p-значение | Data Science

Что такое p-value?

P-значение (англ. P-value) — величина, используемая при тестировании статистических гипотез. Фактически это вероятность ошибки при отклонении нулевой гипотезы (ошибки первого рода). Проверка гипотез с помощью P-значения является альтернативой классической процедуре проверки через критическое значение распределения.

Обычно P-значение равно вероятности того, что случайная величина с данным распределением (распределением тестовой статистики при нулевой гипотезе) примет значение, не меньшее, чем фактическое значение тестовой статистики. Википедия.

Иначе говоря, p-значение – это наименьшее значение уровня значимости (т.е. вероятности отказа от справедливой гипотезы), для которого вычисленная проверочная статистика ведет к отказу от нулевой гипотезы. Обычно p-значение сравнивают с общепринятыми стандартными уровнями значимости 0,005 или 0,01.

Например, если вычисленное по выборке значение проверочной статистики соответствует p = 0,005, это указывает на вероятность справедливости гипотезы 0,5%. Таким образом, чем p-значение меньше, тем лучше, поскольку при этом увеличивается «сила» отклонения нулевой гипотезы и увеличивается ожидаемая значимость результата.

Интересное объяснение этого есть на Хабре.

Статистический анализ начинает напоминать черный ящик: на вход подаются данные, на выход — таблица основных результатов и значение p-уровня значимости (p-value).

О чём говорит p-value?

Предположим, мы решили выяснить, существует ли взаимосвязь между пристрастием к кровавым компьютерным играм и агрессивностью в реальной жизни. Для этого были случайным образом сформированы две группы школьников по 100 человек в каждой (1 группа — фанаты стрелялок, вторая группа — не играющие в компьютерные игры). В качестве показателя агрессивности выступает, например, число драк со сверстниками. В нашем воображаемом исследовании оказалось, что группа школьников-игроманов действительно заметно чаще конфликтует с товарищами. Но как нам выяснить, насколько статистически достоверны полученные различия? Может быть, мы получили наблюдаемую разницу совершенно случайно? Для ответа на эти вопросы и используется значение p-уровня значимости (p-value) — это вероятность получить такие или более выраженные различия при условии, что в генеральной совокупности никаких различий на самом деле нет. Иными словами, это вероятность получить такие или еще более сильные различия между нашими группами, при условии, что, на самом деле, компьютерные игры никак не влияют на агрессивность. Звучит не так уж и сложно. Однако, именно этот статистический показатель очень часто интерпретируется неправильно.

Примеры про p-value

Итак, мы сравнили две группы школьников между собой по уровню агрессивности при помощи стандартного t-теста (или непараметрического критерия Хи — квадрат более уместного в данной ситуации) и получили, что заветный p-уровень значимости меньше 0.05 (например 0.04). Но о чем в действительности говорит нам полученное значение p-уровня значимости? Итак, если p-value — это вероятность получить такие или более выраженные различия при условии, что в генеральной совокупности никаких различий на самом деле нет, то какое, на ваш взгляд, верное утверждение:

1.Компьютерные игры — причина агрессивного поведения с вероятностью 96%.
2. Вероятность того, что агрессивность и компьютерные игры не связаны, равна 0.04.
3. Если бы мы получили p-уровень значимости больше, чем 0.05, это означало бы, что агрессивность и компьютерные игры никак не связаны между собой.
4. Вероятность случайно получить такие различия равняется 0.04.
5. Все утверждения неверны.

Если вы выбрали пятый вариант, то абсолютно правы! Но, как показывают многочисленные исследования, даже люди со значительным опытом в анализе данных часто некорректно интерпретируют значение p-value.

Давайте разберём все ответы по порядку:

Первое утверждение — пример ошибки корреляции: факт значимой взаимосвязи двух переменных ничего не говорит нам о причинах и следствиях. Может быть, это более агрессивные люди предпочитают проводить время за компьютерными играми, а вовсе не компьютерные игры делают людей агрессивнее.

Это уже более интересное утверждение. Всё дело в том, что мы изначально принимаем за данное, что никаких различий на самом деле нет. И, держа это в уме как факт, рассчитываем значение p-value. Поэтому правильная интерпретация: «Если предположить, что агрессивность и компьютерные игры никак не связаны, то вероятность получить такие или еще более выраженные различия составила 0.04».

А что делать, если мы получили незначимые различия? Значит ли это, что никакой связи между исследуемыми переменными нет? Нет, это означает лишь то, что различия, может быть, и есть, но наши результаты не позволили их обнаружить.

Это напрямую связано с самим определением p-value. 0.04 — это вероятность получить такие или ещё более экстремальные различия. Оценить вероятность получить именно такие различия, как в нашем эксперименте, в принципе невозможно!

Вот такие подводные камни могут скрываться в интерпретации такого показателя, как p-value. Поэтому очень важно понимать механизмы, заложенные в основании методов анализа и расчета основных статистических показателей.

Как найти p-value?

Источник.

1. Определите ожидаемые в вашем эксперименте результаты

Обычно когда ученые проводят эксперимент, у них уже есть идея того, какие результаты считать «нормальными» или «типичными». Это может быть основано на экспериментальных результатах прошлых опытов, на достоверных наборах данных, на данных из научной литературы, либо ученый может основываться на каких-либо других источниках. Для вашего эксперимента определите ожидаемые результаты, и выразите их в виде чисел.

Пример: Например, более ранние исследования показали, что в вашей стране красные машины чаще получают штрафы за превышение скорости, чем синие машины. Например, средние результаты показывают предпочтение 2:1 красных машин перед синими. Мы хотим определить, относится ли полиция точно так же предвзято к цвету машин в вашем городе. Для этого мы будем анализировать штрафы, выданные за превышение скорости. Если мы возьмем случайный набор из 150 штрафов за превышение скорости, выданных либо красным, либо синим автомобилям, мы ожидаем, что 100 штрафов будет выписано красным автомобилям, а 50 синим, если полиция в нашем городе так же предвзято относится к цвету машин, как это наблюдается по всей стране.

2. Определите наблюдаемые результаты вашего эксперимента

Теперь, когда вы опредили ожидаемые результаты, необходимо провести эксперимент, и найти действительные (или «наблюдаемые») значения. Вам снова необходимо представить эти результаты в виде чисел. Если мы создаем экспериментальные условия, и наблюдаемые результаты отличаются от ожидаемых, то у нас есть две возможности – либо это произошло случайно, либо это вызвано именно нашим экспериментом. Цель нахождения p-значения как раз и состоит в том, чтобы определить, отличаются ли наблюдаемые результаты от ожидаемых настолько, чтобы можно было не отвергать «нулевую гипотезу» – гипотезу о том, что между экспериментальными переменными и наблюдаемыми результатами нет никакой связи.

Пример: Например, в нашем городе мы случайно выбрали 150 штрафов за превышение скорости, которые были выданы либо красным, либо синим автомобилям. Мы определили, что 90 штрафов были выписаны красным автомобилям, и 60 синим. Это отличается от ожидаемых результатов, которые равны 100 и 50, соответственно. Действительно ли наш эксперимент (в данном случае, изменение источника данных с национального на городской) привел к данному изменению в результатах, или наша городская полиция относится предвзято точно так же, как и в среднем по стране, а мы видим просто случайное отклонение? P-значение поможет нам это определить.

3. Определите число степеней свободы вашего эксперимента

Число степеней свободы — это степень изменяемости вашего эксперимента, которая определяется числом категорий, которые вы исследуете. Уравнение для числа степеней свободы – Число степеней свободы = n-1, где «n» это число категорий или переменных, которые вы анализируете в своем эксперименте.

Пример: В нашем эксперименте две категории результатов: одна категория для красных машин, и одна для синих машин. Поэтому в нашем эксперименте у нас 2-1 = 1 степень свободы. Если бы мы сравнивали красные, синие и зеленые машины, у нас было бы 2 степени свободы, и так далее.

4. Сравните ожидаемые и наблюдаемые результаты с помощью критерия хи-квадрат

Хи-квадрат (пишется «x2») это числовое значение, которое измеряет разницу между ожидаемыми и наблюдаемыми значениями эксперимента. Уравнение для хи-квадрата следующее x2 = Σ((o-e)2/e), где «o» это наблюдаемое значение, а «e» это ожидаемое значение. Суммируйте результаты данного уравнения для всех возможных результатов (смотри ниже).

Заметьте, что данное уравнение включает оператор суммирования Σ (сигма). Другими словами, вам необходимо подсчитать ((|o-e|-.05)2/e) для каждого возможного результата, и сложить полученные числа, чтобы получить значение критерия хи-квадрат. В нашем примере у нас два возможных результата – либо машина, получившая штраф красная, либо синяя. Поэтому мы должны посчитать ((o-e)2/e) дважды – один раз для красных машин, и один раз для синих машин.

Пример: Давайте подставим наши ожидаемые и наблюдаемые значения в уравнение x2 = Σ((o-e)2/e). Помните, что из-за оператора суммирования нам необходимо посчитать ((o-e)2/e) дважды – один раз для красных автомобилей, и один раз для синих автомобилей. Мы выполним эту работу следующим образом:
x2 = ((90-100)2/100) + (60-50)2/50)
x2 = ((-10)2/100) + (10)2/50)
x2 = (100/100) + (100/50) = 1 + 2 = 3.

5. Выберите уровень значимости

Теперь, когда мы знаем число степеней свободы нашего эксперимента, и узнали значение критерия хи-квадрат, нам нужно сделать еще одну вещь перед тем, как мы найдем наше p-значение. Нам нужно определить уровень значимости. Говоря простым языком, уровень значимости показывает, насколько мы уверены в наших результатах. Низкое значение для значимости соответствует низкой вероятности того, что экспериментальные результаты получились случайно, и наоборот. Уровни значимости записываются в виде десятичных дробей (таких как 0.01), что соответствует вероятности того, что экспериментальные результаты мы получили случайно (в данном случае вероятность этого 1%).

По соглашению, ученые обычно устанавливают уровень значимости своих экспериментов равным 0.05, или 5%.[2] Это означает, что экспериментальные результаты, которые соответствуют такому критерию значимости, только с вероятностью 5% могли получиться чисто случайно. Другими словами, существует 95% вероятность, что результаты были вызваны тем, как ученый манипулировал экспериментальными переменными, а не случайно. Для большинства экспериментов 95% уверенности наличия связи между двумя переменными достаточно, чтобы считать, что они «действительно» связаны друг с другом.

Пример: для нашего примера с красными и синими машинами, давайте последуем соглашению между учеными, и установим уровень значимости в 0.05.

6. Используйте таблицу с данными распределения хи-квадрат, чтобы найти ваше p-значение

Ученые и статисты используют большие таблицы для вычисления p-значения своих экспериментов. Данные таблицы обычно имеют вертикальную ось слева, соответствующую числу степеней свободы, и горизонтальную ось сверху, соответствующую p-значению. Используйте данные таблицы, чтобы сначала найти число ваших степеней свободы, затем посмотрите на ваш ряд слева направо, пока не найдете первое значение, большее вашего значения хи-квадрат. Посмотрите на соответствующее p-значение вверху вашего столбца. Ваше p-значение находится между этим числом и следующим за ним (тем, которое находится левее вашего).

Таблицы с распределением хи-квадрат можно получить из множества источников (вот по этой ссылке можно найти одну из них).

Пример: Наше значение критерия хи-квадрат было равно 3. Так как мы знаем, что в нашем эксперименте всего 1 степень свободы, выберем самую первую строку. Идем слева направо по данной строке, пока не встретим значение, большее 3, нашего значения критерия хи-квадрат. Первое, которое мы находим это 3.84. Смотрим вверх нашего столбца, и видим, что соответствующее p-значение равно 0.05. Это означает, что наше p-значение между 0.05 и 0.1 (следующее p-значение в таблице по возрастанию).

7. Решите, отклонить или оставить вашу нулевую гипотезу

Так как вы определили приблизительное p-значение для вашего эксперимента, вам необходимо решить, отклонять ли нулевую гипотезу вашего эксперимента или нет (напоминаем, это гипотеза о том, что экспериментальные переменные, которыми вы манипулировали не повлияли на наблюдаемые вами результаты). Если ваше p-значение меньше, чем ваш уровень значимости – поздравляем, вы доказали, что очень вероятна связь между переменными, которыми вы манипулировали и результатами, которые вы наблюдали. Если ваше p-значение выше, чем ваш уровень значимости, вы не можете с уверенностью сказать, были ли наблюдаемые вами результаты результатом чистой случайности или манипуляцией вашими переменными.

Пример: Наше p-значение находится между 0,05 и 0,1. Это явно не меньше, чем 0,05, поэтому, к сожалению, мы не можем отклонить нашу нулевую гипотезу. Это означает, что мы не достигли минимум 95% вероятности того, чтобы сказать, что полиция в нашем городе выдает штрафы красным и синим автомобилям с такой вероятностью, которая достаточно сильно отличается от средней по стране.

Другими словами, существует 5-10% шанс, что наблюдаемые нами результаты – это не последствия смены места (анализа города, а не всей страны), а просто случайность. Так как мы потребовали точности меньше чем 5%, мы не можем сказать что мы уверены в том, что полиция нашего города менее предвзято относится к красным автомобилям – существует небольшая (но статистически значимая) вероятность, что это не так.

Таблица 17 / КонсультантПлюс

Подготовлена редакция документа с изменениями, не вступившими в силу

Изменения, внесенные Решением Коллегии ЕЭК от 16.01.2018 N 5, применяются в правоотношениях, возникших с даты вступления в силу Договора о Таможенном кодексе ЕАЭС от 11.04.2017 — с 1 января 2018 года.

Описание операции «Обработка и представление информации

об изменениях, внесенных в классификатор» (P.CC.10.OPR.008)

 

	Обозначение элемента
	Кодовое обозначение
	Наименование операции	обработка и представление информации об изменениях, внесенных в классификатор
	Условия выполнения	выполняется при получении исполнителем запроса на получение информации об изменениях, внесенных в классификатор (операция «Запрос информации об изменениях, внесенных в классификатор» (P.CC.10.OPR.007))
		формат и структура представляемой информации должны соответствовать Описанию форматов и структур электронных документов и сведений. Требуется авторизация, сведения запрашиваются только уполномоченными органами государств-членов
	Описание операции	исполнитель осуществляет обработку полученного запроса в соответствии с Регламентом информационного взаимодействия, формирует и представляет в уполномоченный орган государства-члена сведения об изменениях, внесенных в классификатор, или уведомление об отсутствии сведений, удовлетворяющих параметрам запроса. В случае если справочные данные или раздел справочных данных созданы с учетом национальных особенностей государства-члена, информация об изменениях, внесенных в классификатор, должна содержать кодовое обозначение соответствующего государства-члена
		в уполномоченный орган государства-члена направлены сведения об изменениях, внесенных в классификатор, или уведомление об отсутствии сведений, удовлетворяющих параметрам запроса

Открыть полный текст документа

Американская маркировка шин (P-metric)

Американская система обозначения для легковых шин практически совпадает с европейской за исключением букв перед цифровым индексом (например, P195/60R14), которые по американской системе P-metric, обозначают индекс назначения покрышки:

• P – шина для легкового автомобиля
• LT – шина для лёгкого грузовика

Кроме того, P-metric подразумевает прямое указание на особенности конструкции на боковине шины.

Например, надпись «TREAD: 4 PLUES (2 PLUES RAYON+2 PLUES STEEL) и SIDEWALL: 2 PLUES RAYON» даёт прямое указание на то, что брекер шины состоит из двух слоёв металлокорда, а боковины – из двух слоёв вискозного корда.

Важная особенность – индексы нагрузки (LBS) приводятся в фунтах, а рекомендованное давление (PSI) в фунтах на квадратный дюйм.

Как перевести эти величины в привычные кг и атмосферы?

1 атм = 14.6959793 PSI, т.е. если на шине Вы видите надпись MAX.PSI 33, то это значит, что максимально допустимое давление в шине составляет 33/14.69 = 2,25 атм.

1 фунт = 0.4535 кг. Т.е. если на шине Вы видите обозначение MAX LOAD 1325, то это обозначает, что максимальная нагрузка на шину составляет 1325*0.4535 = 560 кг.

Кроме того, на шинах указываются индекс износостойкости (TWI) — TREAD WEAR INDEX; индекс сцепных качеств — TRACTION INDEX; температурный индекс — TEMPERATURE INDEX, которые не проставляются на шинах европейского производства.

В общем и целом для легковых шин найти европейское соответствие проблемы не составляет, а вот в сегменте американских шин для грузовиков и внедорожников ситуация иная.

В этом случае часто применяется принципиально иная маркировка дюймового типа, основанная на внешнем диаметре шины, а не на её посадочных размерах.

Пример — шина 31×10,5R15LT фирмы Wrangler

Расшифровка обозначения такова:

Первая цифра – внешний диаметр в дюймах (31)

Вторая цифра – ширина профиля в дюймах (10,5)

Далее указание на конструкцию – R – радиальная

15- посадочный диаметр в дюймах

И последнее обозначение – LT (Light Truck) – указание на назначение шины (для лёгких грузовиков)

Обозначения для граммем (русский язык) — Морфологический анализатор pymorphy2

В pymorphy2 для русского языка используются словари OpenCorpora и граммемы, принятые в OpenCorpora (с небольшими изменениями).

Полный список граммем OpenCorpora доступен тут: http://opencorpora.org/dict.php?act=gram

Часть речи

Граммема	Значение	Примеры
NOUN	имя существительное	хомяк
ADJF	имя прилагательное (полное)	хороший
ADJS	имя прилагательное (краткое)	хорош
COMP	компаратив	лучше, получше, выше
VERB	глагол (личная форма)	говорю, говорит, говорил
INFN	глагол (инфинитив)	говорить, сказать
PRTF	причастие (полное)	прочитавший, прочитанная
PRTS	причастие (краткое)	прочитана
GRND	деепричастие	прочитав, рассказывая
NUMR	числительное	три, пятьдесят
ADVB	наречие	круто
NPRO	местоимение-существительное	он
PRED	предикатив	некогда
PREP	предлог	в
CONJ	союз	и
PRCL	частица	бы, же, лишь
INTJ	междометие	ой

Часть речи можно получить через атрибут POS:

>>> p = morph.parse('идти')[0]
>>> p.tag.POS
'INFN'

Падеж

Граммема	Значение	Пояснение	Примеры
nomn	именительный	Кто? Что?	хомяк ест
gent	родительный	Кого? Чего?	у нас нет хомяка
datv	дательный	Кому? Чему?	сказать хомяку спасибо
accs	винительный	Кого? Что?	хомяк читает книгу
ablt	творительный	Кем? Чем?	зерно съедено хомяком
loct	предложный	О ком? О чём? и т.п.	хомяка несут в корзинке
voct	звательный	Его формы используются при обращении к человеку.	Саш, пойдем в кино.
gen2	второй родительный (частичный)		ложка сахару (gent — производство сахара); стакан яду (gent — нет яда)
acc2	второй винительный		записался в солдаты
loc2	второй предложный (местный)		я у него в долгу (loct — напоминать о долге); висит в шкафу (loct — монолог о шкафе); весь в снегу (loct — писать о снеге)

Падеж выделяется у существительных, полных прилагательных, полных причастий, числительных и местоимений. Получить его можно через атрибут case:

>>> p = morph.parse('хомяку')[0]
>>> p.tag.case
'datv'

Note

В OpenCorpora (на июль 2013) есть еще падежи gen1 и loc1. Они указываются вместо gent/loct, когда у слова есть форма gen2/loc2. В pymorphy2 gen1 и loc1 заменены на gent/loct, чтоб с ними было проще работать.

Число

Граммема	Значение	Примеры
sing	единственное число	хомяк, говорит
plur	множественное число	хомяки, говорят

>>> p = morph.parse('люди')[0]
>>> p.tag.number
'plur'

Некоторые имена существительные употребляются только во множественном числе; им проставлена пометка Pltm (“Pluralia tantum”):

>>> morph.parse('дрова')[0].tag
OpencorporaTag('NOUN,inan,GNdr,Pltm plur,accs')

Существуют также существительные, употребляемые только в единственном числе; им проставлена пометка Sgtm (“Singularia tantum”):

>>> morph.parse('молоко')[0].tag
OpencorporaTag('NOUN,inan,neut,Sgtm sing,nomn')

Ни Sgtm, ни Pltm не являются значениями p.tag.number.

Род

Граммема	Значение	Примеры
masc	мужской род	хомяк, говорил
femn	женский род	хомячиха, говорила
neut	средний род	зерно, говорило

>>> p = morph.parse('зерно')[0]
>>> p.tag.gender
'neut'

В русском языке существует понятие “общего рода”; некоторые слова могут употребляться применительно к людям мужского или женского пола: “он бедный сирота”, “она бедная сирота”. Таким словам проставлена пометка Ms-f:

>>> p = morph.parse('сирота')[0]
>>> 'Ms-f' in p.tag
True

Существуют также существительные, у которых род не выражен; им проставлена пометка GNdr. Ни Ms-f, ни GNdr не является значением p.tag.gender.

Нестандартные граммемы

В pymorphy2 используются некоторые граммемы, отсутствующие в словаре OpenCorpora:

Граммема	Значение
LATN	Токен состоит из латинских букв (например, “foo-bar” или “Maßstab”)
PNCT	Пунктуация (например, , или !? или …)
NUMB	Число (например, “204” или “3.14”)
intg	целое число (например, “204”)
real	вещественное число (например, “3.14”)
ROMN	Римское число (например, XI)
UNKN	Токен не удалось разобрать

Пример:

>>> p = morph.parse('...')[0]
>>> p.tag
OpencorporaTag('PNCT')

Что такое z-оценка? Что такое p-значение?—Справка

Большинство статистических тестов начинаются с определения нулевой гипотезы. Нулевая гипотеза для инструментов анализа структурных закономерностей (Группа инструментов Анализ структурных закономерностей и Список кластеров) – это полная пространственная хаотичность (ППХ) или самих объектов или значений, связанных с ними. Z-оценки и p-значения, полученные в результате анализа структурных закономерностей, свидетельствуют о том, можно ли отклонить нулевую гипотезу или нет. Как правило, вы запускаете один из инструментов анализа структурных закономерностей, предполагая, что z-оценка и р-значение будут свидетельствовать о возможном опровержении нулевой гипотезы. Это будет говорить о том, что ваши объекты или значения, связанные с ними, проявляют статистически значимую кластеризацию или дисперсию. Всякий раз, когда вы видите пространственную структуру, такую как кластеризация ландшафта (или пространственных данных), вы видите доказательства работы некоторых основных пространственных процессов, и, как географа или ГИС-аналитика, это может интересовать вас больше всего.

p-значение – это вероятность. Для анализа структурных закономерностей, это вероятность того, что наблюдаемые пространственные закономерности были созданы некоторым случайным процессом. Когда p-значение является очень маленьким, это означает, что это очень маловероятно (маленькая вероятность), что наблюдаемые пространственные закономерности – результат случайных процессов, таким образом, можно отклонить нулевую гипотезу. Вы можете задать вопрос: насколько маленький объект в действительности мал? Хороший вопрос. Смотрите таблицу и обсуждения ниже.

Z-оценки являются стандартными отклонениями. Если, например, инструмент возвращает z-оценку +2.5, вы сказали бы, что результат – это 2.5 стандартных отклонений. И z-оценки, и p-значения связаны со стандартным нормальным распределением, как показано ниже.

Очень высокие или очень низкие (отрицательные) z-оценки, связанные с очень маленькими p-значениями, располагаются в хвостах нормального распределения. Когда Вы запускаете инструмент анализа структурных закономерностей, и он приводит к маленьким p-значениями или очень высоким или очень низким z-оценкам, это указывает, что маловероятно, что наблюдаемая пространственная модель отражает теоретическую случайную структурную закономерность, представленную Вашей нулевой гипотезой.

Чтобы отклонить нулевую гипотезу, Вы должны сделать субъективное суждение относительно уровня риска, который вы готовы принять для того, чтобы ошибиться (для того, чтобы ложно отклонить нулевую гипотезу). Следовательно, прежде чем вы запустите пространственный статистический процесс, вы выбираете доверительный уровень. Типичные доверительные уровни 90, 95, или 99 процентов. Доверительный уровень 99 процентов был бы самым консервативным в этом случае, указывая, что вы не желаете отклонить нулевую гипотезу до тех пор, пока вероятность, что модель была создана случайным процессом, не является действительно маленькой (меньше чем 1-процентная вероятность).

Доверительные уровни

В таблице ниже показаны некорректированные критические p-значения и z-оценки для различных доверительных уровней.

Примечание:

Инструменты, которые позволяют применять FDR, будут использовать корректированные критические p-значения. Эти критические значения будут такими же или меньше, чем показанные в таблице ниже.

z-оценка (Стандартные отклонения)	p-значения (Вероятность)	Доверительный уровень
< -1,65 или > +1,65	< 0,10	90%
< -1,96 или > +1,96	< 0,05	95%
< -2,58 или > +2,58	< 0,01	99%

Рассмотрим пример. Критические значения z-оценки, используя 95-процентный доверительный уровень являются-1.96 и +1.96 стандартными отклонениями. Нескорректированное p-значение, связанное с 95-процентным доверительным уровнем, равно 0.05. Если z-оценка находится между -1.96 и +1.96, то нескорректированное p-значение будет больше чем 0.05, и вы не сможете отклонить нулевую гипотезу, поскольку показанная модель может, вероятно, быть результатом случайных пространственных процессов. Если z-оценка падает вне того диапазона (например,-2.5 или +5.4 стандартных отклонений), наблюдаемая пространственная модель, вероятно, слишком необычная, чтобы быть результатом случайного процесса, и p-значения будут маленькими, чтобы отклонить это. В этом случае возможно отклонить нулевую гипотезу и возобновить выяснение, что могло бы вызывать статистически существенную пространственную структуру в ваших данных.

Ключевая идея здесь состоит в том, что значения в середине нормального распределения (z-оценки такие как 0.19 или-1.2, например), представляют ожидаемый результат. Когда абсолютное значение z-оценки является большим, и вероятности являются маленькими (в хвостах нормального распределения), однако, вы видите что-то необычное и вообще очень интересное. Для инструмента Анализ горячих точек например, «необычный» означает статистически существенную «горячую» или «холодную» точку.

Коррекция FDR

Инструменты анализа локальных пространственных закономерностей, включая Анализ горячих точек и Анализ кластеров и выбросов (Anselin Локальный индекс Морана I) предлагают дополнительный параметр Применить коррекцию FDR. Когда этот параметр включен, Коррекция FDR снижает критический порог p-значения, показанный в таблице выше, чтобы использовать во множественном тестировании и в пространственной зависимости. Уменьшение, если происходит, является функцией числа входных объектов и используемой структуры окружения.

Инструменты анализа локальных пространственных закономерностей работают, рассматривая каждый объект в контексте окружающих объектов, и определяют, отличается ли локальная закономерность (целевой объект и его окружение) от глобальной (все объекты набора данных). Результаты вычислений z-оценки и p-значения, связанные с каждым объектом, позволяют определить, является ли различие статистически значимым или нет. Этот аналитический подход создает определенные сложности при множественном тестировании и изучении зависимостей.

Множественное тестирование – с уровнем достоверности 95 процентов, теория вероятности говорит о том, что существует только 5 шансов из 100, что пространственная закономерность может быть структурированной (кластеризованной или дисперсионной, например) и может быть связана со статистически значимым p-значением, когда на самом деле, пространственные процессы, создающие эту закономерность, являются случайными. В этом случае мы неверно отвергаем нулевую гипотезу, основываясь на статистически значимых p-значениях. Пять шансов из 100 выглядят достаточно убедительно, пока вы не поймете, что локальная пространственная статистика выполняет тест каждого объекта в наборе данных. Например, если имеется 10000 объектов, мы может получить до 500 ошибочных результатов.

Пространственная зависимость – близко расположенные объекты имеют тенденцию к сходности; они чаще, чем не пространственные данные, демонстрируют такой тип зависимости. Тем не менее, для многих статистических тестов необходимо, чтобы объекты были независимыми. Это необходимо для инструментов анализа локальных закономерностей потому, что пространственная зависимость может искусственно сглаживать статистическую значимость. Пространственная зависимость усугубляется инструментами локального анализа закономерностей, поскольку каждый объект оценивается в контексте его соседства, и близко расположенные объекты будут иметь множество одинаковых соседств. Такое совпадение подчеркивает пространственную зависимость.

Для обработки проблем, возникающих с множественным тестом и пространственными зависимостями, используются как минимум три 3 подхода. Первый подход – это игнорировать проблему, учитывая то, что отдельный тест, выполненный для каждого объекта набора данных, должен рассматриваться отдельно от других. Однако при этом подходе, весьма вероятно, что некоторые статистически значимые результаты будут неверны (выглядеть статистически значимыми при случайном характере базовых пространственных процессов). Второй подход состоит в применении классической процедуры множественного тестирования, например поправки Бонферрони или коррекции Сидак. Однако эти методы обычно слишком консервативны. Хотя они значительно снижают число ложноположительных результатов, они также пропускают имеющиеся статистически значимые результаты. Третий подход состоит в применении коррекции FDR, которая оценивает число ложноположительных результатов для данного уровня достоверности и соответственно корректирует критическое p-значение. При этом способе статистически значимые p-значения ранжируются от наименьших (самых строгих) до наибольших(наименее строгих), на основе оценки ложноположительных результатов, наименее строгие убираются из списка. Оставшиеся объекты со статистически значимыми p-значениями определяются по полям Gi_Bin или COType в выходном классе объектов. Не будучи идеальным, этот метод, как показывают эмпирические тесты, показывает лучшие результаты, чем выполнение каждого теста по-отдельности или применение традиционных, часто излишне консервативных, методов множественного теста. В разделе дополнительных ресурсов можно найти более подробные сведения о коррекции FDR.

Нулевая гипотеза и пространственная статистика

Некоторые инструменты статистики в наборе инструментов пространственной статистики представляют собой логически выведенные методы пространственного анализа структурных закономерностей, например, Пространственная автокорреляция (Global Moran’s I), Анализ кластеров и выбросов (Anselin Local Moran’s I) и Анализ горячих точек (Getis-Ord Gi*). Логически выведенные статистические показатели обоснованы в теории вероятности. Вероятность – мера случайности, и лежащие в основе все статистические тесты (любой прямо или косвенно) – вычисления вероятностей, которые оценивают роль случая на результат вашего анализа. Как правило, с традиционными (не пространственными) статистическими показателями, вы работаете со случайной выборкой и пытаетесь определить вероятность, что ваша выборка данных – хорошее представление (рефлексивно) населения в целом. Как пример, вы могли бы спросить, «Каковы шансы, что результаты моего опроса избирателей (показывающие, что кандидат А слегка превзойдет кандидата Б) отразят заключительные результаты выборов?» Но в большинстве случаев работая с пространственными статистическими показателями, включая упомянутую выше пространственную автокорреляцию, как правило, вы используете все данные, которые доступны в области исследования (все преступления, все случаи болезни, атрибуты для каждого переписного участка, и так далее). Когда вы вычисляете статистическую величину для всего населения, у вас больше нет оценки вообще. Перед вами факт. Следовательно, более нет никакого смысла говорить о подобии или вероятностях. Таким образом, как могут инструменты анализа пространственных структурных закономерностей, часто применяемые ко всем данным в области исследования, законно сообщить о вероятностях? Ответ – то, что они могут сделать это, постулируя через нулевую гипотезу, что данные, фактически, являются частью некоторого более многочисленного населения. Рассмотрим это более подробно.

Рандомизация нулевой гипотезы – где необходимо, инструменты из набора инструментов пространственной статистики используют рандомизацию нулевой гипотезы в качестве основы для теста статистической значимости. Рандомизация нулевой гипотезы постулирует, что наблюдаемая пространственная модель ваших данных представляет одну из многих (n!) возможных пространственных организаций данных. Если бы вы могли собрать значения данных и бросить их на объекты в вашей области исследования, у вас было бы одно возможное пространственное расположение этих значений. (Отметьте, что собирание ваших значений данных и их произвольных бросок являются примером случайного пространственного процесса). Рандомизация нулевой гипотезы утверждает, что, если бы Вы могли сделать это упражнение (собрать их и бросить) бесконечное количество раз, в большинстве случаев вы бы создали структуру, которая не будет заметно отличаться от наблюдаемой структуры (ваши реальные данные). Иногда вы могли бы случайно бросить все самые высокие значения в один и тот же угол вашей области исследования, но вероятность такого исхода является маленькой. Рандомизация нулевой гипотезы утверждает, что ваши данные – одна из многих, многих, многих возможных версий полной пространственной хаотичности. Значения данных фиксированы; могла измениться только их пространственная организация.

Нормализация нулевой гипотезы – общая альтернативная нулевая гипотеза, не реализованная для набора инструментов пространственной статистики, является нормализацией нулевой гипотезы. Нормализация Нулевой гипотезы постулирует, что наблюдаемые величины получены из бесконечно большого, нормально распределенного населения посредством некоторого случайного процесса осуществления выборки. С разной выборкой, вы получили бы различные значения, но вы будете все еще ожидать, что те значения будут представительны для большего распределения. Нормализация нулевой гипотезы утверждает, что значения представляют одну из многих возможных выборок значений. Если вы могли бы привести свои наблюдаемые данные к нормальной кривой и хаотично выбирать значения из того распределения, чтобы бросить их на вашу область исследования, большую часть раз вы произведете модель и распределение значений, которые заметно не отличались бы от наблюдаемого образца/распределения (ваши реальные данные). Нормализация нулевой гипотезы утверждает, что ваши данные и их организация – одна из многих, многих, многих возможных случайных выборок. Ни значения данных, ни их пространственное расположение не установлены. Нормализация нулевой гипотезы является только соответствующей, когда значения данных нормально распределены.

Дополнительные источники

• Ebdon, David. Statistics in Geography. Blackwell, 1985.
• Mitchell, Andy. The ESRI Guide to GIS Analysis, Volume 2. ESRI Press, 2005.
• Goodchild, Michael F. Spatial Autocorrelation. Catmog 47, Geo Books, 1986
• Caldas de Castro, Marcia, and Burton H. Singer. «Controlling the False Discovery Rate: A New Application to Account for Multiple and Dependent Test in Local Statistics of Spatial Association.» Geographical Analysis 38, pp 180-208, 2006.

Связанные разделы

Буквенно-цифровые обозначения зажимов и проводов

18.04.2014

Буквенно-цифровые обозначения зажимов и проводов

Согласно ГОСТ 2.709-89.

Обозначение зажимов

Для обозначения зажимов электрических элементов используют условный цвет, соответствующее графическое или буквенно-цифровое обозначение.

Обозначения зажимов электрических устройств приведены в табл. 1.

Таблица 1

Присоединительный зажимэлектрического устройства	Обозначение
	буквенно-цифровое	графическое
Для переменного тока:
1-я фаза	U
2-я фаза	V
3-я фаза	W
нейтральный провод	N
Защитный провод	PE	По ГОСТ 2.721
Заземляющий провод	E	«
Провод бесшумового заземления	TE	«
Провод соединения с корпусом	MM	«
Провод эквипотенциальный	CC	«

Зажимы электрических устройств, предназначенные для прямого или непрямого соединения с питающими проводами трехфазной системы, предпочтительно обозначать буквами U, V, W, если необходимо соблюдение последовательности фаз.

Зажим, соединенный с корпусом, обозначают буквами ММ, зажим эквипотенциальный — СС. Этим обозначением пользуются только в том случае, когда соединение этого зажима с защитным проводом или землей не видно.

Обозначения проводов специального вида приведены в табл. 2.

Таблица 2

Наименование	Обозначение
	буквенно-цифровое	графическое
Система питания переменного тока:
Фазный провод	L
1-я фаза	L1
2-я фаза	L2
3-я фаза	L3
нейтральный провод	N
Система питания постоянного тока:
положительный полюс	L+	+
отрицательный полюс	L−	−
средний провод	M
Защитный провод с заземлением	PE	По ГОСТ 2.721
Защитный провод незаземленный	PU	«
Соединенный защитный и средний провод	PEN	«
Заземляющий провод	E	«
Провод бесшумового заземления	TE	«
Провод соединения с корпусом	MM	«
Провод эквипотенциальный	CC	«

Обозначение участков цепей

Обозначение участков цепей служит для их опознавания, может отражать их функциональное назначение и создает связь между схемой и устройством.

При обозначении используют прописные буквы латинского алфавита и арабские цифры, выполненные одним размером шрифта.

Участки цепи, разделенные контактами аппаратов, обмотками машин, резисторами и другими элементами, должны иметь разное обозначение.

Соединения, проходящие через неразборные, разборные и разъемные контактные соединения, обозначают одинаково. Допускаются в обоснованных случаях разные обозначения.

Обозначение цепи переменного тока состоит из обозначения участков цепей фазы и последовательного номера.

1-й фазы — L1, L11, L12, L13 и т.д.

2-й фазы — L2, L21, L22, L23 и т.д.

3-й фазы — L3, L31, L32, L33 и т.д.

Допускается, если это не вызовет ошибочного подключения, обозначать фазы соответственно буквами А, В, С.

Расшифровка знаков по уходу за одеждой

Правильный уход за текстильными изделиями и бережное обращение способствуют увеличению срока эксплуатации продукции.

В России действует маркировка ухода за текстильными изделиями, которая узаконена в документе ГОСТ 16958-71. Настоящий стандарт устанавливает условные графические обозначения и их значение для ухода за текстильными изделиями.

Вся система состоит из знаков: стирка, отбеливание, глажение, химчистка, машинная сушка.

На каждом текстильном изделии присутствует информационный ярлык с рекомендациями по уходу.

Рекомендации по уходу за текстильными изделиями

1. В первую очередь, необходимо ознакомиться с этикеткой на изделии, чтобы узнать подходящие режимы стирки, отжима, сушки.

2. Обязательно соблюдайте рекомендованный температурный режим.

3. Не рекомендуется выкручивать изделие при отжиме. Лучший способ, чтобы Ваши вещи сохранили первоначальный вид и форму, закатать в полотенце и отжать.

4. Одежду из махровой ткани или трикотажа вывернуть махровой поверхностью внутрь.

5. Если Вы долго не носите вещь, стоит хранить её в сложенном виде, при хранении изделий на вешалках, форма изделия может исказиться.

Рекомендации по уходу за изделиями

Наименование	Рекомендации по уходу
Трикотажные изделия Структура изделия представляет соединённые между собой петли.	— Стирать согласно указаниям на ярлыке изделия. — Отжимать следует не выкручивая. — Сушить рекомендуется в расправленном виде на горизонтальной поверхности при комнатной температуре.
Изделия из шерсти Шерсть — один из основных натуральных текстильных материалов. Шерстяные ткани хорошо сохраняют тепло и мало сминаются.	— Изделия из шерсти стирают только вручную мягкими моющими средствами для шерсти. — При сушке изделие из шерсти не следует подвешивать — оно может деформироваться. — Шерстяные вещи в мокром виде раскладывают на плоской поверхности.
Изделия из хлопка Хлопок — натуральная ткань. Преимущества: мягкость.	— Изделия из хлопка необходимо стирать согласно рекомендациям на ярлыке изделия. — Хлопковые вещи можно сушить и в машинной сушке, но надо помнить, что при этом они могут дать большую усадку. — Утюжат хлопчатобумажные ткани утюгом с увлажнителем.
Изделия из вискозы Вискоза — это волокно, полученное химическим путем, по своим свойствам максимально приближено к натуральным материалам. Изделия из модала Модал — модернизированное вискозное волокно.	— Требуют особо бережной стирки. — Стирать необходимо согласно рекомендациям на ярлыке изделия. — При отжиме изделие не рекомендуется выкручивать. — Утюжить изделия необходимо в соответствии с режимом, указанным на ярлыке.
Изделия с добавлением эластана При растяжении волокна эластана могут в 6-8 раз превосходить свою исходную длину.	— Ухаживать за изделиями с эластаном необходимо в соответствии с указаниями на ярлыке готового изделия. Так как уход зависит от основного материала изделия.
Изделия из льна Лен — натуральная ткань. Обладает высокой износоустойчивостью, но мнется из-за низкой эластичности.	-Температуру стирки выбирают в зависимости от указаний на ярлыке изделия. — Изделия из льна после стирки могут дать усадку. — Утюжат согласно указаниям на ярлыке изделия с увлажнителем.
Изделия с добавлением синтепона Синтепон — нетканый материал, получаемый из синтетических волокон.	— Стирать необходимо следуя указаниям на ярлыке изделия. — Сохнет быстро, сохраняет форму и не теряет объема. — Гладить можно в зависимости от указаний на ярлыке изделия.
Изделия из шелка Натуральный материал. Обладает терморегулирующим свойством.	— Стирать в соответствии с символами по уходу на ярлыке. — После стирки сушат вдали от батарей и прямых солнечных лучей. — Утюжат шелковые вещи с изнаночной стороны, согласно указаниям на ярлыке.

Условная вероятность — примеры и обозначения

При нахождении условной вероятности вы находите вероятность того, что произойдет событие A, при условии, что произошло другое событие, событие B. В этой статье мы рассмотрим обозначения условной вероятности и то, как найти условные вероятности с помощью таблицы или формулы.

реклама

Содержание:

1. Обозначение
2. Примеры условной вероятности с таблицами
3. Примеры условной вероятности с формулой
4. Сводка

Обозначение

На изображении ниже показано общее обозначение условной вероятности.Вы можете думать о линии как о «данном». Слева — интересующее событие, а справа — событие, которое, как мы предполагаем, произошло.

С помощью этого обозначения вы также можете использовать слова для описания событий. Например, предположим, вы хотели определить вероятность того, что кто-то купит новую машину, когда вы знаете, что он начал новую работу. Это будет представлено как:

Пример использования таблицы данных

Один из распространенных типов проблем, с которыми вы столкнетесь, использует двустороннюю таблицу данных.Здесь мы рассмотрим, как найти различные вероятности с помощью такой таблицы.

Пример

В ходе опроса студентов дневной и заочной форм обучения спрашивали, как часто они посещали репетиторский центр колледжа за последний месяц. Результаты показаны ниже.

Предположим, что опрошенный студент выбран случайным образом.

(а) Какова вероятность того, что ученик посетил учебный центр четыре или более раз, учитывая, что он работает полный рабочий день?

Условная вероятность — это сосредоточение внимания на информации, которую вы знаете.При вычислении этой вероятности мы принимаем, что студент работает полный рабочий день. Таким образом, чтобы определить вероятность, мы должны смотреть только на студентов дневной формы обучения.

(б) Предположим, что студент работает неполный рабочий день. Какова вероятность того, что ученик посетил репетиторский центр один или меньше раз?

Это немного сложнее из-за формулировки. Подумайте об этом так:

• Находка: Вероятность посещения учебного центра учеником один или меньше раз
• Допустим или дано: студент работает неполный рабочий день («предположим, что студент работает неполный рабочий день»)

Поскольку мы предполагаем (или предполагаем), что студент работает неполный рабочий день, для этого расчета мы будем рассматривать только студентов, занятых неполный рабочий день.

(c) Если студент посещал учебный центр четыре или более раз, какова вероятность, что он или она работает неполный рабочий день?

Как и выше, нам нужно убедиться, что мы знаем, что дано и что мы находим.

• Находка: вероятность, что он или она работает неполный рабочий день
• Предположим или дадим: ученик посетил репетиторский центр четыре или более раз («если ученик посетил репетиторский центр четыре или более раз…»)

В этом вопросе мы рассматриваем только студентов, которые посетили учебный центр четыре или более раз.

Как видите, при использовании таблицы вам просто нужно обратить внимание на то, на какой группе из таблицы следует сосредоточиться.

Примеры использования формулы для определения условной вероятности

В некоторых ситуациях вам потребуется использовать следующую формулу, чтобы найти условную вероятность.

Эта формула действительно может использоваться с табличными данными, хотя ее часто проще применять в задачах, подобных следующему примеру.

Пример

В выборке из 40 автомобилей 18 — красные, 6 — грузовые и 2 — и то, и другое.Предположим, что случайно выбранная машина красного цвета. Какова вероятность, что это грузовик?

Нас просят найти следующую вероятность:

\ (\ text {P (грузовик} | \ text {красный)} \)

Применяя формулу:

\ (\ begin {align} \ text {P (грузовик} | \ text {красный)} & = \ dfrac {\ text {P (грузовик и красный)}} {\ text {P (красный)}} \\ & = \ dfrac {\ tfrac {2} {40}} {\ tfrac {18} {40}} \\ & = \ dfrac {2} {18} \\ & = \ dfrac {1} {9} \ приблизительно \ в штучной упаковке {0.11} \ end {align} \)

Идея формулы очень похожа на мышление, используемое с таблицей.Например, обратите внимание, что то, что мы «знаем», оказывается внизу дроби. Мы также можем применить это к ситуациям, когда нам дают вероятности, а не подсчитывают.

Пример

В настольной игре есть специальная колода карт, некоторые из которых черные, а некоторые золотые. Если карта выбрана случайным образом, вероятность того, что это золото, равна 0,20, а вероятность, что она даст второй ход, равна 0,16. Наконец, вероятность того, что он золотой и даст второй ход, равна 0,08.

Предположим, что карта выбрана случайным образом, и это позволяет игроку второй ход.Какова вероятность того, что это была золотая карта?

На этот раз нам даны следующие вероятности:

• «Вероятность того, что это золото, составляет 0,20» -> P (золото) = 0,2
• «вероятность второго поворота равна 0,16» -> P (второй поворот) = 0,16
• «вероятность того, что это золото и дает второй ход, составляет 0,08» -> P (золото и второй ход) = 0,08

Пытаемся вычислить:

\ (\ text {P (gold} | \ text {вторая очередь)} \)

Мы можем применить формулу, чтобы найти эту вероятность:

\ (\ begin {align} \ text {P (gold} | \ text {второй поворот)} & = \ dfrac {\ text {P (золото и второй поворот)}} {\ text {P (второй поворот)}} \\ & = \ dfrac {0.08} {0,16} \\ & = \ в рамке {0,5} \ end {align} \)

Вы можете увидеть, что это очень хорошо работает, если вы уделите время тому, чтобы записать информацию, указанную в задаче. Фактически, вы действительно могли бы сказать это о любой реальной / словесной задаче в математике!

объявление

Сводка

Условная вероятность отличается от других вероятностей тем, что вы знаете или предполагаете, что какое-то другое событие уже произошло. Следовательно, когда вы рассчитываете вероятность, вы должны «сузить фокус» до известного события.Если вам дана таблица данных, это означает, что нужно сосредоточиться только на интересующей строке или столбце. С формулой это означает, что вероятность известного события будет в знаменателе.

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Обозначение

......

Обозначение	Описание	Место нахождения
\ (P \ vee Q \)	Разъединение предложений	Определение 1.1,2
\ (P \ клин Q \)	Соединение предложений	Определение 1.1.2
\ (\ neg P \)	Отрицание предложения	Определение 1.1.2
\ (P \ подразумевает Q \)	Условное следствие	Определение 1.2.1
\ (P \ iff Q \)	Двуусловная импликация	Определение 1.2.6
\ (\ forall \)	Универсальный квантор	Определение 1.3,1
\ (\ существует \)	Экзистенциальный квантор	Определение 1.3.1
\ (\ существует! \)	Уникальный квантор существования	Определение 1.3.3
\ (\ gcd (a, b) \)	Наибольший общий делитель двух целых чисел	Определение 1.7.2
\ (\ substeq \)	подмножество	Определение 2.1.3
\ (\ mathscr {P} (A) \)	силовой агрегат	Определение 2.в \)	дополнение набора \ (A \)	Определение 2.2.4
\ (\ Displaystyle \ bigcup_ {A \ in \ mathcal {A}} A \)	союз над семьей \ (A \)	Определение 2.3.2
\ (\ Displaystyle \ bigcap_ {A \ in \ mathcal {A}} A \)	пересечение над семейством \ (A \)	Определение 2.3.3
\ (\ mathbb {N} \)	Набор натуральных чисел	Товар
\ (\ mathbb {Z} \)	Набор целых чисел	Товар
\ (\ mathbb {Q} \)	Набор рациональных чисел	Товар
\ (\ overline {\ mathbb {Q}} \)	Набор алгебраических чисел	Товар
\ (\ mathbb {R} \)	Набор действительных чисел	Товар
\ (\ mathbb {C} \)	Набор комплексных чисел	Товар

Блок 1 Раздел 4: Установить обозначение

В этом разделе мы рассмотрим некоторые математические обозначения идей, которые мы узнали о множествах в предыдущем разделе. Практические вопросы Ответьте на каждый из этих вопросов, затем нажмите кнопку с пометкой чтобы увидеть, правы ли вы. & nbsp Упражнения Ответьте на приведенные ниже вопросы и заполните поля. Нажать на кнопку, чтобы узнать, правильно ли вы ответили. Если ты прав затем появится, и вы должны перейти к следующему вопрос. Если появляется, то ваш ответ неверен.Нажмите на, чтобы очистить исходный ответ и попробовать еще раз. Если вы не можете найти правильный ответ, нажмите чтобы увидеть ответ. При заполнении наборов или диаграмм Венна ниже разделяйте числа в каждом разделе запятыми: {} Вопрос 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6, 8} B = {3, 6, 9} Находить: Вопрос 3 Наборы на диаграмме Венна следующие: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} C = {3, 6, 9, 12, 15} Заполните пробелы на диаграмме Венна, а затем проверьте каждый раздел с помощью кнопок ниже: Теперь найдите содержимое этих наборов, используя диаграмму: Вопрос 7 = { a, b, c, d, e, f, g, h } A = { a, c, e } B = { b, d, g, h } C = { a, c, e, f } Скажите, истинно или ложно каждое из следующих утверждений: Вы завершили Часть 1 Раздел 4

7.2: Факториальная нотация и перестановки

При рассмотрении количества возможностей различных событий в разных задачах обычно возникают определенные сценарии. Один из таких сценариев — умножение последовательных целых чисел. Например, учитывая вопрос о том, сколько есть способов усадить определенное количество людей в ряд стульев, очевидно, что не будет повторения людей. Итак, если бы мы хотели узнать, сколько разных способов разместить 5 человек в ряду из пяти стульев, было бы 5 вариантов для первого места, 4 варианта для второго места, 3 варианта для третьего места и т. Д. .
\ [
\ underline {5} * \ underline {4} * \ underline {3} * \ underline {2} * \ underline {1} = 120 \ text {choices}
\]
В этих ситуациях 1 является иногда опускается, потому что это не меняет значения ответа. Этот процесс умножения последовательных убывающих целых чисел называется «факториалом». Обозначение факториала — восклицательный знак. Таким образом, на указанную выше проблему можно ответить: \ (5! = 120. \) По определению, \ (0! = 1. \) Хотя интуитивно это может показаться нелогичным, определение основано на его применении в задачах перестановки.

«Перестановка» использует факториалы для решения ситуаций, в которых не все возможности будут выбраны.

Так, например, если бы мы хотели узнать, сколькими способами можно финишировать за первое, второе и третье места в гонке с 7 участниками, было бы семь вариантов для первого места, затем шесть вариантов для второго места, затем пять вариантов для третье место.
Итак, есть \ (\ underline {7} * \ underline {6} * \ underline {5} = 210 \) возможные способы сделать это.
Стандартное обозначение для этого типа перестановки обычно \ (_ {n} P_ {r} \) или \ (P (n, r) \)
Это обозначение представляет количество способов выделения \ (r \) различных элементы в отдельные позиции из группы \ (n \) возможностей.

В приведенном выше примере выражение \ (\ underline {7} * \ underline {6} * \ underline {5} \) будет представлено как \ (_ {7} P_ {3} \) или
\ [
P (7,3)
\]

Стандартное определение этого обозначения:
\ [
_ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(Nr)!}
\]
Вы можете видеть, что в этом примере нас интересовали в \ (_ {7} P_ {3}, \), который будет рассчитан как:
\ [
_ {7} P_ {3} = \ frac {7!} {(7-3)!} = \ frac {7!} {4!} = \ Frac {7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1} {4 * 3 * 2 * 1}
\]
\ (4 * 3 * 2 * 1 \ ) в числителе и знаменателе компенсируют друг друга, так что остается только выражение, которое мы находим интуитивно:
\ [
_ {7} P_ {3} = 7 * 6 * 5 = 210
\]
. нотация может показаться громоздкой по сравнению с интуитивно понятным решением, она удобна при работе с более сложными задачами, проблемами с большим числом или проблемами с переменными.

Обратите внимание, что в этом примере важен порядок финиша гонки. Это означает, что у одних и тех же трех участников могут быть разные порядки финиша.
1-е место: Алиса 1-е место: Боб 2-е место: Боб \ (\ quad \) 2-е место: Чарли 3-е место: Чарли \ (\ quad \) 3-е место: Алиса
Два перечисленных выше финиша являются разными вариантами и учитываются отдельно в 210 возможностях. Если бы мы были заинтересованы только в выборе 3 человек из группы \ (7, \), то порядок людей не был бы важен — это обычно называется «комбинацией», а не перестановкой и будет обсуждаться в следующий раздел.

Возвращаясь к исходному примеру в этом разделе — сколько разных способов усадить 5 человек в ряд из 5 стульев? Если мы используем стандартное определение перестановок, то это будет \ (_ {5} P_ {5} \)
\ [
_ {5} P_ {5} = \ frac {5!} {(5-5) !} = \ frac {5!} {0!} = \ frac {120} {1} = 120
\]
Вот почему \ (0! \) определяется как 1

УПРАЖНЕНИЯ 7.2
1) \ (\ quad 4 * 5! \)
2) \ (\ quad 3! * 4! \)
3) \ (\ quad 5! * 3! \)
4) \ (\ quad \ frac {8!} {6!} \)
5) \ (\ quad \ frac {10!} {7!} \)
6) \ (\ quad \ frac {9! * 6!} {3 ! * 7!} \)
7) \ (\ quad \ frac {12! * 3!} {8! * 6!} \)
8) \ (\ quad_ {10} P_ {4} \)
9 ) \ (\ quad_ {4} P_ {3} \)
10) \ (\ quad_ {7} P_ {5} \)
11) \ (\ quad_ {9} P_ {2} \)
12) \ (\ quad_ {8} P_ {4} \)
13) \ (\ quad \) так \ (P_ {3} \)
14) \ (\ quad n_ {1} \)
15) \ (\ quad_ {10} P_ {r} \)
16) Перечислите все перестановки букв \ (\ {a, b, c \} \)
17) Перечислите все перестановки букв \ (\ {a, b, c \} \) по два за раз.
18) Сколько существует перестановок группы букв \ (\ {a, b, c, d, e \}? \)
19) Сколько имеется перестановок группы букв \ (\ {a, б, в, г \}? \)

Перечислите эти перестановки.
20) Сколько способов можно выбрать президента, вице-президента и секретаря из группы из 20 студентов?
21) Сколько способов можно выбрать президента, вице-президента, секретаря и казначея из группы из 50 студентов?
22) Какими способами можно расположить 5 мальчиков и 5 девочек в ряду по десять мест:
\ (\ quad \) a) без ограничений?
\ (\ quad \) б) если мальчики и девочки должны меняться местами?
23) Сколько способов можно расположить 5 мальчиков и 4 девочек в ряду по девять мест:
\ (\ quad \) a) без ограничений?
\ (\ quad \) б) если мальчики и девочки должны меняться местами?
24) Сколько мест могут сесть 6 человек, если можно выбрать из 10 стульев?
25) Сколько мест могут сесть 4 человека, если можно выбрать из 9 стульев?
26) Сколько способов можно расположить группу из 8 человек в ряду из 8 мест, если два человека настаивают на том, чтобы сидеть вместе?
27) Сколько способов можно рассадить группу из 10 человек в ряд из 10 мест, если три человека настаивают на том, чтобы сидеть вместе?

% PDF-1.4 % 185 0 объект > эндобдж xref 185 105 0000000016 00000 н. 0000003455 00000 н. 0000003521 00000 н. 0000004003 00000 п. 0000004149 00000 п. 0000004295 00000 н. 0000004440 00000 н. 0000004586 00000 н. 0000005137 00000 н. 0000006367 00000 н. 0000007605 00000 н. 0000008753 00000 н. 0000009958 00000 н. 0000010103 00000 п. 0000010620 00000 п. 0000011624 00000 п. 0000012598 00000 п. 0000012744 00000 п. 0000012889 00000 п. 0000013753 00000 п. 0000015115 00000 п. 0000016136 00000 п. 0000016282 00000 п. 0000016428 00000 п. 0000016574 00000 п. 0000016719 00000 п. 0000017560 00000 п. 0000018019 00000 п. 0000018369 00000 п. 0000019028 00000 п. 0000020103 00000 п. 0000020249 00000 п. 0000020729 00000 п. 0000021790 00000 н. 0000021936 00000 п. 0000022081 00000 п. 0000022226 00000 п. 0000022652 00000 п. 0000023189 00000 п. 0000023947 00000 п. 0000025065 00000 п. 0000026140 00000 п. 0000026357 00000 п. 0000027440 00000 п. 0000027634 00000 п. 0000064024 00000 п. 0000064241 00000 п. 0000065403 00000 п. 0000065597 00000 п. 0000085668 00000 п. 0000085885 00000 п. 0000086584 00000 п. 0000086778 00000 п. 0000095520 00000 п. 0000095730 00000 п. 0000095993 00000 п. 0000096186 00000 п. 0000097805 00000 п. 0000098006 00000 п. 0000098170 00000 п. 0000098364 00000 п. 0000135567 00000 н. 0000141257 00000 н. 0000141473 00000 н. 0000141659 00000 н. 0000141853 00000 н. 0000142070 00000 н. 0000150285 00000 н. 0000150496 00000 н. 0000150783 00000 н. 0000150976 00000 н. 0000152235 00000 н. 0000159616 00000 н. 0000159828 00000 н. 0000160068 00000 н. 0000160261 00000 н. 0000160455 00000 н. 0000207250 00000 н. 0000207467 00000 н. 0000220662 00000 н. 0000220855 00000 н. 0000221074 00000 н. 0000237673 00000 н. 0000237892 00000 н. 0000238545 00000 н. 0000238738 00000 п. 0000239444 00000 н. 0000240223 00000 п. 0000240421 00000 н. 0000240460 00000 н. 0000241921 00000 н. 0000242115 00000 н. 0000254500 00000 н. 0000254712 00000 н. 0000255215 00000 н. 0000255409 00000 н. 0000289352 00000 п. 0000294447 00000 н. 0000294659 00000 н. 0000294818 00000 н. 0000295011 00000 н. 0000295205 00000 н. 0000296662 00000 н. 0000303774 00000 н. 0000002396 00000 н. трейлер ] / Назад 1084015 >> startxref 0 %% EOF 289 0 объект > поток h ޴] PW ݐ 4! 1 QMYI * «H! iXZ + l, (F» _HjJT (m (A98q:> ‘/ 8XK ݽ? 9.

Что означают символы * или ** или *** в статистически значимых отчетах Prism или InStat? — FAQ 978

Начиная с Prism 8, Prism позволяет вам выбирать, какой десятичный формат Prism будет использовать для сообщения значений P (информацию о предыдущих версиях Prism можно найти ниже). Каждый анализ, в котором вычисляются значения P, дает вам четыре варианта выбора:

• Стиль APA (Американской психологической ассоциации), который показывает три цифры, но опускает начальный ноль (.123). Значения P менее 0,001 отображаются как «<0,001». Все значения P менее 0,001 отмечены тремя звездочками, без возможности четырех звездочек.
Стиль
• NEJM (Медицинский журнал Новой Англии), который состоит из трех цифр и включает начальный ноль (0,123). Значения P менее 0,001 отображаются как «<0,001». Все значения P менее 0,001 отмечены тремя звездочками, без возможности четырех звездочек.
• Стиль GraphPad, который отображает четыре цифры после десятичной точки с ведущим нулем (0.1234). Значения P меньше 0,0001 отображаются как «<0,0001». Значения P менее 0,001 суммированы тремя звездочками, а значения P менее 0,0001 суммированы четырьмя звездочками.
• Выберите, сколько цифр вы хотите видеть после десятичной точки, до 15. Значения P меньше 0,001 помечаются тремя звездочками, а значения P меньше 0,0001 обозначаются четырьмя звездочками.

Символ	Значение
нс	P> 0.05
*	P ≤ 0,05
**	P ≤ 0,01
***	P ≤ 0,001
****	P ≤ 0.0001 (только для двух последних вариантов)

Обратите внимание, что первые два варианта (APA и NEJM) показывают не более трех звездочек (***), а последние два варианта показывают четыре звездочки с крошечными значениями P (****).

Анализ множественного t-критерия отличается от всех остальных. В более ранних версиях программного обеспечения (Prism 6) значок «Значительно?» столбец будет отображать одну звездочку, если t-критерий для этой строки статистически значим, учитывая ваш параметр альфа и поправку для множественных сравнений.Prism либо поместит одну звездочку в этот столбец, либо оставит его пустым. Он никогда не помещает более одной звездочки. В этом столбце текущие версии Prism просто пишут «Да» или «Нет» в зависимости от того, был ли тест, соответствующий этой строке, признан статистически значимым или нет.

Обратите внимание на возможное недоразумение. Prism 8.0-8.2 предлагает варианты форматирования значения P следующим образом:

Показанные значения P являются примерами. Он показывает одно значение P, представленное как «.033 », или« 0,033 », или« 0,0332 »в зависимости от сделанного вами выбора (обратите внимание на разницу в количестве цифр и наличии или отсутствии начального нуля). Некоторые люди неправильно поняли это как то, что мы определяем одиночная звездочка означает P <0,0332. Но, конечно, мы используем стандартное определение <0,05. Мы найдем способ сделать этот выбор менее запутанным в будущем выпуске.

Призма 6 использует это соглашение:

Символ	Значение
нс	P> 0.05
*	P ≤ 0,05
**	P ≤ 0,01
***	P ≤ 0,001
****	P ≤ 0,0001 (см. Примечание)

До трех звездочек, это довольно стандартно, но не полностью, поэтому вам следует указать масштаб в пояснениях к рисункам или в разделе методов. Четыре звездочки для крошечных значений P не совсем стандартны.

До Prism 5.04 (Windows) и 5.0d (Mac) Prism никогда не сообщала более трех звездочек. Любое значение P менее 0,001 отмечалось тремя (***) звездочками.

Для Prism 5.04 и 5.0d значения P от 0,0001 до 0,001 показаны тремя звездочками, а значения P меньше 0,0001 показаны четырьмя звездочками (****).

Призма всегда использовала неравенство «меньше или равно». До мая 2012 года на этой странице ошибочно говорилось, что отсечка меньше, чем…

Prism принимает решение о том, отображать ли звездочку (и сколько звездочек отображать), на основе полного значения P, которое она вычисляет с двойной точностью (около 12 знаков точности), а не значения P, которое вы видите на экране. Таким образом, если значение P на самом деле составляет 0,0500001, Prism отобразит «0,0500» и пометит это сравнение как «нс».

Ключевые слова: звездочка звездочки звезды звезды гид Мишлен * или ** или *** звездный отчет

Логика и обозначение множеств

Теория множеств — это раздел математической логики. 2} \) также четное.

Примеры ложных предложений:

• Электрон тяжелее протона;
• \ (1 + 2 \ gt 3; \)
• \ (6 \) — простое число.

Не все предложения являются предложениями:

• \ (x \ gt 5 \) (Это может быть истина или ложь в зависимости от \ (x \))
• Идёт дождь? (Это вопрос, а не декларативный приговор)
• Картины Мондриана слишком абстрактны. (Что абстрактного и слишком абстрактного?)

Для обозначения предложений мы обозначаем их буквами.Наиболее распространенные буквы: \ (p, \) \ (q, \) \ (r, \) \ (s, \) \ (t. \)

Используя логические операторы или связки, мы можем строить сложные предложения.

Логические операторы и таблицы истинности

Пусть \ (p \) и \ (q \) — два предложения. Каждое из этих утверждений может принимать два значения — истина (\ (T \)) и ложь (\ (F \)). Итак, есть \ (4 \) пары входных значений: \ (TT, \) \ (TF, \) \ (FT, \) и \ (FF. \)

Предположим, что новое предложение \ (r \) составлено из \ (p \) и \ (q.4 = 16 \) возможных выходных комбинаций (функций истинности) для \ (2 \) двоичных входных переменных. Каждая из этих комбинаций представлена ​​определенным логическим оператором.

Далее мы рассмотрим наиболее важные операторы.

Отрицание

Отрицание — унарный логический оператор. Если \ (p \) — предложение, то отрицание \ (p \) называется not \ (p \) и обозначается \ (\ lnot p. \)

.

Для представления значения логического выражения удобно использовать таблицу истинности.Каждая строка таблицы содержит одну возможную конфигурацию входных переменных и значений истинности выходных предложений.

В случае оператора отрицания таблица истинности очень проста:

Как видите, оператор логического отрицания меняет значение истинности входного предложения.

Пример 1:

\ (п: \)	Трапеция четырехугольник (истинный)
\ (\ lnot p: \)	Трапеция не четырехугольник (ложный)

Пример 2:

\ (п: \)	\ (2 \) простое число (правда)
\ (\ lnot p: \)	\ (2 \) не является простым числом (ложь)

Рассмотрим теперь несколько бинарных операторов.

Соединение

Если \ (p \) и \ (q \) — два предложения, то их соединение означает \ (p \) и \ (q \) и обозначается \ (p \ land q. \)

Конъюнкция \ (p \ land q \) истинна только тогда, когда оба \ (p \) и \ (q \) истинны. В противном случае это ложь. Таким образом, таблица истинности конъюнкции выглядит следующим образом:

Пример 1:

\ (п: \)	Соединенное Королевство является членом Европейского Союза (неверно)
\ (q: \)	Ирландия является членом Европейского Союза (правда)
\ (п \ земля q: \)	Соединенное Королевство и Ирландия являются членами Европейского Союза (неверно)

Пример 2:

\ (п: \)	\ (3 \) простое (истинное)
\ (q: \)	\ (3 \) нечетно (верно)
\ (п \ земля q: \)	\ (3 \) простое и нечетное (истинное)

Дизъюнкция

Если \ (p \) и \ (q \) — два предложения, то их дизъюнкция означает \ (p \) или \ (q \) и обозначается \ (p \ lor q.\)

Дизъюнкция \ (p \ lor q \) истинна, когда либо \ (p \) истинно, \ (q \) истинно, либо оба истинны. Это неверно, если оба \ (p \) и \ (q \) ложны.

Таблица истинности дизъюнкции:

Пример 1:

\ (п: \)	Протон имеет отрицательный заряд (ложный)
\ (q: \)	Нейтрон имеет отрицательный заряд (ложный)
\ (p \ lor q: \)	Протон или нейтрон имеют отрицательный заряд (ложный)

Пример 2:

\ (п: \)	\ (\ frac {2} {3} \) — рациональное число (верно)
\ (q: \)	\ (\ frac {\ sqrt {2}} {5} \) — рациональное число (ложно)
\ (p \ lor q: \)	Либо \ (\ frac {2} {3} \), либо \ (\ frac {\ sqrt {2}} {5} \), либо оба числа являются рациональными (истинными)

Материал условный

Материальное условие для \ (p \) и \ (q \) означает утверждение, если \ (p \), то \ (q \), и обозначается символом \ (p \ to q.\) Этот логический оператор также называется условным оператором.

Если \ (p \) истинно, то условное выражение \ (p \ to q \) принимает значение истинности \ (q. \). Если \ (p \) ложно, то условное выражение \ (p \ to q \) по умолчанию считается истинным.

Вот таблица истинности условного оператора:

Условное выражение \ (p \ to q \) может быть выражено разными предложениями, некоторые из них перечислены ниже:

• \ (p \) подразумевает \ (q \)
• \ (p \) является достаточным условием для \ (q \)
• \ (q \) — необходимое условие для \ (p \)
• \ (q \) следует из \ (p \)
• \ (p \), только если \ (q \)

Пример:

\ (п: \)	\ (x \) делится на \ (2 \) и \ (3 \)
\ (q: \)	\ (x \) делится на \ (6 \)
\ (от p \ к q: \)	Если \ (x \) делится на \ (2 \) и \ (3, \), то \ (x \) делится на \ (6.\)
\ (х = 12: \)	\ (p \) верно, \ (q \) верно и \ (p \ to q \) верно.
\ (х = 13: \)	\ (p \) ложно, \ (q \) ложно, а \ (p \ to q \) верно.

Специальные условные предложения

• Обратным к \ (p \ к q \) является утверждение \ (q \ to p \)
• Противоположностью \ (p \ to q \) является предложение \ (\ neg q \ to \ neg p \)
• Обратным к \ (p \ to q \) является предложение \ (\ neg p \ to \ neg q \)

Если утверждение \ (p \ to q \) верно, то верно и обратное.Если верно обратное, то верно и обратное.

Специальные условные операторы определяются следующей таблицей истинности:

Пример:

Утверждение \ (p \)

Четырехугольник — это прямоугольник (ложь)

Утверждение \ (q \)

Сумма внутренних углов четырехугольника равна \ (360 \) градусов (правда).

Условное выражение \ (p \ to q \)

Если четырехугольник является прямоугольником, то сумма его внутренних углов равна \ (360 \) градусам (истинно).

Преобразование \ (p \ to q: \) \ (q \ to p \)

Если сумма внутренних углов четырехугольника равна \ (360 \) градусов, то это прямоугольник ( ложный).

Обратно \ (p \ to q: \) \ (\ neg p \ to \ neg q \)

Если четырехугольник не является прямоугольником, то сумма его внутренних углов не равна \ (360 \) градусов (ложь).

Противоположность \ (p \ to q: \) \ (\ neg q \ to \ neg p \)

Если сумма внутренних углов четырехугольника не равна \ (360 \) градусам, то это не прямоугольник (правда).

Материал Двусторонний

Материальное биконусное или логическое биконусное выражение \ (p \) и \ (q \) означает утверждение \ (p \) тогда и только тогда, когда \ (q \) и обозначается \ (p \ leftrightarrow q. \)

Двухусловный оператор имеет то же значение истинности, что и составной логический оператор \ (\ left ({p \ to q} \ right) \ land \ left ({q \ to p} \ right), \), что означает \ (p \) влечет \ (q \), а \ (q \) влечет \ (p. \)

Таблица истинности для двусмысленного утверждения имеет вид

Пример 1:

\ (п: \)	Три вектора компланарны (истинно)
\ (q: \)	Скалярное тройное произведение трех векторов равно нулю (истина)
\ (p \ leftrightarrow q: \)	Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их тройное скалярное произведение равно нулю (истина)

Пример 2:

\ (п: \)	Теннисный матч будет проводиться на открытом воздухе (ложь)
\ (q: \)	Идёт дождь (правда)
\ (p \ leftrightarrow q: \)	Теннисный матч будет проводиться на открытом воздухе, если и только если идет дождь (неверно)

Логическая эквивалентность

Утверждения \ (p \) и \ (q \) называются логически эквивалентными, если они имеют одинаковые таблицы истинности.Логическая эквивалентность \ (p \) и \ (q \) обозначается как \ (p \ Equiv q, \) или иногда как \ (\ Leftrightarrow \) в зависимости от используемых обозначений.

Предикаты и квантификаторы

До сих пор мы рассматривали предложения, которые определяются как утверждения, которые могут быть как истинными, так и ложными.

Чтобы расширить простую логику высказываний, мы вводим понятие предиката.

Предикат — это логический оператор, содержащий одну или несколько переменных или параметров.Предикаты обозначаются заглавной буквой, а переменные указываются в качестве аргументов, например \ (P \ left (x \ right) \) или \ (Q \ left ({x, y} \ right). \) Значение истинности предикат зависит от значений его переменных.

Пример 1:

Предикат \ (P \ left (x \ right) \)
\ (P \ left (x \ right): \) \ (x \) — это планета
\ (x \ ) = Венера	Истинное предложение
\ (P \ left (\ text {Venus} \ right): \) Венера — планета
\ (x \) = Antares	Ложное утверждение
\ (P \ left (\ text {Antares} \ right): \) Антарес — это планета

Пример 2:

Предикат \ (Q \ left ({x, y} \ right) \)
\ (Q \ left ({x, y} \ right): {x ^ 2} + {y ^ 2 } \ le 4 \)
\ (x = 1, y = -1 \)	Истинное утверждение
\ (Q \ left ({1, -1} \ right): {1 ^ 2 } + {\ left ({- 1} \ right) ^ 2} \ le 4 \)
\ (x = 1, y = 2 \)	Ложное утверждение
\ (Q \ left ( {1,2} \ right): {1 ^ 2} + {2 ^ 2} \ le 4 \)

Подобно суждениям, предикат принимает два значения — истина или ложь.Следовательно, к ним применимы все операции логической алгебры. Используя операторы \ (\ neg, \ land, \ lor, \ rightarrow, \) и \ (\ leftrightarrow, \), мы можем формировать более сложные предикаты.

Существует также дополнительная операция, определенная для предикатов и называемая квантификацией. Количественная оценка позволяет нам указать степень достоверности предиката, то есть диапазон значений переменных, для которых этот предикат должен выполняться.

В логике предикатов есть два типа кванторов — универсальный квантор и квантор существования.

Универсальный квантификатор

Универсальный квантификатор используется для выражения предложений такими словами, как все или каждый. Он обозначается символом \ (\ forall. \). Обозначение \ (\ forall x P \ left ({x} \ right) \) означает «для каждого значения \ (x \) в определенной области предикат \ (P \ left ({x} \ right) \) верно «. Область называется универсумом дискурса или областью дискурса.

Квантификатор существования

Квантор существования используется для выражения предложений такими словами, как some или there is a.Он обозначается символом \ (\ существует. \) Обозначение \ (\ exists x P \ left ({x} \ right) \) означает, что «существует некоторое значение \ (x \) такое, что \ (P \ left ({x} \ right) \) верно «.

Предикаты, логические операторы и кванторы — это мощный набор инструментов для описания математических объектов и моделирования реального мира.

Обозначение конструктора множеств

Нотация построителя множеств используется для определения набора объектов с помощью предиката. Обычная нотация включает части \ (3 \): переменную \ (x, \), разделитель двоеточия или вертикальной черты и логический предикат \ (P \ left ({x} \ right): \)

\ [S = \ left \ {{x | P \ left (x \ right)} \ right \}, \]

где \ (S \) обозначает множество объектов.

Единственная переменная \ (x \) может быть заменена термином, который может включать одну или несколько переменных в сочетании с функциями, действующими на них. Предикат \ ({P \ left (x \ right)} \) может быть представлен сложной логической формулой.

Некоторые другие определения и обозначения

\ (\ {\; \} \)	— это набор
\ (х \ дюйм S \)	\ (x \) является элементом или членом \ (S \)
\ (x \ notin S \)	\ (x \) не является элементом \ (S \)
\ (S \ Subteq T \)	\ (S \) является подмножеством \ (T \)
\ (S = T \)	эквивалентно \ (\ left ({S \ substeq T} \ right) \ land \ left ({T \ substeq S} \ right) \)
\ (S \ подмножество T \)	\ (S \) является собственным подмножеством \ (T.\) Это означает \ (\ left ({S \ substeq T} \ right) \ land \ left ({T \ ne S} \ right) \)
\ (\ varnothing \)	пустой набор

См. Решенные проблемы на странице 2.

.