Урок по теме «Скалярное произведение векторов в координатах»

Тема урока: Скалярное произведение векторов в координатах

Цели урока:

закрепить умение находить угол между векторами;

повторить понятие скалярного произведения и закрепить умение применять его при решении задач;

сформулировать и доказать теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия;

познакомить учащихся со свойствами скалярного произведения векторов;

показать применение скалярного произведения векторов в координатах при решении задач.

I. Проверка домашней работы

Вспомним: очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.

№ 1039. Решение:

Вспомним свойства квадрата:

Все углы квадрата прямые.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

а)	У векторов АВ и АС общее начало, значит =45.
б)	Вектор DA переместим в общую начальную точку А, получится вектор АК. Тогда .
в)	У векторов ОА и ОВ общее начало, значит .
г)	Вектор АО переместим в общую точку О, получится вектор ОС. Тогда .
д)	У векторов ОА и ОС общее начало – точка О. Значит .
е)	Переместим векторы АС и BD в общую начальную точку О. Тогда .
ж)	Переместим вектор DB в общую точку А, получится вектор АМ. Тогда
з)	Векторы АО и ОС — сонаправленные. Значит .

Выполните решение следующей задачи в тетради. К каждому случаю сделайте чертеж.

Дан квадрат ABCD, точка O пересечения диагоналей AC и BD. Найдите угол между векторами: 1) CD и CA, 2) AO и OА, 3) AD и ВD, 4) АO и СO, 5)  AC и DВ. 

II. Повторение (организуется в виде фронтального опроса)

Скалярным произведением двух векторов a⃗  и b⃗  называется произведение их длин (модулей этих векторов) на косинус угла между ними: a⃗⋅b⃗ =| a⃗|⋅|b⃗|⋅cosα.

1. Если векторы сонаправлены, то a⃗ˆb⃗ =0°:

Так как косинус угла в 0 равен 1, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 0=|a⃗|⋅|b⃗|⋅1=|a⃗|⋅|b⃗|.

Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом: a⃗⋅a⃗ =|a⃗|⋅| a⃗|⋅cos 0=|a⃗|⋅| a⃗|⋅1=|a⃗|2= a⃗2.

 

 

2. Если векторы противоположно направлены, то a⃗ˆb⃗ =180°:

Так как косинус угла в 180 равен (-1), то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 180=|a⃗|⋅|b⃗|⋅(-1) = — |a⃗|⋅|b⃗|.

3. Векторы называют перпендикулярными, если a⃗ˆb⃗ =90°:

Так как косинус угла в 90 равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 90=0.

4. Внимательно рассматриваются ситуации, когда векторы образуют тупой угол:

 

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

Пример 1. Учащийся у доски

Решение:

Пример 2. Выполнить самостоятельно по вариантам в тетрадях

1 вариант (Ответ в первой задаче ).

2 вариант (Ответ в первой задаче ).

180.

 

III. Новый материал

1) Сформулируем и докажем центральную теорему урока

Теорема. Скалярное произведение векторов  и  выражается формулой

Доказательство.

1. При  или  теорема очевидна.

2. Пусть  и  – ненулевые векторы. Тогда по теореме косинусов

Перейдем в этой формуле к координатам.

Уточним, что теорема доказана для случая неколлинеарных векторов, в доказательстве был использован треугольник, теорема косинусов, поэтому случай коллинеарных векторов тоже рассмотрим, при этом учтем, что угол между коллинеарными векторами может быть равен 180° или 0°.

3. Пусть

Подгоним это равенство под формулу, полученную при доказательстве теоремы.

Формула та же самая, если записать ее в координатах, то получим

4. Аналогично рассмотрим случай 

Вывод:  для всех векторов   и .

2) Следствия из теоремы

Сформулируем следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Ненулевые векторы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда  .

Действительно,  .

Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами  и  выражается формулой:

Действительно,

3) Свойства скалярного произведения векторов

Рассмотрим свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов  и любого числа k справедливы соотношения:

1. , причем  при  .

Доказательство.

Но  при  .

2.  (переместительный закон).

Доказательство (из определения).

3.  (распределительный закон).

Доказательство.

Для доказательства используем метод координат.

 , тогда

.

 

4.   (сочетательный закон).

Доказательство.

, значит,

Замечание. Распределительный закон справедлив и в случае нескольких слагаемых, например,

.

IV Закрепление. Пример 1. Записать в тетрадь

Решение:

Пример 2. Выполнить самостоятельно по вариантам в тетрадях

1 вариант

2 вариант

Пример 3. Записать в тетрадь

Решение:

Пример 4. Выполнить самостоятельно по вариантам в тетрадях

1 вариант

2 вариант

Выводы:

Повторили понятие угла между векторами, понятие скалярного произведения.

Повторили, как определять угол между векторами, повторили, как вычислять скалярное произведение, если известны длины векторов и угол между ними.

Научились вычислять скалярное произведение в координатах, научились находить угол между векторами по их координатам.

Сформулировали и доказали теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия.

Познакомились со свойствами скалярного произведения векторов.

Научились вычислять скалярное произведение векторов в координатах, научились вычислять угол между векторами.

Домашнее задание: № 1044(а, б, в), № 1048.

Использованные источники:

Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы.

http://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skaliarnoe-proizvedenie_-9222/skaliarnoe-proizvedenie-vektorov

https://interneturok.ru/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/skalyarnoe-proizvedenie-v-koordinatah-svoystvo-skalyarnogo-proizvedeniya

Опубликовано 11.03.18 в 07:40 в группе «УРОКИ, КИМы, ИГРЫ, практикумы, творческие задания по ИНФОРМАТИКЕ, МАТЕМАТИКЕ и другим дисциплинам.»

Скалярное произведение матрицы Объяснение

Данные собираются в различных форматах, от чисел до изображений, категорий и звуковых волн. Однако нам нужны числовые данные, чтобы анализировать их на компьютерах. Модели машинного обучения и глубокого обучения требуют больших объемов данных. Их производительность сильно зависит от объема данных. Таким образом, мы стремимся собрать как можно больше данных, чтобы построить надежную и точную модель. По мере увеличения объема данных операции, выполняемые со скалярами, становятся неэффективными. Нам нужны векторизованные или матричные операции для эффективного выполнения вычислений. Вот где на помощь приходит линейная алгебра.

Что такое скалярное произведение матрицы?

Скалярное произведение матрицы — это базовое вычисление линейной алгебры, используемое в моделях глубокого обучения для более эффективного выполнения операций с большими объемами данных. Это результат умножения двух матриц с совпадающими строками и столбцами, таких как матрица 3×2 и матрица 2×3. Его также можно рассчитать в NumPy с помощью операции np.dot.

Линейная алгебра — одна из самых важных тем в области науки о данных. В этом посте мы рассмотрим две основные, но очень важные операции линейной алгебры: скалярное произведение и умножение матриц. Эти основные операции являются строительными блоками сложных моделей машинного обучения и глубокого обучения, поэтому важно понимать их.

 

Как найти скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов представляет собой сумму произведений элементов относительно положения. Первый элемент первого вектора умножается на первый элемент второго вектора и так далее. Сумма этих продуктов представляет собой точечный продукт, который можно сделать с помощью функции np.dot().

Давайте сначала создадим два простых вектора в виде массивов NumPy и посчитаем скалярное произведение.

Два пустых массива. | Изображение: Soner Yildirim

Скалярное произведение этих двух векторов представляет собой сумму произведений элементов в каждой позиции. В этом случае скалярный продукт равен (1*2)+(2*4)+(3*6) .

Скалярный продукт для двух массивов NumPy. | Изображение: Soner Yildirim

Поскольку мы умножаем элементы в одних и тех же позициях, два вектора должны иметь одинаковую длину, чтобы получить скалярное произведение.

Учебник по основам скалярного произведения. | Видео 3Blue1Brown.

Подробнее о науке о данных: пошаговое объяснение анализа главных компонентов

 

Как рассчитать матрицу скалярного произведения

В науке о данных мы в основном имеем дело с матрицами. Матрица — это набор векторов строк и столбцов, объединенных структурированным образом. Таким образом, умножение двух матриц включает множество операций скалярного произведения векторов. Будет понятнее, когда мы рассмотрим несколько примеров. Давайте сначала создадим две матрицы 2×2 с помощью NumPy.

Два массива 2×2 Num{y. | Изображение: Soner YildirimДва массива 2×2. | Изображение: Soner Yildirim

Матрица 2×2 состоит из двух строк и двух столбцов. Индекс строк и столбцов начинается с нуля. Например, первая строка A (строка с нулевым индексом) — это массив [4,2]. Первый столбец A — это массив [4,0]. Элемент первой строки и первого столбца равен четырем. Мы можем получить доступ к отдельным строкам, столбцам или элементам с помощью следующего синтаксиса NumPy.

Синтаксис NumPy для доступа к первому столбцу и строке массивов. | Изображение: Сонер Йилдирим

Это важные понятия, которые необходимо понять, чтобы понять умножение матриц.

Умножение двух матриц включает скалярное произведение между первой строкой матрицы и столбцами второй матрицы. Первым шагом является скалярное произведение между первой строкой A и первым столбцом B. Результатом этого скалярного произведения является элемент результирующей матрицы в позиции [0,0] (т.е. первая строка, первый столбец.)

Нахождение скалярного произведения двух матриц. | Изображение: Сонер Йилдирим

Таким образом, результирующая матрица C будет иметь (4*4) + (2*1) в первой строке и первом столбце. С[0,0] = 18 .

Следующим шагом является скалярное произведение первой строки A и второго столбца B.

Нахождение скалярного произведения первой строки A и второго столбца B. | Изображение: Soner Yildirim

C будет иметь (4*0) + (2*4) в первой строке и втором столбце. С[0,1] = 8 .

Первая строка A готова, поэтому мы начинаем со второй строки A и повторяем те же шаги.

Продолжение процесса скалярного произведения, умножение второй строки A и первого столбца B. | Изображение: Soner Yildirim

C будет иметь (0*4) + (3*1) во второй строке и первом столбце. С[1,0] = 3 .

Последний шаг — скалярное произведение между второй строкой A и вторым столбцом B.

Заключительный шаг в процессе скалярного произведения, умножение второй строки A и второй строки B. | Изображение: Soner Yildirim

C будет иметь (0*0) + (3*4) во второй строке и втором столбце. С[1,1] = 12 .

Теперь мы видели, как это делается шаг за шагом. Все эти операции также можно выполнить с помощью операции np.dot :

Нахождение матрицы скалярного произведения с помощью операции np.dot. | Изображение: Soner Yildirim

Как вы помните из векторного скалярного произведения, два вектора должны иметь одинаковую длину, чтобы получить скалярное произведение. Каждая операция скалярного произведения в матричном умножении должна следовать этому правилу. Скалярные произведения выполняются между строками первой матрицы и столбцами второй матрицы. Таким образом, строки первой матрицы и столбцы второй матрицы должны иметь одинаковую длину.

Здесь я хочу подчеркнуть важный момент: длина строки равна количеству столбцов. Точно так же длина столбца равна количеству строк.

Рассмотрим следующую матрицу D:

Пример матрицы 3×2. | Изображение: Soner Yildirim

D имеет три строки и два столбца, поэтому это матрица 3×2. Длина строки равна двум, что является количеством столбцов, а длина столбца равно трем, что является количеством строк.

Длина строки и столбца для матрицы D. | Изображение: Сонер Йилдирим

Это длинное объяснение, но суть в том, что для выполнения матричного умножения количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице.

Подробнее о науке о данных: 4 способа добавить столбец в Pandas

Например, мы можем умножить матрицу 3×2 на матрицу 2×3.

Умножение матриц 3×2 и 2×3 для получения матрицы скалярного произведения 3×3. | Изображение: Soner Yildirim

Форма результирующей матрицы будет 3×3, потому что мы выполняем три операции скалярного произведения для каждой строки A, а A имеет три строки. Простой способ определить вид получившейся матрицы — взять количество строк из первой и количество столбцов из второй:

• Умножение 3×2 и 2×3 возвращает 3×3.
• Умножение 3×2 и 2×2 возвращает 3×2.
• Умножение 2×4 и 4×3 возвращает 2×3.

Если условия, которые мы обсуждали, не выполняются, умножение матриц невозможно. Рассмотрим следующие матрицы C и D. Обе они являются матрицами 3×2:

Попытка перемножить две матрицы 3×2. | Изображение: Soner Yildirim

Если мы попытаемся умножить их, мы получим следующую ошибку значения:

Ошибка значения при попытке умножения двух матриц 3×2. | Изображение: Сонер Йилдирим.

Мы рассмотрели основные, но очень фундаментальные операции линейной алгебры. Эти базовые операции являются строительными блоками сложных моделей машинного обучения и глубокого обучения. В процессе оптимизации моделей выполняется множество операций умножения матриц. Таким образом, очень важно также понимать основы.

Карта механики — перекрестное произведение

Перекрестное произведение — это математическая операция, которая может выполняться над любыми двумя трехмерными векторами . Результатом операции перекрестного произведения будет третий вектор, который перпендикулярен обоим исходным векторам и имеет величину первого вектора, умноженную на величину второго вектора, умноженную на синус угла между векторами.

Перекрестное произведение двух векторов будет вектором, перпендикулярным обоим исходным векторам с величиной A, умноженной на B, умноженной на синус угла между A и B.

При нахождении векторного произведения вы можете заметить, что на самом деле их два направления, которые перпендикулярны обоим исходным векторам. Эти два направления будут прямо противоположными. Чтобы найти, какое из этих двух направлений использует векторное произведение, мы будем использовать правило правой руки .

Чтобы использовать правило правой руки, вытяните правую руку, укажите указательным пальцем в направлении первого вектора, поверните средний палец в направлении второго вектора и поднимите большой палец. Теперь ваш большой палец должен указывать в направлении вектора векторного произведения.

Мы можем использовать правило правой руки, чтобы определить направление векторного произведения. Изображение адаптировано из работы Acdx под лицензией CC-BY-SA 3.0.

Еще одна вещь, которую вы можете заметить с помощью правила правой руки, заключается в том, что изменение порядка двух входных векторов (переключение A и B) приведет к тому, что векторное произведение укажет точно в противоположном направлении. Это потому, что операция перекрестного произведения равна не общительный , что означает, что порядок имеет значение. В частности, переключение порядка ввода дает вам результат, прямо противоположный исходному расчету.

Чтобы найти перекрестное произведение вручную, самый простой способ заключается в следующем.

1. Запишите буквы x y z x y в ряд, как показано на рисунке ниже.
2. Запишите компоненты x, y и z первого вектора под соответствующими буквами выше. Повторите это для второго вектора, записав второй вектор в строке под первым вектором.
3. Нарисуйте диагонали, как показано на рисунке. Диагонали, идущие вправо при движении вниз, представляют собой положительные величины, а диагонали, идущие влево при движении вниз, представляют собой отрицательные величины.
4. Используя буквы, через которые проходят диагонали в верхнем ряду, в качестве руководства для того, какой компонент результата является частью каждой величины, возьмите сумму положительных и отрицательных диагональных произведений для каждого из трех компонентов в результате. Это должно дать вам окончательную формулу, показанную на диаграмме.

Мы можем использовать иллюстрацию выше, чтобы помочь запомнить формулу векторного произведения.

В дополнение к вычислению перекрестного произведения вручную, мы также можем использовать компьютерные инструменты, такие как команда «перекрест» в MATLAB, или веб-инструменты, такие как калькулятор векторных операций Wolfram, ссылка на который приведена на боковой панели этой страницы.