Как найти скалярное произведение двух векторов: формулы, примеры

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти скалярное произведение двух векторов, перечислим свойства этого действия, а также разберем примеры решения задач.

Нахождение скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов a и b – это скалярная величина, которая равняется произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними.

a · b = |a| · |b| · cos α.

Примечание: скалярной называется величина, значений которой можно выразить одним числом (чаще всего, действительным).

С алгебраической точки зрения, скалярное произведение двух векторов – это сумма попарного произведения соответствующих координат этих векторов.

Формулы скалярного произведения векторов с заданными координатами

Двухмерное пространство	a · b = ax · bx + ay · by
Трехмерное пространство	a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
n-мерное пространство	a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + … + an · bn

Свойства скалярного произведения векторов

1. Если вектор умножить на себя же, то результат всегда будет больше или равен нулю.

a · a ≥ 0

Примечание: ноль получается исключительно в том случае, когда вектор является нулевым.

a · a = 0, если a = 0

2. При умножении вектора на самого себя получается квадрат его длины (модуля).

a · a = |a|²

3. Для скалярного произведения применим переместительный закон:

a · b = b · a

4. Если два ненулевых вектора ортогональны, их скалярное произведение равняется нулю.

a ⟂ b, a ≠ 0, b ≠ 0 <=> a · b = 0

5. Сочетательный закон:

(α · a) · b = α · (a · b)

6. Дистрибутивность скалярного произведения:

(a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач

Задание 1
Найдем скалярное произведение векторов a = {6; 2} и b = {1; 9}.

Решение:
a · b = 6 · 1 + 2 · 9 = 24

Задание 2
Известны длины векторов (|a| = 5, |b| = 12) и угол между ними (α = 45°). Вычислим их скалярное произведение.

Решение:
a · b = 5 · 12 · cos 45° ≈ 42,4264

Скалярное произведение векторов

Для начала вспомним, какие действия над векторами вам известны.

Итак, это сложение двух векторов по правилу треугольника или параллелограмма и нескольких векторов по правилу многоугольника. Вектор разности векторов  мы получали как вектор суммы векторов .

Также вам знакомо правило умножение вектора на число.

Сегодня вы познакомитесь с ещё одним действием над векторами — скалярным умножением векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов  обозначают так .

Или возможна запись без знака умножения.

Оно равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними.

Стоит вспомнить, что угол между векторами получают, откладывая данные векторы от одной точки. При этом выбирают угол меньший 180°

Обратите внимание, ранее, при выполнении сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число, результатом каждого из этих действий мы получали некоторый вектор.

Результатом же скалярного произведения векторов является число.

Сейчас подробнее рассмотрим случай, когда скалярное произведение векторов равно 0.

Понятно, что для этого хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Такими будут случаи, когда хотя бы один из векторов в произведении является нулевым.

Если же векторы  ненулевые, то косинус угла между ними должен быть равен 0.

Среди возможных значений градусной меры угла между двумя векторами только лишь косинус угла в 90° равен 0.

Отсюда получаем, что векторы  перпендикулярны.

Подытожим. Скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов сомножителей является нулевым.

Ну, а скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Из формулы скалярного произведения также можно заметить, что, если векторы  не нулевые, то их длины всегда больше нуля, поэтому их произведение тоже положительно. А вот значение косинуса угла между ними может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Можно сказать, что скалярное произведение двух ненулевых векторов больше нуля, если угол между векторами острый. Равно нулю, если угол между ним прямой. И меньше нуля, если угол между данными векторами тупой. Ещё раз обратим внимание на то, что эти заключения верны для ненулевых векторов .

Задача. Найти скалярное произведение векторов  и , пользуясь данными рисунков.

Решение.

а)

б)

в)

г)

Мы рассмотрели примеры применения формулы скалярного произведения двух векторов и убедились, что скалярное произведение ненулевых векторов больше нуля, если угол между ними является острым, равно нулю — если векторы перпендикулярны, и меньше нуля — если угол между векторами тупой.

А сейчас рассмотрим сонаправленные векторы  и . Запишем формулу их скалярного произведения.

Вы должны помнить с прошлых уроков, что угол между сонаправленными векторами равен нулю. А косинус угла в 0° равен 1. Тогда получаем, что скалярное произведение сонаправленных векторов равно произведению их длин.

Говоря о противоположно направленных векторах, можно вспомнить, что угол между ними равен 180°. Значит, косинус равен -1.

Тогда скалярное произведение противоположно направленных векторов равно

.

Что касается, скалярного произведения вектора на самого себя, то его называют скалярным квадратом вектора. Этот случай можно рассматривать в контексте сонаправленных векторов. Действительно, ведь векторы равны, а значит, и сонаправлены. Такое произведение равно произведению длин данного вектора.

Тогда получаем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Задача. Найдём скалярные квадраты векторов , ,  и .

Решение.

 

 

 

 

Скалярное произведение векторов применяется не только в математике. Например, из курса механики известно, что работа постоянной силы F при перемещении из точки М в точку Н равна .

Тем самым получаем, что работа силы F равна скалярному произведению вектора силы  и вектора перемещения .

Вернёмся к скалярному произведению в математике и решим несколько задач.

Задача. К одной и той же точке приложены  и , действующие под углом в  друг к другу. , . Найти величину равнодействующей силы .

Решение.

1 способ

 

 

 

 

 

,

2 способ

 

 

 

 

 

,

Ответ: .

Задача. В ,где , проведена высота . Вычислить , , , .

Решение

 

 

, так как

 

 

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с новым действием над векторами — скалярным умножением векторов.

Скалярным произведением двух векторов называют произведение длин данных векторов на косинус угла между ними.

Проанализировав эту формулу, мы заметили, что скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов сомножителей является нулевым. Ну, а скалярное произведение ненулевых векторов рано нулю, тогда и только тогда, когда данные векторы перпендикулярны.

Также, пользуясь знаниями об углах между сонаправленными и противоположно направленными векторами, мы выяснили, что скалярное произведение сонаправленных векторов равно произведению их длин, а скалярное произведение противоположно направленных векторов противоположно произведению их длин.

Введя понятия скалярного квадрата вектора, мы получили, что он равен квадрату длины данного вектора.

Знания о скалярном произведении векторов можно применять не только на уроках математики. Так же они широко используются в физике.

9. Скалярное произведение векторов

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в прямоугольной системе координат:

a ={ax , ay , az } и b ={bx ,by ,bz } .

Скалярным произведением векторов a и b называется число равное сумме произведений соответствующих координат:

a b = axbx + ayby + azbz .	(13)
Для обозначения скалярного произведения a b	используется также
выражение (a, b).

Теорема. Скалярное произведение векторов a и b равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

a b = a bcosθ .

Доказательство: Выберем такую прямоугольную систему координат, чтобы векторы a и b лежали в плоскости x,y, а вектор a был бы направлен вдоль положительного направления оси x.

В этой системе координат ax = a,		ay = az = 0 и		bx =bcos θ.

Следовательно, a b = axbx + ayby + azbz = abcosθ .

Бывает полезным представить эту теорему в несколько ином виде: a b = a Pr ojab = b Pr ojba

или

cosθ = aa bb .

Согласно последней формулировке косинус угла между векторами a

и b равен скалярному произведению единичных векторов aa и bb .

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если a b , то cosθ =cos π2 =0 , что приводит нас к следующему условию ортогональности векторов a ={ax , ay , az } и b ={bx ,by ,bz } :

16

Если

axbx + ayby + azbz = 0 ,

то a b .

2. Если b = a, то θ = 0 и cosθ =1. Тогда

a a = a2 = ax2 +a2y +az2 .

Следовательно, длина вектора a выражается формулой

a = ax2 +a2y +az2 .

Используя две различных формулы для скалярного произведения векторов, и зная координаты векторов, мы можем легко найти угол между ними:

	cosθ =	a b	=	axbx +ayby +azbz
		a b		ax2 +a2y	+az2 bx2 +by2 +bz2

Большинство приложений скалярного произведения связано именно с нахождением угла между векторами, а также с использованием условия ортогональности векторов.

9.1. Свойства скалярного произведения

Нижеприведенные свойства основаны на определении скалярного произведения или непосредственно вытекают из доказанной теоремы. Их доказательство не приводится в виду своей очевидности.

1) Скалярное произведение векторов коммутативно: a b = b a .

2) Скалярное произведение векторов дистрибутивно:

(a +b) c = a c +b c .

3) Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны друг другу и обратно, если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

a b a b =0 .

9.2. Примеры

Пример 1. Легко проверить, что векторы

i = {1, 0, 0}, j = {0, 1, 0} и k = {0, 0, 1}

образуют ортонормированный базис, т.е. являются единичными взаимно перпендикулярными векторами:

i i =1, j j =1, k k =1, i j = i k = j k =0 .

17

Пример 2. Если a = {2, –1, 3}, b = {5, 7, 4} и θ – угол между векторами a и b, то

a b = 2 5 +(−1) 7 +3 4 =15 ,

a =| a |= a a = 22 +(−1)2 +32 = 14 , b =| b |= b b = 52 +72 +42 = 80 = 4 5

и, следовательно,	a b		15			3
cosθ =		=		5	=		70 .
	| a | | b |		4 14			56

Пример 3. Найти угол между векторами a ={3, 2, −5} и b ={5, 7, 4}.

Решение. Так как

a b =3 1+4 3 +(−5) 3 =0 ,

то векторы являются ортогональными.

Пример 4. Выразить скалярное произведение векторов p и q через длины векторов a и b, если p = a + b и q = a – b.

Решение.

p q = (a +b) (a −b) = a 2 −a b +b a −b2 = a2 −b2 .

Пример 5. Зная две стороны AB и AC треугольника ABC и угол θ между этими сторонами, найти третью сторону треугольника.

→	→	→
Решение. Обозначим a = AB ,	b = AC и	c = CB .
Тогда
c = a −b
c2 = (a −b)2 = a2 +b2 −2a b

c2 = a2 + b2 − 2ab cosθ ,

что представляет собой известную из элементарной математики теорему косинусов. 5, a 1 6. Как насчет тебя? = (A, 5) = тогда cos (p = cos ~ = 0. ab- \ a \ -16 | • 0 = 0. Если a-5 = 0 и | a | φ0, \ b \ φ0, то cos (a, 5) = 0. Следовательно, tp = (a, b) = 90 °, т.е. a _L b. В частности: я •] -] — к = к-г = 0. ►

Пример: вершина A (-4; -4; 4), B (-3; 2; 2), C (2; 5; 1), £> (3; -2; Докажи диагонали) перпендикулярно друг другу. ♦ Построить векторы AC и BD по диагонали заданного четырехугольника. AS- (6; 9; -3) и BD = (6; -4; 0). Найти скалярное произведение этих векторов. AC • BD = 36-36 до 0 = 0. Результат AC -L BD.

Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны друг другу. Людмила Фирмаль

Презентация «Скалярное произведение векторов. Геометрия, 9 класс»

Материал опубликовала

Скалярное произведение векторов геометрия 9 класс Подготовила Акчурина О.О.

Угол между векторами α <( ) = α   Пусть векторы и не являются сонаправленными.  

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90◦. Если векторы и сонаправленные, или один или оба вектора нулевые, то угол между векторами и равен 0◦. <( ) = 0◦   Если векторы и противоположно направленные, то угол между векторами и равен 180◦. <( ) = 180◦  

Пример 60◦   <( ) = 60◦ ; <( ) = 150◦ ; <( ) = 90◦ ; <( ) = 0◦; <( ) = 180◦ ; <( ) = 90◦.  

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их длин на косинус угла между ними. α . = | | . | | . cosα  

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Действительно. Если , то <( ) = 90◦, cos 90◦ = 0 и тогда . = 0. Обратно. Если . = 0 и векторы и — ненулевые, тогда cosα = 0 и <( ) = 90◦, т.е. .

Произведение . называют скалярным квадратом и обозначают ². ² = ||²

Найдите скалярное произведение векторов и если: Примеры Найдите скалярное произведение векторов и если: || = 2, ||= 5, <( ) = 60◦; || = 4, ||= 7, <( ) = 150◦; || = 9, ||= 8, <( ) = 90◦;  

Для решения задачи воспользуемся формулой: Решение Для решения задачи воспользуемся формулой: . = | | . | | . cosα . = 2. 5 . = 5. . = 4 . 7 . cos150◦ = 28 . cos( 180◦ — 30◦)= =28 . cos 30◦= 28 . = 14. . = 9. 8 . cos90◦ = 72 . 0 = 0.  

Пусть в прямоугольной системе координат даны векторы {x1,y1} и {x2,y2} Теорема В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и выражается формулой . = x1. x2 + y1 . y2  

Следствия: Следствия: Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1. x2 + y1 . y2 = 0 Косинус угла α между векторами и выражается формулой cosα =  

Найти скалярное произведение векторов Примеры Найти скалярное произведение векторов и , если: {3;4}; {5;2}; {-8;4}; {3;6} Найти косинус угла α между векторами {-2;3} и {3;4}.  

Для решения задачи воспользуемся формулой . = x1. x2 + y1 . y2 Решение Для решения задачи воспользуемся формулой . = x1. x2 + y1 . y2 . = 3.5 + 4.2= 15+8 =23 . = -8.3 + 4.6 = -24 + 24 = 0. 2. cosα = = = .  

Свойства скалярного произведения Для любых векторов и любого числа k верны соотношения: ²≥0, причем ²>0 при ; ∙ = ∙ ; (+)∙ = ∙ + ∙ ; (k∙ )∙ = k∙ (∙ ).  

Угол между векторами и равен 30⁰, Пример Угол между векторами и равен 30⁰, ||=| = 1. Вычислить скалярное произведение ( — 2 )( + ).  

( — 2 )( + ) = ² — 2 + — 2² = Решение ( — 2 )( + ) = ² — 2 + — 2² = = ² — — 2² = ||² — |∙cos30⁰ — 2||² = = 1-1∙1∙ — 2∙1= — -1= -(+1)  

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Скалярное произведение векторов. Свойства. Векторное произведение векторов. Свойства. Смешанное произведение векторов. Свойства

Аннотация: В лекции рассматриваются линейные операции над векторами, и дается практическое использование этих операций при решении различных задач

Умножение

Различают несколько видов операции умножения.

1. Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора на скаляр получают новый вектор , длина (модуль) которого изменяется в раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора , если , или противоположно исходному вектору, если . В координатной форме, если a = (a_x;a_y;a_z), то b = a= . Следовательно, операция умножения вектора на скаляр не влияет на компланарность (коллинеарность) векторов. Поэтому если несколько векторов до умножения на скаляр были компланарны (коллинеарны), то после умножения компланарность (коллинеарность) между ними сохранится.

Заметим, что любой вектор может быть представлен как произведение единичного, коллинеарного ему вектора на модуль рассматриваемого вектора, т.е. ¹ Из последнего равенства следует, что . Операция умножения вектора на скаляр обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: , а также свойством дистрибутивности: .

2. Скалярное произведение векторов.

Определение 14. Скалярным произведением двух векторов и называется число S, равное . Эта операция обозначается или

В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора на направление единичного вектора . Следовательно, любой вектор можно представить как , где a_x,a_y,a_z — проекции вектора соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора по ортогональному базису. Из рис. 6.1 видно, что в этом случае вектор является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора численно будет равен .

Рис. 6.1.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

где , и есть скалярное произведение вектора с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем где , и — углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

Можно заметить, что скалярное произведение коммутативно и дистрибутивно, т.е. и . Можно убедиться самостоятельно в том, что всегда выполняется равенство

Замечание 1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда

Замечание 2. , где — единичные векторы (орты) осей координат ²

Замечание 3. .

Замечание 4. Скалярное произведение векторов в координатной форме

Замечание 5. Используя формулу скалярного произведения векторов и , можно найти выражение косинуса угла между этими векторами через их проекции на орты:

Если , то это значит, что угол между векторами больше 90 , т.е. тупой, а если , то угол острый.

Замечание 6. Механический смысл скалярного произведения векторов. Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS.

Скалярное и векторное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов (обозначают также или ) есть скаляр (число), равное

= , (4.8)

где – угол между векторами и (рис. 4.12).

Для острого угла между векторами и их скалярное произведение , а для тупого – . Если они взаимно перпендикулярны

( ), то . Для коллинеарных векторов и скалярное произведение = , где знак «+» для однонаправленных векторов, а знак «–» – для противоположно направленных. В частности = , что позволяет записать длину вектора в виде = (отсюда другое название длины вектора – «модуль вектора»).

Единичные базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат удовлетворяют соотношениям: , , , . Используя эти соотношения, не трудно получить, что если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их скалярное произведение

= . (4.9)

Из определения скалярного произведения (4.8) следует, что угол между векторами

. (4.10)

Свойства скалярного произведения:

= ; ;

; ;

.

 

Пример. Вычислить , если , .

Используя свойства скалярного произведения, имеем =

= .

 

Пример. Даны координаты вершин треугольника на плоскости: , , . Найти угол в треугольнике при вершине и длину стороны .

Проведем из вершины векторы в вершины и (рис. 4.13). Тогда угол при вершине будет равен углу между векторами и , а длина стороны равна длине вектора . Находим координаты векторов: , . Согласно формуле (.10) Длина стороны = = .

 

Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторов и есть третий вектор ,

1) модуль которого (т. е. равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ),

2) направление перпендикулярно к обоим векторам и (т. е. плоскости упомянутого параллелограмма),

3) направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте от к на угол, меньший (рис 4.14).

Из этого определения векторного произведения следует, что векторы , и образуют правую систему.

Если векторы и коллинеарны ( ), то =0.

Свойства векторного произведения:

; ; ;

; .

Базисные единичные векторы декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют следующим соотношениям:

; ; ; .

Если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их векторное произведение

. (4.11)

Смешанным (векторно – скалярным) произведением векторов называется произведение , результатом которого является скаляр (число). Для компланарных векторов их смешанное произведение . Если векторы , и образуют правую тройку, то , если – левую, то .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда , построенного на векторах , и (рис. 4.15), взятому со знаком «+», если векторы , и образуют правую тройку, и со знаком «–», если – левую:

. (4.12)

Если векторы , и заданы своими декартовыми координатами: , , , то их смешанное произведение

(4.13)

Пример. Даны координаты вершин треугольника: , , . Найти площадь .

Направим из вершины треугольника векторы в вершины и (рис. 4.16). Учитывая, что площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, площадь которого, в свою очередь, можно выразить через векторное произведение, будем иметь . Находим координаты векторов: , . По формуле (4.11) находим векторное произведение = .

Таким образом, (кв. ед.).

Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Искомый объем найдем по формуле (4.13). Вычисляем смешанное произведение данных векторов: =

. Объем параллелепипеда .

 

Узнать еще:

точечный продукт | Примеры предложений

dot product пока нет в Кембриджском словаре. Ты можешь помочь!

Используя уравнение (11), стратегический анализ теперь сводится к элементарным вычислениям с использованием продукта dot . Соответствие канала профилю пользователя определяется произведением точек двух векторов.Более того, характер этих формул « точка произведение » имеет, как будет показано ниже, особое значение. Численная оценка интегралов была выполнена простым произведением точек между выбранными спектрами. Проверьте знак точка произведение .«Энергетический» интеграл получается, если взять произведение из (4.3a) dot на комплексно сопряженное v ‘* из v’ и взять интеграл по объему. И наоборот, точка произведение включает умножение между соответствующими компонентами a и b. Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.Внутренний продукт является обобщением точек произведения векторов. Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA. точка произведение двух совпадающих векторов является произведением их величин.Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA. точка произведение двух из этих векторов равно 8, если оба имеют компонент 3 в одном месте, или -8 в противном случае.Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA. Можно использовать вектор , точку , , произведение , как матричное произведение строки и столбца скалярных компонентов.Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA. В некоторой старой литературе между двумя векторами, написанными бок о бок, подразумевается точка произведение .Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA. Матрица произведения формируется из произведения точек строк и столбцов его факторов посредством умножения матриц.Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA. Эти результаты эквивалентны уравнению, содержащему точка произведение . Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.Это можно переписать как точка произведение . Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA. С точки зрения функционального анализа, это можно представить как произведение точек двух нормализованных векторов.Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA. Это также известно как «скользящее точечное произведение » или «скользящее внутреннее произведение». Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.Причина появления dot product заключается в следующем. Из

Википедия

Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.

Эти примеры взяты из корпусов и из источников в Интернете. сообщение}}

Выберите часть речи и введите свое предложение в поле «Определение».

{{/сообщение}} Часть речи

Выберите существительное, глагол и т.

Определение

Представлять на рассмотрение Отмена

Точечное произведение двух векторов и приложений

Учебное пособие по вычислению и применению скалярного произведения двух векторов. Точечное произведение двух векторов Скалярное произведение двух векторов v = и u = обозначено v. ты, это v. и = . = v1 u1 + v2 u2 ЗАМЕТЬТЕ, что результатом скалярного произведения является скаляр . Пример 1. Векторы v и u задаются своими компонентами следующим образом v = <-2, 3> и u = <4, 6> Найдите скалярное произведение v. u двух векторов. Решение для примера 1: v.и = <-2, 3>. <4, 6> = (-2) * (4) + (3) * (6) = -8 + 18 = 10 Свойства точечного произведения 1. v. и = и. v 2. v. (и + ш) = v. и + v. ш 3. v. v = || v || 2 4. c (v. U) = cv. и = v. у.е. Пример 2: Найти || v || сначала используя определение || v || = √ (v1 2 + v1 2 ), а затем используя свойство 3 выше, где v = <3, - 4> Решение для примера 2: 1. определение: || v || = √ (v1 2 + v1 2 ) = √ ((3) 2 + (- 4) 2 ) = √ (9 + 16) = 5 2.Свойство 3: || v || 2 = v. v = <3, - 4>. <3, - 4> = (3) * (3) + (- 4) * (- 4) = 25 Извлеките квадратный корень, чтобы найти || v || = 5 Альтернативная форма скалярного произведения двух векторов На рисунке ниже векторы v и u имеют одинаковую начальную точку — начало координат O (0,0). Точки A и B являются конечными точками. t — угол между двумя векторами. Применяя закон косинуса к треугольнику OAB, получаем: d (A, B) 2 = || v || 2 + || u || 2 -2 || v || || u || Стоимость) Используйте определение расстояния, чтобы найти d (A, B), и определение величины, чтобы найти || v || и || u || и замените в приведенном выше (v1 — u1) 2 + (v2 — u2) 2 = (v1 2 + v2 2 ) + (u1 2 + u2 2 ) -2 || v |||| u || Стоимость) Разверните квадраты в левой части и упростите, чтобы получить v1 u1 + v2 u2 = || v || || u || Стоимость) Левая часть — это скалярное произведение векторов v и u, следовательно, v.u = || v || || u || Стоимость) Мы можем использовать указанное выше свойство скалярного произведения, чтобы найти угол t между двумя векторами. cos t = v. u / (|| v || || u ||) ЗАМЕТЬТЕ, что если cos t = 0 (t = Pi / 2), то скалярное произведение v. u = 0. Это приводит к: векторов v и u ортогональны тогда и только тогда, когда v. и = 0. Пример 3: Покажите, что векторы v = <3, - 4> и u = <4, 3> ортогональны Решение для примера 3: Найти скалярное произведение v. ты v. и = <3, - 4>.<4, 3> = (3) * (4) + (-4) * (3) = 0 в соответствии с вышеизложенным cos t = v. u / (|| v || || u ||) = 0 cos t = 0 означает, что t = Pi / 2 и два вектора ортогональны. Пример 4: Найдите угол между векторами v = <1, 1> и u = <- 4, 3>. Решение для примера 4: Найти скалярное произведение v. ты v. и = <1, 1>. <- 4, 3> = (1) * (- 4) + (1) * (3) = — 1 Найти || v || и || u || || v || = √ (1 2 + 1 2 ) = √ (2) || u || = √ ((- 4) 2 + 3 2 ) = √ (25) = 5 Теперь воспользуемся формулой cos t = v.u / (|| v || || u ||), чтобы найти cos t cos t = v. u / (|| v || || u ||) = — 1 / [√ (2) * 5] t = arccos (- 1 / [√ (2) * 5]) (приблизительно) = 98,1 o Упражнения 1. Данные векторы v = <10, - 5> и u = <2, u2>, Найдите u2 так, чтобы векторы v и u были ортогональными. 2. Найдите угол между векторами v и u, указанными ниже. v = <1, 1> и u = <-2, -2>, Ответы на упражнения выше 1.u2 = 4 2. 180 o Дополнительные ссылки и ссылки Векторные калькуляторы. векторов.

Точечный продукт | ScienceBits

$ \ def \ xh {\ hat {x}} $ $ \ def \ yh {\ hat {y}} $ $ \ def \ zh {\ hat {z}} $

При работе со скалярами у нас есть одно определение произведения между скалярами, одно дает другой скаляр. Однако, работая с векторами, мы можем представить себе несколько возможностей. Например, у нас может быть скалярное произведение между двумя векторами, которое дает скаляр, или векторное произведение , которое дает другой вектор, или даже произведение, которое дает другие математические объекты (для любопытных: называется внешним произведением и он дает матрицу, но мы не будем здесь это обсуждать!).В этом разделе нас будет интересовать скейлер.

Есть много возможностей, которые мы можем придумать, чтобы определить скалярное произведение между векторами. Однако из всех этих возможностей мы хотим получить определение, которое также будет полезно! То есть мы хотим иметь определение, которое удовлетворяло бы нескольким основным ограничениям, которым, как мы знаем, удовлетворяет скалярное произведение между скалярами (то есть нормальные правила умножения, которые мы знаем из начальной школы).

Прежде всего, мы хотим, чтобы продукт $ \ star $ был дистрибутивным , то есть чтобы $ {\ bf A} \ star ({\ bf B} + {\ bf C}) = {\ bf A} \ звезда {\ bf B} + {\ bf A} \ star {\ bf C} $.Пример определения, которое не удовлетворяет этому ограничению (и поэтому не очень полезно …):

$$ {\ bf A} \ star {\ bf B} = | {\ bf A} | | {\ bf B} |. $$

Чтобы увидеть, что $ {\ bf A} \ star ({\ bf B} + {\ bf C}) \ neq {\ bf A} \ star {\ bf B} + {\ bf A} \ star {\ bf C } $, мы можем рассмотреть случай $ {\ bf B} = — {\ bf C} $. В таком случае:

$$ {\ bf A} \ star ({\ bf B} + {\ bf C}) = 0 $$

$$ {\ bf A} \ star {\ bf B} + {\ bf A} \ star {\ bf C} = 2 | {\ bf A} | | {\ bf B} | $$

Таким образом, приведенное выше определение бесполезно.Однако есть определение, которое очень полезно. Это следующее.

Определение скалярного произведения (также известного как скалярное произведение) :

Скалярное произведение, также известное как скалярное произведение «$ \ cdot $» между двумя векторами $ {\ bf A} $ и $ {\ bf B} $, определяется как размер $ {\ bf A} $, умноженный на размер $ {\ bf B} $ и косинус угла $ \ theta $ между ними:

$$ {\ bf A} \ cdot {\ bf B} \ Equiv | {\ bf A} | | {\ bf B} | \ cos (\ theta). $$

Как мы увидим ниже, это определение удовлетворяет нескольким полезным ограничениям, о которых мы упомянем после того, как кратко остановимся на значении этого продукта.

Значение скалярного произведения :

Рисунки ниже показывают нам, что скалярное произведение между двумя векторами можно записать следующим образом:

$$ {\ bf A} \ cdot {\ bf B} \ Equiv | {\ bf A} | | {\ bf B} | \ cos (\ theta) = | {\ bf A} | (| {\ bf B} | \ cos (\ theta)) = | {\ bf B} | (| {\ bf A} | \ cos (\ theta)) $$

А именно, скалярное произведение — это размер $ {\ bf A} $, умноженный на размер проекции $ {\ bf B} $ на $ {\ bf A} $, или наоборот, это размер $ {\ bf B} $, умноженное на проекцию размера $ {\ bf A} $ на $ {\ bf B} $.

Важные характеристики скалярного произведения :

— Первое, что следует отметить в отношении определения, это то, что система координат не входит в определение.

— Второе замечание: поскольку $ \ cos (\ theta) = \ cos (- \ theta) $, порядок не важен, то есть скалярное произведение коммутативно:

$$ {\ bf A} \ cdot {\ bf B} = {\ bf B} \ cdot {\ bf A}. $$

— Скалярное произведение также является распределительным.Чтобы убедиться в этом, мы можем взглянуть на следующую диаграмму, которая демонстрирует, что проекция $ {\ bf A} + {\ bf B} $ на $ {\ bf {\ hat C}} $ равна сумме проекция $ {\ bf A} $ на $ {\ bf {\ hat C}} $ и проекция $ {\ bf B} $ на $ {\ bf \ hat {C}} $. Таким образом, $ ({\ bf A} + {\ bf B}) \ cdot {\ bf {\ hat C}} = ({\ bf A} \ cdot {\ bf {\ hat C}}) + ({\ bf B} \ cdot {\ bf {\ hat C}}) $. Если мы умножим каждый член на $ | {\ bf C} | $, мы обнаружим, что $ ({\ bf A} + {\ bf B}) \ cdot {\ bf {C}} = ({\ bf A } \ cdot {\ bf {C}}) + ({\ bf B} \ cdot {\ bf {C}}) $.2 $$

А именно, скалярное произведение вектора на себя дает его величину в квадрате.

Операция, противоположная скалярному произведению :

Используя скалярное произведение между скалярами, мы знаем, что противоположная операция — это деление. То есть, если $ a \ times b = c $, мы имеем, что $ a = c / b $. Однако, в отличие от скалярного эквивалента, деление вектора не имеет смысла. В качестве альтернативы, если мы знаем $ {\ bf B} $ и знаем $ {\ bf A} \ cdot {\ bf B} $, невозможно узнать $ {\ bf A} $, потому что их много (от бесконечности до точнее) возможностей для $ {\ bf A} $ — существует бесконечное множество векторов, которые имеют одинаковую проекцию.

Компоненты вектора в декартовой системе координат и направляющие косинусы :

Декартова система координат — это самая простая из возможных систем координат. Он определяется тремя фиксированными и взаимно ортогональными (т. Е. Перпендикулярными) направлениями. Часто они обозначаются как направления x, y и z.

Учитывая направления, мы можем определить единичные векторы в этих направлениях: $ {\ bf \ hat x} $, $ {\ bf \ hat y} $ и $ {\ bf \ hat z} $. Обратите внимание, что часто альтернативными обозначениями являются $ {\ bf \ hat i} $, $ {\ bf \ hat j} $ и $ {\ bf \ hat k} $.Оба обозначения эквивалентны.

Поскольку вышеупомянутые векторы являются единичными векторами, их длина равна 1:

$$ {\ bf \ hat x} \ cdot {\ bf \ hat x} = {\ bf \ hat y} \ cdot {\ bf \ hat y} = {\ bf \ hat z} \ cdot {\ bf \ hat z} = 1. $$

Поскольку векторы перпендикулярны друг другу, имеем:

$$ {\ bf \ hat x} \ cdot {\ bf \ hat y} = {\ bf \ hat y} \ cdot {\ bf \ hat z} = {\ bf \ hat z} \ cdot {\ bf \ hat x} = 0. $$

Более того, мы можем записать каждый вектор как:

$$ {\ bf A} = A_x \ xh + A_y \ yh + A_z \ zh $$.

Что означает каждый термин? Чтобы убедиться в этом, давайте посмотрим на следующее:

$$ ({\ bf A} \ cdot \ xh) = A_x (\ underbrace {\ xh \ cdot \ xh} _1) + A_y (\ underbrace {\ yh \ cdot \ xh} _ {0}) + A_x (\ подкладка {\ zh \ cdot \ xh} _0) = A_x. $$

Таким образом, $ A_x $ — это проекция $ {\ bf A} $ на ось x (т.е. направление $ \ xh $), умноженная на размер $ \ xh $, который равен единице.