Physics for Science & Engineering II

от Office of Academic Technologies на Vimeo.

Пример 1. Равновесный заряд

Хорошо, теперь давайте рассмотрим несколько примеров, связанных с применением закона Кулона. Предположим, что у нас есть система, состоящая из двух точечных зарядов, оба заряжены положительно, с величинами

Конечно, третий заряд, который нам нужен, это какой-то q ′, и мы еще не знаем его знака, а также не знаем, куда его поместить. Мы выберем соответствующий знак и рассчитаем величину так, что когда мы поместим этот заряд в правильное положение, он приведет систему в равновесие. Другими словами, суммарная сила, действующая на каждый из этих зарядов, составит в сумме 0,9.

Чтобы проверить это, мы, конечно, сначала начнем с проб и ошибок для разных регионов. Давайте предположим, что сначала мы выбрали положительный заряд, q ′, и поместили его где-то справа от заряда 4 q . Если мы посмотрим на силы, действующие на q ′, или на ориентацию сил, действующих на q ′ за счет двух других зарядов, то 4 q оттолкнет этот заряд, а q также оттолкнет его вдоль линия, соединяющая эти заряды. Таким образом, в этом случае силы будут направлены в одном направлении, и они не смогут компенсировать друг друга.

Если мы предположим, что этот заряд вместо положительного мы выберем отрицательный заряд, то в этом случае силы между q ′ и 4 q , а также q будут притягивающими. Поэтому все эти силы изменят направление, но вместо того, чтобы указывать вправо, теперь они будут указывать влево. Поскольку, опять же, они будут в одних и тех же направлениях, они не могут отменить друг друга.

Конечно, аналогичная ситуация будет, если мы просто поместим наш заряд слева от q , положительное или отрицательное, это не будет иметь никакого значения, мы не сможем получить случай равновесия, потому что силы будут выровнены в одном направлении.

Даже если мы выберем или поместим его в правильное положение, мы увидим, что эти две силы никак не могут компенсировать друг друга, потому что, введя систему координат и добавив эти векторы, векторы сил, мы увидим, что, несмотря на тот факт, что горизонтальные компоненты будут выровнены в противоположных направлениях и в правильном месте с одинаковыми величинами, они компенсируют. Но горизонтальные компоненты никогда не сократятся, потому что, опять же, они будут указывать в одном и том же направлении.

Если ввести отрицательный заряд, то эти силы изменят направление. В этом случае, даже если горизонтальные компоненты сократятся, вертикальные компоненты, направленные теперь вниз, добавятся, и мы не придем к равновесной ситуации. Это оставляет нам только одну оставшуюся область, и это область между этими двумя зарядами. Если мы поместим сюда положительный заряд, + q ′, и если мы посмотрим на ориентацию сил на q ′, из-за 4 q , и заряд q , 4 q будут отталкивать + q′ и + q также будут отталкивать q′ вдоль линии, соединяющей эти два заряда. Действительно, в этом случае мы получим пару сил, направленных в противоположных направлениях, поэтому в правильном месте, когда их величина становится равной 0, они могут компенсировать друг друга.

Что касается q ′, то мы можем прийти к равновесной ситуации. Но теперь с + q ′ давайте посмотрим на другие обвинения. Этот + q′ будет отталкивать 4 q вдоль линии, соединяющей эти два заряда, поэтому он будет указывать вправо. + q будет также отталкивать 4 q , и в этом случае мы также увидим, что силы, действующие на 4 q из-за двух других зарядов, будут выровнены в одних и тех же направлениях, так что нет никакой возможности, чтобы они отменят друг друга. Поэтому позитива не получится. Конечно, здесь остается только один вариант — 9.0081 к’ .

Если заряд отрицательный, то +4 q притянет q′ , допустим с силой F 1 , а + q притянет – q′ с силой Ф 2 . Таким образом, мы снова получим пару сил, направленных в противоположные стороны. Поэтому в правильном месте, когда F 1 становится равным F 2 по величине, мы можем в конечном итоге отменить.

Теперь посчитаем силы на 4 q , а также q . – q′ будет притягивать 4 q , поэтому сила будет направлена ​​или ориентирована влево, и, конечно же, по третьему закону Ньютона эта сила также должна быть равна F 1 по величине. + q оттолкнет 4 q , потому что они как заряды. Давайте назовем это как F 3 , так что мы получим то, что искали, пару сил, направленных в противоположных направлениях. Всякий раз, когда они становятся равными по величине, они могут сокращаться, поэтому в конечном итоге достигается равновесие для 4 к .

Точно так же, когда мы рассматриваем результирующую силу, действующую на q , или направление сил на q из-за заряда – q′ и 4 q , 4 q оттолкнет его – и давайте назовем это F 4 — и q′ привлечет заряд q , потому что они не похожи на заряд, и из принципа действия/реакции, или третьего закона Ньютона, также то, что одно должно быть равно F 2 . Поэтому, выбрав отрицательный заряд с правильной величиной и поместив его между зарядами в правильном месте, вы создадите пару сил на каждый из этих трех зарядов, которые будут выровнены в противоположных направлениях, поэтому всякий раз, когда они становятся равными тогда они сократятся, и мы придем к равновесному состоянию или равновесному случаю.

Теперь попробуем определить величину этого заряда, а также его положение. Допустим расстояние между зарядами – q′ и q равно x. Следовательно, расстояние между 4 q и – q′ будет равно r минус x , так как все расстояние равно r , то есть расстояние между 4 q 2 q и

2. Мы можем выразить величину сил, используя закон Кулона. F 1 есть сила между зарядом q ′, – q ′ и зарядом 4 q , поэтому величина этой силы будет равна тогда постоянной Кулона, 1 на 4 π ε 0 , умноженное на произведение величины зарядов, и, следовательно, q умножить на q ′, деленное на квадрат расстояния, разделяющего эти два заряда, что равно r минус x кв.

Теперь нужно быть осторожным, как видите, я не включаю знак заряда q ′ в это уравнение, потому что закон Кулона — это просто величина уравнения силы. Поэтому знак становится неуместным в уравнении. Мы уже рассмотрели влияние знака заряда при определении направления сил.

Точно так же мы можем выразить F 2 , то есть силу между q′ и зарядом q , и она будет равна 1 на 4 π ε 0 постоянное, опять же, произведение величины зарядов. Это q q’ , деленное на квадрат расстояния, разделяющего эти два заряда. Условие равновесия утверждает, что величина силы F 1 и величина силы F 2 должны быть равны друг другу. Следовательно, используя это условие, если мы приравняем эти два уравнения, мы будем иметь для F 1 1 более 4 π ε 0 , для q 1 9081 9081 9081 q′ минус более x в квадрате равно 1 на 4 π ε 0 q q′ на x 2. Поскольку у нас есть общие величины в обеих частях уравнения, мы можем сократить 1 на 4 π ε 0 , q ’s, а также q’s деля обе части на эти величины.

Двигаемся дальше, у нас будет 4 x 2 равно r минус количество x в квадрате. Извлекая квадратный корень из обеих сторон, что дает нам квадратный корень из 4 x 2 равно квадратному корню из r минус x в квадрате, в результате чего 2 x равно r минус х . И отсюда у нас будет 3 х равно r , и решив х , что будет r на 3, мы получим, где мы должны разместить этот заряд. Таким образом, от заряда q , если мы пройдем одну треть расстояния между 4 q и q , мы получим правильное место для размещения заряда q ′. Мы также знаем, что q ′ должно быть отрицательным.

Теперь следующим шагом будет определение величины q ′, в пересчете на указанные сборы. Для этого рассмотрим условие равновесия заряда q . Мы также можем провести тот же анализ, взглянув на условие равновесия на 4 q . Давайте посмотрим на q . Для этого заряда мы видим, что сила F 2 величины должна быть равна силе F 4 величины. F 2 есть сила, с которой заряд – q ′ действует на q . F 4 — это сила, с которой заряд 4 q действует на q , он просто отталкивает q с силой F 4 . Итак, теперь давайте запишем величину этих сил.

Мы уже выразили F 2 , F 2 был заряд, я имею в виду величину силы, которая есть постоянная Кулона, 1 на 4 π ε 2 произведение 2 , величины зарядов, и это сила между q ′ и заряд q , а расстояние между этими двумя зарядами было x , поэтому в знаменателе мы имеем x 2 . F 4 была силой между 4 Q и Q , поэтому величина этой силы составляет 1 на 4 π ε 0 4 Q Times Q Divided Time 4 Q Times Q Divided Time 4 Q . квадрат расстояния между этими двумя зарядами, и это r 2. В равновесии эти две силы должны быть равны по величине. Мы знаем, что теперь они указывают в противоположных направлениях. 1 из 4 π ε 0 , q ′ q over x 2 has to be equal to 1 over 4 π ε 0 , 4 q 2 over r 2 , из того, что величина F 2 должна быть равна величине F 4 в равновесии.

Опять же, мы можем сократить общие величины в обеих частях, разделив обе части уравнения на 1 на 4 π ε 0 , а также мы можем сократить q и одно из этих q в правой части уравнения. Это выражение даст нам q′ умножить на r 2 равно 4 q умножить на х 2.