Произведение вектора на число: операции, свойства и примеры

Содержание:

1. Откладывание вектора от данной точки
2. Произведение вектора на число
3. Свойства произведения
4. Пример задачи с операцией умножения

Откладывание вектора от данной точки

Раскрытие операции произведения вектора на число невозможно без понимания операции откладывания вектора от данной точки. Рассмотрим определение.

Определение 1
Точка, от которой начинается вектор – это начало вектора, от которого откладывается вектор. На рисунке такая точка отмечена как точка А.

Следующий шаг – рассмотрение теоремы.

Теорема 1

От любой точки начала вектора можно отложить только один вектор.

Как доказать эту теорему?

Что мы имеем: два возможных варианта событий, согласно первому – вектор нулевой, согласно второму – ненулевой.

В первом случае искомый вектор – АВ, во втором случае требуется более детальное рассмотрение.

Если принять точку А за начало вектора, а В за конец и провести через К параллельную вектору a прямую, а затем отложим на этой прямой равные отрезки KL и AB, KM и AB, то один из векторов с буквой К будет иметь одинаковое направление с вектором а.

Что мы имеем в итоге: на рисунке видно, что один из векторов единственно возможен как равный и однонаправленный с вектором а.
Теорема, таким образом, доказана.

Произведение вектора на число

Перейдём непосредственно к операции умножения. Введём обозначения: мы имеем вектор а и число к.

Определение 2
Умножая вектор а на число к, мы получаем вектор b, который должен соответствовать следующим параметрам:

1. Его длина рассчитывается так: |b →|=|k||a →|;
2. И а, и b имеют одно направление, если к больше нуля или равно, и разное направление, если к меньше нуля.

С помощью символов данную операцию можно обозначить так: b →=ka →.

Примечание
Важно учитывать то, что при умножении вектора на число, мы получаем векторную величину, а не число.

Свойства произведения вектора на число

Если умножить вектор на 0, то результатом будет нулевой вектор.

Необходимо доказать данное утверждение.

Что мы имеем: |b →|=|k||a →|=0⋅|a →|=0, а значит b →=ka →=0→

Таким образом, при умножении вектора а на действительное число к, получается вектор ка, коллинеарный вектору а.

Построение доказательства:

Согласно определению, коллинеарность векторов зависит от значения к, независимо от их направления относительно друг друга.

Если взять числа n и m, на которые распространяется сочетательный закон (посмотреть более точно можно на рисунке), то мы получим следующую формулу: (mn)a →=m(na →)

Доказательство закона реализуется посредством этих операций:

Таким образом, при наличии двух действительных чисел и одного вектора, актуализируется и первый распределительный закон, а формула выглядит так: (m+n)a →=ma →+na →

Более подробно доказательство закона:

Согласно второму распределительному закону, при наличии одного числа и двух векторов, мы получаем следующее выражение: m(a →+b→)=ma →+mb →

Доказательство второго закона:

Рисунок 5. Второй распределительный закон

Пример задачи с операцией умножения

Пример 1
Пусть x→=a →+b→, y→=a →−b→. Найти векторы:

• 2x→+2y→
• x→+12y→
• −y→−x→

Решение.

• x→+2y→ = 2(a →+b→)+2(a →−b→) = 2a →+2b→+2a →−2b→ = 4a →
• x→+12y→ = a →+b→+12(a →−b→) = a →+b→+12a →−12b→ = 32a →+12b→ = 3a →+b→2
• −y→−x→ = −(a →−b→)−(a →+b→) = −a →+b→−a →−b→ = −2a →

Конспект урока «Умножение вектора на число»

Уже стало привычным, что действия над векторами в пространстве выполняются так же, как и  на плоскости (за исключением сложения нескольких векторов). На этом уроке аналогично тому,  как это было на плоскости, вводится определение произведения вектора на число. Конспект урока «Умножение вектора на число»    Материал урока. Вам уже знакомы правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника сложения векторов. Чтобы сложить неколлинеарные векторы от некоторой точки А отложить вектор отложить вектор , равный вектору и двух векторов . и , равный вектору по правилу треугольника, нужно . Далее от точки B . Вектор является вектором суммы Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы векторам вектор соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда и равен сумме векторов , равные и и . Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего. Причём полученный многоугольник может быть не только плоским, но и пространственным. Также вы владеете двумя способами построения вектора разности. Можно от некоторой точки О отложить векторы При этом вектором их разности будет вектор вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого. и , равные векторам и . , направленный от конца Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов можно представить в виде суммы вектора и вектора, противоположного вектору . и Тогда, отложив от некоторой точки О вектор — вектор , равный вектору «- », по правилу треугольника получим вектор Он является вектором суммы вектора И, соответственно, вектором разности векторов и . и вектора, противоположного вектору , равный вектору , а от точки А . . Как и на плоскости в пространстве вектор можно умножать на число. На этом-то уроке мы и поговорим об умножении вектора на число в пространстве. Рассмотрим пример, который поможет нам вспомнить, что представляет собой произведение вектора на число. Парусник дрейфует прямолинейно с одной и той же скоростью, а один из лайнеров движется в попутном направлении со скоростью в пять раз большей. Второй лайнер движется им на встречу, то есть в противоположном направлении, с той же скоростью, что и первый лайнер. Если изобразить скорость парусника вектором движущегося в попутном направлении, нужно изобразить в виде сонаправленного вектора, длина которого в пять раз больше. И выразить эту скорость можно через скорость , то скорость первого лайнера, умножением на 5. Вектор скорости второго лайнера должен иметь такую же длину, как и вектор скорости первого лайнера, но он должен быть ему противоположно направленным. Значит, его можно выразить через вектор умножением на -5. на число k называется , длина которого равна произведению модуля числа k и длины Определение. Произведением ненулевого вектора такой вектор данного вектора и противоположно направлены, если k<0. Произведение числа k на вектор плоскости. . Причем векторы сонаправлены, если k , и в пространстве обозначают так же как и на Имеют место такие следствия из определения. Действительно, по определению длина этого вектора равна произведению длины вектора на 0, то есть равна 0. Значит, получаем нулевой вектор. Вторым следствием из определения является то, что ненулевой вектор коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора на число k. Ведь, если k≥0, то полученный вектор сонаправлен вектору противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны. , а если k<0, то он Свойства умножения вектора на число, известные нам из планиметрии, имеют место и для векторов в пространстве.Напомним их. Чтобы умножить вектор сначала умножить на число l, а затем на число k. Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так. на произведение чисел k и l, можно вектор Вторым свойством запишем, что произведение вектора равно сумме произведений «вектора Это первый распределительный закон. на число k» и «вектора на сумму чисел k и l на число l». Запишем второй распределительный закон. Произведение суммы векторов «вектора и на число k» и «вектора на число k равно сумме произведений на число k». Стоит также напомнить, что эти свойства позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях. Упростим следующие выражения. Выполним задание, где рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1, диагонали которого пересекаются в точке О. Для каждого из равенств нужно найти такое число k, чтобы равенства были верными. Рассмотрим первое равенство, . Для наглядности, изобразим каждый из данных векторов. Рассмотрим грань ABCD, которая является квадратом, так как перед нами куб. Это значит, что стороны AB и CD параллельны и равны. Рассмотрим следующее равенство . Изобразим векторы и . Понятно, что диагонали куба точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим последнее равенство . Изобразим векторы и . Так мы с вами нашли значение числа k для каждого из равенств. Выполним ещё одно задание. Задача. соответственно. параллелограмм. Точки и середины сторон и произвольная точка пространства. Выразить: а) через б) через Решение. Обратимся к пункту А. Обратим своё внимание на пункт Б. Подведём итоги нашего урока. Сегодня мы сформулировали определение произведения вектора на число в пространстве, которое ничем не отличается от аналогичного определения для векторов на плоскости. Произведением ненулевого вектора длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора Причем векторы сонаправлены, если k≥0, и противоположно направлены, если k<0. на число k называется такой вектор и , . Мы вспомнили свойства умножения вектора на число, известные нам из планиметрии, которые имеют место и для векторов в пространстве. А также отметили, что, как и на плоскости, в пространстве любой ненулевой вектор пространства можно представить в виде произведения коллинеарного ему вектора на некоторое число k. Все эти знания мы применили при выполнении заданий уже не на плоскости, а в пределах пространства.

2.3. Умножение вектора на число (скаляр).

Определение 5. Произведением вектора на число λ называется век-тор , модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа λ , а направление совпадает с направлением вектора , если и противоположно направлению вектора , если .

При , или = 0 считают вектор нулевым. Из приведенных вы-ше определений вытекают следующие свойства линейных операций:

1). (переместительность сложения векторов – комму- тативность).

2). (сочетательность сложения векторов – ассоциати-вность).

3). (существование противоположного вектора).

4). (существование нулевого вектора).

5).

6). (ассоциативность умножения на число).

7). (распределительность или дистрибутивность ум-ножения векторов на числа относительно сложе-ния векторов).

8). (дистрибутивность умножения векторов на числа относительно сложения чисел).

Замечание 1. Векторную сумму можно преобразовать по тем же правилам, что и алгебраическую, а именно :

а) общий множитель выносить за скобки

б) раскрывать скобки и приводить подобные

в) переносить члены из одной части равенства в другую с про-тивоположным знаком.

Замечание 2. Линейные операции над векторами установлены в соответст-вии с физическими законами, приводящими к подобным опе-рациям над векторными величинами .

18. Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Определение 3. Декартовой системой координат в пространстве назы-вается совокупность точки 0 и базиса .

При этом различают аффинную и прямоугольную систему декартовых координат (Рене Декарт (1596-1650) – французский математик и философ).

В случае аффинной системы декартовых координат базисные векторы имеют произвольные направления, оставаясь некомпланарными.

При изучении последующих вопросов при решении задач векторной алгебры и аналитической геометрии будем пользоваться декартовой системой координат , когда базисные векторы попарно перпендикулярны и имеют длину, равную единице.

Базис, состоящий из взаимно перпендикулярных единичных векторов, называется ортонормированным базисом. Векторы ортонормированного ба-зиса в пространстве называются ортами и обозначаются , а на плос-кости – через . Это, так называемый, декартов базис .

Декартова система координат с ортонормированным базисом называется прямоугольной системой координат, которая может быть правой или левой (в дальнейшем будем использовать правую систему координат) (рис.2.4). Обоз-начается обычно : 0xyz Z

z

M(x,y,z)

M₁

α β y Y

0

x

X

Рис.2.4. Правая прямоугольная система координат в пространстве

Точка 0 – начало координат. Ось 0Х – ось абсцисс, ось 0У – ось ординат, а ось 0Z – ось аппликат (различают их положительные и отрицательные по-луоси). Плоскости х0У, х0Z и У0Z называются координатными плоскостями.

9 кл умножение вектора на число

Рисунки Савченко Е.М. Все рисунки в презентации выполнены с помощью инструментов панели рисования программы Microsoft PowerPoint .

Цель урока:

• Рассмотреть основные свойства умножения вектора на число
• Сформировать навыки решения задач на применение свойств умножения вектора на число

х

3

1

х

х

-4

JO = CK

XD = CK

–

–

СК = JO

4

4

A

B

N

D

C

х

0

NN = XD

M

R

E

S

F

х

ХТ = XD

х не существует

Q

V

U

Y

T

1

х

XT = XT

I

G

X

P

O

— 1

х

TX = XT

K

H

J

L

Z

3

О – точка пересечения медиан треугольника.

3

B

х

ВК = ОК

1

х

–

К O = В K

3

х

2

ОВ = КО

T

O

A

K

C

4

ABCD – трапеция.

С

В

8

х

– 0, 8

BC = DA

10

х

–

DA = BC

8

D

А

10

5

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами.

a

b

b

l

k

Для любых , и любых чисел , справедливы равенства:

k (l a)

(kl)a =

1

Сочетательный закон

(k+l)a =

ka + la

2

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Первый распределительный закон

ka + kb

k (a + b) =

3

Второй распределительный закон

6

y = m – n

х = m + n,

№ 781 Пусть

n

m

Выразите через и

векторы

2х – 2у

1

2х + у

2

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

1

– х – у

3

7

Задача

Построить вектор

В

С

Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 9 класс». – М.: ВАКО, 2007. – 320 с. – (В помощь школьному учителю)

А

7

Задача

Построить вектор

В

С

Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 9 класс». – М.: ВАКО, 2007. – 320 с. – (В помощь школьному учителю)

А

9

Задача

=

Построить вектор.

В

С

CA

AC

Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 9 класс». – М.: ВАКО, 2007. – 320 с. – (В помощь школьному учителю)

D

А

АВС D – параллелограмм.

10

Задача

Построить вектор.

С

В

AC

Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 9 класс». – М.: ВАКО, 2007. – 320 с. – (В помощь школьному учителю)

D

А

АВС D – параллелограмм.

11

Точка С – середина отрезка АВ,

а О – произвольная точка плоскости. Доказать, что

B

Задача

C

A

O С =

O А + АС

+

O С =

O В + ВС

O

0

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

( )

2 O С = ОА + ОВ + АС + ВС

: 2

2 O С = ОА + ОВ

1

O С = (ОА + ОВ)

2

12

Докажите теорему о средней линии

треугольника.

Задача

В

NB + BM

NM =

+

NA + A С + CM

NM =

M

0

0

N

( )

( )

2 NM = NB + NA + АС + В M + CM

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

2 NM = AC

: 2

1

NM = AC

1

2

NM = AC

С

A

2

NM

AC

13

Средняя линия трапеции параллельна

основаниям и равна их полусумме.

Теорема

В

С

NB + B С + СМ

NM =

+

NA + AD + DM

NM =

Правило

многоугольника

0

0

M

N

( )

( )

2 NM = NB + NA + B С + AD + CM +DM

: 2

2 NM = В C + AD

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

1

NM = (BC+AD)

2

D

A

1

NM = BC+AD

BC

AD;

NM

2

14

АВС D – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1,

К – середина DC , АВ = , AD = . Выразите через

векторы и векторы:

Задача

b

a

a

b

В

AE

a

AK

E

А

С

Гаврилова Н. 3 $ , в качестве $$ m ({\ bf x_1}, {\ bf x} _2) = (\ overline {{\ bf x} _1} \ cdot {\ bf x} _2, s (\ overline {{\ bf x} _1} , {\ bf x} _2)).4 $ можно обработать аналогично.

Векторное произведение точек — пояснения и примеры

В физике и математике скалярное произведение векторов является одним из самых фундаментальных и важных понятий. Вся основа физических концепций реального времени и пространства основана на векторном скалярном произведении.

Проще говоря, скалярное произведение векторов определяется как:

«Умножение двух векторов определяется как скалярное произведение векторов».

В этом разделе мы рассмотрим следующие концепции:

• Что такое скалярное произведение?
• Как сделать скалярное произведение?
• Какова формула скалярного произведения?
• Каковы свойства скалярного произведения?
• Примеры
• Практические задачи

Что такое скалярное произведение?

Умножение векторов выполняется посредством скалярного произведения, так что два перемножаемых вектора дают скалярное произведение.

Самая фундаментальная концепция в математике, умножение, не ограничивается только действительными числами (определяемыми как шкалы в математических терминах). Концепция умножения также может быть реализована в рамках векторной геометрии.

Вот где появляется скалярное произведение. Векторы умножаются с помощью скалярного произведения, и их умножение называется очень известным «скалярным произведением».

Давайте рассмотрим 2 вектора, а именно a и b .Два вектора расположены так, как показано на рисунке ниже:

Два вектора, a, и b, , также образуют между собой угол θ. Рассмотрим величину вектора a как | a | а величина вектора b должна быть | b |. Эту величину также можно описать как длину векторов a, и b. Теперь, когда у нас есть векторы, их скалярное произведение можно найти, выполнив следующее:

a.b = | a | х | б | x cosθ

Интересный факт о скалярном произведении заключается в том, что, хотя процесс умножения включает в себя умножение двух векторов друг на друга, результат, который они отображают, на самом деле является скаляром , или, в нематематических терминах, невекторным вещественным числом. .

Концепция скалярного произведения широко применяется в математике и физике. Мир вычислений — это все о силах и движении, и понимание концепции без знания скалярного произведения просто неизбежно.Силы и движение представлены векторами, и, следовательно, скалярное произведение также может применяться для нахождения результирующего или направления этих векторов.

Пример 1

Длина вектора a равна 13, а длина вектора b равна 10. Угол между ними составляет 60𝇇. Найдите их точечный продукт.

Решение

Нам известна формула скалярного произведения:

a.b = | a | х | б | x cosθ

Мы знаем, что

Длина a: | a | = 13

Также

Длина b: | b | = 10

Следовательно, скалярное произведение:

a.b = 13 x 10 x cos (60𝇇)

a.b = 130 x cos (60𝇇)

a.b = 65

И скалярное произведение — это скалярное число.

Пример 2

Величина силы составляет 200 Н, а величина смещения — 30,9. Сила составляет со смещением угол 45,7𝇇. Найдите работу, выполненную с помощью скалярного произведения.

Решение

Нам известна формула скалярного произведения:

a.b = | a | х | б | x cosθ

Пусть сила равна a, а смещение — b.

Now,

Длина a: | a | = 200

Также

Длина b: | b | = 30,9

Следовательно, скалярное произведение:

ab = 200 x 30,9 x cos (45,7𝇇)

ab = 6180 x cos (45,7𝇇)

ab = 4316,2

И скалярное произведение — это скалярное число.

Области применения скалярных произведений варьируются от механики, движения, взаимодействия сил до расстояния и навигации по точкам пути и оптимизации местоположения.Существует множество факторов, которые делают скалярное произведение уникальным, например, тригонометрическая функция cosθ вместо других функций. Все эти факторы будут подробно рассмотрены в этой теме.

Как найти скалярное произведение

Чтобы проанализировать, как на самом деле найти скалярное произведение, давайте рассмотрим два вектора, a и b. Векторы a и b также имеют угол θ между собой. Теперь давайте снова рассмотрим формулу:

a.b = | a | х | б | x cosθ

Скалярное произведение, однако, можно вычислить, выполнив следующие шаги:

1. Умножьте длины или величины векторов.
2. Умножьте произведение величин на угол.
3. Угол имеет форму cosθ.
4. Полученный результат представляет собой скалярное произведение.

При взгляде на эту формулу обязательно возникнет один вопрос: почему у любого человека возникает вопрос: почему cosθ? Почему не использовать другие тригонометрические функции, такие как sinθ или tanθ?

Ответ на этот глубоко заданный вопрос дается ниже:

Почему cosθ:

Единственное требование для реализации скалярного произведения состоит в том, что 2 вектора, которые перемножаются, должны быть параллельны по направлению или направлены внутрь. в том же направлении.С математической точки зрения, мы можем заключить это, сказав, что два вектора должны иметь угол 0 ° между ними.

Теперь, если мы погрузимся в тригонометрические функции, и sinθ, и tanθ дадут результат 0. А поскольку скалярное произведение включает в себя умножение длин векторов на тригонометрическую функцию, мы не можем использовать sinθ и tanθ, поскольку это всегда будет приравнять уравнение скалярного произведения к нулю.

Но, с другой стороны, если мы проанализируем тригонометрическую функцию cosθ, очевидно, что cosθ дает результат 1.Это упрощает наше обсуждение и дает точные ненулевые результаты скалярного произведения.

Следовательно, математически заключая, это точная причина, по которой мы используем указанную ниже формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов:

a.b = | a | х | б | x cosθ

Аналогично, мы можем найти угол между двумя векторами, используя ту же формулу. Все, что для этого требуется, — это немного изменить формулу, чтобы найти угол между двумя векторами.

Формулу можно изменить следующим образом:

a.b = | a | х | б | x cosθ

( a.b ) / (| a | x | b |) = cosθ

Или,

θ = cos-1. ( a.b ) / (| a | x | b |)

Давайте проведем несколько примеров, чтобы лучше понять концепцию угла между двумя векторами.

Пример 3

Скалярное произведение двух векторов a и b равно 57,8. Длина вектора a равна 45, а длина вектора b равна 34. Найдите угол между ними.

Решение

Чтобы найти направление, мы реализуем формулу угла, которая выглядит следующим образом:

θ = cos-1.( a.b ) / (| a | x | b |)

Теперь для знаменателя:

| a | х | б | = 45 x 34

| a | х | б | = 1530

Теперь применим формулу:

θ = cos-1. (57,8) / (1530)

θ = cos-1. (0,0377)

θ = 1,533𝇇

Следовательно, это угол между двумя векторами a, и b.

Пример 4

Скалярное произведение двух векторов длиной 13 и 10 равно 65.Рассчитайте угол между ними.

Решение

Чтобы найти направление, мы реализуем формулу угла, которая выглядит следующим образом:

θ = cos-1. ( a.b ) / (| a | x | b |)

Теперь для знаменателя:

| a | х | б | = 13 x 10

| a | х | б | = 130

Теперь применим формулу:

θ = cos-1. (65) / (130)

θ = cos-1. (0.5)

θ = 60𝇇

Следовательно, это угол между двумя векторами a, и b.

Теперь давайте рассмотрим другое обстоятельство, при котором векторы не выровнены параллельно.

Другой метод нахождения точечного произведения

Мы всесторонне обсудили, что любой вектор, который существует в пространстве, будь то двумерный или трехмерный, этот вектор, как говорят, имеет некоторые соответствующие компоненты, направленные вдоль осей плоскостей. в котором существует вектор.

Рассмотрим вектор v, существующий в двумерной плоскости.Этот вектор v будет иметь 2 компонента, каждая из которых направлена ​​вдоль соответствующей оси. Разделение этого вектора на 2 компонента можно представить, как показано на рисунке ниже:

Оба вектора a и b будут иметь x-компоненту (по оси x) и y-компонент (по оси y) каждый. Итак, мы можем изменить формулу для скалярного произведения, чтобы учесть концепцию компонентов вектора, следующим образом:

a.b = ax.bx + ay.by

Где ax и bx — компоненты вдоль оси x, а ay и by — компоненты вдоль оси y.

Вывод этой формулы приведен ниже:

a.b = | a | х | б | x cosθ

Длины векторов также могут быть представлены в терминах их компонентов:

a.b = (ax + ay). (bx + by). cosθ

ab = (ax.bx.cosθ) + (ay.by.cosθ) + (ax.by.cosθ) + (ay.bx.cosθ)

Мы уже упоминали, что скалярный продукт является наиболее важным Условие состоит в том, что 2 вектора должны быть параллельны друг другу, чтобы cosθ мог быть равен 1.Векторы, направленные по оси x и оси y, параллельны друг другу, а остальные — ортогональны.

Следовательно, мы можем провести вывод следующим образом:

ab = (ax.bx.cos0𝇇) + (ay.by.cos0𝇇) + (ax.by.cos90𝇇) + (ay.bx .cos90𝇇)

ab = ax.bx + ay.by

Это точечный продукт, определенный в терминах компонентов вектора.

Эти компоненты также можно определить с помощью математических терминов i и j. Для компонентов по оси x используется i, а для компонентов по оси y используется j.

Итак, формулу также можно записать как:

a.b = ai.bi + aj.bj

Давайте решим несколько примеров для лучшего понимания.

Пример 5

Найдите скалярное произведение векторов, показанных на рис (3).

Решение

На рисунке видны следующие данные:

ax = -6, ay = 8, bx = 5, by = 12

Теперь, применив формулу:

a.b = ax.bx + ay.by

ab = (-6). (5) + (8). (12)

ab = -30 + 96

ab = 66

Следовательно, полученный ответ — скалярная величина .

Пример 6

Найдите скалярное произведение следующих двух векторов:

a = 5i — 8j; b = i + 2j

Решение

В этом примере мы можем использовать следующую формулу:

a.b = ai.bi + aj.bj

Теперь вставляем значения в эту упомянутую формулу:

ab = (5). (1) + (-8). (2)

ab = 5 — 16

ab = -11

Следовательно, полученный ответ является скалярной величиной.

Точечное произведение в случае трех измерений

Векторы не обязательно должны существовать только в двухмерной плоскости. Векторы также могут существовать в трехмерной плоскости. Мы уже подробно обсуждали, что если вектор существует в трехмерной плоскости, он состоит из трех компонентов: x, y и z-компонента.

Концепция скалярного произведения также может быть распространена на трехмерные векторы. В таком случае каждый вектор будет состоять из трех компонентов; x, y и z. Итак, чтобы оценить скалярное произведение векторов, существующих в трехмерной плоскости, мы используем следующую формулу:

ab = ax.bx + ay.by + az.bz

Каждая формула может быть написано также в математических терминах. Так же, как мы сделали для двухмерного изображения, мы применим ту же технику и для трехмерного.С математической точки зрения, для компонентов вдоль оси x может использоваться i , для компонентов вдоль оси y можно использовать j , а для компонентов вдоль оси z k равно использовал.

Следовательно, используя это представление, формула для скалярного произведения также может быть записана следующим образом:

ab = ai.bi + aj.bj + ak.bk

Мы можем еще больше усилить концепцию трехмерных векторов, проводя следующие примеры.

Пример 7

Для двух векторов (9,2,7) и (4,8,10) найдите скалярное произведение.

Решение

Как видно из примера, данные данные предназначены для трехмерных векторов, поэтому мы применяем следующую формулу:

ab = ax.bx + ay.by + az.bz

Теперь давайте вставим эти значения:

ab = (9). (4) + (2). (8) + (7). (10)

ab = 36 + 16 + 70

а.b = 122

Требуемый скалярный продукт, полученный в скалярном количестве.

Пример 8

Найдите скалярное произведение следующих двух векторов:

a = 3j — 7k; b = 2i + 3j + k

Решение

В этом примере мы используем следующую формулу:

ab = ai.bi + aj.bj + ak.bk

Теперь, вставив значения:

ab = (0). (2) + (3). (3) + (-7).(1)

a.b = 0 + 9-7

a.b = 2

Требуемый скалярный продукт, полученный в скалярной величине.

Формулы для скалярных произведений

До сих пор совершенно очевидно, что скалярное произведение не может быть определено одной формулой. Существует несколько формул и несколько выражений, с помощью которых можно представить скалярное произведение в зависимости от типа вектора, представленного в постановке задачи.

Давайте объединим все эти формулы под одним заголовком.

• Общая формула для нахождения скалярного произведения, когда указаны 2 вектора и их длины, указана ниже:

a.b = | a | х | б | x cosθ

• Угол между двумя векторами, если задано их скалярное произведение, можно найти по следующей формуле:

θ = cos-1. ( a.b ) / (| a | x | b |)

• Точечный разрез двух векторов в терминах их компонентов на двумерной плоскости можно найти по следующей формуле:

a.b = ax.bx + ay.by

Эту же формулу также можно записать как:

ab = ai.bi + aj.bj

• Точечное произведение двух векторов через их компоненты в трехмерную плоскость можно найти по следующей формуле:

ab = ax.bx + ay.by + az.bz

Эту же формулу можно также записать как:

ab = ai. bi + aj.bj + ak.bk

Следовательно, эти формулы можно использовать для решения практически любой задачи, связанной с векторными скалярными произведениями.Везде, где есть случай умножения векторов, требующий скалярного произведения, скалярное произведение векторов является лучшим правдоподобным решением.

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение — одно из наиболее важных понятий физики и математики, и на эту тему можно писать целые эссе. Будучи одним из самых фундаментальных понятий в математике и физике, он имеет определенные свойства, связанные с ним, которые еще больше повышают уникальность и достоверность векторного скалярного произведения.

Итак, общее резюме одной из самых знаковых концепций векторной геометрии, векторного скалярного произведения, приведено ниже:

Коммутативное

Векторное скалярное произведение является коммутативным по своей природе. Это означает, что даже поменяв местами элементы в уравнении скалярного произведения, результат останется прежним.

Эту концепцию можно понять следующим образом:

a.b = b.a

То же понятие можно также записать как:

| a | х | б | x cosθ = | b | х | а | x cosθ

Скалярное произведение

Одним из уникальных свойств скалярного произведения является его способность генерировать скалярный ответ.Хотя процесс умножения включает 2 вектора, результат, который они дают, является скалярной величиной.

Эту концепцию можно объяснить с помощью следующей традиционной формулы:

a.b = | a | х | б | x cosθ

Ортогональные векторы

Очень известное скалярное произведение также можно использовать для проверки того, являются ли два вектора ортогональными по своей природе или нет. Проще говоря, мы можем заявить, что скалярное произведение является проверкой действительности, чтобы убедиться, что 2 перемножаемых вектора перпендикулярны друг другу или нет.

Если результат равен 0, то это гарантирует, что 2 вектора фактически перпендикулярны друг другу. Следующий пример может усилить эту концепцию:

Пример 9

Найдите скалярное произведение двух векторов (-12, 16) и (12, 9).

Решение

Для нахождения скалярного произведения воспользуемся следующей формулой:

ab = ax.bx + ay.by

Реализация значений:

ab = (-12). (12) + (16).(9)

a.b = -144 + 144

a.b = 0

Поскольку скалярное произведение равно 0, следовательно, два вектора ортогональны друг другу.

Распределительный

Известное математическое свойство, закон распределения, также может быть реализовано на скалярном произведении. Это правило может применяться к скалярным произведениям поверх сложения. Мы можем выразить это свойство следующим образом:

(b + c) = (ab) + (ac)

Результат, полученный с обеих сторон уравнения, будет равным, что обеспечит скалярное произведение над сложением в форме распределительной собственности.

Практические задачи

1. Определите угол между векторами (3, -4, -1) и (0, 5, 2).
2. Найдите скалярное произведение векторов (6, 2, -1) и (5, -8, 2).
3. Если длины двух векторов a и b равны 4 и 2 соответственно с углом 60 ° между ними, найдите скалярное произведение.
4. Определите, являются ли векторы (6, -2, -1) и (2, 5, 2) ортогональными или нет.
5. Определите угол между векторами (9, 2, 7) и (4, 8, 10).

Ответы

1. 143 °
2. 12
3. 4
4. Да
5. 38,2 °

Все диаграммы построены с использованием GeoGebra.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Скалярное произведение — The Math Doctors

Изучив основы определения и сложения векторов, умножения на скаляры и нахождения единичных векторов, пора взглянуть на умножение векторов вместе.Что отличает это от работы с числами, так это то, что есть два способа (на самом деле, более двух!) Умножить два вектора. Сегодня мы рассмотрим один из них, «скалярное произведение», результатом которого является не вектор, а скаляр (поэтому его также называют «скалярным произведением» или иногда «внутренним произведением»). Мы увидим два разных определения и несколько разных доказательств ключевой взаимосвязи, подчеркивающих разные детали.

Что это? Выбор определений

У нас был ряд вопросов о том, что такое скалярное произведение, и мы дали почти противоречивые ответы, потому что его можно определить двумя разными способами.Я попытаюсь соединить их вместе, чтобы составить единое целое. Вот наш первый вопрос из 1998 года:

 Объяснение скалярного произведения

В настоящее время я учусь в старшей школе и преподаю тригонометрию. Делаем единицу по векторам. Когда преподавали внутреннее (точечное) произведение, возникло много вопросов. Все понимали, что при задании вектора u и вектора v,  скалярное произведение равно || u || раз || v || умноженное на косинус угла между ними , но у нас возникла проблема, когда мы получили ответ.Все понимали, что ответ был скаляром, а не вектором, но нет графического представления для , что этот скаляр означает . Я проверил множество источников (все учебники, которые попадались мне в руки, Интернет, математический факультет в университете, который я посещаю, и математический факультет, где я преподаю). Я попросил студентов найти ответ в Интернете и в библиотеке. Мы выполнили упражнение с рисованием векторов и сравнением скалярного произведения с векторами.Никто из нас не смог найти понятного значения скалярного произведения. Мы исчерпали свои ресурсы и надеемся, что вы сможете нам помочь. Мы выполнили задачи, связанные с работой и скалярным произведением, поэтому  мы видели реальное приложение , но все еще не понимаем, что это такое на самом деле.

ВОПРОС:
  Что именно представляет собой скалярное произведение?  Есть ли графическое объяснение полученного скаляра?

Пожалуйста, помогите нам устранить путаницу. Спасибо. 

Пола учили, что скалярное произведение двух векторов u и v является произведением их величин и косинуса угла между ними.Ему, очевидно, это не кажется достаточно осязаемым или достаточно важным, чтобы быть его сутью. Что это на самом деле?

Доктор Энтони ответил, изменив начальную точку:

 Возможно, вы  неправильно думаете о скалярных произведениях в районе . Скалярное произведение вектора (x1, y1, z1) и вектора (x2, y2, z2) записывается за несколько секунд:

     v1.v2 = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

Теперь, имея это, мы можем найти угол между v1 и v2, поскольку:

                    v1.2).

Выражая v2 как единичный вектор, мы также можем записать  компонент v1 в направлении v2 . Мы можем проверить, что два вектора перпендикулярны, поскольку, если они перпендикулярны, cos (theta) = 0 и v1.v2 = 0. 

Есть два фундаментальных факта о скалярном произведении, любой из которых можно принять в качестве его определения:

$$ \ mathbf {v_1} \ cdot \ mathbf {v_2} = | \ mathbf {v_1} | | \ mathbf {v_2} | \ cos \ theta $$

, где \ (\ theta \) — угол между ними, а

$$ \ mathbf {v_1} \ cdot \ mathbf {v_2} = (x_1, y_1, z_1) \ cdot (x_2, y_2, z_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 $$

Итак, с точки зрения доктора Энтони, то, что скалярное произведение равно , представляет собой простой способ объединить компоненты двух векторов и не более того, само по себе .Компонентное определение для него более фундаментально; это вполне разумный поступок, чтобы попытаться проделать это с двумя векторами. Тогда случается, что это имеет некоторые последствия , которые делают его полезным. Возможно, наиболее наглядное из них относится к компоненту (или проекции) одного вектора в направлении другого. В частности, если \ (\ mathbf {u} \) — единичный вектор, то \ (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u} \) — длина проекции \ (\ mathbf {v } \) на \ (\ mathbf {u} \):

Следовательно, скалярное произведение \ (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w} \) можно представить как длину одного, умноженную на длину проекции на него другого:

Или мы могли бы сказать, что скалярное произведение — это проекция одного единичного вектора на другой, умноженная на обе длины.Это, на мой взгляд, ответ на главный вопрос Павла. Но доктор Энтони прав в том, что это не то, чье значение изначально было бы очевидным, что побудило человека дать такое определение.

 Поскольку работать с векторами в 3-х измерениях так же легко, как и в 2-х измерениях, вы обнаружите, что  большая часть 3D-геометрии создается с использованием векторов , и скалярное произведение появляется практически в каждой проблеме, о которой вы можете подумать; например, определение расстояния точки от плоскости или от линии, или кратчайшее расстояние между двумя линиями в пространстве, или уравнение плоскости, определяемой тремя точками.Некоторые из них также можно решить с помощью продуктов VECTOR, но это более продвинутая концепция. 

Это полезность скалярного произведения, а не то, что оно представляет собой само по себе, поэтому стоит определять его. Из-за тесной связи скалярного произведения с углом между векторами многие вычисления, которые потребуют сложной тригонометрии, могут быть быстро выполнены с помощью векторов.

 Короче говоря,  мы не ставим перед собой задачу найти скалярное произведение . Мы решили найти углы между векторами, составляющую вектора в каком-либо направлении, расстояние от точки до линии или плоскости, уравнение плоскости и т. Д. И т. Д., И мы используем точечные произведения для получения ответы на эти вопросы.Точно так же вы не умножаете два числа ради удовольствия. Вы умножаете числа, чтобы ответить на какой-то вопрос, который требует использования техники умножения в качестве существенной помощи. 

Итак, что — это скалярное произведение ? Простой инструмент с мощными приложениями. Это может быть сложно изобразить, но его сила исходит из чего-то более глубокого. (Кстати, вы когда-нибудь пытались объяснить, какое умножение чисел на самом деле равно , когда вы не просто работаете с целыми числами? Это может быть сложно!)

Но откуда взялась эта формула?

В связи с этим ответом возник вопрос о том, как два «определения» скалярного произведения, использующие компоненты и угол, объединяются.Позже, в 1998 году, мы получили этот вопрос:

 Векторные углы: Докажите, что A.B = | A || B | cosA

Здравствуйте, доктора!

Я только что закончил свой класс pre-calc, и в конце мы рассмотрели векторы, включая эту теорему:
  
             A.B = | A || B | cosA
     скалярное произведение = длина (длина) cos (угол между ними).

Если доказательство не слишком сложное,  на чем основана эта теорема?  Любая помощь будет оценена.

Брайан 

Предполагается, что скалярное произведение сначала было , определенным как , предположительно как сумма произведений компонентов, с которой доктор Энтони начал, так что тогда теорема может выразить это в другой форме.Очевидно, это было представлено в классе просто как утверждение, без доказательства. Доктор Рик ответил:

 Привет, Брайан.

Нет, я не думаю, что это доказательство очень сложное. Посмотрим, согласны ли вы.

Для начала нарисуем вектор A длиной a, образуя угол альфа с осью x:
  
у
|
+ ....... + А
| /:
| /:
| /:
| а /:
| /: х = а * грех (альфа)
| /:
| /:
| /) альфа:
+ -------- + ------ х
 y = a * cos (альфа)

Компонент x вектора - это * cos (альфа), а компонент y - это * sin (альфа) из прямоугольного треугольника, который я нарисовал.

 Теперь нарисуйте другой вектор B длины b, составляющий угол бета с осью x:

  A = (a * cos (альфа), a * sin (альфа))
  B = (b * cos (бета), b * sin (бета))

Теперь скалярный продукт (просто умножая компоненты x и компоненты y и складывая их вместе)

  А. B = a * b * cos (альфа) * ​​cos (бета) + a * b * sin (альфа) * ​​sin (бета)
        = a * b * (cos (альфа) * ​​cos (бета) + sin (альфа) * ​​sin (бета)) 

 Все, что осталось, это вспомнить тригонометрическое тождество,

  cos (альфа - бета) = cos (альфа) * ​​cos (бета) + sin (альфа) * ​​sin (бета)

и у нас есть

  А.B = | A | * | B | * cos (альфа - бета)

Но (альфа - бета) - это угол между двумя векторами. 

Итак, мы начали с определения скалярного произведения как суммы произведений компонентов (в двух измерениях) и доказали формулу косинуса. Это было бы труднее сделать в трех измерениях, где потребовался бы другой подход.

… или, может быть, это просто определение

В ответе была задержка, и между ними Брайан задал тот же вопрос немного по-другому, указав, что контекст на самом деле был трехмерным:

 Здравствуйте, доктора!

При определении некоторых углов на трехмерных фигурах я использовал теорему:
  
   А.B = | A || B | cosA - относящиеся к векторам

Я думал, что это похоже на закон косинусов, но не мог установить мысленную связь. Не могли бы вы помочь мне понять, как была получена вышеуказанная теорема? 

Закон косинусов — действительно хорошая идея; держи эту мысль!

Доктор Энтони ответил, как бы перевернув то, что он сказал в своем предыдущем ответе:

 Это не столько «теорема», сколько «определение». Вы ОПРЕДЕЛЯЕТЕ скалярные произведения двух векторов как произведение:

 а.b = | a | х | б | x cos угла между a и b.

Следуя этому определению, вы получите очень удобный результат, что два вектора даны в виде компонентов, например:

   a = (x1, y1, z1) b = (x2, y2, z2), то скалярное произведение:

    a.b = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 

Это, конечно, подход, обратный тому, о чем мы говорили до сих пор: если вы определите скалярное произведение в терминах угла, то вам придется на основе этого доказать покомпонентную форму. Важно то, что можно показать, что обе характеристики скалярного произведения эквивалентны.Итак, давайте сделаем это дальше.

Нахождение косинуса

Через пару месяцев у нас возник еще один аналогичный вопрос, на который мы дали еще два ответа:

 Получение скалярного произведения

Я хотел бы очень подробное объяснение , как мы выводим формулу | u | | v | cos (x) = u.v , скалярное произведение.

Я просмотрел несколько книг, и они просто пишут это как данность, вместо того, чтобы объяснять, как и почему мы получаем это уравнение.

Мне нужна формула для вычисления угла между двумя точками на поверхности сферы, но я хочу понять, что делаю 

Контекст подсказывает, что это еще один вопрос о трехмерных векторах, но мы все равно воздержимся от этого.Обратите внимание, что Ник четко определил скалярное произведение на основе компонентов и рассматривает это как теорему; но он написал это в тригонометрической форме слева.

Доктор Шва ответил первым, предложив подход, который начинается с триггера:

 Хороший вопрос!

Есть книги, которые лучше объясняют это, но их немного, поэтому  Я не удивлен, что у вас возникли проблемы с поиском ответа .

Идея состоит в том, чтобы найти угол между двумя векторами и показать, что это u.v делится на | u | | v |, где я буду использовать "." означает скалярное произведение и | u | чтобы обозначить длину u.

Вероятно, лучший способ сделать это - посмотреть на углы, образованные осью x. Мы хотим знать разницу между двумя углами, которые я назову theta_u и theta_v. Точно так же я позволю вектору u иметь два компонента (x_u, y_u), а v быть (x_v, y_v) (стандартное обозначение - использовать _ для обозначения индексов).

х = theta_u - theta_v 

Как и доктор Рик, он будет работать только в двух измерениях; по сути, это будет то же доказательство, но обратное.Он начинает с тождества разницы углов, как закончил им доктор Рик:

 Я хочу найти cos (x), который:

   соз (theta_u - theta_v)
   = cos (theta_u) cos (theta_v) + sin (theta_u) sin (theta_v)
   = (x_u / | u |) (x_v / | v |) + (y_u / | u |) (y_v / | v |)

и упрощая, получаем u.v / | u || v |

Оказывается, очень просто, если правильно посмотреть.

Я как раз собираюсь преподать эти идеи своему классу в 11-м классе здесь, в Gunn HS в Пало-Альто, поэтому ответ на ваш вопрос стал для меня хорошим напоминанием о том, на что следует обратить внимание.Спасибо, что спросили! 

Тот факт, что \ (\ displaystyle \ cos (\ theta_u) = \ frac {x_u} {| \ mathbf {u} |} \) эквивалентен тому, что мы использовали раньше, что \ (x_u = | \ mathbf {u} | \ cos (\ theta_u) \) или, в обозначениях доктора Рика, \ (a_x = a \ cos (\ alpha) \). Это красивое и лаконичное доказательство.

Начиная с | u || v | cos

θ

Затем доктор Кен ответил, снова придерживаясь двух измерений:

 Привет, Ник!

  В некоторых книгах фактически используется | U | * | V | * Cos (X) как определение скалярного произведения. Но есть еще одно довольно распространенное определение; для двумерных векторов, где U = (u1, u2) и V = (v1, v2), это:

   U.V = u1 * v1 + u2 * v2

Для трехмерных векторов это:

   U.V = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3

Бьюсь об заклад, вы видите обобщение. 

Итак, он ясно сформулировал важный момент: любое из них может использоваться в качестве определения; цель — доказать, что они эквивалентны. Он явно начинает с определения триггера и выводит из него форму компонента:

 Итак, давайте посмотрим, сможем ли мы показать, что | U || V | Cos (X) = u1 * v1 + u2 * v2.Запишем левую часть через координаты U и V, а затем упростим. Мы сделаем это в 2-х измерениях, но  доказательство не сильно отличается в 3-х измерениях .

Представьте себе самолет с двумя векторами:

                                     U
                          V | /
                           \ | /
                             \ | /
                               \ | /
-------------------------------- + ----------------

Добавьте координаты на диаграмму:

                                     U
                          V | / |
                          | \ | / |
                        v2 | \ t / | u2
                          | \ | / |
-------------------------- + ----- O ---- + ----------- X
                            v1 u1

Угол t - это угол от U до V.Он равен углу от оси x до V за вычетом угла от оси x до U. Назовем эти углы XOV и XOU. Итак, у нас есть:

  | U || V | Cos (x) = | U || V | Cos (t)
               = | U || V | Cos (XOV - XOU)
               = | U || V | [Cos (XOV) Cos (XOU) + Sin (XOU) Sin (XOV)]
               = | U || V | [(v1 / | V |) (u1 / | U |) + (v2 / | V |) (u2 / | U |)]
               = | U || V | [(v1u1 + v2u2) / (| V || U |)]
               = v1u1 + v2u2 

Я добавил несколько меток к его диаграмме и назвал угол t , чтобы упростить отслеживание.

Вы должны увидеть, что это то же самое, что и наши предыдущие доказательства, только с другим поворотом.

 Имеет смысл? Теперь, чтобы убедиться, что вы это понимаете, поскольку ваша проблема находится в трех измерениях, почему бы вам не попытаться получить тот же результат для  трехмерных векторов ? Если вы ловкий, вы действительно можете  использовать двумерный результат  (подсказка: есть плоскость, которая содержит два вектора и начало координат). 

Я не нашел хорошего способа распространить этот метод доказательства на три измерения; когда нас спрашивали об этом комментарии, мы обычно предлагали метод, указанный в следующем ответе, который легко распространяется на этот случай.Возможно, что расширение метода угловой разности потребует более глубоких знаний о векторах или геометрии, чем я хочу предполагать. (Если кто-нибудь найдет способ сделать это, дайте мне знать!) Итак, давайте закончим самым убедительным доказательством:

Доказательство с использованием закона косинусов

В 2006 году Шери спросила это так:

 Как работает точечное произведение двух векторов?

Я учусь в старшей школе и изучаю продвинутую математику, и сейчас мы изучаем точечный продукт.У меня вопрос: как описать функцию идентичности в терминах формулы скалярного произведения? Наш учитель говорил о том, как они связаны, но я совершенно сбит с толку! Я даже не знаю, что такое скалярное произведение и как умножение двух векторов дает угол, который они образуют вместе? 

Я не совсем понимаю, что Шери имеет в виду под «функцией идентичности»; она может иметь в виду тождество суммы углов, которое до сих пор использовалось во всех наших ответах! Если так, то у нее что-то другое. Доктор Джерри ответил:

 Привет, Шери,

Спасибо, что написали доктору.Математика.

Я буду ссылаться на это изображение:
   
Даны векторы u и v, t - угол между ними (набрать «t» проще, чем набрать «theta»), а w - длина линии, соединяющей концы u и v. Компоненты u и v являются u1, u2, v1 и v2. Обычно вы можете написать u = u1 * i + u2 * j. 

На диаграмме доктор Джерри использовал стандартное обозначение векторов, \ (\ langle a, b \ rangle \). В форме, которую мы использовали здесь, векторы — это \ (\ mathbf {u} = (u_1, u_2) \) и \ (\ mathbf {v} = (v_1, v_2) \).2–2 | \ mathbf {u} | | \ mathbf {v} | \ cos \ theta $$

$$ — 2u_1v_1 — 2u_2v_2 — 2u_3v_3 = — 2 | \ mathbf {u} | | \ mathbf {v} | \ cos \ theta $$

$$ \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = | \ mathbf {u} | | \ mathbf {v} | \ cos \ theta $$

Точечное произведение вектора, онлайн калькулятор

Онлайн-калькулятор для вычисления скалярного произведения или скалярного произведения двух векторов с 4 элементами

Вычислить скалярное произведение векторов

Эта функция вычисляет скалярное произведение (скалярное произведение) двух векторов.Чтобы выполнить расчет, введите векторы и нажмите кнопку «Рассчитать». Пустые поля считаются как 0.

Калькулятор векторного скалярного произведения

Описание векторного скалярного произведения

В отличие от векторного умножения, результатом умножения на векторное скалярное произведение является не вектор, а действительное число (скалярное произведение).

Отдельные элементы векторов умножаются друг на друга и складываются произведения. Сумма сложения — это скалярное произведение вектора.

Для двух векторов \ (\ overrightarrow {x} = \ left [\ matrix {x_1 \\ ⋮ \\ x_n} \ right] \) и \ (\ overrightarrow {y} = \ left [\ matrix {y_1 \\ ⋮ \\ y_n} \ right] \)

скалярное произведение определяется как \ (\ overrightarrow {x} · \ overrightarrow {y} = x_1 · y_1 + ⋯ + x_n · y_n \)

Пример

\ (\ overrightarrow {x} = \ left [\ matrix {1 \\ 2 \\ 3} \ right] \) \ (\ overrightarrow {y} = \ left [\ matrix {4 \\ 5 \\ 6} \ right] \) \ (\ overrightarrow {x} · \ overrightarrow {y} = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 4 + 10 + 18 = 32 \)

Эта страница полезна? да Нет Спасибо за ваш отзыв! Извините за это Как мы можем это улучшить? послать

---

Умножение векторов.Векторное умножение ФУНДАМЕНТАЛЬНО… | Соломон Се | Основы линейной алгебры

Умножение векторов — ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ навык для решения Умножение матриц .

САМОЕ ПЕРВОЕ, ЧТО ДЕЛАТЬ С ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ИЛИ МАТРИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ , ЗАБЫВАЕМ ВСЕ ПРОИЗВОДСТВО !
ИНАЧЕ, ВЫ ЗАБУДЕТЕ В БЕСКОНЕЧНОЙ ЗАМЕТКЕ!

Просто чтобы знать, умножение векторов или матриц, АРЕНТ действительно умножение, но просто так выглядит.Вы можете увидеть их как операции , чтобы получить ЧТО-ТО .

Есть две операции, которые называются умножение для векторов:

• Точечное произведение : выражается как V₁ · V₂ , названное в честь символа точки. Он предназначен для получения Произведения двух величин .
• Перекрестное произведение : выражается как V₁ × V₂ , названное в честь символа креста. Он предназначен для получения нового вектора .

Перекрестное произведение очень и очень ограничено в использовании и НЕ так часто используется, как скалярное произведение .Так что не тратьте на это время, если вы не используете это определенным образом.

ЭТО ОЧЕНЬ ОСНОВНОЙ СМЫСЛ УМНОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ ИЛИ МАТРИЦ.

Умножение ISN’T просто Повторить счет в арифметике больше нет.
Больше не 4 × 3 = 4 + 4 + 4 !

Это скорее Рост , или расширение возможностей, или повышение .
Мы бы сказали, что мы утроили 4 , или скажем, номер 4 растет со скоростью 3 , или скажем номер 4 растет с увеличением на 3 .
Что бы вы ни говорили, вы уловили идею.
Умножение двойных, тройных, учетверенных ... .

ПРОСТО ПОМНИТЕ: ЗАБЫВАЙТЕ ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ УМНОЖЕНИИ, ВСЕГДА СМОТРИТЕ УМНОЖЕНИЕ КАК УСИЛЕНИЕ.

ПОМНИТЕ: ТОЧЕЧНЫЙ ПРОДУКТ НЕ ДАЕТ ВАМ ВЕКТОР, А ТОЛЬКО ЧИСЛО, СКАЛЯР, ПРОДУКТ ДВУХ ВЕЛИЧИН.

Цель:
Это НЕ , чтобы получить новый вектор, и НЕ до Уменьшить размерность ,
IS его единственная цель , чтобы получить количество , величину, число!

Для просмотра интуитивно понятного видео обратитесь к Khan Academy Physics: Dot Product.
Более подробно объясняется: Векторное исчисление: понимание скалярного произведения
Математика - это весело: скалярное произведение.
3Blue1Brown: Точечные произведения и двойственность | Сущность линейной алгебры

См. _Intro to linear algebra by Gilbert Strang: 1.2_.

Гораздо больше смысла думать точечный продукт в физике способом, чем математике алгебраическим способом.

Просто подумать Две силы «a & b» - это , тянущее коробку,
, так сколько мощности он потянул в направлении , или сколько на направлении б ?

Давайте упростим задачу, прежде чем копать:
предположим, что угла нет, Две силы "a и b" - это , тянущие в том же направлении, в том же направлении,
, так сколько энергии он будет тянуть?

Ну, сила a & b работает вместе, это процесс Повышение энергии !
Это больше не ДОБАВЛЕНИЕ , это ПОВЫШЕНИЕ !
Допустим, сила a имеет 3 единицы мощности , b имеет 6 единиц мощности .
Таким образом, каждые 1 единица мощности a тянет, b тянет 2 единицы мощности .
Тогда это имеет смысл:
Общая мощность, тянущая предмет, будет 3 · 6 = 18 единиц

Таким образом, Две силы НЕ Тянет коробку в одном и том же направлении, сколько энергии он потянул. в направлении у , или сколько в направлении у b ?

Давайте подумаем, сколько энергии он потребляет в направлении b .
Так как тянет насадку в неправильном направлении , поэтому мощность a НЕ РАБОТАЕТ на 100% на b .
Сколько энергии осталось?
Зависит от угла.
Итак, чтобы подсчитать, сколько осталось, мы используем | a | × cos (θ) ,
и мы получили ПРОЕКЦИЯ или отражение или тень от a на b !
Потом это снова стало как на этой картинке:

Как это потрясающе!
И теперь мы можем Увеличить мощность на b: | b | × | a | × cosθ

Есть два способа вычисления скалярного произведения (названия я придумал):

Результатом двух способов является ТО ЖЕ .

Помните: усиление не работает, когда два вектора - Перпендикулярно , что составляет 0 .

Отражаем один вектор на другой, затем Увеличиваем энергию.

Интуиция:

Мы разбиваем два вектора на Ось X и Ось Y и BOOST по каждой оси.

Легче запомнить формулу:

Интуиция:

Точечный продукт связан с симметрией.

См. Лекцию Имперского колледжа Лондона: соглашение Эйнштейна о суммировании и симметрия скалярного произведения

-

Линейная алгебра - ML Глоссарий документация

Линейная алгебра - это набор математических инструментов, который предлагает полезные методы для управления группами чисел одновременно.Он предоставляет такие структуры, как векторы и матрицы (электронные таблицы), для хранения этих чисел и новые правила их сложения, вычитания, умножения и деления. Вот краткий обзор основных концепций линейной алгебры, взятых из моего сообщения о линейной алгебре на Medium.

Векторы - это одномерные массивы чисел или членов. В геометрии векторы хранят величину и направление потенциального изменения точки. Вектор [3, -2] говорит: идти вправо на 3 и вниз на 2. Вектор с более чем одним измерением называется матрицей.

Обозначение

Существует множество способов представления векторов. Вот некоторые из них, с которыми вы можете столкнуться при чтении.

\ [\ begin {split} v = \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \ end {pmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

Векторы в геометрии

Векторы обычно представляют движение от точки. Они сохраняют как величину, так и направление потенциальных изменений в точке.Вектор [-2,5] говорит, что нужно двигаться влево на 2 единицы и вверх на 5 единиц.

Вектор можно применить к любой точке пространства. Направление вектора равно наклону гипотенузы, создаваемой движением вверх 5 и влево 2. Его величина равна длине гипотенузы.

Скалярные операции

Скалярные операции включают вектор и число. Вы изменяете вектор на месте, добавляя, вычитая или умножая число из всех значений в векторе.

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \ end {bmatrix} + 1 знак равно \ begin {bmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

Поэлементные операции

В поэлементных операциях, таких как сложение, вычитание и деление, значения, которые соответствуют позиционно, объединяются для создания нового вектора.1-е значение в векторе A сочетается с 1-м значением в векторе B. 2-е значение сочетается со 2-м и так далее. Это означает, что для завершения операции векторы должны иметь одинаковые размеры. *

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} a_1 \\ а_2 \\ \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} b_1 \\ Би 2 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} a_1 + b_1 \\ а_2 + b_2 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

 y = np.array ([1,2,3])
x = np.array ([2,3,4])
у + х = [3, 5, 7]
y - x = [-1, -1, -1]
y / x = [0,5, 0,67, 0,75]
 

Подробнее о вещании в numpy см. Ниже.

Точечный продукт

Скалярное произведение двух векторов - это скаляр. Точечное произведение векторов и матриц (умножение матриц) - одна из самых важных операций в глубоком обучении.

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} a_1 \\ а_2 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} b_1 \\ Би 2 \\ \ end {bmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \ end {split} \]

 y = np.array ([1,2,3])
x = np.array ([2,3,4])
np.dot (y, x) = 20
 

Продукт Адамара

Произведение Адамара - это поэлементное умножение, которое выводит вектор.

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} a_1 \\ а_2 \\ \ end {bmatrix} \ odot \ begin {bmatrix} b_1 \\ Би 2 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} a_1 \ cdot b_1 \\ а_2 \ cdot b_2 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

 y = np.array ([1,2,3])
x = np.array ([2,3,4])
y * x = [2, 6, 12]
 

Векторные поля

Векторное поле показывает, как далеко точка (x, y) гипотетически переместилась бы, если бы мы применили к ней векторную функцию, например сложение или умножение. Для данной точки в пространстве векторное поле показывает силу и направление предлагаемого нами изменения в различных точках графика.2 \) и нарисуйте стрелку от начальной точки к новому месту. Векторные поля чрезвычайно полезны для визуализации методов машинного обучения, таких как градиентный спуск.

Матрица - это прямоугольная сетка чисел или членов (например, электронная таблица Excel) со специальными правилами для сложения, вычитания и умножения.

Размеры

Мы описываем размеры матрицы в виде строк за столбцами.

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} 2 и 4 \\ 5 & ​​-7 \\ 12 и 5 \\ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a² & 2a & 8 \\ 18 и 7a-4 и 10 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

Первый имеет размеры (3,2).Второй (2,3).

 a = np.array ([
 [1,2,3],
 [4,5,6]
])
a.shape == (2,3)
b = np.array ([
 [1,2,3]
])
b.shape == (1,3)
 

Скалярные операции

Скалярные операции с матрицами работают так же, как и с векторами. Просто примените скаляр к каждому элементу в матрице - сложите, вычтите, разделите, умножьте и т. Д.

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} 2 и 3 \\ 2 и 3 \\ 2 и 3 \\ \ end {bmatrix} + 1 знак равно \ begin {bmatrix} 3 и 4 \\ 3 и 4 \\ 3 и 4 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

 # Дополнение
а = нп.множество(
[[1,2],
 [3,4]])
а + 1
[[2,3],
 [4,5]]
 

Поэлементные операции

Чтобы сложить, вычесть или разделить две матрицы, они должны иметь равные размеры. Мы поэлементно комбинируем соответствующие значения для создания новой матрицы.

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} а & б \\ CD \\ \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 и 2 \\ 3 и 4 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} а + 1 и б + 2 \\ с + 3 и д + 4 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

 а = нп.множество([
 [1,2],
 [3,4]])
b = np.array ([
 [1,2],
 [3,4]])

а + б
[[2, 4],
 [6, 8]]

а - б
[[0, 0],
 [0, 0]]
 

Продукт Адамара

Произведение матриц по Адамару - это поэлементная операция. Значения, которые соответствуют позиционно, умножаются для создания новой матрицы.

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} а_1 и а_2 \\ а_3 и а_4 \\ \ end {bmatrix} \ odot \ begin {bmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} a_1 \ cdot b_1 и a_2 \ cdot b_2 \\ а_3 \ cdot b_3 и a_4 \ cdot b_4 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

 а = нп.множество(
[[2,3],
 [2,3]])
b = np.array (
[[3,4],
 [5,6]])

# Использует оператор умножения в Python
а * б
[[6, 12],
 [10, 18]]
 

В числовом выражении вы можете взять произведение Адамара матрицы и вектора, если их размеры соответствуют требованиям широковещательной передачи.

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} {a_1} \\ {a_2} \\ \ end {bmatrix} \ odot \ begin {bmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} a_1 \ cdot b_1 и a_1 \ cdot b_2 \\ a_2 \ cdot b_3 & a_2 \ cdot b_4 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

Матрица транспонированная

Нейронные сети часто обрабатывают веса и входные данные разных размеров, размеры которых не соответствуют требованиям умножения матриц.T) предоставляет способ «повернуть» одну из матриц, чтобы операция соответствовала требованиям умножения и могла продолжаться. Чтобы транспонировать матрицу, нужно выполнить два шага:

1. Повернуть матрицу вправо на 90 °
2. Измените порядок элементов в каждой строке (например, [a b c] становится [c b a])

В качестве примера транспонируем матрицу M в T:

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} а & б \\ CD \\ е & е \\ \ end {bmatrix} \ quad \ Rightarrow \ quad \ begin {bmatrix} туз \\ b & d & f \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

 а = нп.множество([
   [1, 2],
   [3, 4]])

в
[[1, 3],
 [2, 4]]
 

Умножение матриц

Умножение матриц определяет набор правил для умножения матриц вместе для создания новой матрицы.

Правила

Не все матрицы подходят для умножения. Кроме того, существуют требования к размерам итоговой выходной матрицы. Источник.

1. Количество столбцов 1-й матрицы должно равняться количеству строк 2-й
2. Произведение матрицы M x N и матрицы N x K является матрицей M x K.Новая матрица принимает строки 1-го и столбцы 2-го

Ступени

Матричное умножение основано на скалярном произведении для умножения различных комбинаций строк и столбцов. На изображении ниже, взятом из превосходного курса линейной алгебры Khan Academy, каждая запись в матрице C является скалярным произведением строки в матрице A и столбца в матрице B.

Операция a1 · b1 означает, что мы берем скалярное произведение 1-й строки в матрице A (1, 7) и 1-го столбца в матрице B (3, 5).

\ [\ begin {split} a_1 \ cdot b_1 = \ begin {bmatrix} 1 \\ 7 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 3 \\ 5 \\ \ end {bmatrix} = (1 \ cdot 3) + (7 \ cdot 5) = 38 \ end {split} \]

Вот еще один способ взглянуть на это:

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} а & б \\ CD \\ е & е \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 1 и 2 \\ 3 и 4 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 1a + 3b и 2a + 4b \\ 1c + 3d и 2c + 4d \\ 1e + 3f и 2e + 4f \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

Проверьте себя

1. Каковы размеры матричного продукта?

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} 1 и 2 \\ 5 и 6 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 5 и 6 и 7 \\ \ end {bmatrix} = \ text {2 x 3} \ end {split} \]

2. Каковы размеры матричного изделия?

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} 1 и 2 и 3 и 4 \\ 5 и 6 и 7 и 8 \\ 9 и 10 и 11 и 12 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 1 и 2 \\ 5 и 6 \\ 3 & 0 \\ 2 и 1 \\ \ end {bmatrix} = \ text {3 x 2} \ end {split} \]

3. Что такое матричный продукт?

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} 2 и 3 \\ 1 и 4 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 5 и 4 \\ 3 и 5 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 19 и 23 \\ 17 и 24 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

4. Что такое матричный продукт?}

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} 3 \\ 5 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 3 и 6 и 9 \\ 5 и 10 и 15 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

5. Что такое матричный продукт?

\ [\ begin {split} \ begin {bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 32 \\ \ end {bmatrix} \ end {split} \]

.