Лекция № 7 Скалярное произведение двух векторов.

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение скалярного произведения: .

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию на него другого.

В результате скалярного умножения двух векторов получается число, скаляр, а не новый вектор.

Рис. 1

Знак скалярного произведения зависит от угла между векторами.

Замечание. В частности, , если или .

, если  — острый угол;

, если  — тупой угол;

, если

Свойства скалярного произведения

1. — переместительный закон

2. — сочетательный закон

3. — распределительный закон

5. или

Если векторы коллинеарны, то или , а .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Определение: Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Пусть заданы два вектора , , тогда

Замечание.

Если , угол  — острый,

, угол  — тупой.

Приложения скалярного произведения

Угол между векторами: .

Угол между векторами в координатной форме:

Определение: Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю: или

Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором .

или

Проекция произвольного вектора на какую – нибудь ось u определяется формулой , — единичный вектор, направленный по оси u.

Замечание.

Если даны углы , , , которые ось u составляет с координатными осями, то и для вычисления проекции вектора на ось u служит формула:

Рис. 2

Если вектор изображает перемещение материальной точки под действием постоянной силы (Рис. 3), то работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Рис. 3

Работа силы: .

Задачи

Задача 1. Найти скалярное произведение векторов и , если .

Решение: Имеем (используем свойства скалярного произведения – формулы (5), (6), (7)). По формулам (2) и (9), получаем , ,

Задача 2. Даны точки .

Вычислить .

Решение: Найдем координаты векторов .

.

— противоположен вектору , следовательно, . Аналогично .

; .

По формуле (10) найдем

.

Задача 3. Вычислить угол, образованный векторами и .

Решение: Используя формулу (11′), получаем

Задача 4. Даны векторы и . Найти и .

Решение: Используя формулу (13), получаем

Задача 5. Дан вектор . Найти его проекцию на ось u, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение: Т. к. ось u составляет с координатными осями равные острые углы, т. е. , то .

Но , и т. к. в этой сумме все слагаемые между собой равны, то ; ; , тогда (знак плюс перед корнем взят потому, что по условию углы , ,  — острые, значит косинусы их положительны). Т. к. по условию , , , то по формуле получаем .

«Как понять скалярное произведение векторов?» — Яндекс Кью

Популярное

Сообщества

А именно откуда следует связь между произведением проекций векторов и произведением модулей векторов на угол между ними? Нашел такую математику в учебнике Мякишева и не понял как это связано, помогите разобраться. И если знаете, посоветуйте, пожалуйста, хорошую литературу, касательно данного вопроса, да и не только (уровень знаний — 10 классов в обычной школе)

ФизикаМеханикаДинамики

Анонимный вопрос

16 августа 2022  ·

538

ОтветитьУточнитьДостоверно

Владимир Анатольевич Тарасов

Физика

248

Преподаватель физики  · 16 авг 2022

Это выражение, как показано в приведенных Вами фото, выводится из формул тригонометрии. Могу сделать тоже самое, только немного проще.

Предположим мы не уверены, что работа — это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения, но при этом точно знаем что джоуль = ньютон * метр, следовательно величины точно надо перемножать, а вот синус или косинус угла между ними надо добавлять, попробуем выяснить.

Тело перемещается одновременно и вдоль оси х и вдоль оси y.

Делаем проекции векторов силы Fx Fy и перемещения Δx Δy. Работа по оси х:  Ax = Fx*Δx, работа по оси y: Ay = Fy*Δy. Суммарная работа A= Fx*Δx + Fy*Δy.
Теперь в соответствии с правилами тригонометрии раскрываем эту формулу

A = F * cosα * Δr * cosβ + F * sinα * Δr* sinβ.

Выносим за скобки F и Δr.

A= F * Δr * (cosα * cosβ + sinα * sinβ).

Пробуем упростить это выражение.

Итого A = F*Δr*cos(α-β), т.е. на косинус угла между ними, как и положено при скалярном произведении. ЧТД.

2 эксперта согласны

Анонимный комментарий

16 августа 2022

Вот теперь разобрался, спасибо!

Комментировать ответ…Комментировать…

Вадим Романский

Физика

7,1 K

младший научный сотрудник ФТИ им. Иоффе  · 16 авг 2022  ·

astropolytech

ну выражение скалярного произведение через координаты доказывается в любом учебнике геометрии, не помню за какой класс, девятый наверно

астрофизическое образование

Перейти на vk.com/astropolytechВладимир Сквирский

16 августа 2022

Помог)

Комментировать ответ…Комментировать…

Владимир Сквирский

Технологии

780

Инженер проектировщик технолог котельных, ИТП, ГПЭС, ДЭС. Пытаюсь изучать физику. Люблю…  · 16 авг 2022

Представьте, сосед попросил вас помочь ему завести машину с толкача. Вы начинаете толкать машину. Вы отталкиваетесь ногами от земли, а руками упираетесь в багажник, поэтому сила приложена под углом. Т.е. часть ваших стремительноиссякающих сил тратиться на попытку поднять машину вверх, а часть на движение вперёд.  Теперь нам нужно вычислить, сколько же сил пошло на… Читать далее

Комментировать ответ…Комментировать…

Dmitry Maslov

5,9 K

Инженер путей сообщения – строитель  · 16 авг 2022

Скалярное произведение двух векторов это просто число, им сопоставленное. Вычислить его можно через произведение длин на косинус угла между векторами, но ещё проще как сумму произведений координат векторов: v = x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂. В математической абстракции это всё, что нужно знать про скалярное произведение. Оно не откуда не следует, оно именно так вводится. А вот… Читать далее

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

тензорное произведение модулей в nLab

Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |

Содержание

Контекст

Моноидальные категории

Моноидальные категории

• обогащенная моноидальная категория, тензорная категория

• струнная диаграмма, тензорная сеть

С оплеткой

• плетеный моноидальный 9 категории0003

• сбалансированная моноидальная категория

  • поворот

• симметричная моноидальная категория

С двойниками для объектов

• категория с дуалами (их список)

• дуализируемый объект (что у них есть)

• жесткая моноидальная категория, также известная как автономная категория

• основная категория

• сферическая категория

• Категория ленты

  , также известная как категория тортиль

• компактная закрытая категория

С двойственными для морфизмов

• моноидальный кинжал-категория?

• симметричный моноидальный кинжал-категория

• Кинжал компактный категории

Со следами

• трассировка

• трассированная моноидальная категория

Закрытая конструкция

• закрытая моноидальная категория

• декартова закрытая категория

• закрытая категория

• звездно-автономная категория

Специальные виды продукции

• декартова моноидальная категория

• полудекартова моноидальная категория

• моноидальная категория с диагоналями

• мультикатегория

Полупростота

• полупростая категория

• категория сплава

• модульная тензорная категория

Морфизмы

• моноидальный функтор

  (слабый, оплакс, сильный билакс, Фробениус)

• плетеный моноидальный функтор

• симметричный моноидальный функтор

Внутренние моноиды

• моноид в моноидальной категории

• коммутативный моноид в симметричной моноидальной категории

• Модуль

  поверх моноида

Примеры

• тензорный продукт

• закрытая моноидальная конструкция на предварительных шкивах

• День свертки

Теоремы

• теорема когерентности для моноидальных категорий

• моноидальный корреспонденция Долд-Кан

В теории высших категорий

• моноидальный 2-х разрядный

  • плетеная моноидальная 2-категория

• моноидальная бикатегория

  • декартова бикатегория

• k-тупая моноидальная n-категория

  • маленькие кубики операда

• моноидальная (∞,1)-категория

  • симметричная моноидальная (∞,1)-категория

• компактная двухместная категория

• Идея
• Определение
• Свойства
• Структура моноидальной категории
• Характеризация точными аддитивными функторами
• Свойства точности
• Связанные понятия
• Ссылки

Идея

Тензорное произведение модулей.

Определение

Определение

Пусть RR — коммутативное кольцо, и рассмотрим мультикатегорию RRMod RR-модулей и RR-полилинейные отображения. В этом случае тензорное произведение модулей A⊗RBA\otimes_R B RR-модулей AA и BB может быть построено как частное тензорного произведения лежащих в их основе абелевых групп A⊗BA\otimes B по действию RR; то есть

A⊗RB=A⊗B/(a,r⋅b)∼(a⋅r,b). A\otimes_R B = A\otimes B / (a,r\cdot b) \sim (a\cdot r,b).

Теория категорий:

Определение

Тензорное произведение A⊗RBA \otimes_R B является соэквалайзером двух отображений

A⊗R⊗B⇉A⊗B A\otimes R \otimes B \;\rightrightarrows\ ; A\otimes B

определяется действием RR на AA и на BB.

Свойства

Структура моноидальной категории

Категория RRMod, снабженная тензорным произведением модулей ⊗R\otimes_R, становится моноидальной категорией, фактически дистрибутивной моноидальной категорией.

Предложение

Моноид в (RMod,⊗)(R Mod, \otimes) эквивалентно RR-алгебре.

Предложение

Тензорное произведение модулей распределяется по прямой сумме модулей:

A⊗(⊕s∈SBs)≃⊕s∈S(A⊗Bc). A \otimes \left(\oplus_{s \in S} B_s\right) \simeq \oplus_{s \in S} ( A \otimes B_c ) \,.

Характеризация точными аддитивными функторами

См. Теорема Эйленберга-Уоттса .

Свойства точности

Пусть RR — коммутативное кольцо.

Предложение

Для N∈RModN \in R Mod модуль, функтор тензорирования с этим модулем

(−)⊗RN:RMod→RMod (-) \otimes_R N \colon R Mod \to R Mod

— аддитивный справа функтор.

Доказательство

Функтор является аддитивным в силу распределения тензорных произведений по прямым суммам, проп. .

Общий абстрактный способ увидеть, что функтор точен справа, состоит в том, чтобы заметить, что (−)⊗RN(-)\otimes_RN N является сопряженным слева функтором, а его правым сопряженным является внутренний hom [N,−][N, -] (см. мод). По обсуждению в сопряженный функтор это означает, что (−)⊗RN(-) \otimes_RN даже сохраняет все копределы, в частности конечные копределы.

Пример

Пусть R≔ℤR \coloneqq \mathbb{Z}, следовательно, RMod≃R Mod \simeqAb, и пусть N≔ℤ/2ℤN \coloneqq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} циклическая группа или порядок 2. Кроме того, рассмотрим включение ℤ↪⋅2𝕋\mathbb{Z} \stackrel{\cdot 2}{\hookrightarrow} \mathbb{T}, сидящее в короткой точной последовательности

0→ℤ→⋅2ℤ→ℤ/2ℤ →0. 0 \to \mathbb{Z} \stackrel{\cdot 2}{\to} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0 \,.

Функтор (−)⊗ℤ/2ℤ(-) \otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} отправляет это на

0→ℤ/2ℤ→0ℤ/2ℤ→idℤ/2ℤ→0. 0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \stackrel{0}{\to} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \stackrel{id}{\к} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \до 0 \,.

Здесь морфизм слева является 0-морфизмом: в компонентах он задается для всех n1,n2∈ℤn_1, n_2 \in \mathbb{Z} как

(n1,n2mod2)↦(2n1,n2mod2)≃ 2(n1,n2mod2)≃(n1,2n2mod2)≃(n1,0)≃0. \begin{выровнено} (n_1, n_2 мод 2) & \mapsto (2 п_1, п_2 мод 2) \\ & \simeq 2 (n_1, n_2 мод 2) \\ & \simeq (n_1, 2 n_2 мод 2) \\ & \simeq (n_1, 0) \\ & \simeq 0 \end{выровнено} \,. 9{\oplus {\верт S\верт}} \,.

Модулей NN больше, чем свободных, для которых (−)⊗RN(-)\otimes_RN N является точным. Говорят, что

Определение

Если N∈RModN \in R Mod таково, что (−)⊗RN:RMod→RMod(-)\otimes_R N \colon R Mod \to R Mod является точным слева функтором (следовательно, точный функтор), NN называется -плоским модулем .

• тензорное произведение абелевых групп

• тензорное произведение бимодулей

• тензорное произведение векторных расслоений

• тензорное произведение алгебр

• тензорное произведение алгебр над коммутативной монадой

• тензорное произведение цепных комплексов

• тензорное произведение ∞-модулей

• тензорное произведение функторов

Ссылки

Подробное обсуждение специально для тензорных произведений модулей находится в

• Кейт Конрад, Тензорные продукты (pdf)

Последняя редакция: 25 мая 2022 г. , 16:43:17. См. историю этой страницы для получения списка всех вкладов в нее.

РедактироватьОбсудитьПредыдущая редакцияИзменения по сравнению с предыдущей редакциейИстория (15 редакций) Цитировать Распечатать Источник

тензорное произведение векторных пространств в nLab

Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |

Содержание

Контекст

Линейная алгебра

теория гомотопий, теория (∞,1)-категорий, теория гомотопических типов

разновидности: устойчивые, эквивариантные, рациональные, p-адические, собственные, геометрические, когезионные, направленные…

модели: топологические, симплициальные, локальные , …

см. также алгебраическая топология

Введение

• Введение в базовую теорию гомотопий

• Введение в абстрактную теорию гомотопий

• геометрия физики – гомотопические типы

Определения

• гомотопия, высшая гомотопия

• гомотопический тип

• Пи-алгебра, сферический объект и Пи(А)-алгебра

• гомотопическая когерентная теория категорий

  • гомотопическая категория

    • категория модели

    • категория фибрантных объектов, категория коволокнистости

    • Вальдхаузен, категория

  • гомотопическая категория

    • Хо(Верх)

• (∞,1)-категория

  • гомотопическая категория (∞,1)-категории

Пути и цилиндры

• левая гомотопия

  • цилиндр объект

  • картографический конус

• правая гомотопия

  • объект пути

  • картографический кокон

  • универсальный комплект

• интервальный объект

  • гомотопическая локализация

  • объект бесконечно малого интервала

Гомотопические группы

• гомотопическая группа

  • основная группа

    • фундаментальная группа топоса

  • Гомотопическая группа Брауна-Гроссмана

  • категоричных гомотопических групп в (∞,1)-топосе

  • геометрических гомотопических группы в (∞,1)-топосе

• фундаментальный ∞-группоид

  • фундаментальный группоид

    • группоид пути

  • фундаментальный ∞-группоид в локально ∞-связном (∞,1)-топосе

  • фундаментальный ∞-группоид локально ∞-связного (∞,1)-топоса

• основная (∞,1)-категория

  • основная категория

Основные факты

• фундаментальная группа окружности — целые числа

Теоремы

• фундаментальная теорема о покрытии пространств

• Теорема Фрейденталя о подвеске

• Теорема Блейкера-Месси

• высшая гомотопическая теорема Ван Кампена

• теорема о нервах

• Теорема Уайтхеда

• Теорема Гуревича

• Теория Галуа

• гомотопическая гипотеза-теорема

• Идея
• Определение
• Связанные понятия

Идея

тензорное произведение двух векторных пространств — это новое векторное пространство, обладающее тем свойством, что билинейные отображения из декартова произведения двух пространств являются эквивалентно линейными отображениями из тензорного произведения.

Тензорное произведение векторных пространств — это всего лишь частный случай тензорного произведения модулей над некоторым кольцом RR для случая, когда это кольцо является полем.

Тензорное произведение векторных пространств превращает категорию Vect всех векторных пространств в моноидальную категорию, фактически дистрибутивную моноидальную категорию.

Определение

Определение

Даны два векторных пространства над некоторым полем kk, V1,V2∈VectkV_1, V_2 \in Vect_k, их тензорное произведение векторных пространств равно векторному пространству, обозначенному

V1⊗kV2∈Vect V_1 \otimes_k V_2 \in Vect

, элементами которого являются классы эквивалентности формальных линейных комбинаций кортежей (v1,v2)(v_1,v_2) с vi∈Viv_i \in V_i, для отношения эквивалентности, заданного

(kv1,v2)∼k(v1,v2 )∼(v1,kv2) (k v_1 , v_2) \;\sim\; k( v_1 , v_2) \;\sim\; (в_1, к в_2)

(v1+v′1,v2)∼(v1,v2)+(v′1,v2) (v_1 + v’_1, v_2) \; \сим\; (v_1, v_2) + (v’_1, v_2)

(v1,v2+v′2)∼(v1,v2)+(v1,v′2) (v_1, v_2 + v’_2) \; \сим\; (v_1, v_2) + (v_1, v’_2)

Более абстрактно это означает, что тензорное произведение векторных пространств есть векторное пространство, характеризующееся тем фактом, что

1. получает билинейную карту

   В1×В2⟶В1⊗В2 V_1 \times V_2 \longrightarrow V_1 \otimes V_2

   (из декартова произведения базовых множеств)

2. любая другая билинейная карта вида

   В1×В2⟶В3 V_1 \times V_2 \longrightarrow V_3

   фактора через приведенную выше билинейную карту через уникальную линейную карту

   В1×В2⟶билинейнаяВ3↓↗∃!линейнаяВ1⊗кВ2 \множество{ V_1 \times V_2 &\overset{билинейный}{\longrightarrow}& V_3 \\ \downarrow & \nearrow_{\mathrlap{\существует! \, линейный}} \\ V_1 \otimes_k V_2 }

• тензорное произведение модулей

• тензорное произведение цепных комплексов

• тензорное произведение векторных расслоений

• градуированное векторное пространство

• индуктивное тензорное произведение

Последняя редакция: 15 мая 2020 г.