§ 5. Скалярное произведение и его свойства

1. Определение скалярного произведения

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторовиназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

.

Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение этих векторов равно нулю (по определению).

Если , то

, так как.

Отсюда следует, что .

Заметим, что скалярное произведение называется скалярным квадратом и обозначается. Следовательно,=>

. Заметим, что иногда скалярное произведение обозначают.

Свойства скалярного произведения

1. прпр

Действительно, пр

, но пр,отсюда следует, что пр.

2. Переместительноеиликоммутативноесвойство:

.

Это свойство очевидно, так как

.

3. Сочетательноеилиассоциативноесвойство относительно числового множителя:

4. Распределительноеилидистрибутивноесвойство относительного сложения векторов:

.

Доказательство

.

прпрпрпрпр

Следствие.

2. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов

Напомним, что два ненулевых вектора иназываются ортогональными, если они образуют прямой угол, т.е.

.

Теорема.Для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение обращалось в нуль.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы

иортогональны, тогда.

Достаточность. Пусть. Так как векторы ненулевые, то отсюда следует, что, а это и означает, что векторыи

ортогональны.

3. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами

Пусть ,. Очевидно, что;;;

. 

В силу свойства 4 получим

.

В частности,

.

4. Угол между двумя векторами

Если и— ненулевые векторы, то, принимая во внимание определение вектора и п.4, получим такое выражение для угламежду векторамиaиb:

.

Отсюда нетрудно получить условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов в координатной форме:

Механический смысл скалярного произведения

Если — сила, действующая на перемещенииS, то работаAэтой силы на указанном перемещении, как известно, равна, т.е.(рис. 3.5.1).

Рис. 3.5.1

Пример 1. Даны три точки

Найти

и направляющие косинусы вектора.

Решение.а);

б) ;

;

Пример 2. Дан вектор,,.

Найти длину вектора .

Решение.Найдём скалярный квадрат вектора:. Раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения:

.

Пример 3. При каком значениивектораиортогональны.

Решение. Принимая во внимание условие ортогональности двух векторов, получим. Следовательно.

§ 6. Векторное произведение и его свойства

1. Определение векторного произведения

Определение. Векторным произведением ненулевых векторов и называется такой вектор, который удовлетворяет трём условиям:

1. , т.е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

2. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

3. Тройка ,,— правая(рис. 2.6.1)

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то по определению. Заметим, что иногда векторное произведение двух векторовиобозначается символом.

Рис. 2.6.1

Свойства векторного произведения

1. .

Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.

2. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:

.

(без доказательства)

3. Распределительное свойство относительно сложения векторов :

.

.

Следствие. .

То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без доказательства).

Скалярное произведение Википедия

Скалярное произведение векторов (a,b){\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )} равно произведению |a||b|cos⁡(θ){\displaystyle |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta )}

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат.

Обычно для скалярного произведения векторов a{\displaystyle \mathbf {a} } и b{\displaystyle \mathbf {b} } используется одно из следующих обозначений.

(a,b){\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}

a⋅b, a→⋅b→{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} или просто ab{\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }

⟨a,b⟩{\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle } или (обозначение Дирака, применяемое в квантовой механике для векторов состояния^[1]): ⟨a|b⟩{\displaystyle \langle a|b\rangle }

В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов a{\displaystyle \mathbf {a} } и b{\displaystyle \mathbf {b} } определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними^[2]:

(a,b)=|

2. Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть даны векторы и. Тогда скалярное произведение векторови:

= вычисляется по формуле:

(3.18)

Скалярное произведение векторов равно сумме произведения одноименных координат. Из (3.18) следует, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов а и в является равенство:

(3.19)

Из определения скалярного квадрата (3.18) и из формулы (3.19) найдём:(или =(3.20)

Теперь найдём угол между двумя векторами и. На основании определения скалярного произведения имеем:cos

Тогда cos (3.21)

3.Проекция вектора на ось

Пусть дана некоторая ось х, которая составляет с осями координат углы и дан вектор. Найдём проекцию вектора на ось х.

На оси х зададим единичный вектор

Найдём пр-угол между векторамии.

но т.к , то получим (, отсюдаИтак, Хcos+Уcos+Zcos (3.22)

Пример1: Даны три точки А(1;1;1), В(2;2;1) и С(2;1;2). Найти косинус угла

Решение: Найдём векторы . На основании формулы (3.21).

cos

Пример 2: Даны точки А(1;1;1) и В(4;5;3). Найти проекцию вектора АВ на ось х, составляющие с координатными осями равные острые углы.

Решение: Пусть cos, cos, cos— направляющие косинусы оси х и по условию задачи: cos= cos= cos. Зная, что cos+cos+cos=1, имеем cos cos. Вектортогда по формуле (3.22):

4. Векторное произведение векторов

Определение: Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, обозначаемый символомиликоторый определяется следующими тремя условиями:

1. Модуль векторного произведения =равен гдеугол между векторамии;

2. Вектор =перпендикулярен к каждому из векторови;

3. Вектор направлен таким образом, чтобы смотря в направлении от конца векторана плоскость вектораикратчайший поворот откбыл виден против хода часовой стрелки.

Из определения векторного произведения вытекают следующие свойства:

1. Если векторы иколлинеарны, то их векторное произведение равно нулю.

2. Модуль векторного произведения двух векторов иравен площади параллелограмма построенного на этих векторах.

3. При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет свой знак:

4. Векторное произведение подчиняется распределительному закону:

5. Векторное произведение подчиняется сочетательному закону по отношению к скалярному множителю: где — число.

5. Векторное произведение в координатной форме

Пусть даны векторы

На основании определения и свойств векторного произведения легко показать, что:

. (3.23)

.

На основании свойства и (6.1) можно установить, что:

или

=(3.24)

Получим разложение векторного произведения по базисуСледовательно координаты векторного произведения определяются:

=(3.25)

Заметим, что в формуле (3.24) можно придать вид:

=(3.26)

Пример 1: Даны векторы и.Разложить вектор по базису .

Решение: Используем формулу (3.25) и получим:

или

Координаты векторного произведения

Пример 2: Даны три точки А(1;1;1), В(4;3;5). Найти площадь Sтреугольника АВС.

Решение: Определим координаты векторов и: . Модуль векторного произведения векторовравен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника АВС:. По формуле (3.26) найдем координаты.или

Тогда

Обсуждение:Скалярное произведение — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уважаемые авторы этой страницы! Как вы думаете, что будут искать 90% посетителей на этой странице? Они будут искать как посчитать скаляр для двух двумерных векторов. Где пример этой самой нужной частности? Посмотрите, как сделана немецкая страница.

Насчёт положительной определённости. А что тогда в пространстве Минковского? Там это разве не скалярное произведение называется?—Begemotv2718 09:09, 21 Янв 2005 (UTC)

Нет охоты этим заниматься, но по-моему то что неправильно определено в начале это не называется скалярным произведением, кроме того лучше бы сделать единые обозначения во всей статье…—Tosha 07:22, 1 октября 2005 (UTC)

В долбаном английском скалярное произведение почему-то делится на dot product и inner product—213.219.95.125 16:46, 23 ноября 2005 (UTC)

Глянул английские статьи. dot product или scalar product — это стандартное скалярное произведение в Евклидовом пространстве. Т.е. это только скалярное произвдение двух векторов, с результатом — числом. Inner product — это абстрактное скалярное произведение.87.103.193.95 16:14, 20 сентября 2007 (UTC)Артём Камышев

Прочитал статью, так и не понял, что это такое. Нужно добавить примеры. Хотя бы для эвклидовых пространств. Alexsmail 16:25, 27 апреля 2007 (UTC)

Добавил примеры. 81.30.201.52 14:32, 10 мая 2005 (UTC)

Положительная определённость.[править код]

Infovarius, извини — отменил твою правку: всё-таки, когда говорят о скалярном произведении, обычно всё-таки имеют в виду именно положительно определённое; иначе оговаривают явно (иначе, например, косинусов углов нет, и так далее)… Burivykh 18:40, 30 апреля 2009 (UTC)

Как-то я не помню применения термина «определённость» к скал. произведению — обычно его к норме употребляют? infovarius 13:44, 1 мая 2009 (UTC)

И к квадратичной форме; а скалярное произведение — это билинейная симметричная форма (что почти то же самое, что и квадратичная). Просто, насколько я знаю, когда говорят «скалярное произведение» — это именно подчёркивает положительную определённость (иначе это просто билинейная симметричная форма). Либо — специально оговаривают незнакоопределённость, подразумевая, что «да, знак может быть разный, так что длину обычным образом определить нельзя, но мы хотим, тем не менее, использовать терминологию и интуицию от евклидова пространства»… Burivykh 22:56, 1 мая 2009 (UTC)

Следует ли нам иметь перенаправление сюда от Внутреннее произведение? Я не совсем силен в терминологии, но как тогда по-русски называется en:Interior product? — Yrogirg^talk 04:39, 23 сентября 2010 (UTC)

На мой взгляд «скалярное произведение» и «внутреннее произведение» синонимы. —Тоша 02:16, 4 октября 2010 (UTC)

Связанные определения[править код]

>>В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

Что тогда является определением скалярного произведения в современной аксиоматике? Определение через косинус угла тогда неправомерно (угол вводится далее). Определения через сумму произведений координат концов неправомерно (нужна ортогональная система координат, а понятие «ортогональный» вводится далее). Определение через проекцию неправомерно (для построения проекции нужно знать, что такое прямой угол, а понятие «угол» или «прямой угол» вводится далее).

определение дано верно, загляните в любой учебник по функану, вобщем надо быстрей удалить эти красные строчки а то они оч раздражают Ivanmipt 04:06, 30 декабря 2013 (UTC)

>> определение дано верно

В смысле определение через 3 аксиомы? Okey.

Всё-таки есть проблема в определении. В англоязычной версии статьи сказано предельно ясно «scalar product is an algebraic operation that takes two equal-length sequences of numbers (usually coordinate vectors)». То есть скалярное произведение определено для кортежей одинаковой длины; наличие структуры линейного пространства совсем не обязательно. В данной же статье утверждается, что понятие определено только для векторов. 139.45.252.98 11:17, 22 января 2020 (UTC)

В Математической энциклопедии сказано: «СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, внутреннее произведение (а, Ъ) ненулевых векторов a и b, — произведение их модулей на косинус угла φ между ними» (том 4, стр. 1197). Далее в статье Мат. энциклопедии, касаясь обобщений понятия скалярного произведения, также речь идёт о векторах. На мой взгляд, это правильно, потому что определение через кортежи затемняет главное в скалярном произведении — его геометрическую инвариантность. LGB (обс.) 12:25, 22 января 2020 (UTC)