18 мая 2020 г. от администратора

Активные и пассивные элементы — это два разных типа элементов схемы. Эта классификация основана на способности элемента цепи отдавать энергию в виде напряжения или тока. Если элемент цепи может подавать энергию в цепь, он называется активным элементом, тогда как если элемент потребляет … Читать далее

18 мая 2020 г. от администратора

Односторонние и двусторонние элементы представляют собой два разных типа элементов электрических / электронных схем на основе их характеристик V-I при изменении полярности напряжения. В этой статье подробно описаны односторонние и двусторонние элементы и схемы с соответствующими схемами. Односторонние элементы: Односторонние элементы в электрической цепи определяются как элемент, чей V-I … Читать далее

17 мая 2020 г. от администратора

Определение: Треугольник импеданса представляет собой прямоугольный треугольник, основание, перпендикуляр и гипотенуза которого представляют сопротивление, реактивное сопротивление и импеданс соответственно. По сути, это геометрическое представление импеданса цепи. Объяснение треугольника импеданса: импеданс состоит из двух компонентов, а именно. сопротивление и реактивность. Следовательно, она может быть выражена в этих двух компонентах. Пусть полное сопротивление … Читать далее

17 мая 2020 г. от администратора

Реактивное сопротивление определяется электрической величиной, из-за которой переменному току противодействует катушка индуктивности или конденсатор или их комбинация в цепи. Импеданс — это чистый противодействующий фактор переменному току. Реактивное сопротивление также можно назвать импедансом, обеспечиваемым катушкой индуктивности или конденсатором. Реактивное сопротивление обозначается X, а полное сопротивление … Читать далее

17 мая 2020 г. от администратора

Что такое оператор j? j Оператор — это математический оператор, который при умножении на любой вектор поворачивает этот вектор на 90 градусов против часовой стрелки. Подобно тому, как символы x, +, – и т. д. используются с числами для обозначения определенных операций, которые необходимо выполнить с этими числами, оператор j используется для обозначения счетчика часов … Читать далее

16 мая 2020 г. от администратора

Основное различие между сопротивлением и импедансом заключается в том, что сопротивление противостоит потоку постоянного и переменного тока, тогда как импеданс противодействует только потоку переменного тока. Импеданс имеет значение только в цепи переменного тока. В цепи постоянного тока это не имеет никакого значения. Еще одно важное различие между сопротивлением и импедансом заключается в том, что импеданс может… Читать далее

16 мая 2020 г. от администратора

Формулировка теоремы о передаче максимальной мощности в цепи переменного тока: В цепи переменного тока теорема о передаче максимальной мощности формулируется следующим образом: В линейной сети, имеющей источники энергии и полное сопротивление, максимальное количество мощности передается от источника к сопротивлению нагрузки, если сопротивление нагрузки является комплексно-сопряженным полным сопротивлением … Читать далее

16 мая 2020 г. 16 мая 2020 г. от admin

Что такое правило деления напряжения? Правило разделения напряжения гласит, что общее напряжение, прикладываемое к последовательному соединению нескольких резисторов, делится между резисторами пропорционально их сопротивлению. Это означает, что падение напряжения будет максимальным на резисторе с максимальным значением сопротивления. Аналогично, минимальной она будет для резистора, имеющего … Читать далее

15 мая 2020 г. от администратора

Что такое текущее правило деления? Правило разделения тока гласит, что общий ток, разделенный на параллельную комбинацию двух сопротивлений или импедансов, обратно пропорционален значению сопротивления/импеданса. Это в основном говорит нам, как ток делится на параллельно подключенное сопротивление. Это правило применимо для АС … Читать далее

— GeeksforGeeks

В отличие от постоянного тока (DC), который течет только в одном направлении, Переменный ток (AC) — это электрический ток, который время от времени меняет направление и постоянно меняет свою величину с течением времени. Переменный ток — это тип электричества, который доставляется компаниям и домам, и это тип электричества, который используется потребителями, когда они подключают кухонные приборы, телевизоры, вентиляторы и электрические лампы к настенной розетке. Аккумулятор фонарика часто является источником питания постоянного тока. При изменении тока или напряжения сокращения AC и DC часто используются для обозначения просто переменного и постоянного тока.

В большинстве электрических цепей наиболее распространенной формой волны переменного тока является синусоида, положительный полупериод которой соответствует положительному направлению тока и наоборот. На самом деле ток может не изменить направление (как для помеченной пульсирующей формы волны). Различные формы сигналов, такие как треугольные волны или прямоугольные волны, используются в различных приложениях, таких как гитарные усилители. К переменному току относятся также аудио- и радиосигналы, передаваемые по электрическим линиям. Такая информация, как звук (аудио) или изображения (видео), иногда передается посредством модуляции несущего сигнала переменного тока в этих формах переменного тока. Частота этих токов обычно выше частоты токов электропередачи.

Цепь LCR серии

Цепь LCR состоит из трех компонентов: катушки индуктивности (L), конденсатора (C) и резистора (R). Настроенная или резонансная схема — это другое название. Цепь последовательного LCR состоит из этих устройств, которые соединены последовательно. В результате резистор, конденсатор и катушка индуктивности будут иметь одинаковое количество тока, протекающего через них.

 

Напряжение V _S подается на последовательную цепь LCR в приведенной выше схеме, которая изображает простую последовательную цепь LCR.
Импеданс — это величина сопротивления, которое цепь оказывает току. Это эффективное сопротивление переменному току в электрической цепи, состоящей из множества электрических компонентов. Это вызвано взаимодействием омического сопротивления, емкостного сопротивления и индуктивного сопротивления. Если R обозначает сопротивление, X _L обозначает индуктивное сопротивление, X _C обозначает емкостное сопротивление, тогда Z обозначает импеданс.

Z=√ R ² +(X _C −X _L ) ²

Расчет переменного напряжения, приложенного к последовательной цепи LCR питание от сети переменного тока. Переменное напряжение V подается от источника напряжения, где

V=V _м sin(ωt)

где

• В _м – амплитуда приложенного напряжения, а
• ω — частота приложенного напряжения.

Если q — заряд конденсатора, а I — ток, протекающий в цепи в любой момент t, уравнение напряжения для цепи можно записать следующим образом:

Суммарная ЭДС в цепи: В (напряжение источника ) = Падение напряжения на резисторе + Падение напряжения на конденсаторе + ЭДС Фарадея самоиндукции в дросселе

V=L(di/dt) + IR + q/C

Собственная индуктивность дросселя обозначается L.

Подставляя переменное напряжение вместо выражения, мгновенный ток I или его фаза, соответствующая приложенному переменному напряжению V. Мы знаем, что ток равен скорости, с которой электрический заряд течет в единицу времени, т. е.

I=dq/dt

по времени получаем:

dI/dt=d ² q/dt ²

Уравнение напряжения относительно q получается путем подстановки вышеуказанного значения в уравнение (1):

В _{sin ) = L(d ² q/dt ² ) + (dq/dt)R + q/C}             ……(2)

Уравнение для вынужденного или затухающего гармонического осциллятора аналогично этому уравнению.

q = q _m sin(ωt+θ)

Дифференцирование обеих сторон по времени,

dq/dt = q _m ωcos(ωt+θ)

d ² q/dt ² =–q _m ω ² sin(ωt+θ)

Подставляя эти значения в уравнение (2), получаем )]                 …..(3)

Здесь,

• Емкостное сопротивление: X _C =1/ωC 
9021 X _L =ωL
• Impedance: Z= √R2+(X _C −X _L ) ²

Substituting the above values ​​in equation (3), so we get:

V _M sin (ωt) = Q _M ωz [r/z cos (ωt+θ)+(x _C –x _L )/zsin (ωt+θ)] … (4)

Рассмотрим,

R/Z = cos∅

(X _C –X _L )/Z = sin∅

Разделение двух уравнений:

(x _C –x _L )/R = TAN∅

∅ = TAN ^—1 (X _C4444444444444444). /R)

Подставив вышеуказанные значения в уравнение (4):

В _м sin(ωt)=q _м ωZ[cos(ωt+θ–∅)]

Сравнение LHS В правой части этого уравнения получаем

V _м =q _м ωZ=I _м Z

Ток в схеме LCR,

I = DQ/DT

или,

I = Q _M ωcos (ωt+θ)

I _{33333333333 M} . θ) [где, Q _M ω = I _M ]

, так как θ — ∅ = — π/2

θ = — π/2 + ∅

Мы получаем,

I = _m cos(ωt–π/2+∅)

I = I _m sin(ωt+∅)

Здесь I _m =V _m /Z = V _m / √R ² +(X _C –X _L ) ² and ∅=tan ^–1 (X _C –X _L /R)

• Таким образом, при θ=0 ^∘ , В результате приложенное напряжение и мгновенный ток совпадают по фазе
• При θ=90 ^∘ , Приложенное напряжение равно не в фазе с мгновенным током.

Резонанс цепи LCR

Если выход цепи достигает максимума на определенной частоте, говорят, что она находится в резонансе. Явление резонанса связано с системами, которые имеют тенденцию колебаться с определенной частотой, известной как собственная частота системы. Наблюдается, что амплитуда колебаний учитывается, когда источник энергии приводит в движение такую ​​систему с частотой, близкой к собственной частоте.

Мы обнаружили, что амплитуды напряжения, частоты и тока связаны друг с другом в следующем ряду цепей LCR: R ² +(X _C –X _L ) ²

where, 

• X _C =1/ωC and 
• X _L =ωL

I _м =V _м /Z=V _m / √R ² +(1/ωC−ωL) ²

Когда импеданс цепи низкий, ток, протекающий через нее, максимален. Для этого мы изменяем значение частоты, пока не получим X _C = X _L при заданной частоте ω ₀ , а импеданс

Z=√ R ² +(X _C −X _L ) ² = √ R ² +0 = R

Таким образом, ток будет максимальным, т. е.

I=V _m /R

Когда импеданс последовательной цепи LCR, Z=R, равен сопротивлению. Эта частота ω ₀ называется резонансной частотой контура.

For, X _C =X _L

1/ω ₀ C=ω ₀ L

Or, 

ω ₀ = 1/√LC

Резонанс возникает в последовательной цепи LCR, когда емкостное и индуктивное сопротивления равны по величине, но разнесены по фазе на 180 градусов.

Для последовательной цепи LCR разность фаз,

∅=tan ^–1 (X _C –X _L / R)

Для, X _C =X L, 90∅ 0, схема находится в резонансе.

x _C > x _L , ∅ <0, схема преимущественно емкости

x _C L , ∅> 0, схема схема преобладает. Отношение активной мощности к полной мощности используется для определения мощности цепи переменного тока. то есть

Power Factor, CosΦ=Active power/Total Power

CosΦ=I ² R / I ² Z

=R/Z

= R / √(R) ² +( X _L −X _C ) ²

Потребляемая мощность: Резистор является единственным компонентом в цепи, который потребляет мощность; индуктор и конденсатор — нет. Следовательно,

P=VI CosΦ

=(IZ)×I×R/Z

= I ² R

Добротность последовательного резонансного контура: Добротность контура (добротность) определяется как отношение реактивной мощности к активной, т. е.

Добротность = реактивная мощность /Активная мощность

Q -Factor = I ² x _L /I ² R = = I ² x _C /I ² R _{. /R = 1/ωCR}

В резонансе

ω ₀ =1/√LC

Итак, 

Q ₀ −фактор=1/R × √L/C

Примеры задач

91:169 30 Ом, L = 15 мГн, C = 51 мкФ. Если напряжение и частота источника равны 12 В и 60 Гц соответственно, какова сила тока в цепи?

Решение:

x _L = 2 × 3,14 × 60 × 0,015 = 5,655 ω

x _C = 1/2 × 3,14 × 6051515151515151 гг.0003

z = √ (30) ² + (52-5.655) ² = 55,21 ω

I = 12/55,21 = 217 мА

Задача 2: a stirc rlc orcistc orcistc orcistc orcistc orcistc rlc rlc. резистор ом, конденсатор 51 мкФ и катушка индуктивности 25 мГн. Если частота источника 50 Гц, а ток в цепи 350 мА, каково приложенное напряжение?

Решение:

Учитывая, что

R = 20 Ом

X _L = 2 × 3,14 × 50 × 0,025 = 7,85 Ом

x _C = 1/2 × 3,14 × 50 × 0,000051 = 62,445 ω

z = √ (20) ² + (7,85-62,445) ² = 58,15 ω

9008

. 0,35 = 20 В

Проблема 3. В источнике переменного тока 240 В, 50 Гц применена катушка с индуктивностью 0,08 Гн и сопротивлением 4 Ом, соединенная последовательно с конденсатором 8 мкФ. Вычислить импеданс

Решение:

Здесь

X _L = ωL = 2πfL=2π×50×0,08=25,12 Ом

X _C =1/ωC=1/2πfL=1/2π×50×8×10 ⁻⁶ = 398,09 Ом

Таким образом,

Полное сопротивление цепи

Z=√1(R) 2 +(x _L -x _C ) ²

= √ (4) ² +(25,12–398,09) ²

= 908,09) ²

= . 09) ²

= .09) ² 9000 3 9086 = .09) ²

66 = 9019,09) ²

66 = 9019,09) ²

= 908,09) ²

= 908,09). Вопрос 1: Каковы условия резонанса для последовательной цепи LCR?

Ответ:

Емкостное и индуктивное сопротивления равны и сдвинуты по фазе на 180 градусов при резонансе.

Вопрос 2: Каково сопротивление последовательной цепи LCR?

Ответ:

Суммарное воздействие омического сопротивления и реактивного сопротивления дает эффективное сопротивление электрической цепи или компонента переменному току.

Полное сопротивление последовательной цепи LCR выражается как

Z=√R ² +(X _C −X _L ) ²

Вопрос 3: Какова острота резонанса?

Ответ:

Добротность определяет остроту резонанса.

• Коэффициент добротности — это безразмерный параметр, характеризующий потери энергии в резонансном элементе, таком как механический маятник, элемент механической конструкции или электронная схема, такая как резонансная цепь.
• Q часто используется вместе с катушкой индуктивности.
• Острота резонанса пропорциональна скорости затухания энергии колебательной системы.

Анализ передаточной функции | Основная теория переменного тока (AC)

Чрезвычайно важной темой в технике является передаточная функция . Проще говоря, передаточная функция — это отношение выхода к входу для любой физической системы, обычно с выходом и входом, являющимися математическими функциями \(s\). Другими словами, мы выражаем как выход системы, так и соответствующий вход этой системы в терминах экспоненциально растущих/затухающих синусоидальных волн, а затем находим отношение этих двух выражений.

К сожалению, преподавание передаточных функций и их связи с явлениями реального мира часто запутывается из-за сильного упора на математику. Цель этого раздела состоит в том, чтобы представить эту концепцию очень «мягко» и постоянно ссылаясь на реальные приложения. Если я смогу сделать что-нибудь, чтобы помочь приподнять завесу тайны, окружающую такие понятия, как передаточные функции, переменная \(s\) и графики нулевого полюса, тогда техники и инженеры смогут оценить мощь этого аналитического метода. и иметь возможность обмениваться большим количеством идей на одном и том же «языке».

Простым примером передаточной функции является усиление электронного усилителя. Как учат все студенты электроники, «усиление» — это отношение выходного сигнала к входному сигналу для схемы. Начинающие учащиеся учатся представлять коэффициенты усиления цепи в виде скалярных значений (например, «Усилитель имеет коэффициент усиления по напряжению 24»), сначала в виде простых коэффициентов, а затем в виде цифр в децибелах (например, «Усилитель имеет коэффициент усиления по напряжению 27,6 дБ»). Одним из недостатков этого подхода является то, что он чрезмерно упрощает ситуацию, когда коэффициент усиления рассматриваемой схемы зависит от частоты и/или скорости нарастания/спада сигнала, что бывает довольно часто. Если мы воспользуемся инженерным подходом к выражению выходных и входных сигналов как функций \(s\), мы получим более полную картину поведения этой схемы в широком диапазоне условий.

Другим простым примером передаточной функции является то, что мы только что видели в этой книге: импеданс реактивного электрического компонента, такого как конденсатор или катушка индуктивности. Здесь речь идет о соотношении между напряжением и током. Если мы считаем, что ток через компонент является «входным» сигналом, а напряжение на компоненте является «выходным» сигналом — оба выражения выражены в терминах \(s\) — тогда импеданс \(Z(s) = {V( s) \over I(s)}\) — передаточная функция для этого компонента. Это поднимает важный вопрос о передаточных функциях: то, что мы определяем как «вход» и «выход» системы, совершенно произвольно, пока существует реальная связь между двумя сигналами.

Если мы запишем обобщенные входные/выходные передаточные функции \(s\) для цепи переменного тока, мы можем математически проанализировать эту передаточную функцию, чтобы получить представление о поведении и характеристиках этой цепи. Особенности передаточных функций, представляющие интерес для нас, включают:

• Нули : любое значение(я) \(s\), приводящее к нулевому значению передаточной функции (т.е. нулевое усиление)
• Полюса : любое значение(я) \(s\), приводящее к бесконечному значению передаточной функции (т.е. максимальный коэффициент усиления)

нули цепи переменного тока говорят нам, где цепь не реагирует на входные воздействия. полюса цепи переменного тока говорят нам, где схема способна генерировать выходной сигнал без входного стимула (т. е. ее естественный или неуправляемый режим(ы) реакции).

Для четкого понимания концепции передаточных функций очень полезны практические примеры. Здесь мы рассмотрим несколько очень простых цепей переменного тока, чтобы понять, что такое передаточные функции и какую пользу они приносят системному анализу.

Пример: схема фильтра нижних частот LR

Сначала давайте начнем с простой схемы фильтра нижних частот, состоящей из катушки индуктивности и резистора, соединенных последовательно:

Полное сопротивление каждого компонента как функция \( s\) показано на диаграмме: импеданс индуктора равен \(sL\), а импеданс резистора просто \(R\). Любому изучающему электронику должно быть ясно, что эти два компонента будут функционировать как делитель напряжения , при этом выходное напряжение составляет некоторую часть входного напряжения. Зная это, мы можем написать передаточную функцию для этой схемы на основе формулы делителя напряжения, которая говорит нам, что отношение выходного напряжения к входному напряжению такое же, как отношение выходного импеданса к общему импедансу:

\[\hbox{Передаточная функция} = {V_{out}(s) \over V_{in}(s)} = {R \over {R + sL}} = {R \over {R + (\ sigma + j \omega) L}}\]

Эта передаточная функция позволяет нам вычислить «выигрыш» системы для любого заданного значения \(s\), что подводит нас к следующему шагу нашего анализа. На этом этапе мы зададим себе три вопроса:

1. Как эта система реагирует, когда \(s = 0\)?
2. При каком значении (значениях) \(s\) передаточная функция приближается к нулевому значению?
3. При каком значении (значениях) \(s\) передаточная функция приближается к бесконечности?

Первый из этих вопросов относится к ситуации, когда на вход системы подается устойчивый сигнал постоянного тока. Если \(s = 0\), то и \(\sigma\), и \(\omega\) должны быть равны нулю. Нулевое значение для \(\sigma\) означает, что сигнал не растет и не затухает с течением времени, а остается на каком-то неизменном значении. Нулевое значение для \(\omega\) означает, что сигнал не колеблется. Эти два условия могут относиться только к устойчивому сигналу постоянного тока, приложенному к цепи. Подставляя ноль вместо \(s\), получаем:

\[{R \over {R + 0 L}}\]

\[{R \over R} = 1\]

Следовательно, передаточная функция этой цепи равна единице (1) в условиях постоянного тока. Это именно то, чего можно было бы ожидать, если бы катушка индуктивности была соединена последовательно с резистором, а выходное напряжение падало бы на резистор. Если в подаваемом сигнале нет изменений, то магнитное поле катушки индуктивности также будет неизменным, а это означает, что на ней будет падать нулевое напряжение (при условии, что это чистая катушка индуктивности без сопротивления провода), в результате чего все входное напряжение падает на резисторе.

Второй вопрос относится к состоянию, когда выходной сигнал этой схемы равен нулю. Любые значения \(s\), приводящие к нулевому выходу системы, называются нулями передаточной функции. Исследуя передаточную функцию для этой конкретной схемы фильтра нижних частот LR, мы видим, что это может быть верным только в том случае, если \(s\) становится бесконечно большим, потому что \(s\) находится в знаменателе дроби:

\ [{R \over {R \pm \infty L}} = 0\]

Это согласуется с поведением фильтра нижних частот: по мере увеличения частоты (\(\omega\)) выходной сигнал фильтра уменьшается . Однако передаточная функция не только говорит нам, как эта схема будет реагировать на изменение частоты, но также говорит нам, как схема будет реагировать на нарастающие или затухающие сигналы. Здесь мы видим, что бесконечно большие значения \(\сигма\) также приводят к нулевому выходному сигналу: катушка индуктивности, которая имеет тенденцию противодействовать любому току с высокой скоростью изменения, не позволяет большому напряжению развиваться на резисторе, если вход сигнал очень быстро нарастает или затухает.

Третий вопрос относится к условию, когда либо числитель передаточной функции стремится к бесконечности, либо ее знаменатель приближается к нулю. Любые значения \(s\), имеющие этот результат, называются полюсами передаточной функции. Поскольку числитель в этом конкретном случае является константой (\(R\)), только нулевое значение знаменателя может привести к тому, что передаточная функция достигнет бесконечности:

\[{R \over {R + sL}} = \infty \hbox{ только если } R + sL = 0\]

Если необходимым условием для «полюса» является то, что \(R + sL = 0\), то мы можем решить для \(s\) следующим образом:

\[R + sL = 0\]

\[sL = -R\]

\[s = -{R \over L}\]

Таким образом, эта передаточная функция для этого простого фильтра нижних частот схема имеет один полюс, расположенный в \(s = — R / L\). Поскольку и \(R\), и \(L\) являются действительными числами (не мнимыми) с положительными значениями, то значение \(s\) для полюса должно быть действительным числом с отрицательным значением. Другими словами, решение для \(s\) на этом полюсе есть все \(\сигма\) и никакое \(\омега\): это относится к экспоненциально затухающему сигналу постоянного тока .

На данном этапе важно рассмотреть, что означает это состояние «полюса» в реальной жизни. Представление о том, что схема способна генерировать выходной сигнал при нулевом входном сигнале, может показаться абсурдным, но оно имеет смысл, если рассматриваемая схема способна накапливать и выделять энергию. В этой конкретной схеме катушка индуктивности является компонентом, накапливающим энергию, и она способна создавать падение напряжения на резисторе с нулевым входным напряжением в режиме «разрядки».

Иллюстрация помогает понять это. Если условие «полюса» таково, что \(V_{in}(s) = 0\), мы можем показать это, замкнув накоротко вход нашей схемы фильтра, чтобы обеспечить условие нулевого входа:

Если предположить, что катушка индуктивности была «заряжена» энергией до короткого замыкания входа, выходное напряжение обязательно возникнет на резисторе по мере разрядки катушки индуктивности. Другими словами, катушка индуктивности ведет себя как электрический источник , в то время как резистор ведет себя как электрическая нагрузка : соединенные последовательно, они, конечно, должны иметь один и тот же ток, но их соответствующие напряжения равны по величине и противоположны по полярности в соответствии с с законом напряжения Кирхгофа. Кроме того, значение \(s\) в этом «полюсном» состоянии точно говорит нам, как быстро будет затухать выходной сигнал: он будет делать это со скоростью \(\sigma = -R / L\). Напомним, что член роста/убывания переменной \(s\) обратно пропорционален постоянной времени системы (\(\sigma = 1 / \tau\)). Следовательно, \(\сигма\) значение \(R / L\) эквивалентно постоянной времени \(L / R\), что, как узнают все начинающие студенты электроники, заключается в том, как мы вычисляем постоянную времени для простая схема индуктор-резистор.

Передаточные функции легче понять, если графически изобразить их в виде трехмерных поверхностей: действительная и мнимая части переменной \(s\) занимают горизонтальные оси, а величина дроби передаточной функции отображается как высота. Вот график полюс-ноль передаточной функции этой схемы фильтра нижних частот со значением резистора \(R = 5 \> \Omega\) и значением индуктивности \(L = 10 \hbox{H} \):

Этот поверхностный график делает значение термина «полюс» совершенно очевидным: форма функции выглядит точно так же, как резиновый коврик, натянутый в одной точке физическим полюсом. Здесь «полюс» поднимается на бесконечную высоту при значении \(s\), где \(\sigma\) = \(-0,5\) постоянных времени в секунду и \(\omega\) = 0 радиан в секунду. . Видно, что высота поверхности уменьшается на всех краях графика по мере увеличения значения \(\sigma\) и \(\omega\).

«Нуль» этой передаточной функции не так очевиден, как полюс, поскольку значение функции не равно нулю до тех пор, пока \(s\) не станет бесконечным, что, конечно, не может быть нанесено на какую-либо конечную область. Достаточно сказать, что ноль этой передаточной функции лежит во всех горизонтальных направлениях на бесконечном расстоянии от начала координат (центра), что объясняет, почему поверхность наклоняется к нулю везде с увеличением расстояния от полюса.

Одной из ценных идей, которую дает трехмерный график полюс-ноль, является реакция системы на входной сигнал постоянной величины и переменной частоты. Это обычно называют частотная характеристика системы, ее графическое представление называется графиком Боде . Мы можем проследить график Боде для этой системы, открыв срез трехмерной поверхности в поперечном сечении вдоль плоскости, где \(\сигма = 0\) (т.е. показав, как система реагирует на синусоидальные волны различной частоты, которые не t растут или затухают со временем):

Здесь нанесена только половина поверхности полюс-ноль, чтобы лучше показать поперечное сечение по оси \(j \omega\). Жирная красная кривая отслеживает край поверхности передаточной функции, начиная с нулевой частоты (DC) до все более положительных значений \(j \omega\). Таким образом, красная кривая представляет собой график Боде для этого фильтра нижних частот, начиная с максимального значения 1 (\(V_{out} = V_{in}\) для входного сигнала постоянного тока) и приближаясь к нулю по мере увеличения частоты.

Какими бы проницательными ни были трехмерные графики полюс-ноль, их сложно рисовать вручную, и даже с помощью компьютера может потребоваться много времени для настройки. По этой причине графики полюс-ноль традиционно рисовались в двумерном, а не в трехмерном формате, с высоты птичьего полета, глядя на плоскость \(s\). Поскольку этот вид скрывает любые особенности высоты, полюса и нули вместо этого расположены на плоскости \(s\) символами \(\times\) и \(\circ\) соответственно. Здесь показан пример традиционного графика полюс-ноль для нашего фильтра нижних частот:

Следует признать, что этот тип графика полюс-ноль гораздо менее интересен для просмотра, чем трехмерная поверхность, построенная компьютером, но, тем не менее, содержит полезную информацию о системе. Единственный полюс, лежащий на действительной (\(\сигма\)) оси, говорит нам, что система не будет совершать автоколебаний (т.е. \(\омега = 0\) на полюсе), и что она по своей природе устойчива: импульс, его естественная тенденция состоит в том, чтобы затухать до стабильного значения с течением времени (т. Е. \ (\ sigma < 0 \)).

Следует отметить, что передаточные функции и графики полюс-ноль применимы не только к схемам фильтров. На самом деле любая физическая система, имеющая ту же характеристику «низких частот», что и эта схема фильтра, может быть описана той же передаточной функцией и теми же графиками полюс-ноль. Электрические цепи оказались удобными приложениями, потому что характеристики их отдельных компонентов так легко представить как функции \(s\). Однако, если мы можем охарактеризовать компоненты другой физической системы в одних и тех же терминах, применяются те же математические инструменты.

Пример: RC-схема фильтра верхних частот

В нашем следующем ознакомительном примере мы рассмотрим еще одну простую схему фильтра, на этот раз состоящую из конденсатора и резистора, с выходным сигналом, принимаемым через резистор. Как и прежде, мы можем получить передаточную функцию, выразив \(V_{out} / V_{in}\) как отношение импеданса резистора к общему последовательному импедансу резистор-конденсатор (рассматривая это как схему делителя напряжения):

\[\hbox{Передаточная функция} = {V_{out}(s) \over V_{in}(s)} = {R \over {R + {1 \over sC}}}\]

После написания этой начальной передаточной функции, основанной на импедансах компонентов, мы будем алгебраически манипулировать ею, чтобы исключить составные дроби. Это поможет нам проанализировать отклик цепи по постоянному току, нули и полюса:

\[R \over {R + {1 \over sC}}\]

\[R \over {{sRC \over sC} + {1 \over sC}}\]

\[R \over {1 + sRC \over sC}\]

\[sRC \over 1 + sRC\]

Эта передаточная функция позволяет нам рассчитать коэффициент усиления ” системы для любого заданного значения \(s\), что подводит нас к следующему шагу нашего анализа. Еще раз зададим себе три вопроса о передаточной функции:

1. Как эта система реагирует, когда \(s = 0\)?
2. При каком значении (значениях) \(s\) передаточная функция приближается к нулевому значению?
3. При каком значении (значениях) \(s\) передаточная функция приближается к бесконечности?

Отвечая на первый вопрос, видим, что передаточная функция равна нулю при \(s = 0\):

\[{0RC \over 1 + 0RC}\]

\[{0 \over 1 + 0} = {0 \over 1} = 0\]

Конечно, значение 0 для \(s\) означает воздействие постоянного сигнала постоянного тока: такого, который не растет, не затухает со временем и не колеблется. Следовательно, эта схема резистор-конденсатор будет выдавать нулевое напряжение при воздействии на входной сигнал постоянного тока. Это имеет концептуальный смысл, когда мы исследуем саму схему: напряжение входного сигнала постоянного тока означает, что конденсатор не будет испытывать никаких изменений напряжения с течением времени, а это означает, что он не будет пропускать ток через резистор. Без тока через резистор не будет выходного напряжения. Таким образом, конденсатор «блокирует» входной сигнал постоянного тока, не давая ему достичь выхода. Именно такое поведение мы и ожидаем от такой схемы, которую любой изучающий электронику должен сразу распознать как простую схему.0021 фильтр верхних частот : постоянный ток — это состояние нулевой частоты, которое должно быть полностью заблокировано любой схемой фильтра с характеристикой верхних частот.

Ответ на наш первый вопрос является также ответом на второй вопрос: «Какое значение \(s\) делает передаточную функцию равной нулю?» Здесь мы видим, что только при значении \(s = 0\) значение всей передаточной функции будет равно нулю. Любые другие значения \(s\) — даже бесконечные — дают ненулевые результаты. В отличие от последней схемы (резисторно-индукторный фильтр нижних частот) эта схема имеет единственную «нулевую» точку в своей передаточной функции: одно конкретное место на графике полюс-ноль, где значение функции уменьшается до нуля.

Когда мы рассматриваем третий вопрос («Какое значение(я) \(s\) заставляет передаточную функцию приближаться к бесконечности?»), мы поступаем так же, как и раньше: находим значение(я) \(s) \), что сделает знаменатель дроби передаточной функции равным нулю. Если мы приравняем часть знаменателя к нулю и решим для \(s\), мы получим полюс для схемы:

\[1 + sRC = 0\]

\[sRC = -1\]

\[s = -{1 \over RC}\]

Мы знаем, что и \(R\), и \(C\) — действительные числа, а не мнимые. Это говорит нам о том, что \(s\) также будет действительным числом на полюсе. То есть \(s\) будет состоять из всех \(\sigma\) и ни одного \(\omega\). Тот факт, что значение \(\сигма\) отрицательное, говорит нам о том, что полюс представляет собой состояние экспоненциальный спад , точно такой же, как и в случае резисторно-индуктивного ФНЧ. Как и прежде, это означает, что схема будет генерировать сигнал выходного напряжения без сигнала входного напряжения, когда скорость затухания сигнала равна \(\sigma = -1 / RC\).

Напомним, что скорость затухания переменной \(s\) (\(\sigma\)) есть не что иное, как величина, обратная постоянной времени системы (\(\tau\)). Таким образом, скорость затухания, равная \(1 / RC\), приравнивается к постоянной времени \(\tau = RC\), что, как известно всем изучающим электронику, является тем, как мы вычисляем постоянную времени для любой простой схемы резистор-конденсатор.

Используя компьютер для построения трехмерного представления этой передаточной функции, мы ясно видим и полюс, и ноль как сингулярности. Здесь я предположил резистор 10 Ом и конденсатор 0,2 Ф, чтобы разместить полюс в том же месте, что и в схеме фильтра нижних частот \(s = -0,5 + j0\), для справедливого сравнения:

Здесь мы видим как полюс в точке \(s = -0,5 + j0\), так и нуль в точке \(s = 0 + j0\) совершенно ясно: полюс представляет собой особую точку бесконечной высоты, а нуль особая точка нулевой высоты. Трехмерная поверхность передаточной функции выглядит как резиновый лист, растянутый на бесконечную высоту в полюсе и вытянутый до уровня земли в нуле.

Как и в последнем примере, мы можем перестроить передаточную функцию таким образом, чтобы показать вид в поперечном сечении при \(\sigma = 0\), чтобы показать частотную характеристику этой схемы фильтра верхних частот:

Снова жирная красная кривая показывает край поверхности передаточной функции, начиная с нулевой частоты (DC) до возрастающих положительных значений \(j \omega\). Таким образом, красная кривая представляет собой график Боде для этого фильтра верхних частот, начиная с минимального значения 0 (\(V_{out} = 0\) для входного сигнала постоянного тока) и приближаясь к единице (1) по мере увеличения частоты. Естественно, это тип отклика, который мы ожидаем увидеть от схемы фильтра верхних частот.

Более традиционный двумерный график полюс-ноль для этой схемы определяет положение полюса с помощью символа «\(\times\)», а ноль — с помощью символа «\(\circ\)»:

Пример: LC-контур

Далее мы исследуем передаточную функцию для контура , состоящего из конденсатора и катушки индуктивности. Мы предполагаем использование здесь чистых реактивных сопротивлений без электрического сопротивления или других потерь энергии любого рода, просто для анализа идеального случая. Выходное напряжение в этой конкретной схеме будет приниматься через дроссель:

Запись передаточной функции для этой цепи резервуара (еще раз) заключается в выражении отношения между полным сопротивлением выходного компонента и полным сопротивлением цепи:

\[\hbox{Передаточная функция} = {V_{out} (s) \over V_{in}(s)} = {sL \over {sL + {1 \over sC}}}\]

Алгебраические манипуляции с этой функцией для устранения составных дробей:

\[sL \over { sL + {1 \over sC}}\]

\[sL \over {{sLsC \over sC} + {1 \over sC}}\] 92\) терминов, а не \(s\) терминов. Это делает его функцией второго порядка , которая будет давать очень разные результаты на графике полюс-ноль, чем те, которые мы видели со схемами фильтра резистор-индуктор или резистор-конденсатор.

Снова задаем себе те же три вопроса:

1. Как эта система реагирует, когда \(s = 0\)?
2. При каком значении (значениях) \(s\) передаточная функция приближается к нулевому значению?
3. При каком значении (значениях) \(s\) передаточная функция приближается к бесконечности? 92 = -{1 \over LC}\]

   \[s = \sqrt{-{1 \over LC}}\]

   \[s = \pm j \sqrt{1 \over LC}\]

   Учитывая тот факт, что и \(L\), и \(C\) являются действительными, положительными числами, и, следовательно, решение для \(s\) требует извлечения квадратного корня из отрицательного действительного числа, мы видим, что значение \(s\) должны быть мнимыми. Мы также видим здесь, что в этой передаточной функции есть два полюса: один при \(s = 0 + j \sqrt{1 \over LC}\), а другой при \(s = 0 — j \sqrt{1 \ над LC}\).

   Используя компьютер для построения трехмерного представления этой передаточной функции, мы ясно видим один нуль в точке \(s=0\) и два полюса, симметрично расположенные вдоль оси \(j \omega\). Здесь я принял конденсатор 0,2 Ф и катушку индуктивности 5 Гн для номиналов компонентов: при \(s = 0 — j1\)) говорит нам, что схема способна генерировать колеблющийся выходной сигнал (\(\omega\) = 1 радиан в секунду частоты) при постоянной величине (\(\sigma = 0\)) без входного сигнала. Это возможно только потому, что мы предположили идеальный конденсатор и идеальную катушку индуктивности без каких-либо потерь энергии. Если мы зарядим один или оба этих компонента, а затем немедленно замкнем накоротко вход схемы, чтобы убедиться, что \(V_{in} = 0\), он будет вечно колебаться на своей резонансной частоте.

   Ранее мы отмечали, что полюсами в этой схеме были \(s = 0 + j \sqrt{1 \over LC}\) и \(s = 0 — j \sqrt{1 \over LC}\). Другими словами, его резонансная частота равна \(\omega = \sqrt{1 \over LC}\). Вспоминая, что определение \(\omega\) — это радианы вращения фазора в секунду, и что на один полный оборот (цикл) приходится \(2 \pi\) радиан, мы можем вывести известную формулу резонансной частоты для простого Цепь LC:

   \[\omega = \sqrt{1 \over LC}\]

   \[\hbox{. . . заменив } 2 \pi f \hbox{ на } \omega \hbox{ . . .}\]

   \[2 \pi f = \sqrt{1 \over LC}\]

   \[f = {1 \over 2 \pi \sqrt{LC}}\]

   Взяв поперечное сечение этой поверхности график в \(\sigma = 0\), чтобы получить частотную характеристику (график Боде) LC-контура, мы видим, что выходной сигнал этой схемы начинается с нуля, когда частота (\(\omega\)) равна нулю, затем выход достигает пика на резонансной частоте (\(\omega\) = 1 рад/сек), затем выход приближается к единице (1) по мере увеличения частоты после резонанса:

   Более традиционный двумерный график полюс-ноль для эта схема показывает ноль и два полюса, используя символы «\(\circ\)» и «\(\times\)»:

   Пример: схема полосового фильтра RLC

   В нашем следующем примере схемы мы добавим резистор последовательно с катушкой индуктивности и конденсатором, чтобы исследовать их влияние на передаточную функцию. Взяв наше выходное напряжение на резисторе, мы должны ожидать, что эта схема покажет поведение фильтрации в полосе пропускания с максимальным напряжением, развивающимся на резисторе на одной частоте, где импедансы катушки индуктивности и конденсатора компенсируются:

   92\) срок. Еще раз повторим наши три вопроса:
   1. Как эта система реагирует, когда \(s = 0\)?
   2. При каком значении (значениях) \(s\) передаточная функция приближается к нулевому значению?
   3. При каком значении (значениях) \(s\) передаточная функция приближается к бесконечности?

   Ответы на первые два вопроса одни и те же: числитель передаточной функции будет равен нулю при \(s = 0\), что является единственным нулем функции. Вспоминая, что условие \(s = 0\) представляет собой входной сигнал постоянного тока (отсутствие роста или затухания во времени и отсутствие колебаний), это имеет смысл: наличие последовательного конденсатора, блокирующего постоянный ток, в этой цепи обеспечивает выходной сигнал. 2LC + 1\) должны отмечать расположение полюсов на плоскости \(s\). 92\)) слагаемое

   \(b\) — коэффициент первой степени (\(x\)) слагаемого

   \(c\) — коэффициент нулевой степени (постоянного) слагаемого

   Рассмотрение снова знаменатель нашей передаточной функции, мы видим, что \(s\) является независимой переменной, и поэтому \(LC\) должен быть коэффициентом «\(a\)», \(RC\) должен быть «\ (b\)», а 1 должен быть коэффициентом «\(c\)». Подстановка этих переменных в квадратичную формулу даст нам формулу для вычисления полюсов этой цепи резистор-индуктор-конденсатор: 92 — 4LC\). Эта часть квадратичной формулы называется дискриминантом , и ее значение определяет как количество корней, так и их действительный или мнимый характер. Если дискриминант равен нулю, у нашего многочлена будет один действительный корень и, следовательно, у нашей схемы будет только один полюс. Если дискриминант больше нуля (т.е. положительное значение), то будет два действительных корня и, следовательно, два полюса, лежащие на оси \(\сигма\) (т. е. нет мнимых \(j \омега\) частей). Если дискриминант меньше нуля (т. е. отрицательное значение), то у нашего многочлена будет два комплексных корня и, следовательно, два комплексных полюса, имеющих как действительную, так и мнимую части.

   Рассмотрим на мгновение, что означает знак дискриминанта на практике. Полюс, который является чисто реальным, означает значение для \(s\), которое полностью равно \(\сигма\), а не \(\омега\): представляет собой состояние роста или распада, но без колебаний. Это похоже на то, что мы видели со схемами фильтров нижних/высоких частот LR или RC, где схема в состоянии разрядки могла генерировать выходной сигнал даже с закороченными входными клеммами, чтобы гарантировать отсутствие входного сигнала.

   Если у нас есть положительное значение дискриминанта, что дает два реальных полюса, это означает два разных возможных значения для \(\сигма\) (скорость роста/убывания), которые могут возникнуть без ввода сигнала в схему. Такое поведение возможно только с двумя компонентами, накапливающими энергию в цепи: своего рода с двойной постоянной времени , когда разные части цепи разряжаются с разной скоростью. Отсутствие какой-либо мнимой части внутри \(s\) означает, что схема по-прежнему не будет генерировать автоколебания.

   Если у нас есть отрицательное значение дискриминанта, что дает два комплексных полюса , это означает два разных значения для \(s\), имеющих как действительную, так и мнимую части. Поскольку действительная часть (\(\sigma\)) представляет рост/спад, а мнимая часть (\(\omega\)) представляет колебание, комплексные полюса говорят нам, что схема сможет совершать автоколебания, но не с постоянной величиной. как с идеальной (без потерь) схемой бака. На самом деле интуиция должна подсказывать нам, что эти сложные полюса должны иметь отрицательные действительные значения, представляющие затухающие колебания, потому что это нарушило бы Закон сохранения энергии, если бы наша схема начала самоколебаться с возрастающей амплитудой. 92 = 4LC\]

   \[RC = \sqrt{4LC}\]

   \[RC = 2 \sqrt{L} \sqrt{C}\]

   \[R = {2 \sqrt{L} \sqrt{C} \over C}\]

   \[R = {{2 \sqrt{L} \sqrt{C}} \over {\sqrt{C} \sqrt{C}}}\]

   \[R = {2 \sqrt{L} \over \sqrt{C}} = 2 \sqrt{L \over C}\]

   Это критическое значение \(R\), приводящее к одному реальному полюсу, является минимальным величина сопротивления, необходимая для предотвращения автоколебаний. Если схема работает в этот момент, говорят, что она критически демпфирована . Большие значения \(R\) приведут к множеству реальных полюсов, где говорят, что схема передемпфирована . Меньшие значения \(R\) допускают возникновение некоторых автоколебаний, и говорят, что схема недостаточно демпфирована .

   Иногда инженеры-электрики намеренно устанавливают резисторы в цепи, содержащие как индуктивность, так и емкость, специально для демпфирования колебаний. В таких случаях резистор называется антирезонансным резистором , потому что его назначение — бороться с резонансными колебаниями, которые в противном случае возникали бы при обмене энергией между собой индуктивных и емкостных элементов схемы. Если намерение инженера состоит в том, чтобы установить в цепь сопротивление, достаточное для предотвращения колебаний без создания ненужных временных задержек, то лучшим значением резистора будет то, которое вызывает критическое демпфирование.

   Напомним, что тема передаточных функций, полюсов и нулей относится к любой линейной системе , а не только к цепям переменного тока. Механические системы, контуры управления с обратной связью и многие другие физические системы могут быть охарактеризованы таким же образом с использованием одних и тех же математических инструментов. Этот конкретный вопрос демпфирования чрезвычайно важен в приложениях, где колебания вредны. Рассмотрим конструкцию системы подвески автомобиля, в которой взаимодополняющие энергоаккумулирующие явления натяжения пружины и массы автомобиля вызывают колебания после удара о возмущение дорожного покрытия. Работа амортизатора заключается в том, чтобы действовать как «резистор» в этой системе и рассеивать энергию, чтобы свести к минимуму колебания после неровностей дороги. Амортизатор меньшего размера не будет достаточно хорошо рассеивать энергию возмущения, и поэтому подвеска автомобиля будет демонстрировать сложные полюса (т. е. будут некоторые затяжные колебания после удара). Амортизатор слишком большого размера будет слишком «жестким» и позволит слишком большому количеству энергии удара пройти к раме автомобиля и пассажирам. Однако амортизатор идеального размера будет «критически демпфировать» систему, чтобы полностью предотвратить колебания и обеспечить максимально плавную езду.

   Подобным образом, колебания, следующие за возмущением, нежелательны в системе управления с обратной связью, целью которой является поддержание переменной процесса как можно ближе к заданному значению. Контур обратной связи с недостаточным демпфированием будет иметь тенденцию к чрезмерным колебаниям после возмущения. Контур обратной связи с чрезмерным демпфированием не будет колебаться, но потребуется чрезмерное количество времени, чтобы вернуться к заданному значению, что также нежелательно, поскольку это означает, что больше времени будет потрачено вне заданного значения. Контур обратной связи с критическим демпфированием — это наилучший компромисс, когда колебания устранены, а время сходимости сведено к минимуму.

   Чтобы полностью проиллюстрировать характеристики передаточной функции этой схемы, мы сделаем это для трех различных номиналов резисторов: один, где \(R\) дает критическое демпфирование (один реальный полюс), другой, где \(R\) обеспечивает критическое демпфирование схема с избыточным демпфированием (два реальных полюса) и одна, где \(R\) делает схему с недостаточным демпфированием (два сложных полюса). Мы будем использовать трехмерный график, чтобы показать отклик передаточной функции в каждом случае. Чтобы не противоречить нашему предыдущему примеру с емкостной схемой, мы примем то же значение емкости конденсатора 0,2 фарад и то же значение катушки индуктивности 5 генри. Значение резистора будет изменено в каждом случае, чтобы создать различные условия демпфирования. 9{-1}\]

   Интересно, что только \(L\) и \(R\) определяют скорость затухания (\(\sigma\), действительную часть \(s\)) в критически затухающем состоянии. Это ясно видно, если мы установим дискриминант равным нулю в квадратичной формуле и найдем переменные для сокращения:

   \[s = {{-RC \pm \sqrt{0}} \over 2LC} = -{R \ over 2L}\]

   Далее мы построим ту же передаточную функцию с большим номиналом резистора (15 Ом), чтобы обеспечить избыточное демпфирование:

   Мы ясно видим 9{-1}\), более медленная из этих двух скоростей затухания доминирует в переходной характеристике схемы в течение длительных периодов времени.

   Далее мы построим ту же передаточную функцию с меньшим номиналом резистора (5 Ом), чтобы обеспечить недостаточное демпфирование:

   Мы снова ясно видим два полюса , но ни один из них не расположен на оси. Они представляют собой два комплексных значения для \(s\), описывающих поведение схемы при нулевом входе. Мнимая (\(j \omega\)) часть \(s\) говорит нам о том, что схема способна к автоколебаниям. Отрицательная действительная (\(\сигма\)) часть \(s\) говорит нам, что эти колебания уменьшаются по величине со временем. Используя квадратичную формулу для решения этих двух полюсов: 9{-1}\]

   Расчетное значение \(\omega\) 0,866 радиан в секунду меньше, чем резонансная частота 1 радиан в секунду, рассчитанная для контура чистого резервуара, имеющего те же \(L\) и \(C \) значений, показывая, что демпфирующий резистор искажает «центральную» частоту этого полосового фильтра RLC. Вычисленное значение \(\сигма\) постоянной времени \(-0,5\) в секунду (эквивалентное постоянной времени \(\тау\) = 2 секунды) описывает скорость, с которой синусоидальные колебания затухают по величине. {-1}\)).

   Если мы сравним двухмерные графики полюс-ноль для каждого из трех значений резистора в этой цепи RLC, мы можем сравнить характеристики с избыточным, критическим и недостаточным демпфированием:

   — графики в разрезе передаточной функции при \(\sigma = 0\), чтобы показать частотную характеристику этого полосового фильтра RLC, мы видим, что характеристика становится «острее» (более избирательной) по мере уменьшения значения резистора и перемещения полюсов. ближе к оси \(j \omega\). Специалисты по электронике связывают это с добротность или \(Q\) схемы полосового фильтра, схема, демонстрирующая более высокое «качество» выбора полосы пропускания по мере увеличения отношения реактивного сопротивления к сопротивлению: и каждый полюс на графике полюс-ноль имеет одинаковую (бесконечную) высоту, полюса сужаются при удалении друг от друга и расширяются при близком расстоянии друг от друга. По мере уменьшения сопротивления в этой цепи и удаления полюсов друг от друга и приближения к оси \(j \omega\) их ширина сужается, а пик АЧХ становится уже и круче.

   Резюме анализа передаточной функции

   Вот краткое изложение некоторых основных понятий, важных для анализа передаточной функции:

   • Переменная \(s\) является выражением нарастающих/затухающих синусоидальных волн, состоящих из действительная часть и мнимая часть (\(s = \sigma + j \omega\)). Действительная часть \(s\) (\(\sigma\)) — это скорость роста/затухания, говорящая нам, насколько быстро сигнал растет или затухает во времени, при этом положительные значения \(\sigma\) представляют рост, а отрицательные значения \(\сигма\), представляющие распад. Эта скорость роста/затухания обратно пропорциональна 9{-1}\)).
   • Важное допущение, которое мы делаем при анализе передаточной функции (функций) любой системы, заключается в том, что система является линейной (т. характеристики системы не меняются с течением времени). Если мы хотим проанализировать нелинейную систему с помощью этих инструментов, мы должны ограничить себя диапазонами работы, в которых отклик системы приблизительно линейный, а затем допустить небольшие ошибки между результатами нашего анализа и реальным откликом системы.
   • Для любой линейной стационарной системы (системы «LTI») \(s\) является описательным для всей системы. Другими словами, для определенного значения \(s\), описывающего вход в эту систему, то же самое значение \(s\) будет также описывать выход этой системы.
   • Передаточная функция является выражением коэффициента усиления системы , измеренного как отношение выходного сигнала к входному. В технике передаточные функции обычно представляют собой математические функции \(s\) (т.е. \(s\) — независимая переменная в формуле). При таком выражении передаточная функция для системы говорит нам, какой выигрыш будет иметь система при любом заданном значении \(s\).
   • Передаточные функции полезны для анализа поведения электрических цепей, но они не ограничиваются этим приложением. Любая линейная система, будь то электрическая, механическая, химическая или какая-либо другая, может быть охарактеризована с помощью передаточных функций и проанализирована с использованием одних и тех же математических методов. Таким образом, передаточные функции и переменная \(s\) являются общими инструментами, не ограничивающимися анализом электрических цепей.
   • ноль — это любое значение \(s\), которое приводит к тому, что передаточная функция имеет нулевое значение (т. е. нулевое усиление или отсутствие выходных данных при любой величине входных данных). Это говорит нам, где система будет наименее отзывчивой. На трехмерном графике полюс-ноль каждый нуль отображается как нижняя точка, где поверхность касается плоскости \(s\). На традиционном двумерном графике полюс-ноль каждый нуль отмечен символом круга (\(\circ\)). Мы можем найти ноль(и) системы, найдя значение(я) \(s\), которое сделает Числитель передаточной функции равен нулю, так как числитель передаточной функции представляет собой выходной член системы.
   • Полюс — это любое значение \(s\), которое приводит к тому, что передаточная функция имеет бесконечное значение (т. е. максимальный коэффициент усиления, дающий выходной сигнал без каких-либо входных данных). Это говорит нам о том, на что способна система, когда она не «управляется» каким-либо входным стимулом. Полюса обычно связаны с накапливающими энергию элементами в пассивной системе, потому что единственный способ, которым обесточенная система может генерировать выход с нулевым входом, — это если в этой системе есть элементы, накапливающие энергию, разряжающиеся на выходе. На трехмерном графике полюс-ноль каждый полюс выглядит как вертикальный выступ на поверхности, уходящий в бесконечность. На традиционном двумерном графике полюс-ноль каждый полюс отмечен символом (\(\times\)) . Мы можем найти полюс(ы) системы, найдя значение(я) \(s\), которое сделает Знаменатель передаточной функции равен нулю, так как знаменатель передаточной функции представляет входной член системы.
   • Системы второго порядка способны к автоколебаниям. Об этом свидетельствуют полюса, имеющие мнимые значения. Эти колебания могут быть полностью незатухающими (т. Е. \ (s \) полностью мнимыми, с \ (\ sigma = 0 \)), и в этом случае система может вечно колебаться сама по себе. Если в системе второго порядка присутствуют элементы, рассеивающие энергию, колебания будут затухать (т.е. затухать по величине с течением времени).
   • Система с недостаточным демпфированием демонстрирует сложные полюса, где \(s\) имеет как мнимые (\(j \omega\)) значения частоты, так и реальные (\(\sigma\)) значения затухания. Это означает, что система может совершать автоколебания, но только с уменьшением амплитуды с течением времени.
   • Система с критическим демпфированием имеет диссипативное поведение, достаточное для полного предотвращения автоколебаний, демонстрируя единственный полюс, имеющий только реальное (\(\sigma\)) значение и не имеющий мнимого (\(j \omega\)) ценность.
   • Система с избыточным демпфированием имеет чрезмерное рассеяние и имеет несколько реальных полюсов. Каждый из этих реальных полюсов представляет различную скорость затухания (\(\сигма\)) или постоянную времени (\(\тау = 1/\сигма\)) в системе. Когда эти скорости затухания существенно отличаются друг от друга, самая медленная из них будет доминировать в поведении системы в течение длительных периодов времени.

   Основы измерения электрической мощности

   Основы измерения электрической мощности

   Понимание производства электроэнергии, потери мощности и различных типов измеряемой мощности может быть пугающим. Ниже приведен обзор основных измерений электрической и механической мощности.

   Электрический ток, напряжение и сопротивление

   Любое обсуждение электричества неизбежно приводит к электрическому току, напряжению и сопротивлению. Эти концепции показаны ниже на рисунке 1. Электрический ток представляет собой поток самого электричества и измеряется в единицах, называемых амперами (А). Напряжение — это сила, которая заставляет электричество течь, и измеряется в единицах, называемых вольтами (V или U). Сопротивление выражает сложность, с которой протекает электричество, и измеряется в единицах, называемых омами (Ом).

   На рисунке ниже эти отношения показаны в виде электрических цепей. В электрической цепи электрический ток проходит через различные типы нагрузки, включая сопротивление, индуктивность и емкость, от положительной полярности источников питания, таких как батареи, а затем возвращается к отрицательной полярности источника питания. Термин «нагрузка» обычно используется для обозначения чего-то, что получает электричество от источника питания и работает (обеспечивает свет, в случае лампочки).

   
   Рисунок 1 – Основные компоненты электрической цепи
   Мощность

   Электрическая энергия может быть преобразована в другие формы энергии и использована. Например, его можно преобразовать в тепло в электронагревателе, в крутящий момент в двигателе или в свет в люминесцентной или ртутной лампе. В подобных примерах работа, совершаемая электричеством за определенный период времени (или затрачиваемая электрическая энергия), называется электрической мощностью. Единицей электрической мощности является ватт (Вт). 1 ватт эквивалентен работе в 1 джоуль, выполненной за 1 секунду.

   В электрических системах напряжение — это сила, необходимая для перемещения электронов. Ток — это скорость потока заряда в секунду через материал, к которому приложено определенное напряжение. Взяв напряжение и умножив его на соответствующий ток, можно определить мощность.

   Мощность постоянного тока (постоянного тока)

   Постоянный ток или постоянный ток относится к системам питания, в которых используется одна полярность напряжения и тока, однако амплитуда может изменяться (циклически или случайным образом).

   
   Рисунок 2. Базовая схема, показывающая напряжение и ток с источником постоянного напряжения электрический ток, напряжение и сопротивление. Закон Ома гласит, что электрический ток течет пропорционально напряжению. Ниже показана формула для выражения отношения между током (I) и напряжением (U).

   Согласно этой формуле ток (I) уменьшается по мере увеличения значения R и, наоборот, ток (I) увеличивается по мере уменьшения значения R. R здесь представляет собой сопротивление (или электрическое сопротивление). Другими словами, мы видим, что по мере увеличения или уменьшения сопротивления (R) ток течет с меньшей или большей легкостью. Эту формулу можно переписать, как показано ниже. Если известны два значения тока, напряжения и сопротивления, можно получить оставшееся значение.

   Мощность постоянного тока (DC) P (Вт) определяется путем умножения приложенного напряжения (U) на ток I (А), как показано выше. В приведенном ниже примере количество электроэнергии, определяемое предыдущим уравнением, извлекается из источника питания и потребляется сопротивлением R (в омах) каждую секунду. По закону Ома мы можем переписать формулу следующим образом:

   В электрических цепях постоянного тока поддерживается постоянный ток и напряжение без циклических изменений. Таким образом, очень просто получить мощность постоянного тока (P) с результирующей формой волны, показанной ниже.

   Источник переменного тока (AC)

   Источник питания, обычно используемый в Японии, работает при напряжении 100 В переменного тока. Эти 100 В представляют собой напряжение, выраженное как среднеквадратичное значение (среднеквадратичное значение).

   100 В от настенных розеток наблюдаются в виде чистых синусоидальных волн, как показано на рисунке ниже. Мы можем видеть, что полярность меняется циклами, и что напряжения постоянно колеблются. Формы сигналов напряжения переменного тока имеют чистые синусоидальные волны, такие как график на рис. 3, а также множество других волн, таких как искаженные волны, такие как обычные формы, такие как треугольная и прямоугольная волна. Чтобы установить размер этих волн переменного тока и напряжения, нам нужны значения, которые используют тот же стандарт. Поэтому используется среднеквадратичное значение (rms), которое было установлено на основе постоянного тока и напряжения.

   
   Рисунок 3. Изменение полярности переменного напряжения в синусоидальных, треугольных и прямоугольных формах

   Среднеквадратичное значение (среднеквадратичное значение)

   Среднеквадратичное значение чаще всего используется при выражении значений переменного тока и напряжения, и измеряется в Arms и Urms. В приведенном выше примере 100 В — это напряжение, выраженное как среднеквадратичное значение (среднеквадратичное значение).

   Простое среднее значение синусоиды равно нулю, поэтому требуется другое уравнение. Вот почему используется среднеквадратичное значение (rms), которое было установлено на основе постоянного тока и напряжения. Он основан на количестве работы, выполняемой определенным количеством постоянного тока и напряжения, и выражает, используя те же значения, что и для постоянного тока и напряжения, величину переменного тока и напряжения, которые выполняют ту же работу.

   Если теплотворная способность при подаче напряжения постоянного тока на резистор такая же, как теплотворная способность при подаче переменного тока другой формы волны, то среднеквадратичное значение напряжения переменного тока такое же, как и для напряжения постоянного тока.

   Например, теплотворная способность при подаче постоянного напряжения 100 В на резистор 10 Ом такая же, как теплотворная способность при подаче переменного тока 100 В на тот же резистор. Понятие среднеквадратичного значения то же самое для электрического тока.

   
   Рис. 4. Равная теплотворная способность сигналов постоянного и переменного тока

    

   Теплотворная способность относится к количеству выполненной работы, поэтому следующая формула рассчитывает мощность как теплотворную способность.

   В качестве примера на следующей диаграмме показаны колебания мощности в зависимости от времени при подаче постоянного тока 1 A и переменного тока 1 ампер на резистор 10 Ом.

   
   Рис. 5. Зависимость мощности от времени при постоянном и переменном токе

    

   Поскольку при постоянном токе нет колебаний значения тока, значение мощности остается постоянным и составляет 10 Вт. Однако, поскольку значение тока постоянно колеблется при переменном токе, значение мощности колеблется со временем. То, что эти два типа мощности (теплотворная способность) равны, равнозначно утверждению, что средние значения Pdc и P1 – Pn равны. Это выражается в виде формулы ниже.

   
    

   Здесь резистор (R) постоянный, поэтому им можно пренебречь. Следующее выражает результирующую связь между постоянным током и переменным током.

   Если максимально уменьшить интервал между I1 и In в этой формуле, в конечном итоге Irms дает квадратный корень из площади части, заключенной в сигнале, деленный на время. Это выражается в виде формулы ниже.

   Важно знать, что постоянный ток силой 1 А выполняет такую ​​же работу, что и переменный среднеквадратичный ток силой 1 А. При постоянном и устойчивом постоянном токе вы можете получить значение мощности, просто умножив ток на напряжение.

   Однако переменный ток не так прост, как постоянный, из-за разности фаз между током и напряжением. Ниже приведены три типа переменного тока. Как правило, мощность и потребляемая мощность относятся к активной мощности.

   Мощность в системах переменного тока

   Как и в случае с постоянным током, значение мощности (мгновенное значение мощности) в определенный момент времени для переменного тока можно получить путем умножения напряжения и тока для этого момента времени.

   При переменном токе, поскольку и ток, и напряжение циклически колеблются, значения мощности также постоянно колеблются. Это показано на следующей диаграмме.

   В качестве энергии в секунду мощность может быть получена из среднего значения мгновенной энергии, т. е. площади части, заключенной в форме волны, по времени. Формула выглядит следующим образом:

   Например, если к резистору приложен ток 1 ампер и напряжение 100 ампер, как показано ниже, мощность становится равной 100 Вт при расчете по приведенной выше формуле.

    

   При подаче тока и напряжения на резистор результирующие формы сигналов показаны на рис. 6 ниже.

   
   Рис. 6. Отсутствие разности фаз при чисто резистивной нагрузке

    

   Говорят, что ток и напряжение находятся «в фазе» по полярности и времени, когда кривые тока и напряжения проходят через нуль. Ток и напряжение всегда совпадают по фазе, когда нагрузка состоит только из сопротивления.

   Когда в нагрузке помимо сопротивления есть катушка, возникает фазовый сдвиг между сигналами напряжения и тока. Это отставание называется разностью фаз и показано на рис. 7.9.0003

   
   Рисунок 7. Разность фаз, характерная для индуктивной и емкостной нагрузки

    

   Разность фаз обычно выражается как Φ (фи), а единицей измерения являются радианы, но часто указывается в градусах. В приведенном ниже примере точка A начинается с точки P и совершает один оборот по окружности O. Расстояние между точкой A и прямой линией, проходящей через центр O и точку P (красная линия) в качестве оси Y и ∠AOP (φ), так как ось X приводит к синусоидальной волне ниже.

   
   Рис. 8. Синусоидальная волна, показанная с фазой

    

   На Рис. 9 показаны кривые тока и напряжения, сдвинутые по фазе на 60°. При рассмотрении положения на окружности напряжения (u) и тока (i) в соответствии с приведенным выше примером ∠uoi постоянна в каждый момент времени. Угол этого ∠uoi указывает размер разности фаз между напряжением (u) и током (i).

   
   Рис. 9. Синусоиды напряжения и тока с разностью фаз

    

   Три типа нагрузки цепи переменного тока показаны на рис. 10. Как показано ниже, разность фаз между током и напряжением возникает в зависимости от типа нагрузки.

   
   Рис. 10. Фазное и векторное представление цепей переменного тока с резистивной, индуктивной или емкостной нагрузкой
    

   С фазами ток может отставать по отношению к напряжению или опережать его. Ток отстает на 90⁰, когда нагрузка состоит только из индуктивности, и опережает на 90⁰, когда только емкость. Когда существуют все три типа, разность фаз колеблется в соответствии с соотношением размеров каждого компонента. Далее, давайте посмотрим на мощность, когда есть разность фаз между током и напряжением.

   Мощность переменного тока с разницей фаз

   При наличии разности фаз между током и напряжением происходит мгновенное изменение энергии, как показано на рис. 11.

   Когда ток или напряжение равны 0, мгновенная мощность становится равной 0. полярность напряжения меняется в промежутках между ними, мгновенная мощность становится отрицательной. Мощность представляет собой среднее значение мгновенной энергии, поэтому мощность становится меньше, чем когда ток и напряжение совпадают по фазе (пунктирная линия).

   
   Рисунок 11. Мгновенная энергия, когда напряжение и ток имеют разность фаз

    

   Треугольник мощности и коэффициент мощности

   Цепи переменного тока, содержащие емкость, индуктивность или и то, и другое, содержат активную и реактивную мощности. Треугольник мощности, показанный на рис. 12, помогает проиллюстрировать энергопотребление в индуктивной или емкостной цепи. Треугольник мощности представляет собой прямоугольный треугольник, показывающий соотношение четырех основных элементов: активной мощности, реактивной мощности, полной мощности и коэффициента мощности.

   
   Рис. 12. Треугольник мощности показывает соотношение активной и реактивной мощности.

    

   Активная мощность

   Активная мощность (P) — это реальная мощность, которую устройство потребляет и выполняет реальную работу в электрической цепи. Активная мощность рассчитывается ниже в ваттах (Вт).

   Реактивная мощность

   Реактивная мощность (Q) — это мощность, которая не потребляется устройством и передается туда и обратно между источником питания и нагрузкой. Иногда называемая безваттной мощностью, реактивная мощность забирает мощность из цепи из-за фазового сдвига, создаваемого емкостными и/или индуктивными компонентами. Этот фазовый сдвиг уменьшает количество активной мощности для выполнения работы и усложняет расчет мощности. Реактивная мощность рассчитывается ниже и выражается в реактивных вольт-амперах (ВАр). В цепи постоянного тока нет реактивной мощности.

   Полная мощность

   Полная мощность (S) — это гипотенуза треугольника мощности, состоящая из сложения векторов активной мощности (P) и реактивной мощности (Q). Расчет полной мощности представляет собой произведение среднеквадратичного значения напряжения на среднеквадратичное значение тока в вольт-амперах (ВА).

   Коэффициент мощности

   При определении коэффициента мощности для синусоидальных волн коэффициент мощности равен косинусу угла между напряжением и током (Cos Φ). Он определяется как коэффициент мощности «смещения» и верен только для синусоидальных волн. Для всех других форм сигналов (не синусоидальных волн) коэффициент мощности определяется как мощность в ваттах, деленная на полную мощность в амперах напряжения. Это называется «истинным» коэффициентом мощности и может использоваться для всех форм сигналов, как синусоидальных, так и несинусоидальных, с использованием квалификатора λ (лямбда).

   Коэффициент мощности (λ) увеличивается или уменьшается в зависимости от величины разности фаз (φ). Рисунок 13 иллюстрирует это явление. Рис. 13. Коэффициент мощности с различной разностью фаз разность фаз увеличивается; коэффициент мощности равен 0,5 (активная мощность составляет 1/2 полной мощности) при разности фаз 60⁰ и 0 при разнице фаз 90⁰. Коэффициент мощности 0 означает, что ток течет к нагрузке, но она не совершает никакой работы.

    

   Векторное отображение переменного тока

   Смещение по времени между напряжением и током называется разностью фаз, а Φ — фазовым углом. Смещение по времени в основном вызвано нагрузкой, на которую подается питание. В общем, разность фаз равна нулю, когда нагрузка является чисто резистивной. Ток отстает от напряжения, когда нагрузка индуктивная. Ток опережает напряжение, когда нагрузка емкостная.

   
   Рис. 14. Сдвиг фаз между напряжением и током при чисто индуктивной или емкостной нагрузке

    

   Векторный дисплей используется для четкой передачи зависимости величины и фазы между напряжением и током. Положительный фазовый угол представлен углом против часовой стрелки относительно вертикальной оси.

   
   Рис. 15. Векторная диаграмма отображает отношения амплитуды и фазы между напряжением и током

    

   Системы питания переменного тока

   Питание переменного тока может быть однофазным или многофазным. Однофазное электричество используется для питания обычных бытовых и офисных электроприборов, но для распределения электроэнергии и подачи электроэнергии непосредственно на более мощное оборудование почти повсеместно используются трехфазные системы переменного тока.

   Схемы однофазной проводки

   Существуют две распространенные конфигурации проводки для однофазных цепей. Наиболее распространена однофазная двухпроводная схема. Другая — однофазная трехпроводная схема, обычно встречающаяся в бытовых приборах.

   Однофазная 2-проводная система (1P2W)

   Обеспечивает подачу однофазного переменного тока с использованием двух проводников. Самая простая система, она используется при подключении источников питания ко многим электрическим устройствам, таким как бытовая электроника. При подключении ваттметра к однофазной двухпроводной системе перед подключением необходимо учитывать несколько моментов.

   
   Рис. 16. Различные схемы подключения однофазной двухпроводной системы

    

   Влияние паразитной емкости

   При измерении однофазного устройства влияние паразитной емкости на точность измерения можно свести к минимуму, подключив клемму токового входа прибора к стороне, ближайшей к потенциалу земли источника питания. Рисунок 17. Схема подключения для минимизации паразитной емкости Когда измеренный ток относительно мал, подключите клемму измерения тока между клеммой измерения напряжения и нагрузкой.

   
   Рис. 18. Схема подключения при относительно большом измеренном токе

    

   Двухфазная трехпроводная система (1P3W)

   Обеспечивает подачу однофазного переменного тока по трем проводникам. Однофазная трехпроводная система является наиболее распространенной системой распределения электроэнергии. Электричество, поставляемое большинству домохозяйств, подается с помощью этой системы. Следующее требует двух ваттметров для измерения двух напряжений (U1, U2) и двух токов (I1, I2).

   
   Рисунок 19. Трехпроводная система с расщепленной фазой

    

   Схемы подключения трехфазной сети

   В отличие от однофазных систем, по проводникам трехфазного источника питания течет переменный ток одинаковой частоты. и амплитуда напряжения относительно общего эталона, но с разницей фаз в одну треть периода. Трехфазные системы имеют преимущества перед однофазными, которые делают их пригодными для передачи энергии и в таких приложениях, как асинхронные двигатели.

   Характеристики трехфазных систем

   • Ток и напряжение на каждой фазе имеют разность фаз 120° в сбалансированной системе.
   • Линейное напряжение — это напряжение, измеренное между любыми двумя линиями в трехфазной цепи.
   • Фазное напряжение — это напряжение, измеренное на нагрузке в фазе
   • Линейный ток — это ток в любой одной линии между трехфазным источником и нагрузкой.
   • Фазный ток – это ток через любой компонент, состоящий из трехфазного источника или нагрузки.
   • При соединении треугольником линейное напряжение совпадает с фазным напряжением. Для синусоидальных волн линейный ток в √3 раза превышает фазный ток.
   • При соединении звездой линейное напряжение в √3 раза превышает фазное напряжение, а токи одинаковы.
   • Трехфазные источники питания могут передавать в три раза больше энергии, используя всего в 1,5 раза больше проводов, чем однофазные источники питания (т. е. три вместо двух). Таким образом, отношение емкости к материалу проводника удваивается.
   • Трехфазные системы также могут создавать вращающееся магнитное поле с заданным направлением и постоянной величиной, что упрощает конструкцию электродвигателей.

   В предыдущем обсуждении источник питания и нагрузка были соединены двумя проводниками. Это известно как однофазная двухпроводная система. При питании переменным током существует однофазное и трехфазное питание со следующими доступными системами электропитания. Трехфазное питание можно использовать в трехпроводной или четырехпроводной конфигурации в режиме звезды или треугольника.

   На диаграммах на рис. 20 показаны источник и нагрузка в конфигурации «треугольник» или «звезда» (звезда).

   
   Рис. 20. Трехфазные конфигурации треугольника и звезды (WYE)

    

   Теорема Блонделя

   При обсуждении измерений мощности с помощью ваттметров часто ссылаются на теорему Блонделя при определении правильного  метода подключения ваттметров и количества ваттметров. необходимы для наиболее точного измерения. Теорема утверждает, что мощность, подводимая к системе из N проводников, равна алгебраической сумме мощностей, измеренных N ваттметрами. Кроме того, если общая точка расположена на одном из проводников, то счетчик этого проводника может быть удален и требуется только N-1 счетчиков.

   Трехфазное соединение звездой (3P4W)

   Измерение относительно простое, если объектом измерения является трехфазная 4-проводная система. Как показано на схеме ниже, трехфазная четырехпроводная схема предполагает подключение ваттметров к каждой фазе на основе нейтрального проводника. Получите мощность для каждой фазы, измеряя напряжение (фазное напряжение) и ток (фазный ток) для каждой фазы с помощью разных ваттметров. В сумме это даст значение трехфазной мощности переменного тока. Для измерения трехфазной четырехпроводной мощности требуются три ваттметра.

   
   Рис. 21. Трехфазное соединение звездой (3P4W)

    

   Полная мощность, активная мощность и реактивная мощность для трехфазной мощности представляют собой сумму каждой фазы.

   Трехфазный ваттметр Delta Two (3P3W)

   Измерение в трехфазной 3-проводной системе немного сложнее, поскольку нейтральный проводник использовался в качестве основы для трехфазной 4-проводной системы. система отсутствует и фазное напряжение не может быть измерено. Измерение в трехфазной трехпроводной системе включает получение значения трехфазной мощности переменного тока с использованием метода, называемого методом двух ваттметров.

   Применяя теорему Блонделя и используя метод двух ваттметров, мы можем получить значения трехфазной мощности переменного тока. Схема подключения для метода двух ваттметров и векторная карта приведены ниже.

    

   Вывод теоремы Блонделя приведен ниже.

    

   Вышеприведенный расчет показывает, что мы можем получить значения трехфазной мощности переменного тока из двухлинейных значений мощности и двухфазных значений тока. Поскольку этот метод требует контроля только двух токов и двух напряжений вместо трех, упрощается установка и конфигурация проводки. Он также может точно измерять мощность в сбалансированной или несбалансированной системе. Его гибкость и недорогая установка делают его подходящим для производственных испытаний, в которых требуется измерение только мощности или нескольких других параметров.

   Другими словами, для трехфазного измерения мощности мощность может быть получена путем измерения мощности для каждой фазы и расчета суммы. Для метода двух ваттметров уравнение показано ниже.

   Трехфазное соединение треугольником (3V3A)

   Существует еще один метод измерения в трехфазной трехпроводной системе: трехфазное трехфазное измерение (3V3A). Как и метод двух ваттметров, этот метод измеряет ток фазы T и линейное напряжение между R и S. Ниже представлена ​​схема подключения.

   
   Рис. 22. Трехфазное соединение треугольником (3V3A)

    

   Поскольку трехфазный трехфазный метод (3V3A) измеряет ток фазы T, он позволяет увидеть баланс токов между фазами, что было невозможно при использовании метод двух ваттметров. Для инженерных и научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ лучше всего подходит трехфазный

   трехпроводный с трехваттметровым методом, так как он дает дополнительную информацию, которую можно использовать для балансировки нагрузки и определения истинного коэффициента мощности. В этом методе используются все три напряжения и все три тока. Измеряются все три напряжения (от R до T, от S до T, от R до S).

   Векторное отображение измерений трехфазного переменного тока

   Мы будем использовать трехфазную систему Y «звезда», чтобы проиллюстрировать концепцию трехфазного векторного отображения. В звездной системе напряжения и токи каждой фазы смещены на 120°. Нейтральная точка Y-системы находится в центре, где теоретически сумма всех напряжений и токов равна нулю.

   При проведении измерений в звездной системе, где присутствует физический нейтральный провод; напряжения будут измеряться относительно этой нейтральной точки, это называется «фазным напряжением». При проведении измерений в звездной системе, где отсутствует физический нейтральный провод; напряжения будут измеряться относительно друг друга, это называется «линейное напряжение» или «соединение треугольником». Схема соединения треугольником образует равносторонний треугольник с интервалом между напряжениями 60 градусов, в отличие от соединения звезды, где напряжение изменяется на 120 градусов. Величина линейного напряжения измеряется выше, чем фазное напряжение в √3 раза. Токи в звездной системе всегда измеряются последовательно относительно нейтральной точки, при этом угловое измерение относительно векторов напряжения обозначается Φ. Рисунок 23 иллюстрирует взаимосвязь между измерением напряжения по схеме треугольника и по схеме звезда с помощью векторной диаграммы.

   
   Рисунок 23 – Векторная диаграмма трехфазных дельта- и звездных измерений.

    

   Измерение трехфазного коэффициента мощности

   Общий коэффициент мощности для трехфазной цепи определяется путем суммирования общей мощности в ваттах, деленной на общее значение ВА.

   При использовании метода двух ваттметров сумма общей мощности (W1 + W2) делится на количество ВА. Однако, если нагрузка несбалансированная (фазные токи разные), это может привести к ошибке при расчете коэффициента мощности, поскольку при расчете используются только два измерения ВА. Два VA усредняются, потому что предполагается, что они равны; однако, если это не так, получается ошибочный результат. Поэтому лучше всего использовать метод трех ваттметров для несбалансированных нагрузок, поскольку он обеспечит правильный расчет коэффициента мощности как для сбалансированных, так и для несбалансированных нагрузок.

   При использовании метода трех ваттметров все три измерения ВА используются при расчете приведенного выше коэффициента мощности.

   Гармоники

   Гармоники относятся ко всем синусоидальным волнам, частота которых является целым кратным основной волны (обычно синусоидальный сигнал линии электропередачи 50 Гц или 60 Гц или от 0 до 2 кГц для вращающихся машин). Гармоники — это искажение формы волны нормального электрического тока, обычно передаваемое нелинейными нагрузками. В отличие от линейных нагрузок, где потребляемый ток пропорционален входному напряжению и соответствует форме волны, нелинейные нагрузки, такие как двигатели с регулируемой скоростью, потребляют ток короткими прерывистыми импульсами. Когда основная волна и последующие гармонические компоненты объединяются, формы сигналов искажаются, и возникает интерференция.

   
   Рис. 24. Искаженные формы сигналов состоят из нескольких гармонических составляющих

    

   Гармоники необходимо контролировать, поскольку они могут вызывать ненормальный шум, вибрацию, нагрев или неправильную работу устройств и сокращать срок их службы. Для контроля гармоник существуют национальные и международные стандарты, такие как IEC61000-3. Поэтому инженерам необходимо обнаруживать гармоники и оценивать их влияние на компоненты, системы и подсистемы в приложении. Размер и разность фаз следует измерять не только для основной частоты, но и для каждой более высокочастотной составляющей. Высокоточные анализаторы мощности могут измерять гармоники выше 500-го порядка.

   Для вращающихся машин основные амплитуды являются единственными составляющими, которые эффективно способствуют вращению оси. Все остальные гармонические составляющие приводят к потерям в виде тепла и вибрации.

   Измерение гармоник

   Используя режим измерения гармоник, можно измерить размер и разность фаз для каждой основной частоты, а также гармоники для каждой степени, включенной в ток, напряжение и мощность. В случае основной частоты (первичной составляющей) 50 Гц, например, третья составляющая составляет 150 Гц, пятая составляющая — 250 Гц и т. д., и возможно измерение до 500-й составляющей на частоте 2,5 кГц.

   
   Рис. 25. Сумма нечетных гармонических составляющих в искаженном сигнале соотношение содержания и фазы в списке.

   
   Рис. 26. Гистограмма, показывающая энергию гармоник в зависимости от порядка

    

   Заключение

   При измерении мощности необходимо учитывать множество факторов, включая входную мощность, КПД инвертора, КПД, гармоники и коэффициент мощности. Эти измерения включают сложные уравнения, поэтому большинство компаний используют анализаторы мощности для автоматического получения результатов.

   Прецизионный высокочастотный анализатор мощности является важным инструментом для измерения как механической, так и электрической мощности. Его функции анализа и показания могут помочь улучшить работу и даже продлить срок службы двигателя. Выбор правильного анализатора и его правильная реализация требуют знаний; однако при правильном использовании данные анализатора мощности обеспечат точные и очень ценные данные.

   Gale Apps — Технические трудности

   Приложение, к которому вы пытаетесь получить доступ, в настоящее время недоступно. Приносим свои извинения за доставленные неудобства. Повторите попытку через несколько секунд.

   Если проблемы с доступом сохраняются, обратитесь за помощью в наш отдел технической поддержки по телефону 1-800-877-4253. Еще раз спасибо, что выбрали Gale, обучающую компанию Cengage.

   org.springframework.remoting.RemoteAccessException: невозможно получить доступ к удаленной службе [authorizationService@theBLISAuthorizationService]; вложенным исключением является com. zeroc.Ice.UnknownException unknown = «java.lang.IndexOutOfBoundsException: индекс 0 выходит за границы для длины 0 в java.base/jdk.internal.util.Preconditions.outOfBounds(Preconditions.java:64) в java.base/jdk.internal.util.Preconditions.outOfBoundsCheckIndex(Preconditions.java:70) в java.base/jdk.internal.util.Preconditions.checkIndex(Preconditions.java:248) в java.base/java.util.Objects.checkIndex(Objects.java:372) в java.base/java.util.ArrayList.get(ArrayList.java:458) в com.gale.blis.data.subscription.dao.LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.populateSessionProperties(LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.java:60) в com.gale.blis.data.subscription.dao.LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.reQuery(LazyUserSessionDataLoaderStoredProcedure.java:53) в com.gale.blis.data.model.session.UserGroupEntitlementsManager.reinitializeUserGroupEntitlements(UserGroupEntitlementsManager. java:30) в com.gale.blis.data.model.session.UserGroupSessionManager.getUserGroupEntitlements(UserGroupSessionManager.java:17) в com.gale.blis.api.authorize.contentmodulefetchers.CrossSearchProductContentModuleFetcher.getProductSubscriptionCriteria(CrossSearchProductContentModuleFetcher.java:244) на com.gale.blis.api.authorize.contentmodulefetchers.CrossSearchProductContentModuleFetcher.getSubscribedCrossSearchProductsForUser(CrossSearchProductContentModuleFetcher.java:71) на com.gale.blis.api.authorize.contentmodulefetchers.CrossSearchProductContentModuleFetcher.getAvailableContentModulesForProduct(CrossSearchProductContentModuleFetcher.java:52) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.productentry.strategy.AbstractProductEntryAuthorizer.getContentModules(AbstractProductEntryAuthorizer.java:130) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.productentry.strategy.CrossSearchProductEntryAuthorizer.isAuthorized(CrossSearchProductEntryAuthorizer. java:82) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.productentry.strategy.CrossSearchProductEntryAuthorizer.authorizeProductEntry(CrossSearchProductEntryAuthorizer.java:44) на com.gale.blis.api.authorize.strategy.ProductEntryAuthorizer.authorize(ProductEntryAuthorizer.java:31) в com.gale.blis.api.BLISAuthorizationServiceImpl.authorize_aroundBody0(BLISAuthorizationServiceImpl.java:57) на com.gale.blis.api.BLISAuthorizationServiceImpl.authorize_aroundBody1$advice(BLISAuthorizationServiceImpl.java:61) на com.gale.blis.api.BLISAuthorizationServiceImpl.authorize(BLISAuthorizationServiceImpl.java:1) в com.gale.blis.auth.AuthorizationService._iceD_authorize(AuthorizationService.java:97) в com.gale.blis.auth.AuthorizationService._iceDispatch(AuthorizationService.java:406) в com.zeroc.IceInternal.Incoming.invoke(Incoming.java:221) в com.zeroc.Ice.ConnectionI.invokeAll(ConnectionI. java:2706) на com.zeroc.Ice.ConnectionI.dispatch(ConnectionI.java:1292) в com.zeroc.Ice.ConnectionI.message(ConnectionI.java:1203) в com.zeroc.IceInternal.ThreadPool.run(ThreadPool.java:412) в com.zeroc.IceInternal.ThreadPool.access$500(ThreadPool.java:7) в com.zeroc.IceInternal.ThreadPool$EventHandlerThread.run(ThreadPool.java:781) в java.base/java.lang.Thread.run(Thread.java:834) » org.springframework.remoting.ice.IceClientInterceptor.convertIceAccessException(IceClientInterceptor.java:348) org.springframework.remoting.ice.IceClientInterceptor.invoke(IceClientInterceptor.java:310) org.springframework.remoting.ice.MonitoringIceProxyFactoryBean. invoke(MonitoringIceProxyFactoryBean.java:71) org.springframework.aop.framework.ReflectiveMethodInvocation.proceed(ReflectiveMethodInvocation.java:186) org.springframework.aop.framework.JdkDynamicAopProxy.invoke(JdkDynamicAopProxy.java:215) com.sun.proxy.$Proxy151.authorize(Неизвестный источник) com.gale.auth.service.BlisService.getAuthorizationResponse(BlisService.java:61) com.gale.apps.service.impl.MetadataResolverService.resolveMetadata(MetadataResolverService.java:65) com.gale.apps. controllers.DiscoveryController.resolveDocument(DiscoveryController.java:57) com.gale.apps.controllers.DocumentController.redirectToDocument(DocumentController.java:22) jdk.internal.reflect.GeneratedMethodAccessor288.invoke (неизвестный источник) java.base/jdk.internal.reflect.DelegatingMethodAccessorImpl.invoke(DelegatingMethodAccessorImpl.java:43) java.base/java.lang.reflect.Method.invoke(Method.java:566) org.springframework.web.method.support.InvocableHandlerMethod.doInvoke(InvocableHandlerMethod.java:205) org. springframework.web.method.support.InvocableHandlerMethod.invokeForRequest(InvocableHandlerMethod.java:150) org.springframework.web.servlet.mvc.method.annotation.ServletInvocableHandlerMethod.invokeAndHandle(ServletInvocableHandlerMethod.java:117) org.springframework.web.servlet.mvc.method.annotation.RequestMappingHandlerAdapter.invokeHandlerMethod (RequestMappingHandlerAdapter.java:895) org.springframework.web.servlet.mvc.method.annotation.RequestMappingHandlerAdapter.handleInternal (RequestMappingHandlerAdapter.java:808) org.springframework.web.servlet.mvc.method.AbstractHandlerMethodAdapter.handle(AbstractHandlerMethodAdapter.java:87) org. springframework.web.servlet.DispatcherServlet.doDispatch(DispatcherServlet.java:1067) org.springframework.web.servlet.DispatcherServlet.doService(DispatcherServlet.java:963) org.springframework.web.servlet.FrameworkServlet.processRequest(FrameworkServlet.java:1006) org.springframework.web.servlet.FrameworkServlet.doGet(FrameworkServlet.java:898) javax.servlet.http.HttpServlet.service(HttpServlet.java:626) org.springframework.web.servlet.FrameworkServlet.service(FrameworkServlet.java:883) javax. servlet.http.HttpServlet.service(HttpServlet.java:733) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:227) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.apache.tomcat.websocket.server.WsFilter.doFilter(WsFilter.java:53) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org. apache.catalina.filters.HttpHeaderSecurityFilter.doFilter(HttpHeaderSecurityFilter.java:126) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.servlet.resource.ResourceUrlEncodingFilter.doFilter(ResourceUrlEncodingFilter.java:67) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org. springframework.web.filter.RequestContextFilter.doFilterInternal (RequestContextFilter.java:100) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:117) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:102) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org. apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:102) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.owasp.validation.GaleParameterValidationFilter.doFilterInternal(GaleParameterValidationFilter.java:97) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:117) org. apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter.doFilter(ErrorPageFilter.java:126) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter.access$000(ErrorPageFilter.java:64) org.springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter$1.doFilterInternal(ErrorPageFilter.java:101) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:117) org. springframework.boot.web.servlet.support.ErrorPageFilter.doFilter(ErrorPageFilter.java:119) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.FormContentFilter.doFilterInternal (FormContentFilter.java:93) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:117) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org. apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.boot.actuate.metrics.web.servlet.WebMvcMetricsFilter.doFilterInternal (WebMvcMetricsFilter.java:96) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:117) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.springframework.web.filter.CharacterEncodingFilter.doFilterInternal (CharacterEncodingFilter. java:201) org.springframework.web.filter.OncePerRequestFilter.doFilter(OncePerRequestFilter.java:117) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.internalDoFilter(ApplicationFilterChain.java:189) org.apache.catalina.core.ApplicationFilterChain.doFilter(ApplicationFilterChain.java:162) org.apache.catalina.core.StandardWrapperValve.invoke(StandardWrapperValve.java:202) org.apache.catalina.core.StandardContextValve.invoke(StandardContextValve.java:97) org.apache.catalina.authenticator. AuthenticatorBase.invoke(AuthenticatorBase.java:542) org.apache.catalina.core.StandardHostValve.invoke(StandardHostValve.java:143) org.apache.catalina.valves.ErrorReportValve.invoke(ErrorReportValve.java:92) org.apache.catalina.valves.AbstractAccessLogValve.invoke(AbstractAccessLogValve.java:687) org.apache.catalina.core.StandardEngineValve.invoke(StandardEngineValve.java:78) org.apache.catalina.connector.CoyoteAdapter.service(CoyoteAdapter.java:357) org.apache.coyote.http11.Http11Processor. service(Http11Processor.java:374) org.apache.coyote.AbstractProcessorLight.process(AbstractProcessorLight.java:65) org.apache.coyote.AbstractProtocol$ConnectionHandler.process(AbstractProtocol.java:893) org.apache.tomcat.util.net.NioEndpoint$SocketProcessor.doRun(NioEndpoint.java:1707) org.apache.tomcat.util.net.SocketProcessorBase.run(SocketProcessorBase.java:49) java.base/java.util.concurrent.ThreadPoolExecutor.runWorker(ThreadPoolExecutor.java:1128) java.base/java.util.concurrent.ThreadPoolExecutor$Worker.