В(1, 3, -5) и С(0, -2, -3).

Решение: находим векторы a=CA, b=CB;

a=(2-0)i+[-1-(-2)]j+[3-(-3)]k=2i+j+6k; b=i+5j-2k

ab==-32i+10j+9k 

|ab|==

S=1/2×≈17,4 (ед²).

3. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов

Определение: смешанным произведением трех векторов a, b, c называется произведение вида (ab)×c, где два первых вектора перемножаются векторно, а их произведение умножаются скалярно на третий вектор.

Смешанное произведение – величина скалярная, так как последнее действие – скалярное умножение.

Абсолютная величина смешанного произведения некомпланарных векторов a, b, c равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, причем знак его зависит от ориентации этих векторов: если a, b, c образуют правую тройку, то их смешанное произведение будет положительно, для левой же тройки – отрицательно.

Свойства смешанного произведения.

1.      Смешанное произведение не изменяется:

1)             если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке: (ab)×c=(bc)×a=(ca)×b

2)             если поменять местами знаки векторного и скалярного умножения: (ab)×c=a×(bc), поэтому можно записать abc

2. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов изменяет лишь его знак: acb=-abc; bac=-abc; cba=-abc.
3. Смешанное произведение обращается в нуль, если

1)             хотя бы один из перемножаемых векторов есть нуль-вектор;

2)             два из перемножаемых векторов коллинеарны;

3)             три перемножаемых вектора компланарны.

Вычисление смешанного произведения

трех векторов, разложенных по ортам

a=a_xi+a_yj+a_zk; b=b_xi+b_yj+b_zk; c=c_xi+c_yj+c_zk; то abc=

В этом можно убедиться, разложив определитель по элементам первой строки.

Вычисление объема

четырехгранной пирамиды (тетраэдр)

Объем такой пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на его сходящихся в одной вершине ребрах. А объем этого параллелепипеда – абсолютная величина смешанного произведения трех векторов, общее начало которых находится в одной из вершин пирамиды, а концы – в остальных трех ее вершинах. Если вершинами пирамиды служат точки M₁, M₂, M₃, M₄, то полагая a=M₁M₂; b=M₁M₃; c=M₁M₄, получим V=1/6[abc]

Условие компланарности трех векторов.

Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: abc=0 или =0.

4.Арифметические векторные пространства. Конечномерные евклидовы пространства.

                Возвращаясь от геометрических пространств к векторным, осознаем, что вектором  размерности n (или n-мерным вектором) называется упорядоченная совокупность из n чисел поля P. Если а – вектор, определенный числами а₁, а₂,…, а_n – координатами вектора, то будем писать a=(a₁, a₂,…,a_n). Если векторы a и b размерности n заданы своими координатами: a=(a₁, a₂,…,a_n), b=(b₁, b₂,…,b_n), то суммой этих векторов называется вектор a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂,…, a_n+b_n).

Произведением вектора а на число l из поля P называется вектор lа=(lа₁, lа₂,…,lа_n).

Нулевым называется вектор 0=(0, 0,…, 0). Вектором, противоположным вектору а называется –а=(-а₁, -a₂,…, -a_n).

Определение. Множество всех n-мерных векторов, для которых установлены операции сложения и умножения на число, называются арифметическим векторным пространством и обозначаются R_n. Размерность пространства R_n обозначается dim R_n. Линейное пространство, изоморфное пространству R_n, называется конечномерным. В пространстве R_n существует n линейно независимых n-мерных векторов, при этом любые n+1 векторы линейно зависимы.

Определение. Базисом n-мерного векторного пространства называют любую совокупность, состоящую из n линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема 1. Для того, чтобы система n векторов пространства R_n составляла базис, необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов, был отличен от нуля.

Определение. Если в n-мерном линейном векторном пространстве определено скалярное произведение и оно обладает следующими свойствами:

1)      a×b=b×a

2) (a+b)×c=a×c+b×c

3) l(a×b)=(la)×b=a×(lb)

4)             a×a>0, если a¹0 то пространство называется n-мерным евклидовым — Е_n.

Скалярное произведение любого aÎE_n на себя называется скалярным квадратом a. Длиной a в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора. Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным. Если a – ненулевой вектор, то  является нормированным вектором. Для любых двух векторов a и b в евклидовом пространстве выполняется неравенство: (a×b)²£(a×a)(b×b), называется неравенством Коши-Буняковского.

5.Ортогональный базис.

Базис e₁, e₂,…, e_n евклидова пространства называется ортогональным, если (e_i× e_k)=0 при i¹k.

     Справедлива следующая теорема: во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис. Если ортогональный базис состоит из нормированных векторов, то этот базис называется ортонормированным. Для ортонормированного базиса e₁, e₂,…, e_n выполняются равенства

(e_i× e_k)=

     Если в n-мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис f₁, f₂,…, f_n, то в этом пространстве всегда можно найти и ортонормированный базис e₁, e₂,…, e_n.

     Любой вектор x евклидова пространства, заданный в ортонормированном базисе, определяется равенством x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n.

Длина вектора x находится по формуле |x|=.

Два вектора x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n и y=h₁e₁+h₂e₂+…+h_ne_n линейно зависимы (коллинеарны, пропорциональны) тогда и только тогда, когда x₁/h₁=x₂/h₂=…=x_n/h_n.

     Условие ортогональности векторов x и y имеет вид x₁h₁+x₂h₂+…+x_nh_n=0.

     Угол между двумя векторами x и y находится по формуле cosj=.

В следующих задачах ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства обозначается через e₁, e₂,…, e_n.

Две формы точечного проекта

Два состава

Скалярное произведение — это операция умножения двух векторов для получения скалярного значения. Рассмотрим два вектора a = [a1,…, aN] \ mathbf {a} = [a_1, \ dots, a_N] a = [a1,…, aN] и b = [b1,…, bN] \ mathbf { b} = [b_1, \ dots, b_N] b = [b1,…, bN]. ^{Их скалярное произведение обозначается a⋅b \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} a⋅b, и оно имеет два определения: алгебраическое определение и геометрическое определение. Алгебраическая формула — это сумма элементов после поэлементного умножения двух векторов:}

a⋅b = a1b1 + ⋯ + aNbN = ∑n = 1Nanbn.{N} a_n b_n. \ tag {1} a⋅b = a1 b1 + ⋯ + aN bN = n = 1∑N an bn. (1)

Геометрическая формула — это длина \ mathbf {a} a, умноженная на длину b \ mathbf {b} b, умноженную на косинус угла между двумя векторами:

a⋅b = ∥a∥∥b∥cos⁡θ, (2) \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ lVert \ mathbf {a} \ rVert \ lVert \ mathbf {b} \ rVert \ cos \ theta, \ tag {2} a⋅b = ∥a∥∥b∥cosθ, (2)

, где ∥v∥ \ lVert \ mathbf {v} \ rVert∥v∥ обозначает длину (двойную норму) вектора v \ mathbf {v} v.Геометрическая версия может быть легко визуализирована (Рис. 111), так как

cos⁡θ = смежная гипотенуза ∥a∥ ⟹ ∥a∥cos⁡θ = смежная. (3) \ cos \ theta = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse $ \ lVert \ mathbf {a} \ rVert $}} \ подразумевает \ lVert \ mathbf {a} \ rVert \ cos \ theta = \ text {соседний}. \ tag {3} cosθ = гипотенуза ∥a∥смежная ⟹∥a∥cosθ = смежная. (3)

Согласно геометрическому определению, скалярное произведение — это произведение длины двух векторов после того, как один из векторов (a \ mathbf {a} a на рисунке 111) был спроецирован на другой (b \ mathbf {b} b на рисунке 111).

Но как связаны эти определения? (Этот StackOverflow задавал тот же вопрос, что и эта удивительная диаграмма.) Как область на рисунке 111 связана с суммой поэлементных произведений? Ключ в том, чтобы понять, что суммирование в алгебраическом определении на самом деле представляет собой линейную проекцию .{1 \ times N} b∈R1 × N. По мере того, как мы исследуем эту идею, я надеюсь, что геометрическое определение также будет иметь больше смысла.

Доказательство эквивалентности

Прежде чем говорить о скалярном произведении как о линейной проекции, давайте быстро докажем, что два определения скалярного произведения эквивалентны. Это основано на доказательстве Хайди Берджел. Предположим, что алгебраическое определение в уравнении 111. Затем мы хотим доказать уравнение 222. Определим c: = a − b \ mathbf {c}: = \ mathbf {a} — \ mathbf {b} c: = a − b (рисунок 222). Теперь обратите внимание, что

∥c∥2 = c⋅c = (a − b) ⋅ (a − b) = a⋅a − b⋅a − a⋅b + b⋅b = ∥a∥2 + ∥b∥2−2 ( а⋅б).2–2 (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}). \ конец {выровнено} \ тег {4} ∥c∥2 = c⋅c = (a − b) ⋅ (a − b) = a⋅a − b⋅a − a⋅b + b⋅b = ∥a∥2 + ∥b∥2−2 ( a⋅b). (4)

Здесь мы использовали коммутативные и дистрибутивные свойства скалярного произведения (доказательства этих свойств см. В A1). Это выглядит много как закон косинусов для того же треугольника (см. A2 для доказательства этого закона). Мы можем легко увидеть, что эти два уравнения равны друг другу и упростим:

∥c∥2 = ∥c∥2∥a∥2 + ∥b∥2−2a⋅b⏟ Уравнение 5 = ∥a∥2 + ∥b∥2−2∥a∥∥b∥cos⁡θ⏟ cosines⇓a⋅b = ∥a∥∥b∥cos⁡θ.{N} a_n b_n = \ lVert \ mathbf {a} \ rVert \ lVert \ mathbf {b} \ rVert \ cos \ theta. \ tag {6} n = 1∑N и bn = ∥a∥∥b∥cosθ. (6)

Однако этот результат кажется мне довольно противоречивым, и мое замешательство относительно того, как это могло быть правдой, послужило источником вдохновения для этой статьи. {\ mathbf {M} \ mathbf {e} _2}.\ tag {9} [−51] = 1 [−75] Me1 +2 [13] Me2. (9)

Мы можем визуализировать это (рис. 333) для некоторой интуиции. Тем не менее, я настоятельно рекомендую два прекрасных объяснения линейных проекций и скалярное произведение Гранта Сандерсона для интерактивных визуализаций.

Мы можем написать это в более общем виде. Рассмотрим тот факт, что мы можем представить любой вектор v = [v1,…, vN] \ mathbf {v} = [v_1, \ dots, v_N] v = [v1,…, vN] как линейную комбинацию стандартных базисные векторы e1,…, eN \ mathbf {e} _1, \ dots, \ mathbf {e} _Ne1,…, eN:

v = v1e1 + ⋯ + vNeN. (10) \ mathbf {v} = v_1 \ mathbf {e} _1 + \ dots + v_N \ mathbf {e} _N.\ tag {10} v = v1 e1 + ⋯ + vN eN. (10)

Это означает, что мы можем применить наше линейное преобразование M \ mathbf {M} M, чтобы получить

Mv = v1 (Me1) + ⋯ + vN (MeN). (11) \ mathbf {M} \ mathbf {v} = v_1 (\ mathbf {M} \ mathbf {e} _1) + \ dots + v_N (\ mathbf {M} \ mathbf {e} _N). \ tag {11} Mv = v1 (Me1) + ⋯ + vN (MeN). (11)

Таким образом, любой PPP-вектор Mv \ mathbf {M} \ mathbf {v} Mv может быть представлен как линейная комбинация проецируемых стандартных базисных векторов Me1,…, MeN \ mathbf {M} \ mathbf {e} _1, \ dots , \ mathbf {M} \ mathbf {e} _NMe1,…, MeN.2R2. Пусть a = [3,1] \ mathbf {a} = [3, 1] a = [3,1] и b = [2,4] \ mathbf {b} = [2, 4] b = [2, 4]. Тогда скалярное произведение между этими двумя векторами можно записать как умножение матрицы на вектор:

[31] ⋅ [24] = [31] [24] = [10]. (13) \ begin {bmatrix} 3 \\ 1 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} 2 \\ 4 \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 3 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 2 \\ 4 \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 10 \ end {bmatrix}. 2R2 на R \ mathbb {R} R, мы можем визуализировать операцию (рис. 444).N a_1 b_1 + \ dots + a_N b_N \ right) \\ & = к \ альфа \ конец {выровнено} \ тег {14} (ka) ⋅b = n = 1∑N (ka1) b1 + ⋯ + (kaN) bN = k (n = 1∑N a1 b1 + ⋯ + aN bN) = kα (14)

Хотя это не полное доказательство, это признак линейной зависимости.

Заключение

Как связаны два определения скалярного произведения? Интуиция подсказывает, что и то, и другое можно рассматривать как геометрические операции. В Интернете есть много других хороших объяснений этой идеи, но для меня идея, которая действительно подтолкнула идею, заключается в понимании того, что сумма представляет собой линейную проекцию.

Приложение

A1. Доказательства коммутативности и дистрибутивности

Скалярное произведение коммутативно, потому что скалярное умножение коммутативно:

a⋅b = a1b1 + a2b2 + ⋯ + anbn = b1a1 + b2a2 + ⋯ + bnan = b⋅a. (П.1) \ begin {выровнено} \ mathbf {а} \ cdot \ mathbf {б} & = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ точки + a_n b_n \\ & = b_1 a_1 + b_2 a_2 + \ точки + b_n a_n \\ & = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a}. \ конец {выровнено} \ tag {A.1} a⋅b = a1 b1 + a2 b2 + ⋯ + an bn = b1 a1 + b2 a2 + ⋯ + bn an = b⋅a.{\Топ} \\ & = a_1 (b_1 + c_2) + a_2 (b_2 + c_2) + \ точки + a_n (b_n + c_n) \\ & = a_1 b_1 + a_1 c_2 + a_2 b_2 + a_2 c_2 + \ dots + a_n b_n + a_n c_n \\ & = (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ dots + a_n b_n) + (a_1 c_1 + a_2 c_2 + \ dots + a_n c_n) \\ & = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c}. \ конец {выровнено} \ tag {A.2} a⋅ (b + c) = a⋅ [(b1 + c1), (b2 + c2),…, (bn + cn)] ⊤ = a1 (b1 + c2) + a2 (b2 + c2) + ⋯ + an (bn + cn) = a1 b1 + a1 c2 + a2 b2 + a2 c2 + ⋯ + an bn + an Cn = (a1 b1 + a2 b2 + ⋯ + an bn) + (a1 c1 + a2 c2 + ⋯ + an cn) = a⋅b + a⋅c.2 — 2 \ lVert \ mathbf {a} \ rVert \ lVert \ mathbf {b} \ rVert \ cos \ theta. \ tag {A.3} ∥c∥2 = ∥a∥2 + ∥b∥2−2∥a∥∥b∥cosθ. (A.3)

Рассмотрим треугольник на рисунке 555.

Рисунок 5: Произвольный треугольник.

Давайте сначала запишем eee и ∥m∥ \ lVert \ mathbf {m} \ rVert∥m∥ в терминах cos⁡ \ coscos и sin⁡ \ sinsin:

d: = ∥b∥cos⁡ (θ), ∥m∥: = ∥b∥sin⁡ (θ), e: = ∥c∥ − ∥b∥cos⁡ (θ) ⏟d. (A.4) d: = \ lVert \ mathbf {b} \ rVert \ cos (\ theta), \ qquad \ lVert \ mathbf {m} \ rVert: = \ lVert \ mathbf {b} \ rVert \ sin (\ theta), \ qquad e: = \ lVert \ mathbf {c} \ rVert — \ underbrace {\ lVert \ mathbf {b} \ rVert \ cos (\ theta)} _ {d}.2 (\ theta) = 1sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1 — это просто теорема Пифагора, примененная к прямоугольному треугольнику, вписанному в единичную окружность. Таким образом, мы доказали закон косинусов для произвольного треугольника.

Точечный продукт — Викиверситет

Скалярное произведение , также известное как «внутренний продукт» или, реже, «скалярное произведение», представляет собой число, связанное с парой векторов. Он занимает видное место во многих задачах физики, а его варианты появляются в огромном количестве математических областей.

Геометрически определяется как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. Это определение используется в 2-х измерениях (плоская геометрия) или в 3-х измерениях (твердотельная геометрия и физика). Точечный продукт записывается с выпуклой точкой между векторами,

A → ⋅B → = ABcos⁡θ {\ displaystyle {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}} = AB \ cos \ theta},

где θ {\ displaystyle \ theta} — угол между двумя векторами.Следуя общепринятому соглашению, величины были записаны как переменные без символа вектора: A≡ || A → || {\ displaystyle A \ Equiv || {\ vec {A}} ||} и B≡ || В → || {\ Displaystyle B \ Equiv || {\ vec {B}} ||}.

Несколько свойств сразу бросаются в глаза.

• Он симметричен: A → ⋅B → = B → ⋅A → {\ displaystyle {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}} = {\ vec {B}} \ cdot {\ vec { A}} \,}.
• Он линейен по каждому аргументу: (λA →) ⋅B → = A → ⋅ (λB →) = λ (A → ⋅B →) {\ displaystyle (\ lambda {\ vec {A}}) \ cdot {\ vec {B}} = {\ vec {A}} \ cdot (\ lambda {\ vec {B}}) = \ lambda ({\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}}) \,} .
• Если два вектора ортогональны (перпендикулярны) друг другу, их скалярное произведение равно нулю. Это потому, что косинус 90 ° равен нулю.
• Длина вектора — это квадратный корень из скалярного произведения вектора на себя. Это потому, что угол равен 0, поэтому косинус равен 1.

‖A → ‖ = A → ⋅A → {\ displaystyle \ | {\ vec {A}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {A}} \ cdot {\ vec {A}}}} \,}

(Двойной знак абсолютного значения, показанный выше, известен как норма .Его можно рассматривать как обобщение абсолютного значения числа. Он используется во многих местах математики. Для векторов это длина.)

Оказывается, что, учитывая компоненты векторов в декартовом (евклидовом) векторном пространстве, существует чрезвычайно простой способ вычисления скалярного произведения. Это сумма попарных произведений компонентов векторов:

A → ⋅B → = AxBx + AyBy + AzBz {\ displaystyle {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}} = A_ {x} B_ {x} + A_ {y} B_ { y} + A_ {z} B_ {z} \,}.{3} A_ {i} B_ {i} \,}.

Это определение также используется в двух измерениях с добавлением только двух терминов.

Следует подчеркнуть, что эта формула работает только в том случае, если компоненты векторов описаны в декартовом пространстве. В других системах координат может потребоваться использование других, несколько более сложных формул.

Эквивалентность этого алгебраического определения и более раннего геометрического определения чрезвычайно важна.{-1} \ left ({\ frac {A_ {x} B_ {x} + A_ {y} B_ {y} + A_ {z} B_ {z}} {\ | A \ | \ | B \ |}) }\Правильно)\,}.

Используя алгебраическое определение, можно увидеть, что скалярное произведение является аддитивным по каждому аргументу:

A → ⋅ (B → + C →) = A → ⋅B → + A → ⋅C → {\ displaystyle {\ vec {A}} \ cdot ({\ vec {B}} + {\ vec {C}}) = {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}} + {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {C}} \,}.

(A → + B →) ⋅C → = A → ⋅C → + B → ⋅C → {\ displaystyle ({\ vec {A}} + {\ vec {B}}) \ cdot {\ vec {C }} = {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {C}} + {\ vec {B}} \ cdot {\ vec {C}} \,}.

то, что не так просто увидеть из геометрического определения.

Доказательство эквивалентности двух определений [править | править источник]

Если кто-то хорошо разбирается в геометрической визуализации в 3-х измерениях и хорошо разбирается в евклидовой группе вращения, можно вращать декартову систему координат, пока два вектора не будут лежать в плоскости xy, а первый вектор не будет лежать вдоль оси x. .

Для этого необходимо знать, что любое вращение вокруг координатной оси является преобразованием ортогональной матрицей, что сумма попарных произведений компонентов не изменяется ортогональным преобразованием и что два вектора могут быть повернуты в требуемое положение. комбинацией поворотов вокруг осей координат.

Как только это будет сделано, это станет проблемой в двух измерениях.

Bx {\ displaystyle B_ {x} \,} — это проекция B → {\ displaystyle {\ vec {B}} \,} на ось x, которая также является длиной B → {\ displaystyle {\ vec {B}} \,}, умноженное на косинус θ {\ displaystyle \ theta \,}.

Bx = ‖B‖cos⁡θ {\ displaystyle B_ {x} = \ | B \ | \ cos \ theta \,}

Ax = ‖A‖ {\ Displaystyle A_ {x} = \ | A \ | \,}

Ay = 0 {\ displaystyle A_ {y} = 0 \,}

AxBx + AyBy = AxBx = ‖A‖‖B‖cos⁡θ {\ displaystyle A_ {x} B_ {x} + A_ {y} B_ {y} = A_ {x} B_ {x} = \ | A \ | \ | B \ | \ cos \ theta \,}

Другой способ доказать это — сначала доказать это для нормы вектора, а затем использовать закон косинусов.{2}}} \,}

В какой бы системе координат мы ни находимся, вектор A → {\ displaystyle {\ vec {A}} \,} проходит от одного угла до противоположного угла прямоугольного прямоугольника со сторонами Ax {\ displaystyle A_ {x} \, }, Ay {\ displaystyle A_ {y} \,} и Az {\ displaystyle A_ {z} \,}.

Для доказательства требуемого результата достаточно двух приложений теоремы Пифагора. Длина вектора — это квадратный корень из суммы квадратов его компонентов.

Затем, в какой бы системе координат мы ни находились, сформируйте плоскость, содержащую A → {\ displaystyle {\ vec {A}} \,} и B → {\ displaystyle {\ vec {B}} \,}, и используйте плоскость геометрия.{2} -2 \ | A \ | \ | B \ | \ cos \ theta \,}

так

−2AxBx − 2AyBy − 2AzBz = −2‖A‖‖B‖cos⁡θ {\ displaystyle -2A_ {x} B_ {x} -2A_ {y} B_ {y} -2A_ {z} B_ { z} = — 2 \ | A \ | \ | B \ | \ cos \ theta \,}

так

AxBx + AyBy + AzBz = ‖A‖‖B‖cos⁡θ {\ displaystyle A_ {x} B_ {x} + A_ {y} B_ {y} + A_ {z} B_ {z} = \ | A \ | \ | B \ | \ cos \ theta \,}

линейная алгебра — Почему скалярное произведение определяется как скаляр, а перекрестное произведение — вектор нормали?

Скалярное произведение — это частный случай более общей концепции, внутреннего продукта.Если у вас есть векторное пространство $ V $ над действительными или комплексными числами, то внутреннее произведение — это отображение $ f: V \ times V \ to \ mathbb {C} $ или $ f: V \ times V \ to \ mathbb {R} $, который является сопряженным симметричным, положительно определенным и линейным по своему первому аргументу. Обычно мы пишем $ f (u, v) = \ langle u, v \ rangle $, и в этом случае эти свойства можно суммировать следующим образом:

• Сопряженная симметрия: $ \ overline {\ langle u, v \ rangle} = \ langle v, u \ rangle $, где $ \ bar {z} $ обозначает комплексное сопряжение.n $, то это внутреннее произведение — это скалярное произведение .

  Почему этот формализм более мощный? Результатом о внутреннем произведении является неравенство Коши-Шварца, которое гласит, что $ | \ langle u, v \ rangle | \ leq | u | | v | $ где $ | u | = \ sqrt {\ langle u, u \ rangle} $. Это говорит нам о том, что

  $$ -1 \ leq \ frac {\ langle u, v \ rangle} {| u | | v |} \ leq 1 $$

  в предположении, что наше поле скаляров равно $ \ mathbb {R} $. Затем мы видим, что арккосинус этого выражения хорошо определен, поэтому мы можем определить угол между ненулевыми векторами $ u $ и $ v $ как

  $$ \ theta = \ arccos \ left (\ frac {\ langle u, v \ rangle} {| u | | v |} \ right) $$

  Свойства, которые, как мы ожидаем, будут истинными, затем легко проверить.3 $. Кроме того, его величина также дает площадь параллелограмма, натянутого на векторы. Эти свойства могут быть взяты как определение перекрестного произведения (с соответствующим вниманием к ориентации), или они могут быть выведены как теоремы, начиная с алгебраического определения.

  Точечное произведение — обзор

  в точке (1,2) задается как (−1, −1). Вычислите размер шага α _k , чтобы минимизировать f ( x ) в заданном направлении.

  Решение

  Для данной точки x ^{( k )} = (1,2), f ( x ^{( k )} ) = 22, и d ^{( к )} = (- 1, −1). Сначала мы проверяем, является ли d ^{( k )} направлением спуска, используя Неравенство (10.9). Для этого нам нужен градиент функции стоимости, который задается как

  (b) c = [6×1 + 2x22x1 + 4×2]

  Таким образом, подставляя текущую точку (1,2) в уравнение.(b) градиент функции в (1,2) задается как c ^{( k )} = (10,10) и ( c ^{( k )} · d ^{( k )} ) = 10 (−1) +10 (−1) = — 20 <0. Следовательно, (−1, −1) - это направление спуска.

  Новая точка x ^{( k +1)} с использованием уравнения. (10.10) дается в терминах α как

  (c) [x1x2] (k + 1) = [12] + α [−1−1], или x1 (k + 1) = 1 − α; x2 (k + 1) = 2 − α

  Подставляя эти уравнения в функцию стоимости уравнения.(a) получаем

  (d) f (x (k + 1)) = 3 (1 − α) 2 + 2 (1 − α) (2 − α) +2 (2 − α) 2 + 7 = 7α2−20α + 22 = f (α)

  Следовательно, вдоль заданного направления (−1, −1) f ( x ) становится функцией единственной переменной α . Примечание из уравнения. (d) что f (0) = 22, что является значением функции затрат в текущей точке, и что f ′ (0) = — 20 <0, что представляет собой наклон f ( α ) при α = 0 (также напомним, что f ′ (0) = c ^{( k )} · d ^{( k )} , что равно −20).

  Теперь, используя необходимые и достаточные условия оптимальности для f ( α ) в уравнении. (г) получаем

  (д) dfdα = 14αk − 20 = 0; αk = 107; d2fdα2 = 14> 0

  Следовательно, α _k = 10/7 минимизирует f ( x ) в направлении (−1, −1). Новая точка получается путем подстановки размера шага в уравнение. (c) как

  (f) [x1x2] (k + 1) = [12] + (107) [- 1−1] = [- 3747]

  Замена нового дизайна (−3/7, 4 / 7) в функцию стоимости f ( x ), мы находим новое значение функции стоимости как 54/7.Это существенное снижение по сравнению со значением функции затрат, равным 22 в предыдущем пункте.

  Обратите внимание, что уравнение. (e) для расчета размера шага α также может быть получено путем непосредственного использования условия, приведенного в формуле. (10.14). Используя уравнение. (c) градиент f в новой расчетной точке с точки зрения α составляет

  (g) c (k + 1) = (6×1 + 2×2,2×1 + 4×2) = (10−8α, 10 −6α)

  Используя условие уравнения. (10.14), мы получаем 14 α −20 = 0, что совпадает с формулой. (е).

  Точечное произведение · Исчисление

  Точечное произведение · Исчисление
  • Вычислить скалярное произведение двух заданных векторов.
  • Определите, перпендикулярны ли два заданных вектора.
  • Найдите направляющие косинусы заданного вектора.
  • Объясните, что подразумевается под векторной проекцией одного вектора на другой вектор, и опишите, как это вычислить.
  • Рассчитайте работу, совершаемую заданной силой.

  Если мы применяем силу к объекту так, чтобы объект двигался, мы говорим, что работа выполняется силой.В разделе «Введение в приложения интеграции», посвященном приложениям интеграции, мы рассмотрели постоянную силу и предположили, что сила приложена в направлении движения объекта. В этих условиях работа может быть выражена как произведение силы, действующей на объект, и расстояния, на которое объект перемещается. Однако в этой главе мы увидели, что и сила, и движение объекта могут быть представлены векторами.

  В этом разделе мы разрабатываем операцию, называемую скалярным произведением , которая позволяет нам вычислять работу в случае, когда вектор силы и вектор движения имеют разные направления.Точечный продукт по существу говорит нам, какая часть вектора силы приложена в направлении вектора движения. Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол, образованный парой векторов, и положение вектора относительно осей координат. Он даже обеспечивает простой тест, чтобы определить, встречаются ли два вектора под прямым углом.

  Точечное произведение и его свойства

  Мы уже научились складывать и вычитать векторы. В этой главе мы исследуем два типа умножения векторов.Первый тип умножения векторов называется скалярным произведением на основе обозначений, которые мы используем для него, и определяется следующим образом:

  Определение

  скалярное произведение векторов u = 〈u1, u2, u3〉

  и v = 〈v1, v2, v3〉

  получается как сумма произведений компонентов

  и · v = u1v1 + u2v2 + u3v3.

  Обратите внимание, что если u и v являются двумерными векторами, мы вычисляем скалярное произведение аналогичным образом.Таким образом, если u = 〈u1, u2〉

  и v = 〈v1, v2〉,

  , затем

  и · v = u1v1 + u2v2.

  Когда два вектора объединяются при сложении или вычитании, результатом является вектор. Когда два вектора объединяются с использованием скалярного произведения, результатом является скаляр. По этой причине скалярное произведение часто называют скалярным произведением . Его также можно назвать внутренним продуктом .

  Расчет точечных произведений

  1. Найдите скалярное произведение u = 〈3,5,2〉

     и

     v = 〈- 1,3,0〉.
  2. Найдите скалярное произведение p = 10i − 4j + 7k

     и

     q = −2i + j + 6k.
  1. Подставьте компоненты вектора в формулу для скалярного произведения:

     ---

     u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = 3 (−1) +5 (3) +2 (0) = — 3 + 15 + 0 = 12.

  2. Вычисление такое же, если векторы записаны с использованием стандартных единичных векторов. У нас все еще есть три компонента для каждого вектора, которые нужно подставить в формулу для скалярного произведения:

     ---

     p · q = u1v1 + u2v2 + u3v3 = 10 (−2) + (- 4) (1) + (7) (6) = — 20−4 + 42 = 18.

  Найди u · v,

  , где u = 〈2,9, −1〉

  и v = 〈- 3,1, −4〉.

  Намекать

  Умножьте соответствующие компоненты, а затем сложите их произведения.

  Подобно сложению и вычитанию векторов, скалярное произведение имеет несколько алгебраических свойств. Мы докажем три из этих свойств, а остальные оставим в качестве упражнений.

  Свойства точечного продукта

  Пусть и,

  v,

  и w

  — векторы, а c — скаляр.

  iu · v = v · uКоммутативное свойствоii.u · (v + w) = u · v + u · wРаспределительное свойствоiii.c (u · v) = (cu) · v = u · (cv) Ассоциативное свойствоiv.v · v = ‖V‖2Объект площадью

  Проба

  Пусть u = 〈u1, u2, u3〉

  и v = 〈v1, v2, v3〉.

  Затем

  u · v = 〈u1, u2, u3〉 · 〈v1, v2, v3〉 = u1v1 + u2v2 + u3v3 = v1u1 + v2u2 + v3u3 = 〈v1, v2, v3〉 · 〈u1, u2, u3〉 = v · u.

  Ассоциативное свойство выглядит как ассоциативное свойство для умножения действительных чисел, но обратите внимание на разницу между скалярными и векторными объектами:

  c (u · v) = c (u1v1 + u2v2 + u3v3) = c (u1v1) + c (u2v2) + c (u3v3) = (cu1) v1 + (cu2) v2 + (cu3) v3 = 〈cu1, cu2, cu3 〉 · 〈V1, v2, v3〉 = c 〈u1, u2, u3〉 · 〈v1, v2, v3〉 = (cu) · v.

  Доказательство того, что c (u · v) = u · (cv)

  похож.

  Четвертое свойство показывает взаимосвязь между величиной вектора и его скалярным произведением с самим собой:

  v · v = 〈v1, v2, v3〉 · 〈v1, v2, v3〉 = (v1) 2+ (v2) 2+ (v3) 2 = [(v1) 2+ (v2) 2+ (v3) 2 ] 2 = ‖v‖2.

  □

  Обратите внимание, что определение скалярного произведения дает 0 · v = 0.

  По свойству iv., Если v · v = 0,

  , тогда v = 0.

  Использование свойств точечного произведения

  Пусть a = 〈1,2, −3〉,

  b = 〈0,2,4〉,

  и c = 〈5, −1,3〉.

  Найдите каждый из следующих продуктов.

  1. (а · б) в
  2. а · (2c)
  3. ‖B‖2
  1. Обратите внимание, что это выражение запрашивает скалярное кратное c на а · б:

     ---

     (a · b) c = (〈1,2, −3〉 · 〈0,2,4〉) 〈5, −1,3〉 = (1 (0) +2 (2) + (- 3) ( 4)) 〈5, −1,3〉 = — 8 〈5, −1,3〉 = 〈- 40,8, −24〉.

  2. Это выражение является скалярным произведением вектора a и скалярного кратного 2 c :

     ---

     a · (2c) = 2 (a · c) = 2 (〈1,2, −3〉 · 〈5, −1,3〉) = 2 (1 (5) +2 (−1) + (- 3 ) (3)) = 2 (−6) = — 12.

  3. Упрощение этого выражения — прямое применение скалярного произведения:

     ---

     ‖B‖2 = b · b = 〈0,2,4〉 · 〈0,2,4〉 = 02 + 22 + 42 = 0 + 4 + 16 = 20.

  Найдите следующие продукты для p = 〈7,0,2〉,

  . q = 〈- 2,2, −2〉,

  и r = 〈0,2, −3〉.

  1. (r · p) q
  2. ‖P‖2

  а. (r · p) q = 〈12, −12,12〉;

  г.‖P‖2 = 53

  Использование точечного произведения для определения угла между двумя векторами

  Когда два ненулевых вектора помещаются в стандартное положение, будь то в двух измерениях или в трех измерениях, они образуют угол между ними ([ссылка]). Точечное произведение позволяет найти меру этого угла. Это свойство является результатом того факта, что мы можем выразить скалярное произведение через косинус угла, образованного двумя векторами.

  Оценка скалярного произведения

  Скалярное произведение двух векторов — это произведение величины каждого вектора и косинуса угла между ними:

  u · v = ‖u‖‖v‖cosθ.

  Проба

  Поместите векторы u и v в стандартное положение и рассмотрите вектор v − u

  ([ссылка]). Эти три вектора образуют треугольник со сторонами u‖, ‖v‖ и v − u‖.

  Вспомните из тригонометрии, что закон косинусов описывает соотношение между длинами сторон треугольника и углом θ . Применение закона косинусов дает

  ‖V − u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2−2‖u‖‖v‖cosθ.

  Скалярное произведение позволяет переписать левую часть этого уравнения:

  ‖V − u‖2 = (v − u) · (v − u) = (v − u) · v− (v − u) · u = v · v − u · v − v · u + u · u = v · v − u · v − u · v + u · u = ‖v‖2−2u · v + ‖u‖2.

  Подстановка в закон косинусов дает

  ‖V − u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2−2‖u‖‖v‖cosθ‖v‖2−2u · v + ‖u‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2−2‖ u‖‖v‖cosθ − 2u · v = −2‖u‖‖v‖cosθu · v = ‖u‖‖v‖cosθ.

  □

  Мы можем использовать эту форму скалярного произведения, чтобы найти меру угла между двумя ненулевыми векторами. Следующее уравнение преобразует [ссылка], чтобы найти косинус угла:

  cosθ = u · v‖u‖‖v‖.

  Используя это уравнение, мы можем найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами.Поскольку мы рассматриваем наименьший угол между векторами, мы предполагаем, что 0 ° ≤θ≤180 °

  (или 0≤θ≤π

  , если мы работаем в радианах). Обратный косинус уникален в этом диапазоне, поэтому мы можем определить меру угла θ.

  Нахождение угла между двумя векторами

  Найдите угол между каждой парой векторов.

  1. i + j + k и 2 i — j — 3 k
  2. 〈2,5,6〉

     и

     〈−2, −4,4〉
  1. Чтобы найти косинус угла, образованного двумя векторами, подставьте компоненты векторов в [ссылка]:

     ---

     cosθ = (i + j + k) · (2i − j − 3k) ‖i + j + k‖ · ‖2i − j − 3k‖ = 1 (2) + (1) (- 1) + (1) ( −3) 12 + 12 + 1222 + (- 1) 2 + (- 3) 2 = −2314 = −242.

     ---

     Следовательно,

     θ = arccos − 242

     рад.

  2. Начните с определения значения косинуса угла между векторами:

     ---

     cosθ = 〈2,5,6〉 · 〈−2, −4,4〉 ‖ 〈2,5,6〉 ‖ · 〈−2, −4,4〉 ‖ = 2 (−2) + (5) (−4) + (6) (4) 22 + 52 + 62 (−2) 2 + (- 4) 2 + 42 = 06536 = 0.

     ---

     Сейчас,

     cosθ = 0

     и

     0≤θ≤π,

     так

     θ = π / 2.

  Найдите угол в радианах, образованный векторами a = 〈1,2,0〉

  и b = 〈2,4,1〉.

  Округлить до сотых.

  Намекать

  Используйте уравнение cosθ = u · v‖u‖ · ‖v‖.

  Угол между двумя векторами может быть острым (0

  тупой (−1

  или прямой (cosθ = −1).

  Если cosθ = 1,

  , то оба вектора имеют одинаковое направление. Если cosθ = 0,

  то векторы в стандартном положении образуют прямой угол ([ссылка]). Мы можем формализовать этот результат в виде теоремы об ортогональных (перпендикулярных) векторах.

  Ортогональные векторы

  Ненулевые векторы u и v являются ортогональными векторами тогда и только тогда, когда u · v = 0.

  Проба

  Пусть u и v ненулевые векторы, и пусть θ

  обозначают угол между ними. Сначала предположим, что u · v = 0.

  Затем

  ‖U‖‖v‖cosθ = 0.

  Однако ‖u‖ ≠ 0

  и ‖v‖ ≠ 0,

  , поэтому мы должны иметь cosθ = 0.

  Следовательно, θ = 90 °,

  и векторы ортогональны.

  Теперь предположим, что и и v ортогональны. Тогда θ = 90 ° 900 · 10

  а у нас

  u · v = ‖u‖‖v‖cosθ = ‖u‖‖v‖cos90 ° = ‖u‖‖v‖ (0) = 0.

  □

  Термины ортогональные , перпендикулярные и нормальные каждый указывают на то, что математические объекты пересекаются под прямым углом. Использование каждого термина определяется главным образом его контекстом.Мы говорим, что векторы ортогональны, а прямые перпендикулярны. Термин нормальный используется чаще всего при измерении угла, образованного плоскостью или другой поверхностью.

  Определение ортогональных векторов

  Определите, является ли p = 〈1,0,5〉

  и q = 〈10,3, −2〉

  — ортогональные векторы.

  Используя определение, нам нужно только проверить скалярное произведение векторов:

  p · q = 1 (10) + (0) (3) + (5) (- 2) = 10 + 0−10 = 0.

  Поскольку p · q = 0,

  векторы ортогональны ([ссылка]).

  , для которого значение x равно p = 〈2,8, −1〉

  ортогонально q = 〈x, −1,2〉?

  х = 5

  Намекать

  Векторы p и q ортогональны тогда и только тогда, когда p · q = 0.

  Измерение угла, образованного двумя векторами

  Пусть v = 〈2,3,3〉.

  Найдите размеры углов, образованных следующими векторами.

  1. v и i
  2. v и j
  3. v и k
  1. Пусть α будет углом, образованным v и i:

     ---

     cosα = v · i‖v‖ · ‖i‖ = 〈2,3,3〉 · 〈1,0,0〉 22 + 32 + 321 = 222.

     ---

     α = arccos222≈1.130рад.

  2. Пусть β представляет угол, образованный между v и j :

     ---

     cosβ = v · j‖v‖ · ‖j‖ = 〈2,3,3〉 · 〈0,1,0〉 22 + 32 + 321 = 322.

     ---

     β = arccos322≈0,877рад.

  3. Пусть γ представляет угол, образованный между v и k :

     ---

     cosγ = v · k‖v‖ · ‖k‖ = 〈2,3,3〉 · 〈0,0,1〉 22 + 32 + 321 = 322.

     ---

     γ = arccos322≈0.877рад.

  Пусть v = 〈3, −5,1〉.

  Найдите меру углов, образованных каждой парой векторов.

  1. v и i
  2. v и j
  3. v и k

  а. α≈1,04 900 · 10

  рад; б. β≈2,58

  рад; c. γ≈1,40 900 · 10

  рад

  Намекать

  i = 〈1,0,0〉, j = 〈0,1,0〉,

  и k = 〈0,0,1〉

  Угол, который вектор образует с каждой из осей координат, называемый углом направления, очень важен в практических вычислениях, особенно в такой области, как инженерия.Например, в космонавтике угол запуска ракеты должен определяться очень точно. Очень маленькая ошибка в угле может привести к тому, что ракета отклонится от курса на сотни миль. Углы направления часто вычисляются с помощью скалярного произведения и косинусов углов, называемых направляющими косинусами. Поэтому мы определяем как эти углы, так и их косинусы.

  Определение

  Углы, образованные ненулевым вектором и осями координат, называются углами направления для вектора ([ссылка]).Косинусы для этих углов называются направляющими косинусами .

  В [ссылка] направляющие косинусы v = 〈2,3,3〉

  являются cosα = 222,

  cosβ = 322,

  и cosγ = 322.

  Углы направления v равны α = 1.130рад,

  β = 0,877рад,

  и γ = 0,877рад.

  До сих пор мы сосредоточились в основном на векторах, связанных с силой, движением и положением в трехмерном физическом пространстве. Однако векторы часто используются более абстрактно.Например, предположим, что продавец фруктов продает яблоки, бананы и апельсины. В определенный день он продает 30 яблок, 12 бананов и 18 апельсинов. Он мог бы использовать количественный вектор, q = 〈30,12,18〉,

  — количество фруктов, проданных им в тот день. Точно так же он может захотеть использовать вектор цен, p = 〈0.50,0.25,1〉,

  .

  , чтобы указать, что он продает свои яблоки по 50 центов за штуку, бананы по 25 центов за штуку и апельсины по 1 доллару за штуку. В этом примере, хотя мы все еще можем изобразить эти векторы, мы не интерпретируем их как буквальные представления положения в физическом мире.Мы просто используем векторы, чтобы отслеживать отдельные фрагменты информации о яблоках, бананах и апельсинах.

  Эта идея может показаться немного странной, но если мы просто будем рассматривать векторы как способ упорядочивания и хранения данных, мы обнаружим, что они могут быть довольно мощным инструментом. Возвращаясь к продавцу фруктов, давайте подумаем о скалярном произведении q · p.

  Мы вычисляем это, умножая количество проданных яблок (30) на цену за яблоко (50 центов), количество проданных бананов на цену за банан и количество проданных апельсинов на цену за апельсин.Затем мы складываем все эти значения вместе. Итак, в этом примере скалярный продукт сообщает нам, сколько денег продавец фруктов имел от продаж в этот конкретный день.

  Когда мы используем векторы в более общем смысле, нет причин ограничивать количество компонентов тремя. Что, если продавец фруктов решит начать продавать грейпфрут? В этом случае он хотел бы использовать четырехмерные векторы количества и цен для представления количества проданных яблок, бананов, апельсинов и грейпфрутов и их удельных цен.Как и следовало ожидать, для вычисления скалярного произведения четырехмерных векторов мы просто складываем произведения компонентов, как и раньше, но в сумме четыре члена вместо трех.

  Использование векторов в экономическом контексте

  AAA Party Supply Store продает приглашения, сувениры для вечеринок, украшения и предметы общественного питания, такие как бумажные тарелки и салфетки. Когда AAA покупает свой инвентарь, он платит 25 центов за упаковку за приглашения и вечеринки. Украшения стоят 50 центов AAA каждое, а предметы общественного питания — 20 центов за упаковку.AAA продает приглашения по цене 2,50 доллара за пакет, а сувениры для вечеринок по цене 1,50 доллара за пакет. Украшения продаются по 4,50 доллара за штуку, а предметы общественного питания — по 1,25 доллара за упаковку.

  В течение мая AAA Party Supply Store продает 1258 приглашений, 342 праздничных подарка, 2426 украшений и 1354 предмета общественного питания. Используйте векторы и точечные произведения, чтобы подсчитать, сколько денег AAA заработало на продажах в мае. Какую прибыль принес магазин?

  Векторы стоимости, цены и количества —

  c = 〈0.25,0,25,0,50,0,20〉 p = 〈2.50,1.50,4.50,1.25〉 q = 〈1258,342,2426,1354〉.

  продаж AAA в мае можно рассчитать с помощью скалярного произведения p · q.

  У нас

  p · q = 〈2,50,1,50,4,50,1,25〉 · 〈1258,342,2426,1354〉 = 3145 + 513 + 10917 + 1692,5 = 16267,5.

  Итак, AAA заработала 16 267,50 долларов в течение мая.

  Чтобы рассчитать прибыль, мы должны сначала подсчитать, сколько AAA заплатило за проданные товары. Мы используем точечное произведение c · q

  , чтобы получить

  c · q = 〈0.25,0,25,0,50,0,20〉 · 〈1258,342,2426,1354〉 = 314,5 + 85,5 + 1213 + 270,8 = 1883,8.

  Итак, AAA заплатила 1883,30 доллара за проданные товары. Таким образом, их прибыль равна

  .

  p · q − c · q = 16267,5−1883,8 = 14383,7.

  Таким образом, магазин AAA Party Supply в мае заработал 14 383,70 долларов.

  1 июня магазин AAA Party Supply решил повысить цену, которую они взимают за праздничные сувениры, до 2 долларов за упаковку. Они также сменили поставщиков для своих приглашений и теперь могут покупать приглашения всего за 10 центов за упаковку.Все остальные затраты и цены остаются прежними. Если AAA продает 1408 приглашений, 147 сувениров для вечеринок, 2112 украшений и 1894 предмета общественного питания в июне, используйте векторы и точечные продукты для расчета их общих продаж и прибыли за июнь.

  Продажи = 15 685,50 долларов США; прибыль = 14 073,15 $

  Намекать

  Используйте четырехмерные векторы для определения стоимости, цены и количества проданных товаров.

  Проекции

  Как мы видели, сложение объединяет два вектора для создания результирующего вектора.Но что, если нам дан вектор и нам нужно найти его составные части? Мы используем векторные проекции, чтобы выполнить противоположный процесс; они могут разбить вектор на составляющие. Величина проекции вектора — это скалярная проекция. Например, если ребенок тянет за ручку повозки под углом 55 °, мы можем использовать проекции, чтобы определить, какая сила на ручке фактически перемещает повозку вперед ([ссылка]). Мы вернемся к этому примеру и узнаем, как его решить, после того, как увидим, как рассчитывать прогнозы.

  Определение

  Проекция вектора v на u — вектор, помеченный как proj _u v в [ссылка]. Он имеет ту же начальную точку, что и u и v , и то же направление, что и u , и представляет компонент v , который действует в направлении u . Если θ

  представляет собой угол между u и v , тогда по свойствам треугольников мы знаем длину projuv

  — это projuv‖ = ‖v‖cosθ.

  При выражении cosθ

  в терминах скалярного произведения, это становится

  Projuv‖ = ‖v‖cosθ = ‖v‖ (u · v‖u‖‖v‖) = u · v‖u‖.

  Теперь умножим на единичный вектор в направлении и , чтобы получить результат:

  projuv = u · v‖u‖ (1‖u‖u) = u · v‖u‖2u.

  Длина этого вектора также известна как скалярная проекция v на u и обозначается

  ‖Projuv‖ = compuv = u · v‖u‖.

  Поиск прогнозов

  Найдите проекцию v на u.

  1. v = 〈3,5,1〉

     и

     и = 〈- 1,4,3〉
  2. v = 3i − 2j

     и

     и = я + 6j
  1. Подставьте компоненты v и u в формулу для проекции:

     ---

     projuv = u · v‖u‖2u = 〈- 1,4,3〉 · 〈3,5,1〉 ‖ 〈−1,4,3〉 2 〈−1,4,3〉 = — 3 + 20 +3 (−1) 2 + 42 + 32 〈−1,4,3〉 = 2026 〈−1,4,3〉 = 〈- 1013,4013,3013〉.

  2. Чтобы найти двумерную проекцию, просто адаптируйте формулу к двумерному случаю:

     ---

     projuv = u · v‖u‖2u = (i + 6j) · (3i − 2j) ‖i + 6j‖2 (i + 6j) = 1 (3) +6 (−2) 12 + 62 (i + 6j) ) = — 937 (i + 6j) = — 937i − 5437j.

  Иногда полезно разложить векторы, то есть разбить вектор на сумму. Этот процесс называется разрешением вектора на компоненты . Проекции позволяют идентифицировать два ортогональных вектора, имеющих желаемую сумму. Например, пусть v = 〈6, −4〉

  и пусть u = 〈3,1〉.

  Мы хотим разложить вектор v на ортогональные компоненты так, чтобы один из векторов компонентов имел то же направление, что и u .

  Сначала мы находим компонент, который имеет то же направление, что и и , проецируя v на и . Пусть p = projuv.

  Тогда у нас есть

  p = u · v‖u‖2u = 18−49 + 1u = 75u = 75 〈3,1〉 = 〈215,75〉.

  Теперь рассмотрим вектор q = v − p.

  У нас

  q = v − p = 〈6, −4〉 — 〈215,75〉 = 〈95, −275〉.

  Ясно, что, кстати, мы определили q , мы имеем v = q + p,

  и

  q · p = 〈95, −275〉 · 〈215,75〉 = 9 (21) 25 + −27 (7) 25 = 18925−18925 = 0.

  Следовательно, q и p ортогональны.

  Разложение векторов на компоненты

  Экспресс v = 〈8, −3, −3〉

  как сумму ортогональных векторов, один из которых имеет то же направление, что и u = 〈2,3,2〉.

  Пусть p представляет проекцию v на u :

  p = projuv = u · v‖u‖2u = 〈2,3,2〉 · 〈8, −3, −3〉 ‖ 〈2,3,2〉 ‖2 〈2,3,2〉 = 16−9 −622 + 32 + 22 〈2,3,2〉 = 117 〈2,3,2〉 = 〈217,317,217〉.

  Затем,

  q = v − p = 〈8, −3, −3〉 — 〈217,317,217〉 = 〈13417, −5417, −5317〉.

  Чтобы проверить нашу работу, мы можем использовать скалярное произведение, чтобы убедиться, что p и q являются ортогональными векторами:

  p · q = 〈217 317 217〉 · 〈13417, −5417, −5317〉 = 26817−16217−10617 = 0.

  Затем,

  v = p + q = 〈217 317 217〉 + 〈13417, −5417, −5317〉.

  Экспресс v = 5i − j

  как сумма ортогональных векторов, один из которых имеет то же направление, что и u = 4i + 2j.

  v = p + q,

  , где p = 185i + 95j

  и q = 75i − 145j

  Намекать

  Начните с поиска проекции v на u .

  Скалярная проекция скорости

  Контейнеровоз выходит из порта, двигаясь под углом 15 °

  к северу от востока. Его двигатель развивает скорость 20 узлов на этом пути (см. Следующий рисунок). Кроме того, океанское течение перемещает корабль на северо-восток со скоростью 2 узла.С учетом двигателя и течения, насколько быстро корабль движется в направлении 15 °

  к северу от востока? Ответ округлите до двух десятичных знаков.

  Пусть v будет вектором скорости, генерируемым двигателем, и пусть w будет вектором скорости тока. Мы уже знаем ‖v‖ = 20

  по желаемому маршруту. Нам просто нужно добавить скалярную проекцию w на v .Получаем

  compvw = v · w‖v‖ = ‖v‖‖w‖cos (30 °) ‖v‖ = ‖w‖cos (30 °) = 232 = 3≈1,73 узла.

  Судно движется со скоростью 21,73 узла в направлении 15 °

  к северу от востока.

  Повторите предыдущий пример, но предположите, что океанское течение движется на юго-восток, а не на северо-восток, как показано на следующем рисунке.

  Намекать

  Вычислите скалярную проекцию w на v .

  Работа

  Теперь, когда мы разбираемся в скалярных произведениях, мы можем увидеть, как применять их в реальных ситуациях. Наиболее распространенное применение скалярного произведения двух векторов — расчет работы.

  Из физики мы знаем, что работа выполняется, когда объект перемещается силой. Когда сила постоянна и приложена в том же направлении, в котором движется объект, тогда мы определяем проделанную работу как произведение силы и расстояния, которое проходит объект: W = Fd.

  Мы видели несколько примеров этого типа в предыдущих главах.Теперь представьте, что направление силы отличается от направления движения, как в примере с ребенком, тянущим повозку. Чтобы найти проделанную работу, нам нужно умножить компонент силы, действующей в направлении движения, на величину смещения. Точечный продукт позволяет нам это делать. Если мы представим приложенную силу вектором F и смещение объекта вектором s , тогда работа , выполненная силой , будет скалярным произведением F и s .

  Определение

  Когда к объекту прикладывается постоянная сила, так что объект движется по прямой от точки P до точки Q , работа W выполняется силой F , действующей под углом θ от линия движения задается

  W = F · PQ → = ‖F‖‖PQ → ‖cosθ.

  Давайте вернемся к проблеме детской повозки, о которой говорилось ранее. Предположим, ребенок тянет повозку с силой в 8 фунтов на ручке под углом 55 °.Если ребенок тянет повозку на 50 футов, найдите работу, выполненную силой ([ссылка]).

  У нас

  W = ‖F‖‖PQ → ‖cosθ = 8 (50) (cos (55 °)) ≈229 футов · фунт.

  В стандартных единицах США мы измеряем величину силы ‖F‖

  в фунтах. Величина вектора смещения ‖PQ → ‖ 900 · 10

  сообщает нам, как далеко переместился объект, и измеряется в футах. Таким образом, общепринятой единицей измерения работы является фут-фунт. Один фут-фунт — это объем работы, необходимый для перемещения объекта весом 1 фунт на расстояние 1 фут по вертикали.В метрической системе единицей измерения силы является ньютон (Н), а единицей измерения величины работы является ньютон-метр (Н · м) или джоуль (Дж).

  Расчет работы

  Конвейерная лента создает силу F = 5i − 3j + k

  , который перемещает чемодан из точки (1,1,1)

  к точке (9,4,7)

  по прямой. Найдите работу, проделанную конвейерной лентой. Расстояние измеряется в метрах, а сила — в ньютонах.

  Вектор смещения PQ →

  имеет начальную точку (1,1,1)

  и конечный пункт (9,4,7):

  PQ → = 〈9−1,4−1,7−1〉 = 〈8,3,6〉 = 8i + 3j + 6k.

  Работа — это скалярное произведение силы и перемещения:

  W = F · PQ → = (5i − 3j + k) · (8i + 3j + 6k) = 5 (8) + (- 3) (3) +1 (6) = 37N · m = 37J.

  Постоянная сила 30 фунтов прикладывается под углом 60 °, чтобы тянуть ручную тележку на 10 футов по земле ([ссылка]). Какую работу выполняет эта сила?

  Намекать

  Используйте определение работы как скалярное произведение силы и расстояния.

  Ключевые понятия

  • Скалярное произведение или скалярное произведение двух векторов u = 〈u1, u2, u3〉

    и

    v = 〈v1, v2, v3〉

    равно

    и · v = u1v1 + u2v2 + u3v3.
  • Скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам:
    • u · v = v · u
    • u · (v + w) = u · v + u · w
    • c (u · v) = (cu) · v = u · (cv)
    • v · v = ‖v‖2
  • Скалярное произведение двух векторов можно также выразить как u · v = ‖u‖‖v‖cosθ.

    Эта форма скалярного произведения полезна для нахождения меры угла, образованного двумя векторами.

  • Векторы и и v ортогональны, если и · v = 0.
  • Углы, образованные ненулевым вектором и осями координат, называются углами направления вектора. Косинусы этих углов известны как направляющие косинусы .
  • Проекция вектора v на u — это вектор projuv = u · v‖u‖2u.

    Величина этого вектора известна как скалярная проекция из v на и , заданная как

    compuv = u · v‖u‖.
  • Работа выполняется, когда к объекту прикладывается сила, вызывающая смещение. Когда сила представлена ​​вектором F , а смещение — вектором s , тогда проделанная работа W определяется формулой W = F · s = ‖F‖‖s‖cosθ.

  Ключевые уравнения

  • Точечное произведение u и v

    ---

    u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = ‖u‖‖v‖cosθ
  • Косинус угла, образованного u и v

    ---

    cosθ = u · v‖u‖‖v‖
  • Векторная проекция v на u

    ---

    projuv = u · v‖u‖2u
  • Скалярная проекция v на u

    ---

    compuv = u · v‖u‖
  • Работа, выполняемая силой F по перемещению объекта через вектор смещения PQ →

  ---

  W = F · PQ → = ‖F‖‖PQ → ‖cosθ

  Для следующих упражнений даны векторы u и v .Вычислите скалярное произведение u · v.

  u = 〈3, −4〉, v = 〈4,3〉 900 · 10

  u = 〈2,2, −1〉, v = 〈- 1,2,2〉 900 · 10

  u = 〈4,5, −6〉, v = 〈0, −2, −3〉 900 · 10

  Для следующих упражнений даны векторы a , b и c . Определить векторы (a · b) c

  и (а · в) б.

  Выразите векторы в форме компонентов.

  a = 〈2,0, −3〉, b = 〈- 4, −7,1〉, c = 〈1,1, −1〉 900 · 10

  (a · b) c = 〈- 11, −11,11〉; (a · c) b = 〈- 20, −35,5〉

  a = 〈0,1,2〉, b = 〈- 1,0,1〉, c = 〈1,0, −1〉 900 · 10

  а = я + j, б = я-к, с = я-2к

  (a · b) c = 〈1,0, −2〉; (a · c) b = 〈1,0, −1〉 900 · 10

  а = i − j + k, b = j + 3k, c = −i + 2j − 4k

  Для следующих упражнений даны двумерные векторы a и b .

  1. Найдите меру угла θ

     между a и b . Ответ выражайте в радианах с округлением до двух десятичных знаков, если это невозможно выразить точно.

  2. Is θ

     острый угол?

  [T] a = 〈3, −1〉,

  б = 〈- 4,0〉

  а. θ = 2,82 900 · 10

  рад; б. θ

  не острый.

  [T] a = 〈2,1〉,

  б = 〈- 1,3〉

  u = 3i, v = 4i + 4j

  а.θ = π4 900 · 10

  рад; б. θ

  — острый.

  Для следующих упражнений найдите угол между трехмерными векторами a и b . Ответ выражайте в радианах с округлением до двух десятичных знаков, если это невозможно выразить точно.

  a = 〈3, −1,2〉, b = 〈1, −1, −2〉 900 · 10

  θ = π2 900 · 10

  a = 〈0, −1, −3〉, b = 〈2,3, −1〉 900 · 10

  [T] a = 3i − j − 2k,

  b = v + w,

  , где v = −2i − 3j + 2k

  и w = i + 2k

  [T] a = 3i − j + 2k,

  b = v − w,

  , где v = 2i + j + 4k

  и w = 6i + j + 2k

  Для следующих упражнений определите, ортогональны ли заданные векторы.

  a = 〈x, y〉, b = 〈- y, x〉,

  , где x и y ненулевые действительные числа

  a = 〈x, x〉, b = 〈- y, y〉,

  , где x и y ненулевые действительные числа

  а = 3i − j − 2k, b = −2i − 3j + k

  Найти все двумерные векторы a , ортогональные вектору b = 〈3,4〉.

  Выразите ответ в форме компонентов.

  a = 〈- 4α3, α〉,

  , где α ≠ 0

  — это действительное число

  Найдите все двумерные векторы a , ортогональные вектору b = 〈5, −6〉.

  Выразите ответ, используя стандартные единичные векторы.

  Определите все трехмерные векторы и , ортогональные вектору v = 〈1,1,0〉.

  Выразите ответ, используя стандартные единичные векторы.

  u = −αi + αj + βk,

  , где α

  и β

  — действительные числа такие, что α2 + β2 ≠ 0

  Определите все трехмерные векторы и , ортогональные вектору v = i − j − k.

  Выразите ответ в форме компонентов.

  Определить действительное число α

  таких, что векторы a = 2i + 3j

  и b = 9i + αj

  ортогональны.

  α = −6 900 · 10

  Определить действительное число α

  таких, что векторы a = −3i + 2j

  и b = 2i + αj

  ортогональны.

  [T] Рассмотрим точки P (4,5)

  и Q (5, −7).

  1. Определить векторы ОП →

     и

     OQ →.

     Выразите ответ, используя стандартные единичные векторы.

  2. Определите угол O в треугольнике OPQ . Ответ выражайте в градусах с округлением до двух десятичных знаков.

  а. ОП → = 4i + 5j,

  OQ → = 5i − 7j;

  г. 105,8 °

  [T] Рассмотрим точки A (1,1),

  В (2, −7),

  и С (6,3).

  1. Определить векторы BA →

     и

     BC →.

     Выразите ответ в форме компонентов.

  2. Определите угол B в треугольнике ABC . Ответ выражайте в градусах с округлением до двух десятичных знаков.

  Определите величину угла A в треугольнике ABC , где A (1,1,8),

  B (4, −3, −4),

  и C (−3,1,5).

  Выразите свой ответ в градусах с округлением до двух десятичных знаков.

  68,33 °

  Рассмотрим точки P (3,7, −2)

  и Q (1,1, −3).

  Определить угол между векторами OP →

  и OQ →.

  Выразите ответ в градусах с округлением до двух десятичных знаков.

  Для следующих упражнений определите, какие (если есть) пары следующих векторов ортогональны.

  u = 〈3,7, −2〉, v = 〈5, −3, −3〉, w = 〈0,1, −1〉 900 · 10

  u и v ортогональны; v и w ортогональны.

  Используйте векторы, чтобы показать, что параллелограмм с равными диагоналями является квадратом.

  Используйте векторы, чтобы показать, что диагонали ромба перпендикулярны.

  Докажите, что u · (v + w) = u · v + u · w

  верно для любых векторов u , v и w .

  Проверить тождество u · (v + w) = u · v + u · w

  для векторов u = 〈1,0,4〉,

  v = 〈- 2,3,5〉,

  и w = 〈4, −2,6〉.

  Для следующих задач задается вектор и .

  1. Найдите направляющие косинусы вектора u.
  2. Найдите углы направления для вектора u, выраженного в градусах. (Округлите ответ до ближайшего целого числа.)

  и = 〈2,2,1〉 900 · 10

  а. cosα = 23, cosβ = 23, 900 · 10

  и cosγ = 13;

  г. α = 48 °,

  β = 48 °,

  и γ = 71 °

  u = 〈- 1,5,2〉 900 · 10

  а.cosα = −130, cosβ = 530,

  и cosγ = 230;

  г. α = 101 °,

  β = 24 °,

  и γ = 69 °

  Рассмотрим u = 〈a, b, c〉

  ненулевой трехмерный вектор. Пусть cosα,

  cosβ,

  и cosγ

  — это направления косинусов и . Покажем, что cos2α + cos2β + cos2γ = 1.

  Определить направляющие косинусы вектора u = i + 2j + 2k

  и показывают, что они удовлетворяют cos2α + cos2β + cos2γ = 1.

  Для следующих упражнений даны векторы и и v .

  1. Найдите проекцию вектора w = projuv

     вектора v на вектор u . Выразите свой ответ в виде компонентов.

  2. Найдите скалярную проекцию compuv

     вектора v на вектор u.

  u = 5i + 2j, v = 2i + 3j

  а. w = 〈8029,3229〉;

  г.compuv = 1629

  u = 〈- 4,7〉, v = 〈3,5〉 900 · 10

  u = 3i + 2k, v = 2j + 4k

  а. w = 〈2413,0,1613〉;

  г. compuv = 813

  u = 〈4,4,0〉, v = 〈0,4,1〉 900 · 10

  Рассмотрим векторы u = 4i − 3j

  и v = 3i + 2j.

  1. Найти компонентную форму вектора w = projuv

     , который представляет собой проекцию v на u .

  2. Запишите разложение v = w + q

     вектора v на ортогональные компоненты w и q , где w — проекция v на u и q — вектор, ортогональный направлению и .

  а. w = 〈2425, −1825〉;

  г. q = 〈5125,6825〉,

  v = w + q = 〈2425, −1825〉 + 〈5125,6825〉

  Рассмотрим векторы u = 2i + 4j

  и v = 4j + 2k.

  1. Найти компонентную форму вектора w = projuv

     , который представляет собой проекцию v на u .

  2. Запишите разложение v = w + q

     вектора v на ортогональные компоненты w и q , где w — проекция v на u и q — вектор, ортогональный направлению и .

  Молекула метана имеет атом углерода, расположенный в начале координат, и четыре атома водорода, расположенные в точках P (1,1, -1), Q (1, -1,1), R (-1,1,1) и S. (-1, -1, -1)

  (см. Рисунок).

  1. Найдите расстояние между атомами водорода, расположенными в точках P и R .
  2. Найти угол между векторами ОС →

     и

     OR →

     , которые соединяют атом углерода с атомами водорода, расположенными в S и R , который также называется валентным углом .Ответ выражайте в градусах с округлением до двух десятичных знаков.

  [T] Найдите векторы, которые соединяют центр часов с часами 1:00, 2:00 и 3:00. Предположим, что часы круглые с радиусом 1 единица.

  Найти работу, совершаемую силой F = 〈5,6, −2〉

  (измеряется в Ньютонах), который перемещает частицу из точки P (3, −1,0)

  к точке Q (2,3,1)

  по прямой (расстояние измеряется в метрах).

  17Н · м

  [T] Сани тянут, прикладывая силу 100 Н к веревке, которая образует угол 25 °

  с горизонталью. Найдите проделанную работу при вытягивании санок на 40 м. (Ответ округлите до одного десятичного знака.)

  [T] Отец тащит сына на санках под углом 20 °

  с горизонтальным расположением с усилием 25 фунтов (см. Следующее изображение). Он тянет сани по прямому пути длиной 50 футов.Сколько работы проделал человек, тянувший сани? (Округлите ответ до ближайшего целого числа.)

  [T] Автомобиль буксируется с силой 1600 Н. Трос, используемый для буксировки автомобиля, составляет 25 ° с горизонтом. Найдите проделанные работы по буксировке машины 2 км. Выразите ответ в джоулях (1Дж = 1Н · м)

  с округлением до ближайшего целого числа.

  [T] Лодка плывет на север благодаря ветру, дующему в направлении N30 ° E

  магнитудой 500 фунтов.Сколько работы совершает ветер, когда лодка движется на 100 футов? (Ответ округлите до двух десятичных знаков.)

  Вектор p = 〈150,225,375〉

  представляет собой цену определенных моделей велосипедов, продаваемых в веломагазине. Вектор n = 〈10,7,9〉 900 · 10

  — это количество проданных велосипедов каждой модели соответственно. Вычислить скалярное произведение p · n

  и укажите его значение.

  [T] Две силы F1

  и F2

  представлены векторами с начальными точками, которые находятся в начале координат.Первая сила имеет величину 20 фунтов, а конечной точкой вектора является точка P (1,1,0).

  Вторая сила имеет величину 40 фунтов, а конечной точкой ее вектора является точка Q (0,1,1).

  Пусть F будет равнодействующей сил F1

  и F2.

  1. Найдите звездную величину F . (Ответ округлите до одного десятичного знака.)
  2. Найдите углы направления F . (Ответ выражайте в градусах с округлением до одного десятичного знака.)

  а. ‖F1 + F2‖ = 52,9

  фунтов; б. Углы направления α = 74,5 °, 900 · 10 β = 36,7 °,

  и γ = 57,7 °.

  [T] Рассмотрим r (t) = 〈cost, sint, 2t〉

  вектор положения частицы в момент времени t∈ [0,30],

  , где компоненты r выражены в сантиметрах, а время — в секундах. Пусть OP →

  — вектор положения частицы через 1 сек.

  1. Покажите, что все векторы PQ →,

     где

     Q (x, y, z)

     — произвольная точка, ортогональная вектору мгновенной скорости

     v (1)

     частицы через 1 секунду может быть выражено как

     PQ → = 〈x − cos1, y − sin1, z − 2〉,

     , где

     xsin1 − ycos1−2z + 4 = 0.

     Набор точек Q описывает плоскость, называемую нормальной плоскостью к траектории частицы в точке P .

  2. Используйте CAS для визуализации вектора мгновенной скорости и нормальной плоскости в точке P вместе с траекторией частицы.

  Глоссарий

  углы направления

  углы, образованные ненулевым вектором и осями координат

  направляющие косинусы

  косинусы углов, образованных ненулевым вектором и осями координат

  скалярное произведение или скалярное произведение

  u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3

  , где

  u = 〈u1, u2, u3〉

  и

  v = 〈v1, v2, v3〉

  скалярная проекция

  величина проекции вектора на вектор

  ортогональных векторов

  вектора, образующих прямой угол в стандартном положении

  векторная проекция

  компонент вектора, который следует в заданном направлении

  работа, выполненная силой

  работа обычно рассматривается как количество энергии, необходимое для перемещения объекта; если мы представим приложенную силу вектором F и смещение объекта вектором s , то работа, совершаемая силой, будет скалярным произведением F и s .

  ---

  
  Эта работа находится под международной лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

  Вы также можете бесплатно скачать по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]

  Атрибуция:

  Точечные произведения и ортогональность

  Основная конструкция в этом разделе — это скалярное произведение , которое измеряет углы между векторами и вычисляет длину вектора.

  Определение

  Точечный продукт двух векторов x, y в Rn равен

  х · у = GKKIx1x2…xnHLLJ · GKKIy1y2 … ynHLLJ = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn.

  Если рассматривать x, y как векторы-столбцы, это то же самое, что xTy.

  Например,

  E123F · E456F = A123BE456F = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32.

  Обратите внимание, что скалярное произведение двух векторов является скаляром .

  Вы можете выполнять арифметические операции с скалярными произведениями в основном как обычно, если вы помните, что вы можете поставить точки вместе только на два вектора, и что результат является скаляром.

  Скалярное произведение вектора на самого себя является важным частным случаем:

  GKKIx1x2…xnHLLJ · GKKIx1x2 … xnHLLJ = x21 + x22 + ··· + x2n.

  Следовательно, для любого вектора x имеем:

  • х · х≥0
  • х · х = 0⇐⇒х = 0.

  Это приводит к хорошему определению длины .

  Факт

  Длина вектора x в Rn — это число

  AxA = Bx · x = Nx21 + x22 + ··· + x2n.

  Легко понять, почему это верно для векторов в R2, по теореме Пифагора.

  O34PB32 + 42 = 534DDDDO34PDDDD = B32 + 42 = 5

  Для векторов в R3 можно проверить, что AxA действительно является длиной x, хотя теперь для этого требуется двух приложений теоремы Пифагора.

  Обратите внимание, что длина вектора — это длина стрелки ; если мы мыслим в терминах точек, то длина — это расстояние от начала координат.

  Факт

  Если x — вектор, а c — скаляр, то AcxA = | c | · AxA.

  Это говорит о том, что масштабирование вектора на c увеличивает его длину на | c |. Например,

  DDDDO68PDDDD = DDDD2O34PDDDD = 2DDDDO34PDDDD = 10.

  Теперь, когда у нас есть хорошее представление о длине, мы можем определить расстояние между точками в Rn.Напомним, что разница между двумя точками x, y, естественно, является вектором, а именно вектором y − x, указывающим из x в y.

  Определение

  Расстояние между двумя точками x, y в Rn — это длина вектора от x до y:

  dist (x, y) = Ay − xA.

  Векторы длины 1 очень распространены в приложениях, поэтому мы даем им имя.

  Определение

  Единичный вектор — это вектор x с длиной AxA = Bx · x = 1.

  Стандартные векторы координат e1, e2, e3 ,… являются единичными векторами:

  Ae1A = DDDDDDE100FDDDDDD = M12 + 02 + 02 = 1.

  Для любого ненулевого вектора x существует уникальный единичный вектор, указывающий в том же направлении. Он получается делением на длину x.

  Факт

  Пусть x ненулевой вектор в Rn. Единичный вектор в направлении x — это вектор x / AxA.

  Фактически это единичный вектор (учитывая, что AxA — положительное число, поэтому CC1 / AxACC = 1 / AxA):

  В этом разделе мы покажем, как скалярное произведение можно использовать для определения ортогональности , т.е.е., когда два вектора перпендикулярны друг другу.

  Определение

  Два вектора x, y в Rn являются ортогональными или перпендикулярными , если x · y = 0.

  Обозначение: x⊥y означает x · y = 0.

  Поскольку 0 · x = 0 для любого вектора x, нулевой вектор ортогонален каждому вектору в Rn.

  Мы мотивируем приведенное выше определение, используя закон косинусов в R2. На нашем языке закон косинусов утверждает, что если x, y — два ненулевых вектора, и если α> 0 — угол между ними, то

  Ay − xA2 = AxA2 + AyA2−2AxAAyAcosα.

  В частности, α = 90◦ тогда и только тогда, когда cos (α) = 0, что происходит тогда и только тогда, когда Ay − xA2 = AxA2 + AyA2. Следовательно,

  xandyперпендикулярно ⇒AxA2 + AyA2 = Ay − xA2⇐⇒x · x + y · y = (y − x) · (y − x) ⇐⇒x · x + y · y = y · y + x · x− 2x · y⇐⇒x · y = 0.

  повторить:

  x⊥y⇐⇒x · y = 0⇐⇒Ay − xA2 = AxA2 + AyA2.

  Точечное произведение (вектор): определение, формула, как найти (с диаграммами и примерами)

  Произведение двух скалярных величин — это скаляр, а произведение скаляра на вектор — это вектор, но как насчет произведение двух векторов? Это скаляр или другой вектор? Ответ: может быть и то, и другое!

  Есть два способа перемножить векторы.Один из них — это скалярное произведение, которое дает скаляр, а другой — их перекрестное произведение, которое дает другой вектор. Какой продукт использовать, зависит от конкретного сценария и количества, которое вы пытаетесь найти.

  Скалярное произведение иногда называют скалярным произведением или внутренним произведением . С геометрической точки зрения вы можете думать о скалярном произведении между двумя векторами как о способе умножения векторных значений, который учитывает только вклады в одном направлении. 2

  Где | a | — величина (длина) a по теореме Пифагора.2} — 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ подразумевает \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold { a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}

  Эта формулировка позволяет нашей геометрической интуиции вступить в игру. Величина | a | cos (θ) — это величина проекции вектора a на вектор b .

  Итак, мы можем думать о скалярном произведении как о проекции одного вектора на другой, а затем о произведении их значений. Другими словами, его можно рассматривать как произведение одного вектора на величину другого вектора в том же направлении, что и он сам.

  Свойства скалярного произведения

  Ниже приведены несколько свойств скалярного произведения, которые могут оказаться полезными:

  \ # \ text {1. Если} \ theta = 0 \ text {, то} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |

  Это потому, что cos (0) = 1.

  \ # \ text {2. Если} \ theta = 180 \ text {, то} \ bold {a \ cdot b} = — | \ bold {a} || \ bold {b} |

  Это потому, что cos (180) = -1.

  \ # \ text {3. Если} \ theta = 90 \ text {, то} \ bold {a \ cdot b} = 0

  Это потому, что cos (90) = 0.

  θ

  <90, скалярное произведение будет положительным, а для 90 <

  θ

  <180 скалярное произведение будет отрицательным.

  \ # \ text {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}

  Это следует из применения закона коммутативности к определению скалярного произведения.

  \ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}

  \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a } \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_x_yb_yc) (a_yb_yc) a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}

  \ # \ text {6.} c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}

  c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}

  Как найти точечное произведение

  Пример 1 : В физике работа, совершаемая силой F над объектом, когда он претерпевает смещение d , определяется как:

  W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)

  Где θ — угол между вектором силы и вектором смещения.

  Объем работы, выполняемой силой, является показателем того, насколько эта сила способствовала смещению. Если сила направлена ​​в том же направлении, что и смещение (cos (θ) = 0), она вносит свой максимальный вклад. Если он перпендикулярен смещению (cos ( ) = 90), он вообще не вносит никакого вклада. А если он противоположен смещению (cos (θ) = 180), он дает отрицательный вклад.

  Предположим, ребенок толкает игрушечный поезд по рельсовому пути, прилагая силу 5 Н под углом 25 градусов по отношению к линии рельсового пути.Сколько работы выполняет ребенок в поезде, когда она перемещает его на 0,5 м?

  F = 5 \ text {N} \\ d = 0.5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ градус \\

  Используя определение работы скалярным произведением и подставляя значения, мы получаем:

  W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0.5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}

  Из этого конкретного примера должно быть еще яснее, что применение силы, перпендикулярной к направлению смещения не работает. Если ребенок толкнет поезд под прямым углом к ​​рельсам, поезд не будет двигаться ни вперед, ни назад по рельсам.Также интуитивно понятно, что работа, выполняемая ребенком в поезде, будет увеличиваться по мере уменьшения угла, а сила и смещение ближе к выравниванию.

  Пример 2: Мощность — еще один пример физической величины, которую можно вычислить с помощью скалярного произведения. В физике мощность равна работе, разделенной на время, но ее также можно записать как скалярное произведение силы и скорости, как показано:

  P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d }} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold {F \ cdot v}

  Где v — скорость.

  Рассмотрим предыдущий пример ребенка, играющего с поездом. Если вместо этого нам говорят, что та же сила применяется, заставляя поезд двигаться со скоростью 2 м / с по рельсам, то мы можем использовать скалярное произведение, чтобы найти мощность:

  P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}

  Пример 3: Другой пример, где скалярные произведения используются в физике, — это магнитный поток. . Магнитный поток — это величина магнитного поля, проходящего через данную область.2) \ times \ cos (30) = 0.000544 \ text {Wb}

  Когда этот поток изменяется, либо путем изменения значения поля, изменения площади контура или изменения угла путем вращения контура или источника поля, ток будет индуцироваться в петле, вырабатывая электроэнергию!

  Снова обратите внимание, насколько интуитивно понятен угол. Если бы угол был 90 градусов, это означало бы, что поле будет лежать в той же плоскости, что и область, и никакие силовые линии не будут проходить через петлю, что приведет к отсутствию потока. Затем величина магнитного потока увеличивается по мере приближения угла между полем и нормалью к 0.Точечное произведение позволяет нам определить, какая часть поля направлена ​​перпендикулярно поверхности и, следовательно, вносит свой вклад в поток.

  Проекция вектора и точечное произведение

  В предыдущих разделах упоминалось, что скалярное произведение можно рассматривать как способ проецирования одного вектора на другой с последующим умножением их величин. Таким образом, неудивительно, что формула проекции вектора может быть получена из скалярного произведения.

  Чтобы спроецировать вектор a на вектор b , мы берем скалярное произведение a с единичным вектором в направлении b , и затем умножьте этот скалярный результат на тот же единичный вектор.2} \ Big) \ bold {b}

  Точечное произведение в более высоком измерении

  Как векторы существуют в более высоком измерении, так и скалярное произведение. Представьте себе пример ребенка, который снова толкает поезд. Предположим, она толкает вниз и под углом в сторону дорожки.