Вычитание векторов

Вам уже знакомы правила сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы  и   по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор  равен сумме векторов  и .

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего.

Так же вам известны законы сложения векторов: переместительный и сочетательный.

На этом уроке поговорим о разности двух векторов. Её обозначают так .

Разностью векторов  и  называют такой вектор , сумма которого с вектором  равна вектору .

Чтобы получить представление о разности двух векторов, решим задачу.

Задача. По данным векторам  и  построить вектор .

Построение

 

 

 

.

Вектор  — искомый.

Эту задачу можно решить другим способом.

Но перед тем как его привести введём понятие вектора, противоположного данному.

Для произвольного ненулевого вектора

 вектор  будет противоположным, если:

Вектор, противоположный вектору , обозначается так . И говорят «вектор минус a».

Очевидно, что сумма вектора  с противоположным ему равна нулевому вектору .

Запишем теорему о разности двух векторов.

Для любых векторов  и  справедливо равенство .

Докажем данную теорему.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Опираясь на эту теорему, приведём ещё одно решение задачи на построение разности векторов .

Способ

 

Отметим произвольную точку О и от неё отложим вектор . Далее отложим от точки А вектор .

По правилу треугольника сумма .

 

А значит, пользуясь теоремой о разности двух векторов, можем сделать вывод о том, что разность векторов . И вектор  — искомый.

Итак, можем сделать вывод, что вектор разности двух векторов можно строить двумя способами.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  можно представить в виде суммы вектора .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равные вектору , а от точки А — вектор , равный вектору , по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора . И, соответственно, вектором разности векторов .

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы ,  и . Построить на них векторы: , , , ,  и .

Построение.

Для начала построим векторы, противоположные данным.

Векторы являются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Выберем точки А, B и C, от которых будем откладывать противоположные векторы.

Далее через каждую из этих точек проведём прямые параллельные векторам ,  и   соответственно.

От отмеченных точек на проведённых прямых можно изобразить векторы, равные данным, и, противоположные данным. Нам нужны те, которые противоположны векторам ,  и    соответственно.

Так мы построили векторы ,  и .

Задача. Сторона квадрата  равна . Найти  и .

Построение.

Решение.

 

По  теореме Пифагора: 

Ответ: ; .

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с понятием противоположного вектора. Противоположные векторы имеют равные длины и противоположно направлены.

Мы ввели понятие разности двух векторов. Разностью векторов ,  называют такой вектор , сумма которого с вектором    равна вектору .

Для построения вектора разности мы выделили два способа.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор, направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора  и вектора, противоположного вектору  .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равный вектору , а от точки А — вектор , равный вектору , по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора  и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Теперь вы владеете не только правилами сложения, а ещё и правилом вычитания векторов.

сложение векторов и умножение на число. Линейные свойства векторов. Примеры.

Векторная алгебра

Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила.

Сложение векторов

Под параллельным переносом вдоль вектора понимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.

Пусть даны два вектора   и  . Приложим вектор   к некоторой точке  , получим  . Приложим вектор   к точке  , получим  . Тогда вектор   будем называть суммой векторов:  .

Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки  .

Приложим вектор   к другой точке  , получим  . Приложим вектор   к точке  , получим  .

Рассмотрим направленные отрезки   и  . Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку   — параллелограмм.

Умножение на число

Произведением вектора   на число   называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору  ;

2. сонаправлен ему, если  , или противоположнонаправлен, если  ;

3. длины связаны следующим соотношением:  .

Данное определение согласовано с определением сложения:

для любого натурального  .

Свойства линейных операций

Сложение векторов коммутативно:  .

Сложение векторов ассоциативно:  .

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего:  . Очевидно,  .

Для любого вектора   существует вектор   такой, что   или  .

Умножение вектора на число ассоциативно:  . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:  .

Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков   и  , в каждом случае утверждение очевидно.

Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов:  . Это следует из подобия треугольников   и   на рисунке.

Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор:  .

Если   и   — два неколлинеарных вектора в плоскости, а   — произвольный вектор в той же плоскости, то всегда существуют такие числа   и  , что  . В этом случае говорят, что вектор   разложен по векторам

   и  .

Если   и   — неколлинеарные единичные векторы (т. е. вектора, модуль которых равен единице)  , то произвольный вектор   плоскости может быть представлен в виде  . В этом случае говорят, что вектор   имеет в системе   и   координаты  .

Если векторы   и   взаимно перпендикулярны, причем вектор   может быть получен из вектора   поворотом против часовой стрелки, то говорят, что прямые, в которых лежат   и  , образуют декартову прямоугольную систему координат, а числа   называются декартовыми координатами вектора  .

Пусть точка   с координатами   — начало вектора  , а точка   с координатами   — его конец. Тогда координаты вектора связаны с координатами точек   и  формулами:  ,  , т. е. декартовы координаты вектора равны разности соответствующих координат конца вектора и его начала.

Декартовы координаты вектора   являются проекциями этого вектора на соответственные оси систем координат:  ,  .

Пусть вектор   имеет координаты  , что записывается в виде  , а вектор   —  , или  .

Тогда:

,

,

,

,

т. е. действиям с векторами отвечают идентичные действия с их координатами.

Модуль вектора   определяется через его декартовы координаты посредством равенства:  , а единичный вектор  , имеющий с вектором   одинаковое направление, записывается в виде   и имеет координаты:  .

3.2 Сложение и вычитание векторов: графические методы

Цели обученияВекторы в двух измеренияхСложение векторов: метод «голова к хвосту»Вычитание векторовУмножение векторов и скаляровРазложение вектора на компоненты

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

• Понимание правил сложения, вычитания и умножения векторов
• Применение графических методов сложения и вычитания векторов для определения смещения движущихся объектов

Информация, представленная в этом разделе, поддерживает следующие цели обучения и научные практики AP®:

• 3.A.1.1 Учащийся может выразить движение объекта, используя описательные, математические и графические представления. (Ст. 1.5, 2.1, 2.2)
• 3.A.1.3 Учащийся способен анализировать экспериментальные данные, описывающие движение объекта, и может выражать результаты анализа, используя описательные, математические и графические представления. (П.5.1)

Рис. 3.8 Смещение можно определить графически, используя масштабную карту, например, карту Гавайских островов. Путешествие с Гавайев на Молокаи состоит из нескольких этапов или сегментов пути. Эти сегменты могут быть добавлены графически с помощью линейки, чтобы определить общее двухмерное перемещение пути. (Источник: Геологическая служба США)

Векторы в двух измерениях

Вектор – это величина, которая имеет величину и направление. Например, перемещение, скорость, ускорение и сила — все это векторы. В одномерном или прямолинейном движении направление вектора может быть задано просто знаком плюс или минус. Однако в двух измерениях (2-d) мы указываем направление вектора относительно некоторой системы отсчета, то есть системы координат, используя стрелку, длина которой пропорциональна величине вектора и указывает направление вектора.

На рис. 3.9 показано такое графическое представление вектора на примере полного перемещения человека, идущего по городу, рассматриваемого в книге «Кинематика в двух измерениях: введение». Мы будем использовать обозначение, что жирный шрифт, такой как размер DD 12{D} {}, обозначает вектор. Его величина представлена ​​символом, выделенным курсивом, размером DD 12{D} {}, а его направление размером θθ 12{θ} {}.

Векторы в этом тексте

В этом тексте мы будем представлять вектор с переменной, выделенной жирным шрифтом. Например, мы представим количественную силу вектором FF размером 12{F} {}, который имеет как величину, так и направление. Величина вектора будет представлена ​​переменной, выделенной курсивом, например размером FF 12{F} {}, а направление переменной будет задано углом θθ размером 12{θ} {}.

Рисунок 3.9 Человек идет девять кварталов на восток и пять кварталов на север. Водоизмещение составляет 10,3 блока при угле 29,1°29,1° размером 12{«29» «.» «1°»} {} к северу от востока.

Рисунок 3.10 Чтобы графически описать результирующий вектор для человека, идущего по городу, показанному на рисунке 3.9, нарисуйте стрелку, чтобы представить вектор полного смещения DD размером 12{D} {}. С помощью транспортира начертите линию под углом θθ величиной 12{θ} {} относительно оси восток-запад. Длина DD size 12{D} {} стрелки пропорциональна модулю вектора и измеряется линейкой вдоль линии. В этом примере величина DD размера 12{D} {} вектора составляет 10,3 единицы, а направление θθ размера 12{θ} {} равно 29.1°29.1° размер 12{«29» «.» 1 rSup { размер 12{°} } } {} к северу от востока.

Сложение векторов: метод «голова к хвосту»

Метод «голова к хвосту» — это графический способ добавления векторов, описанный на рис. 3.11 ниже и в следующих шагах. Хвост вектора — это начальная точка вектора, а начало (или кончик) вектора — это конечный заостренный конец стрелки.

Рисунок 3.11 Метод «голова к хвосту»: Метод «голова к хвосту» графического сложения векторов проиллюстрирован для двух перемещений человека, идущего по городу, рассмотренных на рисунке 3.9.. (a) Нарисуйте вектор, представляющий смещение на восток. (b) Нарисуйте вектор, представляющий смещение на север. Хвост этого вектора должен исходить из головы первого вектора, указывающего на восток. (c) Нарисуйте линию от конца вектора, указывающего на восток, до начала вектора, указывающего на север, чтобы сформировать сумму или результирующий вектор, размер DD 12{A} {}. Длина стрелки D,D размера 12{A}{} пропорциональна модулю вектора и составляет 10,3 единицы. Его направление, описываемое как угол по отношению к востоку (или горизонтальной оси) θθ размером 12{θ} {}, измеряется с помощью транспортира и составляет 29.1°29.1° размер 12{«29» «.» 1°} {}.

Шаг 1. Нарисуйте стрелку, представляющую первый вектор (девять блоков на восток), используя линейку и транспортир .

Рисунок 3.12

Шаг 2. Теперь нарисуйте стрелку, представляющую второй вектор (пять блоков на север). Поместите конец второго вектора в начало первого вектора .

Рисунок 3.13

Шаг 3. Если имеется более двух векторов, продолжайте этот процесс для каждого добавляемого вектора. Обратите внимание, что в нашем примере у нас есть только два вектора, поэтому мы закончили размещать стрелки от кончика к хвосту.

Шаг 4. Проведите стрелку от конца первого вектора к началу последнего вектора . Это результат или сумма D других векторов.

Рисунок 3.14

Шаг 5. Чтобы получить величину равнодействующей, измерьте ее длину линейкой. Обратите внимание, что в большинстве вычислений мы будем использовать теорему Пифагора для определения этой длины.

Шаг 6. Чтобы определить направление равнодействующей, измерьте угол, который она образует с системой отсчета, используя транспортир. Обратите внимание, что в большинстве расчетов мы будем использовать тригонометрические отношения для определения этого угла.

Точность графического сложения векторов ограничена только точностью, с которой могут быть выполнены чертежи, и точностью измерительных инструментов. Это справедливо для любого количества векторов.

Пример 3.1 Графическое сложение векторов с использованием метода «голова к хвосту»: прогулка женщины . Сначала она проходит 25,0 м в направлении 49,0°49,0° размера 12{«49» «.» «0°»} {} к северу от востока. Затем она проходит 23,0 м курсом 15,0°15,0° размер 12{«15» «.» «°°»} {} к северу от востока. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0° к югу от востока.

Стратегия

Представьте каждый вектор смещения графически со стрелкой, пометив первый размер AA 12{A} {}, второй размер BB 12{B} {} и третий размер CC 12{C} {} , делая длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад. Описанный выше метод «голова к хвосту» позволяет определить величину и направление результирующего смещения, обозначаемого размером RR 12{R} {}.

Решение

(1) Нарисуйте три вектора смещения.

Рисунок 3.15

(2) Разместите векторы от начала до конца, сохранив их первоначальную величину и направление.

Рисунок 3.16

(3) Нарисуйте результирующий вектор, размер RR 12{R} {}.

Рисунок 3.17

(4) Используйте линейку для измерения величины RR размера 12{R} {} и транспортир для измерения направления RR размера 12{R} {}. Хотя направление вектора можно указать разными способами, проще всего измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью. Поскольку результирующий вектор находится к югу от оси, направленной на восток, мы переворачиваем транспортир вверх ногами и измеряем угол между осью, направленной на восток, и вектором.

Рисунок 3.18

В этом случае видно, что полное смещение RR размера 12{R} {} имеет величину 50,0 м и лежит в направлении 7,0°7,0° размера 12{7 «. » 0°} {} к югу от востока. Используя его величину и направление, этот вектор можно выразить как R=50,0 мR=50,0 м, размер 12{R» = 50″ «.» «0 м»} {} и θ=7,0°θ=7,0° размер 12{θ=7 «.» «0°»} {} к югу от востока.

Обсуждение

Графический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результирующая не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем добавлять векторы в любом порядке, как показано на рис. 3.19.и мы все равно получим то же решение.

Рисунок 3.19

Здесь мы видим, что при добавлении одних и тех же векторов в другом порядке результат будет таким же. Эта характеристика верна в любом случае и является важной характеристикой векторов. Сложение векторов коммутативно. Векторы можно добавлять в любом порядке.

3.1 А+В=В+А.А+В=В+А. size 12{«A+B=B+A»} {}

Это верно и для сложения обычных чисел — вы получите тот же результат, если сложите 2+32+3 size 12{«2+3» } {} или же 3+23+2 размер 12{«3+2»} {}, например.

Вычитание векторов

Вычитание векторов — это прямое расширение сложения векторов. Чтобы определить вычитание, скажем, мы хотим вычесть BB размером 12{B} {} из Размер AA 12{A} {} , пишется A–BA–B size 12{ «A» «-B»} {} — сначала мы должны определить, что мы подразумеваем под вычитанием. минус вектора BB определяется как –B–B; то есть графически отрицательное значение любого вектора имеет ту же величину, но противоположное направление , как показано на рис. 3.20. Другими словами, BB размера 12{B} {} имеет ту же длину, что и –B–B размера 12{«-» «B»} {}, но указывает в противоположном направлении. По сути, мы просто переворачиваем вектор так, чтобы он указывал в противоположном направлении.

Рис. 3.20 Отрицательное значение вектора — это просто другой вектор той же величины, но направленный в противоположном направлении. Таким образом, размер BB 12{B} {} является минусом размера –B–B 12{ital «-B»} {}; он имеет ту же длину, но противоположное направление.

Затем вычитание вектора BB из вектора AA просто определяется как добавление -B-B к AA. Обратите внимание, что вычитание вектора — это добавление отрицательного вектора. Порядок вычитания не влияет на результат.

3.2 А – В = А + (–В). А – В = А + (–В). размер 12{ жирный «A – B = A + » \( жирный «–B» \) } {}

Это аналогично вычитанию скаляров, например, 5 – 2 = 5 + (–2)5 – 2 = 5 + (–2) размер 12{«5 – 2 = 5 + » \( «–2» \) } {}. Опять же, результат не зависит от порядка, в котором производится вычитание. Когда векторы вычитаются графически, используются описанные выше методы, как показано в следующем примере.

Пример 3.2. Графическое вычитание векторов: женщина, плывущая на лодке

Женщина, плывущая на лодке ночью, следует указаниям к пристани. Инструкции гласили, что сначала нужно пройти 27,5 м в направлении 66,0°66,0° размером 12{«66» «.» 0°} {} к северу-востоку от ее текущего местоположения, а затем пройдите 30,0 м в направлении 112°112° размера 12{«112″°} {} к северу от востока (или 22,0°22,0° размера 12{«22» «. » 0°} {} к западу от севера). Если женщина совершит ошибку и поедет в направлении , противоположном , на втором этапе поездки, где она окажется? Сравните это место с расположением дока.

Рисунок 3.21

Стратегия

Мы можем представить первый этап пути с помощью вектора AA, а второй этап пути с помощью вектора Размер каретки 12{B} {}. Пристань расположена в точке A + BA + B. Если женщина по ошибке едет в направлении , противоположном , для второго этапа путешествия, она проедет расстояние BB (30,0 м) в направлении 180°–112°. =68°180°–112°=68° к югу от востока. Мы представляем это как –B–B, как показано ниже. Вектор –B–B имеет ту же величину, что и BB, но направлен в противоположную сторону. Таким образом, она окажется в точке A+(–B)A+(–B) или A–BA–B.

Рисунок 3.22

Выполним сложение векторов, чтобы сравнить местоположение причала, A + BA + B size 12{ ital «A «»+ «B} {}, с местоположением, в которое по ошибке прибыла женщина, A + (–B)A + (–B) размер 12{ жирный «A + » \(жирный «–B» \) } {}.

Решение

(1) Чтобы определить место, куда случайно попала женщина, начертите векторы AA размером 12{A} {} и –B–B.

(2) Разместите векторы лицом к хвосту.

(3) Нарисуйте результирующий вектор RR размером 12{R} {}.

(4) С помощью линейки и транспортира измерьте величину и направление RR размера 12{R} {}.

Рисунок 3.23

В этом случае R=23,0 мR=23,0 м размер 12{R»=23″ «.» «0 м»} {} и θ=7,5°θ=7,5° размер 12{θ=7 «.» «5° к югу от востока»} {} к югу от востока.

(5) Чтобы определить местоположение дока, мы повторяем этот метод, добавляя векторы размера AA 12{A} {} и размера BB 12{B} {}. Получаем результирующий вектор R’R’ размера 12{R’} {}.

Рисунок 3.24

В этом случае R = 52,9 мР = 52,9 м, размер 12{R» = 52″ «.» «9 м»} {} и θ=90,1°θ=90,1° размер 12{θ=»90″ «.» «1° к северу от востока»} {} к северу от востока.

Мы видим, что женщина окажется на значительном расстоянии от пристани, если она отправится в противоположном направлении на второй этап поездки.

Обсуждение

Поскольку вычитание вектора аналогично сложению вектора с противоположным направлением, графический метод вычитания векторов работает так же, как и сложение.

Умножение векторов и скаляров

Если бы мы решили пройти в три раза больше на первом этапе пути, рассматриваемого в предыдущем примере, то мы бы прошли 3 × 27,5 м3 × 27,5 м размером 12{«3 » умножить на » 27″ «.» «5 м»} {}, или 82,5 м, в направлении 66,0°66,0° размер 12{«66» «.» 0 {размер 12{°} } } {} к северу от востока. Это пример умножения вектора на положительную скалярную величину. Обратите внимание, что величина меняется, но направление остается прежним.

Если скаляр отрицательный, то умножение вектора на него изменяет величину вектора и дает новому вектору в противоположном направлении . Например, если умножить на -2, величина удвоится, но изменится направление. Мы можем обобщить эти правила следующим образом: когда векторный размер AA 12{A} {} умножается на скалярный размер cc 12{c} {}

• , модуль вектора становится абсолютным значением размера cc 12{ c} {}размер AA 12{A} {},
• , если cc size 12{A} {} положителен, направление вектора не меняется, и
• , если размер cc size 12{A} {} отрицательный, направление меняется на противоположное.

В нашем случае c=3c=3размер 12{c=3} и A=27,5 мА=27,5 мразмер 12{«A= 27,5 м»}. Векторы умножаются на скаляры во многих ситуациях. Обратите внимание, что деление является обратным умножению. Например, деление на два равносильно умножению на значение (1/2). Правила умножения векторов на скаляры такие же, как и при делении; просто рассматривайте делитель как скаляр между нулем и единицей.

Разложение вектора на компоненты

В приведенных выше примерах мы добавляли векторы для определения результирующего вектора. Однако во многих случаях нам нужно будет сделать обратное. Нам нужно будет взять один вектор и найти, какие другие векторы, сложенные вместе, дают его. В большинстве случаев это включает в себя определение перпендикулярных компонентов одного вектора, например, x — и y -компоненты, или компоненты север-юг и восток-запад.

Например, мы можем знать, что общее перемещение человека, идущего по городу, составляет 10,3 квартала в направлении 29,0°29,0° размером 12{«29» «.» 0°} } {} к северу от востока и хотите узнать, сколько кварталов нужно было пройти на восток и на север. Этот метод называется нахождением компонентов (или частей) смещения в восточном и северном направлениях, и это процесс, обратный процессу, применяемому для нахождения полного смещения. Это один из примеров нахождения компонентов вектора. В физике есть много приложений, где это может оказаться полезным. Мы скоро увидим это в Projectile Motion и многое другое, когда рассмотрим заставляет в динамике: законы движения Ньютона. Большинство из них включают поиск компонентов вдоль перпендикулярных осей (например, север и восток), так что задействованы прямоугольные треугольники. Аналитические методы, представленные в разделе «Сложение и вычитание векторов: аналитические методы», идеально подходят для поиска компонентов вектора.

PhET Explorations: Maze Game

Узнайте о положении, скорости и ускорении в Arena of Pain . Используйте зеленую стрелку, чтобы переместить мяч. Добавьте больше стен на арену, чтобы усложнить игру. Постарайтесь достичь цели как можно быстрее.

Рисунок 3.25 Игра «Лабиринт»

• Печать
• Поделиться

Analytical Methods – College Physics главы 1-17

3 Двумерная кинематика

Резюме

• Понимание правил сложения и вычитания векторов с использованием аналитических методов.
• Применение аналитических методов для определения векторов вертикальной и горизонтальной составляющих.
• Применение аналитических методов для определения величины и направления результирующего вектора.

Аналитические методы сложения и вычитания векторов используют геометрию и простую тригонометрию, а не линейку и транспортир графических методов. Часть графической техники сохранена, потому что векторы по-прежнему представлены стрелками для облегчения визуализации. Однако аналитические методы более лаконичны, точны и точны, чем графические методы, которые ограничены точностью, с которой может быть выполнен чертеж. Аналитические методы ограничены только точностью и точностью, с которой известны физические величины.

Аналитические методы и прямоугольные треугольники идут рука об руку в физике, потому что (среди прочего) движения вдоль перпендикулярных направлений независимы. Нам очень часто нужно разделить вектор на перпендикулярные компоненты. Например, имея такой вектор, как [latex]\textbf{A}[/latex] на рисунке 1, мы можем захотеть найти, какие два перпендикулярных вектора, [latex]\boldsymbol{\textbf{A}_x}[/latex] и [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_y}[/латекс], добавьте, чтобы создать его.

Рисунок 1. Вектор A с хвостом в начале системы координат x, y показан вместе с его x- и y-компонентами, A _x и A _y . Эти векторы образуют прямоугольный треугольник. Аналитические отношения между этими векторами резюмируются ниже.

[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x}[/latex] и [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_y}[/latex] определены как компоненты [латекс]\textbf{A }[/latex]оси x и y. Три вектора[latex]\textbf{A},\:\boldsymbol{\textbf{A}_x},[/latex]и[latex]\boldsymbol{\textbf{A}_y}[/latex] образуют правый треугольник:

[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x +\textbf{A}_y =\textbf{A}.}[/latex]

Обратите внимание, что эта связь между компонентами вектора и результирующим вектором сохраняется только для векторных величин (которые включают как величину, так и направление). Отношения не применимы только к величинам. Например, если [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x=3\textbf{м}}[/латекс]восток,[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_y=4\textbf{м}} [/latex]север и [latex]\boldsymbol{\textbf{A}=5\textbf{ m}}[/latex]северо-восток, то верно, что векторы[latex]\boldsymbol{\textbf{ A}_x+\textbf{A}_y=\textbf{A}}.[/latex]Тем не менее, это не правда, что сумма модулей векторов тоже равна. То есть

[латекс]\boldsymbol{3\textbf{м}+4\textbf{м}\neq 5\textbf{м}}[/латекс]

Таким образом,

[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x+\textbf{A}_y\neq\textbf{A}}[/latex]

Если известен вектор[latex]\textbf{A}[/latex], то его величина[latex]\textbf{A}[/latex]и угол[latex]\boldsymbol{\theta}[/latex] (его направление) известны. Чтобы найти[latex]\boldsymbol{\textbf{A}_x}[/latex]и[latex]\boldsymbol{A_y},[/latex] его x- и y-компоненты, мы используем следующие соотношения для прямоугольного треугольника .

[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x=\textbf{A cos}\:\theta}[/latex]

и

[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_y=\textbf{A sin}\:\theta}. [/latex]

Рисунок 2. Модули компонентов вектора A _x и A _y можно связать с результирующим вектором A 0 9053 и углом θ Здесь мы видим, что A _x = A cos θ и A _y =A sinθ .

Предположим, например, что [latex]\textbf{A}[/latex] является вектором, представляющим полное перемещение человека, идущего по городу, рассмотренному в главе 3.1 «Кинематика в двух измерениях: введение» и главе 3.2 «Сложение векторов» и Вычитание: графические методы.

Рисунок 3. Мы можем использовать соотношения A _x =A cos θ и A _y =A sinθ 9о)=5.0\textbf{ блоков}.}[/latex]

Если перпендикулярные компоненты [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x}[/latex]и[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_y}[/latex]вектора[латекс]\textbf{A }[/latex] известны, то[latex]\textbf{A}[/latex]можно найти и аналитически. {-1}(\textbf{A}_y\:/\:\textbf{A}_x)}[/latex] используются для нахождения вектора по его перпендикулярным компонентам — то есть перейти от [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x}[/latex]и[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_y}[/latex]к[латекс]\textbf{A }[/latex] и [latex]\boldsymbol{\theta}.[/latex] Оба процесса имеют решающее значение для аналитических методов сложения и вычитания векторов.

Чтобы увидеть, как складывать векторы, используя перпендикулярные компоненты, рассмотрите рисунок 5, на котором векторы[latex]\textbf{A}[/latex]и[latex]\textbf{B}[/latex]добавляются для получения результирующего [латекс]\textbf{R}.[/латекс]

Рис. 5. Векторы A и B — два участка пути, а R — равнодействующее или полное перемещение. Вы можете использовать аналитические методы для определения величины и направления R .

Если[latex]\textbf{A}[/latex]и[latex]\textbf{B}[/latex]представляют два этапа ходьбы (два смещения), то[latex]\textbf{R}[/latex ] — полное водоизмещение. Человек, совершающий прогулку, оказывается на кончике[latex]\textbf{R}.[/latex]Есть много способов попасть в одну и ту же точку. В частности, человек мог ходить первым в 9{-1}(\textbf{A}_y\:/\:\textbf{A}_x)}.[/latex]При использовании аналитического метода сложения векторов можно определить компоненты или величину и направление вектор.

Шаг 1. Определите оси X и Y, которые будут использоваться в задаче. Затем найдите компоненты каждого добавляемого вектора вдоль выбранных перпендикулярных осей . Используйте уравнения [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x=\textbf{A cos}\:\theta}[/latex]и[латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_y=\textbf{A sin}\:\theta}[/latex], чтобы найти компоненты. На рисунке 6 этими компонентами являются [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x},\boldsymbol{\textbf{A}_x},\boldsymbol{\textbf{B}_x},[/latex]и[латекс ]\boldsymbol{\textbf{B}_y}.[/latex]Углы, которые векторы[latex]\textbf{A}[/latex]и[latex]\textbf{B}[/latex]составляют с x -ось [латекс]\жирныйсимвол{\тета_{А}}[/латекс] и [латекс]\жирныйсимвол{\тета_{В}},[/латекс] соответственно.

Рисунок 6. Чтобы сложить векторы A и B , сначала определите горизонтальную и вертикальную составляющие каждого вектора. Это пунктирные векторы A _x , A _Y , B _x и B и B и B .

Шаг 2. Найдите компоненты равнодействующей вдоль каждой оси, складывая компоненты отдельных векторов вдоль этой оси . То есть, как показано на рисунке 7,

[латекс]\boldsymbol{\textbf{R}_x=\textbf{A}_x+\textbf{B}_x}[/latex]

и

[латекс]\boldsymbol{\textbf{R}_y=\textbf{A}_y+\textbf{B}_y.}[/latex]

Рисунок 7. Величина векторов A _x и B _x добавьте, чтобы получить величину R _x результирующего вектора в горизонтальном направлении. Точно так же величины векторов A _y и B _y складываются, чтобы получить величину R _y 38 в вертикальном направлении результирующего вектора.

Компоненты вдоль одной оси, скажем, оси x , являются векторами вдоль одной линии и, таким образом, могут складываться друг с другом, как обычные числа. То же самое верно для компонентов вдоль и -ось. (Например, пройти 9 кварталов на восток можно двумя этапами: первые 3 квартала на восток и вторые 6 кварталов на восток, всего 9, потому что они идут в одном направлении.) Таким образом, разложение векторов на компоненты вдоль общие оси облегчают их добавление. Теперь, когда компоненты [латекса]\textbf{R}[/латекс] известны, можно найти его величину и направление.

Шаг 3. Чтобы получить величину[latex]\textbf{R}[/latex]результата, используйте теорему Пифагора: 9{-1}(\textbf{R}_y\:/\:\textbf{R}_x). o} [/latex]северо-восток.

Рис. 8. Вектор A имеет звездную величину 53,0 м и направление 20,0 ⁰ к северу от оси x. Вектор B имеет величину 34,0 м и направление 63,0 ⁰ к северу от оси x. Вы можете использовать аналитические методы для определения величины и направления R .

Стратегия

Компоненты [latex]\textbf{A}[/latex]и [latex]\textbf{B}[/latex] вдоль x 9о)}[/латекс]

[латекс]\boldsymbol{=(34,0\textbf{м})(0,891)=30,3\текстбф{м}.}\:\:\:\:\:[/латекс]

x — и y -компоненты равнодействующей равны

[латекс]\boldsymbol{\textbf{R}_x=\textbf{A}_x\:+\:\textbf{B}_x =49,8\textbf{м}\:+\:15,4\textbf{м}=65,2\textbf{м}}[/латекс]

и

[латекс]\boldsymbol{\textbf{R}_y=\textbf {A}_y\:+\:\textbf{B}_y=18.1\textbf{ m}\:+\:30.3\textbf{ m}=48. 4\textbf{ m}.}[/latex]

Теперь мы можно найти величину равнодействующей, используя теорему Пифагора: 9o.}[/latex]

Рисунок 9. Используя аналитические методы, мы видим, что звездная величина R равна 81,2 м , а ее направление 36,6 ⁰ к северу от востока.

Обсуждение

Этот пример иллюстрирует сложение векторов с использованием перпендикулярных компонентов. Вычитание вектора с использованием перпендикулярных компонент очень похоже — это просто добавление отрицательного вектора.

Вычитание векторов осуществляется добавлением отрицательного вектора. То есть [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}-\textbf{B}\equiv\textbf{A}+(-\textbf{B})}.[/latex] Таким образом, метод вычитания векторов с использованием перпендикулярных компонент идентичен методу сложения . Компоненты [латекс]\boldsymbol{-\textbf{B}}[/latex]являются негативами компонентов [латекс]\textbf{B}. [/latex] x – и y – Таким образом, компоненты результирующего [латекса]\boldsymbol{\textbf{A}-\textbf{B}=\textbf{R}}[/latex] равны

[латекс]\boldsymbol{\textbf{R}_x=\ textbf{A}_x\:+\:(-\textbf{B}_x)}[/latex]

и

[латекс]\boldsymbol{\textbf{R}_y=\textbf{A}_y\: +\:(-\textbf{B}_y)}[/латекс]

, а в остальном метод, описанный выше, идентичен методу добавления. (См. рис. 10.)

Анализ векторов с использованием перпендикулярных компонент очень полезен во многих областях физики, поскольку перпендикулярные величины часто не зависят друг от друга. Следующий модуль, Глава 3.4 Движение снаряда, является одним из многих, в которых использование перпендикулярных компонентов помогает сделать картинку более ясной и упростить физику.

Рисунок 10. Вычитание двух векторов, показанных на рисунке 5. Компоненты числа -B являются негативами компонентов B . Метод вычитания такой же, как и для сложения.

ИССЛЕДОВАНИЯ PHET: ДОБАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Узнайте, как добавлять векторы. Перетащите векторы на график, измените их длину и угол и суммируйте их вместе. Величина, угол и компоненты каждого вектора могут отображаться в нескольких форматах.

Рис. 11. Сложение векторов

• Аналитический метод сложения и вычитания векторов включает использование теоремы Пифагора и тригонометрических тождеств для определения величины и направления результирующего вектора.
• Шаги для добавления векторов[latex]\textbf{A}[/latex]и[latex]\textbf{B}[/latex]с использованием аналитического метода следующие:

  Шаг 1: Определите систему координат для векторов. Затем определите горизонтальную и вертикальную составляющие каждого вектора, используя уравнения

  .

  [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_x=\textbf{A cos}\:\theta}[/latex]

  [латекс]\boldsymbol{\textbf{B}_x=\textbf{B cos}\:\theta}[/latex]

  и

  [латекс]\boldsymbol{\textbf{A}_y=\textbf{A sin}\:\theta}[/latex]

  [латекс]\boldsymbol{\textbf{B}_y=\textbf{B sin}\:\theta}.