При расчете моментов инерции тела относительно осей не проходящих: Варианты ответов: — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Варианты ответов:

1) 50 Н; 2) 0,5 н; 3) 30 н; 4) 5 н.

Решение.

Среднюю силу удара можно определить из второго закона Ньютона, записанного в общей форме = , где ∆=₂—₁ — изменение импульса тела, Δt – промежуток времени, за который это изменение произошло. Изменение импульса ∆ – это вектор, соединяющий конец вектора ₁ с концом вектора ₂ (см. рис. в решении).

Согласно этому рисунку, горизонтальная компонента изменения импульса равна: ∆р_x=3 кг∙м/с, а вертикальная компонента изменения импульса равна: ∆

р_y=4 кг∙м/с. Модуль изменения импульса вычисляется по теореме Пифагора: ∆р = =5 кг∙м/с .Тогда средняя сила удара по модулю равна: F = = 50 Н. Ответ: вариант 1.

Тест 1 – 14

Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится звезда массой М. Если — радиус-вектор планеты, то справедливым является утверждение…

Варианты ответов:

1) Момент силы тяготения, действующей на планету, относительно центра звезды, не равен нулю.

2)Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется.

3)Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражение: L = mvr.

Решение

Проанализируем правильность утверждений.

Модуль момента силы равен :M = F ·r·sin(α), где α – угол между силой и радиусом – вектором . Сила тяготения направлена в сторону, противоположную радиусу – вектору , т.е. α = 180˚ , sin (180˚) = 0 и M = 0. Поэтому первое утверждение является неверным.

Второе утверждение является правильным, т.к. оно соответствует закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется. Поэтому момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется.

3. Третье утверждение является неправильным, т.к. модуль момента импульса равен L = mv r· sin α, где α – угол между вектором импульса m и радиусом – вектором планеты . Очевидно, что этот угол, а также v в процессе движения изменяются, но mv

r· sin α = const.

Ответ: вариант 2. .

Тест 1 – 15

Диск радиуса R вращается вокруг вертикальной оси равноускоренно по часовой стрелке. Укажите направление вектора углового ускорения.

Варианты ответов:

1) Направление 1; 2) Направление 2;

3) Направление 3; 4) Направление 4.

Решение.

При вращении тела поворот можно изобразить в виде вектора, направленного вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Это значит, что если головка винта движется по окружности в направлении вращения, то поступательное движение винта укажет направление вектора поворота. В нашем случае при вращении тела по часовой стрелке винт (буравчик) будет закручиваться, и вектор угла поворота будет иметь направление 4. При ускоренном вращении направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора поворота. Следовательно, вектор углового ускорения надо изобразить в направлении 4.

Ответ: вариант 4.

Тест 1 – 16

Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени (t) приведена на рисунке. Тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения равно…

Варианты ответов:

1) 0,5 м/с; 2) -0,5 м/с²; 3) 5 м/с²; 4) -5 м/с².

Решение.

Тангенциальное ускорение по модулю равно произведению углового ускорения на радиус: a_τ

= ε∙R. По условию задачи радиус R = 1 м. Угловое ускорение при равномерном вращении равно отношению изменения угловой скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло: ε = Δω/ Δt, где Δω = ω₂ – ω₁, Δt = t₂ – t₁. Взяв две точки на графике, найдём Δω и Δt. Пусть t₁ = 0, ω₁ = — 10 рад/с и t₂ = 2 с, ω₂ = — 20рад/с. Тогда Δω -20–(-10) = — 10 рад/с, Δt =2 – 0 =2с, ε = ( — 10 ) / 2 = -5рад/с². Следовательно, тангенциальное ускорение точки равно: a_τ = (- 5)∙1 = -5 м/с². Ответ: вариант 4.

Тест 1 — 17

Диск и цилиндр имеют одинаковые массы и радиусы (рис.). Для их моментов инерции справедливо соотношение…

Варианты ответов: 1) I_Ц> I_Д ; 2) I_Ц= I_Д ; 3) I_Ц

< I_Д .

Решение.

Моменты инерции сплошного цилиндра и диска вычисляются по одинаковой формуле: I = mR²/2 . Эта формула показывает, что момент инерции не зависит от длины цилиндра. Следовательно, I_Ц= I_Д .

Ответ: вариант 2.

Тест 1 – 18

Если момент инерции тела увеличить в 2 раза, а скорость его вращения уменьшить в 2 раза, то момент импульса тела…

Варианты ответов: 1) увеличится в 4 раза; 2) уменьшится в 4 раза;

3) уменьшится в 2 раза; 4) не изменится.

Решение.

Момент импульса тела численно равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость:

L= I·ω. Поэтому, если один сомножитель увеличить в 2 раза, а другой уменьшить в 2 раза, то результат не изменится.

Ответ: вариант 4.

Тест 1 –19

При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения тонкостенной трубки перенести из центра масс на образующую (рис.), то момент инерции относительно новой оси увеличится в….

Варианты ответов: 1) 4 раза; 2) 2 раза;

3) 3 раза; 4) 1.5 раза.

Решение.

По теореме Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси I равен моменту инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс I₀, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния d между осями: I = I₀+ m·d². Момент инерции тонкостенной трубки относительно оси симметрии вычисляется так же, как момент инерции обруча: I₀ = mR², расстояние между осями, как следует из рисунка, равно d = R. Тогда по теореме Штейнера:

I = mR² + mR² = 2mR² = 2I₀. Отсюда следует, что момент инерции увеличится в 2 раза: I/I₀=2.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 –20

Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали пополам вдоль оси симметрии. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси OO’. Для моментов инерции относительно оси OO’ справедливо соотношение …

Варианты ответов:

1) I₁= I₂> I₃; 2) I₁ < I₂ = I₃; 3) I₁= I₂<I₃; 4) не хватает данных.

Решение.

Моментом инерции твёрдого тела называется сумма призведений масс материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения. Исходя из этого определения, сравним моменты инерции неразрезанной и разрезанных деталей.

Если тело разрезать поперек оси вращения и отодвинуть части друг относительно друга на некоторое расстояние, то при таком расположении частей тела расстояния материальных до оси вращения не изменяются. Поэтому момент инерции тела останется прежним, т. е. I₁= I₂.

Если расположить разделенные части тела симметрично относительно оси ОО′ на такое же расстояние, как при поперечном разрезе, показанном на рисунке, то расстояния материальных точек относительно оси вращения для третьей детали уменьшится по сравнению со второй. Поэтому момент инерции I₃< I₂. Следовательно, справедливо соотношение I₁= I₂>I₃ .

Ответ: вариант 1.

Тест 1 –21

Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω₁ свободно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии R ₁ от оси вращения. Отпустив нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом R₂= 2R₁ с угловой скоростью …

Варианты ответов:

ω₂= ω₁/2; 2) ω₂= ω₁/4; 3) ω₂= 4ω₁; 4) ω₂= 2ω₁.

Решение.

Задача решается по закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется. Данную систему можно рассматривать как замкнутую, так как момент силы, перемещающей шайбу вдоль стержня, относительно оси вращения равен нулю. Поэтому момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L₁ = L₂. Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции тела на угловую скорость: L = I ω, поэтому по закону сохранения момента импульса получим: I₁ ω₁= I₂ ω₂ . Шайбу можно рассматривать как материальную точку, момент инерции которой равен произведению массы на квадрат её расстояния до оси вращения: I = m∙R².Тогда получим:

mR₁²ω₁ = mR₂²ω₂. Отсюда: ω₂=R₁²ω₁/R₂²= ω₁·(R₁/ R₂)² . Так как по условию задачи R₂ = 2R₁, то ω₂ = ω₁ /4.

Ответ: вариант 2.

Тест 1 — 22

В потенциальном поле сила пропорциональна градиенту потенциальной энергии W_P. Если график зависимости потенциальной энергии W_P от координаты х имеет вид, представленный на рисунке, то зависимость проекции силы F_x на ось x будет…

Варианты ответов:

механика — Стр 2

Варианты ответов:

1)максимален в точке С;

2)во всех точках одинаков;●

3)максимален в точках B и D;

4)максимален в точках А и Е

Задание 15

Вес тела массой m в лифте, поднимающемся вверх с ускорением a > 0 равен…

Варианты ответов:

1)P=ma; 2)P=mg; 3)●P=m(g+a); 4)P=m(g — a)

Задание 16

Человек входит в лифт, который затем начинает двигаться равномерно вверх, при этом…

Варианты ответов:

1)вес человека будет зависеть от скорости движения лифта;

2)вес человека не изменится;●

3)вес человека уменьшится;

4)вес увеличится

Задание 17

Лифт движется вниз с ускорением a>g, при этом …

Варианты ответов:

1)тело будет находиться в невесомости;

2)с телом ничего не произойдет;

3)тело прижмется к полу лифта;

4)тело прижмется к потолку лифта●

Задание 18

Скорость грузового лифта изменяется в соответствии с графиком, представленном на рисунке.

Сила давления груза на пол совпадает по направлению с силой тяжести в промежутке времени…

Варианты ответов:

1)от t2 до t3;

2)от 0 до t1;

3)от t1 до t2;

4)от 0 до t3●

Задание 19

Материальная точка начинает двигаться под действием силы Fx, график временной зависимости которой представлен на рисунке.

Правильно отражает зависимость величины проекции импульса материальной точки p x от времени график…

Варианты ответов:

Динамика вращательного движения

Задание 1

При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения тонкого кольца перенести из центра масс на край (рис.), то момент инерции относительно новой оси увеличится в …

Варианты ответов:
1) 4 раза;	2) 1,5 раза;	3) ●2 раза;	4) 3 раза

Задание 2

Момент инерции тонкого стержня длиной l относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр, равен I = ml2. Как изменится момент инерции, если ось вращения

перенести параллельно на один из его концов?

Варианты ответов:

1)увеличится в 2 раза;

2)увеличится в 3 раза;

3)увеличится в 12 раз;

4)увеличится в 4 раза;●

5)увеличится в 6 раз

Задание 3

Момент инерции тонкого обруча массой m, радиусом R относительно оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно плоскости, в которой лежит обруч, равен I = mR2. Если ось вращения перенести параллельно в точку на обруче, то момент инерции обруча…

Варианты ответов:

1)увеличится в 1,5 раза;

2)не изменится;

3)уменьшится в 2 раза;

4)уменьшится в 1,5 раза;

5)увеличится в 2 раза●

Задание 4

Четыре маленьких шарика одинаковой массы, жестко закрепленные невесомыми стержнями, образуют квадрат. Отношение моментов инерции системы J1/J2, если ось вращения совпадает со стороной квадрата J1 или с его диагональю J2, равно…

Варианты ответов:
1)	2;●	3) ¼;
2)	½;	4) 4

Задание 5

Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали на четыре одинаковые части. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние

и расставили симметрично относительно оси OO’.

Для моментов инерции относительно оси OO’ справедливо соотношение…

Варианты ответов

1)	I1	I2	I3 ;
2)	I1	I2	I3	;
3)	I1	I2	I3	;
4)	I1	I2	I3	●

Задание 6

Из жести вырезали 3 одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали на 4 одинаковые части. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси ОО (см рис.). Для моментов инерции относительно

оси ОО´ справедливо соотношение …

Варианты ответов:

1)I1 < I2 = I3;

2)I1 < I2 < I3;●

3)I1 = I2 = I3;

4)I1 > I2 > I3

Задание 7

Тонкостенная трубка и кольцо имеют одинаковые массы и радиусы (рис.). Для их моментов инерции справедливо соотношение…

Варианты ответов:
1)●	;	2)	;	3)

Задание 8

Варианты ответов:

1)2 раза;●

2)1,5 раза;

3)3 раза;

4)4 раза

Задание 9

Абсолютно твердое тело вращается с угловым ускорением, изменяющимся по закону β=β0–αt, где α – некоторая положительная константа. Момент инерции тела остается постоянным в течение всего времени вращения. Зависимость от времени момента сил, действующих на тело, определяется графиком …

Варианты ответов:

1)● 2)3) 4) 5)

Задание 10

Если момент инерции тела увеличить в 2 раза и скорость его вращения увеличить в 2 раза, то момент импульса тела…

Варианты ответов:

1)увеличится в 2 раз;

2)не изменится;

3)увеличится в 8 раз;

4)увеличится в 4 раза●

Задание 11

Три маленьких шарика расположены в вершинах правильного треугольника. Момент инерции этой системы относительно оси О1, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его центр — I1. Момент инерции этой же системы относительно оси О2, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через один из шариков – I2. Справедливо утверждение…

at 2 .

Варианты ответов:

1)I1 = I2 ;

2)I1 > I2 ;

3)I1 < I2●

Задание 12

Направления векторов момента импульса и момента сил для равноускоренного вращения твердого тела правильно показаны на рисунке…

Варианты ответов:

1)	2;
2)	4;
3)	5;
4)	1;●
5)	3

Задание 13

Момент импульса тела изменяется со временем по закону L(t) = t2 — 6t + 8. Момент действующих на тело сил станет равен нулю через …

Варианты ответов:

1)2 с;

2)1 с;

3)3 с;●

4)4 с

Задание 14

Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону L Укажите график, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело.

М М М М

	t		t	t	t
	1		2	3	4
Варианты ответов:
1)● 1;	2) 2;	3) 3;	4) 4

Задание 15

Момент импульса вращающегося тела изменяется по закону L = λt – αt2, где α и λ – некоторые положительные константы. Зависимость от времени момента сил, действующих на тело, определяется графиком …

Варианты ответов:

4)	5)
	Задание	16
	Момент импульса относительно неподвижной оси изменяется по закону		L(t)	—	1	t	3	4t	,
			L(t)	—		t		4t

при этом зависимость момента сил от времени описывается графиком…

Варианты ответов:

1)●

; 2)

; 3)

; 4)

; 5)

Задание 17

Диск начинает вращаться под действием момента сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке.

Укажите график, правильно отражающий зависимость момента импульса диска от времени.

Варианты ответов:

Задание 18

Физический маятник совершает колебания вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Для данного положения маятника момент силы тяжести направлен…

Варианты ответов:

1)вверх в плоскости рисунка;

2)вниз в плоскости рисунка;

3)к нам перпендикулярно плоскости рисунка;

4)от нас перпендикулярно плоскости рисунка●

Работа и энергия

Задание 1

Изменение силы тяги на различных участках пути представлено на графике. Работа максимальна на участке…

Варианты ответов:

1)3-4;

2)1-2;

3)4-5;

4)0-1;●

5)2-3

Задание 2

Зависимость перемещения тела массой 4 кг от времени представлена на рисунке. Кинетическая энергия тела в момент времени t = 3с равна…

Варианты ответов:

1)50Дж;●

2)20Дж;

3)40Дж;

4)25Дж;

5)15Дж

Задание 3

Соотношение работ силы тяжести при движении тела из точки B в точку C по разным траекториям имеет вид…

Варианты ответов:

1)A1 = A2 = A3 = 0;

2)A1 < A2 < A3;

3)A1 = A3 > A2;

4)A1 > A2 > A3;

5)A1 = A2 = A3 ≠ 0●

Задание 4

Небольшая шайба начала движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты x изображена на графике U(x).

На участке AF сила тяжести совершила работу…

Варианты ответов:

1)в 1,4 раза больше, чем на участке AD;

2)в 1,6 раза больше, чем на участке AC;

3)в 5 раз больше, чем на участке AC;●

4)в 1,2 раза больше, чем на участке AE

Задание 5

Шарик, прикрепленный к пружине и насаженный на горизонтальную направляющую, совершает гармонические колебания. На графике представлена зависимость проекции силы упругости пружины на положительное направление оси X от координаты шарика. Работа силы упругости на этапе О – А – В равна…

Варианты ответов:

1)8 · 10-2 Дж;

2)-4 · 10-2 Дж;●

3)0 Дж;

4)4 · 10-2 Дж

Задание 6

Два тела двигались к стенке с одинаковыми скоростями и при ударе остановились. Первое тело катилось, второе скользило. Если при ударе выделилось одинаковое количество тепла, то больше масса тела…

Варианты ответов:

1)первого;

2)одинаковы;

3)второго●

Задание 7

Постоянная сила 2 Н, приложенная по касательной к твердому шару радиусом 2 см, заставила шар совершить один полный оборот вокруг своей оси. Работа этой силы равна …

Варианты ответов:

1)14,4 Дж; 2)40 мДж; 3)7,2 Дж; 4)●0,25 Дж; 5)100 Дж

Задание 8

Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на расстоянии r1 друг от друга. Стержень может вращаться без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине между шариками. Стержень раскрутили из состояния покоя до угловой скорости ω, при этом была совершена работа A1. Шарики раздвинули симметрично на расстояние r2 = 3r1 и раскрутили до той же угловой скорости.

При этом была совершена работа…

Варианты ответов:

1)		; 2)		; 3)●	; 4)

Задание 9

Два маленьких массивных шарика закреплены на концах невесомого стержня длины d. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень раскрутили до угловой скорости ω1. Под действием трения стержень остановился, при это выделилось тепло Q1. Если стержень раскручен до угловой скорости ω2 = 3ω1, то при остановке стержня выделится тепло…

Варианты ответов:

1)Q2 = Q1;

2)Q2 = Q1;

3)Q2 = Q1;●

4)Q2 = Q1

Задание 10

Для того, чтобы раскрутить диск радиуса R1 вокруг своей оси до угловой скорости ω, необходимо совершить работу А1. Под прессом диск становится тоньше, но радиус его возрастает до R2 = 2R1. Для того, что бы раскрутить его до той же угловой скорости необходимо совершить работу…

Варианты ответов:

1)А2 =А1;

2)А2 = А1;

3)А2 = 4А1;●

4)А2 = А1

Задание 11

Обруч массой m=0,3кг и радиусом R=0,5м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного движения 1200Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола. Если обруч начал двигаться без проскальзывания, имея кинетическую энергию поступательного движения 200Дж, то сила трения совершила работу, равную…

Варианты ответов:

1)600 Дж;

2)1000 Дж;

3)800 Дж;●

4)1400 Дж

Задание 12

Тело массой m начинает двигаться под действием силы . Если зависимость

скорости тела от времени имеет вид , то мощность, развиваемая силой в момент

времени , равна…

Варианты ответов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ●

Задание 13

В потенциальном поле сила F пропорциональна градиенту потенциальной энергии W p . Если график зависимости потенциальной энергии W p от координаты х имеет вид:

В. Тестовые задания

1. Если момент инерции тела увеличить в 2 раза и скорость его вращения увеличить в 2 раза, то, как при этом изменится момент импульса тела.

2. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса (рис. 118). Две детали разрезали на четыре одинаковые части. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси . Для моментов инерции справедливо соотношение…

А. ; B. ; C. ; D.

Рисунок 118 – Детали, вырезанные из жести

3. Тонкостенная трубка и кольцо имеют одинаковые массы и радиусы (рис. 119). Для их моментов инерции справедливо соотношение…

А. ; B. ; C. .

Рисунок 119 – Тонкостенная трубка и кольцо

4. При расчёте моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения тонкостенной трубки перенести из центра масс на образующую (рис. 120), то момент инерции относительно новой оси увеличится в…

А. 3 раза; B. 2 раза; C. 4 раза; D. 1,5 раза

Рисунок 120 – Тонкостенная трубка

5. Абсолютно твёрдое тело вращается с угловым ускорением, изменяющимся по закону , где — некоторая положительная константа. Момент инерции тела остаётся постоянным в течение всего времени вращения. Зависимость момента сил, действующих на тело от времени (рис. 121), определяется графиком…

А. В.

C. D.

Рисунок 121 – Графики зависимости

6. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону . Зависимость момента сил, действующих на тело от времени (рис. 121), определяется графиком…

7. Алюминиевый и стальной цилиндры имеют одинаковую высоту и равные массы. На цилиндры действуют одинаковые по величине силы, направленные по касательной к боковой поверхности. Относительно моментов сил, действующих на цилиндры, справедливо следующее суждение:

A.на алюминиевый цилиндр действует больший момент сил, чем на стальной цилиндр;

B.на стальной цилиндр действует больший момент сил, чем на алюминиевый цилиндр;

C.моменты сил, действующие на цилиндры, одинаковы;

D.моменты сил, действующие на цилиндры равны нулю.

8. Шар, цилиндр (сплошной) и тонкостенный цилиндр с равными массами и радиусами раскрутили каждый вокруг своей оси до одной и той же угловой скорости и приложили одинаковый тормозящий момент. Раньше других тел остановится…

А. цилиндр; В. цилиндр с шаром; С. шар; D.тонкостенный цилиндр.

9. Шар радиуса и массы вращается с угловой скоростью . Работа, необходимая для увеличения скорости его вращения в 2 раза, равна…

А. ; В. ; С. ; D.

10. На барабан, радиусом м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой кг. Груз опускается с ускорением м/с². Момент инерции барабана…

А.10 кг · м²; В. 2,5 кг · м²; С. 12,5 кг · м²; D. 15 кг · м².

С. Задачи

1. Через блок в виде диска, имеющий массу 80 г, перекинута тонкая, гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами 100 г и 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трение пренебречь.

2. Маховик в виде диска массой 50 кг и радиусом 20 см был раскручен до частоты 480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился. Найти момент сил трения, считая его постоянным, принимая, что: а) маховик остановился через 50 с; б) маховик до полной остановки сделал 200 об.

3. Платформа в виде диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдёт на край платформы?

4. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота обращения 0,5 об/с. Момент инерции тела человека относительно оси вращения 1,6 кг∙м². В вытянутых в стороны руках человек держит две гири массой 2 кг каждая. Расстояние между гирями 1,6 м. Сколько оборотов в секунду будет делать скамейка с человеком, если он опустит руки и расстояние между гирями станет равным 0,4 м? Моментом инерции скамейки пренебречь.

5. Найти момент инерции тонкого однородного кольца радиусом 20 см и массой 100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

6. Диаметр диска 20 см, масса 800 г. Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно к плоскости диска.

7. Определить момент инерции тонкого стержня длиной 30 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: а) его конец; б) его середину; в) точку, отстоящую от конца стержня на одну треть его длины.

8. Обруч массой и радиусом вращается вокруг оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно к плоскости обруча. Чему равен его момент инерции?

9. Определить момент инерции стержня массой и длиной относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню на расстоянии от его конца.

10. К диску массой 20 кг и радиусом 0,3 м, вращающемуся вокруг неподвижной оси, приложен вращающий момент 4 H×м. Определить угловое ускорение диска.

11. .Найти угловое ускорение диска массой 5 кг и радиусом 0,1 м, если момент силы, действующей на диск, равен 5 Н×м.

12. Маховое колесо, находясь в состоянии покоя, начало вращаться равноускоренно и через 3 сприобрело угловую скорость 9,42 рад/с. Определить величину вращающего момента, если момент инерции маховика относительно его оси вращения равен 245 кг×м².

13. Маховик вращался с частотой 10 об/с. После выключения мотора он остановился, сделав 50 полных оборотов. Определить момент силы торможения, если момент инерции маховика 1 кг×м².

14. Обруч и сплошной цилиндр имеют одинаковую массу в 2 кги катятся с одинаковой скоростью 5 м/с. Найти кинетические энергии этих тел.

15. Сплошной цилиндр скатывается с наклонной плоскости высотой 15 см. Какую скорость поступательного движения будет иметь цилиндр в конце наклонной плоскости?

16. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием момента сил торможения маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 54 оборота, остановился. Определить момент сил торможения.

Узнать еще:

Тема 3. Динамика вращательного движения

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 28Следующая ⇒

Динамика вращения

1) момент силы–векторное произведение радиус-вектора, проведенного от оси к точке приложения силы и силы , модуль момента силы равен , где a — угол между направлением rиF. – плечо силы– расстояние от оси до направления действия силы (из оси опускается перпендикуляр на направление действия силы).

Тогда момент силы — произведение силы на плечо . М – это псевдовектор, направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правой руки – четыре пальца вращаются в направлении действия силы – большой укажет направление момента силы.

2) момент импульса – произведение момента инерции на угловую скорость вращения , псевдовектор направлен вдоль оси вращения (правая рука вращается по направлению вращения тел.

3) момент инерции – определяется распределением массы тела относительно оси вращения:

a) материальной точки

b)момент инерции тонкостенного цилиндра или кольца относительно геометрической оси

c) момент инерции сплошного однородного цилиндра или диска относительно геометрической оси

d) момент инерции однородного шара относительно оси проходящей через его центр m .

e) теорема Штейнера – момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстоянияот центра масс до оси вращения: .

4) Основное уравнение динамики вращательного движения:

Первая формулировка -момент вращающей силы относительно оси вращения равен произведению углового ускорения и момента инерции тела относительно этой оси: .

Вторая формулировка – момент вращающей силы равен первой производной момента импульса тела по времени: .

Пример 3.1. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону . Укажите график, зависимости от времени момента сил, действующих на тело.

Решение: Согласно основному уравнению динамики вращения .

L	M	график
L=ct³	M=3ct²
L=ct^3/2	M=(3/2)ct
L=ct	M=c

Пример 3.2.Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью. Зависимость момента импульса диска от времени представлена на рисунке линией:

Решение: момент импульса L=Iw=const линия (Е).

Пример 3.3. Момент импульса вращающегося тела изменяется по закону L=at, где a — некоторая положительная константа. Момент инерции тела постоянный. При этом угловое ускорение тела зависит от времени согласно графику…

Решение: угловое ускорение найдем из основного уравнения вращения ) : .

Момент силы — . В нашем примере производная равна М = a постоянная величина. Момент инерции и момент силы постоянны – значит ускорение тоже постоянно. В таблице приведены примеры разных моментов импульсов:

Момент импульса	Момент силы	Угловое ускорение	График b(t)
L=at	М = a	b=a/I
L=at²	М = 2at	b=2at/I
L=at³	М = 3at²	b=3at²/I

Пример 3.4.Человек сидит в центре вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси карусели и держит в руках длинный шест за его середину. Если он повернет шест из горизонтального положения в вертикальное, то частота вращения в конечном состоянии:

£ не изменится £ уменьшится R увеличится

Решение: по закону сохранения момента импульса L=wI=const, изменение частоты вращения (w) произойдет при изменении момента инерции человека с шестом (I). Если шест развернуть из горизонтального положения ввертикальное (т.е. расположить его вдоль оси вращения), его момент инерции обратиться в ноль, момент инерции человека с шестом уменьшится, при этом частота вращения должна увеличиться для сохранения момента импульса.

Пример 3.5.При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения тонкого кольца перенести из центра масс на край, то момент инерции относительно новой оси увеличится в … раза.

£ 4 £ 1,5 R 2 £ 3

Решение: момент инерции тонкостенного цилиндра или кольца относительно геометрической оси, равен: . Для расчета момента инерции относительно параллельной оси применим теорему Штейнера . Ответ: . Пример 3.6. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали пополам вдоль разных осей симметрии. Затем все части отодвинули друг от друга на разное расстояние и расставили симметрично относительно оси ОО’. Для моментов инерции относительно этой оси справедливо соотношение…

£I₁<I₂<I₃£I₁>I₂>I₃RI₁= I₂<I₃£I₁<I₂= I₃

Решение: момент инерции тела определяется распределением массы этого тела относительно оси вращения. На первом и втором рисунке части эллипса расположены одинаково относительно оси ОО’, значит, их моменты инерции одинаковы. На третьем рисунке части эллипса дальше от оси вращения – момент инерции больше.

Пример 3.7.Четыре шарика расположены вдоль прямойа. Расстояния между соседними шариками одинаковы. Массы шариков слева направо, в граммах: 1, 2 , 3 , 4.Если поменять местами шарики 1 и 3, то момент инерции этой системы относительно осиО, перпендикулярной прямой а и проходящей через середину системы …

R увеличится £ уменьшится £ не изменится

Решение: момент инерции материальной точки — , системы точек – сумма моментов инерции точек. Пусть расстояние между шариками 2cм, тогда: r₁=3cм, r₂=1cм, r₃=1cм, r₄=3 cм.

Моментыинерции: I₁= 1×3²=9, I₂= 2, I₃= 3, I₄= 36.

Момент инерции системы: I = 9+2+3+36=50 г×см².

Если поменять местами 1 и 3 шарики, то I= 27+2+1+36 = 66 г×см². Момент инерции системы увеличился. Можно было ответить на вопрос задачи без расчета: третий – тяжелый шарик переносится дальше от оси вращения, значит, момент инерции увеличится.

Пример 3.8. К точке, лежащей на внешней поверхности диска, приложены 4 силы (рис. а). Если ось вращения проходит через центр О диска перпендикулярно плоскости рисунка, то плечо силы F₁ равно… Rb £ ноль £c £a

Решение: плечо силы – это расстояние от оси до направления действия силы, т.е. плечо совпадает с перпендикуляром проведенным от оси до направление действия силы. Продлим направление действия силы F₁ (см. рис. б). Опустим на это направление из точки О перпендикуляр – получим отрезок (ОА) – это и есть плечо силы F₁, оно совпадает с отрезком (b).Для других сил l₂ = 0; l₃ = a; l₄ = c.

Пример 3.9. Физический маятник совершает колебания вокруг оси, проходящей через т. О перпендикулярно плоскости рисунка. Для

R от нас перпендикулярно плоскости рисунка

£ вверх в плоскости рисунка

£ к нам перпендикулярно плоскости рисунка

£ вниз в плоскости рисунка

Решение: под действие силы тяжести маятник движется влево. Расположим большой палец правой руки вдоль оси вращения так, чтобы четыре пальца двигались в направлении движения маятника, получим направление большого пальца от нас перпендикулярно плоскости рисунка – это и есть направление момента силы тяжести.

Пример 3.10. Диск может вращаться вокруг оси перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. В точке А прикладывают одну из сил, лежащих в плоскости диска. Верным для моментов этих сил относительно рассматриваемой оси является соотношение …

£ М₁= М₂= М₃, М₄ = 0

RМ₁> М₂> М₃, М₄ = 0

£ М₁< М₂< М₃< М₄

£М₂> М₁> М₃, М₄ = 0

Решение: момент силы — . Угол междуF₄и ra₄=0, sina₄=0 — М₄ = 0. Для других сил , значит .

Пример 3.11. Диск радиусом 1 м, способный свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, отклонили от вертикали на угол 90⁰ и отпустили. В начальный момент времени угловое ускорение диска равно (с^-2): R7 £10 £5 £20

Решение: согласно основному закону динамики вращения твердого тела . Сила тяжести приложена к центру диска и направлена вертикально вниз, ее момент равен , где R – радиус диска и плечо силы. Момент инерции диска определим по теореме Штейнера:

, тогда

Момент инерции твёрдого тела — КиберПедия

Для описания вращательного движения тела существенно значение его момента инерции. По определению момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частиц:

где — масса -й частицы тела, — ее расстояние от заданного центра или оси.

Предположим, что масса выделенной частицы тела , расстояние от нее до начала координат (т. о) , а координаты, соответственно, (рис. 58).

Момент инерции относительно т. О по определению равен (250)

(рис. 58)

а относительно координатных осей:

(251) (252) (253)

Сравнивая (230), (231), (232) и (233), получим связь момента инерции тела относительно начала координат с моментами инерции относительно координатных осей:

(254)

Если одним из размеров тела можно пренебречь по сравнению с двумя другими (плоское тело), эта связь запишется в виде

(продолжение 1) 31. Момент инерции твёрдого тела. Теорема Штейнера. Моменты инерции тел простой формы

Теорема Штейнера

Расчет моментов инерции тела даже правильной формы, если ось не проходит через центр масс тела, затруднен. В этом случае удобно пользоваться теоремой Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси , параллельной заданной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Для доказательства через центр масс тела (т. С) проведем ось , параллельную заданной оси (рис. 61). Расстояние между осями равно . Выберем частицу тела массы , настояние от нее до осей и указаны на рисунке.

Момент инерции тела относительно по определению: (262)

Из геом-ких соображений :

Первое слагаемое в правой части дает момент инерции тела относительно :

(263)

Поскольку a=const, второе слагаемое принимает вид (Ma²), где М — масса тела.

В последнем слагаемом:

следовательно, по определению центра масс:

последнее слагаемое обращается в нуль, поэтому:

(продолжение 2) 31. Моменты инерции тел простой формы

Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящий через его центр масс.

Если стержень имеет массу и длину , а ось проходит через центр масс стержня (рис. 59), то координаты левого и правого концов стержня равны — и . Выделим в стержне на расстоянии от оси малый его участок длины . Его момент инерции относительно равен: (256)

Интегрируя (236), получим: (257)

Момент инерции тонкой пластины прямоугольной формы относительно одной из её сторон.

Размеры тонкой пластины массы приведены на рис. 60, выделим в пластине на расстоянии от оси узкий слой ширины и запишем его момент инерции:

(258)

Интегрируя (258), получаем:

(259)

Момент инерции однородного шара относительно его центра.

Пусть масса шара равна , а радиус . Выделим в шаре тонкий сферический слой радиуса , толщины , момент инерции которого относительно центра шара равен

(260), где:

Интегрируя (260), получим искомый результат:

32.Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов движения.

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

(264)

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

(265)

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

В любой момент времени плоское движение можно представить, как вращение вокруг мгновенного центра вращения, пусть О -мгновенный центр вращения, а т. С — центр с масс тела. Тогда: (266)

где: и — моменты инерции тела относительно осей, проходящих через центр масс и мгновенный центр вращения, — расстояние между осями, . — скорость центра масс поступательной части движения), (омега) — угловая скорость вращения вокруг оси, проходящей через центр масс.

Вращательное движение

СВОБОДНЫЕ ОСИ ВРАЩЕНИЯ

Момент импульса тела в произвольном случае его вращения не совпадает по направлению с вектором угловой скорости вращения. Тем не менее, существует такие оси, при вращении вокруг которых момент импульса и угловая скорость по направлению совпадают. Такие оси называются главными осями инерции (свободными осями вращения). Таких осей в каждом теле три, все они взаимноперпендикулярны и проходят через центр масс тела, поэтому их удобно принимать в качестве системы отсчета для каждой из этих осей , , .

В случае произвольного по форме тела легко показать, что и (омега) не совпадает по направлению (рис. 62).

Кинетическая энергия тела при таком вращении может быть представлена суммой энергий вращения вокруг трех главных осей:

или:

Напр-е векторов и можно указать заданием направляющих косинусов, например:

(продолжение) 32. Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов движения.

очевидно, что направления и совпадают в том случае, если: (267)

Твердое тело, отвечающее условию (267), называется шаровым волчком. Твердое тело, у которого , называется симметричным волчком с осью симметрии .

Твердое тело, у которого все три главных момента инерции различны, называет несимметричным волчком .

СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Свободным называют такое вращение тела, при котором сумма моментов внешних сил, приложенных к телу, равна нулю:

Отсюда следует, что при свободном вращениии .

Рассмотрим свободное вращение симметричного волчка с осью симметрии .Кинетическая энергия для него равна:

В этом выражении первое слагаемое постоянно, следовательно, постоянно и второе, т.е.:

(268)

Учитывая, что получаем: (269)

Написав выражение для кинетической энергии в виде:

делаем вывод, что: (270)

наконец, кинетическую энергию представим в виде:

(271)

где a — угол между векторами и .Из (271) следует, что,

(272)

Учитывая (269), (270), (271) ,(272) свободное вращение тела можем представить как вращение оси симметрии тела вокруг неподвижного направления . При этом относительное расположение , и со временем сохраняется (рис.53). Такое вращение при отсутствии моментов внешних сил называется регулярной прецессией. Тело вращается вокруг оси симметрии со скоростью , a сама ось описывает коническую поверхность, вращаясь вокруг неподвижного направления с угловой скоростью прецессии .

Т. o . для вращающегося тела можно выделить три оси — момента импульса., угловой скорости и оси симметрии.

Момент инерции твёрдого тела.

где — масса -й частицы тела, — ее расстояние от заданного центра или оси.

Момент инерции относительно т. О по определению равен

(250)

(рис. 58)

а относительно координатных осей:

(251)

(252)

(253)

(254)

(255)

Примеры расчёта сил инерции.

(рис. 59)

(256)

Интегрируя (236), получим:

(257)

Момент инерции тонкой пластины прямоугольной формы относительно одной из её сторон.

(рис. 60)

(258)

Интегрируя (258), получаем:

(259)

Момент инерции однородного шара относительно его центра.

(260)

где:

Интегрируя (260), получим искомый результат:

(261)

Теорема Штейнера.

Момент инерции тела относительно по определению:

(262)

Из геометрических соображений:

Первое слагаемое в правой части дает момент инерции тела относительно :

(263)

Поскольку a=const, второе слагаемое принимает вид (Ma²), где М — масса тела.

В последнем слагаемом:

следовательно, по определению центра масс:

последнее слагаемое обращается в нуль, поэтому:

что и требовалось доказать.

Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов движения.

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

(264)

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

(265)

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

(266)

2. Вращательное движение

СВОБОДНЫЕ ОСИ ВРАЩЕНИЯ

, , .

В случае произвольного по форме тела легко показать, что и (омега) не совпадает по направлению (рис. 62).

или:

или:

Направление векторов и можно указать заданием направляющих косинусов, например:

очевидно, что направления и совпадают в том случае, если:

(267)

Твердое тело, у которого все три главных момента инерции различны, называет несимметричным волчком .

СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Отсюда следует, что при свободном вращении:

Рассмотрим свободное вращение симметричного волчка с осью симметрии .Кинетическая энергия для него равна:

В этом выражении первое слагаемое постоянно, следовательно, постоянно и второе, т.е.:

(268)

Учитывая, что получаем:

(269)

Написав выражение для кинетической энергии в виде:

делаем вывод, что:

(270)

наконец, кинетическую энергию представим в виде:

(271)

где a — угол между векторами и .Из (271) следует, что,

(272)

(рис. 63)

Т. o . для вращающегося тела можно выделить три оси — момента импульса., угловой скорости и оси симметрии. Существенно, что относительное расположение этих осей зависит от величины угловой скорости вращения тела вокруг оси симметрии . Несложно доказать, что при очень быстром вращении тела все три направления практически сливаются в одно. Эта особенность быстро вращающихся тел лежит в основе элементарной теории гироскопов.

Гироскопы.

Рассмотрим быстро вращающийся относительно оси симметрии массивный диск (рис.64). При очень быстром вращении диска, как было сказано выше, векторы момента импульса и угловой скорости направлены вдоль оси симметрии.

Если к концам оси вращения приложить пару сил, ее момент будет изменять момент импульса в соответствии с уравнением моментов:

рис. 64)

Через промежуток времени момент импульса изменит свое направление и станет равным Соответственно изменится и положение оси симметрии. Как видно, силы пары приложены в горизонтальной плоскости, а ось вращается под действием момента — в вертикальной.

Уравнение моментов в скалярном виде в этом случае представляют следующим образом:

С учетом направлений векторов уравнение моментов для быстро вращающегося тела записывает в векторной форме так:

(273)

Гироскопом называют массивное тело, очень быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Наиболее часто применяются гироскопы в кардановых подвесах. В таких подвесах при любом повороте оси вращения центр масс гироскопа остается неподвижным (рис.65) Нa рисунке представлен карданов подвес для гироскопа с двумя степенями свободы.

Рис.65

Для определения угловой скорости прецессии удобно пользоваться следующими соображениями. Масштаб измерения можно выбрать таким, что конец вектора совпадает с концом оси гироскопа (рис. 66).

(рис. 66)

При действии на конец оси (в т. А) силы ее момент вызовет прецессионное вращение. По уравнению моментов

Но можно рассматривать как радиус-вектор т. A относительно центра масс. Тогда, по определению:

(274)

14.8. Прецессия волчка.

Быстро вращающийся симметричный волчок установлен на горизонтальную поверхность (рис. 67). Точка касания неподвижна. Прецессия волчка вызывается моментом силы тяжести так как линия действия реакции проходит через неподвижный центр .

при указанном направлении вращения момент силы тяжести вызывает прецессию в направлении, указанном на рисунке. Угловую скорость прецессии

(рис. 67)

можно определить, пользуясь (274):

т.е.

(275)

Следовательно, угловая скорость прецессии тем меньше, чем больше угловая скорость собственного вращения.

Гидростатика.

Гидромеханика изучает свойства покоя и движения жидкостей и газов. Гидростатика изучает только свойства покоя жидкостей и газов.

Основные соотношения гидромеханики получены для идеальной жидкости, т.е. для абсолютно несжимаемой и невязкой жидкости.

Основной задачей гидростатики является нахождение распределений давления и плотности по объему жидкости или газа (в случае идеальной жидкости — только давления).

Момент инерции тела — Справочник химика 21

Пример 3.3. Рассчитать частоту собственных колебаний балки см. (рис. 3.11, а), состоящей из двух швеллеров № 12 с суммарным моментом инерции сечения У = = 608 см закрепленное тело — плои(адка с электродвигателем (Пцс = 980 об/мин 102 с 1) общей массой т = 160 кг момент инерции тела Jx = 3,5 кг-м /1 = 2 м 2 = к = 0,5 м. [c.60]

Массы и моменты инерции тел [c.80]

Момент инерции тела представляет собой сумму моментов инерции материальных точек, составляющих данное тело, и определяется по уравнению [c.66]

Заметьте, что момент инерции тела, являющийся мерой инертности вращающегося твердого тела, зависит не только от его массы, но и от распределения массы в теле относительно оси вращения. Другими словами, размеры и форма тела оказывают значительное влияние на его вращательное движение. [c.193]

Величина момента внешней силы (вращающего момента), приложенного к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна моменту инерции тела относительно этой оси, умноженному на величину углового ускорения тела. [c.193]

Момент инерции тела [c.193]

Для решения практических задач о вращении твердых тел нужно знать, в каких единицах измеряется момент инерции тела, и уметь определить его численное значение. В соответствии с определением момента инерции тела и формулой [c.193]

Вычисление момента инерции произвольных тел представляет достаточно сложную задачу. Сравнительно просто вычислить моменты инерции тел вращения. Приведем без доказательства значение моментов инерции тел, эскизы которых показаны на рис. 121. [c.193]

Ус — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести (относительно центральной оси) [c.195]

Разность величин движущего вращающего момента и момента сил сопротивления представляет собой результирующий момент внешних сил, который в соответствии с основным уравнением динамики вращающегося тела равен произведению момента инерции тела на величину углового ускорения. Теперь нетрудно сделать практические выводы о вращении тела в зависимости от величины действующих моментов сил. [c.196]

Что такое момент инерции тела и в каких единицах он измеряется [c.199]

В табл. 23 даны формулы для вычисления моментов инерции тел, которые встречаются при расчете центрифуг. [c.263]

У — относительный момент инерции тела [c.6]

Примечание. и — моменты инерции тела относительно главных осей инерции тела соответственно хх а гг М — масса тела р — плотность материала I — расстояние от центра инерции С тела до его нижнего основания. [c.350]

Основной характеристикой всякого тела по отнощению к его способности совершать вращательные движения является момент инерции тела. Момент инерции жесткого ротатора, представляющего две материальные точки с массами тл и тв, находящиеся на неизменном [c.211]

Массовый момент инерции тела относительно оси — мера инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси. Массовый момент инерции тела вычисляют по формуле [c.321]

Зависимость периода гармонических колебаний от параметров системы играет важную роль во многих технических и физических измерениях, например в определении моментов инерции тел, в измерении магнитных полей. Если известен момент инерции магнита, то из результатов исследования его колебаний в магнитном поле можно найти в отдельности произведение магнитного момента на поле и отношение магнитного момента к полю и вычислить по этим данным магнитное поле. Этим способом Гаусс определял напряжение магнитного поля Земли. [c.66]

Здесь в свою очередь А, В, С представляют собой моменты инерции тел относительно осей координат, определяемые из соотношений [c.560]

Проекции полного момента количества движения Ь выражаются через моменты инерции и центробежные моменты инерции тела [c.561]

В табл. 66 даны моменты инерции тел, встречающихся при проектировании центрифуг, сепараторов, пальцеврлх мельниц и подобных машин. [c.635]

Величина I = тг называется моментом инерции. Урав1 ние (6.5) относится к материальной точке. Момент инерции тела представляе умму моментов материальных точек, составляющих данное тело [c.296]

Такие расчеты можно производить и в более сложных случаях. Напрнмер, мы можем изучить, как много энергии можгга ввести во вращающееся тело. В линейном случае линейный момент р связан с линейной скоростью v через p = mv в случае вращения угловой момент J связан с угловой скоростью и через J = Iw, где /—момент инерции тела. (Необходимо помнить об аналогичных ролях т и 1, V и (О II р и / в линейном случае и в случае вращения, по- [c.420]

Для большинства тел, применяемых в машиностроении соленчатых валов и шатунов двигателей внутреннего сгорания, роторов паровых и газовых турбин, винтов самолетов, хеталей часового механизма и многих других — математи- еские методы определения моментов инерции малопригодны, главным образом потому, что они оказываются недо- таточно точными. Поэтому моменты инерции тел обычно определяют опытным путем. [c.195]

Здесь величина со вынесена за знак суммы как общий множитель. Величина 2т г нам уже известна. Она равна моменту инерции тела J Ът1гЬ Поэтому величина кинетической энергии вращающегося твердого тела равна [c.221]

Величина 1=тг называется моментом инерции. Уравнение (6.5) относится к материальной точке. Момент инерции тела представляет сумму моментов инерции материальных точек, составляющих данное телЪ [c.298]

Момент инерции тела относительно оси Х1Х1, не проходящей через центр инерции [c.350]

Наилучшее направление силы 2 во втором секторе определили с использованием математической модели, решив задачу на минимум суммарного момента поднимателей тела, выразив его как функцию направления силы 2. При этом мы учли еще один способ снижения суммарного момента поднимателей — за счет смещения точки пересечения сил 2 и 3 в сторону от прямой N (рис. 6,6). Правда, при этом векторы 1 и 1 образуют пару сил и сообщают телу вращательный момент, но, благодаря краткости его действия (при высокой частоте шагов) и значительному моменту инерции тела, эта пара сил не успевает вызвать существенного поворота тела. Повышению момента инерции тела способствует длинный хвост. Например, как показали наши измерения, момент инерции кавказской агамы без хвоста в 4 раза меньше, чем с хвостом. Отсюда ясно, что длинный хвост — важный элемент локомоторной адаптации низших тетрапод. [c.19]

2} $ делает так, что массы на больших расстояниях предпочтительно взвешиваются по их вкладу в общий момент. Как вы сказали, для данного объекта момент инерции, таким образом, будет зависеть от распределения (расстояний) масс вокруг выбранной оси.

При заданном крутящем моменте можно придать большее угловое ускорение объектам с меньшим моментом. Это видно в соотношении $ {\ tau = I \ alpha} $ (аналогично $ F = ma $), где $ \ alpha $ — угловое ускорение. Переставляя, мы получаем $ \ alpha = \ tau / I $, поэтому $ \ alpha $ наибольшее, когда $ I $ наименьшее.

Интуитивно можно понять, как максимизируется угловое ускорение вокруг ЦМ, изображая скручивание металлического стержня. Представьте, что держите стержень за конец и крутите — это сложно. 2 $, где $ \ rho = m / l $ — плотность массы стержень.3 $.

Эта функция $ I_ {x} (x) $ имеет минимум в центре масс, когда $ x = l / 2 $.

Обобщение теоремы о параллельности осей для инерции вращения: Американский журнал физики: Том 85, № 10

I. ВВЕДЕНИЕ

Раздел:

ВыбратьВверху страницыABSTRACTI. ВВЕДЕНИЕ << II. ТЕОРИЯIII. ОБРАЗЕЦ РАСЧЕТОВ СТАТЬИ Вращательная инерция проявляется в самых разных областях исследований. Например, это связано со структурой атомных ядер, ¹ 1.Ю. Альхасид, Г. Ф. Берч, Л. Фанг и С. Лю, » Ядерный момент инерции и спиновое распределение ядерных уровней // Физ. Мезомех. Ред. C 72 (6), 064326 (2005). https://doi.org/10.1103/PhysRevC.72.064326 молекул, ² 2. К. Х. Таунс и А. Л. Шавлов, Микроволновая спектроскопия ( Курьерская корпорация, 2013 г.). и нейтронные звезды. ³ 3. М. Бейгер и П. Хензель, “ Моменты инерции нейтронных и странных звезд: пределы, полученные для пульсара в Крабовидном теле, ”Астрон.Astrophys. 396 (3), 917–921 (2002). https://doi.org/10.1051/0004-6361:20021241 Более того, инерция вращения играет решающую роль в конструкции ветряных турбин, ⁴ 4. Л. Ран, Дж. Р. Бамби и П. Дж. Тавнер, “ Использование инерции турбины для сглаживания мощности ветряных турбин с помощью DFIG », в IEEE 11th International Conference on Harmonics and Quality of Power (2004), pp. 106–111. протезы, ⁵ 5. Наранг Ю.С., В. М. Арелекатти и А.Г. Винтер, » Влияние инерционных свойств протеза на протез коленного сустава. Момент и энергия бедра, необходимые для достижения работоспособной кинематики », — IEEE Trans. Neural Syst. Rehabili. Англ. 24 (7), 754–763 (2016). https://doi.org/10.1109/TNSRE.2015.2455054 роботов, ⁶ 6. Федор Т., Я. Виттек и П. Синдлер, » Влияние переменного момента инерции на управление серводвигателем робота », IEEE ELEKTRO (2014), стр. 165–169. объекты для 3D-печати ⁷ 7.М. Бехер, Э. Уайтинг, Б. Бикель и О. Соркин-Хорнунг, » Spin-it: Оптимизация момента инерции вращающихся объектов », ACM Trans. График. 33 (4), 96: 1–96: 10 (2014). https://doi.org/10.1145/2601097.2601157 и в бесчисленном множестве других приложений. Инерция вращения ( I ) объекта математически описывается симметричной матрицей 3 × 3: ⁸ 8. H. Goldstein, Classical Mechanics ( Pearson Education India, 1965). компоненты тензора инерции.Диагональные члены ( I _xx , I _yy , I _zz ) представляют собой моменты инерции относительно трех ортогональных осей x , y, и z . Недиагональные термины ( I _xy , I _yx , I _xz , I _zx , I _yz , I _zy ) являются произведения инерции в направлениях, перпендикулярных осевым вращениям

I = (IxxIxyIxzIyxIyyIyzIzxIzyIzz).

(1)

Элементы тензора инерции задаются как где [ r _i] — асимметричная матрица, связанная с положением r _i ≡ ( x _i , y _i , z _i ), задаваемую формулой

[ri] = (0 − ziyizi0 − xi − yixi0).

(3)

Произведение в тензоре инерции равно

— [ri] [ri] = ((yi2 + zi2) −xiyi − xizi − yixi (xi2 + zi2) −yizi − zixi − ziyi ( xi2 + yi2)).

(4)

Отсюда моменты инерции равны

Ixx = ∑ (yi2 + zi2) mi, Iyy = ∑ (xi2 + zi2) mi, Izz = ∑ (xi2 + yi2) mi,

(5)

и произведения инерции равны

Ixy = Iyx = −∑xiyimi, Ixz = Izx = −∑xizimi, Iyz = Izy = −∑yizimi.

(6)

Элементы тензора инерции, как правило, зависят от начала координат и от направлений трех осей относительно объекта. Расчеты элементов тензора инерции для некоторых точек проще, чем для других точек, из-за геометрии объекта.Поэтому удобно находить простые соотношения между тензорами инерции относительно разных точек. Если такие отношения существуют, задача нахождения тензора инерции объекта относительно любой точки становится проще. Есть некоторые теоремы, связывающие моменты инерции относительно разных осей, такие как теорема о параллельной оси и теорема о перпендикулярной оси. ⁹ 9. Г. Р. Фаулз и Г. Л. Кассидей, Аналитическая механика ( Saunders College, 1999). Однако полезность этих теорем имеет ограничения.Например, в теореме о параллельных осях опорная ось должна проходить через центр масс объекта. Теорема о перпендикулярной оси применима только к объектам, которые полностью лежат внутри плоскости. (Обобщение теоремы о перпендикулярной оси обсуждается в работе 1010. Дж. П. Маккелви, « Обобщение теоремы о перпендикулярной оси для инерции вращения твердых тел, ”Am. J. Phys. 51 (7), 658–660 (1983). https://doi.org/10.1119/1.13163 для диагональных элементов тензора инерции.)

II. ТЕОРИЯ

Раздел:

ВыбратьВверху страницыАБСТРАКТИ. ВВЕДЕНИЕ II. ТЕОРИЯ << III. ОБРАЗЕЦ РАСЧЕТА СТАТЕЙ Теорема о параллельной оси связывает момент инерции ( I ) вокруг любой оси с его значением относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, следующим выражением, где I _C и d — это момент инерции относительно центра масс и расстояние между двумя осями. Если ось отсчета не проходит через центр масс, указанное выше соотношение больше не действует.В настоящей работе мы обсуждаем два уровня обобщения теоремы о параллельных осях. Первый уровень связывает моменты инерции относительно любых двух параллелей, независимо от того, проходят они через центр масс или нет. Более высокий уровень обобщения, наиболее обобщенная версия теоремы о параллельных осях, будет связывать тензор инерции относительно любой точки с тензором инерции относительно любой другой точки и относительно набора осей, параллельных набору осей первой точки. Первое обобщение простое.Легко использовать теорему о параллельных осях, чтобы связать моменты инерции относительно любых двух параллельных осей, связав каждую из них с третьей через центр масс, где d _i — это расстояние между центром масс и ось вращения i , связанная с моментом инерции I _i . Случай более высокого уровня обобщения сложнее, потому что меняются не только моменты инерции, но и продукты инерции. В формальных обозначениях момент инерции относительно оси (z ′), параллельной оси z , задается как

I′zz = ∑ [(xi − X) 2+ (yi − Y) 2] mi,

(9)

где X и Y — это компонент x и компонент y оси z ‘относительно оси z .Отсюда получаем

I′zz = ∑ (xi2 + yi2) mi + (X2 + Y2) ∑mi − 2X∑ (xi) mi − 2Y∑ (yi) mi.

Из определения центра масс можно найти следующие соотношения:

∑ (xi) mi = Mxc, ∑ (yi) mi = Myc, ∑mi = M,

где M — это полная масса объекта, а где x _c и y _c — это компонент x и y -компонент положения центра масс.Тогда момент инерции относительно оси z ‘становится равным

I′zz = Izz + M (X2 + Y2) −2MXxc − 2MYyc.

(10)

Это выражение представляет собой общее соотношение между моментами инерции относительно любых двух параллельных осей, перпендикулярных плоскости xy . Если ось отсчета расположена вдоль центра масс, то есть x _c = y _c = 0, это выражение упрощается до теоремы о параллельности оси. Если отношение в формуле. (10) применяется к новой параллельной оси, оси z ″, и берется разность I′zz-I′′zz, результатом является теорема о параллельности оси уравнения.(8) в других обозначениях. Другие моменты инерции и продукты инерции можно найти с помощью аналогичного анализа. На рисунке 1 показано изменение момента инерции, приведенное в формуле. (10), поскольку ось вращения движется, сохраняя направление перпендикулярно плоскости xy . На рисунке видно, что I′zz описывает «параболоид» с минимумом в центре масс. Параболоид момента инерции осесимметричен относительно оси, проходящей через центр масс. Произведение инерции (I′xy) относительно точки с x -компонентой и y -компонентой как X и Y , соответственно, равно

I′xy = −∑ (xi− X) (yi − Y) mi.

(11)

Отсюда получаем

I′xy = −∑xiyimi − XY∑mi + Y∑ximi + X∑yimi,

или просто

I′xy = Ixy −MXY + MYxc + MXyc.

(12)

На рисунке 2 показано изменение произведения инерции, приведенное в формуле. (12) при изменении точки рассмотрения. На рисунке показано, что I′xy описывает «гиперболический параболоид». Изменение I′xy с Y при постоянной X или с X при постоянной Y является линейным.Если X или Y равно его значению в центре масс, значение I′xy остается постоянным. Поверхность I′xy имеет симметрию отражения относительно плоскости X + Y = x _c + y _c и плоскости X — Y = x _c — y _c . Пересечение с поверхностью I′xy любой плоскости, перпендикулярной плоскости xy и проходящей через центр масс, представляет собой кривую с экстремумом в центре масс.Чтобы получить обобщенную тензорную форму теоремы о параллельных осях, определим симметричную матрицу [( A , B )] как

[(A, B)] = — 12 ([rA] [rB] + [ rB] [rA]) = ((yAyB + zAzB) −12 (xAyB + yAxB) −12 (xAzB + zAxB) −12 (xAyB + yAxB) (xAxB + zAzB) −12 (yAzB + zAyB) −12 (xAzB) + zAxB) −12 (yAzB + zAyB) (xAxB + yAyB)),

(13)

где A и B обозначают две точки с позициями ( x _A , y _A , z _A ) и ( x _B , y _B , z _B ) соответственно.Если A, и B имеют одинаковые координаты, матрица [( A , B )] сводится к формуле. (4). В терминах симметричной матрицы [( A , B )] наиболее общая форма теоремы о параллельности оси дается в формуле. (14). Это общее соотношение дает тензор инерции (I ‘) относительно набора ортогональных осей x’, y ‘и z’, параллельных опорному набору осей x , y и z , связанных с инерцией тензор ( I )

I ′ = I + M [(R, R)] — 2M [(R, C)],

(14)

где C относится к местоположению центр массы.

III. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАЗЦА

Раздел:

ВыбратьВверху страницыABSTRACTI. ВВЕДЕНИЕ II. ТЕОРИЯIII. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАЗЦОВ << СООТВЕТСТВИЕ СТАТЬЯМ Чтобы проверить полезность обобщенной теоремы о параллельных осях, обсуждаемой в этой статье, мы рассмотрим задачу нахождения тензора инерции относительно его центра масс составного однородного объекта, показанного на рис. 3. Объект состоит из двух частей; первый - это цилиндр радиусом r и длиной 8 r ; вторая часть представляет собой прямоугольник со сторонами 2 r , 2 r и 8 r .Расчет можно упростить, если рассмотреть тензор инерции каждой части отдельно относительно ее центра, и уравнение. Затем (14) можно использовать для получения тензора инерции каждой части относительно центра масс всего объекта. Наконец, тензор инерции всего объекта находится путем сложения двух тензоров, связанных с двумя частями.

A. Вычисление тензора инерции кубоида

Масса кубоида равна, а масса цилиндра — где ρ — плотность массы.Чтобы упростить уравнения, мы определяем единицу массы μ = 8 ρr ³, затем в терминах μ . Для кубоида формула. (14) становится

I′1 = I1 + 4μ [(R1, R1)] — 8μ [(R1, C1)],

(16)

, где C ₁ обозначает центр масса кубоида, который совпадает с точкой отсчета в этой части, тогда

C1≡ (xc, yc, zc) ≡ (0,0,0).

Положение центра масс всего объекта относительно C ₁ задается формулой

R1≡ (X, Y, Z) ≡M2rM1 + M2 (0,3,5) = πr4 + π (0,3,5).

Момент инерции кубоида относительно его центра равен

I1 = (112M1 (4r2 + 64r2) 000112M1 (4r2 + 4r2) 000112M1 (4r2 + 64r2)),

или просто8 или просто 90 I1 = 4 мкм2 (68120008120006812). (17) Другие члены в уравнении. (16) равны

[(R1, C1)] = [0], [(R1, R1)] = (πr4 + π) 2 (3400025−150−159).

Тогда тензор инерции кубоида относительно центра масс всего объекта равен

I′1 = 4μr2 (6812 + 34 (π4 + π) 2000812 + 25 (π4 + π) 2−15 ( π4 + π) 20−15 (π4 + π) 26812 + 9 (π4 + π) 2).

(18)

B. Расчет тензора инерции цилиндра

Для цилиндра, уравнение. (14) становится

I′2 = I2 + πμ [(R2, R2)] — 2πμ [(R2, C2)],

(19)

, где C ₂ обозначает центр масса цилиндра, которая совпадает с контрольной точкой в этой части, тогда

C2≡ (xc, yc, zc) ≡ (0,0,0).

Положение центра масс всего объекта относительно C ₂ задается формулой

R2≡ (X, Y, Z) ≡M1rM1 + M2 (0, −3, −5 ) = 4r4 + π (0, −3, −5).

Момент инерции цилиндра относительно его центра равен

I2 = (112M2 (3r2 + 64r2) 000112M2 (3r2 + 4r2) 00012M2r2),

или просто I 6712000671200012).

(20)

Другие члены в уравнении. (19) равны

[(R2, C2)] = [0], [(R2, R2)] = (4r4 + π) 2 (3400025−150−159).

Тензор инерции цилиндра относительно центра масс всего объекта равен

I′2 = πμr2 (6712 + 34 (44 + π) 20006712 + 25 (44 + π) 2−15 ( 44 + π) 20−15 (44 + π) 212 + 9 (44 + π) 2).

(21)

C. Вычисление тензора инерции составного объекта

Тензор инерции составного объекта представляет собой сумму двух тензоров, связанных с двумя частями, из которых мы имеем

I ′ = μr2 (100.03400064.197−26.3940−26.39440.074).

(23)

Этот пример выбран как простой для ручного расчета, но процедура, используемая здесь, может быть использована для любого сложного объекта. Очевидно, что обобщенная теорема о параллельных осях, представленная в этой статье, обеспечивает простой и мощный метод вычисления тензора инерции относительно любой точки пространства.Сила этого обобщения заключается в объединении всех соотношений между элементами тензора инерции относительно разных точек в одно простое уравнение, без обращения к центру масс в качестве ориентира. Это обобщение может быть очень эффективным при вычислении инерции вращения составных объектов, которые можно разделить на простые единицы, так что тензор инерции каждой единицы известен, по крайней мере, об одной точке. Этот тип анализа полезен для изучения физических объектов с помощью трехмерных изображений ¹¹ 11.Ф. Чен, Г. М. Браун и М. Сонг, » Обзор измерения трехмерной формы оптическими методами // Опт. Англ. 39 (1), 10–22 (2000). https://doi.org/10.1117/1.602438 и проектирование объектов для 3D-печати, ^7,12 7. М. Бехер, Э. Уайтинг, Б. Бикель и О. Соркин-Хорнунг, » Spin-it: Оптимизация момента инерции вращающихся объектов », ACM Trans. График. 33 (4), 96: 1–96: 10 (2014). https://doi.org/10.1145/2601097.260115712. Р. Прево, Э. Уайтинг, С. Лефевр и О. Соркин-Хорнунг, » Сделайте это устойчивым: балансировка форм для трехмерного производства », ACM Trans. График. 32 (4), 81: 1–81: 10 (2013). https://doi.org/10.1145/2461912.2461957, для которого объект рассматривается как набор срезов или вокселей.

Момент инерции массы

Массовый момент инерция для частицы: Момент инерции массы является одной из мер распределения масса объекта относительно заданной оси.Момент инерции массы равен обозначается I и дается для одного частица массой м as

где O-O — ось, вокруг которой оценивая момент инерции масс, и r расстояние по перпендикуляру между массой и осью O-O. Как видно из вышеизложенного уравнение, массовый момент инерции имеет единицы массы, умноженной на квадрат длины. Момент инерции массы не должен быть путать с моментом инерции площади, который имеет единицы длины в степени четыре. В уравнениях движения естественным образом появляются массовые моменты инерции, и предоставить информацию о том, насколько сложно (с какой инерцией) вращается частица вокруг заданной оси.

Массовый момент инерция твердого тела: При вычислении момента инерции массы твердого тела думают, что тела как сумма частиц, каждая из которых имеет массу дм / .Интегрирование используется для суммирования момента инерции каждого дм , чтобы получить момент инерции массы тело. Уравнение для массового момента инерции твердого тела

интегрирование по массе может быть заменено интегрированием по объему, площади или длина. Для полностью трехмерного тела с плотностью можно связать элемент массы к элементу объема.В этом случае плотность имеет единицы масса на длину в кубе, и соотношение задается как

и уравнение для массового момента инерции принимает вид

интеграл на самом деле является тройным интегралом. Если используется система координат прямоугольный, то dV = dxdydz . Если используются цилиндрические координаты, тогда .

Для для двумерного тела, такого как пластина или оболочка, можно использовать плотность на единицу площади (единицы массы на длину в квадрате), чтобы изменить интегрирование, используя соотношение

где A — это площадь поверхности, а dA — дифференциальный элемент площади. Для Например, для прямоугольных координат dA = dxdy и для полярных координат .После такой подстановки получается уравнение для вычисления момент инерции массы как

Если тело представляет собой стержневой объект, то можно использовать соотношение

в получить

где l — координата по длине стержень и плотность в единицах массы на единицу длины.

Пример 3

Радиус вращения: Иногда вместо момента инерции массы радиус обеспечивается вращение к . Масса момент инерции можно рассчитать из k используя соотношение

где м — это полная масса кузова. Можно интерпретировать радиус вращения как расстояние от оси, на котором можно положить одну частицу массой м равной к массе твердого тела и чтобы эта частица имела одинаковый момент массы инерции как исходное тело.

Параллельно-осевой Теорема: момент инерции вокруг любой оси можно рассчитать по моменту инерции вокруг параллельной оси, проходящей через центр масс. Уравнение вычислить это называется теоремой о параллельных осях и дается как

где d — расстояние между исходная ось и ось, проходящая через центр масс, м — полная масса тела, а — момент инерция вокруг оси, проходящей через центр масс.

Составные тела: Если тело состоит из несколько тел, чтобы вычислить момент инерции относительно данной оси, можно просто рассчитайте момент инерции каждой детали вокруг заданной оси и затем сложите их, чтобы получить момент инерции массы всего тела.

Мехрдад Негахбан и Университет Небраски, 1999-2002 гг.

Бесплатное копирование и распространение только для личного использования

Кафедра инженерной механики, Университет г. Небраска, Линкольн, NE 68588-0526

Связь между главными осями инерции и связывания лиганда

Abstract

Главные оси инерции являются собственными векторами, которые могут быть вычислены для любого твердого тела.Мы сообщаем об исследованиях положения главных осей в кристаллографически решенных белковых молекулах. Мы обнаруживаем с высокой частотой, что по крайней мере одна главная ось проникает через поверхность соответствующего белка в области, используемой для связывания лиганда. В вариабельных областях антитела ось проходит через третью гипервариабельную петлю тяжелой цепи. В белках главного комплекса гистосовместимости ось проходит через пептид-связывающую бороздку. В гетеродимерах белок-белок главная ось одной субъединицы часто проникает через интерфейс, образованный с другой субъединицей.Во многих из этих белок-белковых комплексов ось специфически пересекает остатки, которые, как известно, являются критическими для молекулярного распознавания.

Стабильность белок-белковых комплексов зависит от химической комплементарности на контактных поверхностях взаимодействующих белков, прежде всего в форме короткодействующих взаимодействий, таких как водородные связи. Может ли поверхность взаимодействия находиться где-нибудь на молекуле? Считается, что молекулы размером с белок сначала реагируют друг с другом, образуя комплекс столкновения, в котором реагенты сталкиваются неоднократно, когда они вращаются и перемещаются по поверхностям друг друга (1–3).Пространственное распределение столкновений может не быть изотропным, но может происходить преимущественно в областях, определяемых общей геометрией реагентов (4). Если это так, такие области могут быть выгодными местами для сайтов связывания лиганда. Здесь мы сообщаем о частой ассоциации лиганд-связывающих сайтов с главными осями инерции, структурной особенностью, определяемой грубой молекулярной геометрией.

Главные оси инерции твердого тела — это совокупность осей, проходящих через центр масс объекта и относящихся к распределению массы объекта, так что угловой момент, передаваемый вокруг главной оси, не передается ни на какие другие оси.Ось симметрии детской верхней части является одним из примеров главной оси. Волчок, вращающийся вокруг этой оси, будет продолжать вращаться до тех пор, пока трение почти не исчерпает его угловой момент. Напротив, вращение волчка вокруг произвольной оси вызывает движение, которое быстро становится беспорядочным. Асимметричное твердое тело имеет три взаимно перпендикулярные главные оси, которые всегда можно однозначно рассчитать.

В этой статье мы исследуем основные оси кристаллографически решенных молекул, биологическая функция которых влечет за собой распознавание лиганда.Сначала мы рассмотрели полиморфные молекулы иммунной системы, которые распознают лиганды различной химической природы. В антигенсвязывающей области антител (фрагмент Fv) одна главная ось почти всегда проходит через область наибольшего разнообразия последовательностей. Аналогичное наблюдение справедливо и для рецептора Т-клеточного антигена (TCR). В молекулах главного комплекса гистосовместимости (MHC), функция которых заключается в связывании антигенных пептидов, главная ось пересекает бороздку связывания пептида. Мы также исследовали мономорфные белки, которые эволюционировали, чтобы распознавать специфические белковые лиганды, и обнаружили, что в большинстве случаев главная ось пересекает границу раздела белок-белковых комплексов.Здесь мы документально подтверждаем, что поверхности взаимодействия белков с лигандами часто лежат на главной оси, и предполагаем, что это наблюдение отражает фундаментальный аспект связывания лигандов.

Методы

Наборы атомных координат были получены из банка данных белков (PDB). Матрица момента инерции для каждой молекулы или части молекулы была рассчитана из координат x , y , z и массы m каждого атома k с использованием выражения (5):

Здесь координаты центра масс x _com, y _com, z _com, задаются как

Матрица собственных векторов, в свою очередь, была сгенерирована из матрицы момента инерции с помощью математики (Wolfram Research, Шампейн, Иллинойс).Собственные векторы (главные оси) либо отображались напрямую, либо транспонированная матрица собственных векторов использовалась в качестве матрицы преобразования для выравнивания инерциальных осей вдоль декартовых осей с центром масс в начале координат.

Псевдодиада Fv-фрагментов антитела рассчитывалась с использованием программы align (6), модифицированной Стивеном Шерифом (Bristol – Myers Squibb). Гомологические пары остатков V _H и V _L, использованные в расчетах, были определены Падланом (7).Программные пары использовали для идентификации межмолекулярных контактных остатков. Молекулярные иллюстрации были нарисованы с помощью molscript (8).

Результаты

Ig Fvs.

Иммуноглобулины представляют собой модульные белки, состоящие из белковых доменов с примерно 110 остатками, соединенных дисульфидами или гибкими линкерами (9). Каждый домен обычно соединяется с идентичным или гетерологичным доменом через нековалентный интерфейс. Одна пара доменов, Fv, состоит из одного домена легкой цепи κ или λ (V _L) и немного большего домена тяжелой цепи Ig (V _H) и представляет собой функциональную единицу связывания антигена. .Механизмы создания соматического разнообразия, ответственные за распознавание антигена, действуют исключительно на Fv (10, 11). Три пептидных сегмента в каждом домене, области, определяющие комплементарность (CDR), являются сайтами с высокой вариабельностью последовательностей и образуют почти все прямые химические контакты с антигеном. Из шести CDR CDR-h4 на сегодняшний день является наиболее вариабельным из-за генных сегментов D, уникальных для локуса тяжелой цепи. Включение сегментов D в CDR-h4 добавляет уровень комбинаторного разнообразия, недоступного для других CDR, а процесс реаранжировки D дополнительно увеличивает разнообразие соединений, N-областей и палиндромных нуклеотидов.Кристаллографически решено несколько интактных структур IgG, но они слишком гибкие, чтобы их можно было рассматривать как твердые тела. Напротив, фрагменты Fv имеют стабильную структуру в растворе, и их движение внутри молекулы IgG минимально ограничивается контактами с другими доменами (12). Поэтому мы сосредоточились на основных осях Fv как наиболее релевантных для распознавания лигандов.

Главные оси лежат в характерных местах Fv, показанных на рис. Ось, обозначенная z , лежит между субъединицами и проходит от центра масс Fv через сайт связывания антигена.Псевдодияда, связывающая V _H с V _L, находится в окрестности z . Ось y проходит через сердце V _H и V _L, пересекая консервативный остаток Trp в «штыре» каждого домена Ig (13). Вторая псевдодиада, которая связывает CDR и антиген-дистальные концы каждой субъединицы (14), находится в районе –. Ось x проходит между двумя подблоками, примерно в плоскости интерфейса V _H –V _L.

Домен Ig Fv с тремя главными осями. Показанная молекула представляет собой антилизоцимное антитело D1.3 (PDB 1vfa). Петли из CDR находятся вверху и обозначены h2, h3 и т. Д. Три основные оси Fv обозначены x , y и z .

Основные оси вариабельных областей антитела не чувствительны к изменению последовательности. Примерно четверть положений остатков в вариабельном домене Ig являются гипервариабельными, поскольку в этих положениях обнаруживается много различных типов остатков (15, 16).Чтобы определить степень, в которой вариабельность последовательности влияет на положение главных осей, мы исследовали Fv-часть кристаллографически решенных структур Ig (таблица) и обнаружили, что оси были почти в одинаковых местах независимо от семейства V-генов, была ли молекула мышиной. или человек, тип κ или тип λ (данные не показаны). Мы пришли к выводу, что расположение главных осей не изменяется механизмами создания соматического разнообразия или эволюционной дивергенцией мышей и людей, поэтому оно является общим для Fv-доменов антител.

Таблица 1

PDB-файлов, используемых для анализа Fv-областей иммуноглобулина

1acy	1baf	1bbd	1bbj	1cbv	1cgs106	1cgs106	1cgs106
1dvf	1fai	1fbi	1fgv	1fig	1flr	1на	1fpt	1frg	1fvc
1gaf	1ggi	1ghf	1gig	1iai	1ibg	1igc	1igi	1igm	1igt
1ikf	1ind	1jel	1jhl	1kel	1kno	1mam	1mco	1mfe	1mlb
1mrc	1ncd	1ngp	1nld	1nma	1nsn 9010 9	1opg	1plg	1rmf	1tet
1vfb	1vge	1vir	1yuh	2cgr	2fb4	2fbj	2fgw	2igf	2mcp
3hfl	3hfm	6fab	7fab	8fab

Хотя молекулы Fv являются гетеродимерами, псевдодиада связывает положения в домене V _H с гомологичными положениями в домене V _L (17).Эта ось используется для расчета углов изгиба в конструкциях Fab. Главные оси твердых тел часто совпадают с осями симметрии, поэтому мы спросили, совпадают ли z и псевдодьяда. Иллюстрация на рис., Показывающая Fv-фрагмент как с z , так и с нарисованной псевдодиадой, типично демонстрирует наблюдаемую нами связь. Между CDR тяжелой и легкой цепей не существует двухточечной гомологии, поэтому для определения псевдодиады используются консервативные остатки в каркасной области β-слоя.Таким образом, псевдодьяда проходит не на полпути между h4 и L3, а немного ближе к h4. Ось z определяется массовым распределением всего Fv, а не симметрией подмножества остатков, и даже дальше от средней точки h4 – L3, чем псевдодиада. Смещение, показанное на рис., Только частично вызвано доменом V _H, имеющим примерно на 5% большую массу, чем V _L. Это массовое несоответствие объясняет перенос на ≤1 Å начала координат главных осей в сторону V _H.Более важным является тонкое распределение массы, которое дает угловое отклонение z через CDR-h4.

Домены Ig V _H и V _L, наблюдаемые с точки зрения «антиген глазами». Используемая молекула — MOPC 603 (PDB 2 mcp). Главная ось z , которая проходит через CDR-h4, нарисована стрелкой, а ось псевдодьяды — символом диады.

Мы картировали поверхностные остатки структур Fv и Fab, которые находятся ближе всего к оси z (рассчитано для областей Fv в случае Fab), и обнаружили, что одни и те же позиции остатков неоднократно пересекались, как показано на рис.. Ось, за исключением 5 из 66 структур, проходит через остатки Kabat от H95 до h201, все из которых являются частью CDR-h4 (18). Большинство этих остатков кодируется сегментом гена D и нуклеотидами N-области. Таким образом, наиболее критическая для распознавания антигена область антитела лежит именно на главной оси.

Пересечение главной оси z с CDR-h4 в структурах антител. Были рассчитаны основные оси для 66 доменов Ig Fv (таблица), и в каждом случае поверхностный остаток, ближайший к z , был идентифицирован путем осмотра.Был определен порядковый номер Kabat каждого пересекающегося остатка, и показано количество экземпляров для каждого положения Kabat (18). Остатки с H95 по h202 образуют CDR-h4. Соседний остаток h203 является остатком каркаса; все остальные исключения сгруппированы в категорию «прочее».

Сдвиг оси в TCR.

TCR типа αβ представляют собой поверхностные молекулы, которые распознают короткие пептидные антигены, встроенные в связывающую бороздку молекул MHC на антигенпрезентирующих клетках. Внеклеточные части TCR напоминают Fab-фрагменты антител тем, что имеют две цепи с N-концевыми вариабельными доменами (Vα и Vβ).Все домены следуют по складке Ig, и каждый вариабельный домен имеет три CDR, аналогичные таковым в антителах. Анализ кристаллических структур TCR предполагает, что главная ось z связана с областью критического разнообразия последовательностей.

Мы рассчитали положение главных осей в четырех Fv TCR и обнаружили, что оси аналогичны осям в Fv антитела. В мышином димере 2C Vα – Vβ (19) и человеческом TCR A6 (20) ось z проходит через остаток 100 в CDR3 Vα цепи.В scFv-версии мышиного TCR KB5-C20 (21) z пересекает остаток 97 Vα, который также находится в CDR3. В мышином TCR N15 (22) z проходит между доменами, но находится ближе всего к остатку 104 в CDR3 Vα. Контакты между доменами Vβ и Cβ более обширны, чем у антител (23), поэтому внеклеточные домены TCR могут не обладать гибкостью Fab антитела. Следовательно, мы также рассчитали главные оси всей внеклеточной области TCR N15. Включение двух константных доменов оставило положение z практически неизменным; снова z прошел посередине между доменами, ближайшими к остатку 102 в Vα, в CDR3.

Ассоциация z с Vα CDR3 не может быть просто отражением гомологии с антителами, поскольку домен TCR Vα ближе по трехмерной структуре к доменам Ig V _L (24), тогда как в антителах домен z Ось проходит через области V _H. Домены TCR V _β также более тесно налагаются на V _L, чем на V _H, но отклонения в положении атомов больше, чем для суперпозиции V _α –V _L (23).На генетическом уровне локус TCR β подобен локусу тяжелой цепи Ig в использовании сегментов D, которые не используются в формировании цепей TCR α или Ig κ или λ. Хотя локус TCR α не имеет сегментов D, потенциальное комбинаторное разнообразие Vα, по-видимому, намного больше, чем Vβ. Локус TCR α имеет 42 или более сегментов гена V для объединения с 61 сегментом J (25–27), тогда как локус β TCR имеет 46 функциональных сегментов гена V, 13 сегментов J и два сегмента D, только один из которых может соединяться со всеми Js (28).Более того, α-локус TCR может непрерывно перестраиваться в невыделенных клетках на обеих хромосомах до тех пор, пока не будет сгенерирована рецепторная структура, обеспечивающая положительный отбор (29). О вторичном процессе реаранжировки для локуса TCR β не сообщалось. Подводя итог, ограниченные кристаллографические данные по TCR указывают на главную ось, совпадающую с ключевым элементом распознавания лиганда.

MHC – пептидные взаимодействия.

Если эволюция сайтов связывания лиганда на главных осях отражает фундаментальный аспект молекулярного распознавания, такая же корреляция должна быть очевидна и в других типах макромолекулярных взаимодействий помимо антитело-антиген.Поэтому мы исследовали положение главных осей в пептидных комплексах с внеклеточными доменами MHC. Молекулы MHC представляют собой гетеродимерные белки, которые связывают антигенные пептиды во время сборки в эндоплазматическом ретикулуме и впоследствии поддерживают эти пептиды в незащищенном положении на поверхности клетки. Молекулы MHC класса I имеют полиморфную цепь с тремя доменами. Пептиды связываются в бороздке между доменами α ₁ и α ₂. Эти два домена имеют уникальную складку, тогда как домен α ₃ и вторая цепь, β ₂ -микроглобулин, каждый имеют укладку Ig и не вносят вклад в специфичность.Внеклеточная область молекул класса II состоит из двух полиморфных 2-доменных цепей, α и β. Домены α ₁ и β ₁ структурно подобны доменам α ₁ и α ₂ класса I, а также образуют между ними бороздку для связывания пептидов. Домены α ₂ и β ₂ образуют складки Ig.

Мы рассчитали главные оси структур MHC в таблице. В каждом случае одна ось пересекала пептид в пределах плотно ограниченной части границы раздела пептид-MHC, показанной на рис.. В молекулах класса II ось пересекала положение P8 внутри определяющей специфичность части связанного пептида, за единственным исключением в таблице, являющимся пересечением с соседним положением P7. Молекулы класса I менее регулярны, чем класс II, в соответствии между положением пептида и карманом связывания для боковой цепи пептида; тем не менее, шесть консервативных карманов в пептид-связывающей бороздке класса I были определены (30). Одна главная ось всегда проходила около точки соединения карманов B, C и D.Остатки, образующие карман C, неизменно пересекали эту ось. Область TCR, взаимодействующая с этим сайтом, известна в одном случае. В комплексе TCR A6 человека с HLA 0201 человека (20) ось молекулы класса I проходит через край следа TCR и проходит в остатки L98, A99 и G100 в CDR3 цепи Vβ TCR. Подводя итог, можно сказать, что наиболее критическая для распознавания лиганда область молекул MHC построена вокруг главной оси.

Таблица 2

Основные оси в комплексах MHC – пептид

06 C M M 1agd

PDB no.	Молекула	Класс	Виды	Ближайшая ось пептидного остатка	Карманы пересечены
1a1n	HLA-B3501	HLA-B0801	I	Human	K5	C, D
1bii	H-2D ^d	I

0 R 9090 Мышь C 90900906 B, DR 9010 9010 9010 9010 9010 9010 IEa 904 II DR109 DR109 DRX

1hhi	HLA-A0201	I	Human	F7	B, C, D
1hoc	H-2D ^b	B, C
1ld9	H-2L ^d	I	Мышь	N5, I6	B, C
1mhc	H-2M3	I	Мышь	F3	B, C
1osz	H-2K ^b	I	Мышь	Y5	HLA-A2.1	I	Человек	—	B, C
1a6a	HLA-DR3	II	Человек	L98	P8	Human	h22	P8
1iak	IA ^k	II	Мышь	N59	P8
L8	P8
2iad	IA ^d	II	Мышь	S135	P8
2seb

Главная ось в молекулах MHC.( A ) Молекула МНС человека I класса HLA-A0201 (PDB 1hhi). Остов связанного антигенного пептида представлен лентой. Черная линия показывает α-атомы углерода α-цепи. Серая линия показывает цепь β2-микроглобулина. Вертикальная линия представляет собой главную ось, которая проходит через бороздку для связывания пептида. ( B ) Молекула MHC II класса мыши I-A ^k (PDB 1iak). Пептид и главная ось такие же, как у A . Жирными линиями отмечена цепь α, а серыми линиями — цепь β.

Белковые взаимодействия.

Комплексы белков — это еще один класс кристаллографически решенных структур, которые мы исследовали на предмет корреляции между основными осями и сайтами связывания лиганда. Хотя этот класс огромен, два критерия, которые мы применили, исключили многие белковые комплексы. Во-первых, структуры, представляющие собой фрагмент более крупного белка, были исключены, потому что мы не можем вычислить по таким структурам истинное положение главных осей в полной молекуле.Как и для антител, исключение было сделано для фрагментов, которые представляют собой независимый домен со значительной подвижностью, например внеклеточный домен рецептора IL-1. Критериями независимости были устойчивость к протеолизу и сохранение функции. Во-вторых, мы исключили белковые комплексы с внутренней симметрией. Главные оси обязательно совпадают с осями симметрии молекул, и в этих случаях можно было бы привести аргументы, что симметрия белка является необходимой структурной особенностью, а не близость главной оси как таковая .Например, димеры регуляторных субъединиц аспартат-транскарбамилазы имеют 2-кратные оси, которые совпадают с 2-кратными осями молекул холофермента (31). Хотя границы раздела вдоль главных осей соответствуют описанному нами паттерну, точечная симметрия аспартат-транскарбамилазы, вероятно, будет более функционально значимой для согласованного аллостерического перехода, которому, как известно, претерпевает этот фермент (32). Чтобы избежать систематической ошибки образца, связанной с симметрией, мы ограничили наш анализ мономерными белками, которые образуют гетеродимеры.

Пары белков, отвечающие критериям полноты и асимметрии, перечислены в (Таблица). Для каждого белок-белкового комплекса мы определили остатки, образующие интерфейс, рассчитали главные оси каждой субъединицы комплекса и спросили, проходит ли ось в любой из субъединиц через контактные остатки интерфейса. Если оси не попадают в интерфейс, эта субъединица получает оценку «-», что означает отсутствие очевидной связи со связыванием лиганда. Если ось действительно проходит через границу раздела, пример все равно не обязательно получает «+» из-за неоднозначности, возникающей из-за того, что шесть полуосей проникают через поверхность глобулярного белка.Поскольку области интерфейса покрывают 5–20% площади поверхности белка (33), даже некоррелированная связь между главными осями и связыванием лиганда может привести к тому, что ось пересекает некоторую часть интерфейса в половине всех случаев. Поэтому мы считали положительными только те случаи, когда ось либо проходила через геометрический центр границы раздела, либо пересекала «ориентирные» остатки, известные из биохимических исследований как функционально важные для связывания лиганда. Например, одна главная ось химотрипсина (рис. a ) пересекает остаток 195, существенный серин каталитической триады. Эта ось, следовательно, не просто связана с общей близостью взаимодействия лигандов, но пересекает точную точку ковалентного контакта с белковым субстратом. Цитохром c пероксидаза является примером молекулы, которую мы оцениваем как положительную, потому что интерфейсные контактные остатки образуют форму подковы с главной осью, проходящей через центр (рис. b ).

Таблица 3

Основные оси на интерфейсных поверхностях белок-белковых комплексов

09, производный от нейробетона 909 + трипсин серин K15 (остаток в положении P1) 10 рецептор IL0

№ PDB.	Молекула 1	Ось пересекает границу раздела	Функциональные остатки или мотив пересекают ось	Молекула 2	Ось пересекает границу раздела	Функциональные остатки или мотив пересекают ось
Центр контакта с областью	Нейротрофин 3	+	Центр контакта с областью
1cbw	Бычий химотрипсин	+	S195 (каталитический 904-ингибитор 904
1hia	Калликреин	+	H57, S195 (каталитическая триада)	Гирустазин	+	R32	«Сайт A», Y124	Муравей рецептора IL-1 агонист	+	Q20, Y34
1itb	Рецептор IL-1	+	K114, Y127, I240	IL-1β	+	E401	Гетеродимер Cyclin A / CDK2	+	Область центра контакта	p27 ^Kip-1	+	Мотив LFG
2pcc

0 9010 9010 909 Hexrome 908 908 Цитохром c пероксидаза домен HIV 10

+	Область центра контакта
1brs	Barnase	+	R87, h202	Barstar	—
+	Мотив PxxP	Домен Sh4 финтирозинкиназы	—
1fin	Cdk2	+	T1 60, Т-образная петля	Cyclin A	—
1fss	Fasciculin II	+	R11	Ацетилхолинэстераза	—

5 , R38 90 90 909 90s 909 ВИЧ-концевой Циклофилин A 909 ВИЧ-концевой домен DnaK ATPase domain

Липаза	—
1ycs	сердцевинный домен p53	+	R248 (наиболее часто мутировавший в опухолях)	p53-связывающий белок 2 Sh4 / анкириновые домены	—
—
—
Ингибитор CPA картофеля	+	Y37, V38 (позиции P2 и P1)	Карбоксипептидаза A	—
1agr	G _iα1	a
1glc	Глюкозо-специфический фактор III	+	H90	Глицеринкиназа	b
1gua	Rap1a	+	I36	Raf (Ras-связывающий домен)	c	R59
1ak4	c
1a2k	RAN	—		Ядерный транспортный фактор 2	b
1dkg	DnaK ATPase domain

Основные оси белок-белковых комплексов.A. Химотрипсин крупного рогатого скота из комплекса с ингибитором трипсина поджелудочной железы крупного рогатого скота (PDB 1cbw). След от α-углерода показан серым цветом. Боковые цепи остатков, которые контактируют с лигандом, показаны жирными линиями. Ser-195 отмечен звездочкой. ( B ) Дрожжевой цитохром c пероксидаза из комплекса с дрожжевым изо-1 цитохромом c (PDB 2pcc), нарисованный как A .

В семи случаях в таблице одна главная ось каждого партнера в гетеродимере проходит через центральный или ключевой элемент интерфейса.В семи других случаях ось проходит через центр или ключевой элемент интерфейса одного подблока, но не через другой. Из шести дополнительных примеров, когда одна субъединица, но не другая, была исключена по причинам симметрии или полноты, три балла «+» и три балла «-». Из 10 отрицательных примеров в таблице четыре белка явно не эволюционировали для связывания лиганда в соответствующей кристаллической структуре (1ak4, 1efn, 1fss и 4cpa). Например, ацетилхолинэстераза не подвергалась селективному давлению, чтобы улучшить связывание с фасциклином II, токсином из яда зеленой мамбы.Мы не идентифицировали никаких примеров гетеродимеров, в которых главные оси обеих субъединиц не попадают в интерфейс («- / -»). Если положение главной оси и связывание лиганда не коррелировали, примеров — / — должно быть столько же, сколько + / +. Мы интерпретируем это несоответствие, общее преобладание положительных примеров и поразительное пересечение главных осей с ориентирными остатками, как поддержку гипотезы о том, что совпадение главных осей и сайтов связывания лиганда отражает функцию.

Обсуждение

В предыдущем разделе мы показали, что главная ось инерции часто связана с сайтом связывания лиганда в основных классах белков.В вариабельных областях антитела одна ось почти всегда проходит через CDR3 тяжелой цепи, область молекулы, наиболее ответственную за антигенную специфичность. В TCR подобная ось пересекает CDR3 α-цепи. В комплексах пептид-MHC главная ось проходит через пептид и пептид-связывающую бороздку, место взаимодействия с TCR. Наконец, в бинарных комплексах между структурно разнородными белками главная ось часто пересекает ключевые интерфейсные остатки.

Расположение сайтов связывания лиганда вдоль главных осей предполагает действие тонкого, но всеобъемлющего селективного фактора, действующего в течение эволюционного времени.Согласно этой гипотезе, склонность макромолекул размером с белок реагировать друг с другом не является изотропной, но, как правило, происходит на поверхностях вблизи главных осей. Поскольку модификации белка, которые влияют на общую геометрию, такие как ковалентное мечение фикоэритрином или создание слияний генов, обязательно изменяют положение основных осей, но обычно не отменяют связывание лиганда, величина этого эффекта должна быть небольшой. Следовательно, функция связывания лиганда, которая возникает de novo , может быть расположена произвольно, вдали от любой из основных осей.Например, основные оси антигенов обычно не пересекают эпитопную область в кристаллических структурах комплексов антитело-антиген. Однако мутанты рецептора, которые перемещают сайт связывания лиганда ближе к оси, получат небольшое энергетическое преимущество и немного улучшенную приспособленность, которая будет отбираться на протяжении многих поколений.

Какой физико-химический принцип лежит в основе превосходной генетической пригодности аксиального положения для сайта связывания лиганда? Поскольку главная ось является собственным вектором, относительно которого сохраняется угловой момент, избирательное преимущество, скорее всего, связано с вращательными движениями макромолекул, свободных в растворе или в комплексах рецептор-лиганд.Если броуновское движение домена или полной макромолекулы включает сильную качательную составляющую вокруг главной оси, сразу становятся очевидными два преимущества (рис.). Во-первых, большая структурная стабильность комплекса возникает потому, что связи, удерживающие лиганд на границе раздела в центре этого вращательного движения, будут подвергаться меньшим силам сдвига, чем они были бы на химически идентичной границе раздела, удаленной от этой оси. Эти силы сдвига на смещенной границе раздела должны быть компенсированы большей свободной энергией химической связи для достижения того же сродства лиганд-рецептор, что и осевая граница раздела.Во-вторых, возникает кинетическое преимущество, потому что граница раздела в периферийном положении будет двигаться быстрее, чем поверхность раздела в осевом положении (в среднем, в инерциальной системе отсчета центра масс, которая наиболее актуальна для встречи с комплексами). Когда лиганд начинает диссоциировать от поверхности раздела, такое же угловое движение рецептора в периферийном случае вызовет большее линейное разделение контактных остатков. Это большее линейное разделение приведет к большему растяжению связей рецептор-лиганд, что повысит вероятность смещения лиганда.

Связывание лиганда с рецептором на оси и вне оси. Цилиндр представляет собой гипотетический рецептор. Сферы представляют собой связывание лиганда с сайтом на главной оси рецептора ( справа, ) или на периферии (, слева, ). Пунктирные линии представляют угловое смещение лиганд-связывающих сайтов рецептора из-за раскачивающего движения рецептора. Растянутые водородные связи показывают, что такое же угловое смещение приводит к гораздо большей линейной трансляции внеосевого сайта связывания лиганда, как обсуждается в тексте.

Phy 235 Глава 11

Глава 11

Динамика жесткого Кузов

Получаем элементы тензора инерции из уравнения.11.13a:

Аналогично а также

Аналогично

Таким образом, тензор инерции

основные моменты инерции полученный путем решения

Расширение определитель дает кубическое уравнение в l :

Решение численно дает

Чтобы найти главные оси, подставляем в (см. пример 11.3):

Для i = 1 имеем

Решение сначала для и замена во вторую дает

Подстановка в третий теперь дает

или

Итак, главная ось, связанная с является

Производство таким же образом дает две другие главные оси:

матрица вращения

(1)

Момент тензора инерции преобразуется согласно

(2)

То есть

или

(3)

Если , .Потом,

(4)

Первоначально:

Таким образом,

(1)

Из уравнения.(11.102)

С , у нас

(2)

Из уравнения.(11.131)

(2) становится

(3)

Из (1) мы можем построить следующий треугольник

из которых

Подстановка в (3) дает

Если установить в уравнении для эффективной энергии получаем

(1)

Переставив, это уравнение можно записать как

(2)

, который является кубическим по cos q .

В ( q ) имеет вид, показанный на схеме. Два корня происходят в регионе , и один корень лежит вне этого диапазона и, следовательно, воображаемый.

Устойчивость вращений твердого тела

вращение твердого тела устойчиво, если система при возмущении от ее состояние равновесия, совершает небольшие колебания вокруг него.Считайте, что мы используем главные оси вращение для описания движения, и мы выбираем эти оси так, что I ₃> I ₂> I ₁. Если система вращается вокруг оси x ₁, мы можем записать вектор угловой скорости как

Подумайте, что происходит, когда мы применяем небольшое возмущение вокруг двух других главных осей, так что угловая скорость становится равной

Соответствующие уравнения Эйлера имеют вид

Поскольку мы говорим о малых отклонения от состояния равновесия лм будут небольшими и могут быть установлены на 0.Таким образом, второе уравнение можно использовать для вывода, что

Остальные уравнения можно переписать как

Последнее уравнение можно дифференцировать, чтобы получить

Член в скобках положительный, поскольку мы предположили, что что I ₃> I ₂> I ₁.Это дифференциальное уравнение имеет следующее решение:

где

Когда мы смотрим на возмущение вокруг оси x ₃, мы находим следующий дифференциал уравнение

Решение дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

Мы видим, что возмущения вокруг оси x ₂ и оси x ₃ колеблются вокруг положения равновесия. значения л = м = 0.Таким образом, мы заключаем, что вращение вокруг оси x ₁ стабильно.

Похожий вычисления могут выполняться для вращения вокруг оси x ₂ и оси x ₃. Полученные в этих случаях частоты возмущений равны равно

Мы видим, что первая частота — мнимое число, а вторая частота — действительное число.Таким образом, вращение вокруг оси x ₃ стабильно, но вращение вокруг оси x ₂ нестабильно.

Пример: Проблема 11.34

Рассмотреть симметричное твердое тело, свободно вращающееся вокруг своего центра масс. Момент трения ( Н _f = -b w ) замедляет вращение. Найдите компонент угловая скорость вдоль оси симметрии как функция времени.

Эйлер уравнение, описывающее вращение объекта вокруг оси симметрии, скажем, ось x , это

где компонент крутящего момента по Ox .Поскольку объект симметричен относительно ось x , мы имеем , и выше уравнение становится

Энергия вращения

Если мы толкаем объект вперед, пока объект движется Вперед, ведем позитивную работу по объекту.Объект ускоряется, потому что мы настаиваем на этом. F = ma. Обретает кинетическую энергию. Поступательная кинетическая энергия объект с массой m, центр масс которого движется со скоростью v, равен K = ½mv ².

Поступательная кинетическая энергия = ½ массы * скорость ²

Кинетическая энергия увеличивается пропорционально скорости. Когда скорость машины увеличивается вдвое, его энергия увеличивается в четыре раза.

Вращающийся объект обладает кинетической энергией, даже если объект в целом не имеет поступательное движение.Если мы рассмотрим объект, состоящий из набора частиц, то каждая частица i имеет кинетическую энергию K _i = ½m _i v _i ².
Таким образом, полная кинетическая энергия вращающегося объекта определяется как
K = K _i = ½m _i v _i ² = ½mr _i ² ω ² = ½ω ² ∑mr _i ².
Запишем K = ½ (mr _i ²) ω ² = ½Iω ².
Величина в скобках называется моментом инерции I = ∑m _i r _i ² объекта вокруг оси вращения.
Момент инерции системы относительно оси вращение можно найти, умножив массу m _на каждого частица в системе на квадрат ее перпендикулярного расстояния r _i от оси вращения, и суммируя все эти произведения, I = ∑m _i r _i ².
Для системы с при непрерывном распределении масс сумма превращается в интеграл, I = ∫r ² дм.
Агрегаты момент инерции — это единица массы, умноженная на квадрат расстояния, например кгм ².

Когда объект вращается вокруг По оси кинетическая энергия вращения равна K = ½Iω ².

Кинетическая энергия вращения = ½ момента инерции * (угловая скорость) ².

Когда угловая скорость вращающегося колеса увеличивается вдвое, его кинетическая энергия увеличивается на фактор четыре.

Когда объект совершает поступательное и вращательное движение, мы можем смотреть на движение центра масс и движение вокруг центра масс раздельно.

Полная кинетическая энергия складывается из поступательных кинетическая энергия центра массы (CM) и кинетической энергии вращения относительно CM .

Момент инерции объекта зависит от масса объекта, и как эта масса распределена относительно оси вращение.Момент инерции всегда определяется относительно оси вращения.

Чем дальше основная масса от оси вращения, тем больше инерция вращения (момент инерции) объекта.

Пример:

Представьте себе два колеса одинаковой массы. Одно из них — сплошное колесо с его масса равномерно распределена по всей конструкции, в то время как другая имеет большая часть массы сосредоточена у обода.

Колесо с массой около обода имеет больший момент инерция.

Пример:

Момент инерции кругового диска, вращающегося вокруг оси через свой центр, перпендикулярный плоскости диска, отличается от момент инерции диска, вращающегося вокруг оси через его центр в плоскости диска.

Моменты инерции многих объектов с симметричным распределением масс о различных осях симметрии можно посмотреть в таблицах.

Ссылка: Список моментов инерции

Проблема:

Три частицы связаны жесткими стержнями пренебрежимо малой массы, лежащими вдоль ось Y, как показано.
Если система вращается вокруг оси x с угловой скоростью 2 рад / с, найти
(a) момент инерции относительно оси x и полное вращательное кинетическая энергия рассчитана из ½Iω ², и
(b) линейная скорость каждой частицы и общая кинетическая энергия, оцененная от Σ½m _i v _i ².

Решение:

Рассуждение:
Момент инерции I = ∑m _i r _i ². Здесь r _i — перпендикулярное расстояние частицы i от ось абсцисс.
Линейная скорость частицы i равна v _i. = ωr _и.
Детали расчета:
(a) I = (4 кг) (9 м ²) ^{+
(2 кг) (4 м ²) ^{+
(3 кг) (16 м ²) ^{= 92 кгм ².
Кинетическая энергия вращения K =
½Iω ² = 46 * 4 / с ² = 184 Дж.
(b) Линейная скорость массы 4 кг равна v = 6 м / с, а ее кинетическая энергия равна
½ мв ² = 72 Дж.
Линейная скорость массы 2 кг равна v = 4 м / с, а ее кинетическая энергия равна
½ мв ² = 16 Дж.
Линейная скорость массы 3 кг равна v = 8 м / с, а ее кинетическая энергия равна
½ мв ² = 96 Дж.
Сумма кинетических энергий трех частиц составляет 184 Дж.}}}

Проблема:

Четыре частицы на рисунке справа связаны жесткими стержнями. Начало координат находится в центре прямоугольника. Рассчитайте момент инерции системы относительно оси z.

Решение:

Рассуждение:
Момент инерции I = ∑m _i r _i ². Здесь r _i — перпендикулярное расстояние частицы i от ось z.
Детали расчета:
Каждая частица — это расстояние r = (9 + 4) ^½ м = (13) ^½ м от ось вращения.
I = (3 кг + 2 кг + 4 кг + 2 кг) * 13 м ² = 143 кг · м ².

Проблема:

Найдите момент инерции очень тонкого обруча масса m и радиус r относительно оси симметрии.

Решение:

Рассуждение:
Масса распределена непрерывно, поэтому ∑m -> ∫dm.Все элементы массы dm представляют собой перпендикуляр расстояние r от оси вращения.
I = ∫ r ² dm = r ² ∫dm = mr ².

Теорема о параллельной оси

Рассмотрим составной объект, например два соединенных диски на рисунке справа.
Центр масс этого объекта находится в начале координат. Найти момент инерции объект о CM мы можем использовать теорему о параллельности оси. Эта теорема утверждает, что момент инерции объекта относительно любой оси равен сумма двух слагаемых. Первое слагаемое — момент инерции объекта относительно параллельные оси через его центр масс. Второй член — произведение массы объект M, умноженный на квадрат расстояния R его центра масс от оси в вопрос.

I = I _CM + MR ².

Мы можем рассматривать составной объект как сумму его частей, и для каждой части вычислять момент инерции относительно оси z.
Для диска 1 имеем I ₁ = I _CM1 + M ₁ R ₁ ², а для диска 2 имеем I ₂ = I _CM2 ² + M ₂ R ₂ ².
Тогда момент инерции составного объекта относительно оси z равен I = I ₁ + I ₂.
Для однородного диска массы M момент инерции относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равен ½MR ². Таким образом, для объекта на рисунке мы имеем момент инерции относительно ось z

I = (3/2) MR ² + (3/2) MR ² = 3MR ².

Прокат

Кинетическая энергия объекта с поступательным и вращательным движением равна сумма его поступательной и вращательной кинетической энергии.
Поступательная кинетическая энергия = ½ мв _CM ².
Кинетическая энергия вращения = ½Iω ².
Полная кинетическая энергия = ½ мв _CM ² + ½Iω ².

Рассмотрим колесо радиуса r и массы m, катящееся по плоской поверхности в x-направление.
Смещение Δx и угловое смещение Δθ связаны соотношением Δx = rΔθ.
Величины линейной скорости и угловой скорости связаны соотношением v _CM = rω.

Кинетическая энергия колеса — это сумма кинетической энергии движения колеса. центр масс ½mv _CM ² = ½mr ² ω ², и кинетическая энергия движения вокруг центра масс ½Iω ².
Полная кинетическая энергия

KE _tot = ½mr ² ω ² + ½Iω ² = ½ [mr ² + I] ω ² = ½ [m + I / r ²] v ².

Пример:

Предположим, что колесо представляет собой однородный диск. Момент инерции I однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диск через его CM составляет ½mr ².
Таким образом, кинетическая энергия диска составляет KE _tot = (3/4) mr ² ω ².

Отношение поступательной кинетической энергии к вращательной составляет E _trans / E _rot. = MR ² / I.
Если два катящихся объекта имеют одинаковую общую кинетическую энергию, то объект с меньшим моментом инерции имеет больший поступательная кинетическая энергия и большая скорость.

Проблема:

Предположим, что диск и кольцо с одинаковым радиусом катятся по наклонной высоте. h и угол тета.Если они оба начнут из состояния покоя при t = 0, какой из них достигнет внизу сначала?

Решение:

Подумайте сами, а затем посмотрите этот видеоклип . Ваш ответ был правильным?

Модуль 8: Вопрос 2

Предположим, вы разрабатываете гоночный велосипед и пришло время поработать над колесами. Вам говорят, что колеса должны иметь определенную массу, но вы можете сконструировать их либо как колеса со спицами (как традиционные велосипедные колеса), или вы можете сделать их как имеющие сплошные диски насквозь.Какой дизайн вы бы выбрали, учитывая, что гоночный аспект машины самый главный? Пожалуйста, объясни!

Обсудите это со своими однокурсниками на дискуссионном форуме!

Модуль 8: Вопрос 3

Опишите преобразования энергии, происходящие при броске йо-йо вниз. а затем снова поднимается по своей веревке, чтобы попасть в руку пользователя.

Обсудите это со своими однокурсниками на дискуссионном форуме!

Варианты ответов:

1) 50 Н; 2) 0,5 н; 3) 30 н; 4) 5 н.

механика — Стр 2

В. Тестовые задания

Узнать еще:

Тема 3. Динамика вращательного движения

Момент инерции твёрдого тела — КиберПедия

Момент инерции твёрдого тела.

Момент инерции тела — Справочник химика 21

Обобщение теоремы о параллельности осей для инерции вращения: Американский журнал физики: Том 85, № 10

Момент инерции массы

Связь между главными осями инерции и связывания лиганда

Abstract

Методы

Результаты

Ig Fvs.

Таблица 1

Сдвиг оси в TCR.

MHC – пептидные взаимодействия.

Таблица 2

Белковые взаимодействия.

Таблица 3

Обсуждение

Phy 235 Глава 11

Энергия вращения

Энергия вращения

Пример:

Пример:

Проблема:

Проблема:

Проблема:

Теорема о параллельной оси

Прокат

Пример:

Проблема:

Модуль 8: Вопрос 2

Модуль 8: Вопрос 3

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики