§ 5. Скалярное произведение и его свойства
1. Определение скалярного произведения
Определение. Скалярным
произведением двух ненулевых векторов
и
называется
число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними,
т.е.
.
Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение этих векторов равно нулю (по определению).
Если ,
то

Отсюда
следует, что .
Заметим,
что скалярное произведение называется скалярным квадратом и
обозначается
.
Следовательно,
=>

Свойства скалярного произведения
пр
пр
Действительно, пр



Переместительноеиликоммутативноесвойство:
.
Это свойство
очевидно, так как
Сочетательноеилиассоциативноесвойство относительно числового множителя
:
Распределительноеилидистрибутивноесвойство относительного сложения векторов:
.
Доказательство
пр
пр
пр
пр
пр
Следствие.
2. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов
Напомним,
что два ненулевых вектора и
называются ортогональными, если они
образуют прямой угол, т.е.
.
Теорема.Для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение обращалось в нуль.
Доказательство. Необходимость. Пусть
векторы


Достаточность.
Пусть.
Так как векторы ненулевые, то отсюда
следует, что
,
а это и означает, что векторы
и
3. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами
Пусть ,
.
Очевидно, что
;
;
;
В силу свойства 4 получим
.
В частности,
.
4. Угол между двумя векторами
Если и
— ненулевые векторы, то, принимая во
внимание определение вектора и п.4,
получим такое выражение для угла
между векторамиaиb:
.
Отсюда нетрудно получить условие
ортогональности (перпендикулярности)
двух векторов в координатной форме:
Механический смысл скалярного произведения
Если — сила, действующая на перемещенииS,
то работаAэтой силы
на указанном перемещении, как известно,
равна
,
т.е.
(рис. 3.5.1).



Рис. 3.5.1
Пример
1. Даны
три точки
Найти

Решение.а);
б) ;

Пример
2. Дан
вектор,
,
.
Найти
длину вектора .
Решение.Найдём скалярный квадрат вектора:
.
Раскроем скобки, пользуясь свойствами
скалярного произведения:
.
Пример
3. При каком значениивектора
и
ортогональны.
Решение. Принимая во внимание условие
ортогональности двух векторов,
получим
.
Следовательно
.
§ 6. Векторное произведение и его свойства
1. Определение векторного произведения
Определение. Векторным
произведением ненулевых векторов
и
называется такой вектор
,
который удовлетворяет трём условиям:
1. ,
т.е. длина вектора
численно равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах.
2.
Вектор перпендикулярен плоскости, в которой
лежат векторы
и
.
3.
Тройка ,
,
— правая(рис.
2.6.1)
Если хотя бы один из векторов и
нулевой, то по определению
.
Заметим, что иногда векторное произведение
двух векторови
обозначается символом
.
Рис. 2.6.1
Свойства векторного произведения
1. .
Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.
2. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:
.
(без доказательства)
3. Распределительное свойство относительно сложения векторов :
.
.
Следствие. .
То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без доказательства).
Скалярное произведение Википедия

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат.
Обычно для скалярного произведения векторов a{\displaystyle \mathbf {a} } и b{\displaystyle \mathbf {b} } используется одно из следующих обозначений.
- (a,b){\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
- a⋅b, a→⋅b→{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} или просто ab{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }
- ⟨a,b⟩{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle } или (обозначение Дирака, применяемое в квантовой механике для векторов состояния[1]): ⟨a|b⟩{\displaystyle \langle a|b\rangle }
В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов a{\displaystyle \mathbf {a} } и b{\displaystyle \mathbf {b} } определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними[2]:
- (a,b)=|
2. Скалярное произведение векторов в координатной форме
Пусть
даны векторы и
.
Тогда скалярное произведение векторов
и
:
=
вычисляется по формуле:
(3.18)
Скалярное произведение векторов равно сумме произведения одноименных координат. Из (3.18) следует, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов а и в является равенство:
(3.19)
Из
определения скалярного квадрата (3.18) и
из формулы (3.19) найдём:(
или
=
(3.20)
Теперь
найдём угол между двумя векторами и
.
На основании определения скалярного
произведения имеем:cos
Тогда
cos (3.21)
3.Проекция вектора на ось
Пусть
дана некоторая ось х, которая составляет
с осями координат углы и дан вектор
.
Найдём
проекцию
вектора
на ось х.
На
оси х зададим единичный вектор
Найдём
пр-угол
между векторами
и
.
но
т.к
,
то получим
(
,
отсюда
Итак,
Хcos
+Уcos
+Zcos
(3.22)
Пример1: Даны три точки А(1;1;1), В(2;2;1) и С(2;1;2). Найти
косинус угла
Решение: Найдём векторы .
На основании формулы (3.21).
cos
Пример 2: Даны точки А(1;1;1) и В(4;5;3). Найти проекцию вектора АВ на ось х, составляющие с координатными осями равные острые углы.
Решение: Пусть cos,
cos
,
cos
—
направляющие
косинусы оси х и по условию задачи: cos
=
cos
=
cos
.
Зная, что cos
+cos
+cos
=1,
имеем cos
cos
.
Вектор
тогда по формуле (3.22):
4. Векторное произведение векторов
Определение: Векторным
произведением двух векторов и
называется вектор
,
обозначаемый символом
или
который определяется следующими тремя
условиями:
Модуль векторного произведения
=
равен
где
угол между векторами
и
;
Вектор
=
перпендикулярен к каждому из векторов
и
;
Вектор
направлен таким образом, чтобы смотря в направлении от конца вектора
на плоскость вектора
и
кратчайший поворот от
к
был виден против хода часовой стрелки.
Из определения векторного произведения вытекают следующие свойства:
Если векторы
и
коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.
Модуль векторного произведения двух векторов
и
равен площади параллелограмма построенного на этих векторах.
При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет свой знак:
Векторное произведение подчиняется распределительному закону:
Векторное произведение подчиняется сочетательному закону по отношению к скалярному множителю:
где
— число.
5. Векторное произведение в координатной форме
Пусть
даны векторы
На основании определения и свойств векторного произведения легко показать, что:
. (3.23)
.
На основании свойства и (6.1) можно установить, что:
или
=
(3.24)
Получим
разложение векторного произведения
по базисуСледовательно координаты векторного
произведения определяются:
=
(3.25)
Заметим, что в формуле (3.24) можно придать вид:
=
(3.26)
Пример
1: Даны векторы и
.Разложить
вектор
по базису
.
Решение: Используем формулу (3.25) и получим:
или
Координаты
векторного произведения
Пример
2: Даны три точки А(1;1;1), В(4;3;5). Найти площадь
Sтреугольника
АВС.
Решение: Определим координаты векторов и
:
.
Модуль векторного произведения векторов
равен площади параллелограмма,
построенного на этих векторах. Площадь
треугольника АВС:
.
По формуле (3.26) найдем координаты.
или
Тогда
Обсуждение:Скалярное произведение — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Уважаемые авторы этой страницы! Как вы думаете, что будут искать 90% посетителей на этой странице? Они будут искать как посчитать скаляр для двух двумерных векторов. Где пример этой самой нужной частности? Посмотрите, как сделана немецкая страница.
Насчёт положительной определённости. А что тогда в пространстве Минковского? Там это разве не скалярное произведение называется?—Begemotv2718 09:09, 21 Янв 2005 (UTC)
Нет охоты этим заниматься, но по-моему то что неправильно определено в начале это не называется скалярным произведением, кроме того лучше бы сделать единые обозначения во всей статье…—Tosha 07:22, 1 октября 2005 (UTC)
В долбаном английском скалярное произведение почему-то делится на dot product и inner product—213.219.95.125 16:46, 23 ноября 2005 (UTC)
- Глянул английские статьи. dot product или scalar product — это стандартное скалярное произведение в Евклидовом пространстве. Т.е. это только скалярное произвдение двух векторов, с результатом — числом. Inner product — это абстрактное скалярное произведение.87.103.193.95 16:14, 20 сентября 2007 (UTC)Артём Камышев
Прочитал статью, так и не понял, что это такое. Нужно добавить примеры. Хотя бы для эвклидовых пространств. Alexsmail 16:25, 27 апреля 2007 (UTC)
Добавил примеры. 81.30.201.52 14:32, 10 мая 2005 (UTC)
Положительная определённость.[править код]
Infovarius, извини — отменил твою правку: всё-таки, когда говорят о скалярном произведении, обычно всё-таки имеют в виду именно положительно определённое; иначе оговаривают явно (иначе, например, косинусов углов нет, и так далее)… Burivykh 18:40, 30 апреля 2009 (UTC)
- Как-то я не помню применения термина «определённость» к скал. произведению — обычно его к норме употребляют? infovarius 13:44, 1 мая 2009 (UTC)
- И к квадратичной форме; а скалярное произведение — это билинейная симметричная форма (что почти то же самое, что и квадратичная). Просто, насколько я знаю, когда говорят «скалярное произведение» — это именно подчёркивает положительную определённость (иначе это просто билинейная симметричная форма). Либо — специально оговаривают незнакоопределённость, подразумевая, что «да, знак может быть разный, так что длину обычным образом определить нельзя, но мы хотим, тем не менее, использовать терминологию и интуицию от евклидова пространства»… Burivykh 22:56, 1 мая 2009 (UTC)
Следует ли нам иметь перенаправление сюда от Внутреннее произведение? Я не совсем силен в терминологии, но как тогда по-русски называется en:Interior product? — Yrogirgtalk 04:39, 23 сентября 2010 (UTC)
На мой взгляд «скалярное произведение» и «внутреннее произведение» синонимы. —Тоша 02:16, 4 октября 2010 (UTC)
Связанные определения[править код]
>>В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:
Что тогда является определением скалярного произведения в современной аксиоматике? Определение через косинус угла тогда неправомерно (угол вводится далее). Определения через сумму произведений координат концов неправомерно (нужна ортогональная система координат, а понятие «ортогональный» вводится далее). Определение через проекцию неправомерно (для построения проекции нужно знать, что такое прямой угол, а понятие «угол» или «прямой угол» вводится далее).
- определение дано верно, загляните в любой учебник по функану, вобщем надо быстрей удалить эти красные строчки а то они оч раздражают Ivanmipt 04:06, 30 декабря 2013 (UTC)
- >> определение дано верно
- В смысле определение через 3 аксиомы? Okey.
Всё-таки есть проблема в определении. В англоязычной версии статьи сказано предельно ясно «scalar product is an algebraic operation that takes two equal-length sequences of numbers (usually coordinate vectors)». То есть скалярное произведение определено для кортежей одинаковой длины; наличие структуры линейного пространства совсем не обязательно. В данной же статье утверждается, что понятие определено только для векторов. 139.45.252.98 11:17, 22 января 2020 (UTC)
- В Математической энциклопедии сказано: «СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, внутреннее произведение (а, Ъ) ненулевых векторов a и b, — произведение их модулей на косинус угла φ между ними» (том 4, стр. 1197). Далее в статье Мат. энциклопедии, касаясь обобщений понятия скалярного произведения, также речь идёт о векторах. На мой взгляд, это правильно, потому что определение через кортежи затемняет главное в скалярном произведении — его геометрическую инвариантность. LGB (обс.) 12:25, 22 января 2020 (UTC)