(25,34)

Подставляя уравнение (25.34) в уравнение (25.32), получаем

(25,35)

Полный электростатический потенциал может быть получен путем интегрирования уравнения (25.35) по всему затрубному пространству:

(25.36)

(25,37)

Поскольку электростатическое поле и электростатический потенциал связаны, мы может заменить силовые линии так называемыми эквипотенциальными поверхностями . Эквипотенциальные поверхности определяются как поверхности, на которых каждая точка имеет одинаковые электростатический потенциал.Компонента электрического поля, параллельная этому поверхность должна быть равна нулю, так как изменение потенциала между всеми точками на эта поверхность равна нулю. Это означает, что направление электрического поле перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям.

На рисунке 25.8 показан электрический диполь, расположенный вдоль оси z. Это состоит из два заряда + Q и — Q, разделенные расстоянием L. потенциал в точке P можно найти, суммируя потенциалы, генерируемые каждым из двух зарядов:

(25.38)

(25,39)

и

(25,40)

Теперь электростатический потенциал в точке P можно переписать как

. (25,41)

где p — дипольный момент распределения заряда.Электрическое поле диполь можно получить из уравнения (25.41), взяв градиент (см. уравнение (25.23)).

Учебное пособие по физике: Электрический потенциал

В предыдущем разделе Урока 1 было рассмотрено, что движение положительного тестового заряда в электрическом поле сопровождается изменениями потенциальной энергии.Гравитационная аналогия использовалась для объяснения причин взаимосвязи между местоположением и потенциальной энергией. Перемещение положительного пробного заряда против направления электрического поля похоже на перемещение массы вверх в пределах гравитационного поля Земли. Оба движения были бы подобны , идущему против природы , и потребовали бы работы внешней силы. Эта работа, в свою очередь, увеличит потенциальную энергию объекта. С другой стороны, движение положительного пробного заряда в направлении электрического поля будет похоже на падение массы в гравитационном поле Земли.Оба движения были бы похожи на , идущие по природе , и происходили бы без необходимости работы внешней силы. Это движение приведет к потере потенциальной энергии. Потенциальная энергия — это запасенная энергия положения объекта, и она связана с расположением объекта в поле. В этом разделе Урока 1 мы представим концепцию электрического потенциала и свяжем это понятие с потенциальной энергией положительного тестового заряда в различных местах в пределах электрического поля.

Вокруг Земли существует гравитационное поле, которое оказывает гравитационное влияние на все массы, находящиеся в окружающем ее пространстве. Перемещение объекта вверх против гравитационного поля увеличивает его гравитационную потенциальную энергию. Объект, движущийся вниз в пределах гравитационного поля, потерял бы потенциальную гравитационную энергию. Когда гравитационная потенциальная энергия была введена в Блоке 5 Физического Класса, она была определена как энергия, запасенная в объекте из-за его вертикального положения над Землей.Количество гравитационной потенциальной энергии, хранящейся в объекте, зависело от массы, которой обладал объект, и от высоты, на которую он был поднят. Гравитационная потенциальная энергия зависела от массы объекта и его высоты. У объекта с удвоенной массой будет вдвое больше потенциальной энергии, а у объекта с удвоенной высотой будет вдвое больше потенциальной энергии. Обычно высокие позиции называют локациями с высоким потенциалом энергии. Взгляд на диаграмму справа показывает ошибочность такого утверждения.Обратите внимание на то, что груз весом 1 кг, удерживаемый на высоте 2 метра, имеет такую ​​же потенциальную энергию, как груз весом 2 кг, удерживаемый на высоте 1 метр. Потенциальная энергия зависит не только от местоположения; это также зависит от массы. В этом смысле потенциальная гравитационная энергия зависит как минимум от двух типов величин:

1) Масса — свойство объекта, испытывающего действие гравитационного поля, и

2) Высота — положение в гравитационном поле

Таким образом, неправильно называть высокие позиции в гравитационном поле Земли позициями с высокой потенциальной энергией.Но есть ли какое-то количество, которое можно было бы использовать для оценки таких высот как имеющих большой потенциал обеспечения больших количеств потенциальной энергии массам, которые там находятся? Да! Хотя это не обсуждается во время блока по гравитационной потенциальной энергии, можно было бы ввести величину, известную как гравитационный потенциал — потенциальная энергия на килограмм. Гравитационный потенциал — это величина, которую можно использовать для оценки различных мест на поверхности Земли с точки зрения того, какой потенциальной энергией будет обладать каждый килограмм массы, когда он будет помещен туда.Величина гравитационного потенциала определяется как ПЭ / масса. Поскольку числитель и знаменатель PE / масса пропорциональны массе объекта, выражение становится независимым от массы. Гравитационный потенциал — это величина, зависящая от местоположения, которая не зависит от массы объекта, испытывающего поле. Гравитационный потенциал описывает эффекты гравитационного поля на объекты, которые находятся в различных местах внутри него.

Если гравитационный потенциал — это средство оценки различных мест внутри гравитационного поля с точки зрения количества потенциальной энергии на единицу массы, тогда концепция электрического потенциала должна иметь аналогичное значение.Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительно заряженным генератором Ван де Граафа. Направление электрического поля находится в том направлении, в котором будет проталкиваться положительный испытательный заряд; в этом случае направление направлено наружу от сферы Ван де Граафа. Потребуется работа, чтобы переместить положительный испытательный заряд к сфере против электрического поля. Количество силы, задействованной при выполнении работы, зависит от количества перемещаемого заряда (согласно закону электрической силы Кулона).Чем больше заряд на испытательном заряде, тем больше сила отталкивания и тем больше работы, которая должна быть проделана с ним, чтобы переместить его на такое же расстояние. Если два объекта с разным зарядом — один из которых в два раза больше заряда другого — перемещаются на одинаковое расстояние в электрическое поле, то объект с двойным зарядом потребует вдвое большей силы и, следовательно, в два раза больше работы. Эта работа изменит потенциальную энергию на величину, равную количеству проделанной работы. Таким образом, электрическая потенциальная энергия зависит от количества заряда на объекте, испытывающем поле, и от местоположения внутри поля.Так же, как и потенциальная гравитационная энергия, электрическая потенциальная энергия зависит как минимум от двух типов величин:

1) Электрический заряд — свойство объекта, испытывающего электрическое поле, и

2) Расстояние от источника — местоположение в пределах электрического поля

В то время как электрическая потенциальная энергия зависит от заряда объекта, испытывающего электрическое поле, электрический потенциал зависит исключительно от местоположения.Электрический потенциал — это потенциальная энергия на заряд.

Понятие электрического потенциала используется для выражения эффекта электрического поля источника с точки зрения местоположения внутри электрического поля. Пробный заряд с удвоенным количеством заряда будет обладать удвоенной потенциальной энергией в данном месте; однако его электрический потенциал в этом месте будет таким же, как и у любого другого испытательного заряда. Положительный тестовый заряд будет иметь высокий электрический потенциал, когда он удерживается рядом с положительным зарядом источника, и с более низким электрическим потенциалом, когда он находится дальше.В этом смысле электрический потенциал становится просто свойством местоположения внутри электрического поля. Предположим, что электрический потенциал в данном месте составляет 12 джоулей на кулон, тогда это электрический потенциал заряженного объекта в 1 или 2 кулона. Утверждение, что электрический потенциал в данном месте составляет 12 джоулей на кулон, означало бы, что 2-кулоновский объект будет обладать 24 джоулями потенциальной энергии в этом месте, а объект 0,5 кулонов будет испытывать 6 джоулей потенциальной энергии в этом месте.

Когда мы начнем обсуждать электрические схемы, мы заметим, что электрическая цепь с батарейным питанием имеет места с высоким и низким потенциалом. Заряд, движущийся по проводам цепи, будет сталкиваться с изменениями электрического потенциала при прохождении по цепи. В электрохимических элементах батареи между двумя выводами создается электрическое поле, направленное от положительного вывода к отрицательному.Таким образом, перемещение положительного тестового заряда через ячейки от отрицательного вывода к положительному потребует работы, таким образом увеличивая потенциальную энергию каждого кулоновского заряда, который движется по этому пути. Это соответствует движению положительного заряда против электрического поля. По этой причине положительный вывод описывается как вывод с высоким потенциалом. Подобные рассуждения привели бы к заключению, что движение положительного заряда по проводам от положительного вывода к отрицательному должно происходить естественным образом.Такое движение положительного испытательного заряда должно происходить в направлении электрического поля и не требует работы. Заряд будет терять потенциальную энергию при движении по внешней цепи от положительного вывода к отрицательному. Отрицательная клемма описывается как клемма с низким потенциалом. Это назначение высокого и низкого потенциала клеммам электрохимической ячейки предполагает традиционное соглашение о том, что электрические поля основаны на направлении движения положительных тестовых зарядов.

В определенном смысле электрическая цепь — это не что иное, как система преобразования энергии. В электрохимических элементах электрической цепи с батарейным питанием химическая энергия используется для работы с положительным испытательным зарядом, чтобы переместить его с вывода с низким потенциалом на вывод с высоким потенциалом. Химическая энергия преобразуется в электрическую потенциальную энергию во внутренней цепи (то есть в батарее). Попав на клемму с высоким потенциалом, положительный тестовый заряд будет перемещаться по внешней цепи и воздействовать на лампочку, двигатель или катушки нагревателя, преобразовывая свою электрическую потенциальную энергию в полезные формы, для которых схема была разработана.Положительный тестовый заряд возвращается к отрицательной клемме с низкой энергией и низким потенциалом, готовый к повторению цикла (или, лучше сказать, цепи , ) снова и снова.

1. Величина электрического потенциала определяется как величина _____.

а. электрическая потенциальная энергия

г. сила, действующая на заряд

г.потенциальная энергия на заряд

г. усилие на заряд

2. Заполните следующую запись:

Когда над положительным испытательным зарядом выполняется работа с помощью внешней силы по перемещению его из одного места в другое, потенциальная энергия _________ (увеличивается, уменьшается) и электрический потенциал _________ (увеличивается, уменьшается).

3.На следующих диаграммах показано электрическое поле (представленное стрелками) и две точки, обозначенные A и B, расположенные внутри электрического поля. Положительный тестовый заряд показан в точке A. Для каждой диаграммы укажите, нужно ли проделать работу над зарядом, чтобы переместить его из точки A в точку B. Наконец, укажите точку (A или B) с наибольшей электрической потенциальной энергией и наибольший электрический потенциал.

2.2: Электростатический потенциал — Physics LibreTexts

Испытательные заряды

Альтернативный способ взглянуть на электрические поля с точки зрения того, что мы делали в разделе 1.2, — с точки зрения испытательного заряда . Идея состоит в том, чтобы использовать заряженную точечную частицу как средство измерения векторов электрической силы в различных точках пространства. Когда все векторы силы нанесены на карту, мы затем делим их на заряд точечной частицы, и новые векторы становятся векторами электрического поля. Распространенный (но несколько странный) способ записать это математически:

\ [\ overrightarrow E \ left (\ overrightarrow r \ right) = \ lim \ limits_ {q_ {test} \ rightarrow 0} \ dfrac {\ overrightarrow F_ {on \; q_ {test}}} {q_ {test} }, \; \; \; \; \; \; \ text {где} \ overrightarrow r \ text {- позиция} q_ {test} \]

Область вокруг скопления заряда аналогичным образом может быть протестирована с заряженной точечной частицей.В каждой точке пространства можно измерить потенциальную энергию, которая существует, когда испытательный заряд переносится из бесконечности в заданное положение, а затем количество испытательного заряда может быть разделено, так что все, что остается, является функцией источника. обвинения. Запишем это так:

\ [V \ left (\ overrightarrow r \ right) = \ lim \ limits_ {q_ {test} \ rightarrow 0} \ dfrac {\ Delta U \ left (q_ {test}: \ infty \ rightarrow \ overrightarrow r \ right )} {q_ {test}}, \; \; \; \; \; \; \ text {где} \ overrightarrow r \ text {- вектор положения} q_ {test} \]

Этот процесс отображает скалярное поле , поскольку с каждой точкой в ​​пространстве связано число (а не вектор, как в случае электрического поля), и все эти числа относятся к произвольно выбранному значению нуля в точке бесконечность.Так же, как векторы электрического поля не совпадают с векторами силы, значения в этом скалярном поле не являются потенциальными энергиями — более того, это можно увидеть даже в единицах этих чисел, которые представляют собой джоули, разделенные на кулоны. Отношение джоулей на кулон получило собственное название: вольт . Созданное нами скалярное поле называется электростатическим потенциалом . Подобно вектору электрического поля, это величина, которая определяется в каждой точке пространства вблизи некоторого электрического заряда.В отличие от векторов электрического поля, эти величины являются скалярами — у них нет направления.

Предупреждение

Возможно, самая большая проблема для студентов, плохо знакомых с электростатикой, — это использование слова «потенциал» в слове «электростатический потенциал». Это название происходит от того факта, что оно связано с электрической потенциальной энергией, но эти величины очень разные, и читателю рекомендуется помнить об этом.

Суперпозиция

Когда имеется более одного источника электрического поля в непосредственной близости от точки в пространстве, вклады этих источников в поле в этой точке можно сложить.Это можно увидеть просто из подхода к испытательному заряду — очевидно, что силы, действующие на испытательный заряд, можно сложить, и когда испытательный заряд разделен, сумма векторов электрического поля остается. {th} \) заряда до положения в пространстве, обозначенного вектором положения \ (\ overrightarrow r \).Следует подчеркнуть, что \ (U \ left (q_ {test} \ right) \) , а не представляет полную потенциальную энергию полной сборки заряда (нет терминов, включающих такие факторы, как \ (q_1q_2 \), например) — он представляет только часть потенциальной энергии, полученной системой из-за введения испытательного заряда, переносимого из бесконечности. Таким образом, электростатический потенциал рассматривает все заряды, которые не являются пробным зарядом, как коллективный источник скалярного поля.Обратите внимание, что, приняв соглашение \ (U \ left (\ infty \ right) = 0 \), мы также сделали это для электростатического потенциала. И, как и в случае с потенциальной энергией, положение, которое мы выбираем для обозначения нулевого электрического потенциала, произвольно.

Все вещи, которые мы разработали для электрических полей, также применимы к потенциалам, с той лишь разницей, что потенциалы накладываются друг на друга как скаляры, а не как векторы (что на самом деле во многих случаях упрощает работу с ними). Суть в том, что когда у нас есть набор исходных зарядов, включая непрерывное распределение, мы можем определить потенциал в каждой точке пространства, и если мы поместим туда точечный заряд, мы можем определить его потенциальную энергию, умножив заряд на электрический потенциал:

\ [U = qV \ left (\ overrightarrow r \ right), \; \; \; \; \; \; \ text {where} \ overrightarrow r = \ text {вектор положения заряда} q \]

Сходство с уравнением 1.2.2 очевиден — мы просто заменили силу и поле энергией и потенциалом.

Предупреждение

Мы часто будем использовать такой язык, как «потенциальная энергия точечного заряда», но, как и в случае со всей потенциальной энергией, мы на самом деле имеем в виду «потенциальную энергию, добавленную к системе благодаря наличию точечного заряда». Чтобы ввести потенциальную энергию, требуется взаимодействие через консервативную силу, а для взаимодействия требуются две сущности. Например, объект не может иметь свою собственную гравитационную потенциальную энергию (хотя мы часто относимся к нему именно так) — он должен взаимодействовать с Землей. {- 1} \).]

Обратите внимание, что знаки перевернуты с обеих сторон уравнения. Величина слева обычно обозначается как падение потенциала от A до B . Конечно, потенциал не имеет , поэтому, возможно, потенциальное изменение — лучший язык. Причина этой формулировки, вероятно, уходит корнями в конкретный случай выполнения интеграла по пути, который следует направлению электрического поля. Обратите внимание, что в этом случае \ (\ overrightarrow E \) всегда в том же направлении, что и \ (\ overrightarrow {dl} \), что дает положительный линейный интеграл.Если линейный интеграл положительный, то \ (U_A> U_B \), что означает, что потенциал падает с \ (A \) до \ (B \). Это дает нам полезное практическое правило:

Электрические поля указывают в направлении уменьшения электрического потенциала.

Всякий раз, когда у нас есть такое интегральное отношение, тогда, как мы видели для закона Гаусса, также доступно дифференциальное (локальное) отношение. Мы действительно видели это еще в нашем исследовании механики, и это также проявляется здесь:

\ [\ overrightarrow F = — \ overrightarrow \ nabla U \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; \ overrightarrow E = — \ overrightarrow \ nabla V \]

Хотя это интересно, читателя можно простить, если он спросит, для чего это нужно.Последнее соотношение особенно действенно по следующей причине. Предположим, мы хотим вычислить электрическое поле распределения заряда. Предполагая, что у нас нет умного способа использовать для этого закон Гаусса, мы должны выполнить вычисление, как мы делали в разделе 1.3. Часть того, что делает эти вычисления сложными, — это отслеживание трех различных компонентов вектора электрического поля (то есть трех отдельных интегралов). Если вместо этого вычислить потенциальное поле (один интеграл без векторов), мы можем взять производных (градиент), чтобы получить электрическое поле.В следующем разделе мы увидим, как вычислить потенциальное поле по распределению заряда.

Предупреждение

Связь между полем и потенциалом часто понимается неправильно, в еще одном воплощении путаницы величины с изменением этой величины (например, ошибочное принятие ускорения со скоростью. Так же, как нулевая мгновенная скорость не означает, что ускорение равно нулю, нулевой потенциал при точка в пространстве не означает, что поле там равно нулю. В самом деле, мы можем определить потенциал равным нулю где угодно, независимо от того, что это за поле! Это скорость изменения потенциала, которая определяет поле, а не значение потенциала.

Формулы градиента

Еще в разделе 1.6 мы впервые столкнулись с использованием векторного исчисления, когда узнали, что нам придется учитывать расходимости электрических полей, чтобы применить закон Гаусса в определенных приложениях. Теперь мы сталкиваемся с одним из родственников операции дивергенции — градиентом. Как и в случае с расхождением, полезно просмотреть некоторые формулы для градиентов в определенных особых обстоятельствах. Как и в случае с дивергенцией, формула градиента в декартовых координатах работает во всех случаях, тогда как градиент в цилиндрических и сферических координатах упрощается только тогда, когда скалярная функция зависит только от \ (r \) (как и раньше, в цилиндрических координатах это — расстояние до оси, а в сферических координатах — расстояние до точки):

Декартовы координаты

\ [\ overrightarrow \ nabla V \ left (x, \; y, \; z \ right) = \ dfrac {\ partial V} {\ partial x} \ widehat i + \ dfrac {\ partial V} {\ partial y } \ widehat j + \ dfrac {\ partial V} {\ partial z} \ widehat k \]

Цилиндрические координаты

\ [\ overrightarrow \ nabla V \ left (r, \ cancel {\ phi}, \ cancel {z} \ right) = \ dfrac {\ partial V} {\ partial r} \ widehat r \]

Сферические координаты

\ [\ overrightarrow \ nabla V \ left (r, \ cancel {\ theta}, \ cancel {\ phi} \ right) = \ dfrac {\ partial V} {\ partial r} \ widehat r \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

В определенной области пространства вокруг начала координат электростатическое потенциальное поле удовлетворяет:

\ [V \ left (x, y, z \ right) = \ alpha \; х + \ бета \; у ^ 2 + \ гамма \; z ^ 3 \ nonumber \]

Найдите плотность заряда в начале координат в терминах \ (\ alpha \), \ (\ beta \) и \ (\ gamma \).2 \; \ widehat k \ nonumber \]

Теперь дивергенция поля дает нам плотность заряда (закон Гаусса в локальной форме):

\ [\ dfrac {\ rho \ left (x, y, z \ right)} {\ epsilon_o} = \ nabla \ cdot \ overrightarrow E = \ dfrac {\ partial E_x} {\ partial x} + \ dfrac { \ partial E_y} {\ partial y} + \ dfrac {\ partial E_z} {\ partial z} = 0-2 \ beta-6 \ gamma \; z \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; \ в коробке {\ rho \ left (0,0,0 \ right) = — 2 \ beta \ epsilon_o} \ nonumber \]

Обратите внимание, что в начале координат потенциал равен нулю, но электрическое поле нет, равно как и плотность заряда.

Идентичность из векторного исчисления

Мы вывели зависимость отрицательного градиента между потенциалом и электрическим полем из той же связи между консервативной силой и связанной с ней потенциальной энергией (уравнение 2.2.7). Чтобы сила имела связанную потенциальную энергию, необходимо, чтобы она была консервативной. Мы все время предполагали, что электрическая сила консервативна. Как мы увидим позже, на самом деле это не всегда так.Оказывается, что электромагнитное поле является консервативным, но магнитное поле может передавать энергию в / из электрического поля, что само по себе делает электрическое поле неконсервативным. Для этого необходимо, чтобы заряды источника двигались, и, поскольку мы все еще обсуждаем только электро статику , мы можем безопасно продолжать использовать электростатический потенциал и соотношение отрицательного градиента.

Существование функции потенциальной энергии достаточно, чтобы доказать, что сила консервативна, хотя доказать это может быть проблематично без инструментов, предоставляемых векторным исчислением.Простой тест на консервативность силы — исчезновение ее изгиба:

\ [\ overrightarrow \ nabla \ times \ overrightarrow F = 0 \; \; \; \ leftrightarrow \; \; \; F \; является \; консервативным \; \; \; \ leftrightarrow \; \; \; \ overrightarrow F = — \ overrightarrow \ nabla U \]

Причина, по которой это работает как тест, заключается в том, что геометрия завитка и градиента такова, что завиток векторного поля, возникающий из градиента скалярного поля, всегда одинаково равен нулю:

\ [\ overrightarrow \ nabla \ times \ left [\ overrightarrow \ nabla \ left (что угодно \ вправо) \ вправо] \ эквив 0 \]

Итак, если силу можно записать как отрицательный градиент функции потенциальной энергии, то ее изгиб должен исчезнуть, и это соответствует консервативной силе.Распространяя это на электростатику, мы видим, что если электрическое поле можно выразить как отрицательный градиент потенциала, то его ротор исчезает. Итак, имеем:

\ [\ overrightarrow \ nabla \ times \ overrightarrow E = 0 \; \; \; \ leftrightarrow \; \; \; электростатика \; \; \; \ leftrightarrow \; \; \; \ overrightarrow E = — \ overrightarrow \ nabla V \]

Эквипотенциальные поверхности

Следствием градиентного отношения является то, что их взаимосвязь имеет геометрическую природу. Первое проявление этого состоит в том, что градиент скалярного поля указывает в том направлении, где скалярные значения растут быстрее всего.Таким образом, наличие отрицательного знака означает, что электрическое поле направлено в сторону самого быстрого спуска электрического потенциала. Это подтверждает установленное выше эмпирическое правило.

Мы можем продемонстрировать эту геометрическую взаимосвязь с помощью диаграммы. Давайте представим, что мы начинаем с определенной точки в пространстве и измеряем там потенциал (после обозначения нулевой точки). Затем мы выбираем близлежащие точки и находим направление, в котором мы можем переместить наш детектор, чтобы потенциал не изменился.Если мы продолжим эту процедуру и нанесем на карту все пространство, где потенциал не меняется, мы обнаружим, что это поверхность. Поскольку эта воображаемая поверхность существует с одним равным потенциалом, она называется эквипотенциальной поверхностью . Вот двухмерное изображение набора таких поверхностей:

Рисунок 2.2.1 — Эквипотенциальные поверхности

При положительном заряде источника силовые линии направлены наружу, что действительно указывает от более высокого потенциала к более низкому, но есть кое-что более конкретное, из чего мы можем сделать вывод о геометрической взаимосвязи поля и потенциала.Б \ overrightarrow E \ cdot \ overrightarrow {dl} \]

Конечно, электрическое поле не равно нулю везде, где мы идем, и расстояние, которое мы проходим, не равно нулю, так как же этот интеграл может оказаться равным нулю? Может быть, часть этого отменяет другие части? Нет, потому что это происходит на каждом пути, который мы выбираем, между любыми двумя точками, пока этот путь остается на эквипотенциальном уровне. Ответ заключается в том, что этот интеграл может быть равен нулю только тогда, когда в каждой точке эквипотенциала электрическое поле перпендикулярно \ (\ overrightarrow {dl} \).Другими словами:

Электрическое поле везде перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям.

То, что электрические поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, звучит очень знакомо. То же самое мы сказали о проводящих поверхностях для электростатики. Действительно, сразу делаем вывод, что для электростатики:

Проводники эквипотенциальные.

Обратите внимание, что это утверждение выходит за рамки только поверхности проводника. Мы знаем, что внутри металла проводника нет электрического поля, поэтому, когда мы идем от поверхности проводника к металлу, электрический потенциал не может изменяться (электрические поля возникают из-за изменений электрического потенциала), поэтому электрический потенциал одинаков во всем проводнике.

Когда нам предоставляют несколько эквипотенциальных поверхностей, как мы здесь, мы можем сделать вывод об электрическом поле больше, чем просто о его направлении. Операция градиента измеряет направленную скорость изменения . Это означает, что если каждая показанная эквипотенциальная поверхность разделена одним и тем же числом вольт (как на диаграмме выше), то области, где эти поверхности находятся ближе всего друг к другу, изменяются быстрее всего, что означает, что величина электрического поля там больше всего.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Заряженная частица движется в электрическом поле, эквипотенциальные поверхности которого показаны на схеме. Единственная сила, испытываемая зарядом, возникает из-за этого поля. Заряд движется медленнее в точке \ (A \), чем в точке \ (B \).

1. Заряд частицы: положительный / отрицательный / не могу определить
2. Величина ускорения заряда больше в: точка A / точка B / не могу сказать.
3. Каково направление ускорения заряда в каждой точке?

Решение

а. Кинетическая энергия частицы увеличилась от точки A к точке B, что означает, что ее потенциальная энергия снизилась. Но его электростатический потенциал вырос, поэтому, поскольку \ (\ Delta U = q \ Delta V \), то \ (\ Delta U <0 \) и \ (\ Delta V> 0 \) означает, что \ (q <0 \ ).

г. Все эквипотенциалы отличаются одинаковым напряжением, поэтому те, которые расположены ближе друг к другу, указывают на область, где электрическое поле сильнее.Следовательно, поле сильнее в точке A, а это значит, что на него действует большая результирующая сила, чем в точке B.

г. Сила, создаваемая электрическим полем, должна быть параллельна электрическому полю, которое должно быть перпендикулярно эквипотенциальной поверхности. Таким образом, силы в точках A и B должны быть либо слева, либо справа, но можем ли мы сказать, в какую сторону? Поле указывает от более высокого потенциала к более низкому, поэтому в точке A оно указывает влево, а в точке B — вправо.Заряд отрицательный, поэтому силы противоположны направлению электрического поля. Частица ускоряется вправо в точке A и влево в точке B.

Да, вы можете нанести на карту электрическое поле дома

Но как насчет численного значения электрического поля между этими проводящими пластинами? Если я просто пройду прямо посередине от одной пластины к другой, я могу получить значения электрического потенциала для разных значений y. Вот как это выглядит:

Вспомните взаимосвязь между электрическим полем и потенциалом.Электрическое поле — это отрицательная величина изменения потенциала, деленная на изменение положения. Если вы построите график зависимости потенциала от положения, это то же самое, что и наклон. Обратите внимание, что график выше является линейной функцией. Это означает, что наклон и, следовательно, электрическое поле постоянны. По наклону я получаю постоянное электрическое поле 0,713 вольт на см (0,00713 В / м). О, 1 В / м — это ньютон на кулон. Оба являются эквивалентными единицами измерения электрического поля.

Но подождите! Электрическое поле связано с электрической силой, а это значит, что оно должно быть вектором.Вычисленное выше значение основано на наклоне, поэтому это просто скалярное значение. Что ж, это легко исправить. Поскольку я построил потенциал относительно положения y , это дает мне y компонент электрического поля. Чтобы найти компонент x , мне также нужно построить электрический потенциал в этом направлении.

Но в этом случае потенциал действительно не сильно меняется в направлении x . Это означает, что x-компонента электрического поля будет равна нулю В / м.Честно говоря, это хорошая особенность этих параллельных проводящих пластин — они создают постоянное электрическое поле в одном направлении.

Зачем нам бумага?

Итак, это краткое введение в электрические поля и разность электрических потенциалов. Теперь ответ на важный вопрос, который вы не задавали:

Предположим, я возьму 9-вольтовую батарею и использую несколько проводов для подключения клемм к двум параллельным полосам из алюминиевой фольги, разделенным расстоянием 10 см — без каких-либо бумага.Могу ли я повторить этот эксперимент, чтобы рассчитать электрическое поле между этими пластинами?

Ответ — нет. Я имею ввиду, это должно работать . Теория состоит в том, что у вас есть изменение потенциала на двух кусках алюминия и изменение расстояния. Поскольку у вас две параллельные пластины, электрическое поле должно быть довольно постоянным. Но это не сработает. Если вы возьмете вольтметр и подключите один щуп к отрицательной полосе, а второй поместите прямо посередине, он должен показать 4.5 вольт. Вместо этого он будет показывать ноль вольт.

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Электрическая потенциальная энергия (U) и Электрический потенциал (В): (Примечания из C

Электрическая потенциальная энергия (U) и электрический потенциал (V): ( Записи лекций К. Эркалса PHYS 221 )

Рассмотрим конденсатор с параллельными пластинами, который производит однородную электрическое поле между его большими пластинами. Это достигается путем подключения каждой пластины к одному из выводов источник питания (например, аккумулятор).

Рисунок 1: Электрическое поле создается заряженными пластинами. разделенные расстоянием l. Обвинения на пластинах стоят + Q и Q.

Рисунок 2: Электрический заряд q перемещается из точки A в сторону точка B с внешней силой T против электрической силы qE.

Рис. 3, 4: Когда он перемещается на расстояние d, его потенциальная энергия в точке B равна qEd относительно точки A.

Рисунок 5: При отпускании из B (T = 0) он будет ускоряться к нижней пластине. Как он движется по направлению к нижней пластине его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия увеличивается. Когда он достигает нижнего пластина (где мы можем выбрать потенциальную энергию равной нулю), ее потенциал энергия в точке A полностью преобразуется в кинетическую энергию в точке B:

Обратите внимание, что qEd — это работа, выполняемая полем в качестве заряда движется под действием силы qE от B к A.Здесь m — масса заряда q, а v — его скорость при достижении точка А. Здесь мы предположили, что электрическая поле однородное! Работы по E field:

Давайте вспомним теорему о кинетической энергии-работе (Work Energy принцип):

, где мы ввели понятие потенциальной энергии и консервативная сила (сила, под которой можно определить потенциальную энергию так что проделанная работа зависит только от разницы потенциальной энергии функция оценивается в конечных точках).

Практическое правило определения того, является ли EPE увеличение:

Если заряд движется в том направлении, при нормальном движении его электрическая потенциальная энергия уменьшается. Если заряд движется в противоположном направлении к тому, что он обычно двигался бы, его электрическая потенциальная энергия увеличивается. Эта ситуация похожа на ситуацию постоянное гравитационное поле (g = 9,8 м / с ² ). Когда вы поднимаете предмет, вы увеличивая его гравитационную потенциальную энергию.Аналогичным образом, когда вы опускаете объект, его гравитационная энергия равна уменьшается.

Общая формула потенциальной разницы:

Работа, выполняемая полем E, когда оно действует на заряд q для перемещения. он от точки A до точки B определяется как разность электрических потенциалов между точки A и B:

Ясно, что потенциальную функцию V можно сопоставить каждому точка в пространстве, окружающем распределение заряда (например, параллельное тарелки).Приведенная выше формула обеспечивает простой рецепт для расчета работы, проделанной при перемещении заряда между двумя точками где мы знаем значение разности потенциалов. Приведенные выше утверждения и формула действительны независимо от путь, по которому перемещается заряд. Особый интерес представляет потенциал точечного заряда Q. Его можно найти, просто выполнив интегрирование по простому пути (например, по прямой) из точки A расстояние от Q которого равно r до бесконечности.Путь выбирается по радиальной линии, так что становится просто Edr. Поскольку электрическое поле Q равно kQ / r ² ,

Этот процесс определяет электрический потенциал точечного заряжать. Обратите внимание, что потенциальная функция скалярная величина в отличие от электрического поля, являющегося векторной величиной. Теперь мы можем определить электрический потенциал энергия системы зарядов или зарядовых распределений.Предположим, мы вычисляем проделанную работу относительно электрические силы при перемещении заряда q из бесконечности в точку на расстоянии r от заряд Q. Работу выдал:

Обратите внимание, что если q отрицательное, его знак должен использоваться в уравнение! Следовательно, система состоящий из отрицательного и положительного точечного заряда, имеет отрицательный потенциальная энергия.

Отрицательная потенциальная энергия означает, что работа должна быть выполнена против электрического поля при раздвижении зарядов!

Теперь рассмотрим более общий случай, связанный с потенциал в окрестности ряда зарядов, как показано на рисунке ниже:

Пусть r ₁ , r ₂ , r ₃ будет расстояния зарядов до точки поля А, а r ₁₂ , r ₁₃ , r ₂₃ представляют собой расстояние между зарядами.Электрический потенциал в точке А равен: