Статический момент относительно данной оси – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояние до данной оси, взятая по всей площади сечения А.

На основании теоремы Вариньяна (из курса теоретической механики) следует, что

,      ,                 (1.4)

а для сложного сечения (состоящего из нескольких простых, каждое из которых имеет площадь А_i и координаты собственного центра тяжести y_ci , x_ci)

, .                               (1.5)

Статический момент относительно какой-либо оси равен произведению всей площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.

Размерность статических моментов площади  м³. Статические моменты площади могут быть положительны, отрицательны  и равные нулю. Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю, называются центральными осями (это две взаимноперпендику-лярные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения).

         Осевые моменты инерции

 — осевой момент инерции относительно оси х,

 — осевой момент инерции относительно оси y.

Осевой момент инерции относительно рассматриваемой оси – сумма произведений элементарных площадей dA на квадрат их расстояний до этой оси, взятая по всей площади сечения А.

Осевые моменты инерции имеют размерность  м⁴ и всегда положительны

Центробежный момент инерции

 — центробежный момент инерции.

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А.

Центробежный момент инерции имеют размерность  м⁴ и  может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями.

Главные центральные оси  – это оси, осевые моменты инерции относительно которых принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).

Полярный момент инерции

                                                                                    (1.6)

.                   (1.7)

Полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний () до этой точки, взятая по всей площади сечения А.

Моменты сопротивления

Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки

; .                                  (1.8)

Полярный момент сопротивления

                                                    (1.9)

Осевой и полярный моменты инерции имеют размерность м³.

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

; .                                   (1.10)

Вычисление геометрических характеристик простых фигур

Прямоугольное сечение.

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси х.

Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихована)  равна . Подставляя значение dA в формулу для определения осевого момента инерции, получим:      

   (1.11)                                                                                                            

По аналогии запишем

.                                                (1.12)

Рекомендация для Вас — Выбор экономического критерия.

Круглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции. Затем, учитывая, что для круга , а , найдем .

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной d и радиусом ; площадь такого кольца . Подставляя выражение для площади кольца в выражение для  и интегрируя, получим:   Тогда

                                  (1.13)

Может ли момент инерции быть отрицательным

Моментом инерции называется характеристика, отличающаяся от статического момента тем, что координата входит в подынтегральное выражение в квадрате (рис.4.4). Моменты инерции бывают осевые или экваториальные – формула (4.6.), полярный – (4.7) и центробежный – (4.8).

, . (4.6)

. (4.7)

. (4.8)

Если начало координат совпадает с полюсом, то ρ 2 = z 2 + y 2 , следовательно

Размерность моментов инерции – единица длины в четвёртой степени (например, см 4 ). Отметим, что осевой и полярный моменты инерции всегда положительны. Центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным

в зависимости от положения осей.

Для определения осевого момента инерции относительно оси z выделим элементарную площадку в виде полоски, параллельной оси z:

.

Очевидно, что для определения J_y надо поменять местами стороны прямоугольника.

Главные осевые моменты инерции прямоугольника

, . (4.10)

Вычислим полярный момент инерции круга относительно его центра, а также осевой момент инерции относительно центральной оси. При вычислении полярного момента инерции выделим элементарную площадку в виде тонкого кольца толщиной dρ (рис.4.6,б) и подсчитаем по формуле (4.7)

.

Полярный момент инерции круга

. (4.11)

Осевой момент инерции круга легко найти из выражения (4.9), учитывая, что в силу симметрии J_z = J_y . Следовательно,

. (4.12)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8910 – | 7222 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Моментами инерции сечений называются интегралы следующего вида:

– осевой момент инерции сечения относительно оси у;

– осевой момент инерции сечения относительно оси z;

– центробежный момент инерции сечения;

– полярный момент инерции сечения.

3.2.1. Свойства моментов инерции сечения

Размерность моментов инерции – [длина 4 ], обычно [м 4 ] или [см 4 ].

Осевые и полярный моменты инерции всегда положительные. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения.

Оси симметрии всегда главные. Если из двух взаимно перпендикулярных осей хотя бы одна является осью симметрии, то обе оси главные.

Момент инерции составного сечения равен сумме моментов инерции элементов этого сечения.

Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции.

Докажем последнее свойство. В сечении с площадью А для элементарной площадки dA радиус-вектор ρ и координаты у и z (рис. 6) связаны по теореме Пифагора: ρ 2 = у 2 + z 2 . Тогда

.

Рис. 6. Связь полярных и декартовых координат

3.2.2. Моменты инерции простейших фигур

В прямоугольном сечении (рис. 7) выберем элементарную площадку dA с координатами y и z и площадью dA = dydz.

Рис. 7. Прямоугольное сечение

Осевой момент инерции относительно оси у

.

Аналогично получаем момент инерции относительно оси z:

Поскольку у и z – оси симметрии, то центробежный момент D_zy = 0.

Для круга диаметром d вычисления упрощаются, если учесть круговую симметрию и использовать полярные координаты. Возьмем в качестве элементарной площадки бесконечно тонкое кольцо с радиусом ρ и толщиной dρ (рис. 8). Его площадь dA = 2πρdρ. Тогда полярный момент инерции:

.

Рис. 8. Круглое сечение

Как показано выше, осевые моменты инерции относительно любой центральной оси одинаковы и равны

.

Момент инерции кольца находим как разность моментов инерции двух кругов – наружного (с диаметром D) и внутреннего (с диаметром d):

Момент инерции I_zтреугольникаопределим относительно оси, проходящей через центр тяжести (рис. 9). Очевидно, ширина элементарной полоски, находящейся на расстоянииуот осиz, равна

Рис. 9. Треугольное сечение

3.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей

При известных величинах моментов инерции относительно осей z и у определим моменты инерции относительно других осей z₁ и y₁, параллельных заданным. Пользуясь общей формулой для осевых моментов инерции, находим

Если оси z и y центральные, то , и

Из полученных формул видно, что моменты инерции относительно центральных осей (когда ) имеют наименьшие значения по сравнению с моментами инерции относительно любых других параллельных осей.

3.4. Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей на угол α центробежный момент инерции становится равным

.

Определим положение главных главных осей инерции u, v относительно которых

,

где α _{– угол, на который надо развернуть оси y и z, чтобы они стали главными.}

Поскольку формула дает два значения углаи, то существуют две взаимно перпендикулярные главные оси. Ось максимума всегда составляет меньший угол () с той из осей (z или y), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Напомним, что положительные углы откладываются от оси z против хода часовой стрелки.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Можно показать, что они

.

Знак плюс перед вторым слагаемым относится к максимальному моменту инерции, знак минус – к минимальному.

Центробежный момент инерции тела

Допустим, что имеется система координат с началом в точке O и осями OX; OY; OZ. По отношению к данным осям центробежными моментами инерции (произведениями инерции) называются величины , которые определяются равенствами:

где – массы материальных точек, на которые разбивают тело; – координаты соответствующих материальных точек.

Центробежный момент инерции обладает свойством симметрии, это следует из его определения:

Если тело можно считать сплошным (непрерывным), то определение центробежного момента инерции записывают как:

Центробежные моменты тела могут быть положительными и отрицательными, при определённом выборе осей OXYZ они могут обращаться в ноль.

Для центробежных моментов инерции существует аналог теоремы Штейнберга. Если рассмотреть две системы координат: и . Одна из этих систем имеет начало координат в центе масс тела (точка C), оси систем координат являются попарно параллельными (). Пусть в системе координат координатами центра масс тела являются (), тогда:

где – масса тела.

Главные оси инерции тела

Пусть однородное тело имеет ось симметрии. Построим координатные оси так, чтобы ось OZ была направлена вдоль оси симметрии тела. Тогда, как следствие симметрии каждой точке тела с массой и координатами соответствует точка, имеющая другой индекс, но такую же массу и координаты: . В результате получаем, что:

так как в данных суммах все слагаемые имеют свою равную по величине, но противоположную по знаку пару. Выражения (4) эквивалентны записи:

Мы получили, что осевая симметрия распределения масс по отношению к оси OZ характеризуется равенством нулю двух центробежных моментов инерции (5), которые содержат среди своих индексов наименование этой оси. В таком случае ось OZ называется главной осью инерции тела для точки О.

Главная ось инерции не всегда является осью симметрии тела. Если тело обладает плоскостью симметрии, то любая ось, которая перпендикулярна этой плоскости, является главной осью инерции для точки O, в которой ось пересекает рассматриваемую плоскость. Равенства (5) отображают условия того, что ось OZ является главной осью инерции тела для точки O (начала координат). Если выполняются условия:

то ось OY будет для точки O главной осью инерции.

В том случае, если выполняются равенства:

то все три координатные оси системы координат OXYZ являются главными осями инерции тела для начала координат.

Моменты инерции тела по отношению к главным осям инерции называются главными моментами инерции тела. Главные оси инерции, которые построены для центра масс тела, носят название главных центральных осей инерции тела.

Если тело обладает осью симметрии, то она является одной из главных центральных осей инерции тела, поскольку центр масс находится на этой оси. В том случае, если тело имеет плоскость симметрии, то ось, нормальная к этой плоскости и проходящая через центр масс тела является одной из главных центральных осей инерции тела.

Понятие главных осей инерции в динамике твердого тела имеет существенное значение. Если вдоль них направить оси координат OXYZ, то все центробежные моменты инерции становятся равными нулю, при этом значительно упрощаются формулы, которые следует применять при решении задач динамики. С понятием о главных осях инерции связано решение задач о динамическом уравнении тела находящегося во вращении и о центре удара.

Момент инерции тела ( и центробежный в том числе) в международной системем единиц измеряются в:

Центробежный момент инерции сечения

Центробежным моментом инерции сечения (плоской фигуры) относительно двух взаимно нормальных осей (OX и OY) называют величину, равную:

выражение (8) говорит о том, что центробежный момент инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей есть сумма произведений элементарных площадок () на расстояния от них до рассматриваемых осей, по всей площади S.

Единицей измерения моментов инерции сечения в СИ является:

Центробежный момент инерции сложного сечения по отношению к любым двум взаимно нормальным осям равен сумме центробежных моментов инерции составляющих его частей относительно этих осей.

Примеры решения задач

Для определения центробежного момента инерции выделим из имеющегося прямоугольника элемент его площади (рис.1) , площадь которой равна:

На первом этапе решения задачи найдем центробежный момент инерции () вертикальной полосы, имеющей высоту и ширину , которая находится на расстоянии от оси Y (учтем, что при интегрировании для всех площадок в избранной вертикальной полоске величина является постоянной):

На втором этапе решения задачи проинтегрируем, двигаясь по горизонтали, учитывая, что :

Приведение маховых масс электропривода к одной оси

Иногда возникает необходимость приведения маховых масс электропривода к одной оси. Это приводит к удобству расчета системы электропривода, так как все моменты инерции системы приводятся как правило к валу машины.

Для начала разберемся что такое момент инерции относительно оси – это сумма произведений масс отдельных частей тела, умноженного на квадрат расстояния этой же части тела до оси вращения, которая берется для всего тела:

На практике, как правило, момент инерции довольно часто выражают как произведение квадрата радиуса инерции на массу тела:

m – общая масса всего тела, выраженная в кГсек²/м;

p – радиус инерции тела, выражен он в м;

Радиус инерции – расстояние от оси вращения, которая проходит через центр тяжести объекта, на котором нужно поместить массу объекта, которая будет сосредоточена в одной точке, чтоб она удовлетворяла равенству:

Значения радиусов инерции простейших геометрических тел приведены ниже. Используя формулы приведенные ниже и при условии известности массы тела, можно вычислить момент инерции тела по формулам, приведенным выше:

Если геометрические тела не сложные, то момент инерции можно приблизительно определить как сумму таких моментов отдельных тел , взятых относительно оси вращения. Как пример – момент инерции (далее J) маховика будет равен сумме J спиц, обода и втулки. В случаях, когда точное вычисление J представляется затруднительным, могут оперировать приближенными величинами. Иногда для маховика определяют J обода и прибавляют от 8% до 15% для учета маховых масс спиц. В случае червяка J ротора зубцов принимается 40% J пологого цилиндра соответствующих размеров. Червячное или зубчатое колесо учитывается как полый цилиндр. К полученной величине добавляют 25% для спиц и втулки. Если для зубчатого колеса известны только вес и шаг зацепления, то J могут определять как произведение 60% всего веса на квадрат радиуса длительной окружности.

Приведенный момент инерции (J_пр) входит в уравнение движения электропривода. J_пр – это J простейшей системы, которая состоит из элементов, которые вращаются со скоростью вала или оси, к которой производят приведение, и при этом запас кинетической энергии приведенной системы равен запасу кинетической энергии реальной системы.

Ниже показана реальная система и приведенная

Реальная:

Приведенная:

В таком случае выполнится равенство:

Где: J_пр – приведенный момент инерции в валу электромашины;

J₁, J₂… J_n, ω₁, ω₂, ω_n – моменты инерции и угловые скорости вращения механизмов или передач машины в соответствующих осях;

J_д, ω_д – угловая скорость и момент инерции электродвигателя.

Отсюда очевидно, что:

Где: j₁, j₂, …, j_n – передаточные числа между осями вращающихся звеньев и осью электромашины.

Отсюда следует, что J_пр вращающихся частей равен сумме J каждого отдельного элемента системы относительно своего вала, деленного на квадрат передаточного числа (j), между валом конкретного элемента и валом, к котором приводится момент инерции. Часто при определении J_пр системы его считают равным сумме моментов инерций ротора или якоря электрической машины и J_пр рабочего органа, а также J отдельных звеньев системы передаточного механизма учитывают с помощью увеличения J в δ раз, то есть:

Значение δ обычно лежит в пределах 1,1 ÷ 1,3.

В теории электропривода довольно часто встречается понятия махового момента – GD², вместо моментов инерций. Если заменить в формуле приведенной выше массу m на вес G и ускорение свободного падения g, а радиус величины инерции p через ее диаметр D, получим следующее выражение:

GD² выражается в кГм². Очевидно, что для GD² также существует соотношение, аналогичное выражению для J:

При введении вместо J в уравнение движение электропривода GD² получим следующее выражение:

• При постоянном GD²:

• При переменном GD²:

Уравнения движения с использованием GD² и числа оборотов в минуту могут казаться более удобными для применения на практике, так как скорость вращения вала машины обычно измеряют в оборотах в минуту — об/мин, GD² – довольно часто публикуют в каталогах. Однако при использовании их следует помнить, что коэффициенты  375 и 7200 – числа, имеющие размерность ускорения. Без учета этих обстоятельств правые части этих выражений не будут иметь размерность момента. Поэтому при сложных расчетах рекомендуется использовать уравнение движения в форме  или  .

Моменты инерции сечения и их виды

Различают следующие виды моментов инерции сечений: осевые; центробежный; полярный; центральные и главные моменты инерции.

называют полярным моментом инерции сечения относительно т.О.

Размерность указанных видов моментов инерции сечения (длина⁴), т.е. м⁴ или см⁴.

Осевые и полярный моменты инерции сечения – величины положительные; центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю (для некоторых осей, являющихся осью симметрии).

Существуют зависимости для моментов инерции при параллельном переносе и повороте координатных осей.

Рисунок 5.4 – Параллельный перенос и поворот координатных осей для произвольного поперечного сечения бруса

где и – центральные моменты инерции.

Если известны моменты инерции сечения Iz, Iу, Izу относительно осей z и у, то моменты инерции относительно повернутых осей z₁ и у₁, на угол α по отношению к исходным осям (рис. 5.4, б) определяется по формулам:

С понятием главных моментов инерции

Если главные оси проходят через центр тяжести фигуры, то они называются главными центральными осями инерции.

В расчетах прочности элементов конструкций пользуются понятием такой геометрической характеристики как момент сопротивления сечения.

Рассмотрим для примера поперечное сечение бруса (рис. 5.5).

Рисунок 5.5 – Пример поперечного сечения бруса

Отстояние наиболее удаленной т.А от центра тяжести сечения т.С обозначим h₁, а отстояние т.В – через h₂.

Практический интерес в расчетах прочности представляет наименьший момент сопротивления сечения Wmin, соответствующий наиболее удаленной т.А от центра тяжести сечения h₁ = у_max.

Размерность элементов сопротивления (длина³), т.е. м³, см³.

Таблица 5.1 – Значения моментов инерции и моментов сопротивления простейших сечений относительно центральных осей

продолжение таблицы 5.1

Узнать еще:

14.6: Вычисление центров масс и моментов инерции

Мы уже обсудили несколько приложений множественных интегралов, таких как определение площадей, объемов и среднего значения функции в ограниченной области. В этом разделе мы разрабатываем вычислительные методы для определения центра масс и моментов инерции нескольких типов физических объектов, используя двойные интегралы для пластинки (плоской пластины) и тройные интегралы для трехмерного объекта с переменной плотностью.Плотность обычно считается постоянным числом, когда пластинка или объект однородны; то есть объект имеет однородную плотность.

Центр масс в двух измерениях

Центр масс также известен как центр тяжести, если объект находится в однородном гравитационном поле. Если объект имеет однородную плотность, центром масс является геометрический центр объекта, который называется центроидом. На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показана точка \ (P \) как центр масс пластинки.Пластина идеально сбалансирована относительно центра масс.

Чтобы найти координаты центра масс \ (P (\ bar {x}, \ bar {y}) \) пластинки, нам нужно найти момент \ (M_x \) пластины относительно \ ( x \) — ось и момент \ (M_y \) относительно оси \ (y \) -. Нам также нужно найти массу \ (m \) пластинки. Тогда

\ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} \]

и

\ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m}.\]

См. Определения и методы однократного интегрирования для определения центра масс одномерного объекта (например, тонкого стержня) в разделе «Моменты и центры масс». Мы собираемся использовать здесь аналогичную идею, за исключением того, что объект представляет собой двумерную пластину, и мы используем двойной интеграл.

Если мы допускаем функцию постоянной плотности, то \ (\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} \) и \ (\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} \) дают центроид пластинки. *) \) в качестве точек выборки.{x = 3} = \ dfrac {27} {8}. \]

Вычисление несложное и дает ответ \ (m = \ dfrac {27} {8} \, kg \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Рассмотрим ту же область \ (R \), что и в предыдущем примере, и воспользуемся функцией плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите общую массу.

Ответ

\ (\ dfrac {9 \ pi} {8} \, кг \)

Теперь, когда мы установили выражение для массы, у нас есть инструменты, необходимые для вычисления моментов и центров масс.2 y \, dy \, dx = \ dfrac {81} {20}, \]

Расчет довольно прост.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Рассмотрим ту же пластину \ (R \), что и выше, и воспользуемся функцией плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите моменты \ (M_x \) и \ (M_y \).

Ответ

\ (M_x = \ dfrac {81 \ pi} {64} \) и \ (M_y = \ dfrac {81 \ pi} {64} \)

Наконец, мы готовы переформулировать выражения для центра масс через интегралы.Обозначим координату центра масс x через \ (\ bar {x} \) и координату y как \ (\ bar {y} \). В частности,

\ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} \ ]

и

\ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} \ ]

Пример \ (\ PageIndex {3} \): центр масс

Снова рассмотрим ту же треугольную область \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (0,3), \, (3,0) \) и с функцией плотности \ (\ rho (x, у) = ху \).Найдите центр масс.

Решение

По разработанным формулам имеем

\ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} = \ dfrac {81/20} {27/8} = \ dfrac {6} {5}, \]

\ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} = \ dfrac {81/20} {27/8} = \ dfrac {6} {5}. \]

Следовательно, центром масс является точка \ (\ left (\ dfrac {6} {5}, \ dfrac {6} {5} \ right).\)

Если мы выберем плотность \ (\ rho (x, y) \) вместо однородной по всей области (т. Е. Постоянной), например значение 1 (подойдет любая константа), то мы сможем вычислить центроид,

\ [x_c = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \, dA} {\ iint_R \, dA} = \ dfrac {9/2} {9/2} = 1, \]

\ [y_c = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \, dA} {\ iint_R \, dA} = \ dfrac {9/2} {9/2} = 1. \]

Обратите внимание, что центр масс \ (\ left (\ dfrac {6} {5}, \ dfrac {6} {5} \ right) \) не совсем то же самое, что центроид \ ((1,1) \ ) треугольной области.Это связано с переменной плотностью \ (R \). Если плотность постоянна, мы просто используем \ (\ rho (x, y) = c \) (постоянная). Это значение исключается из формул, поэтому при постоянной плотности центр масс совпадает с центроидом пластинки.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Снова используйте ту же область \ (R \), что и выше, и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). 2 \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y) = x \) в интервале \ (0 \ leq x \ leq 1 \).2 + 1) \ вправо). \]

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Вычислить центр тяжести области между кривыми \ (y = x \) и \ (y = \ sqrt {x} \) с равномерной плотностью в интервале \ (0 \ leq x \ leq 1 \).

Ответ

\ (x_c = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {1/15} {1/6} = \ dfrac {2} {5} \) и \ (y_c = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {1/12} {1/6} = \ dfrac {1} {2} \)

Моменты инерции

Для ясного понимания того, как вычислять моменты инерции с использованием двойных интегралов, нам нужно вернуться к общему определению в разделе \ (6.2 \ rho (r \, \ cos \, \ theta, \, r \, \ sin \, \ theta) \, dA \).

Пример \ (\ PageIndex {6} \): поиск моментов инерции для треугольной пластинки

Используйте треугольную область \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (2,2) \) и \ ((2,0) \) и с плотностью \ (\ rho (x, y) = xy \), как в предыдущих примерах. 2) xy \, dy \, dx = I_x + I_y = 8 \]

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Снова используйте ту же область \ (R \), что и выше, и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \).2 \) где \ (r \) — расстояние частицы от оси, также известное как радиус вращения .

Следовательно, радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат равны

\ [R_x = \ sqrt {\ dfrac {I_x} {m}}, \, R_y = \ sqrt {\ dfrac {I_y} {m}}, \ и \, R_0 = \ sqrt {\ dfrac {I_0} {m}}, \]

соответственно. В каждом случае радиус вращения говорит нам, как далеко (перпендикулярное расстояние) от оси вращения может быть сосредоточена вся масса объекта.Моменты объекта полезны для поиска информации о балансе и крутящем моменте объекта вокруг оси, но радиусы вращения используются для описания распределения массы вокруг его центральной оси. Есть много приложений в инженерии и физике. Иногда бывает необходимо найти радиус вращения, как в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {7} \): определение радиуса вращения для треугольной пластинки

Рассмотрим ту же треугольную пластину \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (2,2) \) и \ ((2,0) \) и с плотностью \ (\ rho (x , y) = xy \), как в предыдущих примерах.Найдите радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат.

Решение

Если мы вычислим массу этой области, мы обнаружим, что \ (m = 2 \). Мы нашли моменты инерции этой пластины в Примере \ (\ PageIndex {4} \). Исходя из этих данных, радиусы вращения относительно оси \ (x \), \ (y \) — оси и начала координат соответственно равны

\ [\ begin {align} R_x = \ sqrt {\ dfrac {I_x} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {8/3} {2}} = \ sqrt {\ dfrac {8} {6}} = \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3}, \\ R_y = \ sqrt {\ dfrac {I_y} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {16/3} {2}} = \ sqrt { \ dfrac {8} {3}} = \ dfrac {2 \ sqrt {6}} {3}, \\ R_0 = \ sqrt {\ dfrac {I_0} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {8} { 2}} = \ sqrt {4} = 2.\ end {align} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Используйте тот же регион \ (R \) из примера \ (\ PageIndex {7} \) и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат.

Подсказка

Выполните шаги, показанные в предыдущем примере.

Ответ

\ (R_x = \ dfrac {6 \ sqrt {35}} {35}, \, R_y = \ dfrac {6 \ sqrt {15}} {15}, \) и \ (R_0 = \ dfrac {4 \ sqrt {42}} {7} \).2z \). Найдите центр масс.

Подсказка

Убедитесь, что \ (M_ {xy} = \ dfrac {27} {35}, \, M_ {xz} = \ dfrac {243} {140}, \) и \ (M_ {yz} = \ dfrac {81} {35} \). Затем используйте \ (m \) из предыдущего вопроса о контрольной точке.

Ответ

\ (\ left (\ dfrac {3} {2}, \ dfrac {9} {8}, \ dfrac {1} {2} \ right) \)

Мы завершаем этот раздел примером нахождения моментов инерции \ (I_x, \, I_y \) и \ (I_z \). 2yz.2z \). Найдите моменты инерции относительно трех координатных плоскостей.

Ответ

Моменты инерции тетраэдра \ (Q \) относительно плоскости \ (yz \), плоскости \ (xz \) и плоскости \ (xy \) равны \ (99/35, \, 36/7 \) и \ (243/35 \) соответственно.

Ключевые концепции

Определение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в двойных интегралах:

• Для пластинки \ (R \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y) \) в любой точке \ ((x, y) \) на плоскости масса равна \ [m = \ iint_R \ rho (х, у) \, дА.2) \ rho (x, y) \, dA. \]

Определение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в тройных интегралах:

• Для твердого объекта \ (Q \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y, z) \) в любой точке \ ((x, y, z) \) в пространстве масса равна \ [ m = \ iiint_Q \ rho (x, y, z) \, dV. \]
• Моменты относительно плоскости \ (xy \), плоскости \ (xz \) и плоскости \ (yz \) равны \ [M_ {xy} = \ iiint_Q z \ rho (x, y, z ) \, dV, \, M_ {xz} = \ iiint_Q y \ rho (x, y, z) \, dV, \, M_ {yz} = \ iiint_Q x \ rho (x, y, z) \, dV \]
• Центр масс определяется выражением \ (\ bar {x} = \ dfrac {M_ {yz}} {m}, \, \ bar {y} = \ dfrac {M_ {xz}} {m}, \, \ bar {z} = \ dfrac {M_ {xy}} {m}.*) \, \ Delta A = \ iint_R x \ rho (x, y) \, dA \]
• Центр масс пластинки \ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x , y) \, dA} \ и \, \ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho ( х, у) \, dA} \]

Глоссарий

радиус вращения

расстояние от центра масс объекта до его оси вращения

Авторы и авторство

• Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

11 Размеры, масса, расположение центра масс и момент инерции сегментов человеческого тела

11.1.1 Центр масс

Для описания воздействия гравитационной или инерционной силы на тело в Проще говоря, можно определить точку в пространстве, в которой предполагается сосредоточить полную массу тела m. В этой точке действует гравитационная или инерционная сила, так называемый центр масс .(Термин центр тяжести иногда используется как синоним центр масс . Это не совсем правильно, поскольку центры масс и тяжести не совпадают, если сила тяжести различна в разных частях тела, но такими эффектами можно пренебречь в ортопедической биомеханике.) Следует отметить, что центр масс — это всего лишь фиктивная точка; он не обязательно должен совпадать с реальной материальной точкой тела. Например, центр масс кольца находится в центре круга, в точке, где масса отсутствует.

Трехмерное тело можно разделить на n элементов небольшого объема с массами m _i (i 1, 2,… n). Гравитационная или инерционная сила действует на каждый из этих элементов объема. Рис. 11.1 иллюстрирует расчет местоположения центра масс на примере плоской пластины. Для расчета пластина разбита на n малых квадратичных элементов с массами m _и . Координаты x и y центра масс X _c и Y _c вычисляются как

Рис.11.1 Расчет положения центра масс (C) плоской пластины. Пластина представлена ​​разделенной на небольшие квадратичные элементы масс m _и . Координаты центра масс в (произвольно ориентированной) системе координат получаются суммированием (или интегрированием) по всем элементам массы, умноженным на их расстояния от осей и разделенным на общую массу пластины.

, где x _i и y _i — координаты элементов с массами m _i ; m — общая масса плиты.£ — символ математического суммирования и подразумевает, что сумма должна быть распространена на все массы m _i от i = 1 до i = n. В явном виде формула для X _c выглядит так:

Если нужно вычислить положение центра масс трехмерного тела, мы представляем тело разделенным на маленькие кубики. Затем вычисляются X _c и Y _c , как указано выше. Координата z центра масс Z _c получается из

. Можно показать (доказательства здесь не приводятся), что вычисленное положение центра масс не зависит от выбора системы координат xyz. .Независимо от положения и ориентации системы координат всегда получается одно и то же физическое положение.

Сегменты человеческого тела имеют неправильную геометрическую форму. Поэтому при вычислении положения их центра масс можно получить приближение, подставляя простые геометрические формы. Например, голова может быть смоделирована сферой, а нижнее плечо — цилиндром, и предполагается однородная плотность. Более совершенные модели приспосабливают геометрические формы к телу и учитывают распределение плотности внутри сегментов (см., Например, Hatze 1).

Рис. 11.2 иллюстрирует экспериментальную процедуру определения местоположения центра масс плоской пластины. Если пластина подвешена на нити, прикрепленной к произвольной точке P на ее ободе, известно, что в статическом равновесии ее центр масс расположен перпендикулярно ниже точки P. (Если бы это было не так, пластина будет колебаться вперед и назад. и положение покоя не будет достигнуто.) Если пластина подвешена в двух разных точках, положение центра масс определяется пересечением перпендикуляров через точки подвеса.Центр масс трехмерного тела может быть получен путем подвешивания тела к трем неколлинеарным точкам (точкам, которые не находятся на одной линии).

Рис. 11.2 Экспериментальное определение положения центра масс плоской пластины. Тарелка подвешена на нитке. В статическом равновесии величина F силы натяжения нити и величина m · g силы тяжести пластины противоположны и равны; центр масс находится ниже точки подвеса P, где-то по пунктирной линии.Подвешивание пластины во второй точке позволяет определить центр масс.

В качестве альтернативы, положение центра масс можно измерить по реакциям опоры двухточечной опоры, каждая опора оснащена датчиком силы ( рис. 11.3, ). При равновесии моментов датчик силы 1 с правой стороны установки измеряет силу как

Рис. 11.3 Экспериментальное определение местоположения центра масс путем измерения реакции опоры на двухточечную опору, каждая опора оснащена датчиком силы.Если одна сила реакции, масса объекта и расстояние между опорами известны, можно вычислить расстояние L ₁ центра масс от опоры.

Это уравнение получается путем суммирования всех моментов по отношению к опоре 2 в левой части. В формуле m обозначает массу тела, g — ускорение свободного падения, L — расстояние между опорами, а L ₁ — расстояние центра масс от опоры 1. Решив уравнение для L ₁ , расстояние центра масс от опоры 1 получается.Чтобы получить две другие координаты центра масс, измерение проводят еще дважды, каждый раз поворачивая тело на 90 °.

Если известна масса сегмента человеческого тела, можно определить положение его центра масс in vivo. Рис. 11.4 иллюстрирует процедуру на примере сегмента, состоящего из голени и стопы. Тело расположено на основании, поддерживаемом двумя датчиками силы. Масса голени и стопы обозначена m.Величина силы F ₁ на датчике 1 измеряется в исходном состоянии i (колено согнуто на 90 °) и в конечном состоянии f (колено разогнуто). Относительно точки приложения силы F ₂ , суммы моментов (все силы, обозначенные их величинами) равны

Рис. 11.4 Пример определения местоположения центра масс in vivo. сегмент тела. Если масса голени и стопы известна, положение центра масс этого сегмента тела можно рассчитать по реакциям опоры, измеренным с согнутым коленом под углом 90 ° (исходное состояние i) и с разогнутым коленом (конечное состояние). состояние f).В качестве альтернативы, если местоположение центра масс известно, можно получить массу сегмента.

Вычитание дает

Расстояние L _c от центра масс голени до оси вращения колена равно

Если местоположение центра масс известно, этот метод также можно использовать для определить массу сегмента. Для этого уравнение. 11.7 необходимо решить для m.

11.1.2 Момент инерции

Точечная масса на расстоянии L от оси вращения имеет момент инерции I

Момент инерции имеет размер [кг · м ² ].Трехмерное тело можно представить как разделенное на небольшие объемные элементы, каждый из которых вносит свой вклад в общий момент инерции. Если тело разделено на n кубических элементов с массами m _и ( рис. 11.5 ), момент инерции рассчитывается как

рис. 11.5 Для расчета момента инерции тело представляется в виде состоит из малых объемных элементов массой m _и . Момент инерции получается путем суммирования всех масс m _i , умноженных на квадрат их расстояния L _i от оси вращения.

, где L _i обозначает расстояние i-го элемента объема от оси вращения. Сумма распространяется на все элементы объема. Если масса непрерывно распределена в объеме, уравнение. 11.9 записывается в виде интеграла, который должен распространяться на весь объем V:

Из определения следует, что момент инерции всегда связан с определенной осью вращения. При изменении оси изменяется и момент инерции. Поскольку количество осей не ограничено, существует также неограниченное количество моментов инерции.Если, однако, ограничиться обсуждением осей, проходящих через центр масс, это множество осей может быть уменьшено до трех основных моментов инерции . Основные моменты — это моменты относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс: главных осей. Можно показать (доказательство здесь не приводится), что момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс, может быть вычислен, если известны три основных момента.Для тел, таких как сферы, цилиндры или кубоиды, которые симметричны относительно определенных осей, главные оси совпадают с осями симметрии. В качестве примера, Рис. 11.6 показывает направление главных осей и соответствующие главные моменты инерции, полученные интегрированием для сферы и цилиндра с равномерным распределением массы.

Рис. 11.6 Системы координат, используемые для задания моментов инерции твердого цилиндра и твердой сферы однородной плотности ρ.Эти простые геометрические формы можно использовать как модели для сегментов тела.

Для цилиндра с плотностью ρ, массой m и моментами инерции I _x , I _y , I _z относительно осей x, y и z,

для твердого тела сфера плотности ρ масса m и моменты инерции I _x , I _y , I _z относительно осей x, y и z, то

Другие примеры главных осей и моментов для геометрически простых форм приведены в учебниках механики и сборниках формул.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, можно легко получить момент относительно любой другой оси, параллельной этой оси. Теорема о параллельной оси утверждает, что «момент инерции относительно произвольной оси равен моменту относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс момент общей массы m, сосредоточенный в центре масс, вокруг произвольной оси. ”( Рис. 11.7 ).

Фиг.11.7 Теорема о параллельной оси. Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту I _c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс момент инерции m · L ² , где m — масса тела, а L — расстояние центра масс от оси вращения.

, где I обозначает момент инерции относительно произвольной оси, I _c момент относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, m масса тела и L расстояние оси от центра масс.

Как мы уже говорили, части человеческого тела (голова, туловище, бедро, голень и т. Д.) Имеют неправильную форму. Чтобы вычислить приблизительные значения их моментов инерции, истинные формы могут быть заменены простыми геометрическими формами сопоставимых размеров, например голова сферой или нижнее плечо цилиндром. Уточненная модель может заменить голову эллипсоидом, плечом — полусферой или бедром — усеченным конусом. Еще одно требование для более точного моделирования — знание распределения плотности.Знания о распределении плотности в сегментах человеческого тела неполны, но в качестве приближения можно выбрать однородную плотность между плотностью кости и мягких тканей.

В качестве альтернативы, момент инерции тела относительно данной оси может быть получен экспериментально, настроив тело так, чтобы оно вращалось вокруг этой оси, и наблюдая за ним. В установке, показанной в Рис. 11.7 , тело колеблется вокруг оси, расположенной на расстоянии L от центра масс. Угловая частота незатухающего физического маятника (см. Учебники физики) равна

, где ω — наблюдаемая угловая частота, T — период колебаний, m — масса тела, g — ускорение свободного падения, L — расстояние до оси. от центра масс, I момент инерции относительно оси колебаний и I _c момент относительно параллельной оси, проходящей через центр масс.Если масса тела и положение его центра масс по отношению к оси колебаний известны и период колебаний T измерен, моменты I и I _c могут быть вычислены.

Если бы в установке, показанной на Рис. 11.7 , ось вращения проходила через центр масс (L = ноль), маятник не колебался бы. Однако, если корпус подвешен на торсионной пружине, например, на тонкой эластичной проволоке, которая деформируется при кручении, любое отклонение из состояния холостого хода будет генерировать момент.Затем тело будет совершать вращательные колебания с частотой

, где D обозначает коэффициент кручения торсионной пружины, а I _c — момент инерции, связанный с осью, проходящей через центр масс. Используя измеренный период колебаний T, можно рассчитать момент инерции I _c . (В этом эксперименте коэффициент кручения D пружины кручения определяется заранее путем наблюдения за колебаниями тела с известным моментом инерции.) Моменты инерции сегментов человеческого тела были определены in vitro с использованием как физического маятника, так и метода крутильного маятника. In vivo также измеряли моменты инерции руки или ноги, наблюдая свободные колебания этих сегментов тела вокруг осей анатомических суставов (метод физического маятника). Однако такие эксперименты требуют, чтобы мышцы, пересекающие суставы, были полностью расслаблены и чтобы окружающие мягкие ткани не слишком сильно гасили колебания.

Моменты инерции сегментов человеческого тела (головы, рук, туловища и т. Д.) Обычно не указываются в килограммах на квадратный метр [кг · м ² ]. Вместо этого радиус вращения i указан в метрах [м]. Исходя из радиуса инерции i и массы m _s сегмента, момент инерции I может быть рассчитан как

. Указание радиуса инерции имеет то преимущество, что изменения веса сегментов тела могут быть учтены простым мода.Это предполагает, что части тела людей с разной массой тела геометрически похожи. На самом деле это только приблизительно — подумайте, например, о различиях в форме бедра у разных людей. Иногда указывается относительный радиус вращения и _отн. ; это равно радиусу вращения, деленному на длину сегмента. Указание относительного радиуса вращения имеет то преимущество, что для каждого сегмента тела достаточно одного числа для количественной оценки момента инерции у людей разного роста.2

где I ‘- момент инерции относительно произвольной оси, I — момент инерции относительно центральной оси, параллельной первой, d — расстояние между двумя параллельными осями и A — площадь shape (= bh в случае прямоугольника).

Для произведения инерции Ixy теорема о параллельных осях принимает аналогичную форму:

I_ {xy ‘} = I_ {xy} + A d_ {x} d_ {y}

, где Ixy — произведение инерции, относительно центроидных осей x, y и Ixy ‘- это произведение инерции относительно осей, параллельных центроидным осям x, y, имеющим смещения от них d_ {x} и d_ {y} соответственно.

Поворотные оси

Для преобразования моментов инерции из одной системы осей x, y в другую u, v, повернутую на угол φ, используются следующие уравнения:

\ begin {split} I_u & = \ frac {I_x + I_y} {2} + \ frac {I_x-I_y} {2} \ cos {2 \ varphi} -I_ {xy} \ sin {2 \ varphi} \\ I_v & = \ frac {I_x + I_y} {2} — \ frac {I_x-I_y} {2} \ cos {2 \ varphi} + I_ {xy} \ sin {2 \ varphi} \\ I_ {uv} & = \ frac {I_x-I_y } {2} \ sin {2 \ varphi} + I_ {xy} \ cos {2 \ varphi} \ end {split}

, где Ix, Iy — моменты инерции относительно начальных осей, а Ixy — произведение инерции.Iu, Iv и Iuv — соответствующие величины для вращаемых осей u, v. Произведение инерции Ixy прямоугольника равно нулю, поскольку x и y являются осями симметрии.

Главные оси

В главных осях, которые повернуты на угол θ относительно исходных центроидных осей x, y, произведение инерции становится равным нулю. По этой причине любая ось симметрии формы также является главной осью. Моменты инерции относительно главных осей I_I, I_ {II} называются главными моментами инерции и являются максимальным и минимальным для любого угла поворота системы координат.4.

Момент инерции массы

В физике термин момент инерции имеет другое значение. Это связано с распределением массы объекта (или нескольких объектов) вокруг оси. Это отличается от определения, которое обычно дается в инженерных дисциплинах (также на этой странице) как свойство площади формы, обычно поперечного сечения, вокруг оси. Термин секунд в области кажется более точным в этом отношении.

Приложения

Момент инерции (второй момент или площадь) используется в теории балок для описания жесткости балки при изгибе (см. Теорию изгиба балки).2}. Следовательно, из предыдущего уравнения можно увидеть, что когда к поперечному сечению балки прилагается определенный изгибающий момент M, развиваемая кривизна обратно пропорциональна моменту инерции I. Интегрирование кривизны по длине балки, отклонение при некоторая точка вдоль оси x также должна быть обратно пропорциональна I.

Момент инерции площади — типичное поперечное сечение I

Момент инерции площади или Момент инерции площади — , также известный как секундный момент области – I , является свойством формы, которое используется для прогнозирования прогиба, изгиба и напряжения в балках.

Момент инерции площади — Британские единицы

Момент инерции площади — Метрические единицы

Преобразование в единицы

• 1 см ⁴ = 10 ^-8 м ⁴ = 10 ^-8 м ⁴ мм ⁴
• 1 дюйм ⁴ = 4,16×10 ⁵ мм ⁴ = 41,6 см ⁴

Пример — Преобразование между моментом площади 000 единиц инерции

0 единицей инерции 9402

0 ⁴ можно преобразовать в мм ⁴ умножением на 10 ⁴

(9240 см ⁴ ) 10 ⁴ = 9.24 10 ⁷ мм ⁴

Момент инерции площади (момент инерции площади или второй момент площади)

для изгиба вокруг оси x можно выразить как

I _x = ∫ y ² dA (1)

где

I _x = момент инерции площади относительно оси x ( м ⁴ , мм ⁴ , дюймы ⁴ )

y = перпендикулярное расстояние от оси x до элемента dA (м, мм, дюймов )

dA = площадь элемента ( м ² , мм ² , дюймов ² )

Момент инерции изгиба вокруг оси y можно выразить как

90 695 I _y = ∫ x ² dA (2)

где

I _y = момент инерции площади относительно оси y ( м ⁴ , мм ⁴ , дюймы ⁴ )

x = перпендикулярное расстояние от оси y до элемента dA (м, мм, дюймов )

Момент инерции

для типичного поперечного сечения I

Сплошное квадратное поперечное сечение

Момент инерции площади для сплошного квадратного сечения можно рассчитать как

I _x = a ⁴ /12 (2)

где

a = сторона (мм, м, дюйм..)

I _y = a ⁴ /12 (2b)

Сплошное прямоугольное сечение

Момент площади Ineria для прямоугольного сечения можно рассчитать как

I _x = bh ³ /12 (3)

где

b = ширина

h = высота

3 h / 12 (3b)

Сплошное круглое сечение

Момент инерции площади для сплошного цилиндрического сечения можно рассчитать как

I _x = π r ⁴ /4

= π d ⁴ /64 (4)

где

9 0695 r = радиус

d = диаметр

I _y = π r ⁴ /4

= π d ⁴ /64

полый 9069 9069 Цилиндрическое поперечное сечение

Момент инерции площади для полого цилиндрического профиля можно рассчитать как

I _x = π (d _o ⁴ — d _i ⁴ ) / 64 ( 5)

, где

d _o = внешний диаметр цилиндра

d _i = внутренний диаметр цилиндра

I _{π (o d491) ⁴ — d i ⁴ ) / 64 (5b)}

Квадратное сечение — диагональные моменты

90 002 Моменты инерции диагональной площади для квадратного сечения можно рассчитать как

I _x = I _y = a ⁴ /12 (6)

Прямоугольное сечение — Моменты площади на любой линии, проходящей через центр силы тяжести

Прямоугольное сечение и площадь момента на линии, проходящей через центр тяжести, можно рассчитать как

I _x = (bh / 12) (h ² cos ² a + b ² sin ² a) (7)

Симметричная форма

Момент инерции площади для сечения симметричной формы можно рассчитать как

I _x = (ah ³ /12) + (b / 12) (H ³ — h ³ ) (8)

I _y = (a ³ h / 12) + (b ³ /12) (H — h) ( 8b)

Не симметричная форма

Площадь Момент инерции для несимметричного профиля можно рассчитать как

I _x = (1/3) (B y _b ³ — B ₁ h _b ³ + by _t ³ — b1 h _t ³ ) (9)

Площадь Момент инерции относительноЗависимость полярного момента инерции от момента инерции

• «Момент инерции площади» — это свойство формы, которое используется для прогнозирования прогиба, изгиба и напряжения в балках
• «Полярный момент инерции» как мера способности балки сопротивление скручиванию — которое требуется для расчета скручивания балки, подверженной действию крутящего момента.
• «Момент инерции» — это мера сопротивления объекта изменению направления вращения.

Модуль упругости сечения

• «Модуль упругости сечения» определяется как W = I / y , где I — момент инерции площади, а y — расстояние от нейтральной оси до любого данного волокна

Физика — Динамика — Вращение

Сохранение углового момента

Для любой замкнутой системы этот полный угловой момент постоянен.

• В любой системе координат каждый компонент углового момента относительно координат x, y и z сохраняется независимо.
• Это сохраняется полностью независимо от количества движения, это отдельное понятие.

На первый взгляд это кажется нелогичным, легко придумать механизм, который преобразует вращение в одном измерении во вращение в другом измерении или преобразует между линейным и вращательным движением:

Однако угловой момент все еще сохраняется во всех измерениях для замкнутой системы.

Тензор инерции

Мы уже видели, что этот линейный импульс сохраняется для замкнутой системы, но импульс может передаваться между объектами внутри замкнутой системы посредством равных и противоположных сил. Таким же образом угловой момент может передаваться между объектами в замкнутой системе посредством равных и противоположных моментов.

Связь между крутящим моментом и ускорением может быть выражена следующим тензорным уравнением:

крутящий момент = T = [I] α

где:
символ	описание	тип	шт.
т	крутящий момент	вектор	Нм = кг м² -2
[I]	тензор инерции	тензор	кг м²
α	угловое ускорение	вектор	с -2

Это можно выразить в терминах обмена угловым моментом следующим образом (путем интегрирования обеих частей уравнения крутящего момента с течением времени):

угловой момент = L = [I] ω

где:
символ	описание	тип	шт.
л	Угловой момент	вектор	Нм = кг м² -1
[I]	тензор инерции	тензор	кг м²
ω	угловая скорость	вектор	с -1

Итак, тензор инерции играет в угловых уравнениях ту же роль, что и масса в линейных уравнениях.Однако тензор инерции намного сложнее.

Тензор инерции в 2D

У нас не может быть вращения в одном измерении, поэтому два — это наименьшее количество измерений, к которым мы можем применить это. В двух измерениях тензор инерции — это скалярная величина, известная как второй момент массы.

I = (r²) дм

Другими словами, мы не просто суммируем массу, но масса, находящаяся дальше от оси вращения, имеет больший эффект. Каждый элемент массы умножается на квадрат его расстояния от центра вращения.

Тензор инерции в 3D

В трех измерениях тензор инерции — это степень 2, которая представляет собой матрицу. Это немного усложняет ситуацию, поскольку означает, что крутящий момент, скажем, вокруг оси «x», может вызывать ускорение вокруг других осей.

[I] =

∫ (r z ² + r y ²) dm -∫r x * r y дм -∫r x * r z дм -∫r y * r x дм ∫ (r z ² + r x ²) dm -∫r y * r z дм -∫r z * r x дм -∫r z * r y дм ∫ (r x ² + r y ²) dm

Тензор инерции выводится на этой странице.

Эта матрица симметрична относительно главной диагонали и обладает тем свойством, что ее можно разложить на вращательную и диагональную части следующим образом:

[I] = [R] [D] [Rt]

где:

• [I] = матрица тензора инерции
• [R] = матрица вращения, составленная из собственных векторов [I]
• [D] = диагональная матрица с диагональными членами, составленными из собственных значений [I], а недиагональные члены равны нулю.
• [Rt] = транспонирование [R]

Факторинг матриц этим способом обсуждается на этой странице.На практике это означает, что мы всегда можем повернуть локальные координаты твердого объекта таким образом, чтобы [I] стала диагональной матрицей. Это означает, что на этой оси ускорение будет относительно той же оси, что и крутящий момент.

Другой способ объяснить это состоит в том, что у любого твердого объекта есть определенные симметрии, вокруг которых он будет вращаться без колебания в другую ось. Эти симметричные оси являются собственными векторами [I].

Вращающиеся базы координат

Выше мы видели выше тензор инерции изменяется, когда мы вращаем базисные векторы согласно формуле: [I] = [R] [D] [Rt]

Итак, как мы можем получить этот результат? Один из подходов состоит в том, чтобы отметить, что тензор инерции имеет квадратичную форму (подробнее о квадратичной форме см. На этой странице или в рамке справа).Поскольку он имеет квадратичную форму, мы можем разделить базисные векторы на векторы строк и столбцов следующим образом:

i xx i xy i xz i yx i гг я лет i zx i zy i zz

Итак, давайте проверим, что происходит, когда мы вращаем эти векторы координат.Мы можем легко повернуть вектор-столбец, умножив его на матрицу вращения:

Итак, как нам повернуть вектор-строку? Мы можем использовать правило умножения матриц:

[M1 * M2] ^т = [M2] ^т * [M1] ^т

, где верхний индекс t означает транспонировать. Другими словами, чтобы умножить транспонирование двух матриц, мы меняем порядок и получаем транспонирование всего:

Итак, сделав эти две замены для векторов вращения, мы получим:

т

i xx i xy i xz i yx i гг я лет i zx i zy i zz

Таким образом, часть уравнения, содержащая тензор инерции, принимает следующий вид:

т

i xx i xy i xz i yx i гг я лет i zx i zy i zz

Обратите внимание, что матрица ведущего вращения транспонирована в отличие от приведенного выше уравнения.Это потому, что здесь мы вращаем базы координат и удерживаем объект в неподвижном состоянии, тогда как выше мы вращаем объект в фиксированной системе координат, поэтому вращения меняются на противоположные.

Тензор инерции в размерах n

Я не знаю, какую форму примет тензор инерции в более высоких измерениях?

Тензор инерции с использованием кватернионов

Можно ли использовать кватернионы (спиноры) для представления трехмерного тензора инерции? Я предполагаю, что может быть какой-то способ сделать это, но для того, чтобы это было полезно, было бы лучше, если бы это было сделано с использованием продукта-сэндвича.

T = q * α * конъюнктура (q)

Как мы видели, тензор инерции можно разложить на вращательную и диагональную части следующим образом:

[I] = [R] [D] [Rt]

Мы уже знаем, что можем представить вращающиеся части [R] и [Rt] с помощью кватерниона, поэтому возникает вопрос: можем ли мы представить диагональную матрицу [D] с помощью кватерниона «q»? Используя матричное представление сэндвич-продукта:

Чтобы это было диагональным, недиагональные члены должны быть равны нулю:

кв.x * q.y — q.w * q.z = 0
q.x * q.y + q.w * q.z = 0
q.x * q.z + q.w * q.y = 0
q.x * q.z — q.w * q.y = 0
q.x * q.z — q.w * q.x = 0
q.y * q.z + q.w * q.x = 0

перестановка дает:

q.w * q.z = — q.w * q.z
q.w * q.y = — q.w * q.y
q.w * q.x = — q.w * q.x

Существует решение, в котором q.x = q.y = q.z = 0, но это не очень полезно, поскольку оно просто дает матрицу масштабирования. Я не вижу других решений, поэтому прихожу к выводу, что мы не можем использовать кватернионы для представления тензоров инерции.Я не знаю, можно ли использовать более общие многовекторы для представления тензоров инерции? Я видел, как сказано, что тензор инерции не ортогонален и поэтому не может быть заменен на спинор — это правильно?

Устойчивое движение

Когда твердый объект движется в пустом пространстве без действия внешних сил на нем, то мы можем рассматривать его линейную скорость и его угловую скорость независимо:

• Линейная скорость центра масс будет постоянной.
• Угловая скорость относительно центра масс будет постоянной, и если объект не является симметричным, это вращение всегда будет относительно одного из его главных Моменты инерции.

Итак, вот разница между линейным и угловым перемещением, с линейным перемещением. (при отсутствии сопротивления воздуха) он может двигаться во всех направлениях одинаково, независимо от формы объекта. При вращении направление вращения может зависеть от ориентации объекта (и наоборот).

Есть и другие различия между линейным движением и вращением, например, Законы Ньютона могут применяться в локальных координатах, когда местная система отсчета имеет линейное движение. Однако законы Ньютона не работают во вращающейся системе координат. ссылка.

Когда мы имеем дело с ротацией, некоторые из этих законов не являются непосредственной инициативой, нет оснований придавать гироскопам, например, мистическое значение, они подчиняются простым законам (даже если я еще не утверждаю, что полностью их понимаю!).Однако наша интуиция может обмануть нас, заставив неправильно понять эти правила. Поэтому я собираю здесь несколько простых примеров, таблица высшая физика, чтобы помочь нам получить инициативное понимание. Например, тоже подумайте о том, как объект вращается, о его основном моменте инерции, см. пример яйца.

Условия нестабильного состояния

Что произойдет, если к стационарному случаю будет приложена сила, крутящий момент или импульс выше?

• Если сила приложена к центру масс, объект будет ускоряться (со скоростью F / м) и угловая скорость не пострадает.
• Если крутящий момент приложен относительно центра масс и вдоль оси одного основных моментов инерции, то угловая скорость изменится (на T / I) и линейная скорость не изменится.

Итак, в этих случаях мы все еще можем иметь дело с линейными и угловыми величинами самостоятельно, а как насчет:

• Линейная сила, приложенная к некоторой точке объекта, кроме центра массы.
• Крутящий момент, приложенный к некоторой точке объекта, кроме центра масса (но все же по принципу момента инерции).

В этих случаях будут затронуты как линейные, так и угловые характеристики, однако в обоих случаях мы могли бы найти эквивалентную комбинацию силы / крутящего момента. к центру масс. Другими словами, линейная сила, приложенная к некоторой точке на объект, отличный от центра масс, будет эквивалентен некоторой силе относительно центра масс плюс некоторый крутящий момент относительно центра масс. Однако эти эквиваленты могут меняться со временем, например, линейная сила на внешней стороне вращающееся колесо может создавать синусоидально изменяющийся крутящий момент.

Другая возможность состоит в том, что к несимметричному объекту прилагается крутящий момент, в направлении, не совпадающем с основным моментом инерции. Это вызовет объект ускоряться в направлении крутящего момента. Однако любая угловая скорость, не по принципу момента инерции будет генерировать другой крутящий момент, при под другим углом к ​​первому, это будет иметь тенденцию вращать объект, чтобы его Основная ось инерции совпадает с приложенным крутящим моментом.

Чтобы попытаться получить инициативное понимание этого, см. Яйцо и карандаш-45 градусов Примеры. Это тоже принцип процессии (гироскопы).

Может ли кто-нибудь помочь мне вывести для этого обобщенную систему математических уравнений?

Нет внешнего крутящего момента

Какие уравнения движения жесткого объекта без внешнего силы или моменты, действующие на него?

Это простейший случай, который я могу представить для моделирования, которое включает вращение, поэтому я хотел бы убедиться, что полностью понимаю его и могу представить это программно, прежде чем переходить к более сложным ситуациям, таким как столкновения и сочлененные конструкции.

Для твердого объекта, вращающегося в свободном пространстве, по первому закону Ньютона (и Эйлера для вращения):

• Линейный импульс центра масс в измерении x = константа.
• Линейный импульс центра масс в измерении y = константа.
• Линейный импульс центра масс по оси z = константа.
• Угловой момент относительно оси x через центр масс = константа.
• Угловой момент относительно оси y через центр масс = константа.
• Угловой момент относительно оси z через центр масс = константа.

Итак, линейное положение центра масс определяется по формуле:

[p] = [p0] + [v] t

где:
символ	описание	тип	шт.
[п]	вектор положения в измерениях x, y и z	вектор	м
[p0]	вектор положения при t = 0	вектор	м
[v]	вектор скорости	вектор	м / с
т	t = время ()	скаляр	с

Для ротационной составляющей ситуация более сложная:

[угол] может не равняться [angle0] + [w] t

Это связано с тем, что векторная алгебра углов не представляет способ, которым углы объединены в трехмерном мире (см. здесь для подробностей).

Однако бесконечно малые вращения и, следовательно, угловые скорости можно комбинировать. используя векторную алгебру, поэтому, если матрица преобразования имеет вид:

[R] =

с θ * c φ -c θ * s φ с θ cψ * sφ + s ψ * с θ * с φ cψ * cφ -s ψ * s θ * с φ -с ψ * с θ sψ * sφ — с ψ * с θ * с φ sψ * cφ + с ψ * s θ * с φ с ψ * с θ

Тогда углы можно заменить следующими функциями времени:

• φ = wx * t
• θ = wy * t
• ψ = wz * t

Эти компоненты угловой скорости в измерениях x, y и z можно рассматривать независимые и комбинируются по мере необходимости.

Итак, три компонента могут быть добавлены для вращения вокруг любой оси.

Другой способ комбинирования вращений — это когда одно вращение поворачивает систему отсчета. второго объекта, который вращается относительно системы отсчета.

Это помещает группу преобразований одного объекта во второе преобразование. группа. Комбинированная группа преобразований может быть вычислена путем умножения двух преобразований матрицы.

Это может привести к появлению сложного члена в результирующей матрице.Это связано с сложное движение, примерами являются движение Луны вокруг Земля вокруг Солнца или подвесы с гироскопом.

Законы сохранения количества движения не могут применяться по отношению к вращающейся системе отсчета.

---

Может ли свободно плавающий объект вращаться в любом направлении?

Сферический объект может вращаться в любом измерении, но как насчет асимметричного? объект?

Чтобы проиллюстрировать это, представьте себе ручку или карандаш, наклоненный под углом 45 градусов к ось y.Если мы применим внешний крутящий момент, мы можем заставить его вращаться вокруг оси Y (т.е. под углом 45 градусов к длинной оси). Но если убрать внешний крутящий момент, он будет продолжать вращаться таким образом?

В интересах науки я экспериментировал с метательными ручками в воздух. Я не могу заставить его вращаться таким образом, как только он покидает мою руку, он просто хочет вращаться вокруг своей короткой оси (то есть с заостренным концом и ластик на внешней стороне отжима).

Я могу заставить перо вращаться вокруг своей короткой оси или длинной оси, но не между ними.

Я думаю, что смогу заставить его вращаться вокруг обеих осей одновременно (это сложно чтобы быть уверенным, так как мои глаза недостаточно быстрые). но что, кажется, происходит в том, что он вращает заостренный конец над ластиком, а затем вращается вокруг его длинная ось, которая сама себя вращает. Так что, похоже, получается сложный вращение, как описано выше, вращения внутри вращения.

Итак, какие разрешенные режимы у

Некоторые ответы от Яакова Айзенберга, спасибо за это — Мартин: > Что, если бы его заставляли вращаться в этом направлении, а затем внешний > силы внезапно отключились, не так ли, в этот момент внезапно начало > крутится только вокруг своей различной оси?) Да, он мгновенно начнёт вращаться вокруг другой оси, но изменение не такое прерывистое (следовательно, нереалистичное), как могло бы казаться.Скорости масс изменяются непрерывно; только их ускорения изменяются скачкообразно из-за скачкообразного изменения силы. > Итак, учитывая обобщенную матрицу инерции, каковы условия для объекта > иметь возможность вращаться вокруг любой заданной оси? При вращении вокруг оси вектор углового момента объекта должен быть параллелен оси (т. е., параллельно угловой вектор скорости). В этом случае ось вращения останется постоянная во времени. В противном случае этого не произойдет. Для любого объекта есть как минимум три оси, для которых это верно. Они называются главными осями объекта, а матрица инерции диагональна в определяемой ими системе координат. Если объект достаточно симметрично, их будет больше трех. > Это тот единственный жесткий объект > без внешних сил никогда не может быть центробежных сил (т.к. из > Первый закон Ньютона-Эйлера)? Я думаю, что это тоже правильная формулировка.

вращение для любого объекта?

---

Гироскопы, прецессия и нутация

Я не думаю, что эти эффекты применимы здесь, так как гироскоп влияет только на применяется при наличии внешнего крутящего момента.Однако при малых внешних крутящих моментах если, скажем, ветровые эффекты, то нам нужно будет учитывать эти эффекты.

---

Polhodes

KErot = (1/2) {w} T [Ig] {w}

{Tg} = [Ig] {w}

где:
символ	описание	тип	шт.
Керот	кинетическая энергия вращения	скаляр
w	угловая скорость	бивектор
[Ig]	Матрица инерции	Матрица 3×3
ТГ	крутящий момент относительно центра тяжести	бивектор
{}	вектор в измерениях x, y и z
{} T	транспонировать вектор в размерности x, y и z

Это дает:

KErot = (1/2) I * w ^ 2

где:

• I * = {ew} T [Ig] {ew}
• ew = единичный вектор вдоль мгновенной оси вращения

note I * не является постоянным, его значение изменяется при изменении угловой скорости

Основные моменты инерции

Чтобы найти основные моменты инерции, нам нужно найти собственные значения матрицы инерции.2 = 0

Это уравнение третьего порядка по L, которое может давать 3 значения для λ.

Значения λ являются собственными числами, которые являются основными моментами инерции.

Примеры:

Чтобы упростить математику, я попробую несколько примеров с использованием 2D-матриц, мы все еще рассматриваем трехмерные вращения, но все массы находятся в плоскости z = 0.

Пример 1

Сначала рассмотрим твердое тело, большая часть массы которого находится в точках +1 и -1 в плоскости y.2) дм = 0

Ixy = сумма (x * y) dm = 0

det [M] = Ixx Iyy — Ixy Ixy = 0-0 = 0

(Ixx — λ) * x = Ixy * y

х / у = Ixy / (Ixx — λ)

для λ = 0

х / у = 0/2 = 0

нормализация дает единичный вектор в направлении x {1,0} T

для λ = 2

х / у = 0/0 =?

с использованием нижнего уравнения

(Iyy — λ) * y = Ixy * x

у / х = Ixy / (Iyy — λ)

для λ = 0

у / х = 0/0 = 0

для λ = 2

у / х = 0 / (0-2) = — 0. 2 = 1.2 = 0,75 + 0,75 = 1,5

Ixy = сумма (x * y) dm = sin (30) * cos (30) — sin (30) * cos (30) = 0

det [M] = Ixx Iyy — Ixy Ixy = 1,5 * 1,5 = 2,25

для λ = 1,5

x / y = 0 / (1,5-1,5) = 0/0 = не определено.

Эллипсоид инерции

Итак, приведенные выше примеры показывают, что матрица инерции определяет, как объект может вращать, если нет внешнего крутящего момента.

Если все члены главной диагонали равны, а все остальные члены равны ноль, то объект может вращаться в любом направлении, и все направления вращения будут имеют такую ​​же инерцию.В этом случае все собственные значения будут равны каждому прочее и по инерции. Собственные векторы не будут определены.

Если члены ведущей диагонали не равны, а все остальные члены равны ноль, то инерциальные координаты объекта совпадают с его осью вращения. Он может вращаться вокруг оси x, y или z, но он предпочтет вращаться вокруг оси. с высочайшей инерцией. В этом случае собственные значения будут иметь разные значения которые будут значениями членов инерции в ведущих значениях.Собственные векторы будет в направлении осей x, y и z.

Если невыводящие диагональные члены равны нулю, то инерциальные координаты объекта не совмещены с его осью вращения. В этом случае собственные значения будут имеют значения, которые имела бы ведущая диагональ, если бы инерциальная координата рама были повернуты для совмещения с осью вращения. Собственные векторы будут в направлении оси вращения.

Приложения

Мы пытаемся использовать это для моделирования физического мира на этой странице.

Безразмерный момент инерции судна

Fredrosse,
, если уравнение или система уравнений, которые описывают физическую систему, записаны в согласованной системе единиц, их можно переписать таким образом, чтобы масштабировать их.

Например, рассмотрим простое уравнение устойчивого, равномерного горизонтального движения судна:

Тяга = сопротивление

И тяга, и сопротивление являются силами, и оба они имеют единицы Ньютоны [Н] в системе СИ. система единиц.Итак, если вы разделите левую и правую части уравнения на другую силу, например на вес, вы получите:

Тяга / Вес = Тяга / Вес

Единицами левой и правой части этого нового уравнения являются [N] / [N], что формально дает 1. Поскольку 1 — чистое число, не зависящее от используемой системы единиц, путем деления уравнения с другой силой оно было увеличено (или безразмерно). Членами уравнения теперь являются безразмерные коэффициенты, а не размерные силы.

Преимущество написания безразмерных уравнений состоит в том, что они не зависят от системы единиц, что дает возможность анализировать их более всесторонним и надежным (безошибочным) способом. Если отношение тяги к массе равно 0,3, оно равно 0,3 в системе единиц СИ и британской системе мер. Это позволяет вам проводить расчеты вплоть до окончательного результата и только после этого рассчитывать значение сил в вашей предпочтительной системе единиц.

Он также позволяет вам нормализовать графики сил и находить элегантные взаимосвязи, которые остались бы скрытыми, если бы вычисления были выполнены в терминах размерных сил. 2), где:

— I — момент инерции корабля,
— м — масса якоря
— H — высота мачты

Дает безразмерный момент инерции или коэффициент.
Однако масса якоря и высота мачты сразу появляются как не очень разумный выбор исходных величин для использования в расчетах.
Итак, трюк состоит в том, чтобы найти члены, определяющие размерность, которые придадут как физическую, так и практическую полезность результирующему коэффициенту. Обычно визуальный осмотр уравнений выявляет лучшие и наиболее рентабельные с вычислительной точки зрения параметры, которые можно использовать для определения размеров. В других случаях будут использоваться установленные соглашения.См. Пример коэффициентов подъемной силы (и сопротивления), которые являются широко принятыми безразмерными силами.

Например: рассмотрим уравнение свободного падения тела:

m dz / dt = mg — Drag

, которое также можно записать как:

ma = mg — D

Числовые значения, указанные в приведенном выше уравнении, будут зависеть от используемой системы единиц. В момент времени t = 0 (когда скорость равна нулю) сила, действующая на тело массой 10 кг (22,1 фунта), будет иметь значение:

— 98.1 Н в единицах СИ;
— 22,1 фунта-силы в британских единицах.

Но если мы разделим левую и правую части уравнения на вес W = mg, мы получим:

(a / g) = 1 — D / W

, величина n = a / g равна безразмерное ускорение (так называемое «g» число — помните, когда Том Круз тянет 6 g в фильме Top Gun?) И величина d = D / W — безразмерная сила ([Newton] / [Newton] ] = [1]), поэтому уравнение принимает вид:

n = 1 — d

, которое является безразмерным, и его численные результаты не зависят от используемой системы единиц.
при t = 0 безразмерная сила, действующая на тело, составляет:

— n = 1

как в единицах СИ, так и в британских единицах.

По всем вышеперечисленным причинам ученые почти всегда работают с безразмерными уравнениями.

Надеюсь, это поможет сделать процесс более понятным. {- c}} } \ right] \)

⇒ [MLT ^-1 ] = M ^{a + b + c} L ^{2b + 2c} T ^-2a-c

По уравнению мощности с обеих сторон,

а + Ь + с = 1 —- (1)

2b + 2c = 1 —- (2)

-2a — c = -1 —- (3)

Нам нужно решить уравнения (1), (2) и (3),

\ (2b = 1 — 2c \ Rightarrow b = \ frac {{1 — 2c}} {2} \)

-2a = -1 — c ⇒ 2a = 1 + c

\ (\ Rightarrow a = \ frac {{1 + c}} {2} \)

О замене значений «a» и «b»,

\ (\ Rightarrow \ left ({\ frac {{1 + c}} {2}} \ right) + \ left ({\ frac {{1 — 2c}} {2}} \ right) + c = 1 \)

\ (\ Rightarrow \ frac {{1 + c + 1 — 2c + 2c}} {2} = 1 \)

⇒ 2 + c = 2

⇒ c = 2–2

∴ c = 0

⇒ 2b + 2 (0) = 1 b

\ (\, следовательно, b = \ frac {1} {2} \)

Теперь, подставив значение «c» в уравнение (3),

⇒ -2a + 0 = -1

\ (\ поэтому a = \ frac {1} {2} \)

Теперь нам нужно подставить полученные значения в формулу импульса:

P = KS ^a I ^b h ^c ⇒ P = KS ^1⁄2 I ^1⁄2 h ⁰

∴ P ∝ S ^1⁄2 I ^1⁄2 h ⁰ .