Применение силы Лоренца

Раздел долгосрочного плана:            Магнитное поле		Школа:
Дата:4 четверть		ФИО учителя:
Класс: 10		Количество присутствующих:				Количество отсутствующих:
Тема 117 урока		Применение силы Лоренца.
Цели обучения, которые достигаются на данном  уроке		10.4.4.4 исследовать действие магнитного поля на движущиеся заряженные частицы.
Цели урока		Учащиеся могут: Определять направление и модуль силы Лоренца. Определять период и радиус заряженной частицы в магнитном поле.
Критерии успеха		Навыки Критерии успеха Учащийся достиг цели обучения, если… Понимание Понимает применение правила левой руки. Понимает вознткновения центростремительного ускорения частиц. Применение Применяет формулы при определении вектора скорости, силы тока и силы Лоренца, радиуса траектории Анализ Анализируя проводит расчеты без ошибок, использует правильные единицы измерения.
Языковые цели		Предметная лексика и терминология Қазақша Русский English Қондырғы Устройство Device Үдеткіш Ускоритель Accelerator Магнитті тұзақ Магнитная ловушка Magnetic trap Қолдану Применение Practice Учащиеся могут: Объяснять, как определить направление силы Лоренца и применение… Полезные выражения для диалогов и письма: На заряженную частицу в магнитном поле действует… Магнитное поле  влияет больше на движущеюся заряженную частицу, чем больше магнитная индукция …  . Чем больше энергия движения тем большим радиусом описывает …
Привитие ценностей		Привитие ценностей осуществляется посредством/через привитие основ уважения и сотрудничества при совместном планировании решения задач при работе в группах, а также в ходе выслушивания и анализа идей других учащихся.
Межпредметные связи		Межпредметная связь на уроке реализуется при помощи использования сквозных тем с математикой. Повторяется понятие прямого угла и используется знание синуса угла, длины окружности.
Навыки использования ИКТ		В ходе проведения данного урока учащиеся улучшат навыки работы, строить планы необходимые  для логического объяснения идей. Также будут развиваться навыки поиска информации.
Предварительные знания		Учащиеся из материала прошлого урока ученики понимают природу силы Лоренца и знают правило определения этой силы.  Определение кинетической энергии тела, периода, длины окружности, массу и заряд электрона и протона и т.п.
Ход урока
Этапы урока	Запланированная деятельность на уроке						Ресурсы
Начало урока 0-5	Организационный момент Актуализация знаний Мозговой штурм: Ø  Силы Лоренца Ø  Направление силы Лоренца Ø  Сформулируйте правило левой руки Ø  Масса и заряд электрона и протона Ø  Чем отличаются силы Лоренца и Ампера Ø  Где применяются силы Лоренца Как вы думаете, о чем мы будем говорить на сегодняшнем уроке? Формулировка целей и задач урока.
Середина урока     6-10                                       11-15             16-21                                 22-27                                                           28-32         29-38	Обсуждение – изучение нового материала. Показать видеоролик демонстрирующий силу Лоренца. Объяснит физический смысл.           Кинескоп — телевизионная трубка, электронно-лучевая трубка На движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля действует сила Лоренца. Эта сила перпендикулярна скорости и не совершает работу. Действие магнитного поля на движущийся заряд широко используют в современной технике. Достаточно упомянуть телевизионные трубки ( = кинескопы), в которых летящие к экрану электроны отклоняются с помощью магнитного поля, создаваемого особыми катушками. Применение силы Лоренца мы можем наблюдать у экрана старого телевизора, осцилографа, монитора, то есть во всех приборах где есть электронно-лучевая трубка. Масс-спектрограф — прибор, позволяющий разделять заряженные частицы по их удельным зарядам, т.е. по отношению заряда частицы к её массе, и по полученным результатам точно определять массы частиц.   Вакуумная камера прибора помещена в магнитное поле (вектор индукции В перпендикулярен рисунку). Ускоренные электрическим полем заряженные частицы (электроны или ионы), описав дугу, попадают на фотопластинку, где оставляют след, позволяющий с большой точностью измерить радиус траектории r. По этому радиусу определяется удельный заряд иона. Зная же заряд иона, легко вычислить его массу. Изучить химический состав грунта, взятого на Луне, например, поможет тот же масс-спектрограф.   Циклотрон — ускоритель заряженных частиц. Между полюсами сильного электромагнита помещается вакуумная камера, в которой находятся два электрода в виде полых металлических полуцилиндров (дуантов). К дуантам приложено переменное электрическое напряжение, частота которого равна циклотронной частоте. Заряженные частицы инжектируются в центре вакуумной камеры. Частицы ускоряются электрическим полем в промежутке между дуантами. Внутри дуантов частицы движутся под действием силы Лоренца по полуокружностям, радиус которых растет по мере увеличения энергии частиц. Каждый раз, когда частица пролетает через зазор между дуантами, она ускоряется электрическим полем. Таким образом, в циклотроне, как и во всех других ускорителях, заряженная частица ускоряется электрическим полем, а удерживается на траектории магнитным полем. Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергии порядка 20 МэВ.   Магнитогидродинамический генератор  — энергетическая установка, в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды), движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию. Обсуждения и выводы. Можно провести мини проверочную работу по усмотрению учителя
Конец урока 39-40	Рефлексия:  Домашнее задание: Действие магнитного поля на движущийся заряд. Применение силы Лоренца.						Дополнительная литература
Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?			Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?   (9)		Здоровье и соблюдение техники безопасности
Все учащиеся будут: Знать как используется действие магнитного поля на заряженную частицу Большинство учащихся будут: Определять направление движения частиц вмагнитом поле Некоторые учащиеся будут: Объяснять, принцип работы масс-спектрографа, циклотрона, магнитной ловушки и как сила Лоренца защищает Землю от радиации.			(1)             Устное оценивание ответов учащихся, похвала (2)              Работа в парах по исследованию магнитного поля катушки с током (3)  Взаимооценивание ответов, гипотез и их доказательств		В процессе обработки результатов интерактивных опытов учащимися развивается критическое и логическое мышление. При обсуждении результатов работы в группах и коллективной, развивается уважение к чужому мнению, умение выражать свои мысли и общаться должным образом со сверстниками и одноклассниками. Соблюдение инструкций по технике безопасности в кабинете демонстрирует ответственность и уважение к жизни и здоровью других.
Рефлексия по уроку   Были ли цели урока/цели обучения реалистичными? Все ли учащиеся достигли ЦО? Если нет, то почему? Правильно ли проведена дифференциация на уроке? Выдержаны ли были временные этапы урока? Какие отступления были от плана урока и почему?				Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.
Общая оценка   Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)? 1:   2:   Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)? 1:   2:   Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

Классическая электродинамика (5 семестр, д.ф.-м.н., проф., Н.В. Антонов)

 

3 курс, 5 семестр

Лектор: профессор, доктор физ.-матем. наук Николай Викторович Антонов,
Кафедра физики высоких энергий и элементарных частиц, комн. 402.

Введение. Уравнения Максвелла. Сохранение заряда.
Потенциалы. Калибровочная инвариантность.

1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Операции ротор, градиент, дивергенция. Уравнение непрерывности, закон сохранения заряда.
2. Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса. Уравнения Максвелла в интегральной форме.
3. Соотношение между дифференциальной и интегральной формой уравнений Максвелла при наличии поверхностей разрыва. Краевые условия (условия сшивания).
4. Переход от напряженностей к потенциалам. Уравнения для потенциалов.
5. Калибровочные условия. Калибровки Кулона и Лоренца, их допустимость и преимущества.

   Релятивистски-ковариантная форма электродинамики.
   Принцип наименьшего действия.
   Энергия и импульс электромагнитного поля.
   

    

6. Тензора на группах SO(3) и O(3). Операции с тензорами. Лемма о свертке известного с неизвестным. Пространственные отражения.
7. Тензорные поля на группе вращений. Тензорные свойства операции дифференцирования.
8. Преобразования Лоренца: определение, общие свойства, световой конус.
9. Преобразования Лоренца: деление на классы.
10. Собственные преобразования Лоренца: явный вид перехода к движущейся системе отсчета.
11. Релятивистский закон сложения скоростей. Одновременность, сокращение масштабов и растяжение времени.
12. Тензора на группе Лоренца. Ковариантные и контравариантные векторы. Тензорные свойства координаты, производной, метрического тензора и символа Кронекера. Свертки, верхние и нижние индексы.
13. Тензора на группе Лоренца. Свертки, верхние и нижние индексы. Смена типа тензора: опускание и поднятие индексов.
14. Тензора на группе Лоренца. Тензорная природа потенциалов и напряженностей.
15. Релятивистски-ковариантная формулировка уравнений Максвелла для потенциалов. Поперечность, калибровочная инвариантность и ковариантная запись уравнения непрерывности.
16. Релятивистски-ковариантная формулировка уравнений Максвелла для напряженностей. Дуальный тензор поля.
17. Преобразования потенциалов и напряженнoстей при переходе к движущейся системе отсчета.
18. Теоретическая механика систем с конечным числом степеней свободы: лагранжиан, принцип наименьшего действия, уравнения движения как уравнения Эйлера. Обобщение на случай сплошной среды.
19. Электродинамика с позиций теоретической механики сплошной среды. Лагранжиан, действие, уравнения Максвелла как уравнения Эйлера. Инварианты полей.
20. Теоретическая механика сплошной среды: тензор энергии-импульса для произвольного поля. Физический смысл его компонент, законы сохранения энергии и импульса. Симметризация тензора энергии-импульса.
21. Тензор энергии-импульса в электродинамике. Плотность энергии и плотность потока энергии. Симметризация тензора энергии-импульса.
22. Тензор энергии-импульса в электродинамике. Уравнение баланса энергии и импульса при наличии внешнего источника.
23. Релятивистский лагранжиан свободной частицы. Её импульс и энергия. Четырехмерная скорость, четырехмерный импульс.
24. Релятивистская кинематика распадов частиц.
25. Лагранжиан взаимодействия точечной релятивистской частицы с внешним полем. Явный вид, энергия и импульс для частицы в поле.
26. Дельта-функция Дирака. Свойства, дельта-функция со сложным аргументом. Плотности заряда и тока для движущейся точечной заряженной частицы.
27. Уравнения движения заряженной точечной частицы во внешнем поле. Сила Лоренца. Ковариантная запись уравнений движения.
28. Движение заряженной частицы в магнитном поле. Циклотронная частота.
29. Движение заряженной частицы в постоянном электрическом поле.

    
    Электро- и магнитостатика. Диэлектрики и магнетики. Мультипольные разложения.

     

30. Уравнения электро- и магнитостатики. Калибровочная инвариантность в статике. Общее решение уравнения Пуассона для потенциалов. Внутренняя согласованность такого решения для векторного потенциала.
31. Мультипольное разложение для скалярного потенциала. Малый параметр. Мультипольные моменты, их тензорные свойства, преобразование при сдвиге начала координат.
32. Мультипольное разложение для скалярного потенциала. Неприводимые мультипольные моменты. Мультипольное разложение в терминах неприводимых моментов.
33. Неприводимые мультипольные моменты для систем со сферической и осевой симметрией. Общий вид тензора квадрупольного момента для системы с осевой симметрией.
34. Мультипольное разложение для векторного потенциала в магнитостатике. Дипольный магнитный момент произвольной системы токов.
35. Электростатика: энергия системы зарядов во внешнем поле. Магнитостатика: механическая потенциальная энергия системы токов во внешнем заданном магнитном поле.
36. Магнитостатика: полная потенциальная энергия системы токов во внешнем магнитном поле.
37. Электростатика: собственная потенциальная энергия системы зарядов (энергия в собственном поле). Её выражение через напряженность поля.
38. Свободные и связанные заряды в диэлектриках. Вектор поляризации Р. Выражение связанных зарядов через поляризацию. Уравнения электростатики для диэлектриков.
39. Свободные и связанные токи в магнетиках. Вектор намагниченности М. Выражение связанных токов через намагниченность. Уравнения магнитостатики для магнетиков.
40. Условия сшивания на границе двух сред для диэлектриков и магнетиков.
41. Потенциалы точечного электрического и магнитного диполя. Сила, действующая на точечные диполи во внешних полях. Объемные силы в изотропных диэлектриках и магнетиках.
42. Термодинамика диэлектриков и магнетиков. Вычисление работы внешних сил, необходимой для бесконечно малого изменения поля.
43. Термодинамика диэлектриков и магнетиков. Плотность энергии поля для однородных и изотропных диэлектриков и магнетиков.
44. Метод разделения переменных для уравнения Лапласа в сферических координатах. Сферические гармоники. Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах.
45. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах: диэлектрический шар и точечный заряд.

    
    Динамика. Излучение. Электромагнитные волны.

     

46. Динамика: свободные поля, плоские волны. Калибровка излучения. Решение свободного волнового уравнения для потенциалов и для напряженностей.
47. Функция Грина линейной дифференциальной операции. Фурье-преобразование дельта-функции. Формальное построение функции Грина линейной дифференциальной операции с постоянными коэффициентами методом Фурье-преобразования.
48. Построение функции Грина уравнения Пуассона с помощью преобразования Фурье.
49. Запаздывающая функция Грина волнового оператора. Формальное решение, доопределение, явное выражение.
50. Явное выражение для запаздывающей функции Грина волнового оператора. Запаздывающие потенциалы для произвольных источников.
51. Потенциалы произвольно движущегося точечного заряда (потенциалы Льенара-Вихерта). Вывод из общего выражения для запаздывающих потенциалов.
52. Мощность излучения и диаграмма направленности: общие выражения, явные выражения для точечного заряда.
53. Мощность излучения и диаграмма направленности для точечного заряда: нерелятивистский предел и коллинеарное движение.
54. Мощность излучения и диаграмма направленности для точечного заряда: коллинеарное движение. Направление, в котором интенсивность излучения максимальна.
55. Излучение локализованных источников: переход к гармоническим источникам, связь между полями Е и В для них, общее выражение для амплитуды векторного потенциала, дипольное приближение.
56. Излучение локализованных источников: мультипольное разложение векторного потенциала. Вклады электрического и магнитного дипольных и электрического квадрупольного моментов.
57. Гармонический дипольный излучатель: интенсивность излучения и диаграмма направленности.
58. Магнитный дипольный и электрический квадрупольный гармонические излучатели: интенсивность излучения и диаграмма направленности.
59. Линейная антенна с центральным возбуждением. Векторный потенциал, напряженности и интенсивность излучения.
60. Динамические уравнения Максвелла в среде: выражение связанных источников через поляризацию.
61. Динамические уравнения Максвелла в среде: явный вид, скорость света и плотность потока энергии в однородной и изотропной среде.

    
    Волноводы

     

62. Волноводы: краевые условия; общий вид, в котором ищется решение; уравнения для амплитуд. Параметр Q.
63. Волноводы: построение решения для Q не равного нулю. ТЕ и ТМ волны.
64. Волноводы: построение решения для Q=0. ТЕМ волны.
65. ТЕМ волна в коаксиальном кабеле. Напряженности, потенциалы. Неоднозначность «магнитного потенциала» Ф и однозначность «электрического потенциала» в общем случае неодносвязного сечения.
66. Уравнения для ТЕ и ТМ волн как задача на собственные значения: общее описание мод, их собственные волновые числа. Фазовая и групповая скорости волн.
67. Волноводы: ТЕ и ТМ волны в волноводе с прямоугольным односвязным сечением.
68. Волноводы: ТЕ и ТМ волны в волноводе с круглым односвязным сечением.

 

Литература

 

• А.Н. Васильев. Краткий курс лекций по классической электродинамике. Изд-во СПбГУ, 2006. (Вышло новое издание 2009г.!)
• Ю.В. Новожилов и Ю.А.Яппа. Электродинамика. Изд-во «Наука», М., 1978.
• Дж. Джексон. Классическая электродинамика. Изд-во «Мир», М., 1965.
• Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. (Теоретическая физика, т. 2) Изд-во «Наука», М., 1988.
• Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Механика. Электродинамика (Краткий курс теоретической физики, т. 1) Изд-во «Наука», М., 1969.

   

  Дополнительная Литература

• Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. 8) Изд-во «Наука», М., 1988.
• И.Е. Тамм. Основы теории электричества. Изд-во «Наука», М., 1989.
• В.А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. Изд-во «Физматлит», М., 1961.

   

  Электричество и магнетизм (Курс общей физики — вспомнить)

• Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм (т.5), Электродинамика (т.6), Физика сплошных сред (т.7). Изд-во «Мир», М.
• Э. Парселл. Электричество и магнетизм. (Берклеевский курс физики, т.2). Изд-во «Мир», М.
• Д.В. Сивухин. Электричество (Общий курс физики. Т.3) М.

 

Определение вектора магнитной индукции и силы ампера. Школьная энциклопедия

Согласно классической теории электромагнетизма заряженная частица так возмущает окружающее пространство, что любая другая заряженная частица, помещенная в эту область испытывает действие силы . Говорят, что на частицу действует электромагнитное поле . Электрическая составляющая такого поля связана с самим фактом присутствия заряженной частицы (источника поля) в рассматриваемой области пространства, магнитная ¾ с ее движением.

Источником макроскопического магнитного поля являются проводники с током, намагниченные тела и движущиеся электрически заряженные тела. Однако, природа магнитного поля едина, оно возникает в результате движения заряженных микрочастиц.

Переменное магнитное поле появляется также при изменении во времени электрического поля , и наоборот, при изменении во времени магнитного поля возникает электрическое поле (см. теорию Дж. Максвелла).

Количественной характеристикой силового действия электрического поля на заряженные объекты служит векторная величина ¾напряженность электрического поля . Магнитное поле характеризуется вектором индукции который определяет силу, действующую в данной точке поля на движущийся электрический заряд . Эту силу называют силой Лоренца (X. Лоренц ¾нидерландский физик-теоретик). Экспериментально для модуля этой силы установлена следующая зависимость (в СИ):

F л = В |q |v sina, (8.1)

где |q | ¾ модуль заряда, который двигается в магнитном поле со скоростью v под углом a к направлению магнитного поля.

Таким образом, магнитная индукция численно равна силе F л действующей на единичный заряд, движущийся с единичной скоростью в направлении, перпендикулярном полю .

Сила Лоренца перпендикулярна векторам (направление поля) и при этом направление этой силы совпадает с направлением, которое определяется по правилу левой руки . Согласно этому правилу, если левую руку расположить так, что четыре вытянутых пальца совпадают по направлению с вектором скорости положительного заряда (если q

Рис. 8.1

В целом, выражение для вектора силы Лоренца записывается через векторное произведение векторов и :

При движении заряженной частицы перпендикулярно к направлению магнитного поля сила Лоренца играет роль центростремительной силы, при этом траекторией движения частицы является окружность.

Если векторы и направлены одинаково, то В общем случае, когда 0

При наличии электромагнитного поля формула Лоренца имеет вид

(8.3)

Если магнитное поле создают несколько источников (n ), то его магнитная индукция согласно принципу суперпозиции рассчитывается как

Если в магнитное поле поместить проводник с током, то на каждый носитель тока, движущийся по проводнику со скоростью будет действовать сила Лоренца. Действие этой силы от отдельных носителей передается всему проводнику. В результате, на каждый прямолинейный участок проводника длиной Dl (малый элемент длиной Dl ), по которому течет ток I , в магнитном поле будет действовать так называемая сила Ампера (закон Ампера , в честь известного французского ученого, открывшего этот закон, Андре Ампера):

(8.5)

где ¾вектор, направление которого совпадает с направлением тока в проводнике, а модуль этого вектора равен длине участка Dl .

Направление этой силы определяется по правилу левой руки : если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь перпендикулярно к ней, а направление средних пальцев совпадало с направлением тока, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление действующей на проводник силы Ампера рис. 8.2.

Рис. 8.2

Таким образом, величина магнитной индукции магнитного поля определяется как

где a ¾ угол между направлением тока и вектора магнитной индукции (магнитного поля).

Однородным постоянным магнитным полем называется магнитное поле, вектор у которого одинаков во всех точках пространства и не меняется со временем.

В соответствии с законом Ампера (8.6) магнитная индукция ¾это величина, численно равная силе, действующей на прямолинейный проводник единичной длины, по которому течет ток единичной силы и который расположен перпендикулярно направлению магнитного поля . Единица магнитной индукции получила название тесла (Тл): (в честь сербского ученого Никола Тесла). Индукция магнитного поля Земли около ее поверхности составляет примерно 5 ×10 — 5 Тл.

Следствием существования силы Ампера является появление момента сил , действующего на рамку с током, помещенную в однородное магнитное поле, и приводящего к ее возможному вращению.

В данном случае модуль вектора магнитной индукции равен отношению максимального момента сил М m ах, действующего со стороны магнитного поля на контур с током, к произведению силы тока I в контуре на его площадь S :

При этом, величина, модуль которой P m = I × S , называется магнитным моментом контура .

Ампер экспериментально обнаружил, что два параллельных проводника взаимодействуют друг с другом. При этом, если токи в проводниках направлены в одну сторону, то взаимодействие имеет характер притяжения, если в противоположные ¾ отталкивания (рис. 8.3).

Основные законы Динамики. Законы Ньютона — первый, второй, третий. Принцип относительности Галилея. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Силы упругости. Вес. Силы трения — покоя, скольжения, качения + трение в жидкостях и газах.

Кинематика. Основные понятия. Равномерное прямолинейное движение. Равноускоренное движение. Равномерное движение по окружности. Система отсчёта. Траектория, перемещение, путь, уравнение движения, скорость, ускорение, связь линейной и угловой скорости.

Простые механизмы. Рычаг (рычаг первого рода и рычаг второго рода). Блок (неподвижный блок и подвижный блок). Наклонная плоскость. Гидравлический пресс. Золотое правило механики

Законы сохранения в механике. Механическая работа, мощность, энергия, закон сохранения импульса, закон сохранения энергии, равновесие твердых тел

Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости

Механические колебания. Свободные и вынужденные колебания. Гармонические колебания. Упругие колебания. Математический маятник. Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механические волны. Скорость и длина волны. Уравнение бегущей волны. Волновые явления (дифракция. интерференция…)

Гидромеханика и аэромеханика. Давление, гидростатическое давление. Закон Паскаля. Основное уравнение гидростатики. Сообщающиеся сосуды. Закон Архимеда. Условия плавания тел. Течение жидкости. Закон Бернулли. Формула Торричели

Молекулярная физика. Основные положения МКТ. Основные понятия и формулы. Свойства идеального газа. Основное уравнение МКТ. Температура. Уравнение состояния идеального газа. Уравнение Менделеева-Клайперона. Газовые законы — изотерма, изобара, изохора

Волновая оптика. Корпускулярно-волновая теория света. Волновые свойства света. Дисперсия света. Интерференция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция света. Поляризация света

Термодинамика. Внутренняя энергия. Работа. Количество теплоты. Тепловые явления. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к различным процессам. Уравнение теплового балланса. Второй закон термодинамики. Тепловые двигатели

Электростатика. Основные понятия. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теория близкодействия. Потенциал электрического поля. Конденсатор.

Постоянный электрический ток. Закон Ома для участка цепи. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца. Закон Ома для полной цепи. Закон электролиза Фарадея. Электрические цепи — последовательное и параллельное соединение. Правила Кирхгофа.

Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур. Переменный электрический ток. Конденсатор в цепи переменного тока. Катушка индуктивности («соленоид») в цепи переменного тока.

Электромагнитные волны. Понятие электромагнитной волны. Свойства электромагнитных волн. Волновые явления

Вы сейчас здесь: Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Правило буравчика. Закон Ампера и сила Ампера. Сила Лоренца. Правило левой руки. Электромагнитная индукция, магнитный поток, правило Ленца, закон электромагнитной индукции, самоиндукция, энергия магнитного поля

Квантовая физика. Гипотеза Планка. Явление фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна. Фотоны. Квантовые постулаты Бора.

Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Относительность одновременности, расстояний, промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Зависимость массы от скорости. Основной закон релятивистский динамики…

Погрешности прямых и косвенных измерений. Абсолютная, относительная погрешность. Систематические и случайные погрешности. Среднее квадратическое отклонение (ошибка). Таблица определения погрешностей косвенных измерений различных функций.

Магнитное поле:

Неоднородное и однородное магнитное поле. Сила, с которой поле полосового магнита действует на помещенную в это поле магнитную стрелку, в разных точках поля может быть различной как по модулю, так и по направлению. Такое поле называют неоднородным. Линии неоднородного магнитного поля искривлены, их густота меняется от точки к точке. В некоторой ограниченной области пространства можно создать однородное магнитное поле, т.е. поле, в любой точке которого сила действия на магнитную стрелку одинакова по модулю и направлению. Для изображения магнитного поля пользуются следующим приемом. Если линии однородного магнитного поля расположены перпендикулярно к плоскости чертежа и наплавлены от нас за чертеж, то их изображают крестиками, а если из-за чертежа к нам – то точками.

Магни́тное по́ле — силовоеполе, действующее на движущиесяэлектрические зарядыи на тела, обладающиемагнитным моментом, независимо от состояния ихдвижения; магнитная составляющаяэлектромагнитного поля.

Основной силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции

Магнитное поле макротоков описывается вектором напряжённости Н. (B= 0 H).

Магнитная индукция:

Магни́тная инду́кция -векторная величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля (его действия на заряженные частицы) в данной точке пространства. Определяет, с какой силой магнитное поле действует назаряд , движущийся со скоростью.

Единицы измерения: Тл.

Модуль вектора магнитной индукции B равен отношению модуля силы F, с которой магнитное поле действует на расположенный перпендикулярно магнитным линиям проводник с током, к силе тока в проводнике I и длине проводника l.

Магнитная индукция не зависит ни от силы тока, ни от длины проводника, она зависит только от магнитного поля. То есть, если мы, например, уменьшим силу тока в проводнике, не меняя больше ничего, то уменьшится не индукция, с которой сила тока связана прямо пропорционально, а сила воздействия магнитного поля на проводник. Величина же индукции останется постоянной. В связи с этим индукцию можно считать количественной характеристикой магнитного поля.

Магнитная индукция имеет направление. Графически ее можно зарисовывать в виде линий. Линии индукции магнитного поля это и есть то, что мы до сих пор в более ранних темах называли магнитными линиями или линиями магнитного поля. Так как мы выше вывели определение магнитной индукции, то мы можем дать определение и линиям магнитной индукции .

Линии магнитной индукции это линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлением вектора магнитной индукции.

В однородном магнитном поле линии магнитной индукции параллельны, и вектор магнитной индукции будет направлен так же во всех точках.

В случае неоднородного магнитного поля, вектор магнитной индукции будет меняться в каждой точке пространства вокруг проводника, а касательные к этому вектору создадут концентрические окружности вокруг проводника.

Направление линий магнитной индукции определяется по правилу буравчика.

Закон Ампера:

Закон Ампера показывает, с какой силой действует магнитное поле на помещенный в него проводник. Эту силу также называют силой Ампера .

Формулировка закона: сила, действующая на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, пропорциональна длине проводника, вектору магнитной индукции, силе тока и синусу угла между вектором магнитной индукции и проводником .

Если размер проводника произволен, а поле неоднородно, то формула выглядит следующим образом:

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки.

Правило левой руки : если расположить левую руку так, чтобы перпендикулярная составляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь, а четыре пальца были вытянуты по направлению тока в проводнике, то отставленный на 90 ° большой палец, укажет направление силы Ампера.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, называется силой Ампера.

Сила действия однородного магнитного поля на проводник с током прямо пропорциональна силе тока, длине проводника, модулю вектора индукции магнитного поля, синусу угла между вектором индукции магнитного поля и проводником:

F=B . I . ℓ . sin α — закон Ампера.

Сила, действующая на заряженную движущуюся частицу в магнитном поле, называется силой Лоренца:

Если вектор v частицы перпендикуляренвектору В , то частица описывает траекторию в виде окружности:

Роль центростремительной силы играет сила Лоренца:

При этом радиус окружности: ,

Если вектор скорости и частицы не перпендикулярен В, то частица описывает траекторию в виде винтовой линии (спирали).

44. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Применение теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции для расчета поля прямого тока. Циркуляция вектора магнитной индукции через замкнутый контур=произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.

∫BdL=μ 0 I; I=ΣI i

Теорема говорит о том, что магнитное поле не является потенциальным, а является вихревым.

Применение в тетради

45. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца

Фарадей экспериментально установил, что при изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает ЭДС индукции ε инд, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус:

Эта формула носит название закона Фарадея .

Опыт показывает, что индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток. Это утверждение, сформулированное в 1833 г., называется правилом Ленца .

Правило Ленца отражает тот экспериментальный факт, что ε инд ивсегда имеют противоположные знаки (знак «минус» в формуле Фарадея). Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения энергии.

ε i =-N, гдеN- кол-во витков

Способ возникновения ЭДС:

1.рамка неподвижна, но изменяется магнитный поток за счёт движения ккатушки или за счет изменения силы тока в ней.

2.рамка перемещается в поле непожвижной катушки.

46. Явление самоиндукции.

Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется явлением самоиндукции.

Магнитный поток, обусловленный собственным током контура (сцепленный с контуром), пропорционален магнитной индукции, которая, в свою очередь, по закону Био-Савара-Лапласа, пропорциональна току.

Где L –коэффициент самоиндукции или индуктивность, «геометрическая» характеристика проводника, так как зависит от его формы и размеров, а также от магнитных свойств среды.

47. Уравнения Максвелла в интегральной форме. Свойства уравнений Максвелла.

Закон Гаусса Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s.

Закон Гаусса для магнитного поля Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).

Закон индукции Фарадея Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре, который является границей поверхности.

Теорема о циркуляции магнитного поля

Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре, который является границей поверхности.

Свойства уравнений Максвелла.

А. Уравнения Максвелла линейны . Они содержат только первые производные полейEиBпо времени и пространственным координатам, а так же первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов γ. Свойство линейности уравнений непосредственно связано с принципом суперпозиции.

Б. Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности , выражающее закон сохранения электрического заряда:

В. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчёта . Они являются релятивистски-инвариантными, что подтверждается опытными данными.

Г. О симметрии уравнений Максвелла .

Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов. Вместе с тем в нейтральной однородной среде, где ρ = 0 и j=0 ,уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т.е.Eтак связано с(dB/dt) , какBсdE/dt.

Д. Об электромагнитных волнах .

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение электрического поля, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счёт непрерывного взаимопревращения они и должны сохранятся. Поля такого рода называются электромагнитными волнами . Выяснилось также, что ток смещения(dD/dt) играет в этом явлении первостепенную роль.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Магнитное взаимодействие движущихся электрических зарядов согласно представлениям теории поля объясняется следующим образом: всякий движущийся электрический заряд создает в окружающем пространстве магнитное поле, способное действовать на другие движущиеся электрические заряды.

В — физическая величина, являющаяся силовой характеристикой магнитного поля. Она называется магнитной индукцией (или индукцией магнитного поля).

Магнитная индукция — векторная величина. Модуль вектора магнитной индукции равен отношению максимального значения силы Ампера, действующей на прямой проводник с током, к силе тока в проводнике и его длине:

Единица магнитной индукции . В Международной системе единиц за единицу магнитной индукции принята индукция такого магнитного поля, в котором на каждый метр длины проводника при силе тока 1 А действует максимальная сила Ампера 1 Н. Эта единица называется тесла (сокращенно: Тл), в честь выдающегося югославского физика Н. Тесла:

СИЛА ЛОРЕНЦА

Движение проводника с током в магнитном поле показывает, что магнитное поле действует на движущиеся электрические заряды. На проводник действует сила Ампера F А = IBlsin a , а сила Лоренца действует на движущийся заряд:

где a — угол между векторами B и v .

Движение заряженных частиц в магнитном поле. В однородном магнитном поле на заряженную частицу, движущуюся со скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, действует сила м, постоянная по модулю и направленная перпендикулярно вектору скорости.Под действием магнитной силы частица приобретает ускорение, модуль которого равен:

В однородном магнитном поле эта частица движется по окружности. Радиус кривизны траектории, по которой движется частица, определяется из условияоткуда следует,

Радиус кривизны траектории является величиной постоянной, поскольку сила, перпендикулярная вектору скорости, меняется только ее направление, но не модуль. А это и означает, что данная траектория является окружностью.

Период обращения частицы в однородном магнитном поле равен:

Последнее выражение показывает, что период обращения частицы в однородном магнитном поле не зависит от скорости и радиуса траектории ее движения.

Если напряженность электрического поля равна нулю, то сила Лоренца л равна магнитной силе м:

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Явление электромагнитной индукции открыл Фарадей, который установил, что в замкнутом проводящем контуре возникает электрический ток при любом изменении магнитного поля, пронизывающего контур.

МАГНИТНЫЙ ПОТОК

Магнитный поток Ф (поток магнитной индукции) через поверхность площадью S — величина, равная произведению модуля вектора магнитной индукции на площадь S и косинус угла а между вектором и нормалью к поверхности:

Ф=BScos

В СИ единица магнитного потока 1 Вебер (Вб) — магнитный поток через поверхность площадью 1 м 2 , расположенную перпендикулярно направлению однородного магнитного поля, индукция которого равна 1 Тл:

Электромагнитная индукция -явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре при любом изменении магнитного потока, пронизывающего контур.

Возникающий в замкнутом контуре, индукционный ток имеет такое направление, что своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван (правило Ленца).

ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Опыты Фарадея показали, что сила индукционного тока I i в проводящем контуре прямо пропорциональна скорости изменения числа линий магнитной индукции, пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром.

Поэтому сила индукционного тока пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

Известно, что если в цепи появился ток, это значит, что на свободные заряды проводника действуют сторонние силы. Работа этих сил по перемещению единичного заряда вдоль замкнутого контура называется электродвижущей силой (ЭДС). Найдем ЭДС индукции ε i .

По закону Ома для замкнутой цепи

Так как R не зависит от , то

ЭДС индукции совпадает по направлению с индукционным током, а этот ток в соответствии с правилом Ленца направлен так, что созданный им магнитный поток противодействует изменению внешнего магнитного потока.

Закон электромагнитной индукции

ЭДС индукции в замкнутом контуре равна взятой с противоположным знаком скорости изменения магнитного потока, пронизывающего контур:

САМОИНДУКЦИЯ. ИНДУКТИВНОСТЬ

Опыт показывает, что магнитный поток Ф , связанный с контуром, прямо пропорционален силе тока в этом контуре:

Ф = L*I .

Индуктивность контура L — коэффициент пропорциональности между проходящим по контуру током и созданным им магнитным потоком.

Индуктивность проводника зависит от его формы, размеров и свойств окружающей среды.

Самоиндукция — явление возникновения ЭДС индукции в контуре при изменении магнитного потока, вызванном изменением тока, проходящего через сам контур.

Самоиндукция — частный случай электромагнитной индукции.

Индуктивность — величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока в нем на единицу за единицу времени. В СИ за единицу индуктивности принимают индуктивность такого проводника, в котором при изменении силы тока на 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции 1 В. Эта единица называется генри (Гн):

ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Явление самоиндукции аналогично явлению инерции. Индуктивность при изменении тока играет ту же роль, что и масса при изменении скорости тела. Аналогом скорости является сила тока.

Значит энергию магнитного поля тока можно считать величиной, подобной кинетической энергии тела :

Предположим, что после отключения катушки от источника,ток в цепи убывает со временем по линейному закону.

ЭДС самоиндукции имеет в этом случае постоянное значение:

где I — начальное значение тока, t — промежуток времени, за который сила тока убывает от I до 0.

За время t в цепи проходит электрический заряд q = I cp t . Так как I cp = (I + 0)/2 = I/2 , то q=It/2 . Поэтому работа электрического тока:

Эта работа совершается за счет энергии магнитного поля катушки. Таким образом, снова получаем:

Пример. Определите энергию магнитного поля катушки, в которой при токе 7,5 А магнитный поток равен 2,3*10 -3 Вб. Как изменится энергия поля, если сила тока уменьшиться вдвое?

Энергия магнитного поля катушки W 1 = LI 1 2 /2. По определению, индуктивность катушки L = Ф/I 1 . Следовательно,

Сила Лоренца. | Презентация к уроку по физике (11 класс):

Слайд 1

Тема : Сила Лоренца. Решение задач. Цель урока : Формировать умения определять направление силы Лоренца, и вычислять её значения, развивать навыки логического мышления.

Слайд 2

Хендрик Антон Лоренц (1853-1928)

Слайд 3

Вопрос № 1 Какую силу называют силой Лоренца?

Слайд 4

Сила Лоренца -сила, действующая в магнитном поле на движущуюся заряженную частицу

Слайд 5

Вопрос № 2 Как определяют направление силы Лоренца?

Слайд 6

Направление силы Лоренца Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки: левую руку надо расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, четыре вытянутых пальца были направлены по направлению движения положительно заряженной частицы (или против отрицательной), тогда отогнутый на 90 ˚ большой палец покажет направление действия силы Лоренца.

Слайд 7

Вопрос № 3 Математическая формулировка силы Лоренца ?

Слайд 8

Сила Лоренца

Слайд 9

Вопрос № 4 Как движется заряженная частица в однородном магнитном поле?

Слайд 10

Пространственные траектории заряженных частиц в магнитном поле Частица влетает в магнитное поле ll линиям магнитной индукции => α = 0˚ => sin α = 0 Если сила, действующая на частицу, = 0, то частица, влетающая в магнитное поле, будет двигаться равномерно и прямолинейно вдоль линий магнитной индукции => F л = 0

Слайд 11

Пространственные траектории заряженных частиц в магнитном поле Если вектор В ┴ вектору скорости  , то α = 90˚ = > sin α = 1 = > В этом случае сила Лоренца максимальна, значит, частица будет двигаться с центростремительным ускорением по окружности

Слайд 12

Пространственные траектории заряженных частиц в магнитном поле Вектор скорости нужно разложить на две составляющие:  ║ и  ┴ , т.е. представить сложное движение частицы в виде двух простых : равномерного прямолинейного движения вдоль линий индукции и движения по окружности перпендикулярно линиям индукции – частица движется по спирали . 1

Слайд 14

Вопрос № 5 Где используют в современной технике силу Лоренца?

Слайд 15

Отклонение катодных лучей в магнитном поле

Слайд 16

Применение силы Лоренца: Масс- спектрограф

Слайд 17

Радиационные пояса Земли. Быстрые заряженные частицы от Солнца попадают в магнитные ловушки радиационных поясов.

Слайд 18

Радиационные пояса Земли. Частицы могут по кидать пояса в полярных областях и вторгаться в вер хние слои атмосферы, вызывая полярные сияния.

Слайд 19

Северное сияние — проявление действия силы Лоренца

Слайд 20

Электронно-лучевая трубка.

Слайд 21

ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВАЯ ТРУБКА- представляет собой стеклянный вакуумный баллон, передняя стенка которого (экран) покрыта люминофором (веществом, светящимся под ударами электронов). В узком конце трубки находится электронная пушка. Электронная пушка формирует из электронов, вылетевших с раскаленного катода узкий электронный луч. Для управления перемещением электронного луча по экрану используют вертикально и горизонтально отклоняющие пластины. В ЭВТ, применяемых в качестве кинескопов телевизоров, управление электронным лучом осуществляется с помощью магнитных полей, создаваемых специальными катушками, надетыми на горловину трубки.

Слайд 22

Циклотрон.

Слайд 23

13.09.13 Тема : Сила Лоренца. Решение задач.

Слайд 24

Задание № 1 Определите направление скорости положительного заряда? …

Слайд 25

Задание № 2 .

Слайд 26

Задание № 3

Слайд 27

Задание № 4

Слайд 28

Задание № 5

ПОЛНАЯ ФОРМУЛА ЛОРЕНЦА, ОТНОСЯЩАЯСЯ К ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ТВЕРДЫХ И ЖИДКОСТЯХ

ПОЛНАЯ ФОРМУЛА ЛОРЕНЦА, ОТНОСЯЩАЯСЯ К ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ТВЕРДЫХ И ЖИДКОСТЯХ

International Journal of Scientific & Engineering Research Volume 4, Issue 2, February-2013 1

9000-55 IS18S

ПОЛНАЯ ФОРМУЛА ЛОРЕНЦЦА, ОТНОСЯЩАЯСЯ К ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ТВЕРДЫХ И ЖИДКОСТЯХ, И ОБЪЯСНЕННЫЙ ПАРАДОКС ФАРАДЕЯ

Asya S Skal

POBox 1836, Ariel 44837, Israel

Abstract

IJSER © 2013 http://www.ijser.org

International Journal of Scientific & Engineering Research Volume 4, Issue 2, February-2013 2

ISSN 2229-5518

Согласно литературным данным, уравнение сохранения импульса должно быть связано с уравнением сохранения массы [1]. Однако они не могут создать связанную систему уравнений движения

, потому что игнорируют третий закон Ньютона.Уравнение сохранения количества движения

— это второй закон движения Ньютона, тогда как сохранение массы относится к кинематике. Ни одно движение в природе не может быть описано только вторым законом Ньютона без третьего закона Ньютона [2] Связав уравнение NS с уравнением диффузии, мы получили новое фундаментальное уравнение турбулентного фазового перехода как в твердых телах, так и в жидкости [3], которое состоит из двух не -линейные члены

, который состоит из двух сил Лоренца: обычной обратной силы и новой продольной силы, ответственной за турбулентность, и объясняет парадокс Фарадея.

Решение уравнения NS с помощью аналитической функции Грина дает формулу для коэффициента Холла. Компьютерное моделирование демонстрирует плавность вдали от порога, но вблизи турбулентного фазового перехода.

появляются чрезвычайно сингулярности: горячие и особые точки, которые очень важны в инженерной конструкции

, поскольку могут привести к катастрофе и были описаны в наших статьях о векторной перколяции.

Вторая сила Лоренца никогда не была обнаружена экспериментально, потому что она может появляться, исчезать или менять направление, поэтому исследователи должны точно знать, где искать.

1. Введение

В 1892 году Хендрик Лоренц вывел современную форму эмпирической формулы для электромагнитной силы, которая включает вклады в общую силу как электрического, так и магнитного полей, которая теперь носит его имя. Однако эта сила является неполной, поскольку она не способна
выполнять работу, классическая теория не может претендовать на ответственность
за чистое излучение или поглощение энергии, например, нагрев пищи в микроволновой печи и нагревание возле плиты От Ампера до Максвелла до настоящего времени. В день

были постоянные экспериментальные утверждения о том, что когда ток течет по металлическому проводнику,

существуют некоторые силы, действующие вдоль линий тока, которые подвергают проводник растягивающему напряжению, которые способны выполнять работу в направлении потока тока. .Линейная

Электродинамика Максвелла не включает теорию турбулентности и, следовательно, не может объяснить очень большую чистую передачу энергии, такую ​​как аномальное поглощение при лазерном синтезе, лазерный гиротрон на свободных электронах, который является электронным циклотронным мазером, лазерно-плазменное ускорение, сверхсильное спонтанное излучение и так далее, потому что магнитная сила Лоренца перпендикулярна направлению тока и не может передавать энергию.

IJSER © 2013 http://www.ijser.org

Международный журнал научных и технических исследований Том 4, выпуск 2, февраль 2013 г. 3

ISSN 2229-5518

Типичный градиент ускорения в современных условиях высокой энергии ускорение

около 29 МэВ / м.При таком градиенте ускорения слишком дорого построить высокоэнергетический ускоритель на 10 ТэВ. Таким образом, в практическом смысле физика высоких энергий должна прийти к концу [4], если не будет исследован новый физический механизм, имеющий высокий градиент ускорения. Этот новый физический механизм турбулентного фазового перехода

(продольная сила Лоренца) застопорился в уравнении NS почти на 200

лет. Математический институт Клея называет уравнения NS одной из семи наиболее важных открытых проблем математики.В данной статье представлено аналитическое решение уравнения НС

.

Первая формула силы Лоренца следует из эмпирического утверждения в однородных электрическом и магнитном полях и не может быть строго выведена из линейных уравнений Максвелла. В соответствии с общепринятыми взглядами электромагнитной теории, все силы, действующие на металлический проводник с током, перпендикулярны линиям тока. Однако на протяжении многих лет, от Ампера через Максвелла до наших дней, постоянно заявлялись о том, что, когда ток течет в металлическом проводнике, вдоль линий тока действуют некоторые силы, которые подвергают проводник растягивающему напряжению и, следовательно, способен выполнять работу в направлении течения тока.

2. Уравнения Навье-Стокса представляют собой полную формулу силы Лоренца.

Линеаризирующее уравнение NS вырезает всю информацию о турбулентности, а при оставлении нелинейных членов получается ситуация несходимости при численных расчетах. Любой конвективный поток, турбулентный или нет, будет иметь нелинейность. В статье [3] было показано, что уравнение NS должно быть связано с уравнением диффузии, а не уравнением сохранения массы [1].

Уравнения сохранения количества движения и массы не могут удовлетворять условию динамического равновесия, поскольку они принадлежат к разным разделам механики жидкости.В то время как сохранение импульса — это динамические уравнения, сохранение массы — кинематическое уравнение. Кинематика имеет дело с простой геометрией движения без привязки к приложенным силам, тогда как динамика имеет дело с приложенными силами, которые вызывают изменения в движении жидкости.

Связанная диффузия и уравнения NS получили новое фундаментальное уравнение

турбулентного фазового перехода в жидкости и новую проводимость в уравнении слабого и сильного магнитного поля в твердых телах, которые точно соответствуют полной формуле силы Лоренца

j ( r )  σ r   r   σ r  R r  H  j r   σ r  R r  j r  · H sign (  H · ej ) ej

(1)

Если плотность тока изменяется на плотность жидкости q (r) и магнитное поле H до

Завихренность, то полное уравнение движения жидкости может быть записано как

IJSER © 2013 http: // www.ijser.org

Международный журнал научных и инженерных исследований Том 4, выпуск 2, февраль-2013 4

ISSN 2229-5518

q ( r )  Q ( r )  ( r )  Q ( r ) R ( r 2) \  ( r )  q ( r )  Q ( r ) R ( r )  q 2 ( r ) / 2

(2)

Первая электродинамическая сила Лоренца равна

j ( r )   ( r )  ( r )  ( r ) R ( r ) H  j ( r )

L

… (3)

Тогда как вторая сила Лоренца равна последний член в ур.(1)

Первая формула гидродинамической силы Лоренца может быть представлена ​​как

Lhyd = q ( r )  Q ( r )  ( r )  Q ( r ) R ( r )  ( r )  q ( r )

(4)

, где ej — единичный вектор в направлении скорости, а R (r) — Холл коэффициент для жидкости и второй гидродинамики Сила Лоренца является последним членом уравнения.(2). где ej — единичный вектор в направлении скорости, а R (r) — коэффициент Холла для жидкостей.

В случае приложения электрического поля вдоль оси «x» и измерения коэффициента Холла вдоль оси «y», когда магнитное поле Hz приложено вдоль оси «z», эффективный коэффициент Холла Re (r) может быть выражен как

Reff (p) = ∭R (r) (j0, x (r) [H × j0, y (r)]) / (UxUyaeffxaeffyHzLdV) … (5)

с граничными условиями вдоль оси x для разность потенциалов Ux,
и Uy для разности потенциалов вдоль оси y и соответствующих эффективных проводимостей
, тогда как L — длина образца вдоль магнитного поля
Гц.
Таким образом, эффективный коэффициент Холла может быть рассчитан из двух значений плотности тока Ом
j0, x (r) и jo, y (r), которые были получены компьютерным расчетом без магнитного поля. Уравнение (5) приводит к приближенной формуле для тока Холла, который пропорционален силе Лоренца:

jHall∝ L1,2 ∝ Canst j 2 ……… (6)

4. Фарадей экспериментально обнаружил вторую силу Лоренца в solids

В 1892 году Хендрик Лоренц представил современную форму эмпирической формулы для электромагнитной силы, которая включает вклад в общую

силы как электрического, так и магнитного полей, который теперь носит его имя.

IJSER © 2013 http://www.ijser.org

Международный журнал научных и инженерных исследований Том 4, выпуск 2, февраль 2013 г. 5

ISSN 2229-5518

Однако обратная сила Лоренца понимается как — эмпирическое утверждение

в однородном электромагнитном поле. Джеймс Клерк Максвелл успешно объединил электричество и магнетизм в электромагнетизм в 1800-х годах, но эти уравнения, похоже, не принимают в качестве решений силовые поля.

Рассмотрим провод, в который входит гальванометр. Когда Фарадей оставил провод в покое и переместил магнит, гальванометр показал ток. Он обнаружил, что перемещение магнита под проволокой в ​​одну сторону имеет тот же эффект, что и движение проволоки над магнитом в другую сторону. Но затем магнит перемещается не так, как обычная сила Лоренца, действующая на провод. Это новый эффект, который обнаружил Фарадей. Ток создается второй силой Лоренца. Он наблюдал тот же эффект, если вместо магнита использовал катушку с проволокой, в которой есть ток.Если провести провод
мимо катушки, через гальванометр пройдет ток. Если провести провод мимо катушки, через гальванометр будет протекать ток, или если мы проведем катушку мимо провода. Если мы изменим магнитное поле катушки
не перемещая ее, а изменяя ее ток, в гальванометре снова возникает эффект
. Например, если у кого-то есть петля из проволоки рядом с катушкой, и они обе остаются неподвижными, но отключают ток, через гальванометр проходит импульс тока.Когда снова включаешь катушку, гальванометр срабатывает в другом направлении. Полное открытие Фарадея заключалось в том, что ЭДС может генерироваться в проводе тремя различными способами: перемещая провод (обычная сила Лоренца), перемещая магнит рядом с проводом (вторая сила Лоренца) или изменяя ток около провода. (вторая сила Лоренца). Самый загадочный случай — третий, когда магнитное поле исчезает и появляется ЭДС. Это результат градиента
магнитного поля, последнего члена уравнения (1).Величина ЭДС задается простым правилом и имеет одинаковое значение в каждом случае, потому что модуль
обеих сил Лоренца равен. Начнем с изучения того, как на самом деле возникает продольное напряжение.

5. Электромагнитные и гидродинамические силы Лоренца в

IJSER © 2013 http://www.ijser.org

International Journal of Scientific & Engineering Research Volume 4, Issue 2, February-2013 6

ISSN 2229-5518

плотная плазма

A) область сильного магнитного поля

Ким (1994) [4] назвал продольную силу нелоренцевой силой, потому что классическая теория не может утверждать, что обычная сила Лоренца ответственна за чистый перенос энергии, для излучения или поглощения, e.грамм.
разогрев пищи в микроволновой печи и прогревание у плиты. Полная сила Лоренца в уравнении (1) может ответить на эти вопросы без какого-либо противоречия с классическими концепциями, потому что во всех этих экспериментах мы имели дело с неоднородными электромагнитными полями, и продольная сила действительно возникает.

B) область слабого магнитного поля

Насиловский (1961, 1964) [5] провел эксперименты со взрывами электродинамических проводов. Под воздействием импульса тока достаточной силы тонкая проволока распадалась на куски, находясь в твердом состоянии.При исследовании сегментов
было обнаружено, что разрывы были вызваны растягивающим напряжением; для разрушения провода требовался минимальный ток. Он экспериментально обнаружил, что продольная сила
пропорциональна квадрату тока, что в точности соответствует нашему решению функции Грина (Skal, 2002) [1]
Graneau (1985) [6] предполагает, что продольная сила может быть подобна сила (vx B), которая хорошо согласуется с нашим результатом, где обе силы выглядят одинаково.
Возможность реального взвешивания отталкивания между различными
частями цепи была исследована
Кливлендом (1936) [7]. С тех пор было проведено множество экспериментов по измерению силы, которую одна часть проводника оказывает на другую часть. Импульс тока сообщает движущемуся пи-кадру импульс, который тщательно измеряется. Точные измерения были выполнены Moyssides [8] и Peoglos (1988) [9]. Полная сила, по-видимому, правильно определяется силой Лоренца. Их результат математически доказывает уравнение (1), потому что два члена приблизительно эквивалентны.
Существование продольной силы поднимает вопрос о возможных приложениях этих явлений. Некоторые интересные приложения, такие как

IJSER © 2013 http://www.ijser.org

International Journal of Scientific & Engineering Research Volume 4, Issue 2, February-2013 7

ISSN 2229-5518

штамповка металла, вода -реактивный движитель, сильноточный ограничитель, взрывной двигатель можно найти в литературе (синтез электродинамики Лохте и новое приложение, электродинамика Хольтгревена и Атомка, 1989 г.) [10].

I £ ER 2013 http://WWW.ISer.org

International Journal of Scientific & Engineering Research Том 4, Выпуск 2, февраль 2013 г. 8

ISSN 2229-5518

Новая часть силы Лоренца будет очень полезен при взаимодействии электромагнитных полей с материей, в концепциях простых заряженных частиц
и электромагнитных полей, при вычислении импульса поля движущегося заряда и электромагнитной массы, в атомной физике и физике высоких энергий.Профессор Гейзенберг спросил: «Когда я встречусь с Богом, я,
, собираюсь задать ему следующие вопросы: Почему относительность? Почему турбулентность? Я,
, действительно верю, что он найдет ответ для первого».
Наш ответ на второй вопрос очень прост. Полная сила Лоренца отвечает за турбулентность. Боковая часть создает циркуляцию (ток Холла) выше и ниже порога, но только продольная часть создает турбулентный фазовый переход.

Я хотел бы выразить благодарность за полезные комментарии и беседу с доктором.Игорь Гребнев. Я также очень благодарен за помощь профессору Чарльзу Дьюку, доктору Лехему Израилю и доктору Эмбер Авигейл.

1. Фефферман Ч. Л. «Существование и гладкость уравнения Навье-Стокса

» Пресс-служба Глиняного Мастематического института. Июнь, 2013 г.

2. Skal AS (2011) «Существует ли физически обоснованное решение уравнения Навье-Стокса?», Journal of Engineering and Technology Research vol. 3 (6). Стр. 168-170, июнь 2011 г. (см. Онлайн

на http // www.Acadejournals.org/JETR

3. Скал А.С. «Новое фундаментальное уравнение турбулентного фазового перехода»

Американский журнал математики и статистики p-ISSN: 2162-

948X e-ISSN: 2162-8475 2012; 2 (1): 13-15 DOI:

10.5923 / j.ajms.20120201.03

4. Ким Ш. (1994). «Нелоренцевская сила сильнее, чем сила Лоренца

IJSER © 2013 http://www.ijser.org

International Journal of Scientific & Engineering Research Volume 4, Issue 2, February-2013 9

ISSN 2229-5518

Force ‘, APEIRON, Nr.P.19
5. Насиловский J (1961). «Явления, связанные с распадом» проводников, перегруженных током короткого замыкания Przeglad Elektrotechniczny; «Ундулоиды и полосатая дезинтеграция проводов, разрывающая провода», W.G. 397-403.
6. Graneau P (1985). Электродинамика металлов Ампера-Неймана Hadronic Press, Mass; . Грано П. (1989). «Электродинамическая струя морской воды: альтернатива гребному винту?» IEEE Trans. Magn. 25: 3275-77.
7. Cleveland FF (1936). «Магнитные силы в прямоугольной цепи» Фил.Mag. 21: 416-425.
Chase HM, Пленум Нью-Йорка, Форрест ФК (1964). Магнитные силы в прямоугольной цепи Phil.Mag. 21: 416-425,
8. Moyssides, Paul G., (1976) «Экспериментальная проверка законов
Био-Савара-Лоренца и сил Ампера в замкнутом контуре, повторение», I.E.E.E Trans. Magn., V.25.
9. Пеоглос В. (1988). «Измерение магнитостатической силы токовой цепи на ее части», J. Phys. с.1055-1061.
10. Lochte-Holtgreven, W. Atomk, (1989), p.4298-4306, p.4307-4312, с.4313-4321 (3 статьи).

IJSER © 2013 http://www.ijser.org

Международный журнал научных и инженерных исследований Том 4, выпуск 2, февраль 2013 г. 10

ISSN 2229-5518

I £ ER 2013 http: // WWW .ISer.org

Почему закон Фарадея и сила Лоренца создают одинаковую электродвижущую силу? — ScienceDaily

Формула индукции (правило потока) электромагнетизма Фарадея гласит, что электродвижущая сила (ЭДС), создаваемая в проводящей цепи, равна скорости, с которой изменяется магнитный поток через проводящую цепь, как это написано на высоком школьный текст по физике.Эту ЭДС можно рассчитать двумя способами: либо используя формулу силы Лоренца, либо вычисляя силу, действующую на электроны в движущемся проводнике цепи; или с помощью одного из уравнений Максвелла (закона Фарадея) и вычисления изменения магнитного потока, проникающего через цепь. Формула силы Лоренца и уравнения Максвелла — это два разных физических закона, но оба метода дают одинаковые результаты.

Почему два результата совпадают, неизвестно. Другими словами, правило потока состоит из двух физически различных законов в классических теориях.Интересно, что эта проблема была также мотивацией разработки теории относительности Альбертом Эйнштейном. В 1905 году Эйнштейн написал в первом абзаце своей первой статьи по теории относительности: «Известно, что электродинамика Максвелла — как обычно понимается в настоящее время — в применении к движущимся телам приводит к асимметриям, которые, по-видимому, не проявляются. присущие явлениям «. Но аргумент Эйнштейна отошел от этой проблемы и сформулировал специальную теорию относительности, поэтому проблема не была решена.

Ричард Фейнман однажды описал эту ситуацию в своей знаменитой лекции (The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, 1964): «Мы не знаем другого места в физике, где такой простой и точный общий принцип требует для своего реального понимания анализа в термины двух различных явлений. Обычно оказывается, что такое красивое обобщение проистекает из одного глубокого основного принципа. ･ ･ ･ ･ ･ Мы должны понимать «правило» как комбинированные эффекты двух совершенно разных явлений ».

Доктор.Исследование Хироясу Коидзуми, недавно опубликованное в «Журнале сверхпроводимости и нового магнетизма», показало, что является «единым глубоким основополагающим принципом» в «правиле потока», предусмотренном Фейнманом. Это двойственность фазового фактора U (1), добавленного к волновой функции; он описывает поступательное движение электронов, а также дает зависящий от времени калибровочный потенциал, который индуцирует эффективное электрическое поле на электронах. Первая точка зрения соответствует результату, полученному по формуле силы Лоренца, а вторая — результату с использованием уравнения Максвелла для закона Фарадея.

За этим открытием стоят два больших достижения в физике 20 века. Один из них — рождение квантовой механики, а другой — установление физической реальности электромагнитного поля как калибровочного поля U (1). В приведенном выше исследовании электроны в проводнике описываются волновыми функциями квантовой механики, а магнитное поле выражается как калибровочное поле U (1). Калибровочное поле имеет произвол, называемый калибровочной степенью свободы. Этот произвол может быть применен к фазовому коэффициенту U (1) волновой функции и может быть зафиксирован требованием минимума энергии.Тогда двойственность, заключающаяся в том, что фазовый фактор U (1) может быть добавлена ​​к волновой функции, поскольку поступательное движение электронов позволяет проявиться «зависящему от времени калибровочному потенциалу». Такая же фиксация калибровки была использована в исследовании д-ра Коидзуми по сверхпроводимости, где фиксация калибровки достигается требованием минимума энергии при ограничении, что волновая функция является однозначной функцией координат электронов.

Работа доктора Коидзуми также открывает новые перспективы в области сверхпроводимости и, возможно, теории струн.Поскольку сейчас наиболее многообещающими кубитами для квантовых компьютеров являются кубиты, использующие сверхпроводники, ожидается, что настоящее открытие внесет вклад в разработку квантовых компьютеров, которые могут вытеснить классические компьютеры.

История Источник:

Материалы предоставлены Университетом Цукуба . Примечание. Содержимое можно редактировать по стилю и длине.

17.6: Лоренц-инвариантная формулировка лагранжевой механики

Параметрическая формулировка

Лагранжиан и гамильтонов формализмы в классической механике основаны на ньютоновской концепции абсолютного времени \ (t \), которая служит параметром эволюции системы в принципе Гамильтона.Такой подход нарушает специальную теорию относительности. Расширенный лагранжиан и гамильтонов формализм — это параметрический подход, впервые предложенный Ланцошем [La49], который вводит параметр эволюции системы \ (s \), который служит независимой переменной в интеграле действия, и все пространственно-временные переменные \ (q_i (s), t (s) \) зависят от параметра эволюции \ (s \). Этот расширенный лагранжиан и гамильтонов формализм придает ему форму, совместимую со специальной теорией относительности.Важность лоренц-инвариантной расширенной формулировки лагранжевой и гамильтоновой механики была признана на протяжении десятилетий. [La49, Go50, Sy60] Недавно наблюдается возрождение интереса к расширенному лагранжевому и гамильтоновому формализму, стимулированное работами Штрукмайера [Str05 , Str08], и этот формализм широко используется в недавних учебниках Джонса [Jo05] и Грейнера [Gr10]. Этот параметрический подход развивает явно ковариантные лагранжевые и гамильтоновы формализмы, которые одинаково трактуют все канонические переменные пространства-времени \ (2n + 1 \).Он обеспечивает правдоподобный явно ковариантный лагранжиан для системы одного тела, но существуют серьезные проблемы, связанные с распространением его на систему \ (N \) — тела, когда \ (N> 1 \). Обобщение лагранжевого и гамильтонова формализмов на область специальной теории относительности имеет фундаментальное значение для физики, в то время как параметрический подход дает понимание философии, лежащей в основе использования вариационных методов в классической механике. ¹

В традиционной лагранжевой механике уравнения движения для обобщенных координат \ (n \) выводятся путем минимизации интеграла действия, то есть принципа Гамильтона.b_a L (\ mathbf {q} (t), \ mathbf {\ dot {q}} (t), t) dt = 0 \ label {17.55} \]

, где \ (L (\ mathbf {q} (t), \ mathbf {\ dot {q}} (t), t) \) обозначает традиционный лагранжиан. Этот подход неявно предполагает ньютоновскую концепцию абсолютного времени \ (t \), которое выбирается в качестве независимой переменной, характеризующей параметр эволюции системы. Фактический путь \ ([\ mathbf {q} (t), \ mathbf {\ dot {q}} (t)] \), по которому следует система, определяется экстремумом интеграла действия \ (S (\ mathbf {q }, \ mathbf {\ dot {q}}, t) \), что приводит к соответствующим уравнениям Эйлера-Лагранжа.является)\). То есть время становится зависимой переменной \ (q_0 (s) = ct (s) \), аналогичной пространственным переменным \ (q _ {\ mu} (s) \), где \ (1 \ leq \ mu \ leq n \). Затем динамическая система описывается как движение, ограниченное гиперповерхностью в расширенном пространстве, где значение расширенного гамильтониана и параметр эволюции \ (s \) составляют дополнительную пару канонически сопряженных переменных в расширенном пространстве. То есть канонический импульс \ (p_0 \), соответствующий \ (q_0 = ct \), равен \ (p_0 = \ frac {E} {c} \), подобному четырехвектору импульса-энергии, уравнению \ (( 17.b_a \ mathbb {L} (\ mathbf {q}, \ frac {d \ mathbf {q}} {ds}, t, \ frac {dt} {ds}) ds \ label {17.57} \]

Как обсуждалось в главе \ (9.3 \), существует непрерывный спектр эквивалентных калибровочно-инвариантных лагранжианов, для которых уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к идентичным уравнениям движения. Уравнение \ ref {17.57} выполняется, если обычный и расширенный лагранжианы связаны соотношением

\ [\ mathbb {L} (\ mathbf {q}, \ frac {d \ mathbf {q}} {ds}, t, \ frac {dt} {ds}) = L (\ mathbf {q}, \ гидроразрыв {d \ mathbf {q}} {dt}, t) \ frac {dt} {ds} + \ frac {d \ Lambda (\ mathbf {q}, t)} {ds} \ label {17.58} \]

, где \ (\ Lambda (\ mathbf {q}, t) \) — непрерывная функция от \ (\ mathbf {q} \) и \ (t \), имеющая непрерывные вторые производные. Допустимо предположить, что \ (\ frac {d \ Lambda (\ mathbf {q}, t)} {ds} = 0 \), тогда расширенный и традиционный лагранжианы имеют уникальное отношение, не требующее одновременного преобразования динамических переменных . {\ mu}} \ frac {dt} {ds} \ label {17.{\ mu}} {\ partial t} \ right)} \ label {17.67} \]

Предположим, что определения расширенного лагранжиана \ (\ mathbb {L} \) и расширенного гамильтониана \ (\ mathbb {H} \) связаны преобразованием Лежандра и основаны на вариационных принципах, аналогичных принципам связь, существующая между обычным лагранжианом \ (L \) и гамильтонианом \ (H \). Преобразование Лежандра требует определения расширенного обобщенного (канонического) четырехвектора импульса-энергии \ (\ mathbb {P} (s) = (\ frac {\ mathbb {E} (s)} {c}, \ mathbf {p} ( с)) \).{\ mu}, t)} {c} \ label {17.69} \]

Расширенные уравнения движения Лагранжа

По прямой аналогии с нерелятивистским интегралом действия \ ref {17.55}, экстремум для релятивистского интеграла действия \ (S (\ mathbf {q}, \ frac {d \ mathbf {q}} {ds}, t, \ frac {dt} {ds}) \) получается с использованием уравнений Эйлера-Лагранжа, полученных из уравнения \ ref {17.56}, где независимой переменной является \ (s \). {EXC} _ {\ mu} \ frac {dt} {ds} \ label {17.{EXC} _0 = 0 \), то член \ (\ mu = 0 \) уравнений Эйлера-Лагранжа упрощается до

\ [\ frac {d} {ds} \ left (\ frac {\ partial \ mathbb {L}} {\ partial \ left (\ frac {dt} {ds} \ right)} \ right) — \ frac { \ partial \ mathbb {L}} {\ partial t} = 0 \ label {17.72} \]

Одно из толкований — выбрать \ (L \) в качестве основного. Тогда \ (\ mathbb {L} \) получается из \ (L \) с использованием уравнения \ ref {17.59} и \ (\ mathbb {L} \) должен удовлетворять тождеству, заданному уравнением \ ref {17.66}, в то время как уравнение Эйлера -Уравнения Лагранжа, содержащие \ (\ frac {dt} {ds} \), дают тождество, из которого следует, что \ (L \) не дает уравнения движения в терминах \ (t (s) \).И наоборот, если \ (\ mathbb {L} \) выбран в качестве первичного, то \ (\ mathbb {L} \) больше не является однородной функцией, а уравнение \ ref {17.66} служит ограничением для движения, которое может можно использовать для вывода \ (L \), а \ (\ frac {dt} {ds} \) дает нетривиальное уравнение движения в терминах \ (t (s) \). 2 — 1 \ right] \ tag {\ (\ alpha \)} \ label {\ alpha} \]

Постоянный третий член в скобках включен, чтобы гарантировать, что расширенный лагранжиан сходится к стандартному лагранжиану в пределе \ (\ frac {dt} {ds} \ rightarrow 1 \).2} \ label {\ epsilon} \ tag {\ (\ epsilon \)} \]

Уравнение \ ref {\ epsilon} — это обычный релятивистский лагранжиан, полученный в предположении, что параметр эволюции системы \ (s \) преобразуется так, чтобы он находился вдоль мировой линии \ (ds \), где инвариантная длина \ (ds \) заменяет собственный временной интервал

\ [ds = cd \ tau = \ frac {cdt} {\ gamma} \ label {\ varepsilon} \ tag {\ (\ varepsilon \)} \]

Определение обобщенного (канонического) импульса

\ [p_i = \ frac {\ partial L} {d \ dot {q} _i} = \ gamma m \ dot {q} _i \ label {\ varsigma} \ tag {\ (\ varsigma \)} \]

приводит к релятивистскому выражению для импульса, заданному уравнением \ ((17.2 \ label {\ eta} \ tag {\ (\ eta \)} \]

Нестандартный релятивистский лагранжиан \ ref {\ epsilon} можно использовать с уравнениями Эйлера-Лагранжа для вывода уравнений движения второго порядка как для релятивистских, так и для нерелятивистских задач в рамках специальной теории относительности.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): релятивистская частица во внешнем электромагнитном поле

Заряженная частица, движущаяся с релятивистской скоростью во внешнем электромагнитном поле, является примером использования релятивистского лагранжиана.2} — q \ Phi + q \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {v} \ nonumber \]

Три пространственные частные производные могут быть записаны в векторной записи как

\ [\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {r}} = −q \ boldsymbol {\ nabla} \ Phi + \ frac {q} {c} \ boldsymbol {\ nabla} (\ mathbf {v } \ cdot \ mathbf {A}) \ label {a} \ tag {a} \]

, а обобщенный импульс равен

.

\ [\ mathbf {p} = \ frac {\ partial L} {d \ mathbf {v}} = \ gamma m \ mathbf {v} + q \ mathbf {A} \ nonumber \]

, что идентично нерелятивистскому ответу, даваемому уравнением 7.6. То есть он включает импульс электромагнитного поля плюс классический импульс движущейся частицы.

Полная производная по времени от обобщенного импульса равна

.

\ [\ frac {d \ mathbf {p}} {dt} = \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {d \ mathbf {v}} \ right) = \ frac { d} {dt} (\ gamma m \ mathbf {v}) + q \ frac {d \ mathbf {A}} {dt} \ label {b} \ tag {b} \]

, где последний член задается правилом цепочки

\ [\ frac {d \ mathbf {A}} {dt} = \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} + (\ mathbf {v} \ cdot \ boldsymbol {\ nabla}) \ mathbf {A} \ label {c} \ tag {c} \]

Использование уравнений \ ref {a}, \ ref {b}, \ ref {c} в уравнении Эйлера-Лагранжа дает

\ [\ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {d \ mathbf {v}} \ right) = \ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {r}} \ nonumber \]

\ [\ frac {d} {dt} (\ gamma m \ mathbf {v}) + q \ frac {d \ mathbf {A}} {dt} = −q \ boldsymbol {\ nabla} \ Phi + q \ полужирный символ {\ набла} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A}) \ nonumber \]

Сбор терминов и использование хорошо известного тождества векторного произведения плюс определение \ (\ mathbf {B} = \ boldsymbol {\ nabla} \ times \ mathbf {A} \) дает

\ [\ begin {align *} \ frac {d} {dt} (\ gamma m \ mathbf {v}) & = — \ left [q \ boldsymbol {\ nabla} \ Phi — q \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} \ right] + q [\ boldsymbol {\ nabla} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A}) — (\ mathbf {v} \ cdot \ boldsymbol {\ nabla }) \ mathbf {A}] \\ [4pt] & = −q \ left [\ boldsymbol {\ nabla} \ Phi — \ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} \ right] + q [\ mathbf {v} \ times \ boldsymbol {\ nabla} \ times \ mathbf {A}] \\ [4pt] \ mathbf {F} & = q [\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}] \ end {align *} \]

Если мы примем определение, что релятивистский канонический импульс равен \ (p = \ gamma mv \), то левая часть — это релятивистская сила, а правая часть — это хорошо известная сила Лоренца электромагнетизма.Таким образом, расширенная формулировка Лагранжа правильно воспроизводит хорошо известную силу Лоренца для заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле.

---

¹ В главах \ (17.6 \) и \ (17.7 \) воспроизводится презентация Штрукмайера. [Str08]

² В этой формуле используются полные и частные производные по времени, \ (t \) и параметру \ (s \). Для ясности производные выписаны полностью, потому что Ланцош [La49] и Джонс [Jo05] используют противоположное соглашение для точек и простых надстрочных индексов как сокращений для дифференциалов по отношению к \ (t \) и \ (s \). Гестен, Дэвид. «SpaceTime Calculus».

Ссылки [ edit ]

Определение объема внутренней части сферы с использованием сферических координат

---

Хотя хорошо известный Архимед вывел формулу для внутренней части сферы задолго до нашего рождения, ее вывод, полученный с помощью сферических координат и интеграла по объему, не часто встречается в учебниках для студентов.3,
\ end {Equation}

где $ r $ — радиус.

Обратите внимание на использование слова «шар», а не «сфера»; последнее обозначает бесконечно тонкую оболочку или поверхность идеально круглого геометрического объекта в трехмерном пространстве. Поверхность не имеет объема, поэтому мы предпочитаем называть ее шаром.

Это можно рассматривать как должность второго года обучения в университете.

---

Сферические координаты

Объем кубоида $ \ delta V $ длиной $ a $, шириной $ b $, высотой $ c $ определяется как $ \ delta V = a \ times b \ times c $.

Рисунок 1: Элемент объема шара

На рисунке 1 вы видите эскиз элемента объема шара. Хотя его края изогнуты, для расчета его объема здесь также можно использовать

\ begin {уравнение}
\ delta V \ приблизительно a \ times b \ times c,
\ end {уравнение}

, хотя это только приблизительное значение.

Чтобы использовать сферические координаты, мы можем определить $ a $, $ b $ и $ c $ следующим образом:
\ begin {align}
a & = PQ \ delta \ phi = r \ sin \ theta \, \ delta \ phi, \\
b & = r \ delta \ theta, \\
c & = \ delta r.2 \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ phi.
\ end {формула *}

Рис. 2: Для интегрирования по бесконечному количеству точек (внутри и на поверхности) шара один угол изменяется от $ 0 $ до $ 2 \ pi $, что в данном случае составляет $ \ phi $. Угол $ \ theta $ должен изменяться только наполовину, поскольку шар вращательно симметричен. Конечно, ограниченным радиусом $ r $.

Чтобы установить верхнюю и нижнюю границы для наших интегралов, отметим, что шар обладает симметрией вращения относительно оси $ z $ (помимо бесконечного множества других, проходящих через центр).3,
\ end {align}

, что является желаемым результатом, равным уравнению (1).

.