Момент инерции однородного сплошного цилиндра: Момент инерции цилиндра, теория и примеры — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Момент инерции цилиндра, теория и примеры

Это скалярная (в общем случае тензорная) величина. Для непрерывного однородного тела, вращающегося около оси, момент инерции определяют как:

где r – функция положения материальной точки в пространстве; – плотность тела; –объем элемента тела.

Для получения формулы расчета момента инерции однородного цилиндра, мы его представим как совокупность бесконечно тонких дисков, а диск, в свою очередь – совокупность бесконечно тонких колец. Поэтому мы сначала получим выражение для момента инерции кольца, затем диска и только в самом окончании цилиндра.

Момент инерции тонкого кольца

Пусть кольцо имеем радиус R. Его называют бесконечно тонким, если его ширина и толщина много меньше радиуса. Пусть кольцо вращается относительно оси Z, перпендикулярной плоскости кольца и проходит через центр кольца (рис.1).

Выделим на кольце элементарную массу (), – плотность кольца; – элементарный объем кольца. Для нахождения момента инерции кольца нам следует найти интеграл (1). Все элементарные массы находятся на одном расстоянии от оси, то есть распределение массы кольца имеет цилиндрическую (осевую) симметрию.

Момент инерции бесконечно тонкого однородного диска

Пусть диск имеет радиус R. Он вращается относительно оси, которая проходит через его центр инерции, перпендикулярно его плоскости. Диск представим как систему бесконечно тонких колец, радиусы которых изменяются от нуля до R. Одно из таких колец изображено на рис.2.

Так как момент инерции тонкого кольца мы уже нашли, то его возьмем за элементарный:

где – масса выделенного кольца, равная:

Найдем момент инерции бесконечно тонкого диска, учитывая: :

массу бесконечно тонкого диска можно считать равной:

тогда момент инерции диска равен:

Момент инерции цилиндра

Для того, чтобы найти момент инерции однородного цилиндра, вращающегося относительно своей оси, представим его как совокупность дисков, толщиной . Формула (7) справедлива для диска имеющего толщину, поэтому в качестве элементарной массы мы возьмем диск. Тогда имеем:

где – высота цилиндра. Тогда момент инерции цилиндра относительно его собственной оси равен:

где масса цилиндра равна:

Примеры решения задач

Механика

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный минерально-сырьевой университет ”Горный”

Кафедра общей и технической физики.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2012 г.

РАБОТА 5. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

Цель работы – измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.

Теоретические основы лабораторной работы

Момент инерции телаявляется мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от размеров и формы тел и от распределения массы тела относительно оси вращения.

Момент инерции сплошного твёрдого тела определяется по формуле

где — расстояние от элемента объемас массойdmдо оси вращения,- плотность вещества.

Рис. 5.1. Общий вид экспериментальной установки

Таким образом, момент инерции тел различной формы можно найти как результат интегрирования по соответствующему объёму тела.

Частные случаи.

1. Момент инерции материальной точки массой m , находящейся на расстоянии R от оси вращения

(5.1)

2. Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к плоскости основания цилиндра и проходящей через его центр масс (ось цилиндра)

(5.2)

здесь R, m — радиус и масса цилиндра.

Так как момент инерции не зависит от высоты цилиндра, эта же формула справедлива для момента инерции однородного диска относительно оси перпендикулярной к плоскости диска.

3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R₁ и внешним радиусом R₂ относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.

(5.3)

4. Момент инерции шара массой m и радиуса R относительно оси проходящей через его центр масс

(5.4)

5. Момент инерции тонкого стержня массой m и длиной l относительно оси проходящей через его середину перпендикулярно стержню.

(5.5)

Эти формулы справедливы для момента инерции относительно оси симметрии.

Момент инерции относительно произвольной оси параллельной оси симметрии можно найти с помощью

теоремы Штейнера.

Момент инерции относительно произвольной оси О₁О₁ равен сумме момента инерции I₀, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.

(5.6)

Например, с помощью теоремы Штейнера, зная момент инерции стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр масс, можно получить формулу для вычисления момента инерции стержня относительно оси проходящей через его конец.

(5.7)

В общем случае расчет момента инерции представляет собой достаточно сложную задачу.

В данной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний.

Исследуемые тела насаживаются на ось спиральной пружины. В результате деформации пружины при её закручивании на угол  возникнет упругая сила. Эта сила создает крутящий момент (момент силы) . Модуль момента пропорционален углу закручивания пружины

M=D (5.8)

В этой формуле коэффициентом пропорциональности D является модуль кручения пружины.

С другой стороны из определения момента силы следует, что это вектор, модуль которого определяется по формуле

М=Fl (5.9)

Крутящий момент стремится вернуть пружину в исходное (равновесное) состояние. В результате возникают крутильные колебания.

В соответствии с теорией период крутильных колебаний определяется по формуле

(5.10)

Отсюда момент инерции тела

(5.11)

Таким образом, измеряя период крутильных колебаний и зная модуль кручения D пружины, можно вычислить момент инерции тела, насаженного на ось пружины.

Методика лабораторной работы позволяет измерять моменты инерции стержня без грузов, стержня с грузами, сплошного цилиндра, полого цилиндра, диска и шара.

Момент инерции

Организационные, контрольно-распорядительные и инженерно-технические услуги
в сфере жилой, коммерческой и иной недвижимости. Московский регион. Официально.

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная

сумме произведений масс материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 23). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r

+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ=r²dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r—плотность материала, то dm=2prhrdr и dJ=2phrr^зdr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как pR²h — объем цилиндра, то его масса m=pR²hr, а момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется

теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

(16.1)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Таблица 1

Определите момент инерции сплошного однородного цилиндра радиусом 20 см и массой 1 кг

Помогите решить задачу по кинематике: Из города А выехали с одинаковыми скоростями два автомобиля, второй через 12 минут после первого. Они поочередно … , с интервалом в 14 минут, обогнали одного и того же велосипедиста. Во сколько раз скорость автомобилей больше скорости велосипедиста? (Кирик — с/р и к/р, 9 класс)

На гладкой горизонтальной поверхности покоится уголок массы M, который с помощью лёгкой нити и двух блоков соединён со стенкой и бруском массы m (см. … рисунок). Брусок касается внут- ренней поверхности уголка. Нити, перекинутые через блок, прикреп- лённый к стене, натянуты горизонтально. Вначале систему удерживают в состоянии покоя, а затем отпуска- ют. Найдите ускорение a уголка. Блоки лёгкие. Трение в системе отсутствует.

6. Матеріальна точка рухається прямолінійно й рівномірно. Кутовий коефіцієнт графіка її руху (в СІ) дорівнює 2 та при t = 0 Х0 = 0. В який момент часу … координата точки дорівнювала 5 м? 19. Тіло кинули під кутом до горизонту з поверхні Місяця. Його максимальна швидкість становила 20 м/с, а мінімальна — 36 км/год. Під яким кутом до горизонту кинули тіло?

1. Здійснюючи поворот, автомобіль проїхав чверть кола. У скільки разів при цьому модуль переміщення автомобіля менший за пройдений ним шлях? 2. Штучни … й супутник обертається навколо Землі по коловій орбіті радіусом R з періодом обертання 1 доба. Знайдіть шлях та модуль переміщення супутника за 0,75 доби.

Помогите! Срочно надо! Драбину завдовжки 4 м приставлено до ідеально гладкої стінипід кутом 60°. Максимальна сила тертя між драбиною і підлогою дорівн … ює 200 Н. На яку висоту вздовж драбини може піднятися людина масою 60 кг перед тим, як драбина почне ковзати.3. Примечание. Время установления скорости движения шара много меньше общего времени движения.

ДАЮ 74 Б, НУЖНО ОБЪЯСНЕНИЕ СРОЧНО! 7 класс.Решаю вот физику…., наткнулась на задачку с решением, не понимаю, откуда в формале вместе с А 100 стоит? … Причём она тут? В целом, объясните мне задачку, пожалуйста, кому несложно.Задача:Вычислите КПД неподвижного блока, если груз массой 50 кг поднят на высоту 20 м, при этом была приложена сила 800 НРешение:https://tex.z-dn.net/?f=%5Ceta%3D%20%5Cfrac%7B100A_%5Cpi%7D%7BA_3%7D%3D%20%5Cfrac%7B100F_1h%7D%7BF_2h%7D%3D%20%5Cfrac%7B100mg%7D%7BF_2%7D%20%5C%5C%20%5Ceta%3D%20%5Cfrac%7B100*50*10%7D%7B800%7D%3D62%2C5Заранее спасибо!!

Малое массивное тело массой m1 начинает соскальзывать с вершины гладкой полусферы массой m2 и радиусом R, лежащей на гладкой горизонтальной плоскости, … причём m1 = m2. На какой высоте тело оторвется от полусферы?

Онлайн-тесты на oltest.ru: Теоретическая механика

Онлайн-тестыТестыИнженерные дисциплиныТеоретическая механикавопросы226-240

226. Момент инерции материальной точки или твердого тела в системе единиц СИ измеряется в единицах
• кг∙м²

227. Момент инерции материальной точки относительно оси есть величина, равная произведению массы точки на:
• квадрат ее расстояния до данной оси

228. Момент инерции однородного сплошного цилиндра массы М и радиуса R относительно оси круговой симметрии цилиндра равен:
• 1/2MR²

229. Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, плюс
• произведение массы тела на квадрат расстояния между осями

230. Момент пары сил — это величина, равная …
• главному моменту сил пары относительно произвольного центра

231. Момент силы относительно оси есть алгебраическая величина, равная:
• проекции вектора-момента силы относительно любого центра, принадлежащего оси, на данную ость

232. Мощность, производимая крутящим моментом, приложенным к вращающемуся телу определяется по формуле, в которой обозначено М — крутящий момент, Δφ — угол поворота за время Δt, ω и ε — угловая скорость и угловое ускорение
•

233. Мощность, производимая силой, определяется по формуле, в которой обозначено — скорость точки приложения силы, α — угол между векторами и
•

234. Наименьший интервал времени, через который при периодических колебаниях повторяется значение каждой колеблющейся величины, — это __________________ колебания.
• период

235. Направление одного из возможных перемещений точки В совпадает с направлением вектора
• №3

236. Направление одного из возможных перемещений точки В совпадает с направлением вектора
• №3

237. Направление одного из возможных перемещений точки В совпадает с направлением вектора
• №2

238. Направление одного из возможных перемещений точки В совпадает с направлением вектора
• №2

239. Направление одного из возможных перемещений точки В совпадает с направлением вектора
• №4

240. Направление одного из возможных перемещений точки В совпадает с направлением вектора
• №2

StudyPort.Ru — Механика твердого тела

Страница 1 из 3

129. Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой m относительно оси симметрии.

131. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой m относительно оси, проходящей через центр масс шара.

132. Выведите формулу для момента инерции полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна m, внутренний радиус r, внешний R.

133. Вывести формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с её осью симметрии. Масса муфты равна m, внутренний радиус r, внешний R.

134. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

135. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.

136. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой масса катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

137. Полная кинетическая энергия T диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию T₁ поступательного и T₂ вращательного движения диска.

138. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену v₁ = 1,4 м/с, после удара v`₁ = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

139. К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Определить кинетическую энергию через время t = 4 с после начала движения силы.

Динамика вращательного движения | Политех в Сети

Момент M Силы F относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

M=Fl,

Где L – кратчайшее расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина

J=Mr2,

Где M – масса материальной точки и R – ее расстояние до оси вращения.

Моментом инерции твердого тела относительно его оси вращения

Где интегрирование должно быть распределено навесь объем тела. Производя интегрирование можно получить момент инерции тела любой формы.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

Где R – радиус цилиндра и M – его масса.

Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R1 и внешним R2 относительно оси цилиндра

Для тонкостенного полого цилиндра R1≈ R2=R и J≈MR2.

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр,

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,

Если для какого-либо тела известен его момент инерции J0 относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельно первой, может быть найден по формуле Штейнера

J=J0+Md2,

Где M – масса тела и D – расстояние от центра масс тела до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения момента импульса) выражается уравнением

M·Dt=DL=D(Jω),

Где M – момент сил, приложенных к телу, L – момент импульса тела (J – момент инерции тела, ω – его угловая скорость). Если J=const, то

Где ε – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Где J –момент инерции тела и ω – его угловая скорость.

3. 1. Вывести формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой M относительно оси симметрии. Ответ: J = MR2.

3. 2. Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой M = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Ответ: 0,12 кг·м2.

3. 3. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной L = 50 см и массой M = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины. Ответ: 1) 3·10-2 кг·м2; 2) 1,75·10-2 кг·м2.

3. 4. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. Ответ: В 1,07 раза.

3. 5. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Т1 поступательного и Т2 вращательного движения диска. Ответ: Т1 = 16 Дж, Т2 = 8 Дж.

3. 6. Полый тонкостенный цилиндр массой M = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену υ1=1,4 м/с, после удара υ’1=1 м/с. Определить выделявшееся при ударе количество теплоты Q. Ответ: Q=M(υ12- υ’12) = 0,48 Дж.

3. 7. Однородный стержень длиной L = 1 м и массой M = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН·м? Ответ: 2,35 рад/с2.

3. 8. К ободу однородного сплошного диска массой M = 10 кг, насажанного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 H. Определить кинетическую энергию диска через время T = 4 с после начала действия силы. Ответ: 1,44 кДж.

3. 9. Маховое колесо, момент инерции которого J = 245 кг·м2, вращается с частотой N=20 об/с. Через время T = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения МТр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском. Ответ: 513 Н·м; 600.

3. 10. Шар радиусом R = 10 см и массой M = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = А + ВT2 + СT3 (В = 2 рад/с2, С = –0,5 рад/с3). Определить момент сил М для T = 3 с. Ответ: –0,1 Н·м.

3. 11. Вентилятор вращается с частотой N = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора. Ответ: 1) 0,1 Н·м; 2) 15,9 мН·м.

3. 12. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=150 кг·м2, вращается с частотой N = 240 об/мин. Через время T=1 мин, как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки. Ответ: 1) 62,8 Н·м; 2) 120.

3. 13. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение А центра диска. Ответ: A = 2/3GSinα.

3. 14. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 400 H. При вращении диска на него действует момент сил трения Мтр = 2 Н·м. Определить массу M диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с2. Ответ: 24 кг.

3. 15. Частота вращения NO маховика, момент инерции J которого равен 120 кг·м2, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время T = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент М сил трения. Ответ: 16 Н·м.

3. 16. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=1,5 кг·м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за время T= 1 мин уменьшил частоту своего вращения с N0 = 240 об/мин до N1 = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения А. Ответ: 1) 0,21 рад/с2, 2) 0,047 Н·м; 3) 355 Дж.

3. 17. Колесо радиусом R = 30 см и массой M = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной 1 = 5 м и углом наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость υ в конце движения составляла 4,6 м/с. Ответ: 0,259 кг·м2.

3. 18. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. Ответ: 0,585 с.

3. 19. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 cм намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой M = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением А = 2 м/с2. Определить: 1) момент инерции J вала; 2) массу М вала. Ответ: 1) 6,25 кг·м2; 2) 50 кг.

3. 20. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг·м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой M = 0,5кг. До начала вращения барабана высота H груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Ответ: 1) 2 с; 2) 4,31 Н; 3) 1,32 Дж.

3. 21. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой M = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами M1= 0,35 кг и M2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношение T2/T1 сил натяжения нити. Ответ: 1) 1,96 м/с2; 2) 1,05.

3. 22. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой N = 5 об/с, WК = 60 Дж. Найти момент импульса L вала. Ответ: 3,8 кг·м2/с.

3. 23. Карандаш длиной L=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость ω и линейную скорость υ будут иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша? Ответ: ωс= ωк=14 рад/с; υс=1,05 м/с, υк=2,1 м/с.

3. 24. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с2. Определить кинетическую энергию маховика через время T2 = 25 с после начала движения, если через T1 = 10 с после начала движения момент импульса L1 маховика составлял 60кг·м2/с. Ответ: 1) ЕК = 75 Дж.

3. 25. Горизонтальная платформа массой M = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой N1 = 18 мин-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J1 = 3,5 кг·м2 до J2 = 1 кг·м2. Ответ: 23 мин-1.

3. 26. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной L = 2,5 м и массой M = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг·м2 и вращается с частотой N1 = 12 мин-1. Определить частоту N2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение. Ответ: 8,5 мин-1.

3. 27. Человек массой T = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой N1=10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа. Ответ: 20 мин-1.

3. 28. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определять, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы. Ответ: Возрастет в 1,43 раза.

3. 29. Человек массой M = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 м массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой N1 = 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. Ответ: 65,8 Дж.

3. 30. Однородный стержень длиной L = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня. Ответ: 1,16 с.

3. 31. Обруч диаметром D = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний Т обруча. Ответ: 1,5 с.

Момент инерции цилиндра (Вывод)

Определение момента инерции полого / сплошного цилиндра

Полый цилиндр имеет внутренний радиус R ₁, массу M, внешний радиус R ₂ и длину L. Вычислите / определите его момент инерции относительно его центральной оси.

Примечание: буквой h на рисунке должна быть буква L.

Руководство:
— Цилиндр разрезан на бесконечно тонкие кольца с центром в середине. Толщина каждого кольца равна dr, а длина L.{2}

Проверка работоспособности: I ожидается самым высоким для обруча или цилиндрической оболочки, так как вся масса находится дальше всего от оси вращения.

Назад к механике (UY1)

Расчет момента инерции обычных форм:

Как найти момент инерции твердого цилиндра относительно поперечной (перпендикулярной) оси, проходящей через его центр?

Рисунок 1 .

Рассмотрим цилиндр длиной # L #, массой # M # и радиусом # R #, расположенный так, чтобы ось # z # проходила вдоль его центральной оси, как на рисунке.2 # …… (2)
Шаг 2 .

Обратите внимание на рисунок 2, что этот момент инерции был вычислен относительно оси # z #. В задаче требуется найти момент инерции относительно поперечной (перпендикулярной) оси, проходящей через ее центр. Зная, что желаемая ось вращения является поперечной, нам необходимо применить теорему о перпендикулярной оси, которая гласит:

Момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости, содержащейся в двух оставшихся осях, представляет собой сумму моментов инерции относительно этих двух перпендикулярных осей, проходящих через одну и ту же точку в плоскости объекта.2 #

Однородный цельный цилиндрический ролик радиуса R класс 11 физика CBSE

Совет Из формулы для крутящего момента, полученного как произведение момента инерции и углового ускорения. Крутящий момент также определяется произведением силы и радиуса. Таким образом, приравняв мы получаем угловое ускорение.
В этом решении мы будем использовать следующую формулу:
$ \ Rightarrow \ tau = I \ alpha $
, где $ \ tau $ — крутящий момент, $ I $ — момент инерции, а $ \ alpha $ — угловое ускорение. .
снова $ \ tau = FR $
, где $ F $ — сила, а $ R $ — расстояние от оси вращения.

Полный пошаговый ответ
В вопросе нам дан однородный твердый цилиндр, которому задана горизонтальная сила. Итак, мы можем нарисовать диаграмму как:

Цилиндр, как видно из диаграммы, касается точки P. Теперь крутящий момент задается как произведение момента инерции и углового ускорения. Таким образом, мы можем написать:
$ \ Rightarrow \ tau = I \ alpha $
Теперь момент инерции твердого однородного цилиндра относительно оси, проходящей через его центр и по длине, определяется формулой
$ \ Rightarrow I = \ dfrac {3} {2} M {R ^ 2} $
Итак, подставив это, мы получим
$ \ Rightarrow \ tau = \ dfrac {3} {2} M {R ^ 2} \ alpha $
Теперь крутящий момент на цилиндр из-за силы, которая действует на него по горизонтали, определяется произведением силы и расстояния точки контакта от оси вращения.2}}} FR $
Отбрасывая $ R $ из числителя и знаменателя, мы получаем
$ \ Rightarrow \ alpha = \ dfrac {{2F}} {{3MR}} $
Следовательно, угловое ускорение равно $ \ dfrac {{2F}} {{3MR}} $
Итак, правильный ответ — вариант (C).

Примечание
Момент инерции твердого тела — это величина, которая определяет крутящий момент, необходимый для требуемого углового ускорения вокруг оси вращения. Это эквивалентно тому, как масса определяет силу, необходимую для желаемого ускорения.

определение момента инерции твердой сферы

Найти момент инерции твердого шара (масса M, радиус R) около диаметра ….

Найти момент инерции твердого шара (масса M, радиус R) около диаметра. Сделайте это, разрезав сферу на диски.

Найти момент инерции твердого шара (масса M, радиус R) около диаметра ….

Найти момент инерции твердого шара (масса M, радиус R) около диаметра.Сделайте это, разрезав сферу на диски.

) Какой момент инерции относительно центральной оси у твердого цилиндра 6ка …

) Какой момент инерции относительно центральной оси твердого цилиндра 6ка, имеющего радиус 20см? Включите в свой ответ единицы измерения. Какое угловое ускорение испытывает твердая сфера массой 2 кг и радиусом 2,5 м, если вокруг центральной оси сферы приложить ток длиной lonm? (Вспомните момент инерции твердого шара)

проблема момента инерции

Однородная твердая сфера имеет момент инерции I относительно оси, касательной к ее поверхности.найти момент инерции этой сферы вокруг оси, проходящей через ее центр через I.

Лабораторная работа 8 Задание: Момент инерции 1) Момент инерции для различных систем Сопротивление …

Лабораторная работа 8 Задание: Момент инерции 1) Момент инерции для различных систем Сопротивление изменению вращательного движения более важно, чем для линейного движения, потому что оно зависит не только от массы, но и от того, как эта масса распределяется вокруг оси. вращения.Чем дальше от оси распределяется масса, тем больше момент инерции. Используя это простое определение, для каждой из следующих пар объектов определите, какой из …

5. Равномерная твердая сфера катится без соскальзывания под углом 19 °. наклонная плоскость. Что…

5. Равномерная твердая сфера катится без соскальзывания под углом 19 °. наклонная плоскость. Какое ускорение центра сферы масса? Момент инерции однородного твердого шара вокруг оси который проходит через его центр = ⅖mr².Момент инерции однородная твердая сфера вокруг оси, касающейся ее поверхности = 7⁄5 м².

Однородный твердый диск, момент инерции которого неизвестен, есть вращающийся с угловой скоростью …

Однородный твердый диск, момент инерции которого неизвестен, есть вращающийся с угловой скоростью 500 об / мин. Позже это падает на другой твердый диск, который находится в состоянии покоя, и что его момент инерции составляет 2,50 кг * м2. Конечная скорость вращения обоих составляет 170 об / мин.Определите момент инерции диска.

Используйте уравнение I = ∫r2dm, чтобы вычислить момент инерции однородной полой сферы с массой M и радиусом R для оси …

Используйте уравнение I = ∫r2dm, чтобы вычислить момент инерции однородная полая сфера с массой M и радиусом R для проходящей оси через один из его диаметров. Выразите свой ответ в терминах переменные M и R. Используйте уравнение I = ∫r2dm, чтобы вычислить момент инерции однородный сплошной конус с массой M, радиусом R и высотой H по его оси симметрии.Выразите свой ответ в терминах переменных M и Р.

1 Момент инерции твердого однородного шара вокруг своей оси симметрии а) Что …

1 Момент инерции твердого однородного шара вокруг своей оси симметрии а) Каков элемент объема dV шара? б) Предположите постоянную плотность p MIV, вычислите момент инерции, помните, что r измеряется от оси вращения для каждого элемента объема. Используйте объем сферы, чтобы получить решение, которое зависит только от массы M и радиуса R сфера.в) 2) Вращающийся DVD На DVD данные …

Оцените момент инерции относительно оси z однородного твердого тела, ограниченного …

Оцените момент инерции относительно оси z однородного твердого тела, ограниченного поверхностями 1: (2) drdy d 1 Оцените момент инерции относительно оси z однородного твердого тела, ограниченного поверхностями 1: (2) drdy d 1

15.6: Расчет центров масс и моментов инерции

Мы уже обсудили несколько приложений множественных интегралов, таких как определение площадей, объемов и среднего значения функции в ограниченной области.В этом разделе мы разрабатываем вычислительные методы для нахождения центра масс и моментов инерции нескольких типов физических объектов, используя двойные интегралы для пластинки (плоской пластины) и тройные интегралы для трехмерного объекта с переменной плотностью. Плотность обычно считается постоянной величиной, когда пластинка или объект однородны; то есть объект имеет однородную плотность.

Центр масс в двух измерениях

Центр масс также известен как центр тяжести, если объект находится в однородном гравитационном поле.Если объект имеет однородную плотность, центром масс является геометрический центр объекта, который называется центроидом. На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показана точка \ (P \) как центр масс пластинки. Пластина идеально сбалансирована относительно центра масс.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): пластина идеально сбалансирована на шпинделе, если центр масс пластины находится на шпинделе.

Чтобы найти координаты центра масс \ (P (\ bar {x}, \ bar {y}) \) пластинки, нам нужно найти момент \ (M_x \) пластины относительно \ ( x \) — ось и момент \ (M_y \) относительно оси \ (y \) -.Нам также нужно найти массу \ (m \) пластинки. Тогда

\ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} \]

\ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m}. \]

Обратитесь к разделу «Моменты и центры масс» для получения определений и методов однократного интегрирования для нахождения центра масс одномерного объекта (например, тонкого стержня). Мы собираемся использовать здесь аналогичную идею, за исключением того, что объект представляет собой двумерную пластину, и мы используем двойной интеграл.

Если мы допускаем функцию постоянной плотности, то \ (\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} \) и \ (\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} \) дают центроид пластинки.

Предположим, что пластинка занимает область \ (R \) в плоскости \ (xy \), и пусть \ (\ rho (x, y) \) будет ее плотностью (в единицах массы на единицу площади) в любой точке. \ ((х, у) \). Следовательно,

\ [\ rho (x, y) = \ lim _ {\ Delta A \ rightarrow 0} \ dfrac {\ Delta m} {\ Delta A} \]

, где \ (\ Delta m \) и \ (\ Delta A \) — масса и площадь небольшого прямоугольника, содержащего точку \ ((x, y) \), а предел принимается как размеры прямоугольника go в \ (0 \) (см. следующий рисунок).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Плотность пластинки в точке — это предел ее массы на площадь в маленьком прямоугольнике вокруг точки, когда площадь стремится к нулю.{x = 3} = \ dfrac {27} {8}. \]

Вычисление несложное и дает ответ \ (m = \ dfrac {27} {8} \, kg \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Рассмотрим ту же область \ (R \), что и в предыдущем примере, и используйте функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите общую массу.

Ответ: \ (\ dfrac {9 \ pi} {8} \, кг \)

Теперь, когда мы установили выражение для массы, у нас есть инструменты, необходимые для вычисления моментов и центров масс.2 y \, dy \, dx = \ dfrac {81} {20}, \]

Расчет довольно прост.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Рассмотрим ту же пластину \ (R \), что и выше, и воспользуемся функцией плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите моменты \ (M_x \) и \ (M_y \).

Ответ: \ (M_x = \ dfrac {81 \ pi} {64} \) и \ (M_y = \ dfrac {81 \ pi} {64} \)

Наконец, мы готовы переформулировать выражения для центра масс в терминах интегралов.Обозначим координату центра масс x как \ (\ bar {x} \), а координату y как \ (\ bar {y} \). В частности,

\ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} \ ]

\ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} \ ]

Пример \ (\ PageIndex {3} \): центр масс

Снова рассмотрим ту же треугольную область \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (0,3), \, (3,0) \) и с функцией плотности \ (\ rho (x, у) = ху \).Найдите центр масс.

Решение

По разработанным формулам имеем

\ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} = \ dfrac {81/20} {27/8} = \ dfrac {6} {5}, \]

\ [\ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x, y) \, dA} = \ dfrac {81/20} {27/8} = \ dfrac {6} {5}. \]

Следовательно, центром масс является точка \ (\ left (\ dfrac {6} {5}, \ dfrac {6} {5} \ right).\)

Анализ

Если мы выберем плотность \ (\ rho (x, y) \) вместо того, чтобы она была однородной по всей области (т. Е. Постоянной), например значение 1 (подойдет любая константа), то мы можем вычислить центроид,

\ [x_c = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \, dA} {\ iint_R \, dA} = \ dfrac {9/2} {9/2} = 1, \]

\ [y_c = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \, dA} {\ iint_R \, dA} = \ dfrac {9/2} {9/2} = 1. \]

Обратите внимание, что центр масс \ (\ left (\ dfrac {6} {5}, \ dfrac {6} {5} \ right) \) не совсем то же самое, что центроид \ ((1,1) \ ) треугольной области.Это связано с переменной плотностью \ (R \). Если плотность постоянна, мы просто используем \ (\ rho (x, y) = c \) (постоянная). Это значение исключается из формул, поэтому при постоянной плотности центр масс совпадает с центроидом пластинки.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Снова используйте ту же область \ (R \), что и выше, и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). 2 \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y) = x \) в интервале \ (0 \ leq x \ leq 1 \).2 + 1) \ вправо). \]

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Вычислить центр тяжести области между кривыми \ (y = x \) и \ (y = \ sqrt {x} \) с равномерной плотностью в интервале \ (0 \ leq x \ leq 1 \).

Ответ: \ (x_c = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {1/15} {1/6} = \ dfrac {2} {5} \) и \ (y_c = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {1/12} {1/6} = \ dfrac {1} {2} \)

Моменты инерции

Для четкого понимания того, как вычислять моменты инерции с использованием двойных интегралов, нам нужно вернуться к общему определению в разделе \ (6.2 \ rho (r \, \ cos \, \ theta, \, r \, \ sin \, \ theta) \, dA \).

Пример \ (\ PageIndex {6} \): поиск моментов инерции для треугольной пластинки

Используйте треугольную область \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (2,2) \) и \ ((2,0) \) и с плотностью \ (\ rho (x, y) = xy \), как в предыдущих примерах. 2) xy \, dy \, dx = I_x + I_y = 8 \]

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Снова используйте ту же область \ (R \), что и выше, и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \).2 \) где \ (r \) — расстояние частицы от оси, также известное как радиус вращения .

Следовательно, радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат равны

\ [R_x = \ sqrt {\ dfrac {I_x} {m}}, \, R_y = \ sqrt {\ dfrac {I_y} {m}}, \ и \, R_0 = \ sqrt {\ dfrac {I_0} {m}}, \]

соответственно. В каждом случае радиус вращения говорит нам, как далеко (перпендикулярное расстояние) от оси вращения может быть сосредоточена вся масса объекта.Моменты объекта полезны для поиска информации о балансе и крутящем моменте объекта вокруг оси, но радиусы вращения используются для описания распределения массы вокруг его центральной оси. Есть много приложений в инженерии и физике. Иногда бывает необходимо найти радиус вращения, как в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {7} \): определение радиуса вращения для треугольной пластинки

Рассмотрим ту же треугольную пластину \ (R \) с вершинами \ ((0,0), \, (2,2) \) и \ ((2,0) \) и с плотностью \ (\ rho (x , y) = xy \), как в предыдущих примерах.Найдите радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат.

Решение

Если мы вычислим массу этой области, мы обнаружим, что \ (m = 2 \). Мы нашли моменты инерции этой пластины в Примере \ (\ PageIndex {4} \). Исходя из этих данных, радиусы вращения относительно оси \ (x \), \ (y \) — оси и начала координат соответственно равны

\ [\ begin {align} R_x = \ sqrt {\ dfrac {I_x} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {8/3} {2}} = \ sqrt {\ dfrac {8} {6}} = \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3}, \\ R_y = \ sqrt {\ dfrac {I_y} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {16/3} {2}} = \ sqrt { \ dfrac {8} {3}} = \ dfrac {2 \ sqrt {6}} {3}, \\ R_0 = \ sqrt {\ dfrac {I_0} {m}} = \ sqrt {\ dfrac {8} { 2}} = \ sqrt {4} = 2.\ end {align} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Используйте тот же регион \ (R \) из примера \ (\ PageIndex {7} \) и функцию плотности \ (\ rho (x, y) = \ sqrt {xy} \). Найдите радиусы вращения относительно оси \ (x \), оси \ (y \) и начала координат.

Подсказка: Выполните шаги, показанные в предыдущем примере.

Ответ

\ (R_x = \ dfrac {6 \ sqrt {35}} {35}, \, R_y = \ dfrac {6 \ sqrt {15}} {15}, \) и \ (R_0 = \ dfrac {4 \ sqrt {42}} {7} \).2z \). Найдите центр масс.

Подсказка: Убедитесь, что \ (M_ {xy} = \ dfrac {27} {35}, \, M_ {xz} = \ dfrac {243} {140}, \) и \ (M_ {yz} = \ dfrac {81} {35} \). Затем используйте \ (m \) из предыдущего вопроса о контрольной точке.

Ответ: \ (\ left (\ dfrac {3} {2}, \ dfrac {9} {8}, \ dfrac {1} {2} \ right) \)

Мы завершаем этот раздел примером нахождения моментов инерции \ (I_x, \, I_y \) и \ (I_z \). 2yz.2z \). Найдите моменты инерции относительно трех координатных плоскостей.

Ответ: Моменты инерции тетраэдра \ (Q \) относительно плоскости \ (yz \), плоскости \ (xz \) и плоскости \ (xy \) равны \ (99/35, \, 36/7 \) и \ (243/35 \) соответственно.

Ключевые понятия

Определение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в двойных интегралах:

Для пластинки \ (R \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y) \) в любой точке \ ((x, y) \) на плоскости масса равна \ [m = \ iint_R \ rho (х, у) \, дА.2) \ rho (x, y) \, dA. \]

Определение массы, центра масс, моментов и моментов инерции в тройных интегралах:

Для твердого объекта \ (Q \) с функцией плотности \ (\ rho (x, y, z) \) в любой точке \ ((x, y, z) \) в пространстве масса равна \ [ m = \ iiint_Q \ rho (x, y, z) \, dV. \]
Моменты относительно плоскости \ (xy \), плоскости \ (xz \) и плоскости \ (yz \) равны \ [M_ {xy} = \ iiint_Q z \ rho (x, y, z ) \, dV, \, M_ {xz} = \ iiint_Q y \ rho (x, y, z) \, dV, \, M_ {yz} = \ iiint_Q x \ rho (x, y, z) \, dV \]
Центр масс определяется выражением \ (\ bar {x} = \ dfrac {M_ {yz}} {m}, \, \ bar {y} = \ dfrac {M_ {xz}} {m}, \, \ bar {z} = \ dfrac {M_ {xy}} {m}.*) \, \ Delta A = \ iint_R x \ rho (x, y) \, dA \]
Центр масс пластинки \ [\ bar {x} = \ dfrac {M_y} {m} = \ dfrac {\ iint_R x \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho (x , y) \, dA} \ и \, \ bar {y} = \ dfrac {M_x} {m} = \ dfrac {\ iint_R y \ rho (x, y) \, dA} {\ iint_R \ rho ( х, у) \, dA} \]

Глоссарий

радиус вращения: расстояние от центра масс объекта до его оси вращения

Авторы и указание авторства

Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

Инерция вращения геометрических тел

1. Инерция вращения геометрических тел Нажмите, чтобы увидеть версию в формате PDF

(a)

Кольцевой цилиндр вокруг своей центральной оси

Пусть будет внешний радиус кольцевого цилиндра и — его внутренний радиус, а l должна быть его длина.Позволять быть его плотностью.
* Наведите указатель мыши на изображение для анимированного просмотра

Мы вычислим выражение для инерции вращения путем интегрирования с переменная r , радиальное расстояние, измеренное от оси.

Масса кольцевого цилиндра дается интегралом

Его инерция вращения дается интегралом

(б)

Цельный цилиндр (или кольцо) вокруг центральной оси
* Наведите указатель мыши на изображение для анимированного просмотра
Пусть радиус цилиндра равен R , а его масса M .Его инерцию вращения I можно получить из формулы для инерция вращения кольцевого цилиндра путем замены
У нас
(в)

Диск сплошной шириной
* Наведите указатель мыши на изображение для анимированного просмотра
Пусть R будет радиусом, толщина и быть плотностью диск.Для расчета инерции вращения вокруг оси, как показано на фигура выбираем угловую переменную измеряется от в вертикальном направлении и рассмотрим бесконечно малую коробку длиной dx , высота , диаметр и ширина.
Момент инерции можно найти, интегрировав
Как
Следовательно,
А вот масса диска
Таким образом, момент инерции тонкого диска массой M равен
Мы будем использовать теорему о параллельных осях для нахождения инерции вращения тонкий диск вокруг оси, параллельной вертикальной оси, проходящей через его центр.
Это дает
Используя выражение инерции вращения тонкого диска, имеем
(г)

Цилиндр вокруг оси через его CM
Мы будем использовать этот результат для вычисления инерции вращения твердого тела. цилиндр длиной L , радиусом R и массой M около вертикали ось, проходящая через его центр масс.
* Наведите указатель мыши на изображение для анимированного просмотра
Масса цилиндра M
Таким образом, мы находим, что инерция вращения цилиндра вокруг оси, как показано на цифра
(д)

Тонкий стержень вокруг оси через его центр
* Наведите указатель мыши на изображение для анимированного просмотра
Инерция вращения тонкого стержня длиной L и массой M об ось, проходящая через его центр, может быть получена из приведенного выше результата следующим образом: положив в него R = 0.Получаем
(ж)

Тонкий стержень вокруг оси на одном из концов
* Наведите указатель мыши на изображение для анимированного просмотра
Применяя теорему о параллельных осях и используя выражение вращательной по инерции тонкого стержня относительно оси через его ЦМ, получаем
(г)

Тонкая сферическая оболочка любого диаметра
Пусть радиус оболочки r , ее толщина а также быть его плотностью.С использованием сферических полярных координат и измерения расстояния от полярной оси, имеем
Масса сферической оболочки радиусом r , толщина и плотность это
Используя это выражение для M , инерция вращения тонкого сферическая оболочка радиуса r может быть выражена как
(в)

Инерция вращения твердой сферы
С этим результатом мы получаем инерцию вращения твердой сферы радиус R примерно любого диаметра.
* Наведите указатель мыши на изображение для анимированного просмотра
Интегрирование выражения тонкой сферической оболочки относительно r из 0 до R , получаем
Масса однородного шара радиусом R и плотностью это
Таким образом, находим
(я)
Вращательная инерция тонкой плиты
* Наведите указатель мыши на изображение для анимированного просмотра
Пусть длина плиты a , ширина b , толщина быть и его плотность быть .Его инерция вращения вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр масс можно вычислить, интегрировав следующее выражение;
Масса плиты
Таким образом, находим
5.6 Расчет центров масс и моментов инерции — том 3 исчисления
Цели обучения
5.6.1. Используйте двойные интегралы, чтобы найти центр масс двумерного объекта.
5.6.2 Используйте двойные интегралы, чтобы найти момент инерции двумерного объекта.
5.6.3 Используйте тройные интегралы для определения центра масс трехмерного объекта.
Мы уже обсудили несколько приложений множественных интегралов, таких как нахождение площадей, объемов и среднего значения функции в ограниченной области. В этом разделе мы разрабатываем вычислительные методы для нахождения центра масс и моментов инерции нескольких типов физических объектов, используя двойные интегралы для пластинки (плоской пластины) и тройные интегралы для трехмерного объекта с переменной плотностью.Плотность обычно считается постоянной величиной, когда пластинка или объект однородны; то есть объект имеет однородную плотность.
Центр масс в двух измерениях
Центр масс также известен как центр тяжести, если объект находится в однородном гравитационном поле. Если объект имеет однородную плотность, центром масс является геометрический центр объекта, который называется центроидом. На рисунке 5.64 показана точка PP как центр масс пластинки.Пластина идеально сбалансирована относительно центра масс.
Рисунок 5.64 Пластина идеально сбалансирована на шпинделе, если центр масс пластины находится на шпинделе.
Чтобы найти координаты центра масс P (x−, y−) P (x−, y−) пластинки, нам нужно найти момент MxMx пластинки относительно оси x оси x и момент MyMy о оси y. Оси y. Еще нам нужно найти массу пластинки в миллиметрах. Тогда
x− = Mymandy− = Mxm.x− = Mymandy− = Mxm.
Обратитесь к разделу «Моменты и центры масс» для получения определений и методов однократного интегрирования для нахождения центра масс одномерного объекта (например, тонкого стержня).Мы собираемся использовать здесь аналогичную идею, за исключением того, что объект представляет собой двумерную пластину, и мы используем двойной интеграл.
Если мы допускаем постоянную функцию плотности, то x− = Mymandy− = Mxmx− = Mymandy− = Mxm дает центроид пластинки.
Предположим, что пластинка занимает область RR в плоскости xy, плоскости xy, и пусть ρ (x, y) ρ (x, y) будет ее плотностью (в единицах массы на единицу площади) в любой точке (x , у). (х, у). Следовательно, ρ (x, y) = limΔA → 0ΔmΔA, ρ (x, y) = limΔA → 0ΔmΔA, где ΔmΔm и ΔAΔA — масса и площадь небольшого прямоугольника, содержащего точку (x, y) (x, y) и предел берется, поскольку размеры прямоугольника идут до 00 (см. следующий рисунок).
Рис. 5.65. Плотность пластинки в точке — это предел ее массы на площадь в небольшом прямоугольнике вокруг точки, когда площадь стремится к нулю.
Как и раньше, мы разделим область RR на крошечные прямоугольники RijRij с площадью ΔAΔA и выберем (xij *, yij *) (xij *, yij *) в качестве точек выборки. Тогда масса mijmij каждого RijRij равна ρ (xij *, yij *) ΔAρ (xij *, yij *) ΔA (рисунок 5.66). Пусть kk и ll — количество подынтервалов в xx и y, y соответственно. Также обратите внимание, что форма не всегда может быть прямоугольной, но ограничение все равно работает, как показано в предыдущих разделах.
Рис. 5.66. Разделение пластинки на крошечные прямоугольники Rij, Rij, каждый из которых содержит точку выборки (xij *, yij *). (Xij *, yij *).
Следовательно, масса пластинки
m = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1lmij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1lρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rρ (x, y) dA.m = limk , l → ∞∑i = 1k∑j = 1lmij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1lρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rρ (x, y) dA.
(5,13)
Давайте теперь посмотрим на пример определения полной массы треугольной пластинки.
Пример 5.55
Определение полной массы пластинки
Рассмотрим треугольную пластину RR с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3), (3,0) (3,0) и плотностью ρ (x, y ) = xy кг / м2.ρ (x, y) = xy кг / м2. Найдите общую массу.
Решение
Эскиз области RR всегда полезен, как показано на следующем рисунке.
Рис. 5.67. Пластинка в плоскости xy-planexy с плотностью ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy.
Используя полученное выражение для массы, мы видим, что
m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxydydx = ∫x = 0x = 3 [xy22 | y = 0y = 3 − x] dx = ∫x = 0x = 312x (3 − x) 2dx = [9×24 − x3 + x48] | x = 0x = 3 = 278.m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxydydx = ∫x = 0x = 3 [xy22 | y = 0y = 3 − x] dx = ∫x = 0x = 312x (3 − x) 2dx = [9×24 − x3 + x48] | x = 0x = 3 = 278.
Вычисление несложное и дает ответ m = 278kg.m = 278kg.
КПП 5,33
Рассмотрим ту же область RR, что и в предыдущем примере, и используем функцию плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите общую массу. Подсказка: Используйте тригонометрическую замену x = 3sinθx = 3sinθ, а затем используйте формулы уменьшения степени для тригонометрических функций.
Теперь, когда мы установили выражение для массы, у нас есть инструменты, необходимые для вычисления моментов и центров масс.Момент MxMx вокруг оси x оси x для RR является пределом сумм моментов областей RijRij вокруг оси x. оси x. Следовательно,
Mx = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ryρ (x, y) dA.Mx = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ryρ (x, y) dA.
(5,14)
Точно так же момент MyMy вокруг оси y для RR является пределом сумм моментов областей RijRij относительно оси y.оси y. Следовательно,
My = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rxρ (x, y) dA.My = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rxρ (x, y) dA.
(5,15)
Пример 5.56
Поиск моментов
Рассмотрим ту же треугольную пластину RR с вершинами (0,0), (0,3), (3,0) (0,0), (0,3), (3,0) и плотностью ρ (x, у) = ху. р (х, у) = ху. Найдите моменты MxMx и My.My.
Решение
Используйте двойные интегралы для каждого момента и вычислите их значения:
Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxy2dydx = 8120, Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xxy2dydx = 8120, My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xx2ydydx = 8120.My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 3∫y = 0y = 3 − xx2ydydx = 8120.
Расчет довольно прост.
КПП 5,34
Рассмотрим ту же пластину RR, что и выше, и воспользуемся функцией плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите моменты MxMx и My.My.
Наконец, мы готовы переформулировать выражения для центра масс в терминах интегралов. Обозначим координату центра масс x через x − x− и координату y через y − .y−. В частности,
x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dAandy− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA.x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dAandy− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA.
(5,16)
Пример 5.57
Нахождение центра масс
Снова рассмотрим ту же треугольную область RR с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3), (3,0) (3,0) и с функцией плотности ρ ( х, у) = ху. р (х, у) = ху. Найдите центр масс.
Решение
По разработанным формулам имеем
x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65, x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65, y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65.y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 81/2027/8 = 65.
Следовательно, центром масс является точка (65,65). (65,65).
Анализ
Если мы выберем плотность ρ (x, y) ρ (x, y) вместо однородной по всей области (т. Е. Постоянной), такой как значение 1 (подойдет любая константа), то мы можем вычислить центроид,
xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = 9/29/2 = 1, yc = Mxm∬RydA∬RdA = 9/29/2 = 1. xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = 9/29/2 = 1, yc = Mxm∬RydA∬RdA = 9/29/2 = 1.
Обратите внимание, что центр масс (65,65) (65,65) не совсем такой же, как центроид (1,1) (1,1) треугольной области.Это связано с переменной плотностью R.R. Если плотность постоянна, мы просто используем ρ (x, y) = cρ (x, y) = c (постоянная). Это значение исключается из формул, поэтому при постоянной плотности центр масс совпадает с центроидом пластинки.
КПП 5,35
Снова используйте ту же область RR, что и выше, и функцию плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите центр масс.
Еще раз, основываясь на комментариях в конце Примера 5.57, у нас есть выражения для центроида области на плоскости:
xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm∬RydA∬RdA.xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm∬RydA∬RdA.
Мы должны использовать эти формулы и проверить центроид треугольной области RR, упомянутой в последних трех примерах.
Пример 5.58
Определение массы, моментов и центра масс
Найдите массу, моменты и центр масс пластинки с плотностью ρ (x, y) = x + yρ (x, y) = x + y, занимающей область RR под кривой y = x2y = x2 в интервал 0≤x≤20≤x≤2 (см. следующий рисунок).
Рис. 5.68. Определение центра масс пластинки RR с плотностью ρ (x, y) = x + y.р (х, у) = х + у.
Решение
Сначала мы вычисляем массу m.m. Нам нужно описать область между графиком y = x2y = x2 и вертикальными линиями x = 0x = 0 и x = 2: x = 2:
m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2 (x + y) dydx = ∫x = 0x = 2 [xy + y22 | y = 0y = x2] dx = ∫x = 0x = 2 [x3 + x42] dx = [x44 + x510] | x = 0x = 2 = 365.m = ∬Rdm = ∬Rρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫ y = 0y = x2 (x + y) dydx = ∫x = 0x = 2 [xy + y22 | y = 0y = x2] dx = ∫x = 0x = 2 [x3 + x42] dx = [x44 + x510] | х = 0х = 2 = 365.
Теперь вычислим моменты MxMx и My: My:
Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2y (x + y) dydx = 807, Mx = ∬Ryρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫ y = 0y = x2y (x + y) dydx = 807, My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2x (x + y) dydx = 17615.My = ∬Rxρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = x2x (x + y) dydx = 17615.
Наконец, оцените центр масс,
x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 176/1536/5 = 4427, y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 80/736/5 = 10063. x− = Mym = ∬Rxρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 176/1536/5 = 4427, y− = Mxm = ∬Ryρ (x, y) dA∬Rρ (x, y) dA = 80/736/5 = 10063.
Следовательно, центр масс равен (x−, y -) = (4427,10063). (X−, y -) = (4427,10063).
КПП 5,36
Вычислите массу, моменты и центр масс области между кривыми y = xy = x и y = x2y = x2 с функцией плотности ρ (x, y) = xρ (x, y) = x в интервал 0≤x≤1.0≤x≤1.
Пример 5.59
В поисках центроида
Найдите центр тяжести области под кривой y = exy = ex на интервале 1≤x≤31≤x≤3 (см. Следующий рисунок).
Рис. 5.69. Нахождение центра тяжести области ниже кривой y = ex.y = ex.
Решение
Чтобы вычислить центроид, мы предполагаем, что функция плотности постоянна и, следовательно, она сокращается:
xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm = ∬RydA∬RdA, xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exxdydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3xexdx∫x = 1x = 3exdx = 2e3e3 − e = 2e2e2−1, yc = Mxm = ∬RydA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exydydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3e2x2dx∫x = 1x = 3exdx = 14e2 (e4−1) e (e2−1) = 14e (e2 + 1).xc = Mym = ∬RxdA∬RdAandyc = Mxm = ∬RydA∬RdA, xc = Mym = ∬RxdA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exxdydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3xexdx∫x = 1x = 3exdx = 2e3e3 − e = 2e2e2−1, yc = Mxm = ∬RydA∬RdA = ∫x = 1x = 3∫y = 0y = exydydx∫x = 1x = 3∫y = 0y = exdydx = ∫x = 1x = 3e2x2dx∫x = 1x = 3exdx = 14e2 (e4−1) e (e2−1) = 14e (e2 + 1).
Таким образом, центр тяжести области
(xc, yc) = (2e2e2−1,14e (e2 + 1)). (xc, yc) = (2e2e2−1,14e (e2 + 1)).
КПП 5,37
Вычислить центр тяжести области между кривыми y = xy = x и y = xy = x с равномерной плотностью в интервале 0≤x≤1.0≤x≤1.
Моменты инерции
Для четкого понимания того, как рассчитывать моменты инерции с использованием двойных интегралов, нам нужно вернуться к общему определению моментов и центров масс в Разделе 6.6 Тома 1. Момент инерции частицы массой мм относительно ось mr2, mr2, где rr — расстояние частицы от оси. Из рисунка 5.66 видно, что момент инерции подпрямоугольника RijRij относительно оси x оси x равен (yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA.(yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA. Точно так же момент инерции подпрямоугольника RijRij относительно оси y равен (xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA. (Xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA. Момент инерции связан с вращением массы; в частности, он измеряет тенденцию массы сопротивляться изменению вращательного движения вокруг оси.
Момент инерции IxIx относительно оси x оси x для области RR является пределом суммы моментов инерции областей RijRij относительно оси x. оси x. Следовательно,
Ix = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ry2ρ (x, y) dA.Ix = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (yij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Ry2ρ (x, y) dA.
Точно так же момент инерции IyIy относительно оси y для RR является пределом суммы моментов инерции областей RijRij вокруг оси y.оси y. Следовательно,
Iy = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rx2ρ (x, y) dA.Iy = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2mij = limk, l → ∞∑i = 1k∑j = 1l (xij *) 2ρ (xij *, yij *) ΔA = ∬Rx2ρ (x, y) dA.
Иногда нам нужно найти момент инерции объекта относительно начала координат, который известен как полярный момент инерции.Обозначим это через I0I0 и получим, сложив моменты инерции IxIx и Iy.Iy. Следовательно,
I0 = Ix + Iy = ∬R (x2 + y2) ρ (x, y) dA.I0 = Ix + Iy = ∬R (x2 + y2) ρ (x, y) dA.
Все эти выражения можно записать в полярных координатах, подставив x = rcosθ, x = rcosθ, y = rsinθ, y = rsinθ и dA = rdrdθ.dA = rdrdθ. Например, I0 = ∬Rr2ρ (rcosθ, rsinθ) dA.I0 = ∬Rr2ρ (rcosθ, rsinθ) dA.
Пример 5.60
Нахождение моментов инерции треугольной пластинки
Используйте треугольную область RR с вершинами (0,0), (2,2), (0,0), (2,2) и (2,0) (2,0) и с плотностью ρ (x, y) = xyρ (x, y) = xy, как в предыдущих примерах.Найдите моменты инерции.
Решение
Используя установленные выше выражения для моментов инерции, имеем
Ix = ∬Ry2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xxy3dydx = 83, Iy = ∬Rx2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xx3ydydx = 163, I0 = ∬R (x2 + y2) ρ (x, y) dA = ∫02∫0x (x2 + y2) xydydx = Ix + Iy = 8. Ix = ∬Ry2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xxy3dydx = 83, Iy = ∬Rx2ρ (x, y) dA = ∫x = 0x = 2∫y = 0y = xx3ydydx = 163, I0 = ∬R (x2 + y2) ρ (x , y) dA = ∫02∫0x (x2 + y2) xydydx = Ix + Iy = 8.
КПП 5,38
Снова используйте ту же область RR, что и выше, и функцию плотности ρ (x, y) = xy.р (х, у) = ху. Найдите моменты инерции.
Как упоминалось ранее, момент инерции частицы массой мм вокруг оси равен mr2mr2, где rr — расстояние частицы от оси, также известное как радиус вращения.
Следовательно, радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат равны
Rx = Ixm, Ry = Iym и R0 = I0m, Rx = Ixm, Ry = Iym и R0 = I0m,
соответственно. В каждом случае радиус вращения говорит нам, как далеко (перпендикулярное расстояние) от оси вращения может быть сосредоточена вся масса объекта.Моменты объекта полезны для поиска информации о балансе и крутящем моменте объекта вокруг оси, но радиусы вращения используются для описания распределения массы вокруг его центральной оси. Есть много приложений в инженерии и физике. Иногда бывает необходимо найти радиус вращения, как в следующем примере.
Пример 5.61
Определение радиуса вращения для треугольной пластинки
Рассмотрим ту же треугольную пластину RR с вершинами (0,0), (2,2), (0,0), (2,2) и (2,0) (2,0) и с плотностью ρ (x , y) = xyρ (x, y) = xy, как в предыдущих примерах.Найдите радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат.
Решение
Если мы вычислим массу этой области, мы обнаружим, что m = 2.m = 2. Мы нашли моменты инерции этой пластинки в Примере 5.58. Исходя из этих данных, радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат соответственно равны
. Rx = Ixm = 8/32 = 86 = 233, Ry = Iym = 16/32 = 83 = 263, R0 = I0m = 82 = 4 = 2, Rx = Ixm = 8/32 = 86 = 233, Ry = Iym = 16/32 = 83 = 263, R0 = I0m = 82 = 4 = 2.
КПП 5,39
Используйте ту же область RR из примера 5.61 и функцию плотности ρ (x, y) = xy.ρ (x, y) = xy. Найдите радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат.
Центр масс и моменты инерции в трех измерениях
Все выражения двойных интегралов, обсуждавшиеся до сих пор, могут быть изменены, чтобы стать тройными интегралами.
Определение
Если у нас есть твердый объект QQ с функцией плотности ρ (x, y, z) ρ (x, y, z) в любой точке (x, y, z) (x, y, z) в пространстве, то его масса
m = ∭Qρ (x, y, z) dV.m = ∭Qρ (x, y, z) dV.
Его моменты относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz равны
Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV.Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV.
Если центром масс объекта является точка (x−, y−, z -), (x−, y−, z−), то
x− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym. x− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym.
Также, если твердый объект однороден (с постоянной плотностью), то центр масс становится центроидом твердого тела.Наконец, моменты инерции относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy равны
. Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iz = ∭Q (x2 + y2) ρ (x , y, z) dV. Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iz = ∭Q ( x2 + y2) ρ (x, y, z) dV.
Пример 5.62
Определение массы твердого тела
Предположим, что QQ — сплошная область, ограниченная x + 2y + 3z = 6x + 2y + 3z = 6 и координатными плоскостями, и имеет плотность ρ (x, y, z) = x2yz.ρ (x, y, z) = x2yz. Найдите общую массу.
Решение
Область QQ представляет собой тетраэдр (рисунок 5.70) пересекаются с осями в точках (6,0,0), (0,3,0), (6,0,0), (0,3,0) и (0,0,2). ( 0,0,2). Чтобы найти пределы интегрирования, пусть z = 0z = 0 в наклонной плоскости z = 13 (6 − x − 2y) .z = 13 (6 − x − 2y). Затем для xx и yy найдите проекцию QQ на плоскость xy, плоскость xy, которая ограничена осями и прямой x + 2y = 6.x + 2y = 6. Отсюда масса
m = ∭Qρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yzdzdydx = 10835 ≈3.086.m = ∭Qρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yzdzdydx = 10835≈3,086. Рисунок 5.70 Определение массы трехмерного твердого тела Q.Q.
КПП 5,40
Рассмотрим ту же область QQ (рис. 5.70) и используем функцию плотности ρ (x, y, z) = xy2z.ρ (x, y, z) = xy2z. Найдите массу.
Пример 5.63
Нахождение центра масс твердого тела
Предположим, что QQ — сплошная область, ограниченная плоскостью x + 2y + 3z = 6x + 2y + 3z = 6 и координатными плоскостями с плотностью ρ (x, y, z) = x2yzρ (x, y, z) = x2yz ( см. рисунок 5.70). Найдите центр масс с помощью десятичного приближения.
Решение
Мы уже использовали этот тетраэдр и знаем пределы интегрирования, поэтому можем сразу приступить к вычислениям. Во-первых, нам нужно найти моменты относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz: yz-plane:
Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yz2dzdydx = 5435 ≈1.543, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2y2zdzdydx = 8135≈2,314, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x −2y) x3yzdzdydx = 24335≈6.943.Mxy = ∭Qzρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x − 2y) x2yz2dzdydx = 5435≈1,543, Mxz = ∭Qyρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 − x− 2y) x2y2zdzdydx = 8135≈2,314, Myz = ∭Qxρ (x, y, z) dV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 1/2 (6 − x) ∫z = 0z = 1/3 (6 −x − 2y) x3yzdzdydx = 24335≈6,943.
Следовательно, центр масс
x− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym, x− = Myzm = 243/35108/35 = 243 · 108 = 2,25, y− = Mxzm = 81/35108/35 = 81108 = 0,75, z− = Mxym = 54/35108/35 = 54108 = 0,5. X− = Myzm, y− = Mxzm, z− = Mxym, x− = Myzm = 243/35108/35 = 243 · 108 = 2,25, y− = Mxzm = 81/35108/35 = 81108 = 0,75, z− = Mxym = 54/35108/35 = 54108 = 0.5.
Центром масс тетраэдра QQ является точка (2,25,0,75,0,5). (2,25,0,75,0,5).
КПП 5.41
Рассмотрим ту же область QQ (рис. 5.70) и используем функцию плотности ρ (x, y, z) = xy2z.ρ (x, y, z) = xy2z. Найдите центр масс.
Мы завершаем этот раздел примером нахождения моментов инерции Ix, Iy, Ix, Iy и Iz.Iz.
Пример 5.64
Нахождение моментов инерции твердого тела
Предположим, что QQ — сплошная область и ограничена x + 2y + 3z = 6x + 2y + 3z = 6 и координатными плоскостями с плотностью ρ (x, y, z) = x2yzρ (x, y, z) = x2yz (см. рисунок 5.70). Найдите моменты инерции тетраэдра QQ относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy. Xy.
Решение
И снова мы можем почти сразу написать пределы интегрирования и, следовательно, мы можем быстро перейти к оценке моментов инерции. Используя формулу, изложенную ранее, моменты инерции тетраэдра QQ относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz-planeyz равны
. Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV, Ix = ∭Q (y2 + z2) ρ (x , y, z) dV, Iy = ∭Q (x2 + z2) ρ (x, y, z) dV,
и
Iz = ∭Q (x2 + y2) ρ (x, y, z) dV, где ρ (x, y, z) = x2yz.Iz = ∭Q (x2 + y2) ρ (x, y, z) dV, где ρ (x, y, z) = x2yz.
Продолжая вычисления, имеем
Ix = ∭Q (y2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (y2 + z2) x2yzdzdydx = 11735≈ 3.343, Iy = ∭Q (x2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (x2 + z2) x2yzdzdydx = 68435≈19,543, Iz = ∭Q (x2 + y2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (x2 + y2) x2yzdzdydx = 72935≈20,829. Ix = ∭Q (y2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (y2 + z2) x2yzdzdydx = 11735≈3,343, Iy = ∭Q (x2 + z2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) ( x2 + z2) x2yzdzdydx = 68435≈19.543, Iz = ∭Q (x2 + y2) x2yzdV = ∫x = 0x = 6∫y = 0y = 12 (6 − x) ∫z = 0z = 13 (6 − x − 2y) (x2 + y2) x2yzdzdydx = 72935≈20,829.
Таким образом, моменты инерции тетраэдра QQ относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy равны 117 / 35,684 / 35 и 729 / 35,117 / 35,684 / 35 и 729/35 соответственно.
КПП 5.42
Рассмотрим ту же область QQ (рис. 5.70) и используем функцию плотности ρ (x, y, z) = xy2z.ρ (x, y, z) = xy2z. Найдите моменты инерции относительно трех координатных плоскостей.
Раздел 5.6. Упражнения
В следующих упражнениях область RR, занятая пластиной, показана на графике. Найдите массу RR с функцией плотности ρ.ρ.
297.
RR — треугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3) и (6,0); ρ (x, y) = xy. (6 , 0); ρ (x, y) = xy.
298.
RR — треугольная область с вершинами (0,0), (1,1), (0,0), (1,1), (0,5); ρ (x, y) = x + y. ( 0,5); ρ (x, y) = x + y.
299.
RR — прямоугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (6,3), (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0) ; (6,0); р (х, у) = ху.р (х, у) = ху.
300.
RR — прямоугольная область с вершинами (0,1), (0,3), (3,3), (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1) ; (3,1); ρ (x, y) = x2y. ρ (x, y) = x2y.
301.
RR — область трапеции, определяемая линиями y = −14x + 52, y = 0, y = 2, y = −14x + 52, y = 0, y = 2 и x = 0; x = 0; ρ (x, y) = 3xy.ρ (x, y) = 3xy.
302.
RR — область трапеции, определяемая линиями y = 0, y = 1, y = x, y = 0, y = 1, y = x и y = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + yy = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + y.
303.
RR — диск радиуса 22 с центром в точках (1,2); (1,2); ρ (х, у) = х2 + y2−2x − 4y + 5.ρ (х, у) = х2 + y2−2x − 4y + 5.
304.
RR — дисковый агрегат; ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.
305.
RR — область, ограниченная эллипсом x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.
306.
R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2. ρ (x, y) = 9×2 + y2.
307.
RR — это область, ограниченная y = x, y = −x, y = x + 2, y = −x + 2; y = x, y = −x, y = x + 2, y = −x + 2 ; ρ (x, y) = 1. ρ (x, y) = 1.
308.
RR — это область, ограниченная y = 1x, y = 2x, y = 1, y = 1x, y = 2x, y = 1 и y = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y).у = 2; р (х, у) = 4 (х + у).
В следующих упражнениях рассмотрим пластину, занимающую область RR и имеющую функцию плотности ρρ, указанную в предыдущей группе упражнений. Используйте систему компьютерной алгебры (CAS), чтобы ответить на следующие вопросы.
Найдите моменты MxMx и MyMy относительно оси x, оси x и оси y, оси y, соответственно.
Вычислить и построить центр масс пластинки.
[T] Используйте CAS, чтобы найти центр масс на графике R.Р.
309.
[T] RR — треугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3) и (6,0); ρ (x, y) = xy. (6,0); ρ (x, y) = xy.
310.
[T] RR — треугольная область с вершинами (0,0), (1,1) и (0,5); ρ (x, y) = x + y. (0,0), ( 1,1) и (0,5); ρ (x, y) = x + y.
311.
[T] RR — прямоугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0); (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0); р (х, у) = ху. р (х, у) = ху.
312.
[T] RR — прямоугольная область с вершинами (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1); (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1); р (х, у) = х2у.р (х, у) = х2у.
313.
[T] RR — трапециевидная область, определяемая линиями y = −14x + 52, y = 0, y = −14x + 52, y = 0, y = 2 и x = 0; y = 2 и x = 0; ρ (x, y) = 3xy.ρ (x, y) = 3xy.
314.
[T] RR — область трапеции, определяемая линиями y = 0, y = 1, y = x, y = 0, y = 1, y = x и y = −x + 3; ρ (x , y) = 2x + yy = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + y.
315.
[T] RR — диск радиуса 22 с центром в точках (1,2); (1,2); ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5. ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5.
316.
[T] RR — единичный диск; р (х, у) = 3х4 + 6х2у2 + 3у4.р (х, у) = 3х4 + 6х2у2 + 3у4.
317.
[T] RR — область, ограниченная эллипсом x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.
318.
[T] R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y ≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2. ρ (x, y) = 9×2 + y2.
319.
[T] RR — это область, ограниченная y = x, y = −x, y = x + 2, y = x, y = −x, y = x + 2 и y = −x + 2; у = −x + 2; ρ (x, y) = 1. ρ (x, y) = 1.
320.
[T] RR — это область, ограниченная y = 1x, y = 1x, y = 2x, y = 1 и y = 2; y = 2x, y = 1 и y = 2; р (х, у) = 4 (х + у).р (х, у) = 4 (х + у).
В следующих упражнениях рассмотрим пластину, занимающую область RR и имеющую функцию плотности ρρ, указанную в первых двух группах упражнений.
Найдите моменты инерции Ix, Iy, Ix, Iy и I0I0 относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат соответственно.
Найдите радиусы вращения относительно оси x, оси x, оси y, оси y и начала координат соответственно.
321.
RR — треугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (0,0), (0,3) и (6,0); ρ (x, y) = xy.(6,0); ρ (x, y) = xy.
322.
RR — треугольная область с вершинами (0,0), (1,1), (0,0), (1,1) и (0,5); ρ (x, y) = x + y. (0,5); ρ (x, y) = x + y.
323.
RR — прямоугольная область с вершинами (0,0), (0,3), (6,3), (0,0), (0,3), (6,3) и (6,0) ; ρ (x, y) = xy. (6,0); ρ (x, y) = xy.
324.
RR — прямоугольная область с вершинами (0,1), (0,3), (3,3), (0,1), (0,3), (3,3) и (3,1) ; ρ (x, y) = x2y. (3,1); ρ (x, y) = x2y.
325.
RR — область трапеции, определяемая линиями y = −14x + 52, y = 0, y = 2, y = −14x + 52, y = 0, y = 2 и x = 0; ρ (x, y ) = 3xy.х = 0; р (х, у) = 3xy.
326.
RR — область трапеции, определяемая линиями y = 0, y = 1, y = x, y = 0, y = 1, y = x и y = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + yy = −x + 3; ρ (x, y) = 2x + y.
327.
RR — диск радиуса 22 с центром в точках (1,2); (1,2); ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5. ρ (x, y) = x2 + y2−2x − 4y + 5.
328.
RR — дисковый агрегат; ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.ρ (x, y) = 3×4 + 6x2y2 + 3y4.
329.
RR — область, ограниченная эллипсом x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.x2 + 4y2 = 1; ρ (x, y) = 1.
330.
R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2.R = {(x, y) | 9×2 + y2≤1, x≥0, y≥0}; ρ (x, y) = 9×2 + y2.
331.
RR — это область, ограниченная значениями y = x, y = −x, y = x + 2, y = −x + 2; y = x, y = −x, y = x + 2 и y = −x + 2. ; ρ (x, y) = 1. ρ (x, y) = 1.
332.
RR — это область, ограниченная значениями y = 1x, y = 2x, y = 1 и y = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y). Y = 1x, y = 2x, y = 1, andy = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y).
333.
Пусть QQ будет твердым единичным кубом. Найдите массу твердого тела, если его плотность ρρ равна квадрату расстояния от произвольной точки QQ до плоскости xy. Xy.
334.
Пусть QQ будет твердой единичной полусферой.Найдите массу твердого тела, если его плотность ρρ пропорциональна расстоянию от произвольной точки QQ до начала координат.
335.
Твердое тело QQ постоянной плотности 11 расположено внутри сферы x2 + y2 + z2 = 16×2 + y2 + z2 = 16 и вне сферы x2 + y2 + z2 = 1.×2 + y2 + z2 = 1. Покажите, что центр масс твердого тела не находится внутри твердого тела.
336.
Найдите массу твердого тела Q = {(x, y, z) | 1≤x2 + z2≤25, y≤1 − x2 − z2} Q = {(x, y, z) | 1≤x2 + z2 ≤25, y≤1 − x2 − z2}, плотность которого равна ρ (x, y, z) = k, ρ (x, y, z) = k, где k> 0.к> 0.
337.
[T] Твердое тело Q = {(x, y, z) | x2 + y2≤9,0≤z≤1, x≥0, y≥0} Q = {(x, y, z) | x2 + y2≤9,0≤z≤1, x≥0, y≥0} имеет плотность, равную расстоянию до xy-plane.xy-plane. Используйте CAS, чтобы ответить на следующие вопросы.
Найдите массу Q.Q.
Найдите моменты Mxy, Mxz и MyzMxy, Mxz и Myz относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz, плоскости yz соответственно.
Найдите центр масс Q.Q.
Изобразите график QQ и найдите его центр масс.
338.
Рассмотрим твердое тело Q = {(x, y, z) | 0≤x≤1,0≤y≤2,0≤z≤3} Q = {(x, y, z) | 0≤x≤1, 0≤y≤2,0≤z≤3} с функцией плотности ρ (x, y, z) = x + y + 1. ρ (x, y, z) = x + y + 1.
Найдите массу Q.Q.
Найдите моменты Mxy, Mxz и MyzMxy, Mxz и Myz относительно плоскости xy, плоскости xy, плоскости xz, плоскости xz и плоскости yz, плоскости yz соответственно.
Найдите центр масс Q.Q.
339.
[T] Масса твердого тела QQ определяется тройным интегралом ∫ − 11∫0π4∫01r2drdθdz.∫ − 11∫0π4∫01r2drdθdz. Используйте CAS, чтобы ответить на следующие вопросы.
Покажите, что центр масс QQ расположен в плоскости xy. Xy.
Изобразите график QQ и найдите его центр масс.
340.
Тело QQ ограничено плоскостями x + 4y + z = 8, x = 0, y = 0 и z = 0. x + 4y + z = 8, x = 0, y = 0 и z = 0. Его плотность в любой точке равна расстоянию до плоскости xz.xz плоскости. Найдите моменты инерции IyIy твердого тела относительно плоскости xz.xz-плоскости.
341.
Тело QQ ограничено плоскостями x + y + z = 3, x + y + z = 3, x = 0, y = 0, x = 0, y = 0 и z = 0.г = 0. Его плотность равна ρ (x, y, z) = x + ay, ρ (x, y, z) = x + ay, где a> 0.a> 0. Покажите, что центр масс твердого тела расположен в плоскости z = 35z = 35 для любого значения a.a.
342.
Пусть QQ — твердое тело, расположенное вне сферы x2 + y2 + z2 = zx2 + y2 + z2 = z и внутри верхней полусферы x2 + y2 + z2 = R2, x2 + y2 + z2 = R2, где R> 1.R > 1. Если плотность твердого тела равна ρ (x, y, z) = 1×2 + y2 + z2, ρ (x, y, z) = 1×2 + y2 + z2, найти RR такое, что масса твердого тела равна 7π2,7π2 .
343.
Масса твердого тела QQ определяется выражением ∫02∫04 − x2∫x2 + y216 − x2 − y2 (x2 + y2 + z2) ndzdydx, ∫02∫04 − x2∫x2 + y216 − x2 − y2 (x2 + y2 + z2) ndzdydx, где nn — целое число.Определите nn так, чтобы масса твердого тела была (2−2) π. (2−2) π.
344.
Пусть QQ — твердое тело, ограниченное над конусом x2 + y2 = z2x2 + y2 = z2 и под сферой x2 + y2 + z2−4z = 0.×2 + y2 + z2−4z = 0. Его плотность — постоянная k> 0. k> 0. Найдите такое kk, чтобы центр масс твердого тела находился на 77 единицах от начала координат.
345.
Тело Q = {(x, y, z) | 0≤x2 + y2≤16, x≥0, y≥0,0≤z≤x} Q = {(x, y, z) | 0≤x2 + y2≤16, x≥0, y≥0,0≤z≤x} имеет плотность ρ (x, y, z) = k.ρ (x, y, z) = k. Покажите, что момент MxyMxy относительно плоскости xy составляет половину момента MyzMyz относительно плоскости yz.yz-самолет.
346.
Тело QQ ограничено цилиндром x2 + y2 = a2, x2 + y2 = a2, параболоидом b2 − z = x2 + y2, b2 − z = x2 + y2 и плоскостью xy, плоскостью xy, где 0 <а <б. 0 <а <б. Найдите массу твердого тела, если его плотность равна ρ (x, y, z) = x2 + y2. Ρ (x, y, z) = x2 + y2.
347.
Пусть QQ — твердое тело постоянной плотности k, k, где k> 0, k> 0, которое находится в первом октанте, внутри кругового конуса x2 + y2 = 9 (z − 1) 2, x2 + y2 = 9 (z − 1) 2, а над плоскостью z = 0. z = 0. Покажите, что момент MxyMxy относительно плоскости xy — это то же самое, что момент MyzMyz относительно плоскости xz.xz-плоскость.
348.
Твердое тело QQ имеет массу, определяемую тройным интегралом ∫01∫0π / 2∫0r2 (r4 + r) dzdθdr.∫01∫0π / 2∫0r2 (r4 + r) dzdθdr.
Найдите плотность твердого тела в прямоугольных координатах.
Найдите момент MxyMxy относительно плоскости xy. Xy.
349.
Твердое тело QQ имеет момент инерции IxIx относительно плоскости yz-planeyz, задаваемый тройным интегралом ∫02∫ − 4 − y24 − y2∫12 (x2 + y2) x2 + y2 (y2 + z2) (x2 + y2) ) dzdxdy.∫02∫ − 4 − y24 − y2∫12 (x2 + y2) x2 + y2 (y2 + z2) (x2 + y2) dzdxdy.
Найдите плотность Q.Q.
Найдите момент инерции IzIz относительно плоскости xy. Xy.
350.
Твердое тело QQ имеет массу, определяемую тройным интегралом ∫0π / 4∫02secθ∫01 (r3cosθsinθ + 2r) dzdrdθ.∫0π / 4∫02secθ∫01 (r3cosθsinθ + 2r) dzdrdθ.
Найдите плотность твердого тела в прямоугольных координатах.
Найдите момент MxzMxz относительно плоскости xz.xz-плоскости.
351.
Пусть QQ — твердое тело, ограниченное плоскостью xy, плоскостью xy, цилиндром x2 + y2 = a2, x2 + y2 = a2 и плоскостью z = 1, z = 1, где a> 1a> 1 — настоящий номер.Найти момент MxyMxy твердого тела относительно плоскости xy-planexy, если его плотность, заданная в цилиндрических координатах, равна ρ (r, θ, z) = d2fdr2 (r), ρ (r, θ, z) = d2fdr2 (r), где ff — дифференцируемая функция с непрерывной и дифференцируемой первой и второй производными на (0, a). (0, a).
352.
Твердое тело QQ имеет объем, определяемый как ∬D∫abdAdz, ∬D∫abdAdz, где DD — проекция твердого тела на плоскость xy, xy-плоскость, a 353.
Рассмотрим твердое тело, окруженное цилиндром x2 + z2 = a2x2 + z2 = a2 и плоскостями y = by = b и y = c, y = c, где a> 0a> 0 и b 354.
[T] Средняя плотность твердого QQ определяется как ρave = 1V (Q) ∭Qρ (x, y, z) dV = mV (Q), ρave = 1V (Q) ∭Qρ (x, y , z) dV = mV (Q), где V (Q) V (Q) и mm — объем и масса Q, Q соответственно.Если плотность единичного шара с центром в начале координат равна ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2, ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2, используйте CAS для найти его среднюю плотность. Округлите ответ до трех десятичных знаков.
355.
Покажите, что моменты инерции Ix, Iy, и IsIx, Iy и Iz относительно плоскости yz, плоскости yz, плоскости xz, плоскости xz и плоскости xy, плоскости xy, соответственно, единичного шара с центром в начале координат, плотность которого равна ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2ρ (x, y, z) = e − x2 − y2 − z2, одинаковы.

Момент инерции цилиндра, теория и примеры

Момент инерции тонкого кольца

Момент инерции бесконечно тонкого однородного диска

Момент инерции цилиндра

Примеры решения задач

Механика

Момент инерции

Определите момент инерции сплошного однородного цилиндра радиусом 20 см и массой 1 кг

Онлайн-тесты на oltest.ru: Теоретическая механика

StudyPort.Ru — Механика твердого тела

Динамика вращательного движения | Политех в Сети

Момент инерции цилиндра (Вывод)

Определение момента инерции полого / сплошного цилиндра

Как найти момент инерции твердого цилиндра относительно поперечной (перпендикулярной) оси, проходящей через его центр?

Однородный цельный цилиндрический ролик радиуса R класс 11 физика CBSE

определение момента инерции твердой сферы

Найти момент инерции твердого шара (масса M, радиус R) около диаметра ….

Найти момент инерции твердого шара (масса M, радиус R) около диаметра ….

) Какой момент инерции относительно центральной оси у твердого цилиндра 6ка …

проблема момента инерции

Лабораторная работа 8 Задание: Момент инерции 1) Момент инерции для различных систем Сопротивление …

5. Равномерная твердая сфера катится без соскальзывания под углом 19 °. наклонная плоскость. Что…

Однородный твердый диск, момент инерции которого неизвестен, есть вращающийся с угловой скоростью …

Используйте уравнение I = ∫r2dm, чтобы вычислить момент инерции однородной полой сферы с массой M и радиусом R для оси …

1 Момент инерции твердого однородного шара вокруг своей оси симметрии а) Что …

Оцените момент инерции относительно оси z однородного твердого тела, ограниченного …

15.6: Расчет центров масс и моментов инерции

Центр масс в двух измерениях

Моменты инерции

Ключевые понятия

Глоссарий

Авторы и указание авторства

Инерция вращения геометрических тел

5.6 Расчет центров масс и моментов инерции — том 3 исчисления

Цели обучения

Центр масс в двух измерениях

Пример 5.55

Определение полной массы пластинки

Решение

Пример 5.56

Поиск моментов

Решение

Пример 5.57

Нахождение центра масс

Решение

Анализ

Пример 5.58

Определение массы, моментов и центра масс

Решение

Пример 5.59

В поисках центроида

Решение

Моменты инерции

Пример 5.60

Нахождение моментов инерции треугольной пластинки

Решение

Пример 5.61

Определение радиуса вращения для треугольной пластинки

Решение

Центр масс и моменты инерции в трех измерениях

Определение

Пример 5.62

Определение массы твердого тела

Решение

Пример 5.63

Нахождение центра масс твердого тела

Решение

Пример 5.64

Нахождение моментов инерции твердого тела

Решение

Раздел 5.6. Упражнения

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики