Site Loader

Содержание

Определение момента инерции тела, скатывающегося с наклонной плоскости. | Учителю.

Определение момента инерции тела, скатывающегося с наклонной плоскости.

ЦЕЛЬ: приобрести навык расчёта момента инерции тел, состоящих из простых элементов, определить момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения расчётным и экспериментальным методом

ОБОРУДОВАНИЕ: установка, набор тел, секундомер

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

В работе используются тела, осью которых является цилиндрический стержень радиусом r. Одно из тел 1 (рис. 1) помещают на параллельные направляющие 2, образующие с горизонтом углы α1 и α2.

Если тело отпустить, то оно, скатываясь, достигнет нижней точки и, двигаясь далее по инерции, поднимется вверх по направляющим. Движение тела, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, называется плоским. Плоское движение можно представить двумя способами: либо как совокупность поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс; либо как только вращательное движение вокруг мгновенной оси вращения (MOB), положение которой непрерывно изменяется.

В нашем случае эта мгновенная ось Z проходит через точки касания направляющих с движущимся стержнем.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

При скатывании тело, опускаясь с высоты проходит путь l а поднимаясь по инерции на высоту проходит путь l. В нижней точке скорость поступательного движения центра масс , а угловая скорость тела:

где t — время движения от верхней точки до нижней, г — радиус стержня (оси).
На скатывающееся тело действует момент сил сопротивления Мтр. Работа его на пути равна где угловой путь

Закон сохранения энергии на отрезке пути l0 имеет вид:

где J — момент инерции скатывающегося тела относительно MOB, m — масса тела, включающая в себя массу стержня.

При движении тела вниз с высоты и вкатывании его на высоту h работа сил сопротивления на пути равна убыли потенциальной энергии:

Запишем формулу для определения момента инерции динамическим методом:

Здесь величина (α1 и α2) является константой для данной установки.
Момент инерции тела относительно MOB определяется теоремой Штейнера:

где J0 — момент инерции, относительно центра масс; а — расстояние от центра масс тела до оси вращения (в этом опыте a = r).

ВОПРОСЫ К ДОПУСКУ

1. Дайте определение момента инерции материальной точки относительно произвольной точки, момента импульса материальной точки относительно оси вращения.
2. Как рассчитать момент инерции твердого тела относительно произвольной оси?
3. Какую ось называют свободной?
4. Главными моментами инерции тела называются …
5. Можно ли говорить о моменте инерции безотносительно к вращению?
6. Запишите выражения для определения кинетической энергии тела в данной работе.
7. В каких случаях момент импульса и угловая скорость коллинеарны?

8. Какие функции носят название интегралов движения?
9. Перечислите аддитивные интегралы движения.
10. Как Вы понимаете следующие физические категории: «однородность времени», «однородность пространства», «изотропия пространства» и какое отношение они имеют к аддитивным интегралам движения?

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем заключается метод по определению момента инерции тела?
2. Укажите возможные систематические ошибки измерений.
3. Укажите величины кинетической и потенциальной энергии при скатывании тела: в начале и в конце движения, в нижней точке и в произвольной точке.

4. Опишите характер движения тела по направляющим. Какая сила создаёт момент относительно оси вращения?
5. Как измеряют угловую скорость ω в данной работе?
6. Какие величины измеряют для определения скорости ω, момента сил трения, работы сил трения?
7. Какие уравнения лежат в основе динамических методов определения момента инерции?
8. Укажите возможные источники случайных погрешностей при измерениях.
9. Однородный цилиндр массы m и радиуса R катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр цилиндра движется со скоростью υ0. Найти выражение для определения кинетической энергии цилиндра.
10. Вычислить момент импульса Земли, обусловленный ее движением вокруг оси. Сравнить этот момент с моментом импульса, обусловленным движением Земли вокруг Солнца.
Землю считать однородным шаром, а орбиту Земли – окружностью.

Порядок вывода комментариев: По умолчаниюСначала новыеСначала старые

Комплект учебно-лабораторного оборудования Определение момента инерции тела динамическим способом

Лабораторный стенд «Определение момента инерции тела динамическим способом» предназначен для изучения законов динамики вращательного движения твердого тела. Установка позволяет определять момент инерции тела динамическим методом. Лабораторный стенд может применяться в процессе обучения в общеобразовательных учреждениях, учреждениях начального, среднего и высшего профессионального образования для получения базовых и углубленных профессиональных знаний и навыков по дисциплине «Физика: Механика. Вращательное движение». Лабораторный стенд «Определение момента инерции тела динамическим способом» выполнен в настольном модульном исполнении. Стенд состоит из массивного вала со шкивом, закрепленного на оси узла подшипников.
На шкиве прикреплена нить с наборным грузом. На другом конце оси узла расположен диск, который служит для фиксации вращательной системы электромагнитным тормозом. Узел подшипников и электромагнитный тормоз закреплены на кронштейне, установленном на верхнем конце стойки с миллиметровой шкалой. Стойка закреплена на основании. Также на основании установлен фотодатчик. Кроме того, на стойке размещены два визира, которые могут перемещаться по всей длине стойки. Электропитание фотодатчика и электромагнитного тормоза, а также отсчет и индикация времени производятся с помощью электронного секундомера (электронного блока ФМ-1/1).

Технические характеристики:
Габариты: 300×400×1000 мм.
Масса: не более 11 кг.
Электропитание: 220 В, 50 Гц.
Состав (основного изделия):
— Основание.
— Вертикальная стойка.
— Диск.
— Металлическая линейка.
— Набор грузов.
— Фотодатчик.
— Электронный секундомер (электронный блок ФМ-1/1).
Комплект поставки:
1. Лабораторный стенд «Определение момента инерции тела динамическим способом».
2. Комплект соединительных проводов.
3. Сетевой кабель.
4. Паспорт изделия.
5. Руководство по эксплуатации.
6. Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ.

Момент инерции тела и материальной точки. Формулы для цилиндра и стержня. Физический смысл величины

В школьном курсе физики большое внимание уделяется описанию кинематики и динамики поступательного движения тел в трехмерном пространстве. Но вращательное движение играет не менее важную роль в технике и природе. В данной статье рассмотрим, что понимают под моментом инерции тела при его вращении вокруг оси.

Динамика вращения

Прежде чем давать определение момента инерции тела, расскажем, для чего нужна эта величина и в каких уравнениях она появляется. В первую очередь, это главное уравнение динамики вращения — формула моментов. Записывается она так:

M = I*α.

Здесь M, α и I — это момент силы, ускорение угловое и инерции момент, соответственно. По сути, это уравнение можно назвать вторым ньютоновским законом для вращательного движения. Несложно догадаться, что величина I здесь играет ту же самую роль, что инерционная масса в случае поступательного движения.

Помимо приведенного уравнения, существует еще одна важная формула, которая применяется часто для решения задач на вращение тел — это закон сохранения момента импульса. Его, как правило, записывают в следующей удобной для практики форме:

I*ω = const.

Как видим, здесь инерции момент тоже является ключевой величиной, ω — это скорость угловая.

Момент инерции твердого тела

Теперь пришло время дать определение величине I. Сначала рассмотрим его для материальной точки. Ее моментом инерции называется произведение массы на квадрат расстояния до оси вращения. Если массу обозначить буквой m, а дистанцию до оси от точки буквой r, то формула для I запишется так:

I = m*r2.

Как видно, I выражается в кг*м2. Равенство для точки можно использовать для определения момента инерции тела относительно оси. В этом случае применяют следующее интегральное выражение:

I = ∫m(r2*dm).

Эта формула применяется для вычисления величин I абсолютно любых систем с разными геометрическими формами. Последнее равенство также используют при решении практических задач в следующем виде:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Где ρ — плотность вещества. Ниже в статье покажем, как использовать интегральное равенство для решения конкретных задач.

Величина I для цилиндра

Каждый школьник представляет себе фигуру «цилиндр». По правде говоря, они бывают самыми разными (эллиптическими, гиперболическими, наклонными). Здесь рассмотрим самый простой случай. Это круговой прямой цилиндр, который ограничен цилиндрической поверхностью и двумя одинаковыми кругами. Ось вращения фигуры проходит через ее центр масс и через центры обоих оснований. Вычислим относительно нее инерции момент тела.

Запишем исходную формулу:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Чтобы ее применить, представим себе цилиндр в виде тонко нарезанных круглых одинаковых слоев. Обозначим их толщину dl, радиус фигуры равен R, а высота — L. Теперь каждый тонкий слой объемом pi*R2*dl разрежем на бесконечное множество колец, толщина каждого из которых равна dr. После выполнения всех описанных мысленных геометрических операций можно записать формулу для элементарного объема dV, то есть для объема одного кольца:

dV = 2*pi*r*dr*dl.

В результате этого представления исходное выражение для I преобразуется в формулу с двойным интегралом:

I = ∫LR(ρ*r2*2*pi*r*dr*dl) = 2*pi*ρ*L*R4/4 = M*R2/2.

Где буквой M обозначена масса всего цилиндра.

Таким образом, мы получили конечное выражение для инерции момента цилиндра. Как видно, он определяется только радиусом фигуры и ее массой и не зависит от длины (высоты). Последнее означает, что аналогичную формулу можно применять для определения величины I для диска любой толщины.

Величина I для стержня

Теперь применим формулу для определения момента инерции тонкого стержня. Принципиальным моментом здесь является тот факт, что его толщина должна быть намного меньше длины L. Массу стержня обозначим буквой M. Момент инерции рассчитаем для положения оси, которая проходит через центр масс тела и перпендикулярна ему.

Начнем расчет все с той же формулы, что и в случае с цилиндром:

I = ∫V(ρ*r2*dV).

Мысленно разрежем весь стержень на тонкие слои. Обозначим площадь сечения каждого из них S, а его толщину — dl. Тогда получаем формулу для dV:

dV = S*dl.

Теперь можно вычислить инерции момент тела:

I = ∫-L/2+L/2(ρ*S*l2*dl).

Заметим, что каждый слой находится от оси вращения на расстоянии l, поэтому мы заменили букву r. Кроме того, обращаем внимание на пределы интегрирования, которые имеют такое значение потому, что ось проходит точно через середину стержня. В итоге получаем:

I = ∫-L/2+L/2(ρ*S*l2*dl) = ρ*S*l3/3|-L/2+L/2 = M*L2/12.

С помощью аналогичных рассуждений и вычислений можно показать, что если ось вращения проходит через какой-либо конец стержня, то его момент инерции будет в четыре раза больше, то есть:

I = M*L2/3.

Физический смысл величины

Выше мы уже сказали несколько слов о том, что означает момент инерции тела с физической точки зрения. Здесь остановимся несколько подробнее на этом вопросе.

Если внимательно посмотреть на формулу для I, то можно увидеть, что эта величина зависит не только от самой массы тела, но и от ее распределения, то есть от формы тела, а также от его положения относительно оси вращения.

Ярким примером являются обычная швабра или просто стержень. Каждый человек хоть раз в жизни раскручивал швабру вокруг оси, проходящей вдоль ее ручки или перпендикулярно ей. В первом случае легкого движения ладоней достаточно, чтобы придать угловое ускорение швабре, во втором же — приходится прилагать некоторую силу рук, чтобы раскрутить ее. Объяснить этот факт просто. В первом случае момент инерции практически равен нулю, во втором — он имеет некоторую конечную величину.

Оценка инерции твердого тела с использованием расширенных фильтров Калмана и Савицкого-Голея

Инерционные свойства твердого тела, такого как наземные, воздушные и космические аппараты, могут многократно изменяться, и это изменение свойств влияет на точность управления твердым телом . По этой причине для точного управления необходимо получить точные характеристики инерции. Процесс оценки требуется как для шумных гироскопических измерений, так и для временной производной гироскопических измерений. В этой статье предлагается метод оценки для надежных оценок инерционных свойств. Во-первых, уравнения движения Эйлера переформулируются для получения матрицы регрессора. Затем используется расширенный фильтр Калмана для уменьшения шумовых эффектов при измерении угловой скорости гироскопа. Наконец, свойства инерции оцениваются с использованием линейного метода наименьших квадратов. Для получения надежных и точных угловых ускорений используется фильтр Савицки-Голея, основанный на четном числе выборочных данных. Представлены численные примеры, демонстрирующие работоспособность предложенного алгоритма для случая космического корабля.Результаты численного моделирования показывают, что предложенный алгоритм обеспечивает точную оценку инерционных свойств при наличии зашумленных измерений.

1. Введение

В динамике вращения твердого тела для достижения целевых ориентаций необходим соответствующий командный крутящий момент для управления ориентацией. Соответственно, необходимо учитывать полный компонент матрицы инерции, который состоит из элементов момента инерции (MOI) и произведения инерции (POI). Существуют различные методы получения инерционных свойств объектов: метод крутильных маятников, использование оборудования, программ автоматизированного проектирования и т.д.Однако эти методы предоставляют информацию о свойствах инерции перед операцией. Для работающего объекта инерционные свойства могут изменяться по нескольким причинам: расход топлива, выплескивание топлива, соединение с другими частями, столкновение с неожиданным объектом и т.д. Это неизвестное изменение свойств инерции влияет на эффективность управления ориентацией [1, 2]. В частности, инерционные свойства являются чрезвычайно важными параметрами для беспилотных транспортных средств, которые действуют автоматически в непредвиденных условиях.Короче говоря, точные характеристики инерции необходимы для эффективного управления ориентацией.

Палимака и Берлтон представили метод оценки массовых свойств с использованием метода взвешенных наименьших квадратов [3]. Бергманн и др. разработал метод оценки в реальном времени для асимметричных спутников [4]. Кутлу и др. представил алгоритм оценки инерционных свойств, включая центр масс, с использованием расширенного фильтра Калмана (EKF) [5]. Чжао и др. предложил метод оценивания с использованием дискретного фильтра Калмана для сопряженного управления полетом космических аппаратов [6].Конти и Соуза представили результат оценки свойств инерции для симулятора управления ориентацией спутника с использованием рекурсивного метода наименьших квадратов (RLS) [7]. Хотя эти исследования включают свойства инерции и центр масс, необходимо учитывать элементы POI, относительно меньшие значения, чем элементы MOI, чтобы избежать снижения точности управления. Ян и др. представил матрицу регрессора, включающую элементы POI, и предложил полный алгоритм оценки инерции на основе RLS [8].В процессе оценки должны использоваться угловые ускорения, которые должны быть рассчитаны в общем случае [9]. Угловые ускорения обычно получают разностным методом: прямой, обратной и центральной разностью. Однако эти методы не годятся в дальнейшем, когда уровни шума при измерениях и время дискретизации недостаточно малы [10]. Ким и др. представил фильтр Савицкого-Голея (SGF) для получения надежных угловых ускорений и впервые применил его для оценки MOI для космических аппаратов [10, 11].SGF представляет собой простой фильтр сглаживания и дифференцирования, который можно применять к набору последовательных, равномерно распределенных выборочных данных с нечетным числом [11]. Для применения оценки свойств MOI Kim et al. предложил алгоритм оценивания, основанный на линейном методе наименьших квадратов (LLS) [12].

В данной статье предлагается комбинированный метод получения полных инерционных свойств. Процесс оценки состоит из следующих трех шагов: уменьшение шума, расчет углового ускорения и оценка инерции.Во-первых, шум в измерениях фильтруется с помощью EKF, который обеспечивает наилучшие характеристики в отношении снижения шума [1, 13]. Затем с помощью SGF получают точное угловое ускорение для четного числа выборочных данных. Наконец, полные инерционные свойства оцениваются с помощью LLS на основе предложенной матрицы регрессора в [8]. Эффективность комбинированного метода демонстрируется с использованием проектных параметров одного из корейских научно-технических спутников STSAT-3, который уже разработан.

2. Комбинированный метод оценки инерции
2.1. Оценка инерции с использованием линейного метода наименьших квадратов

Вращательная динамика твердого тела описывается как [14] где – вектор угловой скорости твердого тела, – вектор командного крутящего момента, – матрица инерции твердого тела. Соответствующее уравнение измерения выражается как где вектор измерения и вектор ошибки измерения с нулевым средним значением и ковариацией .

В предположении, что вектор инерции является постоянным в течение интервала интегрирования, (1) выражается какгде

Матрицы и в матрице определены следующим образом:

Как показано в (6), матрица состоит из угловых скоростей и ускорений .Следовательно, точные угловые скорости и ускорения приводят к точному расчетному вектору инерции и получаются с использованием EKF и SGF соответственно.

2.2. Шумоподавление с помощью расширенного фильтра Калмана

Угловые скорости, полученные от гироскопических датчиков скорости, включают шумы, вызванные различными источниками, такими как вибрация других частей и характеристики оборудования [13]. EKF хорошо известна как одна из лучших оценок состояния, основанная на снижении уровня шума измерений [13].Непрерывно-дискретный EKF выбран для обработки нелинейности, присущей (1).

Уравнение (1) преобразуется в дифференциальное уравнение 1-го порядка, где — вектор состояния и — вектор шума состояния с нулевым средним и ковариацией . Процесс фильтрации с использованием EKF приведен в таблице 1 [15].




Модель ,
,

Initialization

Калмана Gain

Обновление штата



9002 2

в Таблице 1, индекс указывает на дискретный шаг времени, Superscript (-) указывает на прогнозируемое состояние, верхний индекс (+) указывает на предполагаемые состояния и представляет собой матрицы Якоби, представляет собой усиление Калмана, представляет собой ковариационную матрицу и представляет собой ковариационные матрицы шума состояния и шума измерения соответственно.

2.3. Расчет углового ускорения с использованием фильтра Савицкого-Голея

Савицки и Голей представили упрощенный цифровой фильтр, известный как SGF, для расчета данных сглаживания и дифференцирования с помощью LLS. Нечетное количество точек данных, которые также расположены последовательно и с одинаковым интервалом, необходимо для правильной работы SGF. В [16] обсуждалось применение SGF с использованием четного числа точек данных для преодоления ограничения SGF, которое применимо только к вычислениям с использованием нечетного числа точек данных.

Пусть индекс выборочных данных находится в диапазоне от до . Эти данные располагаются симметрично относительно средней точки выборочных данных. Следовательно, базовая матрица представлена ​​​​где индексом выборочных данных, является вектором-столбцом базиса и является полиномиальным порядком для отфильтрованных данных. Коэффициенты свертки для дифференцирования th-го порядка получаются как где вектор коэффициентов свертки, порядок дифференцирования, факториал и указывает вектор-столбец матрицы . Например, точка данных дифференцирования 1-го порядка с использованием полинома четвертой степени и 6 выборочных данных задается как

. В таблице 2 представлены коэффициенты свертки дифференцирования 1-го порядка полинома четвертой степени по отношению к размеру выборочных данных.

-7 9 30034 2

Количество дискретизированных данных 4 6 8 2

-3 -7
-2 -5 -5 -5 -5
-1 -3 -3 -3 -3
-3
0 -1 -1 -1 −1
1 1 1 1 1
2 3 3 3
3 5 5 5
4 7 7

Нормализация 10 35 84

3.
Численный результат

Параметры моделирования перечислены в таблице 3, а STSAT-3 рассматривается как модель моделирования. Как показано в таблице 4, процесс оценки инерции состоит из следующих трех этапов. Во-первых, шумы измеренных угловых скоростей фильтруются с помощью EKF. Затем угловые ускорения рассчитываются на основе отфильтрованных угловых скоростей с использованием SGF. Наконец, вектор инерции оценивается с использованием LLS и матрицы регрессора. Обратите внимание, что результат оценки получается каждые 40 сек.Объем выборочных данных получается методом автоматического отбора [17]. Как показано на рис. 1, для наилучшей производительности было предоставлено 6 выборочных данных.

90 102
6

Конечное время (сек) 600

ковариационной матрицы

гироскоп уровень шума (град / с) 0,0104

команды крутящего момента (Нм)

Исходное состояние (град / с)

Правда инерции (кг ⋅m 2 )

Номинальная инерция (kg⋅m 2 )

Sampled размер данных

Полиномиальный порядок Квартика


2 9 0102

Отфильтрованные угловые скорости и границы 3 σ показаны на рисунках 2 и 3 соответственно. На рис. 4 представлены результаты сравнения ошибки углового ускорения, рассчитанной по обратной разнице и SGF. В таблице 5 показан численный результат относительно уменьшенного значения расчетной ошибки углового ускорения. Расчетные угловые ускорения от разницы назад выражены следующим образом:


Модель ,,
, где: номинальная инерционность
,

Инициализация

Калмана Усиление

обновления состояния

Распространение , где


Рассчитать угловое ускорение

построить матрицу и вектор для LLS ,
где,

оценка инерции (каждые 40 секунд) , где


4.
Заключение

В этой статье предложена комбинированная методология для оценки полных свойств инерции, которые являются моментами и продуктами элементов инерции.Основная идея этого исследования заключается в использовании следующих трех методов: расширенный фильтр Калмана (EKF), фильтр Савицкого-Голея (SGF) и матрица регрессора. Во-первых, с помощью EKF снижается шум измеряемых угловых скоростей. Затем надежное угловое ускорение рассчитывается с использованием SGF на основе четного числа выборочных данных. Наконец, предлагаемая матрица регрессора обеспечивает хороший результат оценки свойств полной инерции с использованием линейного метода наименьших квадратов. Численное моделирование выполнено для оценки точности оценивания предлагаемого подхода.Результат показывает, что предложенный метод способен повысить точность оценки в отношении свойств полной инерции и хорошо отслеживать истинное значение свойств полной инерции.

Конкурирующие интересы

Авторы заявляют об отсутствии конкурирующих интересов в отношении публикации данной статьи.

Момент инерции и кинетическая энергия вращения – University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Описать различия между вращательной и поступательной кинетической энергией
  • Дайте определение физической концепции момента инерции в терминах распределения массы относительно оси вращения
  • Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
  • Использование закона сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
  • Расчет угловой скорости вращающейся системы при наличии потерь энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения.В этом разделе мы определяем две новые величины, полезные для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическую энергию вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, необходимых для анализа динамики вращения.

Кинетическая энергия вращения

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как вычислить это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращательное движение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость, которая одинакова для всего твердого тела, чтобы выразить кинетическую энергию вращающегося объекта. (Рисунок) показывает пример очень энергичного вращающегося тела: электрический точильный камень, приводимый в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникают шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, частично в виде тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме кинетической энергии вращения.{2}[/latex], а скорость — это величина, разная для каждой точки тела, вращающегося вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию через переменную [latex]\omega[/ латекс], который одинаков для всех точек на твердом вращающемся теле.

{ 2}.{2}[/latex], где r — расстояние от точечной частицы до оси вращения. В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для расчета момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции есть количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса есть количественная мера линейной инерции, т. е. чем массивнее объект, тем больше у него инерция и тем больше его сопротивление изменению линейной скорости.Аналогично, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше их сопротивление изменению угловой скорости относительно неподвижной оси вращения. Интересно посмотреть, как меняется момент инерции с г, расстоянием до оси вращения массовых частиц на (рис.). Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, обладают большими моментами инерции, чем тела и системы той же массы, но сосредоточенные вблизи оси вращения. {2}.[/латекс]

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в устройствах накопления энергии маховика, которые предназначены для накопления большого количества кинетической энергии вращения. Многие автопроизводители в настоящее время испытывают в своих автомобилях накопители энергии маховика, такие как маховик или система рекуперации кинетической энергии, показанные на (рис.).

Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях.(кредит: «cmonville»/Flickr)

Вращательные и поступательные величины для кинетической энергии и инерции приведены на (Рисунок). Столбец отношения не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных на (рис.).


5


RMS Ошибка RMS
Разница назад SGF
0.0081 0,0058 28,28
0,0081 0,0058 28,58
0,0081 0,0057 29,13




Как показано на Рисунке 4 и в Таблице 5, SGF обеспечивает приблизительно на 28 % более точное угловое ускорение, чем результаты с использованием обратной разности. Результаты оценки показаны на рисунке 5 и в таблице 6 соответственно.Как показано в таблице 6, ошибка оценки вектора инерции находится в пределах 1,0%. Расчетный вектор инерции сходится с истинным вектором инерции примерно на 440  с.




Инерция Правда Оценочное Ошибка

14.2000 14,1823 0,12
17,3000 17 .+2876 0,07
20,3000 20,2859 0,07
0,0867 0,0864 0,39
0,1357 0,1350 0,48
0,6016 0.6009 0,12 0.12

  • Мы используем определение момента инерции для системы частиц и выполняем суммирование для оценки этой величины.{2}=1,73\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{J}[/latex].
  • Значение
    Мы можем видеть индивидуальные вклады в момент инерции. Массы вблизи оси вращения вносят очень небольшой вклад. Когда мы их убрали, это очень мало повлияло на момент инерции.

    В следующем разделе мы обобщим уравнение суммирования для точечных частиц и разработаем метод расчета моментов инерции твердых тел. Однако на данный момент (Рисунок) дает значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг указанных осей.

    Значения инерции вращения для обычных форм объектов.

    Применение вращательной кинетической энергии

    Теперь давайте применим идеи вращательной кинетической энергии и таблицу моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами. Следующие примеры также помогут вам освоиться с этими уравнениями. Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

    Стратегия решения проблем: энергия вращения

    1. Определите, какая энергия или работа связана с вращением.
    2. Определите интересующую систему. Эскиз обычно помогает.
    3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работы и энергии.
    4. Если нет потерь энергии из-за трения и других неконсервативных сил, механическая энергия сохраняется, то есть [латекс] {K} _ {\ text {i}} + {U} ​​_ {\ text {i}} ={K}_{\text{f}}+{U}_{\text{f}}[/латекс].
    5. Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее.Определите, каковы они, и рассчитайте их по мере необходимости.
    6. Удалите термины везде, где это возможно, чтобы упростить алгебру.
    7. Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

    Расчет энергии вертолета
    Типичный небольшой спасательный вертолет имеет четыре лопасти: каждая имеет длину 4,00 м и массу 50,0 кг ((Рисунок)). Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную загруженную массу 1000 кг. а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об/мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м/с, и сравните ее с энергией вращения лопастей.

    (а) Эскиз четырехлопастного вертолета. b) спасательная операция на воде с участием вертолета Оклендской спасательной вертолетной службы Westpac. (кредит b: «111 Emergency»/Flickr)

    Стратегия
    Кинетическая энергия вращения и поступательного движения может быть рассчитана по их определениям.{2}.[/латекс]

    Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем мы сможем найти K . Угловая скорость [латекс]\омега[/латекс] равна

    [латекс]\omega =\frac{300\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{rev}}{1.00\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{min} }\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\frac{2\pi \phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{rad}}{\text{1 rev}}\phantom{ \rule{0.2em}{0ex}}\frac{1.00\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{min}}{60.0\phantom{\rule{0.{5}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{J}}=0,380.[/latex]

    Значение
    Отношение энергии поступательного движения к кинетической энергии вращения составляет всего 0,380. Это соотношение говорит нам о том, что большая часть кинетической энергии вертолета приходится на его вращающиеся лопасти.

    Энергия в бумеранге
    Человек бросает в воздух бумеранг со скоростью 30,0 м/с под углом [латекс]40,0\текст{°}[/латекс] к горизонту ((Рисунок)). Он имеет массу 1,0 кг и вращается со скоростью 10.{2}[/латекс], где [латекс]L=0,7\фантом{\правило{0.2em}{0ex}}\текст{м}[/латекс]. а) Чему равна полная энергия бумеранга, когда он покидает руку? б) На какую высоту поднимется бумеранг от высоты руки, если пренебречь сопротивлением воздуха?

    Бумеранг подбрасывается в воздух под начальным углом [латекс]40\текст{°}[/латекс].

    Стратегия
    Мы используем определения вращательной и линейной кинетической энергии, чтобы найти полную энергию системы. Задача состоит в том, чтобы пренебречь сопротивлением воздуха, поэтому нам не нужно беспокоиться о потерях энергии.{2}=450.0\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{J}.[/latex]

    Таким образом, полная энергия бумеранга равна

    [латекс] {K} _ {\ text {Всего}} = {K} _ {\ text {R}} + {K} _ {\ text {T}} = 80,93 + 450,0 = 530,93 \ фантом {\ правило {0.2em}{0ex}}\text{J}.[/latex]

  • Мы используем закон сохранения механической энергии. Поскольку бумеранг запускается под углом, нам нужно записать полную энергию системы в терминах ее линейной кинетической энергии, используя скорость в направлениях x и y .{2}\right)}=18,97\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{m}.[/latex]

  • Значение
    В части (b) решение демонстрирует, как сохранение энергии является альтернативным методом решения проблемы, которая обычно решается с использованием кинематики. При отсутствии сопротивления воздуха кинетическая энергия вращения не учитывалась в решении для максимальной высоты.

    Проверьте свое понимание Гребной винт атомной подводной лодки имеет момент инерции [латекс]800.{2}[/latex] момент инерции увеличивается как квадрат расстояния до фиксированной оси вращения. Момент инерции является вращательным аналогом массы в линейном движении.

  • В системах, которые одновременно вращаются и перемещаются, можно использовать закон сохранения механической энергии, если не действуют неконсервативные силы. Тогда полная механическая энергия сохраняется и представляет собой сумму кинетической энергии вращения и поступательного движения, а также потенциальной энергии гравитации.
  • Концептуальные вопросы

    Что, если бы другая планета размером с Землю была отправлена ​​на орбиту вокруг Солнца вместе с Землей. Момент инерции системы увеличится, уменьшится или останется прежним?

    Твердый шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с постоянной скоростью вращения. Другая полая сфера той же массы и радиуса вращается вокруг своей оси, проходящей через центр, с той же скоростью вращения. Какой шар имеет большую кинетическую энергию вращения?

    Полая сфера, так как масса распределена дальше от оси вращения.

    Проблемы

    На следующем рисунке показана система точечных частиц. Каждая частица имеет массу 0,3 кг и все они лежат в одной плоскости. а) Чему равен момент инерции системы относительно данной оси? б) Если система вращается со скоростью 5 об/с, какова ее кинетическая энергия вращения?

    (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения Земли вокруг своей оси. б) Какова кинетическая энергия вращения Земли на ее орбите вокруг Солнца?

    а.{33}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{J}[/latex]

    Рассчитайте кинетическую энергию вращения колеса мотоцикла массой 12 кг, если его угловая скорость равна 120 рад/с, внутренний радиус равен 0,280 м, а внешний радиус равен 0,330 м.

    Бейсбольный питчер бросает мяч движением, при котором происходит вращение предплечья вокруг локтевого сустава, а также другие движения. Если линейная скорость мяча относительно локтевого сустава равна 20,0 м/с на расстоянии 0,480 м от сустава, а момент инерции предплечья равен [латекс]0.{2}[/латекс] и массой 200 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь. а) С какой поступательной скоростью гребной винт ударяется о землю? б) Какова скорость вращения пропеллера в момент удара?

    а. [латекс] {v} _ {\ text {f}} = 86,5 \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} \ text {m} \ text{/} \ text {s} [/latex];

    б. Скорость вращения винта остается прежней и составляет 20 об/с.

    Если в предыдущей задаче присутствует сопротивление воздуха и оно снижает кинетическую энергию вращения пропеллера при ударе на 30%, какова скорость вращения пропеллера при ударе?

    Нейтронная звезда с массой [латекс] 2\phantom{\rule{0.{42}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{J}[/latex]

    Электрический шлифовальный станок, состоящий из вращающегося диска массой 0,7 кг и радиусом 10 см, вращается со скоростью 15 об/сек. При нанесении на грубую деревянную стену скорость вращения уменьшается на 20%. а) Чему равна конечная кинетическая энергия вращения вращающегося диска? б) Насколько уменьшилась его кинетическая энергия вращения?

    Система состоит из диска массой 2,0 кг и радиусом 50 см, на который насажен кольцевой цилиндр массой 1,0 кг с внутренним радиусом 20 см и внешним радиусом 30 см (см. ниже).{2}[/латекс];

    б. [латекс] K = 621,8 \ фантом {\ правило {0.2em} {0ex}} \ текст {J} [/латекс]

    Глоссарий

    момент инерции
    вращающаяся масса твердых тел, которая относится к тому, насколько легко или сложно будет изменить угловую скорость вращающегося твердого тела
    вращательная кинетическая энергия
    кинетическая энергия за счет вращения объекта; это часть его полной кинетической энергии

    Расчет моментов инерции для твердых объектов

    — Расчет моментов инерции для твердых объектов различной геометрии — Теорема о параллельных осях AP Physics C Mrs.Койл

    Помните: угловые и линейные величины • перемещения • скорости • ускорения

    Помните: Кинетическая энергия вращения и момент инерции • Полная кинетическая энергия вращения твердого объекта равна сумме энергий всех его частиц • I называется моментом инерции

    Помните: Момент инерции • Момент инерции, I, является мерой сопротивления объекта изменениям его вращательного движения. • Момент инерции аналогичен массе в поступательном движении.

    • Когда объект состоит из точечных масс, вы вычисляете момент инерции, используя:

    Момент инерции твердого объекта или по плотности:

    • Когда задействованы объекты различной геометрической формы (например, цилиндры, обручи, стержни, сферы), мы будем использовать геометрические соотношения для вычисления интеграла. • Обратите внимание, что для следующих примеров ось вращения будет совпадать с осью симметрии объектов.

    Пример: момент инерции однородного тонкого кольца – для оси, перпендикулярной плоскости в центре кольца • Предположим, что r является постоянным

    Если объект имеет равномерную плотность: мы будем использовать выражение постоянной плотности для вычисления интеграла.

    Выражения плотности • Объемная массовая плотность –> масса на единицу объема: r =m/V • Линейная массовая плотность –> масса на единицу длины стержня с одинаковой площадью поперечного сечения: l = m / L = r. A • Массовая плотность лицевой стороны –> масса на единицу толщины листа одинаковой толщины, t : s = rt

    Пример: Момент инерции однородного жесткого стержня для оси, проходящей через центр масс l = m / L = r. A àdm = l dx

    Пример: Момент инерции однородного сплошного цилиндра для оси вдоль оси z • Для концентрических оболочек с радиусом r, толщиной dr и длиной L r=m/V

    Теорема о параллельных осях Используется для нахождения I , если ось вращения не совпадает с осью симметрии, а параллельна оси, проходящей через центр масс объекта.

    Теорема о параллельной оси I = ICM + MD 2 -ICM — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс -D — расстояние от оси центра масс до произвольной оси

    Момент инерции стержня, вращающегося вокруг одного конца D= ½ L

    • Для объекта с одинаковой плотностью, состоящего из различных форм, общий момент инерции представляет собой сумму моментов инерции отдельных объектов.

    Пример #25 • Однородная тонкая сплошная дверь имеет высоту 2.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.