Координаты вектора

Пусть  вектор имеет началом точку , а концом – точку . Координатами вектора называются числа . Обозначают так:

Координаты нулевого вектора равны нулю.

Длина вектора  (или абсолютная величина вектора) выражается формулой

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

И наоборот. Если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.

Сложение векторов

Суммой векторов и называется вектор с координатами

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор , то есть

Коллинеарные вектора

Пусть  и – отличные от нуля коллинеарные векторы. Тогда существует число такое, что

Угол между векторами

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами   и   называется угол между равными им векторами с общим началом (наименьший угол).

Угол между двумя векторами находится в промежутке .

Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.

Скалярное произведение векторов

I. Скалярным произведением векторов и называется число , то есть

II. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, то есть

Следовательно, если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Верно и обратное.

Из формул  I и  II  скалярного произведения вытекает, что угол между векторами можно найти, используя формулу:

Также, следствием, например, формулы II скалярного произведения есть следующий важный момент:

Диадное произведение векторов (базиса)

Скалярное произведение двух базисных векторов называется диадой:

e_ie_j,

Свойства диад:

1. e_ie_j= e_je_i

2. e_i(ae_j + be_k)=ae_ie_j + be_ie_k,

a,b — числа

3. Каждой диаде ставится в соответствие матрица 3*3, состоящая из нулей и одной единицы:

Лекция №3

1. Определение пространства Евклида

2. Норма(длина) вектора. Ортонормированный базис.

3. 1. Определение пространства Евклида

Определение: вещественное пространство называется евклидовым, если каждой паре векторов ,изпоставлено в соответствие вещественное число (,), называемоескалярным произведением, причём выполнены следующие аксиомы:

1. –переместительный закон

2. –сочетательный закон

3. –распределительный закон

4. , при ,, ,

для произвольных векторов ,,изи произвольного вещественного числа.

Зачастую в физике, механике и других дисциплинах приходится иметь дело с физическими величинами имеющими направление: сила, скорость и т.д. Их взаимодействие приводит к появлению понятия скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение ненулевых векторов ,записывается следующим образом:

(3.1)

Если два вектора заданы базисом, то их скалярным произведением является сумма попарных произведений в соответствующих координатах:

Например возьмём декартову систему координат, которая является системой координат, евклидова пространства. В этой системе выберем векторы x и y, записанные в ортах :

Норма вектора. Ортонормированный базис

Согласно аксиоме (4) скалярный квадрат любого вектора есть неотрицательное вещественное число .

Определение: Неотрицательное значение квадратного корня из этого числа называется длиной (нормой) вектора x и обозначается , т.е.

Свойства: отсюда видно , что

1. нулевой вектор является единственным вектором, длина которого равна нулю.

2. при умножении вектора на число, длина вектора умножается на модуль этого числа.

3. вектор длина которого равна единице называется нормированным,

Любой ненулевой вектор y можно нормировать, умножив его на некоторое число:

–нормирующий множитель.

Система векторов является нормированной, если нормированы все её векторы.

Одним из основных понятий также является понятие ортогональности.

Определение: Считается, что векторы ,ортогональны, еслиобозначение.

В декартовой системе координат это характеризуется перпендикулярностью векторов.

Теорема1: Всякая ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой.

Доказательство: Пусть существует ортогональная система ненулевых векторов , выполняется равенство:

(3.7)

умножим обе части скалярно на какой-нибудь вектор :

,

Так как векторы e₁ ортогональны, то все скалярные произведения кроме равны нулю. Получено:

,

так как .

А это доказывает линейную независимость ортогональных векторов.

Если базис евклидова пространства представляет собой ортогональную систему векторов, то этот базис называют ортогональным.

В линейном пространстве все базисы равноправны. А в евклидовом пространстве скалярное умножение позволяет выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные, которые играют роль, аналогичную роли прямоугольной системы координат в аналитической геометрии.

Определение: Ортогональный базис называют ортонормированным, если каждый вектор этого вектора имеет норму, равную единице.

Любой ортогональный базис легко преобразовать в ортонормированный, умножая векторы на соответствующие нормирующие коэффициенты. (разделив каждый вектор базиса на его длину).

Из любого произвольного базиса можно создать ортонормированный базис. Этот способ преобразования называется процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Алгоритм заключается в следующем.

Пусть f=(f₁,…,f_n) – некоторый базис n – мерного евклидова пространства . Преобразовывая этот базис, построим ортонормированный базис. Для этого последовательно вычислим векторыи так далее. По формулам:

,

,

,

.

Процесс ортогонализации изображён на рисунке 1.

Для обоснования алгоритма необходимо чтобы векторы не были нулевыми и были попарно ортогональными.

Докажем это. Предположим, что некоторый вектор g_k+1=0, тогда:

, (3.11)

то есть (3.12)

то есть вектор является линейной комбинацией векторов, которые в свою очередь выражаются через векторыв силу 3.10. Это говорит о том что система векторов– линейно зависима. То есть утверждениепривело к противоречию и поэтому его можно считать неверным.

Для определения ортогональности, векторов скалярно умножим (3.11) на вектор , где.

(3.13)

Поскольку скалярное произведение равно нулю, то вектор ортогонален вектору .

Таким образом, в конечномерном (определённой размерности) евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Лекция №4

Алгебра линейных операторов

1. Алгебра линейных операторов.

2. Числовые характеристики линейных операторов и его матрицы.

3. Собственны числа, векторы.

4. Характеристический многочлен.

Действия над линейными операторами

Основными алгебраическими действиями на линейными операторами являются следующие:

А) умножение линейных операторов

Б) умножение линейного оператора на число

В) сумма линейных операторов

Рассмотрим подробнее каждую из операций.

А) Пусть в линейном пространстве заданны два линейных преобразованияи. Применяя к произвольному векторуизсначала преобразование, а затем, получим некоторый вектор

. (1)

Определение: преобразование переводящие вназывается произведениемна.

(2)

матрица преобразования линейных операторов иравна произведению матриц этих операторов:

(3)

Правило: обратное преобразование имеет обратную матрицу. Чтобы линейное преобразование было обратным необходимо и достаточно, чтобы была обратной и его матрица.

Б) Умножение линейного оператора на число.

Определение: Преобразование, полученное в результате применения к некоторому вектору сначала преобразования, а затем умножения нового вектора на число, называется произведениемнаи обозначается:

(4)

Матрица произведения числа на линейный оператор равна произведению этого числа на матрицу этого линейного оператора.

Свойствам произведений линейных операторов:

1. 

2. 

3. 

4. 

В) Сумма линейных операторов

Возьмём какие либо два преобразования илинейного пространстваи каждому векторуизпоставим в соответствие вектор. Преобразование переводящиев, обозначаетсяи называется суммойи.

(5)

Матрица сумм преобразований равна сумме их матриц.

Свойства суммы линейных операторов:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Dot Product

Вектор имеет величину , величину (как долго) и направление :

Вот два вектора:

Их можно умножить на и , используя « Dot Product » (также см. «Перекрестный продукт»).

Расчет

Точечный продукт написан с использованием центральной точки:

a · b
Это означает продукт точки a и b

Мы можем рассчитать произведение точек двух векторов следующим образом:

a · b = | a | × | б | × cos (θ)

Где:
| a | это величина (длина) вектора a
| б | является величиной (длиной) вектора b
θ является углом между a и b

Таким образом, мы умножаем длину в раз на длину b , а затем умножаем на косинус угла между a и b

ИЛИ мы можем рассчитать это следующим образом:

a · b = a _x × b _x + a _y × b _y

Итак, мы умножаем x, умножаем y, затем добавляем.

Оба метода работают!

И результатом является число (называемое «скаляр», поэтому мы знаем, что это не вектор).

Пример: Рассчитать скалярное произведение векторов a и b :

a · b = | a | × | б | × cos (θ)

a · b = 10 × 13 × cos (59,5 °)

a · b = 10 × 13 × 0,5075 …

a · b = 65.98 … = 66 (округлено)

ИЛИ мы можем рассчитать это следующим образом:

a · b = a _x × b _x + a _y × b _y

a · b = -6 × 5 + 8 × 12

a · b = -30 + 96

a · b = 66

Оба метода дали один и тот же результат (после округления)

Также обратите внимание, что мы использовали минус 6 для _x (он движется в отрицательном направлении x)

Примечание: вы можете использовать векторный калькулятор чтобы помочь вам.

Почему cos (θ)?

Хорошо, чтобы умножить два вектора, имеет смысл умножить их длины вместе на , но только когда они указывают в одном направлении .

Итак, мы делаем одну «точку в том же направлении», что и другая, умножая на cos (θ):

Мы берем компонент , который лежит рядом с b		Как свет, чтобы увидеть , где лежит тень

ТОГДА МНОГИЕ!

Это работает точно так же, если мы «спроектировали» b вместе с a , а затем умножили: Потому что неважно, в каком порядке мы делаем умножение: | a | × | б | × cos (θ) = | a | × cos (θ) × | б |

прямых углов

Когда два вектора расположены под прямым углом друг к другу, скалярное произведение равно и нулю .

Пример: вычисление продукта точки для:

a · b = | a | × | б | × cos (θ)

a · b = | a | × | б | × cos (90 °)

a · b = | a | × | б | × 0

a · b = 0

или мы можем рассчитать это следующим образом:

a · b = a _x × b _x + a _y × b _y

a · b = -12 × 12 + 16 × 9

a · b = -144 + 144

a · b = 0

Это может быть удобным способом узнать, находятся ли два вектора под прямым углом.

Три или более измерения

Все это прекрасно работает и в 3 (или более) измерениях.

И на самом деле может быть очень полезным!

Пример: Сэм измерил конечные точки двух полюсов и хочет знать угол между ними :

У нас есть 3 измерения, поэтому не забудьте про z-компоненты:

a · b = a _x × b _x + a _y × b _y + a _z × b _z

a · b = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10

a · b = 36 + 16 + 70

a · b = 122

Теперь для другой формулы:

a · b = | a | × | б | × cos (θ)

Но что такое | a | ? Это величина или длина вектора a .Мы можем использовать Пифагор:

• | a | = √ (4 ² + 8 ² + 10 ² )
• | a | = √ (16 + 64 + 100)
• | a | = √180

Аналогично для | b |:

• | б | = √ (9 ² + 2 ² + 7 ² )
• | б | = √ (81 + 4 + 49)
• | б | = √134

И мы знаем из приведенного выше расчета, что a · b = 122, поэтому:

a · b = | a | × | б | × cos (θ)

122 = √180 × √134 × cos (θ)

cos (θ) = 122 / (√180 × √134)

cos (θ) = 0.7855 …

θ = cos ^-1 (0,7855 …) = 38,2 … °

Готово!

Я однажды попробовал такой расчет, но работал все в углах и расстояниях … это было очень сложно, включало много тригонометрии, и мой мозг болел. Метод выше намного проще.

Крестовый продукт

Продукт с точками дает скалярный ответ (обычное число), и его иногда называют скалярным продуктом .

Но есть также перекрестный продукт, который дает вектор в качестве ответа, и его иногда называют векторным продуктом .

,

векторов

Это вектор:

Вектор имеет величину , величину (размер) и направление :

Длина линии показывает ее величину, а стрелка указывает в направлении.

Мы можем добавить два вектора, соединив их лицом к лицу:

И не имеет значения, в каком порядке мы их добавляем, мы получаем тот же результат:

Пример: самолет летит вдоль, указывая на север, но с северо-запада дует ветер.

Два вектора (скорость, вызванная пропеллером, и скорость ветра) приводят к тому, что скорость относительно земли немного снижается к востоку от севера.

Если бы вы смотрели на самолет с земли, казалось бы, он немного смещается вбок.

Вы когда-нибудь видели, чтобы это случилось? Возможно, вы видели птиц, борющихся против сильного ветра, который, кажется, летит вбок. Векторы помогают объяснить это.

Скорость, ускорение, сила и многое другое являются векторами.

Вычитание

Мы также можем вычесть один вектор из другого:

• сначала мы меняем направление вектора, который мы хотим вычесть,
• затем добавьте их как обычно:

а — б

Обозначение

Вектор часто пишется жирным шрифтом , например a или b .

Вектор также можно записать буквами его головы и хвоста со стрелкой над ним, например:

Расчеты

Сейчас… как мы делаем расчеты?

Самый распространенный способ — сначала разбить векторы на части x и y, например:

Вектор a разбивается на
два вектора a _x и a _y

(мы увидим позже, как это сделать.)

Добавление векторов

Затем мы можем добавить векторы , добавив части x и , добавив части y :

Вектор (8, 13) и вектор (26, 7) складываются в вектор (34, 20)

Пример: добавьте векторы a = (8, 13) и b = (26, 7)

c = a + b

c = (8, 13) + (26, 7) = (8 + 26, 13 + 7) = (34, 20)

Когда мы разбиваем такой вектор, каждая часть называется компонентом :

Вычитание векторов

Чтобы вычесть, сначала переверните вектор, который мы хотим вычесть, затем добавьте.

Пример: вычесть k = (4, 5) из v = (12, 2)

a = v + — k

a = (12, 2) + — (4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12−4, 2−5) = (8, −3)

Величина вектора

Величина вектора показана двумя вертикальными полосами по обе стороны от вектора:

| a |

ИЛИ это может быть записано с двойными вертикальными чертами (чтобы не путать его с абсолютным значением):

|| a ||

Мы используем теорему Пифагора для ее вычисления:

| a | = √ (x ² + y ² )

Пример: какова величина вектора b = (6, 8)?

| б | = √ (6 ² + 8 ² ) = √ (36 + 64) = √100 = 10

Вектор с величиной 1 называется единичным вектором.

Вектор против Скаляр

Скаляр имеет величину (размер) только .

Скалярное: просто число (например, 7 или -0,32) … определенно не вектор.

Вектор имеет величину и направление и часто пишется жирным шрифтом , поэтому мы знаем, что это не скаляр:

• , поэтому с является вектором, имеет величину и направление
• , но с просто значение, как 3 или 12.4

Пример: k b на самом деле является скалярным k, умноженным на вектор b .

Умножение вектора на скаляр

Когда мы умножаем вектор на скаляр, это называется «масштабированием» вектора, потому что мы изменяем, насколько велик или мал вектор.

Пример: умножить вектор м = (7, 3) на скаляр 3

a = 3 м = (3 × 7, 3 × 3) = (21, 9)

Он все еще указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее

(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)

Умножение вектора на вектор (точечный продукт и перекрестный продукт)

Как мы умножаем два вектора вместе? Существует несколько способов! (Прочитайте эти страницы для более подробной информации.)

больше чем 2 размера

Векторы также отлично работают в 3 или более измерениях:

Вектор (1, 4, 5)

Пример: добавьте векторы a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11)

c = a + b

c = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3 + 2, 7 + 9, 4 + 11) = (5, 16, 15)

Пример: какова величина вектора w = (1, -2, 3)?

| Вт | = √ (1 ² + (−2) ² + 3 ² ) = √ (1 + 4 + 9) = √14

Вот пример с 4 размерами (но это трудно нарисовать!):

Пример: вычесть (1, 2, 3, 4) из (3, 3, 3, 3)

(3, 3, 3, 3) + — (1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (-1, -2, −3, −4)
= (3 -1, 3-2, 3-3, 3-4)
= (2, 1, 0, -1)

Величина и направление

Мы можем знать величину и направление вектора, но нам нужны его длины x и y (или наоборот):

	<=>
Вектор a в Полярном Координаты		Вектор a в декартовом Координаты

Вы можете прочитать, как преобразовать их в полярных и декартовых координатах, но вот краткое резюме:

От полярных координат (r, θ ) до декартовых координат (x, y)		От декартовых координат (x, y) до полярных координат (r, θ)
x = r × cos ( θ ) y = r × sin ( θ )		r = √ (x 2 + y 2 ) θ = загар -1 (г / х)

Пример

Сэм и Алекс тянут коробку.

• Сэм тянет с силой 200 Ньютонов при 60 °
• Алекс тянет с силой 120 Ньютонов при 45 °, как показано

Что такое объединенная сила и ее направление?

Давайте добавим два вектора головы к хвосту:

Первое преобразование из полярного в декартово (до 2 десятичных знаков):

Сэм Вектор:

• x = r × cos ( θ ) = 200 × cos (60 °) = 200 × 0,5 = 100
• y = r × sin ( θ ) = 200 × sin (60 °) = 200 × 0.8660 = 173,21

Алекс Вектор:

• x = r × cos ( θ ) = 120 × cos (−45 °) = 120 × 0,7071 = 84,85
• y = r × sin ( θ ) = 120 × sin (−45 °) = 120 × -0,7071 = −84,85

Теперь у нас есть:

Добавьте их:

(100, 173,21) + (84,85, -84,85) = (184,85, 88,36)

Этот ответ верен, но давайте обратимся к полярности, как вопрос был в полярности:

• r = √ (x ² + y ² ) = √ (184.85 ² + 88,36 ² ) = 204,88
• θ = загар ^-1 (у / х) = загар ^-1 (88,36 / 184,85) = 25,5 °

И у нас есть этот (округленный) результат:

И это похоже на Сэма и Алекса:

Они могли бы получить лучший результат, если бы были плечом к плечу!

,

Модуль 24 — Векторы — Урок 1

В этом уроке вы научитесь определять векторы на TI-89 и выполнять три типа умножения векторов. Будут обсуждены единичные векторы, и будут определены два формата, используемые для обозначения векторов.

---

Определение векторов

Величины, которые имеют величину и направление, называются векторами и часто представлены направленными отрезками, как показано ниже.

Показанный вектор имеет начальную точку в точке O и конечную точку в точке P .

Представление векторов в скобках

Векторы могут быть представлены на TI-89, давая координаты кончика стрелки. Например, вектор, который идет от начала координат до точки (3, 2), представлен на TI-89 с пометкой [3, 2].Обратите внимание на использование скобок вместо скобок для обозначения количества как вектора.

• Выполнить NewProb
• Сохраните вектор [3, 2] в переменной a на вашем TI-89
Скобки находятся над и ключи.

Вам нужно ввести «запятую» между компонентами при вводе вектора на TI-89, но калькулятор не отображает его при отображении векторов.Этот факт иллюстрируется на снимке экрана выше.

Определение единичных векторов i и j

Вектор i имеет длину в одну единицу и направлен вдоль положительной оси x , а вектор j имеет длину в одну единицу и направлен вдоль положительной оси и .Поскольку векторы i и j имеют длину в одну единицу, они называются единичными векторами. И , и , и , и показаны ниже вместе с вектором [3, 2].

Представление векторов с использованием i и j

Другая нотация использует единичные векторы i и j для представления вектора. Вектор [3, 2] также можно записать в виде

a = 3 i + 2 j

Обратите внимание, что a , i и j выделены жирным шрифтом, чтобы показать, что они являются векторами.

Нахождение длины вектора

Длина или величина любого вектора a = [x, y] равна

Длина а = [3, 2] составляет единицы.

Умножение вектора

Есть три типа умножения, которые включают векторы.Два типа создают вектор, а оставшийся тип создает действительное число. Каждый тип умножения обсуждается ниже.

Скалярное Умножение Векторов

Letting c представляет собой

Скаляр — это действительное число.У него есть величина, но нет направления.

скаляр и a представляют вектор, скалярное кратное c a представляет вектор, длина которого | c | умножить на длину a и направление которой совпадает с a , если c положительно, и противоположное направление от a , если c отрицательно.

Координаты c a находятся путем умножения каждой координаты a на c .

c a = c [ a ₁ , a ₂ ] = [ ca ​​ ₁ , ca ​​ ₂ ]

• Сохраните вектор [3, -1] в переменной a на своем калькуляторе и умножьте вектор на скаляр 2.

• Умножьте вектор [2, -5] на скаляр 3, не сохраняя вектор в переменной.

Использование команды V

Вектор, который указывает в том же направлении, что и и , и имеет звездную величину, можно найти с помощью команды unitV .

Определите единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и , а = [3, 2].

• Откройте математическое меню, нажав
• Откройте подменю Matrix, выбрав 4: Matrix и нажав
• Выделите L: Vector ops

• Откройте подменю векторной операции, нажав

Пункт меню «1: unitV (» должен быть выделен.

• Нажмите вставить его в строку редактирования
• Введите единицу V (а)

Каждый компонент a был умножен на величину, обратную величине a , чтобы создать единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и a . Обратите внимание, что фракции были

Рационализация (знаменатель): дробь рационализируется путем записи ее как эквивалентной дроби без радикалов в знаменателе.

рационализировать.

Нахождение точечных продуктов векторов

Второй тип умножения называется -точечным произведением .Точечное произведение двух векторов [ a ₁ , a ₂ ] и [ b ₁ , b ₂ ] определено как a ₁ · b ₁ + a ₂ · b ₂ .
Точечное произведение a и b можно найти с помощью команды dotP , которая находится в меню Math Matrix: Vector ops.

• Сохраните вектор -2 i + 5 j в b

Вычислить скалярное произведение а · б .

• Откройте подменю Matrix меню Math.
• Откройте подменю Vector ops в подменю Matrix.

• Вставить точку P (в строку редактирования
• Введите точку P (a, b)

Точечное произведение a · b равно 4.

Обратите внимание, что результатом точечного произведения двух векторов является действительное число , а не вектор. Точечное произведение такое же, как произведение величины на , величины на и косинуса угла между на и на .
Если это угол между а и б

Точечные продукты широко используются в физике.Например, они используются для расчета работы, выполняемой силой, действующей на объект.

Проецирование одного вектора на другой вектор

Проекция может рассматриваться как тень одного вектора на другом. Когда два вектора имеют одинаковую начальную точку, проекция b на a параллельна a и имеет длину тени b .Диаграмма ниже иллюстрирует проекцию b на a , записанную как proj _a b и показанную как более темный вектор.

Проекции и точечные продукты

Величина проекции b на a , | proj _a b | также называется компонентом из b вдоль a , и она равна | б | соз ,Обратите внимание, что компонент b вдоль a равен a · b / | а |.

Нахождение формулы для точечных продуктов на вашем калькуляторе

Формула для нахождения точечного произведения двух векторов [ a ₁ , a ₂ ] и [ b ₁ , b ₂ ] может быть получена на TI-89.

• Введите dotP ([a1, a2], [b1, b2])

24.1.1. Напишите формулу для нахождения скалярного произведения двух векторов. Нажмите здесь для ответа.

Определение кросс-продуктов

Третий тип умножения называется кросс-произведением и используется в геометрии и во многих ситуациях в физике и технике.Суммарное произведение a x b двух трехмерных векторов представляет собой вектор, который перпендикулярен и a и b . Если это угол между a и b , тогда длина a x b определяется как

Перекрестное произведение определено только для 3-мерных векторов, но TI-89 вычисляет перекрестное произведение 2-мерных векторов, рассматривая их как 3-мерные векторы с 0 в качестве третьего компонента.

В поисках перекрестных товаров

Перекрестное произведение можно рассчитать с помощью команды crossP , которая находится в меню «Математическая матрица векторных операций».

Найдите перекрестное произведение a x b ранее определенных векторов a = [3, 2] и b = [-2, 5].

[3, 2, 0] x [-2, 5, 0] = [0, 0, 19] = 0 i + 0 j + 19 k

Результатом перекрестного произведения является вектор , который имеет три компонента, что означает, что это трехмерный вектор.Единичный вектор k указывает вдоль положительной оси z. Вектор 0 i + 0 j + 19 k направлен вверх вдоль положительной оси z и имеет длину 19.

Перекрестное произведение двух векторов a и b всегда перпендикулярно каждому из двух векторов. Его величина равна величине a , умноженной на величину компонента b , перпендикулярного a .

24.1.2 Найти перекрестное произведение трехмерных векторов a = 2 i + j — 4 k и b = — i — 2 j + k . Опишите взаимосвязь между a , b и их перекрестным произведением. Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ.

,