, поскольку при расчете смещения учитывается расстояние в определенном направлении.

Два вектора равны, если имеют одинаковую величину и направление. Например, предположим, что два автомобиля: одно движется со скоростью 30 км / ч в направлении севера, а другое движется со скоростью 30 км / ч в сторону запада. Тогда скорости двух транспортных средств не равны, поскольку направление вектора скорости не совпадает. Если бы обе машины двигались на север, скорости были бы одинаковыми.

Векторы могут быть представлены с помощью направленных отрезков прямых линий, длина которых пропорциональна величине. Можно складывать векторы одного типа, используя закон треугольника и закон многоугольника; т.е. можно добавить две скорости, но нельзя добавить силу к скорости.

Что такое скаляр?

Скаляр — это физическая величина, имеющая величину, но не имеющая направления. Например, объем объекта, температура точки в пространстве и работа, проделанная для ускорения транспортного средства, — все это скаляры, поскольку ни один из них не характеризуется направлением. Следовательно, равенство скаляров определяется только по величине.

Если два скаляра имеют одинаковую величину и одного типа, то эти два скаляра равны. В предыдущем примере скорость (скаляр) обоих транспортных средств составляет 30 км / ч. Следовательно, два скаляра равны. Поскольку скаляры — это просто числовые значения, два скаляра одного типа складываются вместе, как действительные числа. Например, если на 3 литра воды добавить 2 литра воды, то получится 2 + 3 = 5 литров воды.

В чем разница между вектором и скаляром? • У векторов есть и величина, и направление, а у скаляров — только величина. • Равенство векторов происходит только тогда, когда и величина, и направление двух векторов одного типа одинаковы, но в случае скаляров достаточно равенства величины. • Скаляры одного и того же типа могут быть добавлены так же, как действительные числа, но добавление векторов должно выполняться по закону многоугольника.

Векторы умножение на скаляры — Справочник химика 21

    ПОНЯТИЕ О СКАЛЯРЕ И ВЕКТОРЕ. СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ И УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР 

[c.217]

    Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора на скалярную величину изменяется величина вектора, направление же его остается [c.652]

    Умножение вектора на скаляр. Операция умножения вектора и на скаляр отвечает умножению каждого компонента вектора на указанный скаляр, т. е. [c.656]

    Умножение вектора на скаляр означает просто умножение абсолютной величины вектора на скаляр, причем направление вектора не меняется, если скаляр положителен, и меняется на противоположное, если скаляр отрицателен. [c.91]

    Результатом умножения вектора х на скаляр / Е» является вектор  [c.694]

    Умножение XV Произведение X и V, если X и V являются скалярами. Умножение каждого элемента V на X, если V является массивом, а X — скаляром. Скалярное произведение, если X и У — векторы одинакового размера. Умножение матриц, если X и У являются матрицами совместимых размеров [c.45]

    В этом случае ответ представляет собой скаляр. Результат такого типа умножения называется скалярным произведением и соответствует скалярному произведению векторов (разд. А-4). [c.433]

    Умножением матрицы тензора Т слева на строчную матрицу вектора 8 получают новый вектор 8-Т, который можно представить в виде строчной матрицы. Умножая матрицу тензора Т справа на столбцовую матрицу вектора I, получают новый вектор Т-1, представляемый также столбцовой матрицей. Наконец, можно получить скаляр 5-Т-1 матричным умножением 

[c.323]

    В случае векторов и тензоров операцию умножения можно выполнять несколькими разными способами. Для их обозначения применяют специальные знаки, смысл которых раскрыт позднее точка ( ), точка с запятой ( ) и крест (X) . Форма скобок, внутри которых заключены упомянутые символы, указывает на группу величин (скаляр, вектор или тензор), к которой относится результат умножения  [c.650]

    Вспомним, что умножение вектора V на скаляр дает вектор яо, который направлен в ту же сторону, что и исходный вектор о, причем изменяется лишь абсолютная величина вектора V. Когда же вектор о умножается на тензор т, изменяются как абсолютная величина, так и направление вектора о. Поэтому говорят, что тензор отклоняет , или поворачивает , вектор , образуя новый вектор, направление которого не совпадает с направлением исходного вектора .  [c.663]

    Умножение двух векторов обладает некоторыми интересными особенностями. Существуют два различных типа произведения — скалярное (обозначаемое точкой) и векторное (обозначаемое крестиком). Скалярное произведение является скаляром (т. е. не зависит от направления) и имеет величину, которая определяется выражением  

[c.90]

    Среди разнообразных разделяющих функций самой простой в применении и потому наиболее распространенной в химии является линейная разделяющая функция. Как отмечалось выше, линейная разделяющая функция эквивалентна некоторой весовой функции, при умножении которой на вектор образа получается скалярный результат. Несмотря на то что принципиально возможна множественная классификация, самым простым классификатором служит бинарное устройство, дающее один из двух альтернативных ответов. При использовании для бинарной классификации линейной разделяющей функции удобно определять принадлежность образа к одному из двух классов по знаку скаляра. 

[c.45]

    Введем правила сложения и умножения на скаляр для векторов реакций, аналогичные таковым для векторного пространства. А именно сумма двух векторов реакций над одним и тем же множеством веществ определена как [c.166]

    Поскольку оператор столкновений — линейный изотропный оператор в пространстве скоростей, его действие на любой из тензоров, построенных из векторов 6, дает тензор того же типа, умноженный на скаляр. Тогда, подставляя разложение (14.2.60) в уравнение (14.2.57) и приравнивая коэффициенты при разных тензорах, мы получаем шесть уравнений для величин Даже если тензоры линейно зависимы, это допустимо, поскольку тензоры содержат различные степени компонент вектора Я. Результат имеет следующий вид  

[c.434]

    Попятно, что велжчина А в случае ее существования может быть только вектором, так как в левой части уравнения (5) стоит скаляр и, следовательно, члены правой части этого уравнения тоже должны быть скалярными но один сомножитель членов правой части уравнения (5) — вектор г, который только прп умножении на другой вектор может дать скалярную величину. [c.361]

    Произведение X и Y, если X и Y явJ]яют я скалярами. Умножение каждого эле.мента Y на X, если Y является массивом, а X — скаляром. Скалярное произведение, если X и Y — векторы одинакового размера. Умножение матриц, если X и Y являются матрицами совместимых размеров Векторное произведение векторов U и V Сумма членов X для i = т, m + 1,. .., п, причем X может быть любым выражением Произведение членов X для i = т, m + 1,. .., п, где X может быть любым выражением Сумма членов X бесконечного ряда Произведение членов X бесконечного ряда Предел функции f(x) при X, стремящемся к а (выполняется только в режиме символьных вычислений) [c.427]

    При умножении двух векторных величин может получиться скаляр (скалярное произведение) или вектор (векторное произведение). Скалярное произведение А В векторов А и В определяется как ЛВсозвав, где 0ав —угол между векторами А и В. Если А = аж1 + ау]- -а2к и Ъ = Ьх1 + Ьу] + ЬгК то [c.430]

    Следуя терминологии, принятой в Transport Phenomena , в данно11 книге тензоры обозначены светлыми греческими буквами (а. т, е и т. д.), векторы— полужирными латинскими буквами А, В, v и т. д.), скалярные величины—светлыми буквами Р, [J, Т и т. д.). Тензорно-векторные операции умножения обозначаются различными типами скобок, например (А-В)—это скаляр, [АхВ]—вектор, — тензор. [c.405]

    Второй член в правой части равенства представляет собой элемент матрицы, получающейся в результате диадного умножения вектора дХ1д )ху на самого себя, помноженный на скаляр дх1дХ)1у. [c.259]

    Скалярное произведение (обозначенное точкой) какого-либо градиента и установленного в пространстве вектора ds, или, иначе, проекция вектора градиента на направление вектора ds, умноженная на ds, дает скаляр. Обозначаем его через ds grad / или (ds V) /. Оно показывает, как изменится величина /, если переместить ее в пространстве на расстояние ds. [c.310]

    Вторую группу составляет действие умножения векторов. Рассматриваемые в векторной алгебре скалярное и векторное умножения с алгебраической точки зрения неудовлетворительны, потому что первое из них выводит из класса векторов (скалярное произведение двух векторов (х, г/) — Xiyi+. .. +— скаляр, а не вектор), а второе не допускает обратного действия (деление на вектор не определено). [c.50]

---

фактов о скалярах и векторах | Интересные факты о детях

Пожалуйста, напишите или поделитесь этой статьей!

Математика и естественные науки разработаны для описания и понимания нашего мира и всего в нашем мире.

Мы живем в мире, который имеет по существу три измерения — линию, плоскую форму и форму, имеющую объем.

Есть четвертое измерение, и это пространство-время. Они регулируются временем и тремя пространственными измерениями — вверх и вниз, назад и вперед, влево и вправо.

Чтобы начать понимать скаляры и векторы в математике, вы должны знать, что означает слово величина. Величина — это способ описания чего-либо с точки зрения размера или веса, который выражается числом.

Например, кирпич имеет вес 15 фунтов; мы описываем его вес и / или размер. Можно проводить сравнения между двумя вещами, имеющими значение.

Скаляр — это величина, описываемая только величиной, и, как уже упоминалось, это всего лишь одно число.Скорость, объем, вес, мощность, энергия и время — все это скаляры.

Измерения, такие как 40 миль в час, 20 кубических футов, 100 фунтов (фунтов), 20 л.с. и 5 часов, являются выражениями скаляров, и все они имеют только одно число для их описания.

Мы больше ничего не знаем о том, что описывает это число.

Что касается скаляров, мы можем описать одно как имеющее больший вес, чем другое, большую скорость, чем другое, или большее, чем другое. Мы можем использовать такие слова, как меньше, больше, быстрее, тяжелее и т. Д.

Вектор описывает величину и направление. Векторы важны, когда мы хотим описать движение.

Некоторые примеры векторов включают силу, скорость, ускорение и импульс, направление и расстояние.

Итак, вектор показывает направление и величину, а скаляр имеет только величину. Самый простой способ распознать вектор — это указать направление.

Давайте сделаем паузу и зададим несколько вопросов, чтобы проверить ваше понимание.

Что из следующего связано с векторами?

1. Хоккеист движется к воротам со скоростью 15 миль в час.
2. Ящик на полу имеет объем 10 кубических футов.
3. Температура на улице 15 ° C.
4. Автомобиль мчится на юг по шоссе со скоростью 75 миль в час.

Если вы ответили 1 и 4, вы правы! Число 2 и 3 — скаляры.

При работе над любой математической задачей, такой как сложение, вычитание, умножение и деление, используются только скалярные числа.

Однако при решении задач, связанных с векторами, это намного сложнее, потому что вы должны учитывать направление, а также величину объекта.

Представьте себе самолет и все силы, которые необходимы для удержания самолета в воздухе. Скалярные силы:

Плотность воздуха

Давление воздуха

Температура воздуха

Масса самолета

Энергия и работа двигателя без указания направления.

Некоторые из этих сил в сочетании с направлением — например, тяга, движущийся вперед вес, скорость, скорость и ускорение — являются векторными величинами.

Время викторины!

1. Чем вектор отличается от скаляра?
2. Что такое величина?
3. Что такое скаляр?
4. Ветер движется на восток со скоростью 30 миль в час, это вектор или скаляр?
5. Самолет, припаркованный на взлетно-посадочной полосе, является примером вектора или скаляра?

Ответы:

1. Вектор имеет направление.
2. Величина — это способ описания чего-либо с помощью размера или веса.
3. Скаляр — это способ описания одной величины.
4. Ветер, движущийся на восток со скоростью 30 миль в час, является вектором.
5. Это скаляр, потому что он не движется ни в каком направлении.

Физика

Эпизод 201: Скаляры и векторы

Хотя многие студенты будут знакомы с определением векторных и скалярных величин, другие могли упустить эти идеи.Такие студенты могут нервничать по поводу векторных величин и с самого начала сочтут простой математический анализ довольно сложным. Это особенно заметно, если эта тема изучается в начале курса. Важно, чтобы учащиеся получили чувство (буквально!) Для векторов наряду с пониманием их математического представления. Стоит потратить немного времени на этот вводный эпизод, даже если в вашей спецификации он не упоминается, поскольку он поддерживает работу с моментами и эффектами поворота.

Полезно использовать практическую работу, компьютерное моделирование и упражнения с ручкой и бумагой, чтобы повысить уверенность учащихся в этой теме.

Краткое содержание урока

• Обсуждение: определение скалярных и векторных величин; примеры (15 минут)
• Презентация и обсуждение: Добавление векторов под прямым углом (20 минут)
• Студенческий эксперимент: смещение и сложение векторов (20 минут)
• Рабочие примеры: Добавление перпендикулярных векторов (20 минут)
• Вопрос студента: Практика для студентов (15 минут)

Обсуждение: определение скалярных и векторных величин; Примеры.

Для некоторых студентов это будет повторная сессия. Другие могут быть менее знакомы с концепциями. Используйте вопросы и ответы, чтобы установить знания группы.

Начните с определения векторов как величин с величиной и направлением. Сравните их со скалярными величинами (только величина). Используйте обсуждение в классе, чтобы составить список векторных и скалярных величин (например, векторы: скорость, смещение, сила; скаляры: температура, скорость, расстояние, энергия). Полезно потратить немного времени на разницу между скоростью и скоростью.

Обсудите примеры простого параллельного сложения векторов. Например, пуля, выпущенная из движущегося поезда или саней, которые едут по снегу, преодолевая постоянную силу трения. Эти простые примеры укрепляют уверенность в основном принципе. Расширьте это до антипараллельных векторов (то есть векторов в противоположных направлениях вдоль одной и той же линии; они вычитаются).

Обсуждение и демонстрации: Добавление векторов под прямым углом

Это приводит к рассмотрению непараллельных векторов.Начните с векторов под прямым углом.

Эпизод 201-1: Добавление скоростей (Word, 79 КБ)

Эта демонстрация требует немного времени для настройки и довольно быстро заканчивается. Однако это того стоит. Вы можете провести презентацию с одним студентом-помощником или вы можете выступить в качестве проводника двух студентов-добровольцев.

Дайте понять, что чернильный след является результатом сложения двух перпендикулярных скоростей .

Измерьте продолжительность поездки, чтобы установить три скорости.

Повторите презентацию на чистом листе бумаги. На этот раз пусть горизонтальная тележка движется с новой скоростью, чтобы создать другой градиент чернильному следу.

Нарисуйте на доске очищенную версию результатов или попросите учащихся сделать это в своих заметках. Схема должна включать шкалу, чтобы можно было проводить прямые измерения. У вас получится что-то вроде этого.

Видно, что величина P может быть вычислена с помощью теоремы Пифагора:

P ² = v _{горизонтально} ² & plus; v _{вертикальный} ²

Это можно проверить по результатам презентации.Также можно увидеть, что масштабную диаграмму можно использовать для прогнозирования величины P, если известны две горизонтальные и вертикальные составляющие.

Простая тригонометрия приводит к отношениям v _{горизонтально} = P cos (θ) а также v _{вертикальный} = P cos (φ)

Это также можно проверить по результатам презентации. Это разрешение скорости P на горизонтальную и вертикальную составляющие.Дальнейшее обсуждение покажет, что:

v _{горизонтально} = P cos (φ) а также v _{вертикальный} = P cos (θ)

Студенты должны записать эти важные взаимосвязи, которые будут использоваться в рабочих примерах и вопросах студентов.

Студенческий эксперимент: смещение и сложение векторов

Эпизод 201-2: Смещение и сложение векторов (Word, 38 КБ)

Теперь ваши ученики могут проверить теорию, если позволяет погода! Это упражнение начинается с добавления ортогональных векторных смещений, которые подтверждают обсуждения в классе.Третье действие суммирует смещения, которые не находятся под прямым углом. Самый простой метод оценки суммы — использовать масштабный рисунок — это может потребовать объяснения и расширения общего принципа векторного треугольника. Учащимся следует спросить, почему Пифагор не может быть применен к третьей ситуации.

Это следует рассматривать как быстрое занятие по объединению различных идей. Некоторые студенты поверят, что знают об этом все; тем не менее, практика полезна.

Сделайте добавление векторов с помощью чертежа в масштабе явным — в обсуждение должна быть включена диаграмма, подобная приведенной ниже; в каждом случае красная стрелка представляет собой сумму зеленой и синей стрелок.

Рабочие примеры: Добавление перпендикулярных векторов

Эпизод 201-3: Использование компонентов вектора (Word, 109 КБ)

Используйте эти примеры для подтверждения работы с векторами под прямым углом. Третья часть вопроса более сложная и демонстрирует осторожность, необходимую для решения таких проблем. Это довольно длинный вопрос, и его можно начать в классе как обсуждение и оставить для выполнения домашнего задания.

Студенческий вопрос: Практика для студентов

Эпизод 201-4: Полет при боковом ветре (Word, 39 КБ)

Этот стандартный вопрос позволит вам определить тех учащихся, которые усвоили основную идею.

2.2: векторы, скаляры и системы координат

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

1. Системы координат для одномерного движения
2. Сводка
3. Глоссарий
4. Авторы и авторства

Направление вектора в одномерном движении задается просто знаком плюс (+) или минус (-).Векторы графически представлены стрелками. Стрелка, используемая для представления вектора, имеет длину, пропорциональную величине вектора (например, чем больше величина, тем больше длина вектора), и указывает в том же направлении, что и вектор.

Некоторые физические величины, например расстояние, либо не имеют направления, либо не указаны. Скаляр — это любая величина, имеющая величину, но не направление. Например, температура 20ºC, 250 килокалорий (250 калорий) энергии в шоколадном батончике, ограничение скорости 90 км / ч, 1 человека.Высота 8 м и расстояние 2,0 м — все это скаляры — величины без определенного направления. Обратите внимание, однако, что скаляр может быть отрицательным, например, температура –20ºC. В этом случае знак минус указывает точку на шкале, а не направление. Скаляры никогда не изображаются стрелками.

Системы координат для одномерного движения

Чтобы описать направление векторной величины, вы должны обозначить систему координат в системе отсчета. Для одномерного движения это простая система координат, состоящая из одномерной координатной линии.В общем, при описании горизонтального движения движение вправо обычно считается положительным, а движение влево — отрицательным. При вертикальном движении движение вверх обычно положительное, а движение вниз — отрицательное. Однако в некоторых случаях, как, например, в случае струи на рисунке \ PageIndex {2} \), может быть удобнее переключать положительное и отрицательное направления. Например, если вы анализируете движение падающих объектов, может быть полезно определить направление вниз как положительное. Если участники забега бегут влево, полезно определить влево как положительное направление.Это не имеет значения, если система ясна и последовательна. Как только вы зададите положительное направление и начнете решать проблему, вы не сможете ее изменить.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Обычно удобно рассматривать движение вверх или вправо как положительное (+), а движение вниз или влево как отрицательное (-).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Скорость человека может оставаться такой же, когда он или она делает поворот и меняет направление. Учитывая эту информацию, является ли скорость скалярной или векторной величиной? Объяснять.

Ответ

Скорость — это скалярная величина. Он совершенно не меняется при смене направления; следовательно, он имеет только величину. Если бы это была векторная величина, она бы изменилась при изменении направления (даже если бы ее величина оставалась постоянной).

Сводка

• Вектор — это любая величина, имеющая величину и направление.
• Скаляр — это любая величина, которая имеет величину, но не имеет направления.
• Смещение и скорость — это векторы, а расстояние и скорость — скаляры.
• В одномерном движении направление указывается знаком плюс или минус для обозначения влево или вправо, вверх или вниз и т.п.

Глоссарий

скаляр

величина, описываемая величиной, но не направлением

вектор

величина, описываемая величиной и направлением

Авторы и авторство

• Пол Питер Урон (почетный профессор Калифорнийского государственного университета, Сакраменто) и Роджер Хинрикс (Государственный университет Нью-Йорка, колледж в Освего) с участвующими авторами: Ким Диркс (Оклендский университет) и Манджула Шарма (Сиднейский университет).Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

скаляров и векторов

скаляров и векторов

Далее: Смещение, скорость и ускорение Up: Движение в двух измерениях Предыдущая: Движение в двух измерениях

Скаляры имеют только звездную величину. Температура, скорость, масса и объем являются примерами скаляров.

Векторы имеют звездную величину и направление . Величина написано || v . Положение, перемещение, скорость, ускорение и сила являются примерами векторных величин. Векторы имеют следующие свойства:

1.

Векторы равны, если они имеют одинаковую величину и направление .

2.

Векторы должны иметь одинаковые единицы, чтобы их можно было добавить или вычитается.

3.

Отрицательный вектор вектора имеет ту же величину, но противоположное направление.

4.

Вычитание вектора определяется добавлением отрицательного вектор:

— = + (-)

5.

Умножение или деление вектора на скаляр приводит к вектору, для которого

(а)

изменяется только величина, если скаляр положительный

(б)

величина изменяется, а направление меняется на противоположное, если скаляр отрицательный.

6.

Проекции вектора на оси прямоугольника В системе координат называются компоненты вектора. Компоненты вектора полностью определяют вектор.

Рисунок 3.1: Проекции вектора в 2-D.

Мы можем инвертировать эти уравнения, чтобы найти A и как функции от A _x и A _y .По Пифагору, у нас есть,

А =

а из диаграммы

7.

Чтобы сложить векторы по компонентам: = + + + …

(а)

Найдите компоненты всех добавляемых векторов.

(б)

Добавьте все компоненты x , чтобы получить R _x = A _x + B _x + C _x +…
Сложите все компоненты и , чтобы получить R _y = A _y + B _y + C _y + …

(в)

Тогда

---

Далее: Смещение, скорость и ускорение Up: Движение в двух измерениях Предыдущая: Движение в двух измерениях

www-admin @ theory.uwinnipeg.ca
09.10.1997

3.2 Векторы, скаляры и системы координат — биомеханика движения человека

Рис. 1. Движение скейтбордиста можно описать с помощью пройденного им расстояния (скалярная величина) или его перемещения в определенном направлении (векторная величина). Чтобы указать направление движения, его перемещение должно быть описано в системе координат. (Источник: Жюльен Ланой, Unsplash).

В чем разница между расстоянием и смещением? В то время как смещение определяется как направлением, так и величиной, расстояние определяется только величиной.Смещение — это пример векторной величины. Расстояние — это пример скалярной величины. Вектор — это любая величина с величиной и направлением . Другие примеры векторов включают скорость 90 км / ч на восток и силу 500 ньютонов прямо вниз.

Направление вектора в одномерном движении задается просто знаком плюс (+) или минус (-). Векторы графически представлены стрелками. Стрелка, используемая для представления вектора, имеет длину, пропорциональную величине вектора (например,g., чем больше величина, тем больше длина вектора) и указывает в том же направлении, что и вектор. При записи векторной величины над переменной используется горизонтальная стрелка. Например, [latex] \ overrightarrow {\ mathbf {p}} [/ latex] указывает, что позиция является векторной переменной, с которой связаны как величина, так и направление.

Некоторые физические величины, например расстояние, либо не имеют направления, либо не указаны. Скаляр — это любая величина, имеющая величину, но не направление.Например, температура 20 ° C, 250 килокалорий (250 калорий) энергии в шоколадном батончике, ограничение скорости 90 км / ч, рост человека 1,8 м и расстояние 2,0 м — все это скаляры — количества без указанное направление. Однако обратите внимание, что скаляр может быть отрицательным, например, температура -20 ° C. В этом случае знак минус указывает точку на шкале, а не направление. Скаляры никогда не изображаются стрелками.

Чтобы описать направление векторной величины, вы должны обозначить систему координат в системе отсчета.Для одномерного движения это простая система координат, состоящая из одномерной координатной линии. В общем, при описании горизонтального движения движение вправо обычно считается положительным, а движение влево — отрицательным. При вертикальном движении движение вверх обычно положительное, а движение вниз — отрицательное. Однако в некоторых случаях, как в случае показанного выше жиклера, может быть удобнее переключать положительное и отрицательное направления. Например, если вы анализируете движение падающих объектов, может быть полезно определить направление вниз как положительное.Если участники забега бегут влево, полезно определить влево как положительное направление. Это не имеет значения, если система ясна и последовательна. Как только вы зададите положительное направление и начнете решать проблему, вы не сможете ее изменить.

Рис. 2. Обычно удобно рассматривать движение вверх или вправо как положительное значение (+) , а движение вниз или влево как отрицательное значение (-) .

Эти координаты называются декартовыми координатами в честь Рене Декарта, который впервые предложил их в 17 веке.

• Вектор — это любая величина, имеющая величину и направление.
• Скаляр — это любая величина, которая имеет величину, но не имеет направления.
• Смещение и скорость — это векторы, а расстояние и скорость — скаляры.
• В одномерном движении направление указывается знаком плюс или минус для обозначения влево или вправо, вверх или вниз и т.п.

Концептуальные вопросы

1: Студент пишет: « Дайвер движется к воде со скоростью -10 м / с.«Что не так в заявлении студента? Что на самом деле описал студент? Объяснять.

2: Какова скорость дайвера в предыдущем вопросе?

3: Ускорение — это изменение скорости во времени. Учитывая эту информацию, является ли ускорение векторной или скалярной величиной? Объяснять.

4: Согласно прогнозу погоды, на следующий день температура будет -5 ° C. Является ли эта температура векторной или скалярной величиной? Объяснять.

Глоссарий

скаляр

величина, описываемая величиной, но не направлением

вектор

величина, описываемая величиной и направлением

Решения

Проверьте свое понимание: концептуальные вопросы

1: Скорость — это скалярная величина. Он совершенно не меняется при смене направления; следовательно, он имеет только величину. Если бы это была векторная величина, она бы изменилась при изменении направления (даже если бы ее величина оставалась постоянной).

2. Скорость 10 м / с.

3. Вектор

4 . Скалярный. Температура не имеет направления. Знак — означает «меньше».

скаляров и векторов — GeeksforGeeks

В физике величины можно классифицировать как скаляры и векторы. Эти величины различаются только по направлению. С векторами связано направление и величина, а у скаляров — только величина. Это величины, которые встречаются почти во всех сферах изучения физического мира.Например, расстояние между двумя величинами может быть измерено, и для его выражения не требуется направление, это называется скалярной величиной. В то время как движение частицы невозможно описать, не используя направление, в котором она движется. Это называется векторной величиной. Рассмотрим подробнее оба типа величин.

Скалярные величины и векторные величины

Скалярные величины — это величины, с которыми связано только значение. Эти количества могут быть полностью выражены одним числом.Некоторые примеры скалярных величин: масса объекта, расстояние между двумя точками и т. Д. Для выполнения операций со скалярными величинами работают обычные правила алгебры. Эти количества можно складывать и вычитать таким же образом, как добавляются и вычитаются числа.

Вниманию читателя! Все, кто говорит, что программирование не для детей, просто еще не встретили подходящих наставников. Присоединяйтесь к демонстрационному классу для курса «Первый шаг к программированию», специально разработан для учащихся 8–12 классов.

Студенты узнают больше о мире программирования в этих бесплатных классах , которые определенно помогут им сделать правильный выбор карьеры в будущем.

С другой стороны, векторы — это величины, с которыми связано направление. Для сложения и вычитания эти величины подчиняются треугольному закону сложения векторов. Некоторые примеры векторных величин включают скорость, ускорение и т. Д. При описании скорости необходимо указать направление.Векторы представлены значком, который представляет направление и величину вектора. В случае единственной величины | v | обозначает величину. На рисунке ниже представлен вектор. Длина стрелки представляет собой величину вектора.

Равенство векторов

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление. На рисунке ниже показаны два равных вектора, обратите внимание, что эти векторы параллельны друг другу и имеют одинаковую длину.Во второй части рисунка показаны два неравных вектора, которые, хотя и имеют одинаковую величину, не равны, потому что имеют разные направления.

Умножение векторов на скаляр

Умножение вектора a на постоянный скаляр k дает вектор, направление которого такое же, но величина изменяется в k раз. На рисунке показан вектор после и до его умножения на константу k. С математической точки зрения это можно переписать как:

, если k> 1, величина вектора увеличивается, а величина вектора уменьшается, когда k <1.

Добавление векторов

Векторы не могут быть добавлены по обычным алгебраическим правилам. При добавлении двух векторов необходимо учитывать величину и направление векторов. Закон треугольника используется для сложения двух векторов, на диаграмме ниже показаны два вектора «a» и «b» и результат, вычисленный после их сложения. Сложение векторов следует свойству коммутативности, это означает, что результирующий вектор не зависит от порядка, в котором добавляются два вектора.

— (Коммутативное свойство)

Закон сложения векторов треугольников

Рассмотрим векторы, приведенные на рисунке выше.Линия PQ представляет вектор «p», а QR представляет вектор «q». Линия QR представляет результирующий вектор. Направление AC — от A к C.

Линия AC представляет,

Величина результирующего вектора определяется как,

Представляет угол между двумя векторами. Позвольте быть угол, образованный результирующим вектором с вектором p.

Параллелограмм Закон сложения векторов

Этот закон — просто еще один способ понимания векторного сложения.Этот закон гласит, что если два вектора, действующие в одной точке, представлены сторонами параллелограмма, то результирующий вектор этих векторов представлен диагоналями параллелограммов. На рисунке ниже показаны эти два вектора, представленные сбоку от параллелограмма.

Примеры задач

Вопрос 1: Найдите величину v = i + 4j.

Ответ:

для вектора v = ai + bj

| v | =

a = 1, b = 4

| v | =

⇒ | v | =

⇒ | v | = √17

Вопрос 2: Вектор задается формулой v = i + 4j.Найдите модуль вектора при его масштабировании на константу 5.

Ответ:

для вектора, v = ai + bj

| v | =

5 | v | = | 5v |

a = 1, b = 4

| 5v |

⇒ | 5 (i + 4j) |

⇒ | 5i + 20j |

| v | =

⇒ | v | =

⇒ | v | = √425

Вопрос 3: Вектор задается формулой v = i + j. Найдите величину вектора, когда он масштабируется на константу 0.5.

Ответ:

для вектора, v = ai + bj

| v | =

0,5 | v | = | 0,5 В |

a = 1, b = 1

| 0,5 В |

⇒ | 0,5 (i + j) |

⇒ | 0,5i + 0,5j |

| v | =

⇒ | v | =

⇒ | v | = √0,5

Вопрос 4: Два вектора с величиной 3 и 4. Эти векторы имеют угол 90 ° между собой. Найдите величину результирующих векторов.

Ответ:

Пусть два вектора заданы как p и q.Тогда результирующий вектор «r» имеет вид,

| p | = 3, | q | = 4 и

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒ | r | = 5

Вопрос 5: Два вектора с величиной 10 и 9. Эти векторы имеют угол 60 ° между собой. Найдите величину результирующих векторов.

Ответ:

Пусть два вектора заданы как p и q. Тогда результирующий вектор «r» имеет вид,

| p | = 10, | q | = 9 и

⇒

⇒

⇒

⇒

Вопрос 6: Два вектора с величиной 4 и 4.Эти векторы имеют угол между собой 60 °. Найдите величину результирующих векторов и угол, образованный результирующим вектором, с 5.

Ответ:

Пусть два вектора заданы как p и q. Тогда результирующий вектор «r» имеет вид,

| p | = 4, | q | = 4 и

⇒

⇒

⇒

⇒ | r | = 4√3

угол, образованный результирующим,

⇒

⇒

⇒

Скаляры, векторы, матрицы и тензоры — линейная алгебра для глубокого обучения (часть 1)

Еще в марте мы провел опрос по содержанию и обнаружил, что многие из вас заинтересованы в курсах повышения квалификации по ключевым математическим темам, необходимым для понимания глубокого обучения и количественных финансов в целом.

Поскольку глубокое обучение будет составлять большую часть контента этого года, мы подумали, что было бы целесообразно написать несколько руководств для начинающих по ключевым математическим темам — линейной алгебре, исчислению и вероятности — которые необходимы для действительно понимания глубокого обучения для квантовый трейдинг.

Эта статья является первой в серии сообщений по теме Linear Algebra for Deep Learning . Он предназначен для ознакомления с некоторыми основными идеями и обозначениями, которые можно найти в более продвинутых учебниках и исследовательских работах по глубокому обучению.Чтение этих статей абсолютно необходимо , чтобы найти лучших методов количественной торговли и, как таковые, помогает говорить на языке!

Линейная алгебра — это фундаментальная тема математического предмета, которая широко распространена в физических науках. Он также составляет основу многих алгоритмов машинного обучения. Следовательно, для специалиста по глубокому обучению крайне важно понимать основные идеи.

Линейная алгебра — это раздел непрерывной, а не дискретной математики.Математик, физик, инженер и квант, вероятно, будут знакомы с непрерывной математикой благодаря изучению дифференциальных уравнений, которые используются для моделирования многих физических и финансовых явлений.

Однако компьютерный ученый, разработчик программного обеспечения или розничный торговец по усмотрению мог получить доступ к математике только через такие предметы, как теория графов или комбинаторика — темы, относящиеся к дискретной математике. Следовательно, представленные здесь обозначения set и функции могут быть изначально незнакомыми.

По этой причине обсуждение, представленное в этой серии статей, будет опускать обычный подход «теорема и доказательство» в учебниках математики для студентов. Вместо этого основное внимание будет уделено избранным темам, которые актуальны для практиков глубокого обучения с разным опытом.

Обратите внимание, что схема линейной алгебры, представленная в этой серии статей, близко соответствует обозначениям и превосходным трактовкам Goodfellow et al (2016) ^[3] , Blyth and Robertson (2002) ^[1] and Strang (2016) ) ^[2] .

Мотивация

Линейная алгебра, вероятность и исчисление — это «языки», на которых написано машинное обучение. Изучение этих тем обеспечит более глубокое понимание лежащей в основе алгоритмической механики и позволит разрабатывать новые алгоритмы, которые в конечном итоге могут быть развернуты как более сложные количественные торговые стратегии.

Многие алгоритмы машинного обучения и глубокого обучения с учителем в значительной степени предполагают оптимизацию функции потерь путем настройки параметров модели.Для этого требуется некоторое представление о том, как изменяется функция потерь при изменении параметров модели.

Это немедленно мотивирует исчисление — элементарную тему в математике, которая описывает изменения величин по отношению к другим. В частности, для этого требуется концепция частной производной, которая определяет, как функция потерь изменяется посредством индивидуальных изменений каждого параметра.

Эти частные производные часто группируются вместе — в матрицы — для упрощения вычислений.Даже самые элементарные модели машинного обучения, такие как линейная регрессия, оптимизируются с помощью этих методов линейной алгебры.

Ключевой темой в линейной алгебре является тема векторной и матричной нотации . Умение «читать язык» линейной алгебры откроет возможность понимать учебники, публикации в Интернете и исследовательские статьи, содержащие более сложные описания моделей. Это не только позволит воспроизвести и проверить существующие модели, но и позволит расширения и новые разработки, которые впоследствии можно будет использовать в торговых стратегиях.

Линейная алгебра обеспечивает первые шаги в векторизации , представляя более глубокий взгляд на параллелизацию определенных операций. Алгоритмы, записанные в стандартной нотации цикла for, могут быть переформулированы в виде матричных уравнений, обеспечивающих значительный выигрыш в вычислительной эффективности.

Такие методы используются в основных библиотеках Python, таких как NumPy, SciPy, Scikit-Learn, Pandas и Tensorflow. Графические процессоры были разработаны для выполнения оптимизированных операций линейной алгебры.Стремительный рост глубокого обучения частично можно объяснить высокой степенью распараллеливания базовых алгоритмов на обычном аппаратном обеспечении графических процессоров.

Линейная алгебра — это непрерывный математический предмет, но в конечном итоге обсуждаемые ниже объекты реализованы в дискретной вычислительной среде. Эти дискретные представления сущностей линейной алгебры могут привести к проблемам переполнения и потери значимости, которые представляют собой пределы эффективного представления чрезвычайно больших и малых чисел в вычислительной среде.

Одним из механизмов смягчения последствий ограниченного числового представления является использование методов матричной факторизации. Такие методы позволяют представить определенные матрицы в виде более простых, структурированных матриц, которые обладают полезными вычислительными свойствами.

Методы разложения матрицы включают разложение по нижнему верхнему (LU), QR-разложение и разложение по сингулярным значениям (SVD). Они являются неотъемлемым компонентом определенных алгоритмов машинного обучения, включая линейный метод наименьших квадратов и анализ компонентов Pricipal (PCA).Разложение матриц будет подробно обсуждаться позже в этой серии.

Трудно переоценить, насколько линейная алгебра фундаментальна для глубокого обучения . Тем, кто намерен развернуть самые сложные количественные модели, основанные на методах глубокого обучения, или ищущих работу в таких компаниях, необходимо будет очень хорошо изучить линейную алгебру.

Материал в этой серии статей будет охватывать самый минимум, но чтобы понять границы исследования, необходимо пойти гораздо дальше.Пожалуйста, смотрите Список литературы в конце статьи, где вы найдете краткий список того, где продолжить изучение линейной алгебры.

Векторы и матрицы

Двумя основными математическими объектами, представляющими интерес в линейной алгебре, являются вектор и матрица . Они являются примерами более общей сущности, известной как тензор . Тензоры имеют порядок (или ранг ), который определяет количество измерений в массиве, необходимых для его представления.

Скаляры

Скаляры — это отдельные числа и пример тензора 0-го порядка. В математике необходимо описать набор значений, которым принадлежит скаляр. Обозначение $ x \ in \ mathbb {R} $ означает, что скалярное значение (в нижнем регистре) $ x $ является элементом (или членом) набора действительных чисел $ \ mathbb {R} $.

В машинном обучении есть несколько интересующих нас наборов чисел. $ \ mathbb {N} $ представляет собой набор натуральных чисел ($ 1, 2, 3, \ ldots $).$ \ mathbb {Z} $ представляет собой целые числа, которые включают положительные, отрицательные и нулевые значения. $ \ mathbb {Q} $ представляет собой набор из рациональных чисел, которые могут быть выражены как дробь двух целых чисел.

Векторы

Векторы представляют собой упорядоченные массивы отдельных чисел и являются примером тензора 1-го порядка. Векторы являются членами объектов, известных как векторных пространств . Векторное пространство можно рассматривать как всю совокупность из всех возможных векторов определенной длины (или измерения).п $.

Иногда необходимо явно идентифицировать компоненты вектора. $ I $ -й скалярный элемент вектора записывается как $ x_i $. Обратите внимание, что это не полужирный нижний регистр, поскольку элемент является скаляром. Сам $ n $ -мерный вектор можно явно записать в следующих обозначениях:

\ begin {уравнение} \ boldsymbol {x} = \ begin {bmatrix} \ kern4pt x_1 \ kern4pt \\ \ kern4pt x_2 \ kern4pt \\ \ kern4pt \ vdots \ kern4pt \\ \ kern4pt x_n \ kern4pt \ end {bmatrix} \ end {уравнение}

Учитывая, что скаляры существуют для представления значений, зачем нужны векторы? Одним из основных вариантов использования векторов является представление физических величин, которые имеют как величину , так и направление , а также направление .Скаляры способны отображать только величины.

Например, скаляры и векторы кодируют разницу между скоростью автомобиля и его скоростью . Скорость содержит не только скорость, но и направление движения. Нетрудно представить себе гораздо больше физических величин, обладающих схожими характеристиками, такими как гравитационные и электромагнитные силы или скорость ветра.

В машинном обучении векторы часто представляют собой вектора признаков, , причем их отдельные компоненты определяют, насколько важна конкретная особенность.Такие особенности могут включать относительную важность слов в текстовом документе, интенсивность набора пикселей в двумерном изображении или исторические значения цен для поперечного сечения финансовых инструментов.

Матрицы

Матрицы представляют собой прямоугольные массивы, состоящие из чисел и являющиеся примером тензоров 2-го порядка. Если $ m $ и $ n $ — натуральные числа, то есть $ m, n \ in \ mathbb {N} $, тогда матрица $ m \ times n $ содержит $ mn $ чисел, с $ m $ строками и $ n $ столбцы.{m \ times n} $. То есть матрица живет в $ m \ times n $ -мерном вещественнозначном векторном пространстве. Следовательно, матрицы на самом деле являются векторами, которые просто записаны в виде двухмерных таблиц.

Его компоненты теперь идентифицируются двумя индексами $ i $ и $ j $. $ i $ представляет индекс строки матрицы, а $ j $ представляет индекс столбца матрицы. Каждый компонент $ \ boldsymbol {A} $ идентифицируется с помощью $ a_ {ij} $.

Полную матрицу $ m \ times n $ можно записать как:

\ begin {уравнение} \ boldsymbol {A} = \ begin {bmatrix} \ kern4pt a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & \ ldots & a_ {1n} \ kern4pt \\ \ kern4pt a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & \ ldots & a_ {2n} \ kern4pt \\ \ kern4pt a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & \ ldots & a_ {3n} \ kern4pt \\ \ kern4pt \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ kern4pt \\ \ kern4pt a_ {m1} & a_ {m2} & a_ {m3} & \ ldots & a_ {mn} \ kern4pt \\ \ end {bmatrix} \ end {уравнение}

Часто бывает полезно сократить полное матричное отображение компонентов следующим выражением:

\ begin {уравнение} \ boldsymbol {A} = [a_ {ij}] _ {m \ times n} \ end {уравнение}

Где $ a_ {ij} $ называется $ (i, j) $ — элементом матрицы $ \ boldsymbol {A} $.Нижний индекс $ m \ times n $ можно опустить, если размерность матрицы ясна из контекста.

Обратите внимание, что вектор-столбец является матрицей размера $ m \ times 1 $, поскольку он имеет $ m $ строк и 1 столбец. Если не указано иное, все векторы будут считаться векторами-столбцами.

Матрицы представляют собой тип функции, известный как линейная карта. Основываясь на правилах, которые будут описаны в следующих статьях, можно определить операции умножения между матрицами или между матрицами и векторами.Такие операции чрезвычайно важны для физических наук, количественных финансов, информатики и машинного обучения.

Матрицы

могут кодировать геометрические операции, такие как вращение, отражение и преобразование. Таким образом, если набор векторов представляет вершины трехмерной геометрической модели в программном обеспечении автоматизированного проектирования, то умножение этих векторов по отдельности на заранее заданную матрицу вращения приведет к получению новых векторов, которые представляют положения повернутых вершин.Это основа современной 3D компьютерной графики.

В нейронной сети с глубоким обучением веса хранятся в виде матриц, а входные параметры — в виде векторов. Формулировка проблемы в терминах линейной алгебры позволяет компактно обрабатывать эти вычисления. Сформулировав задачу в терминах тензоров и используя аппарат линейной алгебры, можно получить быстрое время обучения на современном аппаратном обеспечении графического процессора.

Тензоры

Более общая сущность тензора инкапсулирует скаляр, вектор и матрицу.Иногда необходимо — как в физических науках, так и в машинном обучении — использовать тензоры с порядком, превышающим два.

В теоретической физике и в общей теории относительности, в частности, тензор кривизны Римана — это тензор 4-го порядка, который описывает локальную кривизну пространства-времени. В машинном обучении и глубоком обучении, в частности, тензор 3-го порядка может использоваться для описания значений интенсивности нескольких каналов (красного, зеленого и синего) из двухмерного изображения.

Тензоры будут обозначены в этой серии публикаций с помощью полужирного шрифта без засечек, $ \textf {A} $. Для тензора 3-го порядка элементы будут заданы как $ a_ {ijk} $, тогда как для тензора 4-го порядка элементы будут заданы как $ a_ {ijkl} $.

Следующие шаги

В следующей статье будут описаны основные операции умножения матрицы на вектор и матрицы на матрицу. Этот раздел известен как матричная алгебра .

Список литературы

• [1] Блит Т.С. и Робертсон Э.Ф. (2002) Основная линейная алгебра, 2-е изд. , Springer
• [2] Стрэнг, Г. (2016) Введение в линейную алгебру, 5-е изд. , Wellesley-Cambridge Press
• [3] Гудфеллоу, И.Дж., Бенжио, Ю., Курвиль, А. (2016) Глубокое обучение, , MIT Press

Статьи по теме

.