ОТО возникла как обобщение спец. теории относительности. Др. теории гравитации возникают как отражение успехов физики элементарных частиц – теоретической и экспериментальной. Напр., теория гравитации Эйнштейна – Картана – Траутмана (т. н. гравитация с кручением, Эйнштейн, А. Картан, А. Траутман, 1922–72) расширяет принцип эквивалентности в том смысле, что гравитац. поле в ней взаимодействует не только с энергией (тензором энергии-импульса) частиц, но и с их спином.
В т. н. $f–g$ теории гравитации К. Дж. Айшема, А. Салама и Дж. Стразди (1973) предполагается существование двух гравитац. полей: носителями одного из них являются безмассовые частицы со спином 2 (обычная, «слабая» гравитация ОТО), это поле взаимодействует с лептонами; др. поле переносится массивными частицами ($f$-мезонами) со спином 2 («сильная» гравитация) и взаимодействует с адронами.
Cкалярно-тензорная теория гравитации Бранса – Дикке – Йордана (К. Бранс, Р. Дикке, П. Йордан, 1959–61) явилась развитием идеи П. Дирака об изменении со временем фундам. физич. констант и констант взаимодействия.
А. Д. Сахаров выдвинул (1967) идею о гравитации как индуцированном взаимодействии, по аналогии с силами Ван дер Ваальса, которые имеют электромагнитную природу. В этой теории Г. в. – не фундам. взаимодействие, а результат квантовых флуктуаций всех др. полей. Успехи квантовой теории поля (КТП) сделали возможным вычисление индуцированной гравитац. постоянной $G$, которая в этом случае выражается через параметры этих квантовых полей.
Теория тяготения – классич. теория, квантовая теория гравитации ещё не создана. Необходимость квантования вызвана тем, что элементарные частицы – объекты квантовой природы, и поэтому соединение классич. взаимодействия и квантованных источников этого взаимодействия представляется непоследовательным.
Создание квантовой теории гравитации наталкивается на большие математич. трудности, возникающие вследствие нелинейности уравнений поля. Существует неск. методов квантования таких сложных математич. объектов; эти методы развиваются и совершенствуются (см. Квантовая теория тяготения). Как и в квантовой электродинамике (КЭД), при вычислениях появляются расходимости, однако, в отличие от КЭД, квантовая теория гравитации оказывается неперенормируемой. Здесь имеется аналогия с теорией слабого взаимодействия, которая тоже, взятая отдельно, вне связи с др. взаимодействиями, неперенормируема. Но объединение слабого и электромагнитного взаимодействий (на основе идеи о т. н. спонтанном нарушении симметрии) позволило построить единую перенормируемую теорию электрослабого взаимодействия. В этой связи большие надежды возлагаются на супергравитацию – теорию, в которой объединены все взаимодействия на основе суперсимметрии и в которой, кроме гравитонов (безмассовых частиц со спином 2, бозонов), имеются и др. переносчики Г. в. – фермионы, получившие назв. гравитино.
Интерес к созданию квантовой теории гравитации не является чисто академическим. Связь Г. в. со всеми видами материи и с пространственно-временны́м многообразием неизбежно приведёт в будущей квантовой теории к квантованию пространства-времени и к изменению наших взглядов не только на пространство и время на сверхмалых расстояниях и промежутках времени, но и на понятие «частицы», на процедуру измерений в микромире, а также к изменению структуры совр. теории элементарных частиц.
Некоторые контуры этих изменений уже просматриваются. Это прежде всего проблема расходимостей в КТП.{–6}$ г Марков назвал фридмонами. Фридмоны и максимоны обладают рядом необычных свойств. Так, геометрия внутри этих частиц может существенно отличаться от геометрии снаружи, и можно представить такие фридмоны и максимоны, внутри которых находятся целые вселенные. Вполне возможно, что квантовые образования, подобные максимонам и фридмонам, определяли ранние этапы эволюции Вселенной и задавали начальный вакуум единого взаимодействия, которое при расширении Вселенной расчленилось, напр. посредством механизма спонтанного нарушения симметрии, на четыре взаимодействия, известные в настоящее время. Направление развития физики элементарных частиц не исключает, а, скорее, предполагает такую возможность.
Не только квантовая гравитация может оказать существенное влияние на теорию др. взаимодействий, несомненно и обратное влияние. Исследования КТП в искривлённом пространстве-времени, исследования испарения чёрных дыр и рождения частиц в космологии показывают, что КТП приводит к видоизменению уравнений Эйнштейна. В совр. объединённых теориях взаимодействия элементарных частиц плотность энергии вакуума может быть отлична от нуля и, следовательно, обладать собств. гравитац. полем. Доминантность этой плотности энергии ведёт к ускорению расширения совр. Вселенной. Наконец, в моделях многомерной гравитации процессы негравитационных взаимодействий происходят на 4-мерной бране (подпространстве) в многомерном пространстве-времени. При энергиях, подводящих частицу к границе браны, может наблюдаться нарушение лоренц-инвариантности, а Г. в. перестаёт быть слабым.
Всё это свидетельствует о том, что создание квантовой теории Г. в. невозможно без учёта других фундам. взаимодействий и, наоборот, теория др. взаимодействий не будет полна и свободна от внутр. противоречий без учёта Г. в. Достигнуть подобного объединения Г. в. с др. взаимодействиями, возможно, удастся в рамках интенсивно развивающейся теории струн. Исследованию такого объединения способствуют методы космомикрофизики, изучающей фундам. взаимосвязь микро- и макромира в сочетании её физич., космологич. и астрофизич. проявлений.
Формула силы гравитационного взаимодействия тел
Гравитационное взаимодействие – это универсальное взаимодействие между любыми видами материи. Это означает, что оно осуществляется и между частицами вещества, и между физическими полями. Гравитационное взаимодействие – это всегда притяжение. В нем участвуют все классы элементарных частиц. Из всех фундаментальных взаимодействий оно является самым слабым, и в современной теории элементарных частиц обычно не учитывается.
Гравитационное взаимодействие – дальнодействующее. Это означает, что его радиус действия равен бесконечности.
Если поле тяготения достаточно слабое и тела движутся медленно, по сравнению со скоростью света, то справедлив закон всемирного тяготения Ньютона. Согласно этому закону, две материальные точки (под материальными точками в данном случае можно понимать любые тела, линейные размеры которых много меньше расстояния между ними) притягиваются с силой:
где g – гравитационная постоянная, впервые определенная экспериментально в 1798 г. Г. Кавендишем. По современным данным g = 6,67*10 -11 Н×м 2 /кг 2 .
m1, m2– массы тел;
r – расстояние между материальными точками.
Важно отметить, что в законе всемирного тяготения масса выступает в качестве меры гравитации, т.е. определяет силу тяготения между материальными телами.
Важность закона всемирного тяготения состоит в том, что Ньютон, таким образом, динамически обосновал систему Коперника и законы Кеплера.
Следует обратить внимание на важный факт, свидетельствующий о глубокой интуиции Ньютона. Фактически Ньютон установил пропорциональность между массой и весом, что означало, что масса является не только мерой инертности, но мерой гравитации. Ньютон отлично понимал важность этого факта. В своих опытах он установил, что масса инертная и масса гравитационная совпадают с точностью до 10 -3 . Впоследствии А. Эйнштейн, считая равенство инерционной и гравитационной масс фундаментальным законом природы, положил его в основу общей теории относительности, или ОТО. (Интересно, что в период создания ОТО это равенство было доказано с точностью до 5×10 -9 , а в настоящее время оно доказано с точностью до 10 -12‑ .)
В третьей части книги Ньютон изложил Общую Систему Мира и небесную механику, в частности, теорию сжатия Земли у полюсов, теорию приливов и отливов, движения комет, возмущения в движении планет и т.д. на основе закона всемирного тяготения.
Утверждение Ньютона о том, что Земля сжата у полюсов, было экспериментально доказано в 1735-1744 гг. в результате измерения дуги земного меридиана в экваториальной зоне (Перу) и на севере (Лапландия) двумя экспедициями Парижской Академии наук.
Следующим большим успехом закона всемирного тяготения было предсказание ученым Клеро времени возвращения кометы Галлея. В 1682 г. Галлей открыл новую комету и предсказал ее возвращение в сферу земного наблюдения через 76 лет. Однако в 1758 г. комета не появилась, и Клеро сделал новый расчет времени ее появления на основе закона всемирного тяготения с учетом влияния Юпитера и Сатурна. Назвав время ее появления – 4 апреля 1759 г., Клеро ошибся всего на 19 дней.
(Успехи теории тяготения в решении проблем небесной механики продолжались и в 19 веке. Так в 1846 г. французский астроном Леверье писал своему немецкому коллеге Галле: «направьте ваш телескоп на точку эклиптики в созвездии Водолея на долготе 326 градусов, и вы найдете в пределах одного градуса от этого места новую планету с заметным диском, имеющую вид звезды приблизительно девятой величины.» Эта точка была вычислена Леверье и независимо от него Адамсом (Англия) на основе закона всемирного тяготения при анализе наблюдаемых «неправильностей» в движении Урана и предположения, что вызываются они влиянием неизвестной планеты. И действительно, 23 сентября 1846 г. Галле в указанной точке неба обнаружил новую планету. Так родились слова «Планета Нептун открыта на кончике пера».)
В общем случае, который включает сильные поля тяготения и высокие скорости движения, сравнимые со скоростью света, тяготение описывается общей теорией относительности (ОТО). ОТО является обобщением ньютоновской теории тяготения на основе специальной теория относительности (СТО).
Теория Эйнштейна описывает тяготение как воздействие физической материи на свойства четырехмерного пространства-времени. Оно, в свою очередь, влияет на движение материи и другие физические процессы. Так, ОТО установлено, что материя искривляет пространство-время. И это искривление, проявляемое как тяготение, влияет на движение материи. В таком пространстве-времени движение тел по инерции, т.е. при отсутствии внешних сил, происходит уже не по прямым, а по искривленным линиям (геодезическим линиям) и с переменной скоростью. Геометрия обычного трехмерного пространства оказывается неэвклидовой (она описывается геометрией Римана).
Эйнштейновская теория тяготения приводит, по сравнению с ньютоновской, к качественно новым эффектам:
а) к существованию гравитационных волн, испускаемых неравномерно движущимися телами;
б) к гравитационному изменению длины волны света в сильном поле тяготения;
в) к возможности возникновения “черных дыр”. “Черная дыра” – это объект, возникающий в результате сильного сжатия тела, при котором гравитационное поле возрастает настолько, что тело не испускает ни свет, ни любое другое излучение или частицы. Для образования “черной дыры” необходимо, чтобы тело сжалось до размеров, меньших так называемого гравитационного радиуса.
Он определяется массой М и равен
где g = 6,7·10-8см3г-1сек-2-гравитационная постоянная;
с – скорость света.
Для обычных астрофизических объектов rгр- очень мал по сравнению с их действительными размерами. Так, для Земли rгр» 0,9 см, для Солнца – около 3 км.
По современным представлениям, “черная дыра” может образоваться в конце эволюция массивной сверхновой звезды.
Необходимо отметить, что многие представления ОТО с хорошей точностью подтверждаются экспериментально.
Гравитационное поле должно подчиняться квантовым законам, как и все остальные физические поля. Квантовая теория гравитации не завершена. Но в ней гравитационные волны рассматриваются как поток квантов – гравитонов. Гравитоны представляют собой электрически нейтральные частицы с нулевой массой покоя. В подавляющем большинстве мыслимых процессов во Веленной квантовые эффекты гравитация чрезвычайно слабы. Но вблизи особых точек, где искривление пространства-времени очень велико, квантовые эффекты должны быть существенными. ОТО предсказывает, что квантовые эффекты гравитации должны быть определяющими, когда радиус кривизны пространства-времени становится равным величине
Расстояниеrпл- называют планковской длиной. В таких условиях ОТО неприменима.
Считается, что трудности в построении теории элементарных частиц могут быть устранены с учетом гравитационного взаимодействия на очень малых расстояниях – порядка 10-33 см. На таких расстояниях будет сказываться изменение геометрии пространства-времени за счет гравитации. Есть предположение, что планковская длина – это гипотетическая универсальная постоянная размерности длины, определяющая пределы применимости фундаментальных физических представлений теории относительности, квантовой теории, принципа причинности.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась – это был конец пары: «Что-то тут концом пахнет». 8526 –
| 8113 – или читать все.91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
В книжной версии
Том 7. Москва, 2007, стр. 574-575
Скопировать библиографическую ссылку:
ГРАВИТАЦИО́ННОЕ ВЗАИМОДЕ́ ЙСТВИЕ элементарных частиц, наиболее слабое из всех известных фундаментальных взаимодействий, характеризуемое участием гравитационного поля (поля тяготения). По совр. представлениям, любое взаимодействие частиц осуществляется путём обмена между ними виртуальными (или реальными) частицами – переносчиками взаимодействия. В электромагнитном, слабом и сильном взаимодействиях переносчиками являются фотон, промежуточные векторные бозоны и глюоны соответственно. Для Г. в. вопрос о переносчиках не прост, и сама теория Г. в. занимает особое место в физич. картине мира.
Притяжение земли вызвано гравитацией. Гравитация это сила природы, которая притягивает всю существующую материю друг к другу. Притяжение всегда будет относительным. Измерение ведут как взаимодействие одного тела относительно другого. Величина силы гравитационного взаимодействия тел зависит от массы и расстояния между ними. На притяжение нашей планеты влияет гравитация других небесных объектов.
Ученые используют строгие понятия. Сила тяжести определяется как масса тела умноженная на ускорение свободного падения.
Сила тяжести – это частный, упрощённый случай применения формулы гравитационного взаимодействия. Формула применима только для объектов расположенных строго на поверхности земли, к тому же из-за разницы расстояний от центра до поверхности, т.е. радиуса нашего «шара» на экваторе и на полюсах, ускорение свободного падения (g) будет меняться. Величину гравитационного притяжения находят произведением их масс на гравитационную постоянную, которые делят на квадрат расстояния между ними. Дистанцию между объектами берут от центра масс вероятно расположенных в центре этих объектов. Гравитационная постоянная – крайне малое значение с десятком нулей после запятой, является константой.
Вес представляет собой силу, воздействующую на опору, соответственно измеряется в ньютонах, не допуская привычных для нас килограммов. Вес совпадает с силой тяжести.
На планете все стремится вниз к центру. Плотность – это отношение массы объекта к его объему. Чем она выше, тем ниже оказывается вещество, формируя облик нашего мира.
Физики пока не могут в полной мере объяснить природу этого явления, существует много теорий. Гравитационное взаимодействие тел сложный вопрос, включающий огромное количество факторов.
Оцените статью: Поделитесь с друзьями!РЕБЯТ ОЧЕНЬ СРОЧНО!!!! Сила гравитационного взаимодействия двух тел увеличилась в 16 раз. Как
4.У нерухомому замкнутому дротяному витку виник індукційний струм. Позначте; які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні. А. Вільні елект … рони в дроті почали впорядковано рухатися під дією вихрового електричного поля. Б. Вільні електрони в дроті почали впорядковано рухатися під дією сили Лоренца. В. Індукційний струм виник під дією кулонівських сил. Г. Магнітний потік через виток не змінювався.
3.В однорідному магнітному полі, що змінюється, розміщена нерухома замкнута дротяна рамка. Виберіть правильне твердження. А. Якщо вектор індукції магн … ітного поля перпендикулярний до площини рамки, в рамці виникає індукційний струм. Б. Якщо вектор індукції магнітного поля перпендикулярний до площини рамки, магнітний потік через площину рамки весь час дорівнює нулю. В. ЕРС Індукції в рамці залежить тільки від площі рамки. Д. Індукційний струм у рамці виникає за будь-якого положення рамки.
1.У нерухомій дротяній рамці, що розташована в магнітному полі, виникає індукційний струм. Виберіть правильне твердження.А. Сила струму максимальна, к … оли магнітний потік через рамку не оцінюється.Б. Сила струму прямо пропорційна опору рамки.С. Сила струму тим більша, чим повільніше змінюється магнітний потік через рамку.{2}.
СРОЧНО вагон массой 20 т движется со скоростью 2 м/с и сталкивается с вагоном массой 30 т, движущимся в том же направлении со скоростью 2 м/с. Найти с … корость вагонов после автосцепки
❗❗❗ Максимум баллов ❗❗❗Алюміній охолоджують від 720⁰С до 500⁰С. побудуйте приблизний графік залежності температури металу від часу і поясніть його.
Тело массой 6,7 кг скользит по наклонной плоскости с углом наклона 60°. Чему равно ускорение тела, если на него действует сила трения, равная 9,8 Н? У … скорение свободного падения считать равным 9,8 мс2. Чему равна проекция силы тяжести на ось, которая параллельна наклонной плоскости? Fтx = Н (округли до десятых). Чему равно ускорение движения тела? a = мс2 (если необходимо, результат округли до десятых).
вагон массой 20 т движется со скоростью 2 м/с и сталкивается с вагоном массой 30 т, движущимся в том же направлении со скоростью 2 м/с. Найти скорость … вагонов после автосцепки
Гравитационное взаимодействие — «Энциклопедия»
ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ элементарных частиц, наиболее слабое из всех известных фундаментальных взаимодействий, характеризуемое участием гравитационного поля (поля тяготения). По современным представлениям, любое взаимодействие частиц осуществляется путём обмена между ними виртуальными (или реальными) частицами — переносчиками взаимодействия. В электромагнитном, слабом и сильном взаимодействиях переносчиками являются фотон, промежуточные векторные бозоны и глюоны соответственно. Для гравитационного взаимодействия вопрос о переносчиках не прост, и сама теория гравитационного взаимодействия занимает особое место в физической картине мира.
Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила взаимодействия двух точечных масс (размеры которых малы по сравнению с расстоянием r между ними)
Fg=Gm1m2/r2, (1)
где , m 2 — массы частиц, G = 6,67·10-11 м3/кг?с2 — гравитационная постоянная. Сила гравитационного взаимодействия двух протонов в 1036 раз меньше кулоновской силы электростатического взаимодействия между ними. Это соотношение не изменяется и при учёте релятивистских эффектов вплоть до расстояний, равных комптоновской длине волны протона. Величину √Gm можно назвать «гравитационным зарядом». При таком определении «заряда» формула (1) совпадает с законом Кулона для взаимодействия электрических зарядов. Гравитационный заряд пропорционален массе тела, поэтому, согласно второму закону Ньютона (F = ma), ускорение а, вызываемое силой (1), не зависит от массы ускоряемого тела. Этот факт, проверенный с большой точностью, называется эквивалентности принципом. В релятивистской теории гравитационного взаимодействия вследствие соотношения между массой и энергией (Е = mс2) гравитационный заряд пропорционален энергии, то есть полной массе m, а не массе покоя, как в формуле (1). Это обусловливает универсальность гравитационного взаимодействия. Нет такого вида материи, который имел бы нулевой гравитационный заряд. Именно это свойство гравитационного взаимодействия отличает его от других фундаментальных взаимодействий элементарных частиц. Кроме того, при больших энергиях частиц гравитационное взаимодействие уже нельзя считать слабым. При энергии >1018 ГэВ гравитационный заряд частицы √GE/c2 становится равным её электрическому заряду е, и при очень высоких энергиях гравитационного взаимодействия может стать основным.
Реклама
Важнейшее свойство гравитационного поля состоит в том, что оно определяет геометрию пространства-времени, в котором движется материя. Геометрия мира не может быть задана изначально и изменяется при движении материи, создающей гравитационное поле (смотри Тяготение). А. Эйнштейн сделал такой вывод из свойства универсальности гравитационного взаимодействия и построил релятивистскую теорию гравитации — общую теорию относительности (ОТО). Эксперименты подтверждают справедливость ОТО в случае слабых гравитационных полей (когда гравитационный потенциал по абсолютной величине много меньше с2). Для сильных полей ОТО ещё не проверена, поэтому возможны и другие теории гравитационного взаимодействия.
ОТО возникла как обобщение специальной теории относительности. Другие теории гравитации возникают как отражение успехов физики элементарных частиц — теоретической и экспериментальной. Например, теория гравитации Эйнштейна-Картана-Траутмана (так называемая гравитация с кручением, Эйнштейн, А. Картан, А. Траутман, 1922-72) расширяет принцип эквивалентности в том смысле, что гравитационное поле в ней взаимодействует не только с энергией (тензором энергии-импульса) частиц, но и с их спином.
В так называемой f-g теории гравитации К. Дж. Айшема, А. Салама и Дж. Стразди (1973) предполагается существование двух гравитационных полей: носителями одного из них являются безмассовые частицы со спином 2 (обычная, «слабая» гравитация ОТО), это поле взаимодействует с лептонами; другое поле переносится массивными частицами (f-мезонами) со спином 2 («сильная» гравитация) и взаимодействует с адронами.
Скалярно-тензорная теория гравитации Бранса-Дикке-Йордана (К. Бранс, Р. Дикке, П. Йордан, 1959-61) явилась развитием идеи П. Дирака об изменении со временем фундаментальных физических констант и констант взаимодействия.
А. Д. Сахаров выдвинул (1967) идею о гравитации как индуцированном взаимодействии, по аналогии с силами Ван дер Ваальса, которые имеют электромагнитную природу. В этой теории гравитационного взаимодействия — не фундаментальное взаимодействие, а результат квантовых флуктуаций всех других полей. Успехи квантовой теории поля (КТП) сделали возможным вычисление индуцированной гравитационной постоянной G, которая в этом случае выражается через параметры этих квантовых полей.
Теория тяготения — классическая теория, квантовая теория гравитации ещё не создана. Необходимость квантования вызвана тем, что элементарные частицы — объекты квантовой природы, и поэтому соединение классического взаимодействия и квантованных источников этого взаимодействия представляется непоследовательным.
Создание квантовой теории гравитации наталкивается на большие математические трудности, возникающие вследствие нелинейности уравнений ноля. Существует несколько методов квантования таких сложных математических объектов; эти методы развиваются и совершенствуются (смотри Квантовая теория тяготения). Как и в квантовой электродинамике (КЭД), при вычислениях появляются расходимости, однако, в отличие от КЭД, квантовая теория гравитации оказывается неперенормируемой. Здесь имеется аналогия с теорией слабого взаимодействия, которая тоже, взятая отдельно, вне связи с другими взаимодействиями, неперенормируема. Но объединение слабого и электромагнитного взаимодействий (на основе идеи о так называемом спонтанном нарушении симметрии) позволило построить единую перенормируемую теорию электрослабого взаимодействия. В этой связи большие надежды возлагаются на супергравитацию — теорию, в которой объединены все взаимодействия на основе суперсимметрии и в которой, кроме гравитонов (безмассовых частиц со спином 2, бозонов), имеются и другие переносчики гравитационного взаимодействия — фермионы, получившие название гравитино.
Интерес к созданию квантовой теории гравитации не является чисто академическим. Связь гравитационного взаимодействия со всеми видами материи и с пространственно-временным многообразием неизбежно приведёт в будущей квантовой теории к квантованию пространства-времени и к изменению наших взглядов не только на пространство и время на сверхмалых расстояниях и промежутках времени, но и на понятие «частицы», на процедуру измерений в микромире, а также к изменению структуры современной теории элементарных частиц.
Некоторые контуры этих изменений уже просматриваются. Это, прежде всего проблема расходимостей в КТП. Расходимость, например, собственной энергии электрически заряженной частицы появляется уже в классической электродинамике. Полная масса М классической заряженной тонкой сферы, имеющей заряд е и размер r0, равна
М = М0 + е2/2r0с2, (2)
где М0 — затравочная масса. При r0 → 0 масса М становится бесконечной. Эта расходимость не устраняется и в квантовой теории, она становится только более слабой — логарифмической. Если учесть гравитационное взаимодействие и то, что оно зависит от полной массы М, расходимость собственной энергии исчезает уже в классической теории.
К вопросу о расходимостях можно подойти с другой стороны. Взаимодействие в КТП представляет собой обмен виртуальными частицами сколь угодно больших энергий. Поэтому при интегрировании по этим энергиям получаются расходящиеся выражения. В ОТО частицы не могут быть точечными. Их минимальный размер определяется гравитационным радиусом rg. Чем больше масса (энергия), тем больше гравитационный радиус:
rg = 2GM/c2.
Если тело массы М сжато до размеров, меньших rg, то оно превращается в чёрную дыру размером rg. В квантовой теории также есть предел локализации частицы — её комптоновская длина волны lС = ћ/Мс, которая, очевидно, не может быть меньше гравитационного радиуса. Поэтому появляется надежда, что в теории, учитывающей гравитационное взаимодействие, промежуточные состояния со сколь угодно большими энергиями не возникнут и, следовательно, расходимости исчезнут. Максимальная масса (энергия) частиц соответствует равенству lC = rg, и равна МР| =√ћc/G ≈ 10-5 г. Эта величина называется планковской массой, и ей соответствует планковская длина lР| = √ћG/c3 ≈ 10-33 см.
М. А. Марков предположил (1965), что могут существовать элементарные частицы массы МР| и что эти частицы имеют максимально возможную для элементарной частицы массу. Он назвал эти частицы максимонами. Заряженные максимоны с массой М = e/√G ≈ 10-6 г Марков назвал фридмонами. Фридмоны и максимоны обладают рядом необычных свойств. Так, геометрия внутри этих частиц может существенно отличаться от геометрии снаружи, и можно представить такие фридмоны и максимоны, внутри которых находятся целые вселенные. Вполне возможно, что квантовые образования, подобные максимонам и фридмонам, определяли ранние этапы эволюции Вселенной и задавали начальный вакуум единого взаимодействия, которое при расширении Вселенной расчленилось, например, посредством механизма спонтанного нарушения симметрии, на четыре взаимодействия, известные в настоящее время. Направление развития физики элементарных частиц не исключает, а, скорее, предполагает такую возможность.
Не только квантовая гравитация может оказать существенное влияние на теорию других взаимодействий, несомненно и обратное влияние. Исследования КТП в искривлённом пространстве-времени, исследования испарения чёрных дыр и рождения частиц в космологии показывают, что КТП приводит к видоизменению уравнений Эйнштейна. В современных объединённых теориях взаимодействия элементарных частиц плотность энергии вакуума может быть отлична от нуля и, следовательно, обладать собственным гравитационным полем. Доминантность этой плотности энергии ведёт к ускорению расширения современной Вселенной. Наконец, в моделях многомерной гравитации процессы негравитационных взаимодействий происходят на 4-мерной бране (подпространстве) в многомерном пространстве-времени. При энергиях, подводящих частицу к границе браны, может наблюдаться нарушение лоренц-инвариантности, а гравитационное взаимодействие перестаёт быть слабым.
Всё это свидетельствует о том, что создание квантовой теории гравитационного взаимодействия невозможно без учёта других фундаментальный взаимодействий и, наоборот, теория других взаимодействий не будет полна и свободна от внутренних противоречий без учёта гравитационного взаимодействия. Достигнуть подобного объединения гравитационного взаимодействия с другими взаимодействиями, возможно, удастся в рамках интенсивно развивающейся теории струн. Исследованию такого объединения способствуют методы космомикрофизики, изучающей фундаментальную взаимосвязь микро и макромира в сочетании её физического, космологического и астрофизического проявлений.
Лит.: Марков М. А. О природе материи. М., 1976; Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М., 1977. Т. 1-3; А. Эйнштейн и теория гравитации. М., 1979; Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М., 1980; Рубаков В. А. Большие и бесконечные дополнительные измерения // Успехи физических наук. 2001. Т. 171. Вып. 9; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. 8-е изд. М., 2003; Хлопов М. Ю. Основы космомикрофизики. М., 2004.
В. А. Березин, М. Ю. Хлопов.
§1 Гравитационное взаимодействие и его особенности
В некоторой пространственной области гравитационное взаимодействие между телами осуществляется через гравитационное поле. В свободном состоянии (в отрыве от гравитационных зарядов) гравитационное поле не обнаружено. Однако в настоящее время в соответствии с общей концепцией взаимодействий нет сомнений в реальности гравитационного поля.
На микроуровне рассмотрения гравитационное взаимодействие осуществляется посредством обмена тел виртуальными частицами, названными гравитонами.
Для гравитационной силы взаимодействия двух материальных точек
И. Ньютон в 1667 г. предложил важнейшую формулу: , где k- коэффициент, зависящий от выбора системы единиц; μ1, μ2 –гравитационные заряды (массы) материальных точек; r- расстояние между материальными точками; — единичный вектор для r. Этот закон назвали законом всемирного тяготения.
В законе всемирного тяготения введена гравитационная, или тяжелая, масса (гравитационный заряд) — величина, в принципе не связанная с инертной массой. Различают две функции тяжелой массы, указывающие на ее связь с полем: активную — возбуждать поле, и пассивную — испытывать действие поля. Можно говорить об инертной и гравитационной массе тела.
Долгое время единственным классическим экспериментом, с высокой точностью устанавливающим равенство т и μ, были опыты Этвеша, в которых измерялись ускорения тел различной внутренней структуры в поле тяжести Земли. Равенство было проверено с точностью до 10-8; В течение 1961—1963 гг. эксперимент повторен Р. X. Дике для поля тяготения Солнца с точностью до 10-11. В. Б. Брагинский и В. И. Панов в 1971 г. довели точность аналогичных опытов до 10-12 .
Основной способ измерения массы взвешиванием возможен благодаря равенству тяжелой пассивной массы и инертной. В процессе взвешивания на тела действуют, кроме гравитационных сил, упругие силы, по природе электромагнитные, что и дает возможность сравнивать массы.
Гравитационные силы действуют между элементарными частицами. Поскольку макроскопическое тело состоит из множества элементарных частиц, то передаваемый ему в результате гравитационного взаимодействия импульс распределяется между этими частицами, т. е. они участвуют в гравитационном взаимодействии.
Прямые опыты, обнаруживающие это взаимодействие для конкретных видов частиц проводились и представляют большой интерес. Измерялось гравитационное ускорение свободных нейтронов в поле тяжести Земли. С погрешностью до 1% получено обычное ускорение свободного падения. Для электронов измеренное значение ускорения свободного падения оказалось тем же. Нормальное ускорение свободного падения для фотонов в поле силы тяжести Земли установлено в опытах Р. Паунда и Г. Ребки с погрешностью не более 0,1 % .
Таким образом, имеются надежные экспериментальные доказательства равенства тяжелой и инертной масс для заряженных и нейтральных элементарных частиц. Из неизменности отношения инертной и тяжелой масс тела следует одинаковость аналогичного отношения для всех без исключения элементарных частиц, входящих в состав тела в реальных или виртуальных состояниях, т. е. универсальность гравитационного взаимодействия.
Учитывая равенство инертной массы т материальной точки и ее гравитационной, или тяжелой, массы μ закон всемирного тяготения записывается в виде : где — единичный вектор, направленный от тела m1 к телу m2, к которому приложена сила . Отсюда в этой формуле знак «-».Коэффициент пропорциональности G= 6.670∙10-11 м3/(кг·с2) называется гравитационной постоянной (постоянной всемирного тяготения).
Если взаимодействующие тела нельзя рассматривать как материальные точки, то для расчета силы притяжения между ними необходимо эти тела мысленно разбить на бесконечно большое количество бесконечно малых объектов массой Δm, каждый из которых можно принять за материальную точку (рис.26).
В этом случае для силы притяжения между точечными массами и по закону всемирного тяготения можно записать: .
Для расчета результирующей силы притяжения между такими телами, необходимо найти векторную сумму сил :
для тел правильной формы (цилиндр, сфера, шар) суммирование сводится к интегрированию.
Например, если тела имеют сферическую форму, то формула для силы тяготения между ними будет такая же, как и для материальных точек. При этом за расстояние между телами принимается расстояние между центрами масс шаров
Современная теория гравитации — общая теория относительности (ОТО) — предусматривает гравитационное излучение, уносящее энергию и импульс, но это излучение слабое. Так, расчеты показывают, что в случае движения Юпитера его мощность составляет всего 450 Вт, а соответствующий ему импульс оказывается ничтожно малым по сравнению с передаваемым между телами.
Что касается непосредственного гравитационного взаимодействия между собой отдельных элементарных частиц, то каких-либо достоверных экспериментальных данных о процессах, вызванных им, в настоящее время нет. Это вполне понятно, ибо вероятность таких процессов мала по сравнению с вероятностью процессов, обусловленных другими взаимодействиями.
Поскольку экспериментально гравитационное поле в свободном состоянии в виде гравитационных волн до сих пор не обнаружено, то не обнаружен и гравитон, как реально существующая частица.
К вопросу о гравитации на уровне элементарных частиц примыкает так называемый сильный принцип эквивалентности. В настоящее время выделяют слабый и сильный принципы эквивалентности. Первый утверждает одинаковость траекторий всех тел (при одинаковых начальных условиях и небольших градиентах поля) в гравитационном поле, а второй — одинаковость всех физических законов во всех точках поля. Очевидно, что проверка равенства тяжелой и инертной масс есть проверка слабого принципа. Равенство гравитационной и инертной масс тела в любой точке пространства является подтверждением сильного принципа эквивалентности.
В целом квазистатичность гравитационного взаимодействия в рассматриваемой области (макроскопические тела — солнечная система) означает, что гравитационное поле «мгновенно» и «без потерь» передает импульс от тела к телу. Энергия поля изменяется только в части, зависящей от взаимного расположения тел. Поскольку масштабы рамками солнечной системы и изучаемые современной астрофизикой гравитационные явления не укладываются в классическую схему, а современные теории гравитации исходят из реального существования гравитационного поля, то таким же должен быть подход к гравитационным взаимодействиям и при их первоначальном изучении.
Вопросы для самоконтроля:
1.Что понимают под взаимодействием?
2.Какие параметры вводятся для описания фундаментальных взаимодействий?
3.Каким законом описывается гравитационное взаимодействие двух материальных точек, как он записывается?
4.Какими особенностями обладают силы взаимного действия материальных объектов?
5. Каким образом можно применить закон всемирного тяготения для описания гравитационного взаимодействия реальных тел?
6.Какие современные теории, и как объясняют гравитационное взаимодействие?
7.По какой формуле определяется потенциальная энергия гравитационного взаимодействия материальных точек?
Гравитационная постоянная — это… Что такое Гравитационная постоянная?
Гравитационная постоянная G лежит в основе закона всемирного тяготения.Гравитацио́нная постоя́нная, постоянная Ньютона (обозначается обычно G, иногда GN или γ)[1] — фундаментальная физическая постоянная, константа гравитационного взаимодействия.
Согласно Ньютоновскому закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения F между двумя материальными точками с массами[2]m1 и m2, находящимися на расстоянии r, равна:
Коэффициент пропорциональности G в этом уравнении называется гравитационной постоянной. Численно она равна модулю силы тяготения, действующей на точечное тело единичной массы со стороны другого такого же тела, находящегося от него на единичном расстоянии.
В единицах Международной системы единиц (СИ) рекомендованное Комитетом данных для науки и техники (CODATA)[3] на 2008 год значение было
- G = 6,67428(67)·10−11 м³·с−2·кг−1, или Н·м²·кг−2,
в 2010 году значение было исправлено на:
- G = 6,67384(80)·10−11 м³·с−2·кг−1, или Н·м²·кг−2.
В октябре 2010 в журнале Physical Review Letters появилась статья[4], предлагающая уточнённое значение 6,67234(14), что на три стандартных отклонения меньше величины G, рекомендованной в 2008 г. Комитетом данных для науки и техники (CODATA), но соответствует более раннему значению CODATA, представленному в 1986 г. Пересмотр величины G, произошедший в период с 1986 г. по 2008 г., был вызван исследованиями неупругости нитей подвесок в крутильных весах[5].
История измерения
Гравитационная постоянная фигурирует в современной записи закона всемирного тяготения, однако отсутствовала в явном виде у Ньютона и в работах других ученых вплоть до начала XIX века. Гравитационная постоянная в нынешнем виде впервые была введена в закон всемирного тяготения, по-видимому, только после перехода к единой метрической системе мер. Возможно впервые это было сделано французским физиком Пуассоном в «Трактате по механике» (1809), по крайней мере никаких более ранних работ, в которых фигурировала бы гравитационная постоянная, историками не выявлено. В 1798 году Генри Кавендиш поставил эксперимент с целью определения средней плотности Земли с помощью крутильных весов, изобретённых Джоном Мичеллом (Philosophical Transactions 1798). Кавендиш сравнивал маятниковые колебания пробного тела под действием тяготения шаров известной массы и под действием тяготения Земли. Численное значение гравитационной постоянной было вычислено позже на основе значения средней плотности Земли. Точность измеренного значения G со времён Кавендиша увеличилась, но и его результат[6] был уже достаточно близок к современному.
См. также
Примечания
Ссылки
Примеры потенциальной энергии гравитационного взаимодействия. Referat. Закон сохранения энергии. Потенциальная энергия упруго деформированного тела
Гравитационная энергия
Гравитационная энергия — потенциальная энергия системы тел (частиц), обусловленная их взаимным тяготением .
Гравитационно-связанная система — система, в которой гравитационная энергия больше суммы всех остальных видов энергий (помимо энергии покоя).
Общепринята шкала, согласно которой для любой системы тел, находящихся на конечных расстояниях, гравитационная энергия отрицательна, а для бесконечно удалённых, то есть для гравитационно не взаимодействующих тел, гравитационная энергия равна нулю . Полная энергия системы, равная сумме гравитационной и кинетической энергии , постоянна. Для изолированной системы гравитационная энергия является энергией связи . Системы с положительной полной энергией не могут быть стационарными.
В классической механике
Для двух тяготеющих точечных тел с массами M и m гравитационная энергия равна:
, — гравитационная постоянная ; — расстояние между центрами масс тел.Этот результат получается из закона тяготения Ньютона , при условии, что для бесконечно удалённых тел гравитационная энергия равна 0. Выражение для гравитационной силы имеет вид
— сила гравитационного взаимодействияС другой стороны согласно определению потенциальной энергии:
,Константа в этом выражении может быть выбрана произвольно. Её обычно выбирают равной нулю, чтобы при r, стремящемуся к бесконечности, стремилось к нулю.
Этот же результат верен для малого тела, находящегося вблизи поверхности большого. В этом случае R можно считать равным , где — радиус тела массой M, а h — расстояние от центра тяжести тела массой m до поверхности тела массой M.
На поверхности тела M имеем:
,Если размеры тела много больше размеров тела , то формулу гравитационной энергии можно переписать в следующем виде:
,где величину называют ускорением свободного падения. При этом член не зависит от высоты поднятия тела над поверхностью и может быть исключён из выражения путём выбора соответствующей константы. Таким образом для малого тела, находящегося на поверхности большого тела справедлива следующая формула
В частности, эта формула применяется для вычисления потенциальной энергии тел, находящихся вблизи поверхности Земли.
В ОТО
В общей теории относительности наряду с классическим отрицательным компонентом гравитационной энергии связи появляется положительная компонента, обусловленная гравитационным излучением , то есть полная энергия гравитирующей системы убывает во времени за счёт такого излучения.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое «Гравитационная энергия» в других словарях:
Потенциальная энергия тел, обусловленная их гравитационным взаимодействием. Термин гравитационная энергия широко применяется в астрофизике. Гравитационная энергия какого либо массивного тела (звезды, облака межзвездного газа), состоящего из… … Большой Энциклопедический словарь
Потенциальная энергия тел, обусловленная их гравитационным взаимодействием. Гравитационная энергия устойчивого космического объекта (звезды, облака межзвёздного газа, звёздного скопления) по абсолютной величине вдвое больше средней кинетической… … Энциклопедический словарь
гравитационная энергия
гравитационная энергия — gravitacinė energija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. gravitational energy vok. Gravitationsenergie, f rus. гравитационная энергия, f pranc. énergie de gravitation, f; énergie gravifique, f … Fizikos terminų žodynas
Потенциальная энергия тел, обусловленная их гравитац. взаимодействием. Г. э. устойчивого космич. объекта (звезды, облака межзвёздного газа, звёздного скопления) по абс. величине вдвое больше ср. кинетич. энергии составляющих его частиц (тел; это… … Естествознание. Энциклопедический словарь
— (для данного состояния системы) разность между полной энергией связанного состояния системы тел или частиц и энергией состояния, в котором эти тела или частицы бесконечно удалены друг от друга и находятся в состоянии покоя: где … … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Энергия (значения). Энергия, Размерность … Википедия
энергия тяготения — gravitacinė energija statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Gravitacinio lauko energijos ir jo veikiamų kitų objektų energijos kiekių suma. atitikmenys: angl. gravitational energy vok. Gravitationsenergie, f rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
— (греч. energeia, от energos действующий, сильный). Настойчивость, обнаруживаемая в преследовании цели, способность высшего напряжения сил, в соединении с крепкой волей. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н.,… … Словарь иностранных слов русского языка
— (неустойчивость Джинса) нарастание со временем пространственных флуктуаций скорости и плотности вещества под действием сил тяготения (гравитационных возмущений). Гравитационная неустойчивость ведёт к образованию неоднородностей (сгустков) в … Википедия
> Гравитационная потенциальная энергия
Что такое гравитационная энергия: потенциальная энергия гравитационного взаимодействия, формула для гравитационной энергии и закон всемирного тяготения Ньютона.
Гравитационная энергия – потенциальная энергия, связанная с гравитационной силой.
Задача обучения
- Вычислить гравитационную потенциальную энергию для двух масс.
Основные пункты
Термины
- Потенциальная энергия – энергия объекта в его позиции или химическом состоянии.
- Затон тяготения Ньютона – каждая точечная вселенская масса притягивает другую при помощи силы, выступающей прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату их дистанции.
- Сила тяжести – результирующая сила наземной поверхности, притягивающая объекты к центру. Создается вращением.
Пример
Какой будет гравитационная потенциальная энергия 1-килограммовой книги на высоте в 1 м? Так как положение установлено близко к земной поверхности, то гравитационное ускорение будет постоянным (g = 9.8 м/с 2), а энергия гравитационного потенциала (mgh) достигает 1 кг ⋅ 1 м ⋅ 9.8 м/с 2 . Это можно проследить и в формуле:
Если добавить массу и земной радиус.
Гравитационная энергия отображает собою потенциальную, связанную с силой гравитации, потому что необходимо преодолеть земное притяжение, чтобы выполнить работу над поднятием предметов. Если объект падает от одной точки к другой внутри гравитационного поля, то сила тяжести выполнит положительную работу, а гравитационная потенциальная энергия уменьшится на ту же величину.
Допустим у нас есть книга, оставленная на столе. Когда мы переносим ее с пола на вершину стола, определенное внешнее вмешательство работает против гравитационной силы. Если же она упадет, то это работа гравитации. Поэтому процесс падения отображает потенциальную энергию, ускоряющую массу книгу и трансформирующуюся в кинетическую. Как только книга коснется пола, кинетическая энергия станет теплом и звуком.
На гравитационную потенциальную энергию влияют высота относительно конкретной точки, масса и сила гравитационного поля. Так что книга на столе уступает по гравитационной потенциальной энергии более тяжелой книга, расположенной ниже. Запомните, что высота не может применяться в вычислении гравитационной потенциальной энергии, если гравитация не выступает постоянной.
Локальное приближение
На силу гравитационного поля влияет расположение. Если изменение дистанции незначительное, то им можно пренебречь, а силу тяжести сделать постоянной (g = 9.8 м/с 2). Тогда для вычисления используем простую формулу: W = Fd. Восходящая сила приравнивается к весу, поэтому работа соотносится с mgh, выливающихся в формуле: U = mgh (U – потенциальная энергия, m – масса объекта, g – ускорение силы тяжести, h – высота объекта). Значение выражается в джоулях. Изменение потенциальной энергии передается как
Общая формула
Однако, если мы сталкиваемся с серьезными переменами в дистанции, то g не может оставаться постоянной и приходится применять исчисление и математическое определение работы. Чтобы рассчитать потенциальную энергию, можно интегрировать гравитационную силу относительно дистанции между телами. Тогда получим формулу гравитационной энергии:
U = -G + K, где К – постоянная интегрирования и приравнивается к нулю. Здесь потенциальная энергия превращается в ноль, когда r – бесконечна.
| Введение в равномерное круговое движение и гравитацию | |||||
| Неравномерное круговое движение | |||||
| Скорость, ускорение и сила | |||||
| Типы сил в природе | |||||
| Закон универсальной гравитации Ньютона | |||||
Если в системе действуют только консервативные силы, то можно ввести понятие потенциальной энергии. Пусть тело массой m находит-
ся в гравитационном поле Земли, масса которой M . Сила взаимодей- ствия между ними определяется законом Всемирного тяготения
F (r ) = G Mm ,
где G = 6,6745 (8) × 10–11 м3/(кг× с2) — гравитационная постоянная; r — расстояние между их центрами масс. Подставляя выражение для гра- витационной силы в формулу (3.33), найдем ее работу при переходе тела из точки с радиус-вектором r 1 в точку с радиус-вектором r 2
r 2 dr
A 12 = òdA = òF (r )dr = —GMm òr= GMm ⎜⎝r
1 r 1 r 1 2 2 1
Представим соотношение (3.34) в виде разности значений
A 12 = U (r 1) – U (r 2), (3.35)
U (r ) = —G Mm + C
для различных значений расстояний r 1 и r 2. В последней формуле C — произвольная константа.
Если тело приближается к Земле, которая считается неподвижной , то r 2 r 1, 1/ r 2 – 1/ r 1 > 0 и A 12 > 0, U (r 1) > U (r 2). В этом случае сила тя- жести совершает положительную работу. Тело переходит из некото- рого начального состояния, которое характеризуется значением U (r 1) функции (3.36), в конечное, с меньшим значением U (r 2).
Если же тело удаляется от Земли, то r 2 > r 1, 1/ r 2 – 1/ r 1 A 12
U (r 1) U (r 2), т. е сила тяготения совершает отрицательную работу.
Функция U = U (r ) является математическим выражением способ- ности гравитационных сил, действующих в системе, совершать ра- боту и согласно данному выше определению представляет собой по- тенциальную энергию.
Отметим, что потенциальная энергия обусловлена взаимным тя- готением тел и является характеристикой системы тел, а не одного тела. Однако при рассмотрении двух или большего числа тел одно из них (обычно Земля) считается неподвижным, а другие движутся от- носительно него. Поэтому часто говорят о потенциальной энергии именно этих тел в поле сил неподвижного тела.
Поскольку в задачах механики представляет интерес не величина потенциальной энергии, а ее изменение, то значение потенциальной энергии можно отсчитывать от любого начального уровня. Послед- нее определяет значение константы в формуле (3.36).
U (r ) = —G Mm .
Пусть нулевой уровень потенциальной энергии соответствует по- верхности Земли, т. е. U (R ) = 0, где R – радиус Земли. Запишем фор- мулу (3.36) для потенциальной энергии при нахождении тела на вы- соте h над ее поверхностью в следующей форме
U (R + h ) = —G Mm
R + h
+ C . (3.37)
Полагая в последней формуле h = 0, имеем
U (R ) = —G Mm + C .
Отсюда найдем значение константы C в формулах (3.36, 3.37)
C = —G Mm .
После подстановки значения константы C в формулу (3.37), имеем
U (R + h ) = —G Mm + G Mm = GMm ⎛- 1
1 ⎞= G Mm h .
R + h R
⎝⎜ R + h R ⎟⎠ R (R + h )
Перепишем эту формулу в виде
U (R + h ) = mgh h ,
где gh
R (R + h )
Ускорение свободного падения тела на высоте
h над поверхностью Земли.
В приближении h « R получаем известное выражение для потен- циальной энергии, если тело находится на небольшой высоте h над поверхностью Земли
Где g = G M
U (h ) = mgh , (3.38)
Ускорение свободного падения тела вблизи Земли.
В выражении (3.38) принята более удобная запись: U (R + h ) = U (h ). Из него видно, что потенциальная энергия равна работе, которую со- вершает гравитационная сила при перемещении тела с высоты h над
Землей на ее поверхность, соответствующую нулевому уровню по- тенциальной энергии. Последнее служит основанием считать выра- жение (3.38) потенциальной энергией тела над поверхностью Земли, говорить о потенциальной энергии тела и исключить из рассмотре- ния второе тело — Землю.
Пусть тело массой m находится на поверхности Земли. Для того чтобы оно оказалось на высоте h над этой поверхностью, к телу не- обходимо приложить внешнюю силу, противоположно направлен- ную силе тяжести и бесконечно мало отличающуюся от нее по мо- дулю. Работа, которую совершит внешняя сила, определяется сле- дующим соотношением:
R + h
R + h dr
⎡1 ⎤R + h
Если на систему действуют одни только консервативные силы, то можно для нее ввести понятие потенциальной энергии . Какое – либо произвольное положение системы, характеризующееся заданием координат ее материальных точек, условно примем за нулевое . Работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое, называется потенциальной энергией системы в первом положении
Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а потому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами, потенциальная энергия системы U является функцией только ее координат.
Потенциальная энергия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Этот произвол не может отразится на физических выводах, так как ход физических явлений может зависеть не от абсолютных значений самой потенциальной энергии, а лишь от ее разности в различных состояниях. Эти же разности от выбора произвольной постоянной не зависят.
Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по какому – либо пути 12 (рис. 3.3). Работу А 12 , совершенную консервативными силами при таком переходе, можно выразить через потенциальные энергии U 1 и U 2 в состояниях 1 и 2 . С этой целью вообразим, что переход осуществлен через положение О, т. е. по пути 1О2. Так как силы консервативны, то А 12 = А 1О2 = А 1О + А О2 = А 1О – А 2О. По определению потенциальной энергии U 1 = A 1 O , U 2 = A 2 O . Таким образом,
A 12 = U 1 – U 2 , (3.10)
т. е. работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы.
Та же работа А 12 , как было показано ранее в (3.7), может быть выражена через приращение кинетической энергии по формуле
А 12 = К 2 – К 1 .
Приравнивая их правые части, получим К 2 – К 1 = U 1 – U 2 , откуда
К 1 + U 1 = К 2 + U 2 .
Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной энергией Е . Таким образом, Е 1 = Е 2 , или
E º K + U = const. (3.11)
В системе с одним только консервативными силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.
Вычислим потенциальную энергию в некоторых простейших случаях.
а) Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести. Если материальная точка, находящаяся на высоте h , упадет на нулевой уровень (т. е. уровень, для которого h = 0), то сила тяжести совершит работу A = mgh . Поэтому на высоте h материальная точка обладает потенциальной энергией U = mgh + C , где С – аддитивная постоянная. За нулевой можно принять произвольный уровень, например, уровень пола (если опыт производится в лаборатории), уровень моря и т. д. Постоянная С равна потенциальной энергии на нулевом уровне. Полагая ее равной нулю, получим
U = mgh . (3.12)
б) Потенциальная энергия растянутой пружины. Упругие силы, возникающие при растяжении или сжатии пружины, являются центральными силами. Поэтому они консервативны, и имеет смысл говорить о потенциальной энергии деформированной пружины. Ее называют упругой энергией . Обозначим через х растяжение пружины ,т. е. разность x = l – l 0 длин пружины в деформированном и недеформированном состояниях. Упругая сила F зависит только от растяжения. Если растяжение x не очень велико, то она пропорциональна ему: F = – kx (закон Гука). При возвращении пружины из деформированного в недеформированное состояние сила F совершает работу
Если упругую энергию пружины в недеформированном состоянии условиться считать равной нулю, то
в) Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек. По закону всемирного тяготения Ньютона гравитационная сила притяжения двух точечных тел пропорциональна произведению их масс Mm и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
где G – гравитационная постоянная .
Сила гравитационного притяжения, как сила центральная, является консервативной. Для ее имеет смысл говорить о потенциальной энергии. При вычислении этой энергии одну из масс, например М , можно считать неподвижной, а другую – перемещающейся в ее гравитационном поле. При перемещении массы m из бесконечности гравитационные силы совершают работу
где r – расстояние между массами М и m в конечном состоянии.
Эта работа равна убыли потенциальной энергии:
Обычно потенциальную энергию в бесконечности U ¥ принимают равной нулю. При таком соглашении
Величина (3.15) отрицательна. Это имеет простое объяснение. Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна.
Допустим теперь, что в системе наряду с консервативными силами действуют также диссипативные силы. Работа всех сил А 12 при переходе системы из положения 1 в положение 2 по – прежднему равна приращению ее кинетической энергии К 2 – К 1 . Но в рассматриваемом случае эту работу можно представить в виде суммы работы консервативных сил и работы диссипативных сил . Первая работа может быть выражена через убыль потенциальной энергии системы: Поэтому
Приравнивая это выражение к приращению кинетической энергии, получим
где E = K + U – полная энергия системы. Таким образом, в рассматриваемом случае механическая энергия Е системы не остается постоянной, а уменьшается, так как работа диссипативных сил отрицательна.
В связи с рядом особенностей, а также ввиду особой важности вопрос о потенциальной энергии сил всемирного тяготения необходимо рассмотреть отдельно и более детально.
С первой особенностью мы сталкиваемся при выборе начала отсчета потенциальных энергий. На практике приходится рассчитывать движения данного (пробного) тела под действием сил всемирного тяготения, создаваемых другими телами разных масс и размеров.
Допустим, что мы условились считать равной нулю потенциальную энергию при таком положении, при котором тела соприкасаются. Пусть пробное тело А при взаимодействии по отдельности с шарами одинаковой массы, но разных радиусов, вначале удалено от центров шаров на одно и то же расстояние (рис. 5.28). Нетрудно видеть, что при движении тела А до соприкосновения с поверхностями тел силы тяготения совершат разную работу. Это значит, что мы должны при одинаковых относительных начальных расположениях тел считать потенциальные энергии систем различными.
Сопоставлять эти энергии между собой будет особо затруднительно в случаях, когда рассматриваются взаимодействия и движения трех или большего количества тел. Поэтому для сил всемирного тяготения ищется такой начальный уровень отсчета потенциальных энергий, который бы мог быть одинаковым, общим, для всех тел во Вселенной. Таким общим нулевым уровнем потенциальной энергии сил всемирного тяготения условились считать уровень, соответствующий расположению тел на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Как видно из закона всемирного тяготения, на бесконечности обращаются в нуль и сами силы всемирного тяготения.
При таком выборе начала отсчета энергий создается непривычное положение с определением значений потенциальных энергий и проведением всех расчетов.
В случаях сил тяжести (рис. 5.29, а) и упругости (рис. 5.29, б) внутренние силы системы стремятся привести тела на нулевой уровень. При приближении тел к нулевому уровню потенциальная энергия системы уменьшается. Нулевому уровню действительно соответствует наименьшая потенциальная энергия системы.
Это означает, что при всех других положениях тел потенциальная энергия системы положительна.
В случае сил всемирного тяготения и при выборе нуля энергии на бесконечности все происходит наоборот. Внутренние силы системы стремятся увести тела от нулевого уровня (рис. 5.30). Они совершают положительную работу при удалении тел от нулевого уровня, т. е. при сближении тел. При любых конечных расстояниях между телами потенциальная энергия системы меньше, чем при Другими словами, нулевому уровню (при соответствует наибольшая потенциальная энергия. Это означает, что при всех других положениях тел потенциальная энергия системы отрицательна.
В § 96 было найдено, что работа сил всемирного тяготения при переносе тела из бесконечности на расстояние равна
Поэтому потенциальную энергию сил всемирного тяготения нужно считать равной
Эта формула выражает еще одну особенность потенциальной энергии сил всемирного тяготения — сравнительно сложный характер зависимости этой энергии от расстояния между телами.
На рис. 5.31 представлен график зависимости от для случая притяжения тел Землей. Этот график имеет вид равнобочной гиперболы. Вблизи поверхности Земли энергия меняется сравнительно сильно, но уже на расстоянии нескольких десятков земных радиусов энергия становится близкой к нулю и начинает меняться очень медленно.
Любое тело вблизи поверхности Земли находится в своеобразной «потенциальной яме». Всякий раз, когда оказывается необходимым освободить тело от действия сил земного притяжения, нужно прилагать специальные усилия для того, чтобы «вытащить» тело из этой потенциальной ямы.
Точно так же и все другие небесные тела создают вокруг себя такие потенциальные ямы — ловушки, которые захватывают и удерживают все не очень быстро движущиеся тела.
Знание характера зависимости от позволяет значительно упростить решение ряда важных практических задач. Например, необходимо послать космический корабль на Марс, Венеру или на любую другую планету Солнечной системы. Нужно определить, какая скорость должна быть сообщена кораблю при его запуске с поверхности Земли.
Для того чтобы корабль послать к другим планетам, его нужно вывести из сферы действия сил земного притяжения. Другими словами, нужно поднять его потенциальную энергию до нуля. Это становится возможным, если кораблю сообщить такую кинетическую энергию, чтобы он смог совершить работу против сил земного притяжения, равную где масса корабля,
масса и радиус земного шара.
Из второго закона Ньютона следует, что (§ 92)
Но так как скорость корабля до запуска равна нулю, то можно записать просто:
где скорость, сообщаемая кораблю при запуске. Подставляя значение для А, получим
Воспользуемся для исключения как это уже делали в § 96, двумя выражениями для силы земного притяжения на поверхности Земли:
Отсюда — Подставляя это значение в уравнение второго закона Ньютона, получим
Скорость, необходимая для вывода тела из сферы действия сил земного притяжения, называется второй космической скоростью.
Точно так же можно поставить и решить задачу о посылке корабля к далеким звездам. Для решения такой задачи нужно уже определить условия, при которых корабль будет выведен из сферы действия сил притяжения Солнца. Повторяя все рассуждения, которые были проведены в предыдущей задаче, можно получить такое же выражение для скорости, сообщаемой кораблю при запуске:
Здесь а — нормальное ускорение, которое сообщает Солнце Земле и которое может быть рассчитано по характеру движения Земли по орбите вокруг Солнца; радиус земной орбиты. Конечно, в этом случае означает скорость движения корабля относительно Солнца. Скорость, необходимая для вывода корабля за пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью.
Рассмотренный нами способ выбора начала отсчета потенциальной энергии используется и при расчетах электрических взаимодействий тел. Представление о потенциальных ямах также широко используется в современной электронике, теории твердого тела, теории атома и в физике атомного ядра.
Гравитационное притяжение между мальчиком и девочкой, Рон Куртус
SfC Home> Физика> Гравитация>
Рона Куртуса
Вы можете найти гравитационную силу притяжения между людьми , например, между мальчиком и девочкой, применив универсальное уравнение гравитации , при условии, что вы знаете массу каждого человека и расстояние между ними.
Вопросы, которые могут у вас возникнуть:
- Какой пример силы между двумя людьми?
- Что такое универсальное гравитационное уравнение?
- Как определить массу каждого человека?
- Какова сила притяжения между мальчиком и девочкой?
Этот урок ответит на эти вопросы.Полезный инструмент: Конвертация единиц
Пример
Например, предположим, что мальчик, который весил 165 фунт-сила по шкале (74,8 Н или кг-сила), сидел рядом с девушкой 110 фунтов-фут (50 Н), каково было бы гравитационное притяжение между ними, если предположить, что они отделены от их центры были 19,7 дюйма (0,5 метра)?
Примечание:
Метрические веса указаны в килограммах-силах или ньютонах (Н). Чтобы использовать в уравнении гравитации, ньютоны необходимо преобразовать в килограмм-массу путем деления на 9.8 м / с 2 .
В системах единиц Великобритании и США вес обычно выражается в фунтах (фунт-сила). Чтобы использовать в уравнении гравитации, фунт-сила должна быть преобразована в фунт-массу путем деления на 32 фут / с 2 .
(Дополнительную информацию см. В разделе «Путаница в единицах массы и веса».)
Универсальное уравнение гравитации
Решение требует применения Универсального Уравнения Гравитации:
F = GMm / R 2
где
- F — сила притяжения между двумя объектами в ньютонах (Н)
- G — универсальная гравитационная постоянная = 6.674 * 10 −11 Н-м 2 / кг 2
- M и m — массы двух объектов в килограммах (кг)
- R — расстояние в метрах (м) между объектами, измеренное от их центров масс
Определить массу каждого человека
Чтобы вычислить силу притяжения, вы должны сначала преобразовать вес на Земле каждого человека в его или ее массу, используя соотношение:
Вт = мг или м = Вт / г
где
- W — вес в ньютонах или фунт-силах
- м — масса в килограмм-массе или снарядах (фунт-масса)
- g — ускорение свободного падения на Земле; г = 9.8 м / с 2 или 32 фут / с 2
Таким образом, масса мальчика:
M = (74,8 кг-сила) / (9,8 м / с 2 ) = 7,6 кг-масса
Масса девушки:
м = (50 кгс-сила) / (9,8 м / с 2 ) = 5,1 кг-масса
Возникающая сила между мальчиком и девочкой
Затем подставьте значения в уравнение:
F = GMm / R 2
где
- М = 7.6 кг
- м = 5,1 кг
- R = 0,5 м
Результат:
F = (6,674 * 10 −11 Н-м 2 / кг 2 ) (7,6 кг) (5,1 кг) / (0,5 м) 2
F = 258,7 * 10 −11 / 0,25
F = 1035 * 10 −11 N
F = 1.035 * 10 −8 N
Примерный ответ
Сила притяжения составляет примерно:
F = 10 −8 N
Это очень небольшое гравитационное притяжение, но его можно измерить с помощью чувствительного инструмента, например, с помощью пьезоэлектрических датчиков.
Сводка
Вы можете найти гравитационную силу между мальчиком и девочкой, применив универсальное уравнение гравитации , при условии, что вы знаете массу каждого человека и их разделение.
В результате получается очень маленькое гравитационное притяжение.
Мыслить ясно и логично
Ресурсы и ссылки
Полномочия Рона Куртуса
Сайты
Измерение малых усилий при высокой начальной нагрузке
Преобразование единиц массы в эквивалентные силы на Земле — Википедия
Вес — Википедия
Масса — Википедия
Килограмм — Википедия
Масса и вес: сила тяжести — Engineering Toolbox
Ресурсы гравитации
Книги
(Примечание: Школа чемпионов может получать комиссионные от покупки книг)
Книги с самым высоким рейтингом по Gravity
Книги по гравитации с самым высоким рейтингом
Вопросы и комментарии
Есть ли у вас какие-либо вопросы, комментарии или мнения по этой теме? Если да, отправьте свой отзыв по электронной почте.Я постараюсь вернуться к вам как можно скорее.
Поделиться страницей
Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:
Студенты и исследователи
Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/science/
gravitation_force_people.htm
Пожалуйста, включите его в качестве ссылки на свой веб-сайт или в качестве ссылки в своем отчете, документе или тезисе.
Авторские права © Ограничения
Где ты сейчас?
Школа чемпионов
Темы гравитации
Гравитационное притяжение между мальчиком и девочкой
Две модели гравитационной силы и энергии — Лейн Сили
Почему у нас есть два совершенно разных уравнения для гравитационной силы и два совершенно разных уравнения для гравитационной энергии?
.
Универсальный закон тяготения Ньютона — Один набор уравнений для силы и энергии универсален и применяется всякий раз, когда два массивных объекта взаимодействуют друг с другом:
Универсальное уравнение для гравитационной силы Универсальное уравнение для гравитационной энергии Вселенская гравитационная постояннаяВ этих уравнениях м 1 и м 2 — это массы двух объектов, а R 1,2 — расстояние между их центрами.Оба уравнения имеют отрицательные знаки, но эти отрицательные знаки означают совершенно разные вещи. Отрицательный знак в уравнении гравитационной силы указывает, что гравитационное силовое взаимодействие всегда является притягивающим. Отрицательный знак в уравнении гравитационной энергии указывает, что два объекта имеют нулевую гравитационную энергию, когда они бесконечно далеко друг от друга, и их гравитационная энергия уменьшается (или становится все более и более отрицательной) по мере приближения друг к другу.
Гравитационная сила и энергия у поверхности Земли — Согласно универсальному закону тяготения Ньютона сила гравитации уменьшается по величине по мере удаления объектов друг от друга.Это, конечно, правда, но это не очень заметно для объектов у поверхности Земли. Взаимодействие гравитационной силы между Землей и повседневными объектами практически не меняется при изменении высоты объекта. Поэтому мы часто делаем приближение, что гравитационная сила не зависит от высоты для объектов, находящихся у поверхности Земли. Это приближение приводит к системе уравнений, которая сильно отличается от универсальных уравнений выше.
Гравитационная сила у поверхности Земли Гравитационная энергия у поверхности Земли Ускорение свободного падения у поверхности ЗемлиУ поверхности Земли гравитационная сила вообще не меняется, поэтому удобно для приближения, согласно которому гравитационное силовое взаимодействие между объектом и Землей не изменяется с высотой.Согласно этому приближению увеличение гравитационной энергии системы Земля-объект прямо пропорционально увеличению высоты.
Изменение гравитационной энергииВ этом приближении нулевая точка гравитационной энергии произвольна.
Приключение во Вселенной — Уравнение гравитации
Гравитация
Гравитация и масса
Из графика мы видим, что по мере увеличения массы инопланетянина сила гравитации (вес инопланетянина) также увеличивается: масса напрямую зависит от силы тяжести.Чем массивнее два объекта, тем сильнее гравитационное притяжение между ними.
Усилие
г ∝ Масса
Нажмите кнопку «Увеличить массу», чтобы увидеть эффект увеличения массы на гравитационное притяжение.
Гравитация и расстояние
Сила тяжести обратно пропорциональна расстоянию, на котором находится инопланетянин от Земли; это означает, что сила тяжести уменьшается по мере увеличения расстояния между пришельцем и Землей.
По мере увеличения расстояния между пришельцем и поверхностью планеты сила тяжести уменьшается. Это соотношение верно во всех случаях: по мере увеличения расстояния между любыми двумя объектами гравитационная сила очень быстро становится намного меньше в соотношении обратных квадратов.
Усилие
г ∝ 1 / d 2
По мере увеличения расстояния гравитационное притяжение уменьшается.
Собираем все вместе: универсальный закон тяготения
Ньютон объединил обратную квадратную зависимость между расстоянием и гравитационным притяжением с прямой связью между массой и гравитационным притяжением, а также с дополнительной константой пропорциональности.Его конечным результатом стал бы один из самых мощных законов классической физики: Универсальный закон тяготения.
Где:
F г = сила между объектами 1 и 2
G (коэффициент пропорциональности) = 6,67 x 10 -11 Нм 2 / кг 2 (из экспериментов)
M = масса первого объекта
м = масса второго объекта
d = расстояние между центрами каждого объекта
[1.9a] В кроличью нору: масса и вес
[1.9b] Космические загадки: гравитация
% PDF-1.6 % 194 0 объект > эндобдж 191 0 объект > поток Adobe Acrobat 6.0 Paper Capture 2007-08-02T14: 51: 48-05: 00CanoScan LiDE 30 / N1240U2007-08-13T13: 55: 33-05: 002007-08-13T13: 55: 33-05: 00uuid: 45cecf0f-e1e2- 4e63-b099-1660c61dc439uuid: 3e9b2979-db99-4e24-97cb-03723f0e477daapplication / pdf конечный поток эндобдж 208 0 объект > / Кодировка >>>>> эндобдж 186 0 объект > эндобдж 187 0 объект > эндобдж 188 0 объект > эндобдж 189 0 объект > эндобдж 190 0 объект > эндобдж 108 0 объект > / LastModified (D: 20070802152248-05’00 ‘) >>>> / MediaBox [0 0 524 1224] / Resources> / ProcSet [/ PDF / ImageB] >> / Type / Page / LastModified (D: 20070802152248-05 ’00’) >> эндобдж 114 0 объект > / LastModified (D: 20070802152400-05’00 ‘) >>>> / MediaBox [0 0 527 1224] / Resources> / ProcSet [/ PDF / ImageB] >> / Type / Page / LastModified (D: 20070802152400-05 ’00’) >> эндобдж 119 0 объект > / LastModified (D: 20070802152510-05’00 ‘) >>>> / MediaBox [0 0 516 1224] / Resources> / ProcSet [/ PDF / ImageB] >> / Type / Page / LastModified (D: 20070802152510-05 ’00’) >> эндобдж 124 0 объект > / LastModified (D: 20070802152620-05’00 ‘) >>>> / MediaBox [0 0 537 1224] / Resources> / ProcSet [/ PDF / ImageB] >> / Type / Page / LastModified (D: 20070802152620-05 ’00’) >> эндобдж 131 0 объект > / LastModified (D: 20070802152732-05’00 ‘) >>>> / MediaBox [0 0 527 1224] / Resources> / ProcSet [/ PDF / ImageB] >> / Type / Page / LastModified (D: 20070802152732-05 ’00’) >> эндобдж 136 0 объект > / LastModified (D: 20070802152842-05’00 ‘) >>>> / MediaBox [0 0 527 1224] / Resources> / ProcSet [/ PDF / ImageB] >> / Type / Page / LastModified (D: 20070802152842-05 ’00’) >> эндобдж 141 0 объект > / LastModified (D: 20070802152951-05’00 ‘) >>>> / MediaBox [0 0 514 1224] / Resources> / ProcSet [/ PDF / ImageB] >> / Type / Page / LastModified (D: 20070802152951-05 ’00’) >> эндобдж 142 0 объект > поток HD @ sPMN @@ w> iR6RJE ݱ ա r $ HSn [kEhfnS ^ ݆
ньютоновская механика — Почему сила гравитационного притяжения между двумя «расширенными» телами пропорциональна произведению их масс?
Как указано в предыдущем ответе, огромные несферические объекты редко (никогда) встречаются в Природе, поэтому давайте рассмотрим это как чисто теоретическое предприятие.Пойдем!
Рассмотрим два массивных тела (предположим, что они жесткие, чтобы их нельзя было деформировать и приливные эффекты не учитывались). Вектор гравитационной силы, которую массивное тело оказывает на другое тело, исходит из его центра тяжести (ЦТ). Кроме того, точка, в которой он захватывает другое тело, — это ЦТ другого тела. Для большинства небесных тел (которые являются сферически-симметричными), а также для ряда других тел, где присутствует симметрия (представьте себе эллипсоид), центр масс (CM) и CG совпадают, но в целом это не так. .Фактически, для этих тел существует не один ЦТ, а они лежат на отрезке линии, на котором расположен ЦМ. Где находится ЦТ, зависит от того, где находится другое тело. Например на кубе Земля:
Направление силы тяжести, которую вы чувствуете при ходьбе, большую часть времени не указывает на CM. В статье написано:
«… Гравитация на поверхности больше не будет указывать на точный центр [куба] Земли».
А в центре этого куба Земля находится CM.
То же самое верно и для массы, образованной усиком. Несмотря на некоторую симметрию, ЦТ лежит на отрезке линии на главной оси вращения с наименьшим моментом инерции (в длине усика), проходящим через ЦМ. Концы отрезка линии лежат немного раньше центра двух шаров, если смотреть со стороны CM, и на одинаковом расстоянии от него (если только шары не различаются по размеру, в этом случае CM сдвигается от середины и не меняется). больше не лежит в середине отрезка лески).
И в этом случае положение ЦТ зависит от положения другого тела.
Итак, что все это значит? Это означает, что если два вращающихся тела массы (с массами $ M $ и $ m $ тяготеют друг к другу по прямой линии, силы тяжести лежат на линии, соединяющей две ЦТ, лежащие на одной из конечных точек этой линии. ЦТ (в зависимости от их относительной ориентации) .Это означает, что они создают крутящий момент (псевдовектор, созданный перекрестным произведением) на обоих телах:
$$ \ vec {{\ tau} _ {1net}} = \ vec {F_ {gnet}} \ times \ frac {1} {2} (\ overrightarrow {CM_1} — \ overrightarrow {CG_ {1max}}) = \ lVert {\ vec {F_ {gnet}}} \ rVert \ lVert {\ frac {1} {2} (\ overrightarrow {CM_1} — \ overrightarrow {CG_ {1max}}}) \ rVert \ sin {{\ theta} _1} $$ $$ \ vec {{\ tau} _ {2net}} = \ vec {F_ {gnet}} \ times \ frac {1} {2} (\ overrightarrow {CM_2} — \ overrightarrow {CG_ {2max}}) = \ lVert {\ vec {F_ {gnet}}} \ rVert \ lVert {\ frac {1} {2} (\ overrightarrow {CM_2} — \ overrightarrow {CG_ {2max}}}) \ rVert \ sin {{\ theta } _2} $$
Фактор $ \ frac {1} {2} $ появляется перед векторами, потому что их величины варьируются от нуля (когда CM и CG совпадают) до максимальных значений (когда CM и CG находятся наиболее далеко друг от друга).Так обстоит дело с обеими сторонами CM, но с одной стороны $ \ vec {F_g} s $ имеют большие величины, поэтому я пишу $ \ vec {\ tau_ {net}} $ и $ F_ {gnet} $, которые в дальнейшем я буду называть просто $ \ vec {\ tau} $ и $ \ vec {F_g} $.
Когда тела имеют начальное минимальное угловое вращение, тела совершают полный оборот, в то время как они вращаются вперед и назад, когда они вращаются ниже этого минимального углового вращения, и никакого вращения вообще не происходит, когда начальный угловой момент равен нулю и отрезок линии между два ЦТ перпендикулярны линии между двумя ЦТ тел.
Углы $ {\ theta} _1 $ и $ {\ theta} _2 $ — это углы между соответствующими векторами. Их максимальные значения увеличиваются при приближении тел. Векторы крутящего момента перпендикулярны плоскости, содержащей $ \ vec {F_g} $ и $ (\ overrightarrow {CM_1} — \ overrightarrow {CG_ {1max}}) $ или $ (\ overrightarrow {CM_2} — \ overrightarrow {CG_ {2max) }}) $ (если они параллельны, крутящие моменты отсутствуют, потому что в этом случае $ \ sin {\ theta} _1 $ и $ \ sin {\ theta} _2 $ равны нулю) и вращаются вокруг оси, соединяющей $ {CM } _1 $ и $ {CM} _2 $.
Теперь крутящий момент заставляет тело вращаться в плоскости, перпендикулярной (или вращаясь вперед и назад, как мы видели) к только что упомянутой плоскости, и также определяется выражением:
$$ \ vec {{\ tau}} _ M = I_M \ frac {\ vec {{d \ omega}} _ M} {dt} $$ $$ \ vec {{\ tau}} _ m = I_m \ frac {\ vec {{d \ omega}} _ m} {dt}, $$
где $ I_M $ — момент инерции тела массы $ M $, а $ I_m $ — момент инерции тела массы $ m $ (разные моменты инерции $ I $ в зависимости от формы массы , можно вычислить или найти) и $ \ frac {\ vec {d \ omega}} {dt} $ — производная по времени от угловой скорости.Может быть ясно, что производная по времени от вектора (псевдо) угловой скорости ($ \ vec {\ omega} = \ vec {v} \ times \ vec {l} $) лежит на той же линии, что и вектор крутящего момента, потому что $ I $ — скаляр, т.е. положительное число. Предположим, крутящие моменты заставляют тела вращаться только вокруг главных осей с наивысшим моментом инерции (вращение может происходить вокруг любой оси, но принцип тот же). 2} $, где $ r $ — расстояние между обоими CM (или CG).2} $, где $ F $ — это силовая составляющая силы, действующей на КМ, а $ r $ — расстояние между двумя КМ. Это линейное ускорение минимально, когда общее ускорение вращения является максимальным, и наоборот.
Это линейное ускорение периодически ослабляется переменным (но периодическим) угловым вращением обоих тел. Линейное ускорение увеличивается, уменьшается, увеличивается, уменьшается и т. Д. (Поскольку энергия вращения тел периодически изменяется).
Когда тела находятся очень далеко друг от друга, будет (приблизительно) только линейное ускорение, потому что крутящие моменты стремятся к нулю.2} $ form. Когда тела приближаются друг к другу, соотношение крутящего момента тел и линейной ускоряющей силы не равно на каждом расстоянии между телами (см. Предыдущую линию). Таким образом, $ f (r) $ является периодической функцией (в зависимости от начальных вращений тел, их моментов инерции и изменяющихся моментов), и она придает линейному ускорению периодическую составляющую. Это периодическое изменение невелико, когда линейное ускорение мало (когда они далеко друг от друга), и становится больше, когда линейное ускорение увеличивается (когда они приближаются).Но поскольку соотношение крутящего момента и F увеличивается, когда расстояние между $ CM_1 $ и $ CM_2 $ уменьшается (например, когда расстояние становится вдвое меньше, сила становится $ \ frac {1} {4} $ большой, а крутящий момент становится больше, чем $ \ frac {1} {4} $, потому что в двух определениях перекрестных произведений, которые я дал выше, участвует фактор $ \ sin {\ theta} $, который увеличивается, когда расстояние между телами становится меньше ), период вращения во времени получается. Тем не менее, $ f (r) $ периодически ослабляет линейное ускорение.
При наличии необходимой информации можно вычислить $ f (r) $. Конечно, мы также должны включить растяжение тел, потому что они не совсем жесткие. Это растяжение происходит из-за вращений и приливных сил (последнее увеличивается с уменьшением расстояния), которые тоже можно вычислить. Когда тела растягиваются, телам передается потенциальная энергия, и это уменьшает линейное ускорение, но этим эффектом я пренебрегал (хотя он дает небольшой вклад в $ f (r) $ и также приближается к единице, когда расстояние приближается к бесконечности), поэтому Я предположил, что они жесткие.
В большинстве случаев нет постоянной периодичности (т.е. после определенного числа оборотов исходное относительное положение тел снова возникает), что имеет место, когда отношение импульсов инерции является нерациональным (действительным) числом, но, тем не менее, присутствует периодичность — .
Пфффф …. Думаю, этого более чем достаточно.
Еще одна вещь. Я только что понял, что ЦТ не обязательно должны лежать на прямой линии (это только в том случае, когда задействована симметрия), но в целом они лежат на кривой линии.Однако в первом приближении это подойдет (как в первом приближении в мультипольном разложении).
1.3 Закон Кулона | Texas Gateway
Задачи обучения
К концу этого раздела вы сможете делать следующее:
- Государственный закон Кулона о том, как электростатическая сила изменяется с расстоянием между двумя объектами
- Рассчитайте электростатическую силу между двумя точечными зарядами, например электронами или протонами
- Сравните электростатическую силу с гравитационным притяжением протона и электрона; для человека и Земли
Информация, представленная в этом разделе, поддерживает следующие цели обучения AP® и научные практики:
- 3.A.3.3 Учащийся может описать силу как взаимодействие между двумя объектами и идентифицировать оба объекта для любой силы. (С.П. 1.4)
- 3.A.3.4 Учащийся может заявить о силе, действующей на объект, из-за наличия других объектов с тем же свойством: масса, электрический заряд. (С.П. 6.1, 6.4)
- 3.C.2.1 Учащийся может качественно и количественно использовать закон Кулона, чтобы делать прогнозы о взаимодействии между двумя точечными электрическими зарядами — взаимодействия между наборами точечных электрических зарядов не рассматриваются в Физике 1, а ограничиваются физикой. 2. (С.П. 2.2, 6.4)
- 3.C.2.2 Учащийся может соединить понятия гравитационной силы и электрической силы, чтобы сравнить сходства и различия между силами. (С.П. 7.2)
Рис. 1.18 Это изображение НАСА Arp 87 показывает результат сильного гравитационного притяжения между двумя галактиками. Напротив, на субатомном уровне электростатическое притяжение между двумя объектами, такими как электрон и протон, намного больше, чем их взаимное притяжение из-за гравитации.(НАСА / HST)
Благодаря работам ученых конца восемнадцатого века, основные характеристики электростатической силы — наличие двух типов зарядов, наблюдение, что подобные заряды отталкиваются, в отличие от зарядов притягиваются, и уменьшение силы с расстоянием — в конечном итоге были уточнены. , и выражается математической формулой. Математическая формула для электростатической силы называется законом Кулона в честь французского физика Шарля Кулона (1736–1806), который провел эксперименты и первым предложил формулу для ее расчета.
Закон Кулона
1.3 F = k | q1q2 | r2F = k | q1q2 | r2 размер 12 {F = k {{q rSub {размер 8 {1}} q rSub {размер 8 {2}}} больше {r rSup {размер 8 {2} }}}}} {}Закон Кулона вычисляет величину силы FF между двумя точечными зарядами, q1q1 размером 12 {q rSub {размер 8 {1}}} {} и q2q2 размером 12 {q rSub {размер 8 {2}}} {}, разделенными на расстояние rr. В единицах СИ постоянная kk равна
. 1,4 k = 8,988 × 109N⋅m2C2≈8,99 × 109N⋅m2C2.k = 8,988 × 109N⋅m2C2≈8,99 × 109N⋅m2C2. размер 12 {k = 8 «.»» 988 «умножить на» 10 «rSup {размер 8 {9}} {{N cdot m rSup {размер 8 {2}}} больше {C rSup {size 8 {2}}}} примерно на 9». «» 00 «раз» 10 «rSup {размер 8 {9}} {{N cdot m rSup {размер 8 {2}}} больше {C rSup {размер 8 {2}}}}} {}Электростатическая сила — это векторная величина, выражаемая в ньютонах. Под действием силы понимается линия, соединяющая два заряда (см. Рисунок 1.19).
Хотя формула закона Кулона проста, доказать ее было нелегкой задачей. Эксперименты, которые Кулон проводил с доступным тогда примитивным оборудованием, были трудными.Современные эксперименты подтвердили закон Кулона с большой точностью. Например, было показано, что сила обратно пропорциональна расстоянию между двумя объектами в квадрате F∝1 / r2F∝1 / r2 размер 12 {слева (F prop {1} косая черта {r rSup {размер 8 {2}}} right)} {} с точностью до 1 части 1016.1016. size 12 {«10» rSup {size 8 {«16»}}} {} Никаких исключений не обнаружено, даже на небольших расстояниях внутри атома.
Рис. 1.19. Величина электростатической силы FF размером 12 {F} {} между точечными зарядами q1q1 размером 12 {q rSub {размер 8 {1}}} {} и q2q2 размером 12 {q rSub {размером 8 {2}}} {} разделенные расстоянием rr размер 12 {F} {} задается законом Кулона.Обратите внимание, что третий закон Ньютона — каждая приложенная сила создает равную и противоположную силу — применяется как обычно: сила на q1q1 размером 12 {q rSub {size 8 {1}}} {} равна по величине и противоположна по направлению силе он действует на q2q2 размером 12 {q rSub {size 8 {2}}} {}. (а) Как обвинения. (б) В отличие от обвинений.Установление соединений: сравнение гравитационных и электростатических сил
Напомним, что гравитационная сила (закон тяготения Ньютона) определяет силу как Fs = GmMr2Fs = GmMr2.
Сравнение двух сил — гравитационной и электростатической — показывает некоторые сходства и различия. Гравитационная сила пропорциональна массам взаимодействующих объектов, а электростатическая сила пропорциональна величине зарядов взаимодействующих объектов. Следовательно, обе силы пропорциональны свойству, которое представляет силу взаимодействия для данного поля. Кроме того, обе силы обратно пропорциональны квадрату расстояний между ними.Может показаться, что эти две силы связаны, но это не так. Фактически, существуют огромные различия в величинах этих двух сил, поскольку они зависят от разных параметров и разных механизмов. Для электронов (или протонов) электростатическая сила является доминирующей и намного превышает силу тяжести. С другой стороны, гравитационная сила обычно является доминирующей для объектов с большими массами. Еще одно важное различие между этими двумя силами состоит в том, что гравитационная сила может быть только притягивающей, тогда как электростатическая сила может быть притягивающей или отталкивающей, в зависимости от знака зарядов; непохожие заряды притягиваются, а подобные заряды отталкиваются.
Пример 1.1. Насколько сильна кулоновская сила по отношению к гравитационной силе?
Сравните электростатические силы между электроном и протоном, разделенные расстоянием 0,530 × 10–10 м0,530 × 10–10 м размером 12 {0 «.» «530» умножить на «10» rSup {размер 8 {- «10»}} м} {} с силой тяжести между ними. Это расстояние — их среднее расстояние в атоме водорода.
Стратегия
Чтобы сравнить две силы, мы сначала вычисляем электростатическую силу, используя закон Кулона, F = k | q1q2 | r2F = k | q1q2 | r2 size 12 {F = k {{q rSub {size 8 {1}} q rSub { размер 8 {2}}} больше {r rSup {размер 8 {2}}}}} {}.Затем мы вычисляем гравитационную силу, используя универсальный закон всемирного тяготения Ньютона. Наконец, мы берем соотношение, чтобы увидеть, как силы сравниваются по величине.
Решение
Ввод заданной и известной информации о зарядах и разделении электрона и протона в выражение закона Кулона дает
1.5 F = k | q1q2 | r2F = k | q1q2 | r2 размер 12 {F = k {{q rSub {size 8 {1}} q rSub {size 8 {2}}} больше {r rSup {size 8 {2}} }}}}} {} 1,6 = 8,99 × 109 Н · м2 / К2 × (1.60 × 10–19 ° C) (1,60 × 10–19 ° C) (0,530 × 10–10 м) 2. = 8,99 × 109N⋅ м2 / C2 × (1,60 × 10–19 ° C) (1,60 × 10–19 ° C) (0,530 × 10–10 м) 2.alignl {stack {size 12 {«» = left (9 «.» «00» умножить на «10» rSup {размер 8 {9}} N cdot «m» rSup {size 8 {2}}) / C rSup {размер 8 {2}} вправо) раз {{\ («-1» «.» «60» раз «10» rSup {размер 8 {«- 19»}} C \) \ (1 «. «» 60 «умножить на» 10 «rSup {размер 8 {» — 19 «}} C \)} больше {\ (0». «» 530 «умножить на» 10 «rSup {размер 8 {» — 10 «}} м \) rSup {размер 8 {2}}}}} {} # {}}} {}Таким образом, кулоновская сила равна
. 1.7 F = 8.19 × 10–8N. F = 8.19 × 10–8N. размер 12 {F = «-8» «.» «20» умножить на «10» rSup {размер 8 {«- 8»}} N} {}Заряды противоположны по знаку, так что это сила притяжения. Это очень большая сила для электрона — она вызовет ускорение 8,99 × 1022 м / с 28,99 × 1022 м / с2 размером 12 {9 дюймов ». «00» умножить на «10» rSup {size 8 {«22»}} {m} косая черта {s rSup {size 8 {2}}}} {}, проверка оставлена как задача конца раздела. сила определяется законом всемирного тяготения Ньютона как
1.8 FG = G mMr2, FG = G mMr2, размер 12 {F rSub {size 8 {G}} = «G» {{«mM»} больше {r rSup {size 8 {2}}}}} {}, где G = 6.67 × 10-11Нм2 / кг2G = 6,67 × 10-11Нм2 / кг2 размер 12 {G = 6 «.» «67» умножить на «10» rSup {размер 8 {- «11»}} {N cdot m rSup {размер 8 {2}}} косая черта {ital «kg» rSup {size 8 {2}}}} {}. Здесь mm и MM представляют собой массы электрона и протона, которые можно найти в приложениях. Ввод значений для известных выходов
1,9 FG = (6,67 × 10–11 Н⋅м2 / кг2) × (9,11 × 10–31 кг) (1,67 × 10–27 кг) (0,530 × 10–10 м) 2 = 3,61 × 10–47N.FG = (6,67 × 10 –11 Н⋅м2 / кг2) × (9,11 × 10–31 кг) (1,67 × 10–27 кг) (0,530 × 10–10 м) 2 = 3,61 × 10–47 Н.Это также сила притяжения, хотя она традиционно считается положительной, поскольку сила гравитации всегда притягивает.Отношение величины электростатической силы к гравитационной силе в этом случае составляет, таким образом,
. 1.10 FFG = 2.27 × 1039.FFG = 2.27 × 1039. размер 12 {{{F} over {F rSub {size 8 {G}}}} = «2» «.» «27» умножить на 10 «rSup {размер 8 {» 39 «}}} {}Обсуждение
Это очень большое соотношение! Обратите внимание, что это будет отношение электростатической силы к силе гравитации для электрона и протона на любом расстоянии, принимая соотношение перед вводом числовых значений, показывает, что расстояние сокращается.Это соотношение дает некоторое представление о том, насколько больше кулоновская сила, чем гравитационная сила между двумя наиболее распространенными частицами в природе.
Как видно из примера, гравитационная сила совершенно незначительна в малых масштабах, где важны взаимодействия отдельных заряженных частиц. В больших масштабах, например, между Землей и человеком, верно обратное. Большинство объектов почти электрически нейтральны, поэтому кулоновские силы притяжения и отталкивания практически нейтрализуются.Гравитационная сила в большом масштабе доминирует во взаимодействиях между большими объектами, потому что она всегда притягивает, в то время как кулоновские силы имеют тенденцию сокращаться.
| Гравитационное взаимодействие Земли и Луны производит ряд эффектов. Наиболее очевидным из них является орбитальное движение Луны вокруг Земли, но также существует движение Земли вокруг центра масс системы Земля-Луна (обсуждается ниже), приливные эффекты на Земле и Луне (чтобы обсуждаются в разделе «Гравитационные эффекты Земли и Луны: приливы») и прецессионные эффекты на оси вращения Земли (будут обсуждаться в разделе «Гравитационные взаимодействия Земли и Луны: Прецессия». Гравитационная сила Земли и Луны друг на друга F = G m M / r 2 в котором F — сила тяжести между двумя телами, m и M — их массы, а r — расстояние между ними, имеет одинаковое значение независимо от того, какой объект считается тянущим к телу. Другие. Другими словами, оба закона подразумевают, что сила, которую Земля оказывает на Луну, численно идентична силе, которую Луна оказывает на Землю. Единственное отличие состоит в том, что Луна тянет Землю к Луне, а Земля тянет Луну к Земле — то есть сила, действующая на каждый объект, направлена на другой объект и, следовательно, в противоположном направлении. (Обычно это выражается в том, что силы «равны и противоположны», но иногда люди думают, что это означает, что они нейтрализуют друг друга, если не указано, что силы действуют на разные объекты.) Основной эффект силы между Землей и Луной F = m a где F — сила, приложенная к массе м , а a — ускорение или скорость изменения скорости объекта. Как написано здесь, формула не показывает это напрямую, но сила и ускорение — это векторов , что означает, что они имеют как величину, так и направление.В этом случае, поскольку они являются единственными векторами в уравнении, они должны иметь одинаковое направление, то есть изменение скорости должно происходить в направлении силы, как указано выше. Если бы Земля и Луна не действовали друг на друга, они могли бы двигаться независимо друг от друга, но поскольку они действительно оказывают силу друг на друга, их скорости изменяются в зависимости от величины и направления каждой силы и их соответствующих масс. . Поскольку каждый притягивается к другому, Земля притягивается к Луне и, следовательно, немного дальше от пути, по которому она в противном случае следовала бы вокруг Солнца в отсутствие Луны, а Луна притягивается к Земле и, следовательно, немного дальше. от независимого пути, в противном случае он шел бы вокруг Солнца в отсутствие Земли.Если бы тот или иной объект не существовал, оставшийся объект вращался бы вокруг Солнца по орбите, почти идентичной пути, по которому пара в настоящее время следует вокруг Солнца, но поскольку оба существуют, каждый из них следует по пути, который примерно совпадает с их воображаемыми независимыми объектами. пути, но не совсем одинаковые пути в результате их взаимодействия друг с другом. Силы, которые Земля и Луна действуют друг на друга, должны быть равны, но это не означает, что воздействий этих равных сил одинаковы, потому что эти два объекта имеют очень разные массы.Земля в 81,6 раз массивнее Луны, и в результате данная сила будет влиять (или изменять) ее движение в 81,6 раз меньше, чем Луна. Наиболее очевидный эффект притяжения Земли на Луну заключается в том, что Луна обращается вокруг Земли один раз за 27,3 дня, двигаясь по эллиптической траектории с размером около 240 000 миль. Гораздо менее очевидный эффект притяжения Луны на Землю состоит в том, что Земля также «вращается по орбите» вокруг Луны каждые 27,3 дня, имея эллиптический путь в 81,6 раз меньше, чем у Луны, или всего в 3000 миль. Конечно, Земля не может вращаться вокруг Луны на расстоянии 3000 миль, в то время как Луна вращается вокруг Земли на расстоянии 240 000 миль. Таким образом, описанные эллиптические пути не могут быть друг вокруг друга. Вместо этого два тела на самом деле вращаются вокруг точки, называемой центром масс (или барицентром ) системы Земля-Луна, с орбитальным путем вокруг этой точки размером 3000 миль для Земли и размером 240 000 миль для Земли. Луна. Принцип такой же, как у качелей или качелей.Если два человека с очень разным весом сидят по разные стороны от точки равновесия (или точки опоры ), более тяжелый человек должен сидеть ближе к точке равновесия обратно пропорционально их относительному весу. Например, если более тяжелый человек весит вдвое больше, чем более легкий, он должен сидеть вдвое ближе к точке опоры. Точка баланса — это «центр масс» качелей, так же как центр тяжести является точкой баланса системы Земля-Луна. Именно эта точка фактически движется вокруг Солнца по тому, что мы называем орбитой Земли , в то время как Земля и Луна движутся вокруг барицентра по своим соответствующим «орбитам».
(Эта страница находится в процессе преобразования из черновых конспектов лекций в самостоятельное, но, надеюсь, более ясное обсуждение. Часть нижеследующего, которая в основном представляет собой менее математическое обсуждение того, что описано выше, будет сохранена как отдельное обсуждение ниже или включены в обсуждение выше, в то время как другие части будут удалены как излишне повторяющиеся.) Другой взгляд на барицентрическое движение Земли * диаграмма будет вставлена здесь * Земля и Луна движутся вокруг центра масс системы Земля-Луна. Поскольку Земля намного массивнее, она намного ближе к центру масс, который на самом деле находится внутри Земли. Согласно второму закону движения Ньютона (закону силы), одна и та же сила, действующая на разные массы, вызывает ускорение, обратно пропорциональное массе; таким образом, более массивная в 80 раз Земля ускоряется в 80 раз меньше, чем Луна, и должна двигаться по траектории, которая в 80 раз меньше, чем Луна, с центром масс в фокусе их соответствующих движений.Поскольку большая полуось орбиты Луны составляет около 240 000 миль, движение Земли вокруг центра масс должно иметь размер около 3000 миль. Это меньше, чем радиус Земли в 4000 миль, поэтому центр масс на самом деле находится внутри Земли, на 1000 миль ниже того места, где Луна находится прямо над головой.  |