2

2

2. Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть и два свободных вектора (рис. 26, а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор = , затем от точки А отложим вектор   = , Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется  суммой этих векторов и обозначается (рис. 26, б). Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом.

Отложим от точки О векторы  = и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм  О ABC Вектор , служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины

О, является, очевидно, суммой векторов (рис. 26, в). Из рис. 26, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:

.

Действительно, каждый из векторов и равен одному и тому же вектору .

Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора , и (рис. 27, а). Построив сначала сумму векторов , а затем прибавив к этой сумме вектор получим вектор . На рис. 27, б) = , , , и .

Из рис. 27, б видно, что тот же вектор мы получим, если к вектору = прибавим вектор . Таким образом,

Рис.27

( + ) + = + ( + ),

т.е. сумма векторов обладает  сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов , , записывают просто .

Итак, сумму трех векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго; к концу второго — начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов. Подобным же образом строится сумма любого конечного числа векторов.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нулевому вектору. Очевидно, что для любого вектора имеет место равенство .

Определение. Разностью и называется третий вектор , сумма которого с вычитаемым вектором

дает вектор . Таким образом, если , .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 28). Откладываем векторы

= и = из общей точки О. Вектор , соединяющий

концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью . Действительно, по правилу сложения векторов

, или .

Определение. Произведением ( или ) на , называется вектор

, коллинеарный вектору , имеющий длину, равную и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направление есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор . В случае, когда = 0 или , произведение представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на

Так, западный ветер можно представить как отрицательный восточный ветер. Очевидно, что .

Пусть дан вектор . Рассмотрим единичный вектор , коллинеарный вектору и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что

,

т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует = , где ненулевой вектор, то векторы и коллинеарны.

Очевидно, что и, обратно, из коллинеарности векторов и следует, что .

Таким образом, два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

= .

Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает

и сочетательным свойством

.

Справедливость, например, равенства (1) при следует из того, что при изменении сторон параллелограмма в раз в силу свойств подобия его диагональ также изменяется в

---

Понятие вектора | Линейые операции над векторами | Понятие линейной зависимости векторов|

Линейная зависимость векторов на плоскости |  Линейная зависимость векторов в пространстве

Базис на плоскости и в пространстве | Проекция вектора на ось и ее свойства | Декартова прямоугольная система координат в пространстве| Цилиндрические и сферические координаты| Главная

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение суммы векторов (№1). Суммой векторов и называется вектор , который получается следующим образом.

Вектор начинается в общей точке векторов и , а заканчивается в противоположной точке параллелограмма

Возможно другое определение суммы векторов.

Определение суммы векторов (№2). Суммой векторов и называется вектор , который получается следующим образом.

Вектор начинается в начале вектора и заканчивается в конце вектора .

Очевидно, что оба определения задают один и тот же вектор.

Из первого определения следует очевидное равенство

Кроме того, для суммы векторов верно следующее свойство (сочетательное свойство)

Второе определение суммы векторов дает возможность определить сумму произвольного числа векторов. При суммировании произвольного числа векторов начало каждого последующего вектора помещается в конец предыдущего. Итоговый вектор суммы будет соединять начало первого вектора и конец последнего вектора.

Определение разности векторов. Разностью векторов и называется вектор , который получается следующим образом.

Вектор начинается в конце вектора , а заканчивается в конце вектора

Определение произведения вектора на число. Произведением вектора на число называется вектор , который обладает следующими свойствами.

Операция умножения вектора на число обладает следующими очевидными свойствами

Заметим, что в результате умножения вектора на число получается вектор коллинеарный по отношению к исходному вектору.

3. Декартова система координат.

Рассмотрим тройку взаимно перпендикулярных единичных векторов , , . Имеет место следующее утверждение.

Для произвольного вектора существует тройка чисел со следующим свойством

Другими словами, любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации трех взаимно перпендикулярных единичных векторов. Тройка взаимно перпендикулярных единичных векторов

, , называется базисом в декартовой системе координат. Тройка чисел называется координатами вектора в декартовой системе координат.

C

P

O B

A D

Заметим, что вектор и вектор отличаются только длинами. Поэтому можно записать

, где – некоторое число. Аналогично . Поэтому имеем

Предположим, что точка P – конец вектора . В этом случае числа называются координатами точки P. Над координатами точки можно проделывать такие же операции как над координатами вектора.

4. Операции над векторами в координатах векторов.

   1. Сложение векторов.

Пусть вектор имеет координаты , а вектор имеет координаты вектор суммы имеет координаты

Пример. Найти сумму векторов и .

2. Вычитание векторов.

Пусть вектор имеет координаты , а вектор имеет координаты вектор разности имеет координаты

Пример. Найти разность векторов и .

3. Умножение вектора на число.

Пусть вектор имеет координаты , вектор произведения вектора на число имеет координаты .

Пример. Найти произведение вектора на число 3.

Пример. Даны два вектора и . Найти 2

4. Задание вектора двумя точками.

Пусть вектор т.е. задан точками A() и B() (в скобках указаны координаты точек). В этом случае для того, чтобы найти координаты вектора надо от координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Пример. Даны две точки A(-4,2,6) и B(1, 7,3). Найти координаты вектора

5. Координаты центральной точки.

Пусть заданы две точки A() и B() (в скобках указаны координаты точек). Любая точка C(), лежащая на отрезке между этими точками может быть задана числом следующим образом

В частности при получается точка A, получается точка B, а при получается точка, лежащая строго по центру отрезка.

Пример. Даны две точки A(-4,2,6) и B(1, 7,3). Найти координаты C — центра отрезка

6. Длина вектора.

Пусть вектор имеет координаты , то длина вектора определяется по формуле

Из этой формулы следует, что если вектор задан точками A() и B(), то его длина может быть вычислена по формуле:

Пример. Даны две точки A(-4,3,-2) и B(0, -7,1). Найти длину вектора

7. Условие коллинеарности векторов.

Пусть вектор имеет координаты (), а вектор имеет координаты (). Если вектора коллинеарные, то найдется такое число , при котором выполняется

Или в координатах

() = ()

Следовательно

Находим :

Получаем условие коллинеарности векторов:

Пример. Найти значение числа , при котором коллинеарны вектора (-1, 3, 2) и (3, -9, ).

Получаем

5. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов называется число равное произведению векторов на косинус угла между ними.

Замечание. Из этой формулы с очевидностью следует, что величина скалярного произведения не зависит от порядка векторов в произведении.

Если вектора заданы координатами, т.е. вектор имеет координаты (), а вектор имеет координаты (), то скалярное произведение может быть вычислено по формуле:

Пример. Вычислить скалярное произведение между векторами (-4,2,6) и (1, 7,3)

Из формулы скалярного произведения следует широко используемая формула для вычисления угла между векторами

Или в векторной форме с подстановкой формул для вычисления длины

Геометрический смысл скалярного произведения.

C A

O

B

Вектор OC – это проекция вектора OB на вектор OA. Следовательно, скалярное произведение векторов это произведение длины первого вектора на длину проекции второго вектора на первый.

Так как в скалярном произведении порядок векторов не важен, то можно записать

Из последней формулы получаем выражения для вычисления проекций одного вектора на другой.

Условие перпендикулярности векторов.

Из определения скалярного произведения видно, что если угол между векторами равен нулю, т.е. вектора перпендикулярны, то скалярное произведение равно нулю. Из этого следует условие перпендикулярности векторов

Или

Есть ли синтаксис в математике? : Дискуссионные темы (М)

Если провести опрос среди математиков, какая операция будет обратной к операции сложение, то 99% назовет вычитание. Но у меня твердое убеждение, что для сложения обратная операция — разложение.

Понятие «лежать между» неопределяемо

Это не так. Если у Гильберта понятие «лежать между» описывается четырьмя аксиомами, то это и есть определение понятия. Четвертая аксиома это аксиома Паша. В современных текстах стремление побольше ввести неопределяемых понятий хорошо заметно. Что подразумевать в ситуации, когда в книге понятие используется, но определение не дано: понятие не определяемо, или можно взять его совсем рядышком, в другой книге, на той же полке? Можно ли «не замечать» истину, явно не отрицая ее? Геометрия Гильберта содержит ложные утверждения?

«Алгебраическая геометрия» Э. Артина. Там хорошо написано как вводятся векторы

Впервые слово с корнем «вектор» встречается на стр.17: «Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием и элементарными свойствами векторного пространства». Слово целиком, вектор, встречается в определении нулевого вектора (это, очевидно, вид из общего рода «вектор», определения которого в книге нет). И дается это определение через операцию в пространстве. Вы не читали эту книгу? Где в ней конкретно ввод понятия вектор?

2 Xaositect:
однако, в этой книге на стр.18 есть интересное утверждение: «каждый вектор представим в виде линейной комбинации других векторов». Там же дано определение базиса в векторном пространстве. Скажите, что означает операция разложения вектора по базису , если у нас векторное пространство размерностью два? И что означают коэффициенты разложения?

Вообще, я могу задать пространство математических высказываний. И определить характеристику «близость» (расстоянием у меня язык не повернется назвать) между высказываниями, близость между словами в высказывании, близость символов и т.д., в этом пространстве. Можно ли это сделать, строго не определив вначале элемент «математическое высказывание»? Могу ли я задать хоть одну операцию с объектом (элементом) пространства, не зная его свойств, например, что есть близость, правило различения, свойство тождественности, изотропность внутри себя? А что такое пространство, где не определены элементы и операции с ними? Ничто, одно название.

Векторное пространство, это пространство(вместилище) для векторов, или вектора сами задают пространство? Какая-то подозрительно искусственная слепота обнаруживается, — дав вначале простенькое определению вектору, переходят затем к пространству с векторами в качестве элементов, и выясняется, что для операций в пространстве необходимо знать, а если вообще такие свойства у элементов. В нашем случае, координаты, длина и направление? Дают описание свойств, но при этом в параллельном рассмотрении не хотят признавать, что добавили исходные посылки в определение вектора. Если они существуют и истинны, то каковы мотивы их игнорировать, но не отрицать явно?

Вообще говоря, стоит рассмотреть, возможно ли обосновать логически игнорирование какой-то известной истины. И что бы означало упорное игнорирование хотя бы одной. Возьмем физическую действительность. Идет суд. На скамье подсудимых конченный негодяй. Прокурор излагает обвинение G, выдвинув доказанные утверждения . У честного судьи складывается твердое убеждение, что если , то . Хитрый адвокат находит всего одно доказанное утверждение , такое, что если , то вывести не удается. Может ли судья выкинуть из рассмотрения неудобное для его убежденности утверждение ? Чаще всего, в нашей действительности, может, если он уже поменял убежденность при помощи энной суммы денег… Но по условию судья честный и вынужден следовать кодексу.

Урок изучения нового материала по теме «Векторы. Сумма векторов»

Урок изучения нового материала по теме: «Векторы» (

Презентация 1)

Главная дидактическая цель урока: Добиться умения самостоятельно формулировать определения понятий: вектор, длина вектора, коллинеарные и равные векторы каждым учащимся.

Цели урока:

• Показать изображение и обозначение вектора.
• Научить откладывать от любой точки пдоскости вектор, равный данному.
• Подготовить обучающихся к восприятию действий над векторными величинами.
• Воспитание коммуникативной культуры, приобретение опыта самостоятельной работы.
• Помочь учащимся  осознать  практическую и  личную значимость  учебного материала.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

Многие физические величины характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами  (слайд 2)

3. Изучение нового материала

(слайд 3) Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора.
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая концом, называется направленным отрезком или вектором. Обозначение:
(слайд 4) Примеры векторов.
(слайд 5) Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Обозначение:
(слайд 6) Задача: Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора.
(слайд 7) Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Примеры:  Векторы а и b; АВ и СД – сонаправленные.  Векторы АВ и b – противоположно направленные.

(слайд 8) Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Задачи:

1. (слайд 9) На рис. изображен параллелограмм АВСД. Укажите сонаправленные, противоположно направленные, равные векторы.

2. (слайд 10) На рис. изображена трапеция АВСД. Укажите сонаправленные, противоположно направленные, равные векторы.

3. (слайд 11) На рис. изображен треугольник АВС. Укажите сонаправленные, противоположно направленные, равные векторы.

(слайд 12) Откладывание вектора от данной точки: Если точка А – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Пример.

Задачи:

1. (слайд 13) Перечертите рисунок в тетрадь. Постройте векторы MN и KР такие, что MN = a, KP = a.

2. (слайд 14) Изобразите векторы АВ, СД, ОК, FE в системе координат, если известны координаты их начала и конца. Найдите длины векторов.

3. (слайд 15) В прямоугольнике АВСД АВ = 3 см, ВС = 4см, М – середина стороны АВ. Найдите длины векторов: 

4. Самостоятельная работа

5. Итог урока

Урок изучения нового материала по теме: «Сумма векторов» (

Презентация 2)

Главная дидактическая цель урока: добиться умения самостоятельно выполнять сложение векторов каждым учащимся.

Цели урока:

• Ввести понятие суммы двух векторов.
• Познакомить с правилами сложения векторов.
• Рассмотреть законы сложения векторов.
• Воспитание коммуникативной культуры, приобретение опыта самостоятельной работы.
• Помочь учащимся  осознать  практическую и  личную значимость  учебного материала.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

(слайд 2) Устный опрос:

1. Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым.
2. Что называется длиной ненулевого вектора?
3. Какие векторы называются коллинеарными?
4. Дайте определение равных векторов.

3. Решение задач:

(слайд 3) №1. Дан параллелограмм АВСД с диагоналями,  пересекающимися в точке О. Отметьте векторы: . Запишите: равные векторы, противоположные векторы.

(слайд 4) №2. Дано:  АВСД – четырехугольник, АВ = ДС. Доказать, что АВСД – параллелограмм.

№3. В четырехугольнике АВСД ВС АД, ВС = 3, АД = 5. Изобразите этот четырехугольник. Как он называется?

4. Изучение нового материала

(слайд 5) Пример – перемещение точки. Результат перемещения можно представить вектором. Рассмотренный пример приводит к понятию суммы двух векторов. Полученный вектор называется – суммой векторов.

(слайд 6) Сумма векторов: последовательное отложение векторов, когда конец первого вектора совмещается с началом второго, и вектор, имеющий начало в начале первого, а конец в конце второго будет вектором-суммой данных векторов.

(слайд 7) Правило треугольника.

(слайд 8) Задача: Найти равнодействующую двух сил  , приложенных к материальной точке А.

От одной точки откладываются векторы, равные данным. На векторах, как на сторонах строится параллелограмм и из общего начала векторов проводится диагональ. Вектор, совпадающий с диагональю – вектор-сумма векторов.

(слайд 9) Правило параллелограмма.

(слайд 10) Пример сложения двух векторов по правилам треугольника и параллелограмма. (Демонстрация на слайде выполняется последовательно. Показать обучающимся, что в результате получаются равные векторы.)

(слайд 11) Правило многоугольника. Демонстрация на слайде.

(слайд 12) Задача:

Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Найдите:

(слайд 13) Законы сложения векторов:

1. Переместительный закон:

2. Сочетательный закон:

(слайд 14) Пример: Упростить выражения:

(слайд 15) Задача:

Докажите, что если А, В, С и Д – произвольные точки, то 

5. Математический диктант

6. Итог урока

Используемая литература:

1. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов  и др. Геометрия, 7-9: учебник для общеобразоват. Учреждений – М.: Просвещение, 2006.
2. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов  и др. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику  – М. Просвещение, 2003.

Какой вектор называется суммой двух векторов, правило треугольника сложения векторов

Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами.

У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется модулем (длиной).

Примеры:

• скорость,
• ускорение,
• импульс,
• сила,
• момент,
• силы,
• перемещение,
• напряженность поля и др.

Это интересно: как переводить градусы в радианы?

Координаты на плоскости

Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

Сумма векторов

Существуют несколько правил для расчета суммы

• правило треугольника,
• правило многоугольника ,
• правило параллелограмма.

Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника.

Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец — с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове».

Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

Примеры:

• Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
• При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника, «хвост к голове»

Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма.

Длина в этом случае вычисляется по формуле

, где θ угол между сторонами.

Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

Обратите внимание: что такое луч в геометрии.

Элементы алгебры

1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
2. Коммутативность: сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
3. Ассоциативность: сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
5. Для каждого вектора есть противоположный. Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

Умножение на скаляр

Результатом умножения на скаляр будет вектор.

Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

Скаляр — числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

Примеры скалярных величин в физике:

• масса,
• время,
• заряд ,
• длина,
• площадь,
• объем,
• плотность,
• температура,
• энергия.

Примеры:

• Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
• Импульс тела — масса, умноженная на скорость p = mv .
• Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
• Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.

Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

Пример:

Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .

Лекция «Векторы. Векторная алгебра»

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

ВЕКТОРЫ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Содержание
Название	стр.	Название	стр.
1. Основные определения	3	8.1. Длина вектора	18
2. Действия над векторами	5	8.2. Расстояние между двумя точками	18
2.1. Умножение вектора на число	5	9. Направляющие косинусы вектора	18
2.2. Сумма векторов	7	10. Скалярное произведение двух векторов	20
2.3. Разность векторов	8	10.1. Определение скалярного произведения	20
3. Числовая ось	8	10.2. Свойства скалярного произведения	21
4. Единичный вектор	9	11. Векторное произведение двух векторов	21
5. Угол между векторами	10	11.1. Определение векторного произведения	21
6. Проекция вектора на ось	10	11.2. Свойства векторного произведения	22
7. Системы координат	13	12. Смешанное произведение трёх векторов	22
7.1. Декартова система координат на плоскости	13	12.1. Определение смешанного произведения	23
7.2. Декартова система координат в пространстве	14	12.2. Свойства смешанного произведения	23
8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками	19

 

Действия над векторами

В качестве действий над векторами, рассматриваются линейные операции – умножение вектора на число, сложение и вычитание.

Умножение вектора на число

Определение 6. Произведением вектора  на вещественное число  называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину  и сонаправленный с вектором , если , и противонаправленный с вектором , если . Произведением вектора  на число  обозначается  или .

На рис. 6 – рис. 9 показаны пары векторы  и ,  и ,  и ,  и

 

 

Рис. 3. Случай

 

 

Рис. 4. Случай

 

 

Рис. 5. Случай

 

 

Рис. 6. Случай

 

Противоположный вектор  можно рассматривать как результат умножения вектора  на число :

 

.

 

Отметим некоторые свойства умножения вектора на число.

 

1.  – закон коммутативности.

 

2.  – закон ассоциативности.

 

3.  – закон дистрибутивности.

 

4.  – закон дистрибутивности.

Теорема 1. Для коллинеарности векторов  и , необходимо и достаточно существование числа  такого, что выполняется хотя бы одно из равенств  или .

Сумма векторов

Определение 7. Суммой векторов  и  называется вектор , вычисляемый как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, имеющая с ними общее начало (рис. 10). Сумма векторов  и  обозначается .

 

 

Рис. 10

 

Отметим некоторые свойства суммы векторов.

 

1.  – закон коммутативности.

 

2.  – закон ассоциативности.

 

3. .

 

4. .

Разность векторов

Определение 8. Разностью  векторов  и  называется вектор, сумма которого с вектором  равна вектору . Разность  можно определить как сумму вектора  с вектором, противоположным к вектору : .

Разность  векторов  и  можно вычислить по правилу параллелограмма, как диагональ этого параллелограмма, исходящей из конца вектора  (рис. 11).

Сумма и разность векторов определялись по правилу параллелограмма. Можно эти две операции определить по правилу треугольника. Для определения суммы , следует параллельным переносом начало вектора  совмещать с концом вектора . Для определения разности , следует концы этих векторов.

 

 

Рис. 11

 

Числовая ось

Числовой осью (числовой прямой) называется любая прямая, если:

1) на ней выбрана некоторая точка, называемая началом (центром) и обозначаемая ;

 

 

2) любое из двух направлений, называемое положительным направлением и обозначаемое стрелкой;

 

 

3) некоторый отрезок, называемый единичным отрезком (масштабом).

 

 

Каждому вещественному числу на числовой прямой соответствует единственная точка на числовой оси:

1) положительное число  изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии  по направлению стрелки;

2) отрицательное число  изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии  против направления стрелки;

3) нулевое число  изображается началом оси.

Имеет место и обратное соответствие: каждой точке на числовой оси соответствует единственное вещественное число.

Пусть точке  числовой оси соответствует число . Координатой точки  называется число  и обозначается .

 

 

Единичный вектор

 

Определение 9. Любой вектор, длина которой равна единице, называется единичным вектором.

Пусть задан вектор . Обозначим через  единичный вектор, сонаправленный с вектором , называемый ортом этого вектора . Из определения умножения вектора на число следует, что

 

или .

 

Для каждой числовой оси  определен единичный вектор , с началом в точке  (  – центр числовой оси) и концом в точке с координатой  (рис. 12). Направление единичного вектора  совпадает с положительным направлением числовой оси .

 

 

Рис. 12

 

Угол между векторами

Определение 10. Пусть векторы  и  имеют общее начало. Углом между векторами  и  называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из этих векторов до совпадения с другим (рис. 13). Под термином совпадение понимается, что векторы  и  окажутся сонаправленными. Угол между векторами  и  обозначают .

Из определения вытекает, что угол  между произвольными векторами содержится в промежутке: .

Определение 11. Пусть начало вектора  находится в центре числовой оси . Углом между вектором  и осью  называется угол между вектором  и единичным вектором  оси  (рис. 14).

 

 

Рис. 13                                          Рис. 14

Проекция вектора на ось

Определение 12. Проекцией точки  на ось  называется точка пересечения плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно оси  с осью  (рис. 15).

 

 

Рис. 15

Определение 13. Проекцией вектора  на ось  называется число, равное разности координат проекций конца и начала (рис. 16).

 

 

Рис. 16

 

Проекция вектора  на ось  обозначается . Имеем

 

.

 

Обозначим через  угол между вектором  и осью .

Проекция вектора может быть: 1) положительной, если угол  острый. В этом случае  (рис 16), 2) отрицательной, если угол  тупой. В этом случае  (рис. 17), 3) нулевой, если угол  или . В этом случае  (рис. 18).

 

 

Рис. 17                                                    Рис. 18

 

Определение 13. Составляющей вектора  по оси  называется произведение проекции вектора  на ось  на единичный вектор  этой оси и обозначается сост .

 

Составляющей вектора  по оси  есть вектор, соединяющий проекцию начала и проекцию конца вектора:

 

сост .

 

Отметим некоторые свойства проекции вектора на ось.

Свойство 1. Проекция вектора  на ось  равна произведению длины вектора  на косинус угла между вектором  и осью :

 

.

 

Свойство 2. Проекция произведения вектора  на число  на ось  равна произведению числа  на проекцию вектора  на ось :

 

.

 

Свойство 3. Проекция суммы двух векторов  и  на ось  равна сумме проекций этих векторов на ось :

 

.

 

Свойство 4. Проекция разности двух векторов  и  на ось  равна разности проекций этих векторов на ось :

 

.

 

Системы координат

Длина вектора

Пусть  – произвольный вектор. Длина вектора  вычисляется по формуле:

 

.

 

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

ВЕКТОРЫ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Содержание
Название	стр.	Название	стр.
1. Основные определения	3	8.1. Длина вектора	18
2. Действия над векторами	5	8.2. Расстояние между двумя точками	18
2.1. Умножение вектора на число	5	9. Направляющие косинусы вектора	18
2.2. Сумма векторов	7	10. Скалярное произведение двух векторов	20
2.3. Разность векторов	8	10.1. Определение скалярного произведения	20
3. Числовая ось	8	10.2. Свойства скалярного произведения	21
4. Единичный вектор	9	11. Векторное произведение двух векторов	21
5. Угол между векторами	10	11.1. Определение векторного произведения	21
6. Проекция вектора на ось	10	11.2. Свойства векторного произведения	22
7. Системы координат	13	12. Смешанное произведение трёх векторов	22
7.1. Декартова система координат на плоскости	13	12.1. Определение смешанного произведения	23
7.2. Декартова система координат в пространстве	14	12.2. Свойства смешанного произведения	23
8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками	19

 

Лекция «Векторы. Векторная алгебра»

 

Основные определения. Действия над векторами: умножение вектора на число; сумма векторов; разность векторов. Числовая ось. Единичный вектор. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Системы координат: декартова система координат на плоскости; декартова система координат в пространстве. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов: определение скалярного произведения; свойства скалярного произведения. Векторное произведение двух векторов: определение векторного произведения; свойства векторного произведения. Смешанное произведение трёх векторов: определение смешанного произведения; свойства смешанного произведения

 

1. Основные определения

В физике и технических науках встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений. Эти численные значения являются вещественными числами. Такие величины называются скалярными. Скалярными величинами являются длина, площадь, объём, масса, температура и др.

Наряду со скалярными, встречаются величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве, например, сила, скорость, ускорение и т.д. Такие величины называются векторными. Они описываются с помощью векторов.

Определение 1. Вектором (свободным вектором)  называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление.

О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор. Одна из ограничивающих его точек принимается за начало, другая – за конец, который на рисунке показывается стрелкой. Если началом вектора является точка , а конец точка , то используется обозначение  (рис. 1, рис.2).

 

 

Рис. 1                      Рис. 2

 

Определение 2. Модулем вектора  называется его длина. Модуль вектора  обозначается  (аналогично, ).

Определение 3. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается .

Очевидно, что длина нулевого вектора равна нулю: . У нулевого вектора направление не определено. В качестве направления нулевого вектора можно брать желаемое в данный момент направление.

Определение 4. Векторы  и  называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых. Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону, и противонаправленными, если они направлены в разные стороны.

На рис. 3 приведены примеры сонаправленных векторов  и , и противонаправленных векторов  и .

 

 

Рис. 3

 

Определение 5. Векторы  и  называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов  и  обозначается .

Если векторы  и  равны, то при соединение начало вектора  с началом вектора , а конец с концом получится параллелограмм (рис. 4). Верно и обратное правило: если при соединении начало вектора  с началом вектора , а конца с концом получится параллелограмм, то векторы  и  равны.

Если векторы обозначены своими концами  и , то равенство  эквивалентно тому, что четырёхугольник  является параллелограммом (рис. 5).

 

 

Рис. 4                                                          Рис. 5

 

Определение 5. Вектор  называется противоположным вектору , если они противонаправлены и имеют одинаковую длину. Если вектор  противоположный вектору , то обозначается .

Если вектор обозначен с помощью его концов , то для обозначения противоположного вектора можно использовать любое из двух обозначений  или .

 

Действия над векторами

В качестве действий над векторами, рассматриваются линейные операции – умножение вектора на число, сложение и вычитание.

Умножение вектора на число

Определение 6. Произведением вектора  на вещественное число  называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину  и сонаправленный с вектором , если , и противонаправленный с вектором , если . Произведением вектора  на число  обозначается  или .

На рис. 6 – рис. 9 показаны пары векторы  и ,  и ,  и ,  и

 

 

Рис. 3. Случай

 

 

Рис. 4. Случай

 

 

Рис. 5. Случай

 

 

Рис. 6. Случай

 

Противоположный вектор  можно рассматривать как результат умножения вектора  на число :

 

.

 

Отметим некоторые свойства умножения вектора на число.

 

1.  – закон коммутативности.

 

2.  – закон ассоциативности.

 

3.  – закон дистрибутивности.

 

4.  – закон дистрибутивности.

Теорема 1. Для коллинеарности векторов  и , необходимо и достаточно существование числа  такого, что выполняется хотя бы одно из равенств  или .

Сумма векторов

Определение 7. Суммой векторов  и  называется вектор , вычисляемый как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, имеющая с ними общее начало (рис. 10). Сумма векторов  и  обозначается .

 

 

Рис. 10

 

Отметим некоторые свойства суммы векторов.

 

1.  – закон коммутативности.

 

2.  – закон ассоциативности.

 

3. .

 

4. .

Разность векторов

Определение 8. Разностью  векторов  и  называется вектор, сумма которого с вектором  равна вектору . Разность  можно определить как сумму вектора  с вектором, противоположным к вектору : .

Разность  векторов  и  можно вычислить по правилу параллелограмма, как диагональ этого параллелограмма, исходящей из конца вектора  (рис. 11).

Сумма и разность векторов определялись по правилу параллелограмма. Можно эти две операции определить по правилу треугольника. Для определения суммы , следует параллельным переносом начало вектора  совмещать с концом вектора . Для определения разности , следует концы этих векторов.

 

 

Рис. 11

 

Числовая ось

Числовой осью (числовой прямой) называется любая прямая, если:

1) на ней выбрана некоторая точка, называемая началом (центром) и обозначаемая ;

 

 

2) любое из двух направлений, называемое положительным направлением и обозначаемое стрелкой;

 

 

3) некоторый отрезок, называемый единичным отрезком (масштабом).

 

 

Каждому вещественному числу на числовой прямой соответствует единственная точка на числовой оси:

1) положительное число  изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии  по направлению стрелки;

2) отрицательное число  изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии  против направления стрелки;

3) нулевое число  изображается началом оси.

Имеет место и обратное соответствие: каждой точке на числовой оси соответствует единственное вещественное число.

Пусть точке  числовой оси соответствует число . Координатой точки  называется число  и обозначается .

 

 

Единичный вектор

 

Определение 9. Любой вектор, длина которой равна единице, называется единичным вектором.

Пусть задан вектор . Обозначим через  единичный вектор, сонаправленный с вектором , называемый ортом этого вектора . Из определения умножения вектора на число следует, что

 

или .

 

Для каждой числовой оси  определен единичный вектор , с началом в точке  (  – центр числовой оси) и концом в точке с координатой  (рис. 12). Направление единичного вектора  совпадает с положительным направлением числовой оси .

 

 

Рис. 12

 

Угол между векторами

Определение 10. Пусть векторы  и  имеют общее начало. Углом между векторами  и  называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из этих векторов до совпадения с другим (рис. 13). Под термином совпадение понимается, что векторы  и  окажутся сонаправленными. Угол между векторами  и  обозначают .

Из определения вытекает, что угол  между произвольными векторами содержится в промежутке: .

Определение 11. Пусть начало вектора  находится в центре числовой оси . Углом между вектором  и осью  называется угол между вектором  и единичным вектором  оси  (рис. 14).

 

 

Рис. 13                                          Рис. 14

Проекция вектора на ось

Определение 12. Проекцией точки  на ось  называется точка пересечения плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно оси  с осью  (рис. 15).

 

 

Рис. 15

Определение 13. Проекцией вектора  на ось  называется число, равное разности координат проекций конца и начала (рис. 16).

 

 

Рис. 16

 

Проекция вектора  на ось  обозначается . Имеем

 

.

 

Обозначим через  угол между вектором  и осью .

Проекция вектора может быть: 1) положительной, если угол  острый. В этом случае  (рис 16), 2) отрицательной, если угол  тупой. В этом случае  (рис. 17), 3) нулевой, если угол  или

Расчет суммы векторов онлайн

Описание:

Векторный калькулятор позволяет вычислять сумму двух векторов в режиме онлайн.

vector_sum онлайн

---

Описание:

В векторный калькулятор позволяет определить сумму двух векторов плоскости или пространства.

1. Вычислить сумму двух векторов плана

Пусть (O, `vec (i)`, `vec (j)`) каркас плана, `vec (u)` и `vec (v)` два вектора, которые имеют соответствующие координаты (`x_u`,` y_ (u) `) и (` x_ (v) `,` y_ (v) `) в кадре (O,` vec (i) `,` vec (j) `).

Вектор `vec (u + v)` имеет координаты (`x_ (u)` + `x_ (v)`, `y_ (u)` + `y_ (v)`) в системе (`vec (i ) `,` vec (j) `).

Векторный калькулятор может складывать векторы с числовыми или буквальными координатами.

Пусть `vec (u)` (1; 2) `vec (v)` (3; 5), чтобы вычислить сумму `vec (u)` + `vec (v)`, введите vector_sum (`[1; 2]; [3; 5]`), после вычисления возвращается вектор [4; 7].

Позволяет `vec (u)` (a; b) `vec (v)` (2 * a; `b`) для вычисления суммы` vec (u) `+` vec (v) `, введите vector_sum (`[a; b]; [2 * a; b]`)

2. Вычислить сумму двух векторов в пространстве

Пусть (O, `vec (i)`, `vec (j)`, `vec (k)`) пространственный фрейм, `vec (u)` и `vec (v)` два вектора, которые имеют соответствующие координаты (`x_u`,` y_ (u) `,` z_ (u) `) и (` x_ (v) `,` y_ (v) `,` z_ (v) `) в кадре (O,` vec (i) `,` vec (j) `,` vec (k) `).

Вектор `vec (u + v)` имеет координаты (`x_ (u)` + `x_ (v)`, `y_ (u)` + `y_ (v)`, `z_ (u)` + ` z_ (v) `) в системе (` vec (i) `,` vec (j) `,` vec (k) `).

Векторный калькулятор может складывать векторы с числовыми или буквальными координатами.

Пусть `vec (u)` (1; 2; 1) `vec (v)` (3; 5; 2), чтобы вычислить сумму `vec (u)` + `vec (v)`, введите vector_sum (`[1; 2; 1]; [3; 5; 2]`) после вычисления возвращается результат [4; 7; 3].

Позволяет `vec (u)` (a; b, c) `vec (v)` (2 * a; 2-b, c + 1) вычислить сумму `vec (u)` + `vec (v) `, введите vector_sum (`[a; b; c]; [3 * a; 2; 2 * c + 1]`) , после расчета возвращается результат [a; 2-2 * b; 1].

3. Вычислить сумму двух векторов в пространстве любой размерности
Векторный калькулятор используется по тому же принципу для любого измерения пространств.

Векторный калькулятор позволяет вычислять сумму двух векторов в режиме онлайн.

---

Синтаксис:

vector_sum (вектор; вектор)

---

Примеры:

vector_sum (`[1; 1; 1]; [5; 5; 6]`), возвращает [6; 6; 7] Расчет онлайн с помощью vector_sum (вычисление суммы двух векторов)

Сумма матричных элементов

В этом уроке объясняется, как использовать матричные методы для вычисления сумм. из вектор элементы и суммы матричные элементы.

Как вычислить суммы: элементы вектора

Вектор суммы 1 _n — это столбец 1 x n вектор все элементы n равны одному. Основное использование вектора суммы — найти сумму элементов из другого вектора 1 x n , скажем, вектора x _n .

Продемонстрируем на примере.

1 =

x =

Тогда сумма элементов вектора x будет:

Σ x _i = 1 ‘ x = (1 * 1) + (1 * 2) + (1 * 3) = 1 + 2 + 3 = 6

Примечание: Для этого веб-сайта мы определили вектор суммы быть вектором столбца .В других местах вы можете увидеть, что это определено как вектор строки .

Как вычислять суммы: элементы матрицы

Вектор суммы также используется для нахождения суммы элементов матрицы. Матрица элементы можно суммировать тремя разными способами: внутри столбцов, внутри строк и по всей матрице.

• Внутри столбцов. Вероятно, наиболее частое применение — суммирование элементов внутри столбцы, как показано ниже.

  1 ‘ X = [Σ X _{r 1} Σ X _{r 2} … Σ X _{r c} ] = S

  , где

  1 — вектор суммы r x 1 , а 1 ‘- это его транспонировать
  X — это матрица r x c
  Σ X _{r i} — это сумма элементов из столбец i матрицы X
  S — это матрица-строка 1 x c , элементы которой суммы столбцов из матрицы X

• Внутри строк.Также возможно суммировать элементы внутри строк, как показано ниже.

  X 1 =

  =

  S

  где

  1 — это c x 1 вектор суммы
  X равно an r x c матрица
  Σ X _{i c} — сумма элементов из строка i матрицы X
  S представляет собой матрицу столбца r x 1, элементы которой суммы строк из матрицы X

• По всей матрице.И, наконец, можно вычислить большую сумму всех элементов в матрице X , как показано ниже.

  1 _r ‘ X 1 _c = Σ X _{r c} = S

  , где

  1 _r — вектор суммы r x 1 , и 1 _r ‘- это его транспонировать
  1 _c — вектор суммы c x 1
  X — r x c матрица
  Σ X _{r c} — сумма всех элементов из матрица X
  S — действительное число, равное сумме всех элементов из матрица X

Проверьте свое понимание

Проблема 1

Рассмотрим матрицу A .

Используя матричные методы, создайте вектор размером 1 x 3 b ‘, чтобы элементы b ‘представляют собой сумму элементов столбца из А . То есть

b ‘= [Σ A _{i 1} Σ A _{i 2} Σ A _{i 3} ]

Подсказка: используйте вектор суммы, 1 ₂ .

Решение

Вектор 1 x 3 b ‘можно получить путем предварительного умножения матрица A транспонировать из 1 ₂ , как показано ниже.

Обратите внимание, что каждый элемент вектора b ‘действительно равен сумма элементов столбца из матрицы A .

Видео с вопросом: Нахождение суммы двух векторов двумя разными способами

Стенограмма видео

Пусть 𝐮 равно вектору три, отрицательное два, а 𝐯 равно вектору отрицательное девять, пять. Каковы компоненты вектора 𝐮 плюс вектора 𝐯? Каковы компоненты вектора 𝐯 плюс вектора 𝐮?

В этом вопросе нам даны два вектора 𝐮 и 𝐯.Нам нужно определить вектор 𝐮 плюс вектор 𝐯 и вектор 𝐯 плюс вектор 𝐮. Начнем с поиска вектора 𝐮 плюс вектора 𝐯. Мы можем найти эту сумму, вспомнив, чтобы сложить два вектора одной размерности вместе, нам просто нужно сложить соответствующие компоненты вместе. Итак, мы складываем первый компонент каждого вектора вместе, чтобы получить три плюс отрицательные девять, и мы складываем второй компонент каждого вектора вместе, чтобы получить отрицательные два плюс пять.

Следовательно, вектор 𝐮 плюс вектор 𝐯 — это вектор три плюс минус девять, минус два плюс пять.Теперь оценим выражение в каждом компоненте отдельно. Во-первых, три плюс минус девять равно минус шесть. Во-вторых, отрицательные два плюс пять равны трем. Это дает нам вектор отрицательные шесть, три. Следовательно, мы показали, что 𝐮 плюс 𝐯 равно вектору минус шесть, три.

Теперь мы можем следовать тому же процессу, чтобы определить вектор 𝐯 плюс вектор 𝐮. Единственная разница в том, что мы будем переключать два вектора. И это сработает; мы бы получили правильный ответ, используя этот метод.Однако есть способ попроще. Напомним, что нам разрешено добавлять векторы одной размерности в любом порядке. Другими словами, мы знаем, что сложение векторов коммутативно. Это говорит нам, что для любых векторов 𝐚 и 𝐛 одинаковой размерности вектор 𝐚 плюс вектор 𝐛 равен вектору 𝐛 плюс вектор 𝐚.

Следовательно, поскольку векторы 𝐮 и 𝐯 являются двумерными векторами, мы знаем, что вектор 𝐯 плюс вектор 𝐮 должен быть равен вектору 𝐮 плюс вектор 𝐯. И мы уже обнаружили, что вектор 𝐮 плюс вектор 𝐯 равен вектору минус шесть, три.Таким образом, мы смогли показать, если 𝐮 — это вектор три, отрицательные два и 𝐯 — вектор отрицательные девять, пять, то вектор 𝐮 плюс вектор 𝐯 является вектором отрицательным шестью, тремя, а вектор 𝐯 плюс вектор 𝐮 равен также вектор отрицательный шесть, три.

Как использовать sum () в R — Найти сумму элементов в R

Давайте узнаем, как найти сумму значений с помощью sum () в R. В этом уроке мы попытаемся найти сумму элементов вектора.

Синтаксис функции sum (): = sum (x, na.rm = FALSE / TRUE)

Vector — самый простой способ сохранить несколько элементов в R. Посмотрите на приведенные ниже примеры, которые показать различные типы векторов.

Ex_vector:
V <- c (2,4,6,8,10) # Это числовой вектор
V <-c ('red', 'blue', 'orange') # Это вектор символа или строки
V <-c (TRUE, FALSE, TRUE) # Это логический вектор
 

---

Базовое использование sum () в R

В этом разделе мы находим сумму заданных значений.Выполните приведенный ниже код, чтобы найти сумму значений.

# список значений или вектор, имеющий числовые значения
df <- c (23,44,66,34,56,78,97,53,24,57,34,678,643,1344)

# вычисляет сумму значений
сумма (df)
 

Выход -> 3231

---

Пропускайте значения «NA» при использовании функции sum ()

Иногда ваш набор данных может содержать значения «NA», т.е. «Недоступно» . Поэтому, если вы добавляете значения, включая NA, функции sum () возвращают NA вместо вывода числового суммирования.

Давайте узнаем, как работать с такими наборами данных.

В этом разделе мы находим сумму векторов, имеющих числовые значения вместе со значением «NA». Синтаксис функции sum () показывает, что

sum (x, na.rm = FALSE / TRUE)

• x-> это вектор, имеющий числовые значения.

• na.rm-> Запрашивает удаление или возвращает «NA». Если вы сделали его ИСТИННЫМ, тогда он пропускает NA в векторе, в противном случае будет вычислено NA.

Код ниже иллюстрирует действие.

# создает вектор с числовыми значениями
x <-c (123,54,23,876, NA, 134,2346, NA)

# вычисляет сумму и удаляет значения NA из суммирования
sum (x, na.rm = ИСТИНА)
 

Выход -> 3556

# если вы укажете FALSE, функция суммы вернет значение NA
sum (x, na.rm = ЛОЖЬ)
----> нет данных
 

---

Использование sum () в R для сложения значений определенного столбца

Суммирование значений, представленных в конкретном столбце, очень просто в R.Приведенный ниже код иллюстрирует то же самое.

Этот набор данных содержит значение «NA». Итак, мы обрабатываем это, используя функцию na.rm = TRUE , как показано в коде.

# прочитать данные
наборы данных :: качество воздуха

#sample data, всего несколько примеров
    Ozone Solar.R Wind Temp Месяц День
1 41 190 7,4 67 5 1
2 36 118 8,0 72 5 2
3 12 149 12,6 74 5 3
4 18 313 11,5 62 5 4
5 NA NA 14,3 56 5 5
6 28 NA 14.9 66 5 6
7 23 299 8,6 65 5 7
8 19 99 13,8 59 5 8
9 8 19 20,1 61 5 9
10 NA 194 8,6 69 5 10 продолжение .....

# вычисляет сумму значений в столбце "Озон".
сумма (качество воздуха $ Озон, na.rm = ИСТИНА)
 

Выход -> 4887

---

Суммировать все данные во всех строках независимо в R

В этом разделе основное внимание уделяется суммированию каждой строки , присутствующей в наборе данных. Выполните приведенный ниже код, чтобы получить суммированные значения каждой строки.

Здесь мы удаляем значения NA с помощью функции na.rm = TRUE .

наборы данных :: качество воздуха

rowSums (качество воздуха, na.rm = ИСТИНА)
 

Вывод: Вы можете увидеть сумму всех значений, представленных в каждой строке.

[1] 311,4 241,0 255,6 413,5 80,3 119,9 407,6 203,8 122,1 286,6 103,9 367,7
[13] 394,2 385,9 174,2 444,5 441,0 182,4 455,5 151,7 103,7 447,6 127,7 226,0
[25] 169,6 369,9 97,0 148,0 426,9 457,7 435,4 379,6 378,7 334,1 289,2 324,6
[37] 369.3 260,7 380,9 480,8 476,5 379,9 369,2 280,0 445,8 433,5 325,9 436,7
[49] 155,2 241,5 262,3 260,3 164,7 200,6 362,3 249,0 245,0 163,3 223,5 157,9
[61] 265,0 500,1 400,2 368,2 206,9 338,6 460,9 460,1 477,3 482,7 373,4 247,6
[73] 380,3 317,9 417,9 171,3 418,9 425,3 461,3 384,1 406,5 131,9 377,7 418,5
[85] 499,6 456,0 224,6 266,0 425,4 454,4 444,4 441,2 218,9 137,8 193,4 182,9
[97] 140,4 171,6 485,0 434,3 432,0 340,6 253,5 353,5 415,5 333,7 177,5 204,3
[109] 220,3 247,4 390,9 350,3 401,5 161,3 373,6 377.7 523,4 416,0 281,7 421,7
[121] 476,3 461,3 412,3 370,9 383,1 363,8 390,6 250,4 238,5 378,9 348,3 354,9
[133] 384,7 395,9 392,5 371,3 137,9 231,5 392,9 348,8 153,3 368,3 336,0 357,6
[145] 148,2 298,3 168,3 147,6 334,9 271,2 331,3 271,0 361,5
 

---

Нахождение суммы всех столбцов набора данных

Давайте найдем сумму каждого столбца , присутствующего в наборе данных. Выполните приведенный ниже код, чтобы найти сумму для каждого столбца.

dataseta :: качество воздуха

colSums (качество воздуха, на.rm = ИСТИНА)
 

Выход:

Ozone Solar.R Wind Temp Месяц День
4887,0 27146,0 1523,5 11916,0 1070,0 2418,0
 

---

Заключение

Функция sum () в R для нахождения суммы значений в векторе. В этом руководстве показано, как найти сумму значений, сумму определенной строки и столбца, а также как получить значение суммирования для каждой строки и столбца в наборе данных.

Важно учитывать значение NA или нет.Если вы хотите удалить его, укажите ИСТИНА, иначе оно должно быть ЛОЖЬ, как показано выше. На этом пока все, продолжайте !!!

Расчет векторных P-норм - линейная алгебра для науки о данных -IV | by Harshit Tyagi

Математические принципы, лежащие в основе методов регуляризации в машинном обучении

В серии линейной алгебры, чтобы дать вам краткий обзор, мы узнали, что такое векторы, матрицы и тензоры, как рассчитать точечное произведение для решения систем линейных уравнений, а также что такое тождественные и обратные матрицы.

Продолжая серию, следующая очень важная тема - Vector Norms.

Итак,

Что такое векторные нормы?

Нормы вектора - это любые функции, которые отображают вектор на положительное значение, которое является величиной вектора или длиной вектора. Теперь есть разные функции, которые предлагают нам разные способы вычисления длины векторов.

Ничего страшного, но почему мы изучаем это и что представляет собой эта длина вектора…?

Зачем узнавать о Нормах ??

Нормы - очень важная концепция в машинном обучении и глубоком обучении, которая обычно используется для вычисления ошибки в прогнозах модели ML / DL.

Длина вектора обычно представляет собой ошибку между предсказанием и фактическим наблюдением (меткой).

Нам часто требуется вычислить длину или величину векторов, которые будут использоваться либо непосредственно в качестве метода регуляризации в машинном обучении, либо как часть более широких векторных или матричных операций.

Итак, что это за функции?

Нормы - это любые функции, которые характеризуются следующими свойствами:

1. Нормы возвращают неотрицательные значения, потому что это величина или длина вектора, которые не могут быть отрицательными.
2. Нормы равны 0 тогда и только тогда, когда вектор является нулевым вектором.
3. Нормы следуют неравенству треугольника, т.е. норма суммы двух (или более) векторов меньше или равна сумме норм отдельных векторов. Он просто утверждает, что геометрически кратчайший путь между любыми двумя точками - это линия.
   Представляется уравнением:
   ∥a + b∥≤∥a∥ + ∥b∥
   , где a и b - два вектора, а вертикальные полосы ∥ обычно обозначают норму.
4. Норма вектора, умноженная на скаляр, равна абсолютному значению этого скаляра, умноженному на норму вектора.
   Представляющее уравнение: ∥k⋅ x ∥ = | k | ⋅∥ x ∥

Расчет P-нормы основан на центральной формуле:

∥ x ∥ ₚ = ( ∑ᵢ | x ᵢ | ᵖ) ¹ / ᵖ

Вот быстрый четырехэтапный процесс для получения p-нормы вектора

1. Получите абсолютное значение каждого элемента вектора.
2. Возвести эти абсолютные значения в степень p.
3. Вычислите сумму всех этих поднятых абсолютных значений.
4. Получите p корень ₜₕ или увеличьте степень до 1 / p на результате предыдущего шага.

Теперь, исходя из значения P в формуле , , мы получаем разные типы Норм. Давайте обсудим их один за другим:

Ввод в формулу p = 0 даст нам норму L⁰.

Все, что возведено в степень 0, вернет 1, кроме 0. L⁰ на самом деле не является нормой, поскольку не имеет характеристики # 4 (описанной выше).Умножение константы даст нам само это число.

Положив p = 1 , мы получим L¹ norm. По сути, формула будет вычислять сумму абсолютных значений вектора.

Формула: | x | ₁ = (∑ᵢ | xᵢ |)

Используется для вычисления средней абсолютной ошибки.

Python Code

Мы можем получить норму L¹, используя модуль линейной алгебры пакета Numpy, который предлагает метод norm (). По умолчанию функция norm установлена ​​для вычисления нормы L2, но мы можем передать значение p в качестве аргумента.Итак, для L¹ norm мы передадим ему 1:

 from numpy import linalg # создание вектора 
 a = np.array ([1,2,3]) # вычисление L¹ norm 
 linalg.norm (a, 1) ## output: 6.0 

Положив p = 2 , мы получим L² norm. Формула будет вычислять квадратный корень из суммы квадратов значений вектора.

Также известна как евклидова норма. Это широко используемая норма в машинном обучении, которая используется для вычисления среднеквадратичной ошибки.

∥x∥₂ = (∑ᵢ xᵢ²) ¹ / ²

Итак, для вектора u норма L² будет выглядеть так:

Python Code

Опять же, используя ту же функцию нормы, мы можем вычислить L² Norm:

 norm (a) # или вы можете передать 2 так: norm (a, 2) ## output: 3.7416573867739413 

∑ᵢ | xᵢ | ²

Квадрат нормы L2 - это просто норма L2, но без квадратного корня. Возведение в квадрат нормы L2, вычисленной выше, даст нам норму L2.

Это удобно, потому что при этом удаляется квадратный корень, и мы получаем простую сумму всех квадратов значений вектора.

Квадрат евклидовой нормы широко используется в машинном обучении отчасти потому, что его можно вычислить с помощью векторной операции x ᵀ x.

Код Python

Давайте проверим это в коде Python:

 x = np.array ([[1], [3], [5], [7]]) 
 euclideanNorm = xTdot (x) ## output: array ([[84]]) np.linalg.norm (x) ** 2 
 ## ouput: 84.0 

Это норма L∞, которая просто возвращает абсолютное значение наибольшего элемента вектора.

Формула принимает следующий вид:

‖x‖∞ = maxᵢ | xᵢ |

Код Python

Давайте проверим это в коде Python, нам просто нужно передать бесконечность в функцию norm:

 x = np.array ([[1], [3], [5], [7]] ]) 
 norm (x, np.inf) ## output: 7.0 

Вы можете поиграть со всеми кодами Python здесь:

Давайте попробуем проанализировать графики графически. Я использовал ту же формулу для двух измерений (x, y), а третье измерение представляет собой саму норму.

Вы можете проверить этот плоттер, который я использовал для получения этих графиков.

L¹ Norm

Создано с использованием https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/

Больше похоже на самолеты, прикрепленные друг к другу. X и Y - параметры здесь.

L² Норма

https: // academo.org / demos / 3d-surface-plotter /

Квадрат L² Норма

https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/

Квадрат нормы L2 и норма L2 выглядят одинаково, но здесь есть важное различие. крутизне графика около нулевой отметки (в средней синей области). Норма квадрата L2 плохо различает ноль и другие меньшие значения. Таким образом, обнаруживается одна проблема с его использованием.

В этом уроке мы рассмотрели различные способы вычисления длины или величины векторов, которые называются векторными нормами.

В частности, мы узнали, как:

• вычислить норму L1, которая рассчитывается как сумма абсолютных значений вектора.
• вычисляет норму L2, которая вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов значений вектора.
• вычисляет максимальную норму, которая рассчитывается как максимальные значения вектора.

Записать вектор как сумму двух компонент вектора

MathArticles.com предоставляет соответствующие статьи из известных математических журналов.Статьи согласованы по тематике исчисления Ларсона. Посетите MathArticles.com, чтобы получить доступ к статьям из:

Журнал	Организации
AMATYC Обзор	Американская математическая ассоциация двухгодичных колледжей
Американский математический ежемесячник	Математическая ассоциация Америки
Журнал математики колледжа	Математическая ассоциация Америки
Журнал химического образования	Американское химическое общество
Математические горизонты	Математическая ассоциация Америки
Математический вестник	Математическая ассоциация (Великобритания)
Математический журнал	Математическая ассоциация Америки
Учитель математики	Национальный совет учителей математики
Учитель физики	Американская ассоциация учителей физики
Scientific American	Scientific American
Журнал UMAP	Консорциум по математике и ее приложениям

.