12.1. Первое уравнение Максвелла

Оно является обобщением закона электромагнитной индукции ,

и в интегральной форме имеет следующий вид (5)

и утверждает.что с переменным магнитным полем неразрывно связано вихревое электри­ческое поле, которое не зависит оттого находятся в нем проводники или нет. Из (3) следует, что . (6)

Из сравнения (5) и (6) находим, что (7)

Это и есть первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

12.2. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла

Максвелл обобщил закон полного тока предположив, что переменное электрическое поле, также как и электрический ток, является источником магнитно­го поля. Для количественной характеристики «магнитного действия» переменного электрического поля Максвелл ввел понятие

тока смещения.

По теореме Гаусса — Остроградского поток электрического смещения сквозь замкну­тую поверхность

Продифференцировав это выражение по времени, получим для неподвижной и недеформирусмой поверхности S (8)

Левая часть этой формулы имеет размерность тока, который, как известно, выражает­ся через вектор плотности тока . (9)

Из сравнения (8) и (9) следует, что имеет размерность плотности тока: А /м².Максвелл предложил назвать плотностью тока смещения:

. (10)

Ток смещения . (11)

Из всех физических свойств, присущих действительному току (току проводимости), связанному с переносом зарядов, ток смещения обладает лишь одним: способностью соз­давать магнитное поле. При «протекании» тока смещения в вакууме или диэлектрике не вы­деляется тепло. Примером тока смещения может служить переменный ток через конденсатор. В общем случае токи проводимости и смещения не разделены в пространстве и мож­но говорить о полном токе, равном сумме токов проводимости и смещения:

(12)

С учетом этого Максвелл обобщил закон полного тока, добавив в правую часть его ток смещения . (13)

Итак, второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид:

. (14)

Из (3) следует, что . (15)

Из сравнения (14) и (15) находим, что . (16)

Это и есть второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

12.3. Третье и четвертое уравнения Максвелла

Максвелл обобщил теорему Гаусса — Остроградского для электростатического поля. Он предположил, что эта теорема справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Соответственно, третье уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид: . (I7)или

. (18)

где — объемная плотность свободных зарядов, [] = Кл / м³

Из (1) следует, что . (19)

Из сравнения (18) и (19) находим,что . (20)

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах имеет

следующий вид: ,(21) . (22)

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

; (2.5)

; (2.6)

; (2.7)

. (2.8)

Первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме (2.5) показывает, что вихревое магнитное поле создается как плотностью тока проводимости, так и тока смещения.

Второе уравнение Максвелла в дифференциальной

форме (2.6) показывает, что вихревое электрическое поле создается изменением во времени индукции магнитного поля.

Третье и четвертое уравнения Максвелла в дифференциальной форме отражают наличие носителей у электрического поля (2.7) и отсутствие носителей у магнитного поля (2.8).

Уравнением непрерывности называют дифференциальную форму закона сохранения заряда

. (2.9)

Из (2.9) следует, что в точках, являющихся

источниками j_пр , происходит убывание заряда [8]. Без введения тока смещения уравнения системы Максвелла и уравнение непрерывности не выполняются.

Уравнения Максвелла в комплексной форме. В радиотехнике часто используются гармонические колебания. В линейных системах удобно использовать метод комплексных амплитуд. В этом случае от реального сигнала cos (t+z) с помощью добавления мнимой составляющей isin (t+z) по формуле Л. Эйлера переходят к комплексному представлению

сигнала exp (i(t+z)).

Когда анализ завершен, для получения окончательного ответа из комплексного результата достаточно выделить действительную часть.

В комплексной форме операции интегрирования и дифференцирования по времени существенно упрощаются

; ;. (2.10)

Комплексную амплитуду (кроме амплитуды в нее входит и начальная фаза) будем обозначать точкой сверху. В комплексной форме уравнения (2.5) и (2.6) будут иметь вид

; (2.11)

; (2.12)

, . (2.13)

Введение делает уравнения (2.11) и (2.12) похожими.

. (2.14)

Тангенс угла диэлектрических потерь. Для оценки соотношения между током проводимости и током смещения удобно ввести величину тангенс угла диэлектрических потерь

==. (2.15)

В зависимости от значения tg среды можно классифицировать так:

– диэлектрик;

– полупроводящая среда;

– проводник.

(2.16)

Из уравнения (2.15) следует, что tg зависит от частоты. Это значит, что одно и то же вещество может на НЧ вести себя как проводник, а на ВЧ – как диэлектрик.

Например, морская вода с параметрами  = 1 См/м и  = 80 на частотах менее 23 МГц проявляет себя как проводник, а на частотах более 2,3 ГГц – как диэлектрик. Следует отметить, что такие типичные диэлектрики, как фарфор, эбонит, слюда, из-за очень малой проводимости ( <10^–12 См/м) даже на очень низких частотах остаются диэлектриками, а металлы из-за очень высокой проводимости ( >10⁶ См/м) остаются проводниками на высоких частотах вплоть до диапазона КВЧ.

При измерениях на высоких частотах tg обычно оказывается больше, чем результаты по уравнению (2.15). Это происходит в основном из-за влияния поляризационных потерь [1, 11], которые суммируются с tg (2.15). Для типичных радиодиэлектриков на высоких частотах именно данный вид потерь является преобладающим [2], поэтому более точным будет определение tg как отношения активной части плотности полного тока смещения к реактивной [1, 2]

, (2. 17)

где _Э – угол запаздывания по фазе от[1, 2].

Система уравнений Максвелла с учетом сторонних источников. В задачах электродинамики к сторонним источникам относят такие источники ЭМП, которые возбуждают это поле, но сами от него не зависят, так как их поддерживают сторонние по отношению к исследуемому ЭМП физические явления [11]. Например, при определении ЭМП вокруг проволочной антенны целесообразно исключить из анализа ЭМП генератор и линию передачи, которые вместе с антенной образуют единую электродинамическую систему, а влияние происходящих в них процессов учесть введением в систему плотности стороннего тока, что существенно упрощает решение задачи [11].

Таким образом, сторонние величины (j_ст, _ст и т. п.) суммируются (или вычитаются, в зависимости от направления взаимодействия токов или полярностей зарядов) с соответствующими величинами системы уравнений Максвелла.

; ; (2.18)

; . (2.19)

В комплексной форме уравнения (2.18)–(2.19) будут иметь вид

; ; (2.20)

; . (2.21)

Индексы _(м) указывают источники магнитного типа. Введение эквивалентных (физически фиктивных) магнитных зарядов и токов может упростить решение некоторых электродинамических задач.

Список рекомендуемой литературы: [1, гл. 3, с. 17–23; 2, с. 28–39; 3, гл. 1–2, с. 16–21; 4, с. 16–21; 5, с. 8–13, 17–18; 6, с. 7–41, 119–121; 7, с. 34–49; 8, с. 5–7; 9, с. 30–38, 51–56; 10, с. 19–38, 51–56; 11, с. 16–42, 48–52; 12, с. 26–37, 46–54; 13, с. 8–29, 36–39, 123–128; 15, с. 199–207; 31].

{\ left \ vert i + 2 \ right \ vert} \ Wedge dt $ $

и, таким образом,

$ $ \ text {d} F = \ left (\ dfrac {\ partial E_ {y}} {\ partial x }-\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y}+\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t}\right)dx\клин dy\клин dt+\left(\dfrac{\ частичное E_ {z}} {\ парциальное y} — \ dfrac {\ парциальное E_ {y}} {\ парциальное z} + \ dfrac {\ парциальное B_ {x}} {\ парциальное t} \ справа) dy \ клин dz \ клин dt + \ left (\ dfrac {\ partial E_ {x}} {\ partial z} — \ dfrac {\ partial E_ {z}} {\ partial x} + \ dfrac {\ partial B_ {y}} { \partial t}\right)dz\клин dx\клин dt+\mathbf{\nabla\cdot B}\text{vol}^{3}$$ 9{я}$$ если хочешь. Самое смешное, что, конечно, любая замена $G\rightarrow G+d\phi$ ($\phi$ — 2-форма) не переопределит заряд $j=dG\rightarrow d\left(G+d\phi \справа)=dG$.

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла представляют собой один из самых элегантных и лаконичных способов изложения основ электричества и магнетизма. Из них можно развить большинство рабочих отношений в этой области. Из-за их сжатого изложения они воплощают высокий уровень математической сложности и поэтому обычно не вводятся во вводное рассмотрение предмета, за исключением, возможно, сводных соотношений. Эти основные уравнения электричества и магнетизма можно использовать в качестве отправной точки для продвинутых курсов, но обычно они впервые встречаются как объединяющие уравнения после изучения электрических и магнитных явлений. Symbols Used E = Electric field ρ = charge density i = electric current B = Magnetic field ε 0 = permittivity j = плотность тока D = электрическое смещение μ 0 = проницаемость C = скорость света H = Прочность на магнитное поле MGATICIS Интегральная форма Дифференциальная форма

Индекс Концепции уравнений Максвелла

Гиперфизика***** Электричество и магнетизм R Ступица

Назад

Интегральная форма в отсутствие магнитных или поляризуемых сред: I. Закон Гаусса для электричества II. Закон Гаусса для магнетизма III. Закон индукции Фарадея IV. Закон Ампера Дифференциальная форма Обсуждение

Индекс Концепции уравнений Максвелла

1 Гиперфизика***** Электричество и магнетизм R Неф Вернуться Дифференциальная форма в отсутствие магнитных или поляризуемых сред: I. Закон Гаусса для электричества II. Закон Гаусса для магнетизма III. Закон индукции Фарадея IV. Закон Ампера Примечание: здесь представляют векторные операции дивергенции и завитка соответственно. Интегральная форма Обсуждение Дифференциальная форма с магнитной и поляризируемой средой Индекс Концепции уравнений Максвелла   Гиперфизика***** Электричество и магнетизм R Ступица Назад Дифференциальная форма с магнитными и/или поляризуемыми средами: I. alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника