Бесконечно малый элемент — поверхность

Бесконечно малый элемент — поверхность

Cтраница 1

Бесконечно малый элемент поверхности характеризуется вектором dS, модуль которого равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к поверхности, принятой за положительную.  [1]

Выделим на поверхности проводника бесконечно малый элемент поверхности dS ( рис. 21) и обозначим поверхностную плотность заряда на нем через о. В данном случае нужно рассматривать бесконечно малый элемент поверхности проводника, так как в общем случае о меняется от точки к точке поверхности. Высота цилиндра должна быть также бесконечно малой, потому что в случае проводника произвольной формы силовые линии будут перпендикулярными к поверхности проводника только в непосредственной близости от нее.  [3]

Элементарные тепловые потоки на бесконечно малом элементе поверхности

dF, вычисленные через разность локальных температур, dQ a kt dF ( рис. 2 — 2, в), или через разность средних температур, dQ aAtdF ( рис. 2 — 3), естественно равны друг другу. В то же время средний для всей поверхности FT коэффициент а является, естественно, величиной постоянной для данного теплообменника. Таким образом, для конкретного теплообменника с поверхностью FT коэффициенты а, и-о — могут быть одновременно постоянны: коэффициент а — как средний для Ft, а а — — вдоль поверхности F при постоянстве параметров гидродинамического режима. В то же время численно коэффициенты а и а могут сильно отличаться друг от друга.  [4]

В данном случае нужно рассматривать

бесконечно малый элемент поверхности проводника, так как в общем случае о меняется от точки к точке поверхности. Высота цилиндра должна быть также бесконечно малой, потому что в случае проводника произвольной формы линии смещения будут перпендикулярными к поверхности проводника только в непосредственной близости от нее.  [6]

А — давление, действующее на бесконечно малый элемент поверхности контакта, а г — расстояние от этого элемента до рассматриваемой точки. Интегрирование должно распространяться по всей области поверхности контакта.  [7]

Принимается, что сила, действующая на

бесконечно малый элемент поверхности dS, имеет вид F dS, где F — некоторый конечный вектор. Точное математическое содержание этого положения определяется совершенно аналогично тому, как это указано в замечании в конце § 1 относительно объемных сил.  [8]

Каждый луч, упавший от светящего тела на бесконечно малый элемент поверхности матированного светильника ( см. рис. 7.33), при прохождении через него рассеивается. Следовательно, ЭО имеет неравномерную яркость лучей и размеры, большие размеров светящего тела относительно рассматриваемой точки. Размеры и распределение яркости лучей ЭО по существу должны быть такими же, как и для матированной отражающей поверхности.  [9]

Вихревыми нитями я называю части жидкой массы, которые выделяются из нее, если через все точки контура бесконечно малого элемента поверхности провести соответственные вихревые линии.  [10]

Длина вектора потока тепла в данной точке — это количество тепловой энергии, проходящее за единицу времени и в пересчете на единицу площади сквозь бесконечно малый элемент поверхности, перпендикулярный к направлению потока. Вектор указывает направление потока ( фиг.  [11]

Ротация скоростного поля в точке А равна предельному значению, к которому приближается линейный интеграл ( отнесенный к единице поверхности делением на площадь элемента поверхности) от вектора скорости вдоль кривой, заключающей бесконечно малый элемент поверхности, перпендикулярный к направлению ротации.  [12]

Ротация скоростного поля в точке А равна предельному значению, к которому приближается линейный интеграл ( отнесенный к единице поверхности делением на площадь элемента поверхности) от вектора скорости вдоль кривой, заключающей бесконечно малый элемент поверхности, перпендикулярный к направлению ротации.  [13]

Выделим бесконечно малый элемент поверхности — цилиндр — высотой dz и радиусом г и найдем элементарный расход через боковую поверхность этого цилиндра.  [14]

Интеграл по поверхности ( двумерной) в 4-пространстве. Аналогично в 4-пространстве бесконечно малый элемент поверхности определяется антисимметричным тензором второго ранга dfik — dxfdx k — dxkdx l t его компоненты равны проекциям площади элемента на координатные плоскости.  [15]

Страницы:      1    2

Поток вектора через поверхность | LAMPA

Эта тема будет полезна для понимания теоремы Гаусса.

Коротко. Основная информация

Нормалью к поверхности называется вектор единичной длины n⃗\vec{n}n⃗, перпендикулярный поверхности.

Для плоской поверхности вектор нормали в каждой точке одинаков.

Если поверхность не плоская, то нормаль определяется для каждой точки поверхности путем выделения настолько малого элемента поверхности △S\triangle S△S, окружающего эту точку, что его можно приближенно считать плоским.

Для замкнутых выпуклых поверхностей принято брать в качестве нормали вектор, обращенный наружу области, ограниченной поверхностью.

Потоком вектора V⃗\vec{V}V⃗ через элемент поверхности △S\triangle S△S называется величина △Φ=V⃗⋅n⃗△S\triangle\Phi=\vec{V}\cdot\vec{n}\triangle S△Φ=V⃗⋅n⃗△S.

Поток вектора V⃗\vec{V}V⃗ через поверхность SSS определяется как сумма потоков через элементы поверхности: Φ=∑△Φ\Phi=\sum\triangle\PhiΦ=∑△Φ

Подробнее

Понятие потока вектора (векторного поля) через поверхность используется в различных разделах физики. В частности, говорят о потоке вектора напряженности E⃗\text{ }\vec{E} E⃗ или о потоке вектора магнитной индукции B⃗\vec{B}B⃗.

Наглядное представление об этом понятии дает такой пример.
Рассмотрим проволочную плоскую рамку, погруженную в поток воды. Количество протекающей через рамку воды зависит от площади рамки, скорости потока и ориентации рамки относительно потока (если плоскость рамки перпендикулярна потоку, количество воды максимально для данной точки, если плоскость сонаправлена с потоком воды, вода через рамку не протекает).

В общем случае, рассматривается малый элемент произвольной поверхности △S\triangle S△S, окружающий некоторую точку поверхности. С этой точкой связывается вектор нормали n⃗\vec{n}n⃗ – вектор единичной длины, перпендикулярный △S\triangle S△S. Так как существуют два (противоположно направленные) вектора, перпендикулярные поверхности, то вектор нормали определен с точностью до знака. Условно назовем одну из сторон поверхности наружной. Тогда будем считать, что вектор нормали смотрит наружу. (Для замкнутых выпуклых поверхностей такое направление можно выбрать однозначно).

Определим поток вектора V⃗\vec{V}V⃗ через элемент поверхности △S\triangle S△S как скалярное произведение векторов V⃗\vec{V}V⃗ и n⃗\vec{n}n⃗ на площадь элемента △S\triangle S△S: Φ=V⃗⋅n⃗△S\Phi=\vec{V}\cdot\vec{n}\triangle SΦ=V⃗⋅n⃗△S

Когда элемент поверхности перпендикулярен вектору V⃗\vec{V}V⃗ (при этом вектор нормали параллелен вектору V⃗\vec{V}V⃗: n⃗⇉V⃗\vec{n}\rightrightarrows\vec{V}n⃗⇉V⃗), поток вектора максимален при заданной величине VVV. Когда элемент поверхности параллелен вектору V⃗\vec{V}V⃗ (при этом вектор нормали перпендикулярен вектору V⃗\vec{V}V⃗: n⃗⊥V⃗\vec{n}\perp\vec{V}n⃗⊥V⃗), поток вектора равен нулю.

Поток вектора V⃗\vec{V}V⃗ через поверхность SSS определяется как сумма потоков через элементы поверхности: Φ=∑△Φ\Phi=\sum\triangle\PhiΦ=∑△Φ

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Элементы векторной алгебры. Векторы. Координаты векторов. Линейные операции над векторами

Аннотация: Вектор – также относится к базовым инструментам высшей математики. В лекции даются разные типы векторов и кратко рассматриваются их свойства

Основные определения скалярных и векторных величин

Определение 1. Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом.

Примером скалярных величин могут служить угол, площадь, объем, плотность среды, сопротивление, температура.

Следует различать два типа скалярных величин: чистые скаляры и псевдоскаляры.

Определение 2. Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда говорят о чистой скалярной величине или об истинном

скаляре.

Определение 3. Если некоторая скалярная величина определяется одним числом, абсолютная величина которого не зависит от выбора осей отсчета, а ее знак зависит от выбора положительного направления на осях координат, то тогда говорят о псевдоскалярной величине.

Определение 4. Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом — числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора

.

Геометрически принято изображать вектор направленным отрезком. Для обозначения векторных величин используют малые латинские буквы, выделенные жирным шрифтом ( a ), либо со стрелочкой вверху ( ), либо две заглавные буквы с черточкой вверху ( ), где А — начало вектора, В — его конец (рис. 5.1). Заметим, что зная координаты начала и конца вектора, можно найти координаты вектора, определяемого этими точками , т.е. от координат конца вычитают координаты начала вектора.

Рис. 5.1.

Определение 5. Два одинаково направленных и параллельных вектора называют

коллинеарными.

Коллинеарные векторы могут быть разной длины (рис. 5.2, векторы АВ и А₁В₁ ), поэтому одна только коллинеарность не гарантирует равенства векторов. Если векторы коллинеарны, а их длины (модули) равны (рис. 5.2, векторы АВ и А₂В₂ ), то такие векторы называются эквиполентными.

Рис. 5.2.

Определение 6. Если модуль вектора равен единице, то такой вектор называют единичным, или ортом.

Орт вектора всегда имеет то же направление, что и рассматриваемый вектор. Единичные векторы координатных осей 0х, 0у, 0z обычно обозначают соответственно как (или i, j, k ).

Определение 7. Если вектор не зависит от изменения направления, выбранного на осях координат в качестве положительного, то такой вектор называют полярным.

К полярным векторам относится векторы силы, скорости, напряженности электрического поля и др.

Определение 8. Если при изменении направления, выбранного на осях координат в качестве положительного, вектор, меняет свой знак, то такой вектор называют

осевым.

Из геометрического определения коллинеарности, данного ранее, вытекает еще одно определение коллинеарности.

Определение 9. Два вектора и называют коллинеарными, если существуют такие два числа и , не равные нулю одновременно, что выполняется равенство .

Определение 10. Три вектора , и назовем компланарными, если существуют такие три числа , и , не равные одновременно нулю, что выполняется равенство

Геометрический смысл определения очевиден: если векторы , и параллельны одной плоскости, то обязательно выполняется условие компланарности независимо от того принадлежат эти векторы одной плоскости или параллельным (различным) плоскостям. Верно и обратное утверждение: если найдутся на трех плоскостях три компланарных вектора, по одному в плоскости, то эти плоскости будут параллельны.

Если векторы и не коллинеарны или , и не компланарны, то такие векторы называют линейно независимыми соответственно на плоскости или в пространстве.

Два ненулевых вектора и ортогональны, если они перпендикулярны (проекция вектора на и проекция вектора на равны нулю). Тогда записывают . Такие векторы ВСЕГДА линейно независимы.

Если три ненулевых векторы , и попарно ортогональны ( ), то тогда они образуют тройку линейно независимых векторов.

Определение 11. Линейно независимые векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 5.3), если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний палец правой руки, в противном случае говорят о левой тройке векторов (рис. 5.4).

Рис. 5.3.
Рис. 5.4.

Определение 12. Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг другу и образующие правую тройку векторов, называют декартовой системой координат.

Определение 13. Углом между векторами и называют такой угол , не превосходящий , на который нужно повернуть вектор , чтобы совместить его с направлением вектора , начало которого должно совпадать с началом . Угол между векторами обозначается ( ) или ( ).

3.4. Дифференциал площади поверхности | Контрольные работы по математи

Рассмотрим координатную сеть линий на поверхности и криволинейный четырёхугольник, образованный линиями с постоянными значениями координат U И U+DU, V И V+DV, пересекающимися в точках (рис. 3.1). Выделяя главные части приращений

И приближенно (при малых ) заменяя криволинейный четырёхугольник параллелограммом, построенным на векторах и , как показано на рис. 2.1, запишем площадь параллелограмма в виде

.

С учётом формулы (3.7) находим

. (3.11)

Поскольку криволинейный четырёхугольник мало отличается от параллелограмма при , величину называют Дифференциалом площади поверхности

Пример 1. Геликоид. Эта поверхность получается при винтовом движении отрезка прямой, параллельного плоскости и пересекающего ось (ось винтового движения). Проекция отрезка прямой на плоскость равномерно вращается около начала координат, а точка пересечения с осью равномерно перемещается по этой оси (рис. 3.2).

Запишем вектора

,

,

,

Тогда , , , линейный элемент

.

Координатные линии здесь записываются таким образом:

– линия – винтовая линия; при полном обороте (на угол 2P) проекции точка М поднимается на 2PА, где А – шаг винта;

– линия во всех точках имеет одну и ту же аппликату ; проекция линии на плоскость Определяется уравнением .

Пример 2. Поверхность вращения. Пусть в плоскости, проходящей через ось Oz , задана линия M

,

Где Z И R — прямоугольные декартовы координаты в этой плоскости, причем ось Or лежит на пересечении этой плоскости с плоскостью XOY. Пусть теперь M вращается вокруг оси Oz. Вводя на плоскости XOY полярные координаты R,J , получаем для точки P (проекции точки M, лежащей на линии M) следующие координаты, которые при вращении линии будут изменяться вместе с углом вращения j

.

Точка М имеет эти две координаты и ещё третью координату

.

Таким образом, радиус-вектор произвольной точки, лежащей на поверхности вращения, имеет вид

,

, ,

.

Тогда

, , ,

Линейный элемент

.

Так как , то координатные линии образуют ортогональную сеть. Линии j=Const Называются меридианами (они получаются в сечении поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения). Линии R=const называются параллелями (они получаются в сечении поверхности плоскостями, перпендикулярными оси Oz), это окружности с центрами на оси Oz.

< Предыдущая		Следующая >

Плотность тока — это… Что такое Плотность тока?

Связь между током и плотностью тока

Пло́тность то́ка — векторная физическая величина, имеющая смысл силы тока, протекающего через единицу площади. Например, при равномерном распределении плотности тока и всюду ортогональности ее плоскости сечения, через которое вычисляется или измеряется ток, величина вектора плотности тока:

где I — сила тока через поперечное сечение проводника площадью S (также см.рисунок).

• (Иногда речь может идти о скалярной^[1] плотности тока, в таких случаях под ней подразумевается именно та величина j, которая приведена в формуле чуть выше).

В общем случае:

,

где  — нормальная (ортогональная) составляющая вектора плотности тока по отношению к элементу площади ; вектор — специально вводимый вектор элемента площади, ортогональный элементарной площадке и имеющий абсолютную величину, равную ее площади, позволяющий записать подынтегральное выражение как обычное скалярное произведение.

Как видим из этого определения, сила тока есть поток вектора плотности тока через некую заданную фиксированную поверхность.

В простейшем предположении, что все носители тока (заряженные частицы) двигаются с одинаковым вектором скорости и имеют одинаковые заряды (такое предположение может иногда быть приближенно верным; оно позволяет лучше всего понять физический смысл плотности тока), а концентрация их ,

или

где — плотность заряда этих носителей. (Направление вектора соответствует направлению вектора скорости , с которой движутся заряды, создающие ток, если q положително).

В реальности даже носители одного типа движутся вообще говоря и как правило с различными скоростями. Тогда под следует понимать среднюю скорость.

В сложных системах (с различными типами носителей заряда, например, в плазме или электролитах)

то есть вектор плотности тока есть сумма плотностей тока по всем типам подвижных носителей; где — концентрация частиц каждого типа, — заряд частицы данного типа, — вектор средней скорости частиц этого типа.

Выражение для общего случая может быть записано также через сумму по всем индивидуальным частицам:

(сама формула почти совпадает с формулой, приведенной чуть выше, но теперь индекс суммирования i означает не номер типа частицы, а номер каждой индивидуальной частицы, не важно, имеют они одинаковые заряды или разные, при этом концентрации оказываются уже не нужны).

Плотность тока и мощность

Работа, совершаемая электрическим полем над носителями тока, характеризуется, очевидно^[2], плотностью мощности [энергия/(время• объем)]:

где точкой обозначено скалярное произведение.

Чаще всего эта мощность рассеивается в среду в виде тепла, но вообще говоря она связана с полной работой электрического поля и часть ее может переходить в другие виды энергии, например такие, как энергия того или иного вида излучения, механическая работа (особенно — в электродвигателях) итд.

Закон Ома

В линейной и изотропной проводящей среде плотность тока связана с напряжённостью электрического поля в данной точке по закону Ома:

где  — удельная проводимость среды,  — напряжённость электрического поля. Или:

где  — удельное сопротивление.

В линейной анизотропной среде имеет место такое же соотношение, однако удельная электропроводность в этом случае вообще говоря должна рассматриваться как тензор, а умножение на нее — как умножение вектора на матрицу.

Формула для работы электрического поля (плотности ее мощности)

вместе с законом Ома принимает для изотропной электропроводности вид:

где и — скаляры, а для анизотропной:

где подразумевается матричное умножение (справа налево) вектора-столбца на матрицу и на вектор-строку, а тензор и тензор порождают соответствующие квадратичные формы.

4-вектор плотности тока

В теории относительности вводится четырёхвектор плотности тока (4-ток), составленный из объёмной плотности заряда ρ и 3-вектора плотности тока

4-ток является прямым и естественным обобщением понятия плотности тока на четырехмерный пространственно-временной формализм и позволяет, в чатстности, записывать уравнения электродинамики в ковариантном виде^[3].

Примечания

1. ↑ Чаще в таких случаях она даже не называется явно скаляром, но просто не упоминается ее векторный характер.
2. ↑ Это прямо следует из формул, приведенных выше вкупе с определением работы или с формулой мощности .
3. ↑ достаточно красивом и компактном.

Формула силы Ампера в физике

Содержание:

Определение и формула силы Ампера

Определение

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, называется силой Ампера. Ее обозначения: $\bar{F}, \bar{F}_A$ . Сила Ампера векторная величина. Ее направление определяет правило левой руки: следует расположить ладонь левой руки так, чтобы силовые линии магнитного поля входили в нее. Вытянутые четыре пальца указывали направление силы тока. В таком случае отогнутый на большой палец укажет направление силы Ампера (рис.1).

Закон Ампера

Элементарная сила Ампера ($d\bar{F}_A$) определена законом (или формулой) Ампера:

$$d \bar{F}_{A}=I d \bar{l} \times \bar{B}(1)$$

где I – сила тока, $d \bar{l}$ – малый элемент длины проводника – это вектор, равный по модулю длине проводника, направленный в таком же направлении как вектор плотности тока, $\bar{B}$ – индукция магнитного поля, в которое помещен проводник с током.

Иначе эту формулу для силы Ампера записывают как:

$$d \bar{F}_{A}=\bar{j} \times \bar{B} d V(2)$$

где $\bar{j}$ – вектор плотности тока, dV – элемент объема проводника.

Модуль силы Ампера находят в соответствии с выражением:

$$d F=I \cdot B \cdot d l \cdot \sin \alpha(3)$$

где $\alpha$ – угол между векторами магнитной индукции и направление течения тока. Из выражения (3) очевидно, что сила Ампера максимальна в случае перпендикулярности линий магнитной индукции поля по отношению к проводнику с током.

Силы, действующие на проводники с током в магнитном поле

Из закона Ампера следует, что на проводник с током, равным I, действует сила равная:

$$\bar{F}_{A}=I \int_{l} d \bar{l} \times \bar{B}(4)$$

где $\bar{B}$ магнитная индукция, рассматриваемая в пределах малого кусочка проводника dl. Интегрирование в формуле (4) проводят по всей длине проводника (l). Из выражения (4) следует, что на замкнутый контур с током I, в однородном магнитном поле действует сила Ампера равная $\bar{F}_{A}=0(H)$

Сила Ампера, которая действует на элемент (dl) прямого проводника с током I₁, помещённый в магнитное поле, которое создает другой прямой проводник, параллельный первому с током I₂, равна по модулю:

$$d F=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I_{1} I_{2}}{d} d l(5)$$

где d – расстояние между проводниками, $\mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{7}$ Гн/м(или Н/А² ) – магнитная постоянная. Проводники с токами одного направления притягиваются. Если направления токов в проводниках различны, то они отталкиваются. Для рассмотренных выше параллельных проводников бесконечной длины сила Амперана единицу длины может быть вычислена по формуле:

$$\frac{F}{l}=\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I_{1} I_{2}}{d}$$

Формулу (6) в системе СИ применяют для получения количественного значения магнитной постоянной.

Единицы измерения силы Ампера

Основной единицей измерения силы Ампер (как и любой другой силы) в системе СИ является: [F_A]=H

В СГС: [F_A]=дин

Примеры решения задач

Пример

Задание. Прямой проводник длины l с током I находится в однородном магнитном поле B. На проводник действует сила F. Каков угол между направлением течения тока и вектором магнитной индукции?

Решение. На проводник с током, находящийся в магнитном поле действует сила Ампера, модуль которой для прямолинейного проводника с током расположенном в однородном поле можно представить как:

$$F=F_{A}=I B \operatorname{lsin} \alpha$$

где $\alpha$ – искомый угол. Следовательно:

$$\alpha=\arcsin \left(\frac{F}{I B l}\right)$$

Ответ. $\alpha=\arcsin \left(\frac{F}{I B l}\right)$

Слишком сложно?

Формула силы Ампера не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Два тонких, длинных проводника с токами лежат в одной плоскости на расстоянии d друг от друга. Ширина правого проводника равна a. По проводникам текут токи I₁ и I₂ (рис.1). Какова, сила Ампера, действующая на проводники в расчете на единицу длины?

Решение. За основу решения задачи примем формулу элементарной силы Ампера:

$$d \bar{F}_{A}=I d \bar{l} \times \bar{B}(2.1)$$

Будем считать, что проводник с током I₁ создает магнитное поле, а другой проводник в нем находится.Станем искать силу Ампера, действующую на проводник с током I₂. Выделим в проводнике (2) маленький элемент dx (рис.1), который находится на расстоянии x от первого проводника. Магнитное поле, которое создает проводник 1 (магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током) в точке нахождения элементаdxпо теореме о циркуляции можно найти как:

$$B \cdot 2 \pi x=\mu_{0} I_{1} \rightarrow B=\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi x}$$

Вектор магнитной индукции в точке нахождения элемента dx направлен перпендикулярно плоскости рисунка, следовательно, модуль элементарной силы Ампера, действующий на него можно представить как:

$$B \cdot 2 \pi x=\mu_{0} I_{1} \rightarrow B=\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi x}$$

где ток, который течет в элементе проводника dx, выразим как:

$$B \cdot 2 \pi x=\mu_{0} I_{1} \rightarrow B=\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi x}$$

Тогда выражение для dF_A, учитывая (2.2) и (2.4) запишем как:

$$B \cdot 2 \pi x=\mu_{0} I_{1} \rightarrow B=\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi x}$$

где из рис.1 видно, что $a \leq x \leq a+b$, по условию задачи силу следует найти на единицу длины, значит $0 \leq l \leq 1$ . Для нахождения суммарной силы Ампера, действующей на проводник (2) возьмем двойной интеграл от выражения (2.{a+b} \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi x} \cdot \frac{I_{2}}{b} d x=\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi} \cdot \frac{I_{2}}{b} \ln \left|\frac{a+b}{a}\right|$$

Проводники действуют друг на друга с силами равными по модулю и так как токи направлены одинаково, то они притягиваются.

Ответ. $F_{A}=\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi} \cdot \frac{I_{2}}{b} \ln \left|\frac{a+b}{a}\right|$

Читать дальше: Формула силы выталкивания.

6. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме

Основная теорема электростатики была выведена в 1829 г. русским математиком М.В. Остроградским для произвольного векторного поля. Немецкий физик и математик К.Ф. Гаусс в 1830г. применил ее к расчету электростатических полей.

Проведем в электрическом поле произвольную поверхность площадью S (рис.1.15). Назовем элементарным потоком напряженности электростатического поля через малый участок (элемент) поверхности S величину

, (1.20)

где – вектор площади элемента поверхности,– вектор единичной нормали к поверхности в месте расположения элемента. Справедливы соотношения:;. Малый элемент поверхностивыбирается таких размеров, чтобы в его пределах можно было считать поле однородным, а кривизну поверхности можно было бы не учитывать.

Поток вектора напряженности электростатического поля через всю поверхность S находится как алгебраическая сумма потоков сквозь все малые участки этой поверхности:

. (1.21)

При вычислении (1.21) договоримся направлять все векторы в одну и ту же сторону по отношению к поверхностиS. Например, в случае замкнутой поверхности S в дальнейшем будем считать векторы внешними нормалями, т.е. направленными из области, ограниченной этой поверхностью.

Из (1.21) видно, что Ф = 0, если во всех точках поверхности S силовые линии поля перпендикулярны векторам , т.е. “скользят” по поверхности. С другой стороны, поток максимален, если поверхностьS расположена перпендикулярно силовым линиям в каждой точке пространства. Таким образом, поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность.

Вспомним из математики понятие телесного угла. Это часть пространства, ограниченная прямыми, проведенными из одной точки (вершины угла) ко всем точкам замкнутой кривой (рис.1.16). Мерой телесного угла является отношение площади элемента , вырезаемого конической поверхностью угла на сфере радиусаr с центром в вершине угла, к квадрату радиуса:

.

Единицей телесного угла в СИ служит угол, опирающийся на сферу радиусом 1 м и вырезающий на ней элемент площадью 1 м². Такой телесный угол равен 1 стерадиан (обозначается 1 ср). Поскольку площадь поверхности всей сферы равна , то телесный угол, опирающийся на всю сферу и охватывающий все пространство, равенср.

Рассмотрим точечный заряд Q, охваченный произвольной замкнутой поверхностью (рис.1.17). Выделим на этой поверхности элемент площадью , “вырезаемый” из нее телесным угломс вершиной в заряде. Элементарный поток вектора напряженности поля точечного заряда через элемент, согласно (1.20), в СИ равен

.

Тогда полный поток вектора напряженности через всю замкнутую поверхность можно найти как

. (1.22)

Кружок на значке интеграла означает, что суммирование производится по замкнутой поверхности. Если произвольная замкнутая поверхность охватывает точечные заряды , то можно составить систему уравнений:

где – напряженность поля каждого из зарядов. Складывая уравнения системы, получим

. (1.23)

Итак, если внутри замкнутой поверхности находятся электрические заряды, то поток вектора напряженности пропорционален сумме этих зарядов.

Рассмотрим теперь точечный заряд , расположенный вне произвольной замкнутой поверхности (рис.1.18). В этом случае касательная коническая поверхность с вершиной в точке расположения заряда разбивает поверхностьS на две части: и. Полный поток напряженности через всю поверхностьS равен алгебраической сумме потоков через эти части:

.

Однако если для всех элементов поверхности углы между векторамии внешними нормалямитупые (при, то для всех элементов поверхностиэти углы острые. Следовательно,

, .(1.24)

Поскольку поверхности ивидны из точки расположения зарядаQ под одним и тем же телесным углом , то, согласно (1.22),

.

Отсюда, с учетом (1.24), получаем

. (1.25)

Обобщим выводы (1.22), (1.23), (1.25). Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

. (1.26)

Полученное соотношение выражает теорему Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме. Замкнутую поверхность S, фигурирующую в теореме, часто называют гауссовой поверхностью. Отметим, что коэффициент пропорциональности между потоком напряженности и суммой зарядов, охваченных этой поверхностью, определяется выбором системы единиц физических величин. В СИ этот коэффициент равен (см. 1.2). В других системах единиц он может быть другим.

математики — Как площадь может быть вектором?

Это может быть скорее математический вопрос. Это особенность трехмерного пространства. Обратите внимание, что в трех измерениях такая область, как плоскость, является двумерным подпространством. На листе бумаги вам нужно всего два числа, чтобы однозначно обозначить точку.

А теперь представьте, что вы стоите на листе бумаги, направление, в которое указывает ваша голова, всегда будет способом узнать, как эта плоскость ориентирована в пространстве. Это называется «нормальным» вектором к этой плоскости, он расположен под прямым углом к ​​плоскости.

Если теперь вы выберете соглашение, согласно которому длина этого вектора нормали равна площади этой поверхности, вы получите полное описание двухмерной плоскости, ее ориентацию в трехмерном пространстве (векторная часть) и размер этой плоскости. есть (длина этого вектора).

Математически это можно выразить как «перекрестное произведение» $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$, величина которого определяется как $ | c | = | a || b | sin \ theta $, который равен площади параллелограмма, равной площади векторов (которые на самом деле определяют плоскость).Чтобы украсть это изображение из статьи в Википедии о перекрестном произведении:

Как я уже сказал в начале, это особенная вещь для трех измерений, в более высоких измерениях она работает не так аккуратно по разным причинам. Если вы хотите узнать больше по этой теме, используйте ключевое слово «внешняя алгебра»

.

Обновление:

Что касается физического значения этой концепции, яркими примерами являются векторные поля, текущие через поверхности. Возьмите круглую проволоку.Этот круг можно ориентировать в 3D по-разному. Если у вас есть внешнее магнитное поле, вы можете знать, что оно может индуцировать электрический ток, пропорциональный скорости изменения количества, протекающего по кругу (подумайте об этом как о том, насколько стрелки пронизывают область). Если векторы магнитного поля параллельны окружности (и, следовательно, ортогональны его вектору нормали), они вообще не «перфорируют» область, поэтому поток через эту область равен нулю. 3}, $ $ интеграл ведется по кривой $ C $, а $ d \ mathbf l $ представляет бесконечно малое смещение вдоль кривой.Более строго, это касается кривой, красной линии на рисунке ниже, которая является границей зеленой линии, секущей, когда две точки пересечения приближаются друг к другу. Как видите, у него есть направление, поэтому это должна быть векторная величина.

Далее, ток $ I $ всегда является скаляром, потому что ток определяется как количество заряда , протекающего через поверхность в единицу времени. Следовательно, это должен быть скаляр. Однако в электродинамике более принято иметь дело с плотностью тока $ \ mathbf j $, которая является векторной величиной и кодирует как величину протекающего заряда, так и его направление.Например, если в единице объема (скаляр) имеется $ n $ носителей заряда, каждый с зарядом $ q $ (скаляр), и их скорость равна $ \ mathbf v $ (векторная величина), плотность тока равна $$ \ mathbf j = qn \ mathbf v. $$

Текущий $ I $ через поверхность $ S $ находится путем интегрирования потока через него: $$ I = \ int_S \ mathbf j \ cdot d \ mathbf S $$ который является скаляром, поскольку содержит скалярное произведение.

В тонкой проволоке ток может течь только по проволоке, поэтому плотность тока всегда должна быть вдоль $ d \ mathbf l $, а ее величина фиксируется общим током, равным $ I $, поэтому в действительности нет необходимости представить концепцию.3} \, dV $$ который может быть приведен к первому виду, если плотность тока будет пропорциональна подходящей дельте Дирака.

10.2: Элементы площади и объема

В любой системе координат полезно определить дифференциальную площадь и дифференциальный элемент объема. В декартовых координатах элемент дифференциальной площади — это просто \ (dA = dx \; dy \) (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)), а элемент объема — просто \ (dV = dx \; dy \; dz \ ).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): элементы площади и объема в декартовых координатах (CC BY-NC-SA; Марсия Левитус)

Мы уже выполнили двойной и тройной интегралы в декартовых координатах и ​​использовали элементы площади и объема без оплаты любое особое внимание.2 \; dx \; dy \; dz = 1 \ nonumber \]

Но что, если бы нам пришлось интегрировать функцию, выраженную в сферических координатах? Не могли бы мы просто заменить \ (dx \; dy \; dz \) на \ (dr \; d \ theta \; d \ phi \)? Ответ — нет, потому что элемент объема в сферических координатах зависит также от фактического положения точки. Через минуту это станет более понятным. Возвращаясь к координатам в двух измерениях, интуитивно понятно, почему элемент площади в декартовых координатах равен \ (dA = dx \; dy \) независимо от значений \ (x \) и \ (y \).Это показано в левой части рисунка \ (\ PageIndex {2} \). Однако в полярных координатах мы видим, что области серых секций, которые построены как увеличением \ (r \) на \ (dr \), так и увеличением \ (\ theta \) на \ (d \ theta \ ), зависят от действительного значения \ (r \). Обратите внимание, что область, выделенная серым цветом, увеличивается по мере удаления от начала координат.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Разница площади в декартовых и полярных координатах (CC BY-NC-SA; Марсия Левитус)

Площадь, показанная серым цветом, может быть вычислена на основе геометрических аргументов как

\ [dA = \ left [\ pi (r + dr) ^ 2- \ pi r ^ 2 \ right] \ dfrac {d \ theta} {2 \ pi}.2 \ times \ dfrac {1} {4a} \ times2 \ pi = 1 \ nonumber \]

Следовательно, ¹ , \ (A = \ sqrt {2a / \ pi} \). Такое же значение, конечно, получается путем интегрирования в декартовых координатах.

Теперь пора обратить наше внимание на тройные интегралы в сферических координатах. В декартовых координатах элемент дифференциального объема — это просто \ (dV = dx \, dy \, dz \), независимо от значений \ (x, y \) и \ (z \). Используя те же аргументы, которые мы использовали для полярных координат на плоскости, мы увидим, что дифференциал объема в сферических координатах не равен \ (dV = dr \, d \ theta \, d \ phi \).2 \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi \, dr \]

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Дифференциал объема в сферических координатах (CC BY-NC-SA; Марсия Левитус)

Мы проиллюстрируем использование тройных интегралов в сферических координатах на некоторых задачах из квантовой механики. Мы уже ввели уравнение Шредингера и даже решили его для простой системы в разделе 5.4. Мы также упомянули, что сферические координаты являются очевидным выбором при написании этого и других уравнений для таких систем, как атомы, которые симметричны относительно точки.

Как мы видели в случае частицы в ящике (раздел 5.4), решение уравнения Шредингера имеет произвольную мультипликативную константу. Из-за вероятностной интерпретации волновых функций мы определяем эту постоянную нормировкой. Такая же ситуация возникает в трех измерениях, когда мы решаем уравнение Шредингера, чтобы получить выражения, которые описывают возможные состояния электрона в атоме водорода (то есть орбитали атома). Уравнение Шредингера — это трехмерное уравнение с частными производными, а решениями будут волновые функции, которые являются функциями от \ (r, \ theta \) и \ (\ phi \).{-r / a_0}} \ nonumber \]

Как определить вектор?

Когда вы думаете о векторе, многие люди, вероятно, вспоминают определение вектора (из «Гадкого Я»). Он говорит:

Это математический термин. Величина, представленная стрелкой с указанием направления и величины. Вектор! Это я — потому что я совершаю преступления, имеющие как направление, так и масштабы! Ах, да!

Хорошо, но правда. Что за вектор? Мне нравится следующее определение (и это определение, которое я даю студентам в классе).

Вектор: величина с более чем одним элементом (более одной части информации).

Это не лучшее определение, но оно лучше, чем «величина и направление». Возможно, лучший способ понять векторы — это посмотреть на несколько примеров. Предположим, я нахожусь в комнате и перемещаюсь в разные места, чтобы измерить температуру. Температура в определенном месте имеет только один элемент (например, 22 ° C). Поскольку температура содержит только одну часть информации, мы называем ее скаляром.Другими примерами скаляров могут быть: масса, электрический заряд, мощность, разность электрических потенциалов.

Теперь предположим, что я обхожу разные точки в комнате, чтобы определить поток воздуха. В каждом месте воздух может двигаться в трех разных направлениях (x, y, z). Итак, чтобы действительно измерить скорость воздуха в каждом месте, мне понадобятся 3 элемента. Мы называем эту скорость воздуха вектором (трехмерным вектором), потому что он содержит три части информации. Другими примерами векторов могут быть: силы, электрические поля, ускорение, смещение.

Можно ли иметь векторы с более или менее чем 3 элементами? да. На вводных курсах физики обычно просто рассматривают векторы только с двумя измерениями (x и y), чтобы упростить задачу. Кроме того, вы можете иметь 4, 5 или даже больше измерений в векторах. Единственная проблема с векторами более высокого порядка состоит в том, что их труднее визуализировать в трехмерном пространстве.

Нулевой вектор

Вот настоящая проблема с определением вектора «величина и направление» — нулевой вектор.Предположим, вы хотите изобразить смещение в двух измерениях. Если вы начнете с начала координат и переместитесь на 3 метра в направлении x и -2 в направлении y, вы можете записать это как:

Если хотите, вы можете найти величину этого векторного смещения со значением 3,61. метров. Вы также можете найти «направление» этого вектора и сказать, что он находится на 33,7 ° ниже оси x. Но что, если вы хотите изобразить смещение, которое никуда не делось? Я мог бы легко записать это как следующий вектор:

Могу ли я найти величину этого вектора? Да, очень легко увидеть, что вектор имеет величину ноль метров.А как насчет направления? Что ж, если смещение на самом деле никуда не делось, вы не можете точно сказать, в каком направлении оно было. Лучший ответ — сказать, что направление не определено. Итак, вот случай смещения с нулевой величиной и неопределенным направлением. Это вектор? Абсолютно. Я просто придирчив к определению вектора? Вероятно.

Нулевой вектор в реальной физике

Нулевой вектор не равен нулю. Для ясности, я могу написать следующие два уравнения:

Использование векторов и матриц в R

Первоначально для статистики 133, Фил Спектор

Режимы и классы

Ранее упоминалось, что все элементы вектора должны быть одного вида.Чтобы увидеть режим объекта, вы можете использовать функцию mode . Что произойдет, если мы попытаемся объединить объекты разных режимов с помощью функции c ? Ответ заключается в том, что R найдет общий режим, который может вместить все объекты, в результате чего режим некоторых объектов изменится. Например, давайте попробуем объединить несколько чисел и несколько строк символов:

> both = c ('собака', 3, 'кошка', 'мышь', 7,12,9, 'курица')
> оба
[1] «собака» «3» «кошка» «мышь» «7» «12» «9»
[8] "курица"
> режим (оба)
[1] "character" 

Вы можете видеть, что числа были изменены на символы, потому что теперь они отображаются в кавычках.Они также больше не будут вести себя как числа:

> оба [2] + оба [5]
Ошибка в обоих [2] + обоих [5]: нечисловой аргумент двоичного оператора 

Сообщение об ошибке означает, что два значения больше нельзя складывать. Если вам действительно нужно обрабатывать символьные строки как числа, вы можете использовать функцию as.numeric :

> as.numeric (оба [2]) + as.numeric (оба [5])
[1] 10
 

Конечно, лучше всего избегать комбинирования объектов разных режимов с помощью функции c .Позже мы увидим, что R предоставляет объект, известный как список, который может хранить различные типы объектов без необходимости изменять их режимы.

Считывание векторов

Когда вы начинаете работать с большими объемами данных, становится очень утомительно вводить данные в функцию c , особенно с учетом необходимости заключать в кавычки значения символов и запятые между значениями. Чтобы читать данные из файла или из терминала без кавычек и запятых, вы можете использовать функцию сканирование .Чтобы читать из файла (или URL-адреса), передайте ему строку в кавычках с именем файла или URL-адреса, который вы хотите прочитать; для чтения с терминала вызовите scan () без аргументов и введите полностью пустую строку, когда закончите ввод данных. Кроме того, в Windows или Mac OS X вы можете заменить строку в кавычках на имя файла вызовом функции file.choose () , и вам будет представлен знакомый селектор файлов, используемый большинством программ на этих платформы.

Предположим, что в вашем рабочем каталоге есть файл с именем номеров .(Вы можете получить свой рабочий каталог, вызвав функцию getwd () , или установить его с помощью функции setwd или File -> Change dir selection в консоли R.) Допустим, содержимое этого файла выглядит так. это:

12 7
9 8 14 10
17
 

Функция сканирование может использоваться для чтения этих чисел следующим образом:

> nums = scan ('числа')
Читать 7 пунктов
> числа
[1] 12 7 9 8 14 10 17
 

Необязательный аргумент what = для сканирования может использоваться для чтения векторов символьных или логических значений, но помните, что вектор может содержать только объекты, все из которых относятся к одному и тому же режиму.

Отсутствующие значения

Независимо от того, насколько тщательно мы собираем наши данные, всегда будут ситуации, когда мы не знаем значение конкретной переменной. Например, мы можем провести опрос, в котором мы задаем людям 10 вопросов, но иногда мы забываем задать один, или люди не знают правильного ответа. Мы не хотим, чтобы такие значения использовались в вычислениях, но мы не можем просто исключить их, потому что тогда наблюдения с пропущенными значениями не будут «соответствовать» остальным данным.

В R пропущенные значения представлены строкой NA . Например, предположим, что у нас есть вектор из 10 значений, но четвертое отсутствует. Я могу ввести отсутствующее значение, передав NA функции c , как если бы это было число (кавычки не нужны):

х = с (1,4,7; NA; 12,19,15,21,20)
 

R также распознает строку NA без кавычек как отсутствующее значение, когда данные считываются из файла или URL.

Отсутствующие значения отличаются от других значений в R двумя способами:

1. Любое вычисление с отсутствующим значением вернет отсутствующее значение.
2. В отличие от других величин в R, мы не можем напрямую проверить, равно ли что-то отсутствующему значению, с помощью оператора равенства ( == ). Мы должны использовать встроенную функцию is.na , которая вернет ИСТИНА, , если значение отсутствует, и ЛОЖЬ, в противном случае.

Вот несколько простых операторов R, которые иллюстрируют эти моменты:

> х = с (1,4,7, NA, 12,19,15,21,20)
> означает (х)
[1] нет данных
> x == NA
[1] NA NA NA NA NA NA NA NA NA
 

К счастью, эти проблемы довольно легко решить.В первом случае многие функции (например, означает , мин. , макс. , sd , квантиль и т. Д.) Принимают аргумент na.rm = TRUE , который сообщает функции удалить любой пропущенные значения перед выполнением вычисления:

> среднее (x, na.rm = ИСТИНА)
[1] 12,375
 

Во втором случае нам просто нужно помнить, что всегда нужно использовать is.na всякий раз, когда мы проверяем, является ли значение отсутствующим.

> есть.на (х)
[1] FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
 

Объединив вызов is.na с логическим оператором «не» (! ), мы можем отфильтровать пропущенные значения в тех случаях, когда аргумент na.rm = недоступен:

> х [! is.na (x)]
[1] 1 4 7 12 19 15 21 20 

Матрицы

Очень распространенный способ хранения данных — матрица, которая, по сути, представляет собой двустороннее обобщение вектора. Вместо одного индекса мы можем использовать два индекса, один из которых представляет строку, а второй — столбец.Матрица Функция принимает вектор и преобразует его в матрицу по столбцам. Например,

> mymat = matrix (1: 12,4,3)
> моймат
     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 10
[3,] 3 7 11
[4,] 4 8 12
 

Последние два аргумента матрицы сообщают ей количество строк и столбцов, которые должна иметь матрица. Если вы использовали именованный аргумент, вы можете указать только одно измерение, и R определит другое:

> mymat = matrix (1:12, ncol = 3)
> моймат
     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 10
[3,] 3 7 11
[4,] 4 8 12
 

Чтобы создать матрицу по строкам, а не по столбцам, можно использовать аргумент byrow = TRUE :

> mymat = matrix (1:12, ncol = 3, byrow = TRUE)
> моймат
     [, 1] [, 2] [, 3]
[1,] 1 2 3
[2,] 4 5 6
[3,] 7 8 9
[4,] 10 11 12
 

Когда данные считываются из файла, вы можете просто встроить вызов сканирования в вызов матрицы.Предположим, у нас есть файл с именем matrix.dat со следующим содержанием:

7 12 19 4
18 7 12 3
9 5 8 42
 

Мы могли бы создать матрицу 3 × 4, считываемую по строкам, с помощью следующей команды:

матрица (scan ('matrix.dat'), nrow = 3, byrow = TRUE)
 

Чтобы получить доступ к одному элементу матрицы, нам нужно указать и строку, и столбец, который нас интересует. Рассмотрим следующую матрицу, содержащую числа от 1 до 10:

> m = матрица (1: 10,5,2)
> м
     [, 1] [, 2]
[1,] 1 6
[2,] 2 7
[3,] 3 8
[4,] 4 9
[5,] 5 10
 

Теперь предположим, что нам нужен элемент в строке 4 и столбце 1:

> м [4,1]
[1] 4
 

Если мы опустим один из индексов, мы получим всю строку или столбец матрицы, в зависимости от того, какой индекс мы опускаем:

> m [4,]
[1] 4 9
> m [, 1]
[1] 1 2 3 4 5
 

Фреймы данных

Одним из недостатков векторов и матриц является то, что они могут содержать только один режим данных; они не позволяют нам смешивать, скажем, числа и символьные строки.Если мы попытаемся это сделать, это изменит режим других элементов в векторе, чтобы он соответствовал. Например:

> c (12,9, «собака», 7,5)
[1] «12» «9» «собака» «7» «5»
 

Обратите внимание, что числа были изменены на символьные значения, чтобы вектор мог вместить все элементы, которые мы передали функции c . В R эту проблему решает специальный объект, известный как фрейм данных. Фрейм данных похож на матрицу в том смысле, что он представляет собой прямоугольный массив данных, но каждый столбец в фрейме данных может иметь другой режим, что позволяет числам, символьным строкам и логическим значениям совпадать в одном объекте в их исходных формах.Поскольку наиболее интересные проблемы с данными включают смесь символьных переменных и числовых переменных, фреймы данных обычно являются лучшим способом хранения информации в R. (Следует отметить, что если вы имеете дело с данными одного режима, матрица может быть более эффективен, чем фрейм данных.) Фреймы данных соответствуют традиционной модели «наблюдений и переменных», которую использует большинство статистических программ, и они также похожи на таблицы базы данных. Каждая строка кадра данных представляет собой наблюдение; элементы в данной строке представляют информацию об этом наблюдении.Каждый столбец, взятый в целом, содержит всю информацию о конкретной переменной для набора данных.

Для небольших наборов данных вы можете ввести каждый из столбцов (переменных) фрейма данных с помощью функции data.frame . Например, давайте расширим наш пример температуры, создав фрейм данных, который содержит день месяца, минимальную и максимальную температуру:

> temps = data.frame (день = 1:10,
+ min = c (50,7,52,8,48,6,53,0,49.9,47,9,54,1,47,6,43,6,45,5),
+ max = c (59,5,55,7,57,3,71,5,69,8,68,8,67,5,66,0,66,1,61,7))
> голова (темп)
  день мин. макс.
1 1 50,7 59,5
2 2 52,8 55,7
3 3 48,6 57,3
4 4 53,0 71,5
5 5 49,9 69,8
6 6 47,9 68,8
 

Обратите внимание, что имена, которые мы использовали при создании фрейма данных, отображаются вместе с данными. (Вы можете добавлять имена постфактум с помощью функции names .) Кроме того, вместо ввода имени temps для просмотра фрейма данных мы использовали вместо этого вызов функции head .Это покажет мне только первые шесть наблюдений (по умолчанию) фрейма данных, и это очень удобно для проверки, чтобы убедиться, что большой data.frame действительно выглядит так, как вы думаете. (Есть функция под названием tail , которая также показывает последние строки в объекте.)

Если мы попытаемся посмотреть на класс или режим фрейма данных, это не так информативно:

> класс (темп)
[1] "data.frame"
> режим (темп)
[1] "список"
 

Мы увидим одни и те же результаты для каждого используемого фрейма данных.Чтобы посмотреть на режимы отдельных столбцов фрейма данных, мы можем использовать функцию sapply . Эта функция упрощает операции, которые потребуют циклов на других языках, и автоматически возвращает соответствующие результаты для операции, которую она выполняет. Чтобы использовать sapply во фрейме данных, передайте фрейм данных в качестве первого аргумента в sapply и функцию, которую хотите использовать в качестве второго аргумента. Итак, чтобы найти режимы отдельных столбцов кадра данных temps , мы могли бы использовать

> сапплы (темп, режим)
     дата мин. максимум
"числовой" "числовой" "числовой"
 

Обратите внимание, что sapply даже пометил результат именем каждого столбца.

Предположим, мы хотим сконцентрироваться на максимальной дневной температуре (которую мы назвали max в нашем фрейме данных) среди записанных дней. Есть несколько способов сослаться на столбцы фрейма данных:

1. Вероятно, самый простой способ сослаться на этот столбец — использовать специальную нотацию, которая избавляет от необходимости заключать имена переменных в кавычки (если они не содержат пробелов или других специальных символов). Отделите имя фрейма данных от имени переменной знаком доллара ( $ ):

   > темп $ макс.
    [1] 59.5 55,7 57,3 71,5 69,8 68,8 67,5 66,0 66,1 61,7
    

2. Мы можем рассматривать фрейм данных как матрицу. Поскольку максимальная температура находится в третьем столбце, мы могли бы сказать

    ° C.
   > temps [, 3]
    [1] 59,5 55,7 57,3 71,5 69,8 68,8 67,5 66,0 66,1 61,7
    

3. Поскольку мы назвали столбцы temps , мы можем использовать нижний индекс символа:

   > temps [, "max"]
    [1] 59,5 55,7 57,3 71,5 69,8 68,8 67,5 66,0 66,1 61,7 

4. Когда вы используете один индекс с фреймом данных, он ссылается на фрейм данных, состоящий только из этого столбца.R также предоставляет специальный метод индексации (двойные скобки) для извлечения фактических данных (в данном случае вектора) из фрейма данных:

   > temps ['max']
       Максимум
   1 59,5
   2 55,7
   3 57,3
   4 71,5
   5 69,8
   6 68,8
   7 67,5
   8 66,0
   9 66,1
   10 61,7
   > темп [['max']]
   [1] 59,5 55,7 57,3 71,5 69,8 68,8 67,5 66,0 66,1 61,7 

   Обратите внимание, что эта вторая форма идентична temps $ max . Мы также можем использовать эквивалентный числовой индекс (в данном случае 3) с одинарными или двойными скобками.

Практический взгляд на векторы и ваши данные | Бобби Линдси

Вектор в ночном небе

Я помню чувство полного замешательства, когда я впервые изучал векторные пространства в моем первом курсе линейной алгебры. Что за космос? И что это за векторы на самом деле? Списки? Функции? Котята? И как, черт возьми, это связано со всеми данными, которые я анализирую для каких-то научных исследований? В этой статье я пытаюсь объяснить тему векторов, векторных пространств и то, как они соотносятся с данными, так, как это понравилось бы мне в прошлом.

Представьте себе график два на два, который вы могли видеть в школе. Вектор — это объект, который обычно отображается в виде упорядоченного списка элементов, например (4, 3) , который находится в векторном пространстве и обычно представлен в виде стрелки, хвост которой начинается в начале координат. , (0, 0) и заканчивается в какой-то другой точке, например (4, 3) .

Вектор (4, 3), представленный стрелкой

У этой стрелки есть пара свойств, на которые стоит обратить внимание: у нее есть направление и длина.Вектор может представлять множество реальных объектов, таких как ветер, бросок футбольного мяча и скорость вашего автомобиля. Он может даже представлять характеристики животного, количество вашего списка покупок или строку в вашей электронной таблице данных.

Но как узнать, является ли ваш объект или упорядоченный список векторным? Ну, он должен принадлежать к набору, называемому векторным пространством . Векторное пространство может быть любым набором элементов (это могут быть списки, функции или другие объекты), но эти элементы должны соответствовать некоторым правилам:

• Добавление любых двух элементов в набор приводит к другому элементу, который уже находится в наборе
• Умножение любых элементов в наборе на некоторое число (называемое скаляром) приводит к другому элементу, который уже находится в наборе
• Все элементы ассоциативны, коммутативны, а скаляры являются распределительными по отношению к сложению элементов
• В наборе есть элемент таким образом, что добавление его к любому другому элементу не меняет его значения
• Существует некоторое число (называемое скаляром), такое, что его умножение на любой другой элемент не меняет значения элемента
• Любой элемент в наборе имеет какой-либо элемент, который можно добавить к нему, что приведет к элементу нулей (называемому нулевым вектором)

Если все элементы в вашем наборе соответствуют правилам, приведенным выше, поздравляем! Ваши элементы называются векторами, а набор, которому они принадлежат, называется векторным пространством.Но нарушите любое из этих правил, и вы получите , а не , векторное пространство, а элементы внутри вашего набора не будут векторами.

На математическом жаргоне эти правила переводятся следующим образом:

• Все элементы закрываются при сложении
• Все элементы закрываются при скалярном умножении
• Все элементы ассоциативны, коммутативны, а скаляры являются распределительными относительно сложения элементов
• Аддитивная идентичность существует для каждого элемента
• Мультипликативная идентичность существует для каждого элемента
• Аддитивная инверсия существует для каждого элемента

Рассмотрим набор, который вы уже знаете и любите, R² . R² — это просто R × R , который представляет собой набор всех возможных двумерных списков, представленных следующим обозначением набора {(a, b): a, b в R} . Вы можете визуализировать R² ниже (очевидно, что пределы осей x и y не ограничиваются десятью, а вместо этого приближаются к бесконечности):

R² визуализируется как декартова плоскость

Является ли набор R² векторным пространством? Что ж, если бы это было так, нужно было бы следовать всем правилам векторного пространства, которые были упомянуты выше.Рассмотрим первое правило: добавление любых двух элементов в набор приводит к получению другого элемента, уже присутствующего в наборе. Соответствует ли R² этому правилу? Ну, например, возьмем любые два элемента в R² , такие как (2, 3) и (-1, -4) . Если сложить их вместе, получится ли элемент, который также находится в R² ? Да! Фактически, вы получаете (1, -1) , который действительно находится в наборе R² . Это верно для любых двух элементов, которые вы добавляете в R² — вы всегда получите что-то, что также принадлежит R² .

Итак, вы проверили первое правило! Но для того, чтобы R² называлось векторным пространством, вы должны убедиться, что оно соответствует всем правилам; что он делает.

Короче говоря, есть много наборов, которые следуют приведенным выше правилам, поэтому, естественно, вы даете ему имя. И теперь, когда кто-то говорит о каком-то произвольном наборе, вы знаете, что если элементы набора следуют правилам векторного пространства, то набор должен быть векторным пространством.

Еще одно замечание касается этих скаляров, с помощью которых можно умножать векторы.Скаляры — это элементы, которые принадлежат набору, называемому полем , который имеет те же правила, что и векторное пространство, но с бонусом наличия мультипликативной инверсии.

Так как поле — это набор, который имеет все правила векторного пространства, то поле также является векторным пространством. На самом деле вы все время использовали поля, такие как набор действительных чисел или набор комплексных чисел. Каждый раз, когда вы рисуете график на двумерной сетке, вы фактически рисуете на двухмерном поле.

На практике вы можете подумать, что утомительно проверять каждое правило на соответствие набору, чтобы увидеть, является ли набор векторным пространством. Что ж, ты прав. Вот почему намного проще идентифицировать набор как подмножество векторного пространства, которое вы уже знаете (например, набор действительных чисел), и доказать, что это подмножество непусто и что оно закрывается при тех же операциях, что и векторное пространство ( т.е. при сложении и скалярном умножении).

Если вы можете это сделать, то ваше подмножество называется подпространством , которое также является векторным пространством само по себе (опять же, чтобы убедиться в этом, возьмите подпространство и убедитесь, что оно все свойства векторного пространства).

Итак, если вы хотите доказать, что набор является векторным пространством, попробуйте вместо этого доказать, что это подпространство. Поскольку подпространства сами по себе являются векторными пространствами, вы успешно покажете, что набор является векторным пространством.

Вся эта теория не очень полезна, если вы не можете ее применить. Итак, рассмотрим первые несколько строк классического набора данных Iris, который представляет собой набор данных, содержащий образцы трех разных видов цветка Iris.

Некоторые строки набора данных Iris

Как видно из заголовка, особенности каждого образца:

• длина чашелистика
• ширина чашелистика
• длина лепестка
• ширина лепестка

Каждый ряд функций можно просмотреть в виде упорядоченного списка.Первый список будет (5,1, 3,5, 1,4, 0,2) , второй (4,9, 3, 1,4, 0,2) и так далее. Но являются ли эти упорядоченные списки векторами? Что ж, каждая запись в списках является действительным числом и, следовательно, принадлежит набору действительных чисел, R . И поскольку каждый из этих упорядоченных списков четырехмерен, то они живут в R⁴ . Поскольку R⁴ — векторное пространство, эти упорядоченные списки можно назвать векторами.

Обратите внимание, что каждая запись в этих векторах представляет измерение в R⁴ , где каждое измерение соответствует объекту в наборе данных (например, длина чашелистика, ширина чашелистника и т. Д.).То есть каждую функцию в ваших данных можно рассматривать как случайную величину. А поскольку это случайные величины, мы можем проводить некоторую описательную статистику, например определять их средние значения и стандартные отклонения.

Поскольку вы уже представили каждую строку в таблице в виде вектора, вы можете вычислить средние значения и стандартные отклонения каждой случайной переменной одним махом. Это сила векторов.

Представьте, что строки / векторы (5,1, 3,5, 1,4, 0,2), и (4,9, 3, 1,4, 0.2) — это все данные, которые у вас были в таблице выше. Используя два правила векторного пространства, скалярное умножение и сложение, мы можем легко вычислить средние значения каждой имеющейся случайной величины.

Масштабирование и добавление векторов для нахождения среднего

Итак, среднее значение длины чашелистика составляет 5 , среднее значение ширины чашелистика составляет 3,25 и так далее. Представление данных в виде набора векторов не только эстетично, но и более производительно в вычислениях, поскольку компьютеры оптимизированы для вычислений с использованием векторов (оказывается, вы можете заменить множество циклов for векторными и матричными операциями).

В конце концов, поскольку вы можете представить свои данные в виде векторов, которые принадлежат набору со специальными правилами, называемыми векторным пространством, многие из замечательных вещей, которые вы делаете со своими данными, такие как: линейные преобразования функций, стандартизация и методы уменьшения размерности может быть оправдано правилами векторных пространств.

И векторные пространства не только являются основой любой работы, связанной с данными, но и составляют основу линейной алгебры, которая занимает центральное место почти во всех областях математики.Даже если явление, которое вы изучаете, является нелинейным, линейная алгебра — это лучший инструмент для использования в качестве приближения первого порядка.

Короче говоря, векторы тесно связаны с вашими данными и очень полезны! Поэтому в следующий раз, когда вы будете импортировать данные в фрейм данных и выполнить кучу операций, помните, что ваш компьютер обрабатывает ваши данные как набор векторов и успешно применяет преобразования с высокой производительностью. И все благодаря этим маленьким ребятам, которых называют векторами.

Если вам нравится то, что я здесь написал, обязательно загляните в мой личный блог , где у меня есть статьи, которых нет на Medium.

Обзор ускорения — Apple Developer

Машинное обучение

Библиотека BNNS фреймворка Accelerate представляет собой набор функций, которые вы используете для построения нейронных сетей для обучения и вывода. Библиотека предоставляет процедуры, оптимизированные для обеспечения высокой производительности и низкого энергопотребления на всех процессорах, поддерживаемых платформами macOS, iOS, tvOS и watchOS. BNNS включает богатый набор типов слоев, функций потерь, функций активации и вспомогательных подпрограмм для машинного обучения.

Подробнее о BNNS

Обработка изображений

vImage — это высокопроизводительный фреймворк для обработки изображений. Он включает функции для обработки изображений — свертки, геометрические преобразования, операции с гистограммами, морфологические преобразования и альфа-композитинг, а также служебные функции для преобразования формата и других операций.

vImage оптимизирует обработку изображений с помощью векторного процессора ЦП. Если векторный процессор недоступен, vImage использует следующий наилучший доступный вариант.Эта структура позволяет вам воспользоваться преимуществами векторных процессоров без необходимости писать векторизованный код.

Подробнее о vImage

Цифровая обработка сигналов

Инфраструктура vDSP содержит набор высоко оптимизированных функций для обработки цифровых сигналов и арифметических операций общего назначения на больших массивах. Примерами функций цифровой обработки сигналов являются операции преобразования Фурье и биквадратной фильтрации. Арифметические функции включают функции умножения-сложения и сокращения, такие как сумма, среднее и максимальное.

Подробнее о vDSP

Вычисление векторов и матриц

С vForce вы можете выполнять арифметические и трансцендентные функции с векторами. Поскольку это векторизованные функции, операции vForce значительно быстрее и энергоэффективнее, чем выполнение тех же операций в циклах над теми же векторами.

Библиотека simd предоставляет типы и функции для вычислений с малыми векторами и малыми матрицами. Типы включают целочисленные векторы и матрицы с плавающей запятой.Функции обеспечивают основные арифметические операции, поэлементные математические операции, а также операции геометрической и линейной алгебры.

simd поддерживает векторы, содержащие до 16 элементов (для значений с одинарной точностью) или 8 элементов (для значений с двойной точностью), а также матрицы размером до 4 x 4 элементов.

Подробнее о vForce

Линейная алгебра

Платформа Accelerate предоставляет библиотеки BLAS и LAPACK для выполнения линейной алгебры с плотными векторами и матрицами.Реализации BLAS и LAPACK от Accelerate абстрагируют возможности процессора, поэтому написанный для них код будет выполнять соответствующие инструкции для процессора, доступные во время выполнения. Это означает, что как BLAS, так и LAPACK оптимизированы для обеспечения высокой производительности и низкого энергопотребления.

BLAS содержит примитивы линейной алгебры, включая операции вектор-вектор, матрица-вектор и матрица-матрица. LAPACK включает поддержку собственных значений и сингулярных задач, матричную факторизацию, а также решение систем линейных уравнений и линейных наименьших квадратов.

Подробнее о BLAS

Сжатие без потерь

AppleArchive обеспечивает быстрое сжатие, которое включает атрибуты файлов, такие как право собственности, разрешения, флаги, время, расширенные атрибуты и исправление ошибок. AppleArchive предлагает следующие функции:

• Многопоточная обработка, которая использует все ядра, энергоэффективна и дает более быстрые результаты
• Возможность переносить файлы и их атрибуты и использовать функции файловой системы Apple (APFS), когда они доступны, например сжатие файловой системы, полные клоны и разреженные файлы.
• Гибкие форматы кодирования, позволяющие использовать архивы, например, для исправления ошибок, дайджесты, манифесты и внешнее хранилище данных
• Поддержка API для обработки архивов в памяти, потокового доступа, произвольного доступа и последовательного архивирования и извлечения

Подробнее об AppleArchive

Редкие решатели

Используя библиотеку Sparse Solvers в платформе Accelerate, вы можете выполнять линейную алгебру с системами уравнений, в которых матрица коэффициентов разрежена, то есть большинство элементов матрицы равны нулю.

Многие задачи науки и техники требуют решения больших систем одновременных уравнений. Когда эти уравнения линейны, они обычно появляются как матричное уравнение Ax = b (и даже когда уравнения нелинейные, решение проблемы часто представляет собой последовательность линейных приближений).

Подробнее о разреженных решателях

Определенная интеграция

Квадратура обеспечивает приближение определенного интеграла функции на конечном или бесконечном интервале.

Квадратура — это исторический термин для определения площади под кривой. Часто это делалось путем разбиения области на более мелкие формы, площадь которых можно было легко вычислить (например, прямоугольники), и суммирования этих меньших областей для получения приблизительного результата.

На современном языке этот процесс называется определенной интеграцией . Квадратурная функциональность платформы Accelerate обеспечивает приближение определенного интеграла функции на конечном или бесконечном интервале, выполняемое путем вычисления функции в серии точек в пределах интервала.