Site Loader

Содержание

Error

Jump to… Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2. The limit of a numeric sequence.Practical lesson 1. Study of properties of a numerical sequence by conventionПрактическое занятие 1 (часть 2)Теоретический материалЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.2. Числовые последовательностиВидеолекция 1. Предел функции в точкеLecture 1. The limit of a function at a pointВидеолекция (часть 2)Практическое занятие 1. Вычисление пределов, неопределенности.Practical lesson 1. Calculation of limits. UncertaintiesПрактическое занятие 2. Вычисление пределов. Замечательные пределы.Practical lesson 2. Calculation of limits. Remarkable limits.Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.3. Предел функции в точкеВидеолекция. Непрерывность функции в точкеLecture 1. Сontinuity of a function at a pointПрактическое занятие. Исследование функций на непрерывность. Классификации точек разрываPractical lesson. The study of function continuity and classification of discontinuity pointsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.4. Непрерывность функции в точкеВидеолекция (часть 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидеолекция (часть 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyПрактическое занятие 1. Правила дифференцированияПрактическое занятие 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрическиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1. Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.6. Геометрический и физический смысл производнойQuiz 1.1.6. Geometric and physical sense of the derivativeВидеолекция 1. Основные теоремы дифференциального исчисления.Lecture 1. Basic theorems of differential calculusВидеолекция 2. Исследование функций на монотонность и выпуклостьLecture 2. The study of the monotonicity of the functionПрактическое занятие 1. Исследование свойств функций с помощью производнойPractical lesson 1. Studying the properties of functions using a derivativeПрактическое занятие 2. Правило ЛопиталяPractical lesson 2. L’Hospital’s ruleЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.7 (часть 1). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 1)Тест 1.1.7 (Часть 2). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 2)Теоретический материал (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Теоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.8. Асимптоты графика функцииВидеолекция. Дифференциальное и интегральное исчислениеLecture. Differential and Integral CalculationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица интеграловТест 1.2.1. Неопределенный интегралВидеолекция. Неопределенный интеграл: методы интегрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.Практическое занятие. Внесение функции под знак дифференциалаPractical lesson. Adding a function under the sign of the differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.2. Методы интегрированияВидеолекция 1. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)Видеолекция 2. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)Практическое занятие 1. Интегрирование иррациональных выражений (часть 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)Практическое занятие 2. Интегрирование тригонометрических функцийPractical lesson 2. Integration of trigonometric functionsЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.3. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функцийВидеолекция. Определенный интеграл: интеграл РиманаLecture. Definite integral: Riemann integral. Практическое занятие 1. Вычисление определенного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.4. Определенный интегралВидеолекция LectureЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.5 Приложения определенного интегралаВидеолекция. Несобственный интегралыLecture. Improper integralЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.6. Несобственные интегралыВидеолекция 1. Функции нескольких переменныхLecture 1. Functions of Multiple VariablesВидеолекция 2. Частные производныеLecture 2. Partial derivativesПрактическое занятие. Функция двух переменныхPractical lesson. Function of several variablesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.3.2. Дифференцирование функции нескольких переменныхQuiz 1.3.2Видеолекция 1. Дифференцирование сложной функции, заданной неявноLecture 1. Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидеолекция 2. Производная по направлению. ГрадиентLecture 2. The directional derivative and the gradientПрактическое занятие 1. Производная по направлению, градиентPractical lesson 1. The directional derivative, the gradientПрактическое занятие 2. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition Практическое занятие 3. Дифференцирование сложной функции и дифференцирование функции, заданной неявноPractical lesson 3. Differentiation of a composite function and differentiation of implicitly defined functionЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.3. Частные производныеQuiz 1.3.3Видеолекция 1. Экстремум функции двух переменныхВидеолекция 2. Экстремумы функции в замкнутой областиЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.4. Экстремум функции двух переменныхQuiz 1.3.4Видеолекция 1. Двойной интеграл Lecture 1. Double integral Видеолекция 2. Вычисление двойного интегралаLecture 2. Calculation of the double integralПрактическое занятие 1. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralПрактическое занятие 2. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 2. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельного решения (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельного решения (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.5. Двойной интегралQuiz 1.3.5Видеолекция. Криволинейные интегралыLecture. Curvilinear integralsПрактическое занятие. Вычисление криволинейные интегралов I и II родаPractical lesson. Calculating curvilinear integrals 1 and 2 kind Задачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.6. Криволинейные интегралыАттестация по модулю 1Итоговое тестирование по курсу (2-1)Видеолекция 1. Система линейных уравнений: основные понятияПрактическое занятие 1. Системы линейных уравненийPractical lesson (part 1). Systems of linear equationsТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Видеолекция 2. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаПрактическое занятие 2. Решение систем линейных уравнений методом гауссаPractical lesson (part 2). The system of linear equationsТеоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Видеолекция 3. Исследование систем линейных уравненийLecture 3. A system of linear equationsPractical lesson (part 3). The system of linear equationsПрактическое занятие 3. Исследование систем линейных уравненийТеоретический материал (лекция 3)Задачи для самостоятельной работы 3Решения задач 3Тест 2.1.1. Системы линейных уравненийСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Векторное пространствоLecture 1. Vector spaceВидеолекция 2. линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemПрактическое занятие 1. Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1. Исследование систем линейных уравненийLecture 1. Study systems of linear equationsВидеолекция 2. Однородная система линейных уравненийLecture 2. Homogeneous system of equationsПрактическое занятие 1. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравненийPractical lesson 1. Fundamental system of solutionsПрактическое занятие 2Practical lesson 2Теоретический материал (лекция 1)Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.1.3. Исследование систем линейных уравненийСправочникВидеолекция 1. Матрицы и определителиLecture 1. Matrix determinantВидеолекция 2. Операции над матрицамиLecture 2. Operations on matricesВидеолекция 3. Обратная матрицаLecture 3. Inverse matrixПрактическое занятие 1. Операции над матрицамиPractical lesson 1. The operations on matrices Практическое занятие 2. Вычисление определителейТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Теоретический материал (лекция 3)Тест 2.1.4. МатрицыQuiz 2.1.4. MatricesСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Прямоугольная декартова система координатLecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemТеоретический материалПрактическое занятие. Решение задач в координатахPractical lesson. Solution of problems in coordinatesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.2.1. Декартова система координатСправочникВидеолекция 1. Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsВидеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themТеоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1. Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson. Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2. Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1. Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТеоретический материалТест 3.1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1. Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3.4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3.5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2. Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1). Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2. Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1. Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2). Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)

Векторы для чайников. Часть 2. Скалярное и векторное произведение. — Блог

Логическое продолжение статьи «Векторы для чайников. Часть 1». В первой части рассказывается о том, что такое вектор и о простейших операциях с векторами (сложение и разность векторов, умножении вектора на число).

На этом котики кончаются и начинается злая математика.

 

 

Скалярное произведение векторов

 

Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математикам было это достаточно и они не придумали что-то еще.

Скалярное произведение векторов  ā и b̅ — это ЧИСЛО, которое равно произведению длин векторов ā и b̅ и косинуса угла между ними: 

 

С математической точки зрения скалярное произведение безразмерно — это просто число и все. Скалярное произведение векторов часто применяется в физике и размерность скалярного произведения будет уже зависеть от конкретной задачи. 

Типовая задача при которой используется скалярное произведение — это работа постоянной силы, где в качестве векторов принимаются постоянная сила F, применяемая к какому-то объекту и вектор перемещения s. В этом случае скалярное произведение векторов — это конкретное число — работа силы. Так как работа измеряется в Джоулях и каждый вектор имеет свой физический смысл, то и результат скалярного произведения в данном случае будет измеряться в Джоулях.
 

Векторное произведение векторов

 

Так иногда бывает, что для полного счастья математикам нужно что-то еще, и если скалярное произведение еще может быть знакомо со школы, то векторное произведение чаще всего изучают в ВУЗе на курсах вышмата.

Обрадую всех вас — если все, что происходило до этого работало и в двухмерном и в трехмерном пространстве, то векторное произведение векторов подразумевает работу ТОЛЬКО с трехмерным пространством. (Стало проще, да ведь?)

В данном произведении участвуют также 2 вектора. Отличие от скалярного произведения тех же двух векторов будет в том, что в результате векторного произведения получается ВЕКТОР, а не число.

Формальное определение:
 

Векторным произведением  ā x b̅  неколлинеарных векторов  ā и b̅, взятых в определенном порядке, называется ВЕКТОР ā x b̅ , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ā x b̅  ортогонален векторам  ā и b̅, и направлен так, что базис (ā; b̅;ā x b̅) имеет правую ориентацию.

 

 

Это определение сложное и требует некоторых комментариев:

1. 

Векторы ā и b̅ по определению должны быть неколлинеарны. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Таким образом такие векторы могут называться параллельными, но так называть вектора просто не принято — их называют коллинеарными. Касаемо ситуации с векторным произведением — векторы должны быть, наоборот, непараллельными.

2.

 Важен порядок векторов. От этого зависит направление результата.

3.

Длина результирующего вектора равна площади заштрихованного параллелограмма. 

4.

Результирующий вектор ортогонален векторам  ā и b̅, т.е.  ā ┴ [ā x b̅]  и  b ┴ [ā x b̅]

5.

Результирующий вектор  направлен так, что базис (ā; b̅;ā x b̅) имеет правую ориентацию. 

Мысленно совместите указательный палец с вектором ā и средний палец с вектором b̅. Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – результирующий вектор [ā x b̅] будет смотреть вверх. Это правоориентированный базис.

Указательный палец левой руки с тем же вектором  ā, а средний – с вектором b̅. При этом большой палец будет неизбежно смотреть вниз – по направлению вектора . Это левый или левоориентированный базис.

Эти базисы не являются чем-то абстрактным. Примером может служить изображение и его отражение в зеркале. Самое обычное зеркало меняет ориентацию пространства, а изображение и зеркальное отражение этого отображения невозможно просто наложить друг на друга (попробуйте совместить «базисы» левой и правой руки, после чего станет понятно, что указательные и средние пальцы не совмещаются).

 

Что же будет, если вектора  ā и будут коллинеарны (т.е. параллельны, говоря на простом языке) — все просто, параллелаграм, который образуется этими векторами “складывается” в плоскую прямую, а площадь такой прямой равна нулю, из-за чего и результирующий вектор равен нулевому.  

Скалярное произведение векторов, свойства, координатное представление — ПриМат

Определение 1. Пусть заданы два ненулевых вектора $a$ и $b$, число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, назовем их скалярным произведением. $$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)$$ В случае, если хотя бы один из векторов нулевой, будем считать их скалярное произведение равным нулю.

Также существуют другие определения скалярного произведения векторов.

Определение 2. Пусть заданы два ненулевых вектора, число, равное произведению длины первого и величины проекции второго вектора на первый, назовем их скалярным произведением. $$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\}$$

Определение 3. Пусть два произвольных вектора заданы своими координатами, число, равное сумме произведений соответствующих координат, назовем скалярным произведением этих векторов.

Докажем эквивалентность первого и второго определений, эквивалентность третьему будет доказана позднее.

Лемма. Первое и второе определения эквивалентны, т.е. $$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\}.$$

Воспользуемся определением проекции вектора на ось (другой вектор), откуда получим, что $\left\{pr_{a}b\right\} = \left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)$. Домножив обе части полученного равенства на $\left|a\right|$ получим искомое равенство.

Алгебраические свойства

  1. $\left( a,b \right) = \left( b,a \right)$ (коммутативность).

    Если хотя бы один вектор нулевой, то равенство достигается по определению. Рассмотрим случай ненулевых векторов:$$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right).$$ Умножение коммутативно, следовательно $\left|a\right|\left|b\right| = \left|b\right|\left|a\right|$. Также $\cos\angle\left(a,b\right) = \cos\angle\left(b,a\right)$. Тогда, по определению: $$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right) = \left|b\right|\left|a\right|\cos\angle\left(b,a\right) = \left( b,a \right).$$

    Следствие. $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\} = \left|b\right|\left\{pr_{b}a\right\}$.

  2. $\left(\lambda a,b \right) = \lambda\left( a,b \right)$, $\forall\lambda\in\mathbb{R}$.

    Если один из векторов нулевой или $\lambda = 0$, то доказательство очевидно. Рассмотрим общий случай: $$\left(\lambda a,b \right) = \left|\lambda a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(\lambda a,b\right),$$ если $\lambda > 0$, то $$\left|\lambda a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(\lambda a,b\right) = \lambda\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left( a,b\right) = \lambda\left(a,b\right),$$ если $\lambda < 0$, то $$\left|\lambda a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(\lambda a,b\right) = -\lambda\left|a\right|\left|b\right|\left(-\cos\angle\left( a,b\right)\right) = \lambda\left(a,b\right).$$

    Следствие. $\left(a,\lambda b\right) = \left(\lambda b, a\right) = \lambda\left(b, a\right)$.

  3. $\left(a+c,b\right) = \left(a,b\right)+\left(c,b\right)$.

    Воспользуемся вторым определением и свойствами величины проекции вектора. $$\left(a+c,b\right) = \left|b\right|\left\{pr_{b}\left(a+c\right)\right\} = \left|b\right|\left(\left\{pr_{b}a\right\}+\left\{pr_{b}c\right\}\right) =$$ $$= \left|b\right|\left\{pr_{b}a\right\} + \left|b\right|\left\{pr_{b}c\right\} = \left(b,a\right) + \left(b,c\right) = \left(a,b\right) +\left(c,b\right).{2}\geqslant 0.$$

    Следствие. $\left|a\right|=\sqrt{\left(a,a\right)}$.

Теорема (неравенство Коши-Буняковского). Пусть заданы векторы $a$ и $b$, тогда выполняется неравенство: $$\left|\left(a,b\right)\right|\leqslant \left|a\right|\left|b\right|$$

Сначала рассмотрим случай равенства: $$\left|\left(a,b\right)\right| = \left|a\right|\left|b\right|,$$ $$\left|\left(a,b\right)\right| — \left|a\right|\left|b\right| = 0,$$ $$ \left|a\right|\left|b\right|\left(\cos\angle\left(a,b\right) — 1\right) = 0,$$ $$\left[
\begin{array}{1 1} \left|a\right| = 0, \\\left|b\right| = 0, \\\left|\cos\angle\left(a,b\right)\right| = 1 \Rightarrow a\|b.\end{array}\right. $$Таким образом равенство достигается в случае коллинеарных или нулевых векторов. Теперь рассмотрим общий случай. Пусть даны два ненулевых вектора $a$ и $b$, тогда $$\left|\cos\angle\left(a,b\right)\right|\leqslant 1,$$ домножим обе части на длины векторов $$\left|a\right|\left|b\right|\left|\cos\angle\left(a,b\right)\right|\leqslant \left|a\right|\left|b\right|,$$ $$\left|\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)\right|\leqslant \left|a\right|\left|b\right|,$$ $$\left|\left(a,b\right)\right|\leqslant \left|a\right|\left|b\right|.$$

Геометрические свойства

Рассмотрим геометрические свойства скалярного произведения двух ненулевых векторов, тогда $\left|a\right|\neq 0$ и $\left|b\right|\neq 0$.

  1. $\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — острый.

    $\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \cos\angle\left(a,b\right)>0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — острый

  2. $\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — тупой.

    $\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \cos\angle\left(a,b\right)<0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — тупой

  3. $\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — прямой, $a\perp b$.

    $\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \cos\angle\left(a,b\right)=0 \Leftrightarrow \angle\left(a,b\right)$ — прямой, $a \perp b$.

Также из определения вытекает формула для нахождения косинуса угла между векторами: $$\cos\angle\left(a,b\right) = \frac{\left(a,b\right)}{\left|a\right|\left|b\right|}$$

Скалярное произведение в координатах

Теорема. Пусть два вектора заданы своими координатами, тогда их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат: $$a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),$$ $$\left(a,b\right) = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.$$

Рассмотрим два способа доказательства:

I способ

Пусть $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$, отложим векторы $\overline{\rm OA} = a$ и $\overline{\rm OB} = b$ от начала координат — точки $O\left(0,0,0\right)$. Тогда: $$\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right) = \left|\overline{\rm OA}\right|\left|\overline{\rm OB}\right|\cos\angle\left(\overline{\rm OA},\overline{\rm OB}\right).$$

По построению: $$A\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), \left|a\right|=\left|\overline{\rm OA}\right| = \sqrt{x_{1}^2+y_{1}^2+z_{1}^2},$$ $$B\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right), \left|a\right|=\left|\overline{\rm OB}\right| = \sqrt{x_{2}^2+y_{2}^2+z_{2}^2}.2}{2}=$$ $$=\frac{2x_{1}x_{2}+2y_{1}y_{2}+2z_{1}z_{2}}{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.$$

Это доказательство можно провести и в обратную сторону, таким образом доказана эквивалентность первого и третьего определений.

II способ

Пусть система координат задана единичными взаимно перпендикулярными векторами $i,j,k$ (базисные векторы), тогда $$\left|i\right|=\left|j\right|=\left|k\right|=1,$$ $$\left(i,j\right)=\left(i,k\right)=\left(j,k\right)=0,$$ $$\left(i,i\right)=\left(j,j\right)=\left(k,k\right)=1.$$ А векторы $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),$ можно представить в виде сумм: $$a = x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k,$$ $$b = x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k.$$

Теперь воспользуемся алгебраическими свойствами скалярного произведения: $$\left(a,b\right)=\left(x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right)=$$ $$= x_{1}\left(i,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right) + y_{1}\left(j,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right) + z_{1}\left(k,x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k\right)=$$ $$= x_{1}x_{2}\left(i,i\right)+x_{1}y_{2}\left(i,j\right)+x_{1}z_{2}\left(i,k\right)+y_{1}x_{2}\left(j,i\right)+y_{1}y_{2}\left(j,j\right)+y_{1}z_{2}\left(j,k\right)+$$ $$+ z_{1}x_{2}\left(k,i\right)+z_{1}y_{2}\left(k,j\right)+z_{1}z_{2}\left(k,k\right)=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.2}}.$$

Следствие. Пусть $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)$, $$a \perp b \Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2} = 0$$

Примеры решения задач

  1. Даны векторы $a=\left(2,5,-1\right)$ и $b=\left(3,2,15\right)$. Найти скалярное произведение $\left(a,b\right)$.
    Решение

    Воспользуемся определением через координаты, тогда: $$\left(a,b\right)=2\cdot3+5\cdot2-1\cdot15=1$$

  2. Даны векторы $a=\left(7,11,x\right)$, $b=\left(10,-5,3\right)$, $a\perp b$. Найти $x$.
    Решение

    Воспользуемся следствием для перпендикулярных векторов:$$a\perp b \Leftrightarrow \left(a,b\right)=0$$ $$7\cdot10-11\cdot5+3x=0$$ $$3x=-15$$ $$x=-5$$

  3. Даны векторы $a$ и $b$, $\displaystyle\left|a\right|=15, \left|b\right|=\frac{1}{3}, \angle\left(a,b\right)=\frac{2\pi}{3} $. Найти их скалярное произведение.
    Решение

    Воспользуемся стандартным определением:$$\left(a,b\right)=\left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)=$$ $$=15\cdot\frac{1}{3}\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=$$ $$=15\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-2.2}}=$$ $$=\frac{-11\cdot13}{13}=-11$$

Скалярное произведение векторов

Лимит времени: 0

Информация

Тест на знание темы «Скалярное произведение векторов, свойства, координатное представление»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат

 

 
Ваш результат

 

 
максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре
  1. Задание 1 из 6

    Количество баллов: 1

    Найти скалярное произведение векторов $a=\left(12,2,5\right)$ и $b=\left(1,-20,7\right)$

  2. Задание 2 из 6

    Количество баллов: 4

    Выберите правильные утверждения:

    • $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\cos\angle\left(a,b\right)$
    • $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left\{pr_{a}b\right\}$
    • $\left( a,b \right) = \left\{pr_{b}a\right\}\left\{pr_{a}b\right\}$
    • $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),$ $\left(a,b\right) = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$
    • $a=\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right), b=\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),$ $\left(a,b\right) = x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2}+z_{1}+z_{2}$
    • $\left( a,b \right) = \left|a\right|\left|b\right|\sin\angle\left(a,b\right)$
    • $\left( a,b \right) = \left|b\right|\left\{pr_{b}a\right\}$
  3. Задание 3 из 6

    Количество баллов: 2

    Найдите длину вектора $a$, если вектор $b=\left(4,3,5\right)$, $\angle\left(a,b\right)=\frac{\pi}{4}$, а $\left(a,b\right)=25.2}$

  4. Задание 4 из 6

    Количество баллов: 5

    Отсортируйте по возрастанию углов $\angle\left(a,b\right)$

    • $a=\left(3,5,1\right), b=\left(6,10,2\right)$

    • $a=\left(4,-2,5\right), b=\left(3,3,6\right)$

    • $a=\left(1,2,3\right), b=\left(-3,0,1\right)$

    • $a=\left(-10,-20,0\right), b=\left(3,1,30\right)$

    • $a=\left(9,-3,21\right), b=\left(-21,7,-49\right)$

  5. Задание 5 из 6

    Количество баллов: 3

    Сопоставьте характеристику угла между векторами и характеристику их скалярного произведения.

    • $\angle\left(a,b\right)$ — острый
    • $\angle\left(a,b\right)$ — прямой
    • $\angle\left(a,b\right)$ — тупой
  6. Задание 6 из 6

    Количество баллов: 2

    Заполните пропуски

Смотрите также

  1. Воеводин В. уравнение запишется:

    x = x пр =  пр x

    (2)

    В физике работа постоянной силы при прямолинейном перемещении вдоль вектора пути находится как скалярное произведение этих векторов:

    x cos =  x 

    Основные свойства скалярного произведения

    Скалярное произведение 2 векторов имеет 4 основных свойств. Так как практически в каждом примере, где нужно находить скалярные произведения, необходимо хорошо знать  свойства, рассмотрим их:

    1. Скалярное произведение коммутативное (получается из формулы 1):

    x  =  x 

    2. Числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

    x  = x  x 

    3. Для произвольных векторов  ,  ,  :

    x  +  =  x  +  x 

    4. Скалярное произведение 2 векторов  и равняется нулю x  тогда, и только тогда, когда один из них нулевой вектор, или когда эти векторы перпендикулярны

    Определение

    Скалярное произведение векторов в координатной форме

    При помощи основных свойств, которые расписаны выше, можем находить скалярное произведение в координатной форме.

    Если  = , тогда  x  =

    Действительно, при помощи свойств, у нас получается:

    + +

    Как помним, произведение одноимённых ортов равняется 1, а разноимённых = 0, тогда получаем форму скалярного произведения в координатной форме:

    x =

    (3)

    Формулы для нахождения скалярного произведения

    Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо знать не только свойства, но и несколько важных основных формул, которые подводят к правильному решению.

    Длина вектора

    Если в формуле (1) , тогда:

    .

    (4)

    Расстояние между двумя точками

    Допустим, есть две точки:

    1. ;
    2. .

    Находится как длина вектора = по формуле (4):

    (5)

    Косинус угла между двумя векторами

    Косинус угла между двумя векторами получим из формулы (1) с учётом (3) и (4):

    =

    (6)

    Условия перпендикулярности двух ненулевых векторов

    и выходит из свойства 4 и формулы (3):

    (7)

    Проекция вектора на вектор

    Проекция вектора на вектор находится с учётом формул (3) и (4):

    пр = = .

    (8)

    пр = = .

    (9)

    Декартовые прямоугольные координаты вектора в базисе есть его проекциями на соответствующие оси координат.

    Действительно, согласно формуле (9) получается:

    пр =  = = , пр = = , пр = = .

    Направляющие косинусы вектора

    Направляющие косинусы вектора называются косинусы углов , созданные между вектором и координатными осями .

    = = = , = = ,  =  

    (10)

    Примеры нахождения скалярного произведения и направления векторов

    Зная все необходимые формулы, легко найти не только скалярное произведение вектора, но и длину сторон, косинус угла, площадь, модуль вектора и т. д. Посмотрите, как решаются задачи при помощи основных формул, которые рассмотрены выше.

    Следующий пример тоже на нахождение скалярного произведения, но решение будет немного другим, хоть и по той же формуле, что и первый пример.

    Пример 2

    Задача

    Даны точки Найти скалярное произведение векторов .

    Решение

    Сначала найдём векторы:

    Согласно формуле (3) получается:

    Часто попадаются и примеры, где нужно найти площадь, длину сторон, косинус и синус угла. Рассмотрим на примере:

    Пример 3 Пример 4 Пример 5

    Скалярное произведение — Справочник химика 21

        Первое свойство (У.4) —равенство нулю скалярных произведений всех вектор-столбцов — называется свойством ортогональности матрицы планирования. Это свойство резко уменьшает трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений (X X) становится [c.160]

        Здесь в первом равенстве стоит произведение V на реальный скаляр Ф, во втором-скалярное произведение V на реальный вектор а. [c.409]


        Поскольку вектор вариации конечной точки ебх (ц) и вектор нормали отсекающей плоскости к (т ,) расположены ио разные стороны от нее, скалярное произведение этих векторов должно быть отрицательным, т. е. с учетом выражения (VI 1,63) иолучим  [c.333]

        С помощью скалярного произведения определяется так ке угол между векторами [c.554]

        Векторы х и х называются ортогональными, если нх скалярное произведение равно нулю  [c.554]

        Скалярное произведение обладает следуюи ими свойствами  [c.554]

        Термин ортогональность является в известной мере условным и основан на отождествлении интеграла (4.20) со скалярным произведением двух бесконечномерных векторов, которое, как известно из векторного исчисления, равно нулю только тогда, когда эти векторы ортогональны друг другу. [c.164]

        Здесь v > — вектор v — линейная функция, переводящая произвольный вектор с в . Результат действия линейного отображения lv> или просто v. Из (3.192) видна самосопряженность К относительно скалярного произведения и ее отрицательная определенность в инвариантном подпространстве 5, являющемся линейной оболочкой векторов V . Все собственные значения К — отрицательные действительные числа, поэтому ТДР является устойчивой по первому приближению точкой типа узел , и вблизи нее невозможны затухающие периодические колебания. Такие колебания, однако, возможны, пока система находится вдали от ТДР. При этом концентрации некоторых веществ могут многократно, но ограниченное число раз, проходить через локальные экстремумы, общее число которых определяется как типом кинетики, так и механизмом сложного процесса. Для кинетики Аррениуса и линейного механизма общее число колебаний не превышает — 1 раз [85]. [c.242]

        На стадии обработки экспериментальных данных, следовательно, прежде всего необходимо вычислить ранг матрицы А. Формально он равен числу линейно независимых столбцов и при точных вычислениях обычно совпадает с рангом нормальной матрицы А А. На самом деле, однако, элементы А А суть скалярные произведения типа [c.446]

        Следовательно, любой коэффициент уравнения регрессии определяется скалярным произведением столбца у на соответствующий столбец х , деленным на число опытов в матрице планирования М  [c.162]

        Пример 6. Составим программу вычисления скалярного произведения двух векторов А = (aj, а ,. . ., а ) и В = Ь , 6 ,. . Ь ) по формуле [c.379]

        Вычисление скалярного произведения оформим в виде подпрограммы-функ-ции, а обращение к ней из вызывающей программы будем производить с переменными измерениями массивов. [c.379]

        Примере. Составить программу для вычисления скалярного произведения векторов [c.90]

        Скалярное произведение векторов есть число, для обозначения которого введем идентификатор т. Алгоритм заключается в том, что произведения соответствующих элементов массивов А п В будут складываться со значением переменной т, начальное значение которой, очевидно, должно быть равно нулю. Процесс повторяется до тех пор, цока не будет прибавлено произведение последних элементов. Следовательно, необходимо организовать цикл по индексу г, который изменяется от 1 до к. [c.90]


        В качестве примера рассмотрим процедуру-функцию вычисления скалярного произведения двух векторов А тя. В размерности п. [c.114]

        Распознающие свойства эталонов переключений проверяются на той же обучающей последовательности. Для этого строки корреляционных матриц сравниваются последовательно с каждым из трех эталонов + , О и — и вычисляются соответствующие меры сходства. В качестве меры сходства (близости) траекторий к прототипам переключений используются (как наиболее простые) меры типа скалярного произведения х / р [c.123]

        Здесь скалярное произведение определяется в пространстве 2 10. и1 объект с весовой функцией К ( ) имеет конечную память t и (1) — входной сигнал у ( ) — наблюдаемый сигнал на выходе системы (О, — интервал наблюдения системы I — время (см. 8.5).  [c.241]

        Здесь скалярное произведение определяется в пространстве 2[О, в1 объект с весовой функцией К (г) имеет конечную память п , и ( ) — входной сигнал у 1) — наблюдаемый сигнал на выходе системы (О, — интервал наблюдения системы ( — время. [c.475]

        Скалярное произведение векторов энергетических переменных е и определяет мощность, передаваемую по векторной связи [c.53]

        Поскольку как возмущенный, так и невозмущенный потоки (и, следовательно, бф) должны исчезать на указанной поверхности, то интеграл (13.66) обращается в нуль. Если теперь ввести условие, чтобы ф» тоже исчезло на поверхности 5, то интеграл (13.65) также исчезает. Таким образом, первые интегралы в правых частях уравнений (13.63) и (13.64) обращаются в нуль, и, поскольку порядок сомножителей в скалярном произведении несуществен, вторые интегралы равны [c.579]

        Р ж т. п.) нижние индексы обозначают элементы некоторой последовательности р1, Н1). Под вектором обычно понимается вектор-столбец. Значок т сверху, как уже отмечалось, означает транспонирование. Скалярное произведение двух векторов х, у обозначается двумя способами  [c.31]

        Правая часть (11,213) по неравенству Коши является неотрицательной (скалярное произведение векторов Я/»а и Я, /, не превосходит произведения их норм) и обращается в нуль лишь при условии Н.1 х = ХН / у1, т. е. в силу положительной определенности я/, при условии X = Хг/ , где X — некоторый скаляр. Таким образом, левая часть (11,212) неотрицательна. Покажем, что если р > О, то обращается в нуль лишь при а = О, [c.78]

        Действительно, проанализируем скалярное произведение г = (х, А у) [c.262]

        Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов, заданных координатами. Длина вектора Расстояние между двумя точками. Угол между векторами. Направляющие косинуса вектора. [c.147]

        Будьте осторожны Скалярное произведение V и реальною вектора не обладает вмми свойствами скалярного произведения векторов так, например, и V V м. [c.409]

        Полученное соотнонюнне (VI 1,38) и является аналитически м в ы р а ж е и и с м принципа максимума. Оно означает, что в каждой точке траектории оптимальное управляющее воздействие должно выбираться из условия достижения максимального значення величины скалярного произведения 1оптимальное управление определяется как ( пункция величин х и X, т. е. как функция положения точки на траектории х (/ ) и вектора нормали отсекающей плоскости % (/), проведенной через данную точку. [c.329]

        Для использования соотношения (VII,38) при решении оптимальной задачи необходимо еще иметь уравнения, oпи ывaюп иe изменение вектора к вдоль траектории. Для вывода этих уравнений потребуем дополнительно, чтобы скалярное произведение (VII,33) было постоянной неположительной величиной вдоль траектории, т. е. [c.329]

        В /г-мерпом нространстве находится скалярное произведение двух векторов (2) [c.554]

        Из оиределения скаля1)ного пронзнедеиия (33) следует, что скалярное произведение вектора X на самого себя всегда будет неотрицательной величиной, так как [c.554]

        Заметим, что для кинетики Марселина — Де-Донде с симметричной положительно определенной матрицей также можно ввести новое скалярное произведение в V, для которого запись (3.190) остается справедливой. Для этого рассмотрим выражение (3.14) в окрестности точки детального равновесия  [c.241]

        Обозначим матрицу В = д]Х11дс 1 с=с — С учетом этого обозначенид (3.191) приобретает вид ю с) = = —ю (хз), 5(с—с ) + 0( с—с П), где (, ) — обычное скалярное произведение. Так как В — симметричная положительно определенная матрица, введем скалярное произведение в V = (я, ВЬ). Отсюда и> с) = = , и окончательно матрица линейного приближения К как для кинетики Аррениуса, так и для кинетики Марселина — Де-Донде с использованием бра-кет обозначений Дирака имеет вид [43, 85] [c.242]

        Т. е. элемент, находящийся в матрице-прои,зведении на пересечении 1-ой строки и /-0Г0 столбца, есть скалярное произведение 1-ой строки матрицы А на -ый столбец транспонированной матрицы Отсюда следует, что если элементами матриц А и А являются нули и единицы, то элементами матрицы В будут числа аппаратов, общих для сравниваемых продуктов. Например, продукты Р) и Рг не имеют общих аппаратов, а продукты [c.217]

        Блок-схема состоит из входного (рецепторного) устройства, функциональных преобразователей коэффициентами усиления у (к) и диграторов Д. [c.89]

        Норма здесь и далее евклидовая. Открытый шар единичного радиуса в с центром в О будем обозначать Вп и скалярное-произведение векторов х, у записывать в виде х у. [c.185]

        Необходимым и достаточным условием выпуклости квадратичной функции / является положительная определенность матрицы Л [146, с. 39] Приведем следующзгю теорему необходимым и достаточным условием того, что точка х есть точка минимума выпуклой дифференцируемой функции / (х) на многообразии S, проходящем через х и параллельном подпространству, натянутому на pi,. . ph, является обращение в нуль скалярного произведения [c.263]

        Пусть теперь точка и лежит на некоторых поверхностях = 0. Тогда в указанной точке выполняется условие (V,34). Возьмем единичный вектор I, имеющий начало в точке v и направленный внутрь области Z>2- Скалярные произведения этого вектора на gradip/ (/ = = 1,. . р) будут все неположительны, поскольку grad if), направлен во вне области как показано на рис. 46 (внутри области 0), а вектор I направлен внутрь области D - [c.97]


        Пусть В — радиус вектор одного атома молекулы относительно друго го, а Р — импульс одного атома относительно другого. Будем обозна чать (а, Ь) — скалярное произведение векторов а и Ь, [а, Ь] — их вектор ное произведение, а I а I — модуль врктора а. В этих обозначениях колеба- [c.62]

    26 Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.

    Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается или . (1)

    Если хотя бы один из векторов – нулевой вектор то скалярное произведение равно 0.

    Через m и n обозначим оси определяемые единичными векторами и .

    Вместо (1) мы можем написать

    Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Например если -сила, точка приложения которой перемещается из начала вектора в конец, то работа при этом совершаемая равна .

    Свойства скалярного произведения:

    1) (2) – коммутативность.

    2) (3)

    (3’)

    Доказательство: (3) – доказано.

    3)Дистрибутивность

    Доказательство :

    Из первых трех свойств вытекает, что скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов можно производить почленно. Отметим некоторые геометрические свойства скалярного произведения:

    4)Для того, чтобы , необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из векторов равнялся 0 или .

    5)

    Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:

    Пусть в пространстве задана ДПСК. Составим таблицу скалярных произведений базисных векторов.

    Пусть

    Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов:

    Если и вектор составляет с осями координат углы тогда . называются направляющими вектора .

    Если то

    .

    Пусть задана координата двух точек и тогда

    .

    27. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.

    Определение: Векторным произведением векторов и называется вектор обозначаемый который удовлетворяет трем следующим условиям: 1.

    2. Вектор перпендикулярен векторам и .

    3. Тройка векторов ,, является правой.

    Рассмотрим основные свойства векторного произведения: 1) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости( коллинеарности) векторов и .

    2) Если не параллелен то площади параллелограмма построенного на векторах и , точка О – произвольная. Это утверждение следует из условия 1 векторного произведения векторов и известной теоремы из школьной геометрии: площадь треугольника

    3)

    Доказательство:

    4)

    Доказательство: Докажем равенство (а). При α=0 или параллельном утверждение очевидно. Пусть α≠0 и не параллельно .

    Правая часть:

    Левая часть: 1. α >0

    2. α <0

    Векторы в обеих частях коллинеарны так как и тот и другой перпендикулярны векторам и , осталось доказать что эти векторы соноправленны. Если α >0 то эти векторы направлены также как и . Если α <0, то каждый из этих векторов направлен противоположно вектору (ч.т.д.)

    Равенство (б) следует из (а) и свойства (3):

    5) Дистрибутивность:

    Доказательство: Докажем равенство (а’). Пусть единичный вектор(орт ).. Сначала докажем равенство .

    От точки О отложим векторы и . Через точку О проведем плоскость перпендикулярную . Повернем по часовой стрелке на 90 градусов если смотреть с конца вектора . . — правая тройка. . Значит . Докажем равенство(*). Повернем треугольник OA’B’ на угол 90 градусов если смотреть с конца вектора .

    (*) доказана. Теперь обе части равенства (*) умножим на : (ч.т.д.)

    Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Если задано разложение векторов и по векторам базиса то мы можем записать на основании свойств 4 и 5:

    В ортонормированном базисе : . (+ если тройка векторов правая, — если левая)

    Для определенности будем считать что базис всегда правый. Таким образом получим следующее утверждение: В ортонормированном базисе векторное произведение векторов выражается через координаты сомножителей следующей формулой: .

    Чтобы запомнить эту формулу достаточно заметить что если разложить определитель по элементам первой строки, то мы получим правую часть(**).

    Таким образом произведение не

    Замечание: Векторное обладает свойством ассоциативности. Например:

    4. Векторы. Скалярное и векторное произведения векторов.

    п.1. Скалярное произведение векторов.

    Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

    Обозначение: .

    Теорема. (Свойства скалярного произведения.)

    1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

                             , .

    2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:

                  или  или .

    3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

                               .

    4).  .

       Доказательство. Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.

    Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)

    1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложениявекторов:

                         ,  .

    2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярногопроизведения:

                 , , .

       Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:

    .

    Второе свойство доказывается аналогично.

    Теорема доказана.

    Замечание. Скалярное произведение можно рассматривать как числовую функцию от двух переменных, определенную на декартовом квадрате  множества векторов :

                                            ,

    т.е. , .

    Тогда, свойства теоремы могут быть записаны так:

    1) , ;

    2) , , .

    Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.

       В силу коммутативности,  скалярное произведение какфункция двух переменных линейна и по второму аргументу, т.е. справедливы еще два свойства:

    3) ,  ;

    4) , , .

    Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

       Другими словами, пусть , . Тогда

                                 .                       (1)

       Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональныхвекторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1 , получаем:

             

          

         

          

    , ч.т.д.

    Теорема доказана.

    Следствие 1. Пусть . Тогда .

       Доказательство. Эта формула нам уже известна. Здесь ее можно получить, используя равенство (1), в котором положим :

           ,

    откуда и следует доказываемая формула.

    Следствие доказано.

    Следствие 2. Пусть , . Тогда

    .

       Доказательство. Очевидно.

    п.5. Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.

    Теорема. Пусть , , . Тогда:

    1) ;

    2) .

       Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторногопроизведения:

     

    .

       Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:

                      .

    Рассмотрим другие векторные произведения базисных векторов:

                          

                                                рис.4.

    , , .

    Эти равенства легко устанавливаются с помощью рис.4.

    Отсюда следует: 

    , ч.т.д.

    2) Воспользуемся только что доказанной формулой:

            .

    Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:

    , ч.т.д.

    Теорема доказана.

    Замечание. Векторное произведение часто записывают в форме определителя:

                              .

    Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторногопроизведения. Она компактна и удобна для запоминания.

    Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

       Доказательство. С одной стороны,

                      .

    С другой стороны,

                      .

    Но, , откуда и следует утверждение. Далее, т.к. , то

                   .

    Так как определитель не изменяется при транспонировании, то доказанное свойство справедливо и для столбцов определителя.

    Следствие доказано.

    векторов, скаляров и систем координат

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Определение и различие между скалярными и векторными величинами.
    • Назначьте систему координат для сценария, включающего одномерное движение.

    В чем разница между расстоянием и смещением? В то время как смещение определяется как направлением, так и величиной, расстояние определяется только величиной.Смещение — это пример векторной величины. Расстояние — это пример скалярной величины. Вектор — это любая величина с величиной и направлением . Другие примеры векторов включают скорость 90 км / ч на восток и силу 500 ньютонов прямо вниз.

    Направление вектора в одномерном движении задается просто знаком плюс (+) или минус (-). Векторы графически представлены стрелками. Стрелка, используемая для представления вектора, имеет длину, пропорциональную величине вектора (например,g., чем больше величина, тем больше длина вектора) и указывает в том же направлении, что и вектор.

    Некоторые физические величины, например расстояние, либо не имеют направления, либо не указаны. Скаляр — это любая величина, имеющая величину, но не направление. Например, температура 20ºC, 250 килокалорий (250 калорий) энергии в шоколадном батончике, ограничение скорости 90 км / ч, рост человека 1,8 м и расстояние 2,0 м — все это скаляры — величины без указания направления. .Обратите внимание, однако, что скаляр может быть отрицательным, например, температура –20ºC. В этом случае знак минус указывает точку на шкале, а не направление. Скаляры никогда не изображаются стрелками.

    Системы координат для одномерного движения

    Чтобы описать направление векторной величины, вы должны указать систему координат в системе отсчета. Для одномерного движения это простая система координат, состоящая из одномерной координатной линии.В общем, при описании горизонтального движения движение вправо обычно считается положительным, а движение влево — отрицательным. При вертикальном движении движение вверх обычно положительное, а движение вниз — отрицательное. Однако в некоторых случаях, как в случае струи на Рисунке 1, может быть удобнее переключать положительное и отрицательное направления. Например, если вы анализируете движение падающих объектов, может быть полезно определить направление вниз как положительное. Если участники забега бегут влево, полезно определить влево как положительное направление.Это не имеет значения, если система ясна и последовательна. Как только вы зададите положительное направление и начнете решать проблему, вы не сможете ее изменить.

    Глоссарий

    скаляр:
    величина, описываемая величиной, но не направлением
    вектор:
    величина, описываемая величиной и направлением

    Общие сведения о скалярных и векторных величинах

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Скалярные и векторные величины — Скорость, скорость и ускорение — GCSE Physics (Single Science) Revision — Other

    Величина, которая имеет величину, но не имеет определенного направления, описывается как скаляр.Величина, имеющая величину и действующая в определенном направлении, описывается как вектор.

    Скалярные величины

    Скалярные величины имеют только величину (размер).

    Например, 11 м и 15 мс -1 являются скалярными величинами.

    Скалярные величины включают:

    • расстояние
    • скорость
    • время
    • мощность
    • энергия

    Скалярные величины изменяются при изменении их величины.

    Векторные величины

    Векторные величины имеют как величину, так и направление .Например, 11 м на восток и 15 мс -1 при 30 ° к горизонтали являются векторными величинами.

    Векторные качества включают:

    Векторные величины изменяются, когда:

    • их величина изменяется
    • изменяется их направление
    • меняются их величина и направление

    Разница между скалярными и векторными величинами очень важна.

    Скорость — это скалярная величина — это скорость изменения расстояния, пройденного объектом, а скорость — это векторная величина — это скорость объекта в определенном направлении.

    Пример

    Геостационарный спутник находится на орбите над Землей. Он движется с постоянной скоростью, но его скорость постоянно меняется (так как направление постоянно меняется).

    • разница в величинах двух векторов = конечный вектор — начальный вектор
    • разница в двух скалярных величинах = большое значение — малое значение

    20.1 Введение в векторы и скаляры | Векторы и скаляры

    20.1 Введение в векторы и скаляры (ESAGH)

    Мы ежедневно соприкасаемся со многими физическими величинами в мире природы.Например, вещи как время, масса, вес, сила и электрический заряд, являются физическими величинами, с которыми мы все знакомы. Мы знайте, что время идет и физические объекты имеют массу. Вещи имеют вес из-за силы тяжести. Мы прилагаем силы, когда мы открывайте двери, ходите по улице и пинайте мячи. Мы испытываем электрический заряд непосредственно в результате статического разряда в зимой и за счет использования всего, что работает на электричестве.

    В природе существует множество физических величин, и мы можем разделить их на две большие группы, называемые векторов и скаляров .

    Скаляры и векторы (ESAGI)

    Скаляры — это физические величины, которые имеют только числовое значение или размер (величину). Скаляр говорит вам сколько там чего-то.

    Скаляр

    Скаляр — это физическая величина, имеющая только величину (размер).

    Например, человек покупает кадку с маргарином, на которой указана масса \ (\ text {500} \) \ (\ text {g} \).В масса кадки маргарина — величина скалярная. Для его описания достаточно одного числа, в данном случае \ (\ text {500} \) \ (\ text {g} \).

    Векторы отличаются, потому что это физические величины, имеющие размер и направление a. Вектор говорит вам , сколько чего-то есть и в каком направлении это дюйм

    Вектор

    Вектор — это физическая величина, которая имеет как величину , так и направление .{-1} $} \) (это это величина), и мы знаем, куда он движется — на восток (это направление). Эти две величины, скорость и направление автомобиля (величина и направление) вместе образуют вектор, который мы называем скоростью.

    Примеры скалярных величин:

    • масса имеет только значение, без направления

    • электрический заряд имеет только значение, без направления

    Примеры векторных величин:

    • сила имеет значение и направление.Вы толкаете или тянете что-то с некоторой силой (величина) в определенном направлении

    • вес имеет значение и направление. Ваш вес пропорционален вашей массе (величине) и всегда направлен к центру Земли.

    Векторы и скаляры

    Учебное упражнение 20.1

    Классифицируйте следующие элементы как векторы или скаляры

    1. длина

    2. сила

    3. направление

    4. высота

    5. время

    6. скорость

    7. температура

    1. скаляр

    2. вектор

    3. скаляр

    4. скаляр

    5. скаляр

    6. скаляр

    7. скаляр

    Векторное представление (ESAGJ)

    Векторы отличаются от скаляров и должны иметь свои собственные обозначения.Есть много способов написать символ для вектора. В этой книге векторы будут обозначены символами со стрелкой, указывающей вправо над ней. Для Например, \ (\ vec {F} \), \ (\ vec {W} \) и \ (\ vec {v} \) представляют векторов силы, веса и скорости, Это означает, что они имеют величину и направление а.

    Иногда нужна просто величина вектора. В этом случае стрелка опускается. В случае вектор силы:

    временный текст

    Скалярные и векторные — определение и примеры

    Физические величины можно разделить на две категории: скаляры и векторы.Такие величины, как масса или плотность, можно описать только их числовыми значениями и соответствующими единицами измерения. Эти величины называются «скалярами». Однако такие величины, как скорость или сила, требуют указания числового значения и направления. Например, указания значения скорости недостаточно, чтобы понять движение объекта. Необходимо указать направление его движения. Такие величины называются векторами. Физические интерпретации, алгебра и исчисление для двух типов величин сильно различаются.

    Определение скалярной величины

    Скалярная величина имеет только величину и может быть представлена ​​только числом. Скаляр не имеет направления. Сложение скаляров следует общим правилам сложения чисел.

    Величина вектора

    Физическая величина, имеющая как величину, так и направление, называется вектором. Сложение двух векторов не следует из обычной алгебры. Векторная величина обозначается стрелкой над буквой или жирным шрифтом.Геометрически он представлен отрезком линии со стрелкой на одном конце. Стрелка указывает направление, а длина сегмента дает величину.

    Примеры скалярных и векторных величин

    Некоторые общие примеры скалярных величин: масса, время, скорость, объем, температура, плотность и многие другие.

    Смещение, скорость, ускорение, импульс, сила, вес и т. Д. Величины представлены векторами.

    Сложение векторов

    (Изображение будет добавлено в ближайшее время)

    Законы сложения векторов

    Сложение векторов можно определить с помощью любого из следующих законов,

    Закон треугольника: если два вектора обозначены сторонами символа треугольника в том же порядке, результирующий вектор задается третьей стороной треугольника, взятой в обратном порядке.{2} \; 2ab \; cos \ alpha} \]

    Он образует угол с вектором a такой, что

    tan \ [\ theta \] = \ [\ frac {bsin \ alpha} {a + b \; cos \ alpha} \]

    Вычитание вектора может быть выражено как сложение вычитаемого инвертированного вектора.

    Сила скалярная или векторная?

    Сила — это величина, которая может изменить состояние движения объекта. У него есть и величина, и направление. Единица силы в системе СИ — Ньютон (Н).

    Масса скалярная или векторная?

    Масса — это скалярная величина.Это мера инерции объекта. Масса может быть представлена ​​только числом. Единица массы в системе СИ — кг.

    Вес — скалярный или векторный?

    Вес — это векторная величина. Он определяется количеством силы, действующей на объект из-за силы тяжести. Вес объекта на Земле имеет направление к центру Земли. Единица веса в системе СИ — Ньютон (Н).

    Смещение бывает скалярным или векторным?

    Смещение объекта определяется расстоянием по прямой, пройденным объектом за любой заданный интервал времени.Это векторная величина, указывающая от начального до конечного положения тела в пределах этого интервала времени. Единица смещения в системе СИ — метр (м).

    Скорость — скалярная или векторная?

    Скорость объекта — это скаляр, а скорость — вектор. У скорости есть направление, как у смещения. Скорость указывает направление движения. Единицы измерения скорости и скорости в системе СИ — м / с.

    Ускорение скалярное или векторное?

    Ускорение объекта вызвано изменением скорости объекта.Это векторная величина с единицей измерения м / с2.

    Площадь — векторная или скалярная?

    Площадь — это векторная величина. Его величина равна объему пространства внутри любой границы. Нормальное направление к этому пространству связано с областью. Единица СИ — м2.

    Давление бывает скалярным или векторным?

    Давление — это величина нормальной силы на единицу площади. Это скалярная величина, однако сила — это вектор. Паскаль (Па) или Н / м2 — это единица измерения давления в системе СИ.

    Работа бывает скалярной или векторной?

    Работа — это энергия, связанная с силой.Если на тело действует сила, и тело подвергается смещению, то объем проделанной работы является произведением силы и смещения, параллельного этой силе. Работа имеет измерения энергии, которая также является скаляром. Единица работы СИ — Джоуль (Дж).

    Знаете ли вы?

    • Когда объект движется по пути, соединяющему две точки, расстояние измеряется вдоль траектории, тогда как смещение — это кратчайший путь, соединяющий две точки. Следовательно, расстояние меняется, если объект движется по разным траекториям между начальным и конечным положениями.Однако смещение между двумя фиксированными положениями не зависит от пути, по которому движется объект. Расстояние — это скаляр, а смещение — вектор.

    • Скорость и скорость тесно связаны, но разные понятия. Например, скорость объекта остается постоянной во время равномерного кругового движения, но скорость различается в каждой точке, так как направление скорости меняется.

    • Вес тела зависит от его массы. Хотя масса объекта остается неизменной, его вес может изменяться из-за изменения гравитационного поля.

    какая разница между скаляром и вектором? : askmath

    TL: DR. Можете ли вы нанести его на осевую линию? Если так, то это скаляр. Если нет, то это вектор.

    Скаляр типа 1, 2, 3, pi, 0, -1/12, e, phi, x = 20pi + 7, x = ackermann (3, 4), 7.1, 10 100, 2 + 2 , lim_x -> + inf sin (x) и т. д. — это точка на оси, которая полностью покрывает диапазон возможных значений для этого типа объекта.

    Пиксель в градациях серого — это скаляр где-то между светлым и темным.Нефть в баррелях — это скаляр от нуля до бесконечности. Мили на галлон — это скаляр от нуля до бесконечности. Сумма задолженности — это скаляр от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности.

    Возраст Земли — скаляр ( независимо от любых аргументов о плоской Земле или теории новой Земли!)

    Ваша средняя длина волос — это скаляр. Баланс вашего текущего счета представляет собой скаляр где-то между отрицательной бесконечностью и положительной бесконечностью.

    Температура кипения воды как функция давления воздуха является скалярной величиной.Скорость — это скаляр. Расстояние — это скаляр. Каждая улица в атласе — это скаляр.

    Если вы хотите упорядочить любимые музыкальные жанры, вы можете построить звуковые дорожки вдоль линии в соответствии с этими категориями. Конечно, жанры часто сливаются воедино, так что аналогия разваливается для более нишевых музыкальных произведений. Но если вынудить для каждого трека выбрать «рок», «классику» и…, тогда жанр будет действовать как скаляр.

    Ваша высота — скаляр. Выберите любое возможное значение для этих вещей, и вы можете поставить его на линию от одной стороны возможностей к другой.

    Состояние включения и выключения света в булевом пространстве является скаляром. Яркость аналогового диммера является скалярной.

    Угол наклона зубной щетки к линии десен равен скаляру. Линия может быть изогнутой. Отметка времени — это скаляр.

    Максимальная амплитуда симфонии — скаляр.

    Для бесконечных значений, нестабильных значений, неопределенных значений и динамических значений может иметь смысл, а может и не иметь смысла моделировать их как точки на линии.

    Вектор вроде i, 0, <2, 99>, [i 1 4], (2 + 2, 10 100 ), w = mu + nv, z = a + bi, p = rcos ø + rsin ø, [1 0], [0 1 2 4 8…], является точкой на поверхности.

    Три ваших любимых года для кино — вектор. Состояние всех ваших домашних светильников включено или выключено — это вектор. Сочетание остатков на текущем и сберегательном счетах — это вектор.

    В отличие от скаляров, эти объекты лучше представить в виде точек на поверхности. Когда вы попытаетесь нанести вектор на линию, вы обнаружите, что некоторые компоненты не отображаются на линии, они должны находиться над или под отдельной осью.

    Пара скаляров — это вектор, это также точка на плоскости, это список из двух скаляров с четким и однозначным выбором порядка списка.Например, вектор p = (x, y) = [x y]. Введите любые скалярных значений x и y, которые вам нравятся.

    Тройка скаляров — это вектор, также это пятно на трехмерном объеме, это список из трех скаляров с четким порядком, например p = (x, y, z) = [x y z].

    Векторы могут иметь любое количество измерений. 4D пространство. 10 10100 место. Визуализировать сложнее, но математика продолжает работать.

    Пара начальной и конечной точек для бейсбольного удара хоумран образуют вектор.Общее расстояние перемещения является скаляром, но пара углов homerun с величиной homerun образуют вектор.

    Кратчайший маршрут к дому вашего друга — это скаляр с точки зрения общего расстояния или общего времени, или средней скорости, или количества красных огней, или количества треков, которые вы слушаете по пути. Эти значения можно нарисовать в виде точки на линии.

    Названия улиц вдоль маршрута могут быть нанесены на линию в определенном порядке, например, в том порядке, в котором вы их вели, чтобы добраться до дома.Или в алфавитном порядке.

    Тот же самый маршрут к дому вашего друга является вектором с точки зрения последовательности направлений, с точки зрения луча по прямой, списка поворотов улиц, журнала полицейских машин, маркера каждой мили, последовательности жанров, которые вы играете на своей автомобильной стереосистеме. Таблица предпочтений названий улиц для ранжирования от одной до пяти звезд.

    Несколько измерений образуют вектор. Они могут быть одного и того же типа измерения, например, место гоночного автомобиля на кругах гонки. Или это могут быть разные типы измерений, такие как температура и сцепление колес.

    Цифровая звуковая дорожка — это вектор. Компоненты представляют собой скалярные измерения амплитуды через равные промежутки времени.

    Результат случайного броска кубика — скаляр. Сумма случайных бросков игральных костей является скаляром. Индивидуальные результаты для каждого кубика при одном броске пары кубиков — это вектор.

    Упорядоченный список мест аудитории — это вектор. Неупорядоченный список мест для зрителей — действительно неаккуратный вектор. Музыкальные стулья.

    Политическая ориентация по нескольким осям, например (социальный стиль, административная власть), будет вектором.

    Векторное пространство можно искривить. Ваша координата GPS — это вектор.

    Скаляр — это частный случай векторов, размерность которых равна единице (линейная).

    Последовательность скалярных значений можно рассматривать как длинное векторное значение.

    Когда в векторе встречается много нулевых участков, вектор считается разреженным.

    Мнимые числа имеют скалярную составляющую на действительной линии и другую скалярную составляющую на мнимой прямой.

    Если компоненты вектора сами по себе являются мнимыми, то вектор — это точка на сложной поверхности или сложном объеме.

    Матрица вида [[-1 1 4] [i 2 + 2 10 100] [3 8 5] [0 0 1]], A = u × v, AA -1 , B = AA = 0 — это точка в объеме с прямоугольной сеткой значений. Вы можете складывать матрицы вместе для создания матриц еще более высоких измерений.

    Статистика по бейсболу для игрока представляет собой матрицу. Табель успеваемости за два семестра представляет собой матрицу. Книга — это матрица. Уровень парковки — это матрица. Гараж — это матрица.

    В отличие от строгого вектора компоненты матрицы предназначены для чтения в секциях, как строки и столбцы в таблице.Если вы попытаетесь построить матрицу на плоскости, это должна быть довольно сложная трехмерная плоскость или плоскость более высоких измерений.

    Сетка мест зрителей представляет собой матрицу.

    Притяжение отдельных секций одного магнита по отношению к другому магниту представляет собой матрицу. Вы можете наблюдать это с помощью феррожидкости или магнитного песка.

    Моно, односторонние аудиокассеты — это векторные значения магнитных величин. Стерео, двусторонние или видеокассеты — это магнитные матрицы.

    Матричное пространство можно изогнуть.Перспективные радиопомехи двух близнецов, играющих на Эбби-роуд, с обоих своих ракетных кораблей, когда они проходят друг мимо друга со скоростью, близкой к световой, представляет собой матрицу.

    Таблица результатов бросков костей в ходе игры в пиратские кости представляет собой матрицу.

    Упорядоченный список окончательных оценок представляет собой вектор. Это тоже матрица.

    Таблица имен игроков для окончательного счета представляет собой матрицу.

    Горизонтальные и вертикальные векторы являются частными случаями матриц, в которых одно из измерений является линейным, а другое — неотрицательным целым числом.Любая матрица технически также является вектором, мы просто используем термин вектор чаще всего, чтобы выделить, когда значение представляет собой двумерную сетку.

    Единую логическую матрицу можно разбить на части, прочитать, упорядочить различными способами. Некоторые приложения читаются слева направо, сверху вниз. Другие могут читать середину.

    Цифровая фотография — это матрица пикселей.

    Цифровой альбом — это матрица амплитудных отсчетов, вектор звуковых дорожек. Цифровая звуковая дорожка — это вектор отсчетов амплитуды.Ударов в минуту — это скаляр.

    В то время как цвет в пространстве оттенков серого без канала альфа-прозрачности является скаляром, цвет в пространстве RGB (A), строго говоря, является вектором с тремя (или четырьмя) компонентами: красным, зеленым, синим, (альфа).

    Пиксель в градациях серого с каналом альфа-прозрачности будет вектором.

    Нерегулярный список, в котором подсписки имеют разные размеры, может быть помещен в разреженную матрицу путем выравнивания составляющих векторов по правому и самому верхнему углу матрицы.

    Компьютерный файл — это последовательность последовательностей, логически разреженная матрица, представленная в современных устройствах одной длинной последовательностью 8-битных блоков байтов. Устройства хранения разбивают их на более крупные группы, например по 512 байт вместе. Вращающийся дисковый носитель записывает последовательность файлов по спирали.

    Текстовый файл ASCII имеет нули в начале каждого 8-битного символа. Уменьшенный или сжатый файл имеет много избыточных битов, преобразованных из последовательности в компактное место для хранения.

    Компьютеры фактически кодируют скаляры как векторы битов, для получения дополнительной информации см. Двоичный код, дополнение до 2, с плавающей запятой IEEE, порядок байтов, базовое преобразование.

    Скалярное и векторное | Определения | Различия

    В физике Скаляр и Вектор — это две различные величины измерений. В этой статье мы собираемся обсудить определения с примерами.

    Скалярные и векторные определения

    Скаляр — это одномерная величина, тогда как вектор — двумерная величина.

    Скаляр имеет величину, а вектор будет иметь величину и направление.

    Имеет смысл? …… Нет? …… Вот небольшой пример.

    Когда мы описывали движение объекта или измеряли физическую величину или работу, мы обычно говорили фразами «быстро движется, быстро бежит» или ест быстро / медленно, но в физике это количество может быть описывается двумя типами физических величин.Это скаляр и вектор. Допустим, Сундар съел пять яблок. количество пять является скаляром, когда мы говорим, что Сундар съел пять яблок за три минуты, это относится к количеству Vector.

    см. Этот пример,

    Объект переместился на расстояние в один метр. Это скаляр

    Объект перемещался со скоростью 1 метр в секунду. Или это может быть выражено в направлении (объект переместился на один метр вправо). Это вектор.

    В физике единицы измерения делятся на скалярные и векторные величины.они перечислены ниже.

    Скалярные и векторные величины

    Скалярные величины

    Время (с)

    Расстояние (м)

    Масса (кг)

    Скорость (м / с)

    Мощность (кВт)

    Гравитационная энергия (Дж)

    Температура (k или ° C)

    Давление (Па)

    Кинетическая энергия (Дж)

    Разница потенциалов (В)

    Ток (A)

    Сопротивление (Ом)

    Векторные величины

    Скорость (м / с)

    Рабочий объем (м)

    Ускорение (м / с²)

    Сила (Н)

    Вес (Н)

    Момент (Нм)

    Вы задаетесь вопросом, почему скорость является скаляром, если она имеет две величины, а скорость — это вектор с одинаковыми величинами?

    Ответ на этот вопрос заключается в том, что скорость описывает, насколько быстро может двигаться объект, тогда как скорость описывает скорость, с которой может двигаться объект.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *