Site Loader

1. Последовательный колебательный контур

Последовательный колебательный контур – это цепь, состоящая из катушки индуктивности (L), конденсатора (С) и активного сопротивления (R), соединенных последовательно относительно входных зажимов, к которым можно подключать генератор (рис. 1).

Рис. 1. Последовательный колебательный контур.

Для нахождения тока в цепи составляем уравнение второго закона Кирхгофа для комплексных амплитуд:

где – мнимая единица,

– входное комплексное сопротивление контура;– активная составляющая входного сопротивления;– реактивная составляющая входного сопротивления.

Векторная диаграмма токов и напряжений в последовательном контуре (рис. 2) построена с учетом того, что напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на , а напряжение на емкости отстает от тока на.

Рис. 2. Векторная диаграмма тока и напряжений в последовательном колебательном контуре.

Возможны три случая:

1),

2),

3) ,

На рис. 2 представлена векторная диаграмма для первого случая. Здесь – сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на нем:

Особый интерес представляет случай, когда , при этом. Режим цепи, при котором, несмотря на наличие реактивных элементов, называется резонансом.Для последовательного контура говорят о резонансе напряжений, так как . Векторная диаграмма резонанса представлена на рис. 3.

В контуре с заданными

ирезонанс наступает при определенной частоте:

; .

В настроенном в резонанс контуре ,

,

где  — характеристическое сопротивление контура.

Рис. 3. Векторная диаграмма тока и напряжений в последовательном контуре при резонансе.

Энергетические соотношения в контуре характеризуются величиной его добротности , которая равна отношению энергии, запасенной в реактивном элементе контура, к энергии, расходуемой за период при резонансе, умноженному на:

Так как ,, где– амплитуда тока,

– среднеквадратическое (действующее) значение тока, а для синусоидального тока, то

Обратная величина добротности называется декрементом затухания .

Рассмотрим входное сопротивление ненагруженного последовательного контура:

где – обобщенная растройка контура.

Так как ,, то

Обычно исследуют контура вблизи резонансной частоты , то есть при малых расстройках частоты (при малом уходе от резонансной частоты)

.

Тогда

.

Зависимость модуля от расстройки представленна на рис. 4.

Рис. 4.

Ток в контуре определяется выражением

При резонансе ток достигает максимального значения . Кривая, показывающая отношение, называется резонансной кривой контура (рис. 5).

Рис. 5.

Для сравнения работы последовательных контуров вводится понятие полосы пропускания по уровню 0.7, как интервала частот , для которых отношение. Считается, что эти сигналы не подавляются контуром. Рассмотрим, как связаны добротность контура и полоса пропускания:

или

, отсюда, где– полоса пропускания по уровню 0,707.

Вынужденные колебания в контуре создаются генератором с определенным внутренним сопротивлением (рис. 6). Внутреннее сопротивление генератора ухудшает избирательные свойства контура, т.е. делает резонансную кривую более пологой (рис. 7), т.е. уменьшает добротность контура, т.к..

Откуда

Кривые зависимостей напряжений на индуктивности и емкости от частоты выглядят аналогично, по ним так же можно определить добротность контура.

Резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре

  

   В радиотехнике широкое применение имеют электрические цепи, составленные из катушки индуктивности и конденсатора. Такие цепи в радиотехнике называются колебательными контурами. Источник переменного тока к колебательному контуру может быть присоединен двумя способами: последовательно (рисунок 1а) и параллельно (рисунок 1б).

Рисунок 1. Схемотическое обозначение колебательного контура. а) последовательный колебательный контур; б) параллельный колебательный контур.

   Рассмотрим поведение колебательного контура в цепи переменного тока при

последовательном соединении контура и источника тока (рис 1а).

Мы знаем, что такая цепь оказывает переменному току реактивное сопротивление, равное:

   где RL— активное сопротивление катушки индуктивности в ом;

   ωL,-индуктивное сопротивление катушки индуктивности в ом;

   1/ωC-емкостное сопротивление конденсатора в ом.

   Активное сопротивление катушки RL практически очень мало изменяется при изменении частоты (если пренебречь поверхностным эффектом). Индуктивное и емкостное сопротивления в очень сильной степени зависят от частоты, а именно: индуктивное сопротивление ωL увеличивается прямо пропорционально частоте тока, а емкостное сопротивление 1/ωC уменьшается при повышении частоты тока, т. е. оно связано с частотой тока обратно пропорциональной зависимостью.

   Отсюда непосредственно следует, что реактивное сопротивление последовательного колебательного контура также зависит от частоты, и колебательный контур будет оказывать токам разных частот неодинаковое сопротивление.

   Если мы будем измерять реактивное сопротивление колебательного контура при различных частотах, то обнаружим, что в области низких частот сопротивление последовательного контура очень велико; при увеличении частоты оно уменьшается до некоторого предела, а затем начинает снова возрастать.

   Объясняется это тем, что в области низких частот ток испытывает большое сопротивление со стороны конденсатора, при увеличении же частоты начинает действовать индуктивное сопротивление, компенсирующее действие емкостного сопротивления.

   При некоторой частоте индуктивное сопротивление становится равным емкостному, т. е.

   Они будут взаимно компенсировать друг друга и общее реактивное сопротивление контура станет равным нулю:

   При этом реактивное сопротивление последовательного колебательного контура будет равно только его активному сопротивлению, так как

   При дальнейшем повышении частоты ток будет испытывать все большее и большее сопротивление со стороны индуктивности катушки, при одновременном уменьшении компенсирующего действия емкостного сопротивления. Поэтому реактивное сопротивление контура начнет снова возрастать.

  

   На рисунке 2а приведена кривая, показывающая изменение реактивного сопротивления последовательного колебательного контура при изменении частоты тока.

Рисунок 2. Резонанс напряжений. а) зависимость изменения полного сопротивления от частоты; б) зависимость реактивного сопротивления от активного сопротивления контура; в) кривые резонанаса.

   Частота тока, при которой сопротивление колебательного контура делается наименьшим, называется частотой резонанса или резонансной частотой колебательного контура.

При резонансной частоте имеет место равенство:

пользуясь которым, нетрудно определить частоту резонанса:

                                   (1)                             

   Единицами в этих формулах служат герцы, генри и фарады.

   Из формулы (1) видно, что чем меньше величины емкости и самоиндукции колебательного контура, тем больше будет его резонансная частота.

   Величина активного сопротивления RL не влияет на резонансную частоту, однако от нее зависит характер изменения Z. На рисунке 2б приведен ряд графиков изменения реактивного сопротивления колебательного контура при одних и тех же величинах L и С, но при разных RL. Из этого рисунка видно, что чем больше активное сопротивление последовательного колебательного контура, тем тупее становится кривая изменения реактивного сопротивления.

   Теперь рассмотрим, как будет изменяться сила тока в колебательном контуре, если мы будем изменять частоту тока. При этом мы будем считать, что напряжение, развиваемое источником переменного тока, остается все время одним и тем же.

   Так как источник тока включен последовательно с L и С контура, то сила тока, протекающего через катушку и конденсатор, будет тем больше, чем меньше реактивное сопротивление колебательного контура в целом, так как

   Отсюда непосредственно следует, что при резонансе сила тока в колебательном контуре будет наибольшей. Величина тока при резонансе будет зависеть от напряжения источника переменного тока и от активного сопротивления контура:

   На рисунке 2г изображен ряд графиков изменения силы тока в последовательном колебательном контуре при изменении частоты тока так называемых кривых резонанса. Из этого рисунка видно, что чем больше активное сопротивление контура, тем тупее кривая резонанса.

   При резонансе сила тока может достигать огромных значений при сравнительно малой внешней ЭДС. Поэтому падения напряжения на индуктивном и емкостном сопротивлениях контура, т. е. на катушке и на конденсаторе, могут достигать очень больших величии и далеко превосходить величину внешнего напряжения.

   Последнее утверждение на первый взгляд может показаться несколько странным, однако нужно помнить, что фазы напряжений на емкостном и индуктивном сопротивлениях сдвинуты друг относительно друга на 180°, т. е. мгновенные значения напряжений на катушке и конденсаторе направлены всегда в противоположные стороны. Вследствие этого большие напряжения, существующие при резонансе внутри контура на его катушке и конденсаторе, ничем не обнаруживают себя вне контура, взаимно компенсируя друг друга.

  Разобранный нами случай последовательного резонанса называется резонансом напряжений, так как в этом случае в момент резонанса имеет место резкое увеличение напряжения на L и С колебательного контура.

 

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

Добавить комментарий

Колебательные контуры — RadioRadar

Документация

Главная  Справочник  Документация

«Документация» — техническая информация по применению электронных компонентов, особенностях построения различных радиотехнических и электронных схем, а также документация по особенностям работы с инженерным программным обеспечением и нормативные документы (ГОСТ).


Оглавление

Материал предоставлен журналом Радиолюбитель

Последовательный колебательный контур

Как известно, простейшими резонансными (или колебательными) цепями являются последовательный и параллельный колебательные контуры. Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно включенных катушки индуктивности и конденсатора (рис. 1). При воздействии на такую цепь переменного (в простейшем случае гармонического) напряжения, через катушку и конденсатор будет протекать переменный ток, величина (амплитуда) которого может быть вычислена согласно закону Ома: I = U/|ХΣ| , где |ХΣ| -модуль суммы реактивных сопротивлений последовательно включенных катушки и конденсатора. На рис. 2 приведены зависимости реактивных сопротивлений катушки XL и конденсатора ХC от круговой частоты ω, а также график зависимости от частоты ω их алгебраической суммы ХΣ Последний график, по сути, показывает зависимость от частоты общего реактивного сопротивления цепи, изображенной на рис. 1. Из этого графика видно, что на некоторой частоте ω=ωр , на которой реактивные сопротивления катушки и конденсатора равны по модулю, общее сопротивление цепи обращается в ноль. На этой частоте в цепи наблюдается максимум тока, который ограничен только омическими потерями в катушке индуктивности (т.е. сопротивлением провода обмотки катушки) и внутренним сопротивлением источника тока (генератора). Такую частоту, при которой наблюдается рассмотренное явление, называемое в физике резонансом, называют резонансной частотой или собственной частотой колебаний цепи, а саму цепь, изображенную на рис. 1, принято называть последовательным колебательным контуром. Также из рис. 2 видно, что на частотах ниже частоты резонанса реактивное сопротивление последовательного колебательного контура носит емкостной характер, а на более высоких частотах — индуктивный. Что касается самой резонансной частоты, то она может оыть вычислена при помощи известной формулы Томсона: ωр = 1/√(LC).

Рис. 1
Последовательный колебательный контур


Рис. 2
Зависимости реактивных сопротивлений катушки XL и конденсатора ХC от круговой частоты ω

На рис.3 изображена эквивалентная схема последовательного резонансного контура с учетом омических потерь r, подключенного к идеальному генератору гармонического напряжения с амплитудой U. Модуль полного сопротивления (импеданса) такой цепи определяется следующим образом: |z| = √(r2+|XΣ|2), где |XΣ| = ωL-1/ωC. Очевидно, что на резонансной частоте, когда величины реактивных сопротивлений катушки XL = jωL и конденсатора ХC= -j/ωС равны по модулю, величина |XΣ| обращается в нуль (следовательно, сопротивление цепи чисто активное), а ток в цепи определятся отношением амплитуды напряжения генератора к сопротивлению омических потерь: I= U/r. При этом на катушке и на конденсаторе, в которых запасена реактивная электрическая энергия, падает одинаковое напряжение UL=UC=I|XL|=I|XC|. На любой другой частоте, отличной от резонансной, напряжения на катушке и конденсаторе неодинаковы — они определяются амплитудой тока в цепи и величинами модулей реактивных сопротивлений |XL| и |XC| .Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре принято называть резонансом напряжений. С учетом приведенной записи для импеданса цепи можно привести часто встречающееся определение резонансной частоты: резонансной частотой контура называют такую частоту, на которой сопротивление контура имеет чисто активный (резистивный) характер.

Рис. 3
Эквивалентная схема последовательного резонансного контура

Одними из наиболее важных параметров колебательного контура (кроме, разумеется, резонансной частоты) являются его характеристическое сопротивление ρ и добротность Q. Характеристическим сопротивлением контура ρ называется величина модуля реактивного сопротивления емкости и индуктивности контура на резонансной частоте: ρ = |ХL| =|ХC| при ω =ωр . В общем случае характеристическое сопротивление может быть вычислено следующим образом: ρ = √(LC). Характеристическое сопротивление ρ является количественной мерой оценки энергии, запасенной реактивными элементами контура — катушкой (энергия магнитного поля) WL= (LI2)/2 и конденсатором (энергия электрического поля) WC=(CU2)/2. Отношение энергии, запасенной реактивными элементами контура, к энергии омических (резистивных) потерь за период принято называть добротностью Q контура, что в буквальном переводе с английского языка обозначает «качество». Величину, обратную добротности d=1/Q называют затуханием контура. Для определения добротности обычно пользуются формулой Q=ρ/r, где r-сопротивление омических потерь контура, характеризующее мощность резистивных (активных потерь) контура Р=I2r. Добротность реальных колебательных контуров, выполненных на дискретных катушках индуктивности и конденсаторах, составляет от нескольких единиц до сотни и более. Добротность различных колебательных систем, построенных на принципе пьезоэлектрических и других эффектов (например, кварцевые резонаторы) может достигать нескольких тысяч и более.

Рис.4 а

Рис.4 б


Рис. 5 а Рис. 5 б

Частотные свойства различных цепей в технике принято оценивать с помощью амплитудно-частотных характеристик (АЧХ). На рис. 4а и рис. 4б представлены два простейших четырехполюсника, содержащих последовательный колебательный контур. АЧХ этих цепей приведены (показаны сплошными линями) на рис. 5а и рис. 5б соответственно. По вертикальной оси отложена величина коэффициента передачи цепи по напряжению К, показывающая отношение выходного напряжения цепи к входному. Для пассивных цепей (не т.е. содержащих усилительных элементов и источников энергии), величина К никогда не превышает единицу. Очевидно, что сопротивление цепи на рис. 4а переменному току будет минимально при частоте воздействия, равной резонансной частоте контура. В этом случае коэффициент передачи цепи близок к единице (определяется омическими потерями в контуре). На частотах, сильно отличающихся от резонансной, сопротивление контура переменному току достаточно велико, а следовательно, и коэффициент передачи цепи будет падать практически до нуля. При резонансе в цепи, изображенной на рис. 4б, источник входного сигнала оказывается фактически замкнутым накоротко малым сопротивлением контура, благодаря чему коэффициент передачи такой цепи на резонансной частоте падает практически до нуля (опять-таки в силу наличия конечного сопротивления потерь). Наоборот, при частотах входного воздействия, значительно отстоящих от резонансной, коэффициент передачи цепи оказывается близким к единице. Свойство колебательного контура в значительной степени изменять коэффициент передачи на частотах, близких к резонансной, широко используется на практике, когда требуется выделить сигнал с конкретной частотой из множества ненужных сигналов, расположенных на других частотах. Так, в любом радиоприемнике при помощи колебательных цепей обеспечивается настройка на частоту нужной радиостанции. Свойство колебательного контура выделять из множества частот одну принято называть селективностью или избирательностью. При этом интенсивность изменения коэффициента передачи цепи при отстройке частоты воздействия от резонанса принято оценивать при помощи параметра, называемого полосой пропускания. Чаще всего за полосу пропускания принимается диапазон частот, в пределах которого уменьшение (или увеличение — в зависимости от вида цепи) коэффициента передачи относительного его значения на резонансной частоте, не превышает величины 0,707 (3дБ).

Пунктирными линиями на рис. 5а и рис. 5б показаны АЧХ точно таких же цепей, как на рис. 4а и рис. 4б соответственно, колебательные контуры которых имеют такие же резонансные частоты, как и для случая рассмотренного выше, но обладающие меньшей добротностью (например, катушка индуктивности намотана проводом, обладающим большим сопротивлением постоянному току). Как видно из рис. 5а и рис. 5б, при этом расширяется полоса пропускания цепи и ухудшаются ее селективные (избирательные) свойства. Исходя из этого, при расчете и конструировании колебательных контуров нужно стремиться к повышению их добротности. Однако, в ряде случаев, добротность контура, наоборот, приходится занижать (например, включая последовательно с катушкой индуктивности резистор небольшой величины сопротивления), что позволяет избежать искажений широкополосных сигналов. Хотя, если на практике требуется выделить достаточно широкополосный сигнал, селективные цепи, как правило, строятся не на одиночных колебательных контурах, а на более сложных связанных (многоконтурных) колебательных системах, в т.ч. многозвенных фильтрах.

Параллельный колебательный контур

В различных радиотехнических устройствах наряду с последовательными колебательными контурами часто (даже чаще, чем последовательные) применяют параллельные колебательные контуры На рис. 6 приведена принципиальная схема параллельного колебательного контура Здесь параллельно включены два реактивных элемента с разным характером реактивности Как известно, при параллельном включении элементов складывать их сопротивления нельзя — можно лишь складывать проводимости На рис. 7 приведены графические зависимости реактивных проводимостей катушки индуктивности BL = j/ωL, конденсатора ВC = -jωC, а также суммарной проводимости ВΣ, этих двух элементов, являющаяся реактивной проводимостью параллельного колебательного контура. Аналогично, как и для последовательного колебательного контура, имеется некоторая частота, называемая резонансной, на которой реактивные сопротивления (а значит и проводимости) катушки и конденсатора одинаковы. На этой частоте суммарная проводимость параллельного колебательного контура без потерь обращается в нуль. Это значит, что на этой частоте колебательный контур обладает бесконечно большим сопротивлением переменному току. Действительно, если построить зависимость реактивного сопротивления контура от частоты XΣ=1/BΣ, эта кривая (рис. 8) в точке ω = ωр будет иметь разрыв второго рода. Сопротивление реального параллельного колебательного контура (т.е с потерями), разумеется, не равно бесконечности — оно тем меньше, чем больше омическое сопротивление потерь в контуре, т.е уменьшается прямо пропорционально уменьшению добротности контура. В целом, физический смысл понятий добротности, характеристического сопротивления и резонансной частоты колебательного контура, а также их расчетные формулы, справедливы как для последовательного, так и для параллельного колебательного контура.

Рис. 6
Параллельный колебательный контур

Рис. 7
Зависимости реактивных поводимостей катушки и конденсатора и суммарная проводимость этих двух элементов

Рис. 8
Зависимость реактивного сопротивления контура от частоты

Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонических колебаний и параллельного колебательного контура. В случае, когда частота колебаний генератора совпадает с резонансной частотой контура его индуктивная и емкостная ветви оказывают равное сопротивление переменному току, в следствие чего токи в ветвях контура будут одинаковыми. В этом случае говорят, что в цепи имеет место резонанс токов. Как и в случае последовательного колебательного контура, реактивности катушки и конденсатора компенсируют друг друга, и сопротивление контура протекающему через него току становится чисто активным (резистивным). Величина этого сопротивления, часто называемого в технике эквивалентным, определяется произведением добротности контура на его характеристическое сопротивление Rэкв=Q·ρ. На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура уменьшается и приобретает реактивный характер (рис. 8) на более низких частотах — индуктивный (поскольку реактивное сопротивление индуктивности падает при уменьшении частоты), а на более высоких — наоборот, емкостной (т к реактивное сопротивление емкости падает с ростом частоты). В процессе работы контура, дважды за период колебаний, происходит энергетический обмен между катушкой и конденсатором (рис. 9). Энергия поочередно накапливается то в виде энеогии электрического поля заряженного конденсатора, то в виде энергии магнитного поля катушки индуктивности. При этом в контуре протекает собственный контурный ток Iк, превосходящий по величине ток во внешней цепи I в Q раз. В случае идеального контура (без потерь), добротность которого теоретически бесконечна, величина контурного тока также будет бесконечно большой.

Рис. 9
Процесс работы контура

Рис. 10 а Рис. 10 б

Рассмотрим, как изменяются коэффициенты передачи четырехполюсников, аналогичных приведенным на рис. 4а и рис. 4б, от частоты, при включении в них не последовательных колебательных контуров, а параллельных. Четырехполюсник, изображенный на рис. 10а, на резонансной частоте контура представляет собой огромное сопротивление току, поэтому при ω=ωр его коэффициент передачи будет близок к нулю (с учетом омических потерь). На частотах, отличных от резонансной, сопротивление контура будет уменьшатся, а коэффициент передачи четырехполюсника — возрастать. Этот случай соответствует графику АЧХ, приведенному на рассмотренном ранее рис. 5б. Для четырехполюсника, приведенного на рис. 10б, ситуация будет противоположной — на резонансной частоте контур будет представлять собой очень большое сопротивление и практически все входное напряжение поступит на выходные клеммы (т.е коэффициент передачи будет максимален и близок к единице). При значительном отличии частоты входного воздействия от резонансной частоты контура, источник сигнала, подключаемый к входным клеммам четырехполюсника, окажется практически закороченном накоротко, а коэффициент передачи будет близок к нулю. АЧХ такого четырехполюсника соответствует изображенной на рис. 5а.

В заключении настоящего экскурса отметим тот факт, что достаточно часто в реальной радиоэлектронной аппаратуре приходится сталкиваться с необходимостью перестройки колебательных контуров — например, в приемнике, для обеспечения возможности приема радиостанций, работающих на разных частотах В этом случае емкостные элементы контуров выполняются в виде конденсаторов переменной емкости, либо специальных диодов — варикапов, обладающих большой барьерной емкостью, зависящей от приложенного к ней запирающего напряжения В ряде случаев применяют и перестраиваемый катушки индуктивности — вариометры.

Дата публикации: 09.09.2003

Оглавление

Мнения читателей
  • Павел / 12.01.2017 — 09:20
    Спасибо!
  • Поиск / 14.01.2016 — 21:21
    подскажите как вычислить частоту контура, если включить катушку параллельно последовательному контуру?
  • Кирилл / 18.02.2014 — 22:22
    Мужики дайте схему подключения аудиомодуляции к первичке тесла? Хочу переделать Ионофон под поющий транс тесла. Или подскажите где такие схемы найти если они есть? Пожалуйста и заранее спасибо!
  • николай / 21.10.2013 — 07:32
    подскажите как вычислить частоту контура, если включить конденсатор параллельно последовательному контуру
  • sad / 10.07.2013 — 13:22
    Ыыыы!!!
  • Денис / 20.06.2013 — 09:43
    Как изменится период колебаний контура, если пластины конденсатора, включенного в контур сблизить между собой: а) уменьшится ; б) увеличится Дать математически обоснованный ответ. Помогите я в физике дуб дубом.. 🙁 Зарание спасибо
  • витя / 19.04.2013 — 11:51
    спасибо за информацию
  • Влад… / 23.11.2012 — 17:41
    Спасибо, очень доходчиво написано.
  • ааааааа / 04.10.2012 — 10:24
    ааааааа
  • Света / 18.09.2012 — 15:06
    колебательній контур состоит из конденсатора емкостью 2 Пф и катушки с индуктивностью 0,50 мкГн,какова частота колебаний в контуре
  • серегей / 15.09.2012 — 11:51
    помогите пожалуста .как отличается зависимость полного сопротивления от частоты для последовательного и параллельного контуров?
  • Срез умоляю помогите / 05.06.2012 — 05:57
    колебательный контур излучает в воздухе электромагнитные войны длиной 150м. Какая емкость включена в контур, если его индуктивноть равна 0,25 мГн? Активным сопротивлением пренебречь
  • Денис / 13.05.2012 — 19:09
    ребят, подскажите плиз) эт вопрос на билет к экзамену( не могу нигде найти( Реальный колебательный контур.Свободные колебание в контуре с потерями. Характеристики оценивающие реальный колебательный контур.
  • Денис / 13.05.2012 — 19:00
    ребят, подскажите плиз) эт вопрос на билет к экзамену( не могу нигде найти( Реальный колебательный контур.Свободные колебание в контуре с потерями. Характеристики оценивающие реальный колебательный контур.
  • Ann / 11.05.2012 — 15:31
    как изменится форма резонансной кривой,если в колебательный контур включить резистор?
  • Ann / 11.05.2012 — 15:29
    как изменится форма резонансной кривой,если в колебательный контур включить резистор?
  • василий / 16.04.2012 — 10:11
    обьясните пожалуста как рабтает колебательный контур ?
  • Сергей,Ужгород / 10.02.2012 — 13:33
    Спасибо автору. Простое и понятное объяснение без заумной теории и формул. Кому надо более глубокий анализ — изучайте курс ЛРТУ (линейные радиотехнические устройства). А всякие придирки типа «Скажите, где вы видите контур на рис.1. Лично я вижу там двухполюсник» — чепуха, игра слов. Все изожено просто и понятно.
  • Саша / 19.12.2011 — 09:35
    Ну что,могу сказать только одно,отличный сайт!Очень познавательный,вот только если б кто подкрепил теорию вечного двигателя основанного на резонансе,практикой,и выложил бы материалы на сайт,я думаю было бы ещё интересней.должен же кто нибудь когда нибудь до этого дойти.Я поддерживаю идею этого,по сути простейшего,вечного двигателя.И Теслу уважаю,он был прав на счет всего о чем сейчас ведутся разговоры.Его ещё вспомнят!Я считаю,что от наших разговоров о резонансе и получении на выходе мощности больше чем на входе,закон сохранения энергии уже канул в лето,вопреки всему,свободная энергия существует!!!:)как сказал один … :»и всё таки она вертится!»,только в нашем случае:»и всё таки она существует!!!»
  • Алекс / 16.09.2011 — 12:16
    Здравствуйте. Характеристическое сопротивление равно корень квадратный из отношения L/С (а не произведения LC)
1 2345  Вперед

Вы можете оставить свой комментарий, мнение или вопрос по приведенному вышематериалу:


2.2.4 Последовательный колебательный контур

В последовательной цепи, состоящей из элементов, возникает явление, называющееся резонансом напряжений, когда напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности равны по модулю и в десятки–сотни раз превосходят входное напряжение. Условием резонанса напряжений является отсутствие сдвига фаз между током и напряжением источника сигнала, т.е.– резонансная частота колебательного контура. Представим последовательный колебательный контур в виде четырехполюсника (рис.17), где выходное напряжение снимается с конденсатора. Определим комплексный коэффициент передачи этой цепи.

.

Рисунок 17 Схема последовательного колебательного контура

Отсюда видно, что комплексный коэффициент передачи этой цепи зависит от частоты . Найдем модуль коэффициента передачи последовательного колебательного контура:

.

Проведём анализ полученной формулы:

  • при ;

  • при ;

  • при .

При и реактивное сопротивление конденсатора стремится к бесконечности и нулю, а сопротивление катушки к нулю и бесконечности, соответственно. В схемах это эквивалентно разрыву цепи и короткому замыканию, соответственно.Проводя последующие рассуждения, можем изобразить эквивалентные схемы последовательного колебательного контура:

Рис. 18 Эквивалентная схема последовательного колебательного контура при .

Рис. 19 Эквивалентная схема последовательного колебательного контура при .

Рисунок 20 – Амплитудно-частотная характеристика последовательного колебательного контура

Рисунок 21 – Фазочастотная характеристика последовательного колебательного контура

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика последовательного колебательного контура имеет вид резонансной кривой, изображённой на рис. 20.

Из выражения для комплексного коэффициента передачи получим зависимость фазы от частоты . Откуда следует, что фазочастотная характеристика контура имеет вид, представленный на рисунок 21.

2.2.5 Параллельный колебательный контур

Параллельный колебательный контур представляет собой электрическую схему, где конденсатор и катушка включены параллельно, а к ним подводится напряжение от генератора. Эта схема интересна тем, что на некоторой частоте, называемой резонансной, в контуре возникает резонанс токов, т.е. в подводящих к контуру проводах ток практически равен нулю, в то время как через конденсатор и катушку циркулируют огромные токи. На резонансной частоте сопротивление параллельного колебательного контура велико, что используется для получения большого коэффициента усиления по напряжению в резонансных усилителях, где в качестве нагрузки включается параллельный колебательный контур. На практике катушка индуктивности и подводящие провода обладают омическим сопротивлением . Поэтому схему параллельного колебательного контура в виде четырехполюсника с учетом активного сопротивления можно представить следующим способом (рисунок 22):

Рисунок 22. Схема параллельного колебательного контура в виде 4-х полюсника

Определим комплексный коэффициент передачи этой цепи: . Обозначим сопротивление параллельно соединенных катушки индуктивности и конденсатора, как. Тогдаили с учетом того, чтополучим. Модуль коэффициента передачи этой цепи имеет вид:или. Проведём анализ полученной формулы:

  • при ;

  • при ;

  • при .

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика имеет вид резонансной кривой, изображённой на рис. 23.

Из формулы (4) получим зависимость фазы от частоты. . Проведём анализ полученной формулы

Фазочастотная характеристика параллельного колебательного контура имеет вид, представленный на рисунок 24.

Рисунок 23 – Амплитудно-частотная характеристика параллельного колебательного контура

Рисунок 24 – Фазочастотная характеристика параллельного колебательного контура

11. Передаточные ачх и фчх последовательного колебательного контура, его избирательные свойства. Полоса пропускания. Прохождение через колебательный контур сигналов негармонической формы

Обычно спектр частот радиосигнала составляет 2-3% от несущей частоты, поэтому можно приблизительно считать

— передаточная АЧХ последовательного контура в абсолютных координатах

Вывод:на резонансной частоте коэффициент передачи последовательного контура максимальный:.

ФЧХ:

На выходе стоит конденсатор, поэтому напряжение выхода отстаёт от тока на 90°. Угол практически равен углу выходного напряжения, поэтому характеристикусдвигаем на 90° вниз:

Передаточная ФЧХ имеет линейный участок при расстройках от до.

Прохождение через колебательный контур сигналов негармонической формы. Избирательные свойства последовательного контура

Избирательность— способность цепи различать сигналы по частоте. Подадим на последовательный контур сигнал, который состоит из 5 гармоник одинаковой амплитуды.

На выходе амплитуда сигнала не резонансной частоте будет максимальной, т. к. , и на этой частоте самый большой коэффициент передачи.

Вывод:последовательный контур обладает избирательностью по напряжению. Он выделяет сигнал резонансной частоты.

Полоса пропускания контура— область частот, на границах которой модуль комплексного коэффициента передач уменьшается враз по сравнению с резонансным.

На уровне полосы пропускания коэффициент обозначается :

Нарисуем передаточную характеристику :

Вывод:чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.

1)

2)

Кривые тока и напряжения такого вида называются резонансными.

Примечание:

При малых расстройках напряжение на катушке и конденсаторе можно рассчитать по формуле:

12. Принципиальная схема параллельного колебательного контура. Резонанс токов в параллельном колебательном контуре, условие резонанса. Свойства электрической цепи при резонансе токов. Резонансная частота, добротность

Контур называется параллельным, если катушка, конденсатор и источник соединены параллельно.

В параллельном контуре может возникнуть резонанс токов, когда напряжение и ток на входе совпадают по фазе:.

— условие резонанса токов

Проводимость индуктивная равна проводимости емкостной.

При резонансе токов сопротивление параллельного контура максимально.

Свойства цепи при резонансе токов:

  1. Ток в момент резонанса:

При резонансе токов общий ток минимальный.

  1. На практике ,

При резонансе токов токи ветвей приблизительно равны.

  1. Построим векторную диаграмму для резонанса токов:

Если бы (контур идеальный), то токи, и общий ток был бы равен 0, но т. к. есть небольшое, то существует активная составляющая тока (маленькая) и общий ток равен этой активной составляющей.

  1. Выведем формулу резонансной частоты. Для этого

Вывод:резонанс токов наступает тогда, когда частота питающего напряжения равна частоте собственных колебаний контура.

Получить резонанс токовможно, изменяяLилиC, или частоту питающего напряжения.

  1. Энергетический процесс при резонансе токов такой же, как и при резонансе напряжений:

Рассчитаем токи в момент резонанса:

Вывод:добротность в параллельном контуре показывает, во сколько раз токи ветвей больше общего тока в момент резонанса, поэтому это явление и называется резонанс тока.

«Исследование последовательного резонансного контура»

Цель:изучить основные свойства, временные и частотные характеристики последовательного колебательного контура, суть понятия резонанса напряжений и условия его возникновения.

Краткие теоретические сведения

Контур состоит из последовательно соединенных элементов R,L, С. Схема последовательного резонансного контура представлена на рис. 20.

Рис. 20 – Схема последовательного резонансного контура

Комплексная функция входного сопротивления

Zвх = R + jωL + 1/С = R + jL – 1/(ωC)].

(15)

При изменении частоты от 0 до ∞ реактивная составляющая сопротивления контура изменяется от –∞ до +∞. На частоте ωореактивное сопротивление контура равно нулю:

Частота

называется резонансной частотой.На этой частоте индуктивное сопротивление контура компенсирует емкостное сопротивление, поэтому полное комплексное сопротивление (15) становится равным активной составляющейR. Реактивное сопротивление контура

X вх = ωL – 1/(ωC) = ρ (ω/ωo – ωo/ω),где

ρ = √ LC = ωoL= 1/( ωoC).

(17)

Величина ρ называется характеристическим сопротивлением контура, которое равно реактивному сопротивлению индуктивности или емкости контура на резонансной частоте.

Подставив (17) в (15) получим

Zвх = R (1 + ), где ξ =Q(ω/ωo – ωo/ω),

Q = ρ / R = ωоL / R = 1/( ωоRC).

(18)

Величина ξ называется обобщенной расстройкой, а величинаQ–добротностьюрезонансного контура, равной отношению характеристического сопротивления контура к активному сопротивлению.

На резонансной частоте полное сопротивление контура равно активному, а реактивное – нулю. Это объясняется тем, что на резонансной частоте напряжения на LиCравны по значению и противоположны по фазе, поэтому взаимно компенсируются. Наибольший ток в контуре наблюдается на резонансной частоте.

Комплексная передаточная функция напряжения

Кu () = ŮC / Ů1 = [1/(jωC)]/Zвх = –j Q ωо /[ω(1 + )].

(19)

Соответственно, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики запишутся следующим образом:

Кu (ω) = Q ωо /ω √(1 + ξ2),

φ(ω) = — π/2 – arctg ξ .

(20)

В радиотехнических устройствах обычно используют контуры с большой добротностью Q >> 1. В таких контурах частотная характеристика представляет интерес только при небольших расстройках ∆ω = ω – ωо, т.е. когда ∆ω / ω << 1, а ωо≈ ω.При этих предположениях обобщенную расстройку и амплитудно-частотную характеристику можно представить как

ξ ≈ Q (2∆ω / ωо),

Кu (ω) = Q / √(1 + (Q 2∆ω / ωо )2.

(21)

На резонансной частоте ω = ωо максимум амплитудно-частотной характеристики равен добротности контура (амплитуда напряжения на конденсаторе вQраз больше амплитуды входного напряжения). Поэтому резонанс в последовательном контуре называют такжерезонансом напряжений.Полоса пропускания контураопределяется частотамиω1 иω2 между которыми

Из (21) можно определить полосу пропускания, которая равна

Полоса пропускания контура прямо пропорциональна резонансной частоте и обратно пропорциональна добротности.

Годограф комплексной передаточной функции контура представлен на рис. 21. Так как выходной ток совпадает со входным, передаточная функция тока последовательного резонансного контура Ki = 1.

Рис. 21 – Годограф комплексной передаточной функции контура

Задание. Собрать схему, представленную на рис. 20. Изменяя значения R, С и L, снять амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики последовательного контура. Изучить влияние параметров контура на его характеристики – резонансную частоту, добротность, полосу частот.

Порядок выполнения (1 способ).

1) Подготовка схемы измерения. Выставить значения сопротивления, индуктивности и емкости, указанные на рис. 20. В меню Analysis выбрать режим AC Frecuensy режим анализа амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик. В появившемся окне установить указанные параметры моделирования (рис. 22).

В данном примере частота входного сигнала будет меняться от 1 Гц до 20 кГц. Амплитуда сигнала в точке 3 схемы (Nodes for analysis) и сдвиг фаз сигналов будут откладываться по вертикальной и горизонтальной осям в линейном масштабе (Linear).

2) Измерения. Нажать кнопку Simulate (рис. 22). На экране появится окно, в котором будут представлены амплитудно-частотная (верхняя) и фазо-частотная (нижняя) характеристики для заданных параметров последовательного колебательного контура (рис. 23). С помощью визирных линий (методика подробно описана в работе № 4) оценить резонансную частоту. Для более точных измерений вновь в меню Analysis выбрать режим AC Frecuensy. В появившемся окне (рис. 22) установить FSTART=4 кГц, FSTOP=6 кГц. Нажать кнопку Simulate. В появившемся окне (рис. 24) будут представлены характеристики контура в виде, более удобном для измерений.

Используя описанную методику, измерить и занести в таблицу 12 параметры амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик последовательного контура для следующих значений элементов:

Рис. 22 – Настройка параметров измерений

Рис. 23 – Характеристики последовательного колебательного контура

А). R=0,1 Ом, С=1 мкФ и L=1, 2 …..10 мГн;

Б). R=0,1 Ом, L= 1 мГн и С=1, 2……10 мкФ;

В).L= 1 мГн, С=1 мкФ и R =1, 2 …….10 Ом.

Табл.12

f1,Гц

f2,Гц

fn,Гц

ωo

Q

R=…..

L=…..

C=…..

Кu

φ,град

Рис. 24 – Измерение параметров последовательного колебательного контура

Порядок выполнения (2 способ).

1) Подготовка схемы измерения. Собрать схему и выставить значения сопротивления, индуктивности и емкости, указанные на рис. 25.

Дважды щелкнуть левой клавишей мыши по изображению плоттера. На экране появится изображение передней панели плоттера (рис. 26). На передней панели выбрать линейный масштаб по вертикальной и горизонтальной оси (Lin) и измеряемую величину – коэффициент передачи по напряжению (Magnitude). В левом окне выбираются минимальное (I) и максимальное (F) значения коэффициента передачи, в правом – минимальную (I) и максимальную (F) частоты исследуемого диапазона. Это наиболее трудная задача. Предварительно целесообразно оценить резонансную частоту и добротность контура по приведенным выше формулам. В приведенном примере (рис. 26) пределы измерения коэффициента передачи 0-50, диапазон частот – 4-6 кГц.

2) Измерения. После установки указанных параметров нажать кнопку

.

Рис. 25 – Схема измерения с помощью плоттера (измерителя АЧХ и ФЧХ)

Рис. 26 – Передняя панель плоттера (измерение АЧХ)

На экране плоттера появится изображение амплитудно-частотной характеристики. Передвигая визирную линию (удерживая нажатой левую кнопку мыши) или с помощью кнопок

,

измерить параметры характеристики (значение коэффициента передачи и соответствующей ему частоты можно прочитать в нижнем окне на передней панели плоттера).

Для измерения параметров фазо-частотной характеристики контура необходимо нажать кнопку Phase (рис. 27).

Рис. 27 –Передняя панель плоттера (измерение ФЧХ)

Используя описанную методику, измерить и занести в таблицу 12 параметры амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик последовательного контура для следующих значений элементов:

А). R=0,1 Ом, С=1 мкФ и L=1, 2 …..10 мГн;

Б). R=0,1 Ом, L= 1 мГн и С=1, 2……10 мкФ;

В).L= 1 мГн, С=1 мкФ и R =1, 2 …….10 Ом.

По результатам измерений построить амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики, а также годографы комплексной передаточной функции последовательного резонансного контура.

Построить зависимости характеристик контура – резонансной частоты, добротности, полосы частот – от значений R, L и C.

Контрольные вопросы:

  1. Как определяется ток и напряжения в цепи синусоидального тока с последовательным соединением резистора, индуктивности и ёмкости? Запишите закон Ома в комплексной форме.

  2. Что такое треугольник сопротивлений? Как его построить?

  3. Какую цепь называют последовательным колебательным контуром?

  4. При каком условии в последовательном колебательном контуре наступает резонанс? Почему резонанс в такой цепи называют резонансом напряжений?

  5. Как определяется резонансная частота?

  6. Что называют характеристическим сопротивлением контура и добротностью контура?

  7. Изменением каких величин в последовательном колебательном контуре можно достичь резонанса?

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7

Модуль 3.2. Последовательный колебательный контур

Цель модуля: изучение амплитудно частотных и фазо частотных характери стик последовательного колебательного контура.

Cхемы замещения и параметры элементов контура

Последовательный колебательный контур представляет собой электрическую цепь, содержащую индуктивную катушку и конденсатор, включенные последова тельно с источником энергии (рис. 3.20, а). Для анализа процессов, протекающих в контуре, необходимо перейти от его принципиальной схемы к схеме замещения пу тем замены каждого реального элемента его схемой замещения.

Воспользуемся простейшими последовательной и параллельной схемами за мещения индуктивной катушки (рис. 3.21, а, б) и конденсора (рис. 3.22, а, б), содер жащими наряду с индуктивностью Lпосл, Lпар или емкостью Спосл, Спар сопротивления RL посл и RC посл или RL пар и RC пар, учитывающие все виды потерь в индуктивной ка тушке и конденсаторе. Соотношения между параметрами элементов таких схем при ведены в табл. 2.1.

Рассмотрим векторные диаграммы, иллюстрирующие фазовые соотношения между токами и напряжениями последовательных RL и RС цепей, моделирующих индуктивную катушку и конденсатор (рис. 2.18, г, д; 2.19, г, д). Из диаграмм видно, что наличие потерь приводит к тому, сдвиг фаз между током и напряжением на за жимах индуктивной катушки и конденсатора оказывается меньшим, чем π/2. Оче видно, что чем ближе к π/2 будет сдвиг фаз |φ| между током и напряжением, тем ближе будут свойства этих реальных элементов к свойствам индуктивности и емко сти. Количественно степень приближения свойств реальных элементов к свойствам идеализированных элементов оценивается их добротностью, которая определяется как модуль тангенса сдвига фаз между током и напряжением на зажимах соответст вующего элемента:

|tg | tg| | .

Из рис. 2.18, г и 2.19, г видно, что добротность индуктивной катушки

Рис. 3.21. Последовательная (а) и параллельная (б) схемы замещения индуктивной катушки

Рис. 3.22. Последовательная (а) и параллельная (б) схемы замещения конденсатора

 

 

 

 

 

 

посл

,

 

3.17

а добротность конденсатора

| |

посл

 

посл

 

 

 

1

 

.

3.18

 

посл

 

 

 

посл посл

Обычно в колебательных контурах радиотехнических устройств стремятся ис пользовать элементы с высокой добротностью, причем добротность индуктивных катушек лежит в пределах от нескольких десятков до нескольких сотен, а доброт ность конденсаторов — от нескольких сотен до нескольких тысяч. Таким образом, между параметрами рассматриваемых элементов последовательных схем замеще ния выполняются соотношения

 

посл

1 ;

посл посл

1 .

3.19

 

посл

Экспериментально установлено, что величины Lпосл

и

посл в достаточно ши

роком диапазоне частот можно приближенно считать не зависящими от частоты.

В соответствии с формулами, приведенными в табл. 2.1, параметры элементов параллельной схемы замещения индуктивной катушки могут быть выражены через параметры элементов последовательной схемы замещения:

пар

посл 1

посл

;

пар

посл 1

посл

.

посл

посл

С учетом соотношений (3.19) эти выражения можно упростить:

пар посл ; пар . 3.20

посл

Таким образом, у индуктивных катушек с высокой добротностью индуктивно­ сти параллельной и последовательной схем замещения приблизительно одинаковы и могут считаться не зависящими от частоты; а сопротивление в параллельной схе­

245

ме замещения обратно пропорционально сопротивлению последовательной схемы замещения и сильно зависит от частоты.

Аналогичным образом находим соотношения между параметрами элементов параллельной и последовательной схем замещения конденсатора:

пар

1

посл

 

 

посл

;

 

 

3.21

посл

посл

1

1

 

пар

посл 1

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

посл

посл

 

 

посл

можно приближен

Экспериментально установлено, что параметры

 

пар и Спар

но считать не зависящими от частоты.

Из соотношений (3.21) следует, что у конденсаторов с высокой добротностью емкости в последовательной и параллельной схемах замещения приблизительно оди­

наковы и могут считаться не зависящими от частоты. Сопротивление

посл обрат

но пропорционально сопротивлению пар :

1

 

3.22

посл

пар

и существенным образом зависит от частоты.

Между параметрами сопротивлений потерь индуктивной катушки RL и конден сатора RC, как правило, выполняются соотношения

посл

посл ;

пар

пар .

3.23

Для анализа процессов в последовательном колебательном конуре удобно воспользоваться последовательными схемами замещения индуктивной катушки конденсатора и источника энергии. Представляя каждый из этих элементов его по следовательной схемой замещения, получим схему замещения последовательного колебательного контура (рис. 3.23, а). Эту схему можно упростить, если пренебречь внутренним сопротивлением источника (далее будет рассмотрено влияние внут реннего сопротивления источника на характеристики контура) и заменить сопро тивления потерь конденсатора RC посл и индуктивной катушки RL посл сопротивлени ем потерь контура

посл

посл

посл ,

3.24

которое можно считать практически не зависящим от частоты (рис. 3.23, б).

Таким образом, с учетом принятых допущений исследование процессов в по следовательном колебательном контуре сводится к исследованию последователь ной RLC цenu, к зажимам которой подключен идеальный источник напряжения. Ток, отдаваемый этим источником, назовем током контура; напряжение, создаваемое источником на зажимах 1 —1’,— напряжением контура. Под входным сопротивле нием контура будем понимать входное сопротивление последовательной RLC цепи относительно зажимов 1 — 1′, определяемое выражением (2.96).

Резонансная частота, характеристическое сопротивление и доброт ность контура

В соответствии с определением резонансной частоты мнимая составляющая входного сопротивления последовательного колебательного контура

должна быть равна нулю, когда угловая частота внешнего воздействия ω равна ре­ зонансной частоте контура ω0. Полагая в выражении (3.25) ω= ω0, получаем уравне ние для нахождения резонансно частоты последовательного колебательного конту ра:

откуда

1

;

1

 

 

.

3.27

 

2

 

2 √

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.23. Схемы замещения последовательного колебательного контура

247

На резонансной частоте полное сопротивление емкости

1

| | | 3.28

равно полному сопротивлению индуктивности

Величину ρ, равную полному сопротивлению емкости или индуктивности кон тура на резонансной частоте, называют характеристическим сопротивлением контура. Подставляя в (3.28) и (3.29) выражение для резонансной частоты контура, убеждаемся, что значение ρ не зависит от частоты и определяется только парамет рами реактивных элементов контура:

 

1

 

 

 

.

3.30

 

 

 

 

На резонансной частоте входное сопротивление контура имеет чисто рези

стивный характер и равно сопротивлению потерь контура |

=

Амплитуда тока контура на резонансной частоте

 

R.

 

 

 

 

,

 

 

3.31

 

 

 

где Um — амплитуда напряжения на контуре. Амплитуды напряжений на реактив ных элементах контура на резонансной частоте определяются произведением ха рактеристического сопротивления на амплитудное значение тока:

|| .

Отношение амплитуды напряжения на реактивном элементе контура к ампли туде напряжения на контуре на резонансной частоте называется добротностью

контура:

Используя выражение (3.30), добротность колебательного контура Q можно выразить через параметры его элементов:

1

. 3.33

Как правило, добротность колебательных контуров радиотехнической аппара туры лежит в пределах от нескольких десятков до нескольких сотен, поэтому в ре жиме резонанса напряжение на реактивных элементах контура может во много раз превышать приложенное к контуру напряжение. Как следует из выражения (3.32), при неизменной резонансной частоте ω0 добротность контура растет с увеличением

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *