Правило сложения 3 векторов: Правило многоугольника — урок. Геометрия, 9 класс. — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Законы сложения сил в механике

При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

Определение 1

Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:

R→=F1→+F2→+F3→+…+Fn→=∑i=1nFi→.

Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

Правило параллелограмма и правило многоугольника

Определение 2

Для сложения 2-х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1).

Рисунок 1. Сложение 2-х сил по правилу параллелограмма

Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

R→=F1→2+F2→2+2F1→2F2→2cos α

Определение 3

При необходимости сложения более 2-х сил используют правило многоугольника: от конца
1-й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2-й силе; от конца 2-й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3-й силе и т.д.

Рисунок 2. Сложение сил правилом многоугольника

Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4-х сил: F1→, F2→, F3→, F4→. Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Определение 4

Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.

Рисунок 3. Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0: ∑i=1nFi→=0→. В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Разложение вектора силы по направлениям

Определение 5

Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2-мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2, приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

направления 2-х составляющих сил;
модуль и направление одной из составляющих сил;
модули 2-х составляющих сил.

Пример 1

Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b. Отрезок FA и отрезок FB изображают искомые силы.

Рисунок 4. Разложение вектора силы по направлениям

Пример 2

Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2-й проекции (рисунок 5 а ).

Рисунок 5. Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F2→ силы F→.

Итак, 2-й способ решения: прибавим к силе силу, равную -F1→ (рисунок 5 в). В итоге получаем искомую силу F→.

Пример 3

Три силы F1→=1 Н; F2→=2 Н; F3→= 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а) и составляют углы с горизонталью α=0°; β=60°; γ=30° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

Решение

Рисунок 6. Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси ОХ и OY таким образом, чтобы ось ОХ совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F1→. Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б). Проекции F2y и F2x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось ОХ равняется проекции на данную ось равнодействующей: F1+F2cosβ-F3cosγ=Fx=4-332≈-0,6 Н.

Точно также для проекций на ось OY: -F2sin β+F3sin γ=Fy=3-232≈-0,2 Н.

Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

F=Fx2+Fy2=0,36+0,04≈0,64 Н.

Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в):

tg φ=FyFx=3-234-33≈0,4.

Пример 4

Сила F=1 кН приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

Решение

Рисунок 7. Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

Дано:

F=1 кН=1000 Н

Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С. На рисунке 7 б изображено разложение силы F→ на составляющие вдоль направлений АВ и ВС. Отсюда понятно, что

F1→=Ftg β≈577 Н;

F2→=Fcos β≈1155 Н.

Ответ: F1→=557 Н; F2→=1155 Н.

Сложение и вычитание векторов

Сумма векторов

Пусть даны два вектора а = $\overrightarrow{OA}$ и b = $\overrightarrow{OB}$ (рис. 5).

От точки А отложим отрезок АС такой, что $\overrightarrow{AC}$ = b. Тогда, вектор с = $\overrightarrow{OC}$ называется суммой векторов а и b и
обозначается а + b.

Таким образом, $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{OC}$. Это равенство называют
правилом треугольника сложения двух векторов.

Oчевидно, что это правило справедливо и в том случае, когда точки О, А и В лежат на одной прямой (рис. 6, 7). В частности, а + 0 = а.

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1. Свойство коммутативности (перестановочности): для любых векторов а и b

а + b = b + а. (1)

2. Свойство ассоциативности (сочетательности): для любых векторов а, b и с

(а + b) + с = а + (b + с). (2)

1. Пусть a = $\overrightarrow{OA}$, b = $\overrightarrow{OB}$. Рассмотрим случай, когда точки О, А и В не лежат на одной прямой. На отрезках ОА и ОВ построим параллелограмм OACB (рис. 8).

Тогда |ОА| = |ВС|, (ОА) || (ВС) и |ОВ| = |АС|, (ОВ) || (АС), как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно,

а = $\overrightarrow{OA}$= $\overrightarrow{BC}$, b = $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{AC}$,

и поэтому

а + b = $\overrightarrow{OA}$+ $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{OC}$,
b + а = $\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{OC}$,

что и доказывает равенство (1).

Для случая, когда точки О, А, В лежат на одной прямой, доказательство можно провести самостоятельно.

2. От некоторой точки О отложим вектор $\overrightarrow{OA}$ = а, от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB}$ = b и, наконец, от точки В отложим вектор $\overrightarrow{BC}$ = с (рис. 9, 10).

Соединим точки О и С отрезком ОС. Тогда, с одной стороны (см. рис. 9),

(а + b) + с = ($\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{AB}$) + $\overrightarrow{BC}$ =
$\overrightarrow{OB}$ + $\overrightarrow{BC}$= $\overrightarrow{OC}$

и, с другой стороны (см. рис. 10),

а + (b + с) = $\overrightarrow{OA}$ + ($\overrightarrow{AB}$+ $\overrightarrow{BC}$) = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{OC}$,

что и доказывает равенство (2).

Из риc. 8 видно, что сумма векторов а = $\overrightarrow{OA}$ и b = $\overrightarrow{OB}$ равна направленной диагонали $\overrightarrow{OC}$ параллелограмма OACB, построенного на отрезках ОА и ОВ, т.е.

$\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{OC}$.

Это равенство называется правилом параллелограмма сложения двух векторов.

Так как сложение векторов ассоциативно, то сумма трех и большего числа векторов записывается без скобок. Например, вместо (а + b) + с или а + ( b + с ) пишут а + b + с.

Если требуется найти сумму трех или большего числа векторов, то применяют так называемое правило многоугольника. Оно состоит в следующем.

Пусть даны векторы а, b, с, d и требуется найти их сумму.

Выберем некоторую точку О (рис. 11) и построим отрезок ОА такой, что $\overrightarrow{OA}$ = а,
затем построим отрезок АВ такой, что $\overrightarrow{AB}$ = b, и т. д.

Построение продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все векторы-слагаемые. Направленный отрезок $\overrightarrow{OD}$, замыкающий полученную ломаную, будет равен сумме данных векторов.

Противоположные векторы. Вычитание векторов.

Любые два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются

противоположными. Вектор, протипоположный вектору а, обозначается — а. Следовательно, по определению

а + (- а) = 0.

Из определения следует, что если а = $\overrightarrow{AB}$, то — а = $\overrightarrow{BA}$, т. е. противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления.

Например, если ABCD — параллелограмм, то векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ противоположные (рис. 15). Векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CB}$ тоже противоположные.

Для любых двух векторов

а и b вектор с = а + (- b) называется разностью векторов а и b и обозначается а — b. Таким образом, по определению

а — b = а + (- b).

Если а = $\overrightarrow{OA}$ и b = $\overrightarrow{OB}$ (рис. 16), то

а — b = $\overrightarrow{OA}$ — $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{BO}$ = $\overrightarrow{BO}$+ $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{BA}$.

Следовательно,

$\overrightarrow{OA}$ — $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{BA}$ (1)

Из рисунка видно, что $\overrightarrow{BA}$ — это направленная диагональ параллелограмма ОАСВ, построенного на отрезках ОА и ОВ. Другая диагональ $\overrightarrow{OC}$ изображает сумму векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$.

Нетрудно заметить, что формулу (1) можно применять, не прибегая к чертежу: для этого достаточно внимательно проследить за порядком расположения букв в записи данных и искомого векторов. Так, например,

$$ \overrightarrow{PQ} — \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{NQ}\;\; (2)$$

Сложение и вычитание векторов

Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Результатом сложения векторов является их сумма. Сумма векторов и обозначается .

Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

Чтобы сложить векторы и , надо взять произвольную точку и от нее отложить последовательно сначала вектор , затем вектор . Вектор, начало которого совпадает с началом вектора (т.е. первого вектора), а конец – с концом вектора (т.е. второго вектора), есть искомая сумма. На рис. 4 .

По правилу треугольника можно складывать любые векторы.

Коротко правило треугольника можно записать так:

для любых трех точек А,В и С .

Правило параллелограмма

Чтобы сложить векторы и , надо привести их к общему началу, т.е. взять произвольную точку А, построить такие точки В и С, что и , и достроить полученную фигуру до параллелограмма . Вектор — искомая сумма (рис. 5).

По правилу параллелограмма можно складывать тольконеколлинеарные векторы.

Свойства сложения векторов:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Суммой трех векторов и называется вектор . Учитывая свойство 4⁰, скобки можно опустить и обозначать сумму в виде .

Суммой n векторовназывается вектор и обозначается так: .

При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.

Правило многоугольника

Чтобы найти сумму n векторов, надо взять произвольную точку и отложить от нее последовательно эти векторы. Вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего (n-го вектора), есть искомая сумма.

Разностью векторов и называется такой вектор , что . Разность – это результат вычитания векторов. Разность векторов и обозначается так: .

Правило построения разности двух векторов

Чтобы построить разность векторов и , надо привести их к общему началу. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом второго вектора (т.е. вектора ), а конец – с концом первого (т.е. ), есть искомая разность .

На рис. 6 .

По правилу треугольника

откуда получаем краткую запись правила нахождения разности векторов:

Умножение вектора на число

Рассмотрим еще одну линейную операцию над векторами – умножение вектора на число. Результатом этой операции является произведение вектора на число.

Произведением вектора на действительное число a называется вектор , обозначаемый через и удовлетворяющий двум условиям:

1) его длина ;

2) если a 0, то ; если <0, то .

Алгоритм построения произведения вектора число a таков.

Берем произвольную точку М. Проводим луч , сонаправленный с вектором , если a 0, и противоположно направленный с вектором , если <0. На луче от начала М откладываем отрезок MP, длина которого в раз больше длины вектора . Вектор — искомый вектор .

Продемонстрируем этот алгоритм на конкретном примере. Построим вектор , если — данный вектор.

Возьмем произвольную точку А. Так как <0, то проводим луч (рис. 7). На луче строим такую точку С, что . Тогда — искомый вектор.

Свойства умножения вектора на число

1⁰. и .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Теорема 1 (о коллинеарных векторах).Пусть . Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число a, что .

Теорема 2 (о компланарных векторах).Пусть || . Векторы компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие действительные числа a и b, что .

Лекция 2

Линейная зависимость векторов

Линейная зависимость векторов и ее свойства

Линейной комбинацией векторовназывается вектор , где .

Примеры линейных комбинаций:

1. Вектор есть линейная комбинация векторов (здесь ).

2. Вектор есть линейная комбинация векторов (здесь ).

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство:

Если равенство выполняется только при , то система векторов называетсялинейно независимой.

Примеры

1. Система векторов линейно зависима, т.к. если возьмем , то получим, что , т.е. существуют такие действительные числа , не все равные 0 одновременно ( ), что выполняется равенство .

2. Система двух неколлинеарных векторов и линейно независима, т.к. сумма двух неколлинеарных векторов и равна нулевому вектору только при .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Правило параллелограмма для сложения двух векторов:

1 . Нарисуем вектор .

2. Нарисуем вектор так, что его начало совпадает с началом вектора ; угол между векторами равен (см. рисунок).

3. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору .

4. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору .

Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы и .

5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора и начала вектора .

6. Модуль результирующего вектора равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:

;

начало вектора совпадает с началом вектора и началом вектора (направление вектора показано на рисунке).

Правило треугольника для сложения двух векторов:

1. Нарисуем составляющие векторы и так, что начало вектора совпадает с концом вектора . При этом угол между векторами равен .

2. Результирующий вектор направлен так, что его начало совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора .

3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:

2.2.3 Вычитание векторов

Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:

Найти разность вектора и вектора — это тоже самое, что найти сумму вектора и вектора , противоположного вектору . Мы можем найти вектор разности геометрически по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (см. рис.).

Правило параллелограмма.

Стороны параллелограмма — вектор и вектор — ; диагональ параллелограмма — вектор разности .

Правило треугольника.

Вектор разности соединяет конец вектора и конец вектора (начало вектора совпадает с концом вектора ).

2.2.4 Умножение вектора на скаляр

Пусть заданы вектор и скаляр n. Найдем произведение вектора и скалярного вектора n.

В результате умножения вектора на скаляр мы получаем новый вектор :

Направление вектора такое же, как направление вектора при .

Направление вектора противоположно направлению вектора при .

Модуль вектора в n раз больше модуля вектора , если .

2.3. Скалярное и векторное произведения

2.3.1 Скалярное произведение

Из двух векторов и можно образовать скаляр по правилу:

Это выражение называется скалярным произведением векторов и и обозначается одним из символов , или .

Следовательно, ^. = .

По определению скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) ,

2) ,

2.3.2 Векторное произведение

Из двух векторов и можно образовать новый вектор:

, где

Модуль нового результирующего вектора находим по формуле:

Эта операция называется векторным произведением векторов и и обозначается одним из символов или .

Также общеизвестна формула

где — угол между векторами и .

Направление вектора можно найти, используя следующий прием. Мысленно совмещаем продольную ось буравчика (правого винта, штопора) с перпендикуляром к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы (в данном примере – векторы и ). Затем начинаем вращать головку винта (ручку штопора) по направлению кратчайшего поворота от первого сомножителя ко второму, то есть от вектора к вектору . Направление движения тела винта и будет являться направлением вектора . Этот прием называется правилом правого винта или правилом буравчика (см. рис.).

В терминах векторного произведения выражаются момент силы, момент импульса и др. Говоря о векторе, всегда имеем ввиду его компоненты. Вектор, в отличие от скаляра, определяется тремя числами. Поэтому такие операции как сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения сводятся к привычным действиям с компонентами.

Правило сложения векторов. Сложение векторов треугольником. Сложение векторов параллелограмма.

Сложение векторов с помощью правила треугольника, параллелограмма

Нарисуем горизонтально вектор $\overline{AB}$ c заданным направлением, из конца вектора $\overline{AB}$ нарисуем вектор $\overline{BC}$, соеденим $А$ с $С$. Вектор $\overline{AC}$ называется суммой и является результирующим векторов $\overline{AB}$ и $\overline{BC}$:

Также мы можем описать сложение векторов с помощью правила параллелограмма, где результирующим векторов $\overline{AD}$ и $\overline{AB}$ будет диагональ параллелограмма $\overline{AC}$.2 = 47,524\) $—>$ $|v| = 218$

Таким образом скорость самолета $218$ км/час.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный экономический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Правильно задаю вопросы, умею слушать и слышать учеников. Смотрю на все сквозь призму юмора и стремлюсь влюбить всех в свой предмет. Требовательная, но понимающая. Я люблю математику за то, что она развивает мышление и приводит в порядок ум.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-5 классов. Люблю математику за ее точность и однозначность. Мне нравится работать с детьми, умею находить с ними общий язык. Могу заверить, что изучение математики будет простым, а главное интересным. Ваш ребенок сможет достичь успеха, если его поддержать!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Фрунзенский политехнический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 классов. Математика — царица наук. Её точностью, логичностью и завершенностью можно только восхищаться. Каждый ребенок уникален, нужно только помочь ему проявиться. В этой помощи я вижу свою задачу. Поэтому уделяю большое внимание мотивации ребенка и работе со сложными вопросами. С нетерпением жду встречи с Вами!

Математика по Skype

— Индивидуальные занятия
— В любое удобное для вас время
— Бесплатное вводное занятие

Сложение и вычитание векторов — КиберПедия

Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Результатом сложения векторов является их сумма. Сумма векторов и обозначается .

Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника

По правилу треугольника можно складывать любые векторы.

Коротко правило треугольника можно записать так:

для любых трех точек А,В и С .

Правило параллелограмма

По правилу параллелограмма можно складывать тольконеколлинеарные векторы.

Свойства сложения векторов:

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. .

Суммой nвекторовназывается вектор и обозначается так: .

При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.

Правило многоугольника

Чтобы найти сумму nвекторов, надо взять произвольную точку и отложить от нее последовательно эти векторы. Вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего (n-го вектора), есть искомая сумма.

Правило построения разности двух векторов

На рис. 6 .

По правилу треугольника

откуда получаем краткую запись правила нахождения разности векторов:

Умножение вектора на число

1) его длина ;

2) если a 0, то ; если <0, то .

Алгоритм построения произведения вектора числоa таков.

Берем произвольную точку М. Проводим луч ,сонаправленный с вектором , если a 0, и противоположно направленный с вектором , если <0. На луче от начала М откладываем отрезок MP, длина которого в раз больше длины вектора .Вектор — искомый вектор .

Продемонстрируем этот алгоритм на конкретном примере. Построим вектор , если — данный вектор.

Правила параллелограма – Юридический центр

Параллелограмм, его признаки и свойства

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теоремы (свойства параллелограмма):

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны: , , ,.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: , .

Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны .

Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: .

Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма Вариньона.

Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника . Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

www.fmclass.ru

Сложение векторов, Сумма векторов

Правило треугольника

Сумма векторов a и b это третий вектор с , получаемый следующим построением: из произвольного начала О строим вектор OL , равный а ; из точки L , как из начала строим вектор LM , равный b . Вектор с = ОМ есть сумма векторов a и b («правило треугольника»).

При сложении векторов справедливы неравенства

Эти неравенства показывают, что сторона OM треугольника OML меньше суммы и больше разности двух других сторон.

В формуле (1) знак равенства имеет место только для равнонаправленных векторов, в формуле (2) – только для противоположного направленных векторов.

Сумма противоположных векторов

Из определения следует, что сумма противоположных векторов равна нуль-вектору.

Свойство переместительности

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

Правило параллелограмма

Если слагаемые a и b не коллинеарны, то сумму a + b можно найти следующим построением:

из любого начала О строим векторы ОА = а и ОВ = b ; на отрезках ОА , ОВ строим параллелограмм ОАСВ . Вектор диагонали ОС = с есть сумма векторов a и b (так как АС = OB = b и ОС = ОА + АС ).

К коллинеарным векторам это построение неприменимо.

Определение сложения векторов установлено в соответствии с физическими законами сложения векторных величин (например, сил, приложенных к материальной точке).

www.fxyz.ru

Сложение и вычитание векторов

На данном уроке мы изучим операции сложения и вычитания векторов, сформулируем правила треугольника и параллелограмма, кроме того, выведем законы сложения векторов.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Тема: Векторы

Урок: Сложение и вычитание векторов

1. Сумма двух векторов, правило треугольника

На предыдущем уроке мы определили понятие вектора, сказали, какие векторы называются равными, коллинеарными, сонаправленными и противонаправленными.

Теперь пусть задано два вектора – вектора и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки А вектор . Из точки В отложим вектор . Тогда вектор называют суммой заданных векторов: (см. Рис. 1).

Данное определение можно объяснить так: пусть был задан груз, и сначала на него подействовала сила – он переместился из точки А в точку В, после этого подействовала сила – груз переместился из точки В в точку С. Но в результате действия двух этих сил груз переместился из точки А в точку С.

Таким образом, мы получили определение суммы двух векторов – правило треугольника.

Правило треугольника

Для того чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго – это и будет сумма двух векторов.

Можно провести аналогию с числами. Мы ввели понятие числа, научились складывать числа, определили законы сложения и так далее. Теперь мы ввели понятие вектора, научились находить равные вектора, складывать вектора. Теперь нужно определить законы сложения.

2. Законы сложения векторов, правило параллелограмма

Законы сложения векторов

Для любых векторов , и справедливы следующие равенства:

– переместительный закон.

Доказательство: отложим из точки сначала вектор , получаем точку В, из нее откладываем вектор , получаем точку С и вектор .

Теперь отложим из точки А сначала вектор получим точку В, из нее отложим вектор, получим точку С и вектор .

Чтобы доказать равенство полученных векторов, выполним оба построения из одной точки и получим таким образом правило параллелограмма (см. Рис. 2).

Откладываем из точки А вектор и вектор . Из точки В откладываем вектор , вектора и равны, а значит, стороны ВС и АВ₁ четырехугольника АВСВ₁ параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В₁С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма. , таким образом, мы доказали переместительный

закон сложения векторов и получили правило параллелограмма (см. Рис. 3).

Правило параллелограмма

Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти два вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, и будет суммой заданных векторов.

– сочетательный закон;

Из произвольной точки А отложим вектор , прибавим к нему вектор , получим их сумму . К этой сумме прибавим вектор , получим результат (см. Рис. 4).

В правой части выражения мы сначала получили сумму векторов , после прибавили ее к вектору и получили результат: (см. Рис. 5).

Таким образом, мы доказали сочетательный закон сложения векторов.

3. Правило сложения нескольких векторов

Правило многоугольника

Чтобы сложить несколько векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее; когда все векторы отложены, соединив начальную точку с концом последнего вектора, получим сумму нескольких векторов (см. Рис. 6).

По аналогии с действительными числами после того, как мы научились их складывать, нужна обратная операция – вычитание.

4. Правило вычитания векторов

Пусть задано два вектора – векторы и . Найдем разность этих двух векторов .

Определение

Разностью двух векторов и называют такой третий вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Если задан вектор , то можно построить противоположный ему вектор , который будет равен по длине, но противонаправлен. Сумма противоположных векторов всегда есть нулевой вектор: . Таким образом, .

Отложим из произвольной точки вектор , из его конца отложим вектор , получим в результате вектор (см. Рис. 7).

Рассмотрим вычитание векторов на параллелограмме. Из точки А отложим векторы и . Из точек В и D отложим векторв и соответственно. Диагональ АС – это сумма векторов и : . Но в параллелограмме есть еще вторая диагональ – BD. Прибавим к вектору вектор , получим вектор (см. Рис. 8).

Итак, на данном уроке мы вывели правила сложения и вычитания векторов при помощи треугольника и параллелограмма, сформулировали законы сложения векторов.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Задание 1: дан треугольник , найдите сумму векторов: и ; и ; и ; и .
Задание 2: турист прошел 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы и Равны ли векторы и ?
Задание 3: начертите попарно неколлинеарные векторы , и и постройте векторы , , .

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

interneturok.ru

Правила параллелограма

По книге: А. В. Цингер. Начальная физика. Ч. 1. Москва, 1910. – 595 стр.

Правило параллелограмма сил

Изображение сил Силы принято изображать графически, в виде отрезков или стрелок (рис. 1). Если условимся, например, что отрезок в 0,5 см длиной соответствует силе в 1 кГ, то изображенная здесь стрелка в 3,5 см длиной изображает силу в 7 кГ, тянущую слева направо. При графическом изображении силы имеет также значение, чтобы начало стрелки помещалась в той точке, в которой приложена сила.

Правило параллелограмма сил

Если две силы приложены к одной и той же точке, то равнодействующая этих двух сил определяется правилом, подобным правилу сложения скоростей. Равнодействующая двух сил, приложенных к одной и той же точке, графически выражается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах. Силы F₁ и F₂ вместе производят совершенно такое же действие, как сила F одна. Если к силам F₁ и F₂ прибавить силу F‘ противоположную F, то должно получиться равновесие. Подобные случаи равновесия удобно наблюдать, уравновешивая какие-нибудь три груза, как показано на рис. 3. Вправо тянет сила 2 кГ, влево в 3 кГ, равнодействующая этих сил оказывается равной 4 кГ и направлена вертикально ввер, и потому уравновешивается гирей в 4 кГ, тянущей вниз. Вы можете на подобном приборе уравновешивать различные грузы и каждый раз, строя параллелограмм со сторонами, численно равными весу боковых гирь, будете получитать диагональ, численно равную весу средней гири, и направленную вертикально вверх. Пользуясь правилом параллелограмма, можно складывать не только две, но и сколько угодно сил, приложенных к одной точке.

Найдите равнодействующую двух сил разной величины, действующих на точку по одной прямой в одну и ту же сторону и в разные стороны.
При каком условии направление равнодействующей делит пополам угол между направлениями составляющих сил?

files.school-collection.edu.ru

Журнал “Квант”

Скаляры можно складывать, умножать и делить так же, как обычные числа.

Поскольку вектор характеризуется не только числовым значение, но и направлением, сложение векторов не подчиняется правилам сложения чисел. Например, пусть длины векторов a = 3 м, b = 4 м, тогда a + b = 3 м + 4 м = 7 м. Но длина вектора $\vec c = \vec a + \vec b$ не будет равна 7 м (рис. 1).

Рис. 1.

Для того, чтобы построить вектор $\vec c = \vec a + \vec b$ (рис. 2), применяются специальные правила сложения векторов.

Рис. 2.

А длину вектора суммы $\vec c = \vec a + \vec b$ определяют по теореме косинусов $c = \sqrt$, где $\alpha\,$ – угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$.

Правило треугольника

В зарубежной литературе этот метод называют «хвост к голове».

Для того чтобы сложить два вектора $\vec a$ и $\vec b$ (рис. 3, а) нужно переместить вектор $\vec b$ параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора $\vec a$ (рис. 3, б). Тогда их суммой будет вектор $\vec c$, начало которого совпадает с началом вектора $\vec a$, а конец — с концом вектора $\vec b$ (рис. 3, в).

а б в Рис. 3.

Результат не поменяется, если перемещать вместо вектора $\vec b$ вектор $\vec a$ (рис. 4), т.е. $\vec b + \vec a = \vec a + \vec b$ (свойство коммутативности векторов).

а б в Рис. 4. vector-treug-1.swf “Правило треугольников” Пример 1 Увеличить Flash vector-treug-2.swf “Правило треугольников” Пример 2 Увеличить Flash Рис. 5.

При помощи правила треугольника можно сложить два параллельных вектора $\vec a$ и $\vec b$ (рис. 6, а) и $\vec a$ и $\vec d$ (рис. 7, а). Суммы этих векторов $\vec c = \vec a + \vec b$ и $\vec f = \vec a + \vec d$ изображены на рис. 6, б и 7, б. Причем, модули векторов $c = a + b$ и $f=\left|a-d\right|$.

а б Рис. 6. а б Рис. 7.

Правило треугольника можно применять при сложении трех и более векторов. Например, $\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4$ (рис. 8).

Рис. 8.

Правило параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора $\vec a$ и $\vec b$ (рис. 9, а) нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов $\vec a$ и $\vec b$ находились в одной точке (рис. 9, б). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора (рис. 9, в). Тогда суммой $\vec a+ \vec b$ будет вектор $\vec c$, начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с противоположной вершиной параллелограмма (рис. 9, г).

а б в г Рис. 9. vector-paral-1.swf “Правило параллепипеда” Увеличить Flash Рис. 10.

Вычитание векторов

Для того чтобы найти разность двух векторов $\vec a$ и $\vec b$ (рис. 11) нужно найти вектор $\vec c = \vec a + \left(-\vec b \right)$ (см. Умножение вектора на скаляр) по правилу треугольника (рис. 12) или по правилу параллелограмма (рис. 13).

Рис. 11 а б в Рис. 12. а б б в Рис. 13.

www.physbook.ru

законов сложения векторов — процедура, условия и пример

Что такое вектор?

Давайте рассмотрим закон сложения векторов pdf. На рисунке ниже показан вектор:

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Вектор имеет величину (то есть размер) и направление:

(Изображение будет добавлено в ближайшее время) )

Длина линии или стрелки, указанной выше, показывает ее величину, а острие стрелки указывает направление.

Теперь мы можем сложить два вектора, просто соединив их голова к хвосту, обратитесь к диаграмме, приведенной ниже, для лучшего понимания:

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

И не имеет значения, в каком порядке эти два векторы добавляются, мы все равно получаем тот же результат:

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Обозначение:

Вектор часто можно написать жирным шрифтом, например a или b.

Вектор также может быть записан как буквы его хвоста и головы со стрелкой над ним, как показано справа.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

В этой статье мы обсудим закон вектора и вычитание, треугольный закон сложения векторов, математический закон сложения векторов и закон сложения векторов pdf.

Каковы свойства сложения векторов?

Сложение векторов удовлетворяет двум важным свойствам.

1. Закон о коммутации гласит, что порядок сложения не имеет значения, то есть: A + B равно B + A.

2 Ассоциативный закон, который гласит, что сумма трех векторов не зависит от того, какая пара векторов добавляется первой, то есть: (A + B) + C = A + (B + C).

Что такое сложение двух векторов?

В самых общих чертах он говорит, что вы можете сложить два вектора, и результатом будет вектор.

В качестве примера рассмотрим

V = R2 = {(a, b) | a, b∈R} Тогда для вектора (v1) = (x1, y1), (v2) = (x2, y2) мы have

v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2)

Математический закон сложения векторов — Треугольный закон сложения векторов:

Давайте обсудим закон треугольника сложения векторов в законе сложения векторов pdf.Предположим, у нас есть два вектора, а именно A и B, как показано.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Теперь метод сложения этих двух векторов очень прост, нам нужно просто поместить головку одного вектора над хвостом другого вектора, как показано на рисунке ниже. .

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Теперь, после этого, нам нужно соединить другие конечные точки обоих векторов вместе, как показано ниже,

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Результат данных векторов ( A и B) задается вектором C, который представляет собой сумму векторов A и B, то есть C = A + B

Согласно закону сложения векторов pdf, сложение векторов является коммутативным по своей природе i.е.

Если C = A + B; тогда мы можем написать C = B + A

. Аналогично, если нам нужно вычесть оба вектора, используя закон треугольника, мы просто меняем направление любого вектора, а затем добавляем его к другому, как показано ниже.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Теперь мы можем математически представить это как C = A — B (поскольку они находятся в противоположных направлениях). Это закон сложения векторов треугольников.

Математический закон сложения векторов — Закон сложения параллелограмма

Математический закон сложения векторов, называемый законом сложения параллелограмма, обычно гласит, что сумма квадратов длины четырех сторон параллелограмма равна сумме квадраты длины двух диагоналей параллелограмма.В евклидовой геометрии необходимо, чтобы параллелограмм имел равные противоположные стороны.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Если ABCD — параллелограмм, то AB равно DC, а AD равно BC. Тогда, согласно определению закона параллелограмма, он определяется как

2 (AB) 2 + 2 (BC) 2 = (AC) 2 + (BD) 2

В случае, если параллелограмм является прямоугольником, то закон можно сформулировать как:

2 (AB) 2 + 2 (BC) 2 = (AC) 2

Потому что в прямоугольнике две диагонали имеют одинаковую длину.то есть, (AC = BD)

Процедура сложения векторов параллелограмма

Шаги для закона параллелограмма сложения векторов приведены ниже:

Шаг 1) Нарисуйте вектор, используя подходящий масштаб в направлении вектор

Шаг 2) На шаге 2 вам нужно нарисовать второй вектор, используя тот же масштаб из хвоста первого заданного вектора

Шаг 3) Лук, вам нужно рассматривать эти векторы как смежные стороны, а затем завершить параллелограмм

Шаг 4) Теперь сформированная диагональ в основном представляет результирующий вектор как по величине, так и по направлению

Каковы основные условия для сложения любых векторов?

Существенным условием сложения двух векторов является просто то, что они должны быть подобны векторам, то есть векторы должны иметь одинаковые размеры и одинаковые единицы измерения.Например, вектор силы с другим вектором силы может быть добавлен, если они выражены в одних и тех же единицах, но не может добавлять силу и скорость, поскольку они имеют разные размеры.

Например: если у нас есть скорости 30 метров в секунду и 50 метров в секунду в заданных направлениях, мы можем легко добавить их, но мы не можем напрямую добавить скорости 3 км / секунду и сказать 500 метров в секунду, если оба не преобразованы в те же единицы.

Если два вектора принадлежат одному и тому же векторному пространству, они имеют одинаковую размерность, но также можно добавить два вектора с разными размерностями.

Например, у нас есть вектор A = 3i + 4j и вектор B = 8i + 5j + 9k, тогда мы также можем найти сумму, хотя они имеют другую размерность. Здесь мы должны рассмотреть A = 3i + 4j + 0k. Сумма векторов A + B = 11i + 9j + 9k

Простыми словами мы можем сказать, что два вектора можно сложить тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же единицу.

Решаемые вопросы:

Вопрос 1) Даны векторы A = 2i + 6j — 3k и B = 3i — 3j + 2k. Найдите A + B.

Ответ) Сложим заданные векторы,

A = 2i + 6j — 3k + B = 3i — 3j + 2k = (2 + 3) i + (6-3) j + (- 3 + 2) k

Следовательно , A + B = 5i + 3j-1k

Урок 1 — Сложение векторов: числовые

Урок 1 — Сложение векторов: числовые
Сложение векторов: числовые вычисляет величину и направление результирующей с учетом величин и направлений произвольное количество добавляемых векторов.
Предпосылки
Студенты должны понимать векторные свойства величины и направления и знаком с графическим добавлением векторов методом Tip-to-Tail. Они также должны иметь практические знания основ тригонометрии.
Результаты обучения
Студенты научатся вычислять величину и направление суммы два вектора (результирующие) с учетом величин и направлений двух векторов быть добавленным.Они научатся использовать для этой цели закон косинусов и закон синусов. Они также будут узнайте, как вычислить сумму двух векторов с помощью компонентов.
Инструкции
Учащиеся должны понимать функции апплета, описанные в Help и ShowMe. Апплет должен быть открыт. Пошаговые инструкции на этой странице предназначены для быть сделано в апплете. Возможно, вам придется переключаться между инструкциями и апплет, если пространство на экране ограничено.
Содержание
Описание суммы двух векторов
Метод 1. Вычисление результата по закону косинусов и синусов
Метод 2 — Расчет результата с использованием векторных компонентов
Приложение
Закон косинусов
Закон синуса
Компоненты
Представьте, что вы снова входите в атмосферу в космическом шаттле.Чтобы безопасно посадить шаттл, пилот должен точно подойти к взлетно-посадочной полосе. Для этого пилоту необходимо знать точную скорость шаттла относительно на землю все время. При повторном входе шаттл движется со скоростью 130 м / с. на 140 ° относительно воздуха при попадании в струю струи (большая высота, глобальная циркуляция воздуха), который движется со скоростью 100 м / с под углом 60 ° относительно земля. Какова скорость шаттла относительно земли после того, как он войдет струйный поток? У вас может возникнуть соблазн сказать, что 100 м / с + 130 м / с = 230 м / с.Однако это было бы неверно. Скорость — это векторная величина, и как таковая две скорости должны быть сложены как векторы. Апплет будет использоваться для иллюстрации как правильно складываются два вектора.
Апплет будет использоваться для определения скорости шаттла относительно земля при повторном входе.
Обведите ниже правильный ответ. Графическое построение результирующего на Рисунке 1 показан
Кончик к хвосту Метод сложения векторов
Параллелограмм Метод сложения векторов
Результат упражнения 1 может отображаться в трех режимах.Щелкните режим кнопка управления () для результирующего« три раза и цикл в «Декартов» режим (). В этом режиме компоненты результирующего x- и y- ( r _x , r _y ) отображаются, как показано на рисунке 2.
Используя кнопку управления режимом, опишите скорость челнока относительно землю, используя все три режима.
Величина и полярное (положительное) направление результирующего () составляет (________, ________ град)
Величина и навигационное направление результирующего () (________, ________ E из N)
Декартовы компоненты результирующего () равны (________ , ________)
Как рассчитывается результат? Его можно найти с помощью двух разных методы.
Метод 1 использует закон косинусов, чтобы найти результирующую величину и Закон синуса для результирующего направления.
Метод 2 использует векторные компоненты для получения как результирующей величины, так и направление. Каждый метод представлен ниже.
Чтобы вычислить величину и направление результирующего как показано на рисунке 1, нам нужна диаграмма, показывающая все соответствующие количества как на рисунке 2 ниже.
Рисунок 2
Мы хотим вычислить величину r результирующего и угол α. Угол направления θ равнодействующей Полярная (положительная) спецификация тогда θ = α + 60 °.
Закон косинусов используется для вычисления величины ( r ) а закон синусов используется для вычисления угла (α). Описание этих законов см. В приложении.
Согласно рисунку 2, закон косинусов можно использовать для вычисления величина ( r ) результирующего вектора:
(Примечание: угол, противоположный вектору равно 60 ° + 40 ° = 100 °.)
Закон синусов затем можно использовать для вычисления направления (θ) результирующего вектора.
Чтобы применить закон синусов, соедините угол (α) с противоположной стороной величины ( v ₂ ) и угол 100 ° с противоположной стороной величины ( r ).
Следовательно, результирующий вектор имеет величину 177,24 под углом 106,25 ° в полярном (положительном) направлении:
Используя закон косинуса и синусов, вычислите результат (сумму) следующих два вектора. Добавьте векторы в апплет, чтобы увидеть правильный кончик к хвосту. векторную диаграмму и проверьте результат.
₁ = 150, полярность 50 ° (положительная)
₂ = 200, полярность 150 ° (положительная)
Векторная диаграмма кончик к хвосту:
Результирующая звездная величина (r):
. (Использовать Закон косинуса.)
Результирующее направление (θ): (Используйте Закон синусов и полярная (положительная) спецификация.)
Используя закон косинуса и синусов, вычислите результат (сумму) следующих два вектора. Добавьте векторы в апплет, чтобы увидеть правильный кончик к хвосту. векторную диаграмму и проверьте результат.
₁ = 100, 150 ° полярный (положительный)
₂ = 75, 250 ° полярный (положительный)
Векторная диаграмма кончик к хвосту:
Результирующая звездная величина (r):
. (Использовать Закон косинуса.)
Результирующее направление (θ): (Используйте Закон синусов и полярная (положительная) спецификация.)
Теперь посчитаем сумму тех же двух векторы ₁ и ₂ как в предыдущем разделе, но на этот раз с использованием компонентов.
Для следующих вычислений вам необходимо знать (скалярные) компоненты вектора.Для обзора векторных компонентов, см. приложение.
Это особенно просто, если векторы уже заданы в терминах их компоненты ( x , y ), ( v _x , v _y ) ₁ и ( v _x , v _y ) ₂. Тем не мение, мы будем предполагать, что векторы даны с точки зрения величины и направления [( v ₁ , θ ₁) и ( v ₂ , θ ₂)].
Углы измеряются в полярной (положительной) спецификации (или навигационной N из E). См. Рисунок 3.
Рисунок 3
Величина и направление ₁ и ₂ являются:
v ₁ = 100, θ ₁ = 60 °
v ₂ = 130, θ ₂ = 140 °

Компоненты каждого вектора вычисляются с использованием соответствующих тригонометрические функции:
Векторная диаграмма x -компонент y -компонент
Чтобы сложить два вектора, нужно добавить соответствующие компоненты.Если компоненты результирующего обозначены ( r _x , r _y ), получаем:
r _x = v _1x + v _2x r _x = (+50,00) + (-99,59)
r _x = -49,59
r _y = v _1y + v _2y
г _у = (+86.60) + (+83,56)
г _г = +170,16
Вы можете указать результат в терминах компонентов и остановить расчет на данный момент. Однако если величина и угол направления требуются результирующие, их можно рассчитать из компонентов следующим образом.
Опять же, очень полезно сделать диаграмму, чтобы проиллюстрировать углы и другие соответствующие величины.См. Рисунок 4 ниже.
Рисунок 4
Треугольник, образованный вектором и два компонента представляют собой прямоугольный треугольник с вектором в качестве гипотенуза. Следовательно, теорему Пифагора можно использовать для вычисления результирующая величина:
.
Из рисунка 4 видно, что направление может быть вычисляется с использованием определения тангенса угла.
Это означает, что для угла направления значения 180 — 73,75 = 106,24 °
Следовательно, результирующий вектор равен 177,24 при 106,25 ° в полярном (положительное) направление. Вы можете проверить эти значения в апплете, выбрав величина и полярное положительное направление для результирующего:
Таким образом, если два вектора ₁ и ₂ даны по величине и направлению, можно рассчитать результирующую выполнив следующие действия:
Используйте векторную диаграмму и тригонометрические функции для преобразования векторов в компоненты форма.
Сложите компоненты (x _всего = x ₁ + x ₂) и (y _всего = y ₁ + y ₂). Не забудьте добавить положительный или отрицательные направления.
Нарисуйте результирующий вектор с использованием компонент x _всего и компонент y _всего компонент. Помнить для включения положительных или отрицательных направлений.
Вычислите результирующую величину, используя теорему Пифагора (c ² = a ² + b ²).
Рассчитайте направление, используя соответствующую тригонометрическую функцию (касательная функция).
Это может быть немного больше работы, чем вычисление результирующей с использованием Закона Косинусы и закон синусов, как это было сделано в предыдущем разделе. Тем не мение, если два вектора ₁ и ₂ уже даны в форме компонента, и если кто-то хочет получить результат в компоненте форма, как это часто бывает, расчет проще.
Используя метод компонентов, вычислите результат (сумму) следующих два вектора. Покажите все необходимые расчеты и диаграммы ниже и укажите направление с использованием полярной (положительной) характеристики. Добавьте векторы на апплет, чтобы проверить результирующую величину и направление.
₁ = 175, полярность 70 ° (положительная)
₂ = 200, полярность 200 ° (положительная)
а.Векторная диаграмма и расчет компонентов для ₁.
г. Векторная диаграмма и расчет компонентов для ₂.
г. Сложение компонентов и рисование результирующего вектора.
г. Вычисление результирующей величины по теореме Пифагора.
e. Расчет результирующего направления с помощью функции касательной.выражать направление с точки зрения полярной (положительной) спецификации.

Используя метод компонентов, вычислите результат (сумму) следующих два вектора. Показать все необходимые расчеты и схемы, а также указать направление используя полярную (положительную) характеристику. Добавьте векторы в апплет по порядку чтобы проверить результирующую величину и направление.
₁ = 185, 45 ° полярный (положительный)
₂ = 95, 320 ° полярный (положительный)
а.Векторная диаграмма и расчет компонентов для ₁. г. Векторная диаграмма и расчет компонентов для ₂.
г. Сложение компонентов и рисование результирующего вектора.
г. Вычисление результирующей величины по теореме Пифагора.
e. Расчет результирующего направления с помощью функции касательной. выражать направление с точки зрения полярной (положительной) спецификации.
Используя метод компонентов, вычислите результат (сумму) следующих два вектора. Покажите все необходимые расчеты и диаграммы ниже и укажите направление с использованием полярной (положительной) характеристики. Добавьте векторы на апплет, чтобы проверить результирующую величину и направление.
₁ = (+135, -120) — компоненты
₂ = (-200, -45) — компоненты
а. Сложение компонентов и отрисовка результирующего вектора:

г.Расчет результирующей величины по теореме Пифагора:

г. Расчет результирующего направления с помощью функции касательной: (выразите направление с точки зрения полярной (положительной) спецификации)
Приложение
Закон косинусов — это общее уравнение, связывающее три стороны и один угол в треугольнике. Нет ограничений на размер треугольника. форма.Три элемента определяют треугольник. Если любые три из четырех элементов в уравнении закона косинусов, уравнение позволяет вычислить четвертый.
На рисунке A1 показан общий треугольник. Три стороны помечены a , b , c , и три угла помечены как α, β, γ.
Рисунок A1
Существуют три уравнения закона косинусов, в зависимости от того, какой угол включен:
c ² = a ² + b ² — 2 ab cos γ (A1)
a ² = b ² + c ² — 2 до н.э. cos α (A2)
b ² = c ² + a ² — 2 ca cos β (A3)
Обратите внимание, что теорема Пифагора является частным случаем этих уравнений, если углов равен 90 °.Например, если γ = 90 °, то cos γ = 0 и уравнение (A1) сводится к теореме Пифагора:
c ² = a ² + b ² (A4)
Также обратите внимание на знак минус перед членом косинуса в этих уравнениях. Этот имеет следующий эффект. Рассмотрим уравнение (1). Если γ <90 ° , косинус положительный. Со знаком минус перед членом косинуса уравнение (A1) дает значение c, которое меньше значения, заданного пифагоровым методом. теорема (4).Если γ> 90 °, косинус отрицательный. В сочетании с знак минус перед членом косинуса, член теперь вносит положительный вклад в правую часть уравнения (1), что дает значение c, которое больше чем тот, который дается теоремой Пифагора.
Закон синусов — это набор уравнений, справедливых для любого треугольника. В нем говорится, что отношение «синуса угла к длине противоположная сторона «одинакова для любой пары углов и противоположной стороны.
На рисунке A2 показан общий треугольник. Три стороны помечены a , b , c , и три угла помечены как α, β, γ.
Рисунок A2
Уравнения закона синуса:
(A5)
Треугольник определяется тремя его элементами. Учитывая две стороны и угол, противоположный одной из сторон, закон синусов позволяет определить угол, противоположный Обратная сторона.
Векторы могут быть описаны в терминах их скалярных компонентов. Вектор в двух измерениях имеет две скалярные компоненты, одну по оси x и один по оси y . Для вектора эти компоненты обозначены a _x и a _y , соответственно. На рисунке A3 показаны компоненты вектора то есть в первом квадранте.
Рисунок A3
скалярных компонентов вектора — это проекции вектора. на оси x и y . На рисунке A3 они показаны зеленым цветом. и желтый соответственно. Их называют скалярными компонентами, потому что они числа. Скалярные компоненты равны x и y координаты вершины вектора, если конец вектора в начале системы координат, как здесь.
Вектор на рисунке A3 имеет величину 8 и угол θ с положительный x — ось равна 30 °. Его скалярные компоненты имеют значения:
a _x = 6,93, a _y = 4,00 (A6)
Для векторов в первом квадранте обе компоненты положительны, но для векторов в одном из трех других квадрантов один или оба компонента отрицательны.Для Например, с вектором во втором квадранте компонент x отрицателен в то время как компонент y по-прежнему положительный.
Из определения синуса и косинуса следует, что:
a _x = a cos θ, a _y = a sin θ (A7)
Подстановка a = 8,00 и θ = 30,0 ° в эти уравнения дает значения, перечисленные в уравнениях (A6) и проиллюстрированные на рисунке A3.
Обратите внимание, что уравнения (A7) верны, даже если вектор находится во втором, третьем или четвертом квадранте. Никакие знаки менять не нужно. Любой изменения знака автоматически учитываются знаками косинуса и синусоидальные функции для значений θ в любом из этих квадрантов.
Физика 20-30 v1.0
© 2004 Alberta Learning (www.learnalberta.ca)
Последнее обновление: 16 июня 2004 г.
3.3: Сложение и вычитание векторов — аналитические методы
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Изучите правила сложения и вычитания векторов с помощью аналитических методов.
Применяйте аналитические методы для определения вертикальных и горизонтальных составляющих векторов.
Примените аналитические методы, чтобы определить величину и направление результирующего вектора.
Аналитические методы сложения и вычитания векторов используют геометрию и простую тригонометрию, а не линейку и транспортир графических методов.Часть графической техники сохранена, потому что векторы по-прежнему представлены стрелками для облегчения визуализации. Однако аналитические методы более краткие, точные и точные, чем графические методы, которые ограничены точностью, с которой можно сделать рисунок. Аналитические методы ограничены только точностью и точностью, с которой известны физические величины.
Разложение вектора на перпендикулярные компоненты
Аналитические методы и прямоугольные треугольники идут рука об руку в физике, потому что (помимо прочего) движения в перпендикулярных направлениях независимы.Нам очень часто требуется разделить вектор на перпендикулярные составляющие. Например, для такого вектора, как \ (\ displaystyle A \) на рисунке, мы можем захотеть найти, какие два перпендикулярных вектора, \ (\ displaystyle A_x \) и \ (\ displaystyle A_y \), сложить для его создания.
Рис. \ (\ PageIndex {1} \): вектор \ (\ displaystyle A \), хвост которого находится в начале системы координат x, y, показан вместе с его компонентами x и y, \ ( \ Displaystyle A_x \) и \ (\ Displaystyle A_y \). Эти векторы образуют прямоугольный треугольник.Аналитические отношения между этими векторами резюмируются ниже.
\ (\ displaystyle A_x \) и \ (\ displaystyle A_y \) определяются как компоненты \ (\ displaystyle A \) вдоль осей x и y. Три вектора \ (\ displaystyle A, A_x \) и \ (\ displaystyle A_y \) образуют прямоугольный треугольник:
\ (\ Displaystyle A_x + A_y = A. \)
Обратите внимание, что эта взаимосвязь между компонентами вектора и результирующим вектором сохраняется только для векторных величин (которые включают как величину, так и направление).Это соотношение не распространяется только на величины. Например, если \ (\ displaystyle A_x = 3 м \) восток, \ (\ displaystyle A_y = 4 m \) север и \ (\ displaystyle A = 5 m \) северо-восток, то верно, что векторы \ (\ Displaystyle A_x + A_y = A \). Однако неверно, что сумма модулей векторов также равна. То есть
\ (\ Displaystyle 3 м + 4 м ≠ 5 м \)
Таким образом,
\ (\ Displaystyle A_x + A_y ≠ A \)
Если вектор \ (\ displaystyle A \) известен, то известны его величина \ (\ displaystyle A \) (длина) и угол \ (\ displaystyle θ \) (направление).Чтобы найти \ (\ displaystyle A_x \) и \ (\ displaystyle A_y \), его x- и y-компоненты, мы используем следующие отношения для прямоугольного треугольника.
\ (\ Displaystyle A_x = Acosθ \)
и
\ (\ Displaystyle A_y = Asinθ. \)
Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): величины компонентов вектора \ (\ displaystyle A_x \) и \ (\ displaystyle A_y \) могут быть связаны с результирующим вектором \ (\ displaystyle A \) и углом \ (\ Displaystyle θ \) с тригонометрическими тождествами. Здесь мы видим, что \ (\ Displaystyle A_x = Acosθ \) и \ (\ Displaystyle A_y = Asinθ.\)
Предположим, например, что A — это вектор, представляющий полное перемещение человека, идущего по городу, рассматриваемое в двухмерной кинематике: введение и добавление и вычитание векторов: графические методы.
Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): мы можем использовать отношения \ (\ displaystyle A_x = Acosθ \) и \ (\ displaystyle A_y = Asinθ \), чтобы определить величину горизонтальных и вертикальных составляющих векторов в этом примере. {- 1} (A_y / A_x) \).{–1} (A_y / A_x) \) используются для поиска вектора из его перпендикулярных компонентов, то есть для перехода от \ (\ displaystyle A_x \) и \ (\ displaystyle A_y \) к \ (\ displaystyle A \ ) и \ (\ Displaystyle θ \). Оба процесса имеют решающее значение для аналитических методов сложения и вычитания векторов.
Добавление векторов аналитическими методами
Чтобы увидеть, как складывать векторы с использованием перпендикулярных компонентов, рассмотрим рисунок, на котором векторы \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) складываются для получения результирующего \ (\ displaystyle R \).
Рис. \ (\ PageIndex {5} \): Векторы \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) — два отрезка пути, а \ (\ displaystyle R \) — результирующее или полное смещение. Вы можете использовать аналитические методы, чтобы определить величину и направление \ (\ displaystyle R \).
Если \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) представляют два этапа прогулки (два смещения), то \ (\ displaystyle R \) — полное смещение. Человек, идущий на прогулку, оказывается на вершине R. Есть много способов добраться до одной и той же точки.{–1} (A_y / A_x) \). Когда вы используете аналитический метод сложения векторов, вы можете определить компоненты или величину и направление вектора.
Шаг 1. Определите оси x и y, которые будут использоваться в проблеме. Затем найдите компоненты каждого вектора, которые нужно добавить вдоль выбранных перпендикулярных осей. Используйте уравнения \ (\ displaystyle A_x = Acosθ \) и \ (\ displaystyle A_y = Asinθ \), чтобы найти компоненты. На рисунке это \ (\ displaystyle A_x, A_y, B_x \) и \ (\ displaystyle B_y \).Углы, которые векторы \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) образуют с осью x, равны \ (\ displaystyle θ_A \) и \ (\ displaystyle θ_B \) соответственно.
Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): чтобы сложить векторы \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \), сначала определите горизонтальные и вертикальные компоненты каждого вектора. Это пунктирные векторы \ (\ displaystyle A_x, A_y, B_x \) и \ (\ displaystyle B-y \), показанные на изображении.
Шаг 2. Найдите компоненты результирующего по каждой оси, сложив компоненты отдельных векторов по этой оси.То есть, как показано на рисунке,
\ (\ Displaystyle R_x = A_x + B_x \)
и
\ (\ Displaystyle R_y = A_y + B_y. \)
Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): величина векторов \ (\ displaystyle A_x \) и \ (\ displaystyle B_x \) сложить, чтобы получить величину \ (\ displaystyle R_x \) результирующего вектора по горизонтали. направление. Точно так же величины векторов \ (\ displaystyle A_y \) и \ (\ displaystyle B_y \) складываются, чтобы получить величину \ (\ displaystyle R_y \) результирующего вектора в вертикальном направлении.
Компоненты, расположенные вдоль одной оси, скажем, оси x , являются векторами на одной линии и, таким образом, могут складываться друг с другом как обычные числа. То же самое верно для компонентов, расположенных вдоль оси y . (Например, прогулка на восток из 9 кварталов может быть проведена в два этапа, первые 3 квартала на восток и вторые 6 кварталов на восток, всего 9, потому что они проходят в одном направлении.) Итак, разделение векторов на компоненты вдоль общие оси упрощают их добавление. Теперь, когда компоненты R известны, можно определить его величину и направление.{−1} (R_y / R_x) \).
Следующий пример иллюстрирует эту технику добавления векторов с использованием перпендикулярных компонентов.
Пример \ (\ displaystyle \ PageIndex {1} \): добавление векторов с использованием аналитических методов
Добавьте вектор \ (\ displaystyle A \) к вектору \ (\ displaystyle B \), показанному на рисунке, используя перпендикулярные компоненты по осям x и y- . Оси x и y расположены вдоль направлений восток-запад и север-юг соответственно.Вектор \ (\ displaystyle A \) представляет собой первый этап прогулки, на которой человек идет \ (\ displaystyle 53.0 m \) в направлении \ (\ displaystyle 20.0º \) к северу от востока. Вектор \ (\ displaystyle B \) представляет вторую ногу, смещение \ (\ displaystyle 34,0 м \) в направлении \ (\ displaystyle 63,0º \) к северу от востока.

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Вектор \ (\ displaystyle A \) имеет величину \ (\ displaystyle 53.0 m \) и направление \ (\ displaystyle 20.0º \) к северу от x — ось.Вектор B имеет величину \ (\ displaystyle 34,0 м \) и направление \ (\ displaystyle 63,0º \) к северу от оси x. Вы можете использовать аналитические методы, чтобы определить величину и направление \ (\ displaystyle R \).
Стратегия
Компоненты \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) вдоль осей x- и y представляют собой движение на восток и на север, чтобы добраться до той же конечной точки. Найденные, они объединяются для получения результата.
Решение
Следуя описанному выше методу, мы сначала находим компоненты \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) по осям x- и y- .Обратите внимание, что \ (\ displaystyle A = 53,0 м, θ_A = 20,0º, B = 34,0 м, \) и \ (\ displaystyle θ_B = 63,0º \). Мы находим компоненты x- , используя \ (\ displaystyle A_x = Acosθ \), что дает
\ (\ Displaystyle A_x = Acosθ_A = (53,0 м) (соз 20,0º) (53,0 м) (0,940) = 49,8 м \)
и
\ (\ Displaystyle B_x = Bcosθ_B = (34,0 м) (соз 63,0º) (34,0 м) (0,454) = 15,4 м. \)
Точно так же компоненты y- находятся с использованием \ (\ displaystyle A_y = Asinθ_A \):
\ (\ Displaystyle A_y = Asinθ_A = (53.0 м) (sin 20,0º) (53,0 м) (0,342) = 18,1 м \)
и
\ (\ Displaystyle B_y = Bsinθ_B = (34,0 м) (грех 63,0º) (34,0 м) (0,891) = 30,3 м. \)
Компоненты x- и y- результирующего, таким образом, равны
\ (\ Displaystyle R_x = A_x + B_x = 49,8 м + 15,4 м = 65,2 м \)
и
\ (\ Displaystyle R_y = A_y + B_y = 18,1 м + 30,3 м = 48,4 м. \)
Теперь мы можем найти величину результирующей с помощью теоремы Пифагора:
\ (\ Displaystyle R = \ sqrt {R ^ 2_x + R ^ 2_y} = \ sqrt {(65.{−1} (0,742) = 36,6º. \)
Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): Используя аналитические методы, мы видим, что величина \ (\ displaystyle R \) равна \ (\ displaystyle 81,2 м \), а его направление — \ (\ displaystyle 36.6º \) на север. востока.
Обсуждение
Этот пример иллюстрирует сложение векторов с использованием перпендикулярных компонентов. Вычитание вектора с использованием перпендикулярных компонентов очень похоже — это просто добавление отрицательного вектора.
Вычитание векторов выполняется добавлением отрицательного вектора.То есть \ (\ Displaystyle A − B≡A + (- B) \). Таким образом, метод вычитания векторов с использованием перпендикулярных компонентов идентичен методу сложения. Компоненты \ (\ displaystyle –B \) являются отрицательными элементами компонентов \ (\ displaystyle B \). Компоненты x- и y- результирующего \ (\ displaystyle A − B = R \), таким образом, равны
.
\ (\ Displaystyle R_x = A_x + (- B_x) \)
и
\ (\ Displaystyle R_y = A_y + (- B_y) \)
, а остальная часть описанного выше метода идентична методу добавления.(См. Рисунок.)
Анализ векторов с использованием перпендикулярных компонентов очень полезен во многих областях физики, поскольку перпендикулярные величины часто не зависят друг от друга. Следующий модуль, Projectile Motion, является одним из многих, в которых использование перпендикулярных компонентов помогает сделать изображение четким и упрощает физику.
Фигура. Компоненты \ (\ displaystyle –B \) являются отрицательными элементами компонентов \ (\ displaystyle B \). Метод вычитания такой же, как и для сложения.
ФЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: ДОБАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА
Узнайте, как складывать векторы. Перетащите векторы на график, измените их длину и угол и просуммируйте их. Величина, угол и компоненты каждого вектора могут отображаться в нескольких форматах.
Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): Сложение векторов
Сводка
Аналитический метод сложения и вычитания векторов включает использование теоремы Пифагора и тригонометрических тождеств для определения величины и направления результирующего вектора.
Чтобы сложить векторы \ (\ displaystyle A \) и \ (\ displaystyle B \) с помощью аналитического метода, выполните следующие действия:
Шаг 1: Определите систему координат для векторов. Затем определите горизонтальные и вертикальные компоненты каждого вектора, используя уравнения
.
\ (\ Displaystyle A_x = Acosθ \)
\ (\ Displaystyle B_x = Bcosθ \)
и
\ (\ Displaystyle A_y = Asinθ \)
\ (\ Displaystyle B_y = Bsinθ. \)
Шаг 2: Добавьте горизонтальные и вертикальные компоненты каждого вектора, чтобы определить компоненты Rx и Ry результирующего вектора, R:
\ (\ Displaystyle R_x = A_x + B_x \)
и
\ (\ Displaystyle R_y = A_y + B_y \).{−1} (R_y / R_x) \).
Глоссарий
аналитический метод
метод определения величины и направления результирующего вектора с использованием теоремы Пифагора и тригонометрических тождеств
Авторы и авторство
Пол Питер Урон (почетный профессор Калифорнийского государственного университета, Сакраменто) и Роджер Хинрикс (Государственный университет Нью-Йорка, колледж в Освего) с участвующими авторами: Ким Диркс (Оклендский университет) и Манджула Шарма (Сиднейский университет).Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).
Калькулятор сложения векторов
Добро пожаловать в калькулятор сложения векторов Omni , где мы узнаем все о сложении векторов в 2D или 3D . Наш инструмент позволяет нам задать два вектора, используя декартовы координаты или величину и угол. В качестве бонусных функций, может даже принимать несколько векторов или функционировать как калькулятор вычитания векторов.А для тех случаев, когда у вас нет под рукой инструмента Omni, мы даем формулу сложения векторов и подробно описываем, как складывать векторы с помощью правила параллелограмма .
Что такое вектор?
С математической точки зрения, вектор — это упорядоченная последовательность чисел (пара в 2D, тройка в 3D и многое другое в более высоких измерениях), а — это все, что нужно для этого . Конечно, ученые не были бы самими собой, если бы на этом остановились, поэтому они расширили это определение.В общем, вектор — это элемент векторного пространства , период. Это объяснение кажется достаточно простым, пока мы не узнаем, что для математиков векторные пространства могут состоять из последовательностей, функций, перестановок, матриц и т. Д. К счастью, в этом калькуляторе сложения векторов ничего из этого не требуется.
С другой стороны, физики предпочитают думать о векторах как о стрелках (которые являются их визуальным представлением) , которые прикреплены к объектам . Таким образом, они представляют силы, действующие на объект, будь то гравитация, скорость или магнитное притяжение.Направление такой стрелки говорит нам о направлении силы … ну, а ее длина показывает, насколько велика эта сила.
К счастью, оба подхода сводятся к , по сути, к , по крайней мере, в нашем случае и в калькуляторе сложения векторов. Тем не менее, мы можем представить векторы двумя способами: используя декартовы координаты или , величину и угол . Однако последнее возможно только в двумерном случае, поскольку фактически соответствует полярным координатам.
Рассмотрим пример. Вектор v = (2,1) живет в 2D (поскольку он имеет две координаты) и говорит нам, по сути, что « он проходит два шага по оси X и один шаг. по оси Y — «. Обратите внимание, что положительные координаты переводятся в движение вправо и вверх (вдоль горизонтальной и вертикальной оси соответственно), а отрицательные координаты указывают на противоположное направление .Точно так же, если мы добавим третью координату, скажем, w = (2,1,5) , мы окажемся в 3D, а дополнительные 5 будут соответствовать перемещению по оси Z .
В качестве альтернативы мы можем представить двумерный вектор v , используя его величину m и направление θ . Первый — это просто , длина вектора . Последний представляет собой угол, идущий против часовой стрелки от положительной половины горизонтальной оси к вектору, когда он нарисован на плоскости с начальной точкой в (0,0) .
В частности, это означает, что м должно быть неотрицательным, а θ должно быть между 0 и 360 градусами (или между 0 и 2π в радианах), хотя калькулятор сложения векторов принимает другие значения угла в соответствии с теми же правилами, которые регулируют тригонометрические функции и их аргументы.
Отметим здесь, что существует эквивалент полярных координат (величина и направление) в 3D, называемый сферическими координатами.Тем не менее, они имеют тенденцию быть беспорядочными и гораздо менее распространены на практике, поэтому мы пропускаем их в нашем калькуляторе сложения векторов.
Хорошо, мы довольно хорошо узнали объект, с которым имеем дело. Пришло время взять пару из них и посмотреть описание , как складывать векторы .
Формула сложения векторов
На самом деле, добавить векторы очень просто , особенно когда у нас есть декартовы координаты. Чтобы быть точным, мы просто складываем числа по координатам.Это означает, что формула сложения векторов в 2D выглядит следующим образом:
(а, б) + (г, д) = (а + г, б + д) ,
, а в 3D —
(a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f) .
Вот и все, что есть , без каких-либо условий. Приятно иметь простую формулу изменения, не правда ли?
В 2D, если мы решим использовать представление величины и направления, будет немного сложнее .К сожалению, в этом случае мы не можем просто сложить значения двух векторов, как мы это делали с декартовыми координатами. Мы даем отличное наглядное объяснение того, почему это так, используя закон параллелограмма в следующем разделе.
Однако предположим, что вы не хотите рисовать векторы. В этом случае лучший способ найти их сумму в этой форме — просто найти их представление в декартовых координатах и использовать формулу сложения векторов из начала этого раздела.
Конечно, помогает то, что переход от одного к другому относительно прост . Чтобы быть точным, если вектор v имеет величину m и направление θ , то v = (x, y) в декартовых координатах с:
x = m * cos (θ) и y = m * sin (θ) ,
, где cos и sin — тригонометрические функции косинуса и синуса соответственно.Для полноты картины упомянем еще формулу перехода от полярных координат к декартовым :
м = √ (x² + y²) и θ = arccos (x / m) ,
, где arccos — функция обратного косинуса.
Прежде чем мы продолжим, чтобы показать вам правило параллелограмма, давайте упомянем пару дополнительных функций калькулятора сложения векторов.
Калькулятор векторного вычитания
Мы даем ему такое причудливое название, но на самом деле оно сводится к — супер простое изменение .Чтобы быть точным, вместо добавления векторов вы можете найти , чтобы найти их разницу . Правила для этого те же, что и раньше: мы вычитаем векторы по координатам. Чтобы использовать эту опцию, просто выберите Вычитание в Операция в инструменте, и результат превратится в калькулятор вычитания вектора.
Добавление векторов с кратными
Может случиться так, что вы захотите добавить вектор не один раз, а несколько раз .Например, v + 4 * w будет означать добавление четырех копий w к v . Вместо того чтобы использовать калькулятор сложения векторов четыре раза для нахождения результата, вы можете изменить без кратных на с кратными и ввести значения α и β . Конечно, вы можете комбинировать эту опцию с точкой 1. и иметь себе калькулятор вычитания векторов с кратными.
В первом разделе мы упоминали, что мы представляем векторы в виде стрелок . До сих пор мы рассматривали их только алгебраически, как в формуле сложения векторов. Пришло время для вернуться к чертежам . Точнее рисовать параллелограммы.
Линия параллелограмма
По сути, сложение векторов означает перемещение по одному из них, а затем по другому . Это означает, что если мы нарисуем одну стрелку, то «, перемещающийся по » по ней преобразуется в перемещение (как точку) от начальной точки к конечной.Если мы хотим перейти оттуда ко второму, мы можем просто нарисовать его , начиная с первой конечной точки , и место, на которое указывает эта стрелка, является нашим результатом.
Выше мы описали идею визуального добавления векторов , а также то, на что опирается правило параллелограмма. Это просто более причудливый способ выразить это. А именно: сумма двух векторов является диагональю параллелограмма, стороны которого являются двумя сложенными векторами , когда они нарисованы и выходят из одной точки.
На рисунке мы можем перейти от вершины, где v и w начинаются с противоположной вершины, путешествуя сначала по v , а затем w , или наоборот ( второй шаг затем рисуется пунктирной линией). Это то же самое, что мы сделали в начале этого раздела. Также обратите внимание, что порядок, в котором мы перемещаемся, на самом деле не имеет значения для , потому что сложение является коммутативным.
На этом, мы завершаем теоретическую часть на сегодня.Теперь мы переходим к использованию всех этих знаний и посмотрим, как калькулятор сложения векторов работает на практике.
Пример: использование калькулятора сложения векторов
Предположим, что мы хотим найти сумму вектора v = (-3,2,8) и трех копий w = (2,2, -4) . Прежде чем делать это вручную, давайте посмотрим, как мы можем использовать калькулятор сложения векторов, чтобы найти ответ.
Во-первых, обратите внимание, что мы добавляем векторы с тремя (декартовыми) координатами, поэтому они трехмерные .Следовательно, нам нужно выбрать « 3D » в разделе « векторов в » и « Добавление » в разделе « Operation ». Это покажет нам два раздела для координат, каждый с тремя переменными полями, отмеченными x , y и z , которые соответствуют первой, второй и третьей координате соответственно. Поэтому в разделе, описывающем v = (-3,2,8) , мы вводим:
x = -3 , y = 2 , z = 8 ,
, а в w = (2,2, -4) , мы пишем:
x = 2 , y = 2 , z = -4 .
После ввода последнего значения мы можем увидеть v + w в разделе « Result ». Однако — это не совсем то, что нам нужно , не так ли? Мы хотели бы добавить три копий w , а не одну.
Поэтому мы выбираем опцию « с кратными » в верхней части калькулятора, которая вычислит α * v + β * w вместо только v + w .Обратите внимание, что по умолчанию у нас уже есть α = 1 и β = 1 . Для нашей проблемы мы меняем его на:
α = 1 , β = 3 ,
, который даст нам окончательное решение. Однако, прежде чем мы его раскроем, давайте воспользуемся формулой сложения векторов и найдем сумму сами .
Обратите внимание, что добавление трех копий вектора переводится в , добавляя троекратные его координаты . Следовательно,
v + 3 * w = (-3,2,8) + 3 * (2,2, -4) = (-3 + 3 * 2, 2 + 3 * 2, 8 + 3 * (-4)) = (3,8, -4) .
Вуаля! Возможно, это была бы одна строчка вычислений, но можете ли вы представить себе, как проделать все это с некоторыми ужасно сложными записями ? Что ж, хорошо, что у нас есть калькулятор сложения векторов Omni, который сэкономит нам время и силы.
Сложение векторов
В механике есть два вида величин
скалярные величины с величиной — время, температура, масса и т. Д.
векторные величины с величиной и направлением — скорость, сила и т. Д.
При сложении векторных величин важны как величина, так и направление. Общие методы сложения копланарных векторов (векторов, действующих в одной плоскости):
закон параллелограмма
правило треугольника
тригонометрическое вычисление
Закон параллелограмма
Процедура « метод сложения параллелограмма векторов «-
начертите вектор 1, используя соответствующий масштаб и в направлении его действия
от хвоста вектора 1 начертите вектор 2, используя тот же масштаб в направлении его действия
завершите параллелограмм, используя вектор 1 и 2 как стороны параллелограмма
, результирующий вектор представлен как по величине, так и по направлению диагональю параллелограмма
Правило треугольника
Процедура « метод сложения треугольника векторов » равна
начертите вектор 1 в соответствующем масштабе и в направлении его действия 9. 0148
от носа вектора нарисуйте вектор 2 с использованием того же масштаба и в направлении его действия
результирующий вектор представлен как по величине, так и по направлению вектором, проведенным от хвоста вектора 1 к носику вектора 2
Тригонометрическое вычисление
Результирующий вектор из двух копланарных векторов может быть вычислен тригонометрическим методом, используя « правило косинуса » для непрямоугольного треугольника.
F _R = [F ₁ ² + F ₂ ² — 2 F ₁ F ₂ cos (180 ^o — (α + β))] ^1/2 (1)
где
F = величина вектора — сила, скорость и т. Д.
α + β = угол между вектором 1 и 2
Угол между вектором и результирующий вектор может быть вычислен с использованием « правило синуса » для непрямоугольного треугольника.
α = sin ^-1 [F ₁ sin (180 ^o — (α + β)) / F _R] (2)
где
α + β = угол между вектором 1 и 2 известен
Пример — сложение сил
Сила 1 с величиной 3 кН действует в направлении 80 ^o от силы 2 с величиной 8 кН .
Результирующая сила может быть рассчитана как
F _R = [(3 кН) ² + (8 кН) ² — 2 (5 кН) (8 кН) cos (180 ^o — (80 ^o))] ^1/2
= 9 (кН)
Угол между вектором 1 и результирующим вектором можно рассчитать как
α = sin ^-1 [(3 кН) sin (180 ^o — (80 ^o)) / (9 кН) _]
= 19.1 ^o
Угол между вектором 2 и результирующим вектором можно рассчитать как
α = sin ^-1 [(8 кН) sin (180 ^o — (80 ^o) ) / (9 кН) _]
= 60,9 ^o
Пример — Самолет при ветре
Встречный ветер 100 км / ч действует 30 ^o правый борт на самолете с скорость 900 км / ч .
Результирующая скорость самолета относительно земли может быть рассчитана как
v _R = [(900 км / ч) ² + (100 км / ч) ² — 2 (900 км / ч) (100 км / ч) cos (180 ^o — (30 ^o))] ^1/2
= 815 (км / ч)
Угол между курсом самолета и фактический относительный курс земли можно рассчитать как
α = sin ^-1 [(100 км / ч) sin ((180 ^o) — (30 ^o)) / (815 км / ч) _]
= 3.5 ^o
Векторный калькулятор
Общий калькулятор ниже основан на уравнении (1) и может использоваться для сложения векторных величин, таких как скорости, силы и т. Д.
Параллелограмм
Результирующие векторы могут быть оценены путем рисования параллелограммов, как показано ниже.
Метод также можно использовать с более чем двумя векторами, как указано ниже.
нарисуйте результирующие векторы между двумя и двумя векторами
начертите результирующие векторы между двумя и двумя результирующими векторами
продолжайте до тех пор, пока не будет только один конечный результирующий вектор
измерить направление и величину конечного результирующего вектора в рисунок
В приведенном выше примере сначала найдите результирующий F _(1,2), добавив F ₁ и F ₂, и получившийся F _(3,4), добавив F ₃ и F ₄.Найдите результат F _(1,2.3,4), сложив F _(1,2) и F _(3,4).
Определения и законы вектора Алгебра
Векторный анализ: определения и законы вектора Алгебра
Отзыв о Плоская тригонометрия

Определения и законы векторной алгебры:
1. Единичный вектор определяется как вектор, величина которого равна единице. Если разделить вектор на его по величине, получаем единичный вектор в направлении исходной вектор.Единичный вектор может быть выражен как
(3)
Мы также можем выразить любой вектор через его величину и единичный вектор в том же направлении, что и
(4)

2. Вектор может быть представлен в декартовой прямоугольной системе координат. координаты
(5)
где — единичные векторы по осям x, y, z, соответственно.

3. Величина вектора может быть определена как
.
(6)

4. Два вектора равны, только если они имеют одинаковую величину. и направление. Математически это состояние можно описать как следует:
Вектор равен вектору, только если

5. Когда два или более вектора складываются вместе, результирующий вектор называется результирующим.
5.1 Коммутативный закон для сложения:
5.2 Ассоциативный закон сложения:

7. Один вектор можно умножить на другой вектор либо через точка или крест произведение
7.1 Точечное произведение двух векторов дает скалярную величину как показано ниже
, где q — угол между векторами и.
Скалярное произведение выполняется как
В скалярном произведении порядок двух векторов не меняет результат.
Ассоциативный закон умножения распространяется и на точку продукт.
Отзыв о Плоская тригонометрия
Сложение векторов
Математика и естественные науки были изобретены людьми для описания и понять мир вокруг нас. Мы наблюдаем, что есть некоторые количества и процессы в наш мир, который зависит от направления , в котором они происходят, и есть некоторые количества, которые не зависят по направлению.Математики и ученые называют количество которое зависит от направления , векторная величина . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной . А векторная величина имеет две характеристики: величина , величина и направление , направление . Когда сравнение две векторные величины одного типа, необходимо сравнить обе величина и направление.
На этом слайде мы описываем метод добавления двух векторов.Сложение векторов — это один из аспектов большой векторной алгебры, которой мы являемся. , а не на этом сайте. Представлено сложение векторов здесь, потому что это происходит довольно часто при изучении движения и поскольку он демонстрирует некоторые фундаментальные различия между векторы и скаляры.
На рисунках векторы обычно обозначаются стрелкой. Длина стрелки указывает величину и кончик стрелки указывает направление.Вектор помечены алфавитным букву с чертой сверху, чтобы отличить ее от скаляра. Обозначим величину вектора символом | a | . Направление будет измеряться под углом фи относительно координаты ось х . Ось координат y перпендикулярна х . Примечание: Оси координат x и y сами по себе векторы! У них есть величина и направление.Сначала ты сталкиваются с осями координат, когда вы учитесь строить график. Так что у тебя есть какое-то время использовал векторы, даже не подозревая об этом!
Если мы построим пунктирную линию от кончика вектора , то получим идущий параллельно оси x, он пересекает ось y в том месте, где мы этикетка ау . Аналогично линия от кончика вектора параллельно оси Y срезает ось X на оси . Количества и и и называются компоненты вектора, и оба являются скалярными величинами.
Чтобы сложить два вектора, a и b , сначала мы разбиваем каждый вектор на его компоненты, ax и ay , и bx и на , как показано на рисунке. Из правил, регулирующих равенство векторов, синий вектор b равен черный вектор b потому что он имеет равную длину и одинаковое направление. Теперь, поскольку компоненты вектора a и вектор b — это скаляры, мы можем добавить x-компоненты , чтобы сгенерировать x-компонент нового вектора c :
cx = ax + bx
Точно так же мы можем добавить y-компоненты :
cy = ay + по
Новые компоненты cx и cy полностью определяют новый вектор c , указав как величину, так и направление.Внимательно посмотрев на диаграмму, мы видим, что добавление двух векторов дает новый вектор, который равен , а не в направлении любого из исходные векторы, величина которых равна , а не , равная сумме величин исходных векторов. Векторная алгебра сильно отличается от скалярной алгебры, потому что она должна учитывать как величину, так и направление.

Законы сложения сил в механике

Правило параллелограмма и правило многоугольника

Разложение вектора силы по направлениям

Сложение и вычитание векторов

Сумма векторов

Противоположные векторы. Вычитание векторов.

Сложение и вычитание векторов

Правило параллелограмма для сложения двух векторов:

Правило треугольника для сложения двух векторов:

2.2.3 Вычитание векторов

Правило параллелограмма.

Правило треугольника.

2.2.4 Умножение вектора на скаляр

2.3. Скалярное и векторное произведения

2.3.1 Скалярное произведение

2.3.2 Векторное произведение

Правило сложения векторов. Сложение векторов треугольником. Сложение векторов параллелограмма.

Математика по Skype

Сложение и вычитание векторов — КиберПедия

Правила параллелограма – Юридический центр

Параллелограмм, его признаки и свойства

Сложение векторов, Сумма векторов

Правило треугольника

Сумма противоположных векторов

Свойство переместительности

Правило параллелограмма

Сложение и вычитание векторов

1. Сумма двух векторов, правило треугольника

2. Законы сложения векторов, правило параллелограмма

3. Правило сложения нескольких векторов

4. Правило вычитания векторов

Правила параллелограма

Правило параллелограмма сил

Журнал “Квант”

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Вычитание векторов

законов сложения векторов — процедура, условия и пример

Что такое вектор?

Обозначение:

Каковы свойства сложения векторов?

Что такое сложение двух векторов?

Математический закон сложения векторов — Треугольный закон сложения векторов:

Математический закон сложения векторов — Закон сложения параллелограмма

Процедура сложения векторов параллелограмма

Каковы основные условия для сложения любых векторов?

Решаемые вопросы:

Урок 1 — Сложение векторов: числовые

Сложение векторов: числовые вычисляет величину и направление результирующей с учетом величин и направлений произвольное количество добавляемых векторов.

Предпосылки

Результаты обучения

Инструкции

Содержание

3.3: Сложение и вычитание векторов — аналитические методы

Разложение вектора на перпендикулярные компоненты

Добавление векторов аналитическими методами

Сводка

Глоссарий

Авторы и авторство

Что такое вектор?

Формула сложения векторов

Линия параллелограмма

Пример: использование калькулятора сложения векторов

Сложение векторов

Закон параллелограмма

Правило треугольника

Тригонометрическое вычисление

Пример — сложение сил

Пример — Самолет при ветре

Векторный калькулятор

Параллелограмм

Определения и законы вектора Алгебра

Сложение векторов

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики