Найти координаты векторного произведения векторов онлайн калькулятор: Онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов. — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Векторы представляют собой особый раздел аналитической геометрии, который в том числе оказал значительное влияние на развитие физики. Сам по себе вектор выглядит как отрезок, который имеет начало и имеет конец, определен заданной конечными точками длиной этого отрезка. Но внутри вектора кроется множество других скрытых функций, за счет того что вектор задает направление. Поэтому если для отрезка не имеет значения какая точка названа началом, а какая концом, и чаще просто применяется принцип чтения «слева направо», то для векторов AB и BA – это диаметрально противоположные понятия.

Итак, в векторе присутствует две важных составляющих – это его длина и направление. Тем не менее, координатами вектора задается не его фактическая длина, а местоположение на плоскости или в пространстве. Поэтому длина вектора, иначе называемая модуль вектора, вычисляется, используя прямоугольный треугольник с осями координат. Дальнейшие действия с вектором также чаще используют именно его координаты, нежели фактическую длину. Работе с векторами можно провести аналогию с целыми числами, — как только появляются отрицательные числа на числовой оси, приходится не только считать значение примера, но и все время обращать внимание на знаки. Так и с векторами, во всех действиях – будь то сложение, вычитание, умножение скалярное или векторное и другие действия, приходится не только учитывать реальные масштабы вектора – координаты, длина или угол, но и принимать в расчет его направление. К слову, направления векторов также находят отражение в знаках – обратный изначальному вектор всегда будет со знаком «минус».

В данном разделе разложены все основные действия с векторами, такие как нахождение длины вектора, координат вектора, сложение векторов, вычитание векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение трех векторов, вычисление угла между векторами и другие. Все расчет можно произвести для векторов на плоскости или для векторов в пространстве. Также доступен векторный калькулятор, который вычисляет все возможные параметры одного и более векторов, с заданными координатами точек вектора.

Онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc .

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Вытекает из геометрического смысла.
(a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
Вытекает из определения смешанного произведения.
(ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.

Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора

a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

([ab ],c )=([bc ],a )

(3)

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab

] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

(7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Векторное произведение векторов, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Определение

Векторным произведением ненулевых векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называется вектор $\overline{c}$, обозначаемый символом $[\overline{a}, \overline{b}]$ или $\overline{a} \times \overline{b}$, длина которого $|\bar{c}|=|\bar{a}||\bar{b}| \sin (\bar{a}, \bar{b})$ (рис. 1).

Свойства векторного произведения:

1 $[\overline{a}, \overline{b}]=\overline{0}$, тогда и только тогда, когда $\overline{a} \| \overline{b}$

2 $[\overline{a}, \overline{b}]=-[\overline{b}, \overline{a}]$

3 Модуль векторного произведения $|[\overline{a}, \overline{b}]|$ равен площади параллелограмма, построенного на заданных векторах $\overline{a}$ и $\overline{b}$ (рис. 2), т.е.

$[\lambda \overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \lambda \overline{b}]=\lambda[\overline{a}, \overline{b}]$

$\left[\overline{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}\right]=\left[\overline{a}_{1}, \overline{b}\right]+\left[\overline{a}_{2}, \overline{b}\right] ;\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}\right]=\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}\right]+\left[\overline{a}, \overline{b}_{2}\right]$

4 $[\lambda \overline{a}, \overline{b}]=[\overline{a}, \lambda \overline{b}]=\lambda[\overline{a}, \overline{b}]$

5 $\left[\overline{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}\right]=\left[\overline{a}_{1}, \overline{b}\right]+\left[\overline{a}_{2}, \overline{b}\right] ;\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}\right]=\left[\overline{a}, \overline{b}_{1}\right]+\left[\overline{a}, \overline{b}_{2}\right]$

Если векторы заданы своими координатами $\overline{a}=\left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}\right)$, $\overline{b}=\left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}\right)$, то векторное произведение находится по формуле:

$[\overline{a}, \overline{b}]=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{3}} \\ {b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}}\end{array}\right|$

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов $\overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и $\overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

$\overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|=$

$=\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)=$

$=13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$

Читать дальше: смешанное произведение векторов.

Слишком сложно?

Векторное произведение векторов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Калькулятор площадь треугольника по векторам. Векторное произведение векторов

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

Векторное произведение коллинеарных векторов

Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

Ответ :

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Пример 5

Найти , если

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

Примечание : чертёж является схематическим.

В этой статье мы подробно остановимся на понятии векторного произведения двух векторов. Мы дадим необходимые определения, запишем формулу для нахождения координат векторного произведения, перечислим и обоснуем его свойства. После этого остановимся на геометрическом смысле векторного произведения двух векторов и рассмотрим решения различных характерных примеров.

Навигация по странице.

Определение векторного произведения.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов в трехмерном пространстве.

Отложим векторы от одной точки. В зависимости от направления вектора тройка может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора на то, как происходит кратчайший поворот от вектора к . Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой , в противном случае – левой .

Теперь возьмем два не коллинеарных вектора и . Отложим от точки А векторы и . Построим некоторый вектор , перпендикулярный одновременно и и . Очевидно, что при построении вектора мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

В зависимости от направления вектора упорядоченная тройка векторов может быть правой или левой.

Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение.

Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что

Векторное произведение векторов и обозначается как .

Координаты векторного произведения.

Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и.

Определение.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов и есть вектор , где — координатные векторы.

Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах (при необходимости обращайтесь к статье ):

Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете посмотреть в книге, указанной в конце статьи.

Свойства векторного произведения.

Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы , то на основании легко обосновываются следующие свойства векторного произведения :

Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению и . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения.

В основном встречаются три типа задач.

В задачах первого типа заданы длины двух векторов и угол между ними, а требуется найти длину векторного произведения. В этом случае используется формула .

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов и , если известно .

Решение.

Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов и равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, поэтому, .

Ответ:

Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты заданных векторов и .

Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов и , а их разложения по координатным векторам вида и , или векторы и могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим характерные примеры.

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора . Найдите их векторное произведение.

Решение.

По второму определению векторное произведение двух векторов в координатах записывается как:

К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель

Ответ:

Пример.

Найдите длину векторного произведения векторов и , где — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение.

Сначала найдем координаты векторного произведения в заданной прямоугольной системе координат.

Так как векторы и имеют координаты и соответственно (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат), то по второму определению векторного произведения имеем

То есть, векторное произведение имеет координаты в заданной системе координат.

Длину векторного произведения находим как корень квадратный из суммы квадратов его координат (эту формулу длины вектора мы получили в разделе нахождение длины вектора):

Ответ:

Пример.

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный и одновременно.

Решение.

Векторы и имеют координаты и соответственно (смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Если найти векторное произведение векторов и , то оно по определению является вектором, перпендикулярным и к и к , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его

Ответ:

— один из перпендикулярных векторов.

В задачах третьего типа проверяется навык использования свойств векторного произведения векторов. После применения свойств, применяются соответствующие формулы.

Пример.

Векторы и перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения .

Решение.

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать

В силу сочетательного свойства вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении:

Векторные произведения и равны нулю, так как и , тогда .

Так как векторное произведение антикоммутативно, то .

Итак, с помощью свойств векторного произведения мы пришли к равенству .

По условию векторы и перпендикулярны, то есть угол между ними равен . То есть, у нас есть все данные для нахождения требуемой длины

Ответ:

Геометрический смысл векторного произведения.

По определению длина векторного произведения векторов равна . А из курса геометрии средней школы нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма со сторонами и и углом между ними, равным . В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Контрольная работа №1

Векторы. Элементы высшей алгебры

1-20. Известны длины векторов и и; – угол между этими векторами.

Вычислить: 1) и, 2) .3) Найти площадь треугольника, построенного на векторах и.

Сделать чертеж.

Решение. Используя определение скалярного произведения векторов:

И свойства скалярного произведения: ,

1) находим скалярный квадрат вектора:

то есть, Тогда .

Рассуждая аналогично, получаем

то есть, Тогда .

По определению векторного произведения: ,

с учетом того, что

Площадь треугольника построенного на векторах и равна

21-40. Известны координаты трех вершин A, B, D параллелограмма ABCD . Средствами векторной алгебры требуется:

A (3;0;-7), B (2;4;6), D (-7;-5;1)

Решение.

Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Поэтому координаты точки E — пересечения диагоналей — найдем как координаты середины отрезка BD . Обозначая их через x E ,y E , z E получим, что

Получаем .

Зная координаты точки E — середины диагонали BD и координаты одного из его концов A (3;0;-7), по формулам определяем искомые координаты вершины С параллелограмма:

Итак, вершина .

2) Чтобы найти проекцию вектора на вектор , найдем координаты этих векторов: ,

аналогично . Проекцию вектора на вектор , находим по формуле:

3) Угол между диагоналями параллелограмма находим как угол между векторами

И по свойству скалярного произведения:

тогда

4) Площадь параллелограмма находим как модуль векторного произведения:

5) Объем пирамиды находим как одну шестую модуля смешанного произведения векторов , где О(0;0;0), тогда

Тогда искомый объем (куб.ед.)

41-60. Даны матрицы:

В ·С -1 +3A T

Обозначения:

Сначала находим обратную матрицу к матрице С.

Для этого находим ее определитель:

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу С -1

Найдем алгебраические дополнения по формуле , где — минор элемента :

Тогда , .

61–80. Решите систему линейных уравнений:

Методом Крамера; 2. Матричным методом.

Решение.

а) метод Крамера

Найдем определитель системы

Так как , то система имеет единственное решение.

Найдем определители и , заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов.

По формулам Крамера:

б) матричный метод (с помощью обратной матрицы).

Данную систему запишем в матричной форме и решим с помощью обратной матрицы.

Пусть А – матрица коэффициентов при неизвестных; X – матрица-столбец неизвестных x , y , z и Н – матрица-столбец из свободных членов:

Левую часть системы (1) можно записать в виде произведения матриц , а правую в виде матрицы Н . Следовательно имеем матричное уравнение

Так как определитель матрицы А отличен от нуля (пункт «а»), то матрица А имеет обратную матрицу . Умножим обе части равенства (2) слева на матрицу , получим

Так как , где Е – единичная матрица, а , то

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда обратную матрицу находим по формуле:

где A ij — алгебраическое дополнение элемента a ij в определителе матрицы А , которое является произведением (-1) i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А:

Отсюда получаем обратную матрицу:

Столбец X: X=A -1 H

81–100. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение. Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Выполняем элементарные преобразования со строками.

Из 2-ой строки вычитаем первую строку, умноженную на 2. Из строки 3 вычитаем первую строку, умноженную на 4. Из строки 4 вычитаем первую строку, получаем матрицу:

Далее получаем нуль в первом столбце последующих строк, для этого из второй строки вычитаем третью строку. Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на 2. Из четвертой строки вычитаем вторую строку, умноженную на 3. В результате получаем матрицу вида:

Из четвертой строки вычитаем третью.

Поменяем местами предпоследнюю и последнюю строки:

Последняя матрица равносильна системе уравнений:

Из последнего уравнения системы находим .

Подставляя в предпоследнее уравнение, получаем .

Из второго уравнения системы следует, что

Из первого уравнения находим х:

Ответ:

Контрольная работа №2

Аналитическая геометрия

1-20. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1) длину стороны A В ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;

4) уравнение высоты CD и её длину;

5) уравнение медианы АЕ

высотой CD ;

К параллельно стороне АВ,

7) сделать чертёж.

А(3;6), В(15;-3), С(13;11)

Решение.

Применяя (1), находим длину стороны АВ :

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты:

Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид

Подставляя в (2) координаты точек А и В , получим уравнение стороны АВ :

(АВ ).

(BC ).

3) угол В в радианах с точностью до двух знаков.

Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты, которых соответственно равны и вычисляется по формуле

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС , угловые коэффициенты которых найдены: ; . Применяя (3), получим

; , или

4) уравнение высоты CD и её длина.

Расстояние от точки С до прямой АВ:

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с

высотой CD .

середина стороны ВС:

Тогда уравнение АЕ:

Решаем систему уравнений:

6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ :

Так как искомая прямая параллельна стороне АВ , то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ . Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент , получим

; (KF ).

Площадь параллелограмма равна 12 кв. ед., две его вершины – точкиА(-1;3) и В(-2;4). Найти две другие вершины этого параллелограмма, если известно, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс. Сделать чертёж.

Решение. Пусть точка пересечения диагоналей имеет координаты .

Тогда очевидно, что и

следовательно, координаты векторов .

Площадь параллелограмма находим по формуле

Тогда координаты двух других вершин .

В задачах 51-60 даны координаты точек А и В . Требуется:

Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точкиА и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс;

Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы;

Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы;

Построить гиперболу, её асимптоты и окружность.

А(6;-2), В(-8;12).

Решение. Уравнение искомой гиперболы в каноническом виде записывается

где a — действительная полуось гиперболы, b — мнимая полуось. Подставляя координаты точек А и В в это уравнение найдем эти полуоси:

– уравнение гиперболы: .

Полуоси а=4,

фокусное расстояние Фокусы (-8,0) и (8,0)

Эксцентриситет

Асиптоты:

Если окружность проходит через начало координат, ее уравнение

Подставляя один из фокусов, находим и уравнение окружности

Находим точки пересечения гиперболы и окружности:

Строим чертеж:

В задачах 61-80 построить график функции в полярной системе координат по точкам, придавая  значения через промежуток /8 (0   2). Найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью, а полюс – с началом координат).

Решение. Построим линию по точкам, предварительно заполнив таблицу значений и φ.

Номер	φ ,	φ, градусы	Номер	φ , рад	градусы







						3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 — 3 делаем вывод, что данное уравнение определяет эллипс: Даны точки А, В, С, D. Требуется найти: 1. Уравнение плоскости(Q ), проходящей через точкиА, В, С D в плоскости (Q) ; 2. Уравнение прямой (I), проходящей через точкиВ и D; 3. Угол между плоскостью (Q) и прямой (I) ; 4. Уравнение плоскости (Р), проходящей через точкуА перпендикулярно прямой (I) ; 5. Угол между плоскостями (Р) и (Q ) ; 6. Уравнение прямой (т), проходящей через точку А в направлении ее радиус-вектора; 7. Угол между прямыми (I) и (т). А(9;-8;1), В(-9;4;5), С(9;-5;5), D (6;4;0) 1. Уравнение плоскости(Q ), проходящей через точки А, В, С и проверить, лежит ли точка D в плоскости определяется по формуле Найти : 1) . 2) Площадь параллелограмма, построенного на и. 3) Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и. Контрольная работа по теме «Элементы теории линейных пространств… Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для бакалавриата заочной формы обучения по квалификации 080100. 62 по направлению Методические рекомендации Параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на векторах , и. Решение: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4.ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Раздел I. Линейная алгебра . 1 – 10. Дана…

Скалярное произведение векторов определение, основные свойства, формулы и условия вычисления, примеры задач с решениями, онлайн-калькулятор

В старших классах на уроках алгебры, геометрии и физики ученики решают задачи с числами-скалярами. Для нахождения результата используется формула скалярного произведения векторов: (а, а) > 0, для всех а≠0. Полученное значение не зависит от системы координат. Оно характеризует длину сомножителей и угол, образованный между ними. Подобной операции соответствует линейность.

Трактовка понятий

Под скалярным произведением (СП) в пространстве над полем вещественных чисел подразумевается функция (x, y) для соответствующих элементов, принадлежащих указанному координатному пространству. Из определения вытекает линейность СП по первичному аргументу.

Для косинуса и синуса справедливо смешанное сопряжение. СП принимает положительную определённость, если соблюдается условие, что x=0. Для вычислений показателя в алгебре используется следующая форма: а = [a1, a2, …, an] и b = [b1, b2, …, bn].

Пример: нужно найти в трёхмерном пространстве произведение двух скаляров [1, 3, −5] и [4, −2, −1]. Решение: необходимо перемножить градиенты (вектора). [1, 3, −5] х [4, −2, −1] = 1 х 4 + 3 х (-2) + (-5) х (-1) = 3.

Геометрическое определение отличается от физического и алгебраического. Чтобы вычислить СП, используя длину и угол между градиентами, которые введены независимым способом, используется следующее выражение: (а, b) = lal x lbl x cos (a, b). Базисом аксиоматики считается скалярное произведение. После его нахождения определяется длина основного вектора и угла.

В современных теоремах понятие СП находится в основе некоторых производных, включая евклидову норму. Термин «длина» используется по отношению к конечномерным векторам. Если имеет смысл криволинейный путь, тогда применяются векторы ненулевой длины. Чаще они находятся в бесконечномерном пространстве.

Угол между такими величинами отличен от нуля. Его значением является число, косинус которого — отношение их СП к произведению их длин. Если пространство псевдоевклидовое (конечномерное, для которого характерна невырожденная индефинитная метрика), понятие «угол» применяется относительно скаляров без изотропных прямых.

Сам угол является числом. Чтобы дать ему значение, вычисляется гиперболический косинус: отношение модуля СП к произведению длин векторов. При перпендикулярности либо ортогональности на плоскости СП равняется нулю. Это свойство скалярного произведения векторов характерно для любого промежутка с положительно определённым СП.

При соблюдении такого условия пространство называется вещественным либо комплексным. Конечномерный вещественный промежуток с положительным СП называется евклидовым, а комплексный — унитарным (эрмитовым).

Если скалярное произведение отрицательное либо не считается знакоопределённым, промежуток называется индефинитной метрикой. Примером такого промежутка является пространство Минковского. СП на таких участках не порождает нормы. Из бесконечномерных выделяются пространства:

Крейна.
Понтрягина.

Описание свойств

С помощью специальных математических онлайн сервисов или калькулятора легко находится значение СП через теорему косинусов: a = arccos (a, b)/√(а, а)(b, b). Знак зависит от косинуса угла. В норме значения векторов только положительные. СП больше нуля, если угол острый, и меньше, когда он тупой.

Главные свойства умножения скаляров:

Если умножить СП само на себя, получится значение, равное либо большее нуля.

СП, умноженное само на себя, равно нулю, если скаляр равен нулевому вектору.

СП скаляра самого на себя равняется квадрату его модуля.

Для скалярного умножения характерна коммуникативность.

Если СП двух отличных от нуля векторов равно 0, тогда множители считаются ортогональными.

Для операции скалярного умножения характерна дистрибутивность (согласованные бинарные операции, определённые на одном множестве).

Задача 1: вычислить СП векторов а = {1;2} и b = {4;8}. Решение: а х b = 1 х 4 + 2 х 8 = 20.

Задача 2: найти СП скаляров а и b, если из длины равны 3 и 6, а угол — 60 градусов. Решение: а х b = lal x lbl cos α = 3 х 6 х cos60 = 9. Для лучшего усвоения материала два вектора перемножается с помощью матрицы. Чтобы различать множители, первый оформляется в строку, а второй — в столбец. Если в условиях задачи указываются три величины, тогда последняя оформляется в скобки в форме квадратов. Их скалярное произведение вычисляется путём умножения матриц. Результат — единственное число.

Задача 3: нужно найти СП пар векторов: а = (1; 5; 1), b = (1; -5; 2) и с = (2; 1; 3/2), d = (0; 0; 1). Решение: вычисления проводятся с помощью матричного представления. Первый вектор записывается в строку, а второй — в столбец. Чтобы найти скалярное произведение векторов, потребуется умножить матрицу-строку на матрицу-столбец. Если вектор а умножить на вектор b, получится -22. Аналогично находится значение второй пары. Результат равен 3/2. Простым обобщением конечномерного СП в тензорной (линейной) алгебре считается свёртка с повторяющимся индексом.

Применение в физике

Впервые скалярное произведение ввёл У. Гамильтон в 1846 году. Одновременно учёные начали использовать в своих работах векторное произведение, сумму скаляров. Понятие получило широкое применение и в физике. На его основе сформулированы главные законы электродинамики и механики.

Скаляр является физической величиной. Чтобы его задать, используется одно число. Примеры скаляров в физике:

масса тела, равная 4 кг;
температура воздуха на уровне +10 градусов.

В каждом предложенном варианте величина задаётся с помощью одного числа, поэтому масса тела и температура относятся к скалярам. Но это понятие в физике не считается простым числом. Для него характерна размерность.

Если в условиях задачи известно, что масса тела равна 3, необходимо указывать единицу измерения (килограммы, граммы). В математике можно сложить числа 3 и 10, а в физике суммируются только скаляры с одинаковой размерностью: массы с массой, градусы с градусами.

Если рассматривать векторную физическую величину, она характеризуется следующим образом:

Неотрицательность.

Направленность в пространстве.

Понятие скаляр — модуль вектора либо абсолютная величина. Если предположить, что транспортное средство двигается со скоростью 60 км/ч, такая информация считается неполной. В физике важно знать направление движения. Кроме модуля скорости как абсолютной величины, потребуется знать направление в пространстве, поэтому скорость считается векторной величиной.

Если на земле лежит кирпич массой в 1 кг и на него действует сила в 100 Н (модуль), потребуется найти направление движения объекта. Невозможно выяснить параметр, если нет информации о направлении действия силы. Если она идёт вверх, тогда и кирпич будет двигаться в аналогичном направлении.

Если сила идёт вдоль горизонта, тогда объект поедет горизонтально. При вертикальном воздействии силы вниз кирпич останется на прежнем месте. Он будет вжиматься в землю. Подобные явления указывают на то, что сила является вектором, поэтому для неё характерна размерность, модуль.

Для обозначения вектора в физике используются латинские буквы и стрелка:

вектор скорости: →v;
вектор силы: →F.

Стрелка является направленным отрезком. Её начальная точка — начало вектора, а конечная или остриё — конец вектора. В математике величина с начальной точкой А и концом В обозначается →АВ. Если начало и конец направленного отрезка совпадают, тогда получается нулевой вектор. Он обозначается →0.

Такой отрезок считается точкой. У него нет конкретного направления, а длина равняется нулю. К безразмерным скалярам относятся коэффициенты трения и полезного действия, показатель преломления света.

АлгебраКоординаты вектора как найти длину отрезка по двум точкам, правило и формула нахождения в пространстве, свойства, задачи с решением, онлайн-калькулятор

АлгебраДифференциальные уравнения определение, типы ДУ, теория, как решать ДУ первого и второго порядка, методы и примеры подробных решений, онлайн-калькулятор

Найти векторное произведение. Векторное произведение двух векторов. Он-лайн калькулятор. Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов

Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a → , b → , c → в трехмерном пространстве.

Отложим для начала векторы a → , b → , c → от одной точки. Ориентация тройки a → , b → , c → бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c → . От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a → к b → с конца вектора c → , будет определен вид тройки a → , b → , c → .

Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a → , b → , c → называется правой , если по часовой стрелке – левой .

Далее возьмем два не коллинеарных вектора a → и b → . Отложим затем от точки A векторы A B → = a → и A C → = b → . Построим вектор A D → = c → , который одновременно перпендикулярный одновременно и A B → и A C → . Таким образом, при построении самого вектора A D → = c → мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

Упорядоченная тройка векторов a → , b → , c → может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение 1

Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

если векторы a → и b → коллинеарны, он будет нулевым;
он будет перпендикулярен и вектору a → и вектору b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
его длина определяется по формуле: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
тройка векторов a → , b → , c → имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a → и b → имеет следущее обозначение: a → × b → .

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Определение 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) называют вектор c → = a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x — a x · b z) · j → + (a x · b y — a y · b x) · k → , где i → , j → , k → являются координатными векторами.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i → , j → , k → , вторая строка содержит координаты вектора a → , а третья – координаты вектора b → в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x — a x · b z) · j → + (a x · b y — a y · b x) · k →

Свойства векторного произведения

Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:

антикоммутативность a → × b → = — b → × a → ;
дистрибутивность a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
ассоциативность λ · a → × b → = λ · a → × b → или a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , где λ — произвольное действительное число.

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Доказательство антикоммутативности

По определению a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = — i → j → k → b x b y b z a x a y a z = — b → × a → , что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулой c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Пример 1

Найдите длину векторного произведения векторов a → и b → , если известно a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

Решение

С помощью определения длины векторного произведения векторов a → и b → решим данную задач: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Ответ: 15 2 2 .

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) .

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов a → и b → , а их разложения по координатным векторам вида b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x — a x · b z) · j → + (a x · b y — a y · b x) · k → , или векторы a → и b → могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 2

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a → = (2 ; 1 ; — 3) , b → = (0 ; — 1 ; 1) . Найдите их векторное произведение.

Решение

По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах: a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x — a x · b z) · j → + (a x · b y — a y · b x) · k → = = (1 · 1 — (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 — 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) — 1 · 0) · k → = = — 2 i → — 2 j → — 2 k → .

Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 — 3 0 — 1 1 = — 2 i → — 2 j → — 2 k → .

Ответ: a → × b → = — 2 i → — 2 j → — 2 k → .

Пример 3

Найдите длину векторного произведения векторов i → — j → и i → + j → + k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение

Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i → — j → × i → + j → + k → в данной прямоугольной системе координат.

Известно, что векторы i → — j → и i → + j → + k → имеют координаты (1 ; — 1 ; 0) и (1 ; 1 ; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i → — j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 — 1 0 1 1 1 = — i → — j → + 2 k → .

Следовательно, векторное произведение i → — j → × i → + j → + k → имеет координаты (- 1 ; — 1 ; 2) в заданной системе координат.

Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i → — j → × i → + j → + k → = — 1 2 + — 1 2 + 2 2 = 6 .

Ответ: i → — j → × i → + j → + k → = 6 . .

Пример 4

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный A B → и A C → одновременно.

Решение

Векторы A B → и A C → имеют следующие координаты (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов A B → и A C → , очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к A B → и к A C → , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его A B → × A C → = i → j → k → — 1 2 2 0 4 1 = — 6 i → + j → — 4 k → .

Ответ: — 6 i → + j → — 4 k → . — один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Пример 5

Векторы a → и b → перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = 3 · a → × a → — 2 · b → + — b → × a → — 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × — 2 · b → + — b → × a → + — b → × — 2 · b → .

Решение

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = 3 · a → × a → — 2 · b → + — b → × a → — 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × — 2 · b → + — b → × a → + — b → × — 2 · b →

По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3 · a → × a → + 3 · a → × — 2 · b → + — b → × a → + — b → × — 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → — 6 · a → × b → — b → × a → + 2 · b → × b →

Векторные произведения a → × a → и b → × b → равны 0, так как a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 , тогда 3 · a → × a → — 6 · a → × b → — b → × a → + 2 · b → × b → = — 6 · a → × b → — b → × a → . .

Из антикоммутативности векторного произведения следует — 6 · a → × b → — b → × a → = — 6 · a → × b → — (- 1) · a → × b → = — 5 · a → × b → . .

Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = = — 5 · a → × b → .

По условию векторы a → и b → перпендикулярны, то есть угол между ними равен π 2 . Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = — 5 · a → × b → = = 5 · a → × b → = 5 · a → · b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Ответ: 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = 60 .

Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма — удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов a → и b → , отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin ∠ a → , b → .

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Определение 3

Под моментом силы F → , приложенной к точке B , относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение A B → × F → .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Очевидно, что в случае векторного произведения, имеет значение порядок, в котором берутся вектора, более того,

Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множителя k (числа) верно следующее:

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору. Более того, векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны. (В случае, если один из них нулевой вектор необходимо вспомнить, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору по определению).

Векторное произведение обладает распределительным свойством , то есть

Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Пусть даны два вектора

(как найти координаты вектора по координатам его начала и конца — см. статью Скалярное произведение векторов , пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Зачем нужно векторное произведение?

Существует множество способов применения векторного произведения, например, как уже написано выше, вычислив векторное произведение двух векторов можно выяснить, коллинеарны ли они.

Или же его можно использовать как способ вычисления площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Исходя из определения, длина результирующего вектора и есть площадь данного параллелограмма.

Также огромное количество применений существует в электричестве и магнетизме.

Он-лайн калькулятор векторного произведения.

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго. Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см. статью Скалярное произведение векторов , пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Угол между векторами

Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.

Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Определение 1

Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Ответ: $12$.

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Пример 2

Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение .

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$

Ответ: $(12,-3,3)$.

Свойства векторного произведения векторов

Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:

Пример 3

Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.

Решение .

Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):

Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$. j ;

2) |k |=1, но | i x j | = |i | |J | sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы а хb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , b x a противоположной ориентации). Стало быть a xb = -(b xa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l (а хb ) = (l а ) х b = а х (l b ).

Пусть l >0. Вектор l (а хb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( l а )хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а , l а лежат в одной плоскости). Значит, векторы l (а хb ) и ( l а )хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l (a хb )= l а хb . Аналогично доказывается при l

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а ||b а хb =0 .

В частности, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a +b ) хс = а хс +b хс .

Примем без доказательства.

7.3. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а =а х i +a y j +a z k и b =b x i +b y j +b z k . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

7.4. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а | * |b |sin g , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, D S =1/2|а х b |.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом си лы F относительно точки О называется вектор М , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В .

Стало быть, М =ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ , где О-некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Использование векторного произведения ВЕКТОРОВ

для вычисления площади

некоторых геометрических фигур

Исследовательская работа по математике

Ученика 10 Б класса

МОУ СОШ №73

Перевозникова Михаила

Руководители:

Ассистент каф. математического анализа механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб Сергеевич

Саратов, 2015

Введение.

1. Теоретический обзор.

1.1. Векторы и вычисления с векторами.

1.2. Использование скалярного произведения векторов в решении задач

1.3 Скалярное произведение векторов в координатах

1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве: определение понятия.

1.5. Координаты векторного произведения векторов.

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного произведения векторов.

2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника. Доказательство теоремы

2.3. Проверка на примерах правильности формулы.

2.4. Практическое использование векторной алгебры и произведения векторов.

Заключение

Введение

Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа решения – графический и аналитический. Графический метод связан с построением графиков и чертежей, а аналитический предполагает решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений. При этом в этой науке для расширения пространственного понимания фигур помимо иногда применяется векторное произведение векторов.

В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.

В связи с этим была обозначена цель данного проекта – использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых геометрических фигур.

В связи с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и дать определение векторному произведению векторов в системе координат;

2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма;

3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в координатах;

4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.

1. Теоретический обзор.

Векторомназывается направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка А , концом отрезка – точка В . Сам вектор обозначен через
или . Чтобы найти координаты вектора
, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:

= { B x — A x ; B y — A y }

Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. При этом вектор отрезок, характеризующийся длиной и направлением.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

Длина вектора || в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

С векторами можно совершать различные действия.

Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго (рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.

Сумму векторов = {a x ; a y } и = {b x ; b y } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

+ = {a x + b x ; a y + b y }

Рис. 1. Действия с векторами

Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом соединить конец второго с концом первого.

Разность векторов = {a x ; a y } и = {b x ; b y } можно найти по формуле:

— = { a x — b x ; a y — b y }

Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор, который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном – противоположно направлены.

Произведение вектора = {a x ; a y } и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · = {k · a x ; k · a y }

А можно ли умножать вектор на вектор? Конечно, и даже двумя вариантами!

Первый вариант – скалярное произведение.

Рис. 2. Скалярное произведение в координатах

Для нахождения произведения векторов можно использовать угол  между данными векторами, показанный на рисунке 3.

Из формулы следует, что скалярное произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними равен нулю.

В координатной плоскости вектор также имеет координаты. Вектора, их координаты и скалярное произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между прямыми (или их отрезками), если введена система координат. И если координаты
, то их скалярное произведение равно:

В трехмерном пространстве существует 3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3 координаты, а скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.

Вторым вариантом вычисления произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец вектора имеют по 3 координаты.

В отличие от скалярного произведения векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.

Очевидно, что при построении результирующего вектора , перпендикулярного двум, вступившим в произведение — и , может быть выбрано два противоположных направления. При этом направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, или правилу буравчика.Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения (рис. 7).

Рис. 7. Правило правой руки

1.3. Свойства векторного произведения векторов.

Длина результирующего вектора определяется по формуле

При этом
векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет перпендикулярен
, а его направление определяется по правилу правой руки.

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

Векторное произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла между ними будет равен 0.

Координаты векторов в трехмерном пространстве выражаются следующим образом: . Тогда координаты результирующего вектора находим по формуле

Длина результирующего вектора находится по формуле:

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Пусть нам дан треугольник ABC (рис. 8). Известно, что .

Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:

Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):

длина векторного произведения векторов равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки.

Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , со сторонами и и углом между ними, равным .

Рис. 9. Геометрический смысл векторного произведения векторов

В связи с этим, можно привести еще одно определение векторного произведения векторов:

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 10).

Рис. 10. Определение векторного произведения векторов

с использованием параллелограмма

2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника в координатах.

Итак, нам дан треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого треугольника (рис. 11).

Рис. 11. Пример решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин

Решение.

Для начала, рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и АС.

По данной прежде формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.

Более того, если мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема: Пусть дан треугольник АВС и координаты его вершин (рис. 12).

Тогда .

Рис. 12. Доказательство теоремы

Доказательство.

Рассмотрим точки в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. . По приведенной раньше формуле вычислим координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все члены, содержащие z 1 или z 2, равны 0, т.к. z 1и z 2 = 0. УБРАТЬ!!!

Итак, следовательно,

2.3. Проверка правильности формулы на примерах

Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b=

I(2 · (-1) — (-2) · 1) — j((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k((-1) · 1 — 2 · 2) =

I(-2 + 2) — j(1 + 4) + k(-1 — 4) = -5 j — 5 k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ =

| a × b| =

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

Ответ: SΔ = 2.5√2.

Заключение

2.4. Приложения векторной алгебры

и скалярного и векторного произведения векторов.

Где же нужны векторы? Векторное пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют вполне реальное практическое применение в современном мире.

В механике и физике многие величины имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются векторными. Вместе с использованием элементарных механических понятий, опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов. Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила (рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются с помощью векторов.

В физике важны не только сами вектора, но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения коллинеарности векторов модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы сонаправленны или противоположно направленны.

Еще один пример: скалярное произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле, где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.

Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением. Найти подтверждения, привести примеры.

Стоит еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях науки и промышленности.

В то же время результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной.

Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых удивительных положений аналитической геометрии.

Векторное произведение векторов может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы, доказательством теоремы и решением практических задач.

Векторы широко используются в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.

Список использованных источников

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: , 2013. 383 с.

Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. М.: , 2013. 255 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.

Аналитическая геометрия.

Математика. Клевер.

Изучение математики онлайн.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

Сайт В. Глазнева.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

Википедия.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5

Векторное произведение двух векторов | matematicus.ru

Векторное произведение двух векторов возникло из понятия момента силы.b)

2) его направление перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма;
3) при этом направление вектора с выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы a, b, с составляли правую систему.

Геометрический смысл векторного произведения

Модуль векторного произведения двух векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е.

$\left| {\vec a \times \vec b} \right| = {S_{параллелограмма}}$

Векторное произведение двух трехмерных векторов a={x₁,y₁,z₁} и b={x₂,y₂,z₂}, заданных в координатной форме определяется по формуле:

Пример 1

Найти векторное произведение двух векторов a={x₁,y₁,z₁} и b={x₂,y₂,z₂}, заданных в координатной форме

Решение

Подставляя в формулу выше, находим векторное произведение векторов

$\vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\vec i}&{\vec j}&{\vec k} \\ 2&{ — 1}&1 \\ { — 3}&4&1 \end{array}} \right| =$

$= — 5i — 5j + 5k$

Пример 2
Векторы а и b имеют длины, соответственно равные 20 см и 30 см, и образуют угол в 30⁰.b)=20·30·sin30⁰=

=20·30·0.5=600·0.5=300 см²

Расчет координат вектора онлайн

Описание:

Векторный калькулятор позволяет вычислять координаты вектора из координат двух точек в режиме онлайн.

vector_coordinates онлайн

Описание:

Векторный калькулятор позволяет определить координаты вектора из двух точек , он применяется к точки на плоскости и в пространстве. Векторный калькулятор возвращает шаги расчета.

Вычислить координаты вектора из двух точек на плоскости

Пусть (O, `vec (i)`, `vec (j)`) система, A и B две точки, которые являются соответствующими координатами (`x_a`,` y_ (a) `) и (` x_ (b) ` , `y_ (b)`) в система (O, `vec (i)`, `vec (j)`).

Координаты вектора `vec (AB)` равны (`x_ (b)` -`x_ (a) `,` y_ (b) `-`y_ (a)`) в системе (O, `vec (i) `,` vec (j) `).

Векторный калькулятор может вычислять числовые или символьные координаты.

Пусть A (1; 2) B (3; 5) для вычисления координат вектора `vec (AB)`, введите vector_coordinates (`[1; 2]; [3; 5]`).

Пусть A (a; b) B (2 * a; `b / 2`) для вычисления координат вектора` vec (AB) `, введите vector_coordinates (`[a; b]; [2 * a; b / 2]`).

Вычислить координаты вектора из двух точек в пространстве

Пусть (O, `vec (i)`, `vec (j)`, `vec (k)`) система, A и B две точки, которые являются соответствующими координатами (`x_a`,` y_ (a) `,` z_ (а) `) и (`x_ (b)`, `y_ (b)`, `z_ (a)`) в системе (O, `vec (i)`, `vec (j)`, `vec (k)`) .

Координаты вектора `vec (AB)` следующие: (`x_ (b)` -`x_ (a) `,` y_ (b) `-`y_ (a)`, `z_ (b)` -`z_ (a) `) в системе (O,` vec (i) `,` vec (j) `,` vec (k) `).

Векторный калькулятор позволяет вычислять числовые или символьные координаты.

Пусть A (1; 2; 1) B (3; 5; 2) для вычисления координат вектора `vec (AB)`, введите vector_coordinates (`[1; 2; 1]; [3; 5; 2]`) , возвращается результат [2; 3; 1].

Пусть A (a; b, c) B (2 * a; 2-b, c + 1) для вычисления координат вектора `vec (AB)`, введите vector_coordinates (`[a; b; c]; [2 * a; 2-b; c + 1]`) , возвращается результат [a; 2-2 * b; 1].

Вычислить координаты вектора из 2 точек в системе любой размерности

Векторный калькулятор позволяет вычислять координаты вектора из координат двух точек в режиме онлайн.

Синтаксис:

vector_coordinates (точка; точка)

Примеры:

vector_coordinates (`[1; 2; 1]; [5; 5; 6]`) возвращает [4; 3; 5] Расчет онлайн с помощью vector_coordinates (вычисление координат вектора из двух точек).

Калькулятор векторов

\| A \|
Единичный вектор:
Угол к оси:
Сферическая координата:

\| B \|
Единичный вектор:
Угол к оси:
Сферическая координата:





\| C \|
Угол между векторами:

Перекрестное или векторное произведение двух векторов A и B определяется как:

(Результат — вектор)

n — единичный вектор, направление которого перпендикулярно векторам A и B.

Примечание: направление A ✕ B перпендикулярно плоскости, определяемой A и B и указывает согласно правилу правого винта.

Из определения векторного произведения очевидны следующие отношения между векторами:

Векторное произведение записывается как:

Это выражение можно записать как определитель:

Перекрестное произведение подчиняется следующим законам:

Коммутативный закон не выполняется для перекрестного произведения , потому что:

A ✕ B = — (B ✕ A) и A ✕ ( B ✕ C ) ≠ ( A ✕ B ) ✕ C

Распределительное право:	A ✕ ( B + C ) = A ✕ B + A ✕ C
	( A + B ) ✕ C = ( A ✕ C ) + ( B ✕ C )
Если m — скаляр, то:	м ( A ✕ B ) = (m A ) ✕ B = A ✕ (m B ) = ( A ✕ B ) m

Тройное скалярное произведение определяется как определитель:

(A ✕ B) ✕ C = — C ✕ (A ✕ B) = C ✕ (B ✕ A)

Прочие связи:	A · ( A ✕ C ) = 0
	A ✕ (B ✕ C) + B ✕ (C ✕ A) + C ✕ (A ✕ B) = 0
	A ✕ (B ✕ C) = (A · C) B — (A · B) C
	(A ✕ B) ✕ C = (A · C) B — (B · C) A
	(A ✕ B) · (C ✕ D) = (A · C) (B · D) — (A · D) (В · С)

Пример: найти площадь треугольника ABC и уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C, если координаты точек следующие: A (1, -2, 3), B (3, 1, 2) и С (2, 3, -1).

Решение: представление векторов:

Вектор
Вектор

Интеграция векторов

Если V является функцией x, y и z, а элемент объема равен dv = dx dy dz, интеграл от V по объему может быть равен записывается как векторная сумма трех интегралов его составляющих:

Вектор сферической координаты

Сферическая система координат определяется как (r, θ, ϕ)

r	— Расстояние точки P от начала координат
θ	— Угол от плоскости x-z
ϕ	— Угол от оси z до точки P

Преобразование декартовых координат в сферические:

Преобразование сферических координат в декартовы:

x = r sin Φ cos θ

y = r sin Φ sin θ

z = r cos Φ

Вектор цилиндрической координаты

Цилиндрическая система координат определяется как (r, θ, z)

г —	Расстояние точки P от начала координат
θ —	Угол от плоскости x-z
г —	То же, что и в декартовой координате

Преобразование декартовых координат в сферические:

Преобразование сферических координат в декартовы:

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

Онлайн-калькулятор: Калькулятор перекрестных произведений

Калькулятор ниже вычисляет перекрестное произведение двух векторов в трехмерном пространстве и визуализирует результат.На графике первый вектор показан зеленым, второй вектор — синим, а перекрестное произведение — красным. Вы можете найти теорию и формулы под калькулятором.

Калькулятор нескольких произведений

Точность вычисления

Цифры после десятичной точки: 2

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Перекрестное произведение

Определение

^{Перекрестное произведение или векторное произведение (иногда направленное произведение площади, чтобы подчеркнуть геометрическое значение) представляет собой бинарную операцию над двумя векторами в трехмерном пространстве и обозначается символом.Даны два линейно независимых вектора и, перекрестное произведение (читается как «крест b») — это вектор, перпендикулярный обоим и, следовательно, нормальный к плоскости, содержащей их.
Формула определяет перекрестное произведение:
,
, где θ — угол между a и b в плоскости, содержащей их (следовательно, между 0 ° и 180 °), ‖a‖ и ‖b‖ — величины векторов a и b, а n — единичный вектор. перпендикулярно плоскости, содержащей точки a и b, в направлении, заданном правилом правой руки.Если векторы a и b параллельны (т. Е. Угол θ между ними равен 0 ° или 180 °), по приведенной выше формуле векторное произведение a и b является нулевым вектором 0.
По соглашению направление вектора n задается правилом правой руки, согласно которому указательный палец правой руки направлен в направлении a, а средний палец — в направлении b. Затем вектор n выходит из большого пальца (см. Рисунок рядом). Использование этого правила подразумевает, что перекрестное произведение антикоммутативно, т.е.е., b × a = — (a × b). Если сначала направить указательный палец на b, а затем на средний палец на a, большой палец будет вынужден двигаться в противоположном направлении, меняя знак вектора произведения.
Использование кросс-произведения требует учета ручного управления системой координат. Правило правой руки выше для правой системы координат. В левой системе координат направление вектора n задается правилом левой руки и указывает в противоположном направлении.
Формула
Нам нужен какой-то практический способ вычислить векторное произведение по координатам двух векторов. За стандартную основу трехмерного пространства, образованного векторами
,
мы можем записать следующие равенства из определения перекрестного произведения.
Поскольку каждый вектор может быть определен как линейная комбинация трех базисных векторов, мы можем записать векторы

как
.
Таким образом, произведение a и b будет
.
Это может быть расширено с помощью дистрибутива
Что можно упростить, используя приведенные выше стандартные базисные равенства, до
Кстати, выражение выше можно записать как определитель
Последняя формула описывает результирующий вектор векторного произведения с координатами:
Калькулятор перекрестного произведения — Найдите произведение двух векторов
Онлайн-калькулятор векторных кросс-произведений поможет вам найти кросс-произведение двух векторов и покажет вам пошаговые вычисления.Несомненно, для некоторых людей вычисление скрещенного произведения двух векторов вручную кажется сложной задачей.
Что ж, наш калькулятор, использующий формулу кросс-произведения, поможет вам понять алгоритм, как сделать кросс-произведение двух векторов вручную. Этот пост содержит много информации о перекрестных продуктах, поэтому давайте начнем с основного определения перекрестного продукта.
Что такое перекрестное произведение? Перекрестное произведение двух векторов означает, что вектор a и вектор b рассматривается как вектор c.Это вектор, который находится под углом 90 градусов к обоим векторам, то есть к вектору «a», а также к вектору «b». Перекрестное произведение отвечает за определение величины и направления векторов. Величину определить несложно, так как оказалось, что она равна площади параллелограмма. Он также отображает направление, предлагаемое правилом правой руки при перекрестном произведении.
Онлайн-расчет перекрестных произведений упростил процесс перекрестного умножения. Теперь перестаньте беспокоиться и просто воспользуйтесь указанным выше калькулятором умножения векторов, чтобы облегчить задачу.Вектор отличается от скаляра, поскольку скаляр не имеет направления, в то время как вектор имеет. Итак, если вы хотите найти перекрестное произведение 2d, просто попробуйте калькулятор векторных перекрестных произведений.
В каком направлении? Помните, что перекрестное произведение может указывать в совершенно противоположном направлении и даже оставаться под прямым углом к двум векторам, поэтому у вас есть «правило правой руки для перекрестного произведения»
Да, правой рукой вы можете указать указательным пальцем вдоль вектора a и указать средним пальцем вдоль вектора b — вы видите, что перекрестное произведение идет в направлении большого пальца.
Формула перекрестного произведения: Формула векторного скрещенного произведения — это основной способ вычисления произведения двух векторов. Формула, используемая для его расчета, имеет следующий вид:
Уравнение перекрестного произведения выражается как:
C = a x b = | a | х | б | x sinθ x n
Давайте обсудим каждый элемент этой формулы перекрестного произведения двух векторов, чтобы лучше понять концепцию перекрестного умножения. Термин «a» обозначает один вектор, а другой обозначается буквой «b».Результирующий вектор, который требуется вычислить с помощью формулы или калькулятора, известен как вектор «c».
Угол, который образуется между вектором a и вектором b, обозначается как «θ». И последнее, но не менее важное, это «n», который является единичным вектором — он должен быть перпендикулярен обоим родительским векторам. Введите компоненты всех родительских векторов, чтобы получить результирующий вектор. Он работает по уравнению перекрестного произведения, упомянутому выше. Наш калькулятор перекрестного произведения также использует ту же формулу для расчета перекрестного произведения.
О калькуляторе векторных кросс-произведений: Онлайн-калькулятор кросс-произведения поможет вам найти кросс-произведение двух векторов, соответствующих заданным координатам или точкам обоих векторов. Проще говоря, этот калькулятор векторного произведения позволяет вам найти результирующий вектор путем умножения двух компонент вектора и показывает подробное пошаговое решение вашей проблемы. Хотите узнать, как работает этот онлайн-калькулятор кросс-произведения двух векторов, проведите пальцем вниз!
Как рассчитать перекрестное произведение в Интернете с помощью калькулятора перекрестного произведения: Решатель кросс-произведений загружен с простым дружественным интерфейсом, который ускоряет вычисления и показывает кросс-произведение для векторов в течение нескольких секунд.Просто придерживайтесь данного шага, чтобы найти произведение с помощью этого калькулятора:
Ввод:
Прежде всего, вам нужно выбрать векторное (A) представление, оно может либо по координатам, либо по точкам
Если вы выбрали опцию «по координатам», то вам необходимо ввести значения координат
И, если вы выбрали опцию «по баллам», то сначала вам следует ввести начальные баллы в предназначенное для этого поле этого калькулятора.
Затем вы должны ввести конечные точки в специальное поле
Для вектора (B) указанные выше шаги такие же, вам просто нужно ввести требуемые значения
Выход:
После завершения калькулятор покажет вам:
произведение двух векторов
Пошаговое решение для ваших входных данных
Величина вектора
Нормализованный вектор
Сферические координаты (радиус, полярный угол, азимутальный угол)
Правила перекрестного произведения векторов: Прочтите и узнайте о простых правилах и свойствах векторного произведения векторов:
Антикоммутативное свойство: Кросс-произведение является антикоммутативным свойством.
Уравнения:
$$ \ vec {A} \ times \ vec {B} = \ vec {-B} \ times \ vec {A} $$
$$ \ vec {A} = a_1 \ vec {i} + a_2 \ vec {j} + a_3 \ vec {k} \ text {и} \ vec {B} = b_1 \ vec {i} + b_2 \ vec {j} + b_3 \ vec {k} $$
$$ \ vec {A } \ times \ vec {B} = \ begin {vmatrix} i & j & k & \\ a_1 & a_2 & a_3 & \\ b_1 & b_2 & b_3 & \ end {vmatrix} $$
$$ = (a_2b_3 — b_2a_3) \ vec {i} — ( a_1b_3 — b_1a_3) \ vec {j} + (a_1b_2 — b_2a_1) \ vec {k} $$
$$ \ vec {B} \ times \ vec {A} = \ begin {vmatrix} i & j & k & \\ a_1 & a_2 & a_3 & \\ b_1 & b_2 & b_3 & \ end {vmatrix} $$
$$ = (b_2a_3 — a_2b_3) \ vec {i} — (b_1a_3 — a_1b_3) \ vec {j} + (b_1a_2 — a_2b_1) \ vec {k} $ $
$$ = — [(a_2b_3 — b_2a_3) \ vec {i} — (a_1b_3 — b_1a_3) \ vec {j} + (a_1b_2 — b_2a_1) \ vec {k}] $$
$$ — \ vec A \ раз \ vec B \ vec A \ times \ vec B = — \ vec B + \ vec A $$
Распределительная собственность: Да, перекрестное произведение имеет свойство распределения по сравнению с сложением.
Уравнения:
$$ \ vec A \ times (\ vec B + \ vec C) = \ vec A \ times \ vec B + \ vec A \ times \ vec C $$
$$ \ text {Let} \ vec {A} = a_1 \ vec {i} + a_2 \ vec {j} + a_3 \ vec {k}, \ vec {B} = b_1 \ vec {i} + b_2 \ vec {j} + b_3 \ vec {k} $$
$$ \ text {and} \ vec {C} = c_1 \ vec {i} + c_2 \ vec {j} + c_3 \ vec {k} $$
$$ \ vec A \ times (\ vec B + \ vec C) = \ vec A \ times \ vec B + \ vec A \ times \ vec C $$
$$ = \ begin {vmatrix} i & j & k & \\ a_1 & a_2 & a_3 & \\ b_1 & b_2 & b_3 & \ end {vmatrix} + \ begin {vmatrix} i & j & k & \\ a_1 & a_2 & a_3 & \\ c_1 & c_2 & c_3 & \ end {vmatrix} $$
$$ = (a_2b_3 — b_2a_3) \ vec {i} — (a_1b_3 — b_1a_3) \ vec {j } + (a_1b_2 — a_2b_1) \ vec {k} $$
$$ + (a_2c_3 — c_2a_3) \ vec {i} — (a_1c_3 — c_1a_3) \ vec {j} + (a_1c_2 — a_2c_1) \ vec {k} $$
$$ = (a_2a_3 — b_2a_3 + a_2a_3 — c_2a_3) \ vec {i} — (a_1b_3 — b_1a_3 — a_1c_3 + c_1a_3) \ vec {j} $$
$$ + (a_1b_2 — a_2b_1 + a_1c_2 — a_2c_1) \ vec {k} $$
$$ = \ vec A \ times (\ vec B + \ vec C) $$
Jacobi Недвижимость: Перекрестное произведение — это то, что удовлетворяет свойству Якоби.
Уравнения:
$$ \ vec A \ times (\ vec B \ times \ vec C) + \ vec B \ times (\ vec C \ times \ vec A) + \ vec C \ times (\ vec A \ times \ vec B) = 0 $$
Свойство нулевого вектора: Уравнения:
$$ a \ times b = 0 \ text {if} a = 0 \ text {или} b = 0 $$
$$ \ text {Let} \ vec {a} = 0 \ vec {i} + 0 \ vec {j} + 0 \ vec {k} \ text {и} \ vec {b} = b_1 \ vec {i} + b_2 \ vec {j} + b_3 \ vec {k} $$
$$ \ text { Затем} a \ times b = \ begin {vmatrix} i & j & k & \\ 0 & 0 & 0 & \\ b_1 & b_2 & b_3 & \ end {vmatrix} $$
$$ = (0 — 0) \ vec {i} — (0 — 0) \ vec {j} + (0 — 0) \ vec {k} $$
$$ = 0 $$
Перекрестное произведение и точечное произведение:
Давайте посмотрим!
Перекрестный продукт: Перекрестное произведение называется вектором.Величина векторного произведения двух векторов называется величиной одного вектора, которая умножается на величину проекции другого вектора в направлении, ортогональном первому вектору.
Если a ^⃗ и b ^⃗ — два вектора с углом (θ) между ними, то векторное произведение двух векторов a ^⃗ и b ^⃗ равно a ^⃗ xb = | a || b | Грех (θ) .
Да, направление результирующей векторного произведения двух векторов перпендикулярно плоскости двух векторов, чье векторное произведение учитывает правило правой руки, о котором мы упоминали выше. Наш калькулятор перекрестного умножения также выполняет расчет, учитывая одни и те же направления.
Точечный продукт: Скалярное произведение называется скаляром. Точечный продукт двух векторов дает вам значение величины одного вектора, умноженное на величину проекции другого вектора на первый вектор.
Если a ^⃗ и b ^⃗ — два вектора с углом (θ) между ними, то скалярное произведение двух векторов a ^⃗ и b ^⃗ равно a ^⃗ . b = | a || b | соз (θ) .
Это можно рассматривать как | a ^⃗ | (| b ^⃗ | cos (θ)) , где | a ^⃗ | считается величиной a ^⃗ и | b ^⃗ | cos (θ) называется величиной проекции b ^⃗ на ^⃗ .
Это также можно рассматривать как | b ^⃗ | (| a ^⃗ | cos (θ)) , где | b ^⃗ | считается величиной b ^⃗ и | a ^⃗ | cos (θ) называется величиной проекции a ^⃗ на b ^⃗ .
Помните, что нет смысла изображать, что «ответ скалярного произведения ограничен двумя измерениями», поскольку результат скалярного произведения двух векторов называется скаляром, не имеющим никакого направления.И скалярное произведение, и кросс-произведение являются неотъемлемой частью физики.
Как сделать кросс-произведение двух векторов? Да, для мгновенных вычислений перекрестного произведения вы можете использовать калькулятор перекрестного произведения. Помните, что перекрестное произведение — это тип умножения векторов, который определен только в трех и семи измерениях, что дает другой вектор. Кросс-продукт чрезвычайно полезен для приложений в области физики и инженерии. Итак, проведите пальцем вниз, чтобы вычислить перекрестное произведение двух трехмерных векторов, определенных в декартовых координатах.
Расчет перекрестного произведения:
Шаг 1:
Просто рассмотрим два общих трехмерных вектора, которые определены в декартовых координатах:
$$ \ vec a = A \ vec i + B \ vec j + C \ vec k $$
$$ \ vec b = D \ vec i + E \ vec j + F \ vec k $$
Где;
i, j, k — единичные векторы, а A, B, C, D, E, F называются постоянными.
Шаг 2:
Теперь вам нужно настроить матрицу перекрестных произведений.Самый простой способ вычислить перекрестное произведение — установить единичные векторы с двумя векторами в матрице. Кроме того, вы можете попробовать онлайн-калькулятор кросс-произведения матриц, чтобы найти кросс-произведение матрицы.
$$ \ vec a \ times \ vec b = \ begin {vmatrix} i & j & k & \\ A & B & C & \\ D & E & F & \ end {vmatrix} $$
Шаг 3:
Теперь вам нужно вычислить определитель матрицы, мы учитываем расширение сомножителя (разложение по минорам).
$$ \ vec a \ times \ vec b = (BF — EC) \ vec i — (AF — DC) \ vec j + (AE — DB) \ vec k $$
Этот вектор ортогонален как a , так и b
Теперь давайте посмотрим на пример перекрестного произведения!
Пример перекрестного продукта: Шаг 1:
Рассмотрим два вектора ниже:
$$ \ vec u = 2 \ vec i — \ vec j + 3 \ vec k $$
$$ \ vec v = 5 \ vec i + 7 \ vec j — 4 \ vec k $$
Шаг 2:
Теперь настройте матрицу перекрестных произведений:
$$ \ vec u \ times \ vec v = \ begin {vmatrix} i & j & k & \\ 2 & -1 & 3 & \\ 5 & 7 & -4 & \ end {vmatrix} $$
Шаг 3:
Наконец, вычислим определитель матрицы:
$$ \ vec u \ times \ vec v = (4-21) \ vec i — (-8-15) \ vec j + (14 + 5) \ vec k $$
$$ = -17 \ vec i + 23 \ vec j + 19 \ vec k $$
Часто задаваемые вопросы (перекрестный продукт):
Можете ли вы сделать кросс-произведение в 2d? Нет, вы вообще не можете сделать кросс-произведение с векторами в 2D-пространстве.Помните, что операция там не определена. Однако обычно интересно определить перекрестное произведение двух векторов, предполагая, что двумерные векторы расширены до трехмерных, считая их координату z равной нулю. Да, это означает то же самое, что и работа с трехмерными векторами на плоскости xy.
Имеет ли значение порядок в разных произведениях? Проще говоря, да! Это все потому, что операция кросс-продукта не является коммуникативной, поэтому порядок имеет значение!
Что дает вам кросс-произведение? Да, a × b (векторное произведение) называется вектором, перпендикулярным (ортогональным) обоим векторам (a и b), с направлением, заданным правилом правой руки, а величина равна площади параллелограмма, который охватывают векторы.
Что такое тройное перекрестное произведение? Произведение трех векторов называется тройным произведением. Проще говоря, векторное произведение одного вектора на произведение двух других векторов называется тройным перекрестным произведением.
Если у вас есть три вектора A, B и C, то тройное произведение векторов обозначается как:
A × (B × C) = (A. C) B — (A. B) C
(A × B) × C = −C × (A × B) = — (C. B) A + (C. A) B
Почему кросс-произведение не коммутативно? Перекрестное произведение не подчиняется свойству коммутативности, поскольку направление единичного вектора становится противоположным, когда векторное произведение происходит в обратном порядке.Однако оба перекрестных произведения обоих векторов (a и b) обоими возможными способами — то есть, как AxB и BxA, являются аддитивно обратными друг другу.
Для чего используется кросс-произведение? Перекрестное произведение используется для определения вектора, перпендикулярного плоскости, натянутой на два вектора. С другой стороны, скалярное произведение используется для определения длины вектора или угла между двумя векторами.
Почему J отрицательно в перекрестном произведении? Согласно разложению Лапласа для определителя, когда дело доходит до геометрической точки зрения, перекрестное произведение соответствует знаковой области параллелограмма с двумя векторами в качестве сторон, вы можете легко определить знак минус (-) в его выражениях символическим определителем, которому действительно нужен знак минус (-) для координаты → j.
Как узнать, ортогонально ли кросс-произведение? Без сомнения, векторное произведение всегда ортогонально обоим векторам и имеет нулевую величину (0), когда эти векторы называются параллельными, и имеет максимальную величину a‖‖b‖, когда эти векторы называются ортогональными.
Как сделать кросс-умножение? Для кросс-умножения необходимо придерживаться следующих шагов:
Прежде всего, вы должны начать с умножения числителя левой дроби на знаменатель правой дроби
Затем вам следует умножить числитель правой дроби на знаменатель левой дроби
Теперь вы должны установить 2 продукта равными друг другу
Наконец, вам нужно найти переменную
Перекрестное произведение: sin или cos? При вычислении скалярное произведение двух единичных векторов дает косинус (который может быть положительным или отрицательным) угла между этими двумя единичными векторами.И, когда дело доходит до перекрестного произведения, величина двух единичных векторов дает синус (который всегда считается положительным).
Завершение! Помните, что концепция перекрестного произведения принимается во внимание для описания произведения физических величин, которые имеют как величину, так и направление, связанные с ними. Итак, воспользуйтесь этим онлайн-калькулятором векторных кросс-произведений для решения задачи 2-х векторов.
Артикул: Из Википедии, бесплатной энциклопедии — Определение перекрестного произведения — Вычисление перекрестного произведения — Свойства перекрестного произведения — Альтернативные способы вычисления перекрестного произведения — Перекрестное произведение как внешний продукт — Матрица перекрестных произведений
Недавно обновлено из источника wikihow — Как вычислить перекрестное произведение двух векторов — пример перекрестного произведения
Из источника математики (для опытных) — Формула перекрестного произведения — Способы вычисления перекрестного произведения — (правило правой руки для перекрестного произведения) — Точечное произведение
Из недавнего источника исследования — урок 12 в главе 2 курса — Нахождение перекрестного произведения двух векторов — Уравнение для перекрестного произведения
Калькулятор перекрестных произведений | Формула | Пример
Введите значения x, y и z двух векторов в калькулятор ниже, чтобы определить перекрестное произведение как новый вектор.
Формула перекрестного произведения
Формула для вычисления нового вектора векторного произведения двух векторов выглядит следующим образом:
Где θ — угол между a и b в плоскости, содержащей их. (Всегда от 0 до 180 градусов)
‖ a ‖ и ‖ b ‖ — это величины векторов a и b
, а n — единичный вектор, перпендикулярный a и b
В терминах векторных координат мы можем упростить приведенное выше уравнение до следующего:
a x b = (a2 * b3-a3 * b2, a3 * b1-a1 * b3, a1 * b2-a2 * b1)
Где a и b — векторы с координатами (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3).
Направление результирующего вектора можно определить с помощью правила правой руки.
Определение перекрестного произведения
Перекрестное произведение, также известное как векторное произведение, — это математическая операция, в которой результатом перекрестного произведения двух векторов является новый вектор, перпендикулярный обоим векторам. Величина этого нового вектора равна площади параллелограмма со сторонами двух исходных векторов.
Перекрестное произведение не следует путать с скалярным произведением, которое представляет собой более простую алгебраическую операцию, которая возвращает одно число, а не новый вектор.
Как вычислить кросс-произведение
Ниже приведен пример вычисления перекрестного произведения двух векторов.
Сначала давайте соберем наши два вектора a и b. В этом примере мы предположим, что вектор a имеет координаты (2,3,4), а вектор b имеет координаты (3,7,8).
Затем мы должны использовать упрощенное уравнение, приведенное выше, для вычисления результирующих векторных координат перекрестного произведения.
Наш новый вектор будет обозначен c, поэтому сначала нам нужно найти координату x.Используя приведенную выше формулу, мы находим x равным -4.
Используя тот же метод, мы находим y и z равными 0,4 и 5 соответственно.
Наконец, у нас есть наш новый вектор из перекрестного произведения X b из (-4, -4,5)
Важно помнить, что перекрестное произведение является антикоммутативным, что означает, что результат X b не то же самое, что b X a. Фактически a X b = -b X a.
FAQ
Что такое перекрестное произведение? Перекрестное произведение — это векторное произведение, перпендикулярное обоим исходным векторам и имеющее одинаковую величину.
Калькулятор точечного произведения двух векторов с пошаговым решением
Онлайн-калькулятор скалярного произведения векторов позволяет найти результат двух векторов путем умножения друг на друга. Этот онлайн-калькулятор для скалярного произведения двух векторов помогает выполнять вычисления с:
Векторные компоненты, это может быть как 2D, так и 3D вектор.
Величина и угол.
Что касается компонентов, вы можете выполнять расчеты по:
Продолжайте читать, чтобы узнать больше о задачах умножения векторов, ручных вычислениях, определении и формуле скалярного произведения и многом другом.Начнем с основ.
Кроме того, вы можете использовать наш онлайн-калькулятор перекрестных произведений, который поможет вам найти перекрестное произведение двух векторов с полным ручным расчетом.
Читайте дальше!
Что такое точечное произведение? Он также известен как скалярное произведение и может быть определен как «сумма компонентных произведений». Скалярное произведение двух векторов равно произведению их величин. Итак, для двух взаимно перпендикулярных векторов он равен нулю.И это обозначается символом «.» Между двумя векторами. Основное различие между скалярным произведением и перекрестным произведением состоит в том, что произведение точечной операции представляет собой одно число, а результат перекрестной операции — вектор.
Что такое формула скалярного произведения? Формула скалярного умножения двух векторов выглядит следующим образом:
a.b = | a | | б | cosΘ
Где,
a и b — два вектора, а | a | & | b | являются модулями вектора a и b соответственно.
Θ — угол между двумя векторами.
Наш онлайн-калькулятор скалярного произведения также позволяет найти угол Θ между векторами, используя следующее уравнение:
Θ = Cos-1 a.b / | a | | б |
Как сделать точечное произведение вручную (шаг за шагом): Формула для расчетов обсуждалась выше, теперь у нас есть ручные примеры для обоих методов.
Читайте дальше!
Расчет с векторным компонентом: Из этих входных параметров мы должны знать две координаты, для которых мы собираемся выполнить вычисления.Вот пример:
Пример:
Если вектор a = [2, -4,3] и второй вектор b = [-4,3,5]. Что такое скалярное произведение двух векторов?
Решение:
Шаг 1:
Найдите произведение первого компонента каждого вектора.
Итак, (2) * (- 4) = -8
Шаг 2:
Найдите произведение второй компоненты каждого вектора.
Итак, (-4) * (3) = -12
Шаг 3:
Найдите произведение третьего компонента каждого вектора.
Итак, (3) * (5) = 15
Шаг 4:
Сложите все эти значения, чтобы найти скалярное произведение (скалярное произведение) Итак, (2) * (- 4) = -8
(-8) + (- 12) +15
-8 — 12 + 15
а.б = -5
Если нам нужно найти угол между двумя векторами, используйте формулу как:
Θ = Cos-1 a.b / | a | | б |
Шаг 1:
Величина вектора а.
| а | = √ (2) 2 + (-4) 2 + (3) 2
| а | = √ 4+ 16 + 9
| а | = √ 29
| а | = 5.38
Шаг 2:
Величина вектора b.
| b | = √ (-4) 2 + (3) 2 + (5) 2
| b | = √ 16+ 9 + 25
| b | = √ 50
| b | = 7,07
Шаг 3:
Θ = Cos-1 a.b / | a | | б |
Θ = Cos-1-5 / 5,38 * 7,07
Θ = Cos-1-5 / 38,03
Θ = Cos-1 -0,1314
Θ = 97,53 град
Расчет с величиной и углом: Из этих входных параметров мы должны знать величину обоих векторов и угол между векторами.Вот пример:
Пример:
Вектор A имеет величину 10, а вектор b имеет величину 15, угол между векторами составляет 60 градусов. Найти скалярное произведение двух векторов?
Решение:
Шаг 1:
Здесь,
| а | = 10
| b | = 15
Θ = 60 градусов
Шаг 2:
a.b = | a | | б | cosΘ
а.б = 10 * 15 cos60
а.б = 150 cos60
а.б = 150 (0,5)
а.б = 75
Применения точечного продукта: Существует множество применений и приложений скалярного произведения, здесь мы упомянули некоторые из них:
Это помогает определить, являются ли два вектора перпендикулярными или параллельными друг другу.
Закон косинуса может быть доказан с помощью скалярного произведения. Закон косинусов имеет следующий вид: = a2 + b2 — 2abcosΘ
Многие другие физические величины, определенные как скалярное произведение.Например:
Мощность
Электрический / магнитный поток
Работа
Потенциальная энергия магнитного поля
Как использовать этот онлайн-калькулятор точечного произведения: С этим бесплатным онлайн-калькулятором расчеты станут очень простыми. Этот инструмент определяет скалярное произведение векторов двумя разными методами, которые мы собираемся обсудить:
Читайте дальше!
Векторные компоненты: Для расчетов по этому методу просто придерживайтесь следующих пунктов:
Входы:
Прежде всего, выберите размер на вкладке.Это либо 2D, либо 3D.
Затем выберите векторное представление для первого вектора из раскрывающегося списка калькулятора.
Затем выберите векторное представление для второго вектора из раскрывающегося списка этого инструмента.
Введите все поля в соответствии с выбранной опцией.
Наконец, нажмите кнопку «Рассчитать».
Величина и угол: Для расчетов по этому методу просто следуйте следующим пунктам:
Входы:
Прежде всего, введите величину первого вектора.
Затем введите величину второго вектора в обозначенное поле.
После этого вставьте угол между векторами.
Наконец, нажмите кнопку «Рассчитать».
Выходы:
После ввода всех полей калькулятор показывает:
Точечное произведение векторов.
Величина вектора A.
Величина вектора B.
Угол между векторами.
Пошаговые расчеты.
Примечание:
Независимо от того, какой метод или входные параметры вы выбрали, онлайн-калькулятор скалярного произведения покажет вам точный результат в соответствии с выбранным вами вариантом.
Часто задаваемые вопросы (FAQ):
Почему скалярное произведение? Другое название — скалярное произведение, потому что это скалярная величина, а перекрестное произведение — вектор. Скалярное произведение определяет компоненты одного вектора в направлении другого, когда второй вектор нормализован.Такой, что это скалярный множитель.
Что такое скалярное произведение i и j? Скалярное произведение между i, j и k друг на друга всегда дает нулевой результат, в то время как оно дает 1, если они умножаются сами на себя.
Что означает, когда скалярное произведение равно 0? Когда два вектора взаимно перпендикулярны друг другу, это означает, что угол между векторами составляет 90 градусов, тогда скалярное произведение равно 0.
Что означает, когда скалярное произведение равно 1? Когда два вектора параллельны друг другу или движутся в одном направлении, это означает, что угол между векторами равен 0 градусов, тогда скалярное произведение равно 1.
Может ли скалярное произведение быть отрицательным? Если это происходит, это означает, что угол между векторами больше 90 градусов, и один вектор имеет компонент, противоположный другому.
Заключительные слова: Как скалярное произведение имеет широкий спектр приложений в физике, геометрии и других областях. Полезно проверить, ортогональны ли два вектора. Итак, просто попробуйте этот онлайн-калькулятор скалярного произведения векторов, который поможет вам найти скалярное произведение двух векторов.Этот инструмент специально разработан для студентов и профессионалов, которые решают свои проблемы, связанные с физикой.
Артикул: Из авторизованного источника Википедии: Определение и свойства точечного произведения.
С сайта Math Insight: Формула для скалярного произведения в терминах векторной составляющей.
Из источника khan Academy: Для вычисления скалярного произведения.
Векторное произведение крестовины, онлайн-калькулятор

Онлайн-калькулятор для вычисления векторного произведения векторов
Вычислить векторное произведение крестов
Эта функция вычисляет векторное произведение двух векторов.{3} \) со стандартным скалярным произведением и стандартной ориентацией применяется к поперечному произведению:
\ (\ vec {a} \; \ times \; \ vec {b} = \ left [\ matrix {a_1 \\ a_2 \\ a_3} \ right] \ times \ left [\ matrix {b_1 \\ b_2 \\ b_3} \ right] =
\ left [\ matrix {a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1} \ right] \)
Пример
\ (\ vec {a} \; \ times \; \ vec {b} = \ left [\ matrix {1 \\ 2 \\ 3} \ right] \ times \ left [\ matrix {7 \\ 8 \\ 9} \ right] =
\ left [\ матрица {2 \ cdot 9-3 \ cdot 8 \\ 3 \ cdot 7-1 \ cdot 9 \\ 1 \ cdot 8-2 \ cdot 7} \ right] =
\ left [\ matrix {-6 \\ 12 \\ — 6} \ right] \)

Эта страница полезна?
да
Нет
Спасибо за ваш отзыв!
Извините за это
Как мы можем это улучшить?

послать
.}

Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов

Признаки компланарности векторов

Свойства смешанного произведения

Предупреждение

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Смешанное произведение векторов на примерах

Векторное произведение векторов, формулы и онлайн калькуляторы

Свойства векторного произведения:

Калькулятор площадь треугольника по векторам. Векторное произведение векторов

Определение векторного произведения.

Координаты векторного произведения.

Свойства векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения.

Геометрический смысл векторного произведения.

Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для бакалавриата заочной формы обучения по квалификации 080100. 62 по направлению

Скалярное произведение векторов определение, основные свойства, формулы и условия вычисления, примеры задач с решениями, онлайн-калькулятор

Трактовка понятий

Описание свойств

Применение в физике

Координаты векторного произведения

Свойства векторного произведения

Векторное произведение – примеры и решения

Физический смысл векторного произведения

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Свойства векторного произведения векторов

Перевозникова Михаила

1.3 Скалярное произведение векторов в координатах

Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:

Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):

Заключение

Векторное произведение двух векторов | matematicus.ru

Расчет координат вектора онлайн

Описание:

Описание:

Синтаксис:

Примеры:

Калькулятор векторов

Онлайн-калькулятор: Калькулятор перекрестных произведений

Калькулятор нескольких произведений

Перекрестное произведение

Определение

Формула

— Найдите произведение двух векторов

Перекрестное произведение и точечное произведение:

| Формула | Пример

Формула перекрестного произведения

Определение перекрестного произведения

Как вычислить кросс-произведение

FAQ

Калькулятор точечного произведения двух векторов с пошаговым решением

Векторное произведение крестовины, онлайн-калькулятор

Вычислить векторное произведение крестов

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики