Site Loader

Содержание

Геометрия Равенство векторов

Материалы к уроку

Конспект урока

.  Равенство векторов

Введем определение равных векторов.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

 

Текст

Равенство векторов

Определение: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

 

Для примера рассмотрим прямоугольный параллелепипед. Векторы АВ и ЕС, отмеченные на параллелепипеде, равны, так как они сонаправлены и их длины равны.

Рисунок параллелепипеда с выделенными векторами АВ и ЕС

 

 

А на этом рисунке векторы АВ и СМ неравны, так как они сонаправлены, но их длины неравны.

Рисунок параллелепипеда с выделенными векторами

 

 

На этом параллелепипеде векторы АН и ОК так же неравны, так как нарушено условие сонаправленности.

Рисунок параллелепипеда с выделенными векторами

 

Если точка М – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки М.

Рисунок вектора с началом в точке М

 

 

 

 

 

 

 

 

Докажем, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Вспомним определения: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. И

Если векторы коллинеарны и при этом их лучи сонаправлены, то эти векторы называются сонаправленными.

Пусть нам дан  вектор а  и точка М. Проведем через вектор а и точку М плоскость. В этой плоскости построим вектор МК, равны вектору а.  Очевидно, что вектор МК – искомый вектор. Из построения следует, что этот вектор единственный с началом в точке М и равный вектору а.

 

Текст

 

 

Решим задачу № 323.

На рисунке изображен тетраэдр АВСD, ребра которого все равны. Точки  М, N, P и Qсередины сторон

  AB, AD, DC, BC. Необходимо выписать все пары равных векторов, изображенных на рисунке, и определить вид четырехугольника

МNPQ.

Текст

Задача № 323

Дано: точки  М, N, P,Qсередины сторон   AB, AD, DC, BC

AB=AD= DC=BC=DD=AC;

Задание: а) выписать пары равных векторов;

б) определить вид четырехугольника

MNHQ .

 Рисунок тетраэдра с серединами сторон из условия задачи

 

 

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. Из условия задачи знаем, что точка Р середина DC,значит, отрезки DP и PC равны. Векторы DP и PC сонаправлены, а, значит, эти векторы равны.

 NP-средняя линия треугольника ADC, значит, NP равно половинеAC и  параллельно  AC;

MQ-средняя линия тр. ABC, MQ равно половине AC и  параллельно AC;

Значит, NP равно MQ, NP параллельно MQ. Из рисунка видим, что они сонаправленны. Векторы PN и QM равны.

 PQ-средняя линия треугольника DВC; PQ равно половине DB и параллельно DB;

NM-средняя линия треугольника ADB, MN равно половине DB и параллельно DB. Делаем вывод, что вектор QP равен вектору MN.

 

Рисунок прежний

Пары равных векторов: MN и QP, PN и QM, DP и PC.

 

Рисунок прежний

 

 

Определим вид четырехугольника МNPQ.

По условию все ребра тетраэдра равны, значит, он правильный и  скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны.

Имеем: NP параллельно  АС и параллельно QM.

 MN параллельно  DB и параллельно QP.

Отрезки MN, QP, PN и QM равны. Учитывая перпендикулярность DB и АС, можно сделать вывод, что MNPQ — квадрат. Задача решена.

 

 

Рисунок прежний

 

 

 

 

 

Комментарий: сценарий хороший)

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

  • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

  • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

  • Повысим успеваемость по школьным предметам

  • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать репетитора

Векторы — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете
  • Что вектор украл у точки? 
  • Какими могут быть коллинеарные векторы?

Понятие вектора

Невероятная эффективность: каждый раз, когда мы двигаем стул, мы строим сразу четыре вектора.

Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.

Записывается вектор по следующим правилам: первая буква – это буква начала вектора, а вторая буква – буква конца вектора.

Что вектор украл у точки?

Практически всё! Это вообще законно?

Существует такой необычный вектор, который называется нулевым. На плоскости он обозначается как точка.

Что такое коллинеарные векторы?

Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных.

По данной картинке \(\vec{AB}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{EF}\) являются коллинеарными векторами

Какими могут быть коллинеарные векторы?

Коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными.

Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.
Противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны.

Важно: нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Как можно записать длину вектора?

Длина вектора – это длина отрезка. Она не зависит от направления вектора и всегда неотрицательна, поэтому записывается в модульных скобках.

|\(\vec{AB}\)| и |\(\vec{DC}\)| — длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\)

Теперь давайте рассмотрим равенство векторов.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
А противоположными называют векторы с равными длинами и противоположными направлениями.

Действия с вектором

Играя в футбол или бильярд, мы не задумываясь совершаем множество действий с векторами. Давай разберем их с точки зрения геометрии. 

Сложение векторов

Сумма векторов – это перемещение.  

Для сложения векторов используют специальные правила, одним из них является правило треугольника.

Правило треугольника

Если начало одного вектора находится в конце другого вектора, тогда можно из начала первого вектора провести вектор в конец второго. Данное перемещение будет суммой векторов.

Что делать, если векторы отложены не друг за другом?

В таком случае можно сделать параллельный перенос. Это означает, что вектор можно сдвигать в пространстве, не меняя его направления и размера.

Существует еще одно правило сложения векторов.

Правило параллелограмма

Если оба вектора отложены от одной точки, тогда можно достроить данный рисунок до параллелограмма и провести вектор по диагонали из начальной точки. Полученный вектор будет суммой двух изначальных векторов.

Для сложения большего количества векторов применяются те же правила. Сначала складываются первый со вторым вектором, далее складывается сумма с третьим вектором и т. д.

Вычитание векторов

Чтобы вычесть из одного вектора другой, нужно привести их разность к сумме одного изначального вектора и одного противоположного вектора. А далее воспользоваться методами сложения.

Умножение на число

Произведением ненулевого вектора \(\vec{a}\) на число k называется такой вектор \(\vec{b}\), длина которого равна |k| * |\(\vec{a}\)|.

При k > 0, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) – сонаправлены.
При k < 0, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) – противоположно направленные.

Например:

Существуют также специальные законы сложения и умножения для векторов, аналогично законам для обычных чисел.

Законы сложения и умножения для векторов:
\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) = \(\vec{b}\) + \(\vec{a}\)
(\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) + \(\vec{c}\) = \(\vec{a}\) + (\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\))
(\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) * k = \(\vec{a}\) * k + \(\vec{b}\) * k
(с + b) * \(\vec{a}\) = \(\vec{a}\) * с + \(\vec{a}\) * b

Фактчек
  • Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.
  • Коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными
  • Векторы могут быть равными и противоположными.
  • Для сложения векторов применяется правило треугольника и правило параллелограмма.
  • Также векторы можно вычитать и умножать на число.
  • Существуют законы сложения и умножения для векторов, подобно законам сложения и умножения для обычных чисел.

Проверь себя

Задание 1.
Какие векторы изображены на картинке?

  1. Сонаправленные 
  2. Противоположно направленные
  3. Равные 
  4. Противоположные

Задание 2.
Какие векторы изображены на картинке?

  1. Сонаправленные 
  2. Противоположно направленные
  3. Равные 
  4. Противоположные

Задание 3.
Выберите верное утверждение для векторов на картинке

  1. Вектора сонаправленные
  2. Вектора равные
  3. Это нулевые вектора
  4. Длины данных векторов равны

Задание 4.
Какие векторы изображены на картинке?

  1. Равные
  2. Противоположно направленные
  3. Сонаправленные
  4. Противоположные

Ответы: 1. – 2; 2. – 1; 3. – 4; 4. – 3

Понятие вектора. Равные и коллинеарные векторы.

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву



Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Ответы на коллоквиум

Понятие вектора. Равные и коллинеарные векторы.

Вектором называется направленный отрезок. Векторы AB и CD называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы AB и CD называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначим | |. Два вектора называютсяравными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Сложение и вычитание векторов.

Суммой векторов (a1;a2) и (b1;b2) называется вектор (a1+b1;a2+b2)

Разностью векторов (a

1;a2) и (b1;b2) называется такой вектор (c1;c2) который в сумме с вектором дает вектор , откуда c1 = a1b1; c2 = a2b2.

Суммойтрех векторов называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

 

Умножение вектора на число.

Произведением вектора (a1;a2) на число λ называется вектор (λa1;λa2).

 

Линейно зависимые и независимые системы векторов.

Скалярным произведением векторов (a1;a2)и (b1;b2) называется число a1b1+a2b2


Скалярное произведение векторов и обозначается .

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

 

 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Два вектора и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.Два ненулевых вектора и коллинеарны, Û когда они пропорциональны т.е. = k , k – скаляр.

 

Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

Три вектора , , называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Три ненулевых вектора , , компланарны, Û когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.

= k + l, k ,l– скаляры.

 

Операции над векторами, заданными своими координатами.

Проекции вектора на координатные оси Ох, Оу, Оz называются координатами вектора. Обозначение: {ax, ay, az}.

Длина вектора:

Расстояние между точками и вычисляется по формуле: .

Действия над векторами в координатной форме.

Даны векторы ={ax, ay, az} и ={bx, by, bz}.

1. ( ± )={ax ± bx, ay ± by, az ± bz}.

2. l ={lax, lay, laz}, где l – скаляр.

 

 

Скалярное произведение и его свойства.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов и

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. = , — угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. × =

2. ( + ) =

3.

4.

5. , где – скаляры.

6. два вектора перпендикулярны (ортогональны), если .

7. тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где и .

Векторное произведение и его свойства.

Определение: Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

-если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е.

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4.Для любых трех векторов справедливо равенство

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :

Векторное произведение в координатной форме.

Если известны координаты векторов и , то их векторное произведение находится по формуле:

.

Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле:

 

Параметрические и каноническое уравнения прямой на плоскости

Векторно-параметрическое уравнение прямой:

где — фиксированная точка, лежащая на прямой;

— направляющий вектор.

В координатах (параметрические уравнения):

Каноническое уравнениепрямой

 

Ответы на коллоквиум

Понятие вектора. Равные и коллинеарные векторы.

Вектором называется направленный отрезок. Векторы AB и CD называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы AB и CD называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначим | |. Два вектора называютсяравными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Сложение и вычитание векторов.

Суммой векторов (a1;a2) и (b1;b2) называется вектор (a1+b1;a2+b2)

Разностью векторов (a1;a2) и (b1;b2) называется такой вектор (c1;c2) который в сумме с вектором дает вектор , откуда c1 = a1b1; c2 = a2b2.

Суммойтрех векторов называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

 

Умножение вектора на число.

Произведением вектора (a1;a2) на число λ называется вектор (λa1;λa2).

 

123Следующая ⇒



Читайте также:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 838; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 176.9.44.166 (0.043 с.)

Урок по теме «Векторы в пространстве»

Цели урока:

  • Обучающая:понятие вектора в курсе планиметрии; изучить векторы в пространстве; определить основные понятия для векторов: направление вектора, абсолютная величина, равенство векторов, нулевой вектор; закрепить новые понятия на практических задачах.
  • Развивающая:показать учащимся широкий спектр возможностей применения векторов; развивать стремление к достижению поставленной цели, способность переноса ЗУН на новые ситуации; совершенствовать пространственное воображение и мышление учащихся; развивать навыки диалоговой культуры.
  • Воспитывающая: воспитать математическую культуру, грамотность; формировать активность, внимательность, наблюдательность.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный в форме беседы, частично-поисковый.

Оборудование к уроку:компьютер, экран, таблица “Векторы в пространстве”,презентация “Векторы в пространстве”.

Литература:

  1. Глейзер Г.И. “История математики в школе: 9-10 кл.” .
  2. Ершова А.П., Голобородько В.В. “Устные проверочные и зачетные работы по геометрии 10-11 класс”.
  3. Журнал “Математика в школе”, N94 1990, № 4 1994, №5 1995, №3 1996.
  4. Малова И.Е. и др. “Методика обучения учащихся математики”.
  5. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы.

План урока:

  1. Организационный этап (подготовительный).
  2. Сообщение темы и целей урока.
  3. Актуализация знаний.
  4. Обобщение и систематизация знаний по теме.
  5. Закрепление полученных знаний.
  6. Постановка домашнего задания.
  7. Подведение итогов.

Ход урока

Организационный этап (подготовительный).

Приветствие учащихся, проверка отсутствующих, а также готовность учащихся к уроку.

Сообщение темы и целей урока.

— Ребята, тема сегодняшнего урока “Векторы в пространстве”(слайд 1).

Мы с вами должны вспомнить понятие вектора на плоскости и перенести полученные ЗУН на рассмотрение векторов в пространстве, а также определить основные понятия для векторов и заполнить таблицу “Векторы в пространстве, которую вы получили перед началом урока вот таком виде (слайд 2).

Название определения Формулировка определения Запись
Вектор    
Нулевой вектор    
Одинаково-направленные (сонаправленные)    
Противоположно-направленные    
Коллинеарные векторы    
Абсолютная величина    
Равные векторы    

3. Актуализация знаний.

— С понятием “вектор” вам приходилось встречаться очень часто. Где?

физике (направление силы, скорости, ускорения и др.)

пример: Для того, чтобы охарактеризовать движение тела в данный момент, недостаточно сказать, что оно движется с какой-то скоростью, надо указать направление его движения. (слайд 3)

— Исходя из данного примера физики, каким образом вы определяли понятие вектора на плоскости?

Учащиеся: Вектор – это направленный отрезок.

— На сегодняшний день, кроме как в физике и геометрии курса планиметриигде вы сталкивались с вектором?

электротехнике (направление электрического тока, магнитной индукции, магнитного потока и т.д.)

— Какие можно назвать векторные величины в пространстве?

Пример: движение заряженных частиц в магнитном поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции В. (слайд 4)

Обобщение и систематизация знаний по теме.

— Как вы думаете, на основе данного примера, что можно сказать о векторе в пространстве? Что такое вектор?

Учащиеся: Вектор – это направленный отрезок. (слайд 5)

— Каким образом изображается вектор на рисунке?

Учащиеся: Стрелкой. (слайд 6)

— Обозначается?

Учащиеся: Либо большими, либо прописными латинскими буквами. (слайд 6)

— Давайте занесем это в таблицу.

Название определения Формулировка определения Запись
Вектор направленный отрезок

— Хорошо, мы с вами определили понятие вектора. Далее мы должны рассмотреть основные понятия векторов в пространстве: направление вектора, абсолютная величина, равенство векторов.

— Но прежде чем рассмотреть данные понятия ответьте на такой вопрос. Как называется вектор, у которого начало совпадает с концом? (Выслушиваются мнения учащихся).

— Итак, вектор у которого начало совпадает с концом вектора называется нулевым. (слайд 7)

Обозначение:

Изображение: в виде точки.

— Занесем данные в таблицу

Название определения Формулировка определения Запись
нулевой вектор вектор, у которого начало совпадает с концом

— Далее перейдем к рассмотрению направления векторов. Итак, вектор-это направленный отрезок, а если у нас имеется два вектора, как могут быть направлены эти векторы? (Выслушиваются мнения учащихся).

— Итак, вспомнили, два вектора, могут быть одинаково- направленными (сонаправленными) и противоположно- направленными. (слайд 8)

— В пространстве также два вектора могут быть одинаково-направленными (сонапрвленными) и противоположно-направленными.

Пример:

                                   

Следовательно, одинаково-направленные (сонаправленные) векторыимеют одно направление, а противоположно-направленные – противоположное направление.(слайд 9)

Запись: в виде стрелок.(слайд 9).

— Отметим это в таблице.

Название определения Формулировка определения Запись
одинаково-направленные(сонаправленные) одинаковое направление
противоположно-направленные противоположное направление

— Далее рассмотрим устно задачу. (слайд10)

Задача. На рисунке определите одинаково-направленные (сонаправленные) и противоположно-направленные векторы.

Решение:

одинаково-направленные

противоположно-направленные

Игровой вопрос.

— Ответьте как называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых?

Учащиеся: коллинеарные

— Итак, коллинеарные векторы— это ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

— Запишем в таблицу определение коллинеарных векторов.

Название определения Формулировка определения Запись
коллинеарные векторы это ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых

одинаково-направ.

противоположно-направ.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково-направленными (сонаправленными) и противоположно-направленными. (слайд 11)

Запись: и

— Итак, с одним основным понятием векторов мы познакомились. Далее вспомним абсолютную величину (или модуль) вектора. Что такое абсолютная величина вектора, вспоминаем. (Выслушиваются мнения учащихся).

Учащиеся: — это длина отрезка, изображающего вектор.

— Посмотрим определение абсолютной величины вектора в пространстве.(слайд 12)

— Что мы видим отличий нет.

Абсолютная величина (модуль)– это длина отрезка, изображающего вектор.

Запись:

— Занесем данное понятие в таблицу.

Название определения Формулировка определения Запись
абсолютная величина (модуль) длина отрезка, изображающего вектор

— Как находится абсолютная величина вектора мы рассмотрим на следующем уроке, когда познакомимся с координатами вектора.

— И перейдем к последнему понятию связанному с вектором — это равные векторы. Итак, какие векторы называются равными? (Выслушиваются мнения учащихся)

(слайд 13)

Равные векторы – это векторы, которые одинаково направлены (сонаправленные ) и имеют равные длины.

Запись:

— Занесем в таблицу определение равных векторов , а также запись равных векторов.

Название определения Формулировка определения Запись
равные векторы векторы, которые сонаправлены и имеют равные длины

— Итак, мы рассмотрели с вами определение вектора в пространстве и все понятия, связанные с ним. Заполнили таблицу, которая вам поможет в дальнейшем при изучении темы и при выполнении домашнего задания:

Название определения Формулировка определения Запись
Вектор направленный отрезок
нулевой вектор вектор, у которого начало совпадает с концом
одинаково-направленные(сонаправленные) одинаковое направление
противоположно-направленные противоположное направление  
коллинеарные векторы это ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых одинаково-направ.

противоположно-направ.

абсолютная величина (модуль) длина отрезка, изображающего вектор
равные векторы векторы, которые сонаправлены и имеют равные длины

5. Закрепление полученных знаний

Задание 2

Выберите один из вариантов ответа “да” или “нет” на следующие вопросы:

1.Можно ли считать, что нулевой вектор может быть коллинеарен любому вектору? (да)

2.Два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправленны? (да)

3. Верно ли, что векторы и противоположно-направленные? (да)

4. Два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены? (нет)

5. Справедливо ли утверждение: Любые два сонаправленных вектора равны? (нет)

6. Согласны ли вы, что любые два противоположно-направленных вектора коллинеарны? (нет)

7. Верно ли, что любые два равных ненулевых вектора коллинеарны? (нет )

Домашнее задание

  • параграф 4, п.35 с.54.
  • таблица, сделанная на уроке.
  • прочитать п.36, разобрать задачи в этом пункте.

Подведение итогов

— Итак, мы с вами изучили тему “Векторы в пространстве”.

Вопросы:

  1. Что нового узнали из этой темы?
  2. Назовите основные понятия, связанные с вектором.

Выставить оценки с комментарием, отметить наиболее отличившихся учащихся.

Равный вектор — определение, формула, угол, примеры, часто задаваемые вопросы Проще говоря, мы можем сказать, что два или более вектора называются равными векторами, если их длина одинакова и все они указывают в одном направлении.

Как правило, мы можем проверить равенство векторов, сравнив их координаты. Если все координаты двух или более векторов одинаковы, то они являются равными векторами. Следовательно, говорят, что вектор A равен вектору B, если они имеют равные координаты.

Далее в этой статье мы рассмотрим понятие вектора равенства, его определение и формулу. Мы также поймем диаграмму равных векторов и угол между равными векторами с помощью некоторых решенных примеров для лучшего понимания концепции.

1. Что такое равный вектор?
2. Равная векторная диаграмма
3. Определение равного вектора
4. Формула равного вектора
5. Равный угол вектора
6. Часто задаваемые вопросы о Equal Vector

Что такое равный вектор?

Вектор A называется вектором, равным вектору B, если они имеют одинаковую величину и направлены в одном направлении. Мы также можем сказать, что два или более вектора равны, если они сонаправлены (направлены в одном направлении), коллинеарны (лежат на одной прямой) и имеют одинаковую величину (имеют одинаковую длину). Это означает, что равные векторы также являются параллельными векторами. Мы также можем проверить вектор на равенство, если он имеет те же компоненты x, y, z, что и компоненты другого вектора. Нет необходимости, чтобы равные векторы начинались с одной и той же точки.

Равная векторная диаграмма

Ниже приведена диаграмма вектора A, равного вектору B. Два вектора равны, но не совпадают с начальными векторами, то есть они не начинаются из одной и той же точки. Следовательно, равные векторы не обязательно должны иметь одинаковые начальные точки. Это параллельные и сонаправленные векторы одинаковой величины. Если у нас есть два вектора с одинаковой величиной, но антипараллельными (действующими в противоположных направлениях), то они не являются равными векторами.

Определение равного вектора

Равные векторы определяются как два или более векторов, имеющих одинаковую величину и одинаковое направление. Это означает, что вектор A называется вектором, равным вектору B, если они имеют одинаковую длину и указывают в одном направлении. Векторы с одинаковыми координатами (с одинаковым знаком) называются равными векторами. Следовательно, мы можем сказать, что равные векторы являются параллельными векторами, но параллельные векторы не могут быть равными векторами.

Формула равного вектора

Формула для проверки равенства векторов: если у нас есть два вектора \(\overrightarrow{A} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\) и \( \overrightarrow{B} = p\hat{i} + q\hat{j} + r\hat{k}\), то векторы A и B равны тогда и только тогда, когда x = p, y = q и z = r, то есть имеют равные координаты. Чтобы понять эту формулу, рассмотрим пример:

Пример: Если два вектора A = 2i + 3j — 8k и B = xi — yj — 8k равны, то найдите значения x и y.

Решение: Поскольку векторы A и B равны, то они должны иметь одинаковые компоненты. Отсюда имеем

2 = x, 3 = -y, -8 = -8

⇒ x = 2 и y = -3

Следовательно, значения x и y равны x = 2 и y = -3 .

Равный угол вектора

Как мы знаем, равные векторы также являются параллельными векторами и угол между параллельными векторами равен нулю радиан. Теперь мы докажем это, используя формулу скалярного произведения векторов. Рассмотрим два равных вектора A и B с координатами (x, y), то есть A = xi + yj и B = xi + yj, и пусть θ — угол между ними. Теперь возьмем скалярное произведение векторов A и B:

А.В = |А| |Б| cos θ

⇒ cos θ = (A.B)/(|A| |B|)

⇒ cos θ = [(xi + yj)(xi + yj)]/[√(x 2 + y 2 )√(x 2 + y 2 )]

⇒ cos θ = [(xi + yj)(xi + yj)]/[√(x 2 + y 2 (x )√ 2 + y 2 )]

⇒ θ = arccos [(x 2 + y 2 )/(x 2 + y в обеих сторонах]

⇒ θ = arccos (1)

⇒ θ = 0

Следовательно, угол между двумя равными векторами равен нулю.

☛ Связанные темы:

  • Радиан
  • Типы векторов
  • Направление вектора

Важные замечания о равных векторах

  • Если два вектора имеют одинаковую величину и одинаковое направление, говорят, что они равны.
  • Угол между равными векторами равен нулю градусов.
  • Вектор A равен вектору B, если они имеют одинаковые координаты.

Часто задаваемые вопросы о Equal Vector

Что такое равный вектор в математике?

Говорят, что вектор X равен другому вектору Y, если они оба имеют одинаковую величину и одинаковое направление. Проще говоря, мы можем сказать, что равные векторы имеют одинаковую длину и указывают в одном направлении.

Что такое формула для равного вектора?

Формула для равных векторов: Два вектора A = xi + yj + zk и B = pi + qj + rk называются равными векторами тогда и только тогда, когда x = p, y = q и z = r.

Когда два вектора считаются равными?

Два или более вектора называются равными векторами, если они имеют одинаковую величину (длину) и действуют в одном направлении.

Чему равен угол между двумя равными векторами?

Угол между двумя равными векторами равен нулю градусов, так как они параллельны и действуют в одном направлении. Кроме того, скалярное произведение двух равных векторов равно 1, следовательно, угол равен нулю.

Что такое скалярное произведение двух равных векторов?

Скалярное произведение двух равных векторов равно 1, так как они имеют одинаковую величину и направление. Поскольку их скалярное произведение равно единице, это означает, что угол между ними равен нулю.

Какое условие должно быть выполнено, чтобы два вектора были равными?

Чтобы два вектора были равны, они должны иметь одинаковую длину и указывать в одном направлении. Другими словами, мы можем сказать, что равные векторы имеют одинаковые координаты.

Как определить, равны ли два вектора?

Чтобы проверить, равны ли два вектора, мы проверяем, одинаковы ли их величины и должны ли они быть сонаправлены, то есть действовать в одном направлении.

Определение, примеры решений и примеры вопросов

Намрата Дас

Мастер по подготовке к экзаменам | Обновлено 14 июня 2022 г.

Равный вектор формируется, когда вектор и другой вектор имеют одинаковую величину и направление. С точки зрения непрофессионала, два или более вектора равны, если их длины одинаковы и все они указывают в одном направлении. В общем случае мы можем определить, являются ли два вектора равны при сравнении их координат. Если координаты двух или более векторов одинаковы, то векторы равны. В результате, если вектор A и вектор B имеют точные координаты, они называются равными векторами.

Содержание

  1. Что такое равный вектор
  2. Диаграмма равных векторов
9 Когда два вектора равны?
  • Как сравнить два вектора?
  • Решаемый пример
  • Вещи, чтобы запомнить
  • Вопросы выборки
  • Ключевой TakeAreways: .


    Что такое равный вектор?

    [Щелкните здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]

    Если вектор A и вектор B имеют одинаковую величину и указывают в одном направлении, они являются равными векторами. Два или более вектора называются равными, если они сонаправлены (направлены в одном направлении), коллинеарны (ложатся на одну прямую) и имеют одинаковую величину (имеют одинаковую длину).

    Это означает, что равные векторы также являются параллельными векторами. Мы также можем проверить вектор на равенство, если он имеет те же компоненты x, y и z, что и другой вектор. Нет необходимости, чтобы равные векторы начинались в одной и той же точке.

    Подробнее: Умножение вектора на скаляр


    Диаграмма равных векторов

    [Нажмите здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]

    На приведенной ниже диаграмме изображены равные вектора A и вектор B. Два вектора равны но не ко-начальный, то есть они не начинаются в одной и той же точке. В результате равные векторы не обязательно должны иметь одинаковые начальные точки. Это параллельные и сонаправленные векторы одинаковой величины. Если два вектора имеют одинаковую величину, но действуют в противоположных направлениях, они не являются равными векторами.

    Диаграмма равных векторов

    Когда два вектора равны?

    [Щелкните здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]

    Когда два или более вектора имеют одинаковую длину и указывают в одном направлении, они равны. Любые два или более вектора, коллинеарные, сонаправленные и имеющие одинаковую величину, равны.

    Математически два вектора A и B равны, если они удовлетворяют следующим условиям:

    A = B (векторы A и B равны)

    Тогда и только тогда, когда

    |А| = |В| (равные величины)

    и

    A ↑↑ B (одно направление)

    Если два вектора равны, их векторы-столбцы также должны быть равны. Другими словами, если координаты двух или более векторов равны, они равны.

    Рассмотрим векторы A = (ax1, ay1) и B = (ax1, ay1) (bx1, by1). Если оба эти вектора равны, то:

    ay1 = by1 и ax1 = bx1.

    Одинаковые векторы могут начинаться и заканчиваться в разных точках, но их величина и ориентация должны быть одинаковыми.

    Например, на изображении ниже все векторы, кроме AB, равны, даже если они не перекрываются. АВ отличается от других тем, что имеет одинаковую величину, но не имеет одинакового направления.

    Два равных вектора

    Как сравнить два вектора?

    [Щелкните здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]

    Сравнение векторов — это, по сути, сравнение величин и направлений векторов.

    Чтобы узнать больше о равенстве векторов, в этом разделе мы сначала сравним векторы в трех разных примерах. Затем мы рассмотрим некоторые практические задачи и их пошаговые решения, чтобы лучше понять предмет.


    Пример решения

    [Нажмите здесь, чтобы просмотреть примеры вопросов]

    Пример 1. Посмотрите на изображение ниже. Чтобы определить, равны ли два вектора, a и b, сравните их.

    Решение: Два вектора считаются равными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину в одном и том же направлении. На рисунке видно, что векторы a и b параллельны и направлены в одном направлении, но их величины не равны. В результате можно сделать вывод, что заданные векторы не равны.

    a ≠ b

    Это означает, что вектор длины 5 м не может быть равен вектору длины 10 м. Две величины разной величины не могут быть равны. Скаляры подчиняются тому же правилу.


    Что следует помнить

    • Два или более вектора с одинаковой величиной и направлением определяются как равные векторы.
    • Это означает, что если вектор A и вектор B имеют одинаковую длину и направлены в одном направлении, говорят, что они являются равными векторами.
    • Равные векторы — это векторы с одинаковыми координатами (и одинаковым знаком). В результате, хотя равные векторы являются параллельными векторами, параллельные векторы могут не быть равными векторами.
    • Математически два вектора A и B равны, если они удовлетворяют следующим условиям:
    • A = B (векторы A и B равны): тогда и только тогда, когда |A| = |В| (равная величина) и A ↑↑ B (одно направление)

    Примеры вопросов

    Вопросы: Посмотрите на изображение ниже. Определите, равны ли два вектора a и b. (5 баллов)

    Ответ: Два вектора считаются равными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину в одном и том же направлении. Этот пример немного сложнее первого. На приведенном выше рисунке показано, что векторы a и b имеют одинаковую величину, но не указывают в одном и том же направлении. В результате можно сделать вывод, что заданные векторы еще раз не равны.

    a ≠ b

    Это эквивалент двух автомобилей, выезжающих из одного и того же места в одно и то же время. Один движется на северо-восток со скоростью 50 миль в час. Другой автомобиль движется на юг со скоростью 50 миль в час. Обе машины проедут 50 миль за один час, но прибудут в разные пункты назначения. Точно так же скорости векторов фигуры a и b не могут быть равны. То есть два вектора одинаковой величины, но противоположных направлений не могут быть равны.

    Вопрос: Взгляните на изображение ниже. Определите, равны ли два вектора a и b. (3 балла)

    Ответ: Это совершенно простой пример. Векторы a и b имеют одинаковую величину, как показано на предыдущем изображении. Оба вектора также указывают в одном направлении. В результате оба вектора эквивалентны.

    a = b

    Эти три примера показывают, что два вектора равны, только если они имеют одинаковую длину и направление.

    Вопрос: Определите величину следующих двух векторов: PQ с начальной точкой O = (2,5) и конечной точкой W = (5,2) и OW с начальной точкой P = (-4, 2) и конечная точка W = (5,2). (3,6). Верно ли, что эти два вектора равны? (5 баллов)

    Ответ:  Формула расстояния может быть использована для расчета величины заданного вектора OW:

    |OW| = √ (5 – 2) 2 + (2 – 5) 2

    Упрощение дает нам:

    |ОВ| = √ (3) 2 + ( – 3) 2

    |OW| = √ 9 + 9

    |OW| = √ 18

    |ОВ| = √ 2*9

    |OW| = √ 2*(3) 2

    |OW| = 3 √ 2 единицы

    В результате величина вектора OW составляет около 4,242 единицы.

    Теперь мы можем вычислить величину заданного вектора PQ:

    |PQ| = √ (3 – ( – 4)) 2 + (6 – 2) 2

    Упрощение дает нам:

    |PQ| = √ (7) 2 + (4) 2

    |PQ| = √ 49 + 16

    |PQ| = √ 65 единиц

    В результате величина вектора PQ составляет примерно 8,062 единицы. Эти два вектора не равны, потому что ни их величины, ни их направления не совпадают.

    Читайте также:

    Читайте также:

    равные векторы — Страница 2?k=equal%20vectors&s_name=алгебра — Домашнее задание Помощь Видео

    • Начните бесплатную пробную версию
    • Кто мы
    • Бесплатные видео
    • Лучшие учителя
    • Темы охвата
    • Членство
    • О
    • Математика
    • Наука
    • Английский
    • Подготовка к тесту
    • Колледж
    • Войти
    • Начните бесплатный пробный период
  • Все
  • 24 Предварительный расчет
  • 6 Физика
  • 1 Алгебра
  • 1 Алгебра 2
  • 1 Геометрия
  • 1 Предварительная алгебра
  • 1 Тригонометрия
    • Направление вектора
      Физика Линейное и снарядное движение

      Как предсказать направление вектора.

      направление векторавеличина скорости

    • Векторы скорости
      Физика Линейное и снарядное движение

      Как выразить скорость в виде вектора.

      скоростьвекторывеличина

    • Компоненты векторов
      Физика Линейное и снарядное движение

      Понимание компонентов векторов.

      вектороввеличинанаправление

    • единичных векторов
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как алгебраически выразить вектор через единичные векторы i и j.

      единицавекторыдлинавеличинаединичные векторыsi и jвекторные сложенияформа компонента скалярного умножения

    • Векторы и плоскости
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как найти вектор нормали (перпендикуляра) к плоскости по уравнению плоскости.

      вектор нормаливектор положенияперпендикулярные векторы плоскостиуравнение плоскости

    • Векторное уравнение линии
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как написать векторное уравнение прямой.

      вектор положениявектор направлениявекторные сложенияскалярный множественный векторлиния уравнения

    • Сложение и скалярное умножение векторов
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как вычислить сумму двух векторов или произведение скаляра и вектора.

      Компоненты вектораГоризонтальная составляющаяВертикальная составляющаяФорма компонентасложение векторовумножение нулевых векторов на скаляр

    • Угол между векторами
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как вычислить угол между двумя векторами.

      Скалярное произведениеугол между векторами векторов положения

    • Добавление векторов
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как геометрически складывать векторы двумя способами.

      DisplacementVector AddionHead to Tail MethodПараллелограммный метод

    • Векторные величины — скалярные величины
      Физика Линейное и снарядное движение

      Понимание различий между векторами и скалярными величинами.

      векторовскалярные величинывеличина направление

    • Перекрестное произведение векторов
      Предварительный расчет Системы линейных уравнений и матриц

      Как вычислить перекрестное произведение двух трехмерных векторов.

      единичные векторыкомпонентыдетерминант перекрестного произведения

    • Скалярное произведение векторов
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как вычислить скалярное произведение двух векторов.

      векторные компонентыкомпонентная форматочечные произведенияскалярное произведение

    • Алгебраическое представление векторов
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как алгебраически выразить вектор положения в компонентной форме и как вычислить его величину.

      позициявекторкомпоненты векторагоризонтальный компонентвертикальный компонентформа компонентавеличинадлина

    • Векторные операции в 3D
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как выполнять векторные операции, такие как сложение, скалярное умножение, скалярное произведение и нахождение величины в трех измерениях.

      векторовкомпоненты вектордополненияскалярное умножениеточечный продуктскалярное произведениевеличинадлинатри измерения

    • Геометрическое представление векторов
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как понять, что такое векторы и как их можно представить геометрически.

      ВеличинаНаправлениеСкалярныйВекторНаправленный сегмент линииНачальная точкаКонечная точка

    • Компоненты Силы
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как определить компоненты вектора.

      компоненты силрезультирующий векторсложениеперпендикулярный

    • линии в 3D
      Предварительный расчет Векторы и параметрические уравнения

      Как найти векторное и параметрическое уравнения прямой по двум точкам на прямой.

      векторное уравнение линииposition vectorsdirection vectorпараметрические уравнения

    • Площадь с перекрестным произведением
      Предварительный расчет Системы линейных уравнений и матриц

      Как показать, что величина перекрестного произведения двух векторов дает площадь параллелограмма, определяемую этими двумя векторами.

      перекрестное произведениевеличина векторовточечный продуктугол между векторамиплощадь параллелограмм

    • Решение экспоненциальных уравнений с одним и тем же основанием
      Алгебра 2 Обратные, экспоненциальные и логарифмические функции

      Как решить показательное уравнение с одинаковыми основаниями.

      решение экспоненциальных уравнений с основанием равно

    • Решение экспоненциальных уравнений с одним и тем же основанием
      Предварительный расчет Экспоненциальные и логарифмические функции

      Как решить показательное уравнение с одинаковыми основаниями.

      решение экспоненциальных уравнений с основанием равно

    Вопросы? Обратная связь? работает на программном обеспечении для живого чата Olark

    20.

    3 Свойства векторов | Векторы и скаляры

    Предыдущий

    20.2 Графическое представление векторов

    Следующий

    20.4 Методы сложения векторов

    20.3 Свойства векторов (ESAGN)

    Векторы — это математические объекты, и сейчас мы изучим некоторые их математические свойства.

    Если два вектора имеют одинаковую величину (размер) и одинаковое направление, то мы называем их равными каждому Другой. Например, если у нас есть две силы, \(\vec{F_{1}} = \text{20}\text{ N}\) в направлении вверх и \(\vec{F_{2}} = \text{20}\text{ N}\) в восходящем направлении , то мы можем сказать, что \(\vec{F_{1}} = \vec{F_{2}}\).

    Равенство векторов

    Два вектора равны, если они имеют такая же величина и та же самая направление.

    Точно так же, как скаляры, которые могут принимать положительные или отрицательные значения, векторы также могут быть положительными или отрицательными. А отрицательный вектор — это вектор, который указывает в направлении , противоположном , к эталонному положительному . направление . Например, если в конкретной ситуации мы определяем восходящее направление как опорное положительное направление, то сила \(\vec{F_{1}} = \text{30}\text{ N}\) вниз будет отрицательным вектор и также может быть записан как \(\vec{F_{1}} = -\text{30}\text{N}\). В этом случае отрицательный знак (\(-\)) указывает, что направление \(\vec{F_{1}}\) противоположно направлению эталонного положительного направления.

    Отрицательный вектор

    Отрицательный вектор — это вектор, который имеет направление, противоположное направлению опорного положительного направления.

    Как и скаляры, векторы можно складывать и вычитать. Далее мы рассмотрим, как это сделать.

    временный текст

    Сложение и вычитание векторов (ЭСАГО)

    Добавление векторов

    При добавлении векторов нужно учитывать обе их величины и направления.

    Например, представьте себе следующее. Вы с другом пытаетесь передвинуть тяжелую коробку. Вы стоите за ним и толкнуть вперед с силой \(\vec{{F}_{1}}\) и ваш друг стоит впереди и тянет его к себе с силой сила \(\vec{{F}_{2}}\). Две силы находятся в то же направление (т.е. вперед) и так общее сила, действующая на коробку:

    Очень легко понять концепцию сложения векторов с помощью действия, использующего смещения вектора.

    Смещение — это вектор, описывающий изменение положения объекта. Это вектор, который указывает из начального положения в конечное положение.

    Добавление векторов

    Материалы

    малярная лента

    Метод

    Наклейте полосу малярного скотча горизонтально на пол. Это будет вашей отправной точкой.

    Задача 1 :

    Сделать \(\text{2}\) шагов вперед. Используйте кусок малярной ленты, чтобы отметить конечную точку и обозначьте его A . Затем сделайте еще \(\text{3}\) шагов вперед. Использовать маскировку лента, чтобы отметить вашу конечную позицию как Б . Убедитесь, что вы пытаетесь сохранить свои шаги все равно длина!

    Задача 2 :

    Вернитесь на исходную линию. Теперь сделайте \(\text{3}\) шагов вперед. Используйте кусок малярной ленты, чтобы отметить вашей конечной точки и обозначьте ее B . Затем сделайте еще \(\text{2}\) шагов вперед и используйте новый кусок клейкой ленты, чтобы обозначить ваше конечное положение как A .

    Обсуждение

    Что вы заметили?

    1. В Задаче 1 первые \(\text{2}\) шаги вперед представляют собой вектор смещения, а вторые \(\text{3}\) шагов вперед также образуют вектор смещения. Если бы мы не остановились после первого \(\text{2}\) шагов, всего мы сделали бы \(\text{5}\) шагов в прямом направлении. Поэтому, если мы сложим векторы смещения для \(\text{2}\) шагов и \(\text{3}\) шагов, мы должны получить всего \(\text{5}\) шагов в прямом направлении.

    2. Не имеет значения, делаете ли вы \(\text{3}\) шагов вперед, а затем \(\text{2}\) шагов вперед, или два шага, за которыми следует еще один \(\text{3}\) шаг вперед. Ваша конечная позиция такая же! порядок добавления значения не имеет!

    Добавление вектора можно изобразить графически, основываясь на описанной выше деятельности. Нарисуйте вектор для первых двух шагов вперед, за которым следует вектор со следующими тремя шагами вперед.

    Добавляем второй вектор в конец первого вектора, так как это то место, где мы сейчас находимся после первого вектор подействовал. Вектор от хвоста первого вектора (начальная точка) к началу второго вектор (конечная точка) является суммой векторов.

    Как вы сами можете убедиться, порядок, в котором вы добавляете векторы, не имеет значения. В приведенном выше примере, если вы решили сначала сделать \(\text{3}\) шагов вперед, а затем еще \(\text{2}\) шагов вперед, конечный результат все равно будет \(\text{5}\) шагов вперед.

    Вычитание векторов

    Вернемся к проблеме с тяжелым ящиком, который вы и ваш друг пытаетесь передвинуть. если бы ты не сначала общайтесь должным образом, вы оба можете подумать, что вы должны двигаться в своем собственном направлении! Представить вас встаньте за ящик и потяните его на себя с силой \(\vec{{F}_{1}}\) а ваш друг стоит у перед ящиком и тянет его к себе с силой \(\vec{{F}_{2}}\). В этом случае две силы находятся в против направления . Если мы определим направление, в котором движется ваш друг, как положительное , то сила, которую вы прилагаете, должна быть минус , поскольку она действует в противоположном направлении. Мы можем написать общая сила, действующая на коробку, как сумма отдельных сил:

    То, что вы здесь сделали, это на самом деле вычитание двух векторов! Это то же самое, что сложить два вектора, которые имеют противоположные направления.

    Как и раньше, мы можем красиво проиллюстрировать вычитание векторов с помощью векторов смещения. Если вы возьмете \(\text{5}\) шагов вперед, а затем вычтите \(\text{3}\) шагов вперед, у вас останется только два шага вперед:

    Что вы физически сделали, чтобы вычесть \(\text{3}\) шагов? Сначала вы сделали \(\text{5}\) шагов вперед, но затем вы сделали \(\text{3}\) шагов назад , чтобы приземлиться назад всего на \(\text{2}\) шагов вперед. Что смещение назад представлено стрелкой, указывающей влево (назад) длиной \(\text{3}\). Конечным результатом сложения этих двух векторов является \(\text{2}\) шагов вперед:

    Таким образом, вычитание вектора из другого равносильно добавлению вектора в противоположном направлении (т.е. вычитание \(\text{3}\) шагов вперед аналогично добавлению \(\text{3}\) шагов назад).

    Вычитание одного вектора из другого равносильно добавлению вектора в противоположном направлении.

    Результирующий вектор

    Окончательная величина, которую вы получите при сложении или вычитании векторов, называется результирующей . вектор . Другими словами, отдельные векторы можно заменить равнодействующими – общими эффект тот же.

    Результирующий вектор

    Результирующий вектор является единственным вектором, эффект которого такой же, как у отдельных векторов, действующих вместе.

    Мы можем проиллюстрировать концепцию результирующего вектора, рассмотрев наши две ситуации с использованием сил для передвинуть тяжелую коробку. В первом случае (слева) вы и ваш друг применяете силы в одном и том же направлении. направление. Результирующая сила будет суммой двух сил, приложенных в этом направлении. Во-вторых случае (справа) силы приложены в противоположных направлениях. Результирующий вектор снова будет суммой из двух ваших приложенных сил, однако после выбора положительного направления одна сила будет положительной, а другое будет отрицательным, а знак результирующей силы будет зависеть только от того, какое направление вы выбрали в качестве положительный. Для наглядности посмотрите на схемы ниже.

    Силы приложены в одном направлении

    (положительное направление вправо)

    Силы приложены в противоположных направлениях

    (положительное направление вправо)

    Существует специальное имя для вектора, который имеет ту же величину, что и результирующий вектор, но противоположное направление: уравновешенное . Если вы добавите результирующий вектор и уравновешивающих векторов вместе, ответ всегда равен нулю, потому что уравновешивающий аннулирует результирующий out.

    Эквилибрант

    Равновесным является вектор, имеющий ту же величину , но направление, противоположное результирующий вектор.

    Если вы посмотрите на изображения тяжелого ящика ранее, уравновешивающие силы для двух ситуаций будут выглядеть так:

    Предыдущий

    20. 2 Графическое представление векторов

    Оглавление

    Следующий

    20.4 Методы сложения векторов

    900+ Равные векторы без лицензионных платежей

    900+ Равные векторы без лицензионных платежей — GoGraph

    601 — 750 из 21 193 изображений

    Равные стоковые фото Равные стоковые иллюстрации

    Переключить субтитры

    Макет

    GridTitles

    Результаты

    5075100150250

    • Математические иконки

    • Баланс, разум и эмоции

    • Больше, меньше, равно симпатичному школьному автобусу и грузовику.

    • Приблизительно равный символ. Знак. Значок серый фон

    • Векторный баннер социального равенства детей-инвалидов

    • Найди одинаковые картинки Детская развивающая игра

    • Бумажные человечки

    • Облако слов о равных правах

    • Гендерное равенство заработной платы сотрудников

    • Баннер «Все жизни имеют значение»

    • Перетягивание каната за канат, тянущий деловых людей, концепция

    • Gay Man 2 Wedding Icon Set в черном цвете

    • Вектор контура значка эквалайзера. Равный баланс

    • Старинные весы правосудия

    • Больше, меньше, равносильно кухонным прихваткам. Математическое сравнение.

    • Голоса

    • Плакат Black Lives Matter

    • Расчет Образовательная книжка-раскраска

    • Дополнение к книжке-раскраске по образовательной игре

    • Весы правосудия

    • Дизайн иллюстрации графика потерь

    • Значок весов

    • Математика

    • Вектор шаблона баланса трудовой жизни

    • Облако слов честной игры

    • Компас равной оплаты

    • Лоскутный фон

    • Книжка-раскраска «Расчеты и вычисления»

    • Значок «Весы правосудия», логотип юридической фирмы

    • Знак равенства с древним рисунком. Векторная иллюстрация

    • Знак «Весы правосудия»

    • Больше, меньше, равно милому богомолу и кузнечику.

    • Сравнение чисел с мультяшной рождественской елкой.

    • Равенство

    • Векторная икона «Шкала правосудия»

    • Математический символ, нарисованный от руки

    • Полы Мужчины Равные Женские Символы Стиль Линии Значок

    • Детская развивающая игра. Найдите две одинаковые фотографии крысы

    • Детская развивающая игра. Найдите одинаковые картинки. Найдите два одинаковых кусочка пиццы

    • Вектор символа феминизма. Сила феминизма. ЛГБТ общество. Женская икона. Феминистская рука. Права. Женский протест будущего. Женщина сопротивляется. Изолированная иллюстрация

    • Цитата о фотографии и хорошие пожелания для полиграфического дизайна

    • Найди одинаковые картинки Детская развивающая игра. Тема животных

    • Больше, меньше, равно с чайниками и кружками.

    • Рабочий лист по математике с имбирным печеньем. Более менее.

    • Математические символы на доске

    • Детская развивающая игра «Найди одинаковые картинки»

    • Математические каракули

    • Большое равно маленькому концепту идеи

    • Изолированный вектор весов правосудия

    • Вектор иконы «Сияющий блеск». Иллюстрация изолированного контурного символа

    • Найдите одинаковые картинки

    • Иллюстрация силы девушки

    • Векторный узор с математическими формулами

    • Больше, меньше, равноценно милым новогодним шарам. Математическое сравнение.

    • Значок гендерного равенства

    • Красочная векторная иллюстрация Дня независимости США

    • Спортивное питание Barbell Plus равнозначно спортсмену. Математика фитнеса. Бодибилдинг Формула

    • Значок баланса

    • Облако слов о равных правах

    • Легкий, тяжелый или аналогичный. Вырежьте картинки ниже и приклейте к нужной коробке.

    • Signs Life Balance Выбор работы

    • Вектор икон гей-лесбиянок

    • Мультфильм бизнесмена, вычисляющего ошибку на настенной доске

    • Разговор Ругань Конфликт

    • Плакат «Остановим расизм», Beckdrop, Bann

    • Больше, меньше, равно с милыми пасхальными ягнятами и кроликами.

    • Символ Весов Справедливости. Векторный молоток закона — пиктограмма молотка.

    • Равный алфавитный шрифт. Изометрические буквы, цифры и знаки препинания. Прописные и строчные буквы.

    • Велосипед в результате геометрических фигур

    • Весы гендерного равенства и справедливости в отношении полов

    • Calculation Educational Worksheet Color Book Page

    • Мультяшная задача «больше меньше или равно» для детей

    • Микроскоп и бактерии

    • Весы правосудия юридической фирмы

    • Геи и гетеросексуальные свадебные пары

    • Дух командной работы делового человека — векторная иллюстрация — Eps10

    • Английский алфавит с персонажами людей.

    • Буддийский символ Изолированная ступа примирения

    • Знаки и символы различных математических операций

    • Набор символов равенства

    • Таблица сложения по математике от 1 до 10

    • Молодая чернокожая афроамериканка с инвалидностью в инвалидной коляске едет по подиуму на показе мод. Инвалид — топ-модель в модном доме. Векторная плоская иллюстрация

    • Образовательная логическая игра для детей дошкольного возраста. Выберите правильный ответ. Больше, меньше или равно векторной иллюстрации

    • Вектор математических символов

    • Плохая математика Мультфильм

    • Знамя равных прав

    • Веб-шаблон «Каждый женский день за равное разнообразие»

    • Найди одинаковые картинки Детская развивающая игра. Тема животных

    • Приблизительно равный символ. Знак. Значок серый фон

    • Дополнительная развивающая игра для детей

    • Мы полностью равны Текст.

    • Облако слов о равных правах

    • Дополнительная развивающая игра-раскраска с животными

    • Облако Power Word

    • Значок «Равная оплата за равный труд», вектор, связанный с феминизмом

    • Образовательная задача на вычитание с детской книжкой-раскраской, страница

    • Номер 0 Элемент шаблона дизайна знака. Черный значок на прозрачном

    • Значок символа Wi-Fi — красный простой округлый, изолированный — вектор

    • Задача найти параллелограмм короткой стороны

    • Больше, меньше, равно с садовыми перчатками и ботинками.

    • Руки подняты вверх. Концепция добровольчества, многонациональности, равенства

    • Дополнительное образовательное задание по математике с комическими животными

    • Математическая игра на вычитание с милыми животными

    • Черная жизнь имеет значение

    • Больше, меньше, равно рождественскому остролисту и венку. Математическое сравнение.

    • Супер женщина

    • Бесшовный узор с людьми разных рас и национальностей, векторные иллюстрации. Плоские портреты улыбающихся мужчин и женщин, разнообразие международного человеческого общества

    • Изометрические бизнесмен и деловая женщина равны по шкале

    • Дополнение Обучающая игра-раскраска

    • Биссектриса угла

    • Женский день 8 марта Открытка с танцующей женщиной

    • Знак баланса весов. черный значок с плоским путем тени на розовом фоне.

    • Черный значок равенства на белом фоне, эквивалентный вектор

    • Больше, меньше, равно с мультяшными красочными цветочными горшками.

    • Гей-пара целует векторную иллюстрацию

    • Облако слов о равных правах

    • Математическая бесшовная модель

    • Согласиться и ввести резиновый штамп

    • Весы

    • Математический символ равный рисованной акварельной векторной иллюстрации

    • Деловая женщина Супергерой Теневой мультяшный талисман

    • Wfh — Концепция сокращения работы на дому

    • Две руки отказываются от радужных флагов — Символ гей-прайда — Векторная иллюстрация, нарисованная вручную для события 9 месяца гордости0005

    • Детская развивающая игра «Найди одинаковые картинки»

    • Гендерное равенство заработной платы сотрудников

    • Значок правосудия

    • Облако слов о равных правах

    • Концепция любви, дома и денег — равное счастье

    • Женский день 8 марта Веб-баннер разнообразных девушек

    • Вектор диаграммы равных трех кругов

    • Числа

    • Кухонные весы Кухонные весы Равные Неравные

    • Больше, меньше, равно с милыми пасхальными кроликами.

    • Нейтральность сети компаса

    • Задача найти аккорд

    • Расчет Образовательная книжка-раскраска

    • Формула Дудл

    • Функция векторной графики

    • Крупный план

    • Много маленьких идей равняется большой идее

    • Дискриминация на рабочем месте Абстрактная концепция векторной иллюстрации.

    • Концепция лампы

    • Радужный фон гордости.

    • Весы для измерения силы и слабости, концепция равенства

    • Набор иконок туалета, включая пиктограмму гендерно-нейтральной иконки

    • Изометрический плоский векторный шаблон целевой страницы гендерного равенства.

    • Вычитание Образовательная книжка-раскраска для детей

    • Гендерное равенство

    • Бесшовный фон с математическими формулами на доске

    • Значок здания суда

    • Следующая страница

    Гарантия соответствия

    Ваше удовлетворение очень важно для нас. Если вы не удовлетворены по какой-либо причине, мы предлагаем 100% гарантия возврата денег в течение 30 дней после покупки.

    Введение в векторы — нулевые векторы, единичные векторы, коинициальные, коллинеарные, равные векторы, сложение и вычитание векторов, скалярное и векторное умножение

    The Learning Point‎ > ‎Математика‎ > ‎


    Наши линейные учебные пособия по алгебре: на a a a Glance

    ———— XXXX ——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————-1578

    AN Введение в векторы
    Вот быстрый взгляд на темы, которые будут рассмотрены в этом учебном пособии.


    Представляем вектор; Конечная точка, векторы положения, направляющие косинусы


    • Величина, имеющая не только направление, но и модуль, называется вектором.
    • Точка A, из которой начинается вектор, называется его начальной точкой, а точка B, где он заканчивается, называется его конечной точкой. Расстояние между начальной и конечной точками вектора называется величиной (или длиной) вектора и обозначается как | |, или ||, или а. Стрелка указывает направление вектора.
    • Вектор положения: рассмотрим точку P в пространстве, имеющую координаты (x, y, z) относительно начала координат O (0, 0, 0). Тогда вектор, имеющий О и Р в качестве начальной и конечной точек соответственно, называется вектором положения точки Р относительно О.

    • Направление косинусов: рассмотрим вектор положения (или ) точки P(x, y, z) . Углы, образуемые вектором с положительными направлениями осей x, y и z соответственно, называются его направляющими углами. Значения косинусов этих углов, т. е. cos, cos и cos, называются направляющими косинусами вектора и обычно обозначаются l, m и n соответственно.

    Типы векторов: нулевой вектор, единичный вектор, ко-начальные векторы, ко-начальные векторы, коллинеарные векторы, равные векторы, отрицательный вектор
    Нулевой вектор Вектор, начальная и конечная точки которого совпадают, называется нулевым вектором (или нулевым вектором). Нулевому вектору нельзя присвоить определенное направление, так как он имеет нулевую величину. Или, наоборот,
    может считаться имеющим любое направление. Векторы представляют нулевой вектор,
    Единичный вектор Вектор, величина которого равна единице (т. е. 1 единица), называется единичным вектором.
    Коначальные векторы Два или более векторов, имеющих одну и ту же начальную точку, называются коначальными векторами.
    Коллинеарные векторы Два или более вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной и той же прямой независимо от их величины и направления.
    Равные векторы Два вектора и называются равными, если они имеют одинаковую величину и направление независимо от положения их начальных точек.
    Отрицательное вектора Вектор, величина которого такая же, как у данного вектора (скажем, ), но направление противоположно этому, называется отрицательным для данного вектора. Например,
    вектор является отрицательным вектором.

               

     

    Скалярное (или точечное) произведение двух векторов :

    a . б = | а || б | cosθ,  где θ – угол между a и b , 0 ≤θ≤π

     

    Наблюдения относительно скалярных произведений

    1. a . б — действительное число.

    2. Пусть a  и  b – два ненулевых вектора, тогда a . b = 0 тогда и только тогда, когда a и b перпендикулярны друг другу. то есть

    а . b = 0⇔ a ⊥ b

    3. Если  θ= 0, то a . б = | а || б |

    В частности, . а = | a |2, так как θ в данном случае равно 0.

    4. Если  θ= π, то a . б = — | а || б |

    В частности, a .(- a ) = — | a |2, так как θ в этом случае равно π.

    5. С учетом наблюдений 2 и 3 для взаимно перпендикулярных ортов i, j и k имеем угол между двумя ненулевыми векторами a и b равен

    cosθ = а . б | а || б | , θ = cos-1( a . b | a || b |)

    7. Скалярное произведение коммутативно. то есть

    а . б = б . a

    Умножение вектора на скаляр 

    Пусть a – заданный вектор, а λ – скаляр. Тогда произведение вектора a на скаляр λ, обозначаемое как λ a , называется произведением вектора a на скаляр λ. Обратите внимание, что λ a также является вектором, коллинеарным вектору a . Вектор λ a  имеет такое же (или противоположное) направление, что и вектор a  , в зависимости от того, является ли значение λ положительным (или отрицательным). Кроме того, величина вектора λ a равна | λ | умноженное на величину вектора a  , т. е.

    | λ а   | = | λ | | а   |

    Векторное произведение :

    Векторное произведение двух ненулевых векторов a и b обозначается a x b и определяется как

    a x b = | а || б | sin θ n ,

    где θ — угол между a и b, 0 ≤ θ ≤ π, а n — единичный вектор, перпендикулярный к a и b, так что a, b и n образуют правую систему ( как показано на соседнем рисунке). т. е. правовинтовая система, вращаемая от a к b, движется в направлении n.

    Скалярное тройное произведение

    Пусть a ,  b и  c — три вектора. Затем скаляр ( a x b ). c называется скалярным тройным произведением  a ,  b и  c и обозначается [a    b    c ]

    ∴ [a    b    c ] = (a x b ). c

    Если a ,  b и  c представляют три смежных ребра параллелепипеда, то его объем = [a    b    c ]

    Свойства скалярных тройных произведений

    Если a ,  b и  c циклически переставлять, значение скалярного тройного произведения остается неизменным.

    [a    b    c ] = [ b    c    a ] = [c    a    b ]

    Положение точки и креста можно поменять местами при условии, что циклический порядок векторов остается прежним

    a .( b x  c ) = c .( а х б ) = ( а х б ). c

    Значение скалярного тройного произведения остается прежним по величине, но меняет знак, если меняется циклический порядок a ,  b и  c.

    Скалярное тройное произведение трех векторов равно нулю, если любые два из заданных векторов равны.

    Для любых трех векторов a , b и c и скаляра λ имеем

    [λ a    b    c ] = λ[ a    b    c ]

    Скалярное тройное произведение трех векторов равно нулю, если векторы параллельны или коллинеарны.

    Тройное произведение векторов : 

    Пусть a ,  b и  c — три вектора. Тогда вектор ( a x b )x  c называется векторным тройным произведением a , b и  c : a x b )x  c лежит в одной плоскости с a  и  b и перпендикулярно c .

    Кроме того, тройные произведения векторов не являются ассоциативными.


    Мы также рассмотрим сложение и вычитание векторов, скалярное и векторное умножение векторов, векторное тройное произведение.

    Полное руководство с примерами, проблемами и решениями:

    Если вы хотите узнать больше о векторах, вот полный набор руководств, которые у нас есть:

    и определения: введение в векторы, вектор, скаляр и тройное произведение)
    Знакомство с вектором, векторами положения, направляющими косинусами, различными типами векторов, сложением и вычитанием векторов. Векторные и скалярные произведения. Скалярное тройное произведение и векторное тройное произведение и их свойства. Компоненты и проекции векторов.
    Векторы 1b (Решенные наборы задач: Введение в векторы; Векторные, скалярные и тройные произведения)
    Решенные примеры и наборы задач, основанные на вышеуказанных концепциях.
    Векторы 2a ( Теория и определения: векторы и геометрия ) Векторы и геометрия. Параметрические векторные уравнения прямых и плоскостей. Углы между прямыми и плоскостями. Копланарные и коллинеарные точки. Декартовы уравнения для линий и плоскостей в 3D. Векторы 2b (Решенные наборы задач: векторы и геометрия)

    Решенные примеры и наборы задач на основе вышеуказанных концепций.


    Векторы 3a ( Теория и определения: векторное дифференциальное и интегральное исчисление ) Векторное дифференциальное исчисление. Производная, кривые, касательные векторы, векторные функции, градиент, производная по направлению, дивергенция и ротор векторной функции; важные формулы, связанные с div, curl и grad.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.