Вращение твердого тела

Для кинематического описания процесса вращения твердого тела нужно ввести такие понятия как угловое перемещение Δφ, угловое ускорение ε и угловая скорость ω:

ω=∆φ∆t, (∆t→0),ε=∆φ∆t, (∆t→0).

Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.

Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.

Рисунок 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O.

Если угловое перемещение Δφ мало, то модуль вектора линейного перемещения ∆s→ некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:

∆s=r∆ϕ,

в котором r – модуль радиус-вектора r→.

Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства

v=rω.

Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:

a=aτ=rε.

Векторы v→ и a→=aτ→ направлены по касательной к окружности радиуса r.

Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.

Определение 1

Модуль ускорения выражается формулой:

an=v2r=ω2r.

Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты Δmi, обозначить расстояние до оси вращения через ri, а модули линейных скоростей через vi, то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:

Ek=∑iνmvi22=∑i∆m(riω)22=ω22∑i∆miri2.

Определение 2

Физическая величина ∑i∆miri2 носит название момента инерции I тела относительно оси вращения. Она зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения:

I=∑i∆miri2.

В пределе при Δm→0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм—метр в квадрате (кг·м2). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:

Ek=Iω22.

В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела mv22, вместо массы m в формулу входит момент инерции I. Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости v угловую скорость ω.

Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.

В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.

Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости

XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 определяется выражениями:

xC=m1x1+m2x2m1+m2, yC=m1y1+m2y2m1+m2.

Рисунок 2. Центр масс C системы из двух частиц.

В векторной форме это соотношение принимает вид:

rC→=m1r1→+m2r2→m1+m2.

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор rC→ центра масс определяется выражением

rC→=∑miri→∑mi.

Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для rC→ необходимо заменить интегралами.

Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.

Рисунок 3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса.

На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.

Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.

Пример 1

Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.

Теорема о движении центра масс

Определение 3

Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:

Ek=mvC22+ICω22,

где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью vC→ и вращения с угловой скоростью ω=vCR относительно оси O, проходящей через центр масс.

В механике используется теорема о движении центра масс.

Теорема 1

Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

Пример 2

Для примера возьмем твердое тело, форма которого произвольна. Обозначим центр масс С. Выберем систему координат ХУ с началом координат 0. Совместим центр масс и начало координат.

Одна из осей проходит через центр масс С. Вторая ось пересекает произвольно выбранную точку Р, которая расположена на расстоянии d от начала координат. Выделим некоторый малый элемент массы данного твердого тела Δmi.

По определению момента инерции:

IC=∑∆mi(xi2+yi2),IP=∑mi(xi-a)2+yi-b2

Выражение для IP можно переписать в виде:

IP=∑∆mi(xi2+yi2)+∑∆mi(a2+b2)-2a∑∆mixi-2b∑∆miyi.

Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.

Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

Теорема 2

Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

IP=IC+md2,

где m – полная масса тела.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Рисунок 7. Модель момента инерции.

На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 8. Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.

Δmi – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть Fi→. Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую Fiτ→ и радиальную Fir→. Радиальная составляющая Fir→ создает центростремительное ускорение an.

Рисунок 9. Касательная Fiτ→ и радиальная Fir→ составляющие силы Fi→ действующей на элемент Δmi твердого тела.

Касательная составляющая Fiτ→ вызывает тангенциальное ускорение aiτ→ массы Δmi. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

∆miaiτ=Fiτsin θ или ∆miriε=Fisin θ,

где ε=aiτri – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на ri, то мы получим:

∆miri2ε=Firisin θ=Fili=Mi.

Здесь li – плечо силы, Fi,→Mi – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

∑∆miri2ε=∑Mi.

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

∑M=∑Miвнешн+∑Miвнутр.

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Определение 4

Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.

Iε=M

Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω→, ε→, M→ определяются как векторы, направленные по оси вращения.

Закон сохранения момента импульса

В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p→. По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.

Определение 5

Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.

Для обозначения момента импульса используется латинская буква L. 

L=lω

Поскольку ε=∆ω∆t; ∆t→0, уравнение вращательного движения можно представить в виде:

M=Iε=I∆ω∆t или M∆t=I∆ω=∆L.

Получаем:

M=∆L∆t; (∆t→0).

Мы получили это уравнение для случая, когда I = const. Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L=Iω относительно данной оси сохраняется: ∆L=0, если M=0.

Определение 6

Следовательно,

L=lω=const.

Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.

Пример 3

В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.

Рисунок 10. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1=(I1+I2)ω.

Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.

Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.

Пример 4

Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.

Рисунок 11. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести mg→ и силы реакции N→ относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = FтрR.

Уравнение вращательного движения:

ICε=ICaR=M=FтрR,

где ε – угловое ускорение катящегося тела, a – линейное ускорение его центра масс, IC – момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

ma=mg sin α-Fтр.

Исключая из этих уравнений Fтр, получим окончательно:

α=mg sin θICR2+m.

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара IC=25mR2, а у сплошного однородного цилиндра IC=12mR2. Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.

Найти момент инерции  системы относительно оси

Динамика вращательного движения. Момент инерции. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Источник: http://bog5.in.ua/lection/mechanics_lect/lect8_meh.html

Момент инерции: относительно оси вращения, материальной точки и твердых тел

В статье узнаете что такое момент инерции, как влияет ось вращения, а также момент вращения для материальной точки, множества частиц и для твердых тел.

Момент инерции, обозначенный буквой I, является физической величиной, характерной для вращательного движения тела. Это значение предполагает постоянное значение для данного тела и конкретной оси его вращения.

 Величина момента инерции зависит от веса тела, положения оси вращения, вокруг которой вращается тело и распределения его массы. Поэтому можно написать, что момент инерции тела информирует нас о том, как масса вращающегося тела распределяется вокруг фиксированной оси его вращения.

 Чем выше значение момента инерции, тем сложнее установить или изменить вращательное движение данного тела (например, уменьшить или увеличить его угловую скорость).

Момент инерции тела относительно оси вращения

На следующем рисунке показано, как выбор оси вращения тела влияет на значение момента его инерции и, следовательно, на легкость/сложность его вращения. На рисунках а) и б) показан однородный цилиндр с радиусом r и высотой h, который вращается вокруг продольной оси (рисунок а) и вокруг оси, перпендикулярной цилиндру, проходящему через его центр (рисунок б).

Ролик с радиусом r и высотой h вращается вокруг продольной оси (рисунок а) и оси, перпендикулярной цилиндру, проходящему через его центр (рисунок б)). Вес ролика в случае а) гораздо более сфокусирован вблизи его оси вращения, чем в случае б), поэтому цилиндр с рисунка а) вращать легче, чем ролик с рисунка б).

В обоих случаях мы имеем дело с одним и тем же телом, но в первом случае (рис. А) легче вращать ролик.

 Причиной такой ситуации является различное распределение веса цилиндра вокруг его оси вращения: при вращении цилиндра вокруг продольной оси масса ролика более сфокусирована вблизи оси вращения, чем во второй.

 В результате получается меньшее значение момента инерции цилиндра из рисунка а), а не цилиндра из рисунка б).

Если вы не хотите читать всю информацию советуем вам посмотреть видео про момент силы, в котором вы узнаете абсолютно все:

Момент инерции материальной точки

Чтобы вычислить момент инерции и вращение отдельной частицы вокруг заданной оси вращения, используем следующее выражение:

где m — масса частицы, r — расстояние частицы от оси вращения. 

Момента инерции измеряется в кг ⋅ м2 в системе СИ.

Момент инерции сложного тела с частицами

Момент инерции тела, состоящего из n частиц, равен сумме моментов инерции каждой частицы относительно данной оси вращения.

 Например, для тела, состоящего из четырех частиц, имеем: 

где m1, m2, m3 и m4 — массы частиц, которые составляют тела, r1, r2, r3 и r4, расстояние от оси вращения соответственно частиц с массами m1, m2, m3 и m4.

Момент инерции твердого тела

Когда тело состоит из очень многих частиц, расположенных близко друг к другу, сумма моментов инерции в приведенном выше уравнении заменяется интегралом. Если расширенное тело разделено на бесконечно малые элементы с массой dm, удаленной от оси вращения на величину r, момент инерции I будет равен: 

На следующем рисунке показаны выбранные расширенные тела с их моментами инерции, рассчитанными для осей вращения, указанных на чертежах.

Момент инерции обода

Момент инерции обода будет равен I=mr2

Момент инерции шара

Момент инерции шара будет равен I=2/5mr2

Момент инерции сферы

Момент инерции сферы будет равен I=2/3mr2

Момент инерции к оси цилиндра

Момент инерции к оси цилиндра будет равен I=1/2mr2

Момент инерции к оси через центр цилиндра

Момент инерции к оси цилиндра, проходящей через центр цилиндра будет равен I=1/4mr2+1/12mh2

Момент инерции к оси перпендикулярной поверхности пластины

Момент инерции к оси перпендикулярной поверхности пластины, которая проходит через ее центр будет равен I=1/12m(x2+y2)

Важное примечание:
при вводе значения момента инерции I для данного тела не забывайте всегда указывать ось вращения, для которой было рассчитано значение I.

Источник: https://meanders.ru/moment-inercii.shtml

Момент инерции в физике

Что такое инерция?

Определение момента инерции

Формула момента инерции

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Моменты инерции простейших объектов

Рекомендованная литература по теме и полезные ссылки

Момент инерции, видео

Что такое инерция?

Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни.

Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма.

«Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки.

И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.

Определение момента инерции

Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности.

Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы.

Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.

В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.

Формула момента инерции

Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:

J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.

Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.

Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:

Где d – расстояние между осями

Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.

Моменты инерции простейших объектов

Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.

Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.

Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.

Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.

Рекомендованная литература и полезные ссылки

• Тарг С. М. Момент инерции // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — С. 206—207. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.
• Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. The Galilean Satellites (англ.) // Science. — 1999. — Vol. 286, no. 5437. — P. 77—84.

  — DOI:10.1126/science.286.5437.77. — PMID 10506564.

• Margot, Jean-Luc; et al. Mercury’s moment of inertia from spin and gravity data (англ.) // Journal of Geophysical Research (англ.)русск. : journal. — 2012. — Vol. 117. — DOI:10.1029/2012JE004161.
• Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. — М.: Наука, 1988. — С. 42-73. — 195 с.

  — (Планета Земля и Вселенная). — 15 000 экз. — ISBN 502005951X.

• Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г.

  , Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997.

• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с.

  ISBN 5-7107-5956-3

Момент инерции, видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Эта статья доступна на английском языке – Moment of Inertia.

Источник: https://www.poznavayka.org/fizika/moment-inertsii/

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. §1 Момент инерции. Теорема Штейнера    Момент инерции материальной точки равен    Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Момент инерции тела в случае непрерывного распределения массы равен -интегрируется по всему объёму. 1. Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равномr. Объем такого слоя равен     Площадь кольца 2. Полый тонкостенный цилиндр радиуса R (обруч, велосипедное колесо и тому подобное). 3. Сплошной цилиндр или диск радиуса R 4. Прямой тонкий длиной    стержень, ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину. 5. Шар радиуса R, относительно оси, проходящей через его центр. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, момент инерции относительно любой другой оси параллельной данной, определяется с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела І относительно параллельной оси вращения равен моменту инерции Іс относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями Например, для обруча на рисунке момент инерции относительно оси O’O’, равен 6. Момент инерции прямого стержня длиной , ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец. §2 Кинетическая энергия вращения Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Z, проходящей через него, с угловой скоростью ω. Так как тело является абсолютно твердым, следовательно, все точки тела будут вращатьсяс одинаковой угловой скоростью       Если разбить тело на малые объёмы с элементарными массами m1,m2… находящиеся на расстоянии r1,r2…, от оси вращения, то кинетическую энергию тела можно записать в виде Известно, что  или         Из сравнения Wk. вр. с  Wk. поступательного движения () следует, что момент инерции вращательного движения заменяет массу во вращательном движении и является мерой инертности тела.    Если тело участвует в поступательном и вращательном движении одновременно, то его кинетическая энергия Например, цилиндр катиться без скольжения по плоскости. §3 Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела    Моментом силы  относительно неподвижной точкиO называется псевдовекторная величина  равная векторному произведению радиус-вектора , проведенному из точки O в точку приложения силы, на силу   Модуль момента силы: – псевдовектор, его направление совпадает с направлением плоскости движения правого винта при его вращении от  к . Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя , второй сомножитель  входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы  . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в котоой лежат векторы  и .  -где  кратчайшее расстояния между линией действия силы и точкой О называется плечом силы. Моментом силы  относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равнаяпроекции на эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки O данной оси Z. Если ось Z перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы  и , т.е. совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора совпадающего с осью. Ось, положение которой в пространстве остается неизменнымпривращении вокруг тела в отсутствие внешних сил,называется свободной осью тела.   Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существует 3 взаимно перпендикулярных, проходящих через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями:они называются главными осями инерции тела.    Найдем выражение для работы при вращательном движении тела. Пусть на массу m твердого тела действует внешняя сила . Тогда работа этой силы за время dt равна      Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, воспользовавшись правилом Тогда      Работа при вращении тела равна произведению момента действия силы на угол поворота . Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: Поэтому или Следовательно, – уравнение динамики вращательного движения       Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то выполняется векторное равенство    І – главный момент инерции (момент инерции относительно главной оси) §4 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса    Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением  ;   Модуль момента импульса: – радиус-вектор, проведённый из точки O в точку А, ? – плечо импульса (кратчайшее расстояние от точки О до линии действия импульса) – импульс материальной точки.  – псевдовектор, его направление определяется по правилу левой руки. Моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси  Z  называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса   не зависит от положения точки O на оси Z.    Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: Продифференцируем по  dt     – основное уравнение динамики вращательного движения. Вообще выполняется векторное равенство В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю    Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени §5 Величины, характеризующие поступательное и вращательное движение и связь между ними: Поступательное движение Вращательное движение Связь 1  – путь 2  – cкорость; 3  – ускорение;  – угловое ускорение 4 m – масса   – момент инерции 5  – uмпульс;  – момент импульса 6 ; 7 ;  – кин. энергия вращательного движения 8 dA -элементарная  работа; dA –  элементарная работа вращательного движения

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — это… Что такое МОМЕНТ ИНЕРЦИИ?

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех элементов тела на квадраты их расстояний hi от оси z, относительно которой он вычисляется, т. е. Центробежным моментом инерции относительно системы прямоугольных осей x, y, z называются величины(или соответствующие объемные интегралы). Они характеризуют динамическую неуравновешенность масс.

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

• МОМЕНТ ВРАЩАЮЩИЙ
• МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Полезное

Смотреть что такое «МОМЕНТ ИНЕРЦИИ» в других словарях:

• Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС …   Википедия

• МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z наз. величина, определяемая… …   Физическая энциклопедия

• МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, механическая величина, играющая при вращательном движении ту же роль, что масса при движении поступательном. Например ускорение при поступательном движении обратно пропорционально массе, ускорение вращательного движения (угловое… …   Большая медицинская энциклопедия

• МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, мера инертности твердых тел при вращательном движении (подобно тому как масса является мерой инертности при поступательном движении). При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела,… …   Современная энциклопедия

• Момент инерции — МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, мера инертности твердых тел при вращательном движении (подобно тому как масса является мерой инертности при поступательном движении). При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела,… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

• МОМЕНТ ИНЕРЦИИ — (обозначение I), для вращающегося тела сумма произведений, полученных путем умножения масс точек вращающегося тела на квадраты их расстояний от оси вращения. Нахождение этого распределения массы важно при определении силы, необходимой, чтобы… …   Научно-технический энциклопедический словарь

• Момент инерции — – величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. [Полякова, Т.Ю.  Автодорожные мосты: учебный англо русский и русско английский терминологический… …   Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

• момент инерции — 3.24 момент инерции (moment of inertia): Интегральная сумма произведений массы отдельных частей тела на квадраты расстояний (радиусов) их центров тяжести от заданной оси. Источник: ГОСТ Р 52776 2007: Машины электрические вращающиеся. Номинальные… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Момент инерции — (Moment d inertie, Trägheitsmoment, Moment of inertia) понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия: один из путей, приводящий к его определению, следующий.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• момент инерции — величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех… …   Энциклопедический словарь

Книги

• Механика и молекулярная физика. Учебное пособие, Ландау Лев Давидович, Ахиезер Александр Ильич, Лифшиц Евгений Михайлович. Трудно писать о книге Л. Д. Ландау, А. И. Ахиезера, Е. М. Лифшица, потому что это как раз тот случай, когда ни книга, ни, тем более, её авторы, как принято говорить,`в рекламене нуждаются`.… Подробнее  Купить за 1849 грн (только Украина)
• Физика. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Лабораторный практикум. Часть 2, Сергей Валянский. Лабораторный практикум по разделам «Механика» и «Молекулярная физика и термодинамика» состоит из двух частей. Во второй части приведены описания восьми лабораторных работ, поставленных на… Подробнее  Купить за 484 руб электронная книга
• Физика. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Лабораторный практикум. Часть 2, Сергей Валянский. Лабораторный практикум по разделам «Механика» и «Молекулярная физика и термодинамика» состоит из двух частей. Во второй части приведены описания восьми лабораторных работ, поставленных на… Подробнее  Купить за 484 руб электронная книга

Другие книги по запросу «МОМЕНТ ИНЕРЦИИ» >>

Момент силы и момент инерции

 

В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические вели­чины — момент сил и момент инерции, физический смысл которых рас­кроем ниже.

Пусть некоторое тело под действием силы , приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО’ (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – К выводу понятия момента силы

 

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, назы­вают плечом силы. Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

(5.1)

 

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

 

(5.2)

Единица момента силы — ньютон-метр (Н^.м). Направление вектора момента силы находиться с помощью пра­вила правого винта.

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции материальной точки относительно оси враще­ния — произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:

(5.3)

 

Момент инерции тела относительно оси вращения — сумма мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокуп­ность точек с малыми массами dm, момент инерции определяется интег­рированием:

, (5.5)

где r — расстояние от оси вращения до элемента массой dm.

Если тело однородно и его плотность ρ = m/V, то момент инерции тела

(5.6)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих пра­вильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, прохо­дящей через центр инерции и перпендикулярной стержню,

(5.7)

Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

 

(5.8)

Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относи­тельно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(5.9)

 

Момент инерции шара относительно диаметра

 

(5.10)

Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей че­рез центр инерции и перпендикулярной плоско­сти вращения. Пусть масса диска – m, а его радиус – R.

Площадь кольца (рисунок 5.2), заключенного между r и , равна .

Рисунок 5.2 – К выводу момента инерции диска

 

Площадь диска . При постоянной толщине кольца,

 

откуда или .

Тогда момент инерции диска,

 

(5.11)

 

Для наглядности на рисунке 5.3 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

 

 

Рисунок 5.3 – Моменты инерции I_C некоторых однородных твердых тел.

 

 

Теорема Штейнера

Приведенные выше формулы для моментов инерции тел даны при усло­вии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует восполь­зоваться теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J₀ отно­сительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инер­ции тела, и величины md²:

 

(5.12)

 

где m — масса тела, d — расстояние от центра масс до выбранной оси вра­щения. Единица момента инерции — килограмм-метр в квадрате (кг ^. м²).

Так, момент инерции однородного стержня длиной l относительно оси, про­ходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

 

(5.13)

 

Узнать еще:

Вращательные движения — Биомеханика движений фигуриста (Мишин А.Н.)

При рассмотрений обязательных упражнений мы встречались с разновидностями опорных вращательных движений. Мы знаем, что вращательные движения, например повороты, обусловлены главным образом встречным поворотом верхней части тела относительно нижней и не связаны с длительным и быстрым вращением всего тела. Напротив, в произвольном катании наиболее характерными являются движения, связанные с вращением всего тела вокруг продольной оси в 2; 2,5; 3; 3,5 и более оборотов в полете в прыжках, а во вращениях достигают нескольких десятков оборотов. Именно стремительные вращения вокруг вертикальной оси, пожалуй, являются наиболее ярким олицетворением движений произвольного катания.

Основы механики вращений

В связи с особой важностью вращательных движении в общем комплексе упражнений произвольного катания рассмотрим коротко основные понятия и терминологию механики вращательного движения тела вокруг вертикальной оси.

Характеристики вращательных движений. В качестве пример, вращающегося тела рассмотрим тело фигуриста, выполняющего пируэт на одной ноге (рис. 19, а). Будем условно считать, что вращение его тела происходит вокруг неподвижной оси.

Вращательным движением твердого тела относительно неподвижной оси называется такое движение, при котором две его точки остаются неподвижными. Ось, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Вращение тела характеризуется угловой скоростью тела. Величина угловой скорости определяется отношением угла поворота тела к времени, за которое произошел этот поворот:

Угловая скорость характеризуется не только величиной, но и направлением в пространстве, т. е. является вектором, направленным по оси вращения в ту сторону, откуда вращение наблюдается против часовой стрелки. Различают среднюю угловую скорость, измеряемую в течение нескольких оборотов, и мгновенную угловую скорость тела в данный момент.

Если угловая скорость всех точек напряженного тела одинакова, то линейная скорость для каждой точки разная. Зависимость между угловой и линейной скоростями точки выражается формулой:

где R — расстояние точки от оси вращения.

Эта простая зависимость имеет во вращениях важное значение, так как при одной и той же угловой скорости тела со линейные скорости точек тела разные; чем дальше они остоят от оси вращения, тем их линейная скорость больше (рис. 19, б).

Рассмотрим ускорения точки вращающегося тела (рис. 20). Скорость точки является величиной векторной, т. е. может изменяться по величине и направлению в пространстве. Ускорение, вызванное изменением величины вектора скорости, называется касательным или тангенциальным; оно направлено по касательной к траектории движения точки, совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно вектору скорости при замедленном движении. Оно равно:

или

При движении точки по окружности ,где — угловое ускорение тела, имеющее размерность

Ускорение, вызванное изменением направления вектора скорости точки, называется нормальным. Оно направлено по нормали в сторону вогнутости траектории и равно при движении точки по окружности . Ускорение точки имеет размерность м/с2.

На рис. 20 приведены векторы касательного и нормального ускорений точки кисти руки фигуриста в пируэте. Таким образом, если вектор скорости изменяется и по величине, и по направлению, то движущаяся точка имеет ускорение, состоящее из касательного и нормального. Геометрическая сумма этих ускорений называется полным ускорением и направлена по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений.

Мерой инертности тела при. поступательном движении является его масса, измеряемая в килограммах. Во вращательном движении особое значение приобретает распределение массы тела относительно оси вращения: удаление массы тела от оси вращения увеличивает инертность тела во вращательном движении вокруг этой оси, а приближение к оси уменьшает.

Рис. 19. Схема вращения фигуриста

Рис. 20. Ускорения точек вращающегося тела

Мерой инертности тела во вращательном движении является момент инерции, равный сумме произведений масс частей тела на квадраты их расстояний до оси вращения:

где m — массы частей тела; r — расстояние масс тела до оси вращения.

Следует подчеркнуть, что в выражение для величины момента инерции входят расстояния масс частей тела до оси вращения во второй степени, что объясняет значительное изменение момента инерции тела с постоянной массой при перераспределении масс частей тела относительно оси вращения.

Одной из важных характеристик вращающегося тела является количество запасенного им вращательного движения. Она носит название момента количества движения*

или кинетического момента тела К. Величина кинетического момента вращающегося тела измеряется произведением момента инерции тела относительно оси I и угловой скорости, вращения тела вокруг этой оси :

Кинетический момент является характеристикой, свойственной вращательному движению.

Закон сохранения момента количества движения

Для анализа вращательных движений фигуриста очень важно знать закон сохранения кинетического момента. Одним из свойств вращающегося тела является стремление сохранить количество приобретенного вращательного движения, или, другими словами, величину кинетического момента. Для рассматриваемого нами случая закон сохранения кинетического момента может быть упрощенно сформулирован следующим образом:

«Кинетический момент тела относительно оси постоянен, если сумма моментов внешних сил относительно оси равна нулю»:

Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением конька о лед, можно считать, что при выполнении вращения на тело фигуриста действуют две внешние силы: сила веса и вертикальная составляющая реакции опоры. При хорошем выполнении пируэта эти силы совпадают с осью вращения, поэтому не создают моментов сил относительно оси.

Во вращательном движении при выполнении пируэта зависимость проявляется в постоянной взаимосвязи между величинами момента инерции тела и его угловой скоростью вращения. Другими словами, уменьшение одного множителя вызывает увеличение другого настолько, что их произведение остается неизменным. Именно поэтому приближение звеньев тела к оси вращения в процессе группировки, т. е. уменьшение момента инерции, обусловливает увеличение скорости вращения тела и наоборот.

Сравнение моментов инерции тела в различных положениях позволяет, в частности, установить, что группировка рук из положения в стороны может увеличить скорость вращения тела почти вдвое, а переход из положения ласточки в положение стоя с руками вдоль тела—более чем в семь раз. Эти данные не учитывают сил сопротивления, испытываемых телом при вращении, поэтому реальное увеличение угловой скорости всегда меньше и зависит от характера контакта конька со льдом. С этой точки зрения выгодны опора на переднюю треть конька без касания льда зубцами и отсутствие так называемого скобления ребром конька о лед. Наименьшее сопротивление оказывается в случае, если конец опорной ноги во время вращения выполняет петли небольшого размера (3—5 см).

Силы инерции при вращениях

Для определения динамической структуры вращательного движения рассмотрим силы инерции, действующие на звенья тела фигуриста при выполнении пируэта.

При анализе ускорений, действующих на точки вращающегося тела, было определено, что в общем случае таких ускорений два: нормальное и касательное. Отсюда на точки вращающегося тела действуют также две силы инерции: нормальная и касательная.

Возьмем систему координат хОу с началом в центре тяжести тела. Ось Oz направим по оси вращения. При равномерном вращении тела вокруг оси Oz с угловой скоростью w на две симметрично расположенные точки A и B будут действовать только нормальные силы инерции, равные по величине направленные противоположно центростремительному ускорению (рис. 21, а). И) формулы видно, что величина этих сил прямо пропорциональна массе точки т, квадрату угловой скорости w и расстоянию r точки от оси вращения.

При изменении угловой скорости появляются угловое ускорение и касательные силы инерции, равные по величине и направленные по касательной к траектории точек А и В в стороны, противоположные касательным ускорениям (рис. 21,б). Касательные силы инерции образуют пару сил, лежащую в плоскости, параллельной плоскости хОу. Эта пара сил препятствует вращению фигуриста вокруг оси Oz.

Причины изменения скорости вращения

В различных вращательных движениях и пируэтах фигурист меняет угловую скорость вращения своего тела в значительных пределах. В соответствии с законом сохранения кинетического момента изменение скорости вращения сопровождается изменением момента инерции тела— группировкой или раз-группировкой. Причиной изменения скорости являются определенные силы. Какие же силы вызывают изменение скорости вращения фигуриста?

Пренебрегая силами трения, можно сказать, что внешние силы, как мы уже говорили, не создают значительных моментов относительно оси вращения, т. е. не являются причиной изменений скорости вращения. Следовательно, изменение скорости вращения вызывают силы внутренние —группировки и разгруппировки, т. е. силы активного действия, обусловленные мышечной деятельностью человека.

Рассматривая эти силы, легко убедиться, что линии их действия при группировке и разгруппировке направлены к оси вращения или от нее, т. е., грубо говоря, они не поворачивают тело вокруг оси. Какие же силы непосредственно ускоряют или замедляют вращение тела? Это силы инерции Кориолиса, или, говоря точнее, моменты этих сил. Рассмотрим физическую сущность возникновения сил инерции Кориолиса, определим направление их действия и формулу для определения величины этих сил (рис.22).

В пируэте при группировке и разгруппировке имеют место два движения: вращение тела, которое будем называть переносным, и движение рук и свободной ноги вдоль радиуса к оси или от нее, которое будем называть относительным. Когда руки притягиваются к оси вращения (относительное движение), линейные скорости их частей станут меньше, т. е. звенья тела, участвующие в относительном движении, приобретут отрицательное ускорение (кориолисово). Иными словами —ускорение, направленное против вращения. Так-как всякая сила инерции всегда направлена в сторону, противоположную ускорению, то силы инерции Кориолиса будут направлены по ходу вращения. Они приложены к частям тела, выполняющим группировку, направлены в сторону вращения и увеличивают его угловую скорость.

Итак, в процессе вращения тела фигуриста, перемещения рук и свободной ноги к оси вращения или от нее возникают силы инерции Кориолиса, которые ускоряют вращение при группировке и замедляют его при разгруппировке. Кориоли-совы силы инерции зависят от величины угловой скорости вращения тела , линейной скорости частей тела при группировке и замедляют его при разгруппировке. Кориолисовы силы инерции зависят от величины угловой скорости вращения тела со, линейной скорости частей тела при группировке и разгруппировке — V, а также от синуса угла между векторами . Величина этих сил определяется по формуле:

На рис.23 приведена совокупность всех сил инерции, действующих на точки А и В вращающегося тела. Необходимо учитывать, что в действительности на каждую из точек тела действует результирующая сила инерции, равная векторной сумме перечисленных сил инерции: нормальной,касательной и кориоли-совой.

Рис. 21. Силы инерции точек врашающегося тела

Рис. 22. Силы инерции Кориолиса, действующие на точки вращающегося тела при группировке

Прецессия оси вращения

Анализируя вращательное движение, мы говорили, что в процессе вращения о. ц. т. тела находится точно над точкой опоры. В практике фигурного катания встречаются случаи, когда проекция о. ц. г. не совпадает с точкой опоры. В этом случае продольная ось тела z1, проходящая через точку опоры и о. ц. т., начинает вращаться вокруг вертикальной оси z2 с угловой скоростью (рис. 24). Такое движение оси вращающегося тела называют прецессией, а угловую скорость вращательного движения оси — угловой скоростью прецессии. Угловая скорость прецессии может быть определена из следующего выражения:

где: l-расстояние от точки опоры до о.ц.т. тела; — момент инерции фигуриста относительно оси вращения z1; Р-вес тела фигуриста; — угловая скорость фигуриста вокруг оси z1; —угловая скорость прецессии оси z1.

Прецессионное движение оси вращения нежелательно и с точки зрения качественной оценки пируэта, и, что, пожалуй, главное, с точки зрения управления движением, поскольку ориентация спортсмена, сохранение равновесия резко осложняются.

Из формулы видно, что угловая скорость прецессии обратно пропорциональна угловой скорости вращения фигуриста: чем больше угловая скорость вращения фигуриста, тем меньше угловая скорость прецессии , и наоборот. Отсюда вытекает важный практический вывод: чем больше скорость вращения тела фигуриста в пируэте, тем устойчивее положение оси вращения.

На устойчивость оси вращения положительно влияет также увеличение момента инерции тела относительно оси вращения . Однако наиболее важную роль в устойчивости оси вращения играет положение центра тяжести. Момент силы тяжести относительно точки опоры определяет угловую скорость прецессии. Для уменьшения угловой скорости прецессии следует уменьшить величину этого момента, т. е. стремиться к такому положению, при котором о.ц.т. тела находится над точкой опоры.

Устойчивость вращения к прецессии связана с расстоянием l от о.ц.т. до неподвижной точки вращения. Чем оно меньше, тем при прочих равных условиях меньше угловая скорость прецессии. Не удивительно поэтому, что наиболее устойчивым вращением является волчок —пируэт, в котором расстояние l минимально.

Интересно отметить, что устранение момента силы тяжести приводит к мгновенному устранению прецессии. Дру-гими словами, прецессия не обладает инерцией.

На практике встречаются две основные причины возникновения прецессии в пируэтах. В первом случае несовпадение точки опоры и проекции силы тяжести вызвано несовершенным въездом во вращение, неправильным определением центра вращения. Здесь резкое торможение, раннее начало вращения, неточное маховое движение порождают инерционные силы, отклоняющие о.ц.т. тела от вертикали.

В другом случае смещение о.ц.т. вызвано неправильным перемещением частей тела при смене позы.

Влияние положения тела фигуриста при вращениях на частоту сердечных сокращений*

Влияние положения тела фигуриста на характер кровообращения и частоту сердечных сокращений при вращениях наиболее ярко прослеживается при выполнении таких элементов, как вращение в ласточке, в ласточке со сменой ног, прыжок во вращение ласточка. В это время частота сердечных сокращений оказывается наиболее низка.

Интересна пульсограмма вращения в ласточке. При выполнении данного элемента отмечено заметное уменьшение частоты сердечных сокращений —6—12 уд/мин по сравнению с исходным — фоновым.

Этот интересный факт требует более глубокого исследования. Однако уже на основании проведенных опытов было высказано предположение, что данное явление может быть объяснено антиортостатической реакцией организма. Имеется в виду практически горизонтальное положение верхней части тела и свободной ноги при вращении. Возможно, что урежение пульса действительно является следствием реакции барорецепторов скаротидных синусов на увеличение венозного возврата крови, вызванного центробежными силами инерции.

Рис. 23. Совокупность сил инерции, действующих на точки вращающегося тела

Рис. 24. Прецессия оси вращения тела фигуриста

Исследования автора, проведенные под руководством профессора А. Б. Гандельсмана, позволяют предположить более сложную природу такого явления. Не отрицая возможности влияния центробежных сил на характер передвижения масс крови, хочется обратить внимание на два обстоятельства. Вращение в ласточке является пируэтом, в котором, пожалуй, в наибольшей степени выражен статический компонент движения. Вот почему энергетика этого упражнения весьма низкая. Кроме того, характер въезда во вращение и выезда из него не связан с необходимостью глубокого приседания и подъема, как в волчке, или группировки, как во вращении винт. Это также свидетельствует о наиболее низкой энергетической стоимости вращения в простой ласточке. Таким образом, можно предположить, что одной из причин урежения сердечного ритма при вращении в простой ласточке является именно низкая энергетика этого упражнения—более низкая, чем энергетика комплекса различных движений, при которых измеряется фоновый пульс.

Необходимо также учитывать эмоциональную сторону упражнения. В этом плане следует отметить, во-первых, сравнительную комфортность положения тела при вращении в ласточке и, во-вторых, наиболее низкую из всех вращений угловую скорость, которая и обусловливает относительно спокойный эмоциональный фон упражнения.

Другие же сходные по биомеханической структуре элементы: вращение в ласточке со сменой ног и прыжок во вращение ласточка —вызывают более выраженную ответную пульсовую реакцию, и феномен уменьшения частоты сердечных сокращений проявляется в меньшей степени. Этот факт связан с тем, что наряду с менее благоприятным эмоциональным фоном при выполнении данных двух элементов фигурист затрачивает дополнительную энергию на отталкивание и смену ног при вращении, что, естественно, увеличивает частоту сердечных сокращений.

Феномен уменьшения частоты сердечных сокращений при простом вращении в положении ласточка может быть использован при составлении произвольных программ.

Рационально включать вращения в ласточке в те места программы, после которых необходим промежуточный отдых, расслабление, снижение эмоционального фона, успокоение.

Анализ техники вращений

Благодаря кривизне лезвия конька в арсенале фигуриста может быть большое количество вращательных движений, возникающих естественно и выполняемых сравнительно легко. Такими движениями являются опорные вращения — пируэты. Они разнообразят произвольную программу, позволяют спортсмену продемонстрировать способность сохранять равновесие в сложной позиции при быстром вращении.

Пируэт представляет собой длительное вращательное движение тела вокруг вертикальной оси без заметного перемещения точки опоры. В зависимости от направления вращения различают пируэты вперед (вращение происходит в сторону опорной ноги) и назад (вращение выполняется в сторону свободной ноги).

С точки зрения позы, в которой выполняется пируэт, можно выделить три основные группы: пируэты стоя, пируэты в приседе (волчки) и пируэты в положении ласточка.

Различают простые пируэты, в которых вращение происходит в относительно неизменной позе, и сложные —со сменой позы (например, с переходом из положения стоя в положение сидя).

Пируэты могут выполняться на одной и обеих ногах. В последнем случае понятие «направление вращения» (вперед или назад) теряет смысл, так как обе ноги являются опорными. Поэтому здесь указывают лишь сторону вращения. В произвольных программах сейчас, как правило, встречаются сложные пируэты, состоящие из комбинаций перечисленных пируэтов.

Пируэт состоит из подхода, въезда, вращения и выезда. На рис. 25 приведены следы, оставленные при выполнении пируэта вперед. Дуги 1, 2, 3 и 4 соответствуют подходу, дуга 5 —въезду, точка 6—вращению, а дуги .7 и 8 —выезду. Подход. Существует несколько вариантов подходов. Наиболее удобным и поэтому целесообразным для начального обучения является сочетание тройки вперед-наружу с перебежкой назад. Используют подходы в виде тройки вперед-внутрь—назад-наружу, а также ходом вперед-наружу, подходе важно сохранять плавность скольжения, хорошу осанку, чтобы вращение было естественным, а приготовление к нему — незаметным.

Въезд. Это наиболее сложная и ответственная часть пируэта. Именно здесь возникает вращение. Как правило, если фигурист сообщил телу устойчивое вращение, то сохранять и поддерживать его не составляет большой сложности. След, оставляемый коньком при въезде, представляет собой кривую с плавно меняющейся кривизной. Выполняют въезд на согнутой ноге и не выпрямляют ее до тех пор, пока не возникнет устойчивое вращение.

Вращение телу можно придать двумя способами: толчком ногой при переходе с последней дуги подхода на въездную дугу, а также круговым маховым движением свободной ноги и руки при въезде. Во вращении стоя и в волчках следует использовать оба способа. При вращениях в ласточке маховое движение не всегда эффективно. Здесь оно приводит к выведению свободной ноги вперед, и для принятия положения ласточки фигурист вынужден в конце въезда резко отводить свободную ногу назад. Это движение часто вызывает потерю равновесия. Более простым и надежным является въезд с отведенной назад свободной ногой и одноименной рукой.

Напротив, при въезде в волчок круговое маховое движение весьма целесообразно и эффективно. Необходимо во время подхода сделать сильный мах руками и свободной ногой назад. Мах, т. е. выведение рук и ноги вперед, следует начинать только тогда, когда дуга достигнет максимальной кривизны.

Въезд во вращение стоя, по существу, не отличается от въезда в волчок. Здесь только опорная нога более выпрямлена. Не следует, однако, выпрямлять ее полностью: это может привести к нарушению равновесия.

Для устойчивости вращения очень важно, как выполнен конечный участок дуги въезда. В пируэтах вперед в конце въезда, когда дуга достигла максимальной кривизны, следует поворот тройкой вперед-наружу, после чего —окружность диаметром 30—40 см, выполняемая ходом назад-внутрь, и только затем начинается вращение.

Рис. 25. Следы пируэта вперед

Вращение. В простых пируэтах группировка отсутствует и положение, принятое в начале вращения, сохраняется почти неизменным. Поэтому здесь, как и при выполнении спиралей, важна точность положения тела, стабильность удержания его. Малейшая погрешность, допускаемая на протяжении пяти, шести и более оборотов, портит впечатление.

В ласточке необходимо вращаться на плоскости конька, не касаясь льда зубцами. Начинающие фигуристы часто теряют равновесие уже в начале вращения, так как чрезмерно перемещают центр тяжести тела вперед. Чтобы избежать этого, необходимо на протяжении всего вращения, особенно в начале его, оттягивать свободную ногу назад. Она должна быть выпрямлена, развернута, голова направлена вперед, а вытянутые руки на одной линии, находящейся в одной плоскости с опорной и свободной ногами.

В волчке вращение происходит на передней трети конька. Для повышения устойчивости в начале вращения допустимо легкое касание льда зубцами. Наиболее распространенная ошибка здесь—падение назад. Чтобы предотвратить ее, развернутая свободная нога и руки должны быть прямыми и вытянутыми вперед. Опорная нога при этом согнута, голова подтянута, плечи опущены.

Вращение стоя также происходит на передней трети конька с легким касанием льда зубцами.

В сложных пируэтах происходит группировка. Ее можно выполнять в двух вариантах: в первом варианте приближение рук и свободной ноги к оси вращения происходит при неизменном основном положении тела (например, стоя или в приседе), во втором поза меняется —части тела приближаются к оси вращения (например, переход из ласточки в волчок или из волчка в положение стоя). При этом скорость вращения тела возрастает.

Рассмотрим пример группировки в пируэте стоя, называемом винтом. Из положения, когда нога вытянута вперед, правую ногу, не опуская, выводят вперед, сгибают в колене и скрещивают с левой, на которой происходит вращение. Затем правую ногу опускают, скользя задней поверхностью голени по левой. Это движение сопровождается группировкой рук одновременно с группировкой ног или несколько позже. В заключительной фазе руки плотно прижимают к телу, а слегка согнутую опорную ногу выпрямляют, что дает дополнительное увеличение скорости вращения. Необходимо следить за симметрией группировки, ибо неодинаковое движение рук вызывает нарушение равновесия. В этом пируэте скорость вращения наибольшая—до 4 и более оборотов в секунду.

Выезд. Выполнению всегда предшествует движение, обратное группировке,— разгруппировка. Делается это для уменьшения скорости вращения, что облегчает выполнение выезда. Здесь важно, чтобы разгруппировка заканчивалась небольшим сгибанием опорной ноги.

Обычно выезд выполняют со сменой ноги: ранее свободная ном становится опорной, и вращение завершается тол-ком, аналогичным толчку в обязательной фигуре № 3, с последующим скольжением назад-наружу. Данный вариант выезда наиболее распространен; его рекомендуют при разучивании пируэтов. В программах мастеров встречаются более сложные выезды (например, вперед-наружу со сменой ноги, назад-внутрь без смены ноги, въезд в остановку, в прыжок). При любом варианте следует стремиться к слитности всех движений, к такому выполнению, при котором выезд является естественным продолжением вращения.

Заклоны. Особой разновидностью пируэтов являются так называемые заклоны. Их выполняют со значительным прогибом назад или в сторону и с откинутой головой. Вращение с необычным положением головы усложняет пространственную ориентировку, вызывает нарушение координации движений, порой сопровождается головокружением. В то же время заклоны —очень ценное упражнение для совершенствования равновесия.

Прежде чем осваивать данную группу пируэтов, фигурист должен научиться уверенно принимать эту позу без коньков. Подход и въезд делают как в обычных вращениях. Положение заклона принимают в тот момент, когда начинается вращение. Далее прогиб рекомендуется увеличить и вместе с тем по возможности (незаметно для наблюдателя) выполнять группировку. Опытные фигуристы иногда поднимают одну руку вверх или опускают вниз, чтобы ее положение совпадало с положением оси вращения: это обеспечивает дополнительную группировку, что вызывает увеличение скорости вращения. С заклонами весьма схожи паузы с захватом свободной ноги одной или двумя руками.

Пируэты назад.Исключительно ценными для дальнейшего овладения прыжками являются пируэты назад. Их выполняют в тех же позах, что и пируэты вперед. Но есть у них некоторые особенности. Так, несмотря на то, что направление общего вращения тела в пируэте назад и вперед может быть одно и то же, ощущения, испытываемые фигуристом, различны. Пируэты назад наиболее точно имитируют движения тела в полете при выполнении прыжков, поэтому важны как подготовительные упражнения. Они красивы; включают их в различные комбинации.

При обучении вращениям назад рекомендуется выполнять подход (рис. 26) в виде крутой дуги вперед-внутрь (дута 1). Въезд представляет собой дугу вперед-внутрь на другой ноге (дуга 2), описывая которую фигурист делает энергичное вращательное движение свободной ноги и рук. Вращение (точка 3) может выполняться в любом положении (в ласточке, волчке, стоя), а также в промежуточных положениях. Выезд (дуга 4) лучше всего разучивать на той же ноге, на которой происходило вращение: это помогает совершенствовать выезд из многооборотных прыжков.

Освоение пируэтов вперед и назад открывает большие возможности для выполнения различных комбинаций: это волчок со сменой ноги, вращение в ласточке со сменой ноги, варианты смены положения тела и ноги.

Для успешного овладения пируэтами важно определить удобную для спортсмена сторону вращения. Большинство фигуристов быстрее овладевают вращениями влево и лучше их переносят. Наиболее простой и верный способ определения «своего» направления вращения —выполнение пируэта назад с выездом без смены ноги. Если этот, пируэт и выезд увереннее и легче получаются на правой ноге, следует лучшие варианты своих вращений планировать влево, и наоборот.

Разучивание пируэтов вперед и назад в различных позах помогает подготовить организм фигуриста к вращательным нагрузкам, которые он постоянно испытывает во время катания.

Специальные упражнения для совершенствования вращений

Одним из важных направлений в тренировке вращений вне льда является работа над гибкостью.

При этом необходимо сочетать традиционные способы развития пассивной гибкости с помощью различных растягиваний, шпагатов, махов и т. п. с развитием активной гибкости. Например, одной из наиболее сложных поз, особенно для мальчиков, является вращение в ласточке. Для ее совершенствования целесообразно применять утяжелитель, прикрепляемый к стопе свободной ноги. Он позволяет добиваться хорошего эффекта при развитии как пассивной гибкости (выполнение махов назад), так и активной (удержание свободной ноги с грузом в требуемой позе).

Рис. 26. Следы пируэта назад

Этот же способ эффективен и в занятиях вне льда. Лучшим способом совершенствования положения тела во вращении ласточка, на наш взгляд, является разучивание так называемой качающейся ласточки—поочередно на обеих нoгax.

Целесообразно использовать тренажер «Грация» для совершенствования точности позы и чувства равновесия. Для совершенствования общей выносливости фигуриста к вращательным нагрузкам весьма эффективны специальные тренажеры в виде вращающихся платформ с электроприводом и плавной регулировкой скорости вращения в пределах от ноля до 5 и более оборотов в секунду.

В тренировках на льду основное внимание следует уделять поиску оптимального варианта въезда во вращение и оптимального контакта конька со льдом во время вращения. Следует анализировать характер следов на льду, обращая главное внимание на отсутствие скоблений, касания льда зубцами.

Хорошим средством совершенствования качества въезда во вращения, повышения стабильности их выполнения являются тренировки с выключением зрения. Надевая специальные непрозрачные очки, фигурист выполняет требуемое вращение. При этом обостряется деятельность двигательного, вестибулярного, тактильного и слухового анализаторов. Опыты показали, что такие упражнения повышают устойчивость навыка, делают выполнение вращений более уверенными, стабильными. Практика показала, что у одних фигуристов принятие требуемой позы происходит с участием зрительного анализатора, выключение зрения у них нарушает точность позы; у других же это происходит практически без участия зрительного анализатора. Сравнение стабильности и качества выполнения вращений показало, что обеспечение позы в основном с помощью двигательного анализатора более совершенно.

Тест по дисциплине «Динамика вращательного движения» для УГНТУ

Раздел 7. Динамика вращательного движения
1. Уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси описывается следующей формулой.

2. Момент силы относительно оси вращения – это ….
a. векторное произведение силы на радиус-вектор точки её приложения
b. скалярная величина, аналог силы в уравнении динамики вращательного движения
c. производная от силы по времени
d. сила, делённая на радиус вращения
3. Момент силы относительно точки определяется выражением ….

4. Свободные оси – это ….
a. оси вращения, которые не закреплены
b. оси вращения, совпадающие по направлению с осями координат
c. такие оси, в точках крепления которых, при вращении силы не действуют
d. оси вращения перпендикулярные друг к другу и вектору приложенной силы
5. Аналогом массы в уравнении динамики вращательного движения является ..
a. момент инерции
b. момент вращения
c. угловой момент
d. момент движения
6. Тензор инерции – это совокупность ….
a. коэффициентов, связывающих компоненты векторов углового ускорения и момента силы
b. моментов инерции тела относительно координатных осей
c. коэффициентов, характеризующих соотношение моментов инерции тела относительно осей вращения
d. моментов инерции тела относительно свободных осей
7. Моменту инерции свободно движущегося тела соответствует математический объект называемый ….
a. вектором
b. скаляром
c. матрицей
d. тензором
8. Момент инерции абсолютно твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения
зависит от …. Указать все правильные ответы.
a. ориентации осей координат по отношению к этой оси
b. углового ускорения
c. распределения масс по объёму тела
d. момента приложенной силы
9. Главные оси вращения – это ….
a. оси ортогональной системы координат
b. такие оси вращения, относительно которых момент инерции тела принимает
максимальное или минимальное значения
c. такие оси вращения, относительно которых момент инерции тела максимален
d. оси координат, при приведении к которым, тензор момента инерции принимает
диагональный вид
10. Главные моменты инерции – это ….
a. моменты инерции, посчитанные относительно осей координат
b. числа, стоящие на главной диагонали тензора момента инерции, приведённого к
диагональному виду
c. максимальный и минимальный моменты инерции тела
d. максимальное и минимальное числа в матрице, представляющей тензор момента
инерции тела
11. Момент инерции материальной точки относительно фиксированной оси вращения
определяется следующим выражением.

12. Чтобы найти момент инерции твёрдого тела относительно фиксированной оси вращения, необходимо ….
a. умножить массу тела на расстояние от оси вращения до центра масс
b. умножить массу тела на квадрат расстояния от оси вращения до центра масс
c. разбить тело на малые части, перемножить их массы и расстояния до оси вращения и сложить эти величины
d. разбить тело на малые части, посчитать их моменты инерции и сложить их
13. Момент инерции однородного диска радиуса R и массы m относительно его оси вращения определяется следующим выражением.

14. Момент инерции стержня длины ℓ и массы m относительно оси, проходящей через его
конец перпендикулярно стержню, определяется следующим выражением.

15. Момент инерции тонкостенного цилиндра радиуса R и массы m относительно оси, проходящей вдоль его оси симметрии, определяется следующим выражением.

16. Теорему Штейнера можно сформулировать следующим образом.
a. Момент силы, приложенной к телу, равен производной по времени из произведения момента инерции на угловое ускорение
b. Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции
относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и
произведения массы тела на квадрат расстояния между осями
c. Момент силы равен произведению силы на плечо силы
d. Путём преобразования системы координат можно получить тензор момента инерции диагонального вида
17. Теорема Штейнера описывается следующей формулой.

18. Гироскоп – это ….
a. прибор для определения скорости движущегося объекта
b. массивное тело, движущееся с большой скоростью вокруг оси, относительно которой оно обладает максимальным моментом инерции
c. прибор для определения ориентации движущегося объекта
d. массивное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг своей оси симметрии
19. Гироскопы используют для ….
a. создания гирокомпасов
b. измерения ускорений
c. измерения скоростей
d. измерения сил
20. Прецессия гироскопа – это ….
a. медленное вращение оси гироскопа вокруг другой оси
b. характеристика его механических свойств
c. стремление гироскопа сохранить ориентацию своей оси вращения
d. характеристика его динамических свойств
21. При разгоне велосипедиста массой 60 кг сила трения между колесом радиуса 30 см и
дорогой составляет 600 Н. При этом, момент силы, действующей на колесо велосипеда
равен ….
a. 2000 Н/м
b. 20 Н/м
c. 180 Н·м
d. 10 Н/кг
22. Момент силы, действующей на колесо радиусом 20 см неподвижной тележки массой 100 кг равен ….
a. 20 Н·м
b. 50 Н·м
c. 200 Н·м
d. 0 Н·м
23. Момент инерции модели самолёта массой один килограмм, вращающейся на корде длиной 5 м относительно оси вращения равен ….
a. 5 кг·м
b. 25 кг·м2
c. 0,2 кг/м
d. 50 Н·м
24. Момент инерции автомобиля массой 1000 кг при движении со скоростью 36 км/ч по прямолинейному участку дороги равен ….
a. не определён
b. 1000 кг
c. 10⁴ кг
d. 980 Н
25. Под действием момента силы 100 Н·м, маховик массой 20 кг c моментом инерции 2 кг·м²   приобретает угловое ускорение ….
a. 100 Н/м²
b. 50 м/с²
c. 2000 рад/с
d. 5 рад/с²
26. Момент силы, сообщающей маховику массой 4 кг c моментом инерции 2 кг·м²   угловое ускорение 12 рад/с²,  равен ….
a. 24 Н·м
b. 48 Н
c. 6 м/с²
d. 1,5 Н·м
27. Момент инерции тела, движущегося с угловым ускорением 2 рад/с2 под действием момента силы 4 Н·м, равен ….
a. 8 Н·м/с²
b. 2 кг·м
c. 0,5 Н·м
d. 1,0 Н/м
28. Момент силы, действующей на маховик радиусом 50 см со стороны груза массой 10 кг, подвешенного на намотанной на маховик нити равен ….
a. 200 Н/м
b. 5 кг·м
c. 2,5 кг·м
d. 50 Н·м
29. Тонкостенный цилиндр радиусом 20 см имеет момент инерции 2 кг·м2 относительно своей оси. Относительно оси, проходящей вдоль его боковой поверхности, этот цилиндр имеет момент инерции ….
a. 1 кг·м
b. 4 кг·м
c. 2 кг·м
d. 10 кг·м
30. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его центр, имеет величину 5 кг·м2. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец, равен ….
a. 10 кг·м
b. 2,5 кг·м
c. 20 кг·м
d. 1,25 кг·м

10,4 Момент инерции и вращательной кинетической энергии — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите разницу между вращательной и поступательной кинетической энергией
• Определите физическое понятие момента инерции в терминах распределения массы от оси вращения
• Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
• Использование сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
• Расчет угловой скорости вращающейся системы при наличии потерь энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения.В этом разделе мы определяем две новые величины, которые полезны для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическая энергия вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, которые нам понадобятся для анализа динамики вращения.

Кинетическая энергия вращения

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как рассчитать это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость — которая одинакова для всего твердого тела — для выражения кинетической энергии вращающегося объекта. (Рисунок) показывает пример очень энергичного вращающегося тела: электрический точильный камень, приводимый в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникает шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, часть которой находится в форме тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме кинетической энергии вращения .

Рисунок 10.17 Кинетическая энергия вращения точильного камня преобразуется в тепло, свет, звук и вибрацию. (Источник: Захари Дэвид Белл, ВМС США)

Энергия во вращательном движении — не новая форма энергии; скорее, это энергия, связанная с вращательным движением, такая же, как кинетическая энергия в поступательном движении. Однако, поскольку кинетическая энергия задается

, а скорость — величина, которая различается для каждой точки вращающегося тела вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию через переменную

, который одинаков для всех точек твердого вращающегося тела.Для одиночной частицы, вращающейся вокруг фиксированной оси, это легко вычислить. Мы можем связать угловую скорость с величиной поступательной скорости, используя соотношение

, где r — расстояние частицы от оси вращения, а

— его тангенциальная скорость. Подставляя в уравнение для кинетической энергии, находим

В случае твердого вращающегося тела мы можем разделить любое тело на большое количество меньших масс, каждая из которых имеет массу

и расстояние до оси вращения

, так что общая масса тела равна сумме индивидуальных масс:

.Каждая меньшая масса имеет тангенциальную скорость

.

, где на данный момент мы опустили индекс t . Полная кинетическая энергия твердого вращающегося тела

и с

для всех масс,

Единицы измерения (рисунок) — джоули (Дж). Уравнение в этой форме полное, но неудобное; нам нужно найти способ его обобщить.

Момент инерции

Если мы сравним (рисунок) с тем, как мы записали кинетическую энергию в работе и кинетической энергии, то

, это говорит о том, что у нас есть новая переменная вращения, которую нужно добавить в наш список наших отношений между переменными вращения и поступательными переменными.Количество

является эквивалентом массы в уравнении кинетической энергии вращения. Это новый важный термин для обозначения вращательного движения. Эта величина называется моментом инерции I , с единицей измерения

.

:

А пока оставим выражение в форме суммирования, представляющее момент инерции системы точечных частиц, вращающихся вокруг фиксированной оси. Отметим, что момент инерции одиночной точечной частицы относительно фиксированной оси просто равен

, где r — расстояние от точечной частицы до оси вращения.В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для вычисления момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции — это количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса — это количественная мера линейной инерции, то есть чем массивнее объект, тем больше у него инерции и тем больше у него сопротивление изменению линейной скорости. Точно так же, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше его сопротивление изменению угловой скорости относительно фиксированной оси вращения.Интересно посмотреть, как момент инерции изменяется в зависимости от r, расстояния до оси вращения массовых частиц (рисунок). Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, обладают большими моментами инерции, чем тела и системы такой же массы, но сосредоточенные около оси вращения. Таким образом, мы можем видеть, что полый цилиндр имеет большую инерцию вращения, чем твердый цилиндр той же массы при вращении вокруг оси, проходящей через центр.Подставляя (рисунок) в (рисунок), выражение для кинетической энергии вращающегося твердого тела становится

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в устройствах накопления энергии с маховиком и , которые предназначены для хранения большого количества кинетической энергии вращения. Многие автопроизводители сейчас тестируют в своих автомобилях маховик-накопители энергии, такие как маховик или система рекуперации кинетической энергии, показанные на (Рисунок).

Рисунок 10.18 Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях. (кредит: «cmonville» / Flickr)

Вращательные и поступательные величины кинетической энергии и инерции приведены на (Рисунок). Столбец отношений не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных на (рисунок).

Вращательная и поступательная кинетическая энергия и инерция

ротационный	Трансляционный

Пример

Момент инерции системы частиц

Шесть маленьких шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и 0.Длина 5 м. Масса каждой шайбы 20 г. Стержень вращается вокруг оси, расположенной на расстоянии 25 см, как показано на (Рисунок). а) Каков момент инерции системы? (b) Если снять две ближайшие к оси шайбы, каков момент инерции остальных четырех шайб? (c) Если система с шестью шайбами ​​вращается со скоростью 5 об / с, какова ее кинетическая энергия вращения?

Рис. 10.19 Шесть шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы, вращающемся вокруг вертикальной оси.

Стратегия

1. Мы используем определение момента инерции для системы частиц и выполняем суммирование, чтобы оценить эту величину. Все массы одинаковы, поэтому мы можем поставить это количество перед символом суммирования.
2. Делаем аналогичный расчет.
3. Подставим результат из (а) в выражение для кинетической энергии вращения.

Решение

1. .

2. .

3. .

Значение

Мы можем видеть индивидуальные вклады в момент инерции. Массы, близкие к оси вращения, вносят очень небольшой вклад. Когда мы их сняли, это очень мало повлияло на момент инерции.

В следующем разделе мы обобщаем уравнение суммирования для точечных частиц и разрабатываем метод вычисления моментов инерции для твердых тел. На данный момент, однако, (рисунок) дает значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг указанных осей.

Рисунок 10.20. Значения инерции вращения для обычных форм объектов.

Применение кинетической энергии вращения

Теперь давайте применим идеи вращательной кинетической энергии и таблицы моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами. Следующие ниже примеры также помогут вам освоить эти уравнения. Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

Стратегия решения проблем: энергия вращения

1. Определите, какая энергия или работа задействованы во вращении.
2. Определите интересующую систему. Обычно помогает набросок.
3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работ и задействованные энергии.
4. Если нет потерь энергии из-за трения и других неконсервативных сил, механическая энергия сохраняется, то есть

   .

5. Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее.Определите, что это такое, и при необходимости рассчитайте их.
6. По возможности исключите термины, чтобы упростить алгебру.
7. Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

Пример

Расчет энергии вертолета

Типичный небольшой спасательный вертолет имеет четыре лопасти: каждая длиной 4,00 м и массой 50,0 кг ((Рисунок)). Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную массу в снаряженном состоянии 1000 кг. (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об / мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м / с, и сравните ее с энергией вращения лопастей.

Рис. 10.21 (a) Эскиз четырехлопастного вертолета. (b) Спасательная операция на воде с участием вертолета спасательной службы Окленда Вестпак. (кредит b: «111 Emergency» / Flickr)

Стратегия

Вращательная и поступательная кинетические энергии могут быть вычислены по их определениям.Формулировка задачи дает все необходимые константы для вычисления выражений для вращательной и поступательной кинетической энергии.

Решение

1. Кинетическая энергия вращения равна

   Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем сможем найти K . Угловая скорость

   это

   Момент инерции одной лопасти — это момент инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг своего конца, указанного на (Рисунок).Общий I в четыре раза больше этого момента инерции, потому что имеется четыре лопасти. Таким образом,

   Ввод

   и I в выражение для кинетической энергии вращения дает

2. Вводя данные значения в уравнение для поступательной кинетической энергии, получаем

   Чтобы сравнить кинетические энергии, мы берем отношение поступательной кинетической энергии к вращательной кинетической энергии.Это соотношение

Значение

Отношение поступательной энергии к вращательной кинетической энергии составляет всего 0,380. Это соотношение говорит нам о том, что большая часть кинетической энергии вертолета находится в его вращающихся лопастях.

Пример

Энергия в бумеранге

Человек бросает бумеранг в воздух со скоростью 30,0 м / с под углом

.

относительно горизонтали ((рисунок)).Он имеет массу 1,0 кг и вращается со скоростью 10,0 об / с. Момент инерции бумеранга равен

.

где

. а) Какова полная энергия бумеранга, когда он покидает руку? б) Насколько высоко бумеранг идет от высоты руки, если не учитывать сопротивление воздуха?

Рис. 10.22 Бумеранг подбрасывается в воздух под начальным углом

.

Стратегия

Мы используем определения вращательной и линейной кинетической энергии, чтобы найти полную энергию системы.Задача состоит в том, чтобы пренебречь сопротивлением воздуха, поэтому нам не нужно беспокоиться о потере энергии. В части (b) мы используем закон сохранения механической энергии, чтобы найти максимальную высоту бумеранга.

Решение

1. Момент инерции:

   . Угловая скорость:

   . Таким образом, кинетическая энергия вращения равна

   .

   Поступательная кинетическая энергия

   Таким образом, полная энергия в бумеранге равна

   .

2. Мы используем консервацию механической энергии.Поскольку бумеранг запускается под углом, нам нужно записать полную энергию системы в терминах ее линейной кинетической энергии, используя скорость в направлениях x и y . Общая энергия, когда бумеранг покидает руку, составляет

   Полная энергия на максимальной высоте

   За счет сохранения механической энергии,

   , так что после отмены подобных условий имеем

   с

   , находим

Значение

В части (b) решение демонстрирует, что сохранение энергии является альтернативным методом решения проблемы, которая обычно решается с использованием кинематики.В отсутствие сопротивления воздуха кинетическая энергия вращения не учитывалась при расчете максимальной высоты.

Проверьте свое понимание

Винт атомной подводной лодки имеет момент инерции

. Если погружной гребной винт имеет скорость вращения 4,0 об / с при выключенном двигателе, какова скорость вращения гребного винта через 5,0 с, когда водонепроницаемость системы снизилась на 50 000 Дж?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167133407380 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167133407380 ″]

Начальная кинетическая энергия вращения винта

.

При 5,0 с новая кинетическая энергия вращения гребного винта составляет

.

.

, а новая угловая скорость —

.

, что составляет 3,58 об / с.

[/ hidden-answer]

Сводка

• Кинетическая энергия вращения — это кинетическая энергия вращения вращающегося твердого тела или системы частиц, которая определяется выражением

  , где I — момент инерции или «вращательная масса» твердого тела или системы частиц.

• Момент инерции системы точечных частиц, вращающихся вокруг фиксированной оси, равен

  , где

  — масса точечной частицы и

  — расстояние от точечной частицы до оси вращения. Из-за

  , момент инерции увеличивается как квадрат расстояния до фиксированной оси вращения. Момент инерции — это вращательный аналог массы при линейном движении.

• В системах, которые одновременно вращаются и поступательно, можно использовать сохранение механической энергии, если нет действующих неконсервативных сил. Полная механическая энергия сохраняется и является суммой вращательной и поступательной кинетической энергии и гравитационной потенциальной энергии.

Концептуальные вопросы

Что, если бы другая планета того же размера, что и Земля, была выведена на орбиту вокруг Солнца вместе с Землей. Будет ли момент инерции системы увеличиваться, уменьшаться или оставаться прежним?

Твердая сфера вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью.Другая полая сфера той же массы и радиуса вращается вокруг своей оси через центр с той же скоростью вращения. Какая сфера имеет большую кинетическую энергию вращения?

[show-answer q = ”fs-id1167133686306 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167133686306 ″]

Полая сфера, поскольку масса распределена дальше от оси вращения.

[/ hidden-answer]

Проблемы

Система точечных частиц показана на следующем рисунке.Каждая частица имеет массу 0,3 кг, и все они лежат в одной плоскости. а) Каков момент инерции системы относительно данной оси? (b) Если система вращается со скоростью 5 об / с, какова ее кинетическая энергия вращения?

(a) Рассчитайте кинетическую энергию вращения Земли вокруг своей оси. б) Какова кинетическая энергия вращения Земли на ее орбите вокруг Солнца?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167133871955 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167133871955 ″]

а.

г.

[/ hidden-answer]

Рассчитайте кинетическую энергию вращения колеса мотоцикла весом 12 кг, если его угловая скорость составляет 120 рад / с, а его внутренний радиус равен 0,280 м, а внешний радиус — 0,330 м.

Бейсбольный питчер бросает мяч движением, при котором предплечье вращается вокруг локтевого сустава, а также другие движения. Если линейная скорость мяча относительно локтевого сустава составляет 20,0 м / с на расстоянии 0.480 м от сустава и момент инерции предплечья

, какова кинетическая энергия вращения предплечья?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167133328943 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167133328943 ″]

[/ hidden-answer]

Дайвер делает сальто во время ныряния, подвернув конечности. Если ее кинетическая энергия вращения равна 100 Дж, а момент инерции в складке равен

, какова ее частота вращения во время сальто?

Самолет входит на посадку на высоте 300 метров, пропеллер падает.Самолет летит со скоростью 40,0 м / с по горизонтали. Пропеллер имеет скорость вращения 20 об / с, момент инерции

.

, а массой 200 кг. Пренебрегайте сопротивлением воздуха. а) С какой поступательной скоростью пропеллер ударяется о землю? (б) Какова частота вращения гребного винта при ударе?

[показывать-ответ q = ”fs-id1167132287070 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167132287070 ″]

а.

;
г.Скорость вращения винта остается прежней — 20 об / с.

[/ hidden-answer]

Если сопротивление воздуха присутствует в предыдущей задаче и снижает кинетическую энергию вращения воздушного винта при ударе на 30%, какова скорость вращения воздушного винта при ударе?

Нейтронная звезда с массой

и радиусом 10 км вращается с периодом 0,02 секунды. Какова его кинетическая энергия вращения?

[show-answer q = ”fs-id1167132279482 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1167132279482 ″]

[/ hidden-answer]

Электрическая шлифовальная машина, состоящая из вращающегося диска массой 0.7 кг и радиусом 10 см вращается со скоростью 15 об / сек. При нанесении на грубую деревянную стену скорость вращения уменьшается на 20%. а) Какова конечная кинетическая энергия вращения вращающегося диска? б) Насколько уменьшилась его кинетическая энергия вращения?

Система состоит из диска массой 2,0 кг и радиусом 50 см, на котором установлен кольцевой цилиндр массой 1,0 кг с внутренним радиусом 20 см и внешним радиусом 30 см (см. Ниже). Система вращается вокруг оси через центр диска и кольцевой цилиндр со скоростью 10 об / с.а) Каков момент инерции системы? б) Какова его кинетическая энергия вращения?

[показать-ответ q = ”535401 ″] Показать ответ [/ показать-ответ]
[скрытый-ответ a =” 535401 ″] a.

; б.

[/ hidden-answer]

Глоссарий

момент инерции

вращательная масса твердого тела, которая относится к тому, насколько легко или сложно будет изменить угловую скорость вращающегося твердого тела

кинетическая энергия вращения

кинетическая энергия от вращения объекта; это часть его полной кинетической энергии

Блог о технологиях сцепления

, автор: R + W

Угловое ускорение и момент инерции в конструкции машин

Как поставщик гибких приводных муфт и предохранительных муфт с шариковой фиксацией, нас часто просят оказать небольшую помощь в вычислении крутящих моментов, особенно для клиентов, желающих модернизировать существующее оборудование. 2).Уравнение ниже определяет скорость изменения угловой скорости.

ω = угловая скорость в стандартной системе СИ, радиан в секунду (рад / сек), 1 радиан = 57,3 градуса

t = время разгона в секундах

π = 3,1416

n = скорость привода в оборотах в минуту об / мин

В следующем примере угловая скорость будет рассчитана для ускорения от 0 до 60 об / мин за одну секунду. Обратите внимание, что 2π радиан в секунду = 60 об / мин.

Этот расчет очень полезен при проектировании машин, поскольку угловое ускорение, умноженное на крутящий момент инерции, равняется крутящему моменту. Имейте в виду, что точный момент инерции может быть трудно вычислить на основе сложной геометрии реальных приводных линий, а другие переменные, такие как трение, не учитываются в следующем расчете. Тем не менее, он по-прежнему очень полезен при приближении требований к крутящему моменту или установлении базовых минимальных значений для определения размеров компонентов.

Дж = момент инерции в кг ∙ м ²

T = крутящий момент в Н ∙ м

Н = сила в Ньютонах

кг = масса в килограммах

м = радиус плеча рычага в метрах

В последнем примере ниже мы будем использовать угловое ускорение, которое мы нашли выше, для расчета крутящего момента на маховике с радиусом 1 метр и массой 1000 кг.

Как мы видим, если бы маховик с радиусом 1 метр и массой 1000 кг был разогнан до 60 об / мин за одну секунду, для этого потребовалось бы 3141.59 Ньютон-метров входного крутящего момента.

Надеюсь, этот обзор по вычислению углового ускорения оказался для вас полезным. Если у вас есть вопросы, касающиеся выбора размеров и применения муфт валов или предохранительных муфт, обращайтесь в наш технический отдел.

[email protected]

10,5: момент инерции и кинетическая энергия вращения

Цели обучения

• Опишите разницу между вращательной и поступательной кинетической энергией
• Определите физическое понятие момента инерции в терминах распределения массы от оси вращения
• Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
• Использование сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
• Расчет угловой скорости вращающейся системы при наличии потерь энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения.В этом разделе мы определяем две новые величины, которые полезны для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическая энергия вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, которые нам понадобятся для анализа динамики вращения.

Кинетическая энергия вращения

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как рассчитать это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость — которая одинакова для всего твердого тела — для выражения кинетической энергии вращающегося объекта. На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показан пример очень энергичного вращающегося тела: электрического точильного камня, приводимого в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникает шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, часть которой находится в форме тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме кинетической энергии вращения .2 \), а скорость — это величина, которая различна для каждой точки на вращающемся теле вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию через переменную \ (\ omega \), которая является той же самой для всех точек твердого вращающегося тела. Для одиночной частицы, вращающейся вокруг фиксированной оси, это легко вычислить. Мы можем связать угловую скорость с величиной поступательной скорости, используя соотношение \ (v_t = \ omega r \), где \ (r \) — расстояние частицы от оси вращения, а \ (v_t \) — его тангенциальная скорость.{2}. \ nonumber \]

В случае твердого вращающегося тела мы можем разделить любое тело на большое количество меньших масс, каждая с массой \ (m_j \) и расстоянием до оси вращения \ (r_j \), так что общая масса тела равна сумме индивидуальных масс: \ (M = \ sum_ {j} m_ {j} \). {2}.2 \), где \ (r \) — расстояние от точечной частицы до оси вращения. В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для вычисления момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции — это количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса — это количественная мера линейной инерции, то есть чем массивнее объект, тем больше у него инерции и тем больше у него сопротивление изменению линейной скорости.Точно так же, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше его сопротивление изменению угловой скорости относительно фиксированной оси вращения. Интересно посмотреть, как момент инерции изменяется в зависимости от r, расстояния до оси вращения массовой частицы в уравнении \ ref {10.17}. Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, обладают большими моментами инерции, чем тела и системы такой же массы, но сосредоточенные около оси вращения.{2}. \ label {10.18} \]

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в устройствах накопления энергии маховиком, которые предназначены для хранения большого количества кинетической энергии вращения. Многие автопроизводители сейчас тестируют в своих автомобилях маховик-накопители энергии, такие как маховик или систему рекуперации кинетической энергии, показанные на рисунке \ (\ PageIndex {2} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях. (кредит: «cmonville» / Flickr)

Вращательные и поступательные величины кинетической энергии и инерции приведены в Таблице 10.4. Столбец отношения не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных в таблице 10.3.

Таблица 10. 2 \)

Пример \ (\ PageIndex {1} \): Момент инерции системы частиц

Шесть маленьких шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и 0.Длина 5 м. Масса каждой шайбы 20 г. Стержень вращается вокруг оси, расположенной на высоте 25 см, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). а) Каков момент инерции системы? (b) Если снять две ближайшие к оси шайбы, каков момент инерции остальных четырех шайб? (c) Если система с шестью шайбами ​​вращается со скоростью 5 об / с, какова ее кинетическая энергия вращения?

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Шесть шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и вращаются вокруг вертикальной оси.{2} = 1.73 \: \ mathrm {J} \)

Значение

Мы можем видеть индивидуальные вклады в момент инерции. Массы, близкие к оси вращения, вносят очень небольшой вклад. Когда мы их сняли, это очень мало повлияло на момент инерции.

В следующем разделе мы обобщаем уравнение суммирования для точечных частиц и разрабатываем метод вычисления моментов инерции для твердых тел. А пока на рис. \ (\ PageIndex {4} \) приведены значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг указанных осей.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Значения инерции вращения для обычных форм объектов.

Применение кинетической энергии вращения

Теперь давайте применим идеи вращательной кинетической энергии и таблицы моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами. Следующие ниже примеры также помогут вам освоить эти уравнения. Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ: ВРАЩАЮЩАЯСЯ ЭНЕРГИЯ

1. Определите, какая энергия или работа задействованы во вращении.
2. Определите интересующую систему. Обычно помогает набросок.
3. Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работ и задействованные энергии.
4. Если нет потерь энергии из-за трения и других неконсервативных сил, механическая энергия сохраняется, то есть \ (K_i + U_i = K_f + U_f \).
5. Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее.Определите, что это такое, и при необходимости рассчитайте их.
6. По возможности исключите термины, чтобы упростить алгебру.
7. Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): расчет энергии вертолета

Типичный небольшой спасательный вертолет имеет четыре лопасти: каждая длиной 4,00 м и массой 50,0 кг (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)). Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную массу в снаряженном состоянии 1000 кг. (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об / мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м / с, и сравните ее с энергией вращения лопастей.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): (а) Эскиз четырехлопастного вертолета. (b) Спасательная операция на воде с участием вертолета спасательной службы Окленда Вестпак. (кредит b: модификация работы «111 Emergency» / Flickr)

Стратегия

Вращательная и поступательная кинетические энергии могут быть вычислены по их определениям.2 \ nonumber \]

Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем мы сможем найти \ (K \). Угловая скорость \ (\ omega \) равна

\ [\ omega = \ frac {300 \ text {rev}} {1,00 \ мин} \ frac {2 \ pi \ text {rad}} {1 \ text {rev}} \ frac {1,00 \: \ min} {60.0 \: \ mathrm {s}} = 31.4 \: \ frac {\ mathrm {rad}} {\ mathrm {s}}. \ nonumber \]

Момент инерции одного лезвия — это момент инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг его конца, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {4} \).{5} \: \ mathrm {J}} = 0,380. \ nonumber \]

Значение

Отношение поступательной энергии к вращательной кинетической энергии составляет всего 0,380. Это соотношение говорит нам о том, что большая часть кинетической энергии вертолета находится в его вращающихся лопастях.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): энергия бумеранга

Человек бросает бумеранг в воздух со скоростью 30,0 м / с под углом 40,0 ° по отношению к горизонтали (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).{2} \) где \ (L \) = 0,7 м. а) Какова полная энергия бумеранга, когда он покидает руку? б) Насколько высоко бумеранг идет от высоты руки, если не учитывать сопротивление воздуха?

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Бумеранг подбрасывается в воздух под начальным углом 40 °.

Стратегия

Мы используем определения вращательной и линейной кинетической энергии, чтобы найти полную энергию системы. {2} = m g h \ nonumber.{2} \ right)} = 18.97 \: \ mathrm {m} \ nonumber \]

Значение

В части (b) решение демонстрирует, что сохранение энергии является альтернативным методом решения проблемы, которая обычно решается с использованием кинематики. В отсутствие сопротивления воздуха кинетическая энергия вращения не учитывалась при расчете максимальной высоты.

Упражнение 10.4

Винт атомной подводной лодки имеет момент инерции 800,0 кг • м ² .Если погружной гребной винт имеет скорость вращения 4,0 об / с при выключенном двигателе, какова скорость вращения гребного винта через 5,0 с, когда водонепроницаемость системы снизилась на 50 000 Дж?

Авторы и авторство

• Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (by 4.0).

Коленчатые валы и моменты инерции

Давайте рассмотрим немного физики в рамках подготовки к Части 2 нашей серии статей о передаче технологий на стр. 28. Все элементы во вращающемся теле имеют меру кинетической энергии. Проще говоря, это «энергия в движении». Если вы поместите какой-либо груз на стол на некотором расстоянии от пола, он покажет «потенциальную» энергию в зависимости от веса и высоты объекта над полом. В этот момент потенциальная энергия максимальна, кинетическая (движущаяся) энергия равна нулю.

В тот момент, когда вы отталкиваете гирю от стола, она принимает движение (скорость), кинетическая энергия начинает увеличиваться, а потенциальная энергия начинает уменьшаться. При максимальной скорости груза (непосредственно перед тем, как он упадет на пол), кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия минимальна. При контакте с полом, когда скорость становится равной нулю, уменьшается и его кинетическая энергия. Математически, т.е. равен половине произведения веса (массы) объекта на квадрат его скорости. Теперь давайте свяжем это с моментами инерции вращения (MOI) и коленчатыми валами.

Визуализируйте вращающийся коленчатый вал, действующий вокруг своей оси вращения.В любой точке коленчатого вала, расположенной не на его оси вращения, а на некотором расстоянии от этой оси, мы можем определить скорость этой точки. Фактически, это произведение расстояния точки от оси кривошипа на угловую скорость точки. Чем дальше от оси расположена такая точка (или точки), тем больше ее скорость (скорость). Таким образом, мы можем вычислить общую кинетическую энергию коленчатого вала (при условии, что он относительно жесткий) как сумму кинетических энергий всех точек на кривошипе.

Вместо того, чтобы приводить математическое уравнение, описывающее эти отношения, достаточно сказать, что полная кинетическая энергия коленчатого вала будет совокупной суммой кинетических энергий всех точек на кривошипе. Это суммирование (сумма произведений масс в каждой точке на квадрат их соответствующих расстояний от оси вращения) определяется как «инерция вращения» или MOI коленчатого вала относительно его оси вращения.

Нам необходимо ввести еще один термин: «поступательная инерция» применительно к коленчатому валу.Поскольку коленчатые валы должны ускоряться и замедляться, нам необходимо учитывать количество требуемой (или потребляемой) мощности при этом. С практической точки зрения сравним два коленчатых вала одинаковой массы, но один с большим общим радиусом вращения; например, его распределение веса включает точки, расположенные дальше от оси вращения, чем другая.

Помните, мы говорили, что скорость точек, расположенных на некотором расстоянии от оси, является произведением угловой скорости на расстояние.Затем в уравнении кинетической энергии мы также сказали, что эта скорость возводится в квадрат. Таким образом, даже если эти два кривошипа имеют одинаковый вес в точках, расположенных на разном расстоянии от оси вращения, те, которые находятся дальше, будут иметь более высокий MOI. То есть им потребуется больше мощности для ускорения и поглощения большей мощности во время замедления. Так, например, уменьшение веса противовесов коленчатого вала снижает его общий MOI не столько потому, что коленчатый вал стал легче, сколько потому, что меньшая масса находилась от оси вращения

В некотором смысле вы можете думать о вращающемся коленчатом валу как о маховик.Он требует энергии для достижения и поддержания скорости вращения, а также накапливает энергию, которую необходимо преодолевать в периоды, когда дроссельная заслонка частично или полностью закрыта. Если вы не думаете, что это важный аспект при прохождении кругов, мы отсылаем вас к части 1 февральского выпуска, в которой показано время включения / выключения дроссельной заслонки на автодроме Lowes Motor Speedway. Проще говоря, это важный элемент хорошего времени трека.

Однако есть пределы, до которых можно уменьшить вес, особенно когда речь идет о долговечности.Чтобы понять среду, в которой должен работать коленчатый вал, рассмотрите следующее в сверхмедленном движении. Исходя из его инерционных характеристик, каждый пусковой импульс должен поглощаться кривошипом, даже если создается крутящий момент. Это отклонение коленчатого вала имеет тенденцию «свернуть» рассматриваемый ход, после чего он «отскакивает» в направлении, противоположном его вращению. Это затухающее колебание продолжается до тех пор, пока следующий импульс стрельбы не будет доставлен в тот же бросок. Между тем, другие пусковые импульсы принимаются другими движениями кривошипа, создавая очень сложную систему вращательных напряжений, состоящую как из сжимающих, так и из растягивающих нагрузок, все из которых предполагают осторожность и осторожность при попытке уменьшить вращение данного кривошипа. MOI

Over За эти годы мы увидели данные, собранные с помощью измерения давления в цилиндре (анализ цикла двигателя), которые позволили определить величину крутильного отклонения (от передней части к задней части двигателя) как для коленчатого, так и для распределительного вала.В условиях, допускающих ненормальную величину такого отклонения, возможно, что цилиндры, расположенные в задней части двигателя, работают под разными углами поворота кривошипа и кулачка, чем цилиндры в передней части. Не требуется большого воображения, чтобы увидеть, как это может повлиять на оптимизацию мощности, исходя из традиционного мышления, исключающего такое явление.

Момент инерции

Вращательный момент инерции Авторские права © Майкл Ричмонд. Эта работа находится под лицензией Creative Commons License.

Срок сдачи: четверг, 29 марта, в 16:00.

Вы знакомы со Вторым законом Ньютона для перевода:

          F = m * a
 

В этом квартале вы узнаете об аналоге по очереди:

          крутящий момент = (момент инерции) * (угловое ускорение)
 

На этой неделе вы будете измерять момент инерции большого обруча. экспериментально, используя это уравнение. Поскольку обруч представляет собой относительно простую геометрическую форму, также можно рассчитать его момент инерции теоретически.Цель эксперимента на этой неделе — проверить, значения совпадают с точностью до неопределенностей; а если нет, объясните несоответствие.

---

Теоретический момент инерции

Для простых твердых тел можно вычислить момент инерции от массы, размера и формы. Пусть один член каждой лабораторной группы сконцентрируется на делать это для вашего обруча.

Измерьте массу обруча M и ее погрешность. Предположим, что обруч идеально круглый и однородный. толщина.Измерьте его внутренний и внешний диаметр. Вычислите его внутренний и внешний радиусы: R (внутренний) и R (внешний) . Найдите уравнение для момента инерции обруча. в вашем учебнике. Используйте его и свои измерения, чтобы рассчитать момент инерция вашего обруча и неуверенность в нем.

---

Динамический момент инерции

Вы можете приложить постоянный крутящий момент к ступице, удерживающей обруч, подвешивая гири на обернутой веревке вокруг ступицы.Когда веса падают, они заставляют втулку вращаться. Вы можете предположить, что крутящий момент, прилагаемый грузами, равен

       крутящий момент = (масса груза) * г * (радиус ступицы)
 

На самом деле крутящий момент немного меньше этого. Почему?

Из-за этого крутящего момента ступица и обруч вращаются. Их угловое ускорение равно

       угловое ускорение = (крутящий момент) / (момент инерции)
 

Вес падает вниз с линейным ускорением, равным связаны с угловым ускорением ступицы через:

       линейное ускорение = (угловое ускорение) * (радиус ступицы)
 

Выведите уравнение, связывающее линейное ускорение веса к его массе.Выразите это в форме:

             линейное ускорение = (что-то) * (масса груза)
 

Проведите серию экспериментов, чтобы измерить это ускорение. Поместите не менее 4 различных грузов на подвесной груз. (от 100 до 500 грамм). Для каждой массы измерьте время, необходимое для того, чтобы упасть до мягкого ящика. Сделайте три попытки для каждой массы. Рассчитайте среднее ускорение для каждой массы, и его неопределенность.

Теперь вы можете использовать свои данные для определения момент инерции.

Выведите уравнение, связывающее линейное ускорение Постройте график с массой груза по оси абсцисс, и ускорение веса по оси ординат. Найдите наклон линии на графике и его неопределенность. Используйте наклон, чтобы вычислить момент инерции, и его неопределенность.

---

Что я должен сдать на этой неделе?

На этой неделе я хочу, чтобы ты сдал всю свою работу до окончания лабораторного периода.

я ожидаю

Я вычту полную буквенную оценку из любого отчета который включает фразу «человеческая ошибка.»

---

Последнее изменение MWR 25 марта 2001 г.

Авторские права © Майкл Ричмонд. Эта работа находится под лицензией Creative Commons License.

Вращательная инерция — видео по физике от Brightstorm

Инерция вращения измеряет, насколько объект сопротивляется изменению вращения. В линейном движении, согласно второму закону Ньютона, мы используем массу для измерения сопротивления объекта изменениям, но во вращательном движении инерция вращения служит той же цели.2 .

Инерция вращения, инерция вращения — это мера сопротивления объекта изменению его вращения. Хорошо, вы все испытали это или, может быть, испытали, если вы когда-либо играли в бейсбол и получали биту, и, допустим, единственная бита, которая у них есть, — это большая тяжелая бита, и здоровяк в команде может ее поднять. и он действительно может это раскачать. Он действительно может заставить это ускоряться, вы маленький парень, и вам трудно заставить эту большую тяжелую летучую мышь ускоряться, у вас просто нет возможности применить ту же силу.Хорошо, вы можете применить ту же самую силу, и вы можете сделать это, подавившись битой. Так что вместо того, чтобы хватать его здесь, вы собираетесь схватить его здесь. И что вы делаете, так это уменьшаете радиус этого вращения, и это поможет вам разогнать летучую мышь до скорости, получить хороший удар и хорошо встать на базу. Таким образом, формула, которую мы собираемся использовать для инерции вращения: i, инерция вращения символа равна массе, умноженной на квадрат радиуса.

Хорошо, опять же, чем длиннее этот радиус, тем больше инерция вращения. Хорошо, и единицы, которые мы собираемся использовать, — это килограммы, умноженные на квадратный метр.Итак, давайте рассмотрим некоторые проблемы, которые вам нужно будет решить, используя инерцию вращения, хорошо. Первая проблема здесь: какова инерция вращения 3-килограммового шара, вращающегося вокруг шеста на расстоянии 4 метров? Итак, радиус составляет 4 метра, масса шара — 3 килограмма, и они спрашивают вас об инерции вращения. Так что это довольно просто, если вы можете просто хорошо запомнить эту формулу. Итак, инерция вращения — это масса, умноженная на квадрат радиуса, и давайте продолжим и подставим эти числа. У меня 3 килограмма, умноженные на квадрат радиуса, составляют 4 метра в квадрате, хорошо.Итак, 4 метра в квадрате — это 16 квадратных метров, умноженных на 3 килограмма, поэтому моя инерция вращения здесь будет 16 умножить на 3, что составляет 48 килограммов на квадратные метры, хорошо, так что вот мой ответ на этот первый.

Часто они не спрашивают вас только об инерции вращения, они могут дать вам инерцию вращения, и они дадут вам одно из этих двух значений, и они попросят вас решить для этого. Хорошо, это не проблема, мы можем просто ввести значения, которые у нас есть, и решить аналогичным образом.Итак, давайте рассмотрим еще один пример, как далеко от оси, чтобы я хотел знать, каков радиус. Это 4-килограммовый шар с инерцией вращения 64 килограмма на квадратные метры, хорошо, давайте поместим ту же формулу в i, равный mr в квадрате, но на этот раз они дают нам инерцию вращения, они дают нам массу, и у нас есть решить для г. Хорошо, давайте поместим эти значения в: у нас снова 64 равных. Я не знаю, что такое r, но я знаю, какова моя масса. У меня масса 4 килограмма нормально.Итак, снова, если я хочу упростить это уравнение, я собираюсь разделить это на 4 килограмма и разделить это на 4 килограмма, и я собираюсь уменьшить, что r в квадрате будет равно 64, деленному на 4, это 16, и мои килограммы отменят и Я получаю квадратные метры нормально.

Скважина в квадрате 16 метров равняется тому, сколько метров, поэтому мое r для этого, если я упрощаю, r равно 4 метрам. Так что в данном случае r составляет 4 метра. Вот как можно решить 2 разных типа проблем, связанных с инерцией вращения.

Массовый момент инерции — S.Б.А. Изобретатель

Как указывалось ранее, твердое тело может иметь два основных состояния: движение, поступательное движение и вращение вокруг фиксированной оси. Чтобы рассчитать силу движущегося тела, вы должны просто использовать F = ma. С другой стороны, тело, которое вращается и имеет скорость вращения, изменяющуюся из-за углового ускорения, будет развивать момент вместо Силы. Момент является произведением момента инерции массы и углового ускорения. В свою очередь момент инерции массы — это сопротивление угловому ускорению.

Момент инерции массы — это механическое свойство движения, которое обычно обозначается символом $ I $. При этом учитывается как масса тела, так и расстояние массы от оси вращения твердого тела. Чем дальше масса от центра вращения или чем больше масса, тем выше общий момент инерции массы.

Момент инерции твердого тела

Все твердые тела имеют момент инерции массы, основанный на его центре масс.2дВ $

При использовании элементов объема необходимо выполнить тройное интегрирование.

где

dV = dxdydz

Момент инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Если твердое тело не вращается вокруг своего центра масс, момент инерции массы системы не будет таким же, как момент инерции массы самого твердого тела. Вместо этого это будет комбинация момента инерции массы твердого тела и расстояния центра масс от оси вращения.