Site Loader
Posted on 21.07.2023

Глава 29. Понятие вектора

Глава 29. Понятие вектора

Направленные отрезки принято называто также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертовй наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться таже его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вктора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом или а. Если , то вектор называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектора и обозначается обычно символом .

Проекцией вектора на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а — проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора на ось u обозначается символом . Если вектор обозначен символом , то его проекцию на ось u принято обозначать: .

Проекция вектора на ось u выражается через его модуль и угол наклона к оси u формулой

.

Проекции произвольного вектора на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство ={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается .

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки (, , ) и (, , ), являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам , , .

Формула

(2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если , , — углы, которые составляет вектор с координатными осями (см. рис. 2), то , , называются направляющими косинусами вектора .

Вследствие формулы (1)

, , .

Отсюда, и из формулы (2) следует, что

.

Последнее равенство позволяет определить один из углов , , , если известны два других.

Текст издания:© Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/.
Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

1.1. Что такое вектор?



Это «альфа» и «омега» аналитической геометрии.

Сначала вспомним школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , а концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку на другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор.

Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института и выйти из дверей института – это две разные вещи.
Отдельные точки удобно считать так называемым нулевым вектором . У этого вектора начало и конец совпадают и его направление не определено.

Как многие помнят, в геометрии рассматривают векторы плоскости и векторы пространства, и излагаемые факты справедливы (если на сказано иного) как для плоскости, так и для пространства.

Обозначения: многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении  и сказали: «там же вверху еще стрелку ставят»! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и

запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Такая привычка сложилась из практических соображений – слишком разнокалиберными и «мохнатыми» получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В некоторых источниках векторы выделяют жирным шрифтом:, подразумевая тем самым, что это вектор.

Со стилистикой разобрались и теперь о главном:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
 и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
 В частности, наш вектор  можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора  называется длина отрезка . Длина нулевого вектора  равна нулю.
Длина вектора обозначается знаком модуля: ,
Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор

.

Свободный вектор – это множество сонаправленных отрезков равной длины:

Часто говорят, что «вектор, равный данному, можно отложить от любой точки», но далеко не все понимают настоящий смысл этого действия. С математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР. В чём состоит свобода? В ходе решения задачи вы можете «пристроить» направленный отрезок в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. И это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» в любой точке плоскости или пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Ударьте кулаком по подушке и по кирпичу и почувствуйте разницу :). Кроме того, несвободные векторы рассматриваются и в некоторых разделах математики.

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Вспоминаем ещё одно понятие:

1.2. Коллинеарность векторов

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин


линейная алгебра — английские названия начала и конца вектора

Задавать вопрос

спросил

5 лет, 6 месяцев назад

Изменено 1 год, 6 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Я провел небольшое исследование, но, поскольку английский не является моим родным языком, я изо всех сил пытаюсь найти ответ на этот вопрос:

Учитывая вектор, как вы называете его начальную и конечную точки?

Пока лучшее, что я нашел, это слово «база» для обозначения начальной точки вектора, но я понятия не имею, правильно ли это.

Лучшее, что у меня есть для конечной точки, — это «конец» вектора, хотя применяется то же самое, что и раньше.

  • линейная алгебра
  • векторы
  • терминология
$\endgroup$

14

$\begingroup$

Хороший вопрос. Поскольку важным свойством вектора является его направление, трудно говорить о векторах, не имея слов, обозначающих их начало и конец.

По моему опыту, мы обычно называем источник или начало вектора его «хвостом», а пункт назначения или конец вектора — его «головой».

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Их иногда называют начальной и конечной точками. Начальная точка — это точка, в которой начинается, а конечная точка — это точка, в которой она заканчивается.

$\endgroup$

$\begingroup$

В статье Википедии Евклидов вектор говорится, что когда вы строите вектор с именем $\overrightarrow{AB}$ из двух точек $A$ и $B$ в евклидовом пространстве, тогда $A$ называется начальная точка , а $B$ называется конечной точкой .

Конечно, все зависит от вашего определения вектора. Например, принято рассматривать вектор как класс эквивалентности всех тех ориентированных отрезков линии этого вида, которые имеют одинаковую длину (величину) и одно и то же направление. При таком определении «вектор» не имеет ни начальной, ни конечной точки, хотя вы можете выбрать любую начальную точку и рассмотреть представитель ориентированного отрезка линии, исходящего из этой точки.

В более общем случае гладкого многообразия у вас часто есть касательный вектор в конкретном касательном пространстве (или слое) $T_pM$, который соответствует точке $p$ на многообразии. В таком случае вам нужны как эта опорная точка (это общепринятое название?) $p$, так и представление вектора в касательном пространстве, «сидящего» в этой точке. В этой общей постановке нет канонической эквивалентности между вектором из $T_pM$ и вектором из другого слоя $T_qM$ (здесь $q\ne p$ — другая точка многообразия $M$).

Обычно, когда $v\in T_pM$, мы просто говорим, что $v$ является касательным вектором «at» $p$. Как я уже сказал, мне кажется, я слышал, что $p$ называют фут-точкой $v$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Эээ, на самом деле вы не говорите о векторе. Вектор не определяется начальной и конечной точкой. У него есть направление и величина (и эквиваленты в других системах координат), но нет фиксированного начала.

Вектор может иметь местоположение , где берутся координаты. Это особенно актуально в криволинейных системах координат. Если вы рисуете там вектор, вы обычно рисуете соответствующую стрелку с основанием в месте расположения вектора, ее ось является прямой и касательной к направлениям координат в начале вектора, а размеры компонентов пропорциональны.

Иногда стрелки изображают направленные отрезки. У них есть начальная и конечная точка. В этом случае древки этих стрел будут соответствует любой криволинейной системе координат. Визуализация направленного отрезка линии, заданного начальной точкой и вектором смещения, выполняется редко, когда с тех пор фактически изменяется более одной координаты. Путь , вдоль которого достигается смещение, не имеет очевидного кандидата: нет явно предпочтительного маршрута между начальным и конечным указать больше.

$\endgroup$

1

Добавить или добавить элемент к вектору в R?

  • Автор сообщения: