Урок 4. умножение вектора на число — Геометрия — 9 класс

Конспект
Представим себе, что велосипедист движется прямолинейно с постоянной скоростью, мотоциклист движется в том же направлении со скоростью вдвое большей. Навстречу им, то есть в противоположном направлении, движется автомобиль, скорость которого втрое больше скорости велосипедиста.
Если мы изобразим скорость велосипедиста вектором v ⃗, то скорость мотоциклиста можно изобразить вектором, имеющим то же направление, что и вектор v ⃗, а длина которого в два раза больше. Обозначим этот вектор 2v ⃗. Скорость автомобиля будет изображаться вектором, противоположным вектору v ⃗, длина которого в три раза больше, чем длина вектора v ⃗, то есть вектором -3v ⃗.
Этот пример показывает, как следует ввести понятие умножения вектора.
Произведением ненулевого вектора a ⃗ на число k называется такой вектор b ⃗, длина которого равна произведению модуля числа k на длину вектора a ⃗, причём векторы a ⃗ и b ⃗ сонаправлены, если k неотрицательное число и противоположно направлены, если k — число отрицательное.
Произведением ненулевого вектора a ⃗ на число k называется такой вектор b ⃗, длина которого равна |k|∙|a ⃗|, причём a ⃗↑↑b ⃗ , если k>0, a ⃗↑↓b ⃗ , если ka ⃗ на число k обозначается так: ka ⃗.
Произведением нулевого вектора на любое число является нулевой вектор: k0 ⃗ = 0 ⃗.
Из определения произведения вектора на число следует, что произведение любого вектора на число нуль равно нулевому вектору: 0a ⃗ = 0 ⃗.
Вектор a ⃗ и вектор, равный произведению вектора

a ⃗ на число k, коллинеарны: a ⃗∥k(a) ⃗
Умножение вектора на число обладает основными свойствами, выраженными следующими законами.
Для любых чисел k, l и любых векторов a ⃗ и b ⃗ справедливы равенства:
1) (kl)a ⃗ = k(la ⃗) (сочетательный закон)
2) (k + l)a ⃗ = ka ⃗ + la ⃗(первый распределительный закон)

3) k(a ⃗+ b ⃗) = ka ⃗+ kb ⃗ (второй распределительный закон)

Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 25.

Умножение вектора на число.

На прошлом занятии мы научились складывать и вычитать векторы. Сегодня введем еще одно действие – умножение вектора на число.

Представим себе, что один автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью, второй автомобиль движется в том же направлении со скоростью, вдвое большей, а третий автомобиль движется им навстречу, т.е. в противоположном направлении, и величина его скорости такая же, как у второго автомобиля. Если мы изобразим скорость первого автомобиля вектором v⃗, то естественно изобразить скорость второго автомобиля вектором, у которого направление вектора такое же, как у вектора v⃗, а длина в два раза больше, и обозначить этот вектор 2v⃗. Скорость третьего автомобиля изобразится вектором, противоположным вектору 2v⃗, то есть вектором -2v⃗. Естественно считать, что вектор 2v⃗ получается умножением вектора v⃗ на число 2, а вектор -2v⃗ получается умножением вектора v⃗ на число -2. Этот пример подсказывает, каким образом следует ввести умножение вектора на число.

Произведением ненулевого вектора a⃗ на число k называется такой вектор b⃗, длина которого равна k⋅a⃗, причем векторы a⃗ и b⃗ сонаправлены при k≥0 и противоположно направлены при k<0.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора a⃗ на число k обозначается так:

ka⃗.

Из определения произведения вектора на число непосредственно следует, что

1. произведение любого вектора на число ноль есть нулевой вектор;
2. для любого числа k и любого вектора a⃗ векторы a⃗ и ka⃗ коллинеарны.

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами:

Для любых чисел k, l и любых векторов a⃗, b⃗ справедливы равенства:

1⁰. (kl)a⃗=k(la⃗) (сочетательный закон).

2⁰. (k+l)a⃗=ka⃗+la⃗ (первый распределительный закон).

3⁰. k(a⃗+b⃗)=ka⃗+kb⃗ (второй распределительный закон).

Замечание

Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащий суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение

p⃗=2(a⃗ –;b⃗)+(c⃗+a⃗)–3(b⃗–c⃗+a⃗)

можно преобразовать так:

p⃗=2a ⃗–2b ⃗+c ⃗+a ⃗–3b ⃗+3c ⃗–3a ⃗=-5b ⃗+4c ⃗

Векторы могут использоваться для решения геометрических задач и доказательства теорем.

Рассмотрим задачу.

Точка С — середина отрезка

AB, а O — произвольная точка плоскости. Доказать, что OC⃗=12OA⃗+OB⃗

По правилу треугольника

OC⃗=OA⃗+АС⃗, с другой стороны

OC⃗=OB⃗+BC⃗.

Складывая эти равенства, получим:

2OC⃗=OA⃗+OB⃗+AC⃗+BC⃗.

Так как точка C — середина отрезка AB, то AC⃗ + BC⃗ = 0⃗.

Таким образом, 2OC⃗=OA⃗+OB⃗, значит

OC⃗=12OA⃗+OB⃗.

ч.т.д.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство

Пусть MN — средняя линия трапеции ABCD.

Докажем, что

MN//AD и MN=AD+BC2.

По правилу многоугольника

MN⃗=MB⃗+BC⃗+CN⃗ и

MN⃗=MA⃗+AD⃗+DN⃗. Сложим эти равенства и получим:

2MN⃗=(MB⃗+MA⃗)+(BC⃗+AD⃗)+(CN⃗+DN⃗).

Но M и N— середины сторон AB и CD, поэтому

MB⃗+MA⃗=0⃗ и CN⃗+DN⃗=0⃗.

Следовательно, 2MN⃗=AD⃗+BC⃗, откуда

MN⃗=12AD⃗+BC⃗Так как векторы AD⃗ и BC⃗ сонаправлены, то векторы MN⃗ и AD⃗ также сонаправлены, а длина вектора (AD⃗+BC⃗) равна AD + BC.

Отсюда следует, что

MN //AD и MN=AD+BC2.

Умножение вектора на число 9 класс

0, и меняется на противоположное, если t Произведение вектора на число t обозначается . По определению, В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой Произведение вектора на число -1 называется вектором, противоположным и обозначается По определению, вектор имеет направление, противоположное вектору и «

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число t называется вектор, длина которого равна , а направление остается прежним, если t 0, и меняется на противоположное, если t

Произведение вектора на число t обозначается . По определению,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Произведение вектора на число -1 называется вектором, противоположным и обозначается По определению, вектор имеет направление, противоположное вектору и

Свойства

Разностью векторов и называется вектор , который обозначается

Для умножения вектора на число справедливы свойства, аналогичные свойствам умножения чисел, а именно:

Свойство 1. (сочетательный закон).

Свойство 2 . (первый распределительный закон).

Свойство 3 . (второй распределительный закон).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Пример

AA 1 , BB 1 , CC 1 – медианы треугольника ABC со сторонами a , b , c . Найдите сумму

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение: Имеем

Учитывая, что (см. упр. 11 параграфа 6 8 ), получаем

3

Упражнение 1

В треугольнике АВС укажите векторы:

а)

б)

в)

г)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а)

б)

в)

г)

4

Упражнение 2

В параллелограмме АВС D укажите векторы:

а)

б)

в)

г)

д)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а)

б)

в)

д)

г) ;

5

Упражнение 3

Точки M и N — середины сторон соответственно АВ и АС треугольника АВС . Выразите векторы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) через векторы ,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

д)

б) ;

в) ;

г) ;

6

Упражнение 4

Отрезки АА 1 , ВВ 1 , СС

1 — медианы треугольника АВС . Выразите векторы: а) ; б) ; в) через векторы и

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) ;

в) .

7

Упражнение 5

Упростите выражение:

а)

б)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) .

8

Упражнение 6

Сторона равностороннего треугольника АВС равна а . Найдите: а) ; б) .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) a ;

б) a .

Упражнение 7

В треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 8, B = 90°. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) 10;

в) -2;

г) 10.

Ответ: а) -2;

Упражнение 8

Пусть O , A , B – произвольные точки плоскости. Найдите геометрическое место точек С плоскости, для которых выполняется равенство где

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Отрезок AB .

Произведение вектора на число — презентация онлайн

Естественно
считать,
что одно
вектор
2v получается
Если мы чем
изобразим
первого
автомобиля
Прежде,
ввести скорость
еще
действие
– умножение
умножением
v на число
2, а вектор
-2v получается
вектором
v, число,
товектора
естественно
изобразить
скорость
второго
вектора на
обратимся
к примеру.
Представим
себе,
умножением
вектора vдвижется
число прямолинейно
-2.
Этот пример
автомобиля
вектором,
унакоторого
направление
что один автомобиль
стакое же,
показывает
каким
образом
вести виумножение
как
у вектора
v, а длина
в 2 следует
разадвижется
больше,
обозначить
этот
постоянной
скоростью,
второй
том
же
вектора
наСкорость
число
и что
при умножении
получается
вектор.
вектор
2v.
третьего
автомобиля
изобразиться
направлении
со скоростью,
вдвое
большей,
а третий
вектором,
противоположным
вектору т.е.
2v, в
т.е. вектором -2v.
автомобиль
движется им навстречу,
противоположном направлении, и величина его скорости
такая же, как у второго автомобиля.
v
2v
-2v
Умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора
a
на число
k
b, длина которого равна k a ,
причем векторы a и b сонаправлены при k>0 и
притивоположно направлены при k
называется такой вектор
a
3a
1
12
a
— 2a
Умножение вектора на число.
b
2b
a
2b b
2b = 2 b
1
a
2
1
a
2
1
a
2
a
=
1
2
a
Умножение вектора на число.
Для любого числа
kи
a
ka
любого вектора
векторы
a
и
коллинеарны.
1
2
— a
a
1
12
a
— 2a
Произведение нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
k o=o
Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
o a=o
Назовите вектор, который получится в результате
умножения.
A
B
C
D
N
M
R
E
S
F
Q
I
H
V
O
J
T
P
K
Y
X
L
U
G
Z
JO 3
1
ML
3
4 AB
4 ЕУ
3
NZ
4
х JO
СК = -4
JO = – х1
4 CK
XD =– х3
4 CK
A
B
C
D
N
0 XD
NN = х
M
R
E
S
F
ХТ = х XD
Q
V
T
Y
U
х не существует
х XT
XT = 1
I
O
P
X
G
х XT
TX = -1
H
J
K
L
Z
T
A
B
7
3
C
TВ = 7
AC = 3
х TВ
AC = 3
7
х AC
TB = 7
3
10
D
O
DO = 10
2,5
K
F
KF = 2,5
KF = – х1 DO
4
х KF
DO = –4
Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС
T
B
х АС
ТВ = 1,25
A
C
Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK
L
K
х LK
SD =-0,75
D
S
ABCD – трапеция.
В
С
8
х DA
BC = –0,8
х BC
DA = – 10
8
А
10
D
Умножение вектора на число обладает следующими
основными свойствами.
Для любых
равенства:
a, b
и любых чисел
1
(kl)a = k (l a)
2
(k+l)a = ka + la
k, l
справедливы
Сочетательный закон
Первый распределительный закон
3
k (a + b) = ka + kb
Второй распределительный закон
Рисунок иллюстрирует сочетательный закон.
Представлен случай, когда
k = 2, l = 3.
1
Сочетательный закон
(kl)a = k (l a)
a
a
a
A
O
OВ = 2OA = 2(3
a a
B
a)
a a a a
B
O
OВ = 6
a = (2 3) a
Рисунок иллюстрирует первый распределительный
закон. Представлен случай, когда
2
(k+l)a = ka + la
Первый
распределительный закон
B
la
a
ka
k = 3, l = 2.
A
OA =
ka;
AB =
la
O
OB =
(k+l)a = ka + la
3
k (a + b) = ka + kb
Второй
распределительный
закон
Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон.
На рисунке ОАВ
ОА1В1, коэффициент подобия
k
A
OA =
ka
AB =
kb
OB =
k(a+b)
OB = OA + AB =
ka+kb
A1
a
O
b
a+b
B1
С другой стороны,
Таким образом,
B
k(a+b) = ka+kb

Как производится умножение вектора на скаляр

Основы векторного исчисления

Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление. Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок.

Векторная система обозначений имеет два существенных пре­имущест­ва.

1. Формулировки физических законов в векторной форме не зависят от выбора осей координат. Векторная система обозначений представляет собой такой язык, в котором формулировки имеют физическое содержание даже без введения системы координат.

2. Векторная система обозначений является компактной. Многие фи­зические законы выражаются через векторные величины.

Определим основные операции, которые можно производить с век­то­ра­ми.

Равенство двух векторов

Два вектора и равны, если они имеют одинаковую абсолютную величину и одинаковое направление, можно сравнивать два вектора, опре­деленные в разных точках пространства и в разные моменты времени. Параллельный перенос не меняет значения вектора.

Сложение векторов

Суммой двух векторов называют вектор , проведенный из начальной точки вектора к конечной точке вектора , если вектор перенести параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора . Причем = + = + , если совмес­тить начало векторов и , то вектор = + = + является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на его сторонах и выходящий из общего начала. Сумма векторов не зависит от порядка, в котором складываются векторы.

Умножение вектора на скаляр

Произведением вектора на число называется вектор , длина которого равна длине первого вектора, умноженной на модуль числа, а направление либо совпадает с начальным вектором, либо противоположно.

и , если и , если .

Произведение числа 0 на любой вектор дает нулевой вектор, который по сути таковым не является ибо он не имеет длины она равна “нулю” и не имеет направления в пространстве. Сумма двух векторов равна нулю тогда и только тогда, когда они равны по модулю и противоположны по направ­лению. Если k – число, то т. е. умножение вектора на скаляр дистрибутивно.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9375 — | 7304 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

В статье узнаете что такое вектор, векторные компоненты, единичный вектор, как складывать вектора, умножать вектора на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведение двух векторов.

Сохранение физической величины с вектором обычно означает совершенно иную ситуацию, чем просто сохранение ее скалярной длины. Постоянное значение импульса p (скаляр) может означать совершенно иную ситуацию, чем постоянный вектор p.

Вектор должен иметь три необходимые характеристики: значение (длина), направление, начало и конец.

Любое изменение любого из этих признаков — длины, направления или начало с концом — означает, что создан другой вектор. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют равную длину, направление и начало с концом.

Векторные компоненты

Компонентами вектора являются его проекции на оси системы координат.

Также в трехмерном пространстве векторы A называются векторами, которые являются проекциями этого вектора A на оси системы координат.

Имея вектор A, мы погружаем его в систему координат x, y, z. Векторы, являющиеся проекциями вектора A на оси системы, называются векторными компонентами вектора A. Вектор A является векторной суммой составляющих векторов A_x, A_y и A_z .

Единичный вектор

Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор, на который он ссылается, важен, но его длина всегда равна 1.

Единичные векторы осей координат. Мы также присваиваем единичные векторы оси системы отсчета. а) относится к правовращающей системе и б) к левосторонней системе.

Сложение векторов

Сумма вектора обычно не совпадает с суммой скалярных величин:

Добавление двух или более векторов друг к другу сводится к добавлению их компонентов, то есть проекций на опорные оси. Результирующий вектор называется случайным вектором. Для двух векторов результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Метод параллелограмма.

В случае большего числа векторов результирующий вектор получается путем рисования одного из этих векторов, затем в конце первого вектора мы начинаем второй, в конце второго мы даем начало третьего и так далее. Полученный вектор является вектором, начало которого находится в начале первого из добавленных векторов. и его конец в конце последнего. При изменении порядка сложения результирующий вектор (красный) не меняет длину, направление:

Это правило добавления векторов также действует в трехмерном пространстве:

Умножение вектора на скаляр

Самым простым умножением, выполняемым на векторах, является умножение вектора на скаляр (число). Такое умножение не меняет направление вектора, но, как правило, меняет его длину и может изменить его конец (когда скаляр является отрицательным числом). Когда вектор A умножается на α-скаляр, мы получаем новый вектор B:

Скалярное произведение и векторное произведение двух векторов являются очень важными направления в физике и геометрии. Существует также смешанное произведение трех векторов.

Скалярное произведение двух векторов

Формально скалярное произведение векторов представляет собой точку, и ее значение определяется зависимостью

Скалярное произведение описывает способ, которым оба вектора видят друг друга, то есть как долго тень (проекция) отбрасывает каждый из векторов в своего партнера, когда угол между ними равен φ

B cos φ — длина тени, которую вектор B выбрасывает в вектор A. Аналогично, A cos φ — длина тени, которую вектор A выбрасывает в вектор B.

Когда длина проекции (тени) одного из векторов равна нулю, тогда длина проекции второго вектора равна нулю, то есть A • B = 0. Это означает, что эти векторы не работают в одном и том же направлении вообще. Работа, которую мы выполняем при движении автомобиля, зависит не только от приложенной силы F, но и от угла, который создает направление силы и направление пути.

Так как единичные векторы оси системы отсчета х, у и z, которые обозначают векторы е_х, е_Yи е_z, перпендикулярны друг к другу, то в виду того, что А • В = АВcosφ и что cos 0 = 1 и cos 90 o = 0, мы получаем произведение значений этих единичных векторов:

Выполнение аналогичного умножения на векторы A и B

мы получили новое выражение для скалярного произведения двух векторов A и B

Значение скалярного произведения двух векторов A и B можно записать в виде двух эквивалентных выражений:

Сравнивая оба выражения, мы находим выражение для угла между векторами A и B:

Векторное произведение двух векторов

Многие важные величины в науке и технике определяются вектором, который является произведением двух других векторов. В таких случаях произведение этих векторов, называемое векторным произведением , приводит к третьему вектору.

В этом случае задача состоит в том, чтобы определить все три особенности вектора C, являющегося произведением векторного произведения векторов A и B:

Произведение векторов A и B , приводящее к третьему вектору C, отмечено диагональным крестом

Направление

Вектор С такой, что вектор перпендикулярен к плоскости, образованной векторами A и B, которая перпендикулярна как к вектору A и B.

Длина

вектор С равен значению параллелограмма, построенного на векторах А и В. Числовой C = ABsin φ.

Начало и конец

Вектор С определяет правое направление движения шнека во время нанесения первого вектора, а именно А или B.

Изменение порядка применения векторов означает изменение знака векторного произведения.

Таким образом, действительное свойство векторного произведения выглядит следующим образом A*B= -B*A

В отличие от скалярного произведения, векторное произведение некоммутативно.

Мы встретимся с векторным произведением на протяжении всего курса физики. Это также часто встречается в механике, а также в науке об электричестве и магнетизме.

В повседневной жизни векторное произведение находится в виде момента силы во вращательном движении. Мы воздействуем на вращательное движение тем эффективнее, чем больше применяем момент силы.

При откручивании гайки гаечным ключом речь идет не только о силе F, но и о способе ее применения (длина рычага R и угол, который создает рычаг с направлением силы).

Все эти зависимости элегантно включены в одно выражение в виде векторного произведения:

Хотя составляющие вектора C, который является произведением векторного произведения векторов A и B, уже включены в его длину и направление, но имея данные составляющих векторов A и B, мы можем использовать их для определения компонентов вектора C в форме матрицы:

Удобнее всего рассчитать этот определитель, расширив относительно первой строки.

Смешанное произведение трех векторов

Смешанное произведение трех векторов является скалярным значением, равным значению детерминанта

Геометрическая интерпретация: смешанное произведение численно равно объему V параллелепипеда, растянутому по векторам A, B и C:

Циклическая корректировка векторов в смешанном произведении не меняет значение этого произведения, то есть:

Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ

Физика > Умножение векторов на скаляр

Умножение векторов на число: описание терминов и определения вектора и скаляра, как провести умножение векторов, свойства вектора и скаляра, пример с графиком.

При умножении вектора на скаляр меняется величина вектора, но не направление.

Задача обучения

• Обобщить взаимодействие между векторами и скалярами.

Основные пункты

• Вектор характеризуется величиной и направлением.
• Скаляр отображается лишь величиной.
• Умножение вектора на скаляр эквивалентно умножению вектора величины на скаляр.

Термины

• Вектор – количество, обладающее величиной и направлением (между двумя точками).
• Скаляр – количество с величиной (лишено направления).
• Величина – число вектора, указывающее на длину.

Обзор

Вектор и скаляры отображают разные типы физических величин, но иногда вынуждены контактировать. Конечно, они обладают разными размерами в пространстве, поэтому добавление невозможно. Однако вектор можно умножить на скаляр, а вот умножить скаляр на вектор не получится.

Чтобы проделать подобную операцию, следует умножать компоненты, а именно величины. Это создаст новый вектор с тем же направлением, но будет уже результатом двух величин.

Пример

Допустим, вы располагаете вектором А с определенными величиной и направлением. Если умножить его на скаляр с величиной 0.5, то новый вектор будет вдвое меньше изначального. Если же величина 3, то втрое больше. Чтобы разобраться детальнее, возьмем силу гравитации. Сила отображает вектор с величиной, зависящей от скаляра (масса), а направление идет вниз. Если массу удвоить, то сила тяжести также удвоится.

(I) – Умножение вектора А на скаляр (а = 0.5) создает вектор В, который вдвое длиннее.

(Ii) – Умножение вектора А на 3 утраивает его длину.

(Iii) – Удвоение массы (скаляр) удваивает и силу тяжести (вектор).

В физике умножение вектора на число приносит много пользы. Большая часть единиц в векторных величинах выступает внутренними скалярами, умноженными на вектор. К примеру, м/с для отображения скорости состоит их двух величин: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах. Теперь вы знаете, как проводить умножение векторов.

Произведение вектора на число — презентация на Slide-Share.ru 🎓

1

Первый слайд презентации

Произведение вектора на число

Изображение слайда

2

Слайд 2

Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Вычитание векторов

Изображение слайда

3

Слайд 3

Умножение вектора на число

Изображение слайда

4

Слайд 4

Изображение слайда

5

Слайд 5

Определение. Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна. Следствия. 1. 2. коллинеарны

Изображение слайда

6

Слайд 6

По данному вектору построить векторы: ; ; ;.

Изображение слайда

7

Слайд 7

Свойства произведения вектора на число сочетательный закон 1-ый распределительный закон 2-ой распределительный закон , : , :

Изображение слайда

8

Слайд 8

Свойства произведения вектора на число сочетательный закон 1-ый распределительный закон 2-ой распределительный закон позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Изображение слайда

9

Слайд 9

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы, и. П остроить векторы, и. Построение.

Изображение слайда

10

Слайд 10

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы, и. П остроить векторы, и. Построение.

Изображение слайда

11

Слайд 11

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы, и. П остроить векторы, и. Построение.

Изображение слайда

12

Последний слайд презентации: Произведение вектора на число

Произведение вектора на число Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна. Свойства произведения вектора на число сочетательный закон 1-ый распределительный закон 2-ой распределительный закон Произведение вектора на число

Изображение слайда

Какова логика / обоснование векторного векторного произведения?

$$ \ Large {\ text {Второй трактат Bye_World}} \\ \ large {\ text {О продуктах векторов}} $$

Оглавление

$ \ bullet \ $ Предисловие

$ \ bullet \ $ Vectors
$ \ bullet \ $ Точечное произведение
$ \ bullet \ $ Перекрестное произведение
$ \ bullet \ $ Настоящая скинни на перекрестном произведении
$ \ bullet \ $ The Wedge Product
$ \ bullet \ $ Взаимосвязь между Cross Product и Wedge Product
$ \ bullet \ $ Краткое примечание о других продуктах

---

Предисловие

Эта работа — моя совершенно безумная попытка попытаться исправить любую проблему, которая была у того, кто проголосовал против этого ответа, с моим менее исчерпывающим предыдущим ответом.Этот ответ, несомненно, является одним из самых длинных по математике.SE (на самом деле, это седьмой по длине ответ по математике.SE на момент публикации 😁) и выходит далеко за рамки того, что любой разумный человек мог бы захотеть получить от ответа на вышеупомянутый вопрос.

Наслаждайтесь. 😉

---

Векторы

Наши самые первые понятия о векторах, первые объекты, которым нас научили в линейной алгебре, — это кортежи и ориентированные отрезки прямых. Когда мы узнали об этом, нам очень быстро сказали, что это действительно «одинаковые» объекты.Это облегчило наши вычисления. Проблема в том, что на самом деле не являются одними и теми же объектами. На мой взгляд, то, что у нас есть канонический способ связать с каждым кортежем ориентированный линейный сегмент и с каждым ориентированным линейным сегментом кортеж (после выбора основы для ориентированных линейных сегментов), не означает, что нам не нужно определить наши продукты на этих объектах индивидуально . Это означает , что после того, как мы это сделаем, нам нужно подтвердить, что продукты эквивалентны в соответствующих местах.В этом трактате я попытаюсь дать как алгебраическое, так и геометрическое определение для каждого из наших продуктов.

И набор $ n $ -наборов, и набор ориентированных отрезков прямых в $ n $ -мерном евклидовом пространстве (вместе с обычными операциями над этими наборами) являются пространствами внутреннего произведения над полем действительных чисел. Это просто означает, что они являются векторными пространствами с внутренним произведением (называемым скалярным произведением), а скаляры, на которые нам разрешено умножать эти векторы, являются действительными числами.4 $ этот базис — $ \ {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) \} $ . Вскоре мы увидим, что норма любого из этих векторов равна $ 1 $.

Вместо того, чтобы записывать $ n $ -элементов в виде упорядоченных списков с круглыми скобками и запятыми, часто удобнее записывать их в виде матриц строк или столбцов: $$ (1,2,3) \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \ end {bmatrix} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {bmatrix} $$

То, как мы записываем числа, не имеет значения, когда дело доходит до скалярного умножения или сложения векторов, однако преимущество записи кортежей в виде матриц состоит в том, что выполнение любого линейного преобразования кортежа эквивалентно умножению строки (или column) матрица единственной матрицей $ n \ times m $ (или $ m \ times n $).n $ ($ \ Bbb L $ для « отрезка линии «). Это не стандартные обозначения, просто они мне нравятся. Эти объекты характеризуются определенной длиной и определенным направлением.

Сложение векторов в этом случае задается правилом параллелограмма

, а скалярное умножение выполняется путем масштабирования длины линейного сегмента с сохранением его ориентации при масштабировании на число $ \ gt 0 $ или отрицанием его ориентации при масштабировании на число $ \ lt 0 $

Обратите внимание, что я ничего не сказал здесь о местоположении вектора.Это потому, что ориентированные линейные сегменты не имеют никакого внутреннего местоположения, они просто существуют в пространстве.

В этих векторах есть кое-что интересное. Во-первых, каждый вектор частично определяется своей нормой, известной как его длина. Таким образом, в то время как в большинстве пространств внутреннего продукта внутренний продукт индуцирует норму, в этом пространстве норма существует без необходимости указывать внутренний продукт, хотя мы определим один в битах — скалярное произведение. Другие интересные свойства, которые являются более фундаментальными, чем в менее геометрических векторных пространствах, — это углы между векторами и идеи параллельности и перпендикулярности.n $ несколько нестандартным способом. На мой взгляд, это определение более интуитивно геометрически.

Я определяю скалярное произведение, $ \ vec v \ cdot \ vec w $, как $$ \ vec v \ cdot \ vec w = \ operatorname {sproj} _ {\ vec w} (\ vec v) \ | \ vec w \ | = \ operatorname {sproj} _ {\ vec v} (\ vec w) \ | \ vec v \ | $$

Где операция скалярной проекции, $ \ operatorname {sproj} $, определяется как $$ \ operatorname {sproj} _ {\ vec w} (\ vec v) = \ begin {cases} \ | \ operatorname {proj} _ {\ vec w} \ vec v \ |, & \ text {угол между $ \ vec v $ и $ \ vec w $ равен $ \ le \ frac {\ pi} 2 $} \\ — \ | \ operatorname { proj} _ {\ vec w} \ vec v \ |, & \ text {угол между $ \ vec v $ и $ \ vec w $ равен $ \ gt \ frac {\ pi} 2 $} \ end {case}

$

Здесь $ \ | \ vec v \ | $ обозначает длину вектора $ \ vec v $, а $ \ operatorname {proj} _ {\ vec w} \ vec v $ — проекцию вектора $ \ vec v $ на подпространство $ \ operatorname {span} (\ vec w) $.n $ — это $$ \ vec v \ cdot \ vec w = \ | \ vec v \ | \ | \ vec w \ | \ cos (\ theta) $$ Это эквивалентно моему определению, поскольку длина со знаком из $ \ operatorname {proj} _ {\ vec w} \ vec v $ составляет $ \ | \ vec v \ | \ cos (\ theta) $. Вы можете видеть это на этом изображении

Таким образом, можно с уверенностью утверждать, что определение $ \ vec v \ cdot \ vec w = \ | \ vec v \ | \ | \ vec w \ | \ cos (\ theta) $ является просто более компактной версией мое собственное определение. Я иду на эту уступку, но, на мой взгляд, прямая связь скалярного произведения и прогнозов является наиболее интуитивным способом ее определения.n $ и любые $ k \ in \ Bbb R $:

$$ \ begin {array} {lcr} (1) & u \ cdot v = v \ cdot u & \ left (\ text {коммутативность} \ right) \\ (2) & u \ cdot (v + w) = u \ cdot v + u \ cdot w & \ left (\ text {distributivity} \ right) \\ (3) & k (u \ cdot v) = (ku) \ cdot v = u \ cdot (kv) & \ left (\ begin {array} {c} \ text {хорошо взаимодействует с} \\ \ text {скалярным умножением} \ end {array} \ right) \ end {array} $$

Заявки:

Одно из главных математических преимуществ определения внутреннего продукта состоит в том, что оно индуцирует норму в векторном пространстве.n $ по $$ v \ \ bot \ w \ iff v \ cdot w = 0 $$

Точечное произведение полезно в физике, когда вы хотите знать только о компонентах вектора в определенном направлении. Например, работа по прямой определяется как $ W = \ vec F \ cdot \ vec r $ в гравитационном поле. $ \ vec F $ — это просто сила гравитации, где $ \ vec F = -mg \, \ hat e_3 $, а $ \ vec r $ — вектор, описывающий прямую траекторию движения частицы. Но когда вычисляя работу, мы действительно заботимся только о проекции $ \ vec r $ в направлении силы (в данном случае $ — \, \ hat e_3 $).3 $$ Это неявное определение. Однако можно показать, что это эквивалентно $ b \ times c = (b_2c_3-b_3c_2, \ b_3c_1-b_1c_3, \ b_1c_2-b_2c_1) $.

Примечание: Я напрямую не определяю $ b \ times c $ как вектор $ (b_2c_3-b_3c_2, \ b_3c_1-b_1c_3, \ b_1c_2-b_2c_1) $, потому что $ (1) $ труднее запомнить, чем мое определение и $ (2) $ мое определение немедленно сообщает читателям, знакомым с определителями, несколько свойств перекрестного произведения, например, что $ v \ \ bot \ v \ times w $ для всех $ v, w \ in \ Bbb R ^ 3 $ и $ v \ times w = -w \ times v $ для всех $ v, w \ in \ Bbb R ^ 3 $.3 $, тогда $ v = v ‘$.

Доказательство : вычтите $ a \ cdot v ‘= \ det (a, b, c) $ из $ a \ cdot v = \ det (a, b, c) $, чтобы получить $$ a \ cdot va \ cdot v ‘= 0, \ quad \ forall a \\ \ подразумевает \ cdot (v-v’) = 0, \ quad \ forall a \\ \ подразумевает \ \ bot \ (v-v ‘), \ quad \ на все $

Но единственный вектор, ортогональный $ a $ для всех $ a $, — это нулевой вектор. Таким образом, из $$ v-v ‘= 0 \\ \ следует v = v’ $$ ​​Следовательно, если любой вектор $ v $ удовлетворяет уравнению $ a \ cdot v = \ det (a, b, c), \ \ forall a $ , то он уникален. $ \ \ \ \ square $

Таким образом, нам нужно только доказать, что $ b \ times c = (b_2c_3-b_3c_2, \ b_3c_1-b_1c_3, \ b_1c_2-b_2c_1) $ является вектором, который удовлетворяет определению, чтобы показать, что это уникальное перекрестное произведение, определенное выше.

Лемма : $$ (a_1, a_2, a_3) \ cdot (b_2c_3-b_3c_2, \ b_3c_1-b_1c_3, \ b_1c_2-b_2c_1) = \ det \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {bmatrix} $$

Доказательство : На LHS мы получаем $$ (a_1, a_2, a_3) \ cdot (b_2c_3-b_3c_2, \ b_3c_1-b_1c_3, \ b_1c_2-b_2c_1) = a_1 (b_2c_3-b_3c_2) + a_2 (b_c_3c_1) -b + a_3 (b_1c_2-b_2c_1) $$ На правой стороне, расширяясь по левому столбцу, мы получаем $$ \ begin {align} \ det \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \ end {bmatrix} & = a_1 \ left | \ begin {matrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \ end {matrix} \ right | — a_2 \ left | \ begin {matrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \ end {matrix} \ right | + a_3 \ left | \ begin {matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \ end {matrix} \ right | \\ & = a_1 (b_2c_3-b_3c_2) — a_2 (b_1c_3-b_3c_1) + a_3 (b_1c_2-b_2c_1) \\ & = a_1 (b_2c_3-b_3c_2) + a_2 (b_3c_1-b_1c_3) + a_3 (b_1c_1) \ end {align} $$

Это доказывает, что $ b \ times c = (b_2c_3-b_3c_2, \ b_3c_1-b_1c_3, \ b_1c_2-b_2c_1) $ на самом деле является вектором, который удовлетворяет нашему определению.3 $.

Proof: Прежде всего мы вспомним факт из геометрии: для постоянных площадей поперечного сечения общая площадь определяется как «базовая высота, умноженная на высоту». Это прямое следствие принципа Кавальери. Тогда из следующего изображения:

мы видим, что основание равно $ \ | \ vec b \ | $, а высота равна $ \ | \ vec a \ | \ sin (\ theta) $. Следовательно, площадь параллелограмма — и, следовательно, длина вектора $ \ vec a \ times \ vec b $ — равна $ \ | \ vec a \ | \ | \ vec b \ | \ sin (\ theta) $ .n $ и любые $ k \ in \ Bbb R $:

$$ \ begin {array} {lcr} (1) & u \ times v = -v \ times u & \ left (\ text {антикоммутативность} \ right) \\ (2) & u \ times (v + w ) = u \ times v + u \ times w & \ left (\ text {distributivity} \ right) \\ (3) & k (u \ times v) = (ku) \ times v = u \ times (kv) & \ left (\ begin {array} {c} \ text {хорошо взаимодействует с} \\ \ text {скалярным умножением} \ end {array} \ right) \\ (4) & u \ times (v \ times w) + v \ times (w \ times u) + w \ times (u \ times v) = 0 & \ left (\ text {идентичность Якоби} \ right) \ end {array} $$

Еще одно свойство, которое на самом деле является следствием антикоммутативности векторного произведения (можете ли вы это доказать?), Заключается в том, что для любого вектора $ v $ мы имеем $ v \ times v = 0 $.

Одно важное свойство, которого нет у перекрестного произведения , — это ассоциативность. Рассмотрим тройные произведения $ u \ cdot (v \ cdot w) $ и $ u \ times (v \ times w) $. Без особых усилий можно увидеть, что $ u \ cdot (v \ cdot w) $ не определено. Это потому, что $ v \ cdot w $ является скаляром, а затем скалярное произведение вектора и скаляра не определено нашим вышеупомянутым определением. Однако $ u \ times (v \ times w) $ определено как . Зная, что это определено, наш следующий вопрос должен быть «нужны ли скобки?» да.В общем, $ u \ times (v \ times w) $ не равно $ (u \ times v) \ times w $.

Заявки:

Математическое и физическое значение векторного произведения $ v \ times w $ состоит в том, что оно дает вектор, ортогональный плоскости, $ \ operatorname {span} (v, w) $.

Например, используя другой физический пример, мы можем экспериментально определить, что заряженная частица, движущаяся в постоянном магнитном поле, мгновенно почувствует силу в направлении, ортогональном как направлению, в котором она движется в этот момент, так и направлению магнитного поля. .Поэтому вас не должно удивлять, что определение магнитной силы — это $ \ vec F_m = q (\ vec v \ times \ vec B) $, что является просто перекрестным произведением вектора скорости $ \ vec v $ (указывая в направлении движения частицы) и вектор магнитного поля (псевдо) $ \ vec B $, масштабированный некоторым числом $ q $.

---

Настоящая скинни на кресте Продукт

Однако кросс-продукт на самом деле ужасный продукт. Перечислим некоторые из причин, почему.

1. Это не коммутативно, но поскольку оно антикоммутативно, это не так уж важно.Антикоммутативные вещи на самом деле очень полезны в математике (и физике).
2. Это не ассоциативно, но подчиняется идентичности Якоби, так что я думаю, что это нормально. Но это не здорово.
3. То, что мы получаем из кросс-произведения, не на самом деле вектор. Это просто самозванец. Это объект, который выглядит очень, очень похоже на вектор, но не совсем корректно ведет себя при отражениях. Если вам интересно, спросите об этом своего профессора. Имя для этого типа объекта — псевдо вектор .
   Примечание: тот факт, что перекрестное произведение двух векторов не является вектором , на самом деле не является проблемой. В конце концов, скалярное произведение тоже не . Проблема в том, что не существует стандартной записи , , которая отличала бы псевдовекторов от векторов. Итак, вы просто должны помнить , с каким типом объекта вы работаете.
4. Но самая большая проблема, самая ужасная вещь в кросс-продукте — это то, что это только определено в $ 3 $ размерах .Это ужасно. Линейная алгебра работает в любой конечной размерности (бесконечномерная линейная алгебра называется функциональным анализом), но у нас есть продукт, который работает только в $ 3 $ -мерностях? Это нехороший продукт.

Меня искренне поражает, что мы продолжаем использовать его по сей день. Действительно, поперечное произведение следует заменить на что-то другое: клиновое произведение .

---

Клин

Поговорим о клиновом изделии. В этом разделе следует отметить, что я не буду давать алгебраическое определение.n $

1. имеет определенную длину, обозначенную $ \ | \ vec v \ | $
.
2. параллелен уникальной линии , проходящей через начало координат (за исключением нулевой вектор, но у нуля есть странные свойства в любом наборе объектов)
3. указывает в одном из двух направлений вдоль этой линии

Векторы (линейные сегменты) можно масштабировать по числам и складывать вместе с правилом параллелограмма:

Мы могли бы сделать аналогичное определение для ориентированных сегментов плоскости .3 $. Бивектор $ B $ — это объект, который

1. имеет определенную область , обозначенную $ \ | B \ | $
2. параллелен уникальной плоскости, содержащей начало координат (кроме нулевого бивектора)
3. имеет одну из двух ориентаций, которые немного сложнее визуализировать, чем с отрезками линии

Бивекторы (которые можно визуализировать как параллелограммы в пространстве) можно масштабировать числами и складывать вместе с помощью обобщенной версии правила параллелограмма:

Я не могу найти картину скалярного умножения бивектора, но просто представьте, что параллелограмм становится больше (масштабирование на число с абсолютным значением $ \ gt 1 $) или меньше (масштабирование на число с абсолютным значением $ \ lt 1 $).n $ как ориентированный отрезок плоскости, площадь (/ норма) которого равна площади параллелограмма со сторонами $ \ vec v $ и $ \ vec w $, направление которого параллельно плоскости $ \ operatorname {span} (\ vec v, \ vec w) $ (если это плоскость, иначе $ \ vec v \ wedge \ vec w = 0 $), ориентация которого определяется порядком множителей. Вот изображение, которое поможет вам это визуализировать:

Это все, что нам нужно для однозначного определения бивектора. Аналогично определяются многомерные $ n $ -векторы.n $ и любые $ k \ in \ Bbb R $:

$$ \ begin {array} {lcr} (1) & u \ wedge v = -v \ wedge u & \ left (\ text {антикоммутативность} \ right) \\ (2) & u \ wedge (v \ wedge w) = (и \ клин v) \ клин w & \ left (\ text {ассоциативность} \ right) \\ (3) & u \ wedge (v + w) = u \ wedge v + u \ клин w & \ left (\ text {дистрибутивность} \ right) \\ (4) & k (u \ wedge v) = (ku) \ wedge v = u \ wedge (kv) & \ left (\ begin {array} {c} \ text {хорошо взаимодействует с} \\ \ text {скалярным умножением} \ end {array} \ right) \ end {array} $$

Еще одно свойство, которое на самом деле является следствием антикоммутативности произведения клина (можете ли вы это доказать?), Заключается в том, что для любого вектора $ v $ выполняется $ v \ wedge v = 0 $.3 $, но также в $ 4 $ -мерном евклидовом пространстве (полезно в продвинутой классической механике) и пространстве Минковского (полезно в специальной / общей теории относительности). Я также лично считаю, что эти новые формулы более интуитивно понятны, чем стандартные — если у кого-то есть понимание необходимой математики (пример: магнитные бивекторные поля имеют для меня больше смысла, чем магнитные (псевдо) векторные поля).

---

Взаимосвязь между перекрестным произведением и клиновым произведением

Я говорил вам, что кросс-продукт должен быть заменен этим клиновидным продуктом, но я еще не сказал, какова взаимосвязь между ними.3 $ всего ), и для объяснения этого потребовалось бы даже больше математики. Поскольку это уже безумно длинный пост, я просто покажу вам несколько способов, которыми они связаны.

Первое, что я хочу отметить, это то, что мы знаем, что поперечное произведение $ a \ times b $ имеет длину, равную площади параллелограмма со сторонами $ a $ и $ b $. 3 $ произведение клина и перекрестное произведение имеют одни и те же компоненты.Таким образом, если вы хотите создать перекрестное произведение из продукта клина, вам просто нужно выполнить операцию $$ \ pmatrix {e_2 \ wedge e_3 \\ e_3 \ wedge e_1 \\ e_1 \ wedge e_2} \ mapsto \ pmatrix { e_1 \\ e_2 \\ e_3} $$

---

Краткое примечание о других продуктах

Точечное, крестообразное и клиновидное произведения — не единственные произведения, которые мы можем определить на евклидовых векторах. Отнюдь не.

Для более исторически значимого предшественника современных продуктов взгляните на произведение кватернионов Гамильтона.

Два наиболее важных произведения на евклидовых векторах, которые я еще не рассмотрел, — это геометрическое произведение и тензорное произведение . И геометрическое, и тензорное произведения содержат произведение клина в качестве субпродуктов. Однако эти продукты требуют математического материала, который выходит далеко за рамки того, что я хочу охватить в этом трактате, и поэтому я просто дам ссылки.

Для получения информации о геометрическом произведении и алгебре (над полем вещественных чисел), которую он создает, я бы порекомендовал либо книгу Linear and Geometric Algebra Алана Макдональда или Алгебра Клиффорда и геометрическое исчисление Дэвида Хестенса. и Гаррет Собчик.Книга Макдональда прекрасна, если вы никогда раньше не проходили курс линейной алгебры. Если да, то вы, вероятно, справитесь с более продвинутой книгой Хестенеса и Собчика.

Для получения информации о тензорном произведении я бы рекомендовал взглянуть на книгу « Introduction to Vectors and Tensors, Volume I » Рэя Боуэна и К. Ванга. Последние несколько глав дают довольно хорошее введение в тензорную алгебру, и если вы решите получить второй том, у вас также будет хороший текст по исчислению на многообразиях.

Умножение матриц и векторов — Math Insight

Матрично-векторное произведение

Для определения умножения между матрицей $ A $ и вектором $ \ vc {x} $ (т.е. произведение матрица-вектор), нам нужно просмотреть вектор как матрица столбцов. Мы определяем произведение матрица-вектор только для случая, когда количество столбцов в $ A $ равно количеству строк в $ \ vc {x} $. Итак, если $ A $ есть матрицу $ m \ times n $ (т.е. с $ n $ столбцами), то произведение $ A \ vc {x} $ определен для $ n \ times 1 $ векторов-столбцов $ \ vc {x} $.Если мы пусть $ A \ vc {x} = \ vc {b} $, тогда $ \ vc {b} $ — столбец $ m \ times 1 $ вектор. Другими словами, количество строк в $ A $ (которое может быть ничего) определяет количество строк в продукте $ \ vc {b} $.

Общая формула для произведения матрица-вектор: \ begin {align *} A \ vc {x} = \левый[ \ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ ldots & a_ {2n} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} и a_ {m2} & \ ldots & a_ {mn} \ end {массив} \Правильно] \левый[ \ begin {array} {c} x_1 \\ х_2 \\ \ vdots \\ x_n \ end {массив} \Правильно] знак равно \левый[ \ begin {array} {c} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n \\ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + \ cdots + a_ {2n} x_n \\ \ vdots \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n \\ \ end {массив} \Правильно].\ end {выровнять *} Хотя сначала это может показаться запутанным, процесс матрично-векторной умножение на самом деле довольно просто. Берется скалярное произведение $ \ vc {x} $ с каждой строкой $ A $. (Вот почему количество столбцов в $ A $ должно равняться количеству компонентов в $ \ vc {x} $.) первый компонент матрично-векторного произведения является скалярным произведением $ \ vc {x} $ с первой строкой $ A $ и т. д. Фактически, если $ A $ имеет только один В строке, произведение матрица-вектор на самом деле является замаскированным скалярным произведением.

Например, если \ begin {align *} A = \ left [ \ begin {array} {rrr} 1 и -1 и 2 \\ 0 & -3 & 1 \ end {массив} \Правильно] \ end {выровнять *} и $ \ vc {x} = (2,1,0) $, то \ begin {align *} A \ vc {x} & = \ left [ \ begin {array} {rrr} 1 и -1 и 2 \\ 0 & -3 & 1 \ end {массив} \Правильно] \левый[ \ begin {array} {l} 2 \ 1 \ 0 \ end {массив} \Правильно]\\ знак равно \левый[ \ begin {array} {r} 2 \ cdot 1 — 1 \ cdot 1 + 0 \ cdot 2 \\ 2 \ cdot 0 — 1 \ cdot 3 +0 \ cdot 1 \ end {массив} \Правильно] \\ знак равно \левый[ \ begin {array} {r} 1 \\ -3 \ end {массив} \Правильно].\ end {выровнять *}

Матрично-матричное произведение

Поскольку мы рассматриваем векторы как матрицы-столбцы, произведение матрица-вектор имеет вид просто частный случай матрично-матричного произведения (т. е. произведение между двумя матрицами). Так же, как и для произведения матрица-вектор, произведение $ AB $ между матрицами $ A $ и $ B $ определяется, только если количество столбцов в $ A $ равно количеству строк в $ B $. В математических терминах мы говорим, что можем умножить матрицу размером $ m \ times n $ $ A $ на $ n \ times p $ матрицу $ B $.(Если $ p $ оказался равным 1, тогда $ B $ будет вектор-столбец $ n \ times 1 $, и мы вернемся к матрица-векторное произведение.)

Произведение $ AB $ представляет собой матрицу $ m \ times p $, которую мы назовем $ C $, т.е. $ AB = C $. Чтобы вычислить продукт $ B $, мы рассматриваем $ B $ как группу из $ n \ times 1 $ векторов-столбцов, выстроенных рядом друг с другом: \ begin {align *} \левый[ \ begin {array} {cccc} b_ {11} & b_ {12} & \ ldots & b_ {1p} \\ b_ {21} & b_ {22} & \ ldots & b_ {2p} \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ b_ {n1} & b_ {n2} & \ ldots & b_ {np} \ end {массив} \Правильно] знак равно \левый[ \левый[ \ begin {array} {c} б_ {11} \\ б_ {21} \\ \ vdots \\ b_ {n1} \\ \ end {массив} \Правильно] \левый[ \ begin {array} {c} б_ {12} \\ б_ {22} \\ \ vdots \\ б_ {п2} \\ \ end {массив} \Правильно] \ cdots \левый[ \ begin {array} {c} б_ {1p} \\ б_ {2p} \\ \ vdots \\ б_ {np} \\ \ end {массив} \Правильно] \Правильно] \ end {выровнять *} Тогда каждый столбец $ C $ является произведением матрицы и вектора $ A $ с соответствующий столбец $ B $.Другими словами, компонент в $ i $ th строка и $ j $ -й столбец $ C $ — это точечное произведение между $ i $ -й строкой $ A $ и $ j $ -й столбец $ B $. По математике мы пишем этот компонент из $ C $ как $ c_ {ij} = a_ {i1} b_ {1j} + a_ {i2} b_ {2j} + \ cdots + a_ {in} b_ {nj} $.

Пример справки проясняет процесс. Пусть $ A $ будет $ 2 \ times 3 $ матрица \ begin {align *} A = \ left [ \ begin {array} {rrr} 0 и 4 и -2 \\ -4 и -3 и 0 \ end {массив} \Правильно] \ end {выровнять *} и $ B $ — матрица $ 3 \ times 2 $ \ begin {align *} B = \ left [ \ begin {array} {rr} 0 и 1 \\ 1 & -1 \\ 2 и 3 \ end {массив} \Правильно].\ end {выровнять *} Потом, \ begin {align *} AB & = \ left [ \ begin {array} {rrr} 0 и 4 и -2 \\ -4 и -3 и 0 \ end {массив} \Правильно] \левый[ \ begin {array} {rr} 0 и 1 \\ 1 & -1 \\ 2 и 3 \ end {массив} \Правильно] \\ знак равно \левый[ \ begin {array} {rrr} 0 \ cdot 0 + 4 \ cdot 1-2 \ cdot 2 && 0 \ cdot 1 +4 \ cdot (-1) -2 \ cdot 3 \\ -4 \ cdot 0-3 \ cdot 1 + 0 \ cdot 2 && -4 \ cdot 1-3 \ cdot (-1) + 0 \ cdot 3 \ end {массив} \Правильно] \\ знак равно \левый[ \ begin {array} {rrr} 0 + 4-4 && 0-4-6 \\ 0-3 + 0 && -4 +3 +0 \ end {массив} \Правильно] \\ знак равно \левый[ \ begin {array} {rr} 0 & -10 \\ -3 и -1 \ end {массив} \Правильно].\ end {выровнять *}

Хотите еще примеры?

Основы линейной алгебры: скалярное произведение и умножение матриц | Автор: Soner Yıldırım

Разъяснено на примерах

Фото Маркуса Списке на Unsplash

Данные собираются во многих различных форматах, от чисел до изображений, от категорий до звуковых волн. Однако нам нужны данные, представленные числами, чтобы иметь возможность анализировать их на компьютерах. Модели машинного обучения и глубокого обучения требуют больших объемов данных. Их производительность сильно зависит от количества данных.Таким образом, мы стремимся собрать как можно больше данных, чтобы построить надежную и точную модель. По мере увеличения объема данных операции, выполняемые со скалярами, становятся неэффективными. Нам нужны векторизованные или матричные операции для эффективных вычислений. Вот где в игру вступает линейная алгебра .

Линейная алгебра — одна из самых важных тем в области науки о данных. В этом посте мы рассмотрим основные, но очень важные операции линейной алгебры: произведение и умножение матриц. Эти базовые операции являются строительными блоками сложных моделей машинного обучения и глубокого обучения, поэтому очень важно иметь полное представление о них.

Скалярное произведение двух векторов — это сумма произведений элементов относительно положения. Первый элемент первого вектора умножается на первый элемент второго вектора и так далее. Сумма этих произведений является скалярным произведением, которое может быть выполнено с помощью функции np.dot () .

Давайте сначала создадим два простых вектора в виде множества массивов и вычислим скалярное произведение.

Скалярное произведение этих двух векторов представляет собой сумму произведений элементов в каждой позиции. В этом случае скалярное произведение равно (1 * 2) + (2 * 4) + (3 * 6).

Поскольку мы умножаем элементы в одних и тех же позициях, два вектора должны иметь одинаковую длину, чтобы получить скалярное произведение.

В области науки о данных мы в основном имеем дело с матрицами. Матрица — это набор векторов строк и столбцов, объединенных структурированным образом. Таким образом, умножение двух матриц включает в себя множество операций скалярного произведения векторов.Это станет более ясным, когда мы рассмотрим несколько примеров. Давайте сначала создадим две матрицы 2×2 с помощью NumPy.

Матрица 2×2 имеет 2 строки и 2 столбца. Индексы строк и столбцов начинаются с 0. Например, первая строка A (строка с индексом 0) является массивом [4,2]. Первый столбец A — это массив [4,0]. Элемент в первой строке и первом столбце равен 4. Мы можем получить доступ к отдельным строкам, столбцам или элементам с помощью следующего синтаксиса numpy.

Это важные концепции для понимания умножения матриц.

Умножение двух матриц включает скалярные произведения между строками первой матрицы и столбцами второй матрицы. Первый шаг — это скалярное произведение между первой строкой A и первым столбцом B. Результатом этого скалярного произведения является элемент результирующей матрицы в позиции [0,0] (т.е. первая строка, первый столбец).

Таким образом, итоговая матрица C будет иметь (4 * 4) + (2 * 1) в первой строке и первом столбце. C [0,0] = 18.

Следующий шаг — это скалярное произведение первой строки A и второго столбца B.

C будет иметь (4 * 0) + (2 * 4) в первой строке и втором столбце. C [0,1] = 8.

Первая строка A завершена, поэтому мы начинаем со второй строки A и выполняем те же шаги.

C будет иметь (0 * 4) + (3 * 1) во второй строке и первом столбце. C [1,0] = 3.

Последний шаг — это скалярное произведение между второй строкой A и вторым столбцом B.

C будет иметь (0 * 0) + (3 * 4) во второй строке и втором столбце. C [1,1] = 12.

Мы пошагово видели, как это делается. Все эти операции выполняются с помощью операции np.dot :

Как мы помним из векторного скалярного произведения, два вектора должны иметь одинаковую длину, чтобы получить скалярное произведение. Каждая операция скалярного произведения в матричном умножении должна соответствовать этому правилу. Точечные произведения выполняются между строками первой матрицы и столбцами второй матрицы. Таким образом, строки первой матрицы и столбцы второй матрицы должны иметь одинаковую длину.

Здесь я хочу подчеркнуть важный момент. Длина строки равна количеству столбцов. Точно так же длина столбца равна количеству строк.

Рассмотрим следующую матрицу D:

D имеет 3 строки и 2 столбца, поэтому это матрица 3×2. Длина строки равна 2, что соответствует количеству столбцов, а длина столбца — 3, что соответствует количеству строк.

Я долго объяснял, но хочу сказать, что для возможности выполнения умножения матриц количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Требование для умножения матриц состоит в том, что количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Например, мы можем умножить матрицу 3×2 на матрицу 2×3.

Форма результирующей матрицы будет 3×3, потому что мы выполняем 3 операции скалярного произведения для каждой строки A, а A имеет 3 строки. Простой способ определить форму результирующей матрицы — взять количество строк из первой и количество столбцов из второй:

• Умножение 3×2 и 2×3 возвращает 3×3
• 3×2 и умножение 2×2 возвращает 3×2
• Умножение 2×4 и 4×3 возвращает 2×3

Если условия, которые мы обсуждали, не выполняются, умножение матриц невозможно.Рассмотрим следующие матрицы C и D. Они обе являются матрицами 3×2:

Если мы попытаемся перемножить их, мы получим следующее значение ошибки:

Матрицы и алгебра матриц

— Статистика Как сделать

Матрицы и содержание матричной алгебры (щелкните, чтобы перейти к этому разделу):

1. Матричная алгебра: введение
2. Добавление матрицы: дополнительные примеры
3. Умножение матриц
4. Определение сингулярной матрицы
5. Матрица идентичности
6. Что такое обратная матрица?
7. Собственные значения и собственные векторы
8. Расширенные матрицы
9. Определитель матрицы
10. Диагональная матрица
11. Что такое симметричная и кососимметричная матрица?
12. Что такое матрица транспонирования?
13. Что такое матрица дисперсии-ковариации?
14. Корреляционные матрицы
15. Идемпотентная матрица.

Матрица — это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по столбцам и строкам (очень похожий на электронную таблицу). Матричная алгебра используется в статистике для выражения наборов данных. Например, ниже представлен рабочий лист Excel со списком оценок за экзамены:

Преобразование в матричную алгебру в основном включает удаление идентификаторов столбцов и строк. Добавляется идентификатор функции (в данном случае «G» для оценок):

Числа, которые появляются в матрице, называются элементами матрицы .

Матрицы: Обозначение

Почему странная нотация?
Мы используем другую нотацию (в отличие от хранения данных в формате электронной таблицы) по простой причине: соглашение. Соблюдение соглашений упрощает соблюдение правил матричной математики (таких как сложение и вычитание). Например, в элементарной алгебре, если у вас есть список вроде этого: 2 яблока, 3 банана, 5 виноградин, вы должны изменить его на 2a + 3b + 5g, чтобы соблюсти соглашение.

Некоторые из наиболее распространенных терминов, с которыми вы столкнетесь при работе с матрицами:

• Размер (также называемый порядком): сколько строк и столбцов имеет матрица.Сначала перечислены строки, за ними следуют столбцы. Например, матрица 2 x 3 означает 2 строки и 3 столбца.
• Элементы : числа, которые появляются внутри матрицы.
• Матрица идентичности (I): Диагональная матрица с нулями в качестве элементов, за исключением диагонали, в которой есть единицы.
• Скаляр : любое действительное число.
• Матрица Функция: скаляр, умноженный на матрицу, для получения другой матрицы.

Матрицы идентичности. Изображение: Википедия.com.

Матричная алгебра: сложение и вычитание

Размер матрицы (т.е. 2 x 2) также называется размером матрицы или порядком матрицы. Если вы хотите сложить (или вычесть) две матрицы, их размеры должны быть точно так же, как . Другими словами, вы можете добавить матрицу 2 x 2 к другой матрице 2 x 2, но не матрицу 2 x 3. Добавление матриц очень похоже на обычное сложение: вы просто добавляете одинаковые числа в одно и то же место (например, складываете все числа в столбце 1, строке 1 и все числа в столбце 2, строке 2).

Примечание к обозначениям: рабочий лист (например, в Excel) использует буквы столбцов (ABCD) и номера строк (123), чтобы указать местоположение ячейки, например A1 или D2. Для матриц типично использование обозначений типа g _ij , что означает i-ю строку и j-й столбец матрицы G.

Матричное вычитание работает точно так же.
В начало

Матричное дополнение — это всего лишь серия дополнений. Для матрицы 2 × 2:

• Сложите верхние левые числа и запишите сумму в новую матрицу в верхнем левом положении.
• Сложите верхние правые числа и запишите сумму в верхнем правом углу.
• Сложите нижние левые числа вместе и запишите сумму в нижнем левом углу.
• Сложите нижние правые числа вместе и запишите сумму в правом нижнем углу:

Используйте ту же процедуру для матрицы 2 × 3:

Фактически, вы можете использовать этот базовый метод для добавления любых матриц, если ваши матрицы имеют одинаковые размеры (одинаковое количество столбцов и строк).Другими словами, , если матрицы одинакового размера, вы можете их добавить. Если они разного размера, вы не можете их добавить.

• Матрица с 4 строками и 2 столбцами может быть добавлена ​​ к матрице с 4 строками и 2 столбцами.
• Матрица с 4 строками и 2 столбцами не может быть добавлена ​​ к матрице с 5 строками и 2 столбцами.

Вышеупомянутый метод иногда называют «начальным суммированием», поскольку вы просто складываете элементы и фиксируете результат.

Другой способ думать об этом…

Подумайте, что представляет собой матрица. Эта очень простая матрица [5 2 5] может представлять 5x + 2y + 5z. И эта матрица [2 1 6] могла бы равняться 2x + y + 6z. Если сложить их вместе с помощью алгебры, получится:
5x + 2y + 5z + 2x + y + 6z = 7x + 3y + 11z.
Это тот же результат, что и при сложении записей в матрицах.

Дополнение матрицы для неравных размеров

Если у вас неравные размеры, вы все равно можете сложить матрицы вместе, но вам придется использовать другой (гораздо более продвинутый) метод.Один из таких приемов — прямая сумма. Прямая сумма (⊕) любой пары матриц A размера m × n и B размера p × q является матрицей размера (m + p) × (n + q):

Например:

В начало

Относительно легко умножить на одно число (так называемое «скалярное умножение»), например 2:

Просто умножьте каждое число в матрице на 2, и вы получите новую матрицу. На изображении выше:
2 * 9 = 18
2 * 3 = 6
2 * 5 = 10
2 * 7 = 14

Результат четырех умножений дает числа в новой матрице справа.

Умножение матриц: две матрицы

Когда вы хотите перемножить две матрицы, процесс становится немного сложнее. Вам нужно умножить строки первой матрицы на столбцы второй матрицы. Другими словами, умножьте по строкам первой матрицы и по столбцам второй матрицы. После того, как вы умножили, сложите продукты и запишите ответы в виде новой матрицы.

Если все это звучит немного сложно, это (очень короткое) видео показывает, как это делается:

Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Вы можете выполнить матричное умножение двух матриц, только если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. Например, вы можете умножить матрицу 2 x 3 (две строки и три столбца) на матрицу 3 x 4 (три строки и четыре столбца).

Очевидно, что это может стать очень сложным (и утомительным) процессом. Тем не менее, вы можете найти множество достойных инструментов для умножения матриц в Интернете. Мне нравится этот от Матрицы Решиш. После расчета вы можете умножить результат на другую матрицу и другую, что означает, что вы можете умножить несколько матриц вместе.

Microsoft Excel также может выполнять матричное умножение с использованием функций «массива». Вы можете найти инструкции здесь, на сайте Стэнфорда. Прокрутите вниз до места, где написано Матричные операции в Excel.
В начало

Быстрый взгляд на матрицу может сказать вам, является ли она сингулярной матрицей. Если матрица квадратная и имеет одну строку или столбец с нулями или , два равных столбца или две равные строки, то это особая матрица. Например, следующие десять матриц являются единственными (изображение: Wolfram):

Существуют и другие типы сингулярных матриц, некоторые из которых не так-то легко обнаружить.Следовательно, необходимо более формальное определение.

Следующие три свойства определяют сингулярную матрицу:

1. Матрица квадратная и
2. Не имеет инверсии.
3. Имеет определитель 0.

1. Квадратная матрица

Квадратная матрица имеет (как следует из названия) равное количество строк и столбцов. Говоря более формально, вы бы сказали, что матрица из m столбцов и n строк является квадратной, если m = n.Матрицы, которые не являются квадратными, являются прямоугольными.
Сингулярная матрица — это квадратная матрица, но не все квадратные матрицы сингулярны.

Необратимые матрицы

Если квадратная матрица не имеет обратной, то это особая матрица.

Обратная матрица — это то же самое, что и обратная величина числа. Если умножить матрицу на обратную, получится единичная матрица , , матричный эквивалент 1. Идентификационная матрица в основном представляет собой последовательность единиц и нулей.Идентификационная матрица различается в зависимости от размера матрицы.

Матрицы идентичности. Изображение: Wikipedia.com.

Определитель нуля

Определитель — это просто специальное число, которое используется для описания матриц и поиска решений систем линейных уравнений. Формула для вычисления определителя различается в зависимости от размера матрицы. Например, матрица 2 × 2, формула ad-bc.

Эта простая матрица 2 × 2 сингулярна, потому что ее определитель равен нулю:

К началу

Единичная матрица — это квадратная матрица с единицами в качестве элементов на главной диагонали сверху слева направо снизу и нулями в остальных местах.Когда вы умножаете квадратную матрицу на единичную матрицу, исходная квадратная матрица остается неизменной. Например:

По идее аналогичен айдентике. В базовой математике элемент идентичности оставляет число неизменным. Например, кроме того, тождественный элемент равен 0, потому что 1 + 0 = 1, 2 + 0 = 2 и т. Д., А при умножении тождественный элемент равен 1, потому что любое число, умноженное на 1, равно этому числу (т. Е. 10 * 1 = 10 ). Говоря более формально, если x — действительное число, то число 1 называется мультипликативным тождеством , потому что 1 * x = x и x * 1 = x.По той же логике матрица идентичности I получила свое название, потому что для всех матриц A , I * A = A и A * I = A .

В матричной алгебре единичный элемент различается в зависимости от размера матрицы, с которой вы работаете; в отличие от сингулярной единицы для мультипликативной идентичности и 0 для аддитивной идентичности, не существует единой единичной матрицы для всех матриц. Для любой матрицы n * n существует единичная матрица I _{n * n} .На главной диагонали всегда будут единицы, а оставшиеся пробелы — нули. На следующем изображении показаны матрицы идентичности для матрицы 2 x 2 и матрицы 5 x 5:

Матрица аддитивной идентичности

Когда люди говорят о «матрице идентичности», они обычно имеют в виду мультипликативную матрицу идентичности. Однако есть и другой тип: аддитивная единичная матрица. Когда эта матрица добавляется к другой, вы получаете исходную матрицу. Неудивительно, что каждый элемент в этих матрицах — нули.Поэтому их иногда называют нулевой матрицей .

Аддитивная единичная матрица для матрицы 3 * 3.

Вернуться к началу

Обзор поиска инверсий смотрите в этом коротком видео:

Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Обратные матрицы — это то же самое, что и обратные. В элементарной алгебре (и, возможно, даже раньше) вы столкнулись с идеей обратного: одно число, умноженное на другое, может равняться 1.

Изображение предоставлено LTU

Если вы умножите одну матрицу на ее обратную, вы получите матричный эквивалент 1: Identity Matrix , которая в основном представляет собой матрицу с единицами и нулями.

Шаг 1: Найдите адъюгат матрицы. Сопряжение матрицы можно найти, переставив одну диагональ и взяв негативы другой:

Чтобы найти сопряжение матрицы 2 × 2, поменяйте местами диагонали a и d, а затем поменяйте местами знаки c и d.

Шаг 2: Найдите определитель матрицы. Для матрицы
A B C D (см. Изображение выше) определитель равен (a * d) — (b * c).
Шаг 3: Умножить 1 / определитель * адъюгат. .

Проверка ответа

Вы можете проверить свой ответ с помощью умножения матриц.Умножьте свою матрицу ответов на исходную матрицу, и вы должны получить единичную матрицу. Вы также можете воспользоваться онлайн-калькулятором здесь.
В начало

Собственное значение (λ) — это специальный скаляр, используемый при матричном умножении и имеющий особое значение в нескольких областях физики, включая анализ устойчивости и небольшие колебания колеблющихся систем. Когда вы умножаете матрицу на вектор и получаете тот же вектор в качестве ответа вместе с новым скаляром, скаляр называется собственным значением . Основное уравнение:
A x = λ x ; мы говорим, что λ является собственным значением A.
Все приведенное выше уравнение говорит о том, что , если вы возьмете матрицу A и умножите ее на вектор x , вы получите то же самое, как если бы вы взяли собственное значение и умножили его вектором x .

Пример собственного значения

В следующем примере 5 — собственное значение A, а (1,2) — собственный вектор:

Давайте рассмотрим это по шагам, чтобы наглядно продемонстрировать, что такое собственное значение.В обычном умножении, если вы умножаете матрицу размера n x n на вектор n x 1, в результате вы получаете новый вектор n x 1. На следующем изображении показан этот принцип для матрицы 2 x 2, умноженной на (1,2):

Что если бы вместо новой матрицы nx 1 можно было получить ответ с тем же вектором, который вы умножили на вместе с новым скаляром?

Когда это возможно, вектор умножения (то есть тот, который также есть в ответе) называется собственным вектором, а соответствующий скаляр — собственным значением.Обратите внимание, что я сказал «, когда это возможно» , потому что иногда невозможно вычислить значение для λ. Разложение квадратной матрицы A на собственные значения и собственные векторы (их можно иметь несколько значений для одной и той же матрицы) известно в так называемом разложении по собственным значениям . Разложение на собственные числа всегда возможно, если матрица, состоящая из собственных векторов матрицы A, является квадратной.

Расчет

Найдите собственные значения для следующей матрицы:

Шаг 1: Умножьте единичную матрицу на λ.Единичная матрица для любой матрицы 2 × 2 равна [1 0; 0 1], поэтому:

Шаг 2: Вычтите ответ из шага 1 из матрицы A, используя вычитание матрицы:

Шаг 3: Найдите определитель матрицы, вычисленной на шаге 2:
det = (5- λ) (- 1-λ) — (3) (3)
Упрощая, получаем:
-5 — 5λ + λ + λ ² — 9
= λ ² — 4λ — 14

Шаг 4: Установите уравнение, которое вы нашли на шаге 3, равным нулю и решите для λ:
0 = λ ² — 4λ — 14 = 2
Мне нравится использовать свой TI-83, чтобы найти корни, но вы можете также воспользуйтесь алгеброй или этим онлайн-калькулятором.Находя корни (нули), получаем x = 2 + 3√2, 2 — 3√2

Ответ : 2 + 3√2 и 2-3√2

Математика для больших матриц такая же, но вычисления могут быть очень сложными. Для матриц 3 × 3 используйте калькулятор внизу этого раздела; для больших матриц попробуйте этот онлайн-калькулятор.

В начало

На изображении выше показана расширенная матрица (A | B) внизу. Расширенные матрицы обычно используются для решения систем линейных уравнений, и именно поэтому они были впервые разработаны.Три столбца слева от полосы представляют коэффициенты (по одному столбцу для каждой переменной). Эта область называется матрицей коэффициентов . Последний столбец справа от полосы представляет собой набор констант (т. Е. Значений справа от знака равенства в наборе уравнений). Она называется расширенной матрицей , потому что матрица коэффициентов была «дополнена» значениями после знака равенства.

Например, следующая система линейных уравнений:

x + 2y + 3z = 0
3x + 4y + 7z = 2
6x + 5y + 9z = 11

Может быть помещено в следующую расширенную матрицу:

После того, как вы поместили свою систему в расширенную матрицу, вы можете выполнять операции со строками для решения системы.

У вас не , а , чтобы использовать вертикальную полосу в расширенной матрице. Обычно матрицы вообще не имеют линий. Полоса просто упрощает отслеживание ваших коэффициентов и ваших констант справа от знака равенства. Если вы вообще используете вертикальную полосу, зависит от учебника, который вы используете, и от предпочтений вашего преподавателя.

Написание системы уравнений

Вы также можете работать в обратном направлении, чтобы написать систему линейных уравнений, заданную расширенной матрицей.
Пример вопроса: Напишите систему линейных уравнений для следующей матрицы.

Шаг 1: Запишите коэффициенты для первого столбца, за которым следует «x». Обязательно запишите положительные или отрицательные числа:
-1x
2x
6x
Шаг 2: Напишите коэффициенты для второго столбца, а затем укажите «y». Сложите, если это положительное число, вычтите, если оно отрицательное:
-1x + 7y
2x + 4y
6x + 2y
Шаг 3: Напишите коэффициенты для второго столбца, после чего укажите «z.«Сложите, если это положительное число, и вычтите, если оно отрицательное:
-1x + 7y + 3
2x + 4y — 7
6x + 2y + 9
Шаг 3. Запишите константы в третьем столбце со знаком равенства.
-1x + 7y + 3 = 0
2x + 4y — 7 = 2
6x + 2y + 9 = 7
Примечание : если на этом этапе у вас стоит отрицательный знак, просто сделайте константу отрицательным числом.
В начало

Определитель матрицы — это просто специальное число, которое используется для описания матриц для поиска решений систем линейных уравнений, нахождения обратных матриц и для различных приложений в исчислении.Определить на простом английском языке невозможно; обычно его определяют в математических терминах или в терминах того, что он может вам помочь. Определитель матрицы имеет несколько свойств:

• Это действительное число. Сюда входят отрицательные числа.
• Определители существуют только для квадратных матриц.
• Обратная матрица существует только для матриц с ненулевыми определителями.

Символ для определителя матрицы A — | A |, который также является тем же самым символом, который используется для абсолютного значения, хотя эти два не имеют ничего общего друг с другом.

Формула для вычисления определителя матрицы различается в зависимости от размера матрицы.

Определитель матрицы 2 × 2

Формула определителя матрицы 2 × 2 — ad-bc. Другими словами, умножьте верхний левый элемент на нижний правый, затем вычтите произведение верхнего правого и нижнего левого.

Определитель матрицы 3 × 3

Определитель матрицы 3 × 3 находится по следующей формуле:
| A | = a (ei — fh) — b (di — fg) + c (dh — eg)
Это может показаться сложным, но если вы пометили элементы с помощью a, b, c в верхнем ряду, d, e, f во второй строке и g, h, i в последней, становится основной арифметикой.
Пример :
Найдите определитель следующей матрицы 3 × 3:

= 3 (6 × 2-7 × 3) –5 (2 × 2-7 × 4) +4 (2 × 3-6 × 4)
= -219
По сути, здесь происходит умножение a, b и d на детерминанты меньших 2×2 в матрице 3×3. Этот шаблон продолжается для поиска определителей матриц более высокого порядка.

Определитель матрицы 4 × 4

Чтобы найти определитель матрицы 4 × 4, вам сначала нужно найти определители четырех матриц 3 × 3, которые находятся в матрице 4 × 4.В виде формулы:

Вернуться к началу

Диагональная матрица — это симметричная матрица со всеми нулями, кроме ведущей диагонали, которая проходит от верхнего левого угла до нижнего правого.

Записи на самой диагонали также могут быть нулями; любую квадратную матрицу со всеми нулями еще можно назвать диагональной матрицей.

Единичная матрица, которая имеет все 1 с по диагонали, также является диагональной матрицей. Любая матрица с равными элементами по диагонали (т. Е.2,2,2 или 9,9,9), является скалярным кратным единичной матрицы и также может быть классифицировано как диагональное.

Диагональная матрица имеет максимум n чисел, которые не равны нулю, где n — порядок матрицы. Например, матрица 3 x 3 (порядок 3) имеет диагональ, состоящую из 3 чисел, а матрица 5 x 5 (порядок 5) имеет диагональ из 5 чисел.

Обозначение

Обычно для описания диагональной матрицы используется обозначение diag (a, b, c) , где abc представляет числа в первой диагонали.Для приведенной выше матрицы это обозначение будет diag (3,2,4). .

Верхняя и нижняя треугольные матрицы

Диагональ матрицы всегда относится к ведущей диагонали. Ведущая диагональ в матрице помогает определить два других типа матриц: нижнетреугольные матрицы и верхние треугольные матрицы. В нижнетреугольной матрице числа под диагональю; верхнетреугольная матрица имеет числа над диагональю.

Диагональная матрица — это матрица с нижней диагональю и матрица с нижней диагональю.

Прямоугольные диагональные матрицы

Для наиболее распространенного использования диагональная матрица представляет собой квадратную матрицу с порядком (размером) n . Существуют и другие формы, которые обычно не используются, например прямоугольная диагональная матрица . Этот тип матрицы также имеет одну ведущую диагональ с числами, а остальные элементы — нули. Ведущая диагональ берется из наибольшего квадрата неквадратной матрицы.

В начало

Транспонирование матрицы (или транспонирование матрицы) — это как раз то место, где вы переключаете все строки матрицы в столбцы.Матрицы транспонирования полезны при комплексном умножении.

Альтернативный способ описания транспонированной матрицы состоит в том, что элемент в строке «r» и столбце «c» транспонируется в строку «c» и столбец «r». Например, элемент в строке 2, столбце 3 будет транспонирован в столбец 2, строку 3. Размер матрицы также изменится. Например, если у вас есть матрица 4 x 5, вы бы транспонировали ее в матрицу 5 x 4.

Симметричная матрица — это частный случай транспонированной матрицы; он равен своей транспонированной матрице.

Формально A = A ^{T .}

Символы для транспонированной матрицы

Обычный символ для транспонированной матрицы — A ^T Однако Wolfram Mathworld утверждает, что также используются два других символа: A ^‘ и.

Свойства матриц транспонирования

Свойства транспонированных матриц аналогичны основным числовым свойствам, с которыми вы столкнулись в базовой алгебре (например, ассоциативным и коммутативным). Основные свойства матриц:

• (A ^T ) ^T = A: транспонированная матрица транспонирования является исходной матрицей.
• (A + B) ^T = A ^T + B ^T : Транспонирование двух сложенных вместе матриц такое же, как транспонирование каждой отдельной матрицы, сложенной вместе.
• (rA) ^T = rA ^T : когда матрица умножается на скалярный элемент, не имеет значения, в каком порядке вы транспонируете (примечание: скалярный элемент — это величина, которая может умножать матрицу).
• (AB) ^T = B ^T A ^T : транспонирование двух матриц, умноженных вместе, совпадает с произведением их транспонированных матриц в обратном порядке.
• (A ^-1 ) T = (A ^T ) ^-1 : транспонирование и инверсия матрицы могут выполняться в любом порядке.

В начало

Симметричная матрица — это квадратная матрица, имеющая симметрию относительно ведущей диагонали, сверху слева направо. Представьте себе складку в матрице по диагонали (не включайте числа в действительную диагональ). Верхняя правая половина матрицы и нижняя левая половина являются зеркальными отображениями относительно диагонали:

Если вы можете сопоставить числа друг с другом вдоль линии симметрии ( всегда ведущая диагональ), как в примере справа , у вас симметричная матрица.

Альтернативное определение

Другой способ определить симметричную матрицу состоит в том, что симметричная матрица равна ее транспонированной. В случае транспонирования матрицы первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом, третья строка становится третьим столбцом… и так далее. Вы просто превращаете строки в столбцы.

Если вы возьмете симметричную матрицу и транспонируете ее, матрица будет выглядеть точно так же, отсюда альтернативное определение, что симметричная матрица равна ее транспонированию.С математической точки зрения, M = M ^T , где M ^T — матрица транспонирования.

Максимальное количество номеров

Поскольку большинство чисел в симметричной матрице дублируются, существует ограничение на количество различных чисел, которые она может содержать. Уравнение для максимального количества чисел в матрице порядка n: n (n + 1) / 2. Например, в симметричной матрице 4-го порядка, подобной приведенной выше, имеется максимум 4 (4 + 1) / 2 = 10 различных чисел. Это имеет смысл, если подумать: диагональ — это четыре числа, и если вы сложите числа в нижней левой половине (исключая диагональ), вы получите 6.

Диагональные матрицы

Диагональная матрица — это частный случай симметричной матрицы. Диагональная матрица имеет все нули, кроме ведущей диагонали.

Что такое асимметричная матрица?

Кососимметричная матрица, иногда называемая антисимметричной матрицей , представляет собой квадратную матрицу, симметричную относительно обеих диагоналей. Например, следующая матрица является асимметричной:

Математически асимметричная матрица удовлетворяет условию a _ij = -a _ji .Например, возьмите запись в строке 3, столбец 2, которая равна 4. Его симметричный аналог — -4 в строке 2, столбце 3. Это условие также можно записать в терминах его транспонированной матрицы: A ^T = — А. Другими словами, матрица является кососимметричной, только если A ^T = -A, где A ^T — это транспонированная матрица.

Все старшие диагональные элементы в кососимметричной матрице должны быть нулевыми. Это потому, что _{i, i} = −a _{i, i} влечет _{i, i} = 0.

Еще одним интересным свойством этого типа матрицы является то, что если у вас есть две кососимметричные матрицы A и B одинакового размера, вы также получите кососимметричную матрицу, если сложите их вместе:

Добавление двух кососимметричных матриц вместе.

Этот факт может помочь вам доказать, что две матрицы кососимметричны. Первый шаг — убедиться, что все элементы на ведущей диагонали равны нулю (что невозможно «доказать» математически!).Второй шаг — сложение матриц. Если результатом является третья матрица, которая является кососимметричной, то вы доказали, что a _ij = — a _ji .

Косоэрмитский

Косоэрмитова матрица по сути такая же, как кососимметричная матрица, за исключением того, что косоэрмитова матрица может содержать комплексные числа.

Косоэрмитова матрица, показывающая комплексные числа.

Фактически, кососимметричный и кососимметричный эквивалентны для вещественных матриц (матрицы, которая почти полностью состоит из действительных чисел).
Старшая диагональ косоэрмитовой матрицы должна содержать чисто мнимые числа; в мнимой сфере ноль считается мнимым числом.
Вернуться к началу

Матрица ковариации и дисперсии (также называемая матрицей ковариации или матрицей дисперсии) — это квадратная матрица, которая отображает дисперсию и ковариацию двух наборов двумерных данных вместе. Разница — это мера того, насколько разбросаны данные. Ковариация — это мера того, насколько две случайные величины движутся вместе в одном направлении.

Дисперсии отображаются в диагональных элементах, а ковариации между парами переменных отображаются в недиагональных элементах. Дисперсии находятся в диагоналях ковариантной матрицы, потому что в основном эти дисперсии являются ковариатами каждой отдельной переменной с самой собой.

Следующая матрица показывает дисперсию для A (2,00), B (3,20) и C (0,21) в диагональных элементах.

Ковариации для каждой пары показаны в других ячейках.Например, ковариация для A и B равна -0,21, а ковариация для A и C равна -0,10. Вы можете смотреть в столбец и строку или строку и столбец (например, AC или CA), чтобы получить тот же результат, потому что ковариация для A и C такая же, как ковариация для C и A. Следовательно, ковариация дисперсии матрица также является симметричной матрицей.

Создание матрицы дисперсии-ковариации

Многие статистические пакеты, включая Microsoft Excel и SPSS, могут создавать ковариативно-вариативные матрицы. Обратите внимание, что Excel вычисляет ковариацию для генеральной совокупности (знаменатель n), а не для выборки (n-1).Это может привести к немного неправильным вычислениям для матрицы дисперсии-ковариации. Чтобы исправить это, вам нужно умножить каждую ячейку на n / n-1.

Если вы хотите сделать один вручную:
Шаг 1: Вставьте отклонения для ваших данных в диагонали матрицы.
Шаг 2: Рассчитайте ковариацию для каждой пары и введите их в соответствующую ячейку. Например, ковариация для A / B в приведенном выше примере появляется в двух местах (A B и B A). На следующей диаграмме показано, где каждая ковариация и дисперсия появляются для каждого варианта.

В начало

См. Также:
Что такое матрица неточностей?

Следующий : Форма эшелона строк / Форма пониженного эшелона строк

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С помощью Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Как перемножить две матрицы

Умножение матриц

Есть ровно два способа умножения матриц. Первый способ — умножить матрицу на скаляр. Это называется скалярным умножением. Второй способ — умножить матрицу на другую матрицу. Это известно как умножение матриц.

Скалярное умножение

скалярное умножение — это на самом деле очень простая матричная операция. Чтобы умножить скаляр на матрицу, мы просто берем скаляр и умножаем его на каждую запись в матрице.Приведем пример.

Вопрос 1 : Вычислить 2A2A2A, если

Уравнение 1: пример скалярного умножения 1, часть 1

Вопрос просит нас узнать, что такое 2A2A2A. Другими словами, мы находим

Уравнение 1: пример скалярного умножения 1, часть 2

Обратите внимание, что если мы умножим 2 на каждую запись в матрице, мы получим:

Уравнение 1: пример скалярного умножения 1, часть 3

Очень просто! Давай сделаем еще один.

Вопрос 2 : Рассчитать 0A0A0A, если

Уравнение 2: Пример скалярного умножения 2 pt.1

Опять пытаемся найти 0A0A0A. Это означает, что мы будем искать ответ на

. Уравнение 2: пример скалярного умножения 2, часть 2

Матрица будет необычной формы, но концепция останется прежней. Мы по-прежнему умножаем скаляр 0 на каждую запись в матрице. Так мы получим:

Уравнение 2: пример скалярного умножения 2, часть 3

Обратите внимание, что все элементы в матрице равны 0. Это известно как нулевая матрица 3 x 2.

Теперь, когда мы хорошо знакомы со скалярным умножением, почему бы нам не перейти к матричному умножению?

Как умножить матрицы

Чтобы умножить матрицу на другую матрицу, нам сначала нужно узнать, что такое скалярное произведение.

Что такое скалярное произведение?

Точечное произведение (также известное как умножение векторов) — это способ вычисления произведения двух векторов. Например, пусть два вектора будут:

Уравнение 3: Пример скалярного произведения, часть 1

Как мне перемножить эти два вектора? Просто умножьте соответствующие записи и сложите продукты. Другими словами,

Уравнение 3: Пример скалярного произведения, часть 2

Итак, умножая векторы, мы получаем одно значение. Однако обратите внимание на то, что два вектора имеют одинаковое количество записей.Что, если один из векторов имеет другое количество входов, чем другой? Например, пусть

Уравнение 4: Пример отказа скалярного произведения ч.1

Если бы я умножил соответствующие записи и сложил их все вместе, то получил бы:

Уравнение 4: Пример отказа скалярного продукта, часть 2

Здесь проблема. Первые три записи имеют соответствующие записи для умножения, но последняя запись не имеет. Итак, что нам здесь делать? Ответ: мы ничего не можем здесь сделать. Это просто означает, что мы не можем вычислить скалярное произведение этих двух векторов.

Итак, в заключение, мы не можем найти скалярное произведение двух векторов, которые имеют разное количество элементов. В них должно быть одинаковое количество записей.

Умножение матриц 2 x 2

Так в чем был смысл изучения скалярного произведения? Что ж, мы будем использовать скалярное произведение, когда умножим две матрицы вместе. При умножении матрицы на другую матрицу мы хотим рассматривать строки и столбцы как вектор. Более конкретно, мы хотим обрабатывать каждую строку в первой матрице как векторы, а каждый столбец во второй матрице как векторы.Приведем пример.

Вопрос 3 : Найдите A ∙ BA \ bullet BA ∙ B, если

Уравнение 5: пример умножения матрицы 2 x 2, часть 1

Умножение двух матриц даст нам:

Уравнение 5: Пример умножения матрицы 2 x 2, часть 2

Теперь строки и столбцы, которые мы фокусируем, — это

. Уравнение 5: пример умножения матрицы 2 x 2, часть 3

, где r1r_ {1} r1 — первая строка, r2r_ {2} r2 — вторая строка, а c1, c2c_ {1}, c_ {2} c1, c2 — первый и второй столбцы.Теперь мы будем рассматривать каждую строку и столбец, которые мы видим здесь, как вектор.

Обратите внимание, что умножение матрицы 2 x 2 на другую матрицу 2 x 2 дает матрицу 2 x 2. Другими словами, в матрице должно быть 4 элемента.

Уравнение 5: Пример умножения матрицы 2 x 2, часть 4

Как именно мы получаем первую запись? Обратите внимание, что первая запись находится в первой строке и первом столбце. Поэтому мы просто берем скалярное произведение r1r_ {1} r1 и c1c_ {1} c1. Таким образом, первая запись будет

. Уравнение 5: Пример умножения матрицы 2 x 2 pt.{nd} 2-й столбец. Итак, мы берем скалярное произведение r2r_ {2} r2 и c1c_ {1} c1 и скалярное произведение r2r_ {2} r2 и c2c_ {2} c2. Это дает нам:

Уравнение 5: пример умножения матрицы 2 x 2, часть 7

Вот и все! Это то, что мы получаем, когда умножаем матрицы 2 x 2. Как правило, формула умножения матриц для матриц 2 x 2 составляет

. Формула 1: Формула умножения матрицы 2 x 2

Умножение матриц 3×3

Теперь процесс умножения матриц 3 x 3 очень похож на процесс умножения матриц 2 x 2.Опять же, почему бы нам не сделать пример умножения матриц?

Вопрос 4 : Найдите A ∙ BA \ bullet BA ∙ B, если

Уравнение 6: Пример умножения матрицы 3 x 3, часть 1

Во-первых, обратите внимание, что их умножение должно дать нам еще одну матрицу 3 x 3. Другими словами,

Уравнение 6: Пример умножения матрицы 3 x 3, часть 2

Теперь давайте пометим все наши строки в первой матрице и столбцы во второй матрице. {st}, поэтому мы берем скалярное произведение r1r_ {1} r1 и c1c_ {1} c1.{nd} 2-й столбец. Таким образом, мы берем скалярное произведение r1r_ {1} r1 и c2c_ {2} c2. Это дает нам:

Уравнение 6: пример умножения матрицы 3 x 3, часть 5

Если мы продолжим находить все записи и выполнять скалярное произведение, соответствующее строкам и столбцам, то мы получим окончательный результат.

Уравнение 6: Пример умножения матрицы 3 x 3, часть 6

Готово! Обратите внимание, что чем больше матрицы, тем более утомительным становится умножение матриц. Это потому, что нам приходится иметь дело со все большим количеством цифр! В общем, формула умножения матриц для матриц 3 x 3 составляет

Формула 2: Формула умножения матрицы 3 x 3

Как умножить матрицы разной размерности?

Пока что у нас есть перемноженные матрицы одинаковой размерности.Кроме того, мы знаем, что умножение двух матриц одинаковой размерности дает матрицу одинаковой размерности. Но что будет, если мы умножим матрицу разных размеров? Как мы узнаем размеры вычисленной матрицы? Во-первых, нам нужно увидеть, как умножение матриц дает вам определенную матрицу.

Определена ли матрица?

Бывают случаи, когда невозможно перемножить две матрицы. В таких случаях мы называем матрицу undefined .Как мы можем определить, не определены ли они?

Произведение двух матриц определяется только в том случае, если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк второй матрицы .

Попробуем использовать это определение в этом примере.

Вопрос 5 : Пусть

Уравнение 7: Пример определенной матрицы, часть 1

Определено ли A ∙ BA \ bullet BA ∙ B?

Во-первых, обратите внимание, что первая матрица имеет 3 столбца . Также вторая матрица имеет 3 строки .Поскольку они оба равны 3, то я знаю, что определено A ∙ BA \ bullet BA ∙ B.

Теперь, когда мы знаем, что оно определено, как мы можем узнать размеры A ∙ BA \ bullet BA ∙ B?

Размер собственности

Чтобы найти размеры A ∙ BA \ bullet BA ∙ B, нам нужно сначала взглянуть на размеры и отдельно.

Уравнение 7: Пример определенной матрицы, часть 2

Теперь поместим размеры матриц рядом, вот так:

Уравнение 7: Пример определенной матрицы pt.3

Теперь мы возьмем первое число и последнее число и объединим их, чтобы получить размеры A ∙ BA \ bullet BA ∙ B. Посмотрите, что первое число — 2 , а последнее — 4 . Таким образом, габариты A ∙ BA \ bullet BA ∙ B будут:

Уравнение 7: Пример определенной матрицы, часть 4

Теперь, когда мы знаем размеры матрицы, мы можем просто вычислить каждую запись, используя скалярные произведения. Это даст нам:

Уравнение 7: Пример определенной матрицы pt.5

Теперь, когда мы очень хорошо знаем, как умножать матрицы, почему бы не взглянуть на некоторые правила умножения матриц?

Свойства умножения матрицы

Итак, какими свойствами на самом деле обладает матричное умножение? Во-первых, давайте все формально определим.

Пусть X, Y, ZX, Y, ZX, Y, Z — матрицы, InI_ {n} In — единичная матрица, а OnO_ {n} On — нулевая матрица. Если все пять из этих матриц имеют равные размеры, то у нас будет следующая матрица для свойств умножения матриц:

Формула 3: свойства умножения матриц

Ассоциативное свойство утверждает, что порядок умножения не имеет значения.Другими словами, вычисление X ∙ YX \ bullet YX ∙ Y, а затем умножение на ZZZ даст вам тот же результат, что и вычисление Y ∙ ZY \ bullet ZY ∙ Z, а затем умножение на XXX. Приведем пример.

Вопрос 6 : Покажите, что ассоциативное свойство работает с этими матрицами:

Уравнение 8: Пример ассоциативного свойства, часть 1

Глядя на левую часть уравнения в ассоциативном свойстве, мы видим, что (XY) Z (XY) Z (XY) Z дает:

Уравнение 8: Пример ассоциативного свойства pt.2

Теперь, глядя на правую часть уравнения в ассоциативном свойстве, мы видим, что X (YZ) X (YZ) X (YZ) дает:

Уравнение 8: Пример ассоциативного свойства, часть 3

Посмотрите, как левая и правая части уравнения равны. Следовательно, мы знаем, что ассоциативное свойство действительно работает! Опять же, это означает, что порядок умножения матриц не имеет значения!

Теперь следующее свойство — распределительное свойство . В распределительной собственности указано, что:

Формула 4: Распределительная собственность

Мы видим, что нам разрешено использовать технику фольги и для матриц.Чтобы показать, что это свойство работает, давайте рассмотрим пример.

Вопрос 7 : Покажите, что свойство распределения работает для следующих матриц:

Уравнение 9: Пример распределительного свойства, часть 1

Посмотрите, что левая часть уравнения — это X (Y + Z) X (Y + Z) X (Y + Z). Отсюда вычисления, которые дают нам:

Уравнение 9: Пример распределительного свойства, часть 2

Теперь давайте проверим, дает ли правая часть уравнения то же самое. Обратите внимание, что правая часть уравнения — это XY + XZXY + XZXY + XZ.Вычисление дает нам:

Уравнение 9: Пример распределительного свойства, часть 3

Обратите внимание, что левая часть уравнения в точности совпадает с правой частью уравнения. Следовательно, мы можем подтвердить, что свойство распределения действительно работает.

Коммутативно ли матричное умножение?

Мы знаем, что умножение матриц удовлетворяет как ассоциативным, так и дистрибутивным свойствам, однако мы вообще не говорили о коммутативном свойстве. Означает ли это, что умножение матриц его не удовлетворяет? На самом деле это не так, и мы можем проверить это на примере.

Вопрос 8 : Если матричное умножение коммутативно, то должно выполняться следующее:

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч.1

Покажите, что XYeqYXXY eq YXXYeqYX, если

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч. 2

Сначала мы вычисляем левую часть уравнения. Вычисление XYXYXY дает нам:

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч. 3

Теперь вычисляя правую часть уравнения, мы имеем:

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства pt.4

Как видите,

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч. 5

Потому что у нас

Уравнение 10: Нарушение коммутативного свойства ч. 6

Эти две матрицы совершенно разные.

Теперь есть еще несколько свойств умножения матриц. Однако эти свойства имеют дело с нулевой и единичной матрицами.

Умножение матрицы на нулевую матрицу

Свойство умножения матриц для нулевой матрицы утверждает следующее:

Формула 5: умножение матрицы для нулевой матрицы

, где ООО — нулевая матрица.

Это означает, что если вы умножите нулевую матрицу на другую ненулевую матрицу, то вы получите нулевую матрицу. Давайте проверим, так ли это на примере.

Вопрос 9 : Покажите, что уравнение OX = OOX = OOX = O и XO = OXO = OXO = O выполняется, если:

Уравнение 11: Умножение матриц для нулевой матрицы, пример, часть 1

Давайте сначала посмотрим на уравнение

Уравнение 11: Умножение матриц для нулевой матрицы, пример, часть 2

Обратите внимание, что вычисление OXOXOX дает нам:

Уравнение 11: Умножение матрицы для примера с нулевой матрицей pt.3

Мы видим, что OX = OOX = OOX = O, поэтому уравнение выполняется. Аналогично, если мы посчитаем XOXOXO, мы получим:

Уравнение 11: Умножение матриц для нулевой матрицы, пример, часть 4

Мы видим, что уравнение XO = OXO = OXO = O выполняется, так что мы закончили.

Умножение матриц для идентификационной матрицы

А как насчет свойства умножения матриц для единичных матриц? Что ж, в собственности указано следующее:

Формула 6: умножение матрицы для матрицы идентичности

, где InI_ {n} In — единичная матрица размера n × nn \ умноженная на nn × n.Опять же, мы можем видеть, что следующие уравнения действительно выполняются на примере.

Вопрос 10 : Покажите, что уравнения XI2 = XX I_ {2} = XXI2 = X и I2X = XI_ {2} X = XI2 X = X выполняются со следующими матрицами

Уравнение 12: Умножение матриц для примера единичной матрицы, часть 1

Итак, для уравнения XI2 = XX I_ {2} = XXI2 = X, мы имеем:

Уравнение 12: Умножение матриц для примера единичной матрицы, часть 2

Итак, уравнение верно. Аналогично уравнению I2X = XI_ {2} X = XI2 X = X, имеем:

Уравнение 12: Умножение матриц для примера единичной матрицы pt.3

И снова уравнение верно. Итак, мы закончили с вопросом, и оба уравнения верны. На этом завершаются все свойства умножения матриц. Теперь, если вы хотите взглянуть на реальное применение умножения матриц, я рекомендую вам взглянуть на эту статью.

https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-multiplying.html

Аксиомы векторных пространств

Аксиомы векторных пространств Не воспринимайте эти аксиомы слишком серьезно! Математика не об аксиомах, вопреки тому, что говорят некоторые.Аксиомы едины способ мыслить точно, но это не единственный способ, и они, безусловно, не всегда лучший способ. Кроме того, есть несколько способов сформулировать эти аксиомы, и разные книги сделают это по-разному, но они все равноценно (если только автор книги не был действительно небрежным).

---

Аксиомы вещественных векторных пространств

Реальное векторное пространство — это набор X со специальным элементом 0, и три операции:

• Дополнение: учитывая два элемента x, y в X, можно образовать сумму x + y, который также является элементом X.
• Обратный: если задан элемент x в X, можно сформировать обратный -x, который также элемент X.
• Скалярное умножение: дан элемент x в X и действительное число c, можно сформировать произведение cx, которое также является элементом X.

Эти операции должны удовлетворять следующим аксиомам:

• Аддитивные аксиомы. Для любых x, y, z в X мы имеем
• х + у = у + х.
• (х + у) + г = х + (у + г).
• 0 + х = х + 0 = х.
• (-х) + х = х + (-х) = 0.
• Мультипликативные аксиомы. Для каждого x в X и действительных чисел c, d мы есть
• 0x = 0
• 1x = х
• (кд) х = с (дх)
• Аксиомы распределения. Для любых x, y в X и действительных чисел c, d мы есть
• с (х + у) = сх + су.
• (c + d) х = сх + дх.

---

Аксиомы нормированного вещественного векторного пространства

Нормированное вещественное векторное пространство является вещественным векторным пространством X с дополнительным операция:

• Норма: для элемента x в X можно сформировать норму || x ||, которая является неотрицательное число.

Эта норма должна удовлетворять следующим аксиомам для любых x, y в X и любых вещественных номер c:

• || х || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.
• || cx || = | c | || х ||.
• || х + у || <= || x || + || y ||

---

Комплексные векторные пространства и нормированные комплексные векторные пространства определены точно так же, как указано выше, просто замените каждое вхождение слова «реальный» на «сложный». Однако обратите внимание, что даже в сложном векторном пространстве норма || x || по-прежнему является неотрицательным действительным числом.
Спасибо Максвеллу Давенпорту за исправление. .