Можно Ли Разделить Два Вектора?

Да, это возможно, но вам нужно работать с четырьмя векторами, а не только с классическими трехмерными векторами.

Интересно, почему нужно делить два вектора? но позвольте мне привести пример, где деление может быть полезным: предположим, что вы вычислили произведение a × b = ca × b = c \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ mathbf {c} и Вы хотите восстановить bb \ mathbf {b}, используя aa \ mathbf {a} и cc \ mathbf {c}. С трехмерными векторами вы не можете этого сделать, но с четырьмя векторами вы просто вычисляете: {-1} * \ mathbf {c}. Верхняя черта означает сопряжение, а отрицательная экспонента — обратное или то, что можно назвать векторным делением. Четырех векторное произведение определяется как c = [a 0 b 0 + av ⋅ bv, a 0 bv — b 0 av + av × bv] c = [a 0 b 0 + av ⋅ bv, a 0 bv — b 0 av + av × bv] c = [a_0 b_0 + a_v \ cdot b_v, a_0 b_v — b_0 a_v + a_v \ times b_v], где a 0 a 0 a_0 и b 0 b 0 b_0 представляют первую координату векторов aa \ mathbf {a} и bb \ mathbf {b} соответственно, а avav a_v и bvbv b_v представляют оставшийся трехмерный вектор. {- 1} = \ frac {1} {38} (0, -2, -3, -5).

Наконец, умножьте это на c c \ mathbf {c}, с помощью которого вы восстановите b b \ mathbf {b}.

Каково физическое значение скалярного произведения векторов? Почему для векторов не определено деление?

Лучше всего игнорировать мусор, который авторы кладут в книги по элементарной физике, и определять это с помощью тензоров. Тензор — это объект, который преобразуется как произведение векторов при поворотах. Эквивалентно, это может быть определено линейными функциями от (наборов векторов) и (линейных функций наборов векторов), все это описано в Википедии.

Есть ровно два тензора, инвариантных относительно поворотов:

δ i j δя j и ϵ i j k ϵя j k

Все остальные тензоры, инвариантные относительно поворотов, являются их произведениями и тензорными следами. Эти тензоры определяют «скалярное произведение» и «перекрестное произведение», ни одно из которых не является хорошим понятием произведения:

V ⋅ U = V я U J δ я J V⋅ Uзнак равноVяUjδя j

и перекрестное произведение

( V × U ) k = V i U j ϵ i j k ( V× U)kзнак равноVяUjϵя j k

Бессмысленно думать о перекрестном произведении как о «продукте», потому что оно не ассоциативно, ( A × B ) × C ( А × В ) × С не равно A × ( B × C ) А × ( В × С) . Также бесполезно думать о скалярном произведении как о произведении в обычном смысле, потому что он переводит пары векторов в числа и ( A ⋅ B ) C ( А ⋅ В ) С не равно A ( B ⋅ C ) А ( В ⋅ С) , потому что первая указывает в направлении C, а вторая — в направлении A.

Лучше всего привыкнуть к инвариантным тензорам. Они обобщаются на произвольные измерения, они намного яснее и не требуют правила правой руки (об этом заботится соглашение о порядке индекса). Вы не найдете ни одной статьи по физике, в которой использовалось бы перекрестное произведение, за единственным исключением статьи Фейнмана 1981 г. «Качественное поведение теории Янга-Миллса в 2 + 1 измерениях», и даже если вы это сделаете, ее легко перевести.

Разделить матрицу на вектор в Numpy

1. Разделить матрицу на вектор в Numpy с помощью метода нарезки массива в Python
2. Разделить матрицу на вектор в Numpy с помощью метода транспонирования в Numpy
3. Разделить матрицу на вектор в Numpy с помощью функции numpy.reshape()

В этом руководстве будут обсуждаться методы деления матрицы на вектор в Numpy.

Разделить матрицу на вектор в Numpy с помощью метода нарезки массива в Python

Матрица — это двумерный массив, а вектор — это просто одномерный массив. Если мы хотим разделить элементы матрицы на элементы вектора в каждой строке, мы должны добавить к вектору новое измерение. Мы можем добавить новое измерение к вектору с помощью метода нарезки массива в Python. В следующем примере кода показано, как разделить каждую строку матрицы на вектор с помощью метода нарезки массива в Python.

import numpy as np

matrix = np.array([[2,2,2],[4,4,4],[6,6,6]])

vector = np.array([2,4,6])

matrix = matrix / vector[:,None]
print(matrix)

[[1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]]

Сначала мы создали матрицу и вектор с помощью функции np.array(). Затем мы добавили новую ось к вектору с помощью метода нарезки. Затем мы разделили матрицу на массив и сохранили результат внутри матрицы.

Разделить матрицу на вектор в Numpy с помощью метода транспонирования в Numpy

Мы также можем транспонировать матрицу, чтобы разделить каждую строку матрицы на каждый элемент вектора. После этого мы можем транспонировать результат, чтобы вернуться к предыдущей ориентации матрицы. См. Следующий пример кода.

import numpy as np

matrix = np.array([[2,2,2],[4,4,4],[6,6,6]])

vector = np.array([2,4,6])

matrix = (matrix.T / vector).T
print(matrix)

Выход:

[[1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]]
 

В приведенном выше коде мы взяли транспонированную матрицу и разделили ее на вектор. После этого мы сделали транспонирование результата и сохранили его внутри матрицы.

Разделить матрицу на вектор в Numpy с помощью функции

Вся идея этого подхода заключается в том, что мы должны сначала преобразовать вектор в 2D-массив. Функцию numpy.reshape() можно использовать для преобразования вектора в двумерный массив, где каждая строка содержит только один элемент. Затем мы можем легко разделить каждую строку матрицы на каждую строку вектора.

import numpy as np

matrix = np.array([[2,2,2],[4,4,4],[6,6,6]])

vector = np.array([2,4,6])

matrix = matrix / vector.reshape((3,1))
print(matrix)

Выход:

[[1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]]

В приведенном выше коде мы преобразовали vector в 2D-массив с помощью функции np.reshape(). После этого мы разделили matrix на vector и сохранили результат внутри matrix.

Разделить вектор значка простой плакаты на стену • плакаты математическое, умножение, деление

становите кадр, перемещая его мышью с нажатой левой кнопкой. Если Вы используете сенсорные устройства, переместите выделенный фрагмент графики.

Плакат:

Разделить вектор значка простой.

Автор: ©

Номер фотографии:

#103388674

другие темы:

математическое, умножение, деление, интерфейс, расчет, просматривать, шар, сайт, формула.

Посмотреть в комнате:

Стандартный плакат

Стандартные плакаты myloview печатаются на высококачественной плакатной бумаге с сатиновой текстурой. Мы печатаем плакаты, используя продвинутую технологию HP Latex, гарантирующую живые, глубокие цвета. Картина готова к размещению на стене непосредственно после распаковки посылки.

Плотность плакатной бумаги: 200 г/м²
Доступные дополнения: Имеется возможность выбора плаката в раме (доступны черные и серебряные алюминиевые рамы) или в антираме
Способ очистки: Материал можно протирать влажной салфеткой

Стандартный плакат в раме

Стандартные плакаты myloview печатаются на высококачественной плакатной бумаге с сатиновой текстурой. Мы печатаем плакаты, используя продвинутую технологию HP Latex, гарантирующую живые, глубокие цвета. Картина готова к размещению на стене непосредственно после распаковки посылки. К плакату прилагается алюминиевая рама черного или серебряного цвета.

Плотность плакатной бумаги: 200 г/м²
В комплекте: алюминиевая рама черного или серебряного цвета на выбор
Способ очистки: Материал можно протирать влажной салфеткой

Стандартный плакат в антираме

Стандартные плакаты myloview печатаются на высококачественной плакатной бумаге с сатиновой текстурой. Мы печатаем плакаты, используя продвинутую технологию HP Latex, гарантирующую живые, глубокие цвета. Картина готова к размещению на стене непосредственно после распаковки К плакату прилагается антирама.

Плотность плакатной бумаги: 200 г/м²
В комплекте: антирама
Способ очистки: Материал можно протирать влажной салфеткой

дальшеСпрятать

Эта кнопка позволяет вращать выбранный размер и заменить ширину с высотой.

Разделить вектор и применить тест Манна Кендалла

У меня длинный вектор информации о финансовых рядах, цена и объем. Я расширяю вектор цены на основе вектора объема, поэтому я, по сути, получаю цену за акцию, и поэтому анализируется только один вектор. Я хотел бы разбить этот вектор на длины 100 (может быть любое число) каждый и применить анализ тенденции Манна-Кендалла для каждого из этих новых векторов. Ниже приведен код, который у меня есть для этого.

Я получаю сообщение об ошибке из теста Mann Kendall, так как этот метод разделения производит выходные данные в виде списка.

Есть ли способ создать новый вектор и запустить тест Mann Kendall для каждого вектора, причем результат каждого теста легко доступен?

library(Kendall)

priceexp 

Образец двух векторов для ввода:

"price","volume"
125,4020
125,1100
125,191
124.8,329
125.5,400
125.6,100
125.7,600
125.2,686
125.2,898
125.2,1416
125.6,150
125.6,500
125.6,200
125.6,41
125.5,400
125.7,300
125.7,14
125.7,1200
125.7,300
125.7,686
125.8,1000
125.8,1700
125.8,144
125.8,225
125.9,500
125.9,446
126,500
126,225
126,500
126,250
126,28
126,340
126,600
125.9,275
125.9,323
125.9,152
125.8,1931
125.9,196
125.9,571
125.8,214
125.8,300
125.7,353
125.8,432
125.8,1356
126,400
126,2133
126,300
126,190
126,376
125.8,186
126,750
126,431
126,1403
126,39
125.9,259
126.1,900
126.1,307
126.1,124
126.1,750
126.2,100
126.2,117
126,200
126,94
126,453
126,149
126,661
126,600
126,549
126,315
126,318
126,297
125.9,300
125.9,454
125.9,370
125.8,114
125.8,1100
125.8,7344
125.8,2656
125.8,333
126,120
125.9,878
125.9,462
125.9,899
125.9,45
125.7,2000
125.7,889
125.7,4611
125.7,2500
125.9,652
125.9,1610
125.9,332
125.9,750
125.9,627
125.9,473
125.9,182
125.9,32
125.9,1305
125.9,98
125.9,330
125.9,373
125.9,636
125.9,1291
125.9,1675
125.9,1029
125.9,314
125.9,400
125.9,699
125.9,300
125.8,300
125.8,7
126,659
125.9,750
126,441
126,2000
126,86
126,300
126,1300
125.9,243
125.9,456
125.9,64
126,400
126,2000
125.9,319
125.9,423
125.8,447
125.8,387
125.8,352
125.8,200
125.8,1123
125.8,379
125.8,300
125.8,600
125.8,61
125.8,340
125.8,200
 
 

Основы начала работы с Unity Shader Глава 4 Точка и вектор Примечания к чтению

Глава 4 Математические основы изучения шейдерно-декартовой системы координат

Примечание. Источник изображения в основном взят из GitHub автора Фенга Леле, спасибо автору за предоставленный доступ.

https://github.com/candycat1992/Unity_Shaders_Book

1. Разница между точкой и вектором

Точка: позиция в n-мерном пространстве без понятия размера и ширины.

Точки в двухмерном пространстве:

Точки в трехмерном пространстве:

Вектор (вектор): своего рода n-мерное пространство, которое содержит модуль (длину) и направлениеНаправленный линейный сегмент(Например, скорость)

Вектор используется для выражения смещения относительно точки, то есть относительной величины.

Метод векторного представления:

1. Модуль вектора относится к длине вектора. Длина вектора может быть любым неотрицательным числом.

2. Направление вектора описывает направление этого вектора в пространстве.

Вектор обычно обозначается стрелкой. Векторная голова: на конце стрелки, векторный хвост: на другом конце

Скаляр: только модуль (длина) без направления (например, расстояния)

Разница между точкой и вектором:

Точка: позиция в пространстве без различия размеров

Вектор: величина с модулем и направлением, но без позиции. Относительная величина (может описывать относительное положение). Если голова и хвост вектора зафиксированы в начале системы координат, вектор совпадает с точкой.

2. Векторные операции

Геометрический смысл векторных операций:

1. Умножение / деление вектора и скаляра: (обратите внимание на операцию вектора и скаляра)

Получите новый вектор разной длины и, возможно, противоположного направления

ВекторРазделить на ненулевой скаляр, Который равен вектору, умноженному на обратную величину этой переменной (Деление = взаимное умножение）

Примечание: векторные и скалярные позиции умножения можно менять местами. Но при делении вы можете разделить только вектор на скаляр, а не скаляр, разделенный на вектор.

В геометрическом смысле:

Умножение: масштабируйте вектор v на | k |

1. Вектор, умноженный на 2: увеличение в 2 раза.

2. Когда k <0, направление вектора также будет обратным.

2. Сложение и вычитание между векторами: (обратите внимание, что здесь вычисление векторов и векторов)

Добавьте или вычтите два вектора, чтобы получить новый вектор той же размерности.

Сложите или вычтите соответствующие компоненты двух векторов

нота:

1. Вектор нельзя складывать или вычитать из скаляра.

2. Векторы не могут работать с векторами разных размеров.

В геометрическом смысле:

В графике векторы часто используются для описания смещения позиции (смещения).

Используйте сложение и вычитание векторов, чтобы вычислить смещение одной точки относительно другой точки.

Правило векторного треугольника:

Дополнение: Начиная с начальной точки, выполните два смещения положения: смещение положения a, а затем смещение положения b, что эквивалентно смещению положения a + b.

Вычитание: используйте векторы a и b для представления смещения относительно начала координат.Если вы хотите вычислить смещение точки a относительно точки b, вычтите b и a, чтобы получить.

3. Модуль вектора:

Модуль — это скаляр, вектор в пространстведлина。

Двумерный вектор: теорема Пифагора a² + b² = c²

Формула для расчета модуля трехмерного вектора:

Геометрически: построить треугольник по любому вектору

4. Единичный вектор (нормализованный вектор, модуль которого равен 1): заботится только о направлении вектора, а не о модуле (длине) вектора.

Модель освещения: Нужно получить нормальное направление вершины и направление источника света, неважно, какой длины вектор, просто вычислите единичный вектор.

Для любого заданного ненулевого вектора процесс преобразования этого вектора в единичный вектор называется нормализацией.

Для любого ненулевого вектора v можно вычислить единичный вектор в том же направлении, что и v.

Нормализовать вектор: разделить вектор на модуль вектора

Нулевой вектор: значение каждого компонента вектора равно 0, например

Нулевой вектор не может быть нормализован (знаменатель не может быть 0 при делении)

Геометрическое значение:

Двумерное пространство: единичный круг, единичный вектор начинается от центра круга и достигает границы круга.

Трехмерное пространство: единичный вектор — это вектор, начинающийся из центра единичного шара и достигающий сферы.

Умножение векторов: скалярное произведение (внутренний продукт) перекрестное произведение (внешнее произведение)

5. Точечное произведение векторов:(Проекция геометрического значения)

Точечное произведение: точка (a, b)

Формула скалярного произведения 1: скалярное произведение двух трехмерных векторов состоит в умножении соответствующих компонентов двух векторов и последующем их суммировании.Конечный результат — скаляр。

Скалярное произведение скалярного произведения удовлетворяет коммутативному закону:

Если есть единичный вектор a и другой вектор b неограниченной длины, если мы хотим получить проекцию b на прямую, параллельную a.Точечное произведение a · b дает проекцию b со знаком в направлении a.

Результатом скалярного произведения можно получить соотношение направлений двух векторов:

Примечание. Значение проекции может быть отрицательным, и знак результата проекции зависит от направления a и b:

1. Когда их направления противоположны (включенный угол больше 90 °), результат скалярного произведения меньше 0

2. Когда их направления перпендикулярны друг другу (включенный угол составляет 90 °), результат скалярного произведения равен 0.

3. Когда их направления одинаковы (включенный угол меньше 90 °), результат скалярного произведения больше 0

Если a не является единичным вектором, тоСкалярное произведение a · b любых двух векторов эквивалентно значению проекции b в направлении a, умноженному на длину a.。

Свойство скалярного произведения 1: результат масштабирования одного из векторов в скалярном произведении эквивалентен масштабированию конечного результата скалярного произведения

Один из операндов скалярного произведения может быть результатом другой операции, результатом умножения вектора и скаляра:

Свойство скалярного произведения 2: скалярное произведение можно комбинировать с векторным сложением и вычитанием

Операнд скалярного произведения может быть результатом сложения или вычитания векторов.

Третье свойство скалярного произведения: результат скалярного произведения вектора и сам является квадратом модуля вектора.

Формула 1 точечного продукта:

Вы можете напрямую использовать скалярное произведение, чтобы найти модуль вектора (квадратный корень из скалярного произведения можно использовать для получения действительного модуля). Примечание. Операция извлечения квадратного корня должна потреблять определенную производительность, если вы просто хотитеСравните величину двух векторов, Вы можете напрямую использовать результат скалярного произведения для сравнения размеров без специального квадратного корня.

Формула скалярного произведения 2:

Скалярное произведение двух векторов может быть выражено как модульное умножение двух векторов с последующим умножением на косинус угла между ними.

Найдите угол между двумя векторами (от 0 ° до 180 °):

6. Перекрестное произведение векторов (внешнее произведение)

Результатом векторного произведения векторов является вектор

Правило вычисления трехмерного векторного векторного произведения: линии разного цвета указывают путь вычисления соответствующей цветовой компоненты в векторе результата вычисления. В качестве примера возьмем красный цвет, то есть первый компонент результирующего вектора, который начинается с компонента y первого вектора, умноженного на компонент z второго вектора, а затем вычитает компонент z первого вектора и второго вектора. произведение y компонентов

Примечание: перекрестное произведение не удовлетворяет коммутативным и ассоциативным законам.

Однако перекрестное произведение удовлетворяет антикоммутативному закону:

Геометрический смысл перекрестного произведения: результат перекрестного произведения двух векторов получит новый вектор, перпендикулярный этим двум векторам одновременно.

Длина a × b равна произведению модуля a и b и умножается на синус угла между ними (в скалярном произведении используется cos)

Формула площади параллелограмма: основание, умноженное на высоту (| b | h)

Если a и b параллельны (направление точно такое же или противоположное), то площадь построенного параллелограмма равна 0, то есть a × b = 0 (нулевой вектор)

Результаты перекрестного произведения, полученные с использованием левой и правой системы координат соответственно: В правой системе координатнаправление a × bПравило правой руки будет использоваться для оценки. Примечание: использование левой или правой системы координат не повлияет на результаты вычислений, только визуальное представление чисел в трехмерном пространстве.(Например, визуализированное изображение будет перевернуто)。

Применение векторного произведения: вычислите вектор, перпендикулярный плоскости и треугольнику. Он используется для определения того, является ли треугольная грань передней или задней.

Как определить, является ли треугольная грань передней или задней:

Используйте перекрестное произведение, чтобы определить, находятся ли три вершины (p1, p2, p3) треугольника по часовой стрелке или против часовой стрелки в текущем пространстве.

1. Левая система координат,

2. p1, p2 и p3 все расположены в плоскости xy (компонент z равен 0),

3. Человеческий глаз расположен в отрицательном направлении оси z и наблюдает в положительном направлении оси z.

Пусть u = p2-p1 и v = p3-p1. Поскольку три точки расположены в плоскости xy, то есть:

Перекрестное произведение вектора:

Выносить приговор

Чтобы определить направление треугольника,

1. Если это значение отрицательное (результат перекрестного произведения отрицательный), порядок трех вершин, которые могут быть получены по правилу левой руки, — по часовой стрелке,

2. Если это значение положительное (результат перекрестного произведения положителен), порядок трех вершин, которые могут быть получены по правилу левой руки, — против часовой стрелки.

Разложение вектора на составляющие | Облепиха

В этой статье мы с вами поговорим о математике. Точнее, о двух математических операциях, производимых над векторами.

Первая из них – это сложение векторов.

Пусть есть два вектора: \vec{a} и \vec{b}.

Для того чтобы сложить их, достаточно соединить начало вектора \vec{a} с концом вектора \vec{b}. Суммой двух этих векторов будет вектор \vec{c}, соединяющий начало вектора \vec{b} с концом вектора \vec{a}.

Сейчас мы сложили векторы при помощи правила треугольника. При этом мы могли перемещать вектор \vec{b}, а не вектор \vec{a}. Их сумма осталась бы такой же.

Теперь поговорим о разложении вектора на составляющие – операции, обратной сложению векторов.

Предположим, что у нас есть вектор \vec{v}.

Обычно вектор раскладывают на компоненты при помощи перпендикулярных друг другу координатных осей. Нарисуем их и разобьем наш вектор на вертикальную и горизонтальную составляющие.

Векторы \vec{v}_x и \vec{v}_y часто называют проекциями вектора \vec{v} на координатные оси. Попробуем найти величины этих проекций. Допустим, модуль вектора \vec{v} равен семи единицам, а угол его наклона к горизонтали составляет сорок пять градусов.

Для того чтобы найти значения проекций, нам понадобятся тригонометрические функции. Стоит отметить, что бежать и повторять всю тригонометрию не нужно, достаточно вспомнить определение синуса и косинуса.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\sin\alpha=\dfrac{a}{c}

Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\cos\alpha=\dfrac{b}{c}

Мы пытаемся найти модули векторов \vec{v}_x и \vec{v}_y. Эти векторы вместе с вектором \vec{v} образуют прямоугольный треугольник. Для этого треугольника справедливы следующие соотношения:

\sin45\degree=\dfrac{v_y}{v}=\dfrac{v_y}{7}

\cos45\degree=\dfrac{v_x}{v}=\dfrac{v_x}{7}

Отсюда получаем:

v_y=7\sin45\degree=7×\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx5

v_x=7\cos45\degree=7×\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx5

Кратко повторим все.

Чтобы сложить два вектора, можно воспользоваться правилом треугольника: соединить начало первого вектора с концом второго, а затем соединить направленным отрезком начало второго вектора с концом первого. Получившийся вектор и будет их суммой.

Чтобы разложить вектор на составляющие, достаточно начертить координатные оси и разделить вектор на компоненты, параллельные этим осям. Найти величины полученных проекций можно при помощи тригонометрических функций (косинуса и синуса).

Можем ли мы разделить два вектора Если это возможно, тогда математика класса 11 CBSE

Полное пошаговое решение:
Мы не можем разделить два вектора.{3}} \] может иметь перекрестное произведение, которое умножает два вектора и дает другой вектор. В других векторных пространствах могут быть другие виды умножения, такие как произведение внешнего вида и другие дурацкие вещи.
Однако ни один из этих видов умножения не позволяет вам делить. Когда мы говорим «деление», мы на самом деле имеем в виду обратную операцию умножения, так что \ [ab = c \] просто означает, что \ [c \] — единственное число со свойством \ [bc = a \]. Ни для одного из упомянутых выше векторных продуктов нельзя определить разделение из-за проблемы уникальности.
Например, если мы попытаемся использовать векторное произведение для определения деления вектора, мы столкнемся с проблемой, что
\ [\ left (1,0,0 \ right) \ times \ left (0,1,0 \ right) = \ влево (0,0,1 \ вправо) \ влево (1,0,0 \ вправо) \ раз \ влево (0,1,0 \ вправо) = \ влево (0,0,1 \ вправо) \] и
\ [\ left (1,0,0 \ right) \ times \ left (1,1,0 \ right) = \ left (0,0,1 \ right) \ left (1,0,0 \ right ) \ times \ left (1,1,0 \ right) = \ left (0,0,1 \ right) \]
Из-за этого мы не можем однозначно определить количество \ [\ left (0,0, 1 \ вправо) \ влево (1,0,0 \ вправо) \].
Следовательно, мы не можем разделить два вектора.

Примечание:
Некоторые ученики могут ошибаться, интерпретируя деление двух векторов как деление коэффициентов их направлений, что совершенно неверно; для векторов такое деление не определено.

кинематика — Можно ли разделить вектор на другой вектор? Как насчет этого: $ a = vdv / dx?

Ваше выражение не имеет смысла для (нетривиальных) векторов, только для скаляров (которые одномерны, a.к.а. «тривиальные» векторы).

Выражение $ a = v \ frac {dv} {dx} $ имеет смысл, только если $ v $ и $ x $ являются функциями от одного измерения к одному. Вы никогда не увидите выражение $ \ vec {a} = \ vec {v} \ frac {d \ vec {v}} {d \ vec {x}} $, потому что такая операция не определена.

В общем, умножение векторов хорошо определено только в определенных обстоятельствах. Существует три часто используемых умножения векторов: скалярное произведение (которое возвращает скаляр), перекрестное произведение (которое возвращает вектор) и тензорное произведение (которое возвращает матрицу).Кроме того, перекрестное произведение имеет смысл только для трехмерных и семимерных векторов (причина этого связана с существованием определенных расширений комплексных чисел, называемых кватернионами и октонионами).

Деление двух векторов, как правило, не определено, потому что невозможно отменить любой из типов умножения векторов. Например, для любого заданного вектора существует бесконечное количество других векторов, скалярное произведение которых с этим вектором будет равно нулю (а именно, все векторы, которые перпендикулярны ему), и аналогично существует бесконечное количество других векторов, пересекающихся с произведение с этим вектором будет равно нулю (а именно, все векторы, параллельные ему).Определение инверсии потребует взаимно однозначного соответствия между входом и выходом этого умножения, поэтому определение деления строго невозможно.

При этом определение дифференциации векторов отличается, а именно потому, что дифференцирование не включает деление двух векторов . Для вектора, который является функцией пространства $ \ vec {v} (\ vec {x}) $, есть четыре способа определить дифференцирование:

• дифференцирование по скалярному параметру $ t $, который определяется для $ n $ -мерного вектора как:

$$ \ frac {d \ vec {v} (\ vec {x}, t)} {dt} = \ left \ langle \ frac {d v_1 (\ vec {x}, t)} {dt}, .n \ frac {\ partial v_i (\ vec {x})} {\ partial x_i} $$

• curl , который определен для трехмерных и семимерных векторов и в трех измерениях в декартовых координатах:

$$ \ nabla \ times \ vec {v} (\ vec {x}) = \ left \ langle \ frac {\ partial v_y (\ vec {x})} {\ partial z} — \ frac {\ partial v_z (\ vec {x})} {\ partial y}, \ frac {\ partial v_z (\ vec {x})} {\ partial x} — \ frac {\ partial v_x (\ vec {x})} { \ partial z}, \ frac {\ partial v_x (\ vec {x})} {\ partial y} — \ frac {\ partial v_y (\ vec {x})} {\ partial x} \ right \ rangle $$

• матрица Якоби $ \ frac {d \ vec {v} (\ vec {x})} {d \ vec {x}} = J $, элементы которой $ J_ {ij} $ задаются как

$$ J_ {ij} = \ frac {\ partial v_i (\ vec {x})} {\ partial x_j} $$

Как видите, ни одно из этих действий не связано с делением вектора на вектор; Фактически, все они включают в себя умножения вектора на другой вектор, а именно вектор операторов частных производных $ \ nabla $. n \ frac {\ partial v_1 (\ vec {x})} {\ partial x_i} \ frac {\ partial x_i} {\ partial t} ,.n \ frac {\ partial v_n (\ vec {x})} {\ partial x_i} v_i \ right \ rangle \\ & = (\ vec {v} \ cdot \ nabla) \ vec {v} \ end {align}

Нет ничего плохого в различении вектора, поскольку оно не требует деления на вектор.

Ньютона — Когда я делю вектор на скаляр, как мы делим направление на скаляр?

Нет, деление вектора смещения на скаляр не изменяет направление , а только величину (это верно для типичных декартовых систем координат с чисто пространственными координатами).

Таким вектором может быть:

$$ \ left (\ begin {matrix} 30 \; \ mathrm {m} \\ 40 \; \ mathrm {m} \ end {matrix} \ right) $

, что означает « на 10 метров вперед (по одной оси) и 20 метров в сторону (по другой оси) ». Если разделить этот вектор на 2 и получить

$ \ left (\ begin {matrix} 30 \; \ mathrm {m} \\ 40 \; \ mathrm {m} \ end {matrix} \ right) / \; 2 = \ left (\ begin {matrix} 15 \; \ mathrm {m} \\ 20 \; \ mathrm {m} \ end {matrix} \ right) $

, то обе координаты , изменяются с одинаковым соотношением (обе уменьшены вдвое) и направление одинаковое.\ circ $$

Divide Matrix by Vector in Numpy

1. Divide Matrix by Vector in Numpy With the Array Slicing Method in Python
2. Divide Matrix by Vector in Numpy With the Transpose Method in Numpy
3. Divide Matrix by Vector in Numpy With the numpy. reshape () Function

В этом руководстве обсуждаются методы деления матрицы на вектор в Numpy.

Разделить матрицу на вектор в Numpy с помощью метода нарезки массива в Python

Матрица — это двумерный массив, а вектор — это просто одномерный массив.Если мы хотим разделить элементы матрицы на элементы вектора в каждой строке, мы должны добавить к вектору новое измерение. Мы можем добавить новое измерение к вектору с помощью метода нарезки массива в Python. В следующем примере кода показано, как разделить каждую строку матрицы на вектор с помощью метода нарезки массива в Python.

  импортировать numpy как np

матрица = np.array ([[2,2,2], [4,4,4], [6,6,6]])

вектор = np.array ([2,4,6])

матрица = матрица / вектор [:, Нет]
печать (матрица)
  

Выход:

  [[1.1. 1.]
 [1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]]
  

Сначала мы создали матрицу и вектор с помощью функции np.array () . Затем мы добавили новую ось к вектору с помощью метода нарезки. Затем мы разделили матрицу на массив и сохранили результат внутри матрицы.

Разделить матрицу на вектор в Numpy с помощью метода транспонирования в Numpy

Мы также можем транспонировать матрицу, чтобы разделить каждую строку матрицы на каждый элемент вектора. После этого мы можем транспонировать результат, чтобы вернуться к предыдущей ориентации матрицы.См. Следующий пример кода.

  импортировать numpy как np

матрица = np.array ([[2,2,2], [4,4,4], [6,6,6]])

вектор = np.array ([2,4,6])

матрица = (matrix.T / вектор) .T
печать (матрица)
  

Выход:

  [[1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]]
  

В приведенном выше коде мы взяли транспонированную матрицу и разделили ее на вектор. После этого мы транспонировали результат и сохранили его в матрице .

Разделить матрицу на вектор в Numpy С помощью

Вся идея этого подхода состоит в том, что мы должны сначала преобразовать вектор в 2D-массив. Функцию numpy.reshape () можно использовать для преобразования вектора в двумерный массив, где каждая строка содержит только один элемент. Затем мы можем легко разделить каждую строку матрицы на каждую строку вектора.

  импортировать numpy как np

матрица = np.array ([[2,2,2], [4,4,4], [6,6,6]])

вектор = np.array ([2,4,6])

матрица = матрица / вектор.reshape ((3,1))
печать (матрица)
  

Выход:

  [[1.1. 1.]
 [1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]]
  

В приведенном выше коде мы преобразовали вектор в двумерный массив с помощью функции np.reshape () . После этого мы разделили матрицу на вектор и сохранили результат внутри матрицы .

Внести вклад

Автоматическая настройка умножения матрицы на вектор «разделяй и властвуй»

Аннотация

Разделяй и властвуй — важная концепция информатики. Он повсеместно используется для упрощения и ускорения программ. Однако его необходимо оптимизировать, например, в отношении настроек параметров, чтобы добиться наилучшей производительности. Проблема сводится к поиску наилучшего варианта реализации для заданного набора требований, например, на каком компьютере выполняется программа.Целью данной диссертации является применение и оценка подхода Ztune [14] по последовательному умножению матрицы на вектор по принципу «разделяй и властвуй». Мы реализовали Ztune для автоматической настройки последовательного умножения матрицы на вектор «разделяй и властвуй» на машинах с различными конфигурациями оборудования и обнаружили, что коды, оптимизированные для Ztune, работают на 1-5% быстрее, чем аналоги, оптимизированные вручную. Мы также сравнили результаты, оптимизированные для Ztune, с другими библиотеками умножения матрицы на вектор, включая Intel Math Kernel Library и OpenBLAS.Так как задача умножения матрицы на вектор относится к BLAS уровня 2, она не так требовательна к вычислениям, как задачи BLAS уровня 3, такие как умножение матрицы на матрицу и вычисление шаблона. В результате измерения при умножении матрицы на вектор более подвержены ошибкам из-за таких факторов, как шум, выравнивание матрицы и состояния кеша, что приводит к неправильному выбору решения для Ztune. Мы изучили несколько вариантов, чтобы получить более точные измерения, и продемонстрировали методы, позволяющие устранить эти проблемы.Наконец, мы применили подход Ztune к умножению матрицы на матрицу, и нам удалось добиться ускорения на 2–85% по сравнению с вручную настроенным кодом. Эта диссертация представляет собой совместную работу с Эканатаном Паламадаем Натараджаном.

Описание

Отдел

Издатель

Массачусетский технологический институт

Ключевые слова

Электротехника и информатика.

Разделить каждую строку матрицы и кадра данных вектором в R (2 примера)

В этом руководстве объясняется, как разделить строки матрицы данных на элементы вектора в R.

Учебник будет содержать следующую информацию:

Начнем прямо сейчас.

Пример 1. Разделение каждой строки матрицы на элементы вектора

В этом примере показано, как разделить каждую строку матрицы на элементы векторного объекта на языке программирования R.

Во-первых, мы должны создать примерную матрицу в R:

 mat <- matrix (1:20, ncol = 4) # Создать пример матрицы
mat # Распечатать пример матрицы 

mat <- matrix (1:20, ncol = 4) # Создать пример матрицы mat # Вывести пример матрицы

Выходные данные предыдущего программного кода R показаны в таблице 1. Мы создали числовую матрицу с пятью строками и четырьмя столбцами.

Далее нам нужно создать векторный объект:

 vec <- c (5, 1, 8, 3) # Создать пример вектора
vec # Распечатать пример вектора
# [1] 5 1 8 3 

vec <- c (5, 1, 8, 3) # Создать пример вектора vec # Распечатать пример вектора # [1] 5 1 8 3

Наш вектор содержит четыре числовых элемента, т.е.е. такой же длины, как и количество столбцов нашей матрицы.

Теперь мы можем использовать функцию t () (t означает транспонирование) и оператор /, чтобы разделить каждую строку нашей матрицы на элементы нашего вектора:

 mat_div <- t (t (mat) / vec) # Разделить строки матрицы на вектор
mat_div # Вывести разделенную матрицу 

mat_div <- t (t (mat) / vec) # Разделить строки матрицы на вектор mat_div # Вывести разделенную матрицу

Выполнив предыдущий синтаксис, мы создали Таблицу 2, т.е.е. новый объект матрицы, содержащий результаты делений.

Пример 2: Разделение каждой строки фрейма данных на элементы вектора

В примере 2 я объясню, как выполнить математическое деление каждой строки фрейма данных на элементы вектора.

Для этого мы можем преобразовать нашу матрицу, созданную в примере 1, в класс data.frame с помощью функции as.data.frame.

 data <- as.data.frame (mat) # Создать пример кадра данных
data # Напечатать пример кадра данных 

data <- as.data.frame (mat) # Создать пример фрейма данных data # Пример печати кадра данных

В таблице 3 показано, что мы создали фрейм данных, содержащий те же значения, что и матрица нашего примера, которую мы использовали в примере 1.

Теперь мы можем использовать в основном тот же код, что и в примере 1, чтобы разделить каждую строку нашего фрейма данных на вектор. Единственная разница в том, что мы используем as.data.frame еще раз, чтобы также вернуть результаты в объекте фрейма данных.

Взгляните на следующий код R и его результат:

 data_div <- as.data.frame (t (t (data) / vec)) # Разделить строки кадра данных на вектор
data_div # Распечатать разделенный кадр данных 

data_div <- as.data.frame (t (t (data) / vec)) # Разделить строки кадра данных на вектор data_div # Распечатать разделенный фрейм данных

Выходные данные предыдущего синтаксиса программирования R показаны в Таблице 4: Фрейм данных, содержащий результаты нашего матричного / векторного деления.

Видео и другие ресурсы

Вам нужны дополнительные пояснения по содержанию этого руководства? Тогда вы можете посмотреть следующее видео с моего канала на YouTube. Я объясняю программные коды R этого руководства в видео:

Видео на YouTube скоро будет добавлено.

Кроме того, вы можете ознакомиться с некоторыми из соответствующих руководств на моем веб-сайте. Я уже выпустил несколько статей о матричных вычислениях.

Резюме: На этом этапе вы должны знать, как использовать функцию t () для деления строк на вектор в R. Если у вас есть дополнительные вопросы, дайте мне знать в разделе комментариев.

векторов в математике: сложение, вычитание, деление и умножение - видео и стенограмма урока

Добавление векторов

Перво-наперво, расслабьтесь! Да, у вас будут векторы, идущие под разными углами друг к другу, но это не значит, что вам придется изучать какую-либо продвинутую тригонометрию.Фактически, для добавления векторов вам вообще не понадобится никакой тригонометрии. Просто начните с хвоста одного из векторов и проведите линию до конца другого. Поскольку векторы показывают свою величину в течение заданного времени, эта новая линия представляет, как рассматриваемый объект будет фактически перемещаться в течение этого заданного времени.

Допустим, у вас есть вектор величиной десять, идущий на северо-восток, и вектор величиной четыре, идущий на север. Перво-наперво нарисуйте первый вектор. Неважно, что вы выберете.Теперь на кончике этого вектора нарисуйте хвост второго. Нарисуйте вектор, как в любом другом месте. Теперь просто проведите линию от хвоста первого вектора до конца второго вектора. Это результат сложения этих двух векторов! Как ни странно, получившийся вектор называется результирующим .

Вычитание векторов

Чтобы вычесть векторы, вы делаете в основном то же самое, но с одной незначительной корректировкой. Вместо того, чтобы рисовать второй вектор как есть, переверните его на 180 градусов, чтобы он полностью изменил направление.Фактически, вы добавляете отрицательную величину к первому вектору, поэтому он будет идти в направлении, противоположном указанному в списке. Оттуда просто выполните сложение векторов, как раньше.

Умножение векторов

Сложение и вычитание векторов довольно просто, но ни то, ни другое не так просто, как умножение вектора на скаляр. Позже по математике вы узнаете, как умножить два вектора вместе, но сейчас нам просто нужно знать, как использовать скаляр. Кстати, что такое скаляр? Скаляр - это просто число, на которое мы умножаем вектор.Например, если бы у нас был вектор, показывающий, что мы движемся на северо-запад со скоростью 30 миль в час, можно было бы использовать скаляр для изменения величины этого вектора. Если бы мы хотели удвоить нашу скорость, мы бы использовали скаляр, равный двум. Просто умножьте скаляр на величину, чтобы получить новую величину величины.

Деление векторов

Но подождите, если вы можете складывать и вычитать векторы, то разве вы не сможете делить их, если можете их умножать? Фактически, вы можете. Однако так же, как вычитание вектора связано с переключением направления, так что это больше похоже на добавление отрицательного числа, деление на вектор на самом деле означает просто умножение на скаляр, который является обратным к числу, на которое нужно разделить.