Геометрия. Урок 5. Окружность — ЁП

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

 

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности.

 

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности (d=2R).

OA – радиус, DE – хорда, BC – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны (AC=BC).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

 

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.

Например, хорда AB стягивает две дуги: ∪AMB и ∪ALB.

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если AB=CD, то ∪AB=∪CD

 

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠AOB – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ∪AB=∠AOB=α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360°.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ACB – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠ACB=∪AB2=α2∪AB=2⋅∠ACB=α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

∠MAN=∠MBN=∠MCN=∪MN2=α2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90°.

MN – диаметр.

∠MAN=∠MBN=∪MN2=180°2=90°

 

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α.

Градусная мера дуги ∪AB равна градусной мере дуги ∪CD и равна α.

∪AB=∪CD=α

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

l=2πR

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:

lα=πR180∘⋅α

 

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S=πR2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: Sα=πR2360°⋅α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сектора в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S=πR2180°⋅α−12R2sinα

 

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

 

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

 

 

Окружность — Википедия

Окружность (C), её центр (O), радиус (R) и диаметр (D)

Окру́жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки^[1]: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Окружность разбивает плоскость на две части^[2] — конечную внутреннюю и бесконечную внешнюю. Внутренность окружности называется кругом; граничные точки (то есть саму окружность) в зависимости от подхода, круг может включать или не включать.

Построение окружности циркулем

Практическое построение окружности возможно с помощью циркуля.

Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.

Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

Далее всюду буква R{\displaystyle R} обозначает радиус окружности.

Прямая может иметь с окружностью не более двух общих точек.

Прямая, пересекающая окружность в двух различных точках, называется секущей. Отрезок секущей, расположенный внутри окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром; тот же термин используется для его длины. Диаметр вдвое больше радиуса: D=2R,{\displaystyle D=2R,} он делит окружность на две равные части и поэтому является её осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды

[3].

Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами круга. Два различных радиуса тоже разбивают круг на две части, называемые секторами круга (см. рисунки)^[3].

Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Для заданной окружности имеют место следующие свойства^[3].

• Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Обратно, если две хорды равны по длине, то они одинаково удалены от центра.
• Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведенному в точке касания. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности

[4].

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности^[5].

• 

  Вписанный угол θ равен половине величины центрального угла 2θ, опирающегося на ту же самую дугу (розового цвета)

• 

  К расчёту длины дуги и хорды

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол может быть принят как угловая мера дуги, на которую он опирается. Центральный угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, в математике принимается в качестве единицы измерения углов, и называется радиан.

Из определения радиана следует, что длина L{\displaystyle L} любой дуги окружности связана с центральным углом θ{\displaystyle \theta }, опирающимся на эту дугу, простым соотношением^[6]: L=Rθ.{\displaystyle L=R\theta .} (при этом длина хорды, стягивающей ту же дугу, равна 2Rsin⁡θ2<L{\displaystyle 2R\sin {\theta \over 2}<L}). Поскольку длина окружности равна 2πR{\displaystyle 2\pi R}, с ростом угла значение его радианной меры меняется от 0 до 2π.{\displaystyle 2\pi .}

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Внешний угол для вписанного угла — угол, образованный одной стороной и продолжением другой стороны вписанного угла (угол θ коричневого цвета на рис.). Внешний угол для вписанного угла равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с другой стороны.

Угол между окружностью и прямой — угол между секущей прямой и одной из двух касательных к окружности в точке пересечения прямой и окружности.

Свойства вписанных углов:

• Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°. Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности, всегда прямой (равен 90°).
• Вписанный угол не меняет своей величины при перемещении его вершины вдоль окружности.
• Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Другие свойства:

• Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
• Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле, и дуги напротив неё.
• Угол между касательной и хордой, имеющими общую точку, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой хордой.

• Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
• Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
• Теорема о секущих: Если через произвольную точку E{\displaystyle E} проведена секущая, то произведение расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью не зависит от выбора секущей (и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности). Если точка E{\displaystyle E} лежит вне окружности, то из нее к окружности можно провести касательную. Квадрат длины отрезка касательной до точки касания будет равен той же величине.

• Как частный случай предыдущего, при пересечении двух хорд в произвольной точке E{\displaystyle E} получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рисунок), т. е. AE⋅EB=CE⋅ED{\displaystyle AE\cdot EB=CE\cdot ED}.

AE⋅EB=CE⋅ED{\displaystyle AE\cdot EB=CE\cdot ED} Если радиус круга равен 1, то его окружность равна 2π.

Длина окружности:

C=2πR=πD{\displaystyle C=2\pi R=\pi D}

Радиус окружности:

R=C2π=D2{\displaystyle R={\frac {C}{2\pi }}={\frac {D}{2}}}

Диаметр окружности:

D=Cπ=2R{\displaystyle D={\frac {C}{\pi }}=2R}

Площадь круга радиуса R:

S=πR2=πD24{\displaystyle S=\pi R^{2}={\frac {\pi D^{2}}{4}}}

Площадь сектора, ограниченного центральным углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:

S=πR2α360∘{\displaystyle S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}}

Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности, центральным углом α, хордой:

S=πR2α360∘−R2sin⁡α2{\displaystyle S=\pi R^{2}{\frac {\alpha }{360^{\circ }}}-{\frac {R^{2}\sin \alpha }{2}}}

Окружность, наряду с прямой, является самой распространённой кривой практически во всех областях человеческой деятельности. История её исследования и применения уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Античные учёные рассматривали прямые и окружности как единственный пример «совершенных» кривых, поэтому в геометрии считались допустимыми только построения с помощью циркуля и линейки, а движение планет моделировалось как наложение вращений по окружностям. Теории окружностей посвящена III книга «Начал» Евклида.

Также в древности было открыто, что отношение длины окружности к её диаметру (число π) одно и то же для всех окружностей. Исторически важной темой многовековых исследований было уточнение этого отношения, а также попытки решить проблему «квадратуры круга». В дальнейшем развитие теории окружностей привело к созданию тригонометрии, теории колебаний и многих других практически важных разделов науки и техники.

Окружность получается как сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси

Аналитическая геометрия окружностей[править | править код]

С точки зрения аналитической геометрии, окружность является простой плоской алгебраической кривой второго порядка. Окружность является частным случаем эллипса, у которого полуоси равны, и поэтому окружность относится к коническим сечениям.

Декартовы координаты[править | править код]

Окружность радиуса r = 1, центр (a, b) = (1.2, −0.5)

Общее уравнение окружности записывается как:

x2+y2+Ax+By+C=0,{\displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0,}

или

(x−x0)2+(y−y0)2=R2,{\displaystyle \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2},}

где

2×0=−A,2y0=−B,2R=A2+B2−4C.{\displaystyle 2x_{0}=-A,\;2y_{0}=-B,\;2R={\sqrt {A^{2}+B^{2}-4C}}.}

Точка (x0,y0){\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)} — центр окружности, R{\displaystyle R} — её радиус.

Уравнение окружности радиуса R{\displaystyle R} с центром в начале координат:

x2+y2=R2.{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}

Уравнение окружности, проходящей через точки (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),{\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),} не лежащие на одной прямой (с помощью определителя):

|x2+y2xy1x12+y12x1y11x22+y22x2y21x32+y32x3y31|=0.{\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}

Тогда в явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:

x0=−12y1(x22+y22−x32−y32)+y2(x32+y32−x12−y12)+y3(x12+y12−x22−y22)x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2){\displaystyle x_{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {y_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3}^{2}-y_{3}^{2})+y_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2})+y_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}}

y0=12×1(x22+y22−x32−y32)+x2(x32+y32−x12−y12)+x3(x12+y12−x22−y22)x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2){\displaystyle y_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {x_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-x_{3}^{2}-y_{3}^{2})+x_{2}(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2})+x_{3}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2})}{x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}}}

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

{x=x0+Rcos⁡φy=y0+Rsin⁡φ,0⩽φ<2π.{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

y=y0±R2−(x−x0)2.{\displaystyle y=y_{0}\pm {\sqrt {R^{2}-(x-x_{0})^{2}}}.}

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

y=±R2−x2.{\displaystyle y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.}

Полярные координаты[править | править код]

Окружность радиуса R{\displaystyle R} с центром в точке (ρ0,ϕ0){\displaystyle \left(\rho _{0},\phi _{0}\right)}:

ρ2−2ρρ0cos⁡(ϕ−ϕ0)+ρ02=R2.{\displaystyle \rho ^{2}-2\rho \,\rho _{0}\cos \left(\phi -\phi _{0}\right)+\rho _{0}^{2}=R^{2}.}

Если полярные координаты центра окружности ρ0=R,ϕ0=α,{\displaystyle \rho _{0}=R,\;\phi _{0}=\alpha ,} то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

ρ(φ)=2Rcos(φ−α),α−π2⩽φ⩽α+π2.{\displaystyle \rho (\varphi )=2R\cos \,(\varphi -\alpha ),\;\;\;\alpha -{\frac {\pi }{2}}\leqslant \varphi \leqslant \alpha +{\frac {\pi }{2}}.}

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид

ρ=R.{\displaystyle \rho =R.}

Комплексная плоскость[править | править код]

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

|z−z0|=R{\displaystyle \left|z-z_{0}\right|=R}

или в параметрическом виде

z=z0+Reit,t∈R.{\displaystyle z=z_{0}+Re^{it},\,t\in \mathbb {R} .}

Окружности в пространстве[править | править код]

В пространстве окружность радиуса R{\displaystyle R} с центром в точке M0(x0,y0,z0){\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})} можно определить как контур диаметрального сечения сферы

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}}

плоскостью

a⋅(x−x0)+b⋅(y−y0)+c⋅(z−z0)=0{\displaystyle a\cdot (x-x_{0})+b\cdot (y-y_{0})+c\cdot (z-z_{0})=0},

где a,b,c{\displaystyle a,b,c} — параметры, не равные одновременно нулю; то есть все точки, лежащие на данной окружности, есть решения системы

{(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2,a⋅(x−x0)+b⋅(y−y0)+c⋅(z−z0)=0.{\displaystyle {\begin{cases}(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},\\a{\cdot }(x-x_{0})+b{\cdot }(y-y_{0})+c{\cdot }(z-z_{0})=0.\end{cases}}}

Например, при a=c≠0{\displaystyle a=c\neq 0} решения этой системы можно задать параметрически следующим образом:

{x=x0+Ra2+c2⋅(c⋅cos⁡t−a⋅b⋅sin⁡ta2+b2+c2),y=y0+R⋅a2+c2a2+b2+c2⋅sin⁡t,z=z0−Ra2+c2⋅(a⋅cos⁡t+b⋅c⋅sin⁡ta2+b2+c2),t∈[0;2π).{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+{\dfrac {R}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}\cdot \!\left(c\cdot \cos t-{\dfrac {a\cdot b\cdot \sin t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\right)\!,\\[10pt]y=y_{0}+{\dfrac {R\cdot {\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\cdot \sin t,\\[10pt]z=z_{0}-{\dfrac {R}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}\cdot \!\left(a\cdot \cos t+{\dfrac {b\cdot c\cdot \sin t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\right)\!,\end{cases}}t\in [0;2\pi ).}

Касательные и нормали[править | править код]

Уравнение касательной к окружности в точке (x1,y1)

Центральный угол. Градусная мера дуги окружности. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

На этом уроке мы познакомимся с понятиями центрального угла и градусной меры дуги окружности.

Напомним определение окружности. Сейчас мы дадим определение с ошибкой, задача – найти эту ошибку.

Определение:

Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество точек плоскости, удаленных от одной точки – центра окружности О – на расстояние R.

Очевидно, что ошибка – пропущенное важное слово всех, то есть окружность – множество всех точек, равноудаленных от ее центра.

Например, вершины A, B, C, D квадрата – это множество точек, равноудаленных от центра квадрата, но это не есть окружность (рис. 1).

Рис. 1. Квадрат

Вспомним важные элементы окружности:

Дуга ;

Угол  – центральный угол;

Точка О – центр окружности.

Имеем дугу и соответствующий центральный угол (рис. 2).

Рис. 2. Элементы окружности

Рассмотрим понятие градусной меры дуги.

Задана окружность с центром О. Дуга ALB не больше полуокружности; дуга AМB больше полуокружности.

Градусной мерой дуги ALB называется градусная мера соответствующего центрального угла – .

Для дуги, большей полуокружности, градусной мерой будет следующая разность:

 (рис. 3).

Рис. 3. Градусная мера дуги

Две дуги  и  вместе составляют целую окружность, запишем это:

Таким образом, градусная мера окружности – это .

Задана окружность с центром О, диаметром АВ, радиусом, перпендикулярным диаметру, ОС, радиусом ОМ, который составляет с ОС угол .

Дуга  – пол-окружности;

Дуга  – четверть окружности, угол  прямой;

Дуга ;

Дуга  состоит из двух дуг, ее градусная мера равна сумме градусных мер двух дуг: ;

Дуга  больше полуокружности, значит, ее градусная мера – это разность: .

Рис. 4. Иллюстрация к примерам

Каждая дуга стягивается своей хордой, во многих задачах требуется найти длину этой хорды.

Пример:

Радиус окружности с центром О – 16 см. Найдите хорду АВ, если:

а)

б)

в)

Решение:

Итак, в случае а . Треугольник  равнобедренный, стороны ОА и ОВ равны как радиусы окружности. Углы при основании равны и сумма их равна , значит, на каждый из углов приходится , таким образом, в треугольнике  все углы составляют , а значит, этот треугольник равносторонний и сторона АВ равна также радиусу окружности, то есть 16 см (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к случаю а

В случае б центральный угол  составляет . Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник  и применим теорему Пифагора, чтобы найти его гипотенузу: . Нашли  см (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к случаю б

В случае в , значит, в данном случае АВ является диаметром окружности. Мы знаем, что диаметр равен двум радиусам, радиус нам известен. Таким образом,  см (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к случаю в

Итак, мы узнали, что такое центральный угол, познакомились с понятием градусной меры дуги окружности. На следующем уроке мы изучим вписанный угол и теорему о нем.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).
2. Raal100.narod.ru (Источник).
3. Uztest.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7–9, № 649, № 651, № 652, с. 73.

Градусная мера дуги окружности / Окружность / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Окружность
5. Градусная мера дуги окружности

На рисунке 1 две точки А и В разделяют окружность на две дуги. На каждой дуге отмечают промежуточную точку, например L и М, для того, чтобы различать эти дуги. Обозначают дуги так: АLB  и АМВ. Если в задаче ясно, о какой из двух дуг идет речь, то используют обозначение без промежуточной точки: АВ.

Если отрезок, соединяющий концы дуги является диаметром то, такая дуга называется полуокружностью. На рисунке 2 изображена окружность с центром О, концы диаметра АВ разделяют данную окружность на две полуокружности: АКB  и АСВ.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами А и В.

       

Измерение дуги окружности

Дугу окружности можно измерять в градусах.

• Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности (Рис. 3, а) или является полуокружностью (Рис. 2), то ее градусная мера считается равной
  градусной мере центрального угла АОВ.
• Если дуга АВ окружности с центром О больше полуокружности (Рис. 3, б), то ее градусная мера считается равной 360⁰ — АОВ.

Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 3600.

Градусная мера дуги АВ (дуги АLВ

), как и сама дуга, обозначается символом АВ ( АLВ). На рисунке 4 градусная мера дуги САВ равна 145⁰. Обычно говорят кратко: «Дуга САВ равна 145⁰» и пишут: САВ = 145⁰. Также на рисунке 4 АDВ = 360⁰ — 115⁰ = 245⁰, СDВ = 360⁰ — 145⁰ = 215⁰, DВ = 180⁰.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Взаимное расположение прямой и окружности

Касательная к окружности

Теорема о вписанном угле

Свойство биссектрисы угла

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Теорема о пересечении высот треугольника

Вписанная окружность

Описанная окружность

Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 651, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 655, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 656, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 657, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 707, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 26, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 716, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 726, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1134, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© budu5.com, 2020

Пользовательское соглашение

Copyright

Окружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойства

Определение. Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.

Определение. Единичная окружность — окружность, радиус которой равна единице.

Определение. Круг — часть плоскости, ограничена окружностью.

Определение. Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.

Определение. Диаметр окружности D — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.

Основные свойства окружности

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

D = 2r

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.

3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.

4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.

5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.

Формулы длины окружности и площади круга

Формулы длины окружности

1. Формула длины окружности через диаметр:

L = πD

2. Формула длины окружности через радиус:

L = 2πr

Формулы площади круга

1. Формула площади круга через радиус:

S = πr²

2. Формула площади круга через диаметр:

S = πD²4

Уравнение окружности

1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:

r² = x² + y²

2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

r² = (x — a)² + (y — b)²

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

{	x = a + r cos t
	y = b + r sin t

Касательная окружности и ее свойства

Определение. Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

AB = AC

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

∠ОAС = ∠OAB

Секущая окружности и ее свойства

Определение. Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.

Основные свойства секущих

1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:

AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ

2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:

AQ ∙ BQ = CQ²

Хорда окружности ее длина и свойства

Определение. Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.

Длина хорды

1. Длина хорды через центральный угол и радиус:

AB = 2r sin α2

2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:

AB = 2r sin α

Основные свойства хорд

1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:

если хорды AB = CD, то

дуги ◡ AB = ◡ CD

2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:

если хорды AB ∣∣ CD, то

◡ AD = ◡ BC

3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:

если OD ┴ AB, то

AC = BC

4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:

AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC

5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

если хорды AB = CD, то

ON = OK

6. Чем больше хорда тем ближе она к центру.

если CD > AB, то

ON < OK

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Определение. Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.

Определение. Угол вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.

Основные свойства углов

1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны. 2. Вписанний угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°). 3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу

β = α2

4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.

α + β = 180°

Определение. Дуга окружности (◡) — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.

Определение. Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.

Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):

l = πr180°∙ α

Определение. Полуокружность — дуга в которой концы соединены диаметром окружности.

Определение. Полукруг (◓) — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.

Определение. Сектор (◔) — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.

Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)

S = πr²360°∙ α

Определение. Сегмент — часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы.

Определение. Концентрические окружности — окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.

Определение. Кольцо — часть плоскости ограниченная двумя концентрическими окружностями.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Основные определения и свойства

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность		Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга		Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг		Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор		Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент		Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник		Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
		Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

Рис.1

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

      Следовательно,

      Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR².

      Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна

S = πR².

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B₁B₂…B_n , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

Рис.2

      Поскольку площадь n – угольника   B₁B₂…B_n   равна

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:

C = 2πR.

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

      Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.3

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

      Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.4

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

      Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.5

      Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

      Следовательно,

      В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

      Следовательно,

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

дуга — это… Что такое дуга?

ДУГА — жен. согнутая линия, черта или вещь, образующая кривизну, погиб; часть окружности круга или другой кривой черты, и пр. элипса, параболы. | ·стар. и сев. радуга. | В оглобельной упряжи, деревянная, согнутая крутым лучком тугая распорка между… …   Толковый словарь Даля

Дуга — Дуга: В математике Дуга (геометрия) участок кривой между двумя её точками. Дуга окружности  кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками. Дуга (теория графов) Другое Дуга (география) Дуга (анатомия) Дуга (физика) Дуга… …   Википедия

дуга — и; мн. дуги; ж. 1. Часть окружности или какой л. другой кривой линии в виде полукруга. Ракета описала в небе дугу. Соединить дугой. // О том, что имеет форму кривой, изогнутой линии. Д. лука. Тёмные дуги бровей. Радуга дуга. На повороте река… …   Энциклопедический словарь

ДУГА — ДУГА, дуги, мн. дуги, дугам, жен. 1. Принадлежность упряжи из круто изогнутого ствола тонкого дерева, концы которого вдеваются в гужи для скрепления оглобель с хомутом. «Дуги гнут с терпеньем и не вдруг.» Крылов. 2. Часть окружности круга или… …   Толковый словарь Ушакова

ДУГА — ДУГА, и, мн. дуги, дуг, дугам, жен. 1. Часть кривой линии, заключенная между двумя её точками, то, что имеет вид такой линии. Д. радуги. Ветка согнулась дугой. Брови дугой. 2. Круто изогнутая деревянная часть упряжки, скрепляющая оглобли с… …   Толковый словарь Ожегова

дуга — укр. дуга, также радуга , болг. дъга радуга , сербохорв. дуга, словен. dǫga, чеш., слвц. duha, польск. dęga, dąga. Родственно лтш. dañga выбоина, колдобина , dañdzis венец, обод колеса из цельного куска (курземские элементы), лит. dangùs,… …   Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера

дуга — См. кривизна согнуть в дугу… Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. дуга цата, прилука, ортодромия, кривизна, упряжь, сгиб, арка, кружало, ортодрома Словарь русских синонимов …   Словарь синонимов

дуга — ДУГА, и, ж. и в зн. сказ. Конец, провал, крах, фиаско, неудача. Всё, мне дуга! дуга нашему мероприятию. См. также Пьяный в дугу …   Словарь русского арго

ДУГА — ДУГА, часть кривой. Для круга радиусом r длина (s) дуги этого круга, имеющей p градусов, задается выражением s = 2pr3q/360. Если угол измеряется в РАДИАНАХ, длина дуги задается произведением радиуса и угла, т.е. s = rq. Говорят, что дуга… …   Научно-технический энциклопедический словарь

ДУГА — (Voltaic arc) сокращенное название вольтовой дуги. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 ДУГА (астр.) нижние части шпангоутов (флортимберсы), обделанные и собранные для установки… …   Морской словарь

дуга — (Arc)     Сегмент кривой, как правило, в виде соединительного штриха [горизонтальная или наклонная линия, соединяющая основные штрихи] в круглых и овальных формах. Бреве, Дуга (Breve)     Один из верхних акцентов [надстрочный или подстрочный… …   Шрифтовая терминология