Site Loader

Содержание

основание системы счисления. Онлайн калькулятор

Система счисления — это способ записи (представление) чисел с помощью определённого набора письменных знаков, называемых цифрами.

Основание системы счисления — это количество цифр, которые используются в данной системе счисления для записи чисел.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Позиционными называются такие системы счисления, в которых значение цифры зависит от её расположения в записи числа. В качестве примера позиционной системы счисления можно привести привычную для нас десятичную систему счисления. Например, в записи числа  2222  одна и та же цифра —  2  означает (последовательно справа налево) количество — единиц, десятков, сотен, тысяч.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых значение цифры не зависит от её расположения в записи числа. В качестве примера непозиционной системы счисления можно привести достаточно широко применяемую в настоящее время, римскую систему. Например, в записи числа 

CCC  (триста) символ  C  в любом месте означает число сто.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная

В двоичной системе счисления основание равно  2,  то есть для записи чисел используется всего  2  цифры —  0  и  1.

В восьмеричной системе основание равно  8,  используется  8  цифр — от  0  до  7.

В шестнадцатеричной системе основание равно  16,  используется  16  цифр — от  0  до  15.  Цифры от  10  до  15  условились обозначать латинскими буквами в алфавитном порядке:  A  (10),  B  (11),  C  (12),  D  (13),  E  (14),  F  (15).

Калькулятор перевода чисел

Для быстрого перевода числа из одной системы счисления в другую (кроме римской) вы можете воспользоваться калькулятором:

арифметические действия в двоичной системе счисления калькулятор

Вы искали арифметические действия в двоичной системе счисления калькулятор? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и арифметические действия в двоичной системе счисления онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «арифметические действия в двоичной системе счисления калькулятор».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как арифметические действия в двоичной системе счисления калькулятор,арифметические действия в двоичной системе счисления онлайн,арифметические действия в двоичной системе счисления онлайн калькулятор,арифметические действия в системах счисления калькулятор,арифметические операции в двоичной системе счисления калькулятор,арифметические операции в двоичной системе счисления калькулятор онлайн,арифметические операции в двоичной системе счисления онлайн,арифметические операции в двоичной системе счисления онлайн калькулятор,арифметические операции в позиционных системах счисления калькулятор,арифметический калькулятор в двоичной системе счисления,бинарный калькулятор,бинарный калькулятор онлайн,бинарный онлайн калькулятор,в восьмеричной системе счисления калькулятор,в двоичной системе счисления калькулятор,в двоичной системе счисления онлайн калькулятор,восьмеричная система калькулятор,восьмеричная система счисления калькулятор,восьмеричная система счисления калькулятор онлайн,восьмеричная система счисления онлайн калькулятор,восьмеричный калькулятор,восьмеричный калькулятор онлайн,восьмеричный онлайн калькулятор,вычисление в двоичной системе,вычисления в двоичной системе счисления онлайн,вычислить в двоичной системе счисления онлайн,вычитание 16 ричных чисел онлайн,вычитание в 2 системе счисления онлайн,вычитание в восьмеричной системе счисления онлайн,вычитание в восьмеричной системе счисления онлайн калькулятор,вычитание в двоичной системе калькулятор,вычитание в двоичной системе онлайн,вычитание в двоичной системе счисления калькулятор,вычитание в двоичной системе счисления онлайн,вычитание в двоичной системе счисления онлайн калькулятор,вычитание в двоичной системе счисления онлайн калькулятор с решением,вычитание в шестнадцатеричной системе счисления онлайн калькулятор,вычитание восьмеричных чисел онлайн,вычитание восьмеричных чисел онлайн калькулятор,вычитание двоичной системы калькулятор,вычитание двоичной системы счисления калькулятор,вычитание двоичной системы счисления онлайн,вычитание двоичной системы счисления онлайн калькулятор,вычитание двоичных чисел калькулятор,вычитание двоичных чисел калькулятор онлайн с решением,вычитание двоичных чисел онлайн,вычитание двоичных чисел онлайн калькулятор,вычитание двоичных чисел онлайн калькулятор с решением,вычитание двоичных чисел онлайн столбиком,вычитание двоичных чисел столбиком онлайн,вычитание онлайн в двоичной системе счисления,вычитание систем счисления калькулятор,вычитание систем счисления онлайн,вычитание систем счисления онлайн калькулятор,вычитание систем счисления онлайн калькулятор с решением,вычитание столбиком двоичных чисел,вычитание чисел в двоичной системе счисления онлайн,вычитание шестнадцатеричных чисел онлайн с решением,двоичная арифметика калькулятор,двоичная арифметика калькулятор онлайн,двоичная арифметика калькулятор столбиком,двоичная арифметика онлайн,двоичная арифметика онлайн калькулятор,двоичная арифметика сложение калькулятор,двоичная система онлайн калькулятор,двоичная система счисления калькулятор с решением,двоичная система счисления онлайн калькулятор,двоичная система счисления онлайн калькулятор с решением,двоичное сложение онлайн,двоичной калькулятор,двоичной системе счисления калькулятор,двоичные числа калькулятор,двоичный калькулятор,двоичный калькулятор онлайн,двоичный калькулятор онлайн с решением,двоичный калькулятор с решением,двоичный код калькулятор,двоичных калькулятор,двоичных чисел онлайн калькулятор,действия над числами в различных системах счисления онлайн,деление в восьмеричной системе счисления онлайн,деление в двоичной системе онлайн,деление в двоичной системе счисления калькулятор онлайн,деление в двоичной системе счисления онлайн,деление в двоичной системе счисления онлайн калькулятор,деление в двоичной системе счисления онлайн с решением,деление двоичной системы счисления онлайн,деление двоичной системы счисления онлайн калькулятор,деление двоичных чисел калькулятор,деление двоичных чисел онлайн столбиком,деление систем счисления калькулятор,деление систем счисления онлайн,деление систем счисления онлайн калькулятор,деление систем счисления онлайн калькулятор с решением,десятичная система счисления калькулятор,десятичной системы калькулятор,десятичный калькулятор,десятичный калькулятор онлайн,десятичный онлайн калькулятор,десятичных чисел онлайн калькулятор,записать числа в развернутой форме онлайн,из восьмеричной в десятичную онлайн калькулятор,из двоичной в восьмеричную онлайн калькулятор,из десятичной в восьмеричную онлайн калькулятор с решением,из десятичной в двоичную калькулятор онлайн,информатика калькулятор онлайн,информатика калькулятор онлайн системы счисления,информатика калькулятор систем счисления,информатика калькулятор система счисления,информатика онлайн калькулятор,информатика система счисления калькулятор,информатика системы счисления калькулятор,информатический калькулятор,информационный калькулятор,как складывать двоичные числа в столбик,как складывать числа в двоичной системе счисления,калькулятор 8 системы счисления,калькулятор арифметические действия в двоичной системе счисления,калькулятор арифметические операции в двоичной системе счисления,калькулятор арифметические операции в позиционных системах счисления,калькулятор арифметических операций,калькулятор бинарный,калькулятор бинарный онлайн,калькулятор в восьмеричной системе счисления,калькулятор в двоичной системе вычитание,калькулятор в двоичной системе онлайн,калькулятор в двоичной системе счисления онлайн,калькулятор в разных системах счисления,калькулятор в разных системах счисления онлайн,калькулятор в системах счисления,калькулятор в системах счисления онлайн,калькулятор восьмеричной системы,калькулятор восьмеричной системы счисления,калькулятор восьмеричной системы счисления онлайн,калькулятор восьмеричной системы счисления сложение,калькулятор восьмеричный,калькулятор восьмеричных чисел,калькулятор вычитание в двоичной системе,калькулятор вычитание в двоичной системе счисления,калькулятор вычитание восьмеричных чисел онлайн,калькулятор вычитание двоичной системы,калькулятор вычитание двоичных чисел,калькулятор вычитание двоичных чисел онлайн с решением,калькулятор вычитание систем счисления,калькулятор вычитание системы счисления,калькулятор двоичная арифметика,калькулятор двоичная система онлайн,калькулятор двоичного кода,калькулятор двоичной,калькулятор двоичной арифметики,калькулятор двоичной системе счисления,калькулятор двоичной системы вычитание,калькулятор двоичной системы онлайн,калькулятор двоичной системы с решением,калькулятор двоичной системы сложение,калькулятор двоичной системы сложения,калькулятор двоичной системы счисления вычитание,калькулятор двоичной системы счисления онлайн,калькулятор двоичной системы счисления онлайн вычитание,калькулятор двоичной системы счисления онлайн деление,калькулятор двоичной системы счисления онлайн с решением,калькулятор двоичной системы счисления онлайн сложение,калькулятор двоичной системы счисления с решением,калькулятор двоичной системы счисления с решением онлайн,калькулятор двоичной системы счисления сложение,калькулятор двоичные числа,калькулятор двоичный код,калькулятор двоичных,калькулятор двоичных кодов,калькулятор двоичных систем счисления,калькулятор двоичных чисел,калькулятор двоичных чисел вычитание,калькулятор двоичных чисел деление,калькулятор двоичных чисел онлайн,калькулятор двоичных чисел с решением,калькулятор двоичных чисел сложение,калькулятор деление в двоичной системе,калькулятор деление двоичных чисел,калькулятор десятичная и двоичная,калькулятор десятичная система счисления,калькулятор десятичный,калькулятор десятичный онлайн,калькулятор десятичных систем счисления,калькулятор десятичных чисел,калькулятор для двоичной системы,калькулятор для двоичной системы счисления,калькулятор для двоичной системы счисления онлайн,калькулятор для информатики,калькулятор для информатики двоичная система,калькулятор для информатики онлайн,калькулятор для перевода систем счисления,калькулятор для перевода систем счисления с решением,калькулятор для разных систем счисления,калькулятор для систем счисления,калькулятор для систем счисления онлайн,калькулятор для системы счисления,калькулятор для счисления систем,калькулятор из двоичной в десятичную с решением,калькулятор из десятичной в двоичную онлайн,калькулятор из десятичной в двоичную с решением,калькулятор из десятичной в шестнадцатиричную онлайн калькулятор,калькулятор информатика,калькулятор информатика онлайн,калькулятор информатика онлайн с решением,калькулятор информатика системы счисления,калькулятор исчисления систем,калькулятор кодов двоичных,калькулятор онлайн в двоичной системе,калькулятор онлайн в разных системах счисления,калькулятор онлайн двоичная арифметика,калькулятор онлайн двоичная система,калькулятор онлайн двоичная система счисления,калькулятор онлайн двоичной системы,калькулятор онлайн двоичных чисел,калькулятор онлайн десятичный,калькулятор онлайн десятичных чисел,калькулятор онлайн для информатики,калькулятор онлайн для систем счисления,калькулятор онлайн перевод систем счисления с решением,калькулятор онлайн перевода систем счисления,калькулятор онлайн по информатике,калькулятор онлайн по системам счисления,калькулятор онлайн система счисления,калькулятор онлайн системы счисления,калькулятор онлайн системы счисления с подробным решением,калькулятор онлайн системы счисления сложение,калькулятор перевод систем счисления с решением,калькулятор перевода,калькулятор перевода систем счисления,калькулятор перевода систем счисления онлайн,калькулятор перевода систем счисления онлайн с решением,калькулятор перевода систем счисления с решением,калькулятор перевода систем счисления с решением онлайн,калькулятор по информатике онлайн,калькулятор по информатике система счисления,калькулятор по системам счисления,калькулятор по системам счисления онлайн,калькулятор программиста онлайн,калькулятор разных систем счисления,калькулятор ру информатика,калькулятор с решением перевод систем счисления,калькулятор с системами счисления,калькулятор систем счисления вычитание,калькулятор систем счисления вычитание онлайн,калькулятор систем счисления вычитание сложение,калькулятор систем счисления деление,калькулятор систем счисления информатика,калькулятор систем счисления онлайн вычитание,калькулятор систем счисления онлайн с подробным решением,калькулятор систем счисления онлайн с решением,калькулятор систем счисления онлайн с решением вычитание,калькулятор систем счисления онлайн с решением деление,калькулятор систем счисления онлайн с решением сложение,калькулятор систем счисления онлайн сложение,калькулятор систем счисления подробный,калькулятор систем счисления с подробным решением онлайн,калькулятор систем счисления с решением онлайн вычитание,калькулятор систем счисления с решением онлайн деление,калькулятор систем счисления с решением онлайн перевод,калькулятор систем счисления с решением онлайн с решением,калькулятор систем счисления с решением онлайн сложение,калькулятор систем счисления сложение,калькулятор систем счисления сложение вычитание,калькулятор систем счисления сложение и вычитание,калькулятор систем счисления сложение онлайн,калькулятор систем счисления сложения,калькулятор система счисления в информатике,калькулятор система счисления информатика,калькулятор система счисления онлайн,калькулятор система счисления сложение,калькулятор системы счисления вычитание,калькулятор системы счисления онлайн информатика,калькулятор системы счисления онлайн с решением,калькулятор системы счисления онлайн сложение,калькулятор системы счисления с решением,калькулятор системы счисления с решением онлайн,калькулятор системы счисления сложение,калькулятор сложение в двоичной системе,калькулятор сложение в двоичной системе счисления,калькулятор сложение восьмеричных чисел онлайн,калькулятор сложение двоичной системы счисления онлайн,калькулятор сложение двоичных чисел,калькулятор сложение и вычитание систем счисления,калькулятор сложение систем счисления,калькулятор сложение систем счисления с решением онлайн,калькулятор сложение системы счисления,калькулятор сложение чисел в двоичной системе,калькулятор сложения в двоичной системе счисления,калькулятор сложения двоичной системы,калькулятор сложения двоичных чисел,калькулятор сложения двоичных чисел онлайн,калькулятор сложения систем счисления,калькулятор сложения систем счисления с решением онлайн,калькулятор сложить двоичные числа,калькулятор степеней счисления,калькулятор счисления онлайн с решением,калькулятор троичной системы счисления,калькулятор чисел в двоичной системе счисления,калькулятор чисел в разных системах счисления,калькулятор шестнадцатиричная система счисления,калькулятор шестнадцатиричной системы,онлайн бинарный калькулятор,онлайн вычитание в восьмеричной системе счисления,онлайн вычитание в двоичной системе,онлайн вычитание в двоичной системе счисления,онлайн вычитание восьмеричных чисел,онлайн вычитание двоичной системы счисления,онлайн вычитание систем счисления,онлайн вычитание систем счисления онлайн,онлайн вычитание чисел в двоичной системе счисления,онлайн двоичная арифметика,онлайн двоичный калькулятор,онлайн деление в двоичной системе счисления,онлайн деление двоичной системы счисления,онлайн деление двоичных чисел,онлайн деление систем счисления онлайн,онлайн десятичный калькулятор,онлайн калькулятор бинарный,онлайн калькулятор в двоичной системе,онлайн калькулятор в двоичной системе счисления,онлайн калькулятор в двоичной системе счисления онлайн,онлайн калькулятор в двоичной системе счисления онлайн с решением,онлайн калькулятор в разных системах счисления,онлайн калькулятор в системах счисления,онлайн калькулятор восьмеричной системы счисления,онлайн калькулятор восьмеричный,онлайн калькулятор вычитание двоичной системы счисления,онлайн калькулятор вычитание двоичных чисел,онлайн калькулятор вычитание систем счисления,онлайн калькулятор двоичная система,онлайн калькулятор двоичной арифметики,онлайн калькулятор двоичной системы счисления,онлайн калькулятор двоичной системы счисления вычитание,онлайн калькулятор двоичной системы счисления деление,онлайн калькулятор двоичной системы счисления онлайн с решением,онлайн калькулятор двоичной системы счисления с решением,онлайн калькулятор двоичной системы счисления с решением онлайн,онлайн калькулятор двоичной системы счисления сложение,онлайн калькулятор двоичных чисел,онлайн калькулятор двоичных чисел деление,онлайн калькулятор деление в двоичной системе счисления,онлайн калькулятор деление систем счисления,онлайн калькулятор десятичный,онлайн калькулятор десятичных чисел,онлайн калькулятор для систем счисления,онлайн калькулятор из двоичной в восьмеричную,онлайн калькулятор информатика,онлайн калькулятор информатика с решением,онлайн калькулятор информатика системы счисления,онлайн калькулятор перевод в двоичную систему,онлайн калькулятор перевод из десятичной в двоичную с решением,онлайн калькулятор перевод из десятичной в двоичную систему счисления,онлайн калькулятор перевод систем счисления,онлайн калькулятор перевод систем счисления с решением,онлайн калькулятор перевод системы счисления,онлайн калькулятор перевода систем счисления,онлайн калькулятор перевода систем счисления с решением,онлайн калькулятор по информатике,онлайн калькулятор по информатике онлайн,онлайн калькулятор по информатике системы счисления,онлайн калькулятор по системам счисления,онлайн калькулятор систем счисления вычитание,онлайн калькулятор систем счисления деление,онлайн калькулятор систем счисления с подробным решением,онлайн калькулятор систем счисления с решением вычитание,онлайн калькулятор систем счисления с решением деление,онлайн калькулятор систем счисления с решением сложение,онлайн калькулятор систем счисления сложение,онлайн калькулятор система исчисления,онлайн калькулятор система счисления,онлайн калькулятор система счисления с решением,онлайн калькулятор системы счисления с решением,онлайн калькулятор системы счисления сложение,онлайн калькулятор сложение в двоичной системе счисления,онлайн калькулятор сложение восьмеричных чисел,онлайн калькулятор сложение двоичной системы счисления,онлайн калькулятор сложение десятичных чисел,онлайн калькулятор сложение системы счисления,онлайн калькулятор сложение чисел в двоичной системе счисления,онлайн калькулятор сложения двоичных чисел,онлайн калькулятор сложения систем счисления с решением,онлайн калькулятор умножение восьмеричных чисел,онлайн калькулятор шестнадцатиричной системы счисления,онлайн операции с двоичными числами,онлайн система счисления калькулятор,онлайн системы исчисления,онлайн системы счисления сложение,онлайн сложение в двоичной системе,онлайн сложение восьмеричных чисел,онлайн сложение вычитание в двоичной системе счисления онлайн,онлайн сложение двоичной системы,онлайн сложение двоичной системы счисления,онлайн сложение двоичных чисел,онлайн сложение и вычитание в двоичной системе счисления,онлайн сложение и вычитание двоичных чисел,онлайн сложение систем счисления,онлайн сложение систем счисления с решением онлайн,онлайн сложение системы счисления,онлайн сложение чисел,онлайн сложение чисел в двоичной системе,онлайн сложение чисел в двоичной системе счисления онлайн,онлайн сложение чисел в системе счисления,операции с двоичными числами онлайн,перевод в факториальную систему счисления онлайн,перевод из десятичной в восьмеричную онлайн калькулятор с решением,перевод из десятичной в двоичную онлайн калькулятор с решением,перевод калькулятор систем счисления с решением онлайн,перевод отрицательных чисел в двоичную систему онлайн,перевод систем счисления калькулятор с решением,перевод систем счисления онлайн калькулятор с решением,перевод системы счисления калькулятор онлайн,перевод системы счисления онлайн калькулятор,подробный калькулятор систем счисления,пятеричная система счисления калькулятор,система исчисления калькулятор онлайн,система исчисления онлайн,система счисления в информатике калькулятор,система счисления в информатике калькулятор с решением,система счисления информатика калькулятор,система счисления калькулятор информатика,система счисления калькулятор онлайн с решением,система счисления калькулятор с решением,система счисления калькулятор сложение,система счисления онлайн калькулятор,система счисления онлайн калькулятор с решением,система счисления сложение калькулятор,системы счисления в информатике калькулятор,системы счисления вычитание калькулятор,системы счисления информатика калькулятор онлайн,системы счисления информатика калькулятор с решением,системы счисления информатика онлайн калькулятор,системы счисления калькулятор вычитание,системы счисления калькулятор онлайн с решением,системы счисления калькулятор онлайн сложение,системы счисления калькулятор с решением,системы счисления калькулятор с решением онлайн,системы счисления калькулятор сложение,системы счисления онлайн калькулятор с подробным решением,системы счисления онлайн калькулятор сложение,системы счисления онлайн сложение,системы счисления сложение калькулятор,системы счисления сложение онлайн,сложение 2 системы счисления онлайн,сложение в 16 системе счисления онлайн калькулятор,сложение в 2 системе счисления онлайн,сложение в двоичной системе калькулятор,сложение в двоичной системе онлайн,сложение в двоичной системе счисления калькулятор,сложение в двоичной системе счисления калькулятор онлайн,сложение в двоичной системе счисления онлайн,сложение в двоичной системе счисления онлайн калькулятор,сложение в информатике онлайн,сложение в разных системах счисления онлайн,сложение в системе счисления онлайн,сложение в троичной системе счисления онлайн,сложение в шестнадцатеричной системе счисления онлайн калькулятор,сложение восьмеричной системы счисления калькулятор,сложение восьмеричной системы счисления онлайн калькулятор,сложение восьмеричных чисел калькулятор онлайн,сложение восьмеричных чисел онлайн,сложение восьмеричных чисел онлайн калькулятор,сложение двоичного кода,сложение двоичной системы,сложение двоичной системы калькулятор,сложение двоичной системы онлайн,сложение двоичной системы счисления калькулятор,сложение двоичной системы счисления калькулятор онлайн,сложение двоичной системы счисления онлайн,сложение двоичной системы счисления онлайн калькулятор,сложение двоичных чисел калькулятор,сложение двоичных чисел онлайн,сложение двоичных чисел онлайн калькулятор,сложение двоичных чисел онлайн калькулятор с подробным решением,сложение двоичных чисел онлайн калькулятор с решением,сложение десятичных чисел онлайн калькулятор,сложение и вычитание в двоичной системе счисления онлайн,сложение и вычитание двоичных чисел онлайн,сложение и вычитание систем счисления калькулятор,сложение и вычитание систем счисления онлайн,сложение онлайн в двоичной системе,сложение онлайн двоичной системы,сложение онлайн системы счисления,сложение по модулю 2 онлайн,сложение систем счисления калькулятор,сложение систем счисления калькулятор с решением,сложение систем счисления онлайн,сложение систем счисления онлайн калькулятор,сложение систем счисления онлайн калькулятор с решением,сложение система счисления калькулятор,сложение системы счисления калькулятор,сложение системы счисления онлайн,сложение сс калькулятор,сложение чисел в двоичной системе онлайн,сложение чисел в двоичной системе счисления,сложение чисел в двоичной системе счисления онлайн,сложение чисел в двоичной системе счисления онлайн калькулятор,сложение чисел в системе счисления онлайн,сложение чисел двоичной системы счисления,сложение чисел онлайн,сложение шестнадцатиричной системы счисления онлайн,сложение шестнадцатиричной системы счисления онлайн калькулятор,сложение шестнадцатиричных чисел онлайн калькулятор с решением,сложения в двоичной системе счисления калькулятор,сложения двоичных чисел калькулятор,сложения двоичных чисел онлайн калькулятор,сложить в двоичной системе онлайн,сложить восьмеричные числа онлайн,сложить два двоичных числа онлайн,сложить два числа в двоичной системе счисления онлайн,сложить двоичные числа калькулятор,сложить двоичные числа калькулятор онлайн,сложить двоичные числа онлайн,сложить онлайн числа,сложить числа,сложить числа в двоичной системе счисления онлайн,сложить числа онлайн,сс калькулятор онлайн,сс сложение,сумма двоичных чисел,сумма двоичных чисел 110011 и 1000101 равна,сумма двоичных чисел онлайн,счисления калькулятор восьмеричная система счисления,умножение в 8 системе счисления онлайн,умножение в восьмеричной системе счисления онлайн,умножение в шестнадцатеричной системе счисления онлайн,умножение восьмеричных чисел онлайн,умножение восьмеричных чисел онлайн калькулятор,умножение чисел в восьмеричной системе счисления онлайн,умножение шестнадцатеричных чисел онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и арифметические действия в двоичной системе счисления калькулятор. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, арифметические действия в двоичной системе счисления онлайн калькулятор).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же арифметические действия в двоичной системе счисления калькулятор Онлайн?

Решить задачу арифметические действия в двоичной системе счисления калькулятор вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн

  • Главная
  • Конвертеры
  • Инструменты
  • Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн

Для перевода чисел из десятичной с/с в любую другую, необходимо делить десятичное число на основание системы, в которую переводят, сохраняя при этом остатки от каждого деления. Результат формируется справа налево. Деление продолжается до тех пор, пока результат деления не станет меньше делителя.

Калькулятор переводит числа из одной системы счисления в любую другую. Он может переводить числа из двоичной в десятичную или из десятичной в шестнадцатеричную, показывая подробный ход решения. Вы с легкостью можете перевести число из троичной в пятеричную или даже из семеричной  в семнадцатеричную. Калькулятор умеет переводить числа из любой системы счисления в любую другую.

Онлайн калькулятор перевода чисел из одной системы счисления в любую другую

Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую

В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.

Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.

Таблица степеней числа 2:

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.

Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Сложение

Вычитание

Умножение

0+0=0

0-0=0

0*0=0

1+0=1

1-0=1

1*0=0

0+1=1

0-1=1

0*1=0

1+1=10

1-1=0

1*1=1

При сложении двух чисел, равных 1, в данном разряде получается 0, а 1-ца переносится в старший разряд.

Перевод целых чисел

Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 81010. Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.

  1. Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 29 = 512.
  2. Вычитаем 512 из 810, получаем 298.
  3. Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.
  4. У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 29 + 28 + 25 + 23 + 21.


Далее есть два способа, можно использовать любой из них. Как легко увидеть, что в любой системе счисления её основание всегда 10. Квадрат основания всегда будет 100, куб 1000. То есть степень основания системы счисления — это 1 (единица), и за ней столько нулей, какова степень.

Способ 1: Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 81010 = 11001010102. Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.

Способ 2: Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

810 =

29 = 1000000000 (1 и девять нулей) +
28 = 100000000 (1 и восемь нулей) +
25 = 100000 (1 и пять нулей) +
23 = 1000 (1 и три нуля) +
21 = 10 (1 и один ноль)


А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010.

Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».

Ответ — столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.

Теперь пример попроще.

Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 — это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 52. Это 2.

Получаем 6310 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 52 + 2 * 5 + 3 = 2235.

Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.

Переведем в двоичную систему число 5478.

5478= 101 100 111
  5 4 7

Ещё одно, например 7D6A16.

7D6A16= (0)111 1101 0110 1010
  7 D 6 A

Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 7368 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE16. Переведем в 8-ричную систему число C2516. Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C2516 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 60458. Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E6816 = 14 * 162 + 6 * 16 + 8 = 3688. 7328 = 7 * 82 + 3*8 + 2 = 474.

Перевод отрицательных чисел

Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать — в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.

Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.

Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.

Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001.

Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?».

Ответ — 4.

Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.

Перевод дробных чисел

Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.

Переведем число 0,6752 в двоичную систему.

0 ,6752
  *2
1 ,3504
  *2
0 ,7008
  *2
1 ,4016
  *2
0 ,8032
  *2
1 ,6064
  *2
1 ,2128

Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.

Получается 0,6752 = 0,101011.

Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Больше интересного в телеграм @calcsbox

Чеканова Нина Ивановна (/authors/ ), учитель математики и информатики. (//1septem.ru/tCVyw9SvU6) Калькулятор

Программа Калькулятор

Работа 4 Программа Калькулятор Цель работы: Изучение способов выполнения расчѐтов различной сложности с помощью программы Калькулятор Содержание работы: 1 Обычный режим 2 Инженерный режим Общие сведения

Подробнее

Практикум. Создание ярлыков

Практикум Создание ярлыков Ярлык это файл, который ссылается на другой файл. Имеет объём 400-600 байт. Открытие ярлыка приводит к запуску программы или открытию папки или документа, на который он ссылается.

Подробнее

Калькуляторы TI-30Xa и 30Xa Solar

Калькуляторы TI-30Xa и 30Xa Solar w w w.ti.com/calc ti- c a r [email protected] Научные калькуляторы TI-30Xa и TI-30Xa SOLAR Основные операции…..2 Результаты…3 Основная арифметика….3 Проценты 4 Дроби..5

Подробнее

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ…2

Содержаниe ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ…2 Клавиши…2 КЛАВИШИ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ…2 КЛАВИШИ ВВОДА В ПАМЯТЬ…2 СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАВИШИ…3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАВИШИ…4 КЛАВИШИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ТОЛЬКО В РЕЖИМЕ PGM)

Подробнее

Работа с калькулятором

2010 год Работа с калькулятором Самоучитель Учебник позволяет освоить работу с простым калькулятором Windows самостоятельно. В нём изложена методика и упражнения, выполняя которые приобретается твёрдый

Подробнее

Занятие 1. Знакомство с С++

Занятие 1. Знакомство с С++ 1. Вывод данных на экран. Ниже приведен пример программы «Hello, World». Измените программу таким образом, чтобы она выводила ваши фамилию, имя, возраст, хобби. Для подключения

Подробнее

Урок 10. Электронные таблицы

Урок 10. Электронные таблицы Основные параметры электронных таблиц (ЭТ). ЭТ позволяют обрабатывать большие массивы числовых данных. В отличии таблиц на бумаге, электронные таблицы обеспечивают проведение

Подробнее

1.2. ВСТРОЕННЫЕ ФУНКЦИИ EXCEL

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВСТРОЕННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ EXCEL Цель работы: изучить принципы построения и синтаксис математических формул в Ecl; изучить встроенные

Подробнее

SMART Notebook Math Tools

SMART Notebook Math Tools Windows операционные системы Руководство пользователя Уведомление о товарных знаках SMART Board, SMART Notebook, smarttech, логотип SMART и слоганы всех продуктов SMART Technoloies

Подробнее

Новая таблица ГЛАВА 1

ГЛАВА 1 Новая таблица Для того чтобы начать работу с Microsoft Excel 2007, надо щелкнуть на кнопке Пуск (появится список программ, с которыми пользователь работал в последнее время) и в появившемся меню

Подробнее

Методические рекомендации:

Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере». Типы задач. 1. Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой. 2. Дробные числа. Представление чисел в формате с плавающей

Подробнее

Затем дробную часть числа 0,

Арифметические основы компьютерной техники. Пример. Даны два числа: 76.54 и 5.7 Задание Перевести числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Затем перевести числа в восьмеричной

Подробнее

Руководство по эксплуатации

Руководство по эксплуатации 1 2 Меры безопасности Перед использованием калькулятора прочтите приведенные ниже меры предосторожности. Храните данное руководство в доступном месте для получения необходимой

Подробнее

Представление чисел в компьютере

Представление чисел в компьютере ГОУ СОШ с углубленным изучением математики, информатики, физики 444 Числа Целые Вещественные Без знака Со знаком Прямой код Положительные Отрицательные Прямой код = Дополнительный

Подробнее

А4 (базовый уровень, время 2 мин)

А4 (базовый уровень, время 2 мин) Тема: Выполнение арифметических операций в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах Что нужно знать: перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной

Подробнее

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ…

Содержаниe ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ…2 Клавиши…2 КЛАВИШИ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ…2 КЛАВИШИ ВВОДА В ПАМЯТЬ…2 СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАВИШИ…3 КЛАВИШИ ЗАМЕНЫ ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЙ…4 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАВИШИ…5 КЛАВИШИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Подробнее

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Ntebk 11.1 Math Tls Операционные системы Windws Руководство пользователя Регистрация продукта После регистрации продукта SMART мы будем сообщать о новых возможностях и обновлениях программного обеспечения.

Подробнее

Основы программирования на языке Python

Основы программирования на языке Python Основные типы данных 2 Основные числовые операции 3 Основные логические операции 4 Основные функции 5 Инструкция ветвления 7 Циклы 8 Функции 10 Списки 11 Основные

Подробнее

А4 (базовый уровень, время 2 мин)

А4 (базовый уровень, время 2 мин) Тема: Выполнение арифметических операций в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Что нужно знать: перевод чисел между десятичной, двоичной, восьмеричной

Подробнее

Компьютерная арифметика

1 Компьютерная арифметика 26. Особенности представления чисел в компьютере 27. Хранение в памяти целых чисел 28. Операции с целыми числами 29. Хранение в памяти вещественных чисел 30. Операции с вещественными

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются

Подробнее

БАЗОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ…

Содержание Основное руководство… 2 Включение и выключение питания… 2 Замена батарей… 2 Функция автоматического отключения питания… 2 Операция сброса и очистки памяти… 2 Регулирование контраста…

Подробнее

Ðàáîòà ñ ìàòåìàòè åñêèìè ôóíêöèÿìè

Ãëàâà 11 Ðàáîòà ñ ìàòåìàòè åñêèìè ôóíêöèÿìè 11 Длинный список математических функций, которые предоставляет Excel, сразу же позволяет оценить глубину возможностей этой программы. Существуют функции, выполняющие

Подробнее

Лабораторная работа 8

Лабораторная работа 8 Тема: Реализация запросов в Access Подтема: Создание и использование запросов в Access Цель: Ознакомление с объектом базы данных Запрос. Теория Запрос в Access это требование предоставить

Подробнее

SMART Notebook Math Tools 11

SMART Ntebk Math Tls 11 Операционные системы Windws Руководство пользователя Уведомление о товарных знаках SMART Bard, SMART Ntebk, smarttech, логотип SMART и все слоганы SMART являются торговыми марками

Подробнее

ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ

ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ Методы и приемы работы в пакете MS Ecel 00 Методические указания к самостоятельной работе для студентов направлений подготовки бакалавриата 08000, 08000 Санкт-Петербург

Подробнее

ЗАДАЧНИК по программированию

Воронежский государственный педагогический университет Кафедра информатики и методики преподавания математик В.А. ЧУЛЮКОВ ЗАДАЧНИК по программированию Воронеж — 000 Содержание ОПЕРАТОР ПРИСВАИВАНИЯ…5

Подробнее

ОСНОВЫ РАБОТЫ С MATHCAD

ОСНОВЫ РАБОТЫ С MATHCAD Общие сведения Основное окно приложения имеет ту же структуру, что и большинство приложений Windows. Сверху вниз располагаются заголовок окна, строка меню, панели инструментов (стандартная

Подробнее

Лабораторная работа 4

OpenOffice.org Base 31 Тема: «Запросы к базе данных» Лабораторная работа 4 Цель работы: ознакомиться со средствами поиска и выборки данных в Open Office.org Base, изучить основные принципы конструирования

Подробнее

Уравновешенная троичная система счисления и Томас Фаулер

В. В. Шилов

Привычная и кажущаяся нам сегодня столь естественной десятичная система счисления отнюдь не сразу утвердилась в качестве основной, используемой человеком. Например, в книге историка математики Дирка Стройка [4, с. 23] со ссылкой на работу [17] говорится о 307 известных системах счисления только лишь первобытных народов американского континента, из которых десятичными были менее половины, а именно 146. Поэтому не удивительно, что первые устройства, предназначенные для облегчения счёта, не были десятичными: в частности, древнегреческий абак был основан на двоично-пятиричной системе счисления. А в древнеримском абаке для действий с целыми числами использовалась десятичная система, в то время как при работе с дробными числами складывались двенадцатые (унции), а также двадцать четвертые (половина унции), сорок восьмые (четверть унции) и семьдесят вторые (шестые части унции) части. И тот, и другой вид абака были предназначены в первую очередь для денежных подсчетов, и отражали поэтому особенности соответствующих денежных систем.

То же самое можно сказать и о гораздо более поздних счётных приборах и вычислительных устройствах. Например, в построенной в 1642 г. машине Блеза Паскаля (1623-1662) значения разрядов складываемых чисел представлялись углами поворота зубчатых колес. Шесть из них соответствовали сумме в ливрах и имели по десять зубцов, а два правых, соответствовавших более мелким денежным единицам – су и денье, имели 20 и 12 зубцов. Точно так же не были чисто десятичными сумматоры Буратини [1] (1659 г.) и Сэмюэла Морленда [2] ( 1666 г.). Тем не менее, всё-таки именно десятичная система почти на три столетия стала основой построения инструментальных средств вычисления.

Но даже после окончательного утверждения десятичной системы, в повседневной жизни людей во многих случаях все-таки применялись и другие системы счисления. Это было связано в первую очередь с продолжавшимся широким использованием традиционных систем мер и весов. (Напомним также, что шестидесятеричную систему, следуя традиции, восходящей к Древнему Вавилону и античности, использовали для вычислений астрономы.) При этом внимание математиков, начиная с XVII в., стали привлекать различные системы счисления с основаниями, отличными от 10. Около 1600 г. двоичную систему счисления предложил Томас Гарриот [3] (правда, об этом не было известно вплоть до появления в 1951 г. работы [35]). Паскаль в написанном в 1654 г. и опубликованном посмертно спустя одиннадцать лет сочинении “ De numeris multiplicibus ex sola characterum numericorum additione agnoscendis ” (“О делимости чисел, выведенной только лишь с помощью сложения их цифр”) высказывал мнение, что основанием системы счисления может быть любое положительное число. Он писал, что десятичная система построена не слишком разумно, поскольку следует “людским обычаям”, а не требованиям “естественной необходимости”, и предлагал перейти к двенадцатеричной системе счисления. В 1670 г. испанский епископ Хуан Карамюэль (1606-1682) опубликовал работу “ Mathesis biceps vetus et nova ” (“Два лика математики – новой и старой”), в одной из частей которой рассмотрел системы счисления с основаниями 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 и 60.

Начиная с 1697 г. в письмах к разным адресатам (герцогу Брауншвейгскому Рудольфу Августу, Иоганну Кристиану Шуленбургу, Иоганну Бернулли, иезуиту отцу Буве) выработанные им принципы двоичной арифметики неоднократно излагал великий немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). После появления в 1703 г. статьи Лейбница [30], в которой объяснялись правила двоичной арифметики, именно двоичная система приобрела наибольшую известность. Правда, Лейбниц не считал, что её необходимо применять на практике, он рассматривал двоичную систему в основном как важный инструмент теоретических исследований. Заметим, что в работе [2] было показано, что впервые продемонстрировал огромные потенциальные возможности применения двоичной системы для вычислений ещё изобретатель логарифмов Джон Непер (1550-1617), в 1617 г. предложивший свою “счётную доску” [4].

Рис.1 Запись чисел по системе Д. Колсона

В 1726 г. кембриджский математик Джон Колсон (1680-1760) [13] предложил использовать десятичную позиционную систему счисления как с положительными, так и с отрицательными цифрами (рис. 1). Колсон привёл многочисленные примеры выполнения арифметических операций над записанными в его системе числами, и высказал мнение, что они являются менее трудоёмкими, чем вычисления с использованием обычной записи, особенно если эти числа большие. В конце статьи Колсон отметил, что отрицательные цифры можно использовать также для записи чисел и упрощения вычислений в двенадцатеричной, шестидесятеричной и других системах счисления [5].

Прошло более ста лет, прежде чем на системы с цифрами разных знаков обратил внимание знаменитый французский математик Огюст Коши (1789-1857). Он предложил использовать десятичную систему с десятью цифрами от -4 до 5; так, в его записи число 8256 принимает вид [11]. В такой “сокращённой”, по сравнению с системой Колсона, записи легче заметить симметричность цифр. Возможно, что именно по этой причине в том же 1840 г. французский инженер и изобретатель аналоговых счётных инструментов Леон Лаланн (1811-1892), развивая идею Коши, опубликовал описание уравновешенной (или симметричной ) троичной системы [29], в которой имелись только три цифры.

Однако, строго говоря, работа Лаланна первой всё-таки не была. Так, ещё в 1811 г. английский математик Питер Барлоу (1776-1862), описывая разные системы счисления, показал в одном из примеров, что десятичное число 716 в троичной системе будет равно 222112, или же 36 -(32 +3+1) [8, с. 240]. Если ввести обозначение вместо -1 (правда, сам Барлоу этого не сделал), то последняя запись примет вид (1000 )3. Сегодня по аналогии с битами двоичной системы счисления разряды чисел в такой записи называют тритами. Приведённый Барлоу пример был связан с решением задачи на взвешивание, однако известно, что неявное представление чисел в уравновешенной троичной системе присутствует ещё в известной “задаче Баше [6] о весах”, которую, в свою очередь, Фибоначчи (ок. 1170-ок. 1250) сформулировал за 400 лет до Баше. В этой задаче требуется найти набор из четырёх гирь, с помощью которого можно взвесить любой груз весом от 1 до 40 кг (в другом варианте задачи — трёх гирь для взвешивания любого груза весом от 1 до 13 кг ). Пусть, например, надо взвесить груз в 33 кг . Представим число 33 в уравновешенной троичной системе: 33=27+9 — 3+0=11 03. Значит, на одну чашку весов надо положить гири 27 кг и 9 кг , а взвешиваемый груз и гирю 3 кг — на другую. Если к этим трём гирям добавить ещё одну, весом 1 кг , то мы сможем взвесить любой груз, не превышающий 40 кг. Фактически для решения задачи надо просто найти представление в уравновешенной троичной системе целого числа, равного весу груза.

Приведём ещё несколько примеров записи чисел в уравновешенной троичной системе счисления:

Легко заметить, что уравновешенная троичная система счисления обладает многими весьма привлекательными свойствами. Прежде всего, знак числа определяется первым ненулевым символом в его троичной записи: если это 1, то число положительное, а если , — то отрицательное. Очень просто перейти к противоположному числу, заменив 1 на и наоборот. В самом деле:

Теперь запишем в уравновешенной троичной системе несколько дробных чисел:

Для округления троичного числа до ближайшего целого достаточно отбросить его дробную часть. Это свойство также достаточно очевидно, поскольку самая большая возможная положительная дробная часть, 0.111…3, представляет сумму 1/3+1/9+1/27…, которая всегда меньше, чем 1/2 (а соответственно, самая большая по модулю отрицательная дробная часть, 0…. 3, всегда больше, чем1/2).

Очень просто выполняется в уравновешенной троичной системе сложение. Составим таблицу сложения, которой будем пользоваться для обычного сложения чисел столбиком:

Например, при сложении + получаем 1, а в следующий разряд переносим . Сложим записанные в уравновешенной троичной системе числа 296 и 137:

Легко проверить, что результат действительно равен 433. Столь же просто производится и вычитание: для этого достаточно изменить знак вычитаемого на противоположный и сложить с уменьшаемым.

Запишем теперь таблицу умножения:

Умножим с её помощью записанные в уравновешенной троичной системе числа 20 и — 19:

Результат равен –380, при этом нетрудно заметить, что умножение сводится к простым операциям изменения знака и сложения.

После Лаланна уравновешенная троичная система практически не привлекала внимания учёных [3, с. 218] [7]. Во второй половине 1940-х гг. на смену ранним механическим и электромеханическим вычислительным устройствам, основанным на десятичной системе счисления, стали приходить электронные компьютеры, и на авансцену вышла двоичная система счисления. Её использование для тогдашней элементной базы являлось наиболее естественным, однако некоторое время в качестве альтернативы десятичной всерьез рассматривалась также и уравновешенная троичная система. Например, о ней известный американский специалист Герберт Грош (р. 1918) вспоминает, как однажды в 1949 г. в разговоре с главным конструктором компьютера “Whirlwind” и изобретателем памяти на ферритовых сердечниках Джеем Форрестером (р. 1918) сказал, что по-настоящему серьёзного прорыва можно было бы добиться, храня в каждом сердечнике один троичный разряд, и ведя вычисления не в двоичной, а в уравновешенной троичной системе [26, с. 151-152] [8]. В 1950 г. о троичной системе писали авторы монографии [27] и создатель теории информации Клод Шеннон (1916-2001) [34]. Причина этого интереса понятна. Мы уже видели, что арифметические операции над числами, записанными в этой системе, выполняются очень просто. Но она обладает и другими достоинствами: запись числа в ней существенно короче, чем при использовании двоичной системы (требуется лишь 63% позиций), нет необходимости использовать специальный знаковый разряд. Кроме того, значительно упрощается схемная реализация арифметики, поскольку отпадает необходимость анализировать знаки операндов.

Дональд Кнут писал в 1969 г., что время троичной арифметики в компьютере наступит в будущем, если удастся заменить триггер, позволяющий хранить один бит информации, элементом, позволяющим хранить один трит [3, с. 219]. Однако, как теперь хорошо известно, задолго до выхода его книги уравновешенная троичная система счисления уже была успешно применена в крайне интересной и оригинальной отечественной разработке. Речь идёт об ЭВМ “Сетунь” [1], которая была создана в Вычислительном центре МГУ в 1959 г. Н.П. Брусенцовым. Начиная с 1962 г. машина выпускалась серийно, и за три года были изготовлены около 50 экземпляров.

Схемы “Сетуни” строились на электромагнитных пороговых логических элементах, в которых входы имели положительные и отрицательные веса, а значения 1, и 0 соответствовали положительному, отрицательному и нулевому току. Устройства “Сетуни” на базе троичной арифметики оказались не только более простыми и быстрыми, они также потребляли меньшую мощность, чем двоичные устройства, реализованные на тех же элементах.

Это была машина с фиксированной запятой, операции с плавающей запятой реализовывались программно. Система команд насчитывала всего 24 команды (среди них три команды условного перехода и команда умножения тритов), но, используя их, можно было эффективно программировать самые разные задачи. Память была двухуровневой: оперативная память на ферритовых сердечниках объёмом 162 коротких слова (9 тритов) и основная память на магнитных барабанах объёмом 3888 коротких слов. Время выполнения сложения и вычитания составляло 180 мкс , а умножения — 320 мкс . В то время “Сетунь” превосходила другие малые машины по производительности, при этом она была значительно дешевле машин своего класса и отличалась очень высокой надёжностью. Спустя несколько лет, в 1970 г., был построен экспериментальный образец усовершенствованной машины “Сетунь 70” . Она отличалась рядом интересных архитектурных особенностей, а идея применения трёхзначной логики получила в ней дальнейшее развитие.

Длительное время считалось, что проект “Сетунь” является единственным примером использования троичной системы в вычислительной технике, однако недавние архивные открытия изменили это представление. Оказалось, что первая попытка построить троичную механическую вычислительную машину была предпринята ещё в середине XIX в.

* * *

Томас Фаулер родился в 1777 г. в Большом Торрингтоне, что в Северном Девоншире — в этом городке пройдет и вся его жизнь. Его родители, бондарь Хью и Элизабет, с трудом сводили концы с концами, и в тринадцатилетнем возрасте Томас был отдан подмастерьем к торговцу кожами. Пусть обычно в те времена дети из бедных семей начинали работать в гораздо более раннем возрасте [9], — такой жизненный старт всё же сулил мало хорошего. И если Фаулер в конце концов удалось добиться в жизни определённого положения, то этим он был всецело обязан своей жадной тяге к знаниям. Вероятно, только благодаря ей Томас сумел всё-таки получить начальное образование [10].

Особенно Фаулера привлекала математика, которую он изучал самостоятельно по известному в свое время учебнику Джона Варда, выдержавшему в XVIII столетии полтора десятка изданий: “После тягот дневной работы среди овчин он проводил половину ночи, углубившись в учебник математики, и дошёл таким образом до флюксий мастера Сондерсона [11], под каковым названием был тогда известен метод дифференциального исчисления. Не нашлось никого, увы! чтобы принять в нём участие и помочь продолжить обучение в Кембридже, где единственно талант, каковым он несомненно обладал, мог полностью развиться и быть оценённым по достоинству, так что он оставался без помощи и сочувствия в своих уединенных занятиях”, — спустя много лет написал его сын, преподобный Хью Фаулер. (Следует сказать, что большая часть известных сегодня подробностей жизни Томаса Фаулера дошла до нас именно благодаря Хью Фаулеру, напечатавшему в 1875 г. биографический очерк об отце [18]).

Тем не менее, стремление изменить свою судьбу и выбиться из нищеты, соединенные с исключительным трудолюбием и выдающимися способностями, позволили Фаулеру около 1800 г. начать карьеру печатника (он издал впоследствии несколько небезынтересным книг) и торговца книгами. В 1813 г. он женился на местной жительнице Мэри Копп; у них было по меньшей мере одиннадцать детей (несколько из них умерли ещё в раннем возрасте).

Рис. 2. Т. Фаулер. Титульный лист брошюры с описанием термосифона. 1829

Несмотря на необходимость обеспечивать средствами к существованию немалое семейство, Фаулер постоянно занимался самообразованием и на всю жизнь сохранил тягу к науке. С печатным делом связано одно из его изобретений – печатный пресс, который он сам же и изготовил. Однако первым “официально признанным” результатом Фаулера стало устройство, которое сам он назвал термосифоном и на который получил 20 октября 1828 г. патент за № 5711 [36, 38]. Вскоре Фаулер издал брошюру с его описанием [19] (рис. 2).

Фаулер рассчитывал, что изобретение станет основой его благосостояния. Но на деле оно лишь явилось причиной жесточайшего разочарования. Сын Фаулера сетовал: “К сожалению, его изобретение было вскоре растащено во все стороны. Единственным средством борьбы были дорогостоящие судебные разбирательства, но имей даже он средства для их ведения, успех был бы сомнителен…” [12].

Однако никак нельзя сказать, что от борьбы Фаулер отказался. Сначала он попытался обратиться к прессе. Так, напечатал в журнале “Gardener’s Magazine” письмо [31], в котором протестовал против данной в этом издании характеристики работы другого изобретателя, мистера Кьюли (Kewley), как “важнейшего улучшения” систем водяного отопления. По мнению Фаулера, изобретение Кьюли было всего лишь незначительным улучшением его собственной системы и нарушало его патентные права. Ответ редактора был весьма обескураживающим – тот, оговорившись, что плохо знает патентное право, писал, что на его взгляд, после публикаций маркиза де Шабанна [13] в этой области вообще нет предмета для патентования кем-либо – будь то Фаулер, Кьюли или кто другой… [31, с. 378]. В самом деле, общие принципы построения таких систем к середине 1820-х гг. были уже известны. Однако на практике их успех в решающей степени зависел от понимания некоторых сугубо инженерных тонкостей и умения воплотить их в техническое устройство. И, например, де Шабанн таким умением (в отличие от того же Кьюли, которого современный ему источник характеризует как талантливого инженера с основательной научной подготовкой) не обладал.

Не добившись понимания у специалистов и доведенный до отчаяния, Фаулер обратился за помощью к власть имущим. 22 января 1834 г. он направил письмо лорду-канцлеру лорду Брогему, прося его светлость рассмотреть дело, из-за нерешённости которого он “в гневе и разочаровании” возвращается из столицы домой к своей “почти голодающей семье”. В том же письме Фаулер настаивал на изменении патентных законов с тем, чтобы “предотвратить полное разорение искусного [в технике] бедняка, ставшее единственной наградой за его искусство” (цит. по [25, с. 5]).

Рис. 3. Т. Фаулер. Схема обогрева оранжереи. Рис. из брошюры

Борьба Фаулера не принесла результата. О причинах этого сегодня трудно судить, ? впрочем, как и о том, насколько на самом деле его изобретение было удачным и практичным. С одной стороны, изобретение на весьма актуальную в то время тему было замечено печатью [14], с другой – эти отклики никогда не были слишком восторженными. А главное – изобретение Фаулера не выдержало проверки временем. Спустя четверть века в посвященной системам отопления монографии Чарльза Гуда работа Фаулера была удостоена лишь нескольких, причём не самых лестных слов. По мнению автора монографии, система отопления Фаулера была “совершенно неприменима для заявленной цели вследствие сложной системы труб и кранов, необходимой для её работы; эта проблема была полностью устранена в изобретении м-ра Кьюли” [28, с. 142]. А вот систему Кьюли Гуд описывает во всех деталях [28, с. 121-123]. Точно так же в капитальном двухтомном труде Уолтера Бернана, посвящённом истории развития систем отопления и вентиляции с древности до середины XIX в., система Кьюли характеризуется положительно, а система Фаулера даже не упоминается [9, с. 274]. Таким образом, похоже, что она всё-таки оказалась не слишком практичной. Косвенно о том же свидетельствует и тот факт, что спроектированные Фаулером системы обогрева помещений были установлены лишь в одном из окрестных поместий, а также в теплице для выращивания винограда (рис. 3). О других заказах на их установку ничего не известно, в то время как система Кьюли получила широкое распространение по всей стране. Заметим также, что свою первую отопительную систему Кьюли установил ещё в 1826 г., т. е. до появления работы Фаулера [15].

В любом случае, Фаулер был крайне удручён своим, столь неудачным, опытом изобретательства, и это, как мы увидим, имело серьёзные последствия для истории вычислительной техники.

Тем временем к середине 1830-х гг. социальный статус Томаса Фаулера значительно упрочился, — он стал управляющим единственного банка в городе и даже партнёром его владельцев. Об изменившемся общественном положении Фаулера со всей очевидностью свидетельствует также его назначение в 1835 г. казначеем административной структуры, созданной согласно Закону о бедных (Poor Law). Этот закон, принятый в 1834 г., модифицировал (в первую очередь централизовал) всю систему общественного призрения. Ответственность за оказание помощи всем нуждающимся в ней возлагалась на округа (или унии), объединявшие от 20 до 30 приходов.

Задача, которую приходилось решать Фаулеру (как и казначею любого другого округа), заключалась в следующем. Известен общий размер S налога, который округ должен собрать, складывающийся из налогов S i , собираемых в каждом приходе. Часть этой суммы C остается в округе как компенсация различных административных расходов и должна быть распределена между приходами пропорционально их вкладу в сумму налогового сбора по округу. Тогда долю каждого прихода можно определить как величину Ci=C*(Si/S). Эти вычисления составляли одну из обязанностей казначея.

Британская денежная система в то время была достаточно сложной: один фунт стерлингов равнялся 20 шиллингам, шиллинг – 12 пенсам, а пенни – 4 фартингам (таким образом, в одном фунте содержится 960 фартингов). Поэтому для удобства вычислений все денежные суммы Фаулер приводил к самой мелкой единице – фартингу, и вёл расчеты в десятичной системе над получающимися в результате приведения достаточно большими целыми десятичными числами. Таким образом, казначей должен был выполнить следующие действия: выразить все S i , а также S и C в фартингах; вычислить пропорции Si/S и умножить каждый результат на C; преобразовать каждое Ci из фартингов в фунты.

Рис. 4. Т. Фаулер. Титульный лист таблиц. 1838

*** Эти действия включают множество операций умножения и деления. Например, округ Фаулера состоял из 23 приходов, поэтому казначей должен был выполнить 25 преобразований из фунтов в фартинги и 23 обратных преобразования, а также по 23 умножения и деления больших десятичных чисел. Не надо забывать также, что казначей регулярно повторял свои расчёты, поэтому любое сокращение количества операций и их трудоёмкости могло значительно упростить его работу.

Большой объём и утомительный характер вычислений привели Фаулера к мысли попытаться облегчить их, и он нашёл остроумное решение проблемы, значительно упростив процесс вычислений посредством использования специальных таблиц. Фаулер воспользовался тем, что “любое число может быть представлено в виде комбинации степеней 2 или 3” . В 1838 г. в Лондоне были изданы составленные им “Таблицы для облегчения арифметических вычислений” [20] (титульный лист книги показан на рис. 4). Их первая часть содержала таблицу коэффициентов при степенях двойки в двоичном представлении чисел от 1 до 130048. Вторая часть была таблицей представлений чисел от 1 до 3985807 в уравновешенной троичной системе (таким образом, можно констатировать, что Фаулер предложил уравновешенную троичную систему ранее Лаланна; при этом он не знал о работах Баше и Барлоу, и считал её своим изобретением).

Рис. 5. Т. Фаулер. Таблицы (с. 33)

Для каждого десятичного числа (крайний левый столбец, см. рис. 5) его представление в уравновешенной троичной системе задается в двух следующих столбцах номерами позиций цифр 1 и (на самом деле Фаулер использовал обозначения “+” и “ — ” соответственно, но для простоты мы далее будем придерживаться современной нотации). Например, число 420 записывается как 1 10 (т.е. цифра 1 стоит в шестой и третьей позициях, — в пятой, четвёртой, второй и первой, и 0 — в нулевой). Кроме того, имеется ещё один (крайний правый столбец), в каждой клетке которого записаны три числа. Среднее из них может быть представлено в уравновешенной троичной системе путём добавления 6 к номеру позиции каждой цифры числа из левой колонки. Например, для числа 306180, находящегося в той же строке, что и 420, это 1 10000000 (т. е. цифра 1 стоит теперь в двенадцатой и девятой позициях, — в одиннадцатой, десятой, восьмой и седьмой, и 0 — в шестой и во всех остальных). Числа над и под ним задают диапазон, в котором действует равное 6 смещение (в данном случае – от 305087 до 307273). Это означает, что троичное представление любого целого числа N I [305087, 307273] может быть получено с помощью таблицы, — для этого достаточно взять троичное представление числа 306180 и прибавить (или вычесть) взятое из левого столбца таблицы троичное представление разности между числами 306180 и N.

Таблицы Фаулера создавались в расчёте на решение конкретной задачи, поэтому вполне объясним подзаголовок книги: “Предназначены для вычисления пропорциональных выплат по приходам округа Закона о бедных”. Помимо общих сведений об уравновешенной троичной системе, правил выполнения арифметических операций над ними и соответствующих примеров, в одном из разделов книги Фаулер дал подробное описание процесса вычислений с их использованием.

Предполагая, что величины S, Si и C известны, он строит вспомогательную таблицу, в которой приведены рассчитанные им величины сумм, подлежащих распределению в приходе, накладные расходы в котором составляют величину, в точности равную степени тройки: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187 и т.д. фунтов стерлингов. При этом результат указывается уже в окончательной форме (фунты, шиллинги, пенсы).

Правила пользования таблицей Фаулер объяснил на примере. Пусть налогообложение округа составляет 7416 фунтов , налог с гипотетического прихода 729 фунтов , а накладные расходы округа – 177 фунтов стерлингов, 2 шиллинга и полтора пенса. Согласно соотношению Ci=C*(Si/S), Фаулер вычисляет сумму накладных расходов гипотетического прихода (см. рис. 6), ведя при этом все вычисления в фартингах. Эта величина составляет 16713.33 фартинга, или 17 фунтов 8 шиллингов и 2 с четвертью пенса (с остатком 0.33 фартинга) и соответствует 6-й степени тройки в таблице.

Рис. 6. Т. Фаулер. Таблицы (с. xvi)

Если же величина накладных расходов прихода не составляет точной степени тройки, то действовать следует так. В таблице находится троичное представление соответствующего числа (в одном из примеров, рассмотренных Фаулером, это 1207 фунтов стерлингов, троичное представление этого числа равно 10001). Теперь достаточно сложить взятые из вспомогательной таблицы суммы, соответствующие цифре 1, и вычесть суммы, соответствующие цифре , т.е. сложить суммы, соответствующие индексам 7 и 0 и вычесть суммы, соответствующие индексам 6, 5 и 2. В результате получим, что искомая величина накладных расходов прихода равна 28 фунтам , 16 шиллингам и 6 пенсам с остатком 0.13 фартинга.

Если округ состоит из 23 приходов, то потребуется всего 9 преобразований из фунтов в фартинги и обратно, 2 деления больших чисел (троичных), 6 делений на 3, 2 умножения на 3 и вычисление 23 сумм (по одной для каждого прихода, не более чем 7 слагаемых).

Таким образом, Фаулеру удалось устранить из расчётов наиболее трудоёмкие операции умножения и деления. И хотя при этом появляются накладные расходы на составление вспомогательной таблицы, при её наличии вычисления сводятся к сложениям и вычитаниям. Получающиеся результаты непосредственно выражают денежные суммы, подлежащие распределению в каждом приходе, благодаря чему устраняются также фазы перевода денежных сумм в десятичную систему и обратно. Кроме того, выигрыш становится более значительным для больших округов.

Тем не менее, вполне очевидно, что для вычислений, не носящих регулярного характера, описанный метод значительного эффекта все-таки не даёт. Это обстоятельство заставило Фаулера обратиться к мысли попытаться механизировать вычисления, и уже спустя два года после издания таблиц он сконструировал и построил свою механическую вычислительную машину. Несомненно, что она первоначально она была предназначена для выполнения тех же специфических вычислений, связанных с расчетами по Закону о бедных, – именно этим объясняется то, что машина работала в уравновешенной троичной системе счисления и предназначалась для выполнения операций умножения и деления [16]. Впервые свою машину Фаулер показал в мае 1840 г. Чарльзу Бэббиджу и Фрэнсису Бофорту [17], а затем группе членов Лондонского Королевского общества.

Несомненно, машина их заинтересовала. Фаулеру предложили представить её описание, чтобы включить рассмотрение машины в повестку дня очередного заседания Королевского общества. Такое описание было составлено выдающимся математиком и логиком Августом де Морганом (1806-1871), ? несмотря на свою краткость, оно до сих пор остается самым подробным описанием троичной машины Фаулера [15] (опубликовано было только краткое изложение описания де Моргана [16]). Согласно ему, машина состояла из четырёх основных частей: первая, вторая и третья предназначены для представления множимого, множителя и произведения (или делимого, делителя и частного) соответственно. Четвёртая часть – это механизм переноса. После установки значений сомножителей раму множителя следовало сдвинуть в плоскости, перпендикулярной плоскостям множимого и произведения, и благодаря, зацеплению реек трёх частей машины, получить результат.

Спустя некоторое время в письме к тогдашнему королевскому астроному профессору Джорджу Айри (1801-1892) Фаулер написал: “Эта Машина была построена полностью моими собственными руками (преимущественно из дерева) с крайней заботой об экономии и исключительно с целью претворить мои Идеи относительно такого способа вычисления в некоторую материальную форму; она имеет длину приблизительно 6 футов , высоту один фут и ширину три фута. Будучи построена из меди и железа, она заняла бы места немного больше, чем небольшое бюро, обладая при этом теми возможностями, о которых я написал”.

Профессор Айри был фактически научным советником британского кабинета, и судьба проекта во многом зависела от его мнения. Более того, он прекрасно понимал всю практическую важность проблемы вычислений и создания средств их механизации – ведь именно астрономы издавна отвечали в Англии за составление разнообразных навигационных таблиц для Адмиралтейства (см. напр., [14]).

Далее в письме Фаулера мы читаем: “Я имел честь в мае 1840 г. в Лондоне представить машину для осмотра многим Учёным Мужам, среди которых были маркиз Нортхэмптон, м-р Бэббидж, У.Ф. Бейли [18] и А. де Морган, эскв. и многие другие Достопочтенные и Благородные Господа, члены Королевского общества и др., и я с великим удовольствием воспринял бы также ваше мнение. Все они отзывались благожелательно о моем изобретения, но, — как бы непривычно это ни звучало — моим самым большим желанием было бы услышать вместо похвал полное научное исследование принципов Машины и деталей её устройства — и я надеюсь, что такое исследование людьми первого разряда науки ещё состоится прежде, чем изобретение мое будет отклонено или принято.

Я целиком отдаю отчёт в склонности людей переоценивать собственные изобретения и придавать неуместную важность предметам, безраздельно поглощающим их мысли, но я отважусь сказать, — и надеюсь, что буду полностью понят джентльменом, имеющим ваши научные достижения, — сколь часто меня изумляла красота полностью механических вычислений.

Я часто размышляю о том, что если бы во младенчестве человечества троичная система была избрана вместо десятичной, то машины, подобные представленной, уже вскоре стали бы привычными, поскольку переход от мысленных вычислений к механическим оказался бы так очевиден и прост.

Я весьма сожалею, что не могу предоставить вам какие-либо чертежи Машины, но надеюсь, что сумею показать её перед Британской ассоциацией [19] в Дэвенпорте в следующем августе, когда, как я смею надеяться и верю, смогу снова под покровительством вашей неоценимой помощи, вынести её на рассмотрение. Я вёл очень уединённую жизнь в своём городе, не имея возможности получить какую-либо помощь от кого бы то ни было, и я буду чувствовать себя потерянным среди столь многих ученых и выдающихся мужей, собравшихся на встречу, не имея доброго друга, ведущего меня и покровительствующего мне” [20].

Высказанные здесь Фаулером мысли о простоте механической реализации счёта, основанного на недесятичной системе, очень важны и интересны. Возможно, он вообще был первым учёным, который столь чётко и определённо сформулировал их. Невозможно также не обратить внимания на тональность письма, отличающегося какой-то трогательной, наивной незащищенностью. Оно много говорит о времени, когда социальное происхождение человека – вне зависимости от его текущего социального статуса, было столь важным. Но ощущается в нём и обостренное чувство собственного достоинства автора – особенно в словах о том, что ему важны не похвалы и приятные слова, а беспристрастная научная экспертиза. В то же время, письмо не оставляет сомнений в том, что, наученный печальным опытом, Фаулер совершенно не желает передавать детали своего изобретения в чужие руки. По той же причине он отклонил предложение Айри напечатать описание своей машины.

В сентябре 1840 г. Дж. Айри напечатал заметку о машине Фаулера в Трудах секций Британской ассоциации [32] (она является кратким пересказом сообщения де Моргана и дополнительной информации о конструкции машины не содержит). Вообще Айри по достоинству оценил работу изобретателя-самоучки. Именно Айри представлял изобретение Фаулера на собрании Британской ассоциации осенью 1841 г.: “М-р Айри дал отчёт о новой вычислительной машине м-ра Фаулера. Машина была задумана с целью облегчить попечителям округа в Девоншире вычисление пропорций, в которых должны быть распределены налоги между несколькими приходами. Главной особенностью машины является то, что вместо общепринятого десятичного представления чисел используется троичная запись; вес цифр, записываемых слева, увеличивается не десятикратно, но втрое; таким образом, 1 и 2 означают один и два как обычно, но 10 означает не десять, а 3, 11 — четыре, 12 — пять. В то же время 2 может быть представлено как три, уменьшенное на единицу. Теперь пусть единица с чертой сверху означает вычитание; тогда числа 12 и 2 оба означают одно и то же, а именно пять; и по подобной причине, заменяя 2 на 1 , мы получаем несколько способов записи пяти: 12, или 2 , или 1 . Последний способ — форма, принятая в машине. Очевидно, что любое число может быть выражено набором таких положительных или отрицательных единиц. В машине, для представления цифр или 1, когда они требовались в процессе вычислений, были применены рейки” [33]. В целом, констатирует отчёт, машина основана на старом принципе абака или счётных палочек. Интересную информацию добавляет следующее замечание: “На первый взгляд благодаря своим клавишам машина напоминает пианофорте или орган…” [25, с. 10]). Это замечание тем более интересно, что Фаулер не только в течение многих лет был органистом в церкви св. Михаила, но и в своё время пытался стать органным мастером и даже сам их изготавливал.

К сожалению, как писал позднее Хью Фаулер: “Тогдашнее правительство отказалось даже взглянуть на машину моего отца на том основании, что они без удовлетворительного результата потратили столь большие суммы на вычислительную машину Бэббиджа” (цит. по [25, с. 11]). Действительно, по печальному стечению обстоятельств, именно в это время британское правительство рассматривало вопрос об окончательном прекращении финансирования разработки разностной машины Чарльза Бэббиджа (соответствующее решение было сообщено Бэббиджу 4 ноября 1842 г.). Вести в этот момент речь о выделении средств на новый проект, было, разумеется, совершенно невозможно.

Однако дело было не только в отсутствии финансирования со стороны правительства или в стеснённых материальных обстоятельствах самого Фаулера. Со временем Фаулер всё яснее начал осознавать, что машина имеет серьёзные конструктивные недоработки. В первую очередь надо указать на отсутствие механизма автоматического переноса (который, впрочем, был самым проблематичным узлом механических сумматоров и арифмометров ещё длительное время после Фаулера). В описании де Моргана о нём говорится крайне скупо – понятно лишь, что механизм был съёмным (“в настоящее время отсоединён … но легко может быть прикреплен к механизму множителя или делителя и работать совместно с ними”). Так как во время выполнения операции перенос не производится, её результат мог содержать не только цифры 0, 1 и , но также и 2, , 3 и (что означает сдвиг реек блока произведения на соответствующее число позиций). Согласно описанию де Моргана, механизм переноса управлялся вручную, и применялся после выполнения умножения последовательно ко всем парам соседних разрядов результата: “Одним движением руки он [механизм переноса] сдвигает левую рейку на позицию вперед, а правую – на три позиции назад” [15]. Хотя, по мнению де Моргана, для безошибочной работы требуется “лишь небольшой навык”, выполнение каждой операции умножения или деления всё-таки неизбежно превращалось – особенно при операциях с большими числами (разрядность троичной машины Фаулера составляла 55 тритов) – в длительную и чреватую ошибками процедуру.

Возможно, Фаулер и сумел бы решить эту проблему. Однако была ещё одна, не менее важная: необходимость использования вспомогательных таблиц для перевода исходных данных из десятичной системы в уравновешенную троичную и перевода полученных результатов обратно в десятичную систему. Если было необходимо произвести длительные вычисления (например, по какой-либо формуле), то такие накладные расходы были не слишком заметными. Однако если надо было просто перемножать или делить пары чисел, использование машины Фаулера становилось крайне неэффективным.

Скорее всего, именно в этом, в конце концов, Фаулер стал видеть самое серьёзное препятствие на пути к признанию своей машины. Поэтому, когда он вернулся к своей разработке, то решил на этот раз строить уже десятичную вычислительную машину. Работа над ней началась, судя по всему, уже в середине 1841 г. В письме Ф. Бейли от 19 октября он сообщает: “… моя главная цель в настоящее время ограничена обычной десятичной системой, я изготовил деревянную одноразрядную модель, соответствующую этой системе и убедился в её совершенной работе; я, таким образом, убежден, что принципы Машины … могут быть всецело и немедленно приспособлены к десятичной системе… возможно, в течение нескольких месяцев я сумею своими руками изготовить Машину, если милостивый Господь продлит мою жизнь и у меня будет соответствующая возможность… ” (цит. по [25, с. 10-11]).

Как и троичная, новая машина была основана на принципе сдвигающихся реек, только для каждой цифры было добавлено соответствующее число состояний. И хотя базовым числом для вычислений было 10, это снова была уравновешенная система – пятеричная, цифры которой изменяются от ?5 до 5. Таким образом, проблема перевода из обычной десятичной системы при вводе чисел в машину и при считывании результатов так и осталась нерешённой…

Можно предполагать, что и эту машину Фаулер видел только промежуточным этапом своих разработок. В цитировавшемся выше письме Ф. Бейли он заявлял, что тот же принцип может быть распространён на системы счисления с любым основанием, и что пределом здесь служат только возможности механического конструирования. Фаулер писал, что его особо привлекает основание 30 (это число является произведением трёх первых простых чисел: 2?3?5=30) и что он не сомневается в возможности изготовить такую машину разрядностью 40 или 50, а при особо аккуратной работе – даже до 100. Эта “чудесная машина”, всю конструкцию которой он ясно “видит своим мысленным взором”, сможет вести вычисления в любой системе счисления с основанием от 2 до 30. Фаулер полагал, что сумеет продемонстрировать её практичность на модели ещё до начала изготовления рабочего образца.

Постройку своей второй машины Фаулер завершил в 1842 г. Однако 31 марта следующего года изобретатель скончался от “грудной водянки” (гидроторакс), так и не успев ознакомить научную общественность ни со второй машиной, ни с дальнейшими своими планами. В воспоминаниях сына рассказывается, как отец, умирая, продолжал диктовать дочери какие-то соображения по улучшению конструкции…

Вторая машина Фаулера описана в его опубликованной спустя два года после смерти брошюре [21]. В 1844 г. она некоторое время была выставлена в Королевском колледже, по случайному стечению обстоятельств, вместе с разностной машиной Ч. Бэббиджа. Затем она хранилась в совершенно неприспособленном для этого помещении, и вернулась к Хью Фаулеру в ужасающем состоянии, ? некоторые части были утеряны, и восстановить машину не представлялось возможным. Последняя возможность утвердить важность работы Фаулера была потеряна…

* * *

Рис. 7. Витраж

Мы знаем, что троичную вычислительную машину Фаулера наблюдали в действии Чарльз Бэббидж, Август де Морган, Джордж Айри и другие ведущие английские математики и астрономы. Они констатировали как оригинальность конструкции, так и её эффективность. Опубликуй Томас Фаулер свой проект, он, без сомнения, получил бы поддержку и других учёных. К сожалению, этого не случилось. Ни рукописи Фаулера, ни сами машины не сохранились. Сегодня мы можем судить о ней только по описанию А. де Моргана и немногочисленным замечаниям, разбросанным в письмах Фаулера. Единственным же сохранившимся изображением машины Фаулера является цветной витраж, установленный в 1864 г. Хью Фаулером в память об отце в нефе церкви св. Михаила в Торрингтоне (рис. 7).

Рис. 8. Чертеж модели

Рис. 9. Марк Глускер с моделью машины Фаулера

Рис. 10. Механизм представления множимого

В августе 2000 г. на основе этих скудных данных исследователь из США Марк Глускер создал работающую модель машины Фаулера [23-25] [21] Разрядность операндов в ней равна трём, таким образом, длина произведения составляет семь тритов (максимально представимое число, следовательно, равняется 1093). На рис. 8 изображена схема построенной им модели, сама модель и её автор показаны на рис. 9. На рис. 10 представлен крупный план механизма представления множимого, а на рис. 11 ? механизмы выработки произведения и переноса (фотографии взяты с сайта http://www.mortati.com/glusker ). К сожалению, очень трудно судить, насколько модель Глускера соответствует оригиналу, поэтому её скорее стоит рассматривать как фантазию на тему “а как можно было бы это сделать”.

Необходимо отдавать отчёт в том, что машину Фаулера вряд ли возможно сравнивать не только с грандиозной по замыслу аналитической машиной, но и с разностной машиной Ч. Бэббиджа (хотя некоторые историки такие попытки и делают). Дело даже не в несопоставимости размеров, некорректно само сопоставление универсальной программно-управляемой вычислительной машины и устройства, предназначенного лишь для умножения чисел, фактически – арифмометра. При этом всё-таки нельзя не признать, что в одном отношении машина Фаулера действительно превосходила машины Бэббиджа – речь идет об использовании уравновешенной троичной системы счисления. Но, между прочим, это понимал и сам Бэббидж. Известный геолог и палеонтолог Уильям Бакленд (1784-1856) в письме Айри от 20 мая 1840 г. упомянул, что в разговоре с ним величайшим достоинством машины Фаулера Бэббидж назвал то, что она основана на ином принципе, нежели его собственная машина (цит. по [25, с. 10]). В машинах Бэббиджа, выполнявших вычисления над десятичными числами, требовалась крайне сложная и громоздкая система вращающихся колес, угол поворота которых задавал цифры от 0 до 9. Вместо неё Фаулер применил систему скользящих реек, занимавших одно из всего лишь трёх возможных положений. Она может быть достаточно просто реализована и не требует высокой точности изготовления деталей (именно поэтому Фаулер мог изготовлять их из дерева).

Рис. 11. Механизм переноса и произведение

Сегодня невозможно судить, могло ли изобретение Фаулера серьёзно повлиять на развитие вычислительной техники. Но вовсе не исключено, что, стань работа Фаулера в своё время широко известна, она могла бы направить конструкторскую мысль в новое русло. Ведь ещё многие десятилетия продолжали разрабатываться вычислительные машины, основанные исключительно на десятичной системе. Даже созданная ровно через сто лет электромеханическая машина “Mark I” Говарда Айкена (1900-1973) работала в десятичной системе, что и предопределило её крайнюю сложность и громоздкость. Во всяком случае, попытки использовать недесятичные системы счисления в механических или электромеханических вычислительных машинах могли бы случиться задолго до двоичных машин, предложенных в 1932 г. французом Раймоном Вальта и в 1936 г. англичанином Уильямом Филлипсом (1892-1968) и немцем Конрадом Цузе (1910-1995).

Впрочем, как ни банально это звучит, история действительно не знает сослагательного наклонения. Работа Фаулера была забыта ровно на полтора века. Его имя вышло из забвения только в 1993 г., когда известный историк техники Дорон Суэйд, автор нескольких книг о Чарльзе Бэббидже и руководитель успешного проекта реконструкции его разностной машины, обнаружил в архиве переписку Фаулера и Айри [37]. По словам Хью Фаулера, отец верил, что именно эта машина принесет ему славу – что же, в этом изобретатель оказался прав, пусть слава и пришла к нему с таким опозданием.

Публикации о Фаулере и его машинах не слишком многочисленны: помимо публикации Д. Суэйда, большой интерес представляют работы [39, 25] (её авторы Памела Васс и Девон Хоган играют ключевую роль в популяризации имени и наследия Фаулера), а также уже упомянутые публикации М. Глускера о реконструкции машины [23, 24] и заметка П. Кристи [12]. На русском языке, кроме маленькой заметки Л. Черняка [5], о ней были опубликованы две статьи [6, 7] (настоящая работа является их исправленным и значительно расширенным вариантом).

Замечание. Несколько отвлекаясь от темы, хочется сказать, что имя королевского астронома Джорджа Бидделла Айри не раз встречается на страницах истории вычислительной техники, — причём его роль в ней весьма неоднозначна. В частности, широко известен его длившийся несколько десятилетий конфликт с Ч. Бэббиджем; Айри приложил немало усилий для того, чтобы правительство отвергло не только проект разностной машины Бэббиджа, но и некоторые другие его предложения (Айри фактически был научным советником британского кабинета, и судьба многих значимых проектов зависела от его мнения). С другой стороны, Айри прекрасно понимал всю практическую важность проблемы вычислений и необходимость создания средств их механизации (например, в одной малоизвестной публикации 1856 г. он высоко оценил разностную машину Шютцев и призвал строить подобные устройства). Участие, проявленное к Фаулеру, могло быть следствием этого понимания. И ещё один интересный факт. В математике известен так называемый интеграл Айри, являющийся решением дифференциального уравнения второго порядка y»=xy. Именно вычисление таблицы значений этого интеграла было выбрано Морисом Уилксом в качестве первой серьёзной задачи для решения на компьютере EDSAC , первом в мире компьютере с хранимой в памяти программой. Соответствующая программа (июнь 1949 г.) стала первой в истории, написанной для компьютеров с фон-неймановской архитектурой, которую её авторам пришлось отлаживать (написанные до этого небольшие тесты были очень простыми и ошибок не содержали). Эта же программа, состоявшая всего из 126 команд, содержала около 20 ошибок! С их обнаружения и исправления берёт начало теория и практика отладки программ (подробности можно найти в интересной работе [10]). Кстати, сам Уилкс считает Айри одним из наиболее выдающихся вычислителей в истории (в одном из писем он даже назвал его “своим героем”).

Примечания

1. Тит Ливий Буратини (1617-1681) – итальянский архитектор и изобретатель, почти всю свою жизнь работал в Польше.

2. Сэмюэл Морленд (1625-1695) – английский инженер и изобретатель.

3. Томас Гарриот (1560-1621) – выдающийся английский ученый, математик, астроном и оптик.

4. Нельзя не отметить также, что в Древнем Египте использовался метод умножения, основанный на последовательных удвоениях и сложениях. В его основе фактически лежит неявное двоичное представление чисел. Однако двоичная система счисления египтянам, конечно, ещё не была известна.

5. Колсон также обещал в ближайшее время довести до сведения “всех интересующихся” описание изобретенного им счетного инструмента – абака или счетной доски, с помощью которого, по его утверждению, можно существенно облегчить самые сложные вычисления в любой системе счисления, использующей его “положительно-отрицательную арифметику”.

6. Клод Гаспар Баше де Мизирьяк (1581-1638) – французский математик.

7. Подробный исторический обзор и детальный анализ развития недесятичных систем счисления можно найти в монографии А. Глезера [22]. Отметим только, что работа Колсона, судя по всему, была основательно забыта, поскольку Глезер о ней не упоминает.

8. Грош полагал, что для изготовления сердечников можно будет использовать один из видов магнитного никель-железного сплава (пермаллоя). Об уравновешенной троичной системе Грош узнал на вечерних курсах для сотрудников IBM . Интересно, что на этих курсах троичные разряды называли не тритами, а титами ( tits ), что служило постоянным источником для шуток слушателей (жаргонное слово tits означает женский бюст)…

9. Британским законодательством того времени детский труд не регламентировался – первый закон, ограничивавший рабочий день детей от 9 (!) до 13 лет на текстильных фабриках восемью часами, был принят лишь в 1833 г.

10. Без сомнения, это можно считать большой удачей, поскольку до 1834 г. английское правительство вообще не финансировало (крайне немногочисленные) школы, которые содержались исключительно на средства частных лиц и различных обществ. Обязательным начальное образование стало в Англии только в 1870 г.

11. Имеется в виду книга профессора Николаса Сондерсона (1682-1739) “The Method of fluxions…”, подготовленная к печати и впервые изданная в 1756 г. его сыном. Она представляла собой адаптированное изложение знаменитого труда И. Ньютона “Principia Mathematica”.

12. Цит . по : The Thomas Fowler story by John McKay [ http://www.thomasfowler.org.uk/ ].

13. Термосифон Фаулера иногда не слишком критично называют первым прообразом современных систем центрального водяного отопления. На самом деле первая такая система была построена ещё в 1777 и описана в 1782 г. в адресованном Академии наук докладе французского инженера и изобретателя Жана Симона Боннемана (1743-1830). Первоначально Боннеман применял её для обогревания инкубаторов и выращивания цыплят, позднее – для обогревания оранжерей и жилых помещений. Работавший в Англии французский эмигрант маркиз Жан-Фредерик де Шабанн (1762-1836) опубликовал в Лондоне в 1815 и 1818 гг. две брошюры с описанием своей системы водяного отопления жилых и общественных зданий. Кроме того, известно множество работ других изобретателей, в 1810-х – 1830-х гг. выдвигавших предложения по совершенствованию систем водяного отопления.

14. См. Gardener ? s Magazine (vol. V, 1829, с . 453; vol. VI, 1830, с . 377; vol. VII, 1831, с . 612 и др .).

15. См.: An Encyclop?dia of Gardening . London , 1835. Pp . 600-601.

16. Позднее Фаулер понял, что машину можно применять для решения и других задач. Так, в одном из писем он говорит, что “нашел её полезной для всех, даже самых обширных, вычислений государственных фондов, комиссионных выплат, составления таблиц с точностью до миллионных долей фартинга…” (цит. по [25, с. 4]). В другом ? что его машину можно по праву назвать Логарифмической, поскольку он с успехом вычислял на ней логарифмы с очень большой точностью (до 70 и 80 десятичных знаков), причём делать это можно разными методами [25, с. 10]. Последнее замечание скорее всего означает, что Фаулер хорошо осознавал преимущество своей (универсальной) машины над специализированной разностной машиной Бэббиджа.

17. Фрэнсис Бофорт ( 1774-1857 ) – британский адмирал, в 1805 г. предложил двенадцатибалльную шкалу оценки силы ветра.

18. Уильям Бейли (1774-1844) – английский астроном.

19. Британская ассоциация за прогресс науки, созданная в 1831 г.

20. Цит . по : The Thomas Fowler story by John McKay [ http://www.thomasfowler.org.uk/ ].

21. Впоследствии автор передал эту модель в музей Большого Торрингтона.

Литература

  1. Брусенцов Н. П. Из истории создания троичных цифровых машин в МГУ // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 10 (45). М.: Янус-К, 2005. С. 28-53.
  2. Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Двоичная арифметика в инструментальном счете у Джона Непера // Историко-математические исследования. Вып. 23. М.: Наука, 1978. С. 156-167.
  3. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные алгоритмы, пер. с англ. М.: Мир, 1977. 724 с.
  4. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. Изд. второе, пер. с нем. М.: Наука, 1969. 328 с.
  5. Черняк Л. Троичная машина в XIX в. // Computerworld Россия. 12 ноября 2002. № 42. С. 31.
  6. Шилов В.В. К истории троичных вычислений // Компьютеры в учебном процессе. 2004. № 2. С. 3-14.
  7. Шилов В.В. Три эпизода из истории вычислительной техники // Информационные технологии. 2005. № 10. С. 65-79.
  8. Barlow P. An Elementary Investigation of the Theory of Numbers. London, 1811. 507 p.
  9. Bernan W. On the History and Art of Warming and Ventilating Rooms and Buildings. Vol. II. L.: George Bell, 1854. 335 p.
  10. Campbell-Kelly M. The Airy Tape: An Early Chapter in the History of Debugging // Annals of the History of Computing. 1992. Vol. 14. № 4. Pp. 16-26.
  11. Cauchy A. Sur les moyens d¢éviter les erreurs dans les calculs numériques//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l¢Académie des sciences. 1840. F. 11. Pp. 789-798, 826.
  12. Christie P. Wooden Computer Invented in North Devon // in: North Devon History.P. Christie, ed., Edward Gaskell, 1995. Pp. 29-30.
  13. Colson, John. A short account of negativo-affirmative arithmetick // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1726. Vol. 34. Pp. 161-173.
  14. Croarken M. Tabulating the Heavens: Computing the Nautic Almanac in 18th-Century England // Annals of the History of Computing. 2003. Vol. 25. № 3. Pp. 48-61.
  15. De Morgan, Augustus. Description of a calculating machine, invented by Mr Thomas Fowler of Torrington in Devonshire. Archive Papers. Vol 23. № 24. The Royal Society, London. June 1840. [http://www.mortati.com/glusker/fowler/demorgan.htm].
  16. De Morgan, Augustus. Description of a Calculating Machine Invented by Mr. Thomas Fowler, of Torrington in Devonshire // Abstracts of the Papers Printed in the Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 4 (1837-1843). Pp. 243-244.
  17. Eels W. C. Number Systems of North American Indians // American Mathematical Monthly. 1913. Vol. 20. P. 293.
  18. Fowler, Hugh. Biographical Notice of the late Mr Thomas Fowler of Torrington with some account of his inventions // Report in the Trans. Devon Assoc. Advancement of Science. 1875. Vol. 7. Pp. 171-178.
  19. Fowler, Thomas. A Description of the Patent Thermosiphon with Some Modes of Applying it to Horticultural and Other Useful and Important Purposes. London: Longman, Orme, Brown, Green and Longmans, 1829. 40 p.
  20. Fowler, Thomas. Tables for Facilitating Arithmetical Calculations. London: Longman, Orme, Brown, Green and Longmans, 1838. 56 p.
  21. Fowler T. Description of the table part of the New Calculating Machine invented by Thomas Fowler of Great Torrington, Devon in 1842, pamphlet, printed by M. Fowler, Great Torrington, Devon, England, 1844, and compiled in “Mathematical Tracts 1848”, A. De Morgan, ed., Ref. L (bound pamphlet 39) item 26, Senate House, Univ. of London Library.
  22. Glaser A. History of Binary and Other Nondecimal Numeration. Los Angeles, CA: Tomash Publishers, 1981. 218 p.
  23. Glusker M. Thomas Fowler¢s Ternary Calculating Machine //The British Society for the History of Mathematics.Summer 2002. Vol. 46. Pp. 2-5.
  24. Glusker M. Thomas Fowler¢s Ternary Calculating Machine: How a 19th Century Inventor¢s Departure from Decimal Presaged the Modern Binary Computer // Journal of the Oughtred Society. Fall 2002. Vol. 11. № 2. Pp. 48-49.
  25. Glusker M., Hogan D. M., Vass P. The Ternary Calculating Machine of Thomas Fowler // Annals of the History of Computing. 2005. Vol. 27. № 3. Pp. 4-22.
  26. Grosch, Herbert R. J. Computer: Bit Slices From a Life. Novato, CA: Third Millennium Books, 1991.
  27. High Speed Computing Devices. Engineering Research Associates. N.-Y.: McGraw Hill, 1950. Pp. 287-289.
  28. Hood, Charles. A Practical Treatise on Warning Buildings by Hot Water… 3rd ed. London: Whittaker and Co, 1855. P. 142.
  29. Lalanne, Léon. Note sur quelques propositions d¢arithmologie élémentaire // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l¢Académie des sciences. 1840. F. 11. Pp. 903-905.
  30. Leibniz G. W. Explication de l¢arithmétique binaire // Memoires de l¢Académie Royale des Sciences. 3. 1703. Pp. 85-89.
  31. Mr. Fowler of Devonshire¢s Mode of Heating by Hot Water // The Gardener¢s Magazine. 1831. Vol. VII. Pp. 376-378.
  32. Notice of Mr Fowler¢s new Calculating Machine, Communicated by Professor Airy // Transactions of Sections. Vol. 10. British Assoc. for the Advancement of Science, Sept. 1840. P. 55.
  33. On a New Calculating Machine by Mr. Fowler // Transactions of Sections. Vol. 11. British Assoc. for the Advancement of Science, Sept. 1841. Pp. 39-40.
  34. Shannon C. E. A symmetrical notation for numbers // American Mathematical Monthly. 1950. Vol. 57. № 2. Pp. 90-93.
  35. Shirley J. W. Binary numeration before Leibniz // American Journal of Physics. 1951. Vol. 19. Pp. 452-454.
  36. Specification of the Patent granted to Thomas Fowler, of Great Torrington, Devonshire, for certain Improvements in, or for raising and circulating hot Water, hot Oils, and other hot Fluids, for domestic and other purposes. – Dated October 20th, 1828 // The Repertory of the Patent Inventions… Vol. IX. London, 1830. Pp. 393-419.
  37. Swade D. “It will not slice a pineapple”: Babbage, Miracles and Machines // in: F. Spufford and J. Uglow (eds). Cultural Babbage: Technology, Time and Invention. London: Faber and Faber, 1996.
  38. To Thomas Fowler, of Great Torrington, in the county of Devon, stationer, for his invention of certain improvements in or for raising and circulating hot water, hot oils, and other hot fluids, for domestic and other purposes. – [Sealed October 2, 1828] // The London Journal of Arts and Sciences. Second Series. Vol. 9. London, 1834. Pp. 82-85.\
  39. Vass P. Rediscovering Thomas Fowler (1777-1843): Mathematician and Inventor //Report and Transactions of the Devonshire Association for the Advancement of Science. December 1999. Vol. 131. Pp. 11-25.

Статья помещена в музей 11.05.2009.

Конвертер и калькулятор в разные системы счисления онлайн

Полученный результат

Система счисления

Начнем издалека. Все, кто начал читать эту статью, надеюсь в совершенстве знают арифметику школьного уровня.  И все если не знают, то догадываются что числа, с которыми мы встречаемся в быту, имеют десятеричный вид.

Это и логично, раз после девяти идет десять, после девяносто девяти, сто, то любое число в нашей (десятеричной) системе можно выразить таким  образом 

Например число 

После понимания такого вида, возникает идея: А нельзя ли это же число представить в другом исчислении?

Эта задумка очень помогла в информатизации нашего общества. Если очень глубоко покапаться в логике работы компьютеров, можно убедится, что все они на самом низком уровне мыслят двумя состояниями или да(1) или нет(0)

Сейчас ученые уже предполагают что это очень уж примитивное мышление и надо было создавать три  состояния да(1), нет(0) и может быть, не сегодня,возможно, я не уверена(2) 🙂

Ну или более серъезно просто три логических уровня -1, 0, 1.

Говорят, это очень сильно улучшает интелектуульные  способности машины, и позволяет избежать некоторых нюансов, которые присутствуют при работе с двоичной системой.

Но мы отвлеклись..

Двоичное состояние (да, нет) очень легко создать на базе транзисторов, что и дало толчок в построении компьютерных систем и  в изучении двоичной арифметики.

Двоичная арифметика говорит о том, что любое число ( в нашей привычной, десятичной системе) можно представить в двоичной

Например 

Логично предположить что существует множество систем счисления. Особенно популярны шестнадцеричная, и восьмиричная система , кроме упомянутых двух.

У вдумчивого читатателя возникает вопрос: систем множество, но почему же все программы ограничиваются конвертацией  максимум в 36 ричную систему? 

Связано это с тем, что выше 36 ричной системы никто не придумал как именовать символы, то есть это банальное ограничение букв английского алфвавита.

десять цифр+26 букв алфавита и дают магическую цифру 36

Хотя, конечно есть еще кодирование base64, котором используются большие и малые буквы латинского алфавита, цифры и часть служебных знаков.

Бот, который мы хотим вам представить на  7 августа 2014 года , целочисленный, то есть он  не умеет считать дробные числа.. 

Зато у него есть другие достоинства:

Кроме того, что может конвертировать  произвольное число в любую из 36 ричных систем, бот может высчитывать произвольное арифетическое и не только (учитывая что работаем только с целыми числами) выражение, если элементы этого выражения представлены в различных системах и выдать результат в той системе счисления которая вам необходима

Это очень удобно для  как решения задач, так и для генерирования задач для учеников или студентов.

Кроме этого, система позволяет  Вам корректно отображать прямой, дополнительный и обратные кода для отрицательных чисел в различных системах счисления. Такого Вы тоже не найдете на просторах интернета. 

Синтаксис 

Jabber:  convert выражение =результат в системе счисления

выражение — математическое выражение, которое может содержать проивзольные числа и произвольные функции. Любое промежуточное выражение в исходном вырадении, будет огруглятся до целого числа.

Число должно быть действительным и в квадратных скобках содержать информацию о системы

Например 1010[2] — это число в двоичной системе счисления, а 1010[8]- это число в восьмеричной системе счисления

=Результат в системе счисления — это необазательный параметр и говорит боту что  бы он вывел данные в той системе счисления, которая была указана после равенства.

Примеры вычислений

Конвертировать число 111011010100100100010100111 заданная в двоичном исчислении в 16-ти ричную форму.

convert 111011010100100100010100111[2]=16

Получаем

Результат равен = 76a48a7


Перевести десятичное число 11102342 в 7-ми значную систему счисления

convert 11102342[10]=7

Результат равен = 163240226


Расчитать следующее выражение: 01011 в двоичном исчислении прибавить fa0c в шестадцатеричном и вычесть удвоеное значение 01703 в восьмеричном исчислении/ Вывести результат в десятеричной форме

Как вы руками будете делать я не знаю а боту достаточно дать команду

convert 01011[2]+fa0c[16]-2*01703[8]=10

получим ответ 62097 

так как у нас написано =10 то ответ получен в десятеричной форме


Выразим отрицательное число -227 в двоичной форме получим

Отрицательный результат
Прямой код 1000….00011100011
Обратный код 1111….11100011100
Дополнительный код 1111….11100011101

 

Возниакет вопрос а что это за многоточие ?  Это лишь говорит нам о том, что в зависимости от объема ячейки хранения числа в информационных системах, длина  результата может варьироваться.

Например при обратном коде,  в выше рассмотренном примере

1111….11100011100

это может быть и

111111100011100

и 1111111111111111111100011100

и 1111111111111111111111111111111111100011100

 

 

Успехов в расчетах!

  • Корни кубического комплексного уравнения >>
Шестнадцатеричный калькулятор

— Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления


Шестнадцатеричный калькулятор используется для сложения, вычитания, умножения и деления двух шестнадцатеричных чисел.

Что такое шестнадцатеричное число?

Шестнадцатеричное число — это число, выраженное в шестнадцатеричной позиционной системе счисления с основанием 16, в котором используются шестнадцать символов: числа от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F.Где A, B, C, D, E и F представляют собой однобитовые представления десятичных значений от 10 до 15. В шестнадцатеричном формате используется четырехбитовое двоичное кодирование. Это означает, что каждая цифра в шестнадцатеричном формате совпадает с четырьмя цифрами в двоичном формате. Octal использует трехбитную двоичную систему.

Шестнадцатеричный: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Десятичный: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Добавление шестигранника

Добавление шестнадцатеричного числа аналогично сложению десятичного числа.Единственное отличие состоит в добавлении цифр A, B, C, D, E и F. Может быть удобно преобразовать шестнадцатеричные числа в десятичную систему, когда значения больше числа 9. Ниже приведен пример шестнадцатеричного сложения.

В приведенном выше примере E + 7 в десятичной системе счисления составляет 14 + 7 = 21. 21 в десятичной системе счисления равно 15 в шестнадцатеричной. Как и при сложении десятичной дроби, 1 переносится в следующий столбец. В следующем столбце получается 1 + B (11) + 5 = 17 в десятичном и 11 в шестнадцатеричном формате. Перенесите 1 в последний столбец, получив в результате 1 + 6+ E (14) = 21 в десятичном и 14 в шестнадцатеричном формате.Это дает результат 1515 в шестнадцатеричном формате.

Шестнадцатеричное вычитание

Вычитание

в шестнадцатеричном формате может быть вычислено так же, как и десятичное вычитание, но большая разница в том, что при заимствовании в шестнадцатеричном формате заимствованная «1» представляет 16 десятичных, а не 10 десятичных. Это потому, что столбец, из которого заимствуется, в 16 раз больше в шестнадцатеричном формате, чем 10 в десятичном. Ниже приведен пример шестнадцатеричного вычитания.

В первом столбце 7 меньше E или 15 в десятичной системе.Итак, нам нужно заимствовать из следующего столбца. Это уменьшает число 5 до 4 и дает 1 или 16 десятичных дробей в первый столбец, т.е. 16decimal + 7decimal — E или 14 в десятичном формате = 9. Теперь во втором столбце 4 меньше, чем B (11). Итак, нам снова нужно заимствовать из следующего столбца. Это уменьшает E до D и предоставляет 1 или 16 десятичных чисел во второй столбец, т.е. 16decimal + 4 — B или 11 в десятичном формате = 9. Последний столбец не требует заимствования, что упрощает вычисления, D или 13 в десятичном формате — 6 = 7, что дает окончательный результат 799.

Шестнадцатеричное умножение

Шестнадцатеричное умножение — сложный процесс, потому что преобразования между шестнадцатеричным и десятичным числом обычно больше. Ниже приведен пример умножения шестнадцатеричного числа.

Шаги умножения для каждого числа показаны ниже

2 × B (11 в десятичной системе) = 22, что составляет 16 в шестнадцатеричной системе

2 × C (12 в десятичной системе) = 24, что равно 18 в шестнадцатеричной системе

A (10 в десятичной системе) × B (11 в десятичной системе) = 110, что составляет 6E в шестнадцатеричном формате

A (10 в десятичной системе) × C (12 в десятичной системе) = 120, что составляет 7E в шестнадцатеричной системе

Шестнадцатеричный отдел

Шестнадцатеричное деление идентично десятичному делению, за исключением того, что нам нужно преобразовать шестнадцатеричное в десятичное и выполнить длинное деление в десятичном, а затем преобразовать обратно после завершения.Пример шестнадцатеричного деления приведен ниже.

Как использовать калькулятор для преобразования двоичных, десятичных и шестнадцатеричных чисел

Если у вас очень хорошие знания в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления и вам нужно подтвердить правильность вычислений преобразования, которые вы сделали вручную, в операционной системе Windows 10 есть опция для выполнения расчетов преобразования. Вы можете выполнять преобразование двоичных, десятичных и шестнадцатеричных чисел с помощью встроенного калькулятора в Windows 10.В этом уроке объясняется, как использовать встроенный калькулятор в Windows 10 для преобразования двоичных, десятичных и шестнадцатеричных чисел.

Используйте программу калькулятора только для проверки правильности вычислений, которые вы сделали вручную. Обратите внимание, что расчет конверсии обучения только в калькуляторе не поможет вам пережить собеседование и сертификационные экзамены.

Предлагаю вам перейти по следующей ссылке и изучить концепции двоичной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления, а также преобразования двоичных, десятичных и шестнадцатеричных чисел.

Откройте программу калькулятора в Windows 10, введя калькулятор в поле поиска. Щелкните приложение «Калькулятор», как показано ниже.

После открытия программы калькулятора проверьте режим, в котором программа калькулятора работает. В этом случае калькулятор работает в «Стандартном» режиме. В «Стандартном» режиме можно выполнять только базовые математические вычисления. Пожалуйста, обратитесь к изображению ниже.

Измените режим на «Программист», как показано ниже, чтобы выполнять вычисления с использованием различных систем счисления.Здесь у нас есть возможности для выполнения вычислений в двоичной, десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

См. Изображение ниже. В режиме «Программист» калькулятора, доступного в Windows 10, доступны четыре системы счисления. Доступны следующие системы счисления: HEX (шестнадцатеричная), DEC (десятичная), OCT (восьмеричная) и BIN (двоичная) системы счисления. Вы также можете видеть, что текущая система счисления подсвечена черным прямоугольником слева. В этом случае текущая система счисления ввода — DEC (десятичная).Поскольку система счисления ввода — DEC (десятичная), на калькуляторе включены цифровые клавиши ввода (от 0 до 9) и отключены клавиши шестнадцатеричного алфавита (от A до F).

Вы можете выбрать любую доступную систему счисления (HEX, DEC, OCT или BIN), щелкнув по ней. Когда текущий ввод — десятичная система счисления, калькулятор принимает ввод как десятичное число. Точно так же, когда выбран HEX (шестнадцатеричный) или BIN (двоичный), калькулятор рассматривает ваш ввод как шестнадцатеричную или двоичную систему счисления соответственно.

Преобразование десятичного числа в его эквивалентное шестнадцатеричное и двоичное числа

Убедитесь, что ваша текущая система счисления — DEC (десятичная). Введите число, которое вы хотите преобразовать из десятичной системы счисления в двоичную или шестнадцатеричную систему счисления. В приведенном ниже примере я ввел 168 в режиме десятичного ввода.

Вы можете увидеть преобразование введенного десятичного числа в эквивалентные двоичные и шестнадцатеричные числа, как показано на рисунке ниже.На скриншоте видно, что двоичный эквивалент десятичного числа 168 равен 10101000. Шестнадцатеричный эквивалент десятичного числа 168 — A8.

Вы можете скопировать преобразованные числа из калькулятора. Например; если вы хотите скопировать двоичный эквивалент десятичного числа 168, «1010100», в буфер обмена операционной системы, щелкните правой кнопкой мыши число, которое вы хотите скопировать, и выберите «Копировать» в контекстном меню.

Преобразование двоичного числа в его эквивалентные десятичные и шестнадцатеричные числа

Теперь выберите двоичную систему в качестве входной системы счисления, выбрав «BIN» в калькуляторе.Вы уже узнали, что в двоичной системе счисления есть только два цифровых символа (0 и 1) для представления целых чисел. На изображении ниже видно, что на калькуляторе включены только клавиши ввода 0 и 1, а все остальные числовые вводы отключены.

Теперь введите двоичное число, которое вы хотите преобразовать в десятичное или шестнадцатеричное. Если у вас в буфере обмена есть двоичное число, вы также можете вставить его в калькулятор. Если вы попытаетесь вставить недвоичное число, когда в качестве входных данных калькулятора выбран BIN (двоичный), вы можете получить ошибку «Недопустимый ввод».В этом примере я ввел двоичное число 11011000.

Вы можете видеть, что введенное двоичное число (11011000) преобразовано в десятичную, шестнадцатеричную и восьмеричную системы счисления, как показано ниже. Десятичный эквивалент двоичного числа 11011000 равен 216, а шестнадцатеричный эквивалент двоичного числа 11011000 — D8.

Преобразование шестнадцатеричного числа в его эквивалентное десятичное и двоичное числа

Теперь выберите шестнадцатеричную систему счисления, выбрав «HEX».Вы уже узнали, что в шестнадцатеричной системе счисления используются числовые символы от 0 до 9 и буквы от A до F для представления целых чисел. Вы можете видеть, что когда выбрана шестнадцатеричная (шестнадцатеричная) система счисления, в калькуляторе включены как клавиши цифрового ввода от 0 до 9, так и клавиши ввода алфавита от A до F. В этом примере я ввел шестнадцатеричное число AA.

Вы можете видеть, что введенное шестнадцатеричное число (AA) преобразовано в десятичную, двоичную и восьмеричную системы счисления, как показано ниже. Десятичный эквивалент шестнадцатеричного числа AA равен 170, а двоичный эквивалент шестнадцатеричного числа AA равен 10101010.

Есть ли у вас предложения? Пожалуйста дай нам знать!

Онлайн-инструмент для преобразования двоичного в шестнадцатеричный формат

Преобразователь двоичного числа в шестнадцатеричный

Вы можете использовать этот онлайн-инструмент для преобразования двоичного кода в шестнадцатеричный, вы можете просто ввести двоичное число, например 0101001001, в раздел ввода.

Что такое двоичная система счисления?

Компьютер использует только два сигнала, которые включены и выключены, а именно 0 и 1, а двоичное число — это одна числовая система, в которой используется двухзначный код, 0 и 1.Вот почему люди также называют это системой base-2.

Пример двоичного числа:

(10100100) 2

Что такое шестнадцатеричная система счисления?

Шестнадцатеричное число имеет десять числовых значений от 0 до 9 и буквенные значения от A до F. Каждое число представляет 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E , и F в этой системе счисления. Всего это 16 значений. Итак, шестнадцатеричная система имеет 16-ю основание.

Шестнадцатеричное число Пример:

(A4) 16

Как использовать калькулятор двоичного в шестнадцатеричный?

Калькулятор из двоичного в шестнадцатеричный слишком прост в использовании.Просто введите свой двоичный номер в поле ввода, и вы получите свое шестнадцатеричное число (ответ).

Это сложно? Нет, им так легко пользоваться. Но вы умеете считать эти числа. Проверьте ниже для получения более подробной информации и расчетов.

Как преобразовать двоичное в шестнадцатеричное?

Если вы хотите преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное. Вы можете использовать наш калькулятор из двоичного в шестнадцатеричный. Это так просто в использовании. Но если вы хотите знать, как вычислить двоичный код в шестнадцатеричный. Просто ознакомьтесь с нашими шагами, и вы узнаете, как преобразовать двоичное в шестнадцатеричное.

Перед началом вычислений у вас есть таблица из двоичного в шестнадцатеричный. Рассчитать свои ценности будет несложно. Итак, вы проверите ниже.

(10000101101) 2 =?

Преобразуйте это двоичное число в шестнадцатеричное

Шаг 1:

Во-первых, вы хотите проверить, сколько цифр. Итак, всего 11 чисел. Вы должны записать это число группами по 4-4 человека справа налево. Вот так…

Здесь всего 11 чисел, в которые вы можете заполнить, поставив 0.

10000101101 = (0100) (0010) (1101)

Шаг 2:

Теперь проверьте таблицу и получите значения шестнадцатеричного числа.

10000101101

= (0100) (0010) (1101)

= 4 2 D

= (42D) 16

(42D) 16 — значение двоичного числа.

Пример: Преобразование 10001110 в шестнадцатеричное = 100001110

= (1000) (1110)

= 8 E

= (8E) 16

(8E) 16 — значение двоичного числа.

Пример: Преобразование 111011,111 в шестнадцатеричное значение

Обратите внимание, что это двоичное число имеет десятичную точку и не может быть автоматически сгруппировано в наборы по четыре. Вам нужно добавить 0 как в крайнюю левую, так и в крайнюю правую часть.

= 111011,111

= (0011) (1011). (1110)

= 3 Б. E

= (3B.E) 16

(3B.E) 16 — значение двоичного числа.

Пример: Преобразование 10100100 в шестнадцатеричное = 10100100

= (1010) (0100)

= А 4

= (A4) 16

(A4) 16 — значение двоичного числа.

Таблица из двоичного в шестнадцатеричный

Вот таблица преобразования двоичного кода в шестнадцатеричный.

Двоичное число Шестнадцатеричное число
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9
1010 А
1011 B
1100 С
1101 D
1110 E
1111 Ф

Здесь также можно проверить многие конвертеры, такие как десятичное в дробное, двоичное в текст и многие другие…

Конвертер десятичного числа в шестнадцатеричный для преобразования основания 10 в основание 16

Что такое шестнадцатеричное число?

Самый простой способ понять, что такое шестнадцатеричное число, — это сравнить его с тем, что вам уже известно — десятичным числом. Как вы знаете, десятичное число использует систему счисления с основанием 10 для подсчета и выражения значения. Он называется «основанием 10», потому что он использует десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) для подсчета и выражения значений.

В шестнадцатеричной системе, с другой стороны, для подсчета и выражения значения используется метод с основанием 16.Он называется «основанием 16», потому что он использует 16 цифр для подсчета и выражения значения. Однако, поскольку у нас есть только 10 цифровых символов, в шестнадцатеричной системе используются буквы для обозначения значений, превышающих 9.

Вот как система счисления по основанию 16 (шестнадцатеричная) сравнивается с системой счисления по основанию 10, которую вы привыкли. to:

Десятичная система и шестнадцатеричная система
База 10: 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15
База 16: 0 1 2 3 4 5 7 9 A B C D E F

Теперь, поскольку мы хотим преобразовать число с основанием 10 в число с основанием 16 r, давайте сравним разрядные значения по основанию 10 с разрядными значениями в системе с основанием 16:

Разрядные значения десятичной и шестнадцатеричной систем
Степень 10: 10 3 10 2 10 1 10 0 . 10 -1 10 -2 10 -3
Место значение: 1000 100 10 1 . 1/10 1/100 1/1000
Мощность 16: 16 3 16 2 16 1 16 0 . 16 -1 16 -2 16 -3
Разрядное значение: 4096 256 16 1 . 1/16 1/256 1/4096

Итак, вы видите, поскольку каждое разрядное значение в числе с основанием 10 отличается от соответствующего значения в системе с основанием 16, нам нужен метод для преобразования значений разряда от 0 до 9 с основанием 10 в значения с основанием от 0 до 16.

Как преобразовать десятичное число в шестнадцатеричное

Чтобы преобразовать число с основанием 10 в число с основанием 16, первым делом необходимо найти первое разрядное значение с основанием 16, которое больше или равно десятичному числу, которое вы конвертируете — начиная с на месте 16 0 и продолжайте свой путь налево.Например, предположим, что вы хотите преобразовать десятичное число 125 в шестнадцатеричное число. В этом случае вы найдете первое 16-разрядное значение по основанию, которое больше или равно 125, что будет 256:

Первое базовое 16-значное значение больше 125 10
Степень 16: 16 2 16 1 16 0
Размещаемое значение: 256 16 1

Как только вы разместите начальную точку , следующим шагом будет создание таблицы преобразования, например:

Таблица преобразования 9 0245 в десятичном формате. значение, которое требуется преобразовать, помещается в крайнюю левую ячейку строки B, чуть выше строки с базовыми 16-значными значениями (C).

Затем попытайтесь разделить сумму в строке B на сумму в строке C. Если сумма в строке C больше, чем сумма в строке B, введите «0» в строке D и переместите сумму в строке B на единицу. ячейка справа. В противном случае, если сумма в строке C меньше суммы в строке B, введите, сколько раз строка C переходит в строку B в строке D, и введите остаток в следующую открытую ячейку в строке B. Затем просто повторите этот процесс для каждый последующий столбец. Наконец, замените все числа в строке D, которые больше 9, на их буквенные эквиваленты (10 = A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E и 15 = F).Вот как будет выглядеть заполненная таблица преобразования:

Таблица преобразования для преобразования 125 10 в шестнадцатеричный
A Мощность 16: 16 2 16 1 16 0
B Остаток от деления: 125
C Разрядное значение (результат A): 256 16 1
D Частное B ÷ C:
E Hex (D> 9 в буквенном виде):
9 Divide в строке C в соответствующую ячейку в строке B и переместите остаток от каждого деления в следующую ячейку в строке B.Повторите для всех столбцов. Обратите внимание, что выше показано, как преобразователь десятичного числа в шестнадцатеричный покажет свою работу.

Из вышесказанного видно, что число 125 с основанием 10 преобразуется в число 7D с основанием 16 (7 * 16 + 13 * 1 = 125). Обратите внимание, что ведущие нули опускаются, поскольку они не представляют значения (как и в системе с основанием 10).

Как видите, преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное — это простой процесс определения первого разряда с основанием 16, большего или равного преобразуемому числу с основанием 10, а затем деления каждого разряда на оставшуюся часть. предыдущее деление.

Шестнадцатеричный преобразователь в двоичный | Калькулятор преобразования шестнадцатеричного числа в двоичное

Что такое шестнадцатеричная система счисления?

«Шестнадцатеричная» или просто «шестнадцатеричная» система счисления использует систему счисления по основанию 16 и является популярным выбором для представления длинных двоичных значений, потому что их формат довольно компактен и намного легче понять по сравнению с в длинные двоичные строки из единиц и нулей.

Будучи системой Base-16, шестнадцатеричная система счисления использует 16 (шестнадцать) различных цифр с комбинацией чисел от 0 до 15. Другими словами, существует 16 возможных цифровых символов.

Преимущество шестнадцатеричной системы счисления

Основное преимущество шестнадцатеричного числа состоит в том, что оно очень компактно, а использование основания из 16 означает, что количество цифр, используемых для представления данного числа, обычно меньше, чем в двоичном или десятичном виде.Кроме того, это быстрое и простое преобразование между шестнадцатеричными числами и двоичными числами.

Почему используется шестнадцатеричное вместо двоичного

Основная причина, по которой мы используем шестнадцатеричные числа, заключается в том, что они обеспечивают более удобное для человека представление и намного проще выразить представления двоичных чисел в шестнадцатеричной системе, чем в любой другой системе счисления. Компьютеры на самом деле не работают в шестнадцатеричном формате.Давайте возьмем пример, используя байт.

Почему в компьютерах используется шестнадцатеричная система счисления

Компьютеры преобразуют двоичные данные в шестнадцатеричную (шестнадцатеричную) систему счисления, потому что это намного проще, чем преобразование данных в десятичные числа, и людям намного легче читать шестнадцатеричные числа, чем читать двоичные числа. Таким образом, даже если фактическая обработка и внутренняя работа компьютеров используют двоичную систему, они часто отображают информацию с использованием шестнадцатеричной системы.Шестнадцатеричные числа широко используются компьютером проектировщики систем и программисты, потому что они обеспечивают удобное для человека представление двоичных значений. Каждая шестнадцатеричная цифра представляет четыре бита (двоичные цифры), также известные как полубайт (или полубайт), которые это полбайта.

Шестнадцатеричный калькулятор — Дюймовый калькулятор

Сложите, вычтите, умножьте или разделите два шестнадцатеричных, двоичных или десятичных числа, используя шестнадцатеричный калькулятор ниже.

Как складывать шестнадцатеричные числа

В отличие от десятичной системы, шестнадцатеричная или просто шестнадцатеричная система является системой счисления с основанием 16 и использует цифры от 0 до 9 и от a до f.

Добавление шестнадцатеричных чисел очень похоже на добавление десятичных чисел.

Чтобы сложить два шестнадцатеричных числа, напишите второе число под первым числом, выровняв правые цифры, например:

Начиная с самого правого числа, сложите верхнее и нижнее значения вместе.В этом случае 3 + 1 равно 4.

Затем продолжайте со вторым числом справа; b + 2 равно d. Цифра b в шестнадцатеричном формате равна десятичному значению 11, а цифра d равна 13. Вы также можете увеличить букву на 2 буквы.

Переходя к третьему номеру справа; f + 6 равно 15. В нашей задаче перенесите начальную 1 в начало задачи над предыдущим столбцом цифр и переместите конечную 5 вниз.

A Степень 16: 16 2 16 1 16 0
B Остаток от деления: 125 125 13
C Разрядное значение (результат A): 256 16 Частное B ÷ C: 0 7 13
E Hex (D> 9 буквенно): 0 7 D
1
7 f б 3
+ 1 б 6 2 1
5 д 4

На следующем шаге добавьте 1 вверху следующего столбца с другими значениями; 1 + 7 + b равно 13 в шестнадцатеричном формате.Вам нужно будет снова перенести 1 наверх и 3 вниз, вот так:

1 1
7 f б 3
+ 1 б 6 2 1
3 5 д 4

Последний шаг — сложить 1, которую вы только что поместили вверху, с 1 в нижнем числе, что равно 2.Таким образом, ответ — 235d4.

1 1
7 f б 3
+ 1 б 6 2 1
2 3 5 д 4

Ресурсы преобразования Hex

Воспользуйтесь нашими ресурсами по преобразованию, чтобы узнать больше о шестнадцатеричных вычислениях:

Как написать калькулятор систем счисления на Python | Мартин Андерссон Оберже

Этот калькулятор основан на математике (разве не все?).Возможно, нам понадобится освежить нашу память о теории преобразования между основами (или узнать что-то новое).

Если в школе у ​​вас была математика, ориентированная на естественные науки, или вы изучали компьютеры на любом уровне, скорее всего, вы перешли из одной системы счисления в другую. . Вы можете вспомнить двоичную таблицу или говорить о « в десятичной системе , », , « в восьмеричной системе , », и « в шестнадцатеричной системе», .

Десятичная система (Base-10) — это та система, которую мы используем ежедневно при счете.0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Когда у нас заканчиваются числа, мы добавляем еще одну позицию слева → 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 , 18, 19, 20, 21… и т.д. Когда у нас снова заканчиваются номера, мы добавляем новую позицию → 100, 101, 102… 118, 119, 120.

Да, да… Я помню начальную школу….

Мы не думаем об этом, потому что мы узнаем это, когда нам 2–3 года. Скажите ребенку, чтобы он считал по восьмеричной системе (Base-8), и он, скорее всего, посмотрит на вас несколько секунд, прежде чем вернуться к своей домашней работе на своем iPad.Теория проста и идентична десятичной системе счисления, просто мы к ней не привыкли.

Счет в восьмеричной системе будет выглядеть так:

0,1,2,3,4,5,6,7 → 10,11,12,13,14,15,16,17 → 20,21…

Первое преобразование, на которое мы должны обратить внимание, — это переход от любой системы счисления (Base-N) к десятичной системе (Base-10). position)).Если мы начнем с наименьшего числа вправо, мы умножим 6 на 8⁰, 5 на 8¹ и 2 на 8².

Вот иллюстрация, которая упростит понимание:

переход от базы 8 256 к основанию 10 174

Когда у нас есть число в десятичной системе (Base-10), действительно легко перейти к любая система. Давайте вернемся от 174 (База-10) к 256 (База-8)

. Мы находим число в другой базе, деля его с базой, и оставляем остаток. Остальные составят для нас число в другой базе.Когда у нас есть остатки, мы читаем число от наименее значимого числа к наиболее значимому, то есть снизу вверх. Вот и ваш новый номер представлен в вашей новой базе! ‍

174/2 дает 21,75. Обратите внимание на то, что 21 — красный, а 0,75 — зеленый. Отправляем 21 на следующую строку и разбираемся с 0,75. Если мы умножим 0,75 на основание, у нас останется остаток (это число, которое мы ищем). Этот номер отправляется в крайнее правое положение синим цветом.

Когда мы дойдем до 0, мы официально закончим и можем упаковать чемоданы с красивым номером на нашей новой базе.

переход от base-10 174 к base-8 256

Это не только означает, что мы можем перейти от Base-10 к Base-8 и наоборот. Мы можем перейти от Base-X к Base-Y. Любая база, которую мы хотим.

Кажется, что-то вроде этого:

Фото Марчина Дампка из Pexels

Если вы все еще не уверены, как это работает, я предлагаю проверить «Репетитор по органической химии». Его видео — лучшее, что я знаю по этой теме:

Пора погрузиться в код!

Примечание. Большую часть времени я занимаюсь программированием вручную.Это означает, что я не использую слишком много библиотек, потому что хочу узнать как можно больше. В этом коде я do использую стандартные функции Python, такие как bin () , потому что я хочу показать вам, что это возможно, но вместо использования hex () , я думаю, было интереснее вручную кодировать те же функции. В производственной среде вы, вероятно, захотите сделать ее краткой и использовать библиотеки, которые решают ваши проблемы, вместо того, чтобы кодировать все с нуля

Эта программа — всего лишь одна основная .py со всем кодом в одном документе. Если хотите, можете продлить это как хотите. Числовой класс? Конечно, почему бы и нет. GUI? Также мы должны кое-что изучить.

Я рекомендую работать с калькулятором базового преобразователя онлайн во время кодирования, чтобы дважды проверить, что ваш код выводит правильные значения.

Вот суть:

полный код сущности.

Логика кода заключается в том, что мы передаем три аргумента функции convert_number_system ():

  • input_number — это число, которое мы хотим преобразовать.
  • input_base — это база, из которой мы хотим выполнить преобразование.
  • output_base — это база, в которую мы хотим преобразовать.

def menu ()

Раньше я не использовал многострочную строку для печати меню, но было бы разумно создать подобное меню.

Функция возвращает всю строку меню, поэтому мы можем использовать ее где угодно. Нам также не нужно беспокоиться о новой строке.

 возврат (
''
----------------------------------------- -----------------
Добро пожаловать в конвертер числовой базы!
Система запросит у вас:
- Число для преобразования
- Какую базу вы хотите конвертировать из
- Какую базу вы хотите преобразовать В ** ПОМНИТЕ: все числа должны быть целыми! (Кроме HEX) **
-------------------------- --------------------------------
'' ')

Вместо проверки пользовательского ввода в функции преобразователя, Я хотел создать валидаторы в виде функций.Делая это, мы создаем код, который можно использовать повторно.

def validate_bin (check_number):

Эта функция просто проверяет, является ли число действительным двоичным числом.

Мы не хотим проверять длинную строку с несколькими вхождениями одного и того же числа. Если мы конвертируем его в набор, мы удаляем дубликаты. Наборы не могут содержать несколько экземпляров элемента. Мы используем понимание списка, чтобы преобразовать ввод в int и проверить его на соответствие [0,1]

 [int (item) для элемента в наборе (list (check_number))] 

Я решил передавать строки из взаимодействия с пользователем и при необходимости создавать целые числа ввода. int (item) проверяет, что все числа являются целыми числами (при желании мы могли бы также сравнить строку со строкой ( ‘0’, ‘1’ )).

Вот как это будет выглядеть за кадром:

'10010011' ['1', '0', '0', '1', '0', '0', '1', '1'] [0,1]

, если 0 находится в [0,1], проверяется штраф, если 1 находится в [0,1], это также проверяет штраф. Если бы у вас было число, например 23, обе цифры не сработали бы, и функция вернула бы False

def validate_input (check_number):

Здесь ничего особенного … Код проверяет, содержит ли ввод определенные допустимые символы.Мы работаем с числами 0–9 и, поскольку мы поддерживаем HEX, мы также включаем a-f в качестве действительных входных данных.

def validator (input_number, input_base, output_base):

Эта функция использует другие валидаторы и проверяет все входные данные, чтобы мы знали, есть ли смысл в продолжении преобразования.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *