Принцип ферма в оптике: Занятие 2. Принцип Ферма. — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Занятие 2. Принцип Ферма.

Принцип минимального времени

В 1660 г. П. Ферма, сформулировал принцип, который явился обобщенным законом и геометрической оптики. В простейшей формулировке этот принцип звучит так.

В вакууме скорость света максимальна. В оптической среде с показателем преломления п время прохождения светом того же расстояния увеличивается в п раз. Величина s, равная пpoизведению абсолютного показателя преломления n на пройденном расстояние l (s = nl), называется оптической длиной пути. Принцип Ферма относится именно к оптической длине пути

Прямолинейность распространения света.

Используя принцип Ферма, можно получить закон прямолинейного распространении света. Свет из одной точки в другую распространяется по кратчайшему расстоянию. В однородной среде кратчайшим оптически и путем является прямая линия.

Однако в неоднородной среде кратчайшим оптическим путем может оказаться некоторая кривая (или ломаная) линия, вдоль которой показатель преломления меньше, чем вдоль геометрической прямой. Этим объясняется явление преломления света и искривление световых лучей в неоднородной среде — явление рефракции.

Закон отражения.

Пусть на зеркальную поверхность падает свет из точки А. В точке А’ собираются лучи, отраженные от зеркала. Предположим, что свет из точки А в точку А’ может распространяться двумя путями — отражаясь от точек О и О’. Время, которое потребуется свету, чтобы пройти из источника А в точку А’ через точку О, можно определить из выражения

Здесь u — скорость распространения света. Покажем, что время прохождения света по траектории АОА’ меньше, чем по любой другой траектории АО’А’.

Продифференцируем выражение и приравняем производную нулю в соответствии с принципом Ферма.

Учтем, что sin a = x/AO, sin a’ = (L — х) /ОА’. Получим:

Отсюда получаем sin a = sin a ‘; а так как оба угла острые, то отсюда следует равенство углов:

a = a ‘

Мы получили соотношение, выражающее закон отражения угол отражения a’ равен углу падения a . Из принципа Ферма следует и вторая часть этого закона: отраженный луч

лежит в плоскости, проходящей через падающий луч и нормаль сражающей поверхности. Ведь если бы эти лучи лежали в разных плоскостях, то не был бы минимальным путь АОА’.

Закон преломления света

Закон преломления света. Аналогичным образом, используя принцип Ферма, рассмотрим явление, происходящее на границе раздела двух сред. Пусть в среде I скорость света u₁, в среде II — u₂. Для прохождения света из точки А₁ в точку A₂ будет затрачено время

Выберем из всех возможных траекторий распространения света ту, которой соответствует минимальное время распространения света. Продифференцировав и положив производную равной пулю, получим:

Учитывая, что sin a1 = x/A1O, sin a2 = (L — х) /ОА2 получим : Откуда следует :

Это и есть закон преломления света. Запишем его в более удобной форме.

Из построений и принципа Ферма следует также, что преломленный луч лежит в плоскости, проходящей через падающий луч и перпендикуляр к поверхности раздела двух сред.

Рассматривая падение светового пучка на границу раздела двух сред, мы говорили раздельно об отражении и преломлении света. Это было вызвано необходимостью вывода законов отражения и преломления света. Однако практически всегда на границе раздела двух сред световой пучок разделяется на два — отраженный и преломленный.

Принцип Ферма • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Принцип Ферма, названный так по имени сформулировавшего его французского физика и математика Пьера Ферма (см. Великая теорема Ферма) является примером так называемого принципа экстремума. Принцип экстремума гласит, что любая система стремится к состоянию, при котором значение исследуемой величины принимает максимально или минимально возможное (т. н. экстремальное) значение. Вообще, принцип экстремума лежит в основе целого ряда законов геометрической оптики и распространения света. Что касается принципа Ферма, то он является простым математическим обобщением ранее сделанных наблюдений такого рода, и ранее открытые закон отражения света и закон Снеллиуса непосредственно вытекают из него. То есть, принцип Ферма можно считать теоретическим обобщением всех полученных к моменту его формулировки экспериментальных данных о поведении света.

Например, при попадании светового луча внутрь стеклянного параллелепипеда принцип Ферма подскажет нам, на какой угол преломится луч. Весь вопрос сведется к тому, по какому пути должен распространяться луч внутри стекла, чтобы на это ушел минимум времени, учитывая, что в стекле свет распространяется медленнее, чем в воздухе. Поскольку луч в стекле затормаживается, он неизбежно отклонится от направления, под которым он вошел в стекло, иначе возрастет время луча в пути. С другой стороны, если луч внутри стекла пойдет строго перпендикулярно к поверхности стекла, это приведет к увеличению общего пути, пройденного лучом, включая отрезки за пределами стекла, и, как следствие, также к увеличению затраченного времени. Следовательно, для нахождения кратчайшей по времени траектории пути луча между двумя точками нужно найти компромисс между увеличением совокупного пути луча и сокращением пути луча в тормозящей его среде.

При строгом геометрическом решении этой задачи (оно не столь сложно, сколь громоздко, поэтому приводить его здесь я не буду) мы получим закон Снеллиуса, описывающий преломление света. Применив же его к отраженному от поверхности лучу, мы без труда, чисто геометрически, получим закон отражения света, согласно которому угол падения равен углу отражения.

Иными словами, весь набор законов геометрической оптики выводится из принципа экстремума, согласно которому свет между двумя точками распространяется по пути, на преодоление которого у него уходит наименьшее время. Важно помнить и понимать, однако, что, подобно всем другим эмпирически выведенным законам природы, справедливость принципа Ферма полностью зависит от его экспериментальной проверки, однако данных, которые заставили бы в нем усомниться, на сегодняшний день не имеется.

Принцип Ферма

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма в середине 17 столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения света, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Рис.1.7

Пусть луч распространяется из точки 1 в точку пространства 2 (рис.1.7). Разобьем траекторию распространения света на прямолинейные участки, на которых показатель преломления будет константой, тогда чтобы свету пройти путьтребуется время

Следовательно, время, затрачиваемое светом на прохождение пути 1-2 равно

Величина имеет размерность длины и эту величину называют оптическим ходом луча или оптической длиной пути света

(1,9)

В однородной изотропной среде оптическая длина пути света равна

(1.10)

Пропорциональность времени tпрохождения оптической длине пути лучаLдает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого экстремальна. Из принципа Ферма вытекает обратимость хода световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света из точки 2 в точку 1.

С помощью принципа Ферма можно доказать законы геометрической оптики, например, закон преломления света.

Доказательство закона преломления света с помощью принципа Ферма

Траектория по которой луч света из точки А, нкаходящейся в среде с показателем преломления n₁, попадает в точку В, расположенную в среде с показателем преломленияn_2,может быть разной, но нам нужно показать , что луч будет распространяться по такому пути , на который он затратит минимальное время.

Опустим из точек А и В перпендикуляры на границу раздела двух сред и расстояния от точек до границы раздела обозначим соответственно а₁и а₂.

Так как точка перехода луча из одной среды в другую зависит от того по какой траектории будет распространяться луч света, то расстояние от первого перпедикуляра до точки падения (см.рис 1.8) обозначим x. Расстояние между опущенными перпендикулярами обозначимb.

Рис.1.8

Оптический путь луча будет состоять из двух частей, так как он распространяется в двух разныз средах:

Так как время распространения света из точки А в точку Bдолжно быть минимально, то оптический путь должен быть экстремален, т.е. первая производная оптического пути по времени должна быть равна нулю:

(1.11)

, а

Поэтому из условия (1,11) получаем

(1.12)

Т.е. закон преломления света доказан.

Полное внутреннее отражение, световоды (эндоскопы).

Из формулы (1.12) видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается более быстрым ростом угла преломления ¦и при некотором ¦ значении угла, котором преломленный луч пойдет по границе раздела двух сред, т.е. уголдостигает значения равного, В этом случае угол паденияназывается предельным углом падения и определяется

(1.13)

Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах от предельного угла падения до,, световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волныи затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отражением (см.рис.1.9).

Рис.1.9

Явление полного внутреннего отражения находит применение во многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически важным применением является создание волоконных световодов, которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей. Проверьте на опыте будет ли свет от красной лампочки распространяться по изогнутой струе воды.

Рис.1.10

Явление полного внутреннего отражения лежит в основе волоконной оптики. Свет, попадая внутрь прозрачного волокна, окруженного веществом с меньшим показателем преломления, многократно отражается и распространяется вдоль этого волокна. Диаметр этих тонких стеклянных или пластиковых волокон может быть доведен до нескольких микрометров. Для передачи больших световых потоков и сохранения гибкости светопроводящей системы отдельные волокна собираются в пучки (жгуты) – световоды, свет по световоду может передаваться почти без потерь. Рис1.10 демонстрирует, как распространяется свет по тонкому волокну, испытывая только скользящие отражения от стенок, т.е. претерпевая полное внутреннее отражение.

Рис.1.11

Если световоду придать сложную форму, то угол падения обычно превышает предельный, и свет будет передан от одного торца световода до другого практически без ослабления. Этот эффект используется в декоративных светильниках и при подсветке струй в фонтане. Волоконная оптика широко используется в медицине. Например, для визуального исследования внутренних полых органов используются гибкие гастроскопы, эндоскопы. С помощью световодов осуществляется передача лазерного излучения во внутренние ткани и органы с целью лечебного воздействия. На рис. 1.12 показаны различные способы подведения лазерного излучения к ткани: 1 — лазерный луч нацелен на ткань через систему диафрагм и линз; 2 — луч подводится через систему подвижных зеркал; 3 — луч проводится по гибкому пустотелому световоду с внутренней зеркальной поверхностью;

4 — луч проводится через гибкий кварцевый световод и дистанционно нацелен на ткань.

Рис. 1.12. Способы подведения лазерного излучения к ткани

Примером природной волоконнооптической системы является сетчатка человеческого глаза. Попадая на сетчатку, свет воспринимается светочувствительными элементами (волокнами двух типов: палочками и колбочками). Этот слой подобен волоконнооптическому устройству. У травянистых растений стебель играет роль световода, подводящего свет в подземную часть растения. Клетки стебля образуют параллельные колонки, напоминая этим конструкцию промышленных световодов. Если освещать такую колонку,рассматривая ее через микроскоп, то видно, что ее стенки при этом остаются темными, а внутренность каждой клетки ярко освещена. Глубина, на которую доставляется таким способом свет, не превышает 4-5 см. Но и такого короткого световода достаточно, чтобы обеспечить светом подземную часть травянистого растения.

Заключение

Итак, свет обладает свойствами электромагнитной волны и потока фотонов, свойства неразделимы и в одних явлениях преобладает одно свойство, а в других другое, что связано с длиной световой волны.
В анизотропной среде абсолютный показатель преломления зависит от направления распространения световой волны.
В законах геометрической оптике используются чисто математические представления о лучах, не рассматривается природа света, законы работают при .
Принцип Ферма является наиболее общим законом геометрической оптике, из этого закона могут быть выведены законы отражения и преломления света. Принцип Ферма определяет оптический путь луча и обратимость хода лучей.
Закон полного внутреннего отражения позволяет понять принципы работы световодов (эндоскопов)

Ст. преподаватель кафедры___________________________

(наименование кафедры)

_______________________ ________________________

(ученая степень, ученое звание, подпись) (И.О.Ф.)

«____»________________г.

Основные законы геометрической оптики, принцип Ферма, доказательство закона преломления на основании принципа Ферма.

Основу геометрической оптики образуют четыре закона: 1) закон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны.

Луч света распространяется прямолинейно, если на пути его распространения среда однородна, абсолютный показатель преломления среды везде одинаков. Однако, если показатель преломления среды плавно изменяется на трассе луча, траектория луча света искривляется (рис.1.2), причём луч смещается в сторону увеличения показателя преломления.

Рис.1.2

Это явление получило название рефракция излучения, хотя в буквальном переводе слово рефракция означает преломление. Рассмотрим преломление солнечных лучей на закате или восходе, когда Солнце практически находится за горизонтом. Известно, что плотность атмосферы Земли меняется с высотой, чем выше слои атмосферы, тем меньше их плотность. Абсолютный показатель преломления связан с плотностью среды, поэтому с высотой он также будет уменьшаться. Разобьем атмосферу Земли на параллельные слои. Каждый слой будет характеризоваться своим показателем. Чем выше слой атмосферы от Земли, тем его показатель становится меньше.

Рис.1.3

Рассмотрим ход лучей ( рисунок 1.3), идущих от точки С (С- это точка, лежащая на Солнце, которое почти спряталось за горизонт). Луч искривляется, так как каждый последующий слой атмосферы имеет больший показатель преломления и в каждом последующем слое луч света приближается к перпендикуляру восстановленному в точку падения . Наблюдатель, находящийся в точке А, видит изображение Солнца в точке С₁. Зашедшее Солнце за счет преломления остается видимым еще несколько минут, поэтому продолжительность дня оказывается на 7-8 минут больше, чем она была бы в отсутствии преломления. Сплюснутая форма Солнца при восходе и заходе объясняется, тем, что лучи, идущие от разных частей Солнца отклоняются от прямой линии на разные углы.

Рис.1.4

Миражисвязаны с тем, что абсолютный показатель преломления в разных атмосферных слоях оказывается разным. Обычно наблюдается верхний или нижний мираж. Нижний мираж наблюдается в пустынях и в степях в теплое время года, когда прилегающий к земной поверхности слой воздуха сильно нагрет, а его плотность и показатель преломления быстро возрастают с высотой. На рисунке 1.4,а показано каким образом горячий песок позволяет видеть макушку дерева А. Луч света n преломляется при прохождении вниз от холодного к нагретому воздуху, следовательно, угол преломления будет возрастать, а линия, по которой свет распространяется, искривляется (рис.1.5. В точке Влуч света испытает полное внутреннее отражение, преломленный луч исчезнет. Вся световая энергия сосредотачивается в отраженном луче, поэтому луч как бы изменил свое направление.

Рис.1.5

Поэтому, когда он попадает в глаз наблюдателя, то кажется, что он исходит из точки А^¢, а не точки А.

Верхний мираж может наблюдаться близ воды. Так как около поверхности воды может находиться слой холодного воздуха, над которым расположен слой теплого воздуха.

В результате отдаленный корабль на море может казаться плавающим в небе, как показано на рисунке 1.4б., так как лучи света описывают большую дугу и возвращаются вниз за десятки километров от источника. С Лазурного берега иногда можно увидеть Корсику, расположенную за 200 километров оттуда. Жители бельгийского города Вервье в 1815 году увидели в небе целую армию. За сто километров от этого города в это утро произошла битва при Ватерлоо.

Закон независимости световых пучков утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга. Пересечения лучей не мешает каждому из них распространяться независимо друг от друга.

Если две изотропные среды с разными показателями преломления соприкасаются друг с другом, то между ними образуется граница раздела этих сред. Луч света, попадая на эту границу, частично отражается, частично преломляется (см. рис.1.6)

Закон отражения света: падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения). Угол отражения γ равен углу падения α.

(1.7)

Закон преломления света: падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред и равна отношению абсолютного показателя преломления второй среды относительно показателя преломления первой среды:

(1.8)

Закон преломления был экспериментально установлен голландским ученым В. Снеллиусом (1621 г.)

Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой физике. Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления – это отношение скорости распространения волн в первой среде υ₁ к скорости их распространения во второй среде υ₂:

Рис 1.6 иллюстрирует законы отражения и преломления света.

Принцип Ферма

Рис.1.7

Следовательно, время, затрачиваемое светом на прохождение пути 1-2 равно

(1,9)

В однородной изотропной среде оптическая длина пути света равна

(1.10)

Пропорциональность времени t прохождения оптической длине пути луча L дает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого экстремальна. Из принципа Ферма вытекает обратимость хода световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света из точки 2 в точку 1.

С помощью принципа Ферма можно доказать законы геометрической оптики, например, закон преломления света.

Узнать еще:

Законы геометрической оптики и принцип Ферма

Предлагает: “Давайте отложим одинаковые гипотенузы, тогда отношение синусов сведется к отношению длин отрезков а и b”.	Выполняют. Говорят отношения.
Как можно оценить погрешность получения этого отношения?	Отвечают: “Надо найти относительную погрешность каждого измерения и сложить их”.
Пусть кто-то из тех, кто уже нашел отношение, оценит относительную погрешность результата. Считайте абсолютную погрешность измерения длины равной 1 мм.	Выполняют. Отвечают: “Относительная погрешность каждого измерения длины — не более 10%, погрешность результата — не более 20%, т.е. примерно 0,3”.
Сделайте вывод.	Делают вывод: “В пределах погрешности отношения при различных углах оказалась одинаковой”.
Рассказывает: “Если бы мы проводили эксперименты с другими средами, мы получили бы другое отношение, но по-прежнему не зависящее от угла падения. Это постоянное для границы сред отношение носит название показателя преломления. Независимость отношения синусов от угла падения и называется законом Снеллиуса или законом преломления света. При его формулировании, как и в законе отражения, надо упомянуть факт пролегания падающего и преломленного лучей в одной плоскости с перпендикуляром к границе раздела сред в точке падения. Сформулируйте закон преломления”.	Формулируют закон, самостоятельно его записывают.

Мотивационный этап для создания теоретического базиса (ядра) теории.

Говорит: “Итак, мы с вами сформулировали эмпирический базис нашей теории. Теперь надо приступать к созданию ядра теории, т.е. основных моделей, принципов, положений теории. В чем состоит цель любой теории?”	Отвечают: “Объяснить известные экспериментальные факты и предсказать новые явления”.

Организация деятельности учащихся по созданию новых понятий

Говорит: “Какую модель можно было бы предложить для объяснения прямолинейного распространения света и закона отражения?”	Отвечают: “Волн, частиц, …”
Предлагает: “Давайте начнем с простейшей. Как объяснить известные факты с помощью модели частиц света?”	Отвечают: “Прямолинейное движение по инерции, отражение при упругом ударе о границу …”
Просит объяснить закон преломления.	Не могут.
Рассказывает: “Возможно, вам поможет мой рассказ. Герон Александрийский, живший около I века нашей эры заметил любопытное свойство света: его луч отражается от зеркала таким образом, что путь от источника до наблюдателя окажется минимальным. Попробуйте объяснить прямолинейность распространения света с помощью принципа Герона”.	Объясняют, что кратчайшее расстояние между двумя точками — отрезок прямой.
Просит: “Продемонстрируйте принцип Герона для отражения”. Помогает.	Демонстрируют с помощью учителя.
Спрашивает: “Как теперь объяснить закон преломления?” Делает чертеж.	Не могут.
Говорит: “Есть аналогичная задача в механике. Представьте себе, что вам надо попасть из точки А в точку В. Но на вашем пути твердая почва и песок. Скорость вашего движения в этих областях различна. Сформулируйте вопрос, аналогичный принципу Герона”.	Формулируют: “Как пройти, чтобы расстояние, нет, время было наименьшим?”
В 1660 году Ферма попытался применить принцип Герона для объяснения преломления. Но предположил, что минимальным должно быть время. Давайте выразим время движения как функцию координаты точки пересечения границы х”.	Диктуют выражение.
Спрашивает: “Как в математике находят минимум функции?”	Отвечают: “В точке минимума производная функции равна нулю”.
Предлагает: “Найдите производную этой функции по х и приравняйте нулю”. Спрашивает: “Какой функции угла можно приравнять данное выражение?”	Дифференцируют. Заменяют выражения на синусы.
Спрашивает: “Итак, объяснили ли мы закон преломления?”	Отвечают: “Да”.
Говорит: “Принцип кратчайшего времени носит название принципа Ферма и в однородной среде совпадает с принципом Герона. Как видите, у нас отпала необходимость использовать какую-либо модель для света. Понятие луча света и принцип Ферма составляют теоретический базис или ядро нашей теории”. Спрашивает: “Что еще, кроме объяснения известных фактов, является критерием истинности теории?”	Отвечают: “Предсказание новых явлений и законов и подтверждение их в эксперименте”.
Говорит: “А здесь, как довольно часто бывает, вам придется поверить мне на слово. С помощью принципа Ферма можно получить закон для линзы. Правда, я не буду выводить вам эту формулу из принципа Ферма, этот вывод слишком сложен. Но, пользуясь формулой линзы, мы с вами будем решать задачи и сможем проверить результаты на опыте. Мы увидим, что наша теория действительно истинна. Остается вопрос о том, насколько всеобъемлюща теория, основанная на принципе Ферма. Оказывается, есть оптические явления, которые невозможно объяснить в рамках данной теории. Некоторые из них я вам продемонстрирую”. Демонстрирует интерференцию света на двух щелях, дифракцию на тонкой проволоке и дифракционной решетке.	Обсуждают увиденное, приходят к выводу, что данные явления противоречат закону прямолинейного распространения света.

Завершающий этап

Говорит: “После того, как мы освоим весь арсенал законов, изученных сегодня, решая задачи, мы вернемся к вопросу о создании теории, объясняющей все оптические явления. А сейчас прошу обобщить результаты сегодняшнего урока”.	Кратко обобщают материал урока.
Задает домашнее задание: “Выучить по тетради формулировки законов и повторить вывод этих законов из принципа Ферма”.

Оптика и волны

Корпускулярная теория очень просто объясняла явления геометрической оптики, описываемые в терминах распространения световых лучей. С точки зрения волновой теории, лучи — это нормали к фронту волны. Принцип Гюйгенса также позволяет объяснить законы геометрической оптики на основе волновых представлений о природе света.

Закон отражения

Когда световые волны достигают границы раздела двух сред, направление их распространения изменяется. Если они остаются в той же среде, то происходит отражение света.

Отражение света — это изменение направления световой волны при падении на границу раздела двух сред, в результате чего волна продолжает распространяться в первой среде.

Закон отражения света хорошо известен:

Падающий луч, перпендикуляр к границе раздела двух сред в точке падения и отраженный луч лежат в одной плоскости, причем угол падения равен углу отражения.

Направления распространения падающей и отраженной волн показаны на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Отражение света от плоской поверхности

Видео 3.1 Трехсантиметровые волны: закон отражения (металл).

Видео 3.2 Трехсантиметровые волны: закон отражения (диэлектрик).

Видео 3.3 Решетка — зеркало для трехсантиметровых волн. (диэлектрик).

Закон отражения может быть выведен из принципа Гюйгенса. Действительно, допустим, что плоская волна, распространяющаяся в изотропной среде, падает на границу раздела двух сред АС (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Применение принципа Гюйгенса к выводу закона отражения

Достаточно рассмотреть два параллельных луча I и в падающем пучке. Углом падения называют угол между нормалью п к поверхности раздела и падающим лучом I. Плоский фронт AD падающей волны сначала достигнет границы раздела двух сред в точке А, которая станет источником вторичных волн. Согласно принципу Гюйгенса, из нее, как из центра, будет распространяться сферическая волна. Через время

то есть с запаздыванием во времени на , луч из падающего пучка придет в точку С, которая в этот момент времени также станет источником вторичной волны. Но, к этому моменту вторичная сферическая волна, распространяющаяся из точки А, уже будет иметь радиус (как и должно быть: ). Мы знаем теперь положение двух точек фронта отраженной волны — С и В. Чтобы не загромождать рисунок, мы не показываем вторичных волн, испущенных точками между А и С, но линия CD будет касательной (огибающей) ко всем из них. Стало быть, CВ действительно является фронтом отраженной волны. Направление ее распространения (лучи II и ) ортогонально фронту CD. Из равенства треугольников ABC и ADC вытекает равенство углов

что, в свою очередь, приводит к закону отражения

На рис. 3.4 представлена интерактивная модель отражения света.

Рис. 3.4. Изучение закона отражения света

Закон преломления

Если световые волны достигают границы раздела двух сред и проникают в другую среду, то направление их распространения также изменяется — происходит преломление света.

Преломление света — это изменение направления распространения световой волны при переходе из одной прозрачной среды в другую.

Направление распространения падающей и преломленной волны показано на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Преломление света на плоской границе раздела двух прозрачных сред

Закон преломления гласит:

Падающий луч, перпендикуляр к границе раздела сред в точке падения и преломленный луч лежат в одной плоскости, причем отношение синуса угла падения к синусу угла преломления постоянно для данной пары сред и равно показателю преломления второй среды относительно первой

Здесь показатель преломления среды, в которой распространяется преломленная волна, показатель преломления среды, в которой распространяется падающая волна.

Закон отражения также вытекает из принципа Гюйгенса. Рассмотрим (рис. 3.6) плоскую волну (фронт АВ), которая распространяется в среде с показателем преломления , вдоль направления I со скоростью

Эта волна падает на границу раздела со средой, в которой показатель преломления равен , а скорость распространения

Рис. 3.6. К выводу закона преломления света с помощью принципа Гюйгенса

Время, затрачиваемое падающей волной для прохождения пути ВС, равно

За это же время фронт вторичной волны, возбуждаемой в точке А во второй среде, достигнет точек полусферы с радиусом

В соответствии с принципом Гюйгенса положение фронта преломленной волны в этот момент времени задается плоскостью DC, а направление ее распространения — лучом III, перпендикулярным к DC. Из треугольников и следует

откуда

(3.1)

Таким образом, закон преломления света записывается так:

(3.2)

Видео 3.4 Полное внутреннее отражение (видимый свет)

Видео 3.5 Модель световода

Видео 3.6 Куб и призма на пути трехсантиметровой волны.

На рис. 3.7 представлена интерактивная модель преломления света на границе раздела двух сред.

Рис. 3.7. Изучение закона преломления

Для еще одной иллюстрации применения принципа Гюйгенса рассмотрим пример.

Пример. На плоскую границу раздела двух сред падает нормально луч света. Показатель преломления среды непрерывно увеличивается от ее левого края к правому (рис. 3.8). Определим, как будет идти луч света в этой неоднородной среде.

Рис. 3.8. Искривление луча света в неоднородной среде

Пусть фронт волны АА подошел к границе раздела сред. Точки раздела сред можно рассматривать как центры вторичных волн. Через время испущенные вторичные сферические волны достигают точек на расстоянии от фронта АА. Поскольку показатель преломления среды растет слева направо, эти расстояния убывают слева направо. Огибающая к вторичным волнам — новый фронт ВВ — повернется. Если теперь взять точки фронта ВВ за источники вторичных волн, то за время они породят волны, образующие фронт СС. Он еще более повернут. Его точки порождают фронт DD и т. д. Проводя нормаль к волновым фронтам в разные моменты времени, получаем путь светового луча в среде с переменным показателем преломления (зеленая линия). Видно, что луч искривляется в сторону увеличения показателя преломления. Аналогия: если притормозить левые колеса автомобиля, его повернет налево. Для света степень «торможения» растет с ростом показателя преломления среды: .

Эта задача имеет отношение к явлению, наблюдающемуся на море. Когда ветер дует с берега, иногда возникает так называемая «зона молчания»: звук колокола с судна не достигает берега. Обычно говорят, что звук относится ветром. Но даже при сильном урагане скорость ветра примерно в 10 раз меньше скорости звука, так что «отнести» звук ветер никак не может. Объяснение заключается в том, что скорость встречного ветра у поверхности моря вследствие трения меньше, чем на высоте. Поэтому скорость звука у поверхности больше, и линия распространения звука загибается кверху, не попадая на берег.

Дополнительная информация

http://allphysics.ru/perelman/otrazhenie-i-prelomlenie-sveta – Я.И.Перельман, «Занимательная физика». Отражение и преломление света.

http://www.nvtc.ee/e-oppe/Sidorova/objects/index.html – Законы преломления, отражения света. Зеркала. Теория и примеры задач. В «Итоговых заданиях» — кроссворд.

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/1461c067-705e-4f5f-9d18-152a8eec1564/7_16.swf – Слайд-шоу «Рассеянное отражение света».

http://www.youtube.com/watch?v=KQvtIEITg5s&feature=endscreen&NR=1 – Видео о преломлении света около магнитов и в линзах.

http://allphysics.ru/feynman/kak-voznikaet-pokazatel-prelomleniya – Фейнмановские лекции по физике. Как возникает показатель преломления.

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/… – Тарасов Л.В., Тарасова А.Н., «Беседы о преломлении света».

Принцип Ферма.

Итак, волновая оптика способна объяснить явления отражения и преломления света столь же успешно, как и геометрическая оптика. В основу последней, трактующей явления на основе законов распространения лучей, положен принцип Ферма:

Свет распространяется по такому пути, для прохождения которого требуется минимальное время.

Для прохождения участка пути свету требуется время

где v=с/п — скорость света в среде. Таким образом, время t, затрачиваемое светом на путь от точки 1 до точки 2, равно

(3.3)

Введем величину с размерностью длины, которая называется оптической длиной пути:

(3.4)

Пропорциональность t и L позволяет сформулировать принцип Ферма следующим образом:

Свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

Рассмотрим путь света из точки S в точку С после отражения от плоскости АВ (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Применение принципа Ферма к отражению света

Непосредственное попадание света из S в С невозможно из-за экрана. Нам надо найти точку О, отразившись в которой луч попадет в точку С. Среда, в которой проходит луч, однородна. Поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности его геометрической длины. Рассмотрим зеркальное изображение S’ точки S. Геометрические длины путей SOC и S’OC равны. Поэтому минимальность длины SOC эквивалентна минимальности длины S’OC. А минимальная геометрическая длина пути из S’ в С будет соответствовать прямой, соединяющей точки S’ и С. Пересечение этой прямой с плоскостью раздела сред дает положение точки О. Отсюда следует равенство углов:

то есть закон отражения света.

Рассмотрим теперь явление преломления света (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Применение принципа Ферма к преломлению света

Видео 3.7 Искривление луча в неоднородной среде.

Видео 3.8 Трехсантиметровые волны: диэлектрическая линза.

Видео 3.9 Трехсантиметровые волны: диэлектрическая призма.

Определим положение точки О, в которой должен преломиться луч, распространяясь от S к С, чтобы оптическая длина пути L была минимальна. Выражение для L имеет вид

(3.5)

Найдем величину х, соответствующую экстремуму оптической длины пути:

(3.6)

Отсюда следует

(3.7)

или

Мы получили закон преломления света.

Принцип Ферма является частным случаем так называемого принципа наименьшего действия, имеющего приложения практически ко всем областям физики. Всякий раз из всех возможных движений системы осуществляется то, для которого некая величина (ее называют действием) минимальна (точнее, имеет экстремум). В этом проявляется некая «экономность» природы, выбирающей оптимальные пути для перехода системы из одного состояния в другое.

Дополнительная информация

Геометрическая оптика

http://allphysics.ru/feynman/geometricheskaya-optika – Фейнмановские лекции по физике. Геометрическая оптика.

http://www.ph5s.ru/book_ph_opt_geom.html – Ссылки на книги по геометрической оптики. Сайт бывшего преподавателя МИФИ А.Н. Варгина.

http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/ef4b174a-8fec-c03a-df26-ae730713bc30/79292/?interface=themcol – Интерактивные модели по физике. Геометрическая оптика.

http://diplomivanov.narod.ru/ – Сайт о геометрической оптике: теория и задачи.

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Begunov1966ru.djvu – Бегунов Б.Н., учебник по геометрической оптике.

http://www.physel.ru/a-mainmenu-55.html – Материалы по геометрической оптике.

http://www.youtube.com/watch?v=mRwRy24hbg8&feature=related – Ход лучей в линзе.

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Задачи на оптические построения.

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Геометрия тонкой линзы.

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Тонкие линзы. Нулевые линзы.

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Фокус шара.

http://www.youtube.com/watch?v=MNea-aK6VuQ – Оптическая разность хода. Видео.

http://sfiz.ru/list.php?c=geomoptika – Геометрическая оптика. Учебные материалы.

Учебники и лекции по оптике

http://www.plib.ru/library/book/16969.html – Бутиков Е.И. Учебник по оптике.

http://www.plib.ru/library/book/16986.html – Годжаев Н.М. Учебник по оптике.

http://www.plib.ru/library/book/15479.html – Клаудер Дж, Сударшан Э. «Основы квантовой оптики».

http://www.alleng.ru/d/phys/phys106.htm – Сивухин, учебник по оптике.

http://www.abitura.com/handbook/index.html – Справочник по физике (в т. ч. по оптике).

http://sfiz.ru/page.php?id=103 – Словарь по оптике.

http://uti.tpu.ru/edu/chairs/eno/opt.pdf – Е.В. Полицинский «Оптика. Конспекты лекций.» Учебное пособие.

http://physoptika.ru/ – Лекции по оптике. Примеры решения задач.

http://www.phys.spbu.ru/content/File/Library/Books/GenPhys/crowellOptics.pdf – B. Crowell. «Optics»

http://www.physbook.ru/ – Электронный учебник по физике.

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/BornVolf1973ru.djvu – М. Борн, Э. Вольф, «Основы оптики».

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/GorbunovaZajcevaKrasnikov1977ru.djvu – Горбунова О.И., Зайцева А.М., Красников С.Н., «Задачник-практикум по общей физике. Оптика. Атомная физика».

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/DetlafYavorskij_t3_1979ru.djvu – Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. Том 3. Волновые процессы. Оптика. Атомная и ядерная физика.

http://www.physics.spbstu.ru/forstudents/practice/vasyliev_phys_optica_manual.pdf – А.Э. Васильев. «Физика. Оптика.» Учебное пособие.

http://www.phys.spbu.ru/library/studentlectures/krylov/krylov/ – И.Р. Крылов. «Методическое пособие по курсу оптики».

http://jamshyt.ru/wnopa/f2/ – Оптика. Материалы.

http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom4/content.htm – О.С. Литвинов, К.Б. Павлов, В.С. Горелик «Электромагнитные волны и оптика» Онлайн-учебник.

http://www.laser-portal.ru/content_3 – История и законы оптики, оптические эффекты, материалы, компоненты оптических схем, природа света.

http://www.harmony-guild.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=190:2011-05-31-07-27-31&catid=34:demo-category&Itemid=78 – Излучение Вавилова-Черенкова. Механизм, интересные следствия.

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/5ee6b93b-cb19-46e1-9e74-30aa92a167fa/7_18.swf – Слайд-шоу «Зеркальный телескоп».

http://media.dm-centre.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=25&Itemid=29 – Опыты по оптике. Видео.

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Savelev_t3_1971ru.djvu – Савельев И.В. Курс общей физики, том З. Оптика. Атомная физика.

http://allphysics.ru/feynman/optika-printsip-naimenshego-vremeni – Фейнмановские лекции по физике. Оптика. принцип наименьшего времени.

http://allphysics.ru/feynman/tsvetovoe-zrenie – Фейнмановские лекции по физике. Цветовое зрение.

http://allphysics.ru/feynman/mehanizm-zreniya – Фейнмановские лекции по физике. Механизм зрения.

Тесты и задачи

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Задачи на распространение света.

http://www.reppofiz.info/ege.html – Задачи из ЕГЭ по оптике (и не только) с решениями.

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/RussoMate1976ru.djvu – Руссо М., Матье Ж.П. Задачи по оптике.

http://www.testent.ru/load/testy/fizika/optika/39-1-0-1824 – Тесты по оптике.

http://window.edu.ru/window_catalog/files/r72644/stup538.pdf – Сборник задач ЕГЭ по оптике.

Другие ресурсы по оптике

http://www3.crimea.edu/tnu/structure/physic_fac/departments/general/common_phys/all/opt.htm – Кратко об основных аспектах оптики.

http://repetitor.mathematic.of.by/spravka_fizika3.htm#M1 – Основные формулы по оптике.

http://shkola.lv/index.php?mode=cht&chtid=91 – Основные положения, законы, формулы.

http://school-collection.edu.ru/catalog/search/?text=%EE%EF%F2%E8%EA%E0&tg=&interface=catalog – Коллекция ресурсов по оптике: статьи, эксперименты, лабораторные.

http://power-p.ru/load/fizika/optika/14-1-0-331 – Презентации по оптике: устройство глаза, фотоаппарата, микроскопа, телескопа и другое.

http://pymath.ru/viewtopic.php?f=77&t=809&sid=63be0a3e99f9a32260b53dcfaad3c271 – Видеоурок «Разрешающая способность».

Интересные факты

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Физическая оптика: на каком расстоянии можно отличить двугорбого верблюда от одногорбого?

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Древняя оптика: почему ошибался Птоломей?

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Лучи и волны.

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Волны на пляже.

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Предельные возможность оптического микроскопа.

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Электрический микроскоп. Можно ли в микроскопе разглядеть молекулу?

http://physbook.ru/index.php/Kvant… – Как устроен глаз? Эффект «Полета» луны.

http://elkin52.narod.ru/optika.htm – Занимательная оптика в вопросах и ответах.

http://www.osa-univer.org.ua/DiscoveryKit_Rus.pdf – Занимательная оптика, набор наглядных пособий.

http://www.youtube.com/watch?v=NwH7qx5468o – Распространение луча лазера в воде: опыт Джона Тилдана.

http://www.youtube.com/watch?v=C_R9GnBAC1E – Бесконечное зеркало.

http://www.vokrugsveta.ru/quiz/615/ – Почему небо голубое? Объяснение «на пальцах».

http://www.laser-portal.ru/content_5 – Лазеры. Область их применения.

http://our-lectures.ru/interesting/physics/27-pochemy-nebo-golyboe.html Почему небо голубое? Объяснение с математическими выкладками.

http://www.sveticvet.ru/iskrivlenie-svetovyx-luchej-v-atmosfere/mirazh-v-miniatyure/index.php – Статья о миражах.

http://optika8.narod.ru/History.htm – Краткая история развития оптики.

http://laser-portal.ru/content_7 – История развития оптики.

http://allphysics.ru/perelman/luchi-sveta – Я.И.Перельман, «Занимательная физика». Лучи света.

http://allphysics.ru/perelman/zrenie-odnim-i-dvumya-glazami – Я.И.Перельман, «Занимательная физика». Зрение одним и двумя глазами.

http://www.youtube.com/watch?v=uGTV5OxcKDs – Видео о свете и зеркалах (плоских, выпуклых и вогнутых), цветных фильтрах, люминофорах, черных телах, призмах.

Принцип Ферма — Оптика

Некоторые оптические задачи удобно решать, пользуясь принципом, высказанным П. Ферма (1601—1665). Этот принцип, называемый принципом наименьшего времени, гласит:

«Луч, распространяющийся между двумя точками, выбирает путь, требующий экстремального — чаще всего минимального — времени».

Согласно принципу Ферма, в свободном однородном изотропном пространстве луч прямолинеен. Покажем, что получится, если начальная А и конечная В точки лежат в разных средах (рис. 2.2). Выбрав произвольно точку О, где луч пересекает границу раздела, пользуясь обозначениями рисунка, находим время прохождения лучом пути ADB:

Условие экстремума времени запишется так:

Отсюда сразу же получается правильный закон преломления.

О распределении энергии между отраженным и преломленным лучами и о поведении частоты при этих процессах принцип Ферма ничего не говорит. Позже, в квантовой механике, вскроется глубокий физический смысл этого принципа.

И в принципе Гюйгенса, и в принципе Ферма нет указаний на возможную зависимость скорости распространения света от его частоты. Такая зависимость всегда существует в неидеально прозрачных средах (т. е. везде, кроме вакуума). Поэтому белый свет, преломляемый призмой, разлагается —’дает сплошной разноцветный спектр. Великой заслугой И. Ньютона было доказательство того, что «простые цвета», полученные на выходе из призмы, не испытывают дальнейшего разложения при повторном пропускании через призму. В настоящее, время мы знаем, что они практически монохроматичны (см. § 5.3).

Многие тела окрашены в цвета, отсутствующие в сплошном спектре (коричневый; пурпурный и др.). Опыт показывает, что их спектр сложный. Ощущение цвета — субъективная характеристика света, зависящая от свойств зрения. Объективной же характеристикой являетсяспектральный состав света (см. § 8.5).

Рис 2.2.

При отражении и преломлении света частота монохроматической волны всегда сохраняется. При более сложном явлении рассеяния света (см. § 10.3, 10.5 и 10.6) частота может изменяться.

Наконец, следует упомянуть о принципе обратимости светового луча. Если луч, пройдя точку А (см. рис. 2.2), проходит затем через точку В, то, если бы он сначала шел через точку В (в обратном направлении), он обязательно прошел бы и через точку А.

Все указанные принципы не объясняют, почему описываемые ими явления происходят именно так, а не иначе, что, конечно, свидетельствует об их ограниченности.

Спросите СДЕЛАТЬ: Как работают фермы?

Спросите MAKE — это еженедельная колонка, в которой мы отвечаем на такие же вопросы читателей, как и ваш. Напишите их на [email protected] или напишите нам в Twitter. Нам не терпится решить ваши головоломки!

Барбара пишет:

Как женщина, которая ОБОЖАЕТ просматривать материалы make.com, и которая смела, но иногда упускает из виду некоторые физические аспекты, мне бы хотелось получить базовое (но исчерпывающее) объяснение физики ферм и того, как они распределяют нагрузку на крышу.

Отличный вопрос! Нам это тоже было интересно, поэтому мы обратились за помощью к эксперту. Вот что сказал в ответ доктор Дранг (один из наших читателей):
Фермы, как и все конструкции, являются устройствами для передачи грузов оттуда, где вы не хотите, чтобы они были там, где вы это делаете. Ферма крыши принимает на себя вес крыши — и снег на крыше, если вы живете в таком климате — и переносит его на несущие стены вашего дома. Ферма моста принимает на себя вес автомобилей и грузовиков, проезжающих по ней, и переносит их на опоры.Что отличает ферму от других конструкций — например, стропил для крыши или арок для моста — это умный и эффективный способ выдерживания нагрузки. Фермы, как правило, очень легкие, потому что в них используются преимущества геометрии и законов статики. Давайте посмотрим на каждый из этих…
Геометрия
Представьте, что у вас есть набор плоских палочек, вроде палочек для мороженого или приспособлений для отжимания языка, и вы просверливаете отверстия на концах каждой палочки, чтобы их можно было соединить маленькими болтами. Если вы соедините три стержня вместе в треугольник, вы получите конструкцию, которая останется жесткой, даже если вы не будете сильно затягивать болты.
Если, с другой стороны, вы сделаете квадрат с четырьмя палками, будет почти невозможно предотвратить превращение конструкции в ромб, когда вы надавите на нее, независимо от того, насколько сильно вы затягиваете.
В отличие от треугольника, жесткость этой конструкции зависит от жесткости соединений. Чтобы квадрат действительно оставался жестким, вам нужно добавить диагональную скобу, чтобы создать два треугольника внутри квадрата.
Эта внутренняя жесткость треугольников является геометрическим свойством.Треугольник — единственный многоугольник, внутренние углы которого — и, следовательно, форма — однозначно определяются длинами его сторон. Нет ничего лучше постулата боковой стороны-стороны или закона косинусов для многоугольников более высокого порядка.
Итак, если вы хотите создать жесткую конструкцию независимо от жесткости ее соединений, вы начинаете с треугольника и надстраиваете его, добавляя палки, чтобы образовалось больше треугольников. Вкратце, это ферма.
Законы статики
Идеальная ферма похожа на нашу сборку палочек для мороженого: набор прямых элементов или элементов, скрепленных вместе на концах, с усилиями, прилагаемыми только к суставам.(Мы немного поговорим о соотношении реальных и идеальных ферм.) В этих условиях каждый элемент фермы нагружен только со своих концов. Некоторые из нагрузок могут исходить от приложенных извне сил, а другие — от элементов, с которыми они связаны, но независимо от их источника нагрузки действуют исключительно на концах.
Применяя уравнения статики, мы можем показать, что если тело нагружено только в двух точках, результирующие силы в этих точках
и
равны по величине;
противоположны по направлению; и
действуют вдоль линии между двумя точками.
Для наших элементов фермы это означает, что силы, действующие на элементы, являются осевыми (то есть они действуют вдоль оси элемента), приводя их либо к чистому растяжению, либо к чистому сжатию.
В фермах, нагруженных направленными вниз силами, элементы вдоль верха («верхний пояс») сжимаются, а элементы вдоль низа («нижний пояс») — растянуты. Элементы, соединяющие верхние и нижние пояса («элементы перемычки»), могут испытывать растяжение или сжатие, в зависимости от их углов и распределения нагрузок.
Силы в стержнях можно рассчитать несколькими способами. Традиционные «ручные» методы — это метод стыков и метод сечений. Для расчета фермы с помощью компьютера стандартным методом является метод конечных элементов.
КПД
Тот факт, что силы, действующие на каждый элемент фермы, являются осевыми, является ключом к эффективности фермы. В аксиально нагруженном элементе сила одинаково воспринимается каждой частью элемента — ни одна часть не теряется.
Сравните это с лучом.Когда вы нагружаете балку в центре, напряжения там намного выше, чем где-либо еще. Материал вдали от центра просто не выполняет столько работы, что снижает эффективность конструкции.
У вас, кстати, есть инстинктивное понимание этого. Если кто-то протягивает вам карандаш и просит сломать его, вы прикладываете большие пальцы к центру и сгибаете его. Вы никогда не подумаете о том, чтобы схватиться за два конца и потянуть или толкнуть. Так нельзя даже зубочистку сломать.
Правильно подобрав размеры элементов фермы, вы можете настроить ее на перенос огромных грузов при использовании очень небольшого количества материала.Так люди выигрывают соревнования по мосту из бальзового дерева. Реальные фермы нельзя оптимизировать так, как мост из бальзового дерева, потому что реальные фермы должны нести множество различных комбинаций нагрузок, а ферма, оптимизированная для одного набора нагрузок, не будет оптимальной для другого набора. Тем не менее, даже если их нельзя полностью оптимизировать, фермы обычно намного легче, чем альтернативные конструкции.
Теория и реальность
Говоря о реальных фермах, помните, как мы определили нашу идеальную ферму? Прямые элементы, шарнирные соединения на обоих концах и нагрузка только на стыки.В настоящей стропильной ферме выполняется только первое из этих условий. Верхний и нижний поясные элементы часто бывают непрерывными через соединения, а элементы перемычки соединяются через соединительные пластины, а не штифты.
Кроме того, верхний пояс нагружен кровельной обшивкой по всей своей длине, а не только на стыках.
Эти отклонения от идеала действительно создают дополнительные напряжения из-за приложения изгибающих нагрузок к элементам фермы. К счастью, эти дополнительные напряжения — инженеры-конструкторы называют их «вторичными напряжениями» — не сильно влияют на поведение фермы, и в большинстве случаев ими можно пренебречь.В фермах разница между теорией и практикой невелика.
использует
Итак, если фермы прочные, жесткие и эффективные, почему они не используются для каждой крыши? На ум сразу приходят три причины:
Они занимают место на чердаке. Хотя общий объем пиломатериалов, используемых для стропильных ферм, меньше общего объема, используемого для набора стропил и потолочных балок, элементы перемычки фермы разрезают чердак и делают его менее пригодным для использования.
Их сложнее приспособить к некоторым планам крыши.Если у вашей крыши много впадин и вальм, ее легче обрамить стропилами, чем фермами.
Для их установки требуется дополнительное оборудование. Ферму необходимо предварительно собрать, а затем поднять как единое целое на каркас. В этом нет ничего страшного, если вы строите целое подразделение и можете нанять кран для строительства нескольких домов в день. Но если вы строите только один дом, стоимость аренды крана может быть непомерно высокой. Стропила может установить небольшая бригада плотников.
Но фермы используются во многих крышах, как в жилом, так и в коммерческом строительстве. Склады и магазины складского типа почти всегда используют стальные фермы, потому что это самый дешевый способ удерживать большие открытые пространства крыши. В следующий раз, когда вы будете в Costco или Sam’s Club, взгляните на них.
Physics: Truss — HandWiki
Жесткая конструкция, состоящая только из двух частей
Ферменный мост для однопутной железной дороги, переоборудованный для пешеходного использования и опоры трубопроводов.В этом примере ферма — это группа треугольных элементов, поддерживающих мост. Типичная деталь стальной фермы, которая рассматривается как поворотный шарнир Историческая деталь стальной фермы с реальным поворотным шарниром
Ферма — это сборка балок или других элементов, образующая жесткую конструкцию. ^[1]
В машиностроении ферма — это конструкция, которая «состоит только из двух силовых элементов, причем элементы организованы таким образом, что сборка в целом ведет себя как единый объект».^[2] «Элемент с двумя силами» — это конструктивный элемент, в котором сила прилагается только к двум точкам. Хотя это строгое определение позволяет элементам иметь любую форму, соединенную в любой стабильной конфигурации, фермы обычно содержат пять или более треугольных блоков, построенных из прямых элементов, концы которых соединены в соединениях, называемых узлами , .
В этом типичном контексте считается, что внешние силы и реакции на эти силы действуют только в узлах и приводят к силам в элементах, которые являются либо растягивающими, либо сжимающими.Для прямых стержней моменты (крутящие моменты) явно исключаются потому и только потому, что все соединения в ферме обрабатываются как поворотные, поскольку это необходимо для того, чтобы связи были элементами с двумя силами.
Плоская ферма — это ферма, в которой все элементы и узлы лежат в двухмерной плоскости, а в пространственной ферме элементы и узлы простираются в трех измерениях. Верхние балки в ферме называются верхними поясами и обычно находятся в состоянии сжатия, нижние балки называются нижними поясами и обычно находятся в состоянии растяжения.Внутренние балки называются полотнами , а области внутри перегородок называются панелями , ^[3] или из графической статики (см. Диаграмму Кремоны) полигонов . ^[4]
Этимология
Ферма происходит от старофранцузского слова trousse , примерно от 1200, что означает «собрание вещей, связанных вместе». ^[5] ^[6] Термин ферма часто использовался для описания любого узла элементов, такого как рама ^[7] ^[8] или пара стропил.^[9] ^[10] Одно инженерное определение: «Ферма — это каркас из одной плоскости отдельного элемента конструкции [sic], соединенных на концах и образующих серию треугольников [sic] для охвата большого расстояния». ^[11]
Характеристики
Египетский корабль с веревочной фермой, старейшее из известных применений ферм. Фермы не вошли в обиход до римской эпохи.
Ферма обычно состоит из (но не обязательно) прямых элементов, соединенных в стыках, традиционно называемых точками панели .Фермы обычно (но не обязательно ^[12]) состоят из треугольников из-за структурной стабильности этой формы и конструкции. Треугольник — простейшая геометрическая фигура, которая не меняет форму при фиксированной длине сторон. ^[13] Для сравнения, как углы, так и длина четырехгранной фигуры должны быть фиксированными, чтобы она сохраняла свою форму. Соединение, на которое должна опираться ферма, обычно называют точкой Мюнтера. (Цитата?)
Простая ферма
Фермы крыши базилики Санта-Кроче во Флоренции
Самая простая форма фермы — один треугольник.Этот тип фермы встречается в каркасной крыше, состоящей из стропил и потолочных балок, ^[14] и в других механических конструкциях, таких как велосипеды и самолеты. Из-за устойчивости этой формы и методов анализа, используемых для расчета сил внутри нее, ферма, полностью состоящая из треугольников, известна как простая ферма. ^[15] Однако простая ферма часто определяется более строго, требуя, чтобы она могла быть построена путем последовательного добавления пар элементов, каждая из которых соединена с двумя существующими соединениями и друг с другом для образования нового соединения, и это определение действительно не требуется, чтобы простая ферма состояла только из треугольников.^[16] Традиционная рама велосипеда ромбовидной формы, в которой используются два соединенных треугольника, является примером простой фермы. ^[17]
Планарная ферма
Плоская ферма лежит в одной плоскости. ^[15] Плоские фермы обычно используются параллельно для образования крыш и мостов. ^[18]
Глубина фермы или высота между верхними и нижними поясами — вот что делает ее эффективной структурной формой. Сплошная балка или балка равной прочности будет иметь значительный вес и стоимость материала по сравнению с фермой.Для данного пролета более глубокая ферма потребует меньше материала в поясах и больше материала по вертикали и диагоналям. Оптимальная глубина фермы максимизирует эффективность. ^[19]
Ферма пространственного каркаса
Ферма пространственного каркаса — это трехмерный каркас из элементов, закрепленных на концах. Форма тетраэдра — это простейшая пространственная ферма, состоящая из шести элементов, которые встречаются в четырех суставах. ^[15] Большие плоские конструкции могут быть составлены из тетраэдров с общими краями, и они также используются в базовых конструкциях больших отдельно стоящих опор линий электропередач.
Схема плоского космического каркаса, например, для крыши
Этот электрический пилон представляет собой трехмерную ферменную конструкцию.
Типы
Другие типы ферм см. В типах ферм, используемых в мостах.
Большая деревянная ферма Howe в коммерческом здании
Существует два основных типа ферм:
Скатная ферма, или обычная ферма, характеризуется своей треугольной формой.Чаще всего используется для строительства крыш. Некоторые общие фермы названы в соответствии с их «конфигурацией сети». Размер пояса и конфигурация полотна определяются пролетом, нагрузкой и шагом.
Ферма с параллельными поясами, или плоская ферма, получила свое название от параллельных верхних и нижних поясов. Его часто используют для устройства полов.
Комбинация этих двух элементов представляет собой усеченную ферму, используемую при строительстве вальмовой крыши. Деревянная ферма, соединенная металлическими пластинами, представляет собой ферму крыши или пола, деревянные элементы которой соединены с металлическими соединительными пластинами.
Ферма Уоррена
Элементы фермы образуют серию равносторонних треугольников, чередующихся вверх и вниз. Основная статья: Ферма Уоррена
Ферма октет
Элементы фермы состоят из всех равнозначных равносторонних треугольников. Минимальный состав — два правильных тетраэдра вместе с октаэдром. Они заполняют трехмерное пространство в самых разных конфигурациях.
Ферма Pratt
Темпе Солт-Ривер Южно-Тихоокеанский железнодорожный мост
Ферма Pratt была запатентована в 1844 году двумя бостонскими железнодорожными инженерами, ^[20] Калебом Праттом и его сыном Томасом Уиллисом Праттом.^[21] В конструкции используются вертикальные элементы для сжатия и диагональные элементы для реакции на растяжение. Конструкция фермы Пратта оставалась популярной, поскольку проектировщики мостов перешли с дерева на железо и с железа на сталь. ^[22] Продолжающаяся популярность фермы Pratt, вероятно, связана с тем, что конфигурация элементов означает, что более длинные диагональные элементы находятся в растяжении только для воздействия гравитационной нагрузки. Это позволяет использовать эти элементы более эффективно, поскольку эффекты гибкости, связанные с продольным изгибом под действием сжимающих нагрузок (которые усугубляются длиной элемента), обычно не влияют на конструкцию.Следовательно, для данной плоской фермы с фиксированной глубиной конфигурация Пратта обычно наиболее эффективна при статической вертикальной нагрузке.
Южно-тихоокеанский железнодорожный мост в Темпе, штат Аризона, представляет собой ферменный мост длиной 393 метра (1291 фут), построенный в 1912 году. ^[23] ^[24] Конструкция состоит из девяти пролетов фермы Pratt различной длины. Мост все еще используется.
В конструкции крыла Wright Flyer использовалась ферма Pratt, поскольку минимизация длины сжатых элементов позволила снизить аэродинамическое сопротивление.^[25]
Ферма тетива
На старейшем металлическом мосту в Вирджинии используется ферма из тетивы.
Названные из-за своей формы, стропильные фермы впервые использовались для арочных мостов с фермой, которые часто путали с арочными мостами.
Тысячи стропильных ферм использовались во время Второй мировой войны для поддержки изогнутых крыш авиационных ангаров и других военных зданий. Существует множество вариантов расположения элементов, соединяющих узлы верхней дуги с узлами нижней прямой последовательности элементов, от почти равнобедренных треугольников до варианта фермы Пратта.
Ферма центральной стойки
Основная страница: Engineering: King post
Один из самых простых стилей ферм для реализации, шкворень состоит из двух наклонных опор, опирающихся на общую вертикальную опору.
Ферма столба королевы, иногда стойка стойки или стойка стойки , похожа на ферму стойки королевы в том, что внешние опоры наклонены к центру конструкции. Основное отличие — горизонтальное удлинение в центре, которое зависит от действия балки для обеспечения механической устойчивости.Этот стиль фермы подходит только для относительно коротких пролетов. ^[26]
Линзовидная ферма
Мост Вотервиль в государственном парке Сватара в Пенсильвании представляет собой линзовидную ферму.
Линзовидные фермы, запатентованные в 1878 году Уильямом Дугласом (хотя мост Гаунлесс 1823 года был первым из них), имеют верхние и нижние пояса фермы изогнутыми, образуя форму линзы. Мост с линзовидными фермами — это конструкция моста, которая включает линзовидную ферму, проходящую над и под полотном дороги.
Ферма решетчатая городская
Американский архитектор Итиэль Таун спроектировал городскую решетчатую ферму в качестве альтернативы мостам из тяжелой древесины. В его конструкции, запатентованной в 1820 и 1835 годах, используются простые в обращении доски, расположенные по диагонали с короткими промежутками между ними, образуя решетку.
Ферма Vierendeel
Ферма Vierendeel — это конструкция, в которой элементы не триангулированы, а образуют прямоугольные отверстия, и представляет собой раму с неподвижными соединениями, способными передавать изгибающие моменты и противодействовать им.Таким образом, это не соответствует строгому определению фермы (поскольку она содержит элементы, не действующие на две силы): обычные фермы включают элементы, которые, как обычно предполагается, имеют шарнирные соединения, что подразумевает отсутствие моментов на соединенных концах. Этот стиль конструкции был назван в честь бельгийского инженера Артура Виренделя, ^[27], который разработал проект в 1896 году. Его использование для мостов редко из-за более высокой стоимости по сравнению с триангулированной фермой.
Полезность этого типа конструкции в зданиях заключается в том, что большая часть внешней оболочки остается незагороженной и может использоваться для окон и дверных проемов.В некоторых приложениях это предпочтительнее, чем система с подкосами, при которой некоторые области будут закрыты диагональными скобами.
Статика
Ферма, которая, как предполагается, состоит из элементов, которые соединяются с помощью шарнирных соединений и которая поддерживается с обоих концов с помощью шарнирных соединений или роликов, описывается как статически определенная. Законы Ньютона применяются к конструкции в целом, а также к каждому узлу или стыку. Чтобы любой узел, который может подвергаться внешней нагрузке или силе, оставался статичным в пространстве, должны выполняться следующие условия: суммы всех (горизонтальных и вертикальных) сил, а также всех моментов, действующих вокруг узла, равны нулю.Анализ этих условий в каждом узле дает величину сил сжатия или растяжения.
Фермы, которые поддерживаются более чем в двух положениях, считаются статически неопределенными, и применения только законов Ньютона недостаточно для определения сил стержня.
Чтобы ферма с элементами, соединенными штифтами, была устойчивой, не обязательно, чтобы она полностью состояла из треугольников. ^[12] С математической точки зрения мы имеем следующее необходимое условие устойчивости простой фермы:
[math] \ displaystyle {m \ ge 2j — r \ qquad \ qquad \ mathrm {(a)}} [/ math]
где m — общее количество элементов фермы, j — это общее количество стыков и r — это количество реакций (обычно равно 3) в 2-мерной структуре.
Когда [math] \ displaystyle {m = 2j — 3} [/ math], ферма называется статически определяемой , потому что ( m +3) внутренние силы стержня и реакции опоры могут быть полностью определяется 2 j уравнениями равновесия, если мы знаем внешние нагрузки и геометрию фермы. Учитывая определенное количество соединений, это минимальное количество стержней в том смысле, что если какой-либо элемент вынимается (или выходит из строя), то ферма в целом выходит из строя.Хотя соотношение (а) необходимо, его недостаточно для устойчивости, которая также зависит от геометрии фермы, условий опоры и несущей способности элементов.
Некоторые конструкции построены с большим, чем это минимальное количество элементов фермы. Эти структуры могут выжить даже тогда, когда некоторые из членов выйдут из строя. Их силы на стержнях зависят от относительной жесткости стержней в дополнение к описанному состоянию равновесия.
Анализ
Схема Кремоны для плоской фермы
Поскольку силы в каждой из двух основных балок по существу плоские, ферма обычно моделируется как двумерный плоский каркас.Однако при наличии значительных сил вне плоскости конструкция должна быть смоделирована как трехмерное пространство.
При расчете ферм часто предполагается, что нагрузки прикладываются только к соединениям, а не к промежуточным точкам вдоль элементов. Вес элементов часто незначителен по сравнению с приложенными нагрузками, поэтому его часто не учитывают; в качестве альтернативы, половина веса каждого элемента может быть приложена к его двум концевым соединениям. При условии, что элементы длинные и тонкие, моменты, передаваемые через соединения, незначительны, и соединения можно рассматривать как «шарниры» или «шарнирные соединения».
В соответствии с этими упрощающими допущениями, каждый элемент фермы затем подвергается чистым силам сжатия или чистого растяжения — сдвиг, изгибающий момент и другие более сложные напряжения практически равны нулю. Фермы физически прочнее, чем другие способы расположения структурных элементов, потому что почти каждый материал может выдерживать гораздо большую нагрузку при растяжении или сжатии, чем при сдвиге, изгибе, скручивании или других видах сил.
Эти упрощения упрощают анализ ферм.Структурный анализ ферм любого типа может быть легко выполнен с использованием матричного метода, такого как метод прямой жесткости, метод гибкости или метод конечных элементов.
Силы в членах
На иллюстрации показана простая, статически определяемая плоская ферма с 9 шарнирами и (2 x 9) — 3 = 15 элементами. Внешние нагрузки сосредоточены во внешних шарнирах. Поскольку это симметричная ферма с симметричными вертикальными нагрузками, реактивные силы в точках A и B равны вертикальным, равны и составляют половину общей нагрузки.
Внутренние силы в элементах фермы можно рассчитать различными способами, в том числе графическими методами:
Конструкция элементов
Ферму можно представить как балку, в которой стенка состоит из ряда отдельных элементов, а не из непрерывной пластины. В ферме нижний горизонтальный элемент (нижний пояс , ) и верхний горизонтальный элемент (верхний пояс , ) несут напряжение и сжатие, выполняя ту же функцию, что и полки двутавровой балки.Какой пояс несет растяжение, а какой — сжатие, зависит от общего направления изгиба. В ферме, изображенной справа вверху, нижний пояс находится в растяжении, а верхний пояс в сжатом состоянии.
Диагональные и вертикальные элементы образуют стенку фермы и несут напряжение сдвига. По отдельности они также находятся в состоянии растяжения и сжатия, точное расположение сил зависит от типа фермы и, опять же, от направления изгиба. В ферме, показанной вверху справа, вертикальные элементы находятся в растяжении, а диагонали — в сжатом состоянии.
Секции фермы стабилизируют это строящееся в Шанхае здание и будут содержать механические полы.
Помимо статических сил, элементы выполняют дополнительные функции по стабилизации друг друга, предотвращая коробление. На изображении рядом с верхним поясом искривление предотвращается из-за наличия связей и жесткости элементов перемычки.
Включение показанных элементов в значительной степени является инженерным решением, основанным на экономике, которое представляет собой баланс между затратами на сырье, изготовление за пределами площадки, транспортировку компонентов, монтаж на месте, доступность оборудования и стоимость рабочей силы.В других случаях внешний вид конструкции может иметь большее значение и, таким образом, влиять на дизайнерские решения, выходящие за рамки чисто экономических вопросов. Современные материалы, такие как предварительно напряженный бетон, и методы изготовления, такие как автоматическая сварка, значительно повлияли на конструкцию современных мостов.
Когда сила, действующая на каждый элемент, известна, следующим шагом является определение поперечного сечения отдельных элементов фермы. Для стержней, находящихся на растяжение, площадь поперечного сечения A можно найти, используя A = F × γ / σ _y, где F — сила в стержне, γ — коэффициент безопасности ( обычно 1.05, но в зависимости от строительных норм), а σ _y — предел текучести используемой стали при растяжении.
Элементы, подвергаемые сжатию, также должны быть спроектированы таким образом, чтобы не допускать коробления.
Вес элемента фермы напрямую зависит от его поперечного сечения — этот вес частично определяет, насколько прочными должны быть другие элементы фермы. Чтобы дать одному члену большее поперечное сечение, чем на предыдущей итерации, необходимо предоставить другим членам также большее поперечное сечение, чтобы выдержать больший вес первого члена — нужно пройти еще одну итерацию, чтобы точно определить, насколько больше нужно другим членам. быть.Иногда проектировщик проходит несколько итераций процесса проектирования, чтобы найти «правильное» поперечное сечение для каждого элемента. С другой стороны, уменьшение размера одного элемента из предыдущей итерации просто приводит к тому, что другие элементы имеют больший (и более дорогой) коэффициент безопасности, чем это технически необходимо, но не требует другой итерации для поиска сборной фермы.
Влияние веса отдельных элементов фермы в большой ферме, такой как мост, обычно незначительно по сравнению с силой внешних нагрузок.
Конструкция швов
После определения минимального поперечного сечения элементов последним этапом проектирования фермы будет детализация болтовых соединений, например, с учетом напряжения сдвига болтовых соединений, используемых в соединениях. Исходя из требований проекта, внутренние соединения (стыки) фермы могут быть жесткими, полужесткими или шарнирными. Жесткие соединения могут допускать передачу изгибающих моментов, что приводит к развитию вторичных изгибающих моментов в элементах.
Приложения
Тип стропильной фермы, используемой в кровле.
Конструкции опор
Соединения компонентов имеют решающее значение для структурной целостности каркасной системы. В зданиях с большими деревянными фермами с чистым пролетом наиболее критичными соединениями являются соединения между фермой и ее опорами. В дополнение к силам силы тяжести (так называемым нагрузкам на опоры) эти соединения должны противостоять поперечным силам, действующим перпендикулярно плоскости фермы, и подъемным силам, создаваемым ветром.В зависимости от общей конструкции здания могут потребоваться соединения для передачи изгибающего момента.
Деревянные опоры позволяют создавать прочные, прямые, но недорогие соединения между большими фермами и стенами. Точные детали соединений между стойками и фермами варьируются от дизайнера к дизайнеру и могут зависеть от типа стойки. Столбы из массивных пиломатериалов и клееного бруса обычно имеют выемки для образования несущей поверхности фермы. Ферма опирается на пазы и прикручивается болтами. Может быть добавлена специальная пластина / кронштейн для увеличения возможностей передачи нагрузки соединения.С механически ламинированными стойками ферма может опираться на укороченный внешний слой или укороченный внутренний слой. В более позднем сценарии болты подвергаются двойному сдвигу, что обеспечивает очень эффективное соединение.
Галерея
Башня Гонконгского банка Китая имеет видимую снаружи стропильную конструкцию.
Главное здание HSBC, Гонконг, имеет видимую снаружи стропильную конструкцию.
Опорная конструкция под Оклендским мостом через гавань
Оклендский мост через гавань, вид с острова Уотчман на западе
Сборные стальные стропильные фермы крыши, построенные в 1942 году для собственности военного ведомства на севере Австралия
Ферма крыши бокового здания аббатства Клюни, Франция
Космическая ферма, несущая пол в торговом центре Woodlands.
Современный временный мост из панелей фермы моста Бейли в Монреале Квебек
Пример расчета сил фермы по программе, использующей матричный метод решения Гаусса
См. Также
Список литературы
↑ «Определение ФЕРМЫ».https://www.merriam-webster.com/dictionary/truss.
↑ Плеша, Михаил Э .; Грей, Гэри Л .; Костанцо, Франческо (2013). Инженерная механика: статика (2-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill Companies Inc., стр. 364–407. ISBN 978-0-07-338029-2.
↑ Чинг, Франк. Визуальный словарь архитектуры . 2-е изд. Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, 2012. 277. Print. ISBN: 9780470648858
↑ Боу Р. Х., Экономика строительства применительно к каркасным конструкциям. Спон, Лондон, 1873 г.
↑ Рейф, Ф., etymonline.com (1965).
↑ Оксфордский словарь английского языка
↑ Благородный, Аллен Джордж. Традиционные здания — глобальный обзор структурных форм и культурных функций. Лондон: И. Тавриды; 2007. 115. ISBN: 1845113055.
↑ Дэвис, Николас и Эркки Йокиниеми. Словарь по архитектуре и строительству. Амстердам: Elsevier / Architectural Press, 2008. 394. ISBN: 0750685026
↑ Дэвис, Николас и Эркки Йокиниеми. Карманный иллюстрированный словарь архитектора.Oxford: Architectural Press, 2011. 121. ISBN: 0080965377.
↑ Крабб, Джордж. Универсальный технологический словарь или знакомое объяснение терминов, используемых во всех искусствах и науках … », том 1, Лондон: 1823 г. Пары.
↑ Шекхар, Р. К. Чандра. Академический словарь гражданского строительства. Дели: Isha Books, 2005. 431. ISBN: 8182051908.
↑ ^12,0 ^12,1 Пиво, Ферд; Джонстон, Расс (2013). Векторная механика для инженеров: статика (10-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 285–313. ISBN 978-0-07-740228-0.
↑ Рикер, Натан Клиффорд (1912). Соглашение о проектировании и строительстве крыш . Нью-Йорк: J. Wiley & Sons. п. 12. https://archive.org/details/atreatiseondesi00rickgoog. Проверено 15 августа 2008.
↑ Магиннис, Оуэн Бернард (1903). Каркас крыши — это просто (2-е изд.). Нью-Йорк: Промышленная издательская компания. п. 9. https://archive.org/details/roframingmadeea01magigoog. Проверено 16 августа 2008.
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 Хиббелер, Рассел Чарльз (1983). Инженерная механика-статика (3-е изд.). Нью-Йорк: Macmillan Publishing Co., Inc., стр. 199–224. ISBN 0-02-354310-8.
↑ Ошибка цитирования: недопустимый тег ; Для ссылок Beer Johnston
текст предоставлен не был.
↑ Вингертер Р. и Лабосьер П., ME 354, Лаборатория механики материалов: Структуры , Вашингтонский университет (февраль 2004 г.), стр.1
↑ Люблинер, Иаков; Пападопулос, Панайотис (2016-10-23) (на английском языке). Введение в механику твердого тела: комплексный подход . Springer. ISBN 9783319188782. https://books.google.com/books?id=fhJADQAAQBAJ&q=Planar+trusses+are+typically+used+in+parallel+to+form+roofs+and+bridges&pg=PA128.
↑ Merriman, Mansfield (1912). Карманный справочник американских инженеров-строителей . Нью-Йорк: J. Wiley & Sons. п. 785. https://books.google.com/books?id=AUVIAAAAIAAJ.Проверено 16 августа 2008. «Экономическая глубина фермы — это то, что делает материал моста минимальным».
↑ Мост Бетанга в Управлении наследия Нового Южного Уэльса; получено 6 февраля 2008 г.
↑ Краткая история крытых мостов в Теннесси в Министерстве транспорта Теннесси; получено 6 февраля 2008 г.
↑ Pratt Truss любезно предоставлено Министерством транспорта Мэриленда; получено 6 февраля 2008 г.
↑ «1.Южно-тихоокеанский железнодорожный мост, мост Эш-авеню и мост Милл-авеню со стороны Темпе-Бьютта, смотрящие на северо-запад. — Восточный железнодорожный мост Аризоны, через реку Солт-Ривер, Темпе, округ Марикопа, Аризона «. Https://www.loc.gov/resource/hhh.az0240.photos.
↑ Обзор исторической собственности Темпе в Историческом музее Темпе; получено 6 февраля 2008 г.
↑ Дарио Гаспарини, Университет Кейс Вестерн Резерв. Братья Райт и ферма Пратта, слайды презентации
↑ Типы ферм крытого моста
↑ Вирендил Брюгген
Внешние ссылки
Ферма
: определение, конструкция и типы — видео и стенограмма урока
Определение фермы
Ферма — это конструкция, которая использует внутреннюю геометрическую стабильность треугольника для равномерного распределения веса и выдерживания изменения напряжения и сжатия.Ферма использует сеть треугольников, которые соединяются таким образом, что давление и натяжение прикладываются к точкам углов каждого треугольника, чтобы использовать их устойчивость для поддержки конструкции. Соединяя ряд ферм вместе, можно безопасно перенести огромный вес на несущие балки, стены или непосредственно на землю. На схеме треугольники, используемые на мосту, созданы для борьбы с боковым ветром. Неравномерная сила, которую мост принимает от ветра, затем безопасно распределяется за счет устойчивости конструкции фермы.
Схема фермы
Типы и конструкции ферм
Помимо использования треугольных форм для придания устойчивости ферме, не существует конкретной конструкции, определяющей внешний вид фермы. Конструкция фермы действительно определяется тем, как и для чего она используется. Если ферма используется в зданиях или башнях, то ферма предназначена для противодействия смещающим нагрузкам, с которыми может столкнуться здание, от ветра и погоды, или для того, чтобы равномерно и безопасно переносить вес на фундамент.Напротив, ферма, используемая в мосте, будет использовать треугольные узоры, чтобы гарантировать безопасное распределение нагрузки от поезда или автомобиля на колонны или на землю. Хотя существует множество применений фермы, от изделий до архитектуры, они чаще всего используются в крышах, мостах и башнях.
Кровельные фермы часто используются при строительстве наклонных крыш для стабилизации перемещаемого веса, которому они подвергаются в течение своего срока службы. Крыша, под которой вы сейчас сидите, может быть подвержена воздействию снега, который накапливается на ней, или ветра, который ударяет по ней с той или иной стороны.Ферма гарантирует, что изменяющиеся силы, с которыми может столкнуться крыша, известная архитекторами как live load , не вызовут ее сдвиг или обрушение.
Мост Уоррена Трасса
Строительство железных дорог, дорог для новых автомобилей и поездов повышенной проходимости означает, что инженеры должны делать больше, чем просто прокладывать рельсы или мощеные дороги. Ферма Уоррена использует повторяющийся узор «v» на изображении, чтобы гарантировать, что вес, приложенный к мосту, равномерно распределяется на анкеры или башни, и что ее можно быстро и легко построить.Другая распространенная ферма, используемая в мостах, — это ферма Pratt. Рисунок этой фермы переключается в середине моста и имеет структуру «z». Ферма Pratt Truss позволяет строителю сделать более легкий мост, хотя его длина ограничена.
Ферма часто используется при строительстве башен, и вы можете увидеть множество ферменных конструкций в любое время, когда проезжаете по высоковольтным линиям электропередачи. Ферма также использовалась для эстетической привлекательности, а также для ее полезности. Один из самых известных примеров, Эйфелева башня, была построена для Всемирной выставки 1889 года в Париже.Фермы использовались для соединения опор с самой башней, чтобы гарантировать, что конструкция будет распределять вес, который она будет нести, на опоры. Фермы также предохраняли башню от скручивания или разрушения.
Краткое содержание урока
В ходе этого урока мы увидели, что ферма представляет собой универсальную конструкцию, которая позволяет конструкциям безопасно переносить вес на их фундаменты и анкеры. Ферма является ключевым компонентом, который сохраняет нас сухими под нашими крышами и позволяет поездам пересекать реки и каньоны в дополнение к защите зданий от рабочих нагрузок , которые архитекторы называют изменяющимися силами, с которыми могут столкнуться крыши.Фермы также играют ключевую роль в строительстве башен, передающих энергию, радиосигналы и позволяющих зданиям переносить вес на их фундамент.
Ищу информацию о «Уоррен Ферма» — банкомат, оптика и форум DIY
Привет, Клиф!
Клиф написал: «… могу предоставить подробности, если вам интересно»
Спасибо за подробный пост. Я начал терять надежду!
Есть несколько причин, по которым я рассматриваю этот тип стропильной системы.
Во-первых, я хочу иметь возможность расположить подшипники OTA как можно ближе к центру масс, без необходимости строить глубокую первичную обойму.
Во-вторых, этот тип конструкции очень хорошо подходит для изготовления с легкодоступными и правильно подобранными пултрузионными или обернутыми трубками из углеродного волокна, простыми ручными инструментами, эпоксидной смолой и плоскими треугольными вставками из CF. Таким образом, я бы полностью исключил необходимость в шаровых концах труб фермы или сферических концах стержней, как показано на рисунке.
Они соединяются легко и быстро, особенно если вы потратите время на изготовление приспособлений или приспособлений для поддержки ключевых компонентов во время изготовления.
Я не был уверен в том, как расположить срединные кольца так, чтобы они совпадали с ЦТ, не нарушая геометрию, которая считается необходимой.Эти кольца будут поддерживать цапфы.
Фанатично, хотя я сторонник малого веса, я пришел к выводу, что, если на ЦТ не воздействовать балластом, моменты, создаваемые массой вторичной обоймы, будут толкать ЦТ вверх.
Я должен избегать этого не только для уменьшения высоты первичной клетки и цапф, но и для сохранения управляемой длины результирующих рычагов вилки.
Если у вас есть время, интерес и желание, я хотел бы получить инструктаж о том, как применить эту технологию к разрабатываемому мной OTA.Зеркало, мое 15 дюймов F / 4.3, почти отполировано и ждет, пока я буду выполнять другие обязательства.
г В нынешнем дизайне для элементов фермы используются обернутые из двух частей углеродные трубки. Какими бы жесткими они ни были, теперь это очевидно что ферма Serrurier превосходит.
Я надеюсь, что к тому времени, когда я закончу 3D-моделирование новой конструкции, я смогу разделить верхнюю и нижнюю клетки на срединных кольцах и вставить оба элемента фермы в ствол машине или на заднем сиденье, как есть, без разборки!
Ух ты.
Здесь показано, что он содержится внутри адаптера Добсона, который позволяет первичной обойме вращаться внутри втулки, удерживающей подшипники.
Спасибо
Арт
=======================
Прикрепленные эскизы

Космическая ферма — обзор
8.1 Элемент пространственной фермы
Космическая ферма обычно используется в трехмерных элементах конструкции. Силы действуют в осевом направлении в элементах пространственной фермы, которые считаются соединенными пальцами, где все нагрузки действуют только на суставы (Rao, 2010).Из-за приложения сил деформация происходит в осевом направлении, и пространственные фермы не могут выдерживать сдвиг и момент. Здесь нагрузки могут быть приложены только к двум концам, как показано на рис. 8.1.
Рис. 8.1. Элемент космической фермы.
На рис. 8.1 показана типичная пространственная ферма, где xˆyˆzˆ представляет локальную координату, а ( x , y , z ) — глобальная координата. Обсудим элемент пространственной фермы в локальной системе координат, а затем выполним преобразование координат.Поскольку в элементе пространственной фермы не происходит изгиба, единственное внимание уделяется изучению смещений. На элементы пространственной фермы действуют только осевые силы; следовательно, смещения происходят только в осевом направлении. Здесь каждый элемент пространственной фермы имеет интервальный модуль упругости E ^I, площадь поперечного сечения A и длину l . В качестве интервала здесь рассматривался только модуль упругости. Но другие параметры, граничные условия и силы также могут быть приняты в качестве интервала для формулировки пространственной фермы аналогичным образом.Как обсуждалось в предыдущих главах, интервальный модуль упругости E ^I определяется как
(8.1) EI = ab = E = a + w01
, где a и b — слева и правые границы интервального модуля упругости E ; w = b — a — ширина интервала.
Рассмотрим пространственную ферму, поле смещения которой { α } = u , а вектор узловых степеней свободы для каждого элемента равен { δ } = [ u _{1 x} u _{1 y} u _{1 z} u _{2 x} u _{2 y} u _{2 z} T 9007.Каждый элемент пространственной фермы имеет два узла и шесть степеней свободы. Причем шесть осевых смещений указаны в интервале. На элемент действуют только осевые силы, показанные на рис. 8.2. Следовательно, деформация элемента составляет
Рис. 8.2. Осевые силы элемента пространственной фермы.
(8.2) ɛˆ = u2xˆ − u1xˆl
Однако напряжение элемента получается с помощью закона Гука, который равен
(8.3) σˆ = EIɛˆ = EIu2xˆ − u1xˆl
Теперь осевая сила для каждой плоской фермы элемент может быть определен путем интегрирования напряжений по направлению толщины, т.е.е.,
(8.4) fˆ = Aσ = EIAu2xˆ − u1xˆl
Учитывая статическое равновесие осевых сил f1xˆ и f2xˆ на рис. 8.2, имеем следующее соотношение
(8.5) f2xˆ = −f1xˆ = EIAlu2xˆ − u1x
Взяв kI = EIAl, мы можем записать уравнения осевой силы в матричной форме следующим образом:
(8.6) f1xˆf2xˆ = kI1−1−11u1xˆu2xˆ
Здесь f1xˆf2xˆ, kI − kI − kIkIˆu2 и u1x называются вектор осевой силы, матрица жесткости и вектор смещения элемента пространственной фермы соответственно.
Рассмотрим элемент пространственной фермы, показанный на рис. 8.3. Здесь uˆ1xˆ, uˆ1yˆ, uˆ1zˆ — локальные узловые смещения, а f1xˆ, f1yˆ, f1zˆ — локальные узловые силы в узле 1 в направлениях xˆ, yˆ и zˆ соответственно. Аналогично, uˆ2xˆ, uˆ2yˆ, uˆ2zˆ — локальные узловые смещения, а f2xˆ, f2yˆ и f2zˆ — локальные узловые силы в узле 2 в направлениях xˆ, yˆ и zˆ. Далее, u _{1 x}, u _{1 y}, u _{1 z} — глобальные узловые смещения и f _{1 x
57 9035 1 y} и f _{1 z} — глобальные узловые силы в узле 1 в направлениях x , y и z .Аналогично, u _{2 x}, u _{2 y}, u _{2 z} — глобальные узловые смещения, а f _{2 x
59 90 2 y}, f _{1 z} — глобальные узловые силы в узле 2 в направлениях x , y и z соответственно.
Рис. 8.3. Элемент космической фермы с локальными и глобальными перемещениями и силами.
Используя локальные узловые перемещения и силы каждого элемента пространственной фермы, мы можем получить векторы сил. Вектор локальной силы плоского элемента фермы равен
(8.7) f1xˆf2xˆ = k1I − k1I − k1Ik1Iu1xˆu2xˆ
Связь между локальным и глобальным векторами сил плоского элемента фермы может быть записана как
(8.8) f1xˆ = f1xcosyx f1zcosxzf1y = f1xcosyx + f1ycosyy + f1zcosyzf1z = f1xcoszx + f1ycoszy + f1zcoszzf2x = f2xcosxx + f2ycosxy + f2zcosxzf2y = f2xcosyx + f2ycosyy + f2zcosyzf2z = f2xcoszx + f2ycoszy + f2zcoszz
, где сов •• это направление косинус.
Здесь матрица вращения равна
(8.9) R = cosxˆxcosxˆycosxˆzcosyˆxcosyˆycosyˆzcoszˆxcoszˆycoszˆz
Eq. (8.8) можно представить в компактной форме
(8.10) fˆ = R00Rf
Используя обращение матрицы, мы можем преобразовать уравнение. (8.11) как
(8.11) f = R00R − 1fˆ
Аналогичным образом может быть установлена связь между локальным и глобальным векторами смещения, и компактная форма связи равна
(8.12) uˆ = R00Ru
Теперь рассмотрим Уравнение(8.7) с условиями f1y = F2Y = f1z = f2z = u1y = u2y = u1z = u2z = 0 (так как существует только осевые силы), мы имеем
(8,13) f1xf1yf1zf2xf2yf2z = k1I00-k1I00000000000000-k1I00k1I00000000000000u1xu1yu1zu2xu2yu2z
Ввод уравнения . (8.10) в уравнении. (8.13) получаем
(8.14) Tf = Kˆuˆ
, где T = R00R; T − 1 = T − T (из-за свойства матрицы вращения) и
Kˆ = k1I00 − k1I00000000000000 − k1I00k1I00000000000000
Далее, упрощение уравнения. (8.14) дает
(8.15) f = TTKˆTu
, где K = TTKˆT — матрица элементарной жесткости пространственной фермы.
Материалы | Бесплатный полнотекстовый | Определение оптимальной плотности элементов фермы Michell
1. Введение
Окружающая среда может быть улучшена за счет экономии материалов. Например, в биомиметических системах область диагностики шума и вибрации снижает частоту отказов и увеличивает надежность [1]. Однако это лишь один из вариантов. В данной статье исследуется возможность улучшения конструкции машин и изделий.Оптимизация топологии позволяет значительно снизить вес. Для этого используются аддитивные технологии, которые необходимо проверить на практических испытаниях [2]. И последнее, но не менее важное: все эти новые технологии поддерживаются современной математической философией, например, методами подобия, копирующими естественные закономерности [3]. В связи с естественными закономерностями часто можно встретить принцип равномерного распределения напряжений по всему телу. объект после того, как он нагружен внешними силами. Описание этого принципа называется «Мичелл-структуры.Основы этого принципа были заложены в часто цитируемой в настоящее время статье об условиях оптимизации экономических пределов материальных потерь от 1904 года, подготовленной А.Г.М. Мичелл [4]. Принцип оптимизации весьма важен, но его реальное применение не происходило до начала 1960-х годов, с развитием компьютерных технологий. Сам принцип основан на условии деформации, которое дается теоремой Максвелла о траектории нагрузки [5] (статья Дж. Максвелла из 1864: «О взаимных фигурах и диаграммах сил»).На основании теоремы схему нагружения фермы можно преобразовать в силовую и наоборот. Общую длину нагруженных элементов (см. Диаграмму) и общую длину векторов внутренних сил, действующих в отдельных элементах (диаграмма сил), можно прочитать на диаграммах. В случае различных структур фермы, но с заданной внешней нагрузкой, длина компонентов изменяется обратно пропорционально длине силовых воздействий. Поэтому такие схемы называют взаимными (см. Рисунок 1).Теорема Максвелла утверждает, что сумма путей растягивающей нагрузки в конструкции за вычетом суммы путей нагружения при сжатии равна величине работы, связанной с приложенными внешними силами (включая реакции). Говоря математически [5]
∑FTLT − ∑FCLC = ∑P¯ir¯i
(1)
Термин «путь нагрузки» означает произведение силы на длину элемента F L. Здесь FT — силы в элементах, вызванные растяжением, FC — силы в элементах, вызванные сжатием, LT — длины растягиваемых элементов, LC — длины сжатых элементов, P¯i — i-я внешняя сила, а r¯i — расстояние i-й внешней силы от начала координат.
В различных компоновках стержней при неизменных внешних нагрузках значение результата Уравнения (1) изменяется. Изменение формы может привести к изменению величины силы, но в то же время изменяется и длина элементов. Таким образом, можно предположить, что существует такое сочетание формы конструкции и длин элементов, при котором достигается локальный минимум во всей конструкции. Это предположение приводит к первому условию оптимизации, выраженному Мичеллом в его работе.
Локальный минимум уравнения (1) получается при следующем условии оптимизации (2) [7]:
«Минимум уравнения (1) достигается при одинаковом растяжении или сжатии в каждом элементе конструкции».
Для этого идеального случая Мичелл создал несколько случаев непрерывных структур в континууме. Аналитическое решение возможно только для бесконечного числа бесконечно коротких элементов. Выполнение этого условия предполагает наличие симметричной конструкции с симметричной нагрузкой на ее узлы.В устном заявлении Michell об оптимизации содержится второе условие оптимизации, касающееся экономии веса. Это утверждение выглядит следующим образом [4]:
«Рама (сегодня называемая фермой) (оптимальна) достигает предела экономии материала, возможного в любой раме-конструкции при тех же приложенных силах, если занимаемое ею пространство может подвергаться соответствующей небольшой деформации, такой, что деформации во всех стержнях каркаса увеличиваются на равные доли их длины, не менее чем на дробное изменение длины любого элемента пространства.”
Условие оптимизации (2) не сводит к минимуму вес конструкции, а допускает это только в качестве опции. Основываясь на заявлении Мичелла, второе условие оптимизации определяется в профессиональной литературе как цель минимизировать объем вещества (3), при котором не должно превышаться допустимое напряжение (4) [5]. Условие минимизации веса Допустимый интервал напряжений
−σ¯C≤σ (e) ≤σ¯T
(4)
где x (e), поперечное сечение элемента (элемента) равно e, L (e) — длина элемента, σ (e) — напряжение внутри элемента, σ¯C — допустимое сжатие, и σ¯T — допустимое натяжение.
Поскольку рассматривается однородная масса, минимальное поперечное сечение элементов по существу также определяет минимальный вес конструкции. Указанная оптимизация веса фермы технически называется оптимизацией топологии. Это оптимизация в условиях, не требующих ограничения формы конструкции.
Задача оптимизации направлена на поиск лучшего решения среди всех возможных решений. Следовательно, уместно определить идеальное топологическое решение.
Идеальное решение для объекта, находящегося под нагрузкой, — это форма с максимальной жесткостью в направлении нагрузки, минимальным весом и максимально допустимым напряжением в каждой из его частей.
Это идеальное решение может быть получено с помощью различных процедур оптимизации. Целевая функция определяется теоретически, описывая распределение плотности материала в проектном пространстве.
F (u (ρ), ρ) = ∫Ωf (u (ρ), ρ) dV
(5)
где F (u (ρ), ρ) — целевая функция, Ω — расчетное пространство, ρ — плотность материала, V — объем объекта.Цель оптимизации — минимизировать массу при сохранении следующего ограничения.
G0 (u (ρ), ρ) = ∫ΩρdV − V0≤0
(6)
где G0 (u (ρ), ρ) — предел количества материала или предел максимального напряжения. Хотя описание оптимизации является общим, решение, на которое оно указывает, является идеальным решением, т. Е. Минимальным весом, максимальной жесткостью и полным использованием материала с точки зрения достижения допустимого напряжения во всем его объеме. При симметричной нагрузке форма Оптимальная ферма, основанная на конструкции Michell, выглядит следующим образом (см. рисунок 2).Отдельными пунктирными линиями показаны направления основных напряжений при нагружении сплошной среды (рисунок 2) (например, сплошной пластины), они симметрично распределены на пластине. Толстые линии представляют идеальную форму элементов, которые закреплены в точке B и нагружены в точке A. Контур фермы определяется линиями главных напряжений между точками A и B. точка. К точке А плотность главных линий напряжений экспоненциально уменьшается.Оптимизация может быть выполнена путем увеличения плотности ячеек элементов с одинаковым поперечным сечением (рисунок 3). Однако другой способ достижения оптимизации заключается в менее плотной ячейке элементов с другим сечением (рисунок 4). Размер ячейки геометрически увеличивается от фиксированного конца. Отдельные методы оптимизации не определяют итоговую степень плотности элементов. Существуют методы, в которых плотность структуры достаточно высока, например, метод оптимизации узкополосной топологии [10].Плотность конструкции балки Мишеля зависит от выбора параметра шага [8]. Отдельные методы оптимизации не обязательно образуют элементы в направлении главных напряжений. Из принципа оптимизации следует, что элементы в основном находятся в направлении главного напряжения, но также часто за пределами направления главного напряжения. В документе [11] указывается, что наиболее удобно расположить элементы в направлении главного напряжения с разумной плотностью элементов. Иллюстративный пример показывает два результата оптимизации топологии (рисунок 5).Эти результаты эквивалентны, поскольку вес, жесткость и величина напряжений в элементах одинаковы в обоих случаях. Отличается только количество элементов. Вопрос в том, какое условие установит адекватное количество элементов. Ожидаемое количество элементов конструкции лежит в основе предложенного метода геометрической оптимизации.
Процесс изменения количества элементов также является оптимизационным и может выполняться графическим способом. Основой для передачи массы в ферме является соблюдение основных направлений напряжений.Элементы формируются в направлении основных напряжений конструкции.
2. Материалы и методы
Ферма Michell была выбрана для проверки достаточного количества элементов. К консольным балкам относятся следующие факторы, определяющие требуемую плотность элементов конструкции.
Первый фактор — это форма, которая обеспечивает одинаковое напряжение во всей балке вдоль оси x. При соответствующем уменьшении веса балки можно получить балку с равномерным напряжением.В этом случае направление главного напряжения хорошо копирует контур объекта (рисунок 6). Недостатком такого способа снижения веса является небольшая экономия материала. Кантилевер равномерного напряжения удовлетворяет следующему условию для всех сечений: где σox — напряжение изгиба в направлении оси x. Исходя из этого, форма контура будет соответствовать параболе где hx — высота поперечного сечения балки в зависимости от оси x, l — длина балки.
Этот коэффициент формы мало влияет на плотность распределения элементов конструкции.Однако это подтверждает принцип, согласно которому плотность элементов должна увеличиваться по направлению к закрепленному концу фермы.
Второй фактор — это форма главных напряжений в ферме Michell. Эта форма является результатом условия оптимизации (2). На первый взгляд понятно, что это математическая функция. Логарифмическая спираль идеально выровнена по направлению главного напряжения. Вопрос в том, каковы параметры этой спирали, чтобы кривизна соответствовала форме фермы Michell.Только один параметр k = 1 логарифмической кривой удовлетворяет условию ортогональности. Это выражается следующим уравнением: где r — радиус кривизны логарифмической спирали, φ — угол поворота, а k — полярный наклон (рисунок 7). В структуре Мичелла плотность деления образована спиралями противоположного направления кривизны, причем угол поворота (Δφ) между отдельными спиралями одинаковый (рисунок 7). Разделение промежутков происходит на пересечении противоположных искривленных логарифмических спиралей.Величина угла поворота определяет степень увеличения плотности структуры. При постоянном угле поворота деление геометрическое. Геометрический коэффициент определяется соотношением последовательных длин секций балки L ₁ и L ₂ (Рисунок 7), уравнение (14). Увеличение плотности конструкции происходит в направлении крепления балок. Это также можно увидеть на рисунке 3. Этот результат также хорошо соответствует первому множителю.Угол поворота 5 °, коэффициент геометрического порядка в точности равен соотношению золотого сечения. Такое же соотношение сохраняется и в целых кратных этого угла (10). Поскольку это естественный принцип, можно предположить идеальное разделение плотности элементов.
Δφi = 27,5i i = 1,2,3,…
(10)
Целочисленные продукты больше не проявляют пропорцию золотого сечения. У продуктов структура становится значительно плотной. Длина участка логарифмической спирали определяется согласно уравнению (11).
L (φ1, φ2) = r (φ2) −r (φ1) sinα
.
(11)
q = L2 (φ2, φ3) L1 (φ1, φ2) = r (φ3) −r (φ2) r (φ2) −r (φ1)
.
(14)
где L (φ1, φ2) — длина секции, q — геометрическое частное, а α — полярный угол наклона. Приведенные выше уравнения представляют собой инструмент для создания фермы Michell с различной структурной плотностью. Созданные таким образом фермы можно сравнивать по критериям оптимизации. Эти критерии основаны на достижении минимального веса и минимального соответствия. Вес и соответствие — два параметра, указывающие на то, что оптимизация прошла успешно.Только один отслеживаемый параметр может быть создан как результат обоих этих параметров. Недостатком нового параметра является потеря информации о соотношении между весом и параметром податливости. Преимущество — простая комплексная оценка предлагаемых ферм. Условие минимизации выглядит следующим образом где m — вес фермы, а k — жесткость фермы.
Если сформирована по существу плоская ферма, размеры поверхности которой значительно превышают ее толщину, то площадь будет представлять вес с приемлемой точностью.Точно так же, если фермы нагружены с одинаковой силой на одинаковом расстоянии от кинематических шарниров, прогиб фермы на свободном конце будет соответствовать ее податливости.
Обратное значение будет соответствовать его жесткости. Конечно, для всех балок используется один и тот же материал, поэтому нет необходимости учитывать влияние материала.
Целью оптимизации является достижение минимального значения произведения площади и прогиба. Оба контролируемых параметра должны быть как можно меньше.Таким образом, получается общий параметр Q. где A — площадь фермы, d — прогиб фермы. Рекомендуется выбирать относительный метод сравнения ферм. Относительное преимущество параметра Q рассчитывается на основе процентного сравнения (17). где Q1 — худший параметр, а Q2 — лучший параметр оптимизации топологии.
При создании ферм Michell соблюдаются следующие правила геометрического метода:
Элементы фермы можно размещать только в направлении главного напряжения;
Увеличение количества членов происходит постепенно;
Местоположение элемента должно показывать максимально возможное улучшение Q-параметра.
4. Моделирование и результаты
Задача экспериментального расчета — создать идеальную ферму на основе определенных принципов. Эти принципы составляют основу предлагаемого метода геометрической оптимизации.
Экспериментальная проверка была выполнена с помощью программы расчета SolidWorks (Dassault Systèmes SolidWorks Corporation, Уолтем, Массачусетс, США). В модуле SolidWorks 2018 Simulation использовались следующие параметры: материал: легированная сталь; тип решателя: FFE Plus; force: force — выбранное направление; и тип сетки: сплошная сетка (четырехгранные элементы).Соблюдение единого максимального напряжения для всех ферм было только приблизительным в этом графическом методе проектирования формы, но в то же время этого было достаточно, чтобы четко определить преимущества и недостатки сравниваемых ферм.
Усилие для всех балок и ферм заключалось в поддержании максимального напряжения (σ¯T = σ¯C = 4,4 МПа), возникающего при нагружении опорной балки (Рисунок 8). Направление главного напряжения следует контурам балки. объект относительно немного (рисунок 9).Тонкая балка с распределенным напряжением C получается за счет обратной формы балки с однородным напряжением (балка C, рисунок 10). Преимущество этой балки в том, что максимальное напряжение распределяется по всей длине балки, что снижает ее вес. Недостатком является то, что при этом значительно снижается жесткость балки. Самый простой вариант фермы Michell имеет всего два плеча. Плечи имеют форму логарифмических спиралей (ферма D, рис. 11). Добавление внутренних элементов оптимизирует результирующее отношение веса к жесткости (параметр Q).Если балка достаточно тонкая, общий вес балки будет представлен ее боковой поверхностью. Точно так же общая жесткость балки будет представлена прогибом в точке и в направлении силовой нагрузки. Все балки и фермы рассчитаны на максимальное напряжение, присутствующее в основной А-образной балке (Таблица 1).
4.1. Определение идеальной внутренней опоры для фермы Michell D
Первое сравнение основано на определении оптимальной точки опоры внешней арки фермы Michell (Рисунок 12), (Таблица 2).Эта точка достигается за счет сохранения второй опорной кривой (рис. 7). В этом случае под аркой будет только один опорный элемент (рис. 12, ферма Е). Эта ферма сравнивалась с фермами со смещенной в одну и другую сторону точкой опоры (фермы E1 и E2 соответственно) .При относительно небольшом смещении точки опоры происходит относительный износ более 10% по параметру Q . Это доказательство того, что опора, установленная в соответствии с соотношением золотого сечения, дает наилучшие результаты по жесткости.Верхняя и нижняя дуги логарифмической спирали разделены точкой опоры в пропорции золотого сечения (рис. 7). Результат идеального расположения опоры не зависит от знания соотношения золотого сечения. Это естественный принцип, который определил идеальное место в соответствии с результатами экспериментального моделирования.
4.2. Определение надлежащей плотности внутренних опор для фермы Michell
Добавление дополнительных внутренних опор увеличивает жесткость фермы, что улучшает параметр Q.И в этом случае при выборе опор был выбран естественный принцип. Отдельные узлы соблюдают пропорциональность, которая обычно встречается в естественных узорах. На рисунке 13 показано, например, разделение пропорций лица в золотом сечении с переменным распределением соотношений. Улучшение параметра Q зависит не только от количества внутренних опорных элементов, но и от способа их взаимного расположения. . Второе сравнение основано на количестве членов поддержки, распределенных равномерно (Рисунок 14, Таблица 3).В этом случае новые опоры также распределяются вокруг оптимальной точки опоры (см. Ферму E). Опорные кривые 1 и 3 сохраняются для двух точек опоры. Кривые 1, 2, 4 сохранены для трех опорных точек (рисунок 7). Опорные элементы добавляются постепенно (рисунок 14). Точки опоры выбираются в точках с геометрическим ростом, при этом также соблюдается требование распределения массы в соответствии с консолью равномерного напряжения. Поэтому, например, в случае трех опор, точки 1, 2, 4 выбираются вместо точек 1, 2, 3.Таким образом можно достичь лучшего параметра Q. Как видите, добавление одного опорного стержня улучшает параметр Q до 69%. Дальнейшее добавление приводит к менее значительному улучшению (рис. 15).
График улучшения Q-параметра регрессивно улучшается с добавлением новых элементов. Исходя из этого, оптимальным решением можно считать третье увеличение плотности. Дальнейшее увеличение уже не дает намного большего эффекта, только элементы становятся тоньше. Уменьшение толщины элемента приводит к потере устойчивости фермы.
4.3. Влияние степени гибкости фермы
Ортогональность нарушается во время уменьшения гибкости, но результаты лучше (рисунок 16 и таблица 4). Существует определенный оптимум для уменьшения гибкости фермы Michell.
Согласно результатам, наиболее удобная уменьшенная форма на 17% лучше ортогональной. Физическая причина этого явления заключается в том, что стержни в некоторой степени также способны передавать изгибающее напряжение. Используемый принцип оптимизации основан на графической оценке формы фермы, что вносит определенную неопределенность, вызванную человеческим фактором, в результаты измерений.
4.4. Комбинация фермы Michell и балки C
В отличие от тонкой балки C ферма Michell не имеет центральной конструкции. Как можно видеть, экономия материала также может быть достигнута за счет балки C, которая также представляет собой узор, часто встречающийся в природе, например, ветки деревьев или стебли трав. Сочетание этих принципов также происходит в виде листовой структуры. В технической практике эти листовые конструкции еще не используются сознательно в полной мере. В этом отношении целесообразно сравнить балку листа с фермой Michell аналогичной конструкции.Параметры оптимизации были проверены в фермах с двумя внутренними опорными элементами. Была проверена форма ферм с ортогональной структурой (рисунок 17 и таблица 5).
Как видно, H-ферма изношена на 18% по сравнению с F. Тем не менее, H-ферма улучшилась примерно на 55% по сравнению с исходной C-балкой.
6. Обсуждение
Естественные паттерны, несомненно, оптимизированы лучше всего. Ферма Michell — это естественная форма, созданная с применением принципов природы.Один из таких принципов — разделить длину логарифмической спирали в геометрическом порядке на частное отношения золотого сечения. Именно этот принцип обеспечивает не только идеальное соотношение веса и жесткости, но и идеальную плотность элементов. Однако это разделение элементов не может быть получено из известных условий оптимизации. Результат был достигнут геометрическим методом, основанным на копировании принципов пропорциональности.
Моделирование показало, что добавление новых опорных элементов лишь незначительно улучшает Q-параметр.Хотя добавление новых опорных элементов приводит к небольшому улучшению параметра Q, поперечное сечение элементов при этом становится тоньше. Такое уменьшение гибкости снижает устойчивость до такой степени, что конструкция может разрушиться. Идеальное увеличение плотности членов только до второй степени. Структурная нестабильность и оптимизация объемной топологии более подробно обсуждались в исследовании [11]. Ферма Michell представляет собой идеальное состояние без конструктивных ограничений.Он обеспечивает максимальную жесткость при минимальном весе. В случае конструктивных ограничений результат будет хуже, как показано в разделе 4. Ограничения этого типа обсуждаются в статье [22].
Также кажется, что если элементы фермы не имеют шарнирного соединения, то стержни также могут быть в определенной степени нагружены изгибом. Такая нагрузка возникает в неортогональной структуре. Неортогональность достигается за счет стройности идеальной фермы Michell. Результат — еще лучший параметр веса и жесткости.
Листовые фермы не превышают идеальных параметров фермы Michell.В целом параметры хорошие с точки зрения оптимизации формы. Такая конструкция может иметь преимущества с точки зрения технологии производства или цели использования. Например, здания часто имеют вертикальную структуру, вдоль которых проходят автомобильные дороги.
Оценка успешности оптимизации топологии по параметру Q имеет свои подводные камни. Параметр Q указывает на улучшение балки только в целом, оставляя неясным соотношение веса и жесткости. В исследованных случаях преобладающим компонентом была жесткость или податливость.Сравнивая поверхности балки и отклонение с соответствующим параметром Q, можно увидеть, что относительная форма графика отклонения показывает лишь небольшие отличия от графика параметра Q (Рисунок 21).
Вопросы по коллимационной системе со стержневой фермой — ATM, Optics and DIY Forum
Было: Re: болт для клетки?
Я изучал коллимационную систему со стержневым наконечником, предложенную Артом, и мне было трудно понять эту концепцию, поэтому я надеюсь на некоторую помощь.Вот где я сейчас:
Если я правильно понимаю то, что я читал, здесь Collimation NOC, а здесь Collimation MB, в идеально сколлимированной системе все будет выровнено оптически и механически (за исключением вторичного смещение), а правильно отцентрованный лазер в фокусировщике вернет луч в исходную точку. Это означало бы, что две оптические оси, от фокусера до вторичного и вторичного к первичному, будут коаксиальными или совпадающими. (Надеюсь, я правильно поняла)
Предполагая, что у меня есть трубка фокусера, вторичная (смещенная, но в остальном по центру) и первичная по центру, я бы поместил лазер в фокусер и попал в центр вторичного.Затем отрегулируйте вторичный, чтобы направить луч в центр первичного. Теперь необходимо настроить первичный луч, чтобы направить луч обратно по его пути, чтобы он попал во вторичный в том же месте, откуда он пришел, а затем попал в исходную точку в центре фокусера.
В коллимационной системе со стержневым концом анкерной трубы похоже, что вам нужно будет скрутить один или два набора из двух соседних трубок за раз, чтобы изменить угол первичной обмотки, чтобы направить луч обратно в центр вторичной обмотки. . Скручивание набора из двух соседних труб приведет к удлинению или укорачиванию одного из трех наборов треугольников фермы.(Теперь я действительно не уверен в своих терминах, но надеюсь, что все понимают, что я имею в виду) Мне кажется, что два противоположных набора стержней стержней до определенной степени приспособились бы к этой настройке, но, вероятно, в любом случае достаточно; что мне показалось изящным дизайном.
Однако это будет означать, что верхняя клетка больше не параллельна первичной, поскольку один из треугольников фермы длиннее / короче.

Занятие 2. Принцип Ферма.

Принцип Ферма • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Принцип Ферма

Доказательство закона преломления света с помощью принципа Ферма

Основные законы геометрической оптики, принцип Ферма, доказательство закона преломления на основании принципа Ферма.

Узнать еще:

Законы геометрической оптики и принцип Ферма

Оптика и волны

Принцип Ферма — Оптика

Спросите СДЕЛАТЬ: Как работают фермы?

Геометрия

Законы статики

КПД

Теория и реальность

использует

Physics: Truss — HandWiki

Этимология

Характеристики

Простая ферма

Планарная ферма

Ферма пространственного каркаса

Типы

Ферма Уоррена

Ферма октет

Ферма Pratt

Ферма тетива

Ферма центральной стойки

Линзовидная ферма

Ферма решетчатая городская

Ферма Vierendeel

Статика

Анализ

Силы в членах

Конструкция элементов

Конструкция швов

Приложения

Конструкции опор

Галерея

См. Также

Список литературы

Внешние ссылки

: определение, конструкция и типы — видео и стенограмма урока

Определение фермы

Типы и конструкции ферм

Краткое содержание урока

Ищу информацию о «Уоррен Ферма» — банкомат, оптика и форум DIY

Прикрепленные эскизы

Космическая ферма — обзор

8.1 Элемент пространственной фермы

Материалы | Бесплатный полнотекстовый | Определение оптимальной плотности элементов фермы Michell

1. Введение

2. Материалы и методы

4. Моделирование и результаты

4.1. Определение идеальной внутренней опоры для фермы Michell D

4.2. Определение надлежащей плотности внутренних опор для фермы Michell

4.3. Влияние степени гибкости фермы

4.4. Комбинация фермы Michell и балки C

6. Обсуждение

Вопросы по коллимационной системе со стержневой фермой — ATM, Optics and DIY Forum

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики