Система счисления. Позиционная система счисления.

Содержание:

1. Унарная система счисления
2. Непозиционная система счисления
3. Позиционная система счисления
4. Представление числа в позиционной системе счисления

Задумывались ли вы над тем, почему при сложении тех или иных чисел получается строго определённое число? А почему мы обходимся всего десятью цифрами? Странные вопросы… Дело в том, что мы привыкли проводить вычисления, используя всего одну и ту же систему счисления. Однако это было так не всегда.

Системой счисления принято называть знаковую систему, в которой были приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записывают числа, мы называем цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Для любой системы счисления, цифры которые служат для обозначения чисел, называемые узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате операций над узловыми числами.

В Древнем Вавилоне узловыми числами выступали 1,10,60;

Системы счисления отличаются друг от друга выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. В информатике выделяют такие виды систем счисления, как:

• унарная система;
• непозиционная система;
• позиционная система.

Унарная система

В самой древней и простой унарной системе счисления, для записи любых чисел использовался всего лишь один символ — в виде зарубки, выемки, узелка или камушка.

Чем больше зарубок — тем больше число. По сути, эта система является основой любого счёта. Унарная система, по-другому, ещё называется системой бирок.

Если вы думаете, что не пользуетесь этой системой счисления, тогда не считайте на пальцах!

Непозиционная система счисления

Для такой системы счисления количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Примерно в III тысячелетии до н.э. древние египтяне разработали десятичную непозиционную систему счисления, в которой для обозначения узловых чисел 1, 10, 100 использовались символы – иероглифы.

В большинстве непозиционных систем счисления новые числа образуются путём сложения узловых чисел.

Каноническим примером непозиционной системы счисления всегда приводится римская система счисления. В качестве узловых цифр здесь применялись заглавные буквы латинского алфавита:

I = 1,
V = 5,
X = 10,
L = 50,
C = 100,
D = 500,
M = 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает единицу независимо от места в числе.

Однако римская система не может быть полностью непозиционной, так как меньшая цифра, которая стоящая слева перед большей, должна вычитаться из неё:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Непозиционной системой счисления являлась и кириллическая система счисления — система счисления, применяемая на территории Древней Руси до XVIII века, основанная на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы.

Позиционная система счисления

В позиционной системе счисления, количественный эквивалент цифры как раз зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления соответствует количеству цифр, которые составляют её алфавит.

Основным примером позиционной системы счисления является десятичная система записи чисел, к которой мы все так уже привыкли с детства, и в которой производим все основные математические вычисления.

Алфавитом десятичной системы являются цифры от 0 до 9. Образование чисел в ней происходит следующим образом: значения цифр умножаются на их «веса» соответствующих разрядов, а затем все полученные значения складываются.

Числительными русского языка, такое значением хорошо отражается, к примеру: «пять-сот семь-десят два».

Основанием позиционной системы счисления является любое натуральное число q>1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0,1,…,q−1, каждое из которых записывается при помощи одного уникального символа; младшей цифрой всегда выступает 0.

Основными преимуществами любой позиционной системы счисления являются простота выполнения арифметических операций и небольшое количество символов, используемых в записи чисел.

Представление числа в позиционной системе счисления

В позиционной системе счисления с основанием q всякое число может быть представлено по формуле (развёрнутая форма записи):

A_q=±(a_n−1⋅qⁿ⁻¹+a_n−2⋅qⁿ⁻²+…+a₀⋅q⁰+a₋₁⋅q⁻¹+…+a_−m⋅q^−m).

где:

А — число;
q — основание системы счисления;
a_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
q_i — «вес» i-го разряда.

Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде:

±a_n−1a_n−2. ..a₁a₀…a_−m

в качестве примера, возьмём десятичное число 21466,12. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме мы переходим сразу к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и суммируя все полученные перемножения:

2⋅10⁴+1⋅10³+4⋅10²+6⋅10¹+6⋅10⁰+1⋅10⁻¹+2⋅10⁻².

Десятичная система счисления, несмотря на свою универсальность, имеет большой недостаток — она избыточна, так как имеет большой алфавит. Для компьютерной техники наиболее удобной оказалась двоичная система счисления, поэтому мы рассмотрим её в следующем уроке.

Кодирование информации Двоичная система счисления

Перевод систем счисления – таблица, правила, формулы

В решении определенного класса задач иногда удобно записывать числовые значения в разных системах счисления. Разработан ряд унифицированных правил перевода чисел между системами. О том, как выполняется перевод систем счисления, рассказано в статье.

Что такое перевод систем счисления

Основанием системы счисления является величина, определяющая количество символов для записи числового значения. Например, основанием двоичной системы является число 2, пятеричной, соответственно – 5.

Рис. 1. Таблица: основание и алфавит различных систем счисления.

Число 15 в десятичной системе при переводе в пятеричную равно 30, а в восьмеричной будет равно 17. Шестнадцатеричный эквивалент пятнадцати представляет собой букву F. Как так получается?

Рис. 2. Таблица соответствия десятичных и шестнадцатеричных чисел.

Перевод чисел с участием десятичной системы счисления

В преобразовании чисел с участием десятичной системы приняты три строгих правила перевода.

1. Пересчет числового значения из десятичного формата в эквивалент другой системы счисления заключается в делении целой части и полученных частных, на величину основания будущей системы счисления. При этом остатки от деления записываются начиная с последнего.

Например, 15 из десятичной системы в восьмеричную переводится так: 15 / 8 = 1 (в остатке 7). Записываем итог, начиная с конечного и в данном случае единственного частного, и затем остаток. Получим 17.

Еще один пример: десятичное 125 в восьмеричной системе: 125 / 8 = 15 (5). Полученное частное больше, чем основание 8.

Продолжаем делить: 15 / 8 = 1 (7). Ответ записывается с последнего частного, а затем остатки от деления: 175.

Следует запомнить, что запись результата всегда начинает с последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.

2. Преобразование части десятичного числа, записанной после запятой, выполняется с помощью обратной процедуры, то есть умножения, вычисляя одно за другим произведения дробных частей на основание будущей системы счисления и записывая последовательно цифры, полученные в целой части. Например, дробная часть числа 0,134 в двоичную систему переводится так (удобнее это делать столбиком):

0,134 * 2 = 0,268 (в целой части 0)

0,268 * 2 = 0,536 (0)

0,536 * 2 = 1,072 (слева от запятой 1)

0,072 * 2 = 0,144 (в целой части 0)

0,144 * 2 = 0,288 (0)

Произведения вычисляют до тех пор, пока не будет обеспечена заданная точность или в остатке не получится ноль. 4. Перевод между этими системами и двоичной системой удобнее всего выполнять с помощью таблицы перевода систем счисления:

Рис. 3. Таблица соответствия чисел в 2-, 8- и 16-й системах счисления.

Каждое восьмеричное число представляется триадой (тремя элементами) двоичных знаков, каждое шестнадцатеричное – двоичной тетрадой (четыре элемента).

Например, 8 → 2: 134 ⇔ 001011100

16 → 2: 8F ⇔ 10001111

2 → 8: 110101 ⇔ 65

2 → 16: 11011000 ⇔ D8

Что мы узнали?

Переход между различными системами счисления выполняется по строго определенным правилам. Десятичные числа преобразуются в другие системы путем последовательного деления целой части и умножения дробной, обратный перевод выполняется с помощью полинома. Перевод между 2-, 8- и 16-ми системами выполняется по таблице.

Оценка статьи

А какая ваша оценка?

CBSE Class 9 Математические системы счисления Формулы

Вам трудно справиться с математическими формулами и уравнениями? Математические формулы кажутся сложными для запоминания? Не о чем беспокоиться. Что, если мы скажем вам, что вам больше не нужно изо всех сил ломать все математические формулы 9-го класса? Да! Вы получите формулы системы счисления в таблицах формул по математике для класса 9, разработанных экспертами в предметной области Веданту. Этот лист включает все формулы системы счисления класса 9главы мудрые.

Где найти математические формулы для 9 класса?

CBSE Class 9 Математические формулы Все главы доступны для свободного доступа и пересмотра на Vedantu.com. Вы можете просто загрузить важные математические формулы и уравнения в формате PDF для 9-го класса, чтобы легко и быстро решать задачи и получать более высокие оценки на экзаменах Совета CBSE 9-го класса в Vedantu.

Система счисления Класс 9

Натуральные числа: Имеют числовую форму -1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10………обозначаются буквой N

Целые числа: представлены в числовой форме – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10….. …..обозначаются буквой W.

Целые числа : -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 обозначаются Z

Рациональные числа: Все числа, которые математически могут быть записаны в виде p/q, q ≠0, известны как рациональные числа, где p и q относятся к целым числам.

Иррациональные числа. Число s называется иррациональным, если его нельзя математически записать в виде p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0,9.0003

Десятичное расширение: такое алгебраическое расширение в десятичной форме рационального числа является либо завершающим, либо не прекращающимся повторением. Следовательно, мы можем сказать, что число, чье десятичное представление является либо конечным, либо неконечным/повторяющимся, является тем, что мы называем рациональным числом. Имеются следующие свойства десятичного расширения:

• Для иррационального числа десятичное расширение не прекращается и не повторяется.

• Все рациональные и иррациональные числа можно сложить вместе.

• Мы можем составить набор действительных чисел.

• Вещественное число может быть как рациональным, так и иррациональным.

• Если r рационально, а s иррационально, то r + s, r — s, r . s всегда будет иррациональным числом, однако r/s может быть как рациональным, так и иррациональным

• Мы можем представить каждое иррациональное число на числовой прямой, используя теорему Пифагора.

• Рационализация — это метод извлечения квадратных корней из знаменателя. Например, для математического выражения 2 + √6/√4, чтобы удалить, мы умножим как числитель, так и знаменатель на √4.

Важная система счисления Формула класса 9

1. Формулы полиномиальных выражений

Биномиальная	(2x + 3y), (3x − 2y) и т. д.
Одночлен	3, 2x, 23y и т.д. 5 и т. д.
Линейный многочлен	x+2, 3x + 5 и т. д.
Квадратичный полином	ax2 + bx + c и т. д.
Биквадратный полином	х4 + 5х3 + 2х2 + 3
Кубический многочлен	x3 + 4×2 + 5 и т. д.

0058

Уравнение прямой

ax + by + c = 0

Уравнение окружности

x² +y² =r²

Здесь ‘r’ обозначает радиус окружности

Уравнение эллипса

x²/a²+y²/b²=1

Уравнение параболы

y² = 4ax

9007 1

Уравнение гиперболы

x²/a² — y²/b² =1

Угол между двумя линиями

Формула расстояния

√(x2−x1)²+(y2 −y1)²

3. Формулы для окружностей

900 71

Площадь круга	πr²
Диаметр окружности	2r
Длина окружности	2πr
Угол сектора окружности	θ = (360/(πr)
Площадь сектора	(θ/ 2)×r²
Площадь кругового кольца	π × (R²−r²)
r = радиус внутренней окружности. R = радиус внешней окружности. θ = Угол между двумя радиусами.

Как выучить все формулы математических систем счисления 9 класса CBSE?

Системы счисления включают в себя различные формулы, такие как длина окружности, полиномиальные выражения, формула расстояния и т. д. Если вы не выучите все формулы должным образом, вы можете запутаться и не сможете решить вопрос. Вот несколько советов о том, как выучить все формулы CBSE Class 9.Системы счисления по математике:

• Когда вы изучаете любую формулу Системы счисления по математике 9 класса CBSE, вы должны просмотреть ее определения и пояснения, данные в учебнике, чтобы понять, о чем эта формула.

• После изучения формулы необходимо использовать решенные примеры в учебниках и справочниках, чтобы понять, как ее применять и правильно решить вопрос.

• Математика CBSE класса 9 Формулы систем счисления — Система счисления, Важная формула системы счисления и часто задаваемые вопросы, доступные на Vedantu, содержат объяснения простым языком. Вы можете использовать нашу платформу, чтобы пересмотреть эти формулы и улучшить свое понимание систем счисления.

• После того, как вы выучите все формулы, попробуйте решить вопросы на основе математических систем счисления 9 класса CBSE. Практикуя эти вопросы, вы научитесь использовать формулу в вопросе и улучшите свои математические навыки.

• Изучая формулы математических систем счисления 9 класса CBSE, вы также должны узнать, как они были получены. Изучив вывод формулы, вы сможете более четко понять ее концепцию.

Почему системы счисления важны для учащихся 9 класса CBSE, изучающих математику?

Математика является важным предметом для учащихся 9 класса CBSE. Учебная программа CBSE Class 9 по математике включает в себя множество важных понятий, которые необходимо изучить. Системы счисления являются одним из таких понятий. Изучение систем счисления действительно полезно, поскольку облегчает понимание других концепций математики для 9-го класса.

Ниже приведены некоторые другие причины, по которым вам следует изучать системы счисления: 

• CBSE Class 9Математические формулы систем счисления — Система счисления, Важная формула системы счисления и часто задаваемые вопросы помогут вам лучше понять действительные числа, целые числа, натуральные числа и целые числа.

• Знакомство с системами счисления по математике 9 класса CBSE поможет вам с легкостью освоить другие понятия из вашей программы по математике.

• Системы счисления содержат множество формул, включая полиномиальные функции, окружности и геометрию. Таким образом, изучение систем счисления по математике класса 9 CBSE также поможет вам в решении вопросов, основанных на этих темах.

• Системы счисления CBSE по математике класса 9 имеют значительный вес на экзамене по математике класса 9.

  Если вы тщательно изучите эту концепцию, вы сможете хорошо набрать баллы на экзамене.

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, вещественные и другие ,2,3,4,5 и т.д. Там бесконечно много натуральных чисел. Набор натуральных чисел {1,2,3,4,5,…}, иногда пишется

N для краткости.

целых чисел являются натуральными числами вместе с 0.

(Примечание: некоторые учебники расходятся во мнениях и говорят, что натуральные числа включают 0.)

Сумма любые два натуральных числа также являются натуральным числом (например, 4+2000=2004), а произведение любых двух натуральных чисел — натуральное число (4×2000=8000). Этот однако это неверно для вычитания и деления.

Целые числа

Целые числа представляют собой набор действительных чисел, состоящий из натуральных чисел, их аддитивных инверсий и нуля.

{…,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,…}

Набор целых чисел иногда пишется J или Z для краткости.

сумма, произведение и разность любых двух целых чисел также являются целыми числами. Но это неверно для деления… просто попробуйте 1÷2.

Рациональные числа

Рациональные числа те числа, которые могут быть выражены как отношение между два целых числа. Например, дроби 13 и −11118 равны рациональное число. Все целые числа входят в число рациональных, так как любое целое число z может быть записано как отношение z1.

Все десятичные дроби, которые заканчиваются, являются рациональными числами (поскольку 8.27 можно записать как 827100). которые имеют повторяющийся шаблон после некоторого момента, также являются рациональными: например,

0,0833333….=112.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех основных операций, то есть для любых двух рациональных чисел их сумма, разность, произведение и частное также являются рациональными числами (если мы не делим на 0).

Иррациональные числа

иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения (или дроби). В десятичной форме оно никогда не заканчивается и не повторяется. древние греки обнаружили, что не все числа рациональны; там уравнения, которые нельзя решить, используя отношения целых чисел.

Первое такое уравнение для изучения было 2=x2. Что число, умноженное на себя, равно 2?

2 есть около 1,414, потому что 1,4142=1,999396, что близко к 2. Но вы никогда не попадете точно в квадрат дроби (или десятичная дробь). Квадратный корень из 2 является иррациональным числом, т. десятичный эквивалент продолжается вечно, без повторяющегося шаблона:

2=1.41421356237309…

Другие известные иррациональные числа золотое сечение , число с большим значение для биологии:

1+52=1,61803398874989…

π (пи), отношение длины окружности к ее диаметру:

π=3,14159265358979…

и e, самое важное число в исчислении:

e=2,71828182845904…

Иррациональные числа могут быть далее подразделены на алгебраических чисел, которые являются решениями некоторых полиномиальных уравнений (таких как 2 и золотое сечение), и

трансцендентных чисел, которые не являются решениями ни одного полиномиального уравнения. π и e оба трансцендентны.

Вещественные числа

Вещественные числа — это набор чисел, содержащий все рациональные числа и все иррациональные числа. Настоящие числа — это «все числа» на числовой прямой. Существует бесконечно много действительных чисел, так же как бесконечно много чисел в каждом из других наборов чисел. Но можно доказать, что бесконечность действительных чисел равна 9.0351 больше

бесконечность.

«Меньший», или исчисляемое бесконечность целых чисел и рациональные числа иногда называют ℵ0 (алеф-ноль), и несчетная бесконечность реалов называется ℵ1 (алеф-один).

Есть еще «большие» бесконечности, но для этого вам нужно пройти курс теории множеств!

Комплексные числа

Комплексные числа множество {a+bi | a и b — действительные числа}, где i — мнимая единица, −1. (нажмите здесь для подробнее о мнимых числах и операциях с комплексными числами).

Комплексные числа включают множество действительных чисел.