Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Экономика Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

просмотров — 212

Одна и та же сила может сообщать вращающемуся телу разные угловые ускорения в зависимости от её направления и точки приложения. Для характеристики вращающего действия силы вводят понятие момента силы.

Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы относительно точки О (полюса) принято называть векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы: .

Поясняющий это определœение рис. 3 выполнен в предположении, что точка О и вектор лежат в плоскости чертежа, тогда вектор также располагается в этой плоскости, а вектор перпендикулярен к ней и направлен от нас (как векторное произведение 2-х векторов; по правилу правого буравчика).

Модуль момента силы численно равен произведению силы на плечо:

,

где — плечо силы относительно точки О, a — угол между направлениями и , .

Плечо — кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вектор момента силы сонаправлен с поступательным движением правого буравчика, если его рукоятку вращать по направлению вращающего действия силы. Момент силы — аксиальный (свободный) вектор, он направлен вдоль оси вращения, не связан с определœенной линией действия, его можно переносить в

пространстве параллельно самому себе.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z принято называть проекция вектора на эту ось (проходящую через точку О):

.

В случае если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент сил относительно неподвижной оси Z равен алгебраической сумме моментов всœех сил относительно этой оси.

Вращающееся тело можно представить как совокупность материальных точек.

Выберем произвольно некоторую точку с массой m_i , на которую действует сила , сообщая точке ускорение (рис. 4). Поскольку вращение создает только тангенциальная составляющая, для упрощения вывода направлена перпендикулярно оси вращения.

В этом случае .

Согласно второму закону Ньютона . Умножим обе части равенства на r_i:

,

,

где — момент силы, действующей на материальную точку,

— момент инœерции материальной точки.

Следовательно, .

Для всœего тела: , ,

, (1)

ᴛ.ᴇ. угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил и обратно пропорционально его моменту инœерции. Уравнение

(1) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, или второй закон Ньютона для вращательного движения.

Шпоргалка по «Физике»

Третьей космической  скоростью v₃ называют скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость v₃=16,7 км/с. Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной технической задачей. Ее первое теоретическое осуществление начато К. Э. Циолковским, им была выведена уже рассмотренная нами формула

12. Момент силы. Уравнение динамики вращательного  движения твердого тела

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

M = [rF].

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к F.

Модуль момента силы

M = Frsina= Fl, (18.1)

где a — угол между г и F; rsina =l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина М_z, равная проекции на эту ось вектор а М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси 2 (рис.26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представля ется в виде вектора, совпадающего с осью:

М_z = [rF]_z.

Найдем выражение для  работы при вращении тела (рис.27). Пусть  сила F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r, a — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка приложения В проходит путь ds= rdj, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA=Fsinardj. (18.2) Учитывая (18.1), можем записать dA=M_zdj,

где Frsina = Fl =M_z — момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dT, но

Учитывая, что w=dj/dt, получим

Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции (см. §20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

13. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения  масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой Л и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.23). Разобьем

32

цилиндр на отдельные  полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним — r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r²dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r — плотность материала, то dm=r•2prhdr и dJ = 2prr³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но  так   как   pR’²h — объем   цилиндра,  то его масса m = pR²hr, а момент инерции

J = 1/2R².

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: J = J_c + ma². (16.1)

Таблица  1

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

14. Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно  твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_i с некоторой

скоростью   v_i.   скорость v_i;   и   импульс   m_iv_i

перпендикулярны этому  радиусу, т. е. радиус является плечом вектора m_iv_i. Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы

L_iz = т_iv_ir_i (19.1)

и направлен по оси  в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Используя    формулу    (17.1)    v_i = wr_i, получим

т. е.

L_z = J_zw. (19.2)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен  произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

т. е.

dL_z/dt= M_z

Это выражение — еще одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет  место векторное равенство

dL/dt= М. (19.3)

В замкнутой системе  момент внешних сил М=0 и dL/dt=0, откуда

L = const. (19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента  импульса — фундаментальный закон природы, Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью,

15. Кинематика  гармонических колебаний. 

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно но двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа .

s=Acos(w₀t+j),    (140.1)

где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний, w₀ круговая (циклическая) частотой, j — начальная фаза колебаний

в момент времени t=0, (w₀t+j)— фаза колебаний в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может, принимать значения от + А до -А.

Определенные состояния  системы, совершающей гармонические  колебания, повторяются через, промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение 2p, т. е.

w₀(t+T)+j=(w₀t +j)+2p,

откуда

T=2p/w₀. (140.2)

Величина, обратная периоду  колебаний,

v=1/T, (140.3)

т. о. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (140.2) и (140.3), получим

w₀=2pv.

Единица частоты — герц (Гц):1Гц — частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s (соответственно скорость и ускорение):

т. е. имеем гармонические  колебания с той же циклической  частотой. Амплитуды величин (140.4) и (140.5) соответственно равны Аw₀ и Aw²₀. Фаза скорости (140.4) отличается от фазы величины (140.1) на π/2, а фаза ускорения (140.5) отличается от фазы величины (140.1) на p. Следовательно, в моменты времени, когда s=0,

ds/dt  приобретает   наибольшие   значения;

когда же s достигает максимального отрицательного значения, то d²s/dt² приобретает

наибольшее положительное значение (рис. 198).

Из выражения (140.5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

d²s/dt²+w²₀s=0 ( 140.6)

(где учтено, что s=Acos(w₀t+j)). Решением этого уравнения является выражение (140.1).

16. Динамика гармонических колебаний

Механические гармонические колебания

Пусть материальная точка  совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (140.1), где s=x:

х=Аcos(w₀t+j). (141.1)

Согласно выражениям (140.4) и (140.5), скорость v и ускорение а колеблющейся точки соответственно равны

Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой т, с учетом (141.1) и (141.2) равна

F= -mw²₀x.

Следовательно, сила пропорциональна  смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).

Кинетическая  энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

Сложив (141.3) и (141.5), получим  формулу для полной энергии:

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Из формул (141.4) и (141.6) следует, что Т и П изменяются с частотой 2w₀, т. е. с частотой, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания.

222

На рис. 200 представлены графики зависимости х, Т и П от времени. Так как <sin²a>= <cos²aa>=¹/₂, то из формул (141.3), (141.5) и (141.7) следует, что <Т> = <П>=¹/₂E.

17. Гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида (140.6):

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

18. Затухающие  колебания

Рассмотрим свободные затухающие колебания — колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,

а также омических  потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Закон затухающих колебаний  определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.

Моменты импульса и силы относительно точки и неподвижной оси . Уравнение моментов для системы материальных точек.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением
, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси z.

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.Момент силы относительно некоторой точки — это векторное произведение силы на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

или в виде векторного произведения

Момент силы — аксиальный вектор. Он направлен вдоль оси вращения.

Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равна M.

21.закон сохранения момента импульса . Примеры . Кинетическая энергия вращающегося тела .

Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:
если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Действительно, если M = 0, то dL / dt = 0 , откуда

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:
если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если M_z = 0, то dL_z / dt = 0, откуда

Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то линейная скорость i-ой точки равна , где , — расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно.

где — момент инерции тела относительно оси вращения.

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений — поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращения с

угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей

через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду

где — момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

Дата добавления: 2015-08-03; просмотров: 354 | Нарушение авторских прав

10.S: Вращение с фиксированной осью Введение (сводка)

10: Вращение с фиксированной осью Введение — Physics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

1. Участники и авторства

В этой главе мы начинаем рассматривать вращательное движение, начиная с вращения с фиксированной осью.Вращение с фиксированной осью описывает вращение вокруг фиксированной оси твердого тела; то есть объект, который не деформируется при движении. Мы покажем, как применить все идеи, которые мы разработали к этому моменту о поступательном движении, к объекту, вращающемуся вокруг фиксированной оси. В следующей главе мы расширяем эти идеи на более сложное вращательное движение, включая объекты, которые и вращаются, и перемещаются, и объекты, у которых нет фиксированной оси вращения.

• 10.1: Введение к вращению с фиксированной осью

  В предыдущих главах мы описали движение (кинематику) и то, как изменить движение (динамику), а также определили важные понятия, такие как энергия, для объектов, которые можно рассматривать как точки. массы.Точечные массы по определению не имеют формы и поэтому могут совершать только поступательное движение. Однако из повседневной жизни мы знаем, что вращательное движение также очень важно и что многие движущиеся объекты имеют как поступательное движение, так и вращение.

• 10.2: Вращательные переменные

  Угловое положение вращающегося тела — это угол, на который тело повернулось в фиксированной системе координат, которая служит системой отсчета. Угловая скорость тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, определяется как ω (рад / с), скорость вращения тела в радианах в секунду.Если угловая скорость системы непостоянна, то система имеет угловое ускорение. Мгновенное угловое ускорение является производной по времени от угловой скорости.

• 10.3: Вращение с постоянным угловым ускорением

  Кинематика вращательного движения описывает отношения между углом поворота, угловой скоростью и ускорением и временем. При постоянном угловом ускорении угловая скорость изменяется линейно, поэтому средняя угловая скорость составляет 1/2 начальной плюс конечной угловой скорости за данный период времени.Графический анализ включает поиск площади под графиком зависимости угловой скорости от времени или углового ускорения от времени, чтобы получить изменение углового смещения и скорости, соответственно.

• 10.4: Связь угловых и поступательных величин

  У линейного кинематического уравнения есть вращательные аналоги, в которых x = θ, v = ω, a = α. Система, совершающая равномерное круговое движение, имеет постоянную угловую скорость, но точки на расстоянии r от оси вращения имеют линейное центростремительное ускорение.Система, совершающая неравномерное круговое движение, имеет угловое ускорение и, следовательно, имеет как линейное центростремительное, так и линейное тангенциальное ускорение в точке, находящейся на расстоянии r от оси вращения.

• 10,5: Момент инерции и кинетическая энергия вращения

  Кинетическая энергия вращения — это кинетическая энергия вращения вращающегося твердого тела или системы частиц. Момент инерции системы точечных частиц, вращающихся вокруг фиксированной оси, представляет собой сумму произведения между массой каждой точечной частицы и расстоянием от точечных частиц до оси вращения.В системах, которые одновременно вращаются и поступательно, можно использовать сохранение механической энергии, если нет действующих неконсервативных сил.

• 10.6: Расчет моментов инерции

  Моменты инерции могут быть найдены путем суммирования или интегрирования по каждой «части массы», составляющей объект, умноженной на квадрат расстояния каждой «части массы». ‘к оси. Теорема о параллельности оси позволяет найти момент инерции объекта относительно новой оси вращения, если она известна как параллельная ось.Момент инерции для составного объекта — это просто сумма моментов инерции для каждого отдельного объекта, составляющего составной объект.

• 10.7: Крутящий момент

  Величина крутящего момента вокруг фиксированной оси вычисляется путем нахождения плеча рычага в точке приложения силы и умножения перпендикулярного расстояния от оси до линии, на которой сила вектор лежит на величину силы. Знак крутящего момента находится по правилу правой руки.Чистый крутящий момент может быть найден путем суммирования отдельных крутящих моментов вокруг данной оси.

• 10,8: Второй закон Ньютона для вращения

  Второй закон Ньютона для вращения гласит, что сумма моментов вращающейся системы вокруг фиксированной оси равна произведению момента инерции и углового ускорения. В векторной форме второго закона Ньютона для вращения вектор крутящего момента находится в том же направлении, что и угловое ускорение. Если угловое ускорение вращающейся системы положительное, крутящий момент в системе также положительный, а если угловое ускорение отрицательное, крутящий момент отрицательный.

• 10.9: Работа и мощность для вращательного движения

  Инкрементальная работа при вращении твердого тела вокруг фиксированной оси представляет собой сумму крутящих моментов вокруг оси, умноженных на инкрементный угол. Полная работа, выполняемая для поворота твердого тела на угол θ вокруг фиксированной оси, представляет собой сумму крутящих моментов, проинтегрированных по угловому смещению. Теорема работы-энергии связывает вращательную работу с изменением кинетической энергии вращения: W_AB = K_B — K_A. Мощность, передаваемая системе, которая вращается вокруг фиксированной оси, равна крутящему моменту, умноженному на угол

• 10.E: Введение в вращение с фиксированной осью (упражнения)

• 10.S: Введение в вращение с фиксированной осью (резюме)

Эскиз: ветряная электростанция Бразос в западном Техасе. По состоянию на 2012 год ветряные электростанции в США имели выходную мощность 60 гигаватт, что было достаточно для питания 15 миллионов домов в год. (кредит: модификация работы «ENERGY.GOV» / Flickr).

Авторы и авторство

• Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами.Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

Введение | Безграничная физика

Крутящий момент

Крутящий момент — это сила, которая заставляет объекты поворачиваться или вращаться (то есть тенденция силы вращать объект вокруг оси).

Цели обучения

Опишите влияние крутящего момента на объект

Основные выводы

Ключевые моменты

• Крутящий момент определяется умножением приложенной силы на расстояние до оси вращения, называемой плечом момента.
• Крутящий момент относится к вращению, как сила — к движению.
• Единица крутящего момента — ньютон-метр.

Ключевые термины

• вектор : Направленная величина, имеющая как величину, так и направление; между двумя точками.
• угловая скорость : векторная величина, описывающая объект в круговом движении; его величина равна скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.
• угловое движение : Движение тела вокруг фиксированной точки или фиксированной оси (как планеты или маятника).Он равен углу, который проходит в точке или оси линией, проведенной к телу.

Крутящий момент вокруг точки — это концепция, которая обозначает тенденцию силы поворачивать или вращать движущийся объект. Эта тенденция обычно измеряется относительно точки и обозначается как момент силы . Крутящий момент при угловом движении соответствует действующей силе. Это «причина», следствием которой является угловое ускорение или угловое замедление частицы при общем движении.Количественно он определяется как вектор:

Torque : Краткое введение в крутящий момент для студентов, изучающих вращательное движение в курсах физики на основе алгебры, таких как AP Physics 1 и Honors Physics.

[латекс] \ text {T} = \ text {r} \ times \ text {F} [/ latex]

Вращение — это частный случай углового движения. В случае вращения крутящий момент определяется относительно оси, так что вектор «r» ограничивается перпендикулярно оси вращения.Другими словами, плоскость движения перпендикулярна оси вращения. Ясно, что крутящий момент при вращении соответствует силе при поступлении.

Крутящий момент — это произведение силы на длину плеча момента; он задействован всякий раз, когда есть вращающийся объект. Крутящий момент также можно выразить через угловое ускорение объекта.

Определение направления крутящего момента относительно проще, чем определение угловой скорости. Причина этого проста: сам крутящий момент равен векторному произведению двух векторов, в отличие от угловой скорости, которая является одним из двух операндов векторного произведения.Ясно, что если мы знаем здесь направления двух операндов, направление крутящего момента можно легко интерпретировать.

Поскольку крутящий момент зависит как от силы, так и от расстояния от оси вращения, в системе СИ единицами измерения крутящего момента являются ньютон-метры.

Крутящий момент : Крутящий момент с точки зрения плеча момента.

Вращение вокруг фиксированной оси и его силы

В предыдущей статье я говорил о силах, действующих на твердое тело, относительно поступательного движения. Однако, помимо поступательного движения, твердое тело может также иметь силы вращения из-за вращения вокруг фиксированной оси.Вращение вокруг фиксированной оси означает, что не будет движения в направлениях x, y или z, пока тело вращается по оси, перпендикулярной плоскости.

Когда твердое тело вращается вокруг своего центра масс, всегда будет существовать нормальная сила, которая будет неуклонно увеличиваться по мере удаления от центра масс. Однако в точке вращения не будет нормальной силы. Сумма всех нормальных сил на каждой частице будет равна нулю, если тело вращается вокруг своего центра масс.2r $

Если тело имеет изменение угловой скорости, угловое ускорение вызовет тангенциальную силу. Как и в случае с нормальной силой, тангенциальная сила будет увеличиваться по мере удаления точки анализа от оси вращения. Помимо тангенциальной силы, также будет результирующий момент, который является произведением момента инерции массы твердого тела и углового ускорения.

(уравнение 2) $ F_t = ma_t = mαr $

(уравнение 3) $ ∑M_G = I_Gα $

где

$ m $ = масса

$ ϖ $ = угловая скорость I

$ α $ = угловое ускорение

$ I_G $ = момент инерции массы твердого тела

Также могут быть случаи, когда ось вращения не проходит через центр масс.Это создаст несбалансированное вращение. Это означает, что сумма нормальных сил не компенсирует друг друга. Вместо этого с одной стороны твердого тела будет максимальная нормальная сила, а с другой стороны — минимальная нормальная сила. Разница между этими силами вызовет результирующую силу, которую ось должна будет сдерживать, чтобы твердое тело не двигалось в направлении x или z.

Примером этого является неправильная балансировка колес вашего автомобиля. Когда ваша машина движется, вам будет казаться, что вы проезжаете серию неровностей на дороге.2 $

где

$ d $ = расстояние от центра масс до центра вращения

Из этого уравнения 3 можно изменить на следующее.

(уравнение 6) $ ∑M_O = I_Oα = \ sum {} F_t (r_g) + I_Gα $

где

(уравнение 7) $ \ sum {} F_t = ma_ {G_t} = mαr_G $

Шкив с равномерной массой 22 кг имеет усилие 15 Н, подвешенное к нему на поясе. Определите силы на оси, удерживающей шкив, и определите угловую скорость после 5 секунд отдыха.Первоначально шкив находится в состоянии покоя.

Шаг 1. Первым шагом является построение диаграммы свободного тела. Поскольку ось находится в центре шкива, а масса шкива однородна, можно предположить, что центр масс расположен на оси вращения.

Шаг 2: Так как центр масс находится на оси вращения, касательная сила и нормальная сила, действующая на центр масс, будут равны нулю. Силы на шкив будут вызваны его весом и весом 15 Н.2} $

Теперь, когда угловое ускорение определено, теперь можно определить угловую скорость.

$ ϖ = αt = 9 (5) = 45 \ frac {rad} {s} $

Предыдущая | Следующие

⇑ | ⇓

Кинетическая энергия вращения — рабочая кинетическая теорема

Согласно кинетической теореме для вращения , количество работы, совершаемой всеми крутящими моментами, действующими на твердое тело при вращении с фиксированной осью (чистое вращение), равно изменению его кинетической энергии вращения:

Wtorque = ΔKErotation.{} {\ vec \ tau \ cdot d \ vec \ theta}. W = ∫ τ⋅dθ.

Рассмотрим твердое тело, свободно вращающееся вокруг фиксированной оси вращения. Его начальная угловая скорость равна ωi {\ omega_i} ωi. Предположим, что теперь приложена сила FFF (на расстоянии rrr от оси вращения) для увеличения его угловой скорости. Эта сила будет создавать крутящий момент вокруг оси вращения: τ⃗ = r⃗ × F⃗. \ vec \ tau = \ vec r \ times \ vec F.τ = r × F. Из вращательной формы второго закона Ньютона τ⃗rot = Irotα⃗. {{\ vec \ tau} _ \ text {rot}} = {I_ \ text {rot}} \ vec \ alpha.2. W = ∫ωo ω Irot ωdω = 21 Irot ω2−21 Irot ωo2.

Таким образом, работа, совершаемая крутящим моментом, равна изменению кинетической энергии вращения тела.

Кольцо, твердая сфера и тонкий диск разной массы вращаются с одинаковой кинетической энергией. Для их остановки прилагаются равные постоянные крутящие моменты. Кто сделает наименьшее количество оборотов перед тем, как остановиться?

---

Работа с постоянным крутящим моментом W = τθW = \ tau \ theta W = τθ Согласно кинетической теореме для вращения, работа, совершаемая крутящим моментом, равна изменению кинетической энергии вращения
W = ΔKErotW = \ Delta K {E_ \ text {rot}} W = ΔKErot τθ = ΔKErot \ tau \ theta = \ Delta K {E_ \ text {rot}} τθ = ΔKErot θ = ΔKErotτ \ theta = \ frac {{\ Delta K {E_ \ text {rot}}}} {\ tau} θ = τΔKErot Поскольку изменение кинетической энергии вращения и приложенного крутящего момента равны, угол поворота всех объектов одинаков.22, тогда какова величина работы, совершаемой крутящим моментом за первые две секунды?

Знайте разницу между крутящим моментом и моментом

Крутящий момент — это перпендикулярная сила, действующая на ось на некотором расстоянии.

Когда вы включаете вентилятор, он начинает вращаться, при этом его центр остается неподвижным. Поскольку центр вентилятора остается в покое, это означает, что векторная сумма всех внешних сил, действующих на вентилятор, должна быть равна нулю.Это означает, что можно создать угловое ускорение в объекте, даже когда внешняя сила равна нулю.

Что ж, создание углового ускорения без внешней силы кажется невыполнимой задачей. Однако это возможно с чем-то, что называется моментом силы или крутящим моментом, вызванным силой. Итак, что вы подразумеваете под крутящим моментом?

Что такое крутящий момент?

Предположим, у вас есть машина. Для его движения колеса должны двигаться вперед. Теперь возьмите доску и закрепите ее в центре переднего колеса автомобиля, а с одного конца положите на доску какой-нибудь груз.Поскольку сила тяжести пытается тянуть вес вниз, доска наклоняется, и этот наклон заставляет колеса двигаться.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Итак, перпендикуляр — это сила тяжести, действующая на груз, ось — это ось колеса, на котором он вращается, а расстояние — это длина планки.

Возьмем другой пример:

Предположим, вы хотите повернуть игрушечный веер, и если вы вращаете его через точку рядом с осью, он не вращается; однако, если повернуть на некотором расстоянии, вентилятор вращается.Ты знаешь почему?

Итак, что здесь происходит?

На самом деле вы применяете перпендикуляр к оси вращения, вокруг которой вращается вентилятор. Если вы приложите силу вдоль оси вращения, расстояние между осью вращения и точкой приложения силы станет равным нулю, потому что этот вентилятор не вращается.

Поскольку расстояние между осью вращения и приложенной силой перпендикулярно друг другу, они становятся перекрестным произведением друг друга.Следовательно, формула для крутящего момента принимает следующий вид:

て = F xr

Здесь

て = крутящий момент, и это векторная величина, единица СИ которой Нм

F = перпендикулярная сила

r = расстояние

Так как перекрестное произведение можно записать в синусоидальном углу как;

て = FrSinθ

Где θ = угол между силой и плечом рычага.

Теперь, когда вы прикладываете силу вдоль оси вращения, угол между силой и рычагом становится 0 °, поэтому крутящий момент также становится равным нулю, т.е.е.,

て = Fr Sinθ = Fr Sin 0 ° = 0

И, если применить перпендикулярно, то:

て = Fr Sinθ = Fr Sin 90 ° = 1

Есть что-то, что называется крутящий момент, и это момент силы. Итак, что подразумевается под моментом?

Момент или момент силы — это мера способности силы заставлять тело вращаться вокруг своей оси. Кажется, что два термина крутящий момент и момент имеют одно и то же значение; однако они отличаются друг от друга. Итак, давайте посмотрим на разницу между ними.

Разница между крутящим моментом и моментом

Сравнение параметров	Крутящий момент	Момент
Эффект поворота корпус называется крутящим моментом.	Изгиб доски или плеча рычага под действием силы тяжести на помещенный на нее груз называется моментом.
Тип силы	Это сила, связанная с движением.	Момент — это статическая сила.
Символ и единица СИ	Крутящий момент обозначается буквой «», а его единицей СИ является Н · м на оборот.	Момент обозначен буквой «M», а его единица СИ — Нм
Используется в	Крутящий момент используется в объектах, имеющих фиксированную или поворотную точку и ось вращения.	Момент создается боковой силой и представляет собой невращающуюся или изгибную тенденцию тела под действием приложенной силы.
Используется для	Крутящий момент используется для измерения муфты.	Момент для этой цели не используется.
Вращение	Крутящий момент считается силой, которая вращает тело вокруг оси.	Момент — это сила, которая заставляет тело двигаться (не вращаться).
Пример	Рассмотрим вращающийся вал, расположенный таким образом, что он может легко вращаться. Теперь, когда мы включаем двигатель, вал начинает вращаться вокруг продольной оси, но не вращается полностью. Это приложение крутящего момента.	Рассмотрим подвижный стержень, один конец которого прикреплен к стене. Теперь поместите на него тело массы m. Что будет в этом случае? Ну, штанга под действием силы тяжести прогнется вниз, не будет вращаться, поэтому такая ситуация называется моментом.

Мощность, связанная с крутящим моментом

dW / dt = て dθ / dt…. (1)

Средняя мощность, связанная с крутящим моментом:

P = dW / dt. . . . (2), и

Угловая скорость в этом интервале:

ω = dθ / dt… (3)

Из (1) и (2) в (1) получаем:

P = て ω

Итак, мощность, связанная с крутящим моментом, является произведением крутящего момента и угловой скорости тела относительно оси вращения.

Карта механики — фиксированное вращение оси

С твердыми телами мы должны изучить моментов и, по крайней мере, возможность вращения вместе с силами и ускорениями, которые мы исследовали с частицами.Некоторые твердые тела будут перемещаться, но не вращаться (поступательные системы), некоторые будут вращаться, но не перемещаться (вращение с фиксированной осью), а некоторые будут вращаться и перемещаться (общее плоское движение). Здесь мы рассмотрим вращение твердого тела вокруг фиксированной оси. Как следует из названия, вращение с фиксированной осью — это анализ любого твердого тела, которое вращается вокруг некоторой неподвижной оси. Многие устройства вращаются вокруг своего центра, хотя объекты не должны вращаться вокруг своей центральной точки, чтобы этот анализ работал.

Колесо этой продольной машины является примером вращения с фиксированной осью с осью вращения в центре масс. Изображение предоставлено Abigor по лицензии CC-BY 2.0.

Мы снова начнем со Второго закона Ньютона. Поскольку это система с твердым телом, мы включаем как поступательную, так и вращательную версии. Обратите внимание, что теперь у нас есть тела с протяженностью, важны положение ускорения и ось, вокруг которой мы измеряем моменты или вычисляем момент инерции массы. Линейные ускорения всегда измеряются в центре масс.Мы разработаем несколько уравнений моментов в зависимости от того, в какой точке взяты моменты.

\ [\ sum \ vec {F} = m * \ vec {a_G} \]

\ [\ sum \ vec {M_G} = I_G * \ vec {\ alpha} \]

Установив диаграмму свободного тела, определив уравнения движения с использованием Второго закона Ньютона и решив неизвестные, мы можем найти силы, основанные на ускорениях, или наоборот.

Сбалансированное вращение

Если центр масс тела находится на оси вращения, известной как сбалансированное вращение, то ускорение в этой точке будет равно нулю.Вышеупомянутый качающий агрегат является примером сбалансированного вращения, и большинство систем с фиксированными осями будут специально сконструированы для балансировки. Поскольку ускорение центра масс равно нулю, сумма сил в направлениях x и y также должна быть равна нулю.

\ [\ sum F_ {x} = 0 \]

\ [\ сумма F_ {y} = 0 \]

Помимо уравнений сил, мы также можем использовать уравнения моментов для решения неизвестных.В простом плоском движении это будет уравнение единственного момента, которое мы принимаем относительно оси вращения / центра масс (помните, что при сбалансированном вращении они являются одной и той же точкой).

\ [\ sum M_ {O} = I_ {O} * \ alpha \]

Несбалансированное вращение

Многие контроллеры видеоигр используют двигатели для вращения небольших масс там, где центр масс не находится на оси вращения. Это неуравновешенное вращение приводит к появлению сил (ощущаемых как вибрации), необходимых для ускорения центра масс вращающихся масс.Изображение (автор неизвестен) под лицензией CC0.

Когда центр масс не расположен на оси вращения, центр масс будет ускоряться, и поэтому будут действовать силы, вызывающие это ускорение. В идеально закрепленных системах это будут силы, действующие на подшипники, хотя в реальных системах эти силы часто могут ощущаться как вибрации. Уравнения кинематики, как обсуждалось в предыдущей главе, можно использовать для определения ускорения точки на вращающемся теле, в данном случае эта точка является центром масс.После определения этих ускорений их можно ввести в уравнения сил, используя либо направления r и тета, либо направления x и y.

\ [\ sum F_ {r} = ma_ {Gr} \]

\ [\ sum F _ {\ theta} = ma_ {G \ theta} \]

или

\ [\ сумма F_ {x} = ma_ {Gx} \]

\ [\ sum F_ {y} = ma_ {Gy} \]

Обратите внимание, что когда тело вращается, направление ускорения и направление сил меняются.Также обратите внимание, что чем дальше центр масс находится от оси вращения, тем больше масса и чем больше угловая скорость, тем больше будут эти силы.

Чтобы дополнить уравнения сил, мы можем использовать уравнение момента относительно оси вращения или центра масс, поскольку это уже не одна и та же точка. Что бы ни было выбрано, просто убедитесь, что вы последовательно принимаете моменты и момент инерции массы в одной и той же точке.

\ [\ sum M_ {O} = I_ {O} * \ alpha \]

или

\ [\ sum M_ {G} = I_ {G} * \ alpha \]

Дополнительную информацию о том, как рассчитать момент инерции массы тела, можно найти в Приложении 2.

.