Скалярное умножение: Скалярное умножение — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Скалярное умножение

В. Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников

Суперобложка / Обложка / Содержание

..Скалярное умножение векторов

Впервые слово «скаляр» ввел в математику Виет, но современное значение ему придал Гамильтон (1843 г.), назвав скалярной величину отличную от векторной. Скалярная величина – это величина, которая может, в отличие от векторной, быть задана одним числовым значением. Проще говоря, скаляр – это число. По смыслу названия, при скалярном умножении векторов должно получаться число.

Определение скалярного произведения векторов (22)

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное умножение обычно обозначается точкой: .

Введение такой странной, на первый взгляд, операции находит как физическое, так и геометрическое оправдание.

Если – постоянная сила, которая действует на точку, а – вектор перемещения этой точки, то работа A, которая совершается силой на этом перемещении, может быть вычислена как скалярное произведение силы на перемещение: .

С геометрическими приложениями скалярного умножения мы познакомимся в дальнейшем.

Вспомнив, что и , мы можем записать: .

Свойства скалярного умножения

1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы взаимно ортогональны.

Пусть векторы и не равны нулю. Тогда из равенства нулю скалярного произведения следует, что , а это и означает, что .

Если же хотя бы один из векторов нулевой, то . С другой стороны, для нулевого вектора понятие направления не имеет смысла. Но раз смысла нет, то любое соглашение не погрешит против правды. Мы можем принять, что нулевой вектор параллелен любому другому, если захотим, или, что он ортогонален к любому направлению, что мы и сделаем. Но если нулевой вектор ортогонален к любому другому, в том числе и нулевому же, то и этот случай не является исключением.

2. Скалярное умножение векторов коммутативно (перестановочно).

– это сразу следует из определения.

3. Скалярное умножение ассоциативно по отношению к числовому множителю.

так же непосредственно следует из определения.

4. Скалярное умножение дистрибутивно (распределительно) относительно сложения векторов.

Данное свойство, несмотря на привычный вид, не является очевидным.

Рис. 17

В самом деле (рис. 17), ,

а . Глядя на рис. 17, трудно предположить, что эти два выражения равны, однако это так.

Доказательство

Для доказательства мы используем свойства проекций.

Можно это свойство доказать и непосредственно вычисляя соответствующие длины и углы, но этот путь значительно дольше.

Скалярное умножение в декартовых координатах

Общее выражение для скалярного произведения в произвольных координатах значительно сложнее, и мы займемся им позже.

Для начала найдем результат скалярного умножения базисных векторов декартовой системы координат.

и аналогично .

	i	j	k
i	1	0	0
j	0	1	0
k	0	0	1

Полученные результаты можно свести в таблицу скалярного умножения базисных векторов.

Теперь мы можем доказать следующее утверждение:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат: .

Доказательство

В самом деле,

. Воспользовавшись свойствами скалярного умножения и таблицей умножения для векторов базиса, мы получаем: .

..Некоторые примеры использования скалярного умножения

Длина или модуль вектора в координатной форме

Пусть произвольный вектор. Скалярное произведение этого вектора самого на себя равно:

С другой стороны, , следовательно,

и .

Расстояние между двумя точками

Рис. 18

Пусть нам даны две точки и , и требуется определить расстояние l между ними. Проведем из начала координат в эти точки радиусы-векторы и , тогда . Модуль или длина вектора как раз и будет равна этому расстоянию. Следовательно,

Если расстояние между двумя точками мы обозначим , полученное выражение перепишется в виде:

В качестве следующих примеров рассмотрим доказательство двух теорем элементарной геометрии. Этим мы убьем двух зайцев: во-первых, вспомним элементарную геометрию, во-вторых, получим удовольствие от эффективности метода.

Теорема

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Рис. 19

Совместим векторы и со сторонами параллелограмма (рис. 19), тогда сумма и разность этих векторов совпадут с его диагоналями.

и соответственно

Сложив эти выражения, мы получим:

Мы видим, что левая часть равенства – это сумма квадратов диагоналей. Правая же часть, как и следовало ожидать – сумма квадратов сторон.

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Рис. 20

Совместим векторы и со сторонами треугольника (рис. 20), тогда вектор совпадет с третьей его стороной.

И окончательно: .

Напомним, что a и b означают модули соответствующих векторов.

Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Скалярным произведением двух векторов a→ и b→ будет скалярная величина (число), равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosα.

Очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.

Угол между векторами обозначают a→b→ˆ=α.

1. Если векторы сонаправлены, то a→b→ˆ=0°.

Обрати внимание!

Так как косинус угла в $0$ градусов равен $1$, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин.

Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

2. Если векторы противоположно направлены, то a→b→ˆ=180°.

Обрати внимание!

Так как косинус угла в $180$ градусов равен $-1$, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

3. Векторы называют перпендикулярными, если a→b→ˆ=90°.

Обрати внимание!

Так как косинус прямого угла равен $0$, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно $0$.

4. Необходимо внимательно рассмотреть ситуации, когда векторы образуют тупой угол.

Обрати внимание!

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Если a→xa;ya и b→xb;yb, то a→⋅b→=xa⋅xb+ya⋅yb.

Так как в координатах a→=xa2+ya2 и b→=xb2+yb2, то можно определить косинус угла между векторами и, следовательно, величину угла.

cosα=a→⋅b→a→⋅b→;cosα=xa⋅xb+ya⋅ybxa2+ya2⋅xb2+yb2.

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору.

a→⋅a→>0;0→⋅0→=0.

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a→⋅a→=a→2.

3. Для скалярного произведения в силе переместительный закон:

a→⋅b→=b→⋅a→.

4. Для скалярного произведения в силе распределительный закон:

a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→.

5. Для скалярного произведения в силе сочетательный закон:

k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→.

6. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение

Скалярное произведение и евклидовы пространства

Скалярное произведение

Определение и основные свойства скалярного произведения

Мы рассмотриваем векторное пространство $ \mathit{L}$.

Определение. Предположим, что существует числовая функция, которая сопоставляет паре векторов $x,y \in \mathit{L}$ число (его обозначают $(x,y)$), причем эта функция имеет следующие свойства. Для любых векторов $x,y,z \in \mathit{L}$ и любого числа $\lambda $

1. $(x,y)=(y,x)$,

2. $(x+z,y)=(x,y)+(z,y)$,

3. $(\lambda x,y)=\lambda (x,y)$,

4. $(x,x) \geq 0$, причем $(x,x)=0 \Leftrightarrow $ $x=0$.

Тогда говорят, что на векторном пространстве $ \mathit{L}$ задано скалярное произведение, и векторное пространство $ \mathit{L}$ называют евклидовым.

Первое свойство означает симметричность скалярного произведения по сомножителям, из него следует, что оба сомножителя равноправны и скалярное произведение обладает одинаковыми свойствами относительно обоих сомножителей.

Наличие в векторном пространстве скалярного произведения позволяет ввести в векторном пространстве ряд геометрических понятий и объектов, знакомых в «стандартной» трехмерной геометрии. К ним относится длина вектора, угол между векторами, проекция вектора на направление (ось) и т.д.

Стандартное скалярное произведение.2-4(v,v)(u,u) \leq 0. \]

Это неравенство эквивалентно неравенству (64).

Длина вектора, углы между векторами, неравенство треугольника

Наличие скалярного произведения позволяет ввести длину вектора $u$ согласно соотношению: \[ |u|=\sqrt{(u,u)}. \] При этом неравенство Коши-Буняковского можно переписать в виде \[ |(u,v)| \leq |u|\cdot |v|. \]

Последнее неравенство позволяет определить угол между векторами . Мы полагаем угол $\alpha$ между векторами $u,v \in \mathit{L}$ определенным согласно соотношению \[ \cos \alpha =\frac{(u,v)}{|u|\cdot |v|}. \] Правая часть этого соотношения не превосходит по модулю 1, так что для любой пары векторов угол между ними определен.

Определение. Вектора $u$, $v$ называются ортогональными , если $(u,v)=0$ (так что, согласно предыдущему определению, угол между ними равен $\pi /2$).2. \]

Извлекая корень, получаем неравенство треугольника.

Проекция на ось

Скалярное произведение позволяет ввести еще один объект, имеющий приложения в геометрии. Пусть $e \in \mathit{L}$ — вектор единичной длины, $|e|=1$.

Определение. Проекцией произвольного вектора $u \in \mathit{L}$ на вектор $e$ называется вектор $(u,e)e$. Его иногда называют также проекцией вектора $u$ на ось (имея в виду, что направление оси фиксируется вектором $e$).

Из этого определения следует, что вектор $v=u- (u,e)e$ ортогонален вектору $e$: $(v,e)=(v,u-(u,e)e)=(v,u)-(v,u)(e,e)=0$.

1. Найти скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.

а) $u(4, -1)$, $v(-1, 7)$.

б) $u(2, 1)$, $v(1, -37)$.

в) $u(1,0, 3)$, $v(-4, 15,1)$.

г) $u(2,1,1)$, $v(-1, 7,9)$.

2. Найти угол между векторами, заданными своими координатами.

а) $u(1, -1,1)$, $v(5,1, 1)$.

б) $u(1,-1, 1)$, $v(2, -2,2)$.

3. Даны вектора $a=(3;1;2), \,b=(2;7;4),\, c=(5;-8;10)$. Вычислить вектор $(a,b)c$.

4. Вершины четырехугольника $A(2; -3; 1), \,B(-1; 1; 1),\, C(-4; 5; 6),\, D(2; -3; 6)$. Вычислить косинусы его углов.

5. Вычислить внутренний угол при вершине $B$ у треугольника $A(-1;-2;4), \,B(-4;-2;0),\, C(3;-2;1)$.

6. Вычислить угол между диагоналями четырехугольника

a) $A(1;-2;2),\, B(1;4;0),\,C(-4;1;1),\,D(-5;-5;3)$.

б) $A(-4; -4; 4), \,B(-3; 2; 3), \,C(2; 5; 1),\, D(3; -2; 2)$.

7. Даны вектора $a(2; -1; 3),\, b(1; -3; 2),\, c(3; 2; -4)$. Вычислить вектор $x$ из условий $(x,a)=10, \,(x,b)=22, \, (x,c)=-40$.

8. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам $a=3i-j+2k,\, b=-i+3j-k$.

9. Найти вектор $x$, перпендикулярный векторам $a=(2;3;-1), \,b=(1;-2;3)$ при условии, что $(x,c)=-6$, где $c=(2;-1;1)$.

10. Даны два вектора $a(3; -1; 5),\, b(1; 2; -3)$. Найти вектор $x$, перпендикулярный оси $OZ$ и удовлетворяющий условиям $(x,a)=9, \,(x,b)=-4$.

Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение

Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Действия с векторами и их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, критерий коллинеарности. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекция вектора на вектор. Разложение векторов по неколлинеарным векторам. Координаты вектора на плоскости. Действия с векторами в координатах на плоскости. Взаимное расположение векторов. Разложение вектора по координатным векторам.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Скалярное умножение — это… Что такое Скалярное умножение?

Скалярное умножение: Wikimedia Foundation. 2010.

Геометрия данных 3. Скалярное произведение пар / Хабр

Инвариант дистанции (квадрат расстояния) между элементами можно обобщить, если умножать разность элементов не на саму себя, а на другую разность элементов. Полученное значение будет отражать

скалярное произведение упорядоченных пар

Упорядоченная пара

Координаты вектора могут быть получены на как разность координат элементов, но обратное неверное — по координатам вектора невозможно восстановить координаты образовавших его элементов. Координаты двух элементов несут в себе больше информации, чем координаты вектора. Поэтому из элементов можно образовать пару — улучшенный аналог вектора. Такой набор из двух элементов называют

упорядоченной парой

Каждой упорядоченной паре можно сопоставить вектор — разность элементов, образующих пару. Для двух векторов можно определить скалярное произведение, которое можно также рассматривать как характеристику четырех элементов пространства.

Скалярное произведение

Для уменьшения громоздкости в данной части будем обозначать элементы строчными символами. Пара — это совокупность двух элементов:

. Вектор, соответствующий паре, — это разность элементов пары:

Норма элемента — это его скалярное произведение с самим собой:

Это же определение можно использовать для вектора пары, которая, как известно, отражает квадрат расстояния между элементами пары:

Если заданы две разных пары и , то можно определить скалярное произведение между соответствующими векторами:

Индексы задают одну пару, а индексы — другую.

Выражение (3.4) определяет скаляр, зависящий от взаимного положения 4-х элементов. Важно, что данный скаляр может быть выражен через расстояния между элементами .

Как известно, расстояние между элементами связано со скалярным произведением между ними:

Раскрывая произведение (3.4) с учетом (3.5), получаем:

Это общая формула скалярного произведения пар. Порядок индексов важен — задает пары и направление соответствующих им векторов.

Выражения, подобные (3.6), часто возникают в разных местах математики. Связано это с общностью вывода данной формулы. Отметим, что мы использовали только самые общие свойства алгебраического выражения. Поэтому в качестве элементов могут использоваться любые объекты, для которых определена операция произведения. Тождество будет справедливо и для них, в общей форме оно выглядит так:

Пары с общей вершиной — смежные пары

Если пары имеют общую вершину

, то формула (3.6) упрощается:

Формула (3.7) — это теорема косинусов для треугольника. Здесь пары, между которыми определена взаимная норма, имеют общий элемент k — смежные пары.

На 3-х вершинах можно определить три скалярных произведения. Их сумма выражается через сумму дистанций между вершинами:

Квадрат скалярного произведения на 3-х вершинах связан с площадью образуемого ими треугольника (формула Герона):

Независимые пары — четыре разных вершины

В общем случае вершины пар могут не лежать в одной плоскости, поэтому данному определению скалярного произведения не всегда можно сопоставить косинус угла между направлениями.

Перечислим свойства скалярного произведения (3.6).

1) Не зависит от перестановки пар:

2) Антисимметрично относительно перестановки элементов в паре или :

3) Для 4-х элементов существует только два независимых скалярных произведения пар ввиду тождества:

Математики увидят в формуле (3.9.3) первое тождество Бьянки. Из чего можно сделать вывод, что структуры тензора кривизны (Римана) и скалярного произведения пар — подобны.

4) Норма независимых пар может быть выражена через разность норм смежных пар:

Этим тождеством воспользуемся в следующей статье.

5) Дистанция между элементами и может быть выражена через значения скалярных произведений смежных и независимых пар:

Пары на элементах базиса

В качестве элементов, образующих пару, могут быть выбраны вершины базиса. Тогда скалярное произведение пар становится тензором — набором скалярных произведений между всеми возможными парами элементов данного базиса. Чтобы отличать тензоры от скаляров будем использовать для первых заглавные буквы. То есть вместо скаляра

для элементов базиса получаем тензор

Скалярное произведение и кофакторы лапласиана

Скалярное произведение пар, образованных элементами базиса, может быть выражено через свойства лапласиана базиса.

Если заданы две пары вершин и , то значение их скалярного произведения можно получить делением кофактора 2-го порядка на скалярный потенциал лапласиана :

Кофактором называется определитель минора квадратной матрицы (с учетом знака). Скалярный потенциал — это кофактор 1-го порядка от лапласиана (см. (1.12) из первой статьи).

Таким образом необходимо из матрицы лапласиана удалить столбцы, соответствующие одному вектору (в формуле это -й столбцы), и строки, соответствующие другому (), после чего разделить определитель получившегося минора на скалярный потенциал . Если удаляемые столбцы и строки лапласиана — одни и те же, то получим значение дистанции между узлами.

Скалярное произведение пар на графе

Между любыми парами вершин графа можно определить их взаимную норму — скалярное произведение. Поскольку граф обычно задан лапласианом, то для расчета можно использовать формулу (3.10.1).

Пусть, например, в качестве образующих вершин двух пар выбраны — и . Тогда скалярное произведение между данными парами дается формулой (3.6):

Для графа, представляющего собой электрическую цепь, значение скалярного произведения отражает понятие обобщенного сопротивления в электрической цепи. Для измерения такого («кажущегося») сопротивления источник тока (напряжение) прикладывается к одним узлам (A и B), а разность потенциалов измеряется между другими (M и N). Взаимная норма (скалярное произведение) пар равна нулю, если внешняя разность потенциалов не приводит к разности потенциалов на измеряемой паре.

Граф не обязательно должен быть дискретным,- грунт является примером сплошного (непрерывного) графа, на котором можно проводить измерения скалярного произведения между выбранными элементами.

Схема установки для исследования методом сопротивления: A и B – питающие заземления; M и N – измерительные заземления; 1 – измерительный прибор (из книги «Электроразведка», Якубовский Ю. B., M., 1980).

На рисунке показана схема измерения скалярного произведения пар и на грунте.

В следующей статье разберем подробнее, почему отношение заданной и измеряемой разностей потенциалов узлов оказалось связанным со скалярным произведением пар.

Обращение минора лапласиана

Подматрицу значений взаимных норм (скалярных произведений) пар можно получить обращением минора лапласиана. Обозначим лапласиан, из которого удалены

-я строка и

-й столбец, как

. Тогда имеет место тождество:

Отметим, что в матрице отсутствуют -я строка и -й столбец.

Если известна матрица скалярных произведений пар , то можно восстановить дистанционную матрицу на основании преобразования дистанции. Вначале расширяем подматрицу отсутствующей строкой и столбцом с нулевыми значениями. К полученной матрице применяем преобразование дистанции:

которое в нашем случае принимает вид тождества (3.9.5):

Совокупность формул (3.10.2) и (3.10.3) — один из способов получить дистанционную матрицу по заданному лапласиану. Удаляем из лапласиана какой-либо из узлов (пусть будет ) и обращаем. Получаем матрицу скалярных произведений пар (ее другое название — фундаментальная матрица, см. следующую часть). Значение индекса фиксировано — базовая вершина. В матрице первая вершина пар находится в базовом узле , а вторая пробегает по остальным вершинам базиса.

Далее применяем к матрице преобразование дистанции (3.10.3).

Квадрат скалярного произведения, матрица Якоби

Если в графе изменить значение проводимости ребра (элемент лапласиана), то очевидно, что изменятся и все дистанции между вершинами (нормы векторов)

. При увеличении проводимости дистанции должны сократиться (уменьшиться). Подарок богов в том, что можно оценить изменение дистанций не только качественно, но и количественно. Обозначим производную матрицы дистанций по лапласиану как

Тензор — это матрица Якоби, то есть выражение изменений значений дистанционной матрицы при изменении значений лапласиана . Оказывается, что данный тензор выражается через квадрат скалярного произведения пар:

То есть изменение величины связи узлов приводит к изменению дистанции между узлами пропорционально величине скалярного произведения пар и .

Тензор квадросвязности вершин

Тензор квадратов скалярного произведения

обратим. Представим выражение (3.11) в следующем эквивалентном виде:

Данную формулу можно трактовать как отклик на воздействие . Тензор играет роль передаточной функции (реакции на воздействие).

Возможна и обратная ситуация, при которой воздействие и отклик меняются местами. Прямая и обратная передаточные функции связаны соотношением:

Снова удача — тензор можно выразить через лапласиан:

Значения тензора назовем квадросвязностью.

Свойства тензора квадросвязности

Значения тензора определены через значения лапласиана для 4-х вершин. Будем считать данные вершины вершинами графа. Допустим, что все 4 вершины различны:

Здесь векторами обозначены пары вершин, между которыми считается квадросвязность. Пары имеют отличную от нуля квадросвязность только тогда, когда их вершины попарно связаны (необходимые связи показаны на рисунке одинаковым цветом). Если все связи в графе положительны, то квадросвязность между разными вершинами также всегда больше или равна нулю.

Если пары имеют общую вершину, то смысл квадросвязности меняется. Это связано с тем, что диагональные элементы лапласиана не равны нулю (как в дистанционной матрице), а отражают общую связность (проводимость) узла.

Пары вершин могут совпадать — диагональные элементы тензора квадросвязности.

Здесь характеризует связь двух узлов i и j. Считается как сумма произведения их суммарной проводимости (степени вершины) и квадрата связи между узлами .

Несмотря на то, что формально для тензора могут вычисляться элементы вида (одна из пар вырождена), данные (вырожденные) элементы являются линейно-зависимыми от остальных. Могут быть вычислены через сумму тензора по одному из индексов пары:

___
Подведем итоги. Рассмотрено полезное во всех отношениях понятие скалярного произведения пар элементов. В следующей статье поработаем с подпространством графа — что это такое, и каковы его свойства.

«Зачем нужно скалярное произведение векторов?» – Яндекс.Кью

Грубо говоря, скалярное произведение двух векторов говорит нам, насколько согласованы направления векторов.

Я нарисовала три варианта расположения двух векторов, зеленого и синего. Длины векторов не меняются от рисунка к рисунку, меняется только направление. В первом случае скалярное произведение наибольшее, во втором равно нулю, а в третьем — отрицательное, наименьшее из всех возможных.

Так, например, работа вычисляется как скалярное произведение силы (скажем, зеленый вектор) и перемещения (пусть синий). В первом случае сила хорошо поработала на перемещение — скалярное произведение положительно. В третьем случае сила противоположна перемещению, ее работа отрицательна, она только мешала. Во втором случае сила перпендикулярна перемещению, не мешала и не помогала — скалярное произведение равно нулю.

Согласованность направления можно было бы выразить углом, но угол вычислять трудно, а вот скалярное произведение в координатах — очень удобно.

Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение вектора на себя, дает квадрат длины вектора. И поэтому скалярное произведение помогает нам вычислять расстояния, когда заданы координаты.

На этой картинке видно, как вычисляют длину d вектора по его координатам х и у. Если мы повернем систему координат, то длину все равно можно будет вычислять по этой формуле, хотя координаты вектора и изменятся. Это свойство делает скалярное произведение универсальным инструментом. Хотя его удобно вычислять по координатам, от положения системы координат оно не зависит.

В какой-то фантастической книжке я читала про мозг, который просуществовал тысячелетия, не имея связи с внешним миром. Он мог бы развить довольно сложные математические структуры, не имея интуитивного представления о расстоянии. Чтобы объяснить такому мозгу, что такое длина, проще всего было бы рассказать о скалярном произведении.

В математике служат всякие разные пространства, например, пространства функций. Расстояния в них измеряются при помощи обобщений скалярного произведения. Другие его обобщения применяются для вычисления расстояний на криволинейных поверхностях, но это совсем другая история, не для 9 класса.

Скалярное умножение — ChiliMath

Есть два типа или категории, к которым обычно подпадает матричное умножение. Первый называется Скалярное умножение , также известный как « Easy Type »; где вы просто умножаете число на каждую запись данной матрицы.

Второй называется умножение матриц, которое обсуждается на отдельном уроке.

В этом уроке мы сосредоточимся на «Easy Type», потому что подход очень прост или понятен.

«Формула» скалярного умножения (простой тип)

Вот простая процедура, показанная в приведенной выше формуле.

Возьмите число вне матрицы (известное как скаляр) и умножьте его на каждую запись или элемент матрицы.

Примеры скалярного умножения

Направления : Для следующих матриц выполните указанную операцию. Примените скалярное умножение как часть общего процесса упрощения.

Пример 1 : Выполните указанную операцию для 2A.

Я возьму скаляр 2 (аналогичный коэффициенту члена) и распределю его, умножив его на каждую запись матрицы A. Если вы забыли, вы можете просмотреть приведенную выше общую формулу.

Поскольку матрица A равна

, то 2A решается с помощью…

Вот и все. Готово!

Пример 2 : Выполните указанную операцию для -3B.

Сделаю то же, что и в Примере 1.Ничего страшного! Умножаем отрицательный скаляр −3 на каждый элемент матрицы B.

Поскольку матрица B равна

, то матрица -3B решается с помощью…

Вы пришли к такому же окончательному ответу? Если нет, проверьте свою работу еще раз, чтобы убедиться, что она соответствует правильному ответу.

Пример 3 : Выполните указанную операцию для -2D + 5F.

Чтобы решить эту проблему, мне нужно дважды применить скалярное умножение, а затем сложить их результаты, чтобы получить окончательный ответ.

Сначала найдите значение матрицы -2D

Я знаю, что матрица D равна

Следовательно, -2D получается следующим образом с использованием скалярного умножения.

Во-вторых, найдите значение 5F

Матрица F задается как

Это означает, что 5F решается с использованием скалярного умножения.

Теперь я могу решить для -2D + 5F, сложив значения матриц -2D и 5F, как показано выше. Щелкните здесь, чтобы узнать, как складывать и вычитать матрицы.

Вот и все!

Пример 4 : В чем разница между 4A и 3C?

К этому моменту вы должны были уже овладеть навыком скалярного умножения. Самый первый шаг — найти значения 4A и 3C соответственно. Затем вычитаем вновь сформированные матрицы, то есть 4A-3C.

Определение значения 4A

Определение значения 3C

Наконец, мы вычитаем 4A на 3C.

Возможно, вас заинтересует:

Матрицы сложения и вычитания

Умножение матриц

Как умножить матрицы на скаляры

Свойства скалярного умножения

Во время нашего урока о скалярном умножении мы говорили о больших различиях между этим видом операции и матричным умножением.Теперь пришло время подробно рассмотреть свойства, которые применимы к этой простой, но важной операции.

Что такое скалярное умножение

Учитывая, что скалярное умножение — очень простая операция, и мы уже обсуждали ее ранее, этот раздел может показаться немного избыточным, но мы сохраняем его, поэтому вам не нужно переключаться между этим и прошлыми уроками, если вы когда-либо хочу увидеть основные понятия. Скалярное умножение относится к операции, в которой действительное число умножает алгебраический объект, такой как вектор или матрицу.Мы, конечно, сосредоточены на случаях умножения скаляров и матриц вместе, учитывая, что мы работаем над операциями с матрицами.

Помните, что скаляр — это действительное число, умноженное на векторное пространство, оно «изменяет размер» вектора (изменяет его величину), не влияя на его направление. Название «скаляр» происходит от этой конкретной операции, потому что умножение действительного числа на вектор «масштабирует» вектор без изменения других его основных характеристик, таких как направление и размеры.Но, как мы уже сказали, нас интересует случай, когда скаляр умножает матрицу.

Итак, скалярное умножение матрицы дает аналогичный эффект по сравнению с умножением скаляра и вектора. Операция умножения матрицы на действительное число создает матрицу, которая сохраняет свои основные свойства, такие как: порядок, линейная зависимость, пропорция между ее элементами и эквивалентность между наборами линейных уравнений, которые могут соответствовать ей.

Поскольку матрица — это массив чисел, который можно представить как массив упорядоченных векторов (векторов-столбцов или векторов-строк). Мы можем использовать это соотношение и увидеть, что умножение матрицы на скалярные числа приводит к массиву (результирующей матрице) упорядоченных векторов, у которых изменилась величина (так же, как при умножении изолированного вектора на скаляр), но они все еще сохраняют пропорцию между его различными переменными коэффициентами, или, другими словами, они сохраняют то же направление, что и при построении графика в евклидовых координатных плоскостях.

В заключение скажем, что скалярное умножение — одна из самых простых, если не самая простая из всех матричных операций внешнего характера, которые могут быть выполнены. А его обозначение имеет вид:

. Уравнение 1: скалярное умножение

Свойства скалярного умножения матриц

Если мы определим две матрицы любого порядка (но равные среди них) как X и Y, а затем определим c и d как скалярные, мы сможем описать следующие свойства скалярного умножения:

Свойство размерности для скалярного умножения
При выполнении умножения матрицы на скаляр результирующая матрица всегда будет иметь те же размеры, что и исходная матрица при умножении.Например, если мы умножаем c⋅ \ cdot⋅X, полученная матрица имеет размерность X.
Это имеет полный смысл, если вы посмотрите на уравнение 1, единственное, что это делается при скалярном умножении матриц. состоит в умножении каждого из компонентов матрицы на скаляр снаружи, добавленной функции нет, поэтому элементы остаются на своих местах, и в результате получается матрица того же размера.
Коммутативное свойство
При умножении матрицы на скаляр порядок, в котором множители располагаются в операции, не влияет на результат.Другими словами, если мы должны вычислить скалярное и матричное умножение c и X или d и Y, результат этих операций не изменится, как бы вы ни организовали операции. Проще говоря: c⋅ \ cdot⋅X = X⋅ \ cdot⋅c и d⋅ \ cdot⋅Y = Y⋅ \ cdot⋅d.
Если мы определим матрицу X как:
Уравнение 2: Матрица X
Тогда коммутативное свойство говорит нам, что:
Уравнение 3: Коммутативное свойство скалярного умножения
Ассоциативное свойство
Ассоциативное свойство дает возможность выполнять длинное скалярное умножение «шагами».Ассоциативное свойство говорит нам о том, что даже если у вас задействовано много факторов, в данном случае много скалярных умножений на матрицу, вы можете выбрать выполнение умножения сначала между двумя факторами, а затем использовать результат этой операции для умножения на другой. фактор, который не использовался, и повторяйте этот процесс, пока вы не закончите умножение всех факторов умножения для получения результата.
Приведем краткий пример: допустим, вы умножаете бота-скаляры c и d на матрицу X.Свойство ассоциативности дает возможность выбрать два из этих множителей (c, d и X) и сначала умножить их, а затем, используя полученный результат, умножить его на оставшийся множитель и получить результат, а не выполнять два умножения. одновременно (что может усложниться, если присутствует более трех факторов). Проще говоря, ассоциативное свойство говорит, что: c⋅ \ cdot⋅d⋅ \ cdot⋅X = c⋅ \ cdot⋅ (dX) = d⋅ \ cdot⋅ (cX) = (dc) ⋅ \ cdot⋅X
Распределительное свойство
Распределительное свойство возникает, когда операция скалярного умножения матрицы сочетается с другой арифметической операцией, такой как сложение или вычитание.Другими словами, мы используем свойство распределенности для упрощения задач, в которых одним из факторов при умножении скалярных матриц является сложение или вычитание.
С математической точки зрения, распределительные свойства умножения матриц определяют, что если один из множителей умножения является сложением двух матриц, то: c (X + Y) = cX + cY.
С другой стороны, если один из факторов умножения является сложением скаляров, свойство распределения говорит, что: (c + d) X = cX + dX
Свойство умножения для нулевой матрицы
Это свойство описывает, что до тех пор, пока результат умножения на нулевую матрицу определен, то есть до тех пор, пока умножение может выполняться с соблюдением всех необходимых условий измерения, результат такое умножение всегда будет самой нулевой матрицей, не имеет значения, является ли это произведение скаляра и матрицы (в этом случае матрица будет нулевой матрицей) или произведением двух матриц (одна из которых является нулевая матрица).
Поскольку все элементы нулевой матрицы являются нулями, независимо от того, какой скаляр вы умножаете на них, скалярная матрица умножения будет иметь все элементы, равные результатам умножения на ноль, который равен нулю. Итак, умножение на нулевую матрицу всегда дает результат нулевой матрицы.
Следовательно, если мы произведем скалярное умножение матрицы 0, то получим: c⋅ \ cdot⋅0 = 0.
Пример:
Уравнение 4: Пример скалярного умножения с нулевой матрицей
Здесь матричное умножение скаляра 2 не имеет значения, был ли это какой-либо другой скаляр, поскольку он умножается на все нулевые элементы, снова производя все нули.
То же самое происходит, если вы умножаете нулевую матрицу на другую матрицу: 0⋅ \ cdot⋅X = 0.

Прежде чем перейти к следующему разделу, обратите внимание, что свойства сложения матриц и скалярного умножения очень похожи, что упрощает их запоминание и понимание. Как только вы достаточно попрактикуетесь, они придут к вам естественным образом, и мы рекомендуем вам вернуться к этим урокам и увидеть все другие способы (другой порядок шагов или другое использование свойств, описанных выше), с помощью которых вы можете решить Вы знаете, что я даю вам упражнения, просто ради забавы по математике!

Свойства примеров скалярного умножения

Давайте применим на практике полученные знания о свойствах матричного скалярного умножения и решим следующие примеры упражнений.

Пример 1

Используя свойства скалярного умножения матриц, показанных выше, покажите, что скалярное умножение нуля или единицы с любой матрицей дает ноль (для умножения на ноль) или ту же матрицу (для умножения на 1), как показано в уравнениях приведены в частях а) и б).

Используйте матрицу A, как определено ниже, чтобы доказать наше утверждение.

Уравнение 5: Матрица A

Докажите, что 0⋅ \ cdot⋅A = 0 Уравнение 6: Умножение нулевой матрицы A Итак, как вы можете видеть здесь, скалярное умножение на ноль приводит к нулевой матрице тех же размеров, что и исходная матрица.Поскольку матрица, умножающая нулевой скаляр, в этом случае имеет размеры 2×3, результирующая матрица также имеет размеры 2×3.
Докажите, что 1⋅ \ cdot⋅A = A Уравнение 7: однократное умножение матрицы A

Как отмечалось выше, мы доказали, что любая матрица, умножающая скалярную, приведет к той же самой матрице.

Пример 2

Используя следующие матрицы:

Уравнение 8: матрицы X и Y

И скаляры c = 5 и d = 3.Покажите, что следующие уравнения верны из-за свойств скалярного умножения матриц:

с (X + Y) = cX + cY
Приведенное выше уравнение определяет первое свойство распределения, описанное в последнем разделе этого урока. Используя матрицы 3×3 X и Y, мы можем наблюдать, что скалярное умножение является дистрибутивным и следует этому уравнению, обрабатывая каждую сторону и сравнивая результаты, полученные от каждой из них.
Чтобы решить эту проблему, мы будем использовать то, что мы знаем о сложении и вычитании матриц из прошлых уроков.Для начала решим левую часть уравнения: c (X + Y)
Уравнение 9: Проверка распределительных свойств (часть 1)
Решение правой части уравнения: cX + cY
Уравнение 10: Проверка распределительных свойств (часть 2)
Как видите, обе стороны дают одинаковый результат, и, таким образом, указанное свойство распределения доказано.
(c + d) Y = cY + dY
Это конкретное уравнение определяет второе свойство распределения, описанное во втором разделе этого урока.Как и раньше, чтобы доказать, что уравнение верно, мы решаем каждую часть уравнения отдельно, а затем сравниваем результаты. Начнем с решения левой части: (c + d) Y
Уравнение 11: Проверка распределительных свойств (часть 3)
Теперь вычисляем правую часть уравнения: cY + dY
Уравнение 12: Проверка распределительных свойств (часть 4)
И поскольку оба результата совпадают, мы доказали, что (c + d) Y = cY + dY
(c + d) (X + Y) = c (X + Y) + d (X + Y)
Для этого случая мы еще раз собираемся доказать второе распределительное свойство умножения скалярных матриц, с той лишь разницей, что вместо того, чтобы умножать добавление двух скаляров к уже определенной матрице, мы теперь умножаем их на матрицу, полученную в результате сложение X и Y.Помните, что при добавлении матриц результирующая матрица должна иметь те же размеры, что и матрицы, из которых она происходит, и, следовательно, матрица X + Y имеет вид:
Уравнение 13: Проверка распределительных свойств (часть 5)
Имея это в виду, мы проверяем уравнение, приведенное в c), с помощью того же процесса, что и в частях a) и b): сначала мы решаем левую часть уравнения, затем правую часть и, наконец, сравниваем результаты оба. Начнем с левой стороны (c + d) (X + Y):
Уравнение 14: Проверка распределительных свойств (часть 6)
Решение правой части c (X + Y) + d (X + Y):
Уравнение 15: Проверка распределительных свойств (часть 7)
Как видите, результирующая матрица одинакова для обеих частей уравнения, поэтому свойство распределения было доказано еще раз.

Вот и все о свойствах скалярного умножения. Важно помнить, что название свойств дает основные подсказки по их использованию: коммутативность говорит о возможности перемещать множители при умножении; ассоциативный означает, что вы можете «собрать» несколько из них, чтобы затем продолжить работу; distributive говорит, что вы можете «распределить» один фактор среди других, и все это без влияния на конечный результат.

Если вы хотите продолжить изучение свойств скалярного умножения матрицы X и скаляра (мы используем «матрица X», что означает «любая матрица»), мы рекомендуем вам следующую ссылку на умножение матрицы на скаляр, который содержит еще несколько примеров по теме.

Увидимся на следующем уроке!

Скалярное умножение и сложение векторов

Двумя основными векторными операциями являются скалярное умножение и сложение векторов . Вообще, при работе с векторами числами или константами называются , скаляры, , .

Скалярное умножение — это когда вектор умножается на скаляр (число или константу). Если вектор v умножить на скаляр k, получится k v .Если k положительно, то k v будет иметь те же направления, что и v . Если k отрицательно, k v будет иметь направление, противоположное v .

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ:

Пусть v = 〈v1, v2〉 и k — скаляр.

k v = k 〈v1, v2〉 = 〈kv1, kv2〉

Чтобы сложить два вектора u и v , поместите начальную точку второго вектора (без изменения длины или направления) на конечная точка первого вектора.Затем соедините начальную точку первого вектора с концом второго вектора. Эта линия соединения представляет собой сумму двух векторов.

Сумма векторов u и v в компонентной форме равна:

ДОБАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ:

Пусть u = 〈u1, u2〉 и v = 〈v1, v2〉

u + v = 〈U1 + v1, u2 + v2〉

u − v = u + (- v) = 〈u1 − v1, u2 − v2〉

Скалярное умножение и векторное сложение имеют следующие свойства:

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО УМНОЖЕНИЯ И ВЕКТОРА ДОПОЛНЕНИЕ:

Пусть u , v и w — векторы, а c и d — скаляры.

1. u + v = v + u 2. ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3. u + 0 = u 4. u + (- u ) = 0

5. c (d u ) = (cd) u 6. (c + d) u = c u + d u

7. c ( u + v ) = c u + c v 8.1 · u = u , 0 · u = 0

9. || c v || = | c ||| v ||

Давайте рассмотрим пару примеров.

Пример 1: Если u = 〈- 2,1〉 и v = 〈7, −3〉 найти (а) u + v и (б) u — v.

Шаг 1. Вычислить u + v с помощью сложения векторов.

Добавьте x-компонент обоих векторов.Сделайте то же самое для y-компонентов.

и + v = 〈- 2 + 7, 1 + (- 3)〉

и + v = 〈5, −2〉

Шаг 2: Вычислить u — v с помощью сложения векторов.

Запомните u — v = u + (-v), поэтому вычтите x-компонент v из u .Сделайте то же самое для y-компонентов.

u − v = u + (- v) = 〈- 2−7, 1 — (- 3)〉

u − v = 〈- 9, 4〉

Пример 2: Если u = 〈6,15〉 и v = 〈- 5,20〉 находим (а) 2u + v и (б) 5u — 2v.

Шаг 1. Вычислите 2u + v, используя скалярное умножение и сложение векторов.

a) Сначала вычислите 2 и , используя скалярное умножение.

б) Затем вычислите 2 u + v , используя сложение векторов.

2u = 2 〈6,15〉 = 〈2 · 6, 2 · 15〉

2u = 〈12, 30〉

2u + v = 〈12 + (- 5), 30 + 20〉

2u + v = 〈7,50〉

Шаг 2: Вычислите 5u — 2v, используя скалярное умножение и сложение векторов.

a) Сначала вычислите 5 u и 2 v , используя скалярное умножение.

б) Затем вычислите 5 u +2 v , используя сложение векторов.

5u = 5 〈6,15〉 = 〈5 · 6, 5 · 15〉

5u = 〈30, 75〉

2v = 2 〈−5,20〉 = 〈2 · (−5), 2 · 20〉

2u = 〈- 10, 40〉

5u − 2v = 5u + (- 2v)

5u − 2v = 〈30 — (- 10), 75−40〉

5u − 2v = 〈40, 35〉

Скалярное умножение матрицы Калькулятор

Цель использования: ну я использую thsi проверить, верен ли мой ответ или нет
Комментарий / запрос: Это действительно интересное приложение

Цель использования: Проверить правильные ответы

Цель использования: Помощь в выполнении домашних заданий.Пытаюсь понять матрицы, но с трудом обдумываю это.

Цель использования: Пытаясь понять этот материал, я работаю над 12 вопросами в течение двух часов, и я собираюсь сломаться, если я этого не сделаю.
Комментарий / запрос: Я не понимаю, почему нас этому учат, я никогда этим не воспользуюсь.

Цель использования: Проверить ответ.
Комментарий / запрос: idgi

Цель использования: математика на уровне колледжа. лень умножать матрицу на -1/126

Цель использования: Я не хочу этого делать, а сегодня понедельник, мой мозг не работает.

Цель использования: Домашние задания

Цель использования: Нужна помощь, чтобы убедиться, что я получаю правильные ответы

Скалярное умножение

Умножение вектора на скаляр (т.е.е. действительное число), пожалуй, одна из самых простых операций, которые мы можем выполнить с помощью векторов. Этот процесс называется скалярным умножением , но иногда его называют просто масштабированием , потому что, хотя он увеличивает (или уменьшает) величину вектора , он не изменяет направление вектора . На рисунке ниже показан свободный вектор a и новый вектор a ‘, который получается в результате умножения вектора a на два .

Вектор a ′ — вектор a, умноженный на два

Очевидно, умножение вектора на на приведет к получению вектора, идентичного исходному. С другой стороны, умножение вектора на минус один меняет направление вектора на противоположное. На следующем рисунке снова показан вектор a , на этот раз умноженный на минус два .

Вектор a ′ — это вектор a, умноженный на минус два

Обратите внимание, что деление вектора на скаляр — это то же самое, что умножение его на обратное значение скаляра. Например, чтобы разделить вектор на два , мы просто умножим его на ¹/₂ или 0,5. На следующем рисунке снова показан вектор a , на этот раз умноженный на 0.5.

Вектор a ′ — вектор a, умноженный на 0,5

Мы можем легко выполнить скалярное умножение с помощью матричной арифметики, поскольку операция просто требует, чтобы мы умножили компоненты x и y (для двумерных векторов) или компоненты x , y и z (для трех -мерные векторы) скаляром.Кстати, вам может быть интересно, почему мы решили использовать матричную арифметику для управления векторами. Когда мы каким-либо образом манипулируем векторами (например, масштабируем их, перемещаем, отражаем в линию или вращаем вокруг некоторой оси), мы выполняем линейное преобразование . Матрицы идеально подходят для представления различных видов линейных преобразований в согласованном формате, который легко представить в виде компьютерной структуры данных (например, в области компьютерной графики).Таким образом, матричная арифметика позволяет нам относительно легко комбинировать различные операции над векторами. Вот умножение матрицы для умножения вектора на два :

теория элементарных множеств — Скалярное умножение множества

Обозначения, которые вы предлагаете, очень распространены в контекстах, где имеет смысл скалярное умножение. Например, при изучении фрактальной геометрии фрактальные множества часто обнаруживают самоподобие.n $ — векторное пространство над $ k = \ mathbb {R} $), пусть $ P \ substeq V $, и пусть $ q \ in k $. Затем $$ q \ cdot P = qP = \ {qp: p \ in P \}. $$ Даже больше в целом, если $ P $ — это любой набор со структурой, поддерживающей некоторый вид умножения, а $ q $ — любой объект, такой что $ qp $ имеет смысл для $ p \ in P $, тогда обозначение, вероятно, быть понятым.

В качестве базового примера вы можете встретить обозначение $$ \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ qquad \ text {(где $ p $ — простое число)} $$ в типичном бакалавриате по абстрактной алгебре.Это частное от $ \ mathbb {Z} $ (целых чисел) с $ p \ mathbb {Z} $ (кратным $ p $, т.е. множество $ \ {np: n \ in \ mathbb {Z} \} $).

В качестве дополнения существуют также понятия сумм и разностей множеств с таким обозначением. Если $ A $ и $ B $ — два подмножества некоторого пространства, в котором определены сложение и вычитание, то мы можем определить сумму Минковского и разность $ A $ и $ B $ как $$ A \ pm B: = \ {a \ pm b: a \ in A \ land b \ in B \}. $$ Подобное обозначение может быть легко принято для «произведения Минковского» или «частного Минковского» (хотя я был бы осторожен с этими терминами, поскольку они могут иметь другие значения).Действительно, я недавно наткнулся на статью, в которой используются обозначения $$ CD: = \ {cd: c \ in C \ land d \ in D \}, $$ где $ C, D \ substeq \ mathbb {R} $. В той же статье также используются обозначения $$ 1 / \ mathbb {N}: = \ {\ tfrac {1} {n}: n \ in \ mathbb {N} \}, $$ что согласуется с мультипликативной записью.

Векторное скалярное умножение, онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор умножения вектора на 4 элемента и число

Вычислить векторно-скалярное умножение

Эта функция умножает вектор на действительное число.Чтобы выполнить расчет, введите вектор и действительное число, которое нужно вычислить, и нажмите кнопку «Рассчитать». Пустые поля считаются как 0.

Калькулятор векторного скалярного умножения

Описание векторно-скалярного умножения

Векторы можно умножать на действительные числа.Действительное число называется скаляром, чтобы отличить его от векторов.

Если скаляр положительный, результирующий вектор будет указывать в том же направлении, что и оригинал. Если скаляр отрицательный, он указывает в противоположном направлении.

Вектор и скаляр умножаются путем умножения отдельных элементов вектора на скаляр. Рассчитывается:

\ (\ displaystyle \ left [\ matrix {a \\ b \\ c \\ w} \ right] \ cdot x = \ left [\ matrix {a \ cdot x \\ b \ cdot x \\ c \ cdot x \\ d \ cdot x} \ right] \)

Пример

\ (\ Displaystyle \ влево [\ матрица {2 \\ 3 \\ 4 \\ 5} \ вправо] \ CDOT 5 = \ left [\ matrix {2 \ cdot 5 \\ 3 \ cdot 5 \\ 4 \ cdot 5 \\ 5 \ cdot 5} \ right] = \ left [\ matrix {10 \\ 15 \\ 20 \\ 25} \ right] \)

Эта страница полезна? да Нет
Спасибо за ваш отзыв!
Прошу прощения за это
Как мы можем это улучшить?

послать

Скалярное умножение

..Скалярное умножение векторов

Скалярное умножение в декартовых координатах

..Некоторые примеры использования скалярного умножения

Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Скалярное произведение

(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({});

Скалярное произведение

Скалярное умножение — это… Что такое Скалярное умножение?

Смотреть что такое «Скалярное умножение» в других словарях:

Геометрия данных 3. Скалярное произведение пар / Хабр

Упорядоченная пара

Скалярное произведение

Пары с общей вершиной — смежные пары

Независимые пары — четыре разных вершины

Пары на элементах базиса

Скалярное произведение и кофакторы лапласиана

Скалярное произведение пар на графе

Обращение минора лапласиана

Квадрат скалярного произведения, матрица Якоби

Тензор квадросвязности вершин

Свойства тензора квадросвязности

«Зачем нужно скалярное произведение векторов?» – Яндекс.Кью

Скалярное умножение — ChiliMath

«Формула» скалярного умножения (простой тип)

Примеры скалярного умножения

Как умножить матрицы на скаляры

Свойства скалярного умножения

Что такое скалярное умножение

Свойства скалярного умножения матриц

Свойства примеров скалярного умножения

Скалярное умножение и сложение векторов

Скалярное умножение матрицы Калькулятор

Скалярное умножение

теория элементарных множеств — Скалярное умножение множества

Векторное скалярное умножение, онлайн калькулятор

Вычислить векторно-скалярное умножение

Описание векторно-скалярного умножения

Пример

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики