Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал φ_∞ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:

Как следует из теоремы Гаусса, эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара (или сферы) при r ≥ R, где R – радиус шара.

Для наглядного представления электростатическое поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности.

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала.

Силовые линии электростатическое поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рис. 1.4.3 представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.

Рисунок 1.4.3. Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей: a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных заряда

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей.

Если пробный заряд q совершил малое перемещение вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать:

ΔA12 = qEΔl = q (φ1 – φ2) = – qΔφ,

где Δφ = φ₁ – φ₂ – изменение потенциала. Отсюда следует

Это соотношение в скалярной форме выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь l – координата, отсчитываемая вдоль силовой линии.

Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов:

φ = φ1 + φ2 + φ3 + …
Работа сил электростатического поля

 

Точечный заряд

q₀ перемещается в поле заряда q вдоль произвольной траектории. Работа при перемещении заряда q₀ из точки 1 в точку 2 (рис. 1.14):

(1.14)

 

Рис. 1.14. Работа в электрическом поле

Полученный результат означает, что работа в электростатическом поле не зависит от траектории движения заряда, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными. Тоже и для поля любой системы неподвижных зарядов.

 

Работа перемещения заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому контуру L, согласно (1.14)

(1.15)

 

1.4.2. Потенциал электростатического поля

 

Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии, поэтому работу по перемещению заряда в электрическом поле можно представить в виде разности значений потенциальной энергии, которой обладает заряд q₀ в точке 1 и 2 поля заряда q:

(1.16)

Потенциальная энергия заряда q₀, находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него, равна

(1.17)

Значение С выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность потенциальная энергия была бы равна нулю.

Из (1.17) следует, что разные по величине пробные заряды будут обладать в одной и той же точке поля различной энергией, однако отношение W_p/q_пр будет для всех зарядов одним и тем же, поэтому данную величину удобно использовать для описания поля в данной точке.

Потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля:

(1.18)

 

Потенциал j определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной, значение которой определяется разностью потенциалов в соседних точках поля.

Подставив в (1.18) значение W_p из (1.17), получим для потенциала точечного заряда выражение:

,

(1.19)

 

где r – расстояние от данной точки до заряда q, создающего поле.

Из формул (1.14) и (1.19) следует, что работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q

₀ из точки 1 в точку 2:

(1.20)

где (j₁ – j₂) – разность потенциалов двух точек 1 и 2 электростатического поля.

Из (1.20) следует, что разность потенциалов – это работа, совершаемая силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Согласно (1.20), работа, которую надо совершить, чтобы перенести пробный заряд из точки 1 в бесконечность (¥):

(1.21)

Потенциал – физическая величина, численно равная работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность.

Единица измерения в СИ: 1 В = 1 Дж/Кл. Внесистемная единица энергии – электронвольт (эВ). Электронвольт – это энергия, которую приобретает частица с зарядом, равным заряду электрона е = 1,60·10^–19 Кл, пробегая в вакууме разность потенциалов 1 В, т.е. 1 эВ = 1,60·10^–19 Дж. В электронвольтах обычно выражают энергию различных элементарных частиц.

Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q₀ из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде

.

(1.22)

 

Приравняв (1.20) и (1.22), получим

(1.23)

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки.

1.4.3. Разность потенциалов и напряженность поля

 

 

Вектор :

 

или

(1.26)

grad – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции; , , –единичные векторы координатных осей x, y, z.Знак минус показывает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала.

1.4.4. Эквипотенциальные поверхности

 

Рис. 1.16. Эквипотенциальные линии (сплошные) и линии напряженности (пунктир) различных полей.

Поверхности, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение, называют эквипотенциальными. Используются для графического изображения распределения потенциала. Эквипотенциальные поверхности строят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними поверхностями были одинаковы. Градиент потенциала направлен перпендикулярно этой поверхности в сторону возрастания потенциала. Вектор напряженности электрического поля перпендикулярен в каждой точке эквипотенциальной поверхности и направлен в сторону убывания потенциала. На рис. 1.16 показаны картины электрических полей: пунктиром – линии вектора напряженности, сплошными линиями – эквипотенциали.

 

1.4.5. Принцип суперпозиции для потенциала

Если электрическое поле создается системой неподвижных точечных зарядов q₁, q₂, … , то согласно принципу наложения электрических полей, результирующее поле равно сумме полей, создаваемых отдельными зарядами. Поэтому и потенциал этого поля равен сумме потенциалов, создаваемых отдельными зарядами. Покажем это.

Следовательно,потенциал системы неподвижных точечных зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых отдельными зарядами:

,

(1.27)

где j – потенциал результирующего поля в рассматриваемой точке относительно бесконечности, r_i – расстояние от точечного заряда q_i до интересующей точки поля.

Если заряды, образующие систему распределены непрерывно по всему объему тела, то

,

(1.28)

где r – объемная плотность заряда, r – расстояние от рассматриваемой точки поля до dV. Интегрирование производится по всему объему V.

Если заряды расположены только на поверхности тела, то

,

(1.29а)

где s – поверхностная плотность заряда; dS – элемент поверхности тела, r – расстояние от рассматриваемой точки поля до dS. Интегрирование производится по всей поверхности S.

В случае линейного распределения зарядов:

,

(1.29б)

где l – линейная плотность заряда.

 

Потенциал электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности

Работа по перемещению заряда из точки А в точку В зависит только от положения точек А и В и не зависит от формы пути, по которому движется пробный заряд. Исходя из этого работа, по перемещению заряда, будет равна убыли потенциальной энергии W данного заряда:

Если работа зависит только от положения начала и  конца пути в электростатическом поле, то она может быть выражена как разница двух чисел.

Возьмем производную точку М и обозначим работу по перемещению пробного заряда q_пр от М к А через φ(А), а от М к В через φ(В). После чего будет осуществлено перемещение данного заряда от А к В по пути А- М – В.

Так как работу перехода М – А мы обозначили как φ(А), то обратный переход А – М также будет φ(А), из чего следует формула:

Положение точки М по сути безразлично, так как в данном случае играет роль только разность значений функций φ. Однако, задав координаты точки М мы однозначно определим величины функций φ(А) и φ(В), хотя на величину разности φ(А) — φ(В) положение точки М никак не влияет. Как только координаты точки М выбраны, число φ определяется в любой точке пространства.

Отсюда следует важный вывод – величина φ является функцией координат x, y, z и скаляром электростатического поля. Данная скалярная функция φ называется потенциалом электростатического поля. Точка отсчета М для удобства расчетов помещается в бесконечность. Потенциал бесконечно удаленной точки принимают равным нулю φ = 0.

Физическая величина, которая равна отношению потенциальной энергии, приобретаемой положительным зарядом q_пр, при его переносе из бесконечности в данную точку пространства к этому заряду, то есть:

Потенциал – это энергетическая характеристика поля. Численно он равен работе, которую нужно совершить при перенесении единичного заряда из бесконечности, где потенциальная энергия считается равной нулю, в данную точку поля.

Из формул (2) и (формулы 3 приведенной по следующей ссылке) получим выражения потенциала поля, которое создано точечным зарядом:

Когда поле образуется несколькими расположенными произвольно зарядами q₁, q₂,… q_n, его потенциал φ в данной точке будет равен алгебраической сумме потенциалов φ₁, φ₂, … φ_n, которые создает каждый заряд в отдельности:

Если заряды q₁, q₂,… q_n можно считать точечными, то суммарный потенциал можно посчитать по формуле:

Где r₁, r₂, … r_n расстояние от зарядов q₁, q₂, … q_n до данной точки поля.

В случае если поле образовано электрическим диполем, то потенциал в какой-либо точке поля, находящейся от центра диполя на расстоянии r можно определить по формуле:

Где р = q·l – электрический момент диполя (где l – это плечо диполя), а α – угол между плечом диполя l и радиус вектором r.

В случае, когда точка лежит на оси диполя α = 0, потенциал в этой точке будет равен:

Лежащие на перпендикуляре к плечу диполя точки, восстановлены с его середины, имеют нулевой потенциал (φ = 0), так как α = 90⁰.

Если из точки А в точку В электростатического поля перемещается заряд q^/, то при этом совершается работа против электрических сил:

Где φ₁ и φ₂ потенциалы в точках А и В или

Отсюда следует, что совершаемая полем работа по перемещению заряда измеряется произведением заряда q^/, переносимого в электростатическом поле, на разность потенциалов конечной (φ₂) и начальной (φ₁) точек пути и никак не зависит от формы пути.

Совокупность точек с одинаковым потенциалом образуют эквипотенциальную поверхность или поверхность равного потенциала (φ = const). С помощью данных точек эквипотенциальную поверхность можно изобразить графически.

На рисунке ниже изображено электрическое поле равномерно заряженного диска, где пунктирные линии – эквипотенциальные поверхности, а сплошные – линии напряженности.

Данный рисунок иллюстрирует общее свойство эквипотенциальных поверхностей и силовых линий – эквипотенциальная поверхность и силовая линия, проведенная через любую точку, в данной точке взаимно перпендикулярны. Поскольку все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал (φ₁ – φ₂ = 0), то работа не совершается при перемещении заряда вдоль нее. Из этого следует, что действующий на заряд вектор силы, а значит и вектор напряженности все время перпендикулярен к перемещению.

Если заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности (φ = const), то работа поля будет равна нулю:

В общем случае совершаемая полем работа по перемещению заряда q^/ будет равна:

Где dS – элементарное перемещение, а Е – проекция вектора напряженности Е на направление перемещения.

В результате интегрирования выражения (11) для однородного поля получим:

Где S – путь, а α – угол между направлением вектора Е и перемещения.

Какой физический смысл имеет ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ потенциал? (Физика)

Ты слово «электрический» жирными буквами выделила, а потому держи адаптированный ответ: назови другой потенциал (какой знаешь) и огласи его физический смысл. И сравним его с электрическим, OK?

видимо напряжение

Представь два провода. В одном электроны сидят себе спокойно (это «0», нулевой потенциал), а в другом электроны взволнованы и им хочется куда нибудь рвануть (это «фаза»). Назад им некуда, сзади такие же стоят и рвутся вперед, этих не пускают. Так вот, если соединить эти провода, электроны со второго провода рванут в другой провод со страшной силой. Это и есть разность потенциалов.

Связь напряженности и потенциала= Потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования Поскольку физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю

Уровень поля в данной точке.

Электрический потенциал в данной точке поля есть физическая величина, численно равная работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из данной точки поля в бесконечно удаленную. В таком определении потенциала одновременно передаётся и его физический смысл, думаю. Получается, что потенциал численно равен потенциальной энергии пробного заряда в данной точке поля.

3.3. Потенциал. Разность потенциалов.

Сила, с которой система зарядов действует на некоторый не входящий в систему заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на заряд каждый из зарядов системы в отдельности (принцип суперпозиции).

Тогда

A = ∑Ai

Здесь каждое слагаемое не зависит от формы пути и, следовательно не зависит от формы пути и сумма.

Итак электростатическое поле потенциально.

Работу сил электростатического поля можно выразить через убыль

	потенциальной энергии – разность двух функций состояния:
	A12 = Eп1 – Eп2								(3.2.2)
	Тогда выражение (3.2.2) можно переписать в виде:
	A12 =		qq’		−	qq’			(3.2.3)
			4πεε r			4πεε r
		0		1		0	2
	Сопоставляя формулу (3.2.2) и (3.2.3) получим выражение для потенциальной
	энергии заряда q’ в поле заряда q:	1		qq’
	En =					+const			(3.2.4)
		4πεε0			r

Потенциальную энергию определяют с точностью до постоянной интегрирования. Значение константы в выражении Eпот. выбирают таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т. е. при r = ∞), потенциальная энергия обращалась

в нуль. Выражение (3.2.4.) – для одного заряда. Для системы зарядов
EnΣ = ∑Eni	(3.2.5)

Разные пробные заряды q’,q»,… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями En’, En» и так далее. Однако отношение En/q’пр. будет для всех зарядов одним и тем же. Поэтому ввели скалярную величину, являющуюся

	энергетической характеристикой собственно поля – потенциал.
	φ=	En		(3.3.1)
		q’

Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

Подставив в (3.3.1.) значение потенциальной энергии (3.2.3), получим для

	потенциала точечного заряда следующее выражение:
	φ=	1	q	(3.3.2)
		4πεε0	r

Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования. Договорились считать, что потенциал точки удаленной в бесконечность равен нулю. Поэтому когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность. Другое определение потенциала:

φ = Aq∞ или A∞ = qφ,

т.е. потенциал числено равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность

dA = Fl dl = El qdl

(наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля.

Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получим:

		1		N	qi q’
	En =			∑=					(3.3.3)
		4πεε			r
	0			i 1	i
	Тогда:			1				qi
	φ= ∑φi φ=					∑			(3.3.4)
				4πεε				r
					0			i

т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. А вот напряженности, как вы помните, складываются при наложении полей – векторно.

По этой причине потенциалы полей считать проще, чем напряженности.

Вернемся к работе сил электростатического поля над зарядом q’. Выразим работу

через разность потенциалов:
A12 = En1 − En2 = φ1q′−φ2 q′ = q′(φ1 −φ2 )	(3.3.5)
Т.о., работа над зарядом q’ равна произведению заряда на убыль потенциала. То
есть:
A = q'(φ1 −φ2 )= q’U ,
A = qU ,	(3.3.6)

где U – разность потенциалов или еще называют напряжение. Между прочим, хорошая аналогия:

A12 = mgh2 −mgh3 = m(gh2 − gh3 )

gh – имеет смысл потенциала гравитационного поля, а m – заряд.

Итак потенциал – скалярная величина, поэтому пользоваться и вычислять φ

проще, чем E . Приборы для измерения разности потенциалов широко распространены. Формулу A∞=qφ можно использовать для установления единиц потенциала: за единицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из ∞ единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице.

Так в СИ – единица потенциала 1В = 1Дж/1Кл, в СГСЭ 1ед.пот. = 300В.

В физике часто используется единица энергии и работы, называемой эВ – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона при прохождении им разности потенциалов 1В, то есть:

1эВ =1,6 10−19 Кл В =1,6 10−19 Дж

3.4. Связь между напряженностью и потенциалом.

Итак электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной

величины E , либо с помощью скалярной величины φ. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Найдем ее:

Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l.

Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке dl можно найти так:

(3.4.1)

El – проекция E на drl ; dl – произвольное направление перемещения заряда.

С другой стороны, как мы показали, эта работа, если она совершена электростатическим полем равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl.

	dA = −qdφ; El qdl = −qdφ			(3.4.2)
	El = −	dφ		(3.4.3)
		dl

Вот отсюда размерность напряженности поля В/м.

Для ориентации dl – (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции E на оси координат:

Ex = −

∂φ

; Ey = − ∂φ

; Ez = −

∂φ

;

(3.4.4)

∂x

∂y

∂z

r

∂φr

−

∂φr

∂φ r

(3.4.5)

E = −

∂x

i

∂y

j −

∂z

k

где i, j,k – орты осей – единичные вектора.

По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции, то есть:

gradφ = ∂∂φx ri + ∂∂φy rj + ∂∂φz kr

Тогда коротко записывается так:
E = −gradφ	(3.4.6)
gradφ – вектор, показывающий направление наибыстрейшего	увеличения

функции. Знак минус говорит о том, что E направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.

3.5. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности.

Как мы с вами уже знаем, направление силовой линии (линии напряженности) в

каждой точке совпадает с направлением E . Отсюда следует, что напряженность E

равна разности потенциалов на единицу длины силовой линии.

Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала.

Поэтому всегда можно определить E между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые

линии – прямые. Поэтому здесь определение E наиболее просто:

E =	U		В
					(3.5.1)
	l
			м

Теперь запишем определение эквипотенциальной поверхности. Воображаемая поверхность все точки, которой имеют одинаковый потенциал, называют

эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности
φ =φ (x,y,z) = const.	(3.5.2)

Рис. 3.4

При перемещении по этой поверхности на dl, потенциал не изменится: dφ = 0. Следовательно, проекция вектора E на dl равна 0, то есть El = 0. Отсюда

следует, что E в каждой точке направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности.

Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По

густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине E , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине. На одной из лабораторных работах мы с вами будем моделировать электрическое поле и находить эквипотенциальные поверхности и силовые линии от электродов различной формы – очень наглядно вы увидите как могут располагаться эквипотенциальные поверхности.

Формула E = −gradφ – выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и

обратную задачу, т.е. по известным значениям E в каждой точке поля найти разность φ между двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть, вычислена как:

2 r r

A12 = ∫qEdl

1

С другой стороны работу можно представить в виде:

A12 = q(φ1 −φ2 )

тогда

2	r r
φ1 −φ2 = ∫Edl		(3.5.3)
1

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру φ1 = φ2 получим:

т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности.

Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее этим

свойством, называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора E ,

следует, что линии E электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах и на отрицательных зарядах заканчиваются или уходят в бесконечность.

31