Постоянная времени rc: Постоянная времени RC-цепи — что это такое? — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Постоянная времени RC

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R, где U — напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = — t/RC + Const.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e^-t^/RC * e^Const.
Решение примет вид:

U = e^-t^/RC * Const.

Здесь Const — константа, величина, определяемая начальными условиями.

Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону e^-t^/RC.

Экспонента — функция exp(x) = e^x
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828…

Постоянная времени

Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U, в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения U_C и определится выражением:

Тогда напряжение U_C на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:

U_C = U(1 — e^-t/RC)

При t = RC, напряжение на конденсаторе составит U_C = U(1 — e^-1) = U(1 — 1/e) .
Время, численно равное произведению RC, называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ.

Постоянная времени τ = RC

За время τ конденсатор зарядится до (1 — 1/e

)*100% ≈ 63,2% значения U.
За время 3τ напряжение составит (1 — 1/e³)*100% ≈ 95% значения U.
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 — 1/e⁵)*100% ≈ 99% значения U.

Если к конденсатору емкостью C, заряженному до напряжения U, параллельно подключить резистор сопротивлением R, тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.

Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять U_C = Ue^-t/τ = U/e^t/τ.

За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e, что составит 1/e*100% ≈ 36.8% значения

U.
За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e³)*100% ≈ 5% от значения U.

За время 5τ до (1/e⁵)*100% ≈ 1% значения U.

Параметр τ широко применяется при расчётах RC-фильтров различных электронных цепей и узлов.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Постоянная времени для RC-цепи Калькулятор

✖Сопротивление является мерой сопротивления току, протекающему в электрической цепи. Сопротивление измеряется в омах, что обозначается греческой буквой омега (Ом).ⓘ Сопротивление [R]

AbohmEMU сопротивленияESU сопротивленияExaohmГигаомкилооммегаоммикроомМиллиомНаномомПетаомПланка сопротивлениеКвантованная Hall СопротивлениеВзаимный СименсStatohmВольт на АмперYottaohmZettaohm

+10%

-10%

✖Емкость определяется как емкость, измеряемая в микрофарадах.ⓘ Емкость [C]

AbfaradАттофарадсантифарадаКл / вольтдекафарадДецифарадEMU конденсаторнойESU конденсаторнойэксафарадафарадафемтофарадагигафарадагектофарадкилофарадМегафарадаМикрофарадМиллифараднанофарадапетафарадапикофарадаStatfaradтерафарада

+10%

-10%

✖Постоянная времени — это отклик, представляющий прошедшее время, необходимое для того, чтобы отклик системы затухал до нуля, если бы система продолжала затухать с начальной скоростью.

ⓘ Постоянная времени для RC-цепи [𝜏]

АттосекундаМиллиард летсантисекундаВекаЦикл переменного тока 60 ГцЦикл переменного токаДеньДесятилетиеДекасекундаДецисекундаExasecondФемтосекундаГигасекундагектосекундаЧаскилосекундаМегасекундамикросекундаМиллениумМиллион летМиллисекундаминутМесяцНаносекундаПетасекундаПикосекундаВторойСведбергТерасекундаТысяча летНеделюГодYoctosecondЙоттасекундаЗептосекундаЗеттасекунда

⎘ копия

👎

Формула

сбросить

👍

Постоянная времени для RC-цепи Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Сопротивление: 59 ом —> 59 ом Конверсия не требуется
Емкость: 5.7 Микрофарад —> 5.7E-06 фарада (Проверьте преобразование здесь)

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

0.0003363 Второй —> Конверсия не требуется

< 6 Постоянная времени Калькуляторы

Постоянная времени для RC-цепи формула

Постоянная времени = Сопротивление*Емкость
𝜏 = R*C

Что такое постоянная времени τ?

Время, которое представляет скорость, с которой конкретная система может реагировать на изменение, обычно равное времени, необходимому для изменения указанного параметра с коэффициентом 1-1 / е (приблизительно 0,6321).

Copied!

Постоянная времени и ее значение

Резисторно-конденсаторные цепи не существуют в стабильных состояниях постоянно. Возможны колебания их состояния из-за изменения уровней напряжения и входа. Это может быть сделано путем размыкания или замыкания переключателя цепи. RC-цепи требуется некоторое время, чтобы отреагировать на изменения напряжения или входного сигнала. Это связано с наличием резисторов и конденсаторов. Скорость, с которой цепь переходит из одного устойчивого состояния в другое, определяется постоянной времени цепи. Эта постоянная времени является произведением сопротивления цепи в омах и емкости цепи в фарадах. Греческая буква тау представляет его.

Значение постоянной времени

Значение постоянной времени RC-цепи — это время, необходимое для зарядки конденсатора до 63,2% от значения приложенным постоянным напряжением.

𝜏 =RC

Где R – сопротивление цепи, а C – емкость цепи. Он используется в следующих формулах для определения напряжения на конденсаторе по отношению ко времени

При зарядке до приложенного напряжения от нулевого напряжения (V0): V(t)=V0(1-e-t/𝜏)

Где 𝜏 — постоянная времени RC

Разрядка до нулевого напряжения (V0): В (t)=V0(e-t/𝜏)

Постоянная времени RC

В RC-цепи сопротивление почти мгновенно реагирует на любое изменение напряжения, приложенного к цепи. Однако резистор не накапливает энергию. Это пассивное устройство, которое рассеивает энергию в виде тепловой энергии. С другой стороны, конденсатор может хранить энергию в виде электростатического поля. Он состоит из двух электродов, которые представляют собой пластины из проводящего материала. Эти пластины разделены изоляционным материалом. Этот материал является диэлектриком и может накапливать электростатическую энергию.

Конденсатор, в отличие от резистора, не может мгновенно реагировать на изменение напряжения, приложенного к цепи. Всегда будет короткий период времени сразу после первого приложения напряжения, чтобы ток цепи и напряжение на конденсаторе изменили состояние. Это означает, что будет определенная задержка в конденсаторе, изменяющем свою накопленную энергию в своем электрическом поле. Это справедливо как для случаев, когда энергия должна быть увеличена, так и для случаев, когда энергия должна быть уменьшена.

Время, необходимое цепи для реагирования на изменения, всегда кратно произведению сопротивления и емкости цепи. Это произведение омов и фарад, записанное в секундах. Следующее уравнение выражает ток, протекающий через конденсатор.

iC =C(dv/dt)

Здесь dv — изменение напряжения, а dt — изменение во времени.

Резисторно-конденсаторная цепь

Если цепь замкнута накоротко в цепи резистор-конденсатор, через нее не протекает ток, поскольку она не подключена к источнику напряжения. Когда переключатель цепи включен, в цепи подается определенное напряжение. В момент включения переключателя полностью разряженный конденсатор действует как короткое замыкание из-за резкого изменения состояния dv/dt.

Заключение

Постоянная времени — это время, за которое конденсатор заряжается примерно до 63,2% своего полного значения через резистор, подключенный к нему последовательно. Постоянная времени RC (𝜏) является произведением сопротивления цепи (R) и емкости цепи (C).

𝜏 =RC

И наоборот, постоянная времени также может быть определена как время, затрачиваемое конденсатором, подключенным последовательно к резистору, примерно до 36,8% от его полного значения. Это важное значение, потому что оно означает скорость роста или затухания цепи. Чем ниже значение постоянной времени цепи, тем выше скорость роста или затухания цепи. И чем выше значение постоянной времени цепи, тем ниже скорость нарастания или спада.

Постоянная времени RC-цепи: Определение

Если вы когда-нибудь видели автоматический резак для бумаги, вы, вероятно, задавались вопросом, как люди, работающие с этими устройствами, никогда не теряют палец или руку. Удивительно, но ответ на ваш вопрос содержится в постоянной времени RC-цепи! Это позволяет оператору машины щелкнуть выключателем «вкл.», а затем убрать руки от бумаги задолго до того, как резак для бумаги действительно начнет резать. Продолжайте читать, чтобы узнать больше о том, как эта временная задержка создается постоянной времени в RC-цепях.

Определение постоянной времени в RC-цепи

Чтобы понять, что такое постоянная времени RC-цепи, нам сначала нужно убедиться, что мы знаем, что такое RC-цепь.

Резистивно-емкостная цепь представляет собой электрическую цепь, содержащую сопротивления и конденсаторы.

Как и все другие электрические цепи, каждая RC-цепь, с которой вы столкнетесь, имеет общее сопротивление \(R\) и общую емкость \(C\). Теперь мы можем определить, что такое постоянная времени в такой цепи.

Постоянная времени \(\tau\) в RC-цепи определяется произведением полного сопротивления на общую емкость, \(\tau=RC\).

Проверим работоспособность агрегатов. Мы знаем, что емкость — это заряд \(Q\), деленный на напряжение \(V\), а сопротивление — это напряжение, деленное на ток \(I\). Таким образом, единицами измерения емкости являются \(\mathrm{\tfrac{C}{V}}\), а единицами сопротивления являются \(\mathrm{\tfrac{V}{A}}\). Следовательно, единицы постоянной времени равны 9.0003

\[\ mathrm {\ frac {C} {V}} \ mathrm {\ frac {V} {A}} = \ mathrm {\ frac {C} {A}} = \ mathrm {\ frac {A \ ,s}{A}}=\mathrm{s}.\]

Мы видим, что единицы постоянной времени действительно являются единицами времени!

Определение постоянной времени RC-цепи

Чтобы найти постоянную времени конкретной RC-цепи, нам нужно найти эквивалентное полное сопротивление и емкость цепи. Давайте вспомним, как мы их находим.

Чтобы найти эквивалентное общее сопротивление \(R\) \(n\) резисторов \(R_1,\dots,R_n\), соединенных последовательно, мы просто складываем их индивидуальные сопротивления: 9n C_i.\]

Обратите внимание, что способ сложения сопротивлений и емкостей точно переключается для одного и того же типа соединения!

Когда вы можете упростить схемы с помощью этих правил, заменив несколько резисторов и конденсаторов только одним резистором и одним конденсатором, у вас есть ключ к нахождению постоянной времени! Это связано с тем, что после упрощения у вас есть два магических значения для \(R\) и \(C\), эквивалентное общее сопротивление и емкость, поэтому вы можете просто перемножить эти значения, чтобы получить постоянную времени в соответствии с 9.0003

\[\tau=RC.\]

Получение постоянной времени RC-цепи

Чтобы понять, откуда берется эта постоянная времени, рассмотрим простейшую возможную схему, содержащую резисторы и конденсаторы, а именно схему, содержащую только один резистор и только один конденсатор (так что без батареи!), как показано на рисунке ниже.

Рис. 1. Простая схема, содержащая только конденсатор и резистор.

Допустим, мы начинаем с некоторого ненулевого напряжения \(V_0\) на конденсаторе с емкостью \(C\). Это означает, что по обе стороны конденсатора есть заряд \(Q_0\), и эти две стороны соединены друг с другом цепью, содержащей резистор с сопротивлением \(R\). Таким образом, будет протекать ток с одной стороны на другую сторону конденсатора, вызванный напряжением на нем. Этот ток изменит заряды \(Q\) по обе стороны конденсатора, поэтому он также изменит напряжение! Это означает, что мы хотим посмотреть на напряжение \(V\) на конденсаторе и заряд \(Q\) по обе стороны от него как на функцию времени. Напряжение на конденсаторе равно

\[V=\frac{Q}{C},\]

, поэтому ток \(I\) в цепи равен

\[I=\frac{V}{R}=\frac {Q}{RC}.\]

Но ток представляет собой изменение заряда во времени, поэтому он фактически равен производной по времени от заряда \(Q\) с обеих сторон конденсатора! Важно отметить, что суммарный заряд по обе стороны конденсатора уменьшается с (положительным) током, поэтому в нашем уравнении есть знак минус:

\[\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm {d}t}=-I=-\frac{Q}{RC}. \] 9{-\tfrac{t}{RC}}.\]

Вот и все! Множитель \(RC\) просто говорит нам, насколько быстро идет этот процесс балансировки заряда конденсатора. Через время \(t=\tau=RC\) заряд по обе стороны конденсатора равен

\[Q(\tau)=\frac{1}{\mathrm{e}}Q_0,\]

и из уравнения мы видим, что в целом после каждого периода времени \(\tau\) заряд уменьшался с коэффициентом \(\mathrm{e}\).

При таком уменьшении заряда, согласно \(V=\tfrac{Q}{C}\), напряжение на конденсаторе также уменьшается в \(\mathrm{e}\) раз каждый раз длительность \(\ тау\). Пока сопротивление остается постоянным, ток \(I=\tfrac{V}{C}\) также испытывает такое же уменьшение. Таким образом, свойства всей цепи (заряд по обе стороны от конденсатора, ток в цепи и напряжение на конденсаторе) изменяются с коэффициентом \(\mathrm{e}\) каждый раз, когда длительность \(\tau\ )!

Постоянная времени RC-цепи с батареей

Рис. 2. Та же схема, но теперь она содержит батарею, которая подает напряжение.

Но что делать, если в схеме есть батарейка, как и в большинстве схем? Ну, тогда мы можем начать с конденсатора с нулевым зарядом с обеих сторон: это конденсатор, на котором нет напряжения. Если мы подключим его к батарее, напряжение будет переносить заряды на конденсатор, так что со временем на конденсаторе будет создаваться напряжение. Это напряжение \(В\) со временем будет выглядеть так: 9{-\tfrac{t}{RC}}\right).\]

В этой формуле мы видим ту же экспоненциальную зависимость, но теперь она идет в другую сторону: напряжение на конденсаторе растет.

При \(t=0\,\mathrm{s}\) имеем \(V(0\,\mathrm{s})=0\,\mathrm{V}\), как и ожидалось. На конденсаторе нет сопротивления ни от каких зарядов, поэтому на старте конденсатор ведет себя как «голый провод» с нулевым сопротивлением. Только после запуска, когда на конденсаторе накапливается заряд, для схемы становится очевидным, что это действительно конденсатор! Становится все труднее и труднее добавлять заряд к конденсатору, поскольку заряд на нем и, следовательно, электрическая сила, противодействующая току, растет.

По прошествии длительного времени (множественного постоянной времени \(\tau\)) экспонента приближается к нулю, а напряжение на конденсаторе приближается к \(V(\infty)=V_0\). Постоянное напряжение на конденсаторе также означает, что заряд на пластине постоянен, поэтому в конденсатор и из него не течет ток. Это означает, что конденсатор ведет себя как резистор с бесконечным сопротивлением.

После включения аккумулятора конденсатор ведет себя как оголенный провод с нулевым сопротивлением.
По прошествии длительного времени конденсатор ведет себя так, как будто это резистор с бесконечным сопротивлением.

Постоянная времени RC-цепи из графика

Все это означает, что мы должны быть в состоянии определить постоянную времени RC-цепи, если у нас есть график либо напряжения на конденсаторе, либо заряда по обе стороны конденсатор, или полный ток через цепь по отношению ко времени.

Ниже мы видим график напряжения на конденсаторе в цепи, показанной на рисунке 2. Сопротивление резистора равно \(12\,\mathrm{\Omega}\). Какова емкость конденсатора?

Рис. 3. Этот график зависимости напряжения на конденсаторе от времени дает нам достаточно информации для определения постоянной времени цепи.

Из рисунка видно, что напряжение на конденсаторе равно \(\left(1-\tfrac{1}{\mathrm{e}}\right)V_0\) (около \(63\%\)) в момент времени \(t=0,25\,\mathrm{s}\). Это означает, что постоянная времени этой RC-цепи равна \(\tau=0,25\,\mathrm{s}\). Мы также знаем, что \(\tau=RC\), поэтому емкость конденсатора равна

\[C=\frac{\tau}{R}=\frac{0,25\,\mathrm{s}}{12 \,\mathrm{\Omega}}=21\,\mathrm{мФ}.\]

Значение постоянной времени в RC-цепи

Тот факт, что в RC-цепи имеется характеристическая постоянная времени, очень полезен. Как видно из формул и графиков, в основном существует временная задержка напряжения на конденсаторе. Эту временную задержку можно использовать для получения временной задержки напряжения при любом параллельном соединении. Таким образом, вы можете создать временную задержку между поворотом выключателя и включением машины. Это особенно полезно в отраслях с высоким риском, где задержки могут избежать травм.

RC-цепь часто используется в (старых моделях) резаков для бумаги. Это создает временную задержку, так что у человека, использующего машину, есть некоторое время, чтобы убрать руки из опасной зоны после нажатия выключателя.

Постоянная времени RC-цепи — основные выводы

RC-цепь — это цепь, содержащая резисторы и конденсаторы.
Постоянная времени RC-цепи определяется произведением общего сопротивления на общую емкость: \[\tau=RC.\]

Постоянная времени говорит нам, как быстро разряжается конденсатор, если он подключен только к резистору и ни к чему другому, и начинает заряжаться.
Постоянная времени говорит нам, как быстро заряжается конденсатор, если он подключен к резистору и батарее и начинает работу незаряженным.
- Сразу после включения аккумулятора конденсатор ведет себя так, как будто это оголенный провод с нулевым сопротивлением.
- По прошествии длительного времени конденсатор ведет себя так, как будто это резистор с бесконечным сопротивлением.
Если в цепи есть несколько резисторов или несколько конденсаторов, убедитесь, что вы сначала определили эквивалентное общее сопротивление и емкость, а затем умножили эти значения друг на друга, чтобы получить постоянную времени RC-цепи.